pp hinh khong gian

TH.S ĐỖ XUÂN

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

1 CHUYÊN ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2014

CHUYÊN ĐỀ

HÌNH KHÔNG GIAN

TH.S ĐỖ XUÂN


2 CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Tam giác

1. Diện tích

Cho có độ dài các cạnh là Khi đó

a. thì

b. thì

√

c. thì √ ( )( )( )

với

là nửa chu vi tam giác.

2. Các định lý

a. Định lý cos

b. Định lý sin

c. Định lý đường trung tuyến

d. Mối liên hệ khác

TH.S ĐỖ XUÂN


3 II. Các định lý trong không gian

1. Vuông góc

a. { ( )

( )

b. {

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

c. { ( ) ( )

( ) ( )

2. Song song

a. {

( ) ( )

b. { ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3. Góc

a. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

{ ( ) ( )

( ) ( ( ))

TH.S ĐỖ XUÂN


4

b. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng

{( ) ( )

( ) ( )

(( ) ( ))

Chú ý: Trong hình chóp, góc giữa cạnh bên với đáy chứa

đƣờng cao.

TH.S ĐỖ XUÂN


5 CHƢƠNG II: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

I. Khoảng các từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

1. Định nghĩa

Cho ( ). Nếu ( ) tại

thì ( ( ))

2. Định lý

{( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3. Phƣơng pháp chung xác định khoảng cách từ điểm A tới

mặt phẳng (P).

B1: Tìm (Q) sao cho

{ ( ) ( ) ( )

( ) ( )

B2: Kẻ

( )

( ( )) .

Ví dụ 1 ( Bài cơ bản ) Cho hình chóp vuông góc

đáy Tính

( ( ))

TH.S ĐỖ XUÂN


6 Phân tích:

Cần tìm mặt phẳng chứa A và

Vuông góc với ( )

Chú ý, nên từ chỉ cần

kẻ đường vuông góc với thì ta được

mặt phẳng cần tìm.

Giải

Xét , ta có Trong ( ) kẻ ( ).

Ta có {

( )

( ) ( ) theo giao tuyến

Trong ( ), kẻ ( ) ta được ( ) tại

Do đó ( ( ))

√

Xét vuông tại có là đường cao nên

√

Vậy ( ( )) √

(đơn vị độ dài).

TH.S ĐỖ XUÂN


7 Từ ví dụ trên cho ta phƣơng pháp xác định khoảng cách từ

chân đƣờng cao tới mặt phẳng chứa đỉnh ( ).

Cho là đỉnh ( ) là mặt đáy của hình chóp, là chân đường

cao, ( ) là mặt bên. Tính ( ( ))

Phƣơng pháp:

B1: Tìm giao tuyến ( ) ( )

B2: Kẻ ( )

Suy ra ( ) ( ) ( ) theo giao tuyến

B3: Kẻ ( ) tại

Do đó: ( ( ))

4. Kỹ thuật dƣời điểm trong bài toán khoảng cách.

Tính ( ( )) mà ( ( )) có thể tính dễ dàng ( thường là

chân đường cao).

Phƣơng pháp Kéo dài

a) Trường hợp ( ) ( dời điểm

song song)

( ( )) ( ( ))

b) Trường hợp ( ) * + (dời điểm cắt nhau)

( ( ))

( ( ))

TH.S ĐỖ XUÂN


8 Ví dụ 2

Cho hình chóp Đáy vuông tại

( ) ( ) √ Tính

( ( ))

Phân tích

Kẻ ( ) ( là chân đường cao)

Khi đó ( ( )) sẽ tính dễ hơn ( ( )). Áp dụng

phương pháp dời điểm bài toán trở nên đơn giản hơn.

Ta có: ( ) * +. Nên chỉ cần tính

và

( ( )).

Giải

Ta có ( ) * + nên

( ( ))

( ( ))

Xét vuông tại H

( ( ))

( ( ))

Trong ( ) kẻ ( ).

TH.S ĐỖ XUÂN


9 Ta có {

( )


Trong ( ), kẻ ( ) ta được ( ) tại

Do đó ( ( ))

vuông tại nên √

nên

√

vuông tại có là đường cao nên

√

Vậy ( ( )) √


Ví dụ 3

Cho hình hộp đứng có đáy là hình vuông, tam

giác vuông cân, . Tính ( ( ))

Phân tích

Các điểm tạo thành hình chóp đỉnh , đáy ( )

Hình chóp có là chân đường cao nên ( ( )) tính

được dễ dàng. Ta cần dùng phép dời điểm để tính ( ( ))

Ta có ( ) nên ( ( )) ( ( ))

TH.S ĐỖ XUÂN


10 Giải

Vì nên ( )

suy ra ( ( )) ( ( ))

Ta có

{

( )


Trong ( ), kẻ ( ) ta được

( ) tại Do đó ( ( ))

vuông cân tại nên √

.

vuông cân tại nên

.

vuông tại có là đường cao nên

√

Vậy ( ( )) √


TH.S ĐỖ XUÂN


11 II. Khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng chéo nhau

1. Đoạn vuông góc chung

Cho là 2 đường thẳng chéo nhau.

Nếu {

thì là đoạn vuông góc chung của

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

( )

3. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thắng chéo

nhau

B1: Từ kẻ đường thẳng

Đặt ( ) ( ), khi đó ( )

B2: Vì ( ) nên

( ) ( ( )) ( ( ))

Bài toán trở về bài toán tìm khoảng cách từ điểm tới mặt

phẳng.

Chú ý:

a. Đường thắng và điểm ở đây thường là những yếu tố

thuộc mặt đáy. Chọn điểm sao cho việc dời về chân đường cao là

thuận lợi nhất.

b. Đầu tiên phải chú ý có vuông góc nhau hay không. Nếu

. Chọn , kẻ khi đó là đường vuông góc

chung.

TH.S ĐỖ XUÂN


12 Ví dụ 4

Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh Gọi

lần lượt là trung điểm của * + Biết

( ) √ Tính ( )

Phân tích

Vì {

( )

Do đó việc tính ( ) sẽ là việc tìm đoạn vuông góc

chung như chú ý ở trên.

Giải

là hình vuông nên

( )( )

Ta có

{

( )

Trong ( ), kẻ ( )

Vì ( ) nên

Do đó : là đoạn vuông góc chung của

Suy ra : ( )

Tính

TH.S ĐỖ XUÂN


13 Tam giác vuông tại nên

√

√

Ta có

√

Tam giác vuông tại có là đường cao nên

√

Vậy ( ) √


Ví dụ 5

Cho hình chóp Đáy vuông tại

( ) ( ) ( ). M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM

song song BC cắt AC tại N. Biết góc giữa giữa hai mặt phẳng

( ) ( ) bằng Tính ( )

Phân tích

và thuộc đáy. Nên kẻ đường thẳng song song ta sẽ

có được mặt phẳng song song với cần tìm.

Giải

TH.S ĐỖ XUÂN


14 Ta có:

{( ) ( ) ( ) ( )

( )

Suy ra

{

( )

Ta có:

{

(( ) ( ))

Gọi là trung điểm , suy ra , ( ) nên

là điểm cần tìm.

Gọi là trung điểm , suy ra , ( ) . Do đó

( ) ( ( )) ( ( )

Trong ( ), kẻ ( ).

Vì

{

( ) ( ) ( ) theo

giao tuyến

Trong ( ) kẻ ( ) ( )

Do đó ( ( )

Ta có:

là hình chữ nhật nên

TH.S ĐỖ XUÂN


15 Tam giác vuông tại nên √

Tam giác vuông tại có là đường cao nên

√

Vậy ( ) √


TH.S ĐỖ XUÂN


16 CHƢƠNG III: THỂ TÍCH KHỐI DA DIỆN

I. Khối chóp

1. Thể tích

2. Cách xác định chiều cao

Hình chóp có:

- Cạnh bên vuông góc đáy thì cạnh bên là chiều cao

- Mặt bên vuông góc đáy thì chân đường cao nằm trên giao

tuyến của mặt bên đó và đáy.

- Hai mặt bên vuông góc đáy, thì đường cao là giao tuyến 2

mặt bên đó.

- Hình chóp đều, hình chóp có mặt bên hợp với nhau các góc

bằng nhau, hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao

là tâm của đáy. (Trong trường hợp này đáy là đa giác nội tiếp đường

tròn).

3. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm nằm trên đường thẳng

vuông góc với đáy tại tâm.

Ví dụ 1

Cho hình chóp có đáy đều cạnh Hình chiếu của

lên mặt phẳng ( ) là thuộc sao cho Góc giữa

SC và đáy bằng Tính thể tích khối chóp và ( )

theo a.

Giải

TH.S ĐỖ XUÂN


17

Tính

Ta có

( )

( ( ))

Áp dụng định lý cos trong

√

vuông tại nên √

Ta có

√

√

√

Tính ( )

Trong (ABC), dựng hình bình hành ACBD.

Suy ra ( ) ( ) ( ( ))

( ( )

Ta có: ( ) ( ( )

( ( )

Trong ( ) kẻ ( )

và , do đó ( )

TH.S ĐỖ XUÂN


18 ( ) ( ) theo giao tuyến

Trong ( ) kẻ ( ), ta được

( ) suy ra ( ( )

Tam giác vuông tại nên

√

Tam giác vuông tại , có là đường cao nên

√

Vậy ( ( )) √


Ví dụ 2

Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh

√ . Mặt ( ) vuông góc đáy. Gọi lần lượt

là trung điểm của . Tính thể tích khối chóp theo a và

tính ( )

Giải

Trong ( ) kẻ ( )

Suy ra ( )

Ta có: √ nên vuông tại

TH.S ĐỖ XUÂN


19 Do đó :

√

Lại có

Ta có :

√

( )

Ta có

( )

Mặt khác

( )( )

Do đó

( )

( )


Suy ra √

Tam giác vuông tại nên √ √

Thay vào (1), ta được

TH.S ĐỖ XUÂN


20 ( )

√

Vậy ( ) √

II. Khối lăng trụ, hình hộp.

1. Thể tích

2. Diện tich toàn phân

Ví dụ 3

Cho hình lăng trụ tam giác đều có góc

giữa hai mặt phẳng ( ) ( ) bằng Gọi là trọng tâm

. Tính thể tích khối lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện theo a.

Giải

Tính

Gọi là trung điểm của .

Ta có:

{

( )

Do đó (( ) ( ))

TH.S ĐỖ XUÂN


21 Tam giác vuông tại nên

√

Gọi là tâm tam giác , là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

.

Ta có

( ) và

Do đó

TH1: nằm giữa

Đặt (

)

Do là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên

(

)

( )

TH2: nằm giữa

Đặt ( )

Do là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên

(

)

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

TH.S ĐỖ XUÂN


22

Ví dụ 4

Cho hình lăng trụ đứng có đáy vuông tại

Gọi là trung điểm của là

giao điểm đoạn . Tính thể tích và ( ( )) theo a.

Giải:

Tính V

Trong ( ), kẻ ( )

( ).


√ √


√

Do đó

( đvdt).

Vì nên

Vì nên

TH.S ĐỖ XUÂN


23

Thể tích tứ diện IABC là

Tính ( ( ))

Ta có {

( )

( ) ( ) theo giao tuyến .

Trong ( ), kẻ ( ) ta được ( )

suy ra ( ( )


√

Vậy ( ( )) √


Ví dụ 5

Cho hình lập phương cạnh Tính

( ) theo a.

Gọi lần lượt là trung điểm của Tính góc

( )

Giải

Gọi ( ), suy ra là hình bình hành

TH.S ĐỖ XUÂN


24 ( )

( ) ( ( )) ( ( ))

Vì ( ) * + nên

( ( ))

( ( ))

Ta có {

( ).

( ) ( ) theo giao tuyến .

Trong ( ), kẻ ( ) ta được ( )

suy ra ( ( )


√

TH.S ĐỖ XUÂN


25 Vậy ( )

√


Tính góc ( )

( )

Mặt khác

( )( )

Do đó: ( )

TH.S ĐỖ XUÂN


26

Bài tập áp dụng

Bài 1. Cho hình chóp có đáy vuông tại

Biết vuông góc với đáy. Gọi là một điểm

trên sao cho Tính thể tích khối chóp và

( ( )) theo a.

Bài 2. Cho tứ diện có là tam giác vuông tại

√ Biết rằng là tam giác

vuông. Tính thể tích và ( ) theo a.

Bài 3. Cho hình chóp có

√ Biết ( ) vuông góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp và ( ( )) theo a.

Bài 4. Cho hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều

bằng Gọi lần lượt là trung điểm . Tính thể

tích và ( ) theo a.

Bài 5. Cho hình lăng trụ đều có đáy là tam giác

đều cạnh Gọi là giao điểm của . Tính thể


Bài 6. Cho hình chóp có √ Gọi

lần lượt là trung điểm của Chứng minh .

Tính thể tích khối tứ diện theo a.

Bài 7. Cho hình chóp có và đôi một

vuông góc nhau. Gọi lần lượt là trung điểm của và

là điểm đối xứng với qua Gọi là giao điểm của ( ).

Chứng minh . Tính thể tích khối tứ diện theo a.

TH.S ĐỖ XUÂN


27

Bài 8. Cho hình chóp có đáy ( ) vuông tại

Hai mặt bên ( ) ( ) cùng tạo với đáy một góc

Biết rằng hình chiếu của trên đáy thuộc Tính thể tích khối

chóp theo a.

Bài 9. Cho hình chóp tứ giác có

√ Gọi lần lượt là trung điểm của Chứng minh

. Tính thể tích khối tứ diện theo a.

Bài 10. Cho hình chóp có đáy là hình thoi. Hai mặt

( ) ( ) cùng vuông góc với đáy. * + √

là trung cắt mặt ( ) tại Tính thể tích khối tứ diện

và ( ) theo a.

Bài 11. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a,

mặt ( ) vuông góc đáy. cân tại ( ( ))

là trung điểm cạnh Tính thể tích và ( ( )) theo a.

Bài 12. Cho hình lăng trụ đều có đáy là tam giác

vuông tại √ ( )

( ) (( ) ( )) Tính thể tích theo

. Giả sử √ , tính góc giữa hai đường thẳng .

Bài 13. Cho hình chóp có đáy ( ) đều cạnh

là trung điểm là điểm đối xứng với qua ( ) là

hình chiếu vuông góc của trên

Tính thể tích khối chóp

và ( ( )) theo a.

TH.S ĐỖ XUÂN


28

Bài 14. Cho hình chóp có đáy là hình thang nội tiếp

đường tròn đường kính

( ) ( ( )) √ là trung điểm Tính thể


Bài 15. Cho hình chóp có

Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác sao cho

Hình chiếu vuông góc của lên ( ) trùng với góc

tạo bởi và đáy bằng Tính thể tích theo

Bài 16. Cho hình chóp có đáy là hình thoi.

( √ ) tất cả các cạnh còn lại bằng 1. Chứng minh

Tìm để thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất.

Bài 17. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác

vuông tại ( ( )) Tính thể

tích theo Tìm tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng

trụ

Bài 18. Cho hình chóp có đáy là hình thoi. Hai mặt

( ) ( ) cùng vuông góc với đáy. * +

( ) ( ( )) √ Tính thể tích khối chóp

theo a.

pp hinh khong gian

Education