chuyen de tu chon 6 nang cao hay

Chñ ®Ò tù chän

M«n to¸n líp 6

chuyªn ®Ò n©ng cao

Chñ ®Ò 1: D·y sè tù nhiªn viÕt theo quy luËt

A. KiÕn thøc c¬ b¶n.

- N¾m ®îc kh¸i niÖm thÕ nµo lµ d·y sè viÕt theo quy luËt ( çc

phÇn tö cña d·y cã mèi liªn hÖ nµo ®ã víi nhau )

- BiÕt nhËn d¹ng d·y sè viÕt theo quy luËt vµ ph©n tÝch ®Ó t×m

ra quy luËt ®ã

B. d·y sè viÕt theo quy luËt thêng gÆp

I/ D·y céng.

1. §Þnh nghÜa: D·y céng lµ d·y mµ mçi phÇn tö kÓ tõ

phÇn tö thø 2 ®Òu lín h¬n phÇn tö liÒn tríc ®ã cïng mét sè

®¬n vÞ.

TQ: D·y a1, a2, a3, a4, …… an-1, an

l.µ d·y céng

2. VÝ dô: D·y sè tù nhiªn: 0, 1, 2, 3, 4……

D·y çc sè chia 7 cã cïng sè d lµ 3 : 3, 10, 17, 24,

31……

3. Çc lo¹i bµi tËp vÒ d·y céng:

VD: XÐt d·y céng: a1, a2, a3, a4, …… an-1, an

a) T×m phÇn tö thø n trong d·y:

an = a1 + (n - 1) d

b) TÝnh tæng cña d·y

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 +……+ an-1 + an =

1

a2 – a1 = a3 – a2 = a4 - a3 =…= an- an - 1

c) Sè çc sè h¹ng cña d·y:

n = +1 (Trong ®ã d lµ kho¶ng çch gi÷a hai phÇn tö

liªn tiÕp)

Bµi tËp ¸p dông:

Cho d·y: 1, 4, 7, 10, 13,…… (1)

a./ T×m phÇn tö thø 102 cña d·y?

b./ NÕu viÕt d·y trªn liªn tiÕp thµnh mét sè th× ch÷ sè thø

302 cña sè t¹o thµnh lµ sè mÊy?

Gi¶i:

a./ PhÇn tö thø 102 cña d·y lµ a102 = 1 + (102 - 1). 3 = 304

b./ Ph©n tÝch: D·y sè trªn khi viÕt liÒn thµnh 1 sè ®îc chia

thµnh çc d·y sau

- D·y çc sè cã 1 ch÷ sè chia 3 d 1 lµ: 1, 4, 7 gåm 3 ch÷ sè

- D·y çc sè cã 2 ch÷ sè chia 3 d 1 lµ 10, 13, …, 97 gåm

sè nªn cã 30 . 2 = 60 ch÷ sè

- §Ó viÕt tiÕp d·y trªn ®Õn ch÷ sè thø 102 ta ph¶i dïng çc sè cã

3 ch÷ sè kÓ tõ 100… ®¶m b¶o chia 3 d 1. VËy cÇn 302 - (3 + 60)

= 239 ch÷ sè n÷a hay 79 sè cã 3 ch÷ sè kÓ tõ 100 vµ 2 ch÷ sè

n÷a cña sè thø 80 (lµ 2 ch÷ sè ®Çu trong trong sè thø 80 cña

d·y 100, 103, 106, ... ). Mµ sè thø 80 cña d·y lµ: 100 + (80 - 1).3

= 337

VËy ch÷ sè thø 302 cña sè t¹o bëi d·y (1) lµ 3 ( hµng chôc

trong sè 337)

147101317……334337340…

Ch÷ sè thø 302

2

Chó ý: Trong phÇn b./ khi ch÷ sè thø n ph¶i t×m lµ sè qu¸ lín ta

tiÕp tôc ph©n tÝch thµnh d·y çc sè cã 3, cã 4 … ch÷ sè vµ tiÕp

tôc lµm t¬ng tù

II/ Më réng

1. VD: Cho çc d·y sau:

1, 3, 6, 10, 15…… (1)

2, 5, 10, 17, 26 … (2)

T×m phÇn tö thø 108 cña çc d·y trªn?

Gi¶i:

- D·y (1) cha lµ d·y céng nhng cã thÓ viÕt l¹i thµnh d·y sau:

XÐt d·y çc thõa sè thø nhÊt trong çc tö sè:

1, 2, 3, 4, … (1)’

®©y lµ d·y céng, dÔ thÊy phÇn tö thø 108 cña d·y (1)’ lµ 108. Tõ

®ã suy ra phÇn tö thø 108 cña d·y (1) lµ

- D·y (2) viÕt thµnh d·y : 12 + 1, 22 +1, 32 + 1, 42+ 1, 52 +1…

T¬ng tù ta tÝnh ®îc phÇn tö thø 108 cña d·y (2) lµ 1082 + 1 =

11665

2. D·y Fibonaci:

D·y sè Fibonaci lµ d·y b¾t ®Çu b»ng hai phÇn tö lµ 1, 1 vµ kÓ tõ

phÇn tö thø 3 cña d·y mçi phÇn tö lµ tæng cña hai phÇn tö liÒn

tríc phÇn tö ®ã

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

3

D·y sè Fibonaci cã nhiÒu tÝnh chÊt thó vÞ ta sÏ nghiªn cøu trong

çc phÇn tiÕp theo

C. Çc bµi tËp

Bµi 1: Cho çc d·y sau:

1, 3, 5, 7, 9…… (1)

1, 10, 19, 28, 37, …. (2)

1, 3, 6, 10, 15,…. (3)

1, 7, 17, 31, 49, …. (4)

1, 5, 11, 19, 29, …. (5)

a) T×m phÇn tö thø 123 cña çc d·y trªn:

b) Gi¶ sö d·y (1 ) cã 500 phÇn tö, d·y (2) cã 200 phÇn tö. T×m d·y

çc phÇn tö gièng nhau cña hai d·y?

Bµi 2: Cho d·y : 2, 22, 222, 2222, …, 222…22

Cã bao nhiªu sè tù nhiªn chia hÕt cho 6, chia hÕt cho 13 trong

d·y?

Bµi 3: Cho çc sè a1, a2, a3, …., a2008. BiÕt r»ng:

Víi mäi k = 1, 2, 3, …., 2008

TÝnh tæng a1 + a2 + a3 + …. + a2008.

Bµi 4: Cho S1 = 1+2

S2 = 3 + 4 + 5

S3 = 6 + 7 + 8 + 9

S4 = 10 + 11 + 12 + 13 +14

…………………………….

TÝnh S100

4

2008 sè 2

Bµi 5: Chia d·y sè tù nhiªn kÓ tõ 1 thµnh tõng nhãm (çc sè cïng

nhãm ®îc ®Æt trong ngoÆc)

(1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), ………….

a) T×m sè h¹ng ®Çu tiªn cña nhãm thø 100

b) TÝnh tæng çc sè thuéc nhãm thø 100

Bµi 6: Cho A = 1 + 7 + 72 + 73 + ….+ 7200 vµ B = 7201

Chøng minh r»ng: A <

D. Híng dÉn gi¶i

Bµi 2:

NhËn xÐt: Ta cã 222 6 v× vËy çc sè trong d·y muèn chia hÕt

cho 6 th× sè çc ch÷ sè 2 cña nã ph¶i chia hÕt cho 3. VËy ta lËp

d·y 3, 6, 9, … 2007(lµ d·y thÓ hiÖn sè çc ch÷ sè 2 trong d·y trªn).

D·y nµy cã sè phÇn tö lµ

Do ®ã trong d·y 2, 22, 222, 2222, …, 222…22 cã 669 sè chia

hÕt cho 6

Bµi 3:

Ta cã:

Do ®ã:

5

2008 sè 2

a1 + a2 + a3 + …. + a2008

E. tµi liÖu tham kh¶o

1. Vò H÷u B×nh_N©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 6 tËp 1_NXB Gi¸o

dôc n¨m 2002

2. T¹p chÝ To¸n Tuæi Th¬ 1 _ NXB Gi¸o dôc

Chñ ®Ò tù chän

M«n to¸n líp 6


Chñ ®Ò 2: ch÷ sè tËn cïng cña mét luü thõa

®ång d _ So s¸nh hai luü thõa


- N¾m ®îc c¸ch t×m sè tËn cïng cña mét luü thõa víi c¬ sè lµ sè

tù nhiªn bÊt kú

6

- HiÓu thÕ nµo lµ ®ång d, vËn dông tèt kiÕn thøc cña ®ång d

thøc vµo lµm çc bµi tËp vÒ t×m ch÷ sè tËn cïng hoÆc chøng

minh chia hÕt

- N¾m ®îc çc ph¬ng ph¸p c¬ b¶n dïng ®Ó so s¸nh hai luü thõa

víi sè mò tù nhiªn. VËn dông tèt kiÕn thøc ®Ó lµm bµi tËp

B. Ph¬ng ph¸p t×m sè tËn cïng cña mét luü thõa

1. Chó ý:

a./ Çc sè cã tËn cïng lµ 0, 1, 5, 6 n©ng lªn luü thõa nµo(kh¸c 0)

th× ®Òu cã tËn cïng lµ 0, 1, 5, 6

b./ Çc sè cã tËn cïng 2, 4, 8 n©ng lªn luü thõa 4 th× cã tËn cïng

lµ 6

c./ Çc sè cã tËn cïng 3, 7, 9 n©ng lªn luü thõa 4 th× cã tËn cïng

lµ 1

d./ Sè a vµ a4n+1 cã ch÷ sè tËn cïng gièng nhau ( )

CM: d./ Dïng ph¬ng ph¸p quy n¹p:

XÐt bµi to¸n: CMR a4n+1 – a 10 ( )

- Víi n = 1 ta dÔ dµng chøng minh a5 – a 10

- Gi¶ sö bµi to¸n ®óng víi n = k (a4k+1 – a 10 ( ))

- Ta CM bµi to¸n ®óng víi n = k + 1 a 4(k+1) +1 - a 10

- Ta cã: a 4(k+1) +1 – a = a4 . a4k+1 – a a4. a4k+1 – a5 (V× a5 vµ a

cã cïng ch÷ sè

tËn cïng).

- Mµ a4. a4k+1 – a5 = a4 (a4k+1 – a) 10 a 4(k+1) +1 – a 10

§pcm.

2./ Ph¬ng ph¸p

7

§Ó gi¶i bµi to¸n t×m ch÷ sè tËn cïng cña mét luü thõa ta t×m

c¸ch ®a c¬ sè cña luü thõa vÒ d¹ng ®Æc biÖt hoÆc ®a sè mò

vÒ d¹ng ®Æc biÖt ®· biÕt c¸ch tÝnh theo phÇn chó ý trªn

VD1: T×m ch÷ sè tËn cïng cña 6195 ; 5151 ; 21000 ; …

Gi¶i:

- TËn cïng cña 6195 lµ 6

- TËn cïng cña 5151 lµ 1

- Ta cã 21000 = 23. 24 . 249 +1 mµ 23 cã tËn cïng lµ 8 vµ 24 . 249 +1 cã

tËn cïng lµ 2

( HoÆc ) nªn 21000 cã tËn cïng lµ 6

- Ta cã : = = 99. (….1) 49 cã tËn cïng lµ 9 nªn

= (…..9)108 = [(…..9)2]54 cã tËn cïng lµ 1

3./ Më réng

3.1/ §ång d:

a/ Kh¸i niÖm: Trong chó ý d./ ë phÇn 1 ta cã thÓ nãi a ®ång d

víi a4n+1 theo modun 10 (lµ hai sè cã cïng sè d khi chia cho 10)

Tæng qu¸t : Sè tù nhiªn a ®ång d víi sè tù nhiªn b theo modun m

(m 0) nÕu a vµ b chia cho m cã cïng mét sè d.

Ký hiÖu víi a, b, m N vµ m 0 (1)

Khi ®ã nÕu a m ta cã thÓ viÕt a 0 (mod m )

HÖ thøc (1 ) ®îc gäi lµ mét ®ång d thøc

b/ Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®ång d thøc

NÕu vµ th×:

1. vµ

8

2.

3.

C¸c tÝnh chÊt nµy cã thÓ ®îc ¸p dông cho nhiÒu ®ång d thøc cïng

modun

c/ VÝ dô:

VD1. T×m sè d cña 3100 cho 13.

T×m sè d trong phÐp chia trªn nghÜa lµ t×m sè tù

nhiªn nhá h¬n 13 vµ ®ång d víi 3100 theo modun 13

Ta cã

V× 33 = 27 = 13. 2 +1, nªn 33 1(mod 13) do ®ã (33)33 133

(mod 13)

hay 399 1(mod 13)

vµ 3 3 (mod 13)

nªn 3100 3 (mod 13). VËy 3100 chia cho 13 cã sè d lµ 3

VD 2 .Chøng minh r»ng 22008 – 8 chia hÕt cho 31

§Ó chøng minh 22008 – 8 chia hÕt cho 31 ta chøng minh 22008 – 8

0 (mod 31)

Ta cã : 22008 = 23. 22005 = 23. (25)401 mµ 25 =32 1 (mod 31)

nªn ta cã (25)401 1401(mod 31) 23. 22005 23 . 1(mod 31)

22008 8(mod 31)

MÆt kh¸c 8 8(mod 31)

Nªn 22008 - 8 0 (mod 31). VËy 22008 – 8 chia hÕt cho 31

§pcm.

VD 3: CM rằng với mọi số tự nhiên n thì số 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133

Ta có: 122n+1 =12.122n = 12 .144n

Vì 144 11(mod133) nên 144n 11n (mod 133)

9

3. 399 3 . 1 (mod 13)

22008 - 8 8 - 8 (mod 31)

suy ra 12 .144n 12 .11n (mod 133) (1)

Mặt khác: 11n+2 = 121. 11n

Mà 121 - 12 (mod 133) nên 121. 11n - 12 . 11n (mod 133) (2)

Cộng vế (1) và (2) ta được 122n+1 + 11n+2 0 (mod 133)

Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Đ pcm

VD 4: CM

Ta có 58 = 254 mà 25 1(mod 24) nên 254 1(mod 24)

còn 23 23(mod 24)

Suy ra Vậy Đ pcm

3.2/ So s¸nh hai luü thõa

a/ Ph¬ng ph¸p: §Ó so s¸nh hai luü thõa ta dïng c¸c tÝnh chÊt sau:

- Trong hai luü thõa cïng c¬ sè luü thõa nµo cã sè mò lín h¬n th×

lín h¬n

- Trong hai luü thõa cïng sè mò luü thõa nµo cã c¬ sè lín h¬n th×

lín h¬n

- Dïng luü thõa trung gian

b/ VÝ dô: So s¸nh

1. 10200 vµ 99100 2. 648 vµ 1612

3. 6100 vµ 3170

Gi¶i: XÐt VD 3:

Ta cã:

6100= 2100.3100 vµ 3170= 370.3100

§Ó so s¸nh 6100 vµ 3170 ta chØ cÇn so s¸nh 2100 vµ 370.

V× 23 < 32 nªn (23)34 < (32)34

hay 2102 < 368 mµ 2100 < 2102 < 368 < 370

10

2100 < 370

VËy 6100 < 3170

C. C¸c bµi tËp

Bµi 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta lu«n cã:

a) 714n – 1 chia hÕt cho 5

b) 124n + 1 + 34n +1 chia hÕt cho 5

c) 92001n + 1 chia hÕt cho 10

d) n2 +n + 12 5

Bµi 2: T×m ch÷ sè tËn cïng cña

a) 2008 2009 b)19216 c) (123412)34 d) (195)1979

e) f) (3333)33 g) 357 735 h) (144)68

Bµi 3: Cho A = 21 + 22+ 23 + …. + 220

B = 31 + 32 + 33 + …. + 3300

a) T×m ch÷ sè tËn cïng cña A

b) Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 2

b) Chøng minh r»ng B – A chia hÕt cho 5

Bµi 4: T×m sè d trong c¸c phÐp chia sau:

a) 3100 : 7 b) 9! : 11 c) (2100 + 3105) : 15 d)

(15325 – 1) : 9

Bµi 5: Chøng minh r»ng:

a) 301293 – 1 9 b) 2093n – 803n – 464n – 261n 271

c) 62n + 3n+2 3n 11 d) 52n+1.2n+2

+ 3n+2.22n+1 19 (víi n N)

Bµi 6: Ngµy 1 th¸ng 1 n¨m 2010 b¹n Nam sÏ kû niÖm ngµy sinh

lÇn thø 15 cña m×nh. BiÕt r»ng ngµy 1 th¸ng 1 n¨m 2008 lµ ngµy

thø 3

11

a) H·y tÝnh xem b¹n Nam sinh vµo thø ngµy mÊy

b) B¹n Nam sÏ tæ chøc sinh nhËt lÇn thø 15 vµo ngµy thø mÊy?

Bài 7: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 + c2 9 thì ít nhất một trong các hiệu a2 – b2

hoặc a2 – c2 hoặc b2 – c2 chia hết cho 9

Bµi 8: So s¸nh c¸c sè sau:

a) 3281 vµ 3190

b) 11022009 – 11022008 vµ 11022008 - 11022007

c) A = (20082007 + 20072007)2008 vµ B = (20082008 + 20072008)2007

D. Híng dÉn gi¶i

Bài 7: Nhận xét: Khi chia số nguyên tuỳ ý n cho 9 thì số dư nhận được sẽ là một

trong các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Bởi vậy

Nếu n 0 (mod 9) thì n2 0 (mod 9)









Vậy dù với số nguyên n nào đi chăng nữa thì số n2 chia cho 9 cũng có số dư là

một trong các số 0, 1, 4, 7.

Gọi số dư khi chia a2, b2, c2 cho 9 lần lượt là r1, r2, r3

Ta có: a2 + b2 + c2 r1 + r2 + r3 0 (mod 9) ( Vì a2 + b2 + c2 chia hết cho 9)

12

Như vậy r1, r2, r3 chỉ có thể nhận các giá trị 0, 1, 4, 7 nên r1 + r2 + r3 chỉ có thể chia

hết cho 9 trong các trường hợp sau

1) r1 = r2 = r3 = 0

2) Một trong các số r1, r2, r3 bằng 1 hai số còn lại đều bằng 4

3) Một trong các số r1, r2, r3 bằng 4 hai số còn lại đều bằng 7

4) Một trong các số r1, r2, r3 bằng 7 hai số còn lại đều bằng 1. Vậy trong mọi trường

hợp đều có ít nhất hai trong các số r1, r2, r3 bằng nhau. Điều này có nghĩa ít nhất hai

trong các số a2, b2, c2 có cùng số dư khi chia cho 9. Vậy có ít nhất một trong các

hiệu a2 – b2 hoặc a2 – c2 hoặc b2 – c2 chia hết cho 9 Đ pcm.

Bµi 8: Ta cã

c) A = (20082007 + 20072007)2008

= (20082007 + 20072007)1.(20082007 + 20072007)2007 > 20082007.

(20082007 + 20072007)2007

= (2008.20082007 + 2008.2007 2007)2007 > (2008.20082007 +

2007.20072007)2007

= (20082008 + 20072008)2007 = B

VËy A > B

Më réng:

Ta cã thÓ chứng minh bài toán tổng quát :

(an + bn)n + 1 > (an + 1 + bn + 1)n với a, b, n là các số nguyên dương.

Thật vậy, không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b.

Ta co (an + bn)n + 1 = (an + bn)n.(an + bn) > (an + bn)n.an = [(an + bn)a]n = (an.a +

bn.a)n ≥ (an.a + bn.b)n = (an + 1 + bn + 1)n.

Trong vÝ dô trªn với a = 2008, b = n = 2007, ta có A > B.

E. tµi liÖu tham kh¶o

13


dôc n¨m 2002


3. To¸n n©ng cao vµ çc chuyªn ®Ò sè häc 6 _ NXB Gi¸o dôc n¨m

1997

4. Một số vấn đề số học chọn lọc_ Nguyễn Văn Mậu _ NXB Giáo dục năm 2008

Chñ ®Ò tù chän

M«n to¸n líp 6


Chñ ®Ò 3: çc vÊn ®Ò n©ng cao vÒ tÝnh chia hÕt,

íc vµ béi


- N¾m ®îc çc dÊu hiÖu chia hÕt, tÝnh chÊt chia hÕt cña mét

tæng

- HiÓu vÒ mèi quan hÖ gi÷a íc vµ béi víi tÝnh chia hÕt

14

B. Mét sè bµi to¸n chøng minh vÒ tÝnh chia hÕt

I. Chó ý :

Nh¾c l¹i vÒ íc vµ béi

- NÕu ta nãi b lµ íc cña a

a lµ béi cña b

- Khi vµ ta nãi d lµ íc chung cña a vµ b. Khi d lµ sè lín

nhÊt trong tËp hîp çc íc chung cña a vµ b ta nãi d lµ íc chung lín

nhÊt cña a vµ b

Ký hiÖu ¦CLN(a,b) = d hoÆc (a,b) = d

- - Khi vµ ta nãi m lµ béi chung cña a vµ b. Khi m # 0 vµ m

lµ sè nhá nhÊt trong tËp hîp çc béi chung cña a vµ b ta nãi m lµ

béi chung nhá nhÊt cña a vµ b

Ký hiÖu BCNN(a,b) = m hoÆc [a,b] = m

Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt cho

1. DÊu hiÖu chia hÕt cho 11:

Mét sè chia hÕt cho 11 khi tæng çc ch÷ sè ë vÞ trÝ lÎ b»ng tæng

çc ch÷ sè ë vÞ trÝ ch½n vµ chØ nh÷ng sè ®ã míi chia hÕt cho

11

2. DÊu hiÖu chia hÕt cho 4, 25

Nh÷ng sè cã hai ch÷ sè tËn cïng chia hÕt cho 4 (hoÆc 25) th×

chia hÕt cho 4 (hoÆc 25) vµ chØ nh÷ng sè ®ã míi chia hÕt cho 4

(hoÆc 25)

3. DÊu hiÖu chia hÕt cho 8, 125

Nh÷ng sè cã ba ch÷ sè tËn cïng chia hÕt cho 8 (hoÆc 125) th×

chia hÕt cho 8 (hoÆc 125) vµ chØ nh÷ng sè ®ã míi chia hÕt cho

8 (hoÆc 125)

15

Mét sè tÝnh chÊt:

- NÕu mét tÝch chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× trong tÝch chøa

Ýt nhÊt mét thõa sè chia hÕt cho p

- NÕu tÝch a.b chia hÕt cho m trong ®ã b vµ m lµ hai sè nguyªn

tè cïng nhau th× a chia hÕt cho m

- NÕu a chia hÕt cho m vµ n th× a chia hÕt cho béi chung nhá

nhÊt cña m vµ n

Çch ph¸t biÓu kh¸c: NÕu a chia hÕt cho 2 sè nguyªn tè cïng nhau

th× a chia hÕt cho tÝch hai sè ®ã

- NÕu A B th× mA nB B

(m,n N, A vµ B lµ çc biÓu thøc cña sè tù

nhiªn)

II. Çc ph¬ng ph¸p chøng minh chia hÕt.

1. Sö dông tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng.

VÝ dô:

a/ Cho A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 … + 299

CMR: A chia hÕt cho 31

Gi¶i: Ta cã A = 20 + 21+ 22+ 23+ 24+ 25 … + 299

= (20+ 21+ 22+ 23+ 24) + 25.(20+ 21+ 22+ 23+ 24)+… +

295. (20+21+ 22+23+ 24) = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) .

(1 + 25 + 210 + …. + 295)

= 31. (1 + 25 + 210 + …. + 295) chia hÕt cho 31 §pcm.

b/ T×m sè tù nhiªn n ®Ó 3n + 4 chia hÕt cho n – 1.

Gi¶i: §Ó hay n – 1

Ư(7)

16

VËy víi n = 2 hoÆc n = 8 th×

2. Sö dông ®ång d thøc.

VÝ dô: Chøng tá r»ng: 175 + 244 - 1321 chia hÕt cho 10

Gi¶i: Ta cã

Hay 175 + 244 - 1321 0(mod 10). VËy 175 + 244 - 1321 10

§pcm.

3. Sö dông tÝnh chÊt cña sè nguyªn tè cïng nhau

VÝ dô: CMR: n5 – n 30

Gi¶i: Bµi to¸n lu«n ®óng víi n = 0 vµ n =1

XÐt n 2:

§Æt A = n5 – n = n (n2 +1)(n+1)(n-1)

Ta cã A 10 ( V× n5 vµ n cã ch÷ sè tËn cïng gièng nhau)

A 3 (V× trong A cã tÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp (n-

1)n(n+1) )

A chia hÕt cho c¶ 3 vµ 10.

Mµ ¦CLN(3, 10) = 1 nªn A chia hÕt cho 3.10

VËy A 30 §pcm.

C. C¸c bµi to¸n vÒ íc vµ béi vµ sè nguyªn tè

Phương pháp chung để giải : 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các

yếu tố đã cho để tìm hai số.

17

2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa

ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b],

trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b.

Việc chứng minh hệ thức này không khó :

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ;

(m, n) = 1 (*)

Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd

=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab

=> ab = (a, b).[a, b] . (**)

Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa.

Bài toán 1 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16.

Lời giải : Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b.

Từ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z + ;

(m, n) = 1.

Theo định nghĩa BCNN :

[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15

=> m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80.

Chú ý : Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này : ab = (a, b).[a, b]

=> mn.162 = 240.16 suy ra mn = 15.

Bài toán 2 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6.

Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b.

Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n.

Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1,

n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18.

Bài toán 3 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60.

Lời giải :

Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3.

18

Tìm được (a, b) = 3, bài toán được đưa về dạng bài toán 2.

Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15.

Chú ý : Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN :

Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3.

Bài toán 4 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5.

Lời giải : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1.

Vì vậy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 và n = 5

hay a = 65 và b = 25.

Chú ý : phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản do (m, n) = 1.

Bài toán 5 :

Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140.

Lời giải : Đặt (a, b) = d. Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d.

Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35.

Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16.

Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b.

Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n.

Vì vậy : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = 8

Tương đương với m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112

hoặc a = 48, b = 80

Bài toán 7 : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.

Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1.

Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n.

Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1)

[a, b] = mnd = 72 (2)

=> d là ước chung của 42 và 72 => d thuộc {1 ; 2 ; 3 ; 6}.

19

Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp

d = 6 => m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 . (thỏa mãn các điều kiện của m,

n). Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24

Bài toán 8 : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140.

Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1.

Do đó : a - b = d(m - n) = 7 (1’)

[a, b] = mnd = 140 (2’)

=> d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1 ; 7}.

Thay lần lượt các giá trị của d vào (1’) và (2’) để tính m, n ta được kết quả duy nhất

d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4

Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 .

BÀI TẬP

1) T×m hai sè biÕt ¦CLN cña chóng:

VÝ dô 1: T×m hai sè tù nhiªn, biÕt r»ng tæng cña chóng b»ng 100

vµ cã ¦CLN lµ 10.

Gi¶i:

Gäi hai sè ph¶i t×m lµ a vµ b (a b). Ta cã ¦CLN(a,b) = 10

Do ®ã a =10.a’ vµ b = 10.b’ trong ®ã ¦CLN(a’,b’) = 1 (a, b, a’, b’

N)

Theo ®Çu bµi: a + b = 100 suy ra 10.a’ + 10.b’ =100 nªn a’+b’ =

10 (a’ b’)

Chän hai sè nguyªn tè cïng nhau cã tæng lµ 10 ta cã

a’ 1 3 Do ®ã a 10 30

b’ 9 7 b 90 70

VÝ dô 2: T×m hai sè tù nhiªn biÕt ¦CLN cña chóng lµ 5 vµ chóng

cã tÝch lµ 300

20

Gi¶i:

Gäi hai sè ph¶i t×m lµ a vµ b (a b). Ta cã ¦CLN(a,b) = 5

Do ®ã a =5.a’ vµ b = 5.b’ trong ®ã ¦CLN(a’,b’) = 1 (a, b, a’, b’

N)

Theo ®Çu bµi: a.b = 300 suy ra 25.a’.b’ =300 nªn a’.b’ = 12 (a’

b’)

Chän hai sè nguyªn tè cïng nhau cã tÝch lµ 12 ta cã

a’ 1 3 Do ®ã a 5 15

b’ 12 4 b 60 20

VÝ dô 3: Chøng minh r»ng nÕu sè nguyªn tè p > 3 th× (p - 1).(p +

1) 24

Gi¶i:

Ta cã : (p - 1).p.(p + 1) 3 (TÝch 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp)

V× p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3 nªn ¦CLN(3, p) = 1 (p - 1).(p + 1)

3

Do p lµ sè nguyªn tè nªn p – 1 vµ p + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp

nªn cã 1sè lµ béi cña 2 vµ mét sè lµ béi cña 4 (p - 1).(p + 1) 8

Mµ ¦CLN(3,8) = 1 nªn (p - 1).(p + 1) 3. 8. VËy (p - 1).(p + 1) 24

§pcm.

2) C¸c bµi to¸n phèi hîp gi÷a ¦CLN vµ BCNN

VÝ dô: T×m hai sè tù nhiªn a, b (a b)biÕt ¦CLN(a,b) = 12,

BCNN(a,b) =180

Gi¶i:

Theo ®Çu bµi: ¦CLN(a,b) = 12 Do ®ã a =12.a’ vµ b = 12.b’

trong ®ã ¦CLN(a’,b’) = 1 (a’ b’; a’, b’ N). V× ¦CLN(a,b) .

BCNN(a,b) = a.b

21

nªn 144a’.b’ = 2160 suy ra a’.b’ = 15

a’ 1 3 Do ®ã a 12 36

b’ 15 5 b 180 60

d. Çc d¹ng bµi tËp

Bài tập tự giải : Bài 1 : a) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16.

b) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6.

c) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết ab = 180, [a, b] = 60.

d) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5.

e) Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140.

HD: Đặt (a, b) = d. Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d.

Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 suy ra d = 7 suy ra a = 28 ; b = 35.

Bài 2: Tìm hai số a, b biết:

a) 7a = 11b và (a, b) = 45.

b) a + b = 448, ƯCLN (a,b) = 16 và chúng có chữ số tËn cïng giống nhau.

Bµi 3: Cho hai số tự nhiên a và b. Tìm tất cả các số tự nhiên c sao cho trong ba

số, tích của hai số luôn chia hết cho số còn lại.

Bµi 4: T×m çc sè tù nhiªn m vµ n sao cho ( 2m + 1)(2n + 1) =

91

Bµi 5: T×m çc sè tù nhiªn n sao cho 5n + 45 n + 3

Bµi 6: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¶ p + 4 vµ p + 8 ®Òu lµ çc

sè nguyªn tè

Bµi 7: Cho p, q , r lµ ba sè nguyªn tè lín h¬n 3

Chøng minh r»ng: p2 + q2 + r2 lµ hîp sè.

e. Híng dÉn gi¶i

22

Bµi 7: CM “ B×nh ph¬ng cña mét sè nguyªn tè lín h¬n 3 chia cho

3 cã sè d lµ 1.”

f. tµi liÖu tham kh¶o


dôc n¨m 2002


3. Vâ §¹i Mau _ To¸n n©ng cao vµ ph¸t triÓn båi dìng häc sinh giái

líp 6 _ NXB TrÎ n¨m 2006.

23

chuyen de tu chon 6 nang cao hay

Documents