tuyen chon cac chuyen de luyen thi dai hoc 2013

ThS. Nguyễn Đức Thắng Mobi: 0969.119.789

TT Gia sư và Luyện thi Thành Đạt – xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội. Di động:01234.189858 - Cơ quan:0466758006

Trang-1

TRUNG TÂM GIA SƯ VÀ LUYỆN THI THÀNH ĐẠT

Địa chỉ: Xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội ĐT:0466.875.006- DĐ: 01234.18.98.58 – 0969.119.789

Email: [email protected] hoặc [email protected] Website : https://sites.google.com/site/giasudaynhom/

Facebook: http://www.facebook.com/thanhdat.edu

TUYỂN CHỌN CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

Thầy giáo: NGUYỄN ĐỨC THẮNG

Hà Nội, 2013

mailto:[email protected]


https://sites.google.com/site/giasudaynhom/

http://www.facebook.com/thanhdat.edu



Trang-2

MỤC LỤC

CẤU TRÚC ĐỀ THI MÔN TOÁN ................................................................................. 3

BẢNG TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN THI ĐẠI HỌC TỪ 2009 ĐẾN 2012 .................. 6

CÂU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ ........................................................................... 7

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.................................................................................13

PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH..................................................................17

TÍCH PHÂN ..................................................................................................................25

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN...........................................................................................30

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ....................................................................38

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN ..................................................................45

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT .....................................56

SỐ PHỨC.......................................................................................................................62

ĐẠI SỐ TỔ HỢP ...........................................................................................................71

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM MIN, MAX...............................................81



Trang-3

CẤU TRÚC ĐỀ THI MÔN TOÁN

A. CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu Nội dung kiến thức Điểm

I

• Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. • Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị của hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);...

3,0

II

• Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. • Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm nguyên hàm, tính tích phân. • Bài toán tổng hợp.

3,0

III

Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

1,0

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2). 1. Theo chương trình Chuẩn:

Câu Nội dung kiến thức Điểm

IV.a

Phương pháp toạ độ trong trong không gian: Xác định toạ độ của điểm, vectơ. Mặt cầu. Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

2,0

V.a

• Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm. • Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

1,0

2. Theo chương trình Nâng cao: Câu Nội dung kiến thức Điểm

IV.b

Phương pháp toạ độ trong trong không gian: Xác định toạ độ của điểm, vectơ. Mặt cầu. Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

2,0



Trang-4


V.b

• Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai với hệ số phức. Dạng lượng giác của số phức.

• Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng 2 + +

=+

ax bx cypx q

và một số yếu tố

liên quan. • Sự tiếp xúc của hai đường cong. • Hệ phương trình mũ và lôgarit. • Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

1,0

B. CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP BỔ TÚC THPT


I

• Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị của hàm số. • Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên, cực trị của hàm số. Tiếp tuyến, tiệm cận của đồ thị hàm số. Dựa vào đồ thị của hàm số, biện luận số nghiệm của phương trình.

3,0

II • Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. • Tìm nguyên hàm, tính tích phân; ứng dụng của tích phân. 2,0

III Phương pháp toạ độ trong trong không gian: Bài toán xác định toạ độ điểm, toạ độ vectơ. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và phương trình mặt cầu.

2,0

IV

• Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. • Số phức: Xác định môđun của số phức. Các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm.

2,0

V Hình học không gian (tổng hợp): Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp và khối tròn xoay. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. 1,0

C. CẤU TRÚC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu Nội dung kiến thức Điểm

I

• Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. • Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);...

2,0

II • Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số. • Công thức lượng giác, phương trình lượng giác. 2,0

III • Tìm giới hạn. • Tìm nguyên hàm, tính tích phân. • Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn

1,0



Trang-5

Câu Nội dung kiến thức Điểm xoay.

IV

Hình học không gian (tổng hợp):Quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

1,0

V Bài toán tổng hợp. 1,0 II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2). 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu Nội dung kiến thức Điểm

VI.a

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian: Xác định toạ độ của điểm, vectơ. Đường tròn, elip, mặt cầu. Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

2,0

VII.a • Số phức. • Tổ hợp, xác suất, thống kê. • Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.

1,0

2. Theo chương trình Nâng cao: Câu Nội dung kiến thức Điểm

VI.b

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian: Xác định toạ độ của điểm, vectơ. Đường tròn, ba đường cônic, mặt cầu. Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

2,0

VII.b

• Số phức.

• Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng 2 + +

=+

ax bx cypx q

và một số yếu tố liên quan. • Sự tiếp xúc của hai đường cong. • Hệ phương trình mũ và lôgarit. • Tổ hợp, xác suất, thống kê. • Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.

1,0



Trang-6

BẢNG TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN THI ĐẠI HỌC TỪ 2009 ĐẾN 2012 Năm Năm 2009 Năm 2010 Năm 2011 Năm 2012 Khối A B D A B D A B D A và A1 B

Câu

Hàm số dạng b1/b1 Hàm bậc 4

Hàm bậc 4

Hàm bậc 3

Hàm số dạng b1/b1

Hàm bậc 4

Hàm số dạng b

Hàm bậc 4

Hàm số dạng b1/b1

Hàm bậc 4

Hàm bậc 3

I.1

Tiếp tuyến

BL số nghiệm PT

Sự tương giao

Sự tương giao

Sự tương giao

Tiếp tuyến

Sự tương giao và tiếp tuyến

Cực trị

Sự tương giao

Cực trị

Cực trị

II.1

PTLG (có điều kiện)

PTLG

PTLG

PTLG

PTLG

PTLG

PTLG

PTLG

PTLG (có điều kiện)

PTLG

PTLG

II.2

PT chứa căn

Hệ phương trình


BPT chứa căn

PT chứa căn

PT mũ


PT chứa căn

PT lôgarit


BPT chứa căn

III

Tích phân lượng giác (Đổi biến)

Tích phân chứa lnx (Đổi biến)

Tích phân chứa mũ (Đổi biến)

Tích phân chứa mũ (Đổi biến)


Tích phân chứa lnx (Đổi biến)


Tích phân lượng giác (Từng phần)

Tích phân chứa căn (Đổi biến)

Tích phân chứa lnx (Từng phần)

Tích phân hàm phân thức (Đổi biến)

IV

Hình chóp Tính V

L.trụ xiên Tính V

L.trụ đứng Tính V

Hình chóp Tính V


Hình chóp Tính V

Hình chóp Tính V


Hình chóp Tính V

Hình chóp Tính V, k/c giữa 2 đt chéo nhau

Hình chóp C/m đt vuông góc mp. Tính V

V

BĐT

BĐT

MIN, MAX


BĐT

GTNN

GTNN

GTNN


GTNN

GTLN

VIa

(Oxy): Đường thẳng (Oxyz): Mặt cầu

(Oxy): Đường tròn (Oxyz): Mặt phẳng



(Oxy): Phân giác (Oxyz): Mặt phẳng



(Oxy): Đường thẳng (Oxyz): Mặt phẳng

(Oxy): Phân giác (Oxyz): Đường thẳng


(Oxy): Đường tròn (Oxyz): Mặt cầu

VIIa

Tìm số phức Z

Tìm số phức Z

Tìm tập hợp biểu diễn số phức Z

Tìm số phức Z


Tìm số phức Z


Tìm số phức Z

Tìm số phức Z

Tìm số hạng chứa

xk Xác suất VIb

(Oxy): Đường tròn (Oxyz): Đường thẳng

(Oxy): Đường thẳng (Oxyz): Đường thẳng



(Oxy): Elip (Oxyz): Khoảng cách

(Oxy): Đường thẳng (Oxyz): Khoảng cách

(Oxy): Elip (Oxyz): Mặt cầu


(Oxy): Đường tròn (Oxyz): Mặt cầu


(Oxy): Elip (Oxyz): Mặt phẳng

VIIb

HPT mũ, lôgarit

Sự tương giao hàm b2/b1

Sự tương giao hàm b2/b1

Tìm số phức Z

HPT mũ, lôgarit

HPT lôgarit

Tìm môđun số

Tìm số phức Z

GTLN, GTNN hàm y = b2/b1

Tìm môđun số phứ

Dạng lượng giác của csốZphức Z



Trang-7

CÂU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN THI ĐẠI HỌC

Bài 1: Cho hàm số 2x 1y (C)x 1

−=

−. Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, M là

một điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tại A, B. CMR diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C).


−=

+. Tìm M thuộc (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với

đường thẳng đi qua M và giao điểm của hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng -9. Bài 3: Cho hàm số 3 2

my x 3x mx 1 (C )= + + + . Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y 1= tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

Bài 4: Tìm m để hàm số 3 2y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1 = − + + + + đồng biến trên (2; )+∞

Bài 5: Cho hàm số 2x 1yx 1

−=

+ (C).Tìm M (C)∈ sao cho khoảng cách từ I(-1;2) tới

tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.

Bài 6: Cho hàm số x 4y (C)1 x

+=

−. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1;1) và có hệ số

góc k. Tìm k sao cho (d) cắt (C) tại 2 điểm M, N và MN 3 10=


−=

−. Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận.


−=

−. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của

(C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A, B. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp IAB∆ có diện tích nhỏ nhất.


−=

+. Tìm trên (C) hai điểm đối xứng với nhau qua

đường thẳng MN. Biết M(-3;0) N(-1;-1). Bài 10: Cho hàm số 3 2 3

my x 3mx 4m (C )= − + . Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y=x.


+=

+. CMR đường thẳng d : y x m= − + luôn cắt (C)

tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để độ dài đoạn AB là ngắn nhất.

Bài 12: Cho hàm số xy (C)x 1

=−

. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng

khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Bài 13: Cho hàm số 3 2 2 3

my x 3mx 3(m 1)x m +m (C )= − + − − . Tìm m để (Cm) có

cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị tới gốc tọa độ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ



Trang-8

Bài 14: Cho hàm số 3 2my x (1 2m)x (2 m)x m 2 (C )= + − + − + + . Tìm m để đồ thị (Cm)

có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x y 7 0+ + = góc α , biết 1cos26

α =


+=

+. Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách

đến 2 đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất.


+=

−. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến

tại M cắt hai đường tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 17: Cho hàm số 3y x 3x (C)= − . CMR khi m thay đổi đường thẳng d : y m(x 1) 2= + + luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tại N và P vuông góc với nhau.


−=

−. Tìm m để đường thẳng d : y x m= + cắt (C) tại

hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB∆ vuông tại O (O là gốc tọa độ) Bài 19: Cho hàm số 3 2

my x 3x m (C )= + + . Tìm m để m(C ) có hai điểm cực trị A, B sao cho góc AOB bằng 1200 (với O là gốc tọa độ).

Bài 20: Cho hàm số 4 2my x (2m 1)x 2m (C )= − + + . Tìm m để m(C ) cắt trục Ox tại 4

điểm phân biệt cách đều nhau. Bài 21: Cho hàm số 3 2y x 3x 2 (C)= − + − . Tìm trên đường thẳng d: y=2 các điểm mà

từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị (C).

Bài 22: Cho hàm số x 1y (C)x 1

+=

−. Tìm trên trục tung tất cả các điểm mà từ điểm

đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thị (C).

Bài 23: Cho hàm số 3 2 21 1y x mx (m 3)x3 2

= − + − . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm

số có cực đại tại CDx , cực tiểu tại CTx đồng thời CDx , CTx là độ dài các cạnh của một tam

giác vuông có cạnh huyền bằng 5 / 2 Bài 24: Cho hàm số 4 2 2

my x 2(m 2)x m 5m 5 (C )= + − + − + . Tìm m để m(C ) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân.

Bài 25: Cho hàm số 3 2my x (1 2m)x (2 m)x m 2 (C )= + − + − + + . Tìm m để m(C ) có

điểm cực đại, cực tiểu , đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Bài 26: Cho h/s 3 2

my x 3m x 2m (C )= − + .Tìm m để m(C ) cắt trục hoành tại đúng 2 điểm pb



Trang-9

Bài 27: Cho hàm số 3 2y x 3x +4 (C)= − . Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;4) và có hệ số góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C ) tại M và N vuông góc với nhau

Bài 28: Cho hàm số 4 2 2my x 2mx m m (C )= + + + . Tìm m để m(C ) có 3 điểm cực trị

lập thành một tam giác có một góc bằng 0120

Bài 29: Cho hàm số x 2y (C)2x 3

+=

+. Viết pt tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó

cắt trục hoành, trục tung tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc tọa độ)

Bài 30: Cho hàm số 2x 3yx 1

+=

+ (C). Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm sao

cho khoảng cách giứa chúng là nhỏ nhất. Bài 31. Cho hàm số ( )3

my x 3mx 2 C= − + . Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực

đại, cực tiểu của ∠ cắt đường tròn tâm ( )I 1;1 , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B

sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

Bài 32. Cho hàm số 3x 1yx 1

−=

− (C). Tìm hai điểm B,C thuộc 2 nhánh khác nhau của

(C) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A(2;1) Bài 33.Cho hàm số 4 2 2y x 2(1 m )x m 1= − − + + . Tìm m để hàm số có đại cực, cực

tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất


−=

−. Giả sử I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C).

Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. Bài 35. Cho hàm số y = x4 – 4x2 + 3. Tìm m để phương trình 4 2

2x 4x 3 log m− + =

có đúng 4 nghiệm.

Bài 36. Cho hàm số x 2yx 3

+=

−. Tìm các điểm trên đồ thị (C) cách đều hai đường

tiệm cận của (C). Bài 37. Cho hàm số 3 2 2y 2x 9mx 12m x 1= + + + (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị

của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: 2CTCÑx x= .


−=

−. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M

thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI Bài 39. Cho hàm số 4 2y f (x) 8x 9x 1= = − + . Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m

số nghiệm của phương trình 4 28cos x 9cos x m 0− + = với x [0; ]∈ π . Bài 40. Cho hàm số 4 2y x 2x 2= − + có đồ thị là (C). Tìm toạ độ hai điểm A và B

thuộc (C) sao cho đường thẳng AB song song với trục hoành và khoảng cách từ điểm cực đại của (C) tới AB bằng 8.



Trang-10

Bài 41. Cho hàm số 3 2y x 3x 2= − + (C). Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của ( )C tiếp xúc với đường tròn có phương trình ( ) ( )2 2x m y m 1 5− + − − =

Bài 42. Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (C). Tìm điểm M thuộc đường thẳng y =3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.

Bài 43. Cho hàm số 2x 4y x 1

−=

+(C). Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau

qua đường thẳng (d) x + 2y +3 = 0

Bài 44. Cho hàm số x 2y2x 1

+=

− (C). Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai

điểm A(2 , 0) và B(0 , 2) Bài 45. Cho hàm số 3 2y x 3(m 1)x 9x m= − + + − , với m là tham số thực. Xác định m

để hàm số đã cho đạt cực trị tại 1 2x , x sao cho 1 2x x 2− ≤ . Bài 46. Cho hàm số 3 2y = x - 3x + 4 (C) . Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4)

và có hệ số góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau

Bài 47. Cho hàm số y = 2x 3x 2

−−

có đồ thị là (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho

tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất.

Bài 48. Cho hàm số 2 11

xyx

−=

− (C). Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại

hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB∆ vuông tại O

Bài 49. Cho hàm số y = - 3x

3 + x2 + 3x - 11

3 đồ thị (C). Tìm trên đồ thị (C) hai điểm

phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung. Bài 50. Cho hàm số: 4 2y x 4x m= − + (C). Giả sử đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4

điểm phân biệt. Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau

Bài 51. Cho hàm số 112

−+

=xxy có đồ thị (C). Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C)

tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B . Gọi I là giao hai tiệm cận , tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 52. Cho hàm số 212

++

=xxy có đồ thị là (C). Chứng minh đường thẳng d: y = -x

+ m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Bài 53. Cho hàm số y = x3 – 3(m+1)x2 + 9x – m (1), m là tham số thực. Xác định các giá trị m để hàm số (1) nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 2.

Bài 54. Cho hàm số 3 2y x 2mx (m 3)x 4= + + + + có đồ thị là (Cm). Cho (d) là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng.

Bài 55. Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham số) (1). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1



Trang-11

Bài 56. Cho hàm số y = 13

x3 – mx2 +(m2 – 1)x + 1 ( có đồ thị (Cm). Tìm m, để hàm

số (Cm) có cực đại, cực tiểu và yCĐ+ yCT > 2 Bài 57. Cho hàm số 4 2y x 2mx m 1= − + − (1) , với m là tham số thực. Xác định m

để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Bài 58. Cho hàm số: 4 2y x (2m 1)x 2m= − + + (m là tham biến). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt cách đều nhau


−=

−(C) . Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến

tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Bài 60. Cho hàm số 3 2 3y x 3mx 4m= − + (1) với m là tham số. Cho đường thẳng ∆

có phương trình: y = x. Tìm các giá trị m > 0 để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến ∆ gấp đôi khoảng cách từ điểm cực đại đến ∆ .

Bài 61. Cho hàm số xy (H)x 1

=−

. Xác định m để đường thẳng: y = -x + m cắt (H) tại

2 điểm phân biệt


−=

− , (1) và điểm A(0;3) .Tìm các giá trị của m để đường

thẳng : y x m∆ = − + cắt đồ thị (C) tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng Bài 63. Cho hàm số 3 2y x 6x 9x 2= − + − (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ

thị (C) tại điểm M thuộc (C), biết M cùng với hai điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6


−=

+ (C). Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ

thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5 Bài 65. Cho hàm số 3 2 2 3y x 3mx 3(m 1)x m m= − + − − + (C). Tìm m để hàm số (C)

có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O.

Bài 66. Cho hàm số y = x3 + (1-2m)x2 + (2-m)x + m + 2 (1) m tham số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và hoành độ cực tiểu bé hơn 1.

Bài 67. Cho hàm số mxmxxy ++−= 223 3 . Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và

cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 5( ):2 2

d y x= −

Bài 68. Cho hàm số )1()232()1(3 223 −−+−+−−= mmxmmxmxy . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng

1 54

y x= − + một góc 450.

Bài 69. Cho hàm số 13)1(33 2223 −−−++−= mxmxxy . Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều gốc toạ độ O.

Bài 70. Cho hàm số 11292 223 +++= xmmxxy . Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại CDx và cực tiểu CTx đồng thời 2

CD CTx x=



Trang-12

Bài 71. Cho hàm số ( ) ( )4 2 22 2 5 5y f x x m x m m= = + − + − + . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân.

Bài 6. Cho hàm số 424 22 mmmxxy ++−= . Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.

Bài 72. Cho hàm số y = x3 − 6x2 + 9x − 1 (C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.

Bài 73. Cho hàm số )5(2)75()21(2 23 ++−+−+= mxmxmxy . Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.

Bài 74. Cho hàm số y = 3 22 (1 )y x x m x m= − + − + (1), m là tham số thực. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3; ;x x x thoả mãn điều kiện 2 2 2

1 2 3 4x x x+ + < Bài 75. Cho hàm số )1()1(33 2223 −−−+−= mxmmxxy . Tìm m để hàm số cắt trục

Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. Bài 76. Tìm m để đồ thị hàm số mmxmmmxxy −+−+−= 223 9)4(23 cắt trục Ox tại

3 điểm tạo thành 1 cấp số cộng. Bài 77. Tìm m để hàm số 8)45()13( 23 −+++−= xmxmxy cắt trục Ox tại 3 điểm

lập thành cấp số nhân. Bài 88. Tìm m để hàm số 12)1(2 24 +++−= mxmxy cắt Ox tại 4 điểm tạo thành cấp

số cộng. Bài 79. Cho hàm số: = + + + +3 22 ( 3) 4y x mx m x (Cm). Xác định m để đường thẳng

( ) : 4d y x= + cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B và C sao cho tam giác BCM có diện tích bằng 8 2 , với M(1;3)?

Bài 80. Cho hàm số: y = 2 11

xx

−+

(C). Gọi d là đường thẳng đi qua I(2; 0) và có hệ số

góc m. Xác định m để d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho I là trung điểm của đoạn AB. Đáp số: m = 2/3

Bài81. Cho hàm số )(112 H

xxy−+

= . Viết phương trình đường thẳng cắt (H) tại B, C

sao cho B, C cùng với điểm )5;2(−A tạo thành tam giác đều. Bài 82. Cho hàm số 13 23 +++= mxxxy (Cm). Tìm m để đường thẳng y=1 cắt (Cm)

tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E và các tiếp tuyến tại D và E của (Cm) vuông góc với nhau.

Bài 83. Cho hàm số xxy 33 −= (C) và đường thẳng y = m(x+1)+2 (d). Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (C) tại một điểm cố định A. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại 3 điểm A, M, N mà tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau.

Bài 84. Cho hàm số )(112 H

xxy−−

= . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của

(H). Tìm điểm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại M vuông góc với đường thẳng IM.



Trang-13

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC

2

3

1/ cos3x cos2x cos x 1 0

2 / 2 2 sin x cos x 112

3 / (1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x1 14 / sin 2x sin x 2cot 2x

sin 2x 2sin x5 / sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0

x6 / tan x cos x cos x sin x 1 tan x tan2

7 / 2 2cos x 3cos x sin4

+ − − =

π − =

− + = +

+ − − =

+ + − − =

+ − = +

π − − −

( )

3 3

2 2

2

x 0

2 cos x sin x18 /tan x cot 2x cot x 1

19 / cos x cos 2xcos3x sin x sin 2x sin 3x2

10 / sin x cos x cos2x tan x tan x4 4

11/ tan x tan 2x sin 3x cos 2xx 712 / sin x cos 4x sin 2x 4sin

4 2 2x x13 / sin sin x cos sin x2 2

=

−=

+ −

+ =

π π − = + −

+ = −

π − = − −

−

( )

2

22 3 3 2

x1 2cos4 2

14 / 2sin x cot x 2sin 2x 1sin 3x15 / sin x cos3x sin x sin 3x cos x sin x sin 3x3sin 4x

π + = −

+ = +

+ + =

2

2 2

16 / 1 s inx cos x sin 2x cos2x 0cos x(cos x 1)17 / 2(1 s inx)

s inx cos x18 / 3cot x 2 2 sin x (2 3 2)cos x19 / 2sin 2x cos2x 7sin x 2cos x 4

+ + + + =

−= +

++ = +− = + +

20/ cotx + sinx x1 tan x. tan 42

+ =

21/ ( )6 62 cos x sin x sin x.cos x

02 2sin x

+ −=

−

22/ ( ) ( )2 21 sin x cos x 1 cos x sin x 1 sin 2x+ + + = +

23/ 4 4sin x cos x 1 1cot g2x5sin 2x 2 8sin 2x

+= −



Trang-14

24/ ( )3 tan x tan x 2sin x 6cos x 0− + + =

25/ ( ) 2 x2 3 cos x 2sin

2 4 12cos x 1

π − − − =

−

26/ ( ) ( )2cos x cos x 1

2 1 sin xsin x cos x

−= +

+

27/ ( ) ( )3sin x cos x 2 sin 2x 1 sin x cos x 2 0+ − + + + − =

28/ 1tg2x tgx cos x sin 3x3

− =

29/ 12cos 2x 8cos x 7cos x

− + =

30/ 32sin x cos 2x cos x 0+ − = 31/ tg2x + cotgx = 8cos2x

32/ 6 6

2 2

sin x cos x 13 tg2xcos x sin x 8

+=

−

33/ ( )2 cos x sin x1tgx cot g2x cot gx 1

−=

+ −

34/ 24x xcos cos3 3

=

35/ sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)

36/ ( ) ( )cos x cos x 2sin x 3sin x sin x 2

1sin 2x 1

+ + +=

−

37/ cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 2 38/ sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x

39/ 2tgx + cotg2x = 2sin2x + 1sin 2x

40/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x

41/ 4 4

4sin 2x cos 2x cos 4xtg x tg x

4 4

+=

π π − +

42/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 43/ 3(cotgx - cosx) - 5(tgx - sinx) = 2 44/ 3cosx + cos2x - cos3x + 1 = 2sinxsin2x

45/ sin 3x sin x sin 2x cos 2x1 cos 2x

−= +

− với x ∈ (0; π)

46/ ( )cos 2x cos 2x 4sin x 2 2 1 sin x4 4π π − + + + = + −

47/ sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx



Trang-15

48/ 3 3sin x.sin 3x cos x cos3x 1

8tan x tan x6 3

+= −

π π − +

49/ 2 2x x x1 sin sin x cos sin x 2cos2 2 4 2

π + − = −

50/ 217 xsin(2x ) 16 2 3.s inx cos x 20sin ( )2 2 12π π

+ + = + +

51/ 2 21 8 12cos x cos ( x) sin 2x 3cos(x ) sin x3 3 2 3

π+ π + = + + + +

52/ 12 tan x cot 2x 2sin 2xsin 2x

+ = +

53/ cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0 54/ 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0

55/ sin 2x cos2x t anx cot xcos x s inx

+ = −

56/ 2

3 4 2sin 2x 2 3 2(cotg x 1)cos x sin 2x

++ − = + .

57/ 2 22sin x 2sin x t anx4π − = −

.

59/ 217 xsin(2x ) 16 2 3.s inx cos x 20sin ( )2 2 12π π

+ + = + +

60/ 2cos6x+2cos4x- 3cos2x = sin2x+ 3

61/ 32 2 cos 2x sin 2x cos x 4sin x 04 4π π + + − + =

62/ 1 1sin 2x sin x 2cot 2x2sin x sin 2x

+ − − =

63/ 2 2x 34sin 3 sin 2x 1 2cos x2 2 4

π π π − − − = + −

64/ cos 2x 5 2(2 cos x)(sin x cos x)+ = − −

65/ 3sin 2x 2sin x 2sin 2x.cos x

−=

66/ sin x.tan 2x 3(sin x 3 tan 2x) 3 3+ − = 67/ 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

68/ ( ) ( )2cos x. cos x 1

2 1 sin xsin x cos x

−= +

+

69/ 3 3sin x.sin 3x cos x cos3x 1

8tan x tan x6 3

+= −

π π − +

70/ sin 3x sin 2x sin x4 4π π − = +



Trang-16

71/ (sin 2x sin x 4) cos x 2 02sin x 3− + −

=+

72/ ( )2 21 8 21 12cos x cos x 3 sin 2(x ) 3cos x s in x3 3 2 3

π + + π = + − π + + +

73/ tan x tan x .sin 3x sin x sin 2x6 3π π − + = +

74/ 1 1sin 2x sin x 2cot 2x2sin x sin 2x

+ − − =

75/ 2 sin x

4 (1 sin 2x) 1 tan xcos x

π − + = +

76/ 2 2 3 3tan x tan x.sin x cos x 1 0− + − =

77/ 6 6

2 2

sin x cos x 1 tan 2xcos x sin x 4

+=

−

78/ 21sin x sin 2x 1 cos x cos x2

+ = + +

79/ 1 2(cos x sin x)tan x cot 2x cot x 1

−=

+ −

80/ x 3xcos cos x cos sin 2x 02 6 3 2 2 6

π π π π − + − + − + − =

81/ 22 3 cos 2x sin 2x 4cos 3x− + =

82/ 2 sin 2x 3sin x cos x 24π + = + +

83/ ( )cos3x sin 2x 3 sin 3x cos 2x+ = +

84/ 2 3

22

cos x cos x 1cos 2x tan xcos x+ −

− =

85/ 55cos 2x 4sin x 93 6π π + = − −

86/ sin x cos x 2 tan 2x cos 2x 0sin x cos x

++ + =

−

87/ 2 22sin x 2sin x tan x4π − = −



Trang-17

PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI ĐẠI HỌC

1. 2 2

2 2

3( )

369

x xy xy y x y

x y

− + − = −

− =

2. ( )22 21 5 2 4x x x+ = − +

3. ( )3 3

2 2

3 4

9

x y xy

x y

− =

=.

4. 2

3

3

1 4 2 1 log 1log 3

(1 log )(1 2 ) 2

xx

yx

y

y

−+ − =

− + =

5. 2 22 2 2

1 2.

x xy y y x

y x y x

+ + = +

− + + =

6. 2

3

3

1 4 2 1 log 1log 3

(1 log )(1 2 ) 2

xx

yx

y

y

−+ − =

− + =

7. 2 23 3

(log log )(2 )3

x y y x xyx y x y xy

− = − + + = + −

8. 3 3log log

3 3

2 27log log 1

y xx yy x

+ =

− =

9. 2 2

21 12 ( , )

1 2

x y y xx y

xyx yx y

− + − = ∈ − + =

+

10. 2 22

2 1 2 2

xy x y x y

x y y x x y

+ + = −

+ − = −

11. ( )

( )( )

2 2 4 7

4 4 12

x y x y

xy x y

+ − + = −

− − =

12. 3 2 1

0

x y x y

x y x y

+ − + = −

+ + − =



Trang-18

13. ( )( )

1 1 3

1 1 5

x y

x y x y

− + − =

+ − − − =

14. 3 2 1

0

x y x y

x y x y

+ − + = −

+ + − =

15. 2

1 12 12 3 5 xx x

>−+ −

16.

3

3

32 1( , )

1 2 3

xy

x yx

y

+ =

∈ − =

17. 2 5 3 2 17

3 2 2 5 17

x y

x y

+ + − =

− + + =

18. 2 2 1 12 9

x xx

< + −+

19. 1 2 3 2 1 4 1 5 2x x x x− + − + + + + =

20. 2 ( 3 5 4 3) 15 5 2 92 9 3

x x x xx− + −

+ < ++ +

21. 2 32( 3 1) 7 1 0x x x− − − + =

22. ( )( )32 2 4 4 2 2 3 1x x x x− − + − = −

23. 6 3 2 29 30 28

2 3

x y x y y

x x y

− + − − =

+ + =

24. 3

2 4 3

1 1 2

9 (9 )

x y

x y y x y y

+ + − =

− + = + −

25. ( ) ( )3 32 21 1 1 1 2 1x x x x + − + − − = + −

26. 2

2

(1 ) ( 2 ) 5(1 )( 2 2) 2

y x x y xy x y x

+ + − =

+ − − =

27. 2 2

2

5 0( , )

2 5 1 0x y xy x y

x yxy y y

+ + − = ∈+ − + =

28. 2 2 2

3 3

3 3 27 9( , )

log ( 1) log ( 1) 1

x y x y x y

x yx y

+ + + + + = +∈

+ + + =



Trang-19

29. ( )2

3

3 4 3

2 2 3

y y x y

x y

+ − − = −

− + − =

30. 3

2

x y x y

x y x y

− = −

+ = + +

31. 3 2 1

0

x y x y

x y x y

+ − + = −

+ + − =

32. 22 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + −

33.

2

2

2

2

23

23

yyx

xxy

+=

+ =

34. 22 1 3 1 0x x x− + − + =

35. 2 25 1 54 12.2 8 0x x x x− − − − −− + =

36. 3 7 1x x+ = +

37. ( )3 3

2 2

7

2

x y x y

x y x y

− = −

+ = + +

38. ( )

2 2

2 2 3x x y yx y x y

+ = +

+ = +

39. ( ) ( )2

2

2 3 18

5 9 0

x x x y

x x y

+ + =

+ + − =

40. 52 2 1 2 2 12

xx x x x ++ + + + + − + =

41. 2 24 3 2 3 1 1x x x x x− + − − + ≥ −

42. 2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1x x x x x x− + + + + ++ = +

43. ( )

( )2 22 2

11 5

11 49

x yxy

x yx y

+ + =

+ + =

44. 4 4 4 42 2 2

2log 2 log 2 log log log2x xxx x x

x+ + + =



Trang-20

45. ( ) ( ) ( )2 22 22 5 4 6 2 0

12 32

x y x y x y

x yx y

+ − − + − =

+ + = −

46. ( )2 2

113 28

x y xyx y x y

+ + = + + + =

47. 3 1 2 3

2

2 2 3.2

3 1 1

x y y x

x xy x

+ − + + =

+ + = +

48. 2

12 2

2log 3 15

3 log 3 2log

y

y y

xx x+

− =

= +

49. 2 2 23 2 4 3 2 5 4x x x x x x− + + − + ≥ − +

50. 2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1x x x x x x− + + + + ++ = +

51. ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 24 4 4

24 4 4

log log 2 1 log 3

log 1 log 4 2 2 4 log 1

x y x x y

xxy y y xy

+ − + = +

+ − + − + = −

52. 2 2 5 1 2x x x− + + − =

53. ( )

( ) ( )

( )( )

22 22

22

2 2 11 3 2 1 03 23 2

2 3 2 1 1 03 2

yy

x xx x

yx x

−+ − − = ++

+ − + = +

54. 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +

55. ( ) 2 23 10 12x x x x+ − = − −

56. 2 22 3 5 4 6x x x x x− − + ≤ − −

57. 2 2 2 2

2 2

1 21

x y x y xyx x y xy y xy

+ + = +

+ + = + +

58.

2 22

34 4( ) 7( )

12 3

xy x yx y

xx y

+ + + = + + = +

59. 2

2

x +1+ y(x + y) = 4y(x +1)(x + y - 2) = y

60. 3 3 3

2 2

8 27 18 (1)4 6 (2)x y yx y x y

+ =

+ =



Trang-21

61.

=+++

=−+

411

322

22

yx

xyyx

62. 35 52log (3 1) 1 log (2 1)x x− + = +

63. 2 ( 2) 1 2x x x x− + − = −

64. 2 2

2 2

91 2 (1)

91 2 (2)

x y y

y x x

+ = − +

+ = − +

65.

=−++

=+−+−

02220964

22

224

yxyxyyxx

66. 24 4 16 32

x x x x+ + −≤ + − −

67. 2 2

2 2

2 3 5

2 3 2

x x y y

x x y y

+ + + + + =

+ − + + − =

68. 85

x x y x y yx y

− = +

− =

69. 2 2

2 2

( )( ) 13( )( ) 25x y x yx y x y

− + =

+ − =

70. 8

2

x y x y

y x y

+ + − =

− =

71. 3 2 2 36x 9x 4 0

2

x y y y

x y x y

− + − =

− + + =

72. 4 2 21 1 2x x x x− − + + + =

73.

1 2

2

(1 4 ).5 1 3( , )13 1 2

x y x y x y

x yx y y y

x

− − + − + + = + ∈

− − = −

74. 2 2 3(3 1) 2 1 5 32

x x x x+ − = + −

75. 2 22( 1) 3 1 2 2 5 2 8 5x x x x x x− + + = + + − −

76. ( )32 7log 1 logx x+ =

77. 2

3 2 2

5x 93x 2x 6x 18x y

x y y

+ + =

+ + + =



Trang-22

78. 2 0

1 4 1 2

x y xy

x y

− − =

− + − =

79. 2010

3 32 2

2log 2y x yx

x y x yxy

= −

+ = +

80. 32 3 2 3 6 5 8 0x x− + − − =

81. 2 2

2 2

3 2 11

4 22

yx y x

xx yy

+ = + − + + =

82. 3 2 2 3

2 2

(1 ) (2 ) 30 0(1 ) 11 0

x y y x y y xyx y x y y y

+ + + + − =

+ + + + − =

83. ( )2 2 23 3 32log – 4 3 log ( 2) log ( – 2) 4x x x+ + − =

84. ( ) ( )2 3

4 82log 1 2 log 4 log 4x x x+ + = − + +

85. ( ) ( )33 2 21 2 1x x x x+ − = −

86. 2 21 2 1 2 1 0x x x x− − − − + =

87. 6 4 2 264 112 56 7 2 1x x x x− + − = −

88. 2

35121

xxx

+ =−

89. ( ) ( ) ( ) 13 1 4 3 33

xx x xx

+− + + − = −

−

90. ( )33 2 21 2 2x x x x+ − = −

91. 22 2 30 2007. 30 4 2007 30. 2007x x x− − + =

92. 2

12 82 4 2 29 16

xx xx

−+ − − >

+

93. 33 31 1 2x x x− + + = 94. 3 3 1 2 1x x x+ + = + 95. 4 5 3 1 2 7 3x x x x+ + + = + + +

96. ( )2 23 1 3 1x x x x+ + = + +

97. 4 3 10 3 2x x− − = −



Trang-23

98. ( ) ( ) ( )( )2 2 5 2 10x x x x x− − = + − −

99. 23 4 1 2 3x x x+ = − + −

100. 2 33 1 3 2 3 2x x x− + − = − 101. 2 32 11 21 3 4 4 0x x x− + − − =

102. 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − +

103. 2 22 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = +

104. 2

2 3 3 223 1

x xx xx+ +

+ + =+

105. 12 2 1 3 9x x x+ − = +

106. 3 244 1 1x x x x+ + = + + 107. 24 3 3 4 3 2 2 1x x x x x+ + = + + −

108. 3 2 41 1 1 1x x x x x− + + + + = + −

109. ( ) ( ) ( )2 24 2 4 16 2 4 16 2 9 16x x x x+ + − + − = +

110. 2(2004 )(1 1 )x x x= + − −

111. ( 3 2)( 9 18) 168x x x x x+ + + + =

112. 2 4 233 1 13

x x x x− + = − + +

113. ( ) ( )2 2233 32 1 3 1 1 0x x x+ + − + − =

114. 22008 4 3 2007 4 3x x x− + = −

115. ( ) ( )2 23 2 1 1 1 3 8 2 1x x x x+ − = + + +

116. 2 12 1 36x x x+ + + =

117. ( ) 3 34 1 1 2 2 1x x x x− + = + +

118. 1 1 12 1 3xx xx x x−

+ = − + −

119. 2 25 14 9 20 5 1x x x x x− + − − − = + 120. 33 6 1 8 4 1x x x+ = − −

121. ( ) ( )215 30 4 2004 30060 1 12

x x x− = + +

122. 24 9 7 728x x x+

= +



Trang-24

123. 2 24 4 10 8 6 10x x x x− − = − −

124. 3 x x x x− = +

125. 4 3316 5 6 4x x x+ = + 126. 3` 2 43 8 40 8 4 4 0x x x x− − + − + =

127. 3 3 4 28 64 8 28x x x x+ + − = − +

129. 1 2 1 21 2 1 21 2 1 2

x xx xx x

− +− + + = +

+ −

130. 4 4 41 1 2 8x x x x+ − + − − = +

132. 33 6 1 8 4 1x x x+ = − −

133. ( ) ( )215 30 4 2004 30060 1 12

x x x− = + +

134. 3 23 3 5 8 36 53 25x x x− = − + − 135. 24 13 5 3 1 0x x x− + + + =



Trang-25

TÍCH PHÂN ÔN THI ĐAI HỌC

1. 2

1

ln 3 ln1 ln

e xI x x dxx x

= + + ∫

2. 3

3 54

4sin .cos

dxx x

π

π∫

3. 4

2 20

1 1cos tan 4

I x dxx x

π

= + − ∫

4. 1 2

20 3 2

x dxIx x

=+ −

∫

5. 3

4

sin4I

1 sin2

x dx

x

π

π

π − =

+∫

6. 2

0

sin cos3 sin 2

x xIx

π

+=

+∫

7. 32

4 20

4sin .cos sin 2sin 2sin 3

x x xI dxx x

π

+=

− −∫

8. ln 2

2

0

.ln( 1) .x xI e e dx= +∫

9. 4

0

cos 2 .xI e x dx

π

−= ∫

10. 2

0

sin5 3cos 2

xI dxx

π

=+∫

11. 8

0

cos 2sin 2 cos 2

xI dxx x

π

=+∫

12. 3

1

33 1 3

xI dxx x−

−=

+ + +∫

13. ( )

1

0 4 8dx

x x+ +∫



Trang-26

14. 42

3

cotcos 2

xI dxx

π

π

= ∫

15. ( )22 2

23

ln 1x xI dx

x

+ += ∫

16. 2

4

0

cos8

sin 2 cos 2 2

xdx

x x

π π +

+ +∫

17. 3

6

cot

sin .sin4

x dxx x

π

π π +

∫

18. 1 2

2

20

( )4

x xI x e dxx

= −−

∫

19. 3

20

cos cos sin( )1 cosx x xI x dx

x

π + +=

+∫

20. ( )4

2 3

4

os 1 x

dxIc x e

π

π−

−

=+∫

21. ln 3 2

ln 2 1 2

x

x x

e dxIe e

=− + −∫

22. ( )∫ +2

0

cos 2sin.sinπ

xdxxe x

23. 5 2

1

13 1

xI dxx x

+=

+∫

24. dx. .cos.sin. 32

0

sin2

xxe x∫π

25. ∫

+

+=

e

dxxxxx

xI

1

2 ln3ln1

ln

26. 1

2 ln xdxe

I xx

= + ∫

27. 4

2 40

sin 4Icos . tan 1

x dxx x

π

=+∫



Trang-27

28. 2

0

1 sinx1+cosx

xe dx

π

+ ∫

29. 1

3 2ln1 2ln

e xI dxx x

−=

+∫

30. 3

1

( 4)3. 1 3

x dxx x−

++ + +∫

31. 4

0

sin4

sin 2 2(sin cos ) 2

x dx

x x x

π π −

+ + +∫

32. 2 1

12

1( 1 )x

xx e dxx

++ −∫

33. ( )

4

20

1

1 1 2

x dxx

+

+ +∫

34. 3ln 2

230 ( 2)x

dxIe

=+

∫

35. 2

2 20

sin3sin 4

x dxx cos x

π

+∫

36. 6

2 2 1 4 1dx

x x+ + +∫

37. ( )( )

1

30

ln 12

xdx

x+

+∫

38. 2

4 4 6 6

0

(sin cos )(sin cos )I x x x x dx

π

= + +∫

39. 2 2

6

1sin sin

2x x dx

π

π⋅ +∫

40. ( )1

0

1 2 ln 11

xI x x dxx

− = − + + ∫

41. 2

30

sinI(sin cos )

xdxx x

π

=+∫



Trang-28

42. ( )2

cos

0

sin .sin 2xI e x xdxπ

= +∫

43. 4 3

41

1( 1)

dxx x +∫

44. 2

ln .ln ex

e

e

dxx x∫

45. 1

2 3

0

( sin )1

xx x dxx

++∫

46. 3 2

0

2 11

x xI dxx+ −

=+∫

47. 3

2

3

sin .cosx xI dx

x

π

π−

= ∫

48. 2

0

os4

4 3sin 2

c xI dx

x

π π − =

−∫

49. /2 2

/6

sinsin 3

xI dxx

π

π

= ∫

50. ( )

9

4105

dx2 3

x

x−∫

51. 2

dx1

xx x+ −∫

52. 3 7

8 42 1 2

x dxx x+ −∫

53. 3

1

33 1 3

x dxx x−

−+ + +∫

54. 3

2dx

1x

x x− −∫

55. 1

211 1

dxx x− + + +∫

56. /6

2 20 sin 3sin cos 2cos

dxx x x x

π

− +∫



Trang-29

57. /2

3 56

0

1 cos sin cosn

x x x dx+∫

58. /4

30

cos 2(sin cos 2)

xdxx x

π

+ +∫

59. 2

2 2 31 (1 )

dxx x+

∫

60. 4cos sindxx x∫



Trang-30

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ÔN THI ĐẠI HỌC

1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a 2= . Gọi I là

trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn IA 2IH= −

uur uur. Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 060 . Hãy tính thể tích khối

chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH). 2. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A 'B'C ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt

phẳng (A’BC) bằng a2

. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C ' .

3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C cạnh huyền bằng 3a .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ( )SG ABC⊥ , a 14SB2

= . Tính thể tích khối chóp

S.ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( )SAC .

4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a , gọi M là trung điểm của cạnh B’C’, N là điểm thuộc cạnh BB’ sao cho BN=3NB’.Tính thể tích tứ diện ANMD’

5. ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A ta lấy điểm M khác A. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm tam giác MBC. Đường thẳng OH cắt d tại N. Xác định vị trí của M trên d sao cho tứ diện BCMN có thể tích nhỏ nhất.

6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là một tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy và góc giữa mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy là 450. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa điểm A có thể tích V1, phần

còn lại có thể tích là V2. Tính tỷ số 1

2

VV

8. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, còn tất cả các cạnh còn lại đều có độ dài bằng 1. Tìm điều kiện của x để bài toán có nghĩa, từ đó tính theo x thể tích của khối chóp S.ABCD và xác định x thể tích ấy lớn nhất.

9. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông , AB = AC = a, cạnh bên AA’ = a. Gọi E là trung điểm của AB, F là hình chiếu vuông góc của E trên BC.

10. Mặt phẳng (C’EF) chia lăng trụ thành hai phần, tính tỷ số thể tích hai phần ấy. 11. Tính góc giữa hai mặt phẳng (C’EF) và (ABC). 12. Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc

300. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) theo a.



Trang-31

13. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = 2a và · 0BAD 60= . Gọi M là trung điểm của A’B’. Tính thể tích khối tứ diện ABC’M, biết rằng AC’ vuông góc với BM.

14. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt phẳng ( BC), mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (SAB), SB = a 2 , · 0BCS 45= và · 0 0ASB (0 90= α < α < . Tính theo a và α thể tích khối chóp S.ABC? Xác định α để thể tích này lớn nhất?

15. Cho tứ diện SABC với SA = SB = SC = a, · · ·0 0 0ASB 120 , BSC 60 , CSA 90= = = . Tính theo a thể tích khối tứ diện SABC.

16. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều và tam giác BCD cân tại D. Cho biết AB = a, CD= a 5 , góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC theo a.

17. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, BC = 2a, SB = SC, SA = 2a và SA tạo với đáy một góc 600. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

18. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB = AC = a, góc ∠ BAC = α , cạnh bên SA = SB = SC và khoẳng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bẳng 3a4

. Tính thể tích của khối chóp S.ABC

19. Cho hình lăng trụ ' ' 'ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lênmặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Mặt phẳng (P) chứa

BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 2a 38

.

Tính thể tích khối lăng trụ ' ' 'ABC.A B C theo a . 20. Cho hình chóp S.ABC có ( )SA ABC ,⊥ tam giác ABC vuông cân tại C và SC = a .

Tính góc α giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất.

21. Câu V (1 điểm) 22. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC

tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. Tính thể tích của khối chóp S.DBC theo a.

23. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF theo a.

24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD) và đường thẳng SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một

góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = a 33

, mặt phẳng (BCM) cắt cạnh

SD tại N . Tính thể tích khối chóp S.BCMN.



Trang-32

25. Cho lăng trụ tam giác ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của điểm C/ trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 600, khoảng cách giữa AB và CC/ bằng a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A/B/C/.

26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB SC a, BC SA a 3= = = = , mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD).

27. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, OA’ = h. Tính theo a và h diện tích xung quanh của lăng trụ ABC.A’B’C’.

28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB 3a, BC 2a= = . Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác BCD, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi M là trung điểm SC và E là giao điểm giữa đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD). Tính thể tích khối tứ diện ABCE.

29. Cho hình chóp đều S.ABCD có góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng 600 và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng a. Tính theo a thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

30. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SAB), SA = a 3 , SB = BC = 2a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.

31. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, · 0BAC 30= . Cạnh bên AA’ hợp với mặt phẳng (ABC) một góc 600 và A’A = A’B = A’C = a. Gọi D là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật và tính thể tích khối tứ diện ABCD.

32. Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA AB a, AC 2a= = = và · · 0ASC ABC 90= = Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC).

33. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 060 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.ABC

34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích khối chóp S.BMDN.

35. Cho khối chóp đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a (a >

0) và thể tích 38a 2V3

= . Tính góc giữa mặt phẳng chứa mặt bên với mặt phẳng đáy

của hình chóp



Trang-33

36. Cho hình lăng trụ ABC.A B C′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA′ , cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng

2a 38

. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C′ ′ ′ .

37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ. Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SC a 5= và khoảng cách từ D tới mặt phẳng

( )SHC bằng 2a 2 (ở đây H là trung điểm AB ). Hãy tính thể tích khối chóp theo a.

38. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB AD a= = , a 3AA '2

= , góc BAD bằng

060 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện AA’BDMN theo a .

39. Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), 40. SA AB a, AC 2a= = = và · · 0ASC ABC 90 .= = Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin

của góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC). 41. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N

lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích ∆AMN biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc mặt phẳng (SBC).

42. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a, SA = a, SA vuông góc với đáy. M là một điểm trên cạnh SB, N trên cạnh SC sao cho

MN song song với BC và AN vuông góc với CM. Tìm tỷ số MSMB

.

43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB

44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ˆABC = ˆBAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a. cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tình theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE.

46. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 600. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.



Trang-34

47. Cho lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC = 1200, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng ∆AB'I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).

48. Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng ϕ (0 < ϕ < 900). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).

49. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng ∆AMB cân tại M và tính diện tích ∆AMB theo a.

50. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a, đường cao SH = a 62

. mặt

phẳng (P) đi qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B'C'D'. Tính diện tích tứ giác AB'C'D' theo a.

51. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q. Chứng minh rằng MNPQ là hình thang cân và tính diện tích của nó.

52. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, ·ACB = 600, BC= a, SA = a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.

53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA ⊥ (ABCD); AB = SA = 1; AD 2= . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.

54. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.

55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD .Tính thể tích khối chóp O.AHK.

56. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5= và · oBAC 120= . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên của

hình chóp bằng nhau và bằng 2a . Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh

AB, CD; K là điểm trên cạnh AD sao cho aAK3

= . Hãy tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng MN và SK theo a. 58. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ACB) bằng 600, ABC và

SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC).



Trang-35

59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với µ 0A 120= , BD = a >0. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chóp.

60. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB=AD = a, AA’ = a 32

và góc

BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

61. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a

62. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trên cạnh AB sao cho AM = x, (0 < x < a). Mặt phẳng (MA'C') cắt BC tại N. Tính x theo a để thể tích khối

đa diện MBNC'A'B' bằng 13

thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D'.

63. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD) và SA = a.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN). 64. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc

của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng

2a 38

. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

65. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC vuông cân tại A, AB = AC = a. Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC

66. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và D. Biết AD = AB = a, CD = 2a, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a. Tính thể tứ diện ASBC theo a.

67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, · 0BAD 60= , SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích của khối chóp S.AB′C′D′.

68. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB = a, BC = a, 090BAD = ,

cạnh 2SA a= và SA vuông góc với đáy, tam giác SCD vuông tại C. Gọi H là hình



Trang-36

chiếu của A trên SB. Tính thể tích của tứ diện SBCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).

69. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5= và · oBAC 120= . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

70. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình vuông, AB = AA′ = 2a. Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. M là trung điểm của BC. Tính thể tích hình hộp và cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và A′C

71. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc ·BAD = 600. Gọi M là trung điểm AA′ và N là trung điểm của CC′. Chứng minh rằng bốn điểm B′, M, N, D đồng phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.

72. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A′.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA′ = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A′BC). Tính tan α và thể tích của khối chóp A′.BB′C′C.

73. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt bên tạo với mặt đáy góc 60o. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a.

74. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CD, A′D′. Điểm P thuộc cạnh DD’ sao cho PD′ = 2PD. Chứng tỏ (MNP) vuông góc với (A′AM) và tính thể tích của khối tứ diện A′AMP.

75. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2AD = 2a, sạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 045 . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, mặt phẳng (GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P và Q. Tính thể tích khối chóp S.PQCD theo a

76. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 060 . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

77. Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng chứa (C) lấy điểm S sao cho SA = h. Gọi M là điểm chính giữa cung AB. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SB, cắt SB, SM lần lượt tại H và K.. Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo R và h.

78. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và C′D′. Tính thể tích khối chóp B′.A′MCN và cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (A′MCN) và (ABCD).

79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a, · 0ABC 60= , chiều cao SO

của hình chóp bằng a 32

, trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.



Trang-37

Gọi M là trung điểm của AD, mặt phẳng (P) chứa BM và song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp K.BCDM.

80. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 060 . Gọi I là trung điểm của AD. Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

81. Cho khối tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BC 4BM= , BD 2BN= và AC 3AP= . Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.

82. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 600. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN theo a.

83. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = a 32

và góc

BAD = 600. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'. Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

84. Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích

của khối chóp S.ABCD bằng 3a 26

.

85. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

86. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 060 .

Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = a 33

, mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N.

Tính thể tích khối chóp S.BCNM.



Trang-38

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC

1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng : 3 0d x y− − = và ' : 6 0d x y+ − = . Trung điểm một cạnh là giao điểm của d với trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB và đường chéo BD lần lượt là 2 1 0x y− + = và 7 14 0x y− + = , đường thẳng AC đi qua điểm ( )2;1M . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

3. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt là: 2x – y + 1 = 0; 3x + 4y + 7 = 0, và trung điểm của cạnh BC là M(-2; 1).

4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích là S = 32

,

đỉnh A(2;-3), đỉnh B(3;-2), trọng tâm của tam giác thuộc đường thẳng d: 3x – y – 8 = 0. Tìm toạ độ đỉnh C.

5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(3; 0), đường thẳng d1: 2x – y – 2 = 0, đường thẳng d2: x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và cắt đường thẳng d1 và đường thẳng d2 lần lượt tại A và B sao cho MA = 2MB.

6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích 96ABCS∆ = ; (2;0)M là trung điểm của AB , đường phân giác trong góc A có phương trình

( ) : 10 0d x y− − = , đường thẳng AB tạo với đường thẳng ( )d một góc ϕ thoả mãn

3cos5

ϕ = . Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC .

7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Tìm

tọa độ điểm D biết rằng A(−2;1), B(3; 5), C(1; −1) và diện tích hình thang bằng 332

.

8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 4y − 6 = 0. Gọi (C’) là đường tròn tâm I(−2 ; 3) và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2. Viết phương trình đường thẳng AB.

9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(3; 5) và đường tròn (C): x2 +y2 + 2x − 4y −4 = 0. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến (C) (M, N là tiếp điểm). Viết phương trình MN và tính khoảng cách giữa hai điểm M, N.

10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(0; −2) và hai đường thẳng (d1): x − 2y + 12 = 0 và (d2): 2x − y −2 = 0. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, tạo với (d1) và (d2) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2).



Trang-39

11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ∆ ABC biết đỉnh C(−1;−3), trọng tâm G(4;−2), đường trung trực của cạnh BC có phương trình: 3x + 2y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 +8x −6y = 0 và đường thẳng (d): 3x−4x+10 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (d) và cắt (C) tại hai điểm A, B thỏa AB = 6.

13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.

14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: 2 0x y− − = và đường

tròn (C): 2 2 5x y+ = . Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác MAB đều.

15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C):

( ) ( )2 21 2 5x y− + + = , A(2; 0), 090B∠ = và diện tích tam giác ABC bằng 4. Tìm

toạ độ các đỉnh A, B, C.

16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( )2 22 4x y− + = . Gọi I

là tâm của (C).Tìm toạ độ điểm M có tung độ dương thuộc (C) sao cho tam giác OIM có diện tích bằng 3

17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho bốn điểm A(1; 0), B(−2; 4), C(−1; 4), D(3; 5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ∆ ): 3 5 0x y− − = sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.

18. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 4y – 4 = 0 và điểm M(4;−2) . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB = 4.

19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(3;−1) và hai đường cao kẻ từ A và B lần lượt có phương trình 2x + 3y − 8 = 0 và x − 2y − 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm C(1;1), phương trình đường thẳng AB: 2x + y + 3 = 0, diện tích tam giác ABC bằng 3 và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng x + y + 2 = 0. Tìm tọa độ các điểm A và B.

21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+ y2+ 4x + 6y +5 = 0 và hai đường thẳng ∆1: 2x −y −6 = 0, ∆2: x + y = 0. Tìm điểm A thuộc ∆1 và điểm B thuộc (C) sao cho A và B đối với xứng nhau qua ∆2.

22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O và cắt hai đường thẳng (d1): 2x −y + 5 = 0, (d2 ): 2x − y +10 = 0 theo một đoạn thẳng có độ dài là 10 .



Trang-40

23. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng song song 1 2( ) : 2 5 0, ( ) : 2 15 0d x y d x y+ − = + + = , nếu A(1; 2) là tiếp điểm của đường tròn với một trong các đường thẳng đó.

24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm phương trình đường tròn đi qua điểm ( )A 1;0 và tiếp xúc với hai đường thẳng song song

( ) : 2 2 0, ( ') : 2 18 0d x y d x y+ + = + − = . 25. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có AB = AC và G(1; 1) là

trọng tâm của nó. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết rằng các đường thẳng BC, BG lần lượt có phương trình: 3 3 0x y− − = và 2 1 0x y− − = .

26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3, ( ) ( )A 3;1 , B 1; 3− . Tìm toạ độ đỉnh C, biết rằng trọng tâm của tam giác nằm trên trục

Ox. 27. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có phân giác trong AD, đường cao CH lần lượt có phương trình: 0, 2 3 0x y x y− = + + = ; ( )M 0; 1− là trung

điểm của AC và AB = 2AM . Tìm toạ độ điểm B. 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng

12, hai đỉnh là ( )A 1;3− và ( )B 2;4− . Tìm toạ độ hai đỉnh còn lại, biết rằng giao

điểm của hai đường chéo nằm trên trục hoành. 29. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình

BC: x − 2y +12 = 0, phương trình đường cao kẻ từ B: x − y + 6 = 0, đường cao kẻ từ C đi qua điểm M(3; 5). Viết phương trình các đường thẳng AB, AC và tìm toạ độ điểm B.

30. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có diện tích bằng 32

, các đỉnh A(3; −5),

B(4; −4) và trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường thẳng (d): 3x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.

31. Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4, các đỉnh A(2; 2), B(−2; 1) và tâm I thuộc đường thẳng (d): x − 3y + 2 = 0. Tìm tọa độ các điểm C và D.

32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1;3) và đường tròn 2 2 16( ) : ( 3) ( 1)

3C x y− + + = . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt (C)

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB đều (I là tâm của đường tròn (C)). 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình

AB: x − 2y − 7 = 0, phương trình AC: x − 7y + 8 = 0 và đường thẳng BD đi qua điểm M(2;−5). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 5) và đường tròn (C): x2 + y2 − 2x + 6y = 0. Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm nằm trên đường thẳng x + y +



Trang-41

2 = 0, đi qua điểm A và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN = 2 2.

35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−1; 3) và hai đường cao kẻ từ A và B lần lượt có phương trình 3x + 2y − 8 = 0 và 2x − y + 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x – 6y + 3 = 0 và đường thẳng (d): 2x + y − 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với (C) và hợp với (d) một góc 450.

37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 4y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với (C) và cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân.

38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): 2x − y + 1 = 0, (d2): x + y + 5 = 0 và điểm M(2;1). Gọi C là giao điểm của d1 và d2. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M và cắt đồng thời hai đường thẳng (d1), (d2) lần lượt tại A, B sao cho ABC cân tại A.

39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(3; 1), 090BAC = , trung điểm của AB là I(2; 3), đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại điểm H thỏa HC = 9HB. Tìm tọa độ các điểm C và H.

40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm (4; 1), ( 3; 2)A B− − − và đường thẳng : 3 4 42 0x y∆ + + = . Viết phương trình đường tròn ( )C đi qua hai điểm ,A B và

tiếp xúc với đường thẳng ∆. 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường phân giác trong kẻ từ

A, đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình: x + y – 3 = 0, x – y + 1 = 0, 2x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16, các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1). Viết phương trình đường thẳng AB.

43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2( ) : ( 2) ( 1) 25C x y− + + = và đường thẳng (d): 3x −4y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ song với (d) và cắt (C) tại hai điểm A và B thỏa mãn AB = 8.

44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B(1, 2), đường phân giác trong AD của góc A có phương trình 3 0x y− − = , đuờng trung tuyến CM qua C có phương trình 4 9 0x y+ + = . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.

45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình 2 2 4 4 4 0x y x y+ − − + = và đường thẳng (d) có phương trình 2 0x y+ − = . Chứng

minh rằng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.



Trang-42

46. Cho đường tròn (C) nội tiếp hình vuông ABCD có phương trình 2 2( 2) ( 3) 10x y− + − = . Xác định toạ độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh

AB đi qua M(-3; -2) và xA > 0. 47. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích

bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng 1 : 3 0d x y− − = và 2 : 6 0d x y+ − = . Trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật

48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB: 2 1 0x y− − = , đường chéo BD: 7 14 0x y− + = và đường chéo AC đi qua điểm

(2;1)E . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

49. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 24x 9 36y+ = và điểm M(1; 1). Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm C, D sao cho MC = MD.

50. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 25x 16 80y+ = và hai điểm A(–5; –1), B(–1; 1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆MAB.

51. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.

52. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

53. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 3) và hai đường trung tuyến của nó có phương trình là: x – 2y + 1 = 0 và y – 1 = 0. Hãy viết phương trình các cạnh của ∆ABC.

54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt sao cho MA = 3MB.

55. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5 đơn vị, biết toạ độ đỉnh A(1; 5), hai đỉnh B, D nằm trên đường thẳng (d): 2 4 0x y− + = . Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D.

56. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2( 1) ( 2) 9x y− + + = và đường thẳng d: 0x y m+ + = . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông (B, C là hai tiếp điểm).



Trang-43

57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.

58. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d: x - 2y -2 = 0 và điểm A(0;1) ; B(3; 4). Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng d sao cho 2MA2 + MB2 là nhỏ nhất.

59. Trong mp với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P): 2y = x - 2x và elip (E): 2

2x + y = 19

.Chứng minh rằng (P) giao (E) tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một

đường tròn. Viết phương trình đường tròn đi qua 4 điểm đó. 60. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0, d2: x + 2y – 7 = 0 và

tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

61. Cho ∆ ABC biết: B(2; -1), đường cao qua A có phương trình d1: 3x - 4y + 27 = 0, phân giác trong góc C có phương trình d2: x + 2y - 5 = 0. Tìm toạ độ điểm A.

62. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Oxy cho tam giác ABC có (4;6)A , phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là 2 13 0x y− + = và 6 13 29 0x y− + = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : 2 3 0x y∆ + − = và hai điểm A(1;

0), B(3; - 4). Hãy tìm trên đường thẳng ∆ một điểm M sao cho 3MA MB+uuur uuur

nhỏ

nhất. 64. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x - 6)2 + y2

= 25 cắt nhau tại A(2; 3). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

65. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng 052:1 =+− yxd . d2: 3x + 6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(

2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.

66. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.

67. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC với B(2; -7), phương trình đường cao AA’: 3x + y + 11 = 0 ; phương trình trung tuyến CM : x + 2y + 7 = 0 . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB và AC



Trang-44

68. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC∆ có cạnh AC đi qua điểm M(0;– 1). Biết AB = 2AM, pt đường phân giác trong (AD): x – y = 0, đường cao (CH): 2x + y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của ABC∆ .

69. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

70. Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 + y2 – 2x + 6y –15 = 0 (C ). Viết phương trình đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng: 4x – 3y + 2 = 0 và cắt đường tròn (C) tại A;B sao cho AB = 6.

71. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình 1 0x y+ + = , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

72. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C.

73. Trong mpOxy, cho 2 đường thẳng d1: 2x − 3y + 1 = 0, d2: 4x + y − 5 = 0. Gọi A là giao điểm của d1 và d2. Tìm điểm B trên d1 và điểm C trên d2 sao cho ∆ABC có trọng tâm G(3; 5).

74. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): 2 2 1x y+ = .Đường tròn (C’) tâm I(2;2)

cắt (C) tại các điểm A,B sao cho AB= 2 .Viết phương trình đường thẳng AB.



Trang-45

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN ÔN THI ĐẠI HỌC

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d ⊥ (P): x + y + z - 2 = 0 và cắt cả hai đường

thẳng: (d1): x 2 ty 1 tz 2t

= + = − =

(t ∈ R) (d2): x 2z 2 0y 3 0

+ − = − =

Bài 2: Cho (d1): x 5 2ty 1 tz 5 t

= + = − = −

(d2): 1

1

1

x 3 2ty 3 tz 1 t

= + = − − = −

(t, 1t ∈ R)

CMR: (d1) // (d2). Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) và (d2). Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)

Bài 3 Cho (d): x 2 2ty tz 2 t

= − + = − = +

(P): x + y + z + 1 = 0

Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A(1; 1; 1) song song (P) và ⊥ (d). Bài 5: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song và viết phương trình mặt phẳng

chứa hai đường thẳng đó. d1: x 5 2ty 1 tz 5 t

= + = − = −

và d2: x 3 2t 'y 3 t 'z 1 t '

= + = − − = −

Bài 6: Viết phương trình cho A(1; 2; 1) và đường thẳng d: x y 1 z 33 4 1

− += = .

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d. 2. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d

Bài 7: Cho đường thẳng d: x 1 2ty 2 tz 3t

= + = − =

và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0

1. Tìm tọa độ điểm K đối xứng với điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng d 2. Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1 Bài 8: Cho A(4; 1; 4), B(3; 3; 1) C(1; 5; 5) và D(1; 1; 1). Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC) và suy ra tọa độ điểm K đối xứng với D qua (ABC) Bài 9: Viết phương trình đường thẳng qua A(1; 5; 0) và cắt cả hai đường thẳng

(d1): x 3 y 1 z 4:

2 3 5− + −

= =−

(d2): x 2 t

: y 1 2t t Rz t 3

= + = − ∈ = −



Trang-46

Bài 10: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(0; 1; 1) và vuông góc với (d1) và (d2)

(d1): x 1 y 2 z

8 1− +

= = ( )2

x 1 td : y 1 t t R

z 2t

= + = − + ∈ =

Bài 11: Viết phương trình đường thẳng qua M(0; 1; 1) và vuông góc với d1 và cắt đường thẳng d2

d1: x 1 y 2 z

3−

= + = ( )2

x u 2d : y 3 2u

z 1 3u

= + = − + = +

Bài 12: Viết phương trình đường thẳng d ⊥ (P): x + y + z - 2 = 0 và cắt cả hai đường

thẳng: (d1): x 2 ty 1 tz 2t

= + = − =

(t ∈ R) (d2): x y 1 z 5:3 1 1

− −= =

−

Bài 13: Cho (d1): x 5 2ty 1 tz 5 t

= + = − = −

(d2): 1

1

1

x 3 2ty 3 tz 1 t

= + = − − = −

(t, 1t ∈ R)

CMR: (d1) // (d2). Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) và (d2). Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)

Bài 14: Cho hai đường thẳng (d1): x 1 y 3 z 1:

1 2 2− − +

= =−

(d2): x 3 y 4 z 3:

1 2 1− − +

= =−

1) CMR: (d1) cắt (d2). Xác định toạ độ giao điểm I của chúng. 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (d1) và (d2)

Bài 15: Cho hai đường thẳng (d1): x 1 3ty 3 2tz 2 t

= − + = − − = −

(t ∈ R) (d2): x 1 y 3 z 1

1 2 2− − +

= =−

Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2).

Bài 16: Cho hai đường thẳng ( )1x 2 y 2 z 1d :

3 4 1− + −

= = ( )2x 7 y 3 z 9d :

1 2 1− − −

= =−

1) CMR: (d1) chéo (d2) 2) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) 3) Viết pt mặt phẳng (P) chứa (d1), mặt phẳng (Q) chứa (d2) sao cho (P) // (Q) 4) Viết phương trình đường thẳng (d) // Oz và cắt (d1) và (d2). Bài 17 Viết phương trình mặt cầu có tâm I trên đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt

phẳng ( )1P và ( )2P , biết ( ) x 2 y 1 z 1d :3 2 2

− − −= =

− ( )1P :x+2y-2z-2=0. và ( )2P :x+2y-

2z+4=0. Bài 18: Cho O(0; 0; 0) A(6; 3; 0) B(-2; 9; 1) S(0; 5; 8) 1) CM: SB ⊥ OA.



Trang-47

2) CMR: hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (OAB) ⊥ OA. Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với OA. Hãy xác định toạ độ điểm K. 3) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SO, AB. Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau. Bài 19: Tìm hình chiếu vuông góc của A(-2; 4; 3) lên mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0 Bài24: Cho A(1; 2; 1) B(2; 1; 3) (P): x - 3y + 2z - 6 = 0 1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và ⊥ (P). 2) Viết phương trình chính tắc của giao tuyến giữa (P) và (Q). Tìm toạ độ điểm K đối xứng với A qua (P). Bài 20: Cho A(a; 0; 0) B(0; b; 0) C(0; 0; c) (a, b, c > 0) Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B, C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó. 1) Tính khoảng cách Từ C đến (ABD) 2) Tính toạ độ hình chiếu ⊥ của C xuống (ABD). Tìm điều kiện đối với a, b, c để hình chiếu đó nằm trên mặt phẳng xOy.

Bài 21: Cho ( )x 1 2t

d : y 3 t t Rz 2 t

= − + = + ∈ = − −

(P): x - 2y + z - 3 = 0

1) Tìm điểm đối xứng của A(3; -1; 2) qua d. 2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P). Bài 22: Cho A(-1; 3; 2) ; B(4; 0; -3) ; C(5; -1; 4) ; D(0; 6; 1) 1) Viết phương trình tham số của BC. Hạ AH ⊥ BC. Tìm toạ độ điểm H. 2) Viết phương trình tổng quát của (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Bài 23: Cho A(2; 3; -1) (d): x y z 32 4 1

−= =

Lập phương trình đường thẳng qua A ⊥ (d) cắt (d). Bài 24: Cho A(-1; 3; -2) ; B(-9; 4; 9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0. Tìm điểm M ∈ (P) sao cho: AM + BM đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 25: Cho A(1; 1; 0) ; B(3; -1; 4) ; (d): x 1 y 1 z 21 1 2+ − +

= =−

Tìm điểm M ∈ (d) sao cho: MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 26: Cho tứ diện ABCD với A(3; 2; 6) ; B(3; -1; 0) ; C(0; -7; 3) ; D(-2; 1; -1).

1) CMR: tứ diện ABCD có các cặp đối vuông góc với nhau. 2) Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC). 3) Thiếp lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 27: Cho mặt phẳng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0 1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ tiếp xúc với mặt phẳng (P).



Trang-48

2) Tìm toạ độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S). 3) Tìm điểm đối xứng của gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P). Bài 28: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D': A ≡ O ; B(1; 0; 0) ; D(0; 1; 0) ; A'(0; 0; 1). Gọi M là trung điểm của AB và N là tâm hình vuông ADD'A'. 1) Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua các điểm C, D', M, N. 2) Tính bán kính đường tròn giao của (S) với mặt cầu đi qua các điểm A' , B, C, D. 3) Tính diện tích thiết diện của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cắt bới mặt phẳng (CMN). Bài 29: Cho (S): x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z - 67 = 0

( ) x y 1 z 1d :2 3 2

− += = (Q): 5x + 2y + 2z - 7 = 0

1) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S). 2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (Q). Bài 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1;2;-3) và mặt phẳng (P) : 4x y 4z 15 0− + − = a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên (P). b) Tìm tọa độ điểm M’ là điểm đối xứng của M qua (P). Bài 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;2) và đường thẳng

x 1 2t(d) : y 1 t

z 4 t

= − + = + = −

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên (d). b) Tìm tọa độ điểm B là đối xứng của điểm A qua (d).

Bài 32. Cho A(3;0;2), B(1;2;1) và đường thẳng x 1 y z 1(d) :3 2 1− +

= =−

a) Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IA IB+uur uur

có độ dài nhỏ nhất. b) Kẻ AA ', BB' (d)⊥ . Tính độ dài đoạn A’B’.

Bài 33. Cho 2 đường thẳng ( )1

x 1 td : y 3 t t R

z 2 t

= + = − ∈ = +

và 2

x 1 t(d ) : y 2 t

z 1 2t

= + = + = +

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2). b) Cho M(2;1;4). Tìm 2H (d )∈ sao cho MH nhỏ nhất. Bài 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình:

x 1 y 3 z 3(d) :1 2 1− + −

= =−

và mặt phẳng (P) : 2x y 2z 9 0+ − + =

a) Tìm tọa độ điểm I sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2. b) Tìm giao điểm A của đường thẳng (d) và mp(P). Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mp(P), biết ∆ qua A và vuông góc với (d). Bài 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng:



Trang-49

1x 1 y 2 z 1(d ) :

3 1 2− + +

= =−

Và ( )2

x 1 2td : y 1 t t R

z 2 3t

= + = − ∈ = +

a) Chứng minh d1, d2 song song với nhau. Viết phương trình mp (P) chứa cả 2 đường thẳng d1, d2. b) Mặt phẳng tọa độ Oxy cắt 2 đường thẳng d1, d2 lần lượt tại 2 điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ) Bài 36.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và 2 đường thẳng

1x 2 y 2 z 3d :

2 1 1− + −

= =−

và 2x 1 y 1 z 1d :

1 2 1− − +

= =−

a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1. b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 .

Bài 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng 1x y 1 z 2d :2 1 1

− += =

−

và 2

x 1 2td : y 1 t

z 3

= − + = + =

.Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mp

(P) : 7x y 4z 0+ − = và cắt cả hai đường thẳng d1, d2. Bài 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

2 2 2(S) : x y z 2x 4y 2z 3 0+ + − + + − = và mặt phẳng (P) : 2x y 2z 14 0− + − = a) Viết pt mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. b) Tìm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) là lớn nhất.

→ S = 2 2 2 2 2 2a b b c c a+ + /2 Bài 39. Lập PT mp(P) chứa đường thẳng (d1) và song song với (d2)

(d1): x 2z 0

3x 2y z 3 0− =

− + − = (d2):

x 1 y 3 z 51 2 1− − +

= =−

Bài 40. Viết PT mp (P) đi qua A(1; 2; 1) và chứa đường thẳng (d): x y 1 z 33 4 1

− += =

Bài 41. Cho hai đường thẳng (d1): x = -y + 1 = z – 1 và (d2): -x + 1 = y - 1=z Tìm toạ độ điểm A thuộc (d1) và B thuộc (d2) để đường thẳng AB vuông góc với (d1) và (d2) Bài 42. Viết PT hình chiếu của (d2) theo phương (d1) lên mp(P), biết rằng

(d2): x 7 y 3 z 9

1 2 1− − −

= =−

, (d1): x 3 y 1 z 1

7 2 3− − −

= =−

, (P): x + y + z + 3 = 0



Trang-50

Bài 43. Lập PT đường thẳng đi qua A(-1; 2; -3), vuông góc với n→

= (6; -2; -3) và cắt

đường thẳng (d): x 1 y 1 z 33 2 5− + −

= =−

Bài 44. a. Xác định giao điểm A của (d) và (P) b. Viết PT đường thẳng đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong (P) Bài 45 Viết PT đường thẳng (d) vuông góc với mp(P): x + y + z = 1 và cắt cả hai đường

thẳng (d1): x 1 y 1 z

2 1 1− +

= =−

, (d2): x 1 ty t t Rz 1

= − = ∈ = −

Bài 46 Lập PT mp chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S), biết rằng

( )x 1 t

d : y 3 t t Rz 2 t

= + = − ∈ = +

(S): x2 + y2 + z2 + 2x – 6y + 4z – 15 = 0

Bài 47. Lập PT mp tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và

song song với hai đường thẳng (d1): x 5 y 1 z 13

2 3 2+ − +

= =−

, (d2): x 7 y 1 z 8

3 2 0+ + −

= =−

Bài 48. Cho điểm I(1; 2; -2) và mp(P): 2x + 2y + z + 5 = 0 a.Lập PT mặt cầu (S) tâm I sao cho giao điểm của (S) và (P) là đường tròn có chu vi bằng 8π b. CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng ( ∆ ): 2x – 2 = y + 3 = z Bài 49. Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 4 và mp(P): x + z = 2. CMR (P) cắt (S).Xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn giao tuyến (C) của (P) và (S) Bài 50. Cho hai mp (P): 5x – 4y + z – 6 = 0, (Q): 2x – y + z + 7 = 0 và đường thẳng (d):

x y 2z 3 0x 3y z 0

− + − = − + + =

. Lập PT mặt cầu có tâm I = (d) ∩ (P) sao cho (Q) cắt khối cầu theo

thiết diện là hình tròn có diện tích 20π

Bài 51. Lập PT mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng ( ∆ ): x 2 y 1 z 13 2 2

− − −= =

−và tiếp xúc

với hai mp (P): x + 2y – 2z – 2 = 0, (Q): x + 2y – 2z + 4 = 0 Bài 52. Lập PT mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mp(P1) và

(P2), biết ( ) x 7 y 5 z 9d :3 1 4+ − −

= =−

, (P1): x + 2y + 2z + 3 = 0, (P2): x + 2y + 2z + 7 = 0

Bài 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P) : x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). Bài 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x 2y z 4 0− − − = và mặt cầu (S): 2 2 2x y z 2x 4y 6z 11 0+ + − − − − = . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đờng tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó.



Trang-51

Bài 55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình x y 1 z 12 2 1

+ −= =

−

1) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆. 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng ∆. Bài 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC Bài 57. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:

∈1 : x y 4 z 18:3 1 4

+ += =

− và ∈2 :

x 1 ty 2 tz 1 2t

= + = + = +

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∈1 và song song với đường thằng ∈2 b) cho điểm M(2 ; 1,4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∈2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. Bài 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

d1 : x 1 y 2 z 1

3 1 2− + +

= =−

và d2 : ( )2x 7 y 5 z 9d :

3 1 4+ − −

= =−

a) CMR d1 , d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2. b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A,B. Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc tọa độ). Bài 59. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0. 1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. 2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Bài 60. Trong không gian với hê tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d : x 1 y z 2

2 1 2− −

= = .

1) Tìm tọa độ hình chiều vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. 2) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) lớn nhất. Bài 61. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2. Bài 62. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:



Trang-52

d1 : x 2 y 2 z 3

2 1 1− + −

= =−

, d2 : x 1 y 1 z 1

1 2 1− − +

= =−

1) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1. 2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.

Bài 63. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng d : x 1 y 3 z 31 2 1− + −

= =−

và

mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0. a) tìm toạ độ điểm I sao cho khoảng cánh từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình

tham số của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), biết d đi qua A và vuông góc góc với d.

Bài 64. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d : x 3 2ty 1 tz 1 4t

= − + = − = − +

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, cắt và vuông góc với

đường thẳng d. Bài 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng :

d1 : x y 1 z 12 1 1

− += =

− , d2 :

x 1 ty 1 2tz 2 t

= + = − − = +

1) Viết phương trình đường thẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2. 2) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.

Bài 66. Trong không gian với hệ toạ độ Oyxz, cho hai đường thẳng

d1: x y 1 z 22 1 1

− += =

− và d2:

x 1 2ty 1 tz 3

= − + = + =

1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. 2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và

cắt hai đường thẳng d1, d2. Bài 67. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;4;2) , B(-1;2;4) và đường thẳng

d : x 1 y 2 z1 1 2− +

= =−

.

1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất. Bài 68. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).



Trang-53

Bài 69. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D: x 2 y 2 z1 1 1+ −

= =−

và

mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng D.

Bài 70. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1: x 3 ty tz t

= + = =

và ∆2:

x 2 y 1 z2 1 2− −

= = . Xác định toạ độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2

bằng 1.

Bài 71. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z 2:2 1 1− +

∆ = =−

và mặt

phẳng (P) : x − 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6 . Bài 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có

phương trình: x 1 y 1 z2 1 1− +

= =−

. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm

M, cắt và vuông góc với đường thẳng d. Bài 73. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình

2 2 2x + y + z - 2x + 4y - 6z -11 = 0 và mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6π. Bài 74. Trong không gian Oxyz cho mp (P): x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng :

(d1) x 1 3 y z 2

1 1 2+ − +

= = ; (d2) x 1 2ty 2 t (t )z 1 t

= + = + ∈ = +

¡ . Viết phương trình tham số của đường

thẳng ∆ nằm trong mp (P) và cắt cả 2 đường thẳng (d1), (d2). Bài 75. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng: (P): 2x – 2y – z +1 = 0, (Q): x + 2y – 2z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 6y +m = 0. Tìm tất cả các giá trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN = 8

Bài 76. Trong không gian Oxyz , cho điểm A( 3 ; 4 ; 2) ; (d) y z -1x = =2 3

và m.phẳng (P):

4x +2y + z – 1 = 0 a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P) . b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (d) và vuông góc với mặt phẳng (P)



Trang-54

Bài 77. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và mặt phẳng ( ) : x 2y 2 0.α + + = Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng ( ).α

Bài 78. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: 1

x 1 td : y 2t

z 2 t

= − = = − +

và

2

x td : y 1 3t

z 1 t

= = + = −

. Lập phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1

và d2. Bài 79. Trong hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình

x 1 2ty tz 1 3t

= + = = +

. Lập pt mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là

lớn nhất. Bài 80. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z - 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)

Bài 81. Trong không gian Oxyz cho đường thảng ( ∆ ): x ty 1 2tz 2 t

= − = − + = +

( t ∈ R ) và mặt

phẳng (P): 2x – y - 2z – 2 = 0 Viết phương trình mặt cầu(S) có tâm I∈ ∆ và khoảng cách từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt mp(P) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính r = 3 Bài 82. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ( ) : x y 2z 5 0α + + − = và mặt cầu

(S) 2 2 2(x 1) (y 1) (z 2) 25− + + + − = a) Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với ( )α

b) Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai A(1;– 4;4) điểm B(3; – 5; – 1) và hợp với ( )α một góc 600

Bài 83. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(-1;-3;1). Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x +y – 2z + 4 = 0.



Trang-55

Bài 84. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 5 = 0 và các điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) a)Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P) b)Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Bài 85. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

1

x 1 t( ) : y 1 t

z 2

= +∆ = − − =

, ( )2x 3 y 1 z:

1 2 1− −

∆ = =−

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆1 và song song với ∆2. b) Xác định điểm A trên ∆1 và điểm B trên ∆2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Bài 86. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

1 2

x 2 tx 4 y 1 z 5d : và : d : y 3 3t , t

3 1 2z t

= +− − + = = = − + ∈− − =

¡

a). Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau, tính khoảng cách giữa d1 và d2. b). Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2.

Bài 87. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (d) : x 3 y 2 z 12 1 1− + +

= =−

và mặt phẳng

(P) : x + y + z + 2 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (D) nằm trong (P) sao cho (D) ⊥ (d) và khoảng cách từ giao điểm của (d) và (P) đến đường thẳng (D) là 42 . Bài88. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x y z 1 0+ − + = ,đường

thẳng d: x 2 y 1 z 11 1 3− − −

= =− −

Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường

thẳng ∆ nằm trong (P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng 3 2 .



Trang-56

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT ÔN THI ĐẠI HỌC

1. 2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1x x x x x x− + + + + ++ = +

2. 2 4 43 8.3 9.9 0x x x x+ + +− − = 3. 2 3log (1 ) log x x+ =

4. 6log2 6log ( 3 ) log xx x+ =

5. 14 - 4 3.2 x x x x+ +=

6. lg lg66 12 x x+ =

7. 22( 1 1 2) log ( ) 0x x x x− + + − − =

8. 33 23log (1 ) 2logx x x+ + =

5

22

lg lg5

lg 2

7 3

33 2

log ( 3)

1 19. lg( 2)2 8

10. ( 1 1 2) log ( ) 011. 5 50 12. 1000

13. log log ( 2)

14. 3log (1 ) 2log

15. 2

x

x

x

x

x

x x x xx

x x

x x

x x x

x+

= − +

− + + − − =

= −

=

= +

+ + =

=3

2 7

412 9

2

16. log (1 ) log117. log ( ) log 2

18. lg( 6) lg( 2) 4

x x

x x x

x x x x

+ =

− =

− − + = + +

19. 23 3log log3 6x xx+ =

20. 3 3 3log 4 log log 22.2 7.xx x x= − 21. 2

2 2.log 2( 1).log 4 0x x x x− + + =

22. 2 222 2 3x x x x− + −− = 23. 3.8 4.12 18 2.27 0x x x x+ − − = 24. ( )2

2 242.log log .log 7 1x x x= − +

25. 2 2 22 4.2 2 4 0x x x x x+ −− − + = 26. 25 2(3 ).5 2 7 0x xx x− − + − =

27. 2 22 1 2 22 9.2 2 0x x x x+ + +− + =



Trang-57

28. 2x - 1 x - x 22 - 2 = (x - 1) 29. 2 2log 2 2log 4 log 8x x x+ =

30. 31 822

log 1 log (3 ) log ( 1)x x x+ − − = −

31. 2 2log 2 2log 4 log 8x x x+ =

32. 22 1log 1 2

xxx

x−

= + −

33. 1

3 3log (3 1).log (3 3) 6x x+− − =

34. 3 93

4(2 log ) log 3 11 logxx

x− − =

−34.

35. 22 4 1

2

log ( 2) log ( 5) log 8 0x x+ + − + =

36. 22 2log ( 1) 6log 1 2 0x x+ − + + =

37. 2 12

2log (2 2) log (9 1) 1x x+ + − =

38. 1log (cos sin ) log (cos cos 2 ) 0xx

x x x x− + + =

40. 04014 43

162

2

=+− xxx xxx logloglog

41. 3 41 333

log log log (3 ) 3x x x+ + =

42. 2lg(10 ) lg lg(100 )4 6 2.3x x x− =

43. )(loglog

)(log)(

122

113 23

2 ++=+−+

xxx

44. 12 1

2

log (4 4) log (2 3)x xx ++ = − −

45. 293

3227 3

21

2165 )(log)(log)(log −+−=+− xxxx

46. 2

23 2

3log ( ) 3 22 4 5

x x x xx x

+ += + +

+ +

47. 3

1 63 log (9 )log x x

x x+ = −

48. 2 22 1 1log (2 1) log (2 1) 4x xx x x− ++ − + − =

49. 24 2(log 8 log ) log 2 0x x x+ ≥

50. ( ) ( )3 13

2log 4 3 log 2 3 2x x− + + ≤

51. ( )2 21log 4 15.2 27 2 log 0

4.2 3x x

x+ + + =−



Trang-58

52. 22

4

log [log ( 2 )] 0x x xπ + − <

53. 4 22 1

1 1log ( 1) log 2log 4 2x

x x+

− + = + +

54. 2 22 4 2 2 12 16.2 2 0x x x x− − − −− − ≤ 55. 2 1 2 13 2 5.6 0x x x+ +− − ≤

56. 1 115.2 1 2 1 2x x x+ ++ ≥ − +

57. 2 4 212(log 1) log log 04

x x+ + =

58. ( ) ( )222 1 1log 2 1 log 2 1 4x xx x x− ++ − + − =

59. ( ) ( )2 2log x y 5 log x y

lo g x log 4 1lo g y lo g3

− = − +

− = − −

60) ( ) ( )

x yy x

3 3

4 32log x y 1 log x y

+ = − = − +

61) 25x 51x 10y 1

xy 5

− + =

=

62) ( )

x

x 1

log y 2log y 23 3+

= + =

63) ( )

( )

2

2

2 y x

2 x y

x y 2 1

9 x y 6

−

−

+ =

+ =

64) 3y 12

y log x 1

x 3

− =

=

65) ( )

24 xy y

4

9 27.3 01 1lo g x log y lg 4 x4 2

− =

+ = −

66) ( )

x y

5

3 .2 1152log x y 2

− = + =

67) ( )( ) ( )

2 2lo g x y 1 log8

lo g x y log x y log 3

+ = +

+ − − =

68) ( )

x y

3

3 .2 972log x y 2

= − =



Trang-59

69) ( )

( ) ( ) ( )

31 2log y x

5 5 5

3 482log 2y x 12 log y x log y x

+ − =

− − − − = +

70) ( ) ( ) ( )3 3 2 29 3 3log x y log x y log x y+ = − = +

71) ( )a a 18log x log y 2 log a 12x y 20a 0

+ − =

+ − =

72) ( )

( )

y x

5

5x y 327

3log x y x y

− + = + = −

73) ( ) ( )

xy 2 xy 12 4 53 x y 5 x y

8x y x y

− − + = + −

+ = − +

74) ( ) ( )

2

y

y

x 2

2x 64 x 0

=

= >

75) 5

2

2 2

1loglog x y

x y 12y x

12 53

−

+ =

+ =

76) ( )

2y 7y 10x 1x y 8 x 0

− + =

+ = >

77) 21 xy

2

2 log x 2log y 5 0

xy 32

− + =

=

78) ( ) ( )

y1 x yx

lo g x 3 log 5 y 0

4 4 8 8 0−

− − − =

− =

79) ( )( )

x

y

log 3x 2y 2

log 2x 3y 2

+ =

+ =

80) ( )

x x

2,5 x

y 1,5 yy 64 y 0

−

+

= +

= >

81) ( )

( ) ( )

lo g x y log 5 log x log y log 6log x 1

log y 6 lo g y log 6

+ − = + − = − + − +

82) ( )

2xy y

2

ylog log x 1x

log y x 1

− = − =



Trang-60

83) ( ) ( )x y

2 2

x y x ylog x log y 1

+ = −

− =

84) ( )

x 2y

6

x 364 x 2y log x 9

− =

− + =

85) ( ) ( )2 2

2 2

log u v log u v 1

u v 2

+ − − =

− =

86) ( )

p q

aa

a

x ylog xxlog p q vµ pq 0

y log y

= = ≠ ≠

87) 2 1y

x

x y 12

2 2 log x log y 5

+ =

− =

88) ( )

2 2x y 16x 1x y 2 x 0

− − =

− = >

89) ( )2lg x y 1

lg y lg x lg 2

+ =

− =

90) yxx 3 y24 7.2 2

y x 3

− − − = − =

91) 3

3

yx

2 y2 x

5 .2 200

5 2 689

=

+ =

92)

( )2 21log x y 1,52

2

2

10 100 10

x 10y 63 2 x 10y 9

+ +=

+ = + −

93) ( ) ( )

log x log y

log4 log3

3 4

4x 3y

=

=

94) ( )2

2 2 2 2

xy a

lg x lg y 2,5lg a a 0

=

+ = <

95) 8 8log y log x

4 4

x y 4log x log y 1

+ =

− =

96 ) ( )( )

2

2

x xy 8x y

x xy 2x 16x y

2 1

0,37 1

− −+

+ − −−

= =



Trang-61

97) 3 3log y log x

3 3

x 2y 27log y log x 1

+ =

− =

98) x y

x y

2 2 52 4+

+ =

=

99) x

x

8 10y2 5y

=

=

100) 2 22 2

0,5log x log y 0x 5y 4 0

− =

− + =

101) y

x

log x

log y

x 2y 16

=

=

102)

y y

z z

z x

log z log z

log x log y

log x log z

x z 512y x 8

z y 2 2

+ = + = + =

103) ( )

2x x 2

x y 2

y 1 1+ +

+ =

+ =

104) 9x y 9x y

2

x yx y 1

+ − =

=

105) x y

x y

2 .3 123 .2 18

=

=

106) ( )

( ) ( )

22log 3log xy

2 2

9 3 2 xy

x 1 y 1 1

− =

+ + + =

107) 2cot x sin y

sin y cot gx

9 39 81 2

+ =

− =

108) x y

x y 12 2 2

+ =

− =

109) 3x 1 y 2 y 3x

2

2 2 3.2

3x 1 xy x 1

+ − + + =

+ + = +

110) ( )

ylog x 2,5

3 y

yx xlog y.log y 2x 1

=

− =



Trang-62

SỐ PHỨC ÔN THI ĐẠI HỌC



Trang-63



Trang-64



Trang-65



Trang-66



Trang-67



Trang-68



Trang-69



Trang-70



Trang-71

ĐẠI SỐ TỔ HỢP ÔN THI ĐẠI HỌC

A. PHÉP ĐẾM – TỔ HỢP – CHỈNH HỢP Bài 1. Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên? Bài 2. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8. a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau? b. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5? Bài 3. Có thể lập bao nhiêu số chẳn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,2,3,6,9? Bài 4. Có bao nhiêu số chẳn có 4 chữ số đôi một khác nhau? Bài 5. Từ các sô 0,1,2,3,4,5. a. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 b. có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9? Bài 6. Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5. a. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? b. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu là số3? c. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng số 1. d. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và bắt đầu la chữ số lẻ? Bài 7. Có bao nhiêu xếp 5 bạn A,B,C,D, E vào một ghế dài sao cho: a. Bạn C ngồi chính giữa. b, Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế? Bài 8. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn Anh Văn, Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ dài sao cho các cuốn cùng môn nằm kề nhau? Bài 9. Có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a. Các học sinh ngồi tuỳ ý? b. Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn? Bài 10. Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu cách sắp nếu a. Năm chữ số 1 xếp kề nhau b. Năm chữ số 1 xếp tuỳ ý? Bài 11. Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau? Bài 12. Từ các số 0,1,3,5,7 lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau



Trang-72

a. Chia hết cho 5 b. Không chia hết cho 5? Bài 13. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó a. Số tạo thành là số chẳn? b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1? c. nhất thiết phải có mặt chữ số 5?? d. Phải có mặt hai số 0 và 1? Bài 14. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập đựoc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276?? Bài 15. Đề thi trắc nghiệm có 10câu hỏi Học sinh cần chọn trả lời 8 câu a. Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý? b. Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc? c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau?? Bài 16. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư và 3 bì thư và dán 3 tem thư lên 3 bì thư đã chọn. Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? Bài 17. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự Hội nghị sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp? Bài 18. Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời trong đó có 6 nữ, 4 nam. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ: a. Thành hai nhóm có số nguời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau? b. Có bao nhiêu cách chọn 5 người trong đó không quá một nam? Bài 19. Có hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy? Bài 20. Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn: a. sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ cả ba màu? b. Không có đủ ba màu? Bài 21. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?? Bài 22. Đội thanh niên xung kích của một trường có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?? Bài 23.Có 5 nhà toán học nam,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam.lập 1 đoàn công tác có 3 người cần có cả nam và nữ ,có cả toán và lý .Hỏi có bao nhiêu cách Bài 24. Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ biết khiêu vũ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy



Trang-73

Bài 25. Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 cau khó(K) 10 câu trung bình(TB)và 15 câu dễ(D).Từ 30 câu có có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu khác nhau sao cho mỗi đề fải có 3 loại(K-D-TB)và số câu dễ không ít hơn 2? Bài 26. Một đội thanh nien tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về 3 miền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam và 1 nữ Bài 27. Cho đa giác đều A1,A2,....A2n(n∈N và n ≥ 2) nội tiếp đường tròn (O).Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1,A2,....A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là4 trong 2n đỉnh A1,A2,....A2n.tìm n Bài 28. Rút gọn các biểu thức sau:

a. A= 4 7 8 9

10 3 5 2 7

P P P PP P P P P

−

b. B=

6 5n n

4n

A +AA

c. C =

25 34 254 3 2 1

5 5 5 5

3 2

P PP P AA A A A

P 2P

+ + +

−

d. D= n+14n n-k

PA P

+5 6 715 15 15

717

C +2C CC

+ e. E= 2 3 36 8 15

33 5

1 1 1C - C C3 28 65

P A

+ f. F=

3 25 5

2

A - AP

+ 5

2

PP

Bài 29. Chứng minh :

a. n

nP

=n-1

1P

+n-2

1P

b. n+2 n+1 2 nn+k n+k n+kA A k A+ =

c. 2 2 2 5k n+1 n+3 n+5 n+5P A A A n.k!A= d. k n-k

n nC C= Bài 30. Giải các phương trình và bất phương trình sau: a. 2 2

x x ·x xP .A 72 6(A 2P )+ = + b. 3 2x xA 5A 21x+ ≤ c. 10 9 8

x x xA A 9A+ = .

d. 1 2 2 1x x xC 6C 6C 9x 14x+ + = − e. P2x2-P3 .x=8 f.

2 2x 2x2A +50=A , x N∈

g. 3 2 x 1x x xA C 14C −+ = h. 1 2 3

x x x7C +C +C = x2

i. 1 2 1x x+1 x+4

1 1 7=C C 6C

−

j. 2 2x 1 x2C 3A 30+ + < k. x 2 3

2x x x1 6A A C 102 x

− ≤ + l . n! (n 1)! 1(n 1)! 6− −

=+

m. n 4

n n 2 n 1

P 15P .P P

+

+ −

< n. y yx xy yx x

2A 5C 90

5A 2C 80

+ =

− = o.

y 2 y 1x x

y y 1x x

5C 3C

C C

− −

−

=

=

B. NHỊ THỨC NEW-TƠN Bài 1. Cho đa thức P(x) = 2 3 20(1 x) 2(1 x) 3(1 x) ... 20(1 x)+ + + + + + + + được viết dưới dạng P(x) = 2 20

0 1 2 20a a x a x .. a x+ + + + .Tìm 15a ?

Bài 2.:Tìm giá trị của x ,biết số hạng thứ 6 của khai triển:

x 1

x 12

71 log(3 1)log 9 7 5(2 2−

− − ++ +



Trang-74

Bài 3.:Giả sử * n 2 n0 1 2 nn N vµ(1 x) a a x a x ... a x∈ + = + + + + .Biết rằng tồn tại số k

nguyên (1 k n 1)≤ ≤ − sao cho : k 1 k k 1a a a2 9 24

− += = .Hãy tính n?

Bài 4. Tìm số tự nhiên n ,biết rằng trong khai triển n1(x )2

+ thành đa thức đối với

biến x ,hệ số của 6x bằng 4 lần hệ số của 4x . Bài 5. Tìm hệ số của số hạng chứa 26x trong khai triển nhị thức Newton của

7 n4

1( x )x

+ ,biết rằng : 1 2 n 202n 1 2n 1 2n 1C C ... C 2 1+ + ++ + + = −

Bài 6. Tìm hệ số không chứa x trong khai triển 2 n2(3x )x

+ , biết rằng :

0 1 2n n nC C C 121+ + =

Bài 7. * 1 2 n 1 n n 1 0 n 2 1 n 3 2

n n n n n nn 1 n 1

n

Cho n N .C / m : C 4C ... n2 C n.4 C (n 1)4 C (n 2)4 C ...... ( 1) C

− − − −

− −

∈ + + + = − − + − +

+ −

Bài 8. Tìm hệ số của 8x trong khai triển thành đa thức của : 821 x (1 x) + −

Bài 9. Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển sau:

a. 12x 3

3 x +

b. 7

34

1xx

+

Bài 10. C/m: 0 2 2 4 4 2008 2008 2008 20092009 2009 2009 2009C 3 C 3 C ... 3 C 2 (2 1)+ + + + = −

Bài 11. C/m: n 1

1 2 nn n n

1 1 1 2 11 C C ... C2 3 n 1 n 1

− −+ + + + =

+ +

Bài 12. C/m: n

0 1 2 3 nn n n n n

1 1 1 1 ( 1) 1C C C C ... C2 4 6 8 2(n 1) 2(n 1)

−− + − + + =

+ +

Bài 13. Với n là số nguyên dương ,c/mr: 2 3 n n 1

n n nC 2C ... (n 1)C (n 2)2 −+ + + − > − Bài 14. Tìm số nguyên bé nhất n sao cho trong khai triển n(1 x)+ có 2 hệ số liên

tiếp có tỉ số là 715

.

Bài 15. Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hửu tỷ: 1244( 3 5)− .

Bài 16. Cho biết 3 số hạng đầu tiên của khai triển n4

1( x )2 x

+ có các hệ số là 3 số

hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng.Tìm tất cả các số hạng hửu tỷ của khai triển đã cho. Bài 17. Xác định số n sao cho trong khai triển nhị thức n(x 2)+ số hạng thứ 11 là số hạng có hệ số lớn nhất.



Trang-75

Bài 18. Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển 81 2( )3 3

+ .

Bài 19. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển n

74

1 xx

−

biết n thoả mãn hệ

thức: 1 2 3 2n 1 202n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ....... C 2 1+

+ + + ++ + + + = − .

Bài 20. Cho n n 1 n 2n n nC C C 79− −+ + = . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức

n283 15x x x

− +

Bài 21. Tìm hệ số chứa 4x trong khai triển biểu thức ( )n2A 1 x 3x= − − . Trong đó n là số

nguyên dương thỏa mãn: ( )2 2 2 2 22 3 4 n n 12 C C C ... C 3A ++ + + + =

Bài 22. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (2+x)n biết:

( )nn 0 n 1 1 n 2 2 n 3 3 nn n n n n3 C 3 C 3 C 3 C ... 1 C 2048− − −− + − + + − =

Bài 23. Cho ( )100 1 2 1000 1 2 100x 2 a a x a x ... a x− = + + + +

a)Tính 97a b) 0 1 2 100S a a a ... a= + + + + c)M= 1 2 1001.a 2.a ... 100.a+ + +

Bài 24. Tìm hệ số của x6 trong khai triển (1+x2(1+x))7 thành đa thức. Bài 25. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 khi khai triển (1+2x+3x2)10. Bài 26. Tìm hệ số chứa x10 khi khai triển: P(x) = (1+x) + 2(1+x)2+3(1+x)3+......+15(1+x)15.

Bài 27. Tìm số hạng không chứa x khi khai triển P(x) = 9

2

11 2xx

+ −

Bài 28. Tìm hệ số của số hạng chứa 3

1x

khi khai triển P(x) = 7

3 2

11 2 xx

− +

Bài 29. Chứng minh các đẳng thức sau: a. 0 1 2 n n

n n n nC C C ....... C 2+ + + + =

b. 1 3 2n 1 0 2 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC C ...... C C C ......... C−+ + + = + + +

c. n 0 1 2 n nn n n n3 n

1 1 13 C C C .......... C 43 3 3

+ + + + =

d. 0 2 2004 10022004 2004 2004C C ........ C 2+ + + =

e. 2004

0 2 2 4 4 2004 20042004 2004 2004 2004

3 1C 2 C 2 C .......2 C2

++ + + =

f. ( )0 2 2 4 2 2000 2000 2000 20012001 2001 2001 2001C 3 C 3 C ... 3 C 2 2 1+ + + + = −

g. 1 2 3 n n 1n n n nC 2C 3C ...... nC n2 −+ + + + =



Trang-76

h. n 1

0 1 2 nn n n n

1 1 1 2 1C C C ........... C2 3 n 1 n 1

+ −+ + + + =

+ +

i. 2n

1 3 5 2n 12n 2n 2n 2n

1 1 1 1 2 1C C C ...... C2 4 6 2n 2n 1

− −+ + + + =

+

j. ( )( ) ( )

n0 1 2 nn n n n

11 1 1 1C C C ... C2 4 6 2 n 1 2 n 1

−− + + =

+ +

k. 0 1 2 2000 20002000 2000 2000 2000C 2C 3C ... 2001C 1001.2+ + + + =

Bài 30. Chứng minh rằng: k k 1 1000 10012001 2001 2001 2001C C C C , 0 k 2000++ ≤ + ∀ ≤ ≤

Bài 31. Chứng minh rằng: ( )2n n n2n k 2n k 2nC .C C , k 0,n− + ≤ ∀ =

Bài 32. Tìm n nguyên dương sao cho: 1 2 2 3 3 4 2n 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2C 3.2 C 4.2 C ..... (2n 1).2 .C 2007++ + + + +− + − + + + =

Bài 33. Tính tổng: S = 2 3 n 1

0 1 2 nn n n n

2 1 2 1 2 1C C C ..... C2 3 n 1

+− − −+ + + +

+

Bài 34. Tìm hạng tử chứa x2 của khai triển: ( )73 2x x− +

Bài 35. Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển 10

35

1 xx

+

Bài 36. Tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau trong khai triển 21

33

a bb a

+

.

Bài 37. Biết khai triển n

2 1xx

+

. Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba là

46. Tìm số hạng không chứa x?

Bài 38. Cho biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển n

2 2xx

− =

là 97.

Tìm hạng tử của khai triển chứa x4.

Bài 39. Cho khai triển n

0 n 1 n 1 n nn n nn

1 1 1x C x C x .......( 1) C3 3 3

− − = − + −

. Biết hệ số của số hạng

thứ ba trong khai triểnlà 5. Tìm số hạng chính giữa??

Bài 40. Cho khai triển 3 n 0 3 n n nn n2 2

2 2(x ) C (x ) ........ C ( )x x

+ = + + . Biết tổng ba hệ số đầu là

33.Tìm hệ số của x2.

Bài 41. Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển n

53

1 xx

+

. Biết rằng

n 1 nn 4 n 3C C 7(n 3)+

+ +− = + . Bài 42. Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2-3x)n trong đó n thoả mãn hệ thức sau



Trang-77

1 3 2n 12n 1 2n 1 2n 1C C ....... C 1024+

+ + ++ + + = Bài 43. Giải phương trình sau 2 4 2n 2007

2n 2n 2nC C .... C 2 1+ + + = −

Bài 44. Tìm hệ số của số hạng thứ tư t rong khai triển 101x

x +

Bài 45 Tìm hệ số của số hạng thứ 31 trong khai triển 40

2

1xx

+

C. XÁC XUẤT Bài 46. Một đơn vị vận tải có 10 xe ô tô , trong đó có 6 xe tốt. Điều động một cách ngẫu nhiên 3 xe đi công tác. Tìm xác suất để trong 3 xe đó có ít nhất 1 xe tốt . Bài 47. Hai xạ thủ cùng bắn mỗi ngời 1 phát đạn vào bia. Xác suất trúng đích của người thứ nhất là 0,9 và của người thứ hai là 0,7. Tính các xác suất sau đây biết rằng có :

1. Cả hai phát đều trúng ? 2. Ít nhất một phát trúng ? 3. Chỉ một phát trúng ?

Bài 48. Gieo một con xúc xắc 3 lần . 1. Hãy tính xác suất để ít nhất có 2 lần gieo mà số chấm xuất hiện nh nhau ? 2. Gọi A là biến cố “ có ít nhất 1 lần mặt 6 chấm xuất hiện”, B là biến cố “số

chấm xuất hiện ở ba lần giao là 3 số khác nhau”. Tính P(A/B)? Bài 49. Môt lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy tuỳ ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tìm xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm 78? Bài 50. Xếp ngẫu nhiên 5 chữ cái : B, G, N, O, O. Tìm xác suất để được chữ BOONG ? Bài 51. Có hai bình chứa các biên bi chỉ khác nhau về màu. Bình thứ nhất có 3 viên bi màu xanh, 2 bi vàng, 1 bi đỏ. Bình thứ hai có 2 bi xanh, 1 bi vàng và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi bình 1 viên bi. Tính xác suất để đợc 2 bi xanh ? Bài 52. Một hộp chứa 12 bóng đèn, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được .

1. 3 bóng tốt ? 2. Ít nhất 2 bóng tốt ?

Bài 53. Ba xạ thủ độc lập bắn vào một bia, mỗi ngời bắng 1 viên đạn. Xác suất trúng đích của các xạ thủ lần lợt là : 0,6 ; 0,7; 0,8. Tính xác suất để có ít nhất 1 xạ thủ bắn trúng bia ? Bài 54. Có hai hộp đựng các viên bi chỉ khác nhau về màu. Hộp thứ nhất đựng 19 viên bi, trong đó có 4 viên bi trắng và 15 viên bi đen. Hộp thứ hai đựng 14 biên bi



Trang-78

trong đó có 5 viên bi trắng và 9 viên bi đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 viên bi . Tính xác suất để trong 2 viên bi đã lấy ra có 1 viên bi trắng và 1 viên bi đen . Bài 55. Cho ba hộp giống nhau. Mỗi hộp đựng 7 bút chì khác nhau về màu sắc. Hộp thứ I có 3 màu đỏ, 2 bút màu xanh, 2 bút màu đen . Hộp thứ II có 2 màu đỏ, 2 bút màu xanh, 3 bút màu đen . Hộp thứ III có 5 màu đỏ, 1 bút màu xanh, 1 bút màu đen . Lấy ngẫu nhiên một hộp và rút hú hoạ từ hộp đó ra 2 bút .

1. Tìm xác suất để 2 bút đó có cùng màu xanh ? 2. Tìm xác suất để 2 bút đó không có màu đen ?

Bài 56. Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của các xạ thủ theo thứ tự là 0,9 và 0,8. Lấy ngẫu nhiên ra một xạ thủ đó bắn một viên đạn. Tìm xác suất để viên đạn đó bắn trúng đích ? Bài 57. Gieo đồng thời 3 đồng xu đối xứng và đồng chất. Tính xác suất để ít nhất có 1 mặt sấp xuất hiện . Bài 58. Một lớp có 30 học sinh, trong đó gồm 8 học sinh giỏi, 15 học sinh khá và 7 học sinh trung bình. Người ta muốn chọn ngẫu nhiên 3 em để đi dự Đại hội. Tính xác suất để được :

1. Ba học sinh được chọn đều là học sinh giỏi ? 2. Có ít nhất 1 học sinh giỏi ? 3. Không có học sinh trung bình ?

Bài 59. Một bình đựng 7 viên bi chỉ khác nhau về màu, trong đó có 4 viên bi màu xanh và 3 viên bi màu đỏ . Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để đợc :

1. 2 viên bi màu đỏ và 1 viên bi màu xanh ? 2. Cả 3 viên bi đều màu xanh ?

Bài 60. Chọn ngẫu nhiên 1 tờ vé số có 3 chữ số, tính xác suất a) được tờ không có số 3. b) được tờ có 3 chữ số khác nhau. c) được tờ có 3 chữ số đều là số lẻ

Bài 61. Đoàn tàu điện gồm 3 toa tiến vào một sân ga, ở đó đang có 12 hành khách chờ lên tàu. Giả sử hành khách lên tàu ngẫu nhiên và mỗi toa còn hơn 12 chổ trống.Tính xác suất:

a) Tất cả cùng lên toa II b) Tất cả cùng lên 1 toa. c) Toa 1 có 4 người, toa 2 có 5 người, còn lại lên toa 3.

Bài 62. Xếp ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì ghi sẵn địa chỉ, mỗi phong bì 1 lá. a)Tính xác suất cả 3 lá đúng người nhân. b) Tính xác suất lá 1 đúng người nhận



Trang-79

Bài 63. Hộp 1 có 4 bi đỏ, 6 bi trắng.Hộp 2 có 3 bi đỏ, 5 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp ra 1 bi.

a) Tính xác suất được 2 bi đỏ. b) Tính xác suất được 1 bi đỏ, 1 trắng.

Bài 64. Một lô hàng có 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu. Lấy ra 2 sản phẩm theo 3 cách sau: +Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. +Lấy lần lượt có hoàn lại ra 2 sản phẩm. + Lấy lần lượt không hoàn lại ra 2 sản phẩm. Xác định không gian mẫu và tính xác suất của các biến cố sau trong 3 phép thử trên: a) Lấy được 2 sản phẩm tốt. b) Lấy được 2 phế phẩm Bài 65. Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Lấy ra 3 sản phẩm theo 3 cách sau:

+Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. +Lấy lần lượt có hoàn lại ra 3 sản phẩm. + Lấy lần lượt không hoàn lại ra 3 sản phẩm.

Xác định không gian mẫu và tính xác suất của các biến cố sau trong 3 phép thử trên: a) Lấy được 3 sản phẩm tốt. b) Lấy được 2 sản phẩm tốt, 1 phế phẩm Bài 66. Ba người khách cuối cùng ra khỏi nhà bỏ quyên mũ. Chủ nhà gửi trả mũ cho họ 1 cách ngẫu nhiên.Tìm xác suất:

a)Cả 3 người đều nhận đúng mũ b) Có 1 người nhận đúng mũ.

Bài 67. Trong một chiếc hộp kín có chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ. Giả thiết rằng kích thước và trọng lượng của tất cả các quả cầu nói trên là y hệt nhau. Lấy hú hoạ ra 5 quả cầu. Tính xác suất của biến cố : trong 5 quả cầu đợc lấy ra có đúng 3 quả cầu đỏ . Bài 68. Một họp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng. Tính xác suất để lấy đợc : a. 3 bóng tốt ? b. Ít nhất 2 bóng tốt ? c. Ít nhất 1 bóng tốt ? Bài 69. Trong 1 hộp có 12 bóng đèn giống nhau, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 bóng. Tính xác suất để :



Trang-80

1. Được 3 bóng tốt ? 2. Được 3 bóng hỏng ? 3. Được đúng 1 bóng tốt ? 4. Được ít nhất 1 bóng tốt ?

Bài 70. Trong một hộp có 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh ( các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc ). Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên bi cùng một lúc. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có đúng 2 viên bi màu đỏ ? Bài 71. Tung 2 con xúc xắc đồng nhất .

1. Tìm xác suất của biên cố có tổng số chấm là 8 ? 2. Tìm xác suất của biến cố có tổng số chấm là số lẻ hoặc chia hết cho 3 ?

Bài 72. Một tổ sinh viên có 6 nam và 5 nữ. 1. Tìm xác suất lấy ra 4 sinh viên đi lao động sao cho trong đó có 1 nữ . 2. Tìm xác suất lấy ra 4 sinh viên đi lao động sao cho trong đó có không quá 3

nữ Bài 73. Một đợt xổ số phát hành 20000 vé trong đó có 1 giải nhất, 100 giải nhì, 200 giải ba, 1000 giải t và 5000 giải khuyến khích. Tìm xác suất để một người mua 3 vé, trúng 1 giải nhì và 2 giải khuyến khích . Bài 74. Gieo liên tiếp 3 lần một con xúc xắc. Tìm xác suất của biến cố : tổng số chấm không nhỏ hơn 16 ? Bài 75. Một chiếc hộp có 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm a)Tính xác suất được 3 sản phẩm tốt. b)Tính xác suất được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu. c)Tính xác suất được 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu.



Trang-81

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM MIN, MAX ÔN THI ĐẠI HỌC

1. Cho a, b, c, d > 0. Biết a b c d 11 a 1 b 1 c 1 d

+ + + ≤+ + + +

. Chứng minh rằng :

1abcd81

≤ .

2. Chứng minh bất đẳng thức : 2 2 2

2 2 2

x y z x y zy z x y z x

+ + ≥ + + với x, y, z > 0

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2A x x 1 x x 1= + + + − + . 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2(2 – x) biết x ≤ 4.

5. Tìm giá trị lớn nhất của 2 2A x 9 x= − . 6. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x(x2 – 6) biết 0 ≤ x ≤ 3.

7. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức 2

1A2 3 x

=− −

.

8. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 1A1 x x

= +−

với 0 < x < 1.

11. Tìm GTLN của : a) A x 1 y 2= − + − biết x + y = 4 ;

b) y 2x 1B

x y−−

= +

9. Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997= − = − . So sánh a với b, số nào lớn hơn ?

10. Tìm GTNN, GTLN của : 2

2

1a) A b) B x 2x 45 2 6 x

= = − + ++ −

.

11. Tìm giá trị lớn nhất của 2A x 1 x= − . 12. Tìm giá trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1. 13. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1. 17. Tìm GTNN, GTLN của A x x y y= + biết x y 1+ = .

14. Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 x 1 x 2 x 1= − − + + −

15. Tìm GTNN, GTLN của A 1 x 1 x= − + + .

16. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2A x 1 x 2x 5= + + − +

17. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2A x 4x 12 x 2x 3= − + + − − + + .

18. Tìm GTNN, GTLN của : ( )2 2a) A 2x 5 x b) A x 99 101 x= + − = + −

19. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn a b 1x y

+ = (a và b là hằng số

dương).



Trang-82

20. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.

21. Tìm GTNN của xy yz zxAz x y

= + + với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.

22. Tìm GTNN của 2 2 2x y zA

x y y z z x= + +

+ + + biết x, y, z > 0 , xy yz zx 1+ + = .

23. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.

24. Tìm GTNN của b cAc d a b

= ++ +

với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0.

25. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : 2 2 2a b c a b c

b c c a a b 2+ +

+ + ≥+ + +

.

26. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh : 27. a) a 1 b 1 c 1 3,5 b) a b b c c a 6+ + + + + < + + + + + ≤ .

28. CM : ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2a c b c a d b d (a b)(c d)+ + + + + ≥ + + với a, b, c, d > 0.

29. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A x x= + .

30. Tìm giá trị nhỏ nhất của : (x a)(x b)Ax

+ += .

31. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5. 32. Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2 x− .

33. Cho ,x y là hai số thực không âm thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )( )( ) ( )2 2

11 1x y xy

Px y

− −=

+ +.

34. Cho ,x y thỏa mãn 0, 0x y≥ ≥ và 1x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1x yS

y x= +

+ +.

35. Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn 1x y z+ + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 2 2 22 2 2

1 1 1A x y zx y z

= + + + + +

36. Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn 2 2x y z+ + = − . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 1 1 12 2 2

Bx y z y z x z x y

= + ++ + + + + +

37. Cho , ,x y z là ba số thực thỏa mãn 0x y z+ + = .

38. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 4 3 4 3 4x y zQ = + + + + +

39. ≠ + + ≥ +

2 2

2 2

x y x yCho x, y 0. Chøng minh: 4 3

y x y x



Trang-83

40. ≤ ≤ + + + ≤ + +

1 1 1 1 1Chøng minh r»ng nÕu 0<x y z, th× ta cã:y (x z) (x z).

x z y x z

41. + + + + ++ + ≤ + + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2a b b c c a a b cCho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng. Chøng minh: 3

a b b c c a a b c

42. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1.

Chứng minh rằng: abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.

+ − + − ≤ + ≥

+ + +≤

+ + + + − + +

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

Chøng minh: a-1 b 1 c 1 c(ab 1), víi mäi sè thùc d¬ng a, b, c 1.

Cho x, y, z>0. Chøng minh:

xyz(x+y+z+ x y z ) 3 3 .

(x y z )[(x y z) (x y z )] 18

Cho a, b, c >0 vµ th

44 :

45 :

46 :

+ + ≥+ + +

+ ≤ +

≤

3 3 3

2 2

áa m·n abc=1. Chøng minh:

1 1 1 3

a (b c) b (c a) c (a b) 2

Cho x>0, y>0 vµ x y x y. Chøng minh:

x+3y 2+ 5.

47 :

48. ∈

≤ − ++

2-x 4

Chøng minh r»ng c¸c bÊt ®¼ng thøc sau lu«n ®óng víi mäi x [0; 1] :

e x-x< 1 x

1+x 2(1 x)

49. + + ≥ + + a b c a b c

Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn a+b+c=1 th×:

1 1 1 a b c 3 .

3 3 3 3 3 3

∈

+ + + + + ≥ + +≠

+ + + + + ≥

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c R, ta cã:

a ab b a ac c b bc c .

Cho a+b+c=1, ax+by+cz=4 (a, b, c 0). Chøng minh:

9a a x 9b b y 9c c z 5.

50 :

51 :

52

+ + − + ≥ − + +2 2 2 2 2 2

Chøng minh:

(x-a) b (x c) d (a c) ( b d ) .

:

53. π π + 2x

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè: f(x)= sin x trªn ®o¹n - ; 2 2 2



Trang-84

54. +2T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè sau trªn tËp R:f(x)=2sin x 4s inxcosx+ 5.

− +

∀ ∈+ +

≠ ≠ + = +

+

2 2

2 2

2 2 2 2

x xy yT×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A= , x, y R.

x xy y

Cho hai sè thùc x 0, y 0 tháa m·n x y x y y x. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña

2 1biÓu thøc A= .

x y

55 :

56 :

57. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4y= sinx cosx− .

58. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (2sinx + cosx)(2cosx -

sinx).

59. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: i. f(x) = cos2x + 3sinx + 4.

60. Gọi x1, x2, x3 là các nghiệm của phương trình: x3 - (2m + 3)x2 + (2m2 - m + 9)x - 2m2 + 3m - 7 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2

1 2 3 1 2 3P=x x x x x x .+ + +

61. + −2T×m m ®Ó hµm sè y=mx+ x 4x 3 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lín h¬n 1.

62. 2 2 2 2 2 2

Cho ba sè d¬ng a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn abc=1. H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

bc ac ab P= .

a b a c b a b c c a c b+ +

+ + +

Bµi 1 :

a b c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A= trong ®ã çc sè d¬ng a, b, c tháa m·n

b c a®iÒu kiÖn a+b+c 3.

+ +

≥

Bµi 2 :

63.

+ +

+ + =2 2 2

xy yz zxT×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng S= trong ®ã x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n

z x y

®iÒu kiÖn x y z 1.

64. 2 3

Gi¶ sö x, y lµ hai sè d¬ng tháa m·n ®iÒu kiÖn + =6. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng x+y.x y

65. 2 2 2

3Cho çc sè x, y, z thay ®æi trªn [0; 1] vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn x+y+z= . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt

2

cña biÓu thøc A=cos(x +y +z ).



Trang-85

66. ≥ ≥

++

Cho c¸c sè x, y tháa m·n: x 0, y 0 vµ x+y=1. H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

x ybiÓu thøc P= .

y+1 x 1

67. + − + + + ≠

4 4 2 2

4 4 2 2

x y x y x yT×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: f(x; y)= 2 , víi x, y 0

y x y x y x

68. Chứng minh rằng với mọi α ta có 2 217 cos 4cos +6 cos 2cos +3 2 11≤ α + α + α − α ≤ +

69. .Tìm GTNN của hàm số 2 2y x 4x 12 x 2x 3= − + + − − + +

70. Chứng minh bất đẳng thức: tgt sin t 2t; t 0;2π + ≥ ∀ ∈

71. Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C . Chứng minh

:A B C1 cos 1 cos 1 cos2 2 2 3 3

A B C

+ + ++ + > ( A,B,C đo bằng rađian)

72. .Cho [ ]a, b 0;1∈ Chứng minh rằng

( ) ( )( )x b a 1 x 1 a 1 b 1a b 1 x a 1 x b 1

+ + + − − − ≤+ + + + + +

với [ ]x 0;1∀ ∈

73. Cho hàm số 2

2

x cos -2x+cosyx 2xcos +1

α α=

− α với ( )0;α ∈ π . Chứng minh : 1 y 1; x− ≤ ≤ ∀

74. Chứng minh sin A sin B sin C tgA tgB tgC 2+ + + + + > π .với A,B,C là ba góc của một tam giác.

75. Chứng minh sinx tgx x 12 2 2 ;0 x2

+ π+ > < <

76. Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện ( )f x 0, x≥ ∀ Cmr:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n, ,,f x f x f x ... f x 0, x+ + + + ≥ ∀

77. CMR trong tam giác ABC có: 1 1 1cot gA cot gB cot gC 3 3 2

sin A sin B sin C + + + ≤ + +

78. Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức:

( ) ( )1 1 5cos3A+cos3B cos2A+cos2B cosA+cosB=3 2 6

− + .Chứng minh tam giác ABC đều

79. Cho 0 a b2π

< < < .Chứng minh rằng : ( )a.sina-bsinb>2 cosb-cosa

80. Cho a 10 q p q+1

≥ ≤ ≤ ≤

.Chứng minh rằng ( ) ( )p q p qa 1 p q a a+ − ≥ + −

81. Cho 0 x2π

< < .Chứng minh rằng : 3s inx cosx

x >



Trang-86

82. Cho tam giác ABC nhọn .Cmr: ( )tgA tgB tgC 6 sin A sin B sin C 12 3+ + + + + ≥

83. Cho a,b,c là các số không âm thỏa 2 2 2a b c 1+ + = .

84. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2

a b c 3 3b c c a a b 2

+ + ≥+ + +

85. Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có

( ) ( )2 1sin A sin B sin C tgA tgB tgC3 3

+ + + + + > π

86. Cho 0 x2π

< < .Cmr: 3x 12sinx tgx 22 2 2

++ >

87. 18Cho số nguyên lẻ n 3≥ .Cmr: x 0∀ ≠ ta luôn có : 2 3 n 2 3 nx x x x x x1 x ... 1 x ... 1

2! 3! n! 2! 3! n!

+ + + + + − + − + − <

88. với giá trị nào của m thì 3 3sin x cos x m, x+ ≥ ∀

89. Cho x,y >0 .Chứng minh rằng : ( )

2

32 2

4xy 18x x 4y

≤+ +

90. Cho x 0, y 0≠ ≠ là hai số thực thay đổi thỏa mãn ( ) 2 2x y xy x y xy+ = + −

91. Tìm GTLN của biểu thức 3 3

1 1Ax y

= +

92. Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện 3a, b,c4

≥ −

93. Chứng minh ta có bất đẳng thức 2 2 2

a b c 91 a 1 b 1 c 10

+ + ≤+ + +

94. Tìm cực trị của hàm số 2

x 1yx x 1

+

− +

95. Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3

96. Tìm GTNN của 2 2 2P x x 1 y y 1 z z 1= − + + − + + − +

97. Tìm GTNN của ( ) ( )2 2 2P 3 x 1 y 1 z 1 2 x y z= + + + + + − + +

98. Cho a, b,c 0> và a b c 6+ + = . Cmr: 4 4 4 3 3 3a b c 2(a b c )+ + ≥ + +

99. Cho a, b,c 0> và 2 2 2a b c 1+ + = . Cmr: 1 1 1( ) (a b c) 2 3a b c

+ + − + + ≥

100. 27Cho a,b,c>0 .Cmr : 2 2 2

a b c 9(b c) (c a) (a b) 4(a b c)

+ + ≥+ + + + +

101. Cho a, b,c 0> .Cmr: 2 2 2 2 2 2

a(b c) b(c a) c(a b) 6a (b c) b (c a) c (a b) 5

+ + ++ + ≤

+ + + + + +

102. Cho a, b,c 0> .Cmr: 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(b c a) (c a b) (a b c) 3(b c) a (c a) b (a b) c 5

+ − + − + −+ + ≥

+ + + + + +



Trang-87

103. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : x y z 4xyz 2

+ + = =

. Tìm GTLN và NN

của biểu thức 4 4 4P x y z= + +

104. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện ( )3x y z 32xyz+ + = . Tìm GTLN và

GTNN của ( )

4 4 4

4

x y zPx y z

+ +=

+ +

105. Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a b c d≤ ≤ ≤ và bc ad≤ .Chứng minh rằng: b c d a d a b ca b c d a b c d≥ 106. Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x 3 x 1 3 y 2 y− + = + − . Tìm GTLN và

GTNN của P = x + y 107. Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn ( )f cotgx sin 2x cos2x= + , ( )x 0;∈ π Tìm GTNN và GTLN của hàm số

( ) ( ) ( )2 2g x f sin x f cos x=

108. Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn ( )f cotgx sin 2x cos2x= + , ( )x 0;∈ π Tìm GTNN và GTLN của hàm số

109. Cho x>0 và a, b 0; ;a b2π ∈ ≠

Cmr:

x sin b sin bx s ina sin ax sin b sin b

++ > +

110. Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì a b a a blna b b− −

< <

111. Chứng minh rằng nếu 0 a b2π

< < < thì 2 2

b a b atgb tgacos a cos b

− −< − <

112. Chứng minh ( )n 1x 1 x ; x 0;12ne

− < ∀ ∈

113. Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện: a b c 0

m 2 m 1 m+ + =

+ +.Chưng minh pt 2ax bx c 0+ + = có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

( )0;1

114. Cho pt bậc n: n n 1n n 1 1 0a x a x ... a x a 0−

−+ + + + = trong đó n n 1 1 0a 0,a ,..., a ,a−≠ là số thực

thỏa mãn : n n 1 10

a a a... a 0n 1 n 2

−+ + + + =+

.Chứng minh pt đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc

khỏang ( )0;1

115. Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn ( ) ( )5c n 2 6 a b 0+ + + =

116. Chứng minh pt : n na sin x bcos x csin x c 0+ + + = có nghiệm thuộc khoảng 0;2π

117. 2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất

118. ( )2 2a 1 a

2

log 11 log ax 2x 3.log ax 2x 1 1 0+ − + − + + ≤



Trang-88

119. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất

( ) ( )2 2a 1 5

a

log 3 log x ax+5 1 .log x ax+6 0+ + + + ≥

120. Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm phân biệt. ( ) ( )2x a 2 x 2x

133

4 log x 2x 3 2 log 2 x a 2 0− − − +− + + − + =

121. Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt: ( ) ( )2 2 23 x a 1 9a 2 x+ = − − có số

nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt ( ) ( )2 x a a 33

1x 3a 2 .3 8 4 log 3 3x2

+ − = − − −

122. Tìm những giá trị của a để pt: ( )2 2 4 215x 2 6m 1 x 3m 2m 0− + − + = có số nghiệm

không nhiều hơn số nghiệm của pt : ( ) ( )2 x 3 6m 8m3a 1 .12 2x 6x 3 9 2 0, 25− + + = − −

123. Giải pt : ( )33 23log 1 x x 2 log x+ + =

124. Giải hệ tgx tgy y x

52x 3y4

− = − π

+ =

125. Giải bất pt ( )7 3log x log 2 x> +

126. Giải pt : x x2 21 a 1 a 1

2a 2a + −

− =

với tham số ( )a 0;1∈

127. Giải hệ: tgx tgy y x (1)

y 1 1 x y 8 (2)

− = −

+ − = − +

128. Giải pt: 2tg xe cosx=2 + với x ;2 2π π ∈ −

129. Giải pt: 2 23x(2 9x 3) (4x 2)( 1 x x 1) 0+ + + + + + + = 130. Giải pt: x

33 1 x log (1 2x)= + + +

131. Tìm m để pt sau có nghiệm : 2 2x x 1 x x 1 m+ + − − + =

132. Tìm tất cả các giá trị của a để pt: 2ax 1 cos x+ = có đúng một nghiêm x 0;2π ∈

133. Cho hàm số y x (x a)(x b)= − + + + với a,b là hai số thực dương khác nhau cho

trước .Cmr với mọi ( )s 0;1∈ đều tồn tại duy nhất số thực 1

s s sa b0 : f ( )2

+α > α =

134. Tìm m để pt sau có nghiệm: ( ) ( )4m 3 x 3 3m 4 1 x m 1 0− + + − − + − =

135. Tìm m để pt : 1 cos8x m6 2cos 4x

+=

+ có nghiệm.



Trang-89

136. Tìm a đ pt : 2ax 2cos x 2+ = đúng 2 nghiệm thuộc 0;2π

137. Cho ( ) ( )3 2f x x ax bx c 0; a 0= + + + = ≠ có 3 nghiệm phân biêt

138. Chứng minh rằng: ( )33 227c 2a 9ab 2 a 3b+ − < −

CHÚC CÁC EM THI TỐT VÀ ĐẬU ĐẠI HỌC TRONG KÌ THI SẮP TỚI Mọi chi tiết xin liên hệ:

TRUNG TÂM GIA SƯ VÀ LUYỆN THI THÀNH ĐẠT

Địa chỉ: Xóm Phượng, Tây Mỗ, Từ Liêm, Hà Nội ĐT: 0466.875.006 DĐ: 01234.18.98.58 - 0969.119.789

Email: [email protected] hoặc [email protected] Website : https://sites.google.com/site/giasudaynhom/

Facebook: http://www.facebook.com/thanhdat.edu



https://sites.google.com/site/giasudaynhom/

http://www.facebook.com/thanhdat.edu

tuyen chon cac chuyen de luyen thi dai hoc 2013

Documents