Circonferenza e Circonferenza e cerchiocerchio

Definizione di circonferenzaDefinizione di circonferenza Si definisce Si definisce

circonferenza il circonferenza il luogo geometrico luogo geometrico dei punti del dei punti del piano equidistanti piano equidistanti da un punto detto da un punto detto centro della centro della circonferenzacirconferenza

Definizione di cerchioDefinizione di cerchio Si definisce Si definisce

cerchio la cerchio la porzione di porzione di piano piano racchiusa da racchiusa da una una circonferenzacirconferenza

RaggioRaggio Si definisce Si definisce

raggio di una raggio di una circonferenza il circonferenza il segmento che segmento che unisce il centro unisce il centro con un qualsiasi con un qualsiasi punto della punto della circonferenzacirconferenza

Corda e diametroCorda e diametro Si definisce corda Si definisce corda

qualsiasi segmento qualsiasi segmento che unisce due punti che unisce due punti della circonferenzadella circonferenza

Si definisce diametro Si definisce diametro una corda che passa una corda che passa per il centro della per il centro della circonferenzacirconferenza

È facile vedere che : È facile vedere che : dd = = 2r2r

Arco di circonferenza Prendiamo una

circonferenza e mettiamo su di essa due punti

Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due punti

I punti B e C individuano l’arco c e l’arco d

Settore circolare Prendiamo un cerchio e un suo

arco BC Tracciamo i due raggi che

uniscono gli estremi dell’arco con il centro

Otteniamo cosi una porzione di cerchio

Si dice settore circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza.

Cosa succede se aumento ?

Segmento circolare Consideriamo un cerchio ed

una sua corda a La corda divide il cerchio in

due parti Si definisce segmento

circolare ciascuna delle due parti

Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda

Corona circolare Consideriamo due

circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2

fra le due circonferenze si trova una porzione di piano

Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare

Si definisce corona circolare la porzione di piano racchiusa fra due circonferenze concentriche

POSIZIONE di una retta e una POSIZIONE di una retta e una circonferenza (geogebra)circonferenza (geogebra)

Posizione reciproca fra due Posizione reciproca fra due circonferenze (geogebra)circonferenze (geogebra)

Per 1 punto passano infinite Per 1 punto passano infinite circonferenzecirconferenze

Per 2 punti passano infinite Per 2 punti passano infinite circonferenzecirconferenze

Per 3 punti passa una sola Per 3 punti passa una sola circonferenza il centro è il circocentro circonferenza il centro è il circocentro del triangolo che ha per vertici i tre del triangolo che ha per vertici i tre punti (geogebra)punti (geogebra)

Arco e angolo al centro Se degli estremi di un arco di

circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro

Tale angolo prende il nome di angolo al centro

Si dice che l’arco AB sottende un angolo e l’angolo a è sotteso da un arco AB

Cosa succede se in una circonferenza aumento l’ampiezza dell’arco?

Cosa succede all’angolo ? Vediamo che esso aumenta e

questo aumento è proporzionale all’ampiezza dell’arco

Angoli al centro e alla circonferenza Angoli al centro e alla circonferenza Proprietà degli angoli al centro e alla Proprietà degli angoli al centro e alla

circonferenzacirconferenza

Rapporto fra circonferenza e Rapporto fra circonferenza e diametrodiametro

Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematicanumeri che più ricorrono e non solo in matematica

Si tratta di un numero che non può essere espresso Si tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla categoria dei numeri irrazionalicategoria dei numeri irrazionali

Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2

Nel nostro caso abbiamo che:Nel nostro caso abbiamo che:

Cd 3,14…

FormuleFormuleC = x

dMa d = 2 x r

allora

Circonferenza uguale a p greco per il diametro

C = x 2r

Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio

Formule

inverse

Cd C

r

problemiproblemi Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il

suo diametro misura 12 cmsuo diametro misura 12 cm c = c = x dx d c = 3,14 x 12 cm = 37,68 cmc = 3,14 x 12 cm = 37,68 cm Una circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggioUna circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggio r = c/2r = c/2 r = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cmr = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cm Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio

misura 15 cmmisura 15 cm c = 2 x c = 2 x x r x r c = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cmc = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cm Una circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametroUna circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametro d = c/ d = c/ d = 72,22 cm / 3,14 = 23 cmd = 72,22 cm / 3,14 = 23 cm

Arco e angolo al centro Se degli estremi di un arco di

circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro

Tale angolo prende il nome di angolo al centro

Si dice che l’arco AB sottende un angolo e l’angolo a è sotteso da un arco AB

Cosa succede se in una circonferenza aumento l’ampiezza dell’arco?

Cosa succede all’angolo ? Vediamo che esso aumenta e

questo aumento è proporzionale all’ampiezza dell’arco

Calcolo della lunghezza dell’arco

Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente valore dell’arco sarà l’intera circonferenza

Questo valore sarà uguale a rapporto di un arco e del corrispondente angolo al centro

Da cui ottengo il modo di calcolarmi l

Sapendo che c = x 2r

C360°

l

=

l =C360°

x

l =x 2r x

360°

Formule Inverse=c 360°

x

x

l

d= 360°l x

x

r = 360°l

x

=c360° xl

d = 360°l x x

xr= 360°l

x

Area del cerchioArea del cerchio Consideriamo i seguenti poligoni regolariConsideriamo i seguenti poligoni regolari Un poligono a 6 latiUn poligono a 6 lati Un poligono a 10 latiUn poligono a 10 lati Un poligono a 24 latiUn poligono a 24 lati La formula per calcolare l’area di questi La formula per calcolare l’area di questi

poligoni è sempre la stessa:poligoni è sempre la stessa: A = (2P x a) : 2 A = (2P x a) : 2 dove a è l’apotema (celeste)dove a è l’apotema (celeste) 2P = n x l 2P = n x l ((n n = numero dei lati = numero dei lati ll lato) lato) Ogni poligono è inscritto in un Ogni poligono è inscritto in un

circonferenza ed in rosso è mostrato il circonferenza ed in rosso è mostrato il raggioraggio

Asserviamo cosa succede al poligono Asserviamo cosa succede al poligono all’aumentare del numero dei lati fissando all’aumentare del numero dei lati fissando prima la nostra attenzione sulla differenza prima la nostra attenzione sulla differenza fra poligono e circonferenza circoscrittafra poligono e circonferenza circoscritta

Puoi osservare che all’aumentare del numero dei lati il poligono tende sempre di più ad assomigliare ad una circonferenza tanto che già a 24 lati si fa fatica a distinguerli

Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e sull’apotemaSi nota che nella prima figura la differenza e percettibile ma nell’ultima essa diventa trascurabile

Se noi facciamo diventare infinito il numero dei lati il poligono coinciderà con la circonferenza e l’apotema con il raggio

ConclusioniConclusioniNella formula

diventa

Formula della lunghezza di una circonferenza

diventa

segue A = (2r x r) : 2

infine

L’area del

cerchio è data

dal prodotto di p

greco per il

raggio al

quadrato

Formula inversaFormula inversa

problemiproblemi Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e

area del cerchioarea del cerchio c = 2 c = 2 r A = r A = r r22

Un cerchio ha l’area di 1256 cmUn cerchio ha l’area di 1256 cm2 2 trovare raggio, diametro e trovare raggio, diametro e circonferenza del cerchiocirconferenza del cerchio

r = √ (A/r = √ (A/) ) r = √ (1256 cmr = √ (1256 cm2 2 /3,14) = √ 400 cm = 20 cm/3,14) = √ 400 cm = 20 cm d = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cmd = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cm c = c = d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm La somma delle circonferenze di due cerchi è di 60 La somma delle circonferenze di due cerchi è di 60 cm, cm,

una è i 7/5 dell’altra. Trovare le aree dei due cerchiuna è i 7/5 dell’altra. Trovare le aree dei due cerchi

c = 2 x 3,14 x 10 cm = 62,4 cmA = 3,14 x (10 cm )2= 314 cm2

c1 +c2 = 60 cm c2 = 7/5 c1 c1 + 7/5 c1 = 60 cm

55 c1 + 7 c1 = 60 cm

125

c1 60 cm

c160 cm x 5 1

2c1 = 25 cmC2 = 35 cm d1 = 25 cm/ r1 = 12,5

cmA1 = (12,5 cm)2 = 152,5 cm2

Settore circolare Prendiamo un cerchio e un suo

arco BC Tracciamo i due raggi che

uniscono gli estremi dell’arco con il centro

Otteniamo cosi una porzione di cerchio

Si dice settore circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza.

Cosa succede se aumento ?

Calcolo dell’area settore circolare L’area del settore circolare è

proporzionale al valore dell’angolo al centro

Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente settore circolare coinciderà con l’area del cerchio

Questo rapporto e quello precedente saranno uguali

Da questa constatazione posso impostare la proporzione per calcolarmi l’area de settore circolare

La cui soluzione mi darà l’area del settore circolare

As = Ac

As= Ac x

As = r2 x

Segmento circolare Consideriamo un cerchio ed

una sua corda a La corda divide il cerchio in

due parti Si definisce segmento

circolare ciascuna delle due parti

Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda

Caso 1 il segmento non contiene il centro

In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO

L’area del segmento circolare sarà data dalla differenza fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo

Asc = As - At

Caso 2 il segmento contiene il centro

In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO

L’area del segmento circolare sarà data dalla somma fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo

Asc = As + AtSe non diversamente specificato il segmento circolare si riferisce all’angolo convesso

Formule Inverse

=Ac

360°x

x

As

r = 360° x

= 360° x

xr2

= 360°

x

As A

c

As

As

Area della corona circolare L’area della corona circolare

si ottiene sottraendo all’area del cerchio maggiore quella del cerchio minoreAcc = r2

2 – r12

Acc = (r22 – r1

2)