chuyen deluyen tap hinh hoc khong gian (1)

Chuyên đề:Luyện tập Hình Học Không Gian Hội Đồng Bộ Môn Toán -Tình Đồng Tháp

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN TỈNH ĐỒNG THÁP GV: VÕ THÀNH NHUNG

A. Đặt vấn đề : Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh.

Trong quá trình giảng dạy, giáo viên luôn phải yêu cầu học sinh nắm được chuẩn kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó tạo thái độ và động cơ học tập đúng đắn.

Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta có nhiều vấn đề cần giải quyết cho mỗi phân môn của toán học phổ thông,trong đó vấn đề giảng dạy và kỹ năng giải toán hình học không gian cổ điển của thầy và trò còn nhiều điều cần nghiên cứu . Chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 là nội dung có thể nói là rất trừu tượng, có nhiều kiến thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn trong việc vẽ và nhìn hình không gian, khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập toán còn nhiều hạn chế …

Xuất phát từ thực tế trên và qua nhiều năm giảng dạy môn hình học không gian cổ điển tương đối có kết quả , nay tôi xin đề nghị một phương pháp để dạy luyện tập bài tập chương khối đa diện trong các tiết bài tập và tự chọn trên lớp hay tăng tiết của lớp (trên cơ sở chuẩn kiến thức và bài tập sách giáo khoa) để học sinh rèn kỹ năng giải toán về khối đa diện và giúp mọi đối tượng học sinh ,nhất là học sinh trung bình - yếu kém lĩnh hội kiến thức cơ bản nhất .

I. Cơ sở lí luận : Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế kinh nghiệm đã giảng dạy các tiết

dạy luyện tập về khối đa diện mà trọng tâm là thể tích khối đa diện. Khi giải bài tập toán, học sinh phải được trang bị các kiến thức cơ bản hình học của lớp

dưới ,các kỹ năng phân tích đề bài và hình vẽ không gian để từ đó suy luận ra quan hệ giữa kiến thức củ và kiến thức mới, giữa bài toán đã làm và bài toán sẻ làm , hình thành phương pháp giải toán bền vững và sáng tạo.

Các tiết dạy bài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống từ dễ đến khó nhằm gây hứng thú cho học sinh , kích thích óc tìm tòi , sáng tạo của học sinh.

Hệ thống bài tập phải giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất nhất , và dần dần phát triển khả năng suy luận, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt và sáng tạo vào giải thuật của một bài toán. Từ đó học sinh có hứng thú và tạo ra động cơ học tập tốt đối với môn hình học không gian.II. Cơ sở thực tiển :

Trong quá trình giảng dạy hình học không gian, tôi thấy đa số học sinh rất lúng túng, kỹ năng giải toán hình không gian còn yếu ,thậm chí không vẽ được một hình đơn giản. Bên cạnh đó bài tập sách giáo khoa của chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 đưa ra chưa được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó, đặc biệt quá phức tạp đối với học sinh trung bình ,yếu kém dẫn đến học sinh có tư tưởng chán nản , e sợ không học môn hình học không gian.

Do đó dạy bài tập toán, đặc biệt với chương này giáo viên cần có phương pháp giảng dạy hấp dẩn,sinh động , gây hứng thú cho học sinh ,giáo viên cần tìm tòi, sáng tạo để soạn bài tập trên cơ sở chuẩn kiến thức và sách giáo khoa, thiết kế hình vẽ rỏ ràng và giải thuật ngắn gọn hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản của bài học, hình thành

1


phương pháp, kĩ năng, kỹ xảo giải các bài toán hình không gian và lĩnh hội kiến thức mới bền vững , từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong các kỳ thi.

Mục tiêu : Giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản nhất của chương, phân biệt khối đa diện, thể

tích khối đa diện, các đa diện đều. Tất cả học sinh rèn được kỹ năng tính toán các đại lượng hình học, tính được thể tích khối đa diện tương đối đơn giản. Trên cơ sở đó học sinh nắm được kiến thức cơ bản và rèn kỷ năng giải các bài tập khó hơn về khối đa diện. Thời gian thực hiện: Các tiết bài tập theo phân phối chương trình và tự chọn ( hay các tiết bồi dưỡng, phụ đạo ,...) Đối tượng: học sinh khối 12 trường có đầu vào chất lượng trung bình - yếu, học theo chương trình chuẩn hay nâng cao. Các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh:

+ Phần lớn học sinh không nhớ các hệ thức trong tam giác và tứ giác,.....+ Các kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11 còn rất hạn chế .+ Kỹ năng tư duy phân tích giã thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong hình không gian và hình học phẳng còn quá yếu.+ Kỹ năng vẽ hình trong không gian quá kém.

III. Phương pháp luyện tập tổng quát môn hình học không gian cổ điển :1. Mục đích yêu cầu:

+ Ôn tập cho học sinh một số kiến thức cần thiết: hệ thức trong tam giác thường, tam giác vuông, các kiến thức cơ bản của tam giác đều, cân,... hình vuông, chữ nhật ....…+ Ôn tập cho học sinh một số kiến thức trọng tâm về quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng, mặt phẳng .....đã học ở lớp 11.+ Hệ thống bài tập được phân loại theo khối đa diên và các dạng thông dụng trong các kỳ thi : bài tập được soạn ra từ dễ đến khó, khai thác triệt để và tinh giản các bài tập trong sách giáo khoa kết hợp soạn thêm bài tập bằng cách sắp xếp lại theo dạng từ đơn giản đến phức tạp trên cơ sở yêu cầu của chuẩn kiến thức.+ Bài tập chương này trong sách giáo khoa rất khó, khi chọn bài tập trong sách giáo khoa có bài ta cần thay đổi một số giả thiết :về độ dài của một cạnh,về góc giữa đường thẳng với đường thẳng ,với mặt phẳng và góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng ...để học sinh dễ tính toán, dễ tiếp thu; các bài tập khó phải bổ sung thêm những câu hỏi hướng dẩn để giảm bớt độ tư duy phức tạp của bài toán hoặc soạn lại đơn giản hơn theo yêu cầu bài tập đó.+ Trước khi dạy mỗi dạng bài tập, giao bài tập về nhà cho học sinh chuẩn bị trước từ đơn giản đến phức tạp có mục đích cũng cố trọng tâm của bài học. + Dạy xong các dạng bài tập ,giáo viên giao bài tập vừa sức, tương tự về nhà cho các học sinh tự rèn luyện các kỹ năng xây dựng hình không gian và các giải thuật toán học .

Bằng cách này học sinh yếu, trung bình có thể tiếp thu được những yêu cầu cơ bản nhất của chương, học sinh khá nâng cao được kỷ năng giải toán, có hứng thú trong môn học hình không gian cổ điển và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi cuối năm .

2. Phương pháp luyện tập đối với một bài tập hình học không gian : Giáo viên dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh đối với bài

tập, để từ đó có bước ôn tập các kiến thức cần thiết cho học sinh trước khi giáo viên hướng dẩn học sinh thực hiện giải bài luyện tập.

Giáo viên hướng dẩn luyện tập học sinh phân tích đề bài để dựng hình .

2


Trên cơ sở hình đã vẽ,giáo viên hướng dẩn ,luyện tập học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ hơn,đơn giản hơn và phải thực hiện giải thuật theo một thứ tự hợp suy luận logic của hình đã vẽ.

Sau khi thực hiện xong một bài tập, giáo viên phải củng cố các kiến thức toán học quan trọng nào của bài tập yêu cầu học sinh khắc sâu và để vận dụng cho các bài tập khác.

B. Nội dung thực hiện: I. Ôn tập kiến thức cơ bản :

3

c b

a

MH CB

A


ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho vuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : b)c) AB. AC = BC. AH

d)

e) BC = 2AM

f)

g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = ,

b = c. tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

* Định lý hàm số Sin:

3. Các công thức tính diện tích. a/ Công thức tính diện tích tam giác:

a.ha = với

Đặc biệt :* vuông ở A : ,* đều cạnh a:

b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng

d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn)

d/ Diện tích hình thang : (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao

e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn :

ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11

A.QUAN HỆ SONG SONG§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

I. Định nghĩa:Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.

a

(P)

II.Các định lý:

4


ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P)

d

a

(P)

ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.

d

a(Q)

(P)

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

a

d

QP

§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONGI. Định nghĩa:Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. Q

P

II.Các định lý:ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.

Ib

a

Q

P

ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia.

a

Q

P

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.

b

a

R

Q

P

B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC

5


§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNGI.Định nghĩa:Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó. P c

a

II. Các định lý:ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P).

d

ab

P

ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

a'

a

bP

§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓCI.Định nghĩa :

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.

II. Các định lý:

ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Q

P

a

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).

d Q

P

a

6


ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)

A

Q

P

a

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

a

R

QP

§3.KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

aH

O

H

O

P

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P).

d(a;(P)) = OH

a

H

O

P

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

d((P);(Q)) = OHH

O

Q

P

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

d(a;b) = AB B

A

b

a

§4.GÓC

7

B

h

a

b

c

a

a

a

h


1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.

b'b

a'a

2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.

Pa'

a

3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm

ba

QP

P Q

a b

4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì

trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).

C

B

A

S

ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12

A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N

I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h

với

a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước

b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh

2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

8

h


V= Bh

với

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:

C'

B'

A'

C

B

A

S

4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:

với

BA

C

A' B'

C'

Chú ý:1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a ,

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a ,

Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = ,

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).

4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

II/ Bài tập:Nội dung chính Bài tập soạn trong các tiết dạy được phân loại theo các dạng thông dụng trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và trên cơ sở chuẩn kiến thức đối với học sinh trung bình yếu, đi từ dễ đến khó để đạt được yêu cầu thi tốt nghiệp THPT .

LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

1) Dạng 1 : Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.

Hoạt động của giáo viên:

9

a

3a

C'

B'

A'

C

B

A


Gv: Dự đoán chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh để ôn tập: + Học sinh không vẽ được lăng trụ đứng tam giác .+ Học sinh không xác định được cạnh tam giác vuông cân + Học sinh không biết dùng định lí Pythagor để tính chiềo cao lăng trụ. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình + Dựng tam giác vuông đáy ABC hay A'B'C' .+ Dựng các cạnh bên lăng trụ đứng. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ. + Phân tích từ V = B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? +Tìm diện tích đáy ABC thì phải dùng công thức nào ? tìm cạnh nào ? tại sao ?+Tìm chiều cao AA' của lăng trụ phải dùng tam giác nào bởi định lí gì ?

Lời giải: Ta có vuông cân tại A nên AB = AC = aABC A'B'C' là lăng trụ đứng

Vậy V = B.h = SABC .AA' =

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh để ôn tập: + Học sinh không vẽ được lăng trụ tứ giác đều .+ Học sinh không xác định được tam giác BDD' vuông tại D+ Học sinh không biết dùng định lí Pythagor để tính đường chéo đáy+ Học sinh không tính được cạnh của hình vuông ABCD. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình + Dựng tứ giác đều ABCD hay A'B'C'D' .+ Dựng các cạnh bên của lăng trụ đứng.+ Học sinh dựng một đường chéo BD' của lăng trụ . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ. + Phân tích V= B.h để có h =4a và tìm B trong hình là diên tích đối tượng nào ? +Tìm diện tích đáy ABCD thì phải tìm cạnh nào ? tại sao ?+Tìm BD thì dùng tam giác nào? tại sao ? Suy ra cạnh hình vuông ABCD ?

10


5a4a

D' C'

B'

A'

D C

BA

Lời giải: ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2

ABCD là hình vuông

Suy ra B = SABCD =

Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không vẽ được lăng trụ tam giác đều.+ Học sinh không xác định được đường cao và diện tích của tam giác đều .+ Học sinh không biết xác định I chân đường cao để vận dụng định lý 3 đường vuông góc . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình + Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của lăng trụ đứng.+ Dựng tam giác A'BC và các đường cao A'I , AI . Tại sao ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ. + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diên tích B = SABC bằng công thức nào ?+ Từ diện tích suy ra cạnh nào ? tại sao ? + Tìm h = AA' dùng tam giác nào và định lí gì ?

A' C'

B'

A

B

C

I

Lời giải: Gọi I là trung điểm BC .Ta có

ABC đều nên

.

Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'=

Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.


11

A'

D

B'

C'

A'

C

D'

C'

B'B

D'

A


Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không vẽ được tấm bìa còn lại sau khi cắt ở 4 góc của tấm bìa .+ Học sinh không dựng được hình hộp theo đề bài yêu cầu+ Học sinh không xác định được đường cao và diện tích đáy của hộp . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình: + Dựng tấm bìa và các đường cắt song song cạnh hình vuông.+ Dựng hộp bằng cách gấp tấm bìa theo các đường cắt. Tại sao ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm h = AA' ? Tại sao ?+ Tìm AB ? Suy ra B = SABCD = AB2 ?

D'

A'

C'

B'D

A

C

B

Giải Theo đề bài, ta có AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm và chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp là V = SABCD.h = 4800cm3

Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không vẽ được hình hộp đứng có đáy là hình thoi.+ Học sinh không xác định được tam giác ABD đều .+ Học sinh không tính được diện tích hình thoi+ Học sinh không tính được AC để suy ra BD'+ Học sinh không biết dùng định lý Pythagor vào tam giác BDD' để tính DD' Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' và dựng các cạnh bên của hình hộp.+ Dựng chéo lớn AC của ABCD ? và chéo nhỏ của hình hộp? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào ?+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và định lí gì ?

12

60

D' C'

B'A'

D C

BA


Lời giải:Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a

và SABCD = 2SABD =

Theo đề bài BD' = AC =

Vậy V = SABCD.DD' =

Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.

ĐS: ; S = 3a2

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng . Tính thể tích của lăng trụ.

Đs: V = 2a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ. Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2

Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ . Đs: V = 1080 cm3

Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 24a3

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 64 cm3

Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2888Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 . Tính thể tích khối lập phương Đs: V = 8 m3

Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Đs: V = 0,4 m3

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là . Tính thể tích khối hộp này . Đs: V = 6

13

o60

C'

B'

A'

C

B

A


2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.+ Học sinh không biết cạnh bên lăng trụ đứng vuông góc đáy để suy ra tam giác vuông + Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài một cạnh của tam giác . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và dựng các cạnh bên của hình lăng trụ .+ Dựng A'B ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Tìm hình chiếu của A'B trên đáy ABC. Suy ra góc [A'B,(ABC)] = ?+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời giải: Ta có là hình chiếu của A'B trên đáy ABC . Vậy

SABC =

Vậy V = SABC.AA' =

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.+ Học sinh không biết điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.+ Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài một cạnh của tam giác . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và dựng các cạnh bên của hình lăng trụ đứng .

14


+ Dựng BC' ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Tìm hình chiếu của BC' trên (AA'C'C). Suy ra góc [BC',(AA'C'C)] = ?+ Tìm AC' trong tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác gì ?+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

ao

60

o30

C'

B'

A'

C

B

A

Lời giải: .Ta có:

nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = = 30o

V =B.h = SABC.AA'

là nửa tam giác đều nên

Vậy V =

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.+ Học sinh không biết cạnh bên vuông góc đáy để suy ra tam giác vuông + Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài một cạnh của tam giác . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ .+ Dựng BD' và BD ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Tìm hình chiếu của BD' trên đáy ABCD. Suy ra góc [BD',(ABCD)] = ?+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của hình vuông ABCD bằng công thức nào ?+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

15


o30

a

D'

C'

A'

B'

D

C B

A

Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD . Vậy góc [BD';(ABCD)] =

Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' =

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o . Tính thể tích của hình hộp.Hoạt động của giáo viên:

Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.+ Học sinh không biết cạnh bên vuông góc đáy để suy ra tam giác vuông + Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài một cạnh của tam giác.

Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ đứng.+ Dựng AB' ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Tìm hình chiếu của AB' trên (ABCD). Suy ra góc [AB',(ABCD)] = ?+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Dựng BD. Suy ra tam giác ABD có hình tính gì ? Suy ra diện tích B của ABCD bằng cách nào? +Tính h = BB' trong tam giác nào ? Dùng hệ thức lượng giác nào ?

a

o30

o60

D'

C'B'

A'

D

CB

A

Giải

đều cạnh a

vuông tạiB

Vậy

Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ

ĐS:

16


Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.

ĐS:

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') một góc 30o .

Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS: ;

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o .

Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. ĐS: , S =

Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 .

Tính thể tích lăng trụ ĐS:

Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD) một góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o .

Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs:

Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . Gọi O là tâm của ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi:

1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương .2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o .3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o.

Đs:1) ;2) ;3)

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o .

2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o . Đs: 1)V = 2)V =

Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ . Đs: V = a3 và S = 6a2

Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD' = AC' = CA' =

1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật.2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc

đường chéo. Chứng minh rằng .

3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc

17


600 .Tính thể tích lăng trụ.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.+ Học sinh không biết cạnh bên lăng trụ đứng vuông góc đáy để suy ra tam giác vuông + Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài các cạnh tam giác.

Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ .+ Dựng mặt (A'BC) ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?+ Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

C'

B'

A'

C

B

Ao60

Lời giải:Ta có

Vậy

SABC =

Vậy V = SABC.AA' =

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông.+ Học sinh không biết cách tạo ra phương trình đại số để tìm độ dài một cạnh . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ .+ Dựng mặt (A'BC) ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Nhận xét có hình tính gì ? Suy ra I là trung điểm của BC cho ta vị trí AI và A'I thế nào với BC? Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Đặt BC = 2x . Suy ra A'I bởi tam giác nào ?

18


+ Từ diện tích tam giá A"BC suy ra x bởi công thức nào?+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

x

o30

I

C'

B'

A'

C

B

A

Giải: đều mà AA' nên A'I (đl 3 ). Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = = 30o

Giả sử BI = x 32

32x

xAI .Ta có

xxAI

AIIAAIA 23

32

3

230cos:':' 0

A’A = AI.tan 300 = xx 3

3.3

Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8 2 x

Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .

+ Học sinh không áp dụng được các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của lăng trụ đứng .+ Dựng mặt (BDC') ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ?+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?+ Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

a

060

O

A'

D'

B'

C'

C

A

D

B

Gọi O là tâm của ABCD . Ta cóABCD là hình vuông nênCC' (ABCD) nên OC' BD (đl 3 ). Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = = 60o Ta có V = B.h = SABCD.CC'ABCD là hình vuông nên SABCD = a2

vuông nên CC' = OC.tan60o =

Vậy V =

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng

19


(A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

+ Học sinh không áp dụng được các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hình chữ nhật ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình hộp .+ Dựng mặt (A'BC) và đường chéo A'C ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?+ Suy ra góc[(A'BC);(ABCD)] = ?+ Tìm hình chiếu của A'C trên (ABCD) ? Suy ra góc[A'C,(ABCD)] = ?+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?+ Tìm AB và AC bởi tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác nào ?+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

2a

o30

o60

D'

C'B'

A'

D

CB

A

Ta có AA' AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD) . Vậy góc[A'C,(ABCD)] = BC AB BC A'B (đl 3 ) . Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] =

AC = AA'.cot30o =

AB = AA'.cot60o =

Vậy V = AB.BC.AA' =

Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 . Tính thể tích hộp chữ

nhật. Đs:

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ. Đs: V = 3a3

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ. Đs:

20


Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.

Đs:

Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.

Đs:

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o .2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o.3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.

Đs: 1) ; 2) V = ; V =

Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o .2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 .3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .

Đs: 1) V = 16a3 . 2) V = 12a3 .3) V =

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .2)Tam giác BDC' là tam giác đều.3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

Đs: 1) ; 2) V = ; V =

Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .

2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng

3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

Đs: 1) ; 2) V = ; V =

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:

1) AB = a2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30o

3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300

Đs: 1) ; 2) V = ; V =

4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên

21


Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.+ Học sinh không xác định được góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy .+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm chiều cao lăng trụ.

Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ xiên . + Dựng đường cao CC'. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Xác định góc giữa cạnh bên với đáy : Hình chiếu của CC' trên (ABC) là gì?+ Suy ra góc[CC';(ABC)] = ?+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?+ Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

H

o60

a

B'

A'C'

C

B

A

Lời giải: Ta có là hình chiếu của CC' trên (ABC) Vậy

SABC = .Vậy V = SABC.C'H =

Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 .

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.2) Tính thể tích lăng trụ .

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.+ Học sinh không xác định được góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy .+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài chiều cao lăng trụ.

Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác đều ABC và tâm O của nó . + Dựng đường cao OA'. Từ đó dựng các cạnh bên của lăng trụ. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

22


+ Xác định góc giữa cạnh bên AA' với đáy ABC : Hình chiếu của AA' trên (ABC) là gì? Suy ra góc[AA'';(ABC)] = ?+Chứng minh BC AA' bằng cách Chứng minh BC mặt phẳng nào ? Tứ đó có thể BCCC' không ? tại sao? Vậy BB'C'C là hình gì?+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?+ Tìm h = AA'' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

HO

o60

C'

A

a

B'

A'

C

B

Lời giải: 1) Ta có là hình chiếu của AA' trên (ABC) Vậy Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ) tại trung điểm H của BC nên

(đl 3 ) mà AA'//BB'

nên .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.

2) đều nên

Vậy V = SABC.A'O =

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 AD = 7 .Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh không vẽ được hộp có đáy là hình chữ nhật. + Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt bên với đáy hộp. + Học sinh không tạo ra được phương trình đại số có ẩn số là chiều cao của hộp. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hình chữ nhật ABCD và các cạnh bên của hình hộp . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Xác định góc giữa mặt bên với đáy.Dựng đường cao A'H và HN AD HM AB Suy ra góc[(ABB'A');(ABCD)] =? góc[(ADD'A');(ABCD)] = ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?+ Tìm h = A'H không dùng trực tiếp tam giác vuông nào được ? Đặt x = A'H

23


+ Dùng hai tam giác nào bởi định lý gì để tạo ra phương trình theo x ?

HN

M

D'C'

B'

A'

D

C

B

A

Lời giải:Kẻ A’H )(ABCD ,HM ADHNAB ,

ADNAABMA ',' (đl 3 )

Đặt A’H = x . Khi đó

A’N = x : sin 600 = 3

2x

AN = HMx

NAAA

3

43''

222

Mà HM = x.cot 450 = x

Nghĩa là x = 7

3

3

43 2

xx

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x

= 3

3. 7. 37

Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABCD một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =336Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và và biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.

Đs: V =

Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A'

cách đều A,B,C biết AA' = .Tính thể tích lăng trụ. Đs:

Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bêb BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60o .

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.

2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. Đs:

Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC 1 góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .

1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.

2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'. Đs: 1) 2)

Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.

1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.

24


2) Tính thể tích lăng trụ. Đs: 1) 30o 2)

Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90o

Đs:

Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60o .

1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.

3) Tính thể tích của hộp. Đs: 2) . 3)

Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a. 1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy. 2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.

Đs: 1) 60o 2)

LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

1) Dạng 1 : Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh không biết 2 mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến vuông góc mặt phẳng thứ ba+ Học sinh không xác định được AC vuông góc với (SBC).+ Học sinh không vẽ được chóp có đáy là SBC và đỉnh là A. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC và cạnh bên AC (ABC) ? . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

+ Tìm diện tích B của SBC bằng công thức nào ?

25


_

\

/

/

a

B

S

C

A Lời giải: Ta có

Do đó

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.

1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông . 2)Tính thể tích hình chóp .

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh không biết áp dụng định nghĩa đường thẳng vuông góc mặt phẳng và áp dụng định lý 3 đường vuông góc . + Học sinh không biết tính cạnh góc vuông trong tam giác vuông cân . + Học sinh không xác định được góc giữa SB với đáy ABC. + Học sinh không tính được SA qua hệ thức lượng giác trong tam giác vuông. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC và cạnh bên SA (ABC) ? . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Xác định góc[SB,(ABC)] = ? Tại sao?


+ Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ? Tính BA ?+ Tìm h = SA qua tam giác nào bởi công thức gì ?

a

o60

S

C

B

A

Lời giải:1) mà ( đl 3 ).Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông. 2) Ta có là hình chiếu của SB trên (ABC). Vậy góc[SB,(ABC)] = .

vuông cân nên BA = BC =

SABC =

Vậy

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA

26


vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp .

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh không biết áp dụng định nghĩa đường thẳng vuông góc mặt phẳng và áp dụng định lý 3 đường vuông góc . + Học sinh không xác định được góc giữa (SBC) với đáy (ABC).+ Học sinh không biết tính đường cao của tam giác đều . + Học sinh không tính được SA qua hệ thức lượng giác trong tam giác vuông. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác đều ABC và cạnh bên SA (ABC) ? . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Xác định góc[(SBC),(ABC)] = ? Tại sao?


+ Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ? + Tìm h = SA qua tam giác nào và công thức gì ?

a

o60

M

C

B

A

S Lời giải: Mlà trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM BC SA BC (đl3

) . Vậy góc[(SBC);(ABC)] = .

Ta có V =

Vậy V =

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.

1) Tính thể tích hình chóp SABCD.2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh không biết áp dụng định lý 3 đường vuông góc . + Học sinh không biết tính cạnh góc vuông trong tam giác vuông cân . + Học sinh không xác định được góc giữa (SCD) với đáy ABCD. + Học sinh không tính được SA qua hệ thức lượng giác trong tam giác vuông. +Học sinh không xác định được khoảng cách từ A đến (SCD) Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tứ giác ABCD và cạnh bên SA (ABCD) ? . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Xác định góc[(SCD),(ABCD)] = ? Tại sao?

27



+ Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ? + Tìm h = SA qua tam giác nào bởi công thức gì ?

H

a

D

CB

A

S

o60

Lời giải: 1)Ta có và ( đl 3 ).(1)

Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = = 60o .

vuông nên SA = AD.tan60o =

Vậy

2) Ta dựng AH ,vì CD (SAD) (do (1) ) nên CD AH Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).

Vậy AH =

Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o.

Tính thể tích hình chóp . Đs: V =

Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp SABC

. Đs:

Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o .Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp.

Đs:

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD (ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm.

1) Tính thể tích ABCD. Đs: V = 8 cm3

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Đs: d =

Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc , biết và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối

chóp SABC. Đs:

Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp.

Đs:

28


Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4aTính thể tích khối chóp. Đs: V = 20a3

Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60o và SA (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.

Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs:

Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o

Tính thể thích khối chóp SABCD. Đs:

Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD

một góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs:

2) Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.

2) Tính thể tích khối chóp SABCD.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh không nhớ tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến.+ Học sinh không xác định được đường cao của chóp . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tứ giác ABCD và mặtbên (SAB) (ABCD) ? . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ H là trung điểm của AB. Chứng minh SH (ABCD) ?


+ Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ? + Tìm h = SH qua tam giác nào bởi công thức gì ?

aH

D

CB

A

SLời giải:1) Gọi H là trung điểm của AB.

đều mà Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =

suy ra

29


Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC) (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .Tính thể tích tứ diện ABCD.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh không nhớ tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến.+ Học sinh không xác định được góc hợp bởi đường thẳng với mặt phẳng.+ Học sinh quên tính chất đường cao của tam giác đều và tam giác cân . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC và BDC dựa vào (ABC) (BCD) ? . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Xác định góc[AD,(BCD)] = ? Tìm hình chiếucủa AD trên (BCD) ?


+ Tìm diện tích B của BCD bằng công thức nào ? + Tìm h = AH qua tam giác nào bởi công thức gì ?

o60

a

H D

C

B

A Lời giải: Gọi H là trung điểm của BC.Ta có tam giác ABC đều nên AH (BCD) , mà (ABC) (BCD) AH . Ta có AH HD AH = AD.tan60o =

& HD = AD.cot60o =

BC = 2HD = suy ra

V =

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.b) Tính thể tích khối chóp SABC.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh không nhớ tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến?+ Học sinh không xác định được góc hợp bởi mặt bên chóp với đáy chóp.+ Học sinh quên điều kiện 2 tam giác bằng nhau và tính chất chân đường phân giác trong tam giác ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC và SAC dựa vào (SAC) (ABC) ? . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

30


+ Xác định góc[(SAB),(ABC)] = ? và góc[(SBC),(ABC)] = ? + So sánh tam giác SHI và SHJ cho gì ? Suy ra AH là gì của tam giác ABC ?


+ Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ? + Tìm h = SH qua các tam giác nào bởi tích chất gì ?

45

IJ

HA

C

B

S Lời giải: a) Kẽ SH BC vì mp(SAC)mp(ABC) nên SHmp(ABC). Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC SIAB, SJBC, theo giả thiết Ta có: HJHISHJSHI nên BH là đường phân giác của ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.

b) HI = HJ = SH =2

aVSABC=

12.

3

1 3aSHS ABC

Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).

1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.

2) Tính thể tích khối chóp SABC. Đs:

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với

(ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC. Đs:

Bài 3: Cho hình chóp SABC có ; SBC là tam giác đều cạnh a và

(SAB) (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. Đs:

Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và (SBC) (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp

SABC. Đs:

Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng

vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện. Đs:

Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD, 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.

2) Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs:

31


Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể

tích hình chóp SABCD. Đs:

Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích

hình chóp SABCD. Đs:

Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp

SABCD. Đs:

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích

khối chóp SABCD . Đs:

3) Dạng 3 : Khối chóp đều

Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh quên điều kiện hai tam giác bằng nhau.+ Học sinh quên tính chất của đoạn xiên và hình chiếu của đoạn xiên+ Học sinh đa số quên tính chất của chóp đều nên không dựng được đường cao của chóp đều . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác đều ABC , từ tâm O dựng SO (ABC) . Tại sao ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ So sánh SA,SB,SC suyra OA,OB,OC bởi tích chất nào ?


+ Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ? + Tìm h = SO qua tam giác nào bởi định lí gì ?

a

2a

HO

C

B

A

S

Lời giải: Dựng SO (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.Ta có tam giác ABC đều nên

AO =

32


.Vậy

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . 1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.2) Tính thể tích khối chóp SABCD.

Hoạt động của giáo viên Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh + Học sinh không chứng minh được ABCD là hình vuông.+ Học sinh không tính được đường cao SO. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hình thoi ABCD và từ câu hỏi 1, dựng SO (ABCD) . Tại sao ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Hình thoi ABCD có nội tiếp trong đường tròn không? Suy ra gì từ giả thiết?


+ Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ? + Tìm h = SO qua tam giác nào bởi định lí gì ?

a

O

DC

BA

SLời giải: Dựng SO (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nênOA = OB = OC = OD ABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông . Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2

nên ASC vuông tại S 2

2

aOS

3

21 1 2 2.

3 3 2 6ABCD

a aV S SO a

Vậy

Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh đa số quên tứ diện đều và tính chất các mặt, các cạnh của nó.+ Học sinh không xây dựng được đường cao của chóp đều .+ Học sinh không xây dựng đường cao của MABC kẻ từ M ( khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ) ?+ Học sinh không nghỉ ra phương pháp tỉ số thể tích hai chóp có cùng đáy. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :

33


+ Dựng tam giác đều ABC ,từ tâm O dựng DO (ABC) . Tại sao ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:


+ Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ? + Tìm h = DO qua tam giác nào bởi định lí gì ?+ Mặt phẳng (DCO) (ABC) ? Dựng MH OC suy ra điều gì ?Tính MH ?

aI

HO

M

C

B

A

D

Lời giải:a) Gọi O là tâm của ABC ( )DO ABC

1

.3 ABCV S DO

2 3

4ABC

aS ,

2 3

3 3

aOC CI

2 2ô ó :DOC vu ng c DO DC OC 6

3

a

2 31 3 6 2

.3 4 3 12

a a aV

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH

1 6

2 6

aMH DO

2 31 1 3 6 2. .

3 3 4 6 24MABC ABC

a a aV S MH

Vậy

Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính

thể tích hình chóp. Đs:

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o.

1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . Đs: SH =

2) Tính thể tích hình chóp SABC. Đs:

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy

một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC. Đs:

Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .

Tính thể tích hình chóp. Đs:

34


Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh

bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đs:

Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và .

1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. Đs:

2) Tính thể tích hình chóp. Đs:

Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên

bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đs:

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.

Tính thể tích hình chóp . Đs:

Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.

Tính thề tích hình chóp. Đs:

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của

nó bằng . Đs: AB = 3a

4) Dạng 4 : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, 2AC a ,

SA vuông góc với đáy ABC , SA a1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( ) qua AG và song song

với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Hoạt động của giáo viên: Gv : Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Một số học sinh không nhớ tính chất trọng tâm tam giác, định lý Talet

+ Học sinh không nhớ và không biết vận dụng công thức tỉ số thể tích của 2 khối chóp tam giác .+Qua bài toán đơn giản này học sinh chưa nhận thức được cách tính thể tích khối thông qua khối khác để chuyển qua bài toán khó hơn trong sách giáo khoa.

Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC vuông cân tại B và SA (ABC).+ Dựng mặt phẳng qua G và // BC , cho MN //BC . Tại sao ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:


+ Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?

35


+ Tìm h = SA qua tam giác nào bởi định lí gì ?+ Tính trực tiếp thể tích SAMN quá phức tạp ta phải làm sao ? Lập tỉ số thể tích của SAMN và SABC ? Suy ra điều gì ?

G

M

N

I

C

B

A

S

Lời giải:

a)Ta có: .

1.

3S ABC ABCV S SA và SA a

+ â ó : 2ABC c n c AC a AB a

21

2ABCS a Vậy: 3

21 1. .

3 2 6SABC

aV a a

b) Gọi I là trung điểm BC.

G là trọng tâm,ta có : 2

3

SG

SI

// BC MN// BC 2

3

SM SN SG

SB SC SI

4

.9

SAMN

SABC

V SM SN

V SB SC

Vậy: 34 2

9 27SAMN SABC

aV V

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.b) Chứng minh ( )CE ABDc) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

Hoạt động của giáo viên: Gv : Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh:

+ Kỷ năng chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa tốt + Học sinh chưa áp dụng được công thức tỉ số thể tích thành thạo từ hình vẽ.

+ Học sinh không nhận ra ra tỉ số 2

2

DE DC

DA DA từ hệ thức 2.DE DA DC trong

tam giác vuông và khắc sâu để sử dụng. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC vuông cân tại A và SC (ABC)+ Dựng mặt phẳng qua C và BD cho thiết diện CEF. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h của ABCD là các đối tượng nào ?

+ Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ? +Chứng minh CE vuông góc với 2 đường thẳng nào trong mặt phẳng (ABD)?+ Tính trực tiếp thể tích CDEF phức tạp ta phải làm sao ? Lập tỉ số thể tích của DCEF và DABC bằng tỉ số các đại lượng hình học trong tam giác vuông nào ?

36


a

a

F

E

B

A

C

D

Lời giải:

a)Tính ABCDV :

b)Tacó: ,AB AC AB CD ( )AB ACD AB EC

Ta có: DB EC ( )EC ABD

c) Tính EFDCV :Ta có: . (*)DCEF

DABC

V DE DF

V DA DB

Mà 2.DE DA DC , chia cho 2DA

2 2

2 2

1

2 2

DE DC a

DA DA a

Tương tự: 2 2

2 2 2

1

3

DF DC a

DB DB DC CB

Từ(*) 1

6DCEF

DABC

V

V .Vậy

31

6 36DCEF ABCD

aV V

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng )( qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

Hoạt động của giáo viên: Gv : Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh thường sai lầm áp dụng công thức tỉ số thể tích hai tứ diên cho tỉ số thể tích 2 chóp tứ giác ?+ Học sinh không biết cắt chóp tứ giác thành 2 tứ diện để áp dụng công thức tỉ số thể tích 2 tứ diện ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tứ giác đều ABCD và SO (ABCD)+ Dựng (ABM) // CD để có điểm N ?+ Dựng BD và BN . Tại sao ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ? + Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?+ Lập tỉ số thể tích của SABN với SABD ; SAMN với SABC ?

37

I

O

A

B C

D

S

E

F

M


N

S

O

M

B

D

C

A

Lời giải: Kẻ MN // CD (N )SD thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

+ SABCDSADBSANBSADB

SAND VVVSD

SN

V

V

4

1

2

1

2

1

SABCDSBCDSBMNSBCD

SBMN VVVSD

SN

SC

SM

V

V

8

1

4

1

4

1

2

1.

2

1.

Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = SABCDV8

3.

Suy ra VABMN.ABCD = SABCDV8

5

Do đó : 5

3

.

ABCDABMN

SABMN

V

V

Ví dụ 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.

a) Hảy xác định mp(AEMF)b) Tính thể tích khối chóp S.ABCDc) Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Hoạt động của giáo viên: Gv : Dự đoán các chướng ngại văn húa và nhận thức của học sinh: + Học sinh trung bình ,yếu kém không xác định được góc hợp bởi cạnh bên và đáy chóp.+Học sinh gặp khó khăn về quan hệ song song để xác định E,F.+Học sinh không nhận biết cách phân chia chóp tứ giác thành 2 chóp tam giác+Học sinh không biết tính chất trọng tâm để dùng định lý Talet vào lập tỉ số Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :+ Dựng tứ giác đều ABCD và SO (ABCD)+ Dựng mặt phẳng qua AM và song song BD cho EF//BD . Tại sao ?+ Dựng I giao điểm của SO và EF tì I là gì của tam giác SAC. Tại sao ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Xác định góc giữa SA và ABCD là góc nào ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?

+ Tìm h = SO qua tam giác và hệ thức lượng giác nào? + Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?

+ Tính thể tích của SAEMF quá phức tạp thì sao ? Lập tỉ số thể tích của SAEMF và SABCD bằng cách nào ?+ Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?+ Lập tỉ số thể tích của SAMF với SACD ?

Lời giải:a) Gọi I SO AM . Ta có (AEMF) //BD

38


EF // BD

b) . D D

1.

3S ABC ABCV S SO với 2DABCS a

+ có : 6

.tan 602

aSO AO

Vậy : 3

. D

6

6S ABC

aV

c) Phân chia chóp tứ giác ta có

. EMFS AV = VSAMF + VSAME =2VSAMF

.S ABCDV = 2VSACD = 2 VSABC

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD

Ta có : 1

2

SM

SC

SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:

2

3

SI SF

SO SD

D

1.

3SAMF

SAC

V SM SF

V SC SD

3

D D

1 1 6

3 6 36SAMF SAC SAC

aV V V

3 3

. EMF

6 62

36 18S A

a aV

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy,

2SA a . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.b) Chứng minh ( ' ')SC AB Dc) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Hoạt động của giáo viên: Gv : Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh:

+ Kỹ năng dựng điểm C' của học sinh còn yếu . + Kỷ năng chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa tốt + Không nhận biết cách phân chia chóp tứ giác ra 2 chóp tam giác bằng nhau + Chưa áp dụng được công thức tỉ số thể tích thành thạo từ hình vẽ. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tứ giác ABCD và SA (ABCD)+ Dựng thiết diện AB'C'D' theo giả thiết. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:


+ Chứng minh SC vuông góc 2 đường thẳng nào trong (AB'D') ? + Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?

+ Hãy so sánh thể tích của SABC và SACD với SABCD ?

39

A

S

I

O

D

B

C

C'

D'

B'


+ Hãy so sánh thể tích của SAB'C' và SAC'D' với SAB'C'D' ?+ Lập tỉ số thể tích của SAB'C' với SABC . Suy ra điều gì ?

Lời giải:

a) Ta có: 3

.

1 2.

3 3S ABCD ABCD

aV S SA

b) Ta có ( ) 'BC SAB BC AB & 'SB AB Suy ra: ' ( )AB SBC nên AB' SC .Tương tự AD' SC. Vậy SC (AB'D')

c) Tính . ' ' 'S AB C DV

+Tính . ' 'S AB CV : Ta có: ' ' ' '

. (*)SAB C

SABC

V SB SC

V SB SC

SAC vuông cân nên ' 1

2

SC

SC

Ta có: 2 2 2

2 2 2 2

' 2 2 2

3 3

SB SA a a

SB SB SA AB a

Từ' ' 1

(*)3

SAB C

SABC

V

V

3 3

' '

1 2 2.

3 3 9SAB C

a aV

+ 3

. ' ' ' . ' '

2 22

9S AB C D S AB C

aV V

Bài tập tương tự: Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể

tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD. Đs:

Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'. Đs: V = 2 m3

Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho

. Tính thể tích tứ diên AB'C'D . Đs:

Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. Đs: V = 1 m3

Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK.

Đs:

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho

40


SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'. Đs: V = 1 m3 Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN . Đs: V = 4m3

Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P. Tính thể

tích khối chóp SAMNP. Đs:

Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2

phần này. Đs:

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho

Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.

Đs:

5) Dạng 5 : Ôn tập khối chóp và lăng trụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60 và M là trung điểm của SB.

1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.2) Tính thể tích của khối chóp MBCD.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng+ Học sinh gặp khó khăn khi tính SA và không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông.+ Học sinh không xây dựng được đường cao của chóp kẻ từ M của chóp MBCD( khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ) ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tứ giác ABCD và SA (ABCD)+ Dựng H trung điểm AB. Nhận xét MH với AB ? Tại sao ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Xác định góc[SC,(ABCD)] = ? Tại sao ?


+ Tính h = SA trong tam giác nào và hệ thức lương giác nào ?


+ MABCD có đường cao là gì ? tại sao ? Tính MH bởi tính chất gì ?

Lời giải:

41


. 2a

o60

H

DC

BA

Sa)Ta có

1.

3 ABCDV S SA

+ 2 2(2 ) 4ABCDS a a

+ ó : tan 2 6SAC c SA AC C a 3

21 8 64 .2 6

3 3

aV a a

b) Kẻ / / ( )MH SA MH DBC

Ta có: 1

2MH SA ,

1

2BCD ABCDS S

3

D

1 2 6

4 3MBC

aV V

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp.

Hoạt động của giáo viên: Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh:

+ Học sinh không biết cách xác định góc giữa 3 mặt bên hợp với đáy từ đó không tính được chiều cao của chóp.+ Học sinh không nhận ra chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy chóp.+ Học sinh không thuộc công thức Hêron và công thức S = pr Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC và SH (ABC) với H (ABC) và H cách đều 3 cạnh tam giác ABC. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Xác định góc hợp bởi 3 mặt bên với đáy chóp ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h của SABC là các đối tượng nào ?

+ Tính B = SABC bằng công thức nào ? + Tính h = SH trong tam giác nào và hệ thức lượng giác nào ?

60

A C

B

H

S

FE

J

Lời giải:Hạ SH )(ABC , kẽ HEAB, HFBC, HJAC suy ra SEAB, SFBC, SJAC . Ta có

SJHSFHSAH nên HE =HF = HJ = r( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp ABC ) Ta có SABC = ))()(( cpbpapp

với p = acba

92

Nên SABC = 22.3.4.9 a

Mặt khác SABC = p.r 3

62 a

p

Sr

Tam giác vuông SHE:

42


SH = r.tan 600 = aa

223.3

62

Vậy VSABC = 32 3822.663

1aaa .

Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có 3AB a , AD = a,

AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD.a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’b) Tính thể tích khối OBB’C’.c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.


Gv : Dự đoán các chướng ngại vón hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh không nhớ định nghĩa và tính chất hộp chữ nhật . + Học sinh không xác định được chiều cao của chóp OA'B'C'D' ( khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ) ?+ Học sinh không xác định được đáy và chiều cao của chóp OBB'C' ( khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ) ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hộp chữ nhật , hình chóp OA'B'C'D' và OBB'C' . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h của OA'B'C'D' là các đối tượng nào ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h của OBB'C' là các đối tượng nào ?

+ Tính B = SBB'C' bằng công thức nào ? + Tính h = OM ? Dùng tam giác nào và tính chất gì ? + Đối với chóp OBB'C' chọn đỉnh C' và đáy là ta có chiều cao yêu cầu và dùng công thức nào để tìm nó ?

MO

D'C'

B'A'

DC

BA

Lời giải:a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.

Ta có : . D.AA 'V AB A 2 33. 3a a a 2 2ó : 2ABD c DB AB AD a

* Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao

giống khối hộp nên: 3

' ' ' '

1 3

3 3OA B C D

aV V

b) M là trung điểm BC ( ' ')OM BB C 2 3

' ' ' '

1 1 3 3. . .

3 3 2 2 12O BB C BB C

a a aV S OM

c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ

diện OBB’C’. Ta có : ' '

'

3' OBB C

OBB

VC H

S

43


2 2ó : 2ABD c DB AB AD a

2'

1

2OBBS a ' 2a 3C H

Ví dụ 4 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.

Hoạt động của giáo viên: Gv : Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh không nắm vững định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Từ đó không xác định được đáy và chiều cao khối tứ diện tương ứng .+ Học sinh không xác định được các yếu tố để 2 tứ diện có thể tích bằng nhau .+ Học sinh gặp nhiều khó khăn khi phản chia khối lập phương thành nhiều khối tứ diện có thể tích bằng nhau . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng khối lập phương và chóp ACB'D'. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h của ACB'D' là các đối tượng nào ?

+ Tính trực tiếp thể tích ACB'D' phức tạp ? Ta phân tích lập phương thành 4 khối tứ diện có thể tích bằng nhau nào ?+ Khi đó nhận xét và ? Suy ra điều gì ?

a

D'C'

B'A'

D C

BA

Lời giải:Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’. +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích.

Khối CB’D’C’ có 2 31

1 1 1. .

3 2 6V a a a

+Khối lập phương có thể tích: 32V a

3 3 3' '

1 14.

6 3ACB DV a a a

Ví dụ 5 : Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.


44


Gv : Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: + Học sinh không xác định được giao điểm của mp(A'BE) với cạnh BC+ Học sinh không xác định được đường cao kẻ từ C đến đáy A'B'B của tứ diện A'B'BC.+ Học sinh không biết cách phân chia khối CA'B'FE thành 2 khối tứ diện đơn giản hơn để tính được chiều cao dể dàng .

Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng lăng trụ đứng tam giác đều ABCA'B'C'? Tại sao ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h của A'B'BC là các đối tượng nào ?

+ Tính trực tiếp thể tích CA'B'FE phức tạp ? Ta phân tích khối chóp thành 2 khối tứ diện nào mà tính thể tích đơn giản hơn ?

J

I F

E

C'

B'A'

C

BA

Lời giải:a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB,

' ' ' '

1.

3A B BC A B BV S CI2 31 3 3

.3 2 2 12

a a a

b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’.+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao

A’A nên ' EF EF

1. '

3A C CV S A A

2

EF

1 3

4 16C ABC

aS S

3

' EF

3

48A C

aV

+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’

nên ' ' F FB'

1. '

3A B C CV S A J

2

FB' '

1

2 4C CBB

aS S

2 3

' ' F

1 3 3

3 4 2 24A B C

a a aV

+ Vậy : 3

A'B'FE

3

16C

aV

Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA1 = a 2 . M là trung

điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Đs:V = 12

23a

Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA (ABC). = 60o,

BC = a, SA = a 3 ,M là trung điểm SB.Tính thể tích MABC . Đs: VMABC =

45


Bài 3: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, = 90o. ∆SAC và

∆SBD là các tam giác đều có cạnh bằng 3 . Tính thể tích khối chóp SABCD.

Đ s: VSABCD =

Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:

a) Cạnh đáy bằng 1, góc ABC = 60o . Đs: V =

b) AB = 1, SA = 2 . Đs: V =

Bài 5. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC.

Tính VA’ABC theo a? Đs: V =

Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 và góc giữa 2 đường chéo bằng 60o, các cạnh bên nghiêng đều với đáy 1 góc 45o.

Tính VSABCD . Đs:

Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o,

CSA = 120o.Chứng minh rằng ∆ABC vuông .Tính VSABC . Đs:

Bài 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a ,SB= 3a và mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB.BC.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN

Đs: 3

.

3

3S BMDN

av

Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra. Đs: k = 1Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Đs : 3

.

3

96M CNP

av

KẾT LUẬN

Với một thời gian không nhiều , Chắc chắn còn rất nhiều thiếu sót trong chuyên đề này. Chắc chắn có nhiều ý kiến để thảo luận và chắc chắn cũng còn có nhiều hồ nghi về tính thực tiển của chuyên đề. Nhưng tôi tin chắc rằng, với cái “tâm” trong sáng của người thầy, chúng ta sẽ tìm ra được một giải pháp nào đó, để giúp các HS Trung bình -Yếu đạt được chuẩn kiến thức môn hình học không gian . Hãy tạo cơ hội cho các học sinh thực sự có nỗ lực vươn lên! Hãy giúp các em vượt qua khó khăn học tập môn hình học không gian bằng chính năng lực của mình! và đạt kết quả tốt đẹp nhất trong kỳ thi cuối cấp.

46


Tôi rất mong ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo Toán tỉnh Đồng Tháp . Sađéc, ngày 25 tháng 10 năm 2009

GV: Võ thành Nhung

47

chuyen deluyen tap hinh hoc khong gian (1)

Documents