buracos negros com rotação

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Este trabalho trata da Solução de Kerr para espaço-tempos com simetria axial e sua aplicação para a descrição de buracos negros com rotação.

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  • Universidade Federal de Campina Grande

    Departamento de Fsica

    Curso de Ps-Graduao em Fsica

    Relatividade Geral II

    PROFESSOR: VICTOR IGNCIO AFONSO

    ALUNO: TSSIO ROGRIO NBREGA BORJA DE MELO

    SOLUO DE KERR E BURACOS NEGROS COM ROTAO

    Campina Grande, Paraba

    Outubro de 2014

  • ii

    SUMRIO

    1 Introduo .............................................................................................................. 3

    2 A Mtrica Geral de Um Espao-Tempo Estacionrio Axialmente Simtrico ........... 4

    3 O Arrasto dos Referenciais Inerciais ....................................................................... 6

    4 A Mtrica de Kerr ................................................................................................... 8

    5 A Estrutura de Um Buraco Negro de Kerr............................................................. 12

    5.1 Singularidades e Horizontes .......................................................................... 12

    5.2 Superfcies de Limite Estacionrio e de Redshift Infinito ............................... 15

    5.3 A Ergosfera................................................................................................... 18

    5.4 O Processo de Penrose .................................................................................. 20

    6 Geodsicas na Geometria de Kerr ......................................................................... 23

    6.1 Geodsicas No-Nulas no Plano Equatorial ................................................... 24

    6.2 Geodsicas Nulas no Plano Equatorial .......................................................... 26

    7 Coordenadas de Eddington-Finkelstein ................................................................. 28

    8 Extenso Analtica da Soluo de Kerr ................................................................. 31

    9 Consideraes Finais ............................................................................................ 33

    Apndice A Carga, Energia e Momento Angular em um Espao-Tempo Assintoticamente Plano ............................................................................................... 34

    Bibliografia ................................................................................................................. 37

  • 3

    1 INTRODUO

    A soluo de Schwarzschild descreve a geometria do espao-tempo exterior a

    um objeto esttico esfericamente simtrico, sendo caracterizada por um nico parmetro

    , que corresponde sua massa. Entretanto, a maioria dos objetos astrofsicos reais

    possui rotao e se buracos negros puderem ser originados a partir do colapso

    gravitacional de estrelas rotantes, eles possuiro, portanto, momento angular.

    A gravitao, por sua prpria natureza intrnseca, age de modo que a fonte do

    campo gravitacional se acopla diretamente com a geometria exterior por ele gerada

    caracterstica evidenciada na no-linearidade das equaes de campo. No caso de um

    objeto massivo rotante, o espao-tempo tende a acompanhar o movimento de rotao

    do objeto, fazendo com que as geodsicas se assemelhem a espirais centradas em um

    eixo, e por isso partculas de teste tendem a girar em torno da fonte, mesmo que no

    possuam momento angular. Dessa forma, o eixo de rotao do objeto define uma

    direo preferencial de movimento e, consequentemente, o espao-tempo no pode ser

    mais isotrpico, tampouco, esfericamente simtrico. Por esta razo, em Relatividade

    Geral, no possvel encontrar uma transformao de coordenadas que reduza a

    geometria do espao-tempo exterior a um corpo em rotao, geometria esfericamente

    simtrica de Schwarzschild. Esta situao bastante diferente do que acontece na teoria

    newtoniana, na qual sempre possvel mudar para um referencial que gira com a fonte,

    reduzindo-a ao repouso.

  • 4

    2 A MTRICA GERAL DE UM ESPAO-TEMPO

    ESTACIONRIO AXIALMENTE SIMTRICO

    Estamos interessados em obter a geometria do espao-tempo exterior a um corpo

    massivo em rotao. Para isso, faremos primeiro uma anlise das simetrias que este

    espao-tempo deve possuir, antes de resolver propriamente as equaes de Einstein.

    razovel admitir que um corpo girando em torno de um eixo a uma taxa constante, deva

    produzir uma geometria estacionria e que possua simetria em torno do eixo de rotao.

    Por isso, procuramos a forma geral de uma mtrica estacionria axialmente simtrica.

    A estacionariedade e a simetria axial implicam a existncia de vetores de Killing

    e, portanto, a existncia de um sistema de coordenadas adaptado a essas simetrias.

    Introduzimos ento a coordenada tipo-tempo e o ngulo azimutal em torno do eixo

    de rotao, sendo os vetores de Killing correspondentes, e . Neste sistema

    especialmente adaptado, a mtrica deve ser independente das coordenadas e , ou

    seja,

    = 1,2 , 2.1

    onde 1, 2 so coordenadas tipo-espao. Alm da simetria axial, devemos impor que o

    elemento de linha seja invariante pela inverso simultnea de e ,

    e . 2.2

    Este requerimento adicional nos permite dizer que o espao-tempo em questo gerado

    por um corpo em rotao, pois ele garante que a fonte do campo gravitacional, qualquer

    que seja ela, tenha movimento puramente de rotacional em torno do eixo de simetria.

    Em conseqncia disso, devemos ter

    01 = 02 = 13 = 23 = 0, 2.3

  • 5

    pois os termos correspondentes no elemento de linha mudam de sinal sob a

    transformao 2.2 . Assim, 2 deve ter a seguinte forma,

    2 = 002 + 03 + 33

    2 + 11 1 2 + 212

    12 + 22 2 2 .

    2.4

    Devido ao fato de depender apenas de 1 e 2, podemos considerar a

    expresso dentro dos colchetes em 2.4 como descrevendo uma subvariedade

    bidimensional e usar o fato de que qualquer variedade bidimensional conformalmente

    plana, ou seja,

    = 2 , 2.5

    onde 2 uma funo arbitrria das coordenadas e = 1,1 ,

    considerando que a assinatura de 2. Sendo assim, podemos escrever o elemento

    de linha 2.4 da seguinte forma

    2 = 2 2 1 2 + 2 2 . 2.6

    Vamos agora chamar as coordenadas 1 e 2, respectivamente, de e s

    quais, a princpio, no podemos atribuir um significado geomtrico. No entanto, para

    que se possa fazer com que elas sejam o mais similares possvel com as coordenadas e

    usuais de um espao esfericamente simtrico, til considerar que os coeficientes 22

    e 33 no sejam idnticos no elemento de linha 2.6 , de modo que passamos a escrev-

    lo como,

    2 = 2 2 2 2 , 2.7

    onde , , , e so funes arbitrrias das coordenadas e , e temos a liberdade

    de relacionar e de uma maneira tal a fazer com que as coordenadas e sejam o

    mais prximas possvel do caso esfericamente simtrico. As funes em 2.7 esto

    relacionadas com as componentes da mtrica por

  • 6

    = 2 , = , = , = , = .

    2.8

    Note que = e se o corpo no estiver em rotao, devemos ter

    = 0, pois neste caso (de no-rotao) a mtrica deve ser invariante por uma reverso

    temporal e, consequentemente, = 0.

    3 O ARRASTO DOS REFERENCIAIS INERCIAIS

    A presena do termo 0 na mtrica 2.4 introduz qualitativamente novos

    efeitos nas trajetrias das partculas. Como no depende de , a componente

    covariante do quadrimomento da partcula conservada ao longo da geodsica. De

    fato = , onde a componente do momento angular da partcula ao longo do

    eixo de rotao, o qual conservado. Esta conservao conseqncia direta da

    simetria axial do espao-tempo. O momento angular total da partcula, entretanto, no

    uma quantidade conservada, dado que o espao-tempo no esfericamente simtrico em

    torno de nenhum ponto.

    As componentes contravariantes e do quadrimomento da partcula so

    dadas por

    = = +

    ,

    3.1

    = = +

    .

    Consideremos uma partcula com momento angular nulo, de modo que = 0

    ao longo da geodsica. Pela definio de quadrimomento, tanto para um fton quanto

    para uma partcula massiva, temos

    ,

    , 3.2

  • 7

    onde um parmetro afim ao longo da geodsica e as constantes de proporcionalidade

    em cada caso so iguais. Ento a trajetria da partcula tal que

    , =

    , =

    . 3.3

    Se 0, a partcula adquire um movimento transversal, alm do radial que j

    possua. Temos ento o surpreendente resultado de que uma partcula lanada em linha

    reta no infinito com momento angular nulo levada, somente pela influncia da

    gravidade, a adquirir uma velocidade angular no mesmo sentido de rotao da fonte.

    Pela equao 3.3 vemos que o significado fsico de correspondente velocidade

    angular coordenada de uma partcula de momento angular nulo.

    Este efeito chamado de arrasto dos referenciais inerciais, e est presente em

    qualquer mtrica que possua 0, o que implica que ele sempre acontece quando a

    fonte est em rotao. Referenciais inerciais so aqueles nos quais partculas de teste em

    queda livre esto em repouso ou se movem em linha reta com velocidade constante. Se

    uma partcula est em queda livre, para que ela esteja em repouso em relao a algum

    referencial (inercial) em qualquer ponto espacial , , , o referencial dever estar se

    movendo com uma velocidade angular , . Qualquer outro referencial inercial est

    relacionado a este por uma transformao de Lorentz. Os referenciais inerciais so ento

    arrastados pela fonte rotante. Uma ilustrao esquemtica desse efeito em um plano

    = constante mostrada na figura 1.

    Figura 1: Arrasto dos referenciais inerciais.

  • 8

    Pode-se testar experimentalmente esse efeito por meio de giroscpios. sabido

    que um giroscpio em movimento mantm seu momento angular constante ao longo da

    sua trajetria, apontando sempre para a mesma direo. Em um campo gravitacional,

    entretanto, a curvatura do espao-tempo faz com que a direo do momento angular se

    altere, provocando o chamado de desvio geodsico. Alm do desvio geodsico, o efeito

    do arrasto dos referenciais inerciais faz com que o momento angular adquira um

    movimento de precesso em torno da fonte. Embora os desvios sejam muito pequenos,

    eles so cumulativos, e podem ser medidos mesmo em um campo gravitacional fraco,

    desde que se espere um tempo suficiente. Recentemente, foram realizados experimentos

    na rbita da Terra, utilizando giroscpios embarcados em um satlite chamado Sonda

    Gravitacional B, lanado em 2004 pela NASA. Os resultados finais do experimento,

    anunciados em 2011, confirmaram a existncia dos dois efeitos e mostraram que os

    desvios esto em excelente acordo com as previses da Relatividade Geral.

    4 A MTRICA DE KERR

    Nesta seo esboamos o caminho seguido para se obter a soluo encontrada

    primeiramente por Roy Kerr em 1963, a qual descreve a mtrica exterior de um espao-

    tempo devido a um corpo em rotao. Embora o procedimento seja conceitualmente

    direto, ele algebricamente complicado e por isso no vamos resolver propriamente o

    problema completo, limitando-nos a apresentar apenas os principais passos envolvidos e

    os resultados. Encontramos anteriormente a forma da mtrica estacionria axialmente

    simtrica em termos de funes arbitrrias , , , e , que dependem das

    coordenadas e . Essa mtrica bastante geral, podendo descrever espaos-tempo

    gerados tanto por objetos como estrelas e planetas, como tambm por objetos rotantes

    estendidos, a exemplo de cordas csmicas, contanto que sejam axialmente simtricos.

    O procedimento para se obter a geometria devido a um objeto fsico especfico

    consiste em calcular as componentes da conexo

    correspondentes mtrica 2.7 , e

    ento calcular as componentes do tensor de Ricci em termos das funes

  • 9

    desconhecidas , , , e . Como estamos interessados na mtrica exterior, devemos

    resolver as equaes de Einstein no vcuo,

    = 0. 4.1

    Ocorre que, neste caso, as equaes de Einstein no do uma soluo nica, ao

    contrrio do que acontece com a soluo de Schwarzschild, por exemplo. Porm, isso

    no de todo surpreendente, porque a condio de simetria axial bem menos restritiva

    que a de simetria esfrica. Para obter uma soluo nica, devemos de alguma forma

    incluir nos clculos as caractersticas do tipo de soluo que estamos interessados. Neste

    caso, estamos interessados nas solues que correspondem a objetos compactos (que

    tm uma extenso limitada) tais como estrelas. Representamos matematicamente essa

    informao impondo a condio de que o espao-tempo seja assintoticamente plano, a

    mtrica devendo ento tender de Minkowski para regies muito afastadas da fonte.

    Com o requerimento adicional de que exista uma superfcie fechada convexa e suave

    fora da qual a geometria no singular, vemos que as equaes de Einstein fornecem

    uma soluo nica (a menos de uma transformao de coordenadas, claro), a qual

    chamada de soluo de Kerr. Em termos das coordenadas , ,, , o elemento de

    linha da geometria de Kerr toma a seguinte forma,

    2 = 2 1 2

    2 2 +

    4 sen2

    2

    2

    2 22

    2 + 2 +42 sen2

    2 sen2 2 ,

    4.2

    onde e so constantes, e 2 e so definidos como,

    2 = 2 + 2 cos2 , = 2 2 + 2 . 4.3

    Esta expresso para o elemento de linha 2 chamada de forma de Boyer-

    Lindquist da soluo de Kerr, e , , , so as coordenadas de Boyer-Lindquist.

    Podemos, no entanto, reescrever a mtrica 4.2 em vrias outras formas teis. Fazendo,

  • 10

    2 = 2 + 2 2 2 sen2 , 4.4

    podemos escrever 2 como,

    2 =2 sen2

    222 +

    4 sen2

    2

    2

    2 22

    2 sen2

    22.

    4.5

    Esta forma pode ainda ser rearranjada de uma maneira mais sugestiva para um objeto

    em rotao,

    2 =2

    222 +

    2 sen2

    2 2

    2

    2 22 , 4.6

    de onde podemos obter = 2 2 .

    Vemos que a mtrica de Kerr depende de dois parmetros e , como seria de

    se esperar para um corpo em rotao. Alm disso, no limite 0,

    2 1 2

    ,

    2 2 ,

    2 4 ,

    e ento, qualquer uma das formas da mtrica de Kerr acima tendem mtrica de

    Schwarzschild,

    2 2 1 2

    2 1

    2

    1

    2 22 2 sen2 2 . 4.7

    Isto sugere que devemos fazer a identificao = 2 (chamada de massa

    geomtrica), onde a massa do corpo e, alm disso, vemos que deve estar

    relacionado, de alguma forma, velocidade angular do objeto, por isso

  • 11

    frequentemente chamado de parmetro de rotao. No apndice A, discutimos

    brevemente a obteno da energia e momento angular para um espao assintoticamente

    plano, e vemos que o momento angular total do espao-tempo de Kerr = .

    Notamos ainda que no limite 0, as coordenadas e podem ser identificadas como

    sendo as coordenadas polares de Schwarzschild, porm no caso geral isto no pode ser

    feito. De fato, vemos de 4.2 que as superfcies = constante e = constante no tm

    a mtrica de 2-esferas.

    Podemos ainda escrever 2 na forma original descoberta por Kerr, conhecida

    hoje como forma de Kerr-Schild,

    2 =

    , 4.8

    onde um vetor nulo com respeito mtrica de Minkowski ,

    = 0. 4.9

    Um elemento de linha da forma 4.8 satisfaz as equaes de Einstein no vcuo,

    desde que

    =23

    2 + 22,

    4.10

    = , +

    2 + 2,

    2 + 2,

    onde = ,,, e definido implicitamente em termos de , e como

    4 2 2 + 2 + 2 2 22 = 0. 4.11

    A forma de 2 ento fica,

    2 = 2 2 2 2 2

    23

    4 + 22

    2 + 2 +

    2 + 2

    2

    4.12

  • 12

    As duas formas 4.2 e 4.12 so equivalentes, desde que os dois conjuntos de

    coordenadas estejam relacionados por

    = 2

    ,

    = cos + sen sen ,

    = sen cos sen , 4.13

    = cos ,

    onde = .

    5 A ESTRUTURA DE UM BURACO NEGRO DE

    KERR

    A mtrica de Kerr apresentada na seo anterior a soluo exterior de um

    objeto massivo em rotao, sendo portanto vlida at a superfcie do objeto. No entanto,

    vamos considerar a geometria de Kerr completa, vlida em todo o espao, como sendo

    uma soluo de vcuo das equaes de Einstein. Esta soluo descreve buracos negros

    com rotao, conforme constataremos nesta seo.

    5.1 SINGULARIDADES E HORIZONTES

    A mtrica de Kerr na forma de Boyer-Lindquist singular em = 0 e = 0.

    Porm, calculando o escalar invariante vemos que apenas = 0 uma

    singularidade intrnseca. Como

    2 = 2 + 2 cos2 = 0,

  • 13

    a singularidade ocorre em

    = 0, =

    2, 5.1

    ou ainda, usando a forma de Kerr-Schild, ela ocorre em

    2 + 2 = 2 , = 0. 5.2

    A singularidade, surpreendentemente, tem a forma de um anel de raio no plano

    equatorial, diferentemente do caso de Schwarzschild, onde ela reside em apenas um

    ponto.

    Na mtrica de Kerr, horizontes de eventos iro se formar quando as 3-superfcies

    = constante forem superfcies nulas, ou seja, os vetores normais a estas superfcies

    so nulos. Isto ocorrer quando = 0, o equivalentemente, = . Como

    = 2

    , 5.3

    os pontos onde = 0 (singularidades coordenadas), so horizontes de eventos.

    Resolvendo = 0 para , no caso em que 2 > 2, temos

    = 2 2 1 2 . 5.4

    Temos ento a existncia de dois horizontes em + e em . No limite de Schwarzschild

    0, eles se reduzem a = 0 e = 2, como esperado. As superfcies = so

    axialmente simtricas, mas no so esfricas. Fazendo = e = constante em 4.2 ,

    obtemos superfcies bidimensionais com elementos de linha,

    2 = 22 +

    2

    2 sen2 2 , 5.5

  • 14

    os quais no descrevem a geometria de 2-esferas. Imergindo essas superfcies em um

    espao euclidiano tridimensional, v-se que elas se assemelham a elipsides axialmente

    simtricos achatados ao longo do eixo de simetria.

    A existncia do horizonte de eventos externo = + mostra que a geometria de

    Kerr representa um buraco negro. Esta superfcie como uma membrana unidirecional,

    atravs da qual uma partcula ou um fton s pode atravessar uma vez, de fora para

    dentro, nunca na direo oposta.

    Pode-se distinguir, ento, trs regies distintas em um buraco negro de Kerr,

    chamadas de regies I, II e III, limitadas pelos horizontes de eventos, tais que:

    Regio I : + < < , Regio II : < < + , Regio III : 0 < < .

    A soluo regular em cada uma dessas regies.

    importante notar que nem todos os valores de e correspondem a uma

    soluo de buraco negro. Da equao 5.4 , vemos que se

    2 > 2 , 5.6

    no existiro valores reais de que anulem , de modo que no existiro

    horizontes de eventos. Como a singularidade intrnseca em = 0 continuaria a existir

    nesse caso, teramos a existncia de uma chamada singularidade nua, ou seja, uma

    singularidade que no est envolvida por um horizonte de eventos. Nesse caso, pode-se

    mostrar que geodsicas temporais e nulas no plano equatorial podem comear na

    singularidade e ainda assim alcanar o infinito, fazendo portanto com que a

    singularidade esteja visvel ao universo exterior. Entretanto, a hiptese da censura

    csmica previne que isto acontea. Segundo ela:

    Singularidades nuas no podem se formar em um colapso gravitacional de

    estados genricos no singulares em um espao-tempo assintoticamente plano

    que obedea a condio de energia dominante.

  • 15

    Embora essa hiptese ainda no tenha sido demonstrada, acredita-se que ela seja

    verdadeira e vrias tentativas de contra-exemplos foram feitas para refut-la, porm sem

    sucesso.

    O fato de a condio 2 2 ser satisfeita impe um limite superior no

    momento angular do buraco negro. Como = e = 2 , temos

    2

    . 5.7

    No caso em que 2 = 2, o buraco negro chamado de buraco negro extremo.

    Neste caso, os horizontes de eventos + e coincidem em = e = 2 .

    provvel que buracos negros muito prximos do caso extremo ocorram naturalmente em

    muitas situaes astrofsicas. Matria caindo em um buraco negro forma um disco de

    acreo que rotaciona no mesmo sentido que ele. A matria do disco carrega momento

    angular conforme espirala e cai em direo ao horizonte de eventos, aumentando assim

    o momento angular do buraco negro. Este aumento de momento angular, entretanto,

    limitado pelo fato de que a matria em rpida rotao emite radiao intensamente,

    levando embora consigo parte do momento angular.

    5.2 SUPERFCIES DE LIMITE ESTACIONRIO E DE REDSHIFT

    INFINITO

    Associada ao efeito do arrasto dos referenciais inerciais est a existncia das

    chamadas superfcies de limite estacionrio, as quais passamos agora a discutir.

    Considere ftons emitidos de uma posio com coordenadas espaciais fixas , , no

    espao-tempo. Em particular, considere que eles so emitidos nas direes de modo

    que, a princpio, apenas e so no-nulos ao longo do caminho. Como 2 = 0

    para a trajetria de um fton, temos

    2 + 2 +

    2 = 0, 5.8

    ou

  • 16

    2

    + 2

    + = 0, 5.9

    de onde obtemos,

    =

    2

    1 2

    . 5.10

    Se , > 0 no ponto de emisso, vemos que positivo (negativo)

    para um fton emitido na direo positiva (negativa), como seria de se esperar,

    embora o valor de seja diferente para as duas direes. Agora, em uma

    superfcie definida por , = 0, as duas solues da equao acima so,

    =

    2

    = 2,

    = 0. 5.11

    A primeira soluo corresponde a um fton enviado na mesma direo que a

    fonte de rotao, e a segunda, a um fton sendo enviado na direo oposta. Para o

    segundo caso, vemos que quando , = 0 o arrasto nas rbitas to severo que o

    fton no se move! Qualquer partcula massiva, dessa forma, ir girar junto com a fonte,

    mesmo que o seu momento angular seja arbitrariamente grande no sentido oposto. Por

    isso, qualquer superfcie definida por , = 0 chamada de superfcie limite de

    estacionrio. No interior da superfcie, onde , < 0, nenhuma partcula (massiva

    ou fton) pode se manter numa posio fixa. Isto pode ser mostrado diretamente

    considerando a quadrivelocidade de um observador em , , fixo, a qual dada por,

    = , 0,0,0 . 5.12

    Entretanto, tem-se que cumprir a condio = 2 = 2, a qual no pode ser

    satisfeita se < 0, mostrando, portanto, que uma quadrivelocidade da forma 5.12

    no possvel nessa regio.

    Qualquer superfcie definida por = 0 interessante fisicamente pela

    ocorrncia de outro fenmeno importante. Para um emissor E e um receptor R com

  • 17

    coordenadas fixas em um espao-tempo estacionrio, pode-se mostrar que o redshift

    gravitacional sofrido pelo fton desde o evento da emisso at o evento da recepo,

    dado, em geral, por

    =

    1 2

    , 5.13

    onde o evento no qual o fton emitido e o evento no qual o fton recebido.

    Vemos que se o fton emitido de um ponto com coordenadas espaciais fixas, ento

    0 no limite 0, sofrendo portanto um redshift infinito. Por isso, uma

    superfcie definida por , = 0 tambm chamada de superfcie de redshift

    infinito.

    Para o caso especfico da mtrica de Kerr, temos

    = 2 1

    2

    2 = 2

    2 2 + 2 cos2

    2, 5.14

    ento (no caso 2 2) essas superfcies, chamadas de + e , ocorrem em

    = 2 2 cos2 1 2 . 5.15

    As duas superfcies + e so axialmente simtricas, mas fazendo = e

    = constante na mtrica de Kerr, e notando de 5.4 que 2 + 2 = 2 +

    2 sen2 , obtemos os elementos de linhas de superfcies bidimensionais

    2 = 22 +

    2 2 + 22 sen2

    2 sen

    2 2, 5.16

    os quais, novamente, no descrevem a geometria de 2-esferas, mas sim descrevem

    superfcies que se assemelham a elipsides. No limite de Schwarzschild 0, a

    superfcie + se reduz a = 2 e a = 0. Na soluo de Schwarzschild, portanto, a

    superfcie de redshift infinito e o horizonte de eventos coincidem.

  • 18

    A superfcie toca a singularidade no plano equatorial. Alm disso, se

    encontra completamente interna ao horizonte de eventos = (exceto nos plos, onde

    eles se tocam). J a superfcie + tem raio coordenado 2 no equador e, para todo ,

    envolve completamente o horizonte de eventos externo = + (exceto nos plos, onde

    eles se tocam), dando origem a uma regio entre eles, chamada de ergosfera. A

    estrutura de um buraco negro de Kerr ilustrada na figura 2.

    Figura 2: Estrutura de um buraco negro de Kerr.

    5.3 A ERGOSFERA

    A propriedade que define uma ergosfera (a qual pode ocorrer em outros tipos de

    espaos-tempo) que ela uma regio onde < 0, porm as partculas podem ainda

    escapar (na geometria de Schwarzschild, por exemplo, no existe ergosfera porque

    < 0 apenas no interior do horizonte de eventos). Como na ergosfera < 0 em

    todos os pontos, uma conseqncia imediata que um observador no poder se

    encontrar em uma posio fixa ,, nessa regio, dado que ele est no interior da

    superfcie de limite estacionrio. possvel, entretanto, que o observador se mantenha

    em coordenadas e fixas, rotacionando em torno do buraco negro (em relao a um

    observador no infinito). A quadrivelocidade de tal observador dada por

  • 19

    = 1,0,0, , 5.17

    onde = a sua velocidade angular com respeito a um observador no infinito.

    Na ergosfera existem restries no movimento dos observadores que so

    induzidas pela geometria do espao-tempo, de modo que no pode assumir um valor

    arbitrrio, mas sim estar limitado a uma faixa de valores permitidos. Como =

    = 2, temos de 5.17 ,

    2 + 2

    +

    2= 2 + 2 +

    2 = 2

    5.18

    Como real, devemos ter

    2 + 2 + > 0. 5.19

    Sendo < 0 em todo o espao-tempo, o lado esquerdo da equao acima como

    funo de uma parbola cncava para baixo. Desse modo, poder estar no

    intervalo < < +, onde

    =

    2

    1 2

    = 2

    1 2

    . 5.20

    Quando = 0 (limite externo da ergosfera), temos que = 0 e + = 2. O

    limite inferior = 0 indica que tem que ser positivo, obrigando o observador a

    rotacionar no mesmo sentido que o buraco negro. J no outro caso especial em que

    2 = , teremos = . Neste caso, os observadores so forados a rotacionar

    com um nico valor possvel de velocidade angular = . Na geometria de Kerr, isto

    ocorrer no horizonte de eventos externo = +, o qual define o limite inferior da

    ergosfera.

    Em resumo, vemos que para um observador que se encontra em coordenadas

    fixas e no interior da ergosfera, a faixa de valores permitidos de velocidade angular

    < < + fica cada vez mais estreita conforme nos aproximamos do horizonte

    = +, e ainda, no prprio horizonte a velocidade limitada a um nico valor ,

  • 20

    = =

    2+. 5.21

    , portanto, o valor mximo de velocidade angular permitido para um

    observador na ergosfera.

    5.4 O PROCESSO DE PENROSE

    O processo de Penrose um processo pelo qual se pode extrair energia de um

    buraco negro de Kerr, como mostraremos a nesta seo. Suponha que um observador

    numa posio fixa no infinito lana uma partcula na ergosfera de um buraco negro de

    Kerr. A energia da partcula , medida pelo observador no evento da emisso , dada

    por

    = = , 5.22

    onde o quadrimomento da partcula no evento e a quadrivelocidade do

    observador , a qual tem componentes = 1,0,0,0 .

    Suponha agora que em algum ponto na ergosfera, a partcula decai em outras

    duas partculas e . Pela conservao do quadrimomento, no evento do decaimento

    , temos

    = + . 5.23

    Se o decaimento ocorre de tal maneira que a uma das partculas, digamos,

    escape da ergosfera e eventualmente alcance o infinito, um observador que recebe essa

    partcula ir medir sua energia no evento da recepo , como

    = =

    , 5.24

  • 21

    onde a segunda igualdade segue devido ao fato de a componente temporal covariante do

    quadrimomento da partcula ser conservada na geometria de Kerr, dado que a mtrica

    estacionria, = 0. Do mesmo modo, para a partcula original temos =

    . Assim, a componente temporal da equao 5.23 pode ser escrita como

    = , 5.25

    onde tambm conservado ao longo da geodsica seguida por .

    importante notar que =

    , onde o vetor da base coordenada

    correspondente coordenada , cujo mdulo quadrado dado por

    = . 5.26

    Se a partcula sempre escapasse da superfcie externa da ergosfera, isto , para

    uma regio onde > 0, ento seria tipo-tempo. Dessa forma, seria

    proporcional energia da partcula medida por um observador com quadrivelocidade ao

    longo da direo de . Neste caso, tem que ser positivo, e ento 5.25 implica

    que < . Entretanto, se a partcula nunca escapasse da ergosfera, mas, ao

    contrrio, casse no buraco negro, ento ela permaneceria numa regio onde < 0, de

    modo que tipo-espao. Neste caso, seria uma componente espacial do

    momento da partcula, a qual pode ser positiva ou negativa. Para decaimentos nos quais

    ela fosse negativa, de 5.25 vemos que > e ento teremos extrado energia

    do buraco negro. Este o processo de Penrose.

    Uma vez que a partcula tenha ultrapassado o horizonte de eventos, a massa e

    o momento angular = do buraco negro se tornam:

    + 2 , 5.27

    + . 5.28

    De 5.27 vemos que o valor negativo de para uma partcula em queda livre no

    processo de Penrose reduz a massa total do buraco negro. Para mostrar que o momento

    angular do buraco negro reduzido pela partcula em queda livre, til considerar um

  • 22

    observador na ergosfera em uma posio de coordenadas e fixas, o qual observa a

    partcula quando ela passa por ele. A quadrivelocidade deste observador ser dada por

    5.17 ,

    = 1,0,0, .

    Este observador ir medir a energia da partcula como sendo

    = =

    + . 5.29

    Como a energia tem que ser positiva, devemos ter

    +

    > 0

    > 0,

    ou,

    0 na regio I, segue que > 0 na nesta regio, e ento essas equaes

    correspondem a ftons que se afastam do buraco negro. Para 2 < 2, pode-se resolver

    as equaes diretamente. Obtemos,

    = + +2

    2 2 ln

    + 1 +

    2

    2 2 ln

    1 + constante

    6.9

    =

    2 2 2ln

    +

    + constante. 6.10

    Note que no limite 0, a equaes 6.9 e 6.10 se reduzem s equaes para a

    trajetria de um fton na geometria de Schwarzschild.

    Pode-se mostrar que so permitidas trajetrias circulares para ftons na

    geometria de Kerr, com = dado por,

    = 2 1 + cos 2

    3cos1

    , 6.11

  • 28

    onde o sinal positivo corresponde a uma rbita na mesma direo de rotao do buraco

    negro, e o sinal negativo, no sentido oposto. No caso dos ftons, entretanto, as rbitas

    circulares no so estveis.

    7 COORDENADAS DE EDDINGTON-FINKELSTEIN

    As coordenadas e na forma de Boyer-Lindquist no so boas coordenadas

    prximo aos horizontes de eventos. Entretanto, podemos remover a singularidade

    coordenada usando como inspirao as equaes das geodsicas nulas principais

    6.9 e 6.10 , estendendo a soluo para = +.

    Em forma diferencial, as equaes 6.9 e 6.10 para ftons incidentes tomam

    a forma

    = 2 + 2

    7.1

    =

    . 7.2

    Nas coordenadas de Eddington-Finkelstein avanadas , , , , buscamos

    fazer com que as trajetrias principais dos ftons incidentes sejam linhas retas,

    definindo ento , , , de modo que

    = , = = 0. 7.3

    De 7.1 e 7.2 vemos que a transformao de coordenadas deve satisfazer

    = +2

    7.4

    = +

    . 7.5

  • 29

    A soluo de Kerr em coordenadas de Eddington-Finkelstein avanadas toma

    ento a seguinte forma

    2 = 1 2

    2 2 2

    4

    2 1 +

    2

    2 2 +

    4 sen2

    2

    +2 2 + 2 sen2

    2 22

    2 + 2 sen2 +22 sen4

    2 2,

    7.6

    Definindo o parmetro de tempo avanado = + (tal que = 0 ao longo

    da geodsica do fton), a soluo de Kerr pode ser escrita como

    2 = 1 2

    2 2 2 +

    4 sen2

    2 + 2 sen2 22

    2 + 2 sen2 +22 sen4

    2 2,

    7.7

    Alternativamente, possvel tambm fazer com que as geodsicas nulas

    outgoing passem a ser linhas retas. Nesse caso, de maneira anloga, as coordenadas

    ,, , so chamadas de coordenadas de Eddington-Finkelstein retardadas e

    = , chamado de parmetro de tempo retardado.

    Na figura 4 est mostrado um diagrama espao-tempo no plano equatorial de um

    buraco negro de Kerr usando coordenadas de Eddington-Finkelstein avanadas. O

    horizonte de eventos = + delimita uma superfcie de no-retorno. Uma vez que

    uma partcula tenha cruzado este horizonte, seu futuro estar direcionado para a regio

    III a qual contm a singularidade e nunca se poder retornar para a regio I.

  • 30

    Figura 4: Diagrama espao-tempo nas coordenadas de Eddington-Finkelstein.

    A singularidade da soluo de Kerr tipo-tempo, diferentemente da soluo de

    Schwarzschild, que tipo-espao. Isto significa que possvel evitar a singularidade

    movendo-se ao longo de uma curva tipo-tempo. De fato, fazendo a extenso mxima da

    soluo de Kerr, v-se que uma partcula que tenha cruzado o horizonte = pode

    cruzar novamente esta superfcie = e eventualmente emergir de = + em uma

    outra regio do espao-tempo assintoticamente plana.

    Figura 5: Estrutura dos cones de luz no plano equatorial na geometria de Kerr.

  • 31

    A figura 5 mostra uma ilustrao esquemtica da estrutura dos cones de luz no

    plano equatorial da geometria de Kerr, as quais tambm ilustram o arrasto dos

    referenciais inerciais. Conforme nos aproximamos da superfcie de redshift infinito +,

    qualquer partcula viajando contra a direo de rotao tem que viajar na velocidade da

    luz apenas para se manter estacionrio (relativamente a um observador no infinito). Para

    valores menores de , na ergosfera, os cones de luz viram, de modo que os ftons (e

    as partculas massivas) so forados a viajar na direo de rotao. No horizonte de

    eventos +, os cones de luz passam a apontar apenas na direo da regio II, de modo

    que o futuro das partculas se encontra nessa regio.

    8 EXTENSO ANALTICA DA SOLUO DE KERR

    A soluo de Kerr pode ser estendida analiticamente utilizando as coordenadas

    de Eddington-Finkelstein avanadas e retardadas,

    =

    2 + 2

    8.1

    =

    , 8.2

    de modo que agora permitido que a coordenada assuma valores negativos, podendo-

    se ento alcanar regies alm da singularidade. A figura 6 mostra o diagrama de

    Penrose do espao-tempo maximal, ao longo do eixo de simetria para o caso mais

    interessante fisicamente de 2 < 2.

  • 32

    Figura 6: Diagrama de Penrose da soluo de Kerr.

    As regies I + < < so regies estacionrias assintoticamente planas,

    exteriores ao horizonte de eventos externo. As regies II < < + so no-

    estacionrias e cada ponto representa uma superfcie fechada pela qual no se pode

    cruzar no sentido de dentro para fora (closed trapped surface). As regies III