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  • Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 38, nº 4, e4201 (2016)www.scielo.br/rbefDOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0191

    Seção Especial - Ondas Gravitacionaiscbnd

    Licença Creative Commons

    Cem anos de buracos negros:o centenário da solução de Schwarzschild

    One hundred years of black holes: the centenary of the Schwarschild solution

    Alberto Saa∗1

    1Departamento de Matemática Aplicada, Universidade Estadual de Campinas, 13083-859, Campinas, SP, Brasil

    Recebido em 27 de Agosto, 2016. Aceito em 28 de Agosto, 2016.

    No ińıcio deste ano de 2016, o consórcio formado pelas colaborações LIGO e Virgo anunciou a primeiradetecção direta de ondas gravitacionais. Exatamente 100 anos antes, Karl Schwarzschild, um f́ısico eastrônomo alemão de refinada formação matemática, surpreendia Einstein e toda a comunidade cient́ıficacom uma solução exata das complicadas equações da Teoria da Relatividade Geral. As condições nasquais desenvolveu este seu trabalho foram dramáticas e ficaram famosas: lutando com o exército alemãona frente russa da Primeira Guerra Mundial. É notável também que seu trabalho tenha sido praticamentesimultâneo aos de Einstein que levaram à consolidação da Relatividade Geral, a tempo ainda de tersua solução reconhecida e citada na formulação definitiva da Teoria, publicada por Einstein no mesmoano de 1916. A desde então chamada solução de Schwarzschild foi o ponto de partida para uma dasmais interessantes sagas da F́ısica do Século XX: a descoberta dos buracos negros e suas fascinantespropriedades f́ısicas, que estão por trás, também, dos fenômenos de ondas gravitacionais detectadosdiretamente este ano. Apresentaremos aqui um pouco dos contextos histórico e epistemológico destasnotáveis descobertas e alguns de seus principais protagonistas.Palavras-chave: Relatividade Geral, Buracos Negros, Ondas Gravitacionais, Karl Schwarzschild

    Early this year, 2016, the consortium formed by LIGO and Virgo collaborations announced the firstdirect detection of gravitational waves. Exactly 100 years earlier, Karl Schwarzschild, a German physicistand astronomer with a refined mathematical background, surprised Einstein and the entire scientificcommunity with an exact solution for the complicated equations of General Relativity. The conditionsunder which he worked on the problem were quite dramatic and became famous: fighting with theGerman army on the Russian front of the First World War. It is remarkable also that his work wasalmost simultaneous to Einstein’s that led to the consolidation of General Relativity, just in time to havehis solution recognized and cited in the final formulation of the Theory, published by Einstein in thesame year of 1916. Since then called the Schwarzschild solution, it was the starting point for one of themost interesting sagas of the twentieth century Physics: the discovery of black holes and their fascinatingphysical properties, which are also behind the gravitational waves phenomena directly detected this year.We present here a bit of the historical and epistemological contexts of these remarkable discoveries andsome of their main protagonists.Keywords: General Relativity, Black Holes, Gravitational Waves, Karl Schwarzschild

    1. Introdução

    Em fevereiro de 2016, o consórcio formado pelascolaborações LIGO [1] e Virgo [2] anunciou, comgrande interesse e cobertura dos principais meios decomunicação, a primeira detecção direta de ondas

    ∗Endereço de correspondência: [email protected]

    gravitacionais [3–6], culminando assim de maneiraesplêndida mais de meio século de esforços teóricos etecnológicos fundamentais para esta façanha obser-vacional, considerada por muitos o embrião de umanova e fascinante era na observação astronômica [4].Detecções mais frequentes são esperadas no futuro(de fato, um outro evento semelhante ao primeiro já

    Copyright by Sociedade Brasileira de F́ısica. Printed in Brazil.

    www.scielo.br/[email protected]

  • e4201-2 Cem anos de buracos negros: o centenário da solução de Schwarzschild

    foi detectado [7]1) e, com isso, dados observacionaisfundamentais para o entendimento dos fenômenosf́ısicos envolvidos passarão a ser acumulados em bomritmo, permitindo desta maneira um cuidadoso es-crut́ınio das teorias f́ısicas pertinentes, levando aoeventual descarte de algumas hipóteses e o aprimora-mento de outras, como de fato se espera da dinâmicado Método Cient́ıfico nas Ciências Experimentais.Há grande expectativa na comunidade cient́ıfica so-bre estas novas massas de dados e a natureza doseventos e fenômenos f́ısicos que poderão ajudar aelucidar.

    Os fenômenos f́ısicos por trás das emissões de on-das gravitacionais de detecção mais provável como,em particular, é justamente o caso dos dois eventosjá observados, envolvem buracos negros, mais espe-cificamente situações de fusão entre dois buracosnegros. São fenômenos tipicamente de energias gi-gantescas, são de fato os mais energéticos, depois doBig Bang, conhecidos na F́ısica, nos quais massas demesma ordem de magnitude que a do sol são conver-tidas e irradiadas como ondas, com predominânciadas gravitacionais. Tanto os buracos negros quantoas ondas gravitacionais são previsões originais daTeoria da Relatividade Geral, constrúıda também háum século por Albert Einstein2 para a descrição dosfenômenos gravitacionais, substituindo, até agoracom absoluto sucesso, o paradigma da GravitaçãoUniversal de Newton. Não havia, até este ano, ne-nhuma observação direta de ondas gravitacionais,mas também é certo que já havia sido acumuladoum considerável conjunto de evidências convincentesa favor de sua existência. Por exemplo, o prêmioNobel de 1993 [10] foi concedido a R. Hulse e J.Taylor precisamente pelas observações realizadasnos anos 70 sobre um sistema binário formados porum pulsar e uma estrela de nêutrons [11]. Das on-das de rádio emitidas por este sistema binário, éevidente que ele vem perdendo energia, com umataxa de decréscimo perfeitamente compat́ıvel comas previsões da Relatividade Geral sobre a emissão

    1 Os dois eventos detectados foram denominados GW150914e GW151226. GW denota o tipo do evento (gravitatio-nal wave), e o número seguinte a data da detecção: ano,mês e dia. O anúncio da detecção é sempre posterior, al-guns meses são necessários para a completa análise do si-nal capturado. Os dados dos sinais são públicos. Os do pri-meiro evento, por exemplo, podem ser obtidos no endereçohttps://losc.ligo.org/events/GW150914/2 Para uma biografia de Einstein, recomenda-se [8]. Comotexto de divulgação sobre a Relatividade Geral e sua ricahistória, recomenda-se [9].

    de ondas gravitacionais por sistemas dessa natu-reza. Sobre os buracos negros especificamente, aindanão há observação direta, mas a detecção das on-das gravitacionais possivelmente oriundas da fusãode buracos negros é, incontestavelmente, mais umaforte evidência indireta de sua existência na Natu-reza. Retornaremos a este ponto mais adiante.

    Uma efeméride notável nos remete precisamenteà origem dos buracos negros, objetos astrof́ısicosde propriedades surpreendentes e história rica emcontrovérsias, polêmicas e curiosidades. Exatos 100anos antes do anúncio da primeira detecção diretade ondas gravitacionais, em fevereiro de 1916, erapublicado nos Anais da Academia Real de Ciênciasda Prússia um artigo, correspondente a uma apre-sentação oral feita por Einstein em 13 de janeirodesse mesmo ano, contendo um resultado surpreen-dente obtido por um f́ısico e astrônomo alemão derefinada formação matemática: Karl Schwarzschild.Neste trabalho [12]3, intitulado “Sobre o campo gra-vitacional de uma massa puntual de acordo coma teoria de Einstein”, Schwarzschild apresenta asolução que viria a ser imortalizada com o seu nomepara as equações da Relatividade Geral de Einstein,e que levará não só à descoberta dos buracos negros,mas como também a boa parte da F́ısica que hojeestá sendo desvendada com as observações das on-das gravitacionais. Nos seus 100 anos de história, asolução de Schwarzschild foi intensamente debatidaf́ısica e matematicamente, caiu no esquecimento, re-nasceu, foi completamente dissecada e generalizada,até chegarmos no entendimento atual de que eladescreve o tipo mais simples de uma nova classe deobjetos da Natureza: os buracos negros. Serão apre-sentados a seguir um pouco dos contextos histórico eepistemológico nos quais se desenvolveu esta que cer-tamente é uma das grandes sagas da F́ısica do séculoXX: a descoberta dos buracos negros e suas fasci-nantes propriedades f́ısicas. Iniciaremos com umabreve biografia cient́ıfica do principal personagemda efeméride.

    2. Karl Schwarzschild

    Karl Schwarzschild nasceu em uma famı́lia judaicade alto estrato sócio-cultural da cidade de Frank-furt, Alemanha, em 9 de outubro de 1873, sendo

    3Vários dos trabalhos já clássicos em ĺıngua alemã citadosaqui podem ser encontrados em versão original no projetoWikisource http://de.wikisource.org/

    Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 38, nº 4, e4201, 2016 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0191

    https://losc.ligo.org/events/GW150914/http://de.wikisource.org/

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    o primogênito de seis irmãos [13, 14]. Foi um es-tudante brilhante e demonstrou precocemente seutalento para a Matemática e as Ciências Naturais.Seus dois primeiros trabalhos cient́ıficos [15, 16], so-bre mecânica celeste, foram publicados antes deseu décimo sétimo aniversário, enquanto ainda eraum estudante pré-universitário em sua cidade natal.Nessa época, aventurava-se como auto-didata juntoa um amigo dois anos mais velho, Paul Epstein, queviria posteriormente a se consagrar como um grandematemático, em diversos tópicos de Matemática su-perior e astronomia, incluindo a observação do céucom telescópios.

    Schwarzschild frequentou entre 1891 e 1893 a Uni-versidade de Estrasburgo, então uma Universidadealemã geográfica e culturalmente, onde teve umaformação sólida em astronomia, incluindo técnicasobservacionais modernas e pioneiras na época. Emseguida, muda-se a Munique, onde realiza um ano deserviço militar em um corpo de artilharia do exércitoalemão. Sob orientação do eminente astrônomo Hugovon Seeliger, obtém em 1896, na Universidade deMunique, seu doutorado [17], explorando alguns dostrabalhos matemáticos de Poincaré e suas posśıveisaplicações à dinâmica e origem do sistema solar.Sua refinada formação matemática é evidente emseus trabalhos dessa época. Seu doutorado, porexemplo, envolve ideias matemáticas introduzidase desenvolvidas por H. Poincaré poucos anos antes,acerca de estabilidade de fluidos auto-gravitantesem rotação. Logo após obter seu doutorado, assumiuuma posição de astrônomo no Observatório Kuffner,de Viena, onde ficou até 1899, ano em que regressa aMunique com uma tradicional posição acadêmica daépoca na Alemanha: a de Privatdozent. Seu examede Habilitação, necessário pelas regras das universi-dades alemãs para se ter acesso a essa posição, seráimportante, como veremos, para entendermos seugrau de familiaridade, anos depois, com a Relativi-dade Geral. De seu peŕıodo em Viena, destacam-seseus trabalhos teóricos sobre o Problema de TrêsCorpos e, principalmente, seus trabalhos sobre foto-metria, técnica pioneira na época e que provou serfundamental para o desenvolvimento da astronomiamoderna.

    Schwarzschild deixa Munique em 1901, ano emque assume uma posição de Professor na universi-dade que provavelmente era a de maior prest́ıgio emF́ısica e Matemática da Alemanha na época: Göttin-gen, onde fica até 1909, sendo o responsável pelo

    Figura 1: Karl Schwarzschild, 9 de Outubro de 1873 (Frank-furt) – 11 de Maio de 1916 (Potsdam), em seus anos na Uni-versidade de Göttingen (1901 – 1909). Imagem de doḿıniopúblico, https://commons.wikimedia.org/

    Observatório Astronômico da Universidade. Tevecomo colegas e colaboradores nesse peŕıodo a FelixKlein, David Hilbert e Hermann Minkowski, o quecertamente foi importante para mantê-lo atualizadoconstantemente sobre os avanços na Matemática e odesenvolvimento da Teoria da Relatividade Geral deEinstein. Em Göttingen, continua trabalhando emF́ısica Teórica e também realiza diversas observaçõesastronômicas, produzindo um extenso catálogo deestrelas: o Göttinger Aktinometrie. Em 1909, muda-se para Potsdam, onde assume a posição de maiordestaque na Alemanha da época para um astrônomo:a de Diretor do Observatório Astrof́ısico da cidade.É durante esse peŕıodo que forma sua famı́lia. Casa-se com Else Posenbach em seus últimos meses emGöttingen, vindo a ter três filhos, já em Potsdam:Agathe, Martin e Alfred. Seu filho Martin Schwarz-child deixará a Alemanha durante a perseguiçãonazista, e desenvolverá sua carreira de grande su-cesso como astrônomo na Universidade de Princeton,nos Estados Unidos.

    Em Potsdam, Schwarzchild prossegue com seustrabalhos astronômicos de primeira classe. Conti-nuou a contribuir para o grande catálogo de es-trelas iniciado em Göttingen. Visitou os EstadosUnidos em 1910, participando no (décimo primeiro)Congresso da AAS (American Astronomical Soci-ety), em Cambridge, Massachusetts, e na (quarta)Conferência da International Union for Solar Rese-arch, em Mount Wilson, Califórnia. Ainda em 1910,

    DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0191 Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 38, nº 4, e4201, 2016

    https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=512219

  • e4201-4 Cem anos de buracos negros: o centenário da solução de Schwarzschild

    participa da expedição alemã a Tenerife, nas IlhasCanárias, para a observação da passagem do cometaHalley, registrando o evento com suas técnicas fo-tográficas pioneiras na época. Contudo, sua carreirabrilhante na astronomia foi bruscamente interrom-pida em 1914, com a eclosão da Primeira GuerraMundial. Schwarzchild, que estaria dispensado dese unir às filas militares por sua idade, se apresentacomo voluntário, trabalhando ativamente no esforçode guerra alemão, primeiro como oficial de meteoro-logia e, posteriormente, de artilharia. Chega, inclu-sive, a produzir trabalhos cient́ıficos de caráter emi-nentemente bélico, como, por exemplo, um estudosobre a influência da resistência do ar na trajetóriade projéteis baĺısticos [18], o qual devido à guerra sóveio a ser publicado em 1920. Há uma vasta e ricaliteratura4 sobre essa conturbada e extremamentetrágica época da sociedade alemã, na qual inúmeroscientistas de primeira magnitude eram verdadeirosentusiastas da guerra [20]. Muitos viriam a pagar omais alto preço por essas escolhas. Há de se destacar,sempre, que um dos raros cientistas alemães que semanifestaram enfaticamente contra a guerra foi Al-bert Einstein [8]. Schwarzschild serviu inicialmenteem Namur, Bélgica, como oficial de meteorologia,a partir de setembro de 1914 (a guerra se iniciaraem 28 de julho). Depois, passou rapidamente pelaregião de Argonne, França, e finalmente, já comooficial de artilharia, foi para a temida e perigosafrente russa. O grande f́ısico indiano SubrahmanyanChandrasekhar, do qual em breve falaremos, ga-nhador do Prêmio Nobel de 1983 por seus estudosfundamentais sobre estrutura e evolução estelar, re-lata uma conversa nos anos 30 com o matemáticoalemão Richard Courant, que viria a se estabelecernos Estados Unidos após a perseguição nazista, naqual ele dizia ter, com muita surpresa, encontradoSchwarzschild a caminho da frente russa, enquantoele próprio a abandonava. Nas próprias palavras deChandrasekhar: [14]

    Richard Courant told me in the latethirties that he had met Karl Schwarzs-child proceeding to the Eastern front whilehe, as a member of the general staff, waswith a party retreating from the samefront; and Courant said that he was sur-prised that someone as distinguished asKarl Schwarzschild would be proceeding

    4 Ver, por exemplo, [19] e referências lá contidas.

    towards a front that was considered toodangerous for the general staff!

    Durante a campanha russa, Schwarzschild con-traiu pênfigo, uma debilitante doença auto-imuneque causa bolhas e erupções extremamente doloro-sas na pele, completamente incurável na época. Foidesmobilizado em março de 1916, vindo a morrerdois meses depois. Não chegou a completar 43 anosde idade.

    2.1. A solução e seu contexto

    Schwarzschild também se dedicou à Ciência Básicaenquanto esteve mobilizado no exército alemão. Foiprovavelmente no verão de 1915, já na frente russa,quando desenvolveu os trabalhos que deram origema seus dois artigos sobre relatividade. Além do pri-meiro já comentado anteriormente [12], houve umsegundo [21] sobre o campo gravitacional de umadistribuição esférica e homogênea de matéria. Éneste segundo artigo que aparece, pela primeira vez,a quantidade rS , que passaria a ser chamada “raiode Schwarzschild”. O ano de 1915 foi também parti-cularmente intenso para Einstein. Publicou quatroartigos em novembro [22–25], os quais viriam a sera base da sua Teoria da Relatividade Geral. Curio-samente, o artigo final, consolidando a teoria, só foipublicado em março de 1916 [26], após o primeirotrabalho de Schwarzschild, o qual é de fato citado, eportanto inequivocamente reconhecido como válidoe pertinente, por Einstein. Em um de seus quatrotrabalhos de Novembro [24], Einstein propõe, comose infere literalmente do t́ıtulo, uma “explicaçãopara o movimento do periélio de Mercúrio a partirda Teoria da Relatividade Geral”. Trata-se de umdos testes clássicos da Relatividade Geral. Sabe-se,das Leis de Kepler, que a órbita dos planetas éuma elipse com o Sol situado em um de seus focos.Os nomes de periélio e afélio são dados, respecti-vamente, aos pontos da órbita de menor e maiordistância ao sol. São, obviamente, os pontos extre-mos do eixo maior da elipse correspondente à órbitaem questão. A Teoria da Relatividade Geral prevêum pequeno movimento, um avanço, do periélio deMércurio, que provou ser perfeitamente compat́ıvelcom as observações.5 A órbita de Mercúrio é, por-tanto, uma elipse que precessa em torno do sol, e5 Rigorosamente, a previsão da Relatividade Geral que foiconfirmada nas observações foi de um excesso de precessão,já que o a precessão em si também é prevista no contextonewtoniano, a partir da perturbação da órbita de Mercúrio

    Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 38, nº 4, e4201, 2016 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0191

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    este movimento pode ser detectado registrando-se aposição do periélio a cada volta completa (ano) doplaneta em torno do sol. O planeta Mercúrio é parti-cularmente útil para este estudo por dois principaismotivos [27]: é o planeta com maior velocidade detranslação em torno do Sol, com um ano que corres-ponde aproximadamente a 88 dias do planeta Terra,sendo posśıvel portanto registrar a posição de seuperiélio a cada três meses terrestres; e também porser o planeta com a órbita de maior excentricidade(0.206) do sistema solar, depois de Plutão (0.248),que de fato não é mais considerado um planeta. Aexcentricidade da órbita da Terra, por exemplo, nãochega a um décimo da de Mercúrio.

    Para a derivação de sua previsão para o avançodo periélio de Mercúrio, Einstein deveria descrever oequivalente em sua Teoria da Relatividade Geral docampo gravitacional do Sol. Suas equações, porém,se mostravam muito mais complicadas que as daGravitação Universal de Newton, e Einstein entãooptou por uma abordagem perturbativa. Não obtevea solução exata que corresponderia na RelatividadeGeral ao campo gravitacional de um corpo esférico,mas descreveu as correções oriundas da RelatividadeGeral ao potencial Newtoniano, o qual, para o casode um corpo esférico e homogêneo de massa M situ-ado na origem das coordenadas cartesianas (x, y, z)é dado pela simples expressão

    Φ(x, y, z) = − GM√x2 + y2 + z2

    , (1)

    sendo G a constante universal de Newton. O poten-cial newtoniano (1) é válido para a região externaao corpo. No entanto, essa expressão não envolveo tamanho do corpo. Em outras palavras, é válidapara corpos esféricos e homogêneos de qualquer raio,inclusive os arbitrariamente pequenos, i.e., corpospuntuais6.

    Em seu primeiro artigo de 1916 [12], Schwarzschildencontra a solução exata das equações de Einstein

    devido à presença de outros planetas, notadamente Júpiter.Para se ter uma ideia, as previsões Newtonianas são da ordemde 530 segundos de arco por século, enquanto as da Teoriada Relatividade Geral não atingem 1/10 disso (43”/século).6De fato, este é o conteúdo da 71ª Proposição da Seção 12 doPrincipia de Newton [28], provado como o Teorema 31. Naspalavras de Newton (na versão inglesa):

    ...a corpuscle placed with out the sphaericalsuperficies is attracted towards the centre of thesphere with a force reciprocally proportional tothe square of its distance from that centre.

    que corresponderia ao campo gravitacional de umamassa puntual. Eu outras palavras, o equivalente naRelatividade Geral ao potencial (1) na GravitaçãoUniversal de Newton. Sua solução confirmou que asaproximações feitas por Einstein em seu trabalhosobre o periélio de Mercúrio estavam de fato corretas.Schwarzschild enviou o resultado a Einstein em umafamosa carta, em dezembro de 20157. A reação deEinstein foi de entusiasmo. Em sua resposta, escritaem um cartão postal em 29 de Dezembro, escreveu

    Ich hätte nicht gedacht, dass die strengeBehandlung des Punktproblems so ein-fach wäre.8

    Einstein também prometeu uma publicação rápidado resultado. Em janeiro de 1916, faz a comunicaçãono encontro da Academia Real de Ciências da Prússia,e o artigo é de fato publicado nos Anais de fevereiro.

    A Relatividade Geral é uma teoria radicalmentediferente da Gravitação Universal de Newton. Emparticular, a interação gravitacional não é mediadapor um potencial como (1), mas pelas propriedadesgeométricas do Espaço-Tempo, conceito fundamen-tal que havia sido introduzido em 1908 pelo colega deSchwarzschild em Göttingen H. Minkowski [30]. Aspropriedades geométricas em questão são as descri-tas pelo chamado tensor métrico, com o qual pode-seescrever o equivalente de uma noção infinitesimal decomprimento para o Espaço-Tempo, o chamado ele-mento de linha. Curiosamente, Schwarzschild escrevesua solução já na forma “moderna” em coordenadasespaço-temporais esféricas (t, r, θ, φ), nas quais oelemento de linha da solução é dado por

    ds2 =(

    1− rSr

    )dt2− dr1− rSr

    −r2(dθ2 + sen2 θdφ2

    ),

    (2)mas sua interpretação correta ainda tardaria. Emseu segundo trabalho [21], publicado em abril de1916, no qual Schwarzschild considera não o caso deum massa puntual, mas uma distribuição esférica ehomogênea de matéria, sua constante rS é finalmenteidentificada como

    rS =2GMc2

    , (3)

    sendo c a velocidade da luz no vácuo. Desse tra-balho, pode-se já inferir que não será posśıvel um7 A carta original e sua resposta estão reproduzidas em [14].Ver também: [29]8 Não imaginei que a solução exata para o problema puntualfosse tão simples – tradução livre do autor.

    DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0191 Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 38, nº 4, e4201, 2016

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    equiĺıbrio hidrostático se a distribuição de matériativer um raio inferior a 98rS . Este ponto, que de fatoé o embrião da ideia dos buracos negros, não foicompletamente percebido e portanto explorado porSchwarzschild. Esta questão será melhor exposta aseguir.

    É bastante surpreendente que Schwarzschild tenhaenviado a Einstein sua solução em 22 de dezembro de1915, pouco mais de um mês após a publicação dosquatro artigos preliminares de Einstein sobre a Re-latividade Geral [22–25], principalmente levando-seem conta que Schwarzschild estava em pleno campode batalha na Rússia. Seria uma façanha virtual-mente imposśıvel para alguém sem uma notávelfamiliaridade com a Matemática de ponta na épocae com as ideias da Relatividade Geral. Ocorre queSchwarzschild tinha a formação necessária para con-tribuir em pé de igualdade com Einstein para aRelatividade Geral. Não se trata de um exageroretórico. Em seus anos de Göttingen, teve comocolegas e colaborou com Klein, Hilbert e Minkowski,três matemáticos de fundamental importância parao desenvolvimento da F́ısica e da Matemática dosfenômenos gravitacionais. Minkowski, em particu-lar, fora o responsável anos antes pela introduçãoda ideia de Espaço-Tempo [30]. Hilbert trabalhouativamente nos fundamentos matemáticos que possi-bilitaram a derivação das equações da RelatividadeGeral. É importante destacar que Einstein, muitofamoso pela economia em suas citações cient́ıficas,inclui apenas duas referências em seu trabalho de-finitivo sobre a Relatividade Geral [26]: o primeiroartigo de Schwarzschild e um de Hilbert. Felix Kleinfoi fundamental no desenvolvimento das chamadasgeometrias não-euclidianas, conceitos fundamentaisno desenvolvimento da F́ısica e da Matemática doSéculo XX, sendo, em particular, um dos pilares daRelatividade Geral.

    A ideia de que outras geometrias além da milenareuclidiana poderiam fazer sentido foi elaborada emsua forma moderna por Bernhard Riemann, queeste ano tem o sesquicentenário de sua morte re-lembrado [31]. Assim como Schwarzschild (e Min-kowski), teve uma vida breve, menos de 40 anos,mas fundamental para o desenvolvimento da Ma-temática e da F́ısica. Schwarzschild tinha intimidadecom a obra de Riemann antes mesmo de seus diasde Professor em Göttingen, antes de ser colega deKlein, Hilbert e Minkowski. Em seu exame de Habi-litação, no ano de 1899, em Munique, Schwarzschild

    apresenta uma monografia sobre suas contribuiçõesà fotometria e suas aplicações à astronomia, a qualé aprovada. Porém, dentre os temas que haviamsido considerados para sua dissertação, estava umaproposta de verificação, a partir de observações as-tronômicas, da natureza geométrica do espaço [14].Trata-se de uma proposta de um arrojo intelectualincŕıvel: a de que as geometrias não-euclidianas quefaziam sentido matematicamente poderiam existirde fato na Natureza, e Schwarzschild apresenta umaproposta cient́ıfica para verificar esta possibilidade!Incentivado por Seeliger, apresenta este trabalho [32]no encontro anual da Sociedade Astronômica Alemãem Heidelberg, em 1900, cinco anos antes do “anomiraculoso” em que Einstein apresenta a teoria daRelatividade Especial, e 15 anos antes da Teoriada Relatividade Geral! Nesse fantástico trabalho,Schwarzschild mostra que os dados astronômicosdispońıveis na época limitariam os posśıveis raiosde curvatura para o espaço tri-dimensional. Seriam,no mı́nimo, o equivalente a 4 milhões de unidadesastronômicas9 se o espaço fosse do tipo hiperbólico,ou 100 milhões se o espaço fosse esférico. Muito maisimportante que esses números, que não são de todoprecisos, era a ideia de testar experimentalmentea geometria realizada na Natureza. Há uma amplaliteratura, na fronteira com a Filosofia, sobre este as-sunto, cobrindo grande parte da tradição acadêmicaalemã, notadamente os trabalhos de Gauss [33] e asreferências aos ideais kantianos [34]. Não há dúvidasque Schwarzschild esteve na fronteira do conheci-mento humano em seus dias.

    2.2. Johannes Droste

    Antes de passarmos a uma discussão sobre o conteúdof́ısico da solução de Schwarzschild (2), é interessantecomentar um caso emblemático sobre o surgimentode novas ideias na F́ısica e na Matemática, e o me-canismo de atribuição dos devidos créditos. Trata-sedo caso do f́ısico e matemático holandês JohannesDroste [35]. O notável neste caso é que Droste obtéma mesma solução de Schwarzschild, quase que simul-taneamente! Seu artigo [36], intitulado “O campo deum centro único na Teoria de Einstein da Gravitação,e o movimento de uma part́ıcula nesse campo” apre-senta exatamente a solução de Schwarzschild (2).Este trabalho foi apresentado pelo então orientador

    9Distância média entre o Sol e a Terra, cerca de 150 milhõesde km.

    Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 38, nº 4, e4201, 2016 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0191

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    de Droste, Hendrik Lorentz, no encontro da Acade-mia Holandesa de Ciências em 27 de maio de 1916.Neste trabalho, publicado paralelamente ao originalholandês também em ĺıngua inglesa, lê-se a seguintenota de rodapé:

    After the communication to the Aca-demy of my calculations, I discoveredthat also K. Schwarzschild has calcula-ted the field. Vid: Sitzungsberichte derKon. Preuss. Akad. der Wiss. 1916, page189, Equation (7) agrees with (14) there,if R is read instead of r.

    Pouco se sabe sobre Johannes Droste [37]. Nas-ceu em Grave, Holanda, em 28 de maio de 1986e faleceu em Leiden, em 16 de setembro de 1963.Obteve seu doutorado em Leiden em 1916, com umatese exatamente sobre campos gravitacionais na Te-oria da Relatividade Geral [38]. Aparentemente, foia única tese em Relatividade Geral orientada porLorentz. De seu trabalho [36], infere-se que vinhatrabalhando com Relatividade Geral desde 1913,ano em que Einstein publica alguns artigos bastantepreliminares sobre a teoria. Assim como no casode Schwarzschild, é evidente que Droste tinha umbom domı́nio dos aspectos matemáticos e f́ısicos daRelatividade Geral para obter esses resultados origi-nais. Muito provavelmente, tinha também condiçõesde contribuir em pé de igualdade com os outrospioneiros da Relatividade Geral. Sua derivação dasolução em [36] é mais clara que a de Schwarzs-child. Sua análise do movimento de part́ıculas deteste nesse campo gravitacional, além de ser maiscompleta que a de Schwarzschild, é de grande ori-ginalidade, chegando a adiantar em quase 50 anosas chamadas “coordenadas tartarugas”, essenciaispara o entendimento da F́ısica dos buracos negros.Chega também a identificar corretamente algumasdas propriedades das órbitas circulares com raior = 3rS , chamadas atualmente de Innermost sta-ble circular orbit10. Em vários aspectos, o traba-lho de Droste é mais profundo que o de Schwarzs-child. Apesar disso, seu trabalho caiu no completoesquecimento, mesmo com os esforços dos que ad-vogam [35, 37] a favor da utilização da expressãoSchwarzschild-Droste para denotar a solução (2).Os motivos pelos quais Droste não teve o merecidoreconhecimento são, infelizmente, mais comuns do

    10ISCO, normalmente traduzida em português como “últimaorbita circular estável”.

    que gostaŕıamos no mundo cient́ıfico. O resultadode Schwarzschild, então diretor do mais importanteobservatório alemão, ainda que afastado pela guerra,fora comunicado por ninguém menos que AlbertEinstein, num encontro da mais prestigiosa acade-mia da época. Droste era então um estudante dedoutorado pouco conhecido. Ainda que seu orien-tador era um renomado f́ısico e que a academiaholandesa de ciências gozava de grande prest́ıgio,não eram páreo para Einstein e para a AcademiaPrussiana. O trabalho de Schwarzschild é imediata-mente reconhecido e passa a ser citado, sendo a suaprimeira citação nada mais nada menos do que umadas duas únicas referências no trabalho definitivo deEinstein sobre a Relatividade Geral [26], enquantoo trabalho holandês cai no ostracismo. A partir de1916, Droste se dedicou mais à Matemática, tendoocupado uma posição de Professor na Universidadede Leiden por muitos anos. Não há registro de ne-nhum outro trabalho seu posterior em RelatividadeGeral.

    3. Buracos negros

    A elucidação completa do significado da solução (2)demoraria décadas. Nos anos seguintes à morte deSchwarzschild, até mais ou menos o final da décadade 20, as principais análises concentravam-se nas im-plicações observacionais de (2). Destacam-se, nestepeŕıodo, os trabalhos do grande astrônomo britânicoArthur Eddington, famoso por ser o responsável pelaexpedição de 1919 que observou um eclipse solarno hemisfério sul, mais precisamente no arquipélagode São Tomé e Pŕıncipe, na costa africana, e nacidade de Sobral11, no Ceará, que confirmou umaprevisão da Relatividade Geral que pode ser obtidaa partir da solução de Schwarzschild: o desvio da luzpela ação gravitacional de corpos massivos. Foi essaexpedição, a primeira envolvendo conjuntamente ci-entistas britânicos e alemães após a Primeira Guerra,que deu fama mundial a Einstein [8].

    Eddington talvez tenha sido o primeiro a questio-nar consistentemente a natureza da “singularidade”presente para r = rS na solução (2). O próprioSchwarzschild, aparentemente, não dera muita im-portância à singularidade, afinal a solução Newtoni-ana (1) também possui uma singularidade em r = 0,mas isso não vem a ser um problema para sua in-

    11Sobre a história e alguns impactos no Brasil desta expedição,ver [39–41]

    DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0191 Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 38, nº 4, e4201, 2016

  • e4201-8 Cem anos de buracos negros: o centenário da solução de Schwarzschild

    terpretação e utilização para qualquer r > 0. Há,porém, uma diferença fundamental entre os doiscasos. Enquanto no caso Newtoniano essa singula-ridade pode ser envolta numa superf́ıcie de áreaarbitrariamente pequena, isso não ocorre na soluçãode Schwarzschild. A singularidade r = rS na Re-latividade Geral não corresponde, como no casonewtoniano, a um ponto no espaço, mas a umaesfera de área

    A = 4πr2S = 16πG2M2

    c4. (4)

    Ao contrário do caso newtoniano, a solução de Schwarzs-child não nos permite confinar a singularidade numaregião espacial arbitrariamente pequena e, portanto,é muito mais dif́ıcil evitar sua incorporação nasanálises f́ısicas. Deve-se, obrigatoriamente, levar emconta essas singularidades nos problemas, por exem-plo, do movimento dos corpos sob a ação gravitacio-nal de (2). Algumas destas análises foram adiantadaspor Droste em seu artigo de 1916 [36]. Por outrolado, o raio de Schwarzschild é tipicamente muitopequeno. Para o caso do sol, por exemplo, que pos-sui uma massa de aproximadamente 2 × 1030 kg,seu raio de Schwarzschild é de aproximadamente 3km. O raio de Schwarzschild da Terra não chega a1 cm. Em outras palavras, o raio de Schwarzschildé tipicamente minúsculo se comparado a corpos as-trof́ısicos usuais, estando, nesses casos, localizadosempre no interior desses corpos, onde não se es-pera que as soluções (1) e (2) sejam mais válidas.A elucidação da natureza da singularidade r = rSiria requerer um estudo mais aprofundado dos de-talhes internos e de formação dos corpos esféricoshomogêneos que originam os campos gravitacionaisem questão. Nesse contexto, um estudante brilhantede Eddington na Universidade de Cambridge, o in-diano Subrahmanyan Chandrasekhar – Chandra12como era conhecido – tem um papel fundamental.Cabe aqui um comentário acerca desses dois per-sonagens. Terminariam em uma encarniçada dis-puta pública, precisamente sobre a interpretação dasolução de Schwarzschild como buracos negros e seupapel na evolução de uma estrela [42], que, comoquase sempre ocorre nessas situações, terminou emdesvantagem para o estudante, mesmo ele tendorazão neste caso em particular.

    12Em sua homenagem, assim foi batizado o mais importantetelescópio de raios X da NASA em órbita atualmente, verhttp://chandra.harvard.edu/

    Uma contribuição fundamental ao entendimentoda natureza da singularidade r = rS foi dada por R.Openheimer e seus colaboradores nos anos imedia-tamente anteriores a Segunda Guerra Mundial [43].Estes estudos deram forma ao entendimento mo-derno do colapso gravitacional, que fora, de fato,inicialmente proposto por Chandra e refutado comcerta violência por seu orientador, Eddington. Aideia é que determinadas configurações fisicamenterazoáveis de matéria auto-gravitante poderiam co-lapsar, implodir devido a própria atração gravitaci-onal. É exatamente o que ocorre, por exemplo, parao caso tratado por Schwarzschild em seu segundoartigo [21], o caso de um corpo esférico homogêneode raio externo inferior a 98rS . Nesta situação, astensões no centro da distribuição de matéria di-vergem, e nenhuma força de reação f́ısica será ca-paz de sustentar a distribuição, que acabará co-lapsando sobre ação do próprio peso, literalmenteimplodindo, concentrando-se em regiões cada vezmais pequenas e acabando finalmente em um únicoponto, r = 0. Este colapso total da matéria, quenunca foi aceito por Eddington e se transformouno principal motivo das polêmicas e brigas públicascom Chandra, deixará inexoravelmente o raio deSchwarzschild exposto, e portanto pasśıvel de serexplorado fisicamente. Openheimer identificou cor-retamente a superf́ıcie r = rS como uma superf́ıciede redshift (desvio para o vermelho) máximo [44,45].Por um efeito semelhante ao efeito Doppler13, naRelatividade Geral a freqüência de uma onda deluz pode variar de acordo com o potencial gravita-cional local. A luz emitida na superf́ıcie r = rS dasolução de Schwarzschild sofre um desvio máximopara o vermelho, quer dizer, sua freqüência, qual-quer que seja, é reduzida a valores arbitrariamentebaixos. Na prática, isto significa que nenhum sinalluminoso emitido da superf́ıcie r = rS conseguirá,por exemplo, chegar a observadores distantes, emr � rS . Estas configurações foram denominadasfrozen stars por Openheimer. Seriam corpos frios,de certa forma “mortos”, e não seria posśıvel detec-tar nenhuma emissão eletromagnética oriunda deles(por isso mesmo, em particular, serão corpos frios

    13Efeito ondulatório clássico, no qual a freqüência da ondase altera devido ao movimento relativo entre a fonte e oobservador, perfeitamente ilustrado pela situação em que asirene de uma ambulância em movimento soa mais agudaquando ela se aproxima de um observador em repouso, etorna-se mais grave ao se afastar.

    Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 38, nº 4, e4201, 2016 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0191

    http://chandra.harvard.edu/

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    para os observadores distantes, já que o calor seirradia efetivamente como ondas eletromagnéticas).

    Situações que envolvem um raio de Schwarzschildexposto, fora da distribuição de matéria que originao campo gravitacional, necessariamente envolvemcorpos de densidades muito altas. Seria como colo-car a massa do sol em um corpo de 3 km de raio,ou a massa da Terra em um corpo com menos de 1cm de raio. Decididamente, são situações que fogemda nossa experiência cotidiana. Porém, é muito inte-ressante notar que a possibilidade de que um corposeja tão denso que sua atração gravitacional superfi-cial seja tão intensa que não permitiria que sequersinais luminosos fossem emitidos de sua superf́ıcie,já havia sido considerada no contexto newtoniano.

    Há aqui também um pequeno conflito na atri-buição dos créditos pelas ideias originais [46]. Apossibilidade de existência no contexto newtonianodestes corpos escuros, que não emitiriam nenhumaluz devido à intensa atração gravitacional em suassuperf́ıcies, é normalmente atribúıda a Pierre-SimonLaplace [47], gênio cient́ıfico francês, que viria ase tornar marquês com a restauração da dinastiados Bourbons após a queda de Napoleão. Porém,há pelo menos um antecessor que considerou – epublicou – estudos dessa mesma natureza. Trata-sede John Michell, naturalista inglês que considerou omesmo problema no mı́nimo 20 anos antes que La-place [48]. As ideias aqui são relativamente simples,e podem ser perfeitamente entendidas a partir dasbases elementares da mecânica newtoniana [49].

    Consideremos, por exemplo, um planeta de massaM e raio R, e um corpo de teste de massa m muitomenor que M , inicialmente sobre a superf́ıcie doplaneta. Suponhamos, por simplicidade, que estecorpo seja arremessado radialmente, para fora doplaneta, com uma velocidade inicial v. A energiatotal E do corpo teste, dada por

    E = mv2

    2 −GMm

    r, (5)

    é conservada em todos os instantes do movimento. Aquestão fundamental aqui é que a energia potencialgravitacional newtoniana U , o segundo termo dolado direito de (5), é uma quantidade não positiva.Seu mı́nimo, Umin = −GMmR , corresponde ao valorde U na superf́ıcie do planeta, r = R, e seu máximoserá Umax = 0, que corresponde ao corpo de testeinfinitamente afastado, r → ∞. Se a velocidade vcom que o corpo é lançado radialmente a partir der = R é tal que a energia total (5) ainda é negativa,

    em outras palavras, a energia cinética inicial T =mv2

    2 não é suficiente para “vencer” o potencial deatração GMmR , o corpo de afastará até um r = rmax eentão retornará a superf́ıcie, a qual por certo chegarácom a mesma velocidade em módulo com a que foilançado, já que E deve ser conservada. Quanto maiorv, enquanto E for negativa, maior será r = rmax.Ocorre que para v ≥ vc, com

    v2c =2GMR

    , (6)

    esse corpo não retornará nunca mais ao planeta, poissua velocidade v é superior à velocidade de escapevc, permitindo que ele se livre completamente daatração gravitacional do planeta. Esta é a velocidadecom que um foguete deve ser lançado desde a Terrapara atingir uma trajetória baĺıstica que não retor-nará (trajetória não eĺıptica). Como é caracteŕısticodos fenômenos gravitacionais, esta velocidade limitenão depende da massa m do corpo de teste, dependeapenas da massa M da fonte do campo gravitacional(o planeta).

    Sabe-se desde o século XVII [27], notadamentedas observações astronômicas do astronômo dina-marquês Ole Rømer, que a luz se propaga a uma velo-cidade de aproximadamente 300.000 km/s. Denotando-se por c a velocidade da luz, temos de (6) que umcorpo de massa M e raio R inferior, precisamente,ao raio de Schwarzschild (3), terá uma velocidadede escape na sua superf́ıcie superior a c. Em ou-tras palavras, o corpo será tão denso que a luz nãoseria capaz de vencer a atração gravitacional emsua superf́ıcie. Nenhuma luz seria emitida por umcorpo dessa natureza14. O raio de Schwarzschild, por-tanto, tem um precedente newtoniano. O conceitode um objeto frio e negro, no sentido que não emi-tirá nenhuma radiação eletromagnética, introduzidopor Openheimer, tem um equivalente newtoniano.Esta ideia ainda primitiva de “buraco negro no céu”não foi bem aceita. Contou, em particular, com aoposição do próprio Einstein, que em 1939 publicouum artigo [50] no qual argumentava que o colapsogravitacional não terminaria inexoravelmente na ex-posição do raio de Schwarzschild e, portanto, naformação de buracos negros. Einstein estava tão

    14Obviamente, temos aqui um pequeno problema que não podeser resolvido satisfatoriamente no contexto newtoniano: separa a luz valeria a expressão (5) como energia total con-servada. Esta análise necessariamente requer conceitos rela-tiv́ısticos, mas estes argumentos newtonianos simples apontamna direção correta.

    DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0191 Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 38, nº 4, e4201, 2016

  • e4201-10 Cem anos de buracos negros: o centenário da solução de Schwarzschild

    seguro de seu argumento, o qual com o passar dotempo se mostraria equivocado, que conclui esteartigo declarando:

    The essential result of this investiga-tion is a clear understanding as to whythe “Schwarzschild singularities” do notexist in physical reality.

    Não houve consenso à época sobre a possibilidadef́ısica real de existência desses objetos, e essa situaçãoperdurou por quase duas décadas.

    A Segunda Guerra Mundial afetou, obviamente, odesenvolvimento das ciências não diretamente li-gadas aos esforços bélicos dos páıses envolvidos.Openheimer, por exemplo, dedicou-se ao ProjetoManhattan, que culminaria na construção das pri-meiras bombas atômicas, e muito provavelmentenão teve mais tempo para prosseguir com seus es-tudos de Relatividade Geral. Vários outros f́ısicostiveram experiências semelhantes. Com o final daSegunda Guerra, a vida cient́ıfica tende a voltar aonormal nos páıses centrais envolvidos nos conflitos,mas é evidente que há um certo desinteresse pelaRelatividade Geral, que acaba relegada a um se-gundo plano quando comparada, por exemplo, asflorescentes Eletrodinâmica Quântica e F́ısica doEstado Sólido. A Relatividade Geral no pós-guerrase transforma numa teoria altamente especulativa,nem sempre bem formulada matematicamente e umtanto vazia de conteúdo f́ısico, e por isso pouco atra-ente do ponto de vista cient́ıfico. Essa fase um tantoobscura, de esquecimento, foi registrada sarcastica-mente em uma carta que o célebre f́ısico americanoRichard Feynman escreveu a sua esposa Gweneth,enquanto assistia a uma conferência de RelatividadeGeral em Varsóvia, em 1962. Dizia à sua esposa,textualmente [51]:

    ... I am learning nothing. Because there areno experiments this field is not an active one,so few of the best men are doing work in it (...)whenever anyone asks me a question or starts totell me about his “work”. The “work” is always:

    1. completely un-understandable,2. vague and indefinite,3. something correct that is obvious and self

    evident ...4. claim based on the stupidity of the author

    ...5. an attempt to do something probably im-

    possible, but certainly of no utility,6. just plain wrong.

    ... Remind me not to come to any more gravityconferences!

    O curioso é que é justamente nessa época, em queFeynman registra essas suas péssimas impressões,que a Relatividade Geral começa a renascer comoteoria f́ısica.

    3.1. O renascimento: os buracos negroscomo objetos reais da Natureza

    O interesse cient́ıfico na área renasce basicamenteno final dos anos 50. Uma contribuição seminal foidada por David Finkelstein em 1958 [52], resolvendode maneira definitiva o impasse que reinava desde osanos 30 sobre a posśıvel realização f́ısica do raio deSchwarzschild rS . Seu trabalho possibilita a inter-pretação correta da esfera de raio r = rS como umaespécie de membrana unidirecional que só permitirao cruzamento de trajetórias f́ısicas, incluindo as daluz, de fora para dentro. Quer dizer, a esfera de raiorS funciona como uma espécie de fronteira entreduas regiões, sendo a região externa completamentedesconectada da interior, sem qualquer possibilidadede comunicação de dentro para fora. Nascia assim oconceito de “horizonte de eventos”, que de fato é oque distingue e define um buraco negro.

    Contudo, a atividade retorna de maneira maisvigorosa com os estudos das implicações astrof́ısicasdessas novas estruturas espaço-temporais recém-descobertas. Como estamos em plena Guerra Fria,é claro que havia uma enorme polarização na co-munidade cient́ıfica, e as principais atividades sedavam em torno das escolas soviética, liderada pelobrilhante f́ısico Yakov Borisovich Zel’dovich, e daamericana, sob orientação de John Archibald Whee-ler [43]. Lev Landau, um dos grandes do Século XX,e seu grupo, também dedicou vários estudos à Relati-vidade Geral nessa época. Wheeler é um personagema parte [53]. Teve uma longa e produtiva carreira,tendo contribúıdo de maneira profunda a diferentesáreas da F́ısica ao longo do Século XX. Conhecidopor suas claras e divertidas analogias e por ser umgrande frasista, foi considerado por muito tempocomo o responsável por ter cunhado a expressão“buraco negro” para a solução de Schwarzschild. Efe-tivamente, Wheeler difundiu essa denominação mas,contudo, a verdadeira responsável pela introduçãodo termo na literatura foi uma jornalista, Ann E.Ewing [54], que ouvira em um congresso da Socie-dade Americana para o Avanço da Ciência, em 1964,a expressão black holes in space e a reproduziu emum artigo de divulgação [55] sem, porém, identificara fonte [56].

    Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 38, nº 4, e4201, 2016 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0191

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    Wheeler e seus colaboradores, quase todos seusalunos em Princeton, foram fundamentais para or-ganizar os estudos modernos sobre buracos negros,dando origem a uma escola que até hoje perdura.Além de compilarem uma vasta gama de posśıveisprevisões experimentais e observacionais dos bura-cos negros, como as que foram comprovadas esteano com as ondas gravitacionais, também sistema-tizaram todo o conhecimento teórico acerca des-ses objetos fascinantes. Desses estudos, em parti-cular, infere-se que os buracos negros são objetosde extrema simplicidade. Analisando a solução deSchwarzschild (2), vemos que ela depende apenas deum único parâmetro, rS , que por sua vez dependeunicamente da massa totalM do buraco negro (além,obviamente, da constante G de Newton e da velo-cidade da luz c). Sabemos, hoje, que a solução deSchwarzschild é o elemento mais simples de umaclasse mais ampla, mas mesmo assim muito simples.O buraco negro mais geral que pode existir na teoriada Relatividade Geral é caracterizado por outrosdois parâmetros além de sua massa: seu momentoangular total J e sua eventual carga elétrica Q.Na Natureza, a matéria apresenta-se predominante-mente como neutra eletricamente, isto é, tipicamentecomposta a partir de cargas elementares negativase positivas em números mais ou menos iguais. Istosignifica que não se espera, em situações astrof́ısicas,buracos negros com carga elétrica apreciável, pois amatéria que o originou muito provavelmente era neu-tra. Do ponto de vista matemático, porém, existe apossibilidade de um buraco negro carregado eletrica-mente. Já o caso do momento angular é diferente. Osmecanismos f́ısicos mais comuns para a criação deum buraco negro envolvem distribuições de matériaque giram e, portanto, têm momento angular nãonulo, e parte deste momento angular certamenteserá transferido ao buraco negro que eventualmentesurja após um colapso gravitacional. Em outras pa-lavras, em um colapso gravitacional, não importaque tipo de distribuição de matéria esteve envolvida,o estágio final será um buraco negro completamentecaracterizado por só três parâmetros: massa M , mo-mento angular J e, possivelmente, uma pequenacarga elétrica Q. Visto de fora, para observadoresexternos ao horizonte de eventos r = rS , todos osburacos negros são iguais, não possuirão nenhum ou-tro adereço que os possa identificar além desses trêsparâmetros f́ısicos. Wheeler deu o nome de “cabelos”a estes posśıveis adereços e, por exemplo, em seu

    conhecido e bastante completo livro texto sobre Re-latividade Geral [57], descreve, já na introdução, osfortes v́ınculos impostos pelas equações de campo naTeoria da Relatividade Geral da seguinte maneira:

    The field equation (...) governs thecollapse of a star to form a black hole; itdetermines uniquely the external space-time geometry of a black hole (“a blackhole has no hair”)...

    Os black hole hairs tornaram-se um fértil campo depesquisa. A possibilidade de que objetos astrof́ısicosde tamanho apreciável, de várias massas solares, porexemplo, possam ser completamente caracterizadospor apenas três parâmetros, como se tratassem depart́ıculas elementares, é fascinante e tem diversasimplicações teóricas e observacionais. Neste caso,porém, estamos nos aproximando muito das pesqui-sas atuais, sem o tempo necessário para que os fatose ideias se assentem completamente e nos permitamuma análise minimamente isenta do ponto de vistahistórico.

    3.2. Buracos negros e ondas gravitacionais

    Como já foi dito, a Teoria da Relatividade Geralde Einstein prevê a existência de ondas gravitacio-nais. De fato, esta deve ser uma previsão de qual-quer teoria que rejeite interações instantâneas àdistância, como as presentes na Gravitação Univer-sal de Newton. Se uma interação da Natureza nãoé instantânea, a primeira pergunta é como ela sepropaga. Na Relatividade Geral, a interação gravi-tacional se propaga com a mesma velocidade quea luz, algo que por certo também foi confirmadopelas recentes detecções. As estimativas iniciais, fei-tas pelo próprio Einstein, apontavam corretamenteque as amplitudes t́ıpicas das ondas gravitacionaisseriam minúsculas, talvez não detectáveis na prática.Porém, havia uma outra disputa: se estas ondas exis-tiriam efetivamente na Natureza, mesmo que comamplitudes mı́nimas, ou se seriam uma mera cons-trução matemática, sem realidade f́ısica. Eddingtonera um dos que duvidavam do conteúdo f́ısico dasondas gravitacionais. Sua posição a respeito foi eter-nizada por sua frase jocosa acerca da propagaçãodas ondas gravitacionais [58]

    Gravitational waves propagate at thespeed of thought.

    DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0191 Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 38, nº 4, e4201, 2016

  • e4201-12 Cem anos de buracos negros: o centenário da solução de Schwarzschild

    Em 1918, Einstein [59] publica o primeiro artigo in-teiramente dedicado às ondas gravitacionais. Váriosoutros se sucederam, alguns já na sua época emPrinceton (ver também [6]). Seu já famoso desenten-dimento com o editor do Physical Review da época,John T. Tate, se deu exatamente por problemas, naótica de Einstein, no tratamento editorial dado a al-guns de seus trabalhos sobre ondas gravitacionais. Olevantamento do sigilo editorial do Physical Review,após passados 70 anos e sem nenhum dos prota-gonistas ainda vivos, esclareceu este impasse [60],e a conclusão não foi das mais edificantes para aimagem de Einstein.

    O ponto fundamental aqui é que o entendimentomais profundo das ondas gravitacionais, que deixouabsolutamente claro que elas têm efetivamente umconteúdo f́ısico, envolve precisamente a solução deSchwarzschild. Da mesma maneira que uma ondaé criada quando perturbamos o equiĺıbrio da su-perf́ıcie da água em um tanque, ondas gravitacio-nais surgirão e se propagarão quando perturbamosa solução de Schwarzschild. As ondas gravitacionaissão, portanto, pequenos desvios no campo gravi-tacional esfericamente simétrico correspondente àsolução (2), que de acordo com a Relatividade Ge-ral devem se propagar com a velocidade da luz.A solução de Schwarzschild (2) tem propriedadesmatemáticas (especificamente, o fato de ser assin-toticamente plana) que permitem a identificaçãoe interpretação de propriedades f́ısicas como mo-mento e energia transportados pelas ondas gravitaci-onais, resolvendo de maneira ineqúıvoca as questõesacerca da realidade f́ısica destas ondas. São tãof́ısicas como qualquer outro fenômeno ondulatórioencontrado na Natureza, sendo caracterizadas pe-los mesmas quantidades como frequência, compri-mento de onda e velocidade de propagação. Sendoassim, são pasśıveis de serem detectadas experimen-talmente, uma vez vencido o desafio de lidar comquantidades de amplitudes mı́nimas, como fez oconsórcio LIGO-Virgo [1,2]15. Além de permitir ainterpretação f́ısica definitiva das ondas gravitacio-nais, a solução de Schwarzschild também tem papelimportante na descrição dos eventos que geram ossinais gravitacionais que podem ser detectados commaior freqüência na Terra: os fenômenos envolvendofusão de buracos negros.

    A solução de Schwarzschild, assim como suas ge-neralizações contendo momento angular (solução

    15Para uma exposição mais técnica, ver [61]

    de Kerr) ou carga elétrica (Reissner-Nordström ouKerr-Newman), corresponde a uma solução da Re-latividade Geral para o problema de um corpo. Nãoexiste solução exata expĺıcita para o problema dedois corpos em Relatividade Geral. Assim, se qui-sermos descrever, na Relatividade Geral, uma confi-guração que corresponda, por exemplo, a um sistemabinário, onde dois corpos de massas comparáveisse movem sob ação gravitacional mútua, necessari-amente temos que utilizar aproximações ou algumtipo de solução computacional para as equações deEinstein. A fusão de buracos negros que originou ossinais detectados este ano correspondem a um sis-tema binário de buracos negros que gradativamenteperdem energia, emitida como ondas gravitacionais,e com isso vão se aproximando, seguindo órbitas queespiralam e, finalmente, coalescem e dão origem a umúnico buraco negro. No caso do primeiro evento de-tectado este ano [3], por exemplo, o sistema bináriooriginal era composto por dois buracos negros demassas iguais a 29 e 36 massas solares. O buraconegro final tem 62 massas solares. As 3 massas sola-res faltantes foram irradiadas, quase que totalmente,em ondas gravitacionais! É como se 3 sois de re-pente desaparecessem, e suas energias de repouso (agigantesca quantidade dada pela fórmula E = mc2)se dissipassem no universo como ondas gravitacio-nais. A descrição realista desse sistema envolve umconsiderável esforço computacional, algo que seriaimposśıvel algumas décadas atrás. O estado-da-artena área envolve sofisticados recursos de hardware esoftware, mas as origens dos conceitos centrais ine-quivocamente remontam à solução de Schwarzschild(2), que encantou Einstein por sua simplicidade 100anos atrás.

    4. Comentários Finais

    Após a detecção direta das ondas gravitacionais,é natural que se pergunte, neste contexto que en-volve buracos negros, se há alguma possibilidade deobervação direta destes objetos. Isto corresponde-ria, de fato, a observação de um horizonte de even-tos, a estrutura espaço-temporal que funciona comouma membrana unidirecional. Claramente, não seespera sinais detectáveis do interior do buraco ne-gro16 Pode-se, porém, detectar o sinal da matéria

    16Isto, efetivamente, não é completamente certo. Curiosamente,descobriu-se nos anos 70 que os buracos negros, afinal, nãosão negros de fato, mas emitem um pequeno brilho, a cha-

    Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol. 38, nº 4, e4201, 2016 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0191

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    que cruza o horizonte. E há, justamente em nossagaláxia, uma possibilidade dessas. Trata-se de umburaco negro gigantesco, com cerca de 4 milhõesde massas solares, no centro de nossa galaxia, naregião do céu conhecida como Sagitário A∗. A possi-bilidade de existência de buracos negros gigantes nocentro ativo de galáxias vem sendo aventada desdeo final dos anos 60 [62]. Há uma grande quantidadede galáxias com núcleos ativos, porém, devido à pro-ximidade, Sagitário A∗ é considerada como a maispromissora possibilidade de observação direta deum buraco negro, e diversos telescópios atualmentevarrem essa região do céu, e várias estrelas com tra-jetórias próximas ao provável buraco negro já foramidentificadas e estão sendo constantemente seguidas.O cruzamento do horizonte por uma dessas estre-las ou qualquer material que eventualmente emanedelas deixará um sinal que poderá ser inequivoca-mente identificado, e há intensos trabalhos teóricose observacionais nessa campo atualmente. A saga,que se iniciou há um século com Schwarzschild, estáainda longe do seu final.

    Apesar de sua vida ter sido bastante breve, Schwarzs-child pode receber diversos prêmios e distinçõese desfrutar do reconhecimento de seus pares [14].Postumamente, foi homenageado também em diver-sas situações. Destacam-se o nome dado nos anos60 para o maior observatório astronômico da Ale-manha, Karl-Schwarzschild-Observatorium, atual-mente Thüringer Landessternwarte Karl Schwarzs-child Tautenburg, localizado em Tautenburg, próximoa Jena, e a instituição da Medalha Karl Schwarzs-child, premiação anual da Sociedade AstronômicaAlemã para eminentes astrônomos e astrof́ısicos. Seufilho Martin Schwarzschild foi o primeiro a recebê-la,em 1959.

    Agradecimentos

    O autor reconhece e agradece o cont́ınuo suportefinanceiro recebido do Conselho Nacional de Desen-volvimento Cient́ıfico e Tecnológico – CNPq (proces-sos 304378/2014-3 e 441349/2014-5) e da Fundaçãode Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo – FA-PESP (processo 2013/09357-9). Agradece também,muito especialmente, os organizadores e participan-tes da série de colóquios “Convite à F́ısica”, do

    mada radiação de Hawking, chamada assim devido ao célebref́ısico inglês que a propôs. Contudo, para buracos negrosde dimensões astrof́ısicas, este brilho seria completamenteimpercept́ıvel.

    Departamento de F́ısica Matemática do Institutode F́ısica da USP. Este texto foi a base do colóquiolá apresentado, em abril de 2016, como celebraçãoaos 100 anos dos buracos negros.

    Referências

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  • e4201-14 Cem anos de buracos negros: o centenário da solução de Schwarzschild

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    IntroduçãoKarl SchwarzschildA solução e seu contextoJohannes Droste

    Buracos negrosO renascimento: os buracos negros como objetos reais da NaturezaBuracos negros e ondas gravitacionais

    Comentários Finais