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Control de procesos industriales I
Ing Ángela Bravo Sánchez M Sc
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
MODELADO MATEMÁTICO
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado matemático
Un modelo matemático de un sistema dinámicose define como un conjunto de ecuaciones querepresentan la dinámica del sistema
La dinámica de muchos sistemas, ya seanmecánicos, eléctricos, térmicos, económicos,biológicos, etc., se describe en términos de
ecuaciones diferenciales.
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado matemático
Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen apartir de leyes físicas que gobiernan un sistemadeterminado, como las leyes de Newton parasistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoffpara sistemas electrices.
Ej: segunda ley de Newton
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado matemático
Simplicidad frente a precisión: Al obtener un modelo matemático de un sistema
es importante llegar a un compromiso entre
precisión y simplicidad del modelo Para obtener un modelo matemático
simplificado, es necesario ignorar ciertaspropiedades físicas inherentes al sistema e
ignorara las no linealidades y parámetrosdistribuidos que pueden hacer difícilmenteanalizable al sistema
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
DefinicionesParámetros concentrados y distribuidos
Parámetros concentrados Cuando se trata de modelar matemáticamente fenómenos o
sistemas reales con frecuencia se utilizan entidades ideales(masa puntual, carga concentrada en un punto del espacio
etc.) Es decir, consideramos que los valores que determinan las
características físicas de los objetos se encuentranconcentrados en un punto. Estas entidades que no tienenexistencia real reciben el nombre de elementos de
parámetros concentrados. Estos modelos suelen estar caracterizados por la utilización
de ecuaciones diferenciales ordinarias.
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7/84CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
DefinicionesParámetros concentrados y distribuidos
Parámetros distribuidos
En el mundo real las masas no son puntuales, las
resistencias eléctricas presentan un efectocapacitivo e inductivo distribuido a lo largo delcomponente
Estos modelos suelen estar caracterizados por la
utilización de ecuaciones diferenciales enderivadas parciales.
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8/84CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
DefinicionesModelos determistas y no deterministas
Modelos determistas
Se dice que un modelo es determinista cuando elcomportamiento del sistema queda determinadopor la especificación de las condiciones iniciales yla evolución de las magnitudes de entrada.
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9/84CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
DefinicionesModelos determistas y no deterministas
Modelos no deterministas
Se dice que un modelo es no determinista cuandointervienen fenómenos aleatorios, imposibles demodelar y predecir.
Para unas mismas condiciones iniciales e igualevolución de las magnitudes de entrada, elsistema evolucionará cada vez de una formadistinta.
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10/84CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones: Ecuaciones variantes einvariantes en el tiempo.
Ecuaciones variantes en el tiempo
Una ecuación diferencial es variable en el tiempo,si alguno de los coeficientes que multiplican a lavariable dependiente o a sus derivadas es funcióndel tiempo.
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11/84CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones: Ecuaciones variantes einvariantes en el tiempo.
Ecuaciones invariantes en el tiempo.
Una ecuación diferencial es invariante en eltiempo si todos los coeficientes que multiplican ala variable dependiente o a sus derivadas sonconstantes
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
DefinicionesLinealidad y no linealidad
LinealidadUna ecuación diferencial lineal es aquella queconsiste en una suma de términos lineales, o sea,
términos de primer grado en la variablesdependientes y en sus derivadas.
Ejemplo de no linealidad
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones
Sistemas lineales
Un sistema se denomina lineal si se aplica el
principio de superposición. Este principio establece que la respuesta
producida por la aplicación simultánea de dosfunciones de entradas diferentes es la suma de
las dos respuestas individuales.
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones
Sistemas no lineales
A un sistema lineal no se le puede aplicar el
principio de superposición
Los procedimientos para solucionar sistemas nolineales son complicados. Por tal motivo resultanecesario considerar sistemas lineales«equivalentes». Tales sistemas son solo validosen un rango limitado de trabajo.
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones
La mayoría de los fenómenos del mundo realpresentan características no lineales.
Los sistemas lineales resultan convenientes por
la sencillez en su tratamiento y análisis.Mientras que las ecuaciones con no lineales sonde difícil manejo
Gracias a la linealización de ecuaciones no
lineales es posible aplicar numerosos métodosde análisis lineal que producirán informaciónacerca del comportamiento del sistema no lineal
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
DESCRIPCIÓN EXTERNA / INTERNA
Existen distintas formas de expresar el modeladomatemático de un sistema dinámico:
Descripción interna
Descripción externa
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
CONCEPTOS BÁSICOS:
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIADIAGRAMA EN BLOQUESMODELADO EN EL ESPACIO DEESTADOS
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Función de transferencia
En la teoría de control, a menudo se usan las
funciones de transferencia para caracterizar lasrelaciones de entrada-salida de componentes.
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Función de transferencia
Un sistema dinámico puede ser descrito por lasiguiente ecuación diferencia invariante en eltiempo:
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Función de transferencia
Pasando la ecuación al dominio de Laplace yconsiderando que las condiciones iniciales soncero se obtiene:
La función de trasferencia entre y(t) y u(t) estádada por:
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Función de transferencia
Las raíces de N(s) son llamadas polos delsistema
Las raíces de M(s) son llamadas ceros delsistema
Función característica se obtiene al igualar eldenominador a cero N(s)=0
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Función de transferencia
Una función de transferencia tiene las siguientescaracterísticas:
La función de trasferencia está definidaúnicamente para sistemas lineales.
Todas las condiciones iniciales del sistemas sonfijadas a cero
La función de trasferencia es independiente a laentrada del sistema
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MATLAB
OPCIÓN 1
s = tf('s');
H = s/(s^2 + 2*s +10)
Transfer function:
s
--------------
s^2 + 2 s + 10
OPCIÓN 2
h = tf([1 0],[1 2 10])
Transfer function:
s
--------------
s^2 + 2 s + 10
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Diagrama en bloques
Un sistema de control puede consistir, engeneral, por un cierto número de componentes.
Con el fin de mostrar las interaccionesexistentes de forma cómoda, se acostumbra ausar una representación gráfica denominadadiagrama a bloques.
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Diagrama en bloques
Un diagrama de bloques es unarepresentación grafica de una función detrasferencia.
Muestra la relación existente entre los diversoscomponentes e indica el flujo de las señales del
sistema real
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Diagrama en bloques
Un bloque funcional o “bloque”, es un símbolo pararepresentar la operación matemática que sobre la señalde entrada hace el bloque para producir la salida.
Las funciones de transferencia de los componentes porlo general se introducen en bloques correspondientes,que se conectan mediante flechas para indicar ladirección de flujo de señal.
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Diagrama en bloques: Simbología
Bloque ó bloque funcional:
Punto suma ó diferencia:
Punto de ramificación
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Algebra de diagrama de bloques
La modificación de los diagramas en bloques
para efectuar simplificaciones u ordenacionesse denomina algebra de diagrama de bloques
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Algebra de diagrama de bloques
Asociación de bloques Cascada o serie
X2(s) X1(s) C(s)
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Algebra de diagrama de bloques
Asociación de bloques Cascada o serie
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Algebra de diagrama de bloques
Asociación de bloques Paralelo
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Algebra de diagrama de bloques
Asociación de bloques Paralelo
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Algebra de diagrama de bloques
Asociación de bloques retroalimentados
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Algebra de diagrama de bloques
Asociación de bloques retroalimentados
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Algebra de diagrama de bloques
Intercambio del orden de los bloques
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Algebra de diagrama de bloques
Combinación o expansión del bloquesuma/resta
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Ejemplo de algebra de diagrama debloques
Simplifique
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Ejemplo de algebra de diagrama debloques
Paso 1
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Ejemplo de algebra de diagrama debloques
Paso 2
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Ejemplo de algebra de diagrama debloques
Paso 3
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Ejemplo de algebra de diagrama debloques
Paso 4
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MATLAB
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MATLAB
Ejemplo
G1(s)=4
G2(s)=1/(s+2)
H(s) = 5 s
G1 = tf([0 4],[0 1]);
G2 = tf([0 1],[1 2]);H = tf([5 0],[0 1]);
SYS = feedback(G1*G2,H)
Transfer function:
4--------
21 s + 2
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Procedimiento para dibujar undiagrama en bloques
1. Escriba las ecuaciones que describen elcomportamiento dinámico de cada componente
2. Obtenga las transformadas de Laplace deestas ecuaciones, suponiendo que lascondiciones iniciales son cero.
3. Represente individualmente en forma debloques cada ecuación transformada por el
método de Laplace4. Por último, integre los elementos en un
diagrama de bloques completo
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Procedimiento para dibujar undiagrama en bloques
Ejercicio: Circuito RC
1. Escriba las ecuaciones que describen elcomportamiento dinámico de cadacomponente. En este caso i y eo
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Procedimiento para dibujar undiagrama en bloques
1. Escriba las ecuaciones que describen elcomportamiento dinámico de cadacomponente. En este caso i y eo
2. Obtenga las transformadas de Laplace deestas ecuaciones, suponiendo que lascondiciones iniciales son cero.
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Procedimiento para dibujar undiagrama en bloques
2. Obtenga las transformadas de Laplace de estasecuaciones, suponiendo que las condicionesiniciales son cero.
3. Represente individualmente en forma debloques cada ecuación transformada por elmétodo de Laplace
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Procedimiento para dibujar undiagrama en bloques
3. Represente individualmente en forma debloques cada ecuación transformada por elmétodo de Laplace.
4. Por último, integre los elementos en undiagrama de bloques completo
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Procedimiento para dibujar undiagrama en bloques
4. Por último, integre los elementos en undiagrama de bloques completo
MODE ADO EN E ESPACIO DE
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MODELADO EN EL ESPACIO DEESTADOS
La tendencia moderna en los sistemas deingeniería es hacia una mayor complejidad.
Los sistemas complejos pueden tener entradasy salidas múltiples y pueden variar en el tiempo.
El modelado en el espacio de estados permite
considerar aquellos sistemas de múltiplesentradas y múltiples salidas.
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Modelado en el espacio de estados
Estado
Es el conjunto de variables, tales que elconocimiento de esas variables, determinan elcomportamiento del sistema.
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Modelado en el espacio de estados
Variables de estado
Es un conjunto de variables que determinan el
estado del sistema. Se necesitan n variablespara describir totalmente el comportamiento de un
sistema dinámico X1,X2, … ,Xn
Vector de estado
Es un vector con las n variables de estado.
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Modelado en el espacio de estados
Espacio de estados.
Es un espacio de n dimensiones cuyos ejes de
son las variables de estado X1,X2,…,Xn.
Cualquier estado puede representarse medianteun punto en el espacio de estados.
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Modelado en el espacio de estados
Ecuaciones de estadosConjunto de n ecuaciones diferencialessimultaneas de primer orden con n variables,donde las n variables al ser despejadas son lasvariables de estado.
Ecuación de salida
Ecuación algebraica que expresa las variables desalida del sistema como combinaciones linealesde las variables de estado y las entradas
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Modelado en el espacio de estados
Considere un sistemas dinámico linealinvariante en el tiempo, de múltiples entradas ymúltiples salidas
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Modelado en el espacio de estados
El sistema está representado en el espacio deestados por la siguiente ecuación
Dónde:
Ecuación de estados
Ecuación de salida
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Modelado en el espacio de estados
u: un vector que contiene cada una de las p entradas alsistema
y : un vector que contiene cada una de las q salidas alsistema
x : es un vector que contiene cada una de las n variablesde estado del sistema
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Modelado en el espacio de estados
El tamaño de las matrices debe ser eladecuado:
p entradas al sistema
q salidas al sistema
n variables de estado del sistema
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Modelado en el espacio de estados
Ejercicio: Obtener el diagrama en bloques
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Modelado en el espacio de estados
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Modelado en el espacio de estados
Obtención de las ecuaciones de estadoLa representación en espacio de estado puede serderivada desde las ecuaciones diferenciales querepresentan a un sistema.
1. Identificar las leyes o teorías que gobiernan el comportamiento delsistema. Leyes de termodinámica, Leyes dinámicas, segunda leyde Newton, Ley de voltajes y corrientes de Kirchoff, Ley de
Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc.
2. Seleccionar las variables de estado. Son las variables mínimasque determinan el comportamiento dinámico del sistema.
3. Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir, encontrar la razónde cambio respecto al tiempo de cada variable de estado (suderivada).
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Modelado en el espacio de estados
EjemploConsidere el sistema mecánico
u(t) es una fuerza externa
y(t) es el desplazamiento de la masa
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Modelado en el espacio de estados
Cuál es la variable deentrada del sistema?
Cuál es la variable desalida del sistema?
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Modelado en el espacio de estados
Cuál es la variable deentrada del sistema?
La fuerza externa u(t) es la entradapara el sistema.
Cuál es la variable de
salida del sistema?el desplazamiento y(t) de la masa esla salida.
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Modelado en el espacio de estados
La ecuación del sistema es
Definamos las variables de estadox1(t) y x2(t) como:
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Modelado en el espacio de estados
Obtenemos
De acuerdo a (2) obtenemos
(2)(1)
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Modelado en el espacio de estados
La forma matricial de estas ecuaciones es:
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
La forma matricial de estas ecuaciones es:
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
La ecuación de salida es:
En forma matricial
-
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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
La ecuación de salida es:
En forma matricial
-
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Modelado en el espacio de estados
En resumen,
La forma estándar es:
Donde:
-
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Modelado en el espacio de estados
La forma estándar es:
Donde:
Diagrama en bloques es:
-
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Modelado en el espacio de estados
La forma estándar es:
Donde:
Diagrama en bloques es:
-
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Modelado en el espacio de estados
Ejercicio:Calcular la Función de transferencia
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Modelado en el espacio de estados
Aplicando Laplace, con x(0)=0
Despejamos x(s) (multiplicamos por en ambos lados )
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Modelado en el espacio de estados
Por otro lado
Y
Remplazando
Por lo tanto la función de transferencia es:
M d l d l i d t d
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Modelado en el espacio de estados
Se puede reescribir como:
Donde
Polinomio característico
Polinomio en s
M d l d l i d t d
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Modelado en el espacio de estados
EJERCICIOObtenga la función de transferenciadel sistema descrito por lassiguiente ecuación de estado:
M d l d l i d t d
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Modelado en el espacio de estados
De las ecuaciones de estado obtenemos losvalores de A, B, C Y D
Remplazamos en la ecuación de la función detransferencia
M d l d l i d t d
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Modelado en el espacio de estados
MATLAB
syms k m b s
A=[0 1; -k/m -b/m]
B=[0; 1/m]
C=[0 1]
D=0
%Forma Manual
G=C*(s*eye(2)-A)^(-1)*B+D
G=
s/(m*s^2 + b*s + k)
MATLAB
-
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MATLAB
El comando ss2tf retorna el numerador ydenominador de la función de trasferencia
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
El comando tf2ss convierte la función detransferencia de un sistema en la forma espacio
de estado[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)
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