CHỦ ĐỀ:

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho vuông ở A ta có :

Định lý Pitago :

AB. AC = BC. AH

AH2 = BH.CH

BC = 2AM

b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = ,

b = c. tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

* Định lý hàm số Sin:

3. Các công thức tính diện tích. a/ Công thức tính diện tích tam giác:

a.ha

S = với

Đặc biệt : * vuông ở A :

* đều cạnh a:

b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng

d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn)

d/ Diện tích hình thang : (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao

e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn :

1

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TAM GIÁC & CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH

1

A

B CH Ma

bc h

b’c’

A.QUAN HỆ SONG SONG

1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P)

d

a

(P)

ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.

d

a(Q)

(P)

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

a

d

QP

2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.

Ib

a

Q

P

ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia.

a

Q

P

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song. b

a

R

Q

P

B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P).

d

ab

P

2

QUAN HỆ SONG SONG – QUAN HỆ VUÔNG GÓC2

ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

a'

a

bP

2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Q

P

a

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).

d Q

P

a

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)

A

Q

P

a

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

a

R

QP

3. KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OHa

H

O

H

O

P

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P).

d(a;(P)) = OH

a

H

O

P

3

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

d((P);(Q)) = OH H

O

Q

P

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.d(a;b) = AB

B

A

b

a

4. GÓC

1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.

b'b

a'a

2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.

Pa'

a

3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm

ba

QP

P Q

a b

4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì

trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’). C

B

A

S

4

I/ CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN :

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:V = B.h

(B: Sđáy ; h: chiều cao)

Thể tích khối hộp chữ nhật:

Thể tích khối lập phương:với a là độ dài cạnh

V = a.b.c(a,b,c là ba kích thước)

V = a3

(a là độ dài cạnh)

2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: V= Bh(B: Sđáy ; h: chiều cao)

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN

C'

B'

A'

C

B

A

S

4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:BA

C

A' B'

C'

5. KHỐI NÓN

6. KHỐI TRỤ

7. KHỐI CẦU

Chú ý:

5

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU3

1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a ,

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a ,

Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = ,

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau (hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

6

II/ CÁC DẠNG TOÁN

Loại 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

1. Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a và biết

A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải: Ta có vuông cân tại A nên AB = AC = aABC A'B'C' là lăng trụ đứng

Vậy V = B.h = SABC .AA' =

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ.

?

5a4a

D' C'

B'

A'

D C

BA

Lời giải: ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2

ABCD là hình vuông

Suy ra B = SABCD =

Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

A' C'

B'

A

B

C

I

Lời giải: Gọi I là trung điểm BC .Ta có

ABC đều nên

.

Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'=

7

A'

D

B'

C'

A'

C

D'

C'

B'B

D'

A

60

D' C'

B'A'

D C

BA

o60

C'

B'

A'

C

B

A

Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.

D'

A'

C'

B'D

A

C

B

Giải Theo đề bài, ta có AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm và chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp là V = SABCD.h = 4800cm3

Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp .

Lời giải:Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a

và SABCD = 2SABD =

Theo đề bài BD' = AC =

Vậy V = SABCD.DD' =

2. Dạng 2: Lăng trụ có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.

Lời giải:

Ta có là hình chiếu của A'B

trên đáy ABC .

Vậy

SABC =

Vậy V = SABC.AA' =

8

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , = 60 o biết BC'

hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ.

ao

60

o30

C'

B'

A'

C

B

A

Lời giải: .

Ta có:

nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).

Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = = 30o

V =B.h = SABC.AA'

là nửa tam giác đều nên

Vậy V =

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh avà đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .

o30

a

D'

C'

A'

B'

D

C B

A

Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có:

và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD .

Vậy góc [BD';(ABCD)] =

Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' =

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và = 60o biết AB' hợp với đáy

(ABCD) một góc 30o .Tính thể tích của hình hộp.

a

o30

o60

D'

C'B'

A'

D

CB

A

Giải

đều cạnh a

vuông tạiB

Vậy

9

3. Dạng 3: Lăng trụ có góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.

C'

B'

A'

C

B

Ao60

Lời giải:

Ta có

Vậy

SABC =

Vậy V = SABC.AA' =

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

x

o30

I

C'

B'

A'

C

B

A

Giải: đều mà AA' nên A'I (đl 3

). Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = = 30o

Giả sử BI = x 32

32x

xAI .Ta có

xxAI

AIIAAIA 23

32

3

230cos:':' 0

A’A = AI.tan 300 = xx 3

3.3

Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8 2 x

Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

a

060

O

A'

D'

B'

C'

C

A

D

B

Gọi O là tâm của ABCD . Ta cóABCD là hình vuông nênCC' (ABCD) nên OC' BD (đl 3 ). Vậy góc[(BDC');(ABCD)] =

= 60o

Ta có V = B.h = SABCD.CC'ABCD là hình vuông nên SABCD = a2

vuông nên CC' = OC.tan60o =

Vậy V =

10

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

2a

o30

o60

D'

C'B'

A'

D

CB

A

Ta có AA' AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD) .

Vậy góc[A'C,(ABCD)] =

BC AB BC A'B (đl 3 ) .

Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] =

AC = AA'.cot30o =

AB = AA'.cot60o =

Vậy V = AB.BC.AA' =

4. Dạng 4: Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là và hợp với

đáy ABC một góc 60o .Tính thể tích lăng trụ.

H

o60

a

B'

A'C'

C

B

A

Lời giải:

Ta có là hình chiếu của CC' trên (ABC)

Vậy

SABC = .Vậy V = SABC.C'H =

Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 .

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.2) Tính thể tích lăng trụ .

HO

o60

C'

A

a

B'

A'

C

B

Lời giải:

1) Ta có là hình chiếu của AA' trên (ABC)

Vậy

Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ) tại trung điểm H của BC nên (đl 3 )

mà AA'//BB' nên

.Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.

2) đều nên

Vậy V = SABC.A'O =

11

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 AD = 7 .Hai mặt bên (ABB’A’) và

(ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

HN

M

D'C'

B'

A'

D

C

B

A

Lời giải:

Kẻ A’H )(ABCD ,HM ADHNAB ,

ADNAABMA ',' (đl 3 )

Đặt A’H = x . Khi đó

A’N = x : sin 600 = 3

2x

AN = HMx

NAAA

3

43''

222

Mà HM = x.cot 450 = x

Nghĩa là x = 7

3

3

43 2

xx

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x

= 3

3. 7. 37

LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

1. Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .

_

\

/

/

a

B

S

C

A Lời giải: Ta có

Do đó

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.

1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông . 2)Tính thể tích hình chóp .

12

a

o60

S

C

B

A

Lời giải:1)

mà ( đl 3 ).Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông. 2) Ta có là hình chiếu của SB trên (ABC).

Vậy góc[SB,(ABC)] = .

vuông cân nên BA = BC =

SABC =

Vậy

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp .

a

o60

M

C

B

A

S Lời giải: Mlà trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM BCSA BC (đl3 ) .

Vậy góc[(SBC);(ABC)] = .

Ta có V =

Vậy V =

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.

1) Tính thể tích hình chóp SABCD.2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).

H

a

D

CB

A

S

o60

Lời giải: 1)Ta có và ( đl 3 ).(1)

Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = = 60o .

vuông nên SA = AD.tan60o =

Vậy

2) Ta dựng AH ,vì CD (SAD) (do (1) ) nên CD AH

Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).

Vậy AH =

13

2. Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.

2) Tính thể tích khối chóp SABCD.

aH

D

CB

A

SLời giải:

1) Gọi H là trung điểm của AB. đều

mà Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =

suy ra

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC) (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD.

o60

a

H D

C

B

ALời giải: Gọi H là trung điểm của BC.Ta có tam giác ABC đều nên AH (BCD) , mà (ABC) (BCD) AH

.

Ta có AH HD AH = AD.tan60o =

& HD = AD.cot60o =

BC = 2HD = suy ra

V =

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.a) b) Tính thể tích khối chóp SABC.

45

IJ

HA

C

B

S Lời giải: a) Kẽ SH BC vì mp(SAC) mp(ABC) nên SH mp(ABC). Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC SI AB, SJ BC, theo giả

thiết

Ta có: HJHISHJSHI nên BH là đường phân giác của

ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.

b) HI = HJ = SH =2

aVSABC=

12.

3

1 3aSHS ABC

3. Dạng 3: Khối chóp đều

14

Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích chóp đều SABC .

a

2a

HO

C

B

A

S

Lời giải: Dựng SO (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.Ta có tam giác ABC đều nên

AO =

.Vậy

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . 1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.2) Tính thể tích khối chóp SABCD.

a

O

DC

BA

SLời giải: Dựng SO (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nênOA = OB = OC = OD ABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông . Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên ASC vuông tại S

2

2

aOS

3

21 1 2 2.

3 3 2 6ABCD

a aV S SO a

Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.

b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.

aI

HO

M

C

B

A

D

Lời giải:a) Gọi O là tâm của ABC ( )DO ABC

1

.3 ABCV S DO

2 3

4ABC

aS ,

2 3

3 3

aOC CI

2 2ô ó :DOC vu ng c DO DC OC 6

3

a

2 31 3 6 2

.3 4 3 12

a a aV

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH

1 6

2 6

aMH DO

2 31 1 3 6 2. .

3 3 4 6 24MABC ABC

a a aV S MH

4. Dạng 4: Khối chóp & PP tỉ số thể tích

15

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, 2AC a ,SA vuông góc với đáy ABC,

SA a1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN

G

M

N

I

C

B

A

S

Lời giải:

a)Ta có: .

1.

3S ABC ABCV S SA và SA a

+ â ó : 2ABC c n c AC a AB a

21

2ABCS a Vậy: 3

21 1. .

3 2 6SABC

aV a a

b) Gọi I là trung điểm BC.

G là trọng tâm,ta có : 2

3

SG

SI

// BC MN// BC 2

3

SM SN SG

SB SC SI

4

.9

SAMN

SABC

V SM SN

V SB SC

Vậy: 34 2

9 27SAMN SABC

aV V

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

lấy điểm D sao cho CD a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

b) Chứng minh ( )CE ABDc) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

a

a

F

E

B

A

C

D

Lời giải:

a)Tính ABCDV :

b)Tacó: ,AB AC AB CD ( )AB ACD AB EC Ta có: DB EC ( )EC ABD

c) Tính EFDCV :Ta có: . (*)DCEF

DABC

V DE DF

V DA DB

Mà 2.DE DA DC , chia cho 2DA

2 2

2 2

1

2 2

DE DC a

DA DA a

Tương tự: 2 2

2 2 2

1

3

DF DC a

DB DB DC CB

Từ(*) 1

6DCEF

DABC

V

V .Vậy

31

6 36DCEF ABCD

aV V

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng )( qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

16

I

O

A

B C

D

S

E

F

M

N

S

O

M

B

D

C

A

Lời giải: Kẻ MN // CD (N )SD thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

+ SABCDSADBSANBSADB

SAND VVVSD

SN

V

V

4

1

2

1

2

1

SABCDSBCDSBMNSBCD

SBMN VVVSD

SN

SC

SM

V

V

8

1

4

1

4

1

2

1.

2

1. Mà

VSABMN = VSANB + VSBMN = SABCDV8

3.

Suy ra VABMN.ABCD = SABCDV8

5

Do đó : 5

3

.

ABCDABMN

SABMN

V

V

Ví dụ 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 . Gọi M là trung

điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. a) Hãy xác định mp(AEMF)b) Tính thể tích khối chóp S.ABCDc) Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Lời giải:a) Gọi I SO AM . Ta có (AEMF) //BD EF // BD

b) . D D

1.

3S ABC ABCV S SO với 2

DABCS a

+ có : 6

.tan 602

aSO AO

Vậy : 3

. D

6

6S ABC

aV

c) Phân chia chóp tứ giác ta có

. EMFS AV = VSAMF + VSAME =2VSAMF

.S ABCDV = 2VSACD = 2 VSABC

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD 

Ta có : 1

2

SM

SC

SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:

2

3

SI SF

SO SD

D

1.

3SAMF

SAC

V SM SF

V SC SD

3

D D

1 1 6

3 6 36SAMF SAC SAC

aV V V

3 3

. EMF

6 62

36 18S A

a aV

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, 2SA a . Gọi B’, D’ là

hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

17

A

S

I

O

D

B

C

C'

D'

B'

b) Chứng minh ( ' ')SC AB Dc) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Lời giải:

a) Ta có: 3

.

1 2.

3 3S ABCD ABCD

aV S SA

b) Ta có ( ) 'BC SAB BC AB & 'SB AB Suy ra: ' ( )AB SBC nên AB' SC .Tương tự AD' SC. Vậy SC (AB'D')

c) Tính . ' ' 'S AB C DV

+Tính . ' 'S AB CV : Ta có: ' ' ' '

. (*)SAB C

SABC

V SB SC

V SB SC

SAC vuông cân nên ' 1

2

SC

SC

Ta có: 2 2 2

2 2 2 2

' 2 2 2

3 3

SB SA a a

SB SB SA AB a

Từ' ' 1

(*)3

SAB C

SABC

V

V

3 3

' '

1 2 2.

3 3 9SAB C

a aV

+ 3

. ' ' ' . ' '

2 22

9S AB C D S AB C

aV V

5) Dạng 5 : Ôn tập khối chóp và lăng trụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông

góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60 và M là trung điểm của SB.

1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.2) Tính thể tích của khối chóp MBCD.

. 2a

o60

H

DC

BA

SLời giải:

a)Ta có 1

.3 ABCDV S SA

+ 2 2(2 ) 4ABCDS a a

+ ó : tan 2 6SAC c SA AC C a 3

21 8 64 .2 6

3 3

aV a a

b) Kẻ / / ( )MH SA MH DBC

Ta có: 1

2MH SA ,

1

2BCD ABCDS S

3

D

1 2 6

4 3MBC

aV V

18

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp.

60

A C

B

H

S

FE

J

Lời giải:Hạ SH )(ABC , kẽ HE AB, HF BC, HJ AC

suy ra SE AB, SF BC, SJ AC . Ta có

SJHSFHSAH nên HE =HF = HJ = r

( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp ABC )

Ta có SABC = ))()(( cpbpapp

với p = acba

92

Nên SABC = 22.3.4.9 a

Mặt khác SABC = p.r 3

62 a

p

Sr

Tam giác vuông SHE:

SH = r.tan 600 = aa

223.3

62

Vậy VSABC = 32 3822.663

1aaa .

Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có 3AB a , AD = a,

AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD.a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’b) Tính thể tích khối OBB’C’.c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.

MO

D'C'

B'A'

DC

BA

Lời giải:a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.

Ta có : . D.AA 'V AB A 2 33. 3a a a 2 2ó : 2ABD c DB AB AD a

* Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối

hộp nên: 3

' ' ' '

1 3

3 3OA B C D

aV V

b) M là trung điểm BC ( ' ')OM BB C

2 3

' ' ' '

1 1 3 3. . .

3 3 2 2 12O BB C BB C

a a aV S OM

c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ

diện OBB’C’. Ta có : ' '

'

3' OBB C

OBB

VC H

S

2 2ó : 2ABD c DB AB AD a

2

'

1

2OBBS a ' 2a 3C H

Ví dụ 4 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.

Lời giải:

19

a

D'C'

B'A'

D C

BA

Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’. +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích.

Khối CB’D’C’ có 2 3

1

1 1 1. .

3 2 6V a a a

+Khối lập phương có thể tích: 3

2V a

3 3 3

' '

1 14.

6 3ACB DV a a a

Ví dụ 5 : Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.

J

I F

E

C'

B'A'

C

BA

Lời giải:a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB,

' ' ' '

1.

3A B BC A B BV S CI2 31 3 3

.3 2 2 12

a a a

b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’.+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên

' EF EF

1. '

3A C CV S A A

2

EF

1 3

4 16C ABC

aS S

3

' EF

3

48A C

aV

+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có đáy

là CFB’, đường cao JA’ nên ' ' F FB'

1. '

3A B C CV S A J

2

FB' '

1

2 4C CBB

aS S

2 3

' ' F

1 3 3

3 4 2 24A B C

a a aV

+ Vậy : 3

A'B'FE

3

16C

aV

20

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA (ABCD); AB = SA = 1; . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Tính thể tích khối chóp O.AHK.

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 và . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, mặt bên hợp với đáy góc . Tìm để thể tích của khối chóp đạt giá trị lớn nhất.

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a . Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB,

CD; K là điểm trên cạnh AD sao cho 3

aAK . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN

và SK theo a.Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ACB) bằng 600, ABC

và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC).Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với , BD = a >0. Cạnh

bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chóp.

Bài 9: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB=AD = a, AA’ = và

góc BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

Bài 10: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a.

Bài 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = b, AA’ = c ( ). Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA.

Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có SA (ABC), ABC vuông cân đỉnh C và SC = . Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.

Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trên cạnh AB sao cho AM = x, (0 < x < a). Mặt phẳng (MA'C') cắt BC tại N. Tính x theo a để thể tích khối đa

diện MBNC'A'B' bằng thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D'.

Bài 14: Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x

21

(0 m a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0). Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM, biết rằng x2 + y2 = a2

Bài 15: Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy có tâm O và đường kính là AB = 2R. Gọi M là điểm thuộc đường tròn đáy và , . Tính thể tích khối tứ diện SAOM theo R, và .

Bài 16: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh bên bằng 1. Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy một góc α. Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC.

Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA (ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN).

Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = . , Tính thể

tích khối chóp S.ABC. Bài 19: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông

góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa

BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng . Tính thể tích

khối lăng trụ ABC.A’B’C’.Bài 20: Xác định vị trí tâm và độ dài bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có

.Bài 21: Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a,

mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α.Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân tại A, AB = AC = a. Mặt bên

qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Bài 23: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và D. Biết AD = AB = a, CD = 2a, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a. Tính thể tứ diện ASBC theo a.

Bài 24: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b. Tính thể tích của hình chóp đó và khoảng cách giữa các đường thẳng SA, BE.

Bài 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, , SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC và song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B, D. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Bài 26: Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA = a, SB = b, SC = c, ,

.

Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB = a, BC = a, , cạnh và SA vuông góc với đáy, tam giác SCD vuông tại C. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích của tứ diện SBCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).

Bài 28: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 và . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

Bài 29: Cho hình hộp ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = AA = 2a. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. M là trung điểm của

22

BC. Tính thể tích hình hộp và cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và ACBài 30: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. Bài 31: Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a,

mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc a.Bài 32: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a,

góc = 600. Gọi M là trung điểm AA và N là trung điểm của CC. Chứng minh rằng bốn điểm B, M, N, D đồng phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác BMDN là hình vuông.

Bài 33: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA = b. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC). Tính tan và thể tích của khối chóp A.BBCC.

Bài 34: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt bên tạo với mặt đáy góc 60o. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a.

Bài 35: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CD, AD. Điểm P thuộc cạnh DD’ sao cho PD = 2PD. Chứng tỏ (MNP) vuông góc với (AAM) và tính thể tích của khối tứ diện AAMP.

Bài 36: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2AD = 2a, sạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, mặt phẳng (GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P và Q. Tính thể tích khối chóp S.PQCD theo a.

Bài 37: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Bài 38: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm của cạnh BC và I là tâm của mặt bên CCDD. Tính thể tích của các hình đa diện do mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương.

Bài 39: Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng chứa (C) lấy điểm S sao cho SA = h. Gọi M là điểm chính giữa cung AB. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SB, cắt SB, SM lần lượt tại H và K.. Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo R và h.

Bài 40: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính thể tích khối chóp B.AMCN và cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMCN) và (ABCD).

Bài 41: Tính thể tích của khối chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc .

Bài 42: Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết SA = a, SB = b, SC = c, ,

, .

Bài 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a, , chiều cao

SO của hình chóp bằng , trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là

23

trung điểm của AD, mặt phẳng (P) chứa BM và song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp K.BCDM.

Bài 44: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABCcó đáy là tam giác đều cạnh bằng a,

AM (ABC), AM = (M là trung điểm cạnh BC). Tính thể tích khối đa diện ABABC.

Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng . Gọi I là trung điểm của AD. Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 46: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp đó.

Bài 47: Cho khối tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho , và . Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.

Bài 48: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến

mặt phẳng (A’BC) bằng . Tính theo a thể tích khối lăng trụ .

Bài 49: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 600. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN theo a.

Bài 50: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên có độ dài bằng a và các mặt bên hợp với mặt đáy góc 450 . Tính thể tích của hình chóp đó theo a.

Bài 51: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = và góc

BAD = 600. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'. Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

Bài 52: Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích

của khối chóp S.ABCD bằng .

Bài 53: Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC =

a, cạnh bên AA = a . M là điểm trên AA sao cho . Tính thể tích của khối tứ diện

MABC.Bài 54: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi

qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

Bài 55: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc . Trên

cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = , mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích

khối chóp S.BCNM.

24

Bài 56: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , mặt phẳng tạo với đáy một góc , khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng . Tính theo thể tích khối lăng trụ

.Bài 57: Cho lăng trụ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a,

vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa và bằng . Tính thể tích lăng trụ .

Bài 58: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SA= a. Gọi E là trung điểm của

AD. Tính thể tích khối chóp S.CDE và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE.

Bài 59: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có và đường

thẳng tạo với mặt phẳng góc . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng theo a.

Bài 60: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a .

Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt

phẳng (ABCD) và SH = a . Tính thể tích khối chóp S. HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a.

Bài 61: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABCD) là trung điểm H của AB, đường trung tuyến AM của ACD có độ dài

, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính diện tích

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.Bài 62: Cho hình lăng trụ tam giác đều có Tìm

biết rằng góc giữa hai đường thẳng và bằng .

Bài 63: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = , BD = 2a cắt nhau tại O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng

(ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng , tính thể tích khối chóp

S.ABCD theo a.Bài 64: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A,

B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ một góc 450. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.

Bài 65: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng .

1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.2) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh

đường thẳng SN vuông góc với mặt phẳng (MEF).Bài 66: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng 4 lần đáy

nhỏ CD, chiều cao của đáy bằng a (a > 0). Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng nhau và bằng 4a. Tính thể tích của khối chóp theo a.

25

Bài 67: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn

. Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH).

Bài 68: Cho hình chóp S.ABC có SA= 3a (với a > 0); SA tạo với đáy (ABC) một góc bằng 600. Tam giác ABC vuông tại B, . G là trọng tâm của tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích của hình chóp S.ABC theo a.

Bài 69: Cho hình lăng trụ có đáy ABC là tam giác cân, AB = BC = 3a, . Các mặt phẳng cùng tạo với mặt phẳng góc . Tính

thể tích khối lăng trụ .Bài 70: Cho tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AD = BC = b, AC = BD = c. Tính thể tích

của tứ diện ABCD.Bài 71: Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng

cách giữa hai đường thẳng AB và A’C bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ.

Bài 72: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên các cạnh AB, AC sao cho . Đặt AM = x, AN = y. Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y. Chứng minh rằng:

Bài 73: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , hai mặt phẳng ( )

và ( ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ). Biết , , khoảng cách từ

điểm đến mặt phẳng ( ) bằng . Tính thể tích khối chóp .

Bài 74: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Biết AB = 2a, AD =a, DC= a (a > 0) và (ABCD). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SBC) với đáy bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SCD) theo a.

Bài 75: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có và đường thẳng

tạo với mặt phẳng góc . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng .

Bài 76: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và . Gọi C’ và D’ lần lượt là hình chiếu của điểm B trên AC và AD. Tính thể tích

tích tứ diện ABC’D’.Bài 77: Cho hình chóp S.ABC có ; và . Tính

thể tích khối chóp S.ABC.Bài 78: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, cạnh

SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với đáy góc . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho

. Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN.

Bài 79: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a

26

Bài 80: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều các điểm A, B, C . Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo một thiết

diện có diện tích bằng . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .

27