SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU

TRƯỜNG THPT VÕ THỊ SÁU (LĐ)

************

CHƯƠNG TRÌNH CABRI GEOMETRY II

VẼ TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG & KHÔNG GIAN TRONG CHƯƠNG

TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG

GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : PHẠM THANH PHƯƠNG.

TẬP HAI : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

28

NỘI DUNG: Tập hai HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHƯƠNG I : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN.

I. Cách xác định tâm, trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm của ellip. II. Cách dựng một ellip trong điều kiện ràng buộc.III. Cách dựng tiếp tuyến của một ellip cho trước.

Bài tập dựng ellip.IV. Cách dựng hình vuông, tam giác đều, lục giác đều nội tiếp trong

đường tròn (có chuyển động)V. Cách dựng hình chóp, hình chóp cụt, hình lăng trụ.

CHƯƠNG II : MẶT TRÒN XOAY.I. Khái niệm mặt tròn xoay.II. Mặt trụ tròn xoay.III. Mặt nón tròn xoay.IV. Hình nón cụt.

CHƯƠNG III : MINH HỌA QUA CÁC BÀI TẬP & LÝ THUYẾT.

CHƯƠNG IV : (PHỤ CHƯƠNG) VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

KẾT LUẬN :

TẬP HAI: HÌNH KHÔNG GIAN

29

CHƯƠNG I : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN.

I. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM, TRỤC LỚN, TRỤC NHỎ, TIÊU ĐIỂM CỦA ELLIP.1. Cách xác định tâm của Ellip.

Ellip được xác định bởi 5 điểm cho trước.( Tổng quát hơn, một cônic hoàn toàn được xác định bởi 5 điểm cho trước. Tại sao lại là đúng 5 điểm?)

Cách xác định tâm của ellip cho trước: Trên (E) lấy ba điểm A, B, C. Nối đoạn AB. Qua C dựng đường thẳng song song với AB cắt (E) tại D. Dựng trung điểm M, N của AB, CD. Đường thẳng MN cắt (E) tại I, J. Trung điểm O của IJ chính là tâm của (E).

2. Cách xác định trục lớn, trục nhỏ của Ellip. Ta đã có tâm O của (E). Đường thẳng (line) qua O cắt (E) tại A, B. Đường tròn tâm O, bán kính OA cắt (E) tại C. Trung điểm của AC, CB là M, N. Line OM, ON là trục lớn, trục nhỏ cần tìm.

3. Cách xác định tiêu điểm của Ellip. Ta đã có trục lớn, trục nhỏ là A’A, B’B. Đường tròn đường kính OA là ( I ). Đường tròn tâm O, bán kính OB cắt ( I ) tại C. Compass tâm O, bán kính AC cắt A’A tại F’, F là hai tiêu điểm.

II. CÁCH DỰNG ELLIP TRONG ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC :1. Cách dựng ellip qua 5 điểm có trục lớn nằm ngang.

Line d nằm ngang ( line + shift). Qua điểm O trên d, dựng line d’ vuông góc với d. Lấy A trên d, A’ là điểm đối xứng của A qua O. Trên d’ lấy điểm B (OB < OA). B’ đối xứng của B qua O.

30

Trung điểm I của AB. Phép vị tự tâm O, tỉ số k = 1.41 biến I thành I’. Ellip qua 5 điểm A,B,I’,A’,B’ cần dựng.

2. Cách dựng ellip khi biết hai đường kính của nó.Hoàn toàn tương tự như trên với line d và d’ tùy ý.

3. Cách dựng ellip nội tiếp trong một hình bình hành. Tìm tâm O của h.bình hành. Xác định bốn trung điểm M, N, P, Q của bốn cạnh. Xem MP và NQ là hai đường kính của ellip, ta dựng ellip như trên.

4. Cách dựng ellip ngoại tiếp một hình bình hành. Xem hai đường chéo của h.bình hành là hai đường kính của ellip, từ đó dễ dàng

dựng (E) như trên. CHÚ Ý : Trước tiên, ta phải thành thạo trong việc dựng ellip theo những điều kiện ràng

buộc, sau đó mới xem tiếp các phương pháp dựng hình khác.

31

BÀI TẬP DỰNG ELLIP.BÀI 1 : Hãy dựng một ellip có một đường kính nằm ngang, một đường kính

quay quanh tâm O, và nằm trong một mặt phẳng. Ý TƯỞNG: (E) có một đường kính nằm ngang d, một đường kính thay đổi d’

đi qua tâm O trên d. Mặt phẳng chứa (E) cũng quay phụ thuộc theo d’. CÁCH DỰNG :

Line d nằm ngang, line d’ đi qua điểm O trên d. Chọn A trên d, B trên d’. Gọi A’, B’ là các điểm đối xứng của A và B

qua tâm O. Dựng điểm thứ năm C (xem lý thuyết). (E) qua 5 điểm A, B, A’, C, B’ cần dựng. Trên d’ lấy hai điểm đối xứng nhau qua O, dựng line song song với d.

Chọn đoạn tạo hình bình hành (mặt phẳng). Animation d’, chuyển động.

BÀI TẬP 2 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy dựng 6 đường tròn nội tiếp 6 mặt của hình lập phương.

32

Ý TƯỞNG : Sáu mặt của hình lập phương được biểu diễn bởi các hình bình hành. Vậy hãy vận dụng cách dựng ellip nội tiếp trong h.b.hành.

CÁCH DỰNG : Xem như bài tập dành cho độc giả.

III. CÁCH DỰNG TIẾP TUYẾN CỦA ELLIP CHO TRƯỚC.

1. Tiếp tuyến của ellip tại một điểm cho trước trước trên ellip. Xác định tâm O của (E). Lấy điểm M trên (E). Nối đoạn OM. Lấy điểm N trên (E). Qua N dựng đường thẳng NN’ song song OM. Trung điểm I của NN’. Nối đường thẳng OI. Đường thẳng qua M song song với OI là tiếp tuyến cần tìm.

2. Tiếp tuyến của ellip có phương cho trước. Xác định tâm O của (E).

33

Lấy điểm M trên (E). Qua M dựng đường thẳng có phương d cho trước, cắt (E) tại N.

Trung điểm I của MN. Đường thẳng OI cắt (E) tại A. Đường thẳng qua A có phương d là tiếp tuyến cần tìm.

3. Tiếp tuyến của ellip đi qua một điểm nằm ngoài ellip. Từ điểm P kẻ ba cát tuyến với (E) : PAB, PCD, PEF. AD cắt BC tại I; DE cắt CF tại J. Đường thẳng IJ cắt (E) tại M và N. PM, PN là hai tiếp tuyến cần dựng.

34

V. CÁCH DỰNG HÌNH VUÔNG, TAM GIÁC ĐỀU, LỤC GIÁC ĐỀU NỘI TIẾP TRONG MỘT ĐƯỜNG TRÒN.

1. Dựng hình vuông nội tiếp trong một đường tròn. Lấy điểm A trên (E) có tâm O. OA cắt (E) tại C. Đường vuông góc với AC tại O cắt (E) tại M. Qua M dựng đường song song với AC cắt (E) tại N. Trung điểm I của MN. Đường thẳng OI cắt (E) tại B và D. ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (AC và BD là hai đường kính

liên hợp của (E).)2. Dựng tam giác đều, lục giác đều nội tiếp một đường tròn.

Dựng hai đường kính liên hợp của (E) : AOD, A’OD’. Qua trung điểm của OA, OD dựng EC, FB song song với A’OD’. Tam giác AEC là tam giác đều, DFB là tam giác đều. ABCDEF là lục giác đều cần dựng. Chú ý : Animation cho A, chuyển động, khi đó các đa giác đều sẽ

chuyển động.

V. CÁCH DỰNG HÌNH CHÓP, HÌNH CHÓP CỤT, HÌNH LĂNG TRỤ.

1. Hình chóp : Dựng đáy là một đa giác nằm trong mặt phẳng. Đỉnh S là điểm ta tùy ý chọn. Nối đoạn thẳng là các cạnh bên. Xem ví dụ: Hình chóp có đáy là một hình vuông (có chuyển động).

2. Hình chóp cụt : Cắt hình chóp bởi một mặt phẳng song song với đáy, hình tạo bởi thiết diện,

đáy, cùng các mặt bên gọi là hình chóp cụt. Ta dựng hình chóp S.ABCD… Lấy A’ trên đoạn SA. Qua A’, ta dựng các đoạn thẳng song song với các

cạnh đáy liên tiếp, ta được thiết diện.

35

Animation cho A’, chuyển động. (xem các ví dụ).3. Hình lăng trụ, hình hộp :

Hình lăng trụ tạo bởi hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng

nhau cùng các mặt bên là các hình bình hành. Dựng đáy là đa giác có chuyển động (đã hướng dẫn phần trước). Tịnh tiến đa giác đáy theo vectơ cho trước.

4. Hình chóp đều, hình chóp cụt đều. Hình chóp đều có đáy là miền đa giác đều và chân đường cao của hình chóp

trùng với tâm của đa giác đều. Dựng đáy là đa giác đều chuyển động (đã biết cách dựng).

36

Từ tâm O của ellip ngoại tiếp đa giác đáy dựng đường thẳng đứng, trên đó lấy điểm S và dựng hình chóp đều.

Từ hình chóp đều ta dựng hình chóp cụt đều như trên đã biết.5. Hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều.

Hình lăng trụ đứng có cạnh bên vuông góc với đáy. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Cách dựng tương tự như hình lăng trụ.

37

BÀI TẬP HÌNH CHÓP, HÌNH LĂNG TRỤ.

BÀI TẬP 1 : HÌNH CHÓP.

BÀI TẬP 2 : Hình chóp.

38

39

CHƯƠNG II : MẶT TRÒN XOAY.

I . KHÁI NIỆM MẶT TRÒN XOAY: Ý TƯỞNG : Hình (T) do đường sinh (m) quay quanh trục d gọi là mặt tròn xoay. CÁCH DỰNG :

Line d thẳng đứng, dựng ellip nhận d là trục. Lấy điểm M trên ellip, nối OM. Dùng phép vị tự biến ellip chuẩn thành các ellip khác có tâm vị tự trên d, với tỉ số k

thích hợp. Lấy các điểm trên ellip để dựng arc. Tạo vết cho arc. Animation cho M.

CHÚ Ý : Cần nắm vững cách dựng mặt tròn xoay cơ bản trên, điều đó giúp ta dưng các mặt tròn xoay cụ thể sau này.

II. MẶT TRỤ TRÒN XOAY: Ý TƯỞNG : Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng

d gọi là mặt trụ tròn xoay. CÁCH DỰNG:

Line d thẳng đứng, dựng ellip nhân d là trục. Lấy M trên ellip. Phép tịnh tiến theo vectơ trên trục d, biến đoạn OM, biến ellip trên thành

O’M’. Dựng đường thẳng l chính là MM’. Tạo vết đoạn MM’. Animation cho M,

OM và O’M’. Chuyển động.

40

III. MẶT NÓN TRÒN XOAY: Ý TƯỞNG: Cho hai đường thẳng l và d cắt nhau tại O và tạo thành một góc , trong

đó 0 < < 90. Khi l quay quanh d tạo thành mặt nón tròn xoay. CÁCH DỰNG:

Line d thẳng đứng, dựng ellip nhận d làm trục, có tâm O. Lấy M trên ellip. Lấy S trên d. Dựng tia MS. Trace SM, OM. Animation cho M. Chuyển động.

41

IV. HÌNH NÓN CỤT: Ý TƯỞNG : Hình thang ABB’A’ vuông tại A và A’. Khi quay quanh AA’, đường

gấp khúc ABB’A’ tạo thành hình nón cụt. CÁCH DỰNG : ( Dành cho độc giả)

CHƯƠNG III : CÁC BÀI TẬP THỰC HÀNH.BÀI TẬP 1 : Cho một ellip (E) tâm O. Gọi M, N là hai điểm bất kỳ trên (E) sao cho góc MON bằng 1v. Các tiếp tuyến của (E) tại M và N cắt nhau tại P. Tìm tập hợp các điểm P khi góc MON quay quanh O.

Dựng (E) có tâm O. Lấy điểm M trên (E). Dựng ON vuông góc với OM. Dựng các tiếp tuyến với (E) tại M, N. Giao điểm P của hai tiếp tuyến. Trace P. Animation M. Hãy suy nghĩ xem ta muốn dựng mặt trụ nhận (E) và Trace P làm đường chuẩn.

42

BÀI TẬP 2 : Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy dựng thiết diện chuyển động với hình chóp song song với đáy.

BÀI TẬP 3 : Hãy dựng hình lăng trụ đứng nội tiếp hình trụ.

BÀI TẬP 4 : 1. Hãy dựng một mặt cầu tạo bởi nửa đường tròn (O) quay quanh trục d.

2. Hãy dựng mặt Parabollic.

43

BÀI TẬP 5 : Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu.

BÀI TẬP 6 : Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng quay quanh trục Ox.

BÀI TẬP 7 : Các ví dụ khác : Trang trí vòng hoa. Hành tinh chuyển động. Bình bông.

44

45

PHỤ CHƯƠNG :VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Sử dụng chương trình Cabri Geometry II giúp ta vẽ đồ thị hàm số theo đúng trình tự tư duy của học sinh, cho ta thấy đồ thị (C) của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm M (x ; f(x) ) trong mặt phẳng Oxy khi x biến thiên trên MXĐ hàm số

CÁCH VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f(x). Show axes. Segment on x-axes. Điểm H trên segment. Xác định tọa độ của H. Calculate tính giá trị f(x) theo hoành độ x của H. Measurement transfer O theo f(x) thành điểm K trên Oy. Qua H, K dựng các đường vuông góc với các trục cắt nhau tại M. Trace M. Animation H. Locus M by point H.

ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG.

46

47

48

KẾT LUẬN :Giảng dạy bộ môn Hình học không gian là rất khó để học sinh tiếp thu

kiến thức do tính trừu tượng cao. Nay nhờ chương trình này, giúp ta cho học sinh thấy được các góc độ của một hình trong không gian, từ đó chọn “góc nhìn” thích hợp nhất. Đặc biệt, máy tính sẽ vạch tập hợp điểm trong không gian.

Dựng hình tròn xoay trong không gian do một đường quay quanh một trục là ưu điểm tuyệt vời của Chương trình. Bản thân tôi khi dựng được mặt tròn xoay, máy tính vạch nên hình ảnh thật “ấn tượng” (mà trước đây chỉ tưởng tượng mà thôi!), khiến tôi thật sự đam mê, suy nghĩ, tính toán, chứng minh và tự khám phá những kết quả toán học mà trước đây không nghĩ tới. Thật vô cùng thú vị !

Trên cơ sở kiến thức toán học, nắm vững phép chiếu song song, cách dựng một ellip bất kỳ theo ý muốn… Việc chọn đối tượng chuyển động gốc kéo theo sự chuyển động của những đối tượng phụ thuộc nó cần phải tư duy tính toán trước khi thực hiện.

Điều quan trọng nhất vẫn là sự sáng tạo của cá nhân quyết định phương án tối ưu nhất, Chương trình chỉ là một công cụ để ta sử dụng mà thôi! Hơn nữa, một cá nhân không thể nghiên cứu triệt để một chương trình sáng tạo lớn của nhóm các chuyên gia phần mềm của Công Ty Texas Instruments (được viết ra các thứ tiếng Anh, Pháp, Đức, Ý, Tây Ban Nha… và đã phổ biến khắp thế giới). Rất mong các đồng nghiệp, các chuyên gia vi tính cùng nghiên cứu để tìm ra nhiều hơn nữa những ứng dụng mới và phổ biến cùng đồng nghiệp.

Đất Đỏ, ngày 23 tháng 3 năm 2003.Giáo viên biên soạn.

PHẠM THANH PHƯƠNG

49