possibilidade de detecção directa de buracos negros por ......buracos negros. É possível...
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Departamento de Matemática e Engenharias
Possibilidade de detecção directa de Buracos Negros
por radiação electromagnética
José Laurindo de Góis Nóbrega Sobrinho
Revisão da Tese submetida para satisfação parcial dos requisitos das Provas de Aptidão Pedagógica e Capacidade Científica para habilitação à Categoria de Assistente
ii
Abstract
Os buracos negros são objectos previstos pela Teoria da Relatividade
Geral. São conhecidos actualmente vários candidatos a buraco negro, todos
eles identificados a partir de processos indirectos, que vão desde os de
massa estelar (1-102M ) aos supermassivos (106-1010M ). Embora não se
conheça nenhum candidato a buraco negro de massa subestelar (<1M ), nem
nenhum processo capaz de os produzir no Universo actual, é provável que
estes tenham sido produzidos nos primórdios do Universo.
Os buracos negros também emitem radiação própria composta por
fotões, gravitões e, em fases mais avançadas, partículas com massa. Esta
radiação de corpo negro, designada por radiação de Hawking, é, ao que
sabemos, o único processo pelo qual poderemos detectar directamente
buracos negros. É possível associar a cada comprimento de onda do espectro
electromagnético um buraco negro podendo assim falar-se em buracos
negros rádio, infravermelhos, visíveis, ultravioletas, de raios X e de raios
gama.
Neste trabalho determinámos a distância máxima, d, à qual se poderá
detectar, dentro dos limites técnicos actuais, a componente electromagnética
da radiação de Hawking. Foram considerados buracos negros com massas
desde as 106M (buraco negro rádio) a 10-38M (buraco negro de raios
gama) onde se incluem buracos negros na fase final da evaporação (tempos
de evaporação inferiores a 1 ano).
Concluímos que os buracos negros rádio, infravermelhos, visíveis e
ultravioletas apenas podem ser detectados em experiências de tipo
laboratorial, quer na Terra, quer no Espaço (d<103km). Os buracos negros
de raios X podem ser detectados até distâncias comparáveis à da Terra-Lua.
Finalmente os buracos negros de raios gama (em fase final de evaporação)
são detectáveis, nos raios gama, a distâncias que podem ir até aos 85 anos
luz.
iii
Índice
Lista de Figuras vii
Lista de Tabelas ix
Lista de Fórmulas x
Acrónimos xv
Prefácio xvii
Dedicatória xxi
1 Buracos negros 1
1.1 Introdução.................................................................................. 1
1.2 Propriedades.............................................................................. 3
1.2.1 Buracos Negros de Schwarzschild................................. 3
1.2.2 Geodésicas no espaço-tempo de Schwarzschild............ 5
1.2.3 Desvio gravitacional para o vermelho........................... 8
1.2.4 Conversão de massa em energia radiativa..................... 9
1.2.5 Captura de partículas..................................................... 10
1.2.6 Ângulo de captura de fotões.......................................... 12
1.2.7 Outros tipos de buracos negros...................................... 14
1.2.8 Termodinâmica de Buracos Negros............................... 19
1.3 Formação................................................................................... 22
1.3.1 Buracos negros estelares................................................ 22
1.3.2 Buracos negros primordiais........................................... 23
1.3.3 Buracos negros supermassivos...................................... 25
1.3.4 Evolução de um buraco negro....................................... 26
1.4 Processos de detecção indirecta................................................. 27
1.4.1 Acreção esférica de matéria........................................... 27
1.4.2 Buracos Negros em sistemas binários........................... 33
1.4.3 Microlentes gravitacionais............................................. 39
1.4.4 Dinâmica estelar e do gás ionizado............................... 42
1.4.5 Masers............................................................................ 44
2 Radiação de Hawking 45
2.1 Emissão de radiação por buracos negros................................... 45
iv
2.2 Emissão de radiação de Hawking por buracos negros com
carga eléctrica ou com rotação.................................................. 53
2.3 Emissão de radiação de Hawking por buracos negros
uniformemente acelerados........................................................ 54
2.4 Emissão partículas com massa................................................... 59
2.5 Evaporação de um buraco negro................................................ 60
2.6 Explosões de buracos negros..................................................... 62
2.7 Destino final de um buraco negro.............................................. 65
3 Identificação de objectos candidatos a buraco negro 67
3.1 Buracos negros supermassivos.................................................. 67
3.1.1 Via Láctea...................................................................... 69
3.1.2 M106 (NGC 4258)......................................................... 70
3.1.3 M31 (NGC 224)............................................................. 71
3.1.4 NGC 3115...................................................................... 73
3.1.5 M87 (NGC 4486)........................................................... 73
3.1.6 O contra-exemplo M33.................................................. 74
3.2 Buracos Negros de massa intermédia........................................ 74
3.3 Buracos negros estelares em sistemas binários......................... 75
3.3.1 Cyg X-1......................................................................... 78
3.3.2 A0620-00....................................................................... 79
3.3.3 O contra-exemplo CAL 87............................................ 79
3.4 Buracos negros de massa estelar isolados................................. 80
3.4.1 Radiação emitida na acreção esférica............................ 80
3.4.2 Buracos negros como microlentes................................. 80
3.4.3 Surgimento de buracos negros em supernovas.............. 81
4 A possibilidade de detecção directa de buracos negros 85
4.1 Buracos negros de Schwarzschild............................................. 85
4.2 Buracos negros e o espectro electromagnético.......................... 90
4.3 Possibilidade de detecção directa de buracos negros (teórica).. 94
4.4 Possibilidade de detecção directa de buracos negros (limites
técnicos actuais)......................................................................... 96
4.4.1 Rádio.............................................................................. 96
4.4.2 Infravermelho................................................................ 102
v
4.4.3 Visível............................................................................ 105
4.4.4 Ultravioleta.................................................................... 112
4.4.5 Raios X.......................................................................... 113
4.4.6 Raios gama..................................................................... 119
4.4.7 Buracos negros em fase terminal................................... 121
4.4.8 Emissão de partículas com massa e raios gama
secundários.................................................................... 125
4.5 Análise e discussão de resultados.............................................. 128
4.5.1 Dos buracos negros rádio aos buracos negros de raios
gama............................................................................... 128
4.5.2 Distância máxima de detecção versus raio de
Schwarzschild................................................................ 132
4.5.3 Buracos negros terminais............................................... 137
4.5.4 Raios gama secundários................................................. 138
5 Conclusão 141
Referências 145
A Geodésicas na vizinhança de um buraco negro de
Schwarzschild 151
A.1 Geodésicas radiais nulas........................................................... 151
A.2 Geodésicas radiais para partículas com massa......................... 152
A.3 Geodésicas nulas não radiais.................................................... 153
A.4 Geodésicas não radiais para partículas com massa................... 154
B Disco de acreção de matéria geometricamente finos 159
B.1 Formação de um disco de acreção............................................ 159
B.2 Dinâmica geral do disco........................................................... 160
B.3 Viscosidade............................................................................... 162
B.4 Densidade superficial de matéria.............................................. 164
B.5 A altura do disco....................................................................... 166
B.6 Estrutura radial.......................................................................... 168
B.7 Dissipação de energia no disco................................................. 170
B.8 Luminosidade do disco............................................................. 172
B.9 Partição do disco....................................................................... 173
B.10 Estrutura vertical e temperatura.............................................. 175
vi
B.11 Espectro emitido..................................................................... 177
B.12 Espectro integral da radiação emitida..................................... 179
C Efeito de lente gravitacional 173
D Partículas elementares 189
E Radiação do corpo negro 191
vii
Lista de Figuras
1.1 Estrutura do buraco negro de Schwarzschild.................................................... 4
1.2 Parâmetro de impacto de uma partícula........................................................... 11
1.3 Ângulo entre a direcção de propagação do fotão e a componente radial da
velocidade........................................................................................................ 12
1.4 Captura de fotões por um buraco negro........................................................... 13
1.5 Estrutura dos buracos negros de Reissner-Nordström..................................... 15
1.6 Estrutura dos buracos negros de Kerr.............................................................. 18
1.7 Os vários tipos de buracos negros................................................................... 19
1.8 Massa e natureza dos restos estelares em função da massa estelar inicial...... 23
1.9 Perturbação de densidade no Universo primordial.......................................... 24
1.10 Diagrama de Rees para a formação de buracos negros supermassivos........... 26
1.11 Espectro emitido na acreção esférica por um buraco negro numa região HII.. 30
1.12 Espectro emitido na acreção esférica por um buraco negro numa região HI.... 30
1.13 Espectro da emissão de radiação de sincotrão resultante da acreção esférica
por um buraco negro numa região HII.............................................................. 32
1.14 Transferência de matéria num sistema binário via ponto de Lagrange L1....... 34
1.15 Transferência de matéria num sistema binário via vento estelar..................... 34
1.16 Ângulo de inclinação de um sistema binário................................................... 38
1.17 Anel de Einstein............................................................................................... 40
1.18 Variação de magnitude provocada por uma lente gravitacional...................... 41
2.1 Formação de pares partícula-antipartícula junto ao horizonte de
acontecimentos................................................................................................. 47
2.2 Espectro de radiação do corpo negro............................................................... 52
2.3 Observador uniformemente acelerado no espaço-tempo de Minkowski......... 55
3.1 Evolução de 6 estrelas no centro da Galáxia................................................... 71
3.2 A região central de NGC 4258........................................................................ 72
3.3 Curvas para a determinação da massa de MACHO-96-BLG-5 e MACHO-
98-BLG-6......................................................................................................... 82
3.4 Curva para a determinação da massa de MACHO-99-BLG-22...................... 82
4.1 Temperatura de buracos negros de Reissner-Nordström e de Kerr................. 86
4.2 Temperatura de buracos negros de Kerr-Newmann........................................ 86
4.3 Horizontes de um buraco negro de Schwarzschild uniformemente acelerado.. 87
viii
4.4 Temperatura de um buraco negro de Schwarzschild uniformemente
acelerado.......................................................................................................... 88
4.5 Aceleração permitida aos buracos negros de Kerr........................................... 88
4.6 Temperatura de buracos negros de Kerr uniformemente acelerados............... 89
4.7 Espectro electromagnético............................................................................... 91
4.8 Representação de um buraco negro de Schwarzschild em tamanho real.......... 94
4.9 Buracos negros visíveis................................................................................... 94
4.10 Variação da luminosidade por unidade de frequência com o raio de
Schwarzschild.................................................................................................... 99
4.11 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos 20m............ 100
4.12 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos 4m.............. 101
4.13 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos 3.6cm.......... 102
4.14 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking no
infravermelho................................................................................................... 106
4.15 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking no visível.......... 108
4.16 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking a olho nu........... 112
4.17 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking no ultravioleta... 115
4.18 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos raios X........ 118
4.19 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos raios gama.. 122
4.20 Função f(M) para a evaporação de buracos negros......................................... 123
A.1 Geodésicas radiais para fotões......................................................................... 152
A.2 Tempo próprio e tempo coordenada................................................................ 154
A.3 Função potencial para os fotões....................................................................... 155
A.4 Função potencial para partículas com massa................................................... 156
B.1 Evolução da densidade superficial de matéria num disco de acreção............. 167
B.2 Taxa de dissipação de energia num disco de acreção...................................... 174
B.3 Partição radial de um disco de acreção fino.................................................... 175
B.4 Variação da temperatura do disco na perpendicular........................................ 178
B.5 Espectro de emissão formado na superfície do disco de acreção.................... 179
B.6 Radiação emitida pelo disco de acreção para diferentes taxas de acreção...... 181
C.1 Desvio de um raio de luz por um corpo........................................................... 184
C.2 Buraco negro como lente gravitacional........................................................... 186
C.3 Disco de acreção e o efeito de lente gravitacional........................................... 187
ix
Lista de Tabelas
3.1 Galáxias com candidatos a buraco negro supermassivo.................................. 68
3.2 Candidatos a buraco negro de massa intermédia............................................. 75
3.3 Os 21 mais fortes candidatos a buraco negro de massa estelar em binários.... 77
4.1 Lista de 50 buracos negros de Schwarzschild (desde os supermassivos aos
de dimensão Planckiana)................................................................................. 92
4.2 Distâncias de detecção de buracos negros no rádio......................................... 97
4.3 Distâncias de detecção de buracos negros no infravermelho.......................... 104
4.4 Sensibilidades dos filtros R, V e B.................................................................. 107
4.5 Distâncias de detecção de buracos negros no óptico....................................... 109
4.6 Magnitude absoluta de buracos negros............................................................ 111
4.7 Distâncias de detecção de buracos negros no ultravioleta............................... 114
4.8 Distâncias de detecção de buracos negros em raios X..................................... 117
4.9 Distâncias de detecção de buracos negros em raios gama............................... 120
4.10 Tempo de evaporação de buracos negros........................................................ 124
4.11 Emissão de neutrinos e leptões por buracos negros......................................... 126
4.12 Distância para a observação de buracos negros a partir da detecção de raios
gama secundários............................................................................................. 127
4.13 Lista dos telescópios considerados.................................................................. 129
4.14 Distâncias máximas para a detecção dos buracos negros da Tabela 4.1 nas
várias bandas do espectro electromagnético.................................................... 133
4.15 Distâncias máximas para a detecção de buracos negros.................................. 134
4.16 Buracos negros detectáveis a pelo menos 10 raios de Schwarzschild de
distância........................................................................................................... 136
4.17 Comparação entre as distâncias para a detecção de raios gama primários e
secundários....................................................................................................... 139
D.1 Leptões e hadrões............................................................................................ 190
x
Lista de Fórmulas
1.1 Métrica de Schwarzschild............................................................................ 3
1.2 Massa geometrizada..................................................................................... 3
1.3 Raio de Schwarzschild................................................................................. 3
1.4 Tensor métrico na forma covariante............................................................. 4
1.5 Passagem do tensor métrico para a forma contravariante............................ 4
1.6 Tensor métrico na forma contravariante....................................................... 5
1.7 Lagrangeano para o espaço-tempo de Schwarzschild.................................. 5
1.8 Integral do movimento E (energia) ............................................................. 5
1.9 Integral do movimento L (momento angular azimutal) .............................. 5
1.10 Momento radial Pr........................................................................................ 6
1.11 Integral do movimento δ.............................................................................. 6
1.12 Equação radial para o movimento no espaço-tempo de Schwarzschild....... 6
1.13 Função potencial para o movimento no espaço-tempo de Schwarzschild... 6
1.14 Raio da órbita circular instável para partículas materiais no espaço-tempo
de Schwarzschild.......................................................................................... 7
1.15 Raio da órbita circular estável para partículas materiais no espaço-tempo
de Schwarzschild.......................................................................................... 7
1.16 Variação da coordenada radial r com a coordenada angular ϕ no espaço-
tempo de Schwarzschild............................................................................... 7
1.17 Desvio gravitacional para o vermelho.......................................................... 9
1.18 Parâmetro de impacto................................................................................... 10
1.19 Secção de choque para a captura de partículas............................................. 11
1.20 Componente azimutal da velocidade de um fotão........................................ 12
1.21 Equação radial para fotões........................................................................... 12
1.22 Parâmetro de impacto do fotão em função da massa................................... 13
1.23 Ângulo para a captura de fotões por um buraco negro................................. 13
1.24 Métrica de Kerr na forma de Boyer-Lindquist............................................. 15
1.25 Função ρ da métrica de Kerr........................................................................ 16
1.26 As coordenadas cartesianas (x,y,z) e as coordenadas da métrica de Kerr.... 16
1.27 Singularidade de um buraco negro de Kerr.................................................. 16
1.28 Horizonte de acontecimentos exterior num buraco negro de Kerr............... 17
1.29 Horizonte de acontecimentos interior num buraco negro de Kerr............... 17
1.30 Superfície do limite estacionário num buraco negro de Kerr....................... 17
xi
1.31 Relação entre carga eléctrica e momento angular num buraco negro de
Kerr-Newmann............................................................................................. 18
1.32 Área de um buraco negro de Kerr-Newmann............................................... 20
1.33 Primeira Lei da Termodinâmica para buracos negros.................................. 21
1.34 Massa inicial dos buracos negros primordiais.............................................. 25
1.35 Equação da continuidade.............................................................................. 28
1.36 Equação de Euler.......................................................................................... 28
1.37 Equação da entropia..................................................................................... 28
1.38 Luminosidade emititda na acreção esférica, por um buraco negro, numa
região HII..................................................................................................... 29
1.39 Eficiência da conversão entre massa e energia na acreção de matéria por
um buraco negro........................................................................................... 31
1.40 Luminosidade resultante da emissão de sincotrão na acreção esférica, por
um buraco negro numa região HII............................................................... 31
1.41 Terceira Lei de Kepler.................................................................................. 37
1.42 Terceira Lei de Kepler incluindo o ângulo de inclinação do binário........... 38
1.43 Função de massa de um sistema binário...................................................... 39
1.44 Raio do Anel de Einstein (adaptado a buracos negros)................................ 39
1.45 Tempo de atravessamento do Anel de Einstein............................................ 40
1.46 Ampliação por uma microlente gravitacional.............................................. 40
1.47 Velocidade transversal de uma lente gravitacional...................................... 41
1.48 Massa de uma lente gravitacional................................................................ 42
1.49 Massa de um buraco negro supermassivo a partir da dinâmica estelar........ 42
1.50 Raio de influência de um buraco negro (supermassivo).............................. 44
1.51 Resolução relativa das observações de buracos negros supermassivos....... 44
2.1 Princípio da Incerteza de Heisenberg........................................................... 46
2.2 Integral da energia de um fotão criado num par partícula-antipartícula...... 48
2.3 Tempo para um referencial (partícula) atingir o horizonte de
acontecimentos............................................................................................. 49
2.4 Energia do fotão para um observador local.................................................. 49
2.5 Energia do fotão para um observador local (em função do 4-momento)..... 49
2.6 Energia do fotão ao atingir o infinito........................................................... 50
2.7 Relação entre energia cinética e temperatura............................................... 50
2.8 Temperatura de um buraco negro em unidades geometrizadas.................... 51
2.9 Temperatura de um buraco negro em unidades não geometrizadas............. 51
2.10 Temperatura de um buraco negro em função da massa (massas solares).... 51
xii
2.11 Lei de Wien.................................................................................................. 52
2.12 Temperatura de um buraco negro em função da gravidade superficial........ 53
2.13 Gravidade superficial de um buraco negro de Kerr-Newmann.................... 53
2.14 Temperatura de um buraco negro de Kerr-Newmann.................................. 53
2.15 Temperatura de um buraco negro de Kerr.................................................... 54
2.16 Temperatura de um buraco negro de Reissner-Nordström........................... 54
2.17 Temperatura registada por um observador de Rindler................................. 54
2.18 Métrica para o espaço-tempo de Rindler...................................................... 55
2.19 Métrica C para um buraco negro com rotação e aceleração uniforme......... 56
2.20 Função ∆ presente na métrica C................................................................... 56
2.21 Horizontes para um buraco negro de Kerr uniformemente acelerado.......... 56
2.22 Horizonte de Rindler de um buraco negro de Schwarzschild
uniformemente acelerado............................................................................. 57
2.23 Horizonte de acontecimentos de um buraco negro de Schwarzschild
uniformemente acelerado............................................................................. 57
2.24 Função Θ (presente nas expressões dos horizontes de um buraco negro de
Schwarzschild uniformemente acelerado).................................................... 58
2.25 Temperatura sobre os horizontes de um buraco negro uniformemente
acelerado....................................................................................................... 58
2.26 Limitações da aceleração de um buraco negro de Schwarzschild................ 58
2.27 Limitações da aceleração de um buraco negro de Kerr................................ 58
2.28 Comprimento de onda de Compton.............................................................. 59
2.29 Massa do buraco negro a partir da qual passam a ser emitidas partículas
com uma determinada massa........................................................................ 60
2.30 Luminosidade do corpo negro...................................................................... 60
2.31 Luminosidade de um buraco negro.............................................................. 60
2.32 Taxa de evaporação de um buraco negro..................................................... 61
2.33 Tempo de evaporação de buracos negros..................................................... 61
2.34 Taxa de emissão de mesões π por um buraco negro.................................... 63
2.35 Taxa de emissão de fotões gama secundários por um buraco negro............ 63
4.1 Densidade de fluxo da radiação emitida por um corpo negro..................... 95
4.2 Relação entre densidade de fluxo e distância............................................... 95
4.3 Densidade de fluxo em função do raio de Schwarzschild............................ 95
4.4 Distância (máxima) para a detecção da radiação de Hawking..................... 96
4.5 Luminosidade por unidade de frequência.................................................... 99
4.6 Relação entre luminosidade e magnitude absoluta....................................... 107
xiii
4.7 Relação entre luminosidade e fluxo............................................................. 107
4.8 Luminosidade na banda do visível............................................................... 110
4.9 Fluxo na banda do visível............................................................................. 110
4.10 Relação entre magnitude aparente, magnitude absoluta e distância............. 111
A.1 Equação para as geodésicas radiais nulas..................................................... 151
A.2 Variação do tempo coordenada nas geodésicas radiais nulas...................... 151
A.3 Equação para as geodésicas radiais de partículas com massa...................... 152
A.4 Velocidade de queda livre de uma partícula................................................. 152
A.5 Variação do tempo próprio nas geodésicas radiais de partículas com
massa............................................................................................................ 153
A.6 Variação do tempo coordenada nas geodésicas radiais de partículas com
massa............................................................................................................ 153
A.7 Potencial para as geodésicas nulas não radiais............................................. 154
A.8 Potencial para as geodésicas não radiais de partículas com massa.............. 154
B.1 Velocidade angular das partículas no disco................................................. 161
B.2 Componente Trϕ do tensor do stress viscoso................................................ 163
B.3 Componente Trϕ do tensor do stress viscoso em função da velocidade
angular.......................................................................................................... 164
B.4 Torque entre dois anéis do disco adjacentes................................................ 164
B.5 Densidade superficial num disco fino.......................................................... 165
B.6 Equação da continuidade para um disco de acreção.................................... 165
B.7 Equação de Navier-Stokes para um disco de acreção.................................. 165
B.8 Altura do disco de acreção........................................................................... 168
B.9 Taxa de acreção de matéria pelo disco......................................................... 169
B.10 Integração da equação de Navier-Stokes...................................................... 169
B.11 Factor de redução (potencial kepleriano)..................................................... 170
B.12 Relação entre densidade superficial, viscosidade e taxa de acreção............ 170
B.13 Taxa local de dissipação de energia no disco, por unidade de volume, em
função da viscosidade................................................................................... 171
B.14 Taxa local de dissipação de energia no disco, por unidade de volume,
cancelada a dependência da viscosidade...................................................... 171
B.15 Expressão geral para a luminosidade total do disco..................................... 172
B.16 Componente da aceleração gravítica normal ao plano do disco................... 176
B.17 Taxa de dissipação de energia no disco na direcção vertical....................... 176
B.18 Variação da temperatura no disco segundo a direcção vertical.................... 177
B.19 Luminosidade total do disco na banda do visível......................................... 180
xiv
C.1 Equação radial com a coordenada radial reciproca u=1/r............................ 183
C.2 Solução da equação C.1 quando r>>2m....................................................... 184
xv
Acrónimos
Constantes físicas
Velocidade da luz no vazio c=2.99792458×108ms-1
Constante de Planck h=6.62620×10-34Js
Carga elementar e=1.602189×10-19C
Número de Avogadro No=6.0221367×1023mol-1
Constante universal dos gases R=8.31441Jmol-1K-1
Constante de Boltzmann k=1.380662×10-23JK-1
Constante de Stefan-Boltzmann σ=5.66956×10-8Wm-2K-4
Constante da gravitação G=6.6742×10-11Nm2kg-2
Massa de Planck mp=5.456×10-8kg
Raio Solar R =6.9599×108m
Massa Solar M =1.989×1030kg
Luminosidade Solar L =3.826×1026W
Distâncias
UA - Unidade Astronómica; 1UA=1.495979×1011m
AL - Ano Luz; 1AL=9.460530×1015m
pc - parsec; 1pc=3.085678×1016m (≈3.26AL)
Distância (média) Terra-Lua ≈ 3.8×108m
Distância (média) Sol-Plutão ≈ 5.9×1012m (≈40UA)
Densidade de Fluxo
Jy (Jansky) 1Jy=10-26Wm-2s
xvi
Abreviaturas
AGILE - Astro-revilatore Gamma a Immagini LEggero
EROS - Experience pour la Recherche d'Objets Sombres
FUSE - Far Ultraviolet Spectroscopic Explorer
GRB - Gamma Ray Burst
HESS - High Energy Stereoscopic System
HST - Huble Space Telescope
INTEGRAL - INTErnational Gamma-Ray Astrophysics Laboratory
MACHO - MAssive Compact Halo Objects
MASER - Microwave Amplification Stimulated Emission of Radiation
MDO - Massive Dark Object
N-XMM - Newton X-ray Multi-mirror Mission
OGLE - Optical Gravitational Lensing Experiment
PIH - Princípio de Incerteza de Heisenberg
QPO - Quasi Periodic Oscillations
SIRTF - Space InfraRed Telescope Facility
SOFIA - Stratospheric Observatory For Infrared Astronomy
TRG - Teoria da Relatividade Geral
VLA - Very Large Array
VLBI -
xvii
Prefácio
Todos os candidatos a buraco negro conhecidos actualmente resultam de
evidências observacionais indirectas. A detecção da radiação de Hawking (radiação
própria emitida por um buraco negro) é, ao que sabemos, o único processo de detecção
directa de buracos negros. A motivação deste trabalho consiste em investigar se, dentro
dos limites técnicos actuais, é ou não possível detectar a componente electromagnética
da radiação de Hawking e, em caso afirmativo, a que distância e para que tipo de
buracos negros.
Os primeiros três capítulos são de revisão de literatura, com algumas partes
originais. No Capítulo 1 são introduzidos os buracos negros e descritas algumas das
suas principais propriedades. São resumidos os mecanismos de formação de buracos
negros e os principais processos de detecção indirecta. No Capítulo 2 é descrito o
mecanismo de emissão de radiação por buracos negros. É também discutida a emissão
de partículas com massa na fase final da evaporação de buracos negros. O Capítulo 3 é
dedicado à apresentação dos principais candidatos a buraco negro conhecidos
actualmente. Estes vão desde os buracos supermassivos (nos quais se encontram os
candidatos mais seguros) aos buracos negros estelares presentes em sistemas binários.
O Capítulo 4 é dedicado ao estudo da possibilidade de detecção, dentro dos limites
técnicos actuais, da radiação de Hawking emitida por buracos negros de Schwarzschild.
É considerada a detecção de buracos negros das mais variadas massas em comprimentos
de onda que vão desde o rádio aos raios gama. No Capítulo 5 são apresentadas as
conclusões.
Este trabalho é parte integrante das minhas Provas de Capacidade Científica e
Aptidão Pedagógica para a obtenção da categoria de Assistente no Departamento de
Matemática e Engenharias da Universidade da Madeira.
Sou licenciado em Física (Ramo Científico) pela Universidade da Madeira
(1994/95). Exerço actividade docente desde o ano lectivo de 1994/95, tendo passado
pelo departamento de Física da Universidade da Madeira, Escola Secundária de Jaime
Moniz, Escola Básica e Secundária de Machico e Departamento de Matemática (actual
Departamento de Matemática e Engenharias) da Universidade da Madeira onde estou
actualmente.
xviii
Participei na conferência "New Trends in Geometrical and Topological Methods"
realizada na Universidade da Madeira (Agosto 1995) com a apresentação de um póster
intitulado "Space-Time Geometry of a Pair of Reissner-Nordström Black Holes" e no
6ºENAA (Encontro Nacional de Astronomia e Astrofísica) realizado na Universidade de
Évora com a apresentação dos pósteres "Geometria do Espaço-Tempo de um Par de
Buracos Negros de Reissner-Nordström" e "Escolha do local para a instalação de um
Observatório na Madeira" este último, integrado no Grupo STORM (Students Taking
Observational Research Measurements), foi eleito, pelos participantes, como o melhor
do encontro. Fui membro da organização do 11ºENAA realizado na Universidade da
Madeira (Julho 2001).
Apresentei nas 3 edições da Semana da Astronomia, realizadas pelo Grupo de
Astronomia da Universidade da Madeira, os cursos: "Buracos Negros" (2001), "A
Nossa Galáxia" (2001), "Os Buracos Negros" (2002) e "O buraco Negro no Centro da
Nossa Galáxia" (2003). Fui o organizador da III Semana da Astronomia (Julho 2003).
Durante o ano lectivo 2002/03 apresentei em várias escolas básicas e secundárias da
região uma palestra intitulada "Nós e o Universo".
Integrado no grupo STORM participei no trabalho de observação do seeing para a
selecção do melhor local da ilha para a instalação de um observatório óptico, em várias
sessões de observação (cometas Hyakutake e Hale-Bopp, Eclipses do Sol,...) e em
várias edições do programa Astronomia no Verão da FCT (Fundação para a Ciência e
Tecnologia).
A concretização desta tese não teria sido possível sem o apoio constante da minha
esposa Elda Sobrinho e dos meus pais, Alexandre Sobrinho e Esperança Gois, a quem
dedico o meu trabalho.
Agradeço ao Professor Doutor José Carmo, na qualidade de Presidente do
Departamento de Matemática e Engenharias (e orientador da componente pedagógica
destas provas) e ao Professor Doutor Pedro Augusto, na qualidade de Presidente do
Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira (do qual também faço parte) e
orientador desta tese pela disponibilidade e apoio. Ao Dr. Angelino Gonçalves do
Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira, pelas discussões e críticas
construtivas. De uma forma geral estou profundamente grato a todos os familiares,
colegas e amigos que directa ou indirectamente me ajudaram na realização deste
trabalho.
xix
O texto desta tese foi escrito utilizando o Microsoft Word 2000 e as equações
foram construídas no Microsoft Equation Editor v3.01. Grande parte dos cálculos, bem
como a geração de gráficos, foram efectuados no Mathematica 4.1 (Wolfram Research).
Algumas das imagens foram construídas ou adaptadas com a ajuda do Microsoft Paint.
Foi feita uma consulta, quase permanente, da NASA Astrophysics Data System i e
também da Biblioteca de Astronomia e Astrofísica do Grupo de Astronomia da
Universidade da Madeiraii
José Laurindo de Gois Nóbrega Sobrinho
Outubro 2003
Durante a discussão da tese, que teve lugar 14 de Novembro de 2003 na
Universidade da Madeira, o arguente Professor Doutor José Pizarro de Sande Lemos, a
quem agradeço a disponibilidade e interesse, sugeriu algumas alterações. Após reunião
com o orientador Professor Doutor Pedro Augusto fiz a revisão da tese incluindo
algumas dessas alterações. Nomeadamente, a lista de exemplos de buracos negros que
antes terminava nos de dimensão comparável à do núcleo atómico, foi estendida até aos
buracos negros de dimensão planckiana. Os anexos referentes à acreção esférica por
buracos negros de Schwarzschild, existentes na versão original, foram retirados e serão
publicados em separado.
José Laurindo de Gois Nóbrega Sobrinho
Fevereiro 2004
i http://adswww.harvard.edu ii http://www.uma.pt/Investigacao/Astro/Biblioteca/index.htm
xx
xxi
Buracos Negros 1
1 Buracos Negros
1.1 Introdução
Num artigo enviado em 1783 para a Philosophical Transactions da Royal Society
o reverendo e geólogo britânico John Michell argumentou que corpos com um raio 500
vezes superior ao do Sol e com uma densidade igual ou superior à deste não deixariam,
em virtude da sua atracção gravitacional, os seus próprios raios de luz escaparem sendo
assim invisíveis aos nossos sentidos (e.g. Lynden-Bell 2002)1.
Michell pensou em termos de velocidade de escape que é tanto maior quanto
maior for a massa do corpo (planeta, estrela,...) e tanto maior quanto menor for o
respectivo raio. Embora no caso da Terra o seu valor seja de apenas 11kms-1, numa
estrela de neutrões pode atingir 1.5×105kms-1, ou seja, metade da velocidade da luz.
Jogando com os valores do raio e da massa podemos imaginar (como Michell) uma
estrela cuja velocidade de escape seja superior à da luz. Essa estrela não seria visível por
um observador distante.
Esta foi uma espectacular previsão de uma das propriedades dos buracos negros:
aprisionar a luz e ser invisível. Todavia estas estrelas escuras não correspondem
exactamente à definição actual de buraco negro. Um corpo capaz de aprisionar a sua
própria luz não pode ser descrito pela teoria da gravitação de Newton. Em 1915 Albert
Einstein apresentou uma nova teoria, actualmente designada por Teoria da Relatividade
Geral (TRG), aplicável nessas situações.
Algumas provas experimentais da TRG foram surgindo com o decorrer dos anos.
Um eclipse total do Sol (1919) permitiu confirmar que este desvia os raios de luz
provenientes de estrelas distantes e que, além disso, o ângulo de desvio estava de acordo
com o previsto. O avanço do periélio do planeta Mercúrio é outra prova experimental da
TRG. A descoberta de imagens múltiplas de um quasar (1980) veio validar a previsão
da existência de lentes gravitacionais avançada por Einstein.
Pouco tempo decorrido após a publicação da TRG, Karl Schwarzschild chegou,
1 Numa monografia publicada em 1795, intitulada Systéme du Mond, o astrónomo e matemático francês
Pierre Laplace também descreveu a ideia de estrelas invisíveis recorrendo, embora sem o referir, aos
mesmos argumentos de Michell (e.g. Lynden-Bell 2002).
Buracos Negros 2
baseando-se na mesma, à solução para o campo gravítico em torno de uma massa
esférica (Secção 1.2.1). Este resultado permitia descrever o campo em torno de estrelas
como o Sol ou ainda em torno de estrelas mais compactas como as anãs brancas e
estrelas de neutrões em relação às quais os efeitos relativistas são mais relevantes. O
que não ficou imediatamente evidente é que essa solução comportava também a
descrição de um objecto bem mais exótico: o buraco negro.
Os buracos negros são objectos previstos pela TRG. No entanto, eram objectos de
tal forma fora do comum que, na falta de qualquer evidência da sua existência, o seu
estudo não foi muito motivador ao longo de muitos anos. Apenas a descoberta de outros
objectos exóticos como os quasares (1963) e as estrelas de neutrões (1967) veio reavivar
o entusiasmo e o interesse pelo estudo dos buracos negros.
Desde então têm sido identificados vários candidatos a buraco negro. Em termos
de massa, estes vão desde os buracos negros estelares 1-102M (Secções 3.3 e 3.4),
espalhados pela nossa galáxia, até aos super buracos negros 106-1010M (Secção 3.1)
presentes nos núcleos de algumas galáxias incluindo a nossa. Toda esta selecção de
candidatos é feita a partir de observações indirectas (Secção 1.4).
No plano teórico conseguiram-se nas últimas décadas grandes desenvolvimentos
sobre as propriedades dos buracos negros e sobre a interacção dos mesmos com o meio
envolvente. Um dos resultados teóricos mais fascinantes aponta para a emissão de
radiação por buracos negros (Secção 2.1). Esta radiação, designada por radiação de
Hawking, inclui ondas electromagnéticas, ondas gravitacionais e, no caso de buracos
negros de menor massa, partículas com massa (Secção 2.4). A emissão de radiação de
Hawking leva à evaporação do buraco negro (Secção 2.5). Na fase final da evaporação
são emitidas grandes quantidades de raios gama num curto intervalo de tempo
assistindo-se, assim, à explosão do buraco negro (Secção 2.6).
A motivação deste trabalho consiste em analisar a possibilidade de detecção
directa de buracos negros (dentro dos limites técnicos actuais) a partir da componente
electromagnética da radiação emitida pelos mesmos. Pretende-se averiguar quais os
buracos negros mais favoráveis para a detecção (em termos de distâncias) e quais as
bandas do espectro mais favoráveis para a observação.
Buracos Negros 3
1.2 Propriedades
1.2.1 Buracos negros de Schwarzschild
A solução de Schwarzschild resulta da resolução das equações do campo no vácuo
para um espaço-tempo com simetria esférica. Esta solução contém a descrição exacta de
um buraco negro sem carga e sem rotação: buraco negro de Schwarzschild. A métrica
correspondente, também conhecida por métrica de Schwarzschild, é normalmente
escrita, em coordenadas esféricas, como se segue (e.g. d' Inverno 1992):
22222222 dsinrdrdr
r
m21
1dt
r
m21ds ϕθ−θ−
−−
−=
(1.1)
onde t é o tempo-coordenada, s representa um intervalo de espaço-tempo e:
2c
GMm = (1.2)
surge como uma constante de integração das equações do campo. Aqui G é a constante
de gravitação universal, c é a velocidade da luz e M é a massa criadora do campo. É
usual o recurso a unidades geometrizadas onde G=c=1. É importante notar que m tem as
dimensões de uma distância.
A métrica (1.1) apresenta singularidades nos pontos r=0 e r=2m. No caso r=2m é
possível mostrar que a singularidade correspondente não é real, ou seja, não é uma
singularidade física (e.g. d' Inverno 1992). De facto, mediante uma transformação
adequada de coordenadas é possível remover esta singularidade. No caso r=0 não é
possível estabelecer qualquer transformação de coordenadas capaz de remover a
singularidade. Estamos perante uma singularidade real. A superfície r=2m corresponde
ao chamado horizonte de acontecimentos do buraco negro. O raio de um buraco negro
deste tipo, também designado por raio de Schwarzschild, é dado por:
2s c
GM2m2r == (1.3)
Buracos Negros 4
Figura 1.1 - Estrutura do buraco negro de Schwarzschild
Ao ponto r=0 chamamos singularidade do buraco negro. Se extrapolarmos as
soluções das equações do campo para o interior do buraco negro, verifica-se que elas
acabam por quebrar na singularidade. Uma vez desenvolvida uma teoria quântica da
gravitação, talvez se possa substituir a ocorrência de uma singularidade por um estado
da matéria que agora desconhecemos. Seja como for, no presente estudo, estamos
interessados apenas em processos que ocorrem do lado de fora do horizonte de
acontecimentos e, portanto, longe da singularidade, onde a TRG é válida sem qualquer
restrição. Na Figura 1.1 está representada a estrutura do buraco negro de Schwarzschild.
Com os coeficientes da métrica (1.1) construímos o tensor métrico na forma covariante:
ji ,0g ;sinrg
rg ;r
m21g ;
r
m21g
ij22
33
222
1
1100
≠=−=
−=
−−=−=
−
(1.4)
onde os índices 0, 1, 2 e 3 correspondem, respectivamente às coordenadas t, r, θ e ϕ. O
tensor métrico na forma contravariante obtém-se a partir da relação:
( ) ij
3
0
ij gg =
=
(1.5)
onde ij representa a função delta de Kronecker. No caso da métrica de Schwarzschild
temos:
Buracos Negros 5
ji ,0g ;sinr
1
g
1g ;
r
1
g
1g
;r
m21
g
1g ;
r
m21
g
1g
ij22
33
332
22
22
11
111
00
00
≠=−==−==
−−==
−==
−
(1.6)
1.2.2 Geodésicas no espaço-tempo de Schwarzschild
O trajecto mais curto entre dois pontos do espaço-tempo designa-se por linha
geodésica. As partículas livres deslocam-se sempre seguindo as geodésicas. As
equações das geodésicas podem obter-se a partir do Lagrangeano (e.g. Chandrasekhar
1983):
−
−
−
−
−=
222
22
2
2
gd
d)(Sinr
d
dr
r
m21
d
dr
d
dt
r
m21
2
1L
(1.7)
onde τ corresponde ao tempo próprio (tempo medido por um observador no referencial
da partícula) e t corresponde ao tempo coordenada (tempo medido por um observador
distante). No caso dos fotões τ deverá ser interpretado como um parâmetro afim.
No espaço-tempo de Schwarzschild as geodésicas são descritas num plano
invariante (e.g. Chandrasekhar 1983). Vamos escolher, por exemplo, o plano θ=90º.
O facto do Lagrangeano (1.7) não depender explicitamente das coordenadas t e ϕ
conduz aos seguintes integrais do movimento:
Ed
dt
r
m21
d
dt
LP g
t =
−=
∂
∂= (1.8)
Ld
dr
d
d
LP 2g ==
∂
∂−=
(1.9)
Podemos interpretar E como sendo a energia da partícula e L como a componente
do momento angular segundo um eixo normal ao plano invariante (tudo por unidade de
Buracos Negros 6
massa). Considere-se também o momento radial:
d
dr
r
m21
1
d
dr
LP g
r
−=
∂
∂−= (1.10)
O facto do Hamiltoneano coincidir com o Lagrangeano (e.g. Chandrasekhar 1983)
e não depender explicitamente do tempo coordenada conduz a um terceiro integral do
movimento, δ, tal que:
d
drP
d
dL
d
dtE r =−−
(1.11)
O valor de δ pode ser escalonado de forma a ser zero para o movimento de fotões
e igual à unidade para o movimento de partículas materiais (e.g. Chandrasekhar 1983).
Substituindo (1.8), (1.9) e (1.10) em (1.11) obtemos a seguinte equação radial:
+
−−=
2
22
2
r
L
r
m21E
d
dr(1.12)
Se, nesta equação, interpretarmos o membro do lado esquerdo como sendo a
energia cinética da partícula e E2 como a sua energia total, então:
( )
+δ
−=
2
22
r
L
r
m21rV (1.13)
será a respectiva energia potencial (tudo por unidade de massa). O movimento só será
permitido quando for E2≥V2. A partir desta condição podemos tirar uma série de
conclusões sobre o tipo de geodésicas permitido, tanto aos fotões como às partículas
materiais, nas imediações de um buraco negro de Schwarzschild.
Consideremos então um fotão que, partindo do infinito, desloca-se em direcção a
um buraco negro de Schwarzschild. Se este seguir uma trajectória radial (Secção A.1)
então, visto não existir qualquer barreira de potencial no seu caminho, acabará sendo
capturado. Se, por outro lado, o seu movimento não for na direcção radial então o fotão
Buracos Negros 7
segue uma geodésica curvilínea condicionada por uma barreira de potencial (Secção
A.3). Se a energia do fotão for suficiente para vencer a barreira então este avança em
direcção ao horizonte de acontecimentos e é capturado. Caso contrário o fotão é
reflectido pela barreira de potencial, escapando, para longe (Figura A.3).
É também permitida aos fotões uma geodésica circular. Esta, situada em r=3m,
corresponde ao pico da barreira de potencial. A superfície esférica de raio r=3m é
designada por rotosfera. Fotões, provenientes do infinito, cuja energia seja igual ao
potencial em r=3m, descrevem uma geodésica espiral cuja curva tende para o círculo
r=3m. A órbita r=3m é no entanto instável. Um fotão que permaneça durante algum
tempo nessa órbita acabará mais cedo ou mais tarde por ser capturado pelo buraco negro
ou por escapar para o infinito.
No caso das partículas materiais o tipo de geodésicas permitido está condicionado
pelo valor do integral L (Secções A.2 e A.4). O caso mais interessante ocorre quando
12m2<L2. Neste caso o potencial (1.13) apresenta dois extremos relativos
correspondentes aos pontos:
−−=
2
22
max L
m1211
m2
Lr (1.14)
−+=
2
22
min L
m1211
m2
Lr (1.15)
Uma partícula material abandonada do infinito pode, dependendo da sua energia,
acabar sendo capturada pelo buraco negro ou reflectida pela barreira de potencial para
longe. Existe, como acontecia para os fotões, uma geodésica circular instável. O seu
raio, dado por (1.14), oscila, consoante o valor de L, entre os 3m e 6m. Existe ainda uma
geodésica circular estável cujo raio, dado por (1.15), é superior a 6m. São também
permitidas geodésicas elípticas estáveis (Figura A.4).
A equação que relaciona as coordenadas r e ϕ pode escrever-se, introduzindo
(1.9) em (1.12), na forma:
( ) mr2rL
mr2
L
rE
d
dr 22
3
2
42
2
+−δ+δ−=
ϕ(1.16)
Buracos Negros 8
1.2.3 Desvio gravitacional para o vermelho
Consideremos um buraco negro de Schwarzschild de massa m e uma partícula
material de coordenada radial r1>2m. Vamos supor que essa partícula emite luz de um
dado comprimento de onda e que alguns desses raios de luz são captados por um
observador distante de coordenada radial r2>r1. O período de emissão em termos de
tempo próprio, que designaremos por dτ1, relaciona-se com o período de emissão em
termos de tempo-coordenada, que designaremos por dt1, através da seguinte relação (e.
g. Berman & Gomide 1987):
11
1 dtr
m21d −=τ
De modo análogo, o período de recepção, em termos de tempo próprio, que
designaremos por dτ2, relaciona-se com o período de recepção em termos de tempo-
coordenada, que designaremos por dt2, através da seguinte relação:
22
2 dtr
m21d −=τ
Como o espaço-tempo de Schwarzschild é estático (os elementos do tensor métrico
(1.4) não dependem explicitamente do tempo) fica dt1=dt2 (e.g. d'Inverno 1992).
Relacionando as duas expressões anteriores obtemos:
1
2
1
2
1
2
r
m21
r
m21
cd
cd
−
−
==
onde λ1 e λ2 são os comprimentos de onda registados no momento da emissão e da
recepção respectivamente. Se supusermos que r2>>r1 então o numerador do lado direito
desta expressão pode ser substituído pela unidade ficando:
Buracos Negros 9
1
12
r
m21−
λ=λ
(1.17)
À medida que a partícula se aproxima do buraco negro, o valor de λ2 vai
aumentando progressivamente. O observador distante regista assim um desvio para o
vermelho no comprimento de onda da luz emitida pela partícula. Esse desvio vai ficando
cada vez mais acentuado tornando-se infinito sobre o horizonte de acontecimentos. Diz-
se que r=2m é uma superfície de desvio para o vermelho infinito. Por seu turno λ1
permanece sempre constante pois corresponde ao comprimento de onda, de emissão,
medido no referencial da partícula.
1.2.4 Conversão de massa em energia radiativa
Resolvendo (1.15) em ordem a L2 e substituindo o resultado na equação radial
(1.12) obtemos, no caso das geodésicas circulares para partículas com massa, a seguinte
expressão para o integral da energia:
r
m31
r
m21
E
2
2
−
−
=
No caso da última órbita circular estável (r=6m) esta expressão toma o valor:
9
8E m6 =
pelo que a energia de ligação, por unidade de massa, para uma partícula nessa órbita é:
%.7259
81EEE m6lig ≈−=−= ∞
Esta é a fracção de energia da partícula libertada quando esta, inicialmente em
Buracos Negros 10
repouso no infinito (V=E=1), descreve um movimento espiral em direcção a um buraco
negro de Schwarzschild, até à órbita circular estável mais interior (caindo depois em
direcção ao horizonte de acontecimentos). Esta taxa de conversão de massa em outras
formas de energia é muito superior à das reacções nucleares no seio das estrelas, a qual
ronda apenas os 0.9% (no máximo), quando se dá a conversão H→Fe (e.g. Shapiro &
Teukolsky 1983).
1.2.5 Captura de partículas
A secção de choque para a captura de uma partícula material proveniente do
infinito, por um buraco negro, é dada por (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983):
2cap b max=
onde bmax é o valor máximo que o parâmetro de impacto, b, pode ter para que a
partícula seja capturada. Se o parâmetro de impacto for nulo, temos uma captura frontal,
e se for superior a bmax, não ocorre captura. O parâmetro de impacto é determinado,
como se depreende da Figura 1.2, pela expressão:
( ) rrb r ≈= ∞→ sinlim (1.18)
Quando r→∞ podemos desprezar os termos de ordem inferior a r4 na equação
(1.16) ficando:
( )2
42
2
L
r1E
d
dr−=
ϕ
Introduzindo nesta equação o resultado (1.18) vem:
2
2
2 L
1E
b
1 −=
Buracos Negros 11
Figura 1.2 - Parâmetro de impacto b para uma partícula com uma trajectória r=r(ϕ) na vizinhança de um
buraco negro de massa M (adaptado de Shapiro & Teukolsky 1983).
Quando r→∞ a função potencial, dada pela expressão (1.13), tende para a
unidade. Podemos, assim, interpretar E2-1 como a energia cinética da partícula no
infinito. Considerando que a velocidade da partícula no infinito é v∞ temos a relação:
∞= bvL
Se for v∞<<1 (partícula não relativista) então temos E≈1. Nesse caso para haver
captura o valor máximo da barreira de potencial, Vmax, terá de ser inferior à unidade.
Como Vmax=1 para L=4m (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983) temos que qualquer
partícula com L<4m será capturada pelo buraco negro, pois, para essa partícula, não
existe barreira de potencial que a reflicta. Conciliando este facto com a expressão
anterior resulta:
∞
=v
m4bmax
o que nos permite escrever, para a secção de choque, a expressão:
( )2
2s
2
2
cap v
r4
v
m24
∞∞
== (1.19)
Buracos Negros 12
Figura 1.3 - Ângulo entre a direcção de propagação de um fotão e a direcção de vr, num dado ponto P
(adaptado de Shapiro & Teukolsky 1983).
1.2.6 Ângulo de captura de fotões
Seja ψ o ângulo entre a direcção de propagação de um fotão e a direcção radial,
num dado ponto P, como se mostra na Figura 1.3. Atendendo a que, em unidades
geometrizadas a velocidade da luz é igual à unidade, as componentes da velocidade,
num referencial local, podem ser escritas como:
( )( )
=
=
radial) e(component v
azimutal) e(component vr
cos
sin
Por outro lado, do ponto de vista de um observador local, a componente azimutal
da velocidade é dada por (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983):
( )21
r
m21
r
fsinv
/
−== (1.20)
onde estamos a considerar f=L/E. A equação (1.12) pode escrever-se, para o caso dos
fotões, do seguinte modo:
2
2
2
22f2
22
r
L
r
m21
f
LV
f
L
d
dr
−−=−=
(1.21)
Buracos Negros 13
Figura 1.4 - Captura de fotões por um buraco negro de Schwarzschild do ponto de vista de um
observador local. Os fotões emitidos de cada ponto (abcissa r) para o interior da região a cinzento são
capturados (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983)
onde é um parâmetro afim e Vf é dado por (1.13) com δ=0.
O potencial efectivo Vf é máximo quando r=3m, ou seja, no ponto, correspondente
à única geodésica circular permitida aos fotões (Secção 1.2.2). Fazendo na equação
(1.21) r=3m resulta:
3m)(r m33f == (1.22)
Um fotão, proveniente do infinito, será capturado se f for inferior ao valor anterior
e será reflectido se f for superior a esse valor. O parâmetro f é claramente um parâmetro
de impacto.
Assim, conjugando (1.20) com (1.22), resulta que do ponto de vista de um
observador local, um fotão, deslocando-se em direcção ao buraco negro (r decrescente),
pode escapar à captura apenas se se verificar a condição:
( )2/1
r
m21
r
m33sin
−>ψ (1.23)
Em r=6m um fotão, deslocando-se em direcção ao buraco negro, pode escapar
apenas quando ψ>45º (Figura 1.4) e em r=4m quando ψ>67º. Em r=3m já é ψ>90º pelo
que o fotão já não pode escapar. Isto significa que 50% da luz radiada por um emissor
isotrópico situado sobre a rotosfera (Secção 1.2.2) é irremediavelmente capturada.
Buracos Negros 14
1.2.7 Outros tipos de buracos negros
Quando se dá a formação de um buraco negro, seja por que processo for, é apenas
retida informação acerca da massa, carga eléctrica e momento angular. Qualquer outra
informação relativa ao corpo que originou o buraco negro (e.g. forma geométrica, tipo
de matéria, campo magnético) é completamente radiada para longe ou simplesmente
engolida2. No caso de a carga eléctrica e o momento angular serem nulos temos um
buraco negro caracterizado apenas pelo valor da sua massa. Estes buracos negros, ditos
de Schwarzschild, já foram discutidos na Secção1.2.1.
Caso exista, para além da massa, uma quantidade não nula de carga eléctrica então
dizemos que temos um buraco negro de Reissner-Nordström. A métrica para este tipo
de buracos negros escreve-se, em coordenadas esféricas, na forma (e.g. d' Inverno
1992):
222222
2
22
2
22 dsinrdrdr
rr
m21
1dt
rr
m21ds ϕθ−θ−
ε+−
−
ε+−=
onde m continua a ser, como na solução de Schwarzschild, a massa geometrizada e ε é a
carga eléctrica escrita também em unidades geometrizadas. Note-se que quando ε=0 o
elemento de linha anterior reduz-se à métrica de Schwarzschild (1.1). A solução de
Reissner-Nordström apresenta uma única singularidade real para r=0. A singularidade
associada a g11=0 é apenas aparente podendo ser removida mediante uma escolha
conveniente de coordenadas (e.g. d' Inverno 1992). O horizonte de acontecimentos para
este tipo de buraco negro é determinado resolvendo a equação (e.g. d' Inverno 1992):
0r
r
m21
g
1g
2
2
11
11 =+−==
(onde g11 é determinado com a ajuda da expressão 1.5). A equação tem duas soluções:
2 Este facto levou o físico teórico John Wheeler a proferir a célebre frase "Black holes have no hair" (e.g. Novikov 1995)
Buracos Negros 15
Figura 1.5 - Estrutura interna de alguns buracos negros de Reissner-Nordström. Em cada caso foram
indicados os dois horizontes de acontecimentos, r+ e r-, e a singularidade s. O buraco negro da esquerda
tem carga nula (ε=0) e por isso é na realidade um buraco negro de Schwarzschild. Por sua vez o buraco
negro da direita tem a carga máxima permitida (ε=m) e por isso diz-se que é um buraco negro de
Reissner-Nordström extremo.
22mmr ε−+=+
22mmr ε−−=−
Num buraco negro de Reissner-Nordström existem dois horizontes de
acontecimentos (r+ e r-). O horizonte de raio r+, mais exterior, é semelhante ao dos
buracos negros de Schwarzschild. Quando ε=0, r- é nulo e r+=2m. Por ouro lado quando
ε=m os dois horizontes coincidem (são iguais a m) e dizemos, nesse caso, que temos um
buraco negro de Reissner-Nordström extremo. Na Figura 1.5 estão representadas as
estruturas de alguns buracos negros de Reissner-Nordström.
Se, para além da respectiva massa, o buraco negro tiver movimento de rotação e
for electricamente neutro temos um buraco negro de Kerr3. A métrica correspondente,
também designada por métrica de Kerr, é muitas vezes escrita na forma de Boyer-
Lindquist (e.g. d' Inverno 1992):
( )
( ) ( ) ( )[ ]
dsinaaR
sin
dtdsin
amR4d dR
dt
mR21ds
222222
2
22
2222
22
2
−+−
+−−
−=
(1.24)
3 O nome foi atribuído em homenagem ao neozelandês Roy Kerr que em 1963 descobriu a solução das equações do campo para um corpo em rotação.
Buracos Negros 16
com:
( )aR 2222 cos+= (1.25)
22 amR2R +−=
onde o parâmetro a traduz o momento angular do buraco negro por unidade de massa.
Note-se que quando a=0, ou seja, quando o buraco negro não tem rotação é recuperada a
métrica de Schwarzschild (1.1). As coordenadas (R,θ,ϕ) estão relacionadas com as
coordenadas cartesianas (x,y,z) do seguinte modo:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
=
−=
+=
Rz
aRy
aRx
cos
cossinsinsin
sinsincossin
(1.26)
A coordenada R não corresponde à coordenada radial usual. A coordenada radial
usual, r, é dada por:
( )aRzyxr 2222222 sin+=++=
sendo, no entanto, R≈r quando ar >> ou quando 0a ≈ . A métrica de Kerr depende de
θ e por isso não é simetricamente esférica. No entanto, como não depende de ϕ
concluímos que é axialmente simétrica. O eixo de simetria, que coincide com o eixo de
rotação do buraco negro, é, por convenção, o eixo ZZ'. A métrica de Kerr apresenta uma
única singularidade real correspondente a ρ=0 (e.g. d' Inverno 1992). A partir de (1.25)
e (1.26), com ρ=0 e a≠0, tiramos que:
=
=
0z
ar 22
(1.27)
Isto significa que, para um buraco negro em rotação, a singularidade consiste num
anel assente no plano equatorial. Quanto maior a velocidade de rotação, maior o raio da
singularidade. Quando a=0 temos um buraco negro de Schwarzschild com a sua
Buracos Negros 17
singularidade pontual. O horizonte de acontecimentos para um buraco negro de Kerr é
determinado a partir de g11=0. A partir da expressão (1.5) pode verificar-se que
g11=1/g11, ou seja, g11=-∆/ρ2. Resolvendo então a equação ∆=0 obtêm-se as soluções:
( ) ( )22222 ammar −++=+ sin (1.28)
( ) ( )22222 ammar −−+=− sin (1.29)
Num buraco negro de Kerr existe um horizonte de acontecimentos mais interior r-
e outro mais exterior r+. A partir das expressões (1.28) e (1.29) verifica-se que a
velocidade angular do buraco negro não pode exceder m. Quando a=m fica r-=r+ e
dizemos que temos um buraco negro de Kerr máximo.
Num buraco negro de Schwarzschild o horizonte de acontecimentos é
simultaneamente uma superfície de desvio para o vermelho infinito (Secção 1.2.3). No
caso de um buraco negro com rotação não acontece o mesmo. A superfície de desvio
para o vermelho infinito pode ser determinada avaliando g00=0 (e.g. d' Inverno 1992),
resultando:
( ) ( )( )222222 ammas cossin −++=+
( ) ( )( )222222 ammas cossin −−+=−(1.30)
A superfície s+ é exterior a r+, tocando este apenas sobre os pólos. s+ é também
conhecida por superfície do limite estacionário uma vez que, embora ainda seja possível
a uma partícula escapar do seu interior, entre esta e r+ não é permitido o repouso. Tudo é
arrastado no sentido da rotação do buraco negro. Na Figura 1.6 está representada a
estrutura no plano equatorial (θ=90º) e segundo um plano meridiano de buracos negros
de Kerr com a=0.8m e a=m (foi representada também a estrutura do buraco negro de
Schwarzschild para efeitos de comparação).
Por último vamos referir os buracos negros de Kerr-Newmann. Estes
caracterizam-se por possuírem massa, carga eléctrica e momento angular (e.g.
Buracos Negros 18
aaaaaaaaa
Figura 1.6 - (A) Estrutura de um buraco negro de Schwarzschild (buraco negro de Kerr com a=0). (B)
Estrutura de um buraco negro de Kerr com a=0.8m segundo um plano meridiano (à esquerda) e segundo o
plano equatorial (θ=90º; à direita). (C) Estrutura de um buraco negro de Kerr máximo (a=m) segundo um
plano meridiano (à esquerda) e segundo o plano equatorial (à direita).
Demianski 1985). Num buraco negro de Kerr-Newmann a carga eléctrica e o momento
angular por unidade de massa devem respeitar a relação (e.g. Davies 1978):
222 ma ≤+ (1.31)
Quando se verifica a igualdade, na expressão anterior, diz-se que temos um
buraco negro de Kerr-Newmann extremo. Este é o caso limite de um objecto que ainda
possui um horizonte de acontecimentos. No diagrama da Figura 1.7 estão incluídos
todos os tipos de buracos negros descritos anteriormente.
Buracos Negros 19
Figura 1.7 - Cada ponto da circunferência representa um buraco negro de Kerr-Newman extremo. Todos
os outros buracos negros são representados por pontos interiores à circunferência. Ao buraco negro de
Schwarzschild corresponde a origem dos eixos. Os buracos negros de Reissner-Nordström são
representados pelos pontos do eixo ε (carga eléctrica) e os buracos negros de Kerr pelos pontos do eixo a
(momento angular).
1.2.8 Termodinâmica de buracos negros
A fronteira de um buraco negro é dada pelo respectivo horizonte de
acontecimentos. Sobre o horizonte residem as trajectórias espaço-temporais dos raios
luminosos emitidos no momento da formação do mesmo. Estas trajectórias são sempre
não convergentes (e.g. Hawking 1994). Com base neste facto Stephen Hawking provou
um importante teorema sobre buracos negros (e.g. Hawking & Ellis 1973), designado
por Teorema da Área, que indicamos a seguir:
Teorema da área - Em qualquer interacção a área da superfície, A,
de um buraco negro nunca pode decrescer ( 0A ≥ ).
Buracos Negros 20
Este comportamento, da área da superfície do buraco negro sugere uma forte
analogia com a quantidade termodinâmica entropia. A desordem (entropia) de um
sistema aumenta sempre ou, quanto muito, permanece constante. Podemos colocar uma
certa ordem numa parte do sistema, mas sempre à custa de um aumento da desordem de
outra parte do sistema. Globalmente, "a entropia nunca decresce" (Segunda Lei da
Termodinâmica; e.g. Holman 1988).
A Segunda Lei da Termodinâmica é diferente de outras leis físicas no sentido em
que podem ocorrer violações da mesma. Essas violações são muito pouco prováveis. No
entanto, se lançarmos alguma matéria com elevado grau de entropia para o interior de
um buraco negro teríamos aparentemente um decréscimo da entropia relativa à matéria
exterior ao buraco negro. Note-se que qualquer entropia existente no interior do buraco
negro não pode ser contabilizada por um observador externo. Estamos assim perante
uma violação da Segunda Lei da Termodinâmica. Para tornear este problema foi então
sugerido que a área do horizonte de acontecimentos do buraco negro era uma medida da
sua entropia. Assim, quando um buraco negro absorve matéria, a sua área, ou seja a sua
entropia, aumenta. A soma da entropia da matéria exterior com a entropia do buraco
negro é sempre crescente no tempo. O Teorema da área pode assim ser visto como uma
Segunda Lei da Termodinâmica para Buracos Negros.
A Primeira Lei da Termodinâmica, que traduz a conservação da energia de um
sistema que troca energia com a sua vizinhança na forma de calor ou trabalho, pode
escrever-se como (e.g. Holman 1988):
dWdQdU +=
onde U representa a energia interna do sistema (que depende apenas do estado do
mesmo), Q representa o calor transferido entre o sistema e a sua vizinhança e W o
trabalho realizado pelo sistema sobre a sua vizinhança. É possível escrever uma
expressão equivalente para buracos negros.
A área total da superfície do horizonte de acontecimentos de um buraco negro de
Kerr-Newmann é dada por (e.g Davies 1978):
−−+−=
2
2
2
2222
m
a
m
1m2m24A (1.32)
Buracos Negros 21
com ε2<m2 e a2<m2. Resolvendo esta equação em ordem a m vem:
2
4222
a64A16
16A8Am
−
++=
Se interpretarmos m como a energia interna do buraco negro então a Primeira Lei da
Termodinâmica para Buracos Negros será dada pelo diferencial total de m que
escreveremos na forma (Davies 1978):
dWdaWdA8
dm L ++= (1.33)
onde κ/(8π)≡∂m/∂A, WL≡∂m/∂a e Wε≡∂m/∂ε. Os termos WLda e Wεdε correspondem,
respectivamente, ao trabalho efectuado na alteração do momento angular e da carga
eléctrica do buraco negro. Se A desempenha o papel da entropia então κ desempenha o
papel da temperatura (dQ∝TdS; Segunda Lei da Termodinâmica).
A Lei Zero da Termodinâmica afirma que "num sistema em equilíbrio
termodinâmico as diferentes partes são caracterizadas por uma temperatura comum"
(e.g. Holman 1988). É possível mostrar que o parâmetro de temperatura κ, também
designado por gravidade superficial, é constante ao longo de toda a superfície do
horizonte de acontecimentos. Este resultado traduz a Lei Zero da Termodinâmica para
Buracos Negros (e.g. Davies 1978).
A Terceira Lei da Termodinâmica afirma que "a entropia de qualquer substância
pura tende para zero à medida que a respectiva temperatura absoluta se aproxima do
zero" (e.g. Holman 1988). A gravidade superficial, κ, tende para zero quando é
satisfeita a igualdade na relação (1.31). Embora a entropia do buraco negro tenda para
um valor finito, diferente de zero, podemos tomar:
222 ma =+
como sendo a expressão para a Terceira Lei da Termodinâmica de buracos negros (e.g.
Davies 1978).
Buracos Negros 22
1.3 Formação
1.3.1 Buracos negros estelares
O destino final de uma estrela depende da respectiva massa inicial. Uma estrela
com uma massa inicial de 0.8-8M acabará como uma anã branca de massa 0.5-1.4M .
Se a massa inicial da estrela for 8-60M então o produto final será provavelmente uma
estrela de neutrões de ≈1.4M . Se a massa inicial da estrela se situar entre as 60-90M
então o produto final será um buraco negro de massa superior a 1.4M . Estrelas cuja
massa inicial seja superior a 90M são estruturalmente instáveis sabendo-se pouco
acerca da respectiva evolução. É provável que também se formem buracos negros (e não
estrelas de neutrões) a partir de estrelas com massas iniciais de 40-60M . Esses buracos
negros teriam massas muitos próximas de 1.4M (e.g. Unsöld & Baschek 2002;
Padmanabhan 2001; Binney & Merrifield 1998).
Na Figura 1.8 está representada a massa dos restos estelares em função da massa
estelar inicial. Os valores apresentados têm um caracter meramente indicativo uma vez
que os mesmos não são conhecidos com exactidão.
Existe um limite superior para a massa de uma estrela de neutrões. O valor desse
limite não é bem conhecido. Unsöld & Baschek (2002) falam em 1.8M mas, por
exemplo, Padmanabhan (2001) considera 3-5M . De qualquer forma restos estelares
cuja massa seja superior ao permitido para uma estrela de neutrões representam
configurações de matéria para as quais não existe um estado de equilíbrio. Nesses casos
ocorre o colapso gravitacional da estrela (e.g. Padmanabhan 2001; Demianski 1985;
Hawking & Ellis 1973)
Para um observador distante o raio da estrela diminui progressivamente
aproximando-se do respectivo raio de Schwarzschild (Secção 1.2.1). Esse ponto será
atingido apenas assimptoticamente, ou seja, ao fim de um intervalo de tempo infinito.
No entanto a radiação electromagnética emitida pela estrela sofre um desvio para o
vermelho (Secção 1.2.3) cada vez mais intenso, acabando o respectivo comprimento de
onda por ser indetectável. A estrela torna-se então invisível para o observador distante.
Buracos Negros 23
Figura 1.8 - Massa dos restos estelares (Mf) e respectiva natureza em função da massa estelar inicial (Mi)
Do ponto de vista de um observador local, solidário com a superfície da estrela,
tudo se passa de uma forma diferente. Para este o raio de Schwarzschild não só é
atingido num tempo finito, como o processo de contracção continua a partir desse
ponto. A estrela tende para um volume nulo, ou seja, para uma densidade infinita.
No processo libertam-se enormes quantidades de energia que, a exemplo do que
acontece numa supernova, são transferidas para o envelope da estrela podendo fazer
com que este seja violentamente expulso. Se for esse o caso, o observador distante
registará uma explosão catastrófica que não saberá distinguir de outras não relacionadas
com a formação de buracos negros (e.g. Demianski 1985).
Podemos ter também outros cenários para a formação de buracos negros de massa
estelar. Por exemplo, uma estrela de neutrões, pertencente a um sistema binário, pode,
ao acretar matéria da sua companheira, atingir uma massa acima do nível permitido. Se
isso acontecer então ocorre o colapso da estrela dando origem a um buraco negro (e.g.
Luminet 1998).
1.3.2 Buracos negros primordiais
É possível que no Universo Primordial, nos instantes seguintes ao Big Bang,
tenham estado reunidas as condições para que se formassem buracos negros de pequena
massa (Hawking 1971).
Buracos Negros 24
Figura 1.9 - Representação de uma perturbação de densidade no Universo primordial. A perturbação
propriamente dita cinge-se à região de raio R1. Existe uma zona de transição de espessura ∆R de cujo
valor depende a formação ou não de um buraco negro (adaptado de Novikov et al. 1979).
Sabemos que nesses primórdios devem ter ocorrido algumas irregularidades pois
se assim não fosse hoje o Universo seria perfeitamente uniforme e não existiriam
estruturas, como por exemplo, as galáxias (e.g. Carr & Hawking 1974).
Essas irregularidades consistiam em perturbações de densidade nas mais variadas
escalas de comprimento. Uma dessas perturbações está esquematicamente representada
na Figura 1.9. A perturbação propriamente dita está encerrada numa região de raio R1.
A transição entre a região perturbada e a região não perturbada faz-se gradualmente
através de um anel de espessura ∆R=R2-R1 (cf. Figura 1.9). A formação de buracos
negros depende fortemente da espessura desta região de transição. Se ∆R for
suficientemente pequeno, isto é, se R1/R2≈1, surgem gradientes de pressão bastante
elevados e as perturbações de densidade crescem violentamente. No interior do volume
de raio R1 a energia potencial gravítica passa a dominar sobre a energia cinética da
expansão. Esta região deixa assim de se expandir com o resto do Universo e colapsa
dando origem a um buraco negro (Novikov et al. 1979).
Os buracos negros formados nos instantes iniciais dizem-se primordiais. A massa
inicial de um buraco negro primordial está relacionada com a densidade do Universo,
ρU (kgm-3), e com a idade do Universo, tU (s), no momento da formação através da
expressão (e.g. Kiefer 2002; Eardley & Press 1975):
Buracos Negros 25
(kg) t10G
cM U
353
U
6
bnp ≈≈ (1.34)
De acordo com esta expressão devem ter-se formado primeiro os buracos negros
de menor massa. Os primeiros buracos negros podem ter-se formado quando a idade do
Universo era da ordem do tempo de Planck (≈10-43s) com massas da ordem da massa de
Planck (≈10-8kg). Quando a idade do Universo era próxima dos 10-23s podem ter-se
formado buracos negros com massas da ordem dos 1012kg. Quando o Universo tinha
10-5s podem ter surgido buracos negros de 1M e aos 10s buracos negros de 106M .
1.3.3 Buracos negros supermassivos
Existem evidências observacionais que apontam para a presença de objectos
compactos de grande massa (>106M ), eventualmente buracos negros supermassivos, no
centro de algumas galáxias (Secção 3.1).
São vários os caminhos que podem levar à formação de um buraco negro
supermassivo no centro de uma galáxia (Figura 1.10). Uma nuvem de gás presente na
zona central de uma galáxia pode originar, por contracção, um objecto supermassivo
que poderá colapsar originando um buraco negro supermassivo. Pode também acontecer
que se forme um enxame estelar a partir dessa nuvem de gás.
Em resultado das colisões as estrelas do enxame podem trocar energia entre si.
Uma estrela ao ganhar energia desloca-se mais para o exterior podendo mesmo ser
expulsa do enxame. Por sua vez uma estrela ao perder energia desloca-se mais para o
interior tornando a zona central ainda mais densa e, portanto, as interacções entre
estrelas mais frequentes. Pode acabar por formar-se no centro do enxame um objecto
compacto (>106M ) que acabará por colapsar dando provavelmente origem a um buraco
negro supermassivo (e.g. Misner et al. 1999).
Outra possibilidade é que em virtude das colisões se formem estrelas de massas
superiores a 8M . Estas estrelas deixariam como restos da sua evolução estrelas de
neutrões e buracos negros de massa estelar (Figura 1.8). Poderia formar-se assim um
enxame de objectos compactos que acabaria por colapsar dando origem a um buraco
negro supermassivo (e.g. Shapiro & Teukolsky 1985).
Buracos Negros 26
Figura 1.10 - Diagrama de Rees para a formação de buracos negros supermassivos (Rees 1978).
1.3.4 Evolução de um buraco negro
Uma vez formado um buraco negro, primordial ou não, este irá experimentar uma
evolução que depende do tipo de condições presentes no meio em que se encontra.
Independentemente de o meio ser mais ou menos denso haverá sempre acreção esférica
de matéria e radiação pelo buraco negro. Nesse processo cresce a massa do buraco
negro e, portanto, aumenta também o respectivo raio (Secção 1.4.1).
Um buraco negro pode acabar por alojar-se no núcleo de uma estrela. Este cenário
é bastante aceitável se atendermos ao facto de que o raio de Schwarzschild de um
buraco negro (expressão 1.3), mesmo estelar, é muito inferior ao raio de qualquer
Buracos Negros 27
estrela4. Não é assim de excluir a existência de buracos negros, de massas estelares ou
inferiores, no núcleo de algumas estrelas. Numa situação dessas a matéria da estrela
seria progressivamente acretada pelo buraco negro que desse modo cresceria (e.g.
Eardley & Press 1975; Seok-Jae 1990).
Um buraco negro não se pode bifurcar por forma a originar dois buracos negros.
Se dois buracos negros colidirem um com o outro fundem-se dando origem a um único
buraco negro de massa igual ou superior à soma das massas dos dois buracos negros
iniciais (e.g. Hawking & Ellis 1973).
Em todas as situações descritas anteriormente temos sempre como resultado um
aumento da massa do buraco negro. Contudo os buracos negros também podem perder
massa através da chamada radiação de Hawking (Secção 2.5) que será tanto mais
eficiente quanto menor for a massa do buraco negro. É assim de admitir que alguns
buracos negros primordiais, de massa relativamente pequena, em vez de terem crescido,
tenham perdido parte da sua massa.
1.4 Processos de detecção indirecta
1.4.1 Acreção esférica de matéria
i) Campo magnético quase desprezável
Um buraco negro mergulhado numa nuvem de gás, mais ou menos densa, acaba
sempre por acretar alguma matéria. Se o buraco negro estiver isolado e o gás não
possuir uma quantidade de momento angular significativa então o processo de acreção
tem simetria esférica.
Numa primeira abordagem à acreção esférica é comum considerar-se um gás sem
colisões. No entanto a natureza do gás do meio interestelar e da matéria trocada entre
estrelas em sistemas binários levam a crer que a acreção de matéria por objectos
compactos (buracos negros, estrelas de neutrões e anãs brancas) seja hidrodinâmica (e.g.
Shapiro & Teukolsky 1983). A taxa de acreção esférica hidrodinâmica em regime
4 Por exemplo, o raio do Sol é cerca de 2.4×105 superior ao respectivo raio de Schwarzschild.
Buracos Negros 28
adiabático (Bondi 1952), embora relativamente baixa, é cerca de 109 vezes superior à
verificada no caso do gás sem colisões.
O estudo relativista da acreção esférica hidrodinâmica adiabática (e.g. Shapiro &
Teukolsky 1983) revela que esta ocorre necessariamente em regime trans-sónico. Neste
regime a velocidade do gás começa por ser inferior à velocidade local do som. Com a
aproximação ao buraco negro a velocidade cresce, acabando por ultrapassar a
velocidade local do som. Por outro lado, verifica-se que a taxa de acreção é máxima
justamente no regime trans-sónico (Bondi 1952).
Na acreção esférica, o gás que circunda o buraco negro, maioritariamente
constituído por hidrogénio, vai caindo radialmente sob a influência do campo gravítico.
Nesse processo o gás é comprimido à medida que energia gravitacional vai sendo
convertida em energia cinética. Quando as partículas de gás colidem inelasticamente,
parte dessa energia é libertada escapando sob a forma de radiação. O cálculo do
montante de radiação emitido não é, no caso geral, trivial. Devem ser resolvidas as
equações hidrodinâmicas para o movimento do gás, juntamente com as equações da
transferência radiativa (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983).
Vamos considerar o espectro emergente da acreção esférica, não adiabática, por
um buraco negro de Schwarzschild (e.g. Shapiro 1973a). Para isso é preciso resolver
numericamente as equações do problema. Uma das equações chave é a equação da
continuidade a qual, na forma relativista, considerando a métrica de Schwarzschild
(1.1), se pode escrever como (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983):
0r
2
dr
du
u
1
dr
dn
n
1=++ (1.35)
onde u é a componente radial da velocidade dirigida para dentro e n é a densidade
bariónica. Outra equação chave do problema é a equação de Euler a qual, na forma
relativista, se pode escrever como (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983):
22
r
m
r
m2u1
r
p
p
1
dr
duu −
−+
∂
∂
+−= (1.36)
Buracos Negros 29
onde p é a pressão do gás, ρ é a densidade massa-energia interna do gás e m é a massa
geometrizada do buraco negro (expressão 1.2). Temos ainda a equação da entropia que
se pode escrever como (Shapiro 1973a):
( ) ( )u
TT
dr
dn
n
p
dr
dn
n
dr
d −=−− (1.37)
onde Λ(T) e Γ(T) correspondem respectivamente às taxas de arrefecimento e de
aquecimento do gás por unidade de tempo e de volume. Estas funções da temperatura
dependem, naturalmente, do tipo de região considerado.
As condições de fronteira podem ser extraídas a partir dos resultados obtidos para
o estudo não relativista (Bondi 1952). Consideraremos então a equação de estado
politrópica:
Kp =
onde K e γ são constantes. A constante γ é o chamado índice politrópico do gás e deve
ser tal que 3/51 ≤γ≤ . Consideremos também a taxa de acreção (e.g. Shapiro &
Teukolsky 1983):
∞∞
∞
= a
a
GM4
dt
dM2
2
onde λ é o chamado parâmetro adimensional para a acreção, a∞ é a velocidade do som
no infinito e ρ∞ é a densidade massa-energia no infinito.
Dados n(r), T(r) e u(r), a partir da integração numérica das equações (1.35), (1.36)
e (1.37), a computação da luminosidade observada, ∞νL , é imediata (Shapiro 1973a).
No caso de uma região HII o espectro emitido (situado na banda dos raios X e raios
gama) tem uma curva característica de bremsstrahlung com T≈1011K (Figura 1.11) e
uma luminosidade total dada por (Shapiro 1973b):
( )W cm
n
M
M
K01
T102L
2
3
33
414
f
×≈
−∞
−
∞
r
(1.38)
Buracos Negros 30
onde T∞ e n∞ correspondem respectivamente à temperatura e à densidade de partículas
em pontos distantes do buraco negro.
Para uma região HI o espectro emitido tem também uma curva característica de
bremsstrahlung (Figura 1.12), neste caso com T≈109K e uma luminosidade total cerca
xxx
Figura 1.11 - Espectro continuo emitido na acreção esférica, numa região HII, com um buraco negro de
Schwarzschild de 1M . Alem da luminosidade total são indicadas as luminosidades parciais devidas aos
processos da recombinação radiativa (curva RR), bremsstrahlung electrão-electrão (curva e-e) e
bremsstrahlung electrão-protão (curva e-p) (adaptado de Shapiro 1973a).
Fígura 1.12 - Espectro continuo emitido, na acreção esférica, numa região HI com um buraco negro de
Buracos Negros 31
Schwarzschild de 1M . Alem da luminosidade total são indicadas as luminosidades parciais devidas aos
processos da recombinação radiativa (curva RR), bremsstrahlung electrão-electrão (curva e-e) e
bremsstrahlung electrão-protão (curva e-p) (adaptado de Shapiro 1973a).
de quatro ordens de grandeza superior à determinada para a região HII (Shapiro 1973a).
A eficiência da conversão entre massa e energia, que pode exprimir-se através da
relação (Shapiro & Teukolsky 1983):
dt
dMc
L
2f =
(1.39)
é neste modelo, para a acreção por um buraco negro de 1M , da ordem de 10-11 para a
região HII e da ordem de 10-7 para a região HI (Shapiro & Teukolsky 1983).
No caso de um buraco negro de Kerr a luminosidade aumenta com o aumento do
momento angular. A acreção esférica por um buraco negro de Kerr máximo, numa
região HII típica, resulta numa luminosidade ≈15% superior à de um buraco negro de
Schwarzschild da mesma massa e nas mesmas condições (Shapiro 1974).
ii) Campo magnético não desprezável
A abordagem ao problema da acreção esférica pressupõe, em geral, a presença de
um campo magnético capaz de juntar as partículas de gás mas suficientemente fraco
para que se possam ignorar outros efeitos do mesmo (Shapiro 1973b).
Consideremos agora um buraco negro de Schwarzschild mergulhado numa região
HII onde existe um campo magnético não desprezável. O plasma desliza livremente
pelas linhas de campo radiais sendo apenas restringido pelas linhas de campo
transversais. O fluxo dinâmico de gás em acreção, numa região HII típica (T∞=104K,
n∞=1cm-3), não é substancialmente alterado pela presença de um campo magnético
(Shapiro 1973b).
Com a aproximação ao buraco negro os electrões tornam-se ultra-relativistas. É
assim de esperar que uma fracção da luminosidade total corresponda à radiação de
sincotrão emitida por esses electrões. O espectro correspondente incide sobretudo na
Buracos Negros 32
região do infravermelho (Figura 1.13), sendo a luminosidade de sincotrão dada por
(Shapiro 1973b):
( )W cm
n
M
M
K01
T105L
2
3
33
418
s
×≈
−∞
−
∞
r
(1.40)
Figura 1.13 - Espectro continuo da emissão de radiação de sincotrão resultante da acreção de gás para um
buraco negro de Schwarzschild de 1M mergulhado numa região HII. O valor indicado sob cada uma das
linhas corresponde a n∞ em cm-3 (adaptado de Shapiro 1973b).
onde T∞ e n∞ correspondem respectivamente à temperatura e à densidade de partículas
em pontos distantes do buraco negro. Neste caso a eficiência da conversão entre massa e
energia (expressão 1.39) é, para a acreção por um buraco negro de 1M , da ordem de
10-6.
Ao longo dos últimos anos têm sido desenvolvidos modelos, para a acreção
esférica, onde se procuram atingir valores de eficiência superiores (cf. Chakrabarti
1996).
Ipser & Price (1982) considerando o aquecimento do gás pela dissipação de
energia magnética construíram modelos onde a eficiência da conversão entre massa e
energia pode atingir, no caso de um buraco negro de 10M , valores da ordem de 10-2.
Buracos Negros 33
Maraschi et al. (1982) considerando a dispersão de Compton como o mecanismo
de arrefecimento dominante construíram um modelo no qual um buraco negro de 10M ,
com uma taxa de acreção de 1.6×10-9M ano-1, teria uma eficiência de ≈0.38.
Colpi et al. (1984) consideram um modelo de um plasma de duas temperaturas
(uma para os electrões e outra para os protões) sendo a eficiência, no caso de um buraco
negro de 10M , da ordem de 10-3.
1.4.2 Buracos negros em sistemas binários
i) Discos de acreção de matéria
Mais de 50% das estrelas da Nossa Galáxia pertencem a sistemas binários. Se uma
dessas estrelas tiver massa suficiente então pode evoluir para o estado de buraco negro
(Secção 1.3.1), sem que seja destruído o binário. Estima-se assim a existência de um
grande número de sistemas binários compostos por uma estrela (normal) e por um
buraco negro (e.g. Shakura & Sunyaev 1973).
Os ventos estelares constituem um dos principais mecanismos de perda de massa
por parte das estrelas. No caso dos sistemas binários existe um segundo processo de
perda de massa bastante mais eficiente. Quando uma estrela abandona a sua fase de
sequência principal, o seu volume expande e a estrela passa para a fase de gigante
vermelha. Se nessa expansão for preenchido todo o volume do lóbulo de Roche então a
estrela expele parte da sua matéria para o exterior, principalmente pelo ponto de
Lagrange L1 (Figura 1.14) Se o par da estrela, no sistema binário, for um buraco negro,
então alguma da matéria expelida pode cair na esfera de influência do campo
gravitacional deste último. Existem, assim, dois cenários a considerar (Shakura &
Sunyaev 1973):
A: a estrela normal enche todo o lóbulo de Roche e nesse caso a transferência de
matéria ocorre sobretudo via ponto de Lagrange L1 (Figura 1.14). Devido à presença de
momento angular nessa matéria acaba por se formar um disco de acreção de matéria em
torno do buraco negro.
B: a estrela normal permanece sempre muito mais pequena do que o lóbulo de Roche e
nesse caso a transferência de matéria ocorre apenas sob a forma de vento estelar (Figura
Buracos Negros 34
1.15). Neste cenário temos o caso da acreção esférica por um buraco negro em
movimento num meio uniforme (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983).
O objectivo de qualquer modelo teórico para discos de acreção consiste em
explicar de forma satisfatória os dados observacionais recolhidos e, se possível, prever
outras características que se possam vir a observar. Um dos primeiros modelos
propostos
Figura 1.14 - Transferência de matéria via ponto de Lagrange L1 num sistema binário composto por uma
estrela e um buraco negro Esta situação ocorre quando a estrela, ao expandir-se, acaba por encher todo o
lóbulo de Roche. Forma-se um disco de acreção em torno do buraco negro (adaptado de Shakura &
Sunyaev 1973).
Figura 1.15 - Transferência de matéria via vento estelar num sistema binário composto por uma estrela e
um buraco negro Esta situação ocorre quando a estrela, mesmo depois de se expandir, apresenta um
tamanho inferior ao lóbulo de Roche (adaptado de Shakura & Sunyaev 1973).
Buracos Negros 35
propostos foi o do disco fino (Shakura & Sunyaev 1973). No Anexo B é feita uma
introdução com maior detalhe a este modelo de disco. Aqui vamos apresentar apenas
um breve resumo do mesmo.
As partículas do disco perdem momento angular, devido à fricção entre camadas
adjacentes, sendo assim obrigadas a descrever um movimento espiral em direcção ao
buraco negro. Durante esse movimento parte da energia gravítica libertada irá aumentar
a energia cinética da rotação do disco e parte é transformada em energia térmica que é
radiada para fora da superfície do disco. O espectro de emissão, relativo a essa radiação,
pode obter-se a partir da resolução das equações da conservação da massa, da energia e
do momento angular (axial e vertical). Deve ser também especificada uma lei da
viscosidade capaz de explicar o transporte eficiente de momento angular para o exterior
e, consequentemente, da queda de matéria para o interior (ver discussão sobre a
viscosidade em Pringle 1981, Chakrabarti 1996 ou no Anexo B).
A luminosidade total emitida pelo disco é muito sensível à taxa de acreção de
matéria pelo buraco negro (admitindo que a eficiência no transporte de momento
angular para o exterior é constante ao longo de todo o disco). Existe uma taxa de
acreção crítica (≈3×10-8M ano-1) à qual corresponde a luminosidade de Eddington5,
LE≈1031M/M (W). Por exemplo, para uma taxa de acreção de 10-12M ano-1, temos,
para um buraco negro de 1M , uma luminosidade de 1027W (Shakura & Sunyaev 1973).
Na Figura B.5 (Anexo B) são apresentadas as curvas espectrais dos vários
processos responsáveis pela emissão de radiação no disco. Na Figura B.6 é apresentada
a curva do espectro de emissão integral para vários valores da taxa de acreção e para
diferentes valores da eficiência na remoção do momento angular. A emissão incide
sobretudo entre o infravermelho e os raios X (Shakura & Sunyaev 1973).
O modelo de disco geometricamente fino de Shakura e Sunyaev (1973) não é o
mais apropriado para descrever a emissão de raios X registada em alguns sistemas
binários, como por exemplo, Cyg X1 (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983; Secção 3.3.1).
Tornou-se então necessário o desenvolvimento de outros modelos de discos de
acreção (cf. Chakrabarti 1996). Uma escala fundamental no que respeita a discos de
acreção é a taxa de acreção de Eddington que pode ser escrita como (e.g. Abramowicz
et al. 1988):
5 Luminosidade acima da qual a força devida à pressão da radiação emitida excede a força gravítica (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983).
Buracos Negros 36
1142EE kgs
M
M107.1
c
L
dt
dM −
×≈=
r
Nos discos geometricamente finos, como o de Shakura e Sunyaev, a taxa de
acreção é sempre inferior à taxa de acreção de Eddington. Ainda neste domínio temos,
por exemplo, o modelo de disco de duas temperaturas (White & Lightman 1989) cuja
luminosidade pode atingir os 0.1LE.
Abramowicz et al. (1988) consideram um modelo de disco com dM/dt≈dME/dt
para o qual a luminosidade atinge valores da ordem de LE/16.
Quando a acreção ocorre em regime supercrítico (taxa de acreção superior à taxa
de acreção de Eddington) a radiação emitida exerce uma forte pressão sobre a matéria
do disco fazendo com que este se torne espesso (altura≈raio). Para este caso foram
também desenvolvidos uma série de modelos (cf. Chakrabarti 1996) para os quais a
luminosidade é ∼4LE.
ii) Oscilações quase periódicas
Um dos aspectos observados em alguns binários de raios X, onde se julga existir
um buraco negro com um disco de acreção à sua volta, são as oscilações quase-
periódicas (QPO's - quasi periodic oscillations) (cf. Tabela 3.3).
As frequências das QPO's observadas vão desde os 0.05Hz aos 450Hz (e.g.
Remillard et al. 2002). Não existe ainda uma explicação satisfatória para a natureza das
QPO's (e.g. Chakrabarti 1996). O modelo mais simples (e.g. McClintock 1998)
relaciona a frequência observada com a frequência do movimento do gás na órbita
estável mais interior (Secção 1.2.2). Outros modelos referem, por exemplo, a
competição entre as várias escalas temporais presentes no processo de acreção (e.g.
Chakrabarti 1998) ou a oscilação de ondas de choque junto ao buraco negro (e.g.
Chakrabarti 1996).
iii) Piscar rápido
O piscar rápido (flickering) observado no espectro de muitos dos candidatos a
buraco negro (Tabela 3.3) consiste em oscilações aperiódicas bastante rápidas (e.g. Yu
Buracos Negros 37
& Li 1999). No caso de Cyg X1 (Secção 3.3.1) essas oscilações apresentam períodos de
∼1s e, por exemplo, no caso de GX339-4 de ∼10-4s (e.g. Cowley 1992).
iv) Linhas de ferro
Foram detectadas linhas de emissão e de absorção no espectro de raios X de
alguns sistemas binários candidatos a alojar um buraco negro (Tabela 3.3). Essas linhas,
que aparecem entre os 6KeV e os 8KeV, são atribuídas a processos de emissão ou
absorção de electrões do Ferro da camada K (e.g. Cui et al. 2002).
Quando um electrão, num átomo de ferro, transita da camada L para a camada K
liberta um fotão de 6.4KeV (e.g. Fabian et al. 2000). A linha espectral correspondente,
designada por linha Kα, é desviada para o vermelho pelo campo gravítico do buraco
negro (Secção 1.2.3) sofrendo também o desvio causado pelo efeito de Doppler (que
tanto poderá ser na direcção do azul como na do vermelho consoante o disco se
aproxime ou se afaste).
v) Função de massa
Num sistema binário as estrelas orbitam em torno de um centro de massa comum.
Nalguns casos é detectável apenas uma das estrelas. No entanto sabe-se que outra
estrela deve estar lá em virtude das oscilações regulares registadas para o movimento da
estrela observável. Esta companheira "invisível" pode ser uma anã branca, uma estrela
de neutrões, uma estrela pouco luminosa ou um buraco negro.
Consideremos então um sistema binário cujas estrelas têm massas M1 e M2.
Vamos convencionar que a estrela de massa M1 é a componente visível e que a estrela
de massa M2 é o candidato a buraco negro. A terceira Lei de Kepler para o sistema pode
escrever-se como (e.g. Motz & Duveen 1966):
( )2orb
321
2
21 T
rr
G
4MM
+=+ (1.41)
Buracos Negros 38
onde r1 e r2 são as distâncias entre cada uma das estrelas e o centro de massa do sistema
e Torb é o período orbital do binário. Atendendo a que, no referencial do centro de
massa, é 2211 rMrM = podemos escrever a equação (1.41) como:
( ) 2orb
31
2
221
32
T
r
G
4
MM
M=
+
Figura 1.16 - Ângulo de inclinação, i, do sistema binário em relação ao observador. Quando i=90º o
observador está sobre o plano orbital do binário. Quando i=0º o observador está sobre a perpendicular ao
plano orbital do binário que passa por M2.
A velocidade orbital da estrela de massa M1 pode escrever-se na forma
v1=(2π/Torb)r1. Substituindo esta velocidade na expressão anterior, por forma a eliminar
r1, resulta:
( ) G2
Tv
MM
M orb31
221
32 =
+
Este resultado estabelece a relação entre as massas das duas componentes do
binário com o respectivo período orbital e a velocidade de translação da estrela visível.
Na prática o que podemos medir é a componente radial (segundo a linha de visão do
observador) de v1 com a ajuda do efeito de Doppler. Assim na expressão anterior deve
figurar o ângulo de inclinação do sistema em relação ao observador. Vamos definir esse
ângulo de inclinação, que designaremos por i, como sendo o ângulo entre a linha de
visão e a perpendicular ao plano orbital do sistema (Figura 1.16). Sendo assim a
expressão anterior adquire a forma:
Buracos Negros 39
( )( )( ) G2
Tv
MM
iSinM 31
221
32 =+
(1.42)
O lado esquerdo de (1.42) define a chamada Função de Massa (e.g. Cowley 1992)
do sistema binário a qual designaremos por f(M):
( )( )( )2
21
32
MM
iSinM)M(f
+= (1.43)
O valor de f(M) pode ser determinado avaliando o lado direito de (1.42). Fazendo
M1=0 e i=90º o valor de f(M) traduz o limite inferior para o valor da massa M2, ou seja,
da massa do candidato a buraco negro (e.g. Cowley 1992).
1.4.3 Microlentes gravitacionais
Quando um raio de luz atravessa o campo gravítico criado por uma determinada
massa sofre um certo desvio na direcção da respectiva trajectória. Este resultado surge
como uma consequência directa da TRG e já foi testado com êxito durante eclipses
solares (e.g. Kenyon 1991). Quando, por exemplo, a luz proveniente de um enxame de
galáxias distantes é desviada por um outro, mais próximo de nós, fornam-se imagens
múltiplas do primeiro. A este fenómeno chamamos efeito de lente gravitacional e ao
corpo responsável pelo desvio da luz chamamos lente gravitacional (Anexo C). Se a
lente estiver alinhada com a fonte de luz distante então a imagem formada adquire a
forma de um anel (Figura 1.17) usualmente designado por Anel de Einstein. O raio do
Anel de Einstein é dado pela expressão6 (e.g. Mao & Paczynski 1996):
( )f
lflsE D
DDDr2R
−= (1.44)
6 A expressão (1.44) já está adaptada para buracos negros.
Buracos Negros 40
onde rs é o raio de Schwarzschild da lente dado por (1.3), Dl é a distância entre o
observador e a lente e Df é a distância entre o observador e a fonte luminosa de fundo
(Figura 1.17).
No caso de um corpo de massa estelar podem ser produzidas várias microimagens,
ou seja, imagens separadas por apenas alguns microsegundos de arco. Estas imagens
não podem ser resolvidas, presentemente, por nenhum telescópio. Existe, no entanto,
outro fenómeno que ocorre simultaneamente. Este, ao qual se deu o nome de efeito de
aaaaaa
Figura 1.17 - Se a fonte S, a lente L e o observador O estiverem alinhados então este último regista uma
imagem em forma de anel designada por Anel de Einstein. Df é a distância entre o observador e a fonte e
Dl a distância entre o observador e a lente.
microlente, consiste na ampliação da luz proveniente das fontes de fundo (e.g.
Schneider et al. 1992).
A escala de tempo característica para uma microlente é dada pelo tempo de
atravessamento, tE, do anel de Einstein (e.g. Bennett et al. 2002a):
( )f
lflEE D
DDDGM
cv
4
v
R2t
−==
⊥⊥
(1.45)
onde RE é o raio do anel de Einstein (1.44), v⊥ é a velocidade transversal da lente e M a
respectiva massa. Note-se que quanto maior for a massa da lente e quanto menor for a
respectiva velocidade transversal maior será o tempo de atravessamento.
Buracos Negros 41
Para grande parte dos eventos as massas determinadas, tendo em conta o
parâmetro tE, são, em regra geral, grosseiras. Não é possível distinguir entre um buraco
negro de 7M e uma estrela pouco luminosa de 0.5M (e.g. Bennett et al. 2002a).
A ampliação por uma microlente é dada pela expressão (e.g. Bennett et al.
2002a):
( ) ( ) ( )2
E
0
2
E2
2
t
tt2
R
btu com
4uu
2utA
−+
=
+
+= (1.46)
Figura 1.18 - Variação da magnitude da fonte de fundo com o tempo para várias distâncias de
aproximação (p=b/RE) da lente à linha de visão do observador (Paczynski 1996).
onde t0 corresponde ao instante de maior aproximação angular entre a fonte e a lente e b
é a distância de maior aproximação da lente à linha de visão do observador. No gráfico
da Figura 1.18 está representada a variação da ampliação da magnitude da fonte com o
tempo para vários valores de p=b/RE.
Para os eventos mais demorados, normalmente devidos a lentes de maior massa, é
possível medir, para além de tE, o desvio na curva de luz da microlente provocado pela
paralaxe. Tipicamente um evento dura entre um a dois meses o que é pouco para que se
possa medir a paralaxe (Bennett et al. 2002a). Se o movimento orbital de uma fonte
binária imitar o movimento orbital da Terra então a curva de luz observada poderá ser
confundida com a de uma microlente (Bennett et al. 2002a). Podemos designar este
efeito, que é o reverso da paralaxe, por "exalarap".
Buracos Negros 42
No caso de existir paralaxe u(t), na equação (1.46), deve ser substituído por uma
expressão mais complexa onde entram algumas coordenadas e parâmetros orbitais da
Terra (e.g. Bennett et al. 2002a).
Existindo paralaxe mensurável é possível medir, a partir de A(t), a projecção,
segundo a posição do Sol, da velocidade transversal da lente. Esta é dada por (e.g.
Bennett et al. 2002b):
lf
f
DD
Dvv~
−= ⊥ (1.47)
Dispomos assim de duas medições (tE e v~ ) para três incógnitas (M, v⊥ e Dl) o que
nos permite escrever a massa M em função da distância Dl. Assim a partir de (1.45) e
(1.47) obtemos:
lf
lf22
E2
DD
DD
G16
ctv~M
−= (1.48)
Nos projectos em curso (e.g. OGLE (Udalski et al. 1992); MACHO (Alcock et al.
1993); EROS (Aubourg et al. 1993)) as estrelas de fundo pertencem normalmente ou ao
bolbo galáctico ou às Nuvens de Magalhães pelo que a distância Df pode tomar-se como
um valor conhecido. Por exemplo, no caso de estrelas do bolbo galáctico, o valor típico
de Df é de 8kpc (e.g. Bennet et al. 2002b).
1.4.4 Dinâmica estelar e do gás ionizado
Durante as últimas décadas cresceram as suspeitas, baseadas em evidências
observacionais, de que muitas galáxias alojam na sua região central objectos compactos
de grande massa (MDO's - Massive Dark Objects). Esses MDO's poderão ser buracos
negros supermassivos.
A pesquisa de buracos negros supermassivos, no centro de galáxias, faz-se, por
exemplo, a partir da observação da dinâmica estelar ou do gás ionizado em regiões
próximas do centro dessas galáxias. Atendendo a que a cinemática do gás é facilmente
alterada por forças de carácter não gravítico (campos magnéticos, pressão da radiação,
Buracos Negros 43
vento estelar, etc) as observações efectuadas a partir da dinâmica estelar são, em geral,
mais seguras (e.g. Kormendy & Richstone 1995).
A técnica de pesquisa, baseada na dinâmica estelar, é melhor descrita no caso ideal
da simetria esférica. Nesse caso a massa encerrada no interior de um raio r é dada, a
partir da equação de Boltzmann para um gás sem colisões, por (e.g. Kormendy &
Richstone 1995):
( )
−−
−−−−+=
2r
2
2r
2
2r
2r
2rot
1
1
rlnd
lnd
rlnd
lnd
G
r
G
rvrM (1.49)
onde G é a constante de gravitação universal; vrot é a velocidade de rotação do sistema;
σr, σθ e σϕ são as componentes, num sistema de coordenadas esféricas, da velocidade de
dispersão e ν é a densidade de massa da população em relação à qual medimos a
cinemática.
O valor de ν(r) é estimado a partir do brilho observado. Os brilhos, velocidade de
rotação e velocidade de dispersão observados correspondem naturalmente a valores
projectados. Por sua vez as quantidades presentes na equação (1.49) não estão
projectadas. Para podermos aplicar esta equação torna-se então necessário derivar
quantidades não projectadas que estejam de acordo com os valores observados (e.g.
Kormendy & Richstone 1995).
Bons indicadores da presença de um MDO são um rápido aumento da relação
massa/luminosidade (M/Lv) em direcção ao centro. No caso de uma população estelar
velha o valor M/Lv situa-se entre 1 e 10 (e.g. Kormendy & Richstone 1995). Se o valor
de M/Lv, aumentar em direcção ao centro atingindo valores muito superiores a 10 então
estamos perante um MDO. Esse MDO poderá ser um buraco negro supermassivo mas
também um enxame de estrelas com massas pequenas, anãs castanhas, restos de estrelas
ou matéria escura.
Em modelos com distribuições de velocidades anisotrópicas é muito mais difícil
provar a existência de um MDO central pois, nesse caso, são inúmeras as distribuições
de massa que podem explicar os dados observados. Maximizando a anisotropia
podemos minimizar o valor da massa central. No entanto, se mesmo assim M/Lv
continuar a aumentar em direcção ao centro então temos quase de certeza um MDO
Buracos Negros 44
(e.g. Kormendy & Richstone 1995). O passo seguinte consiste então em confirmar ou
excluir a hipótese buraco negro.
Provar que um MDO é um buraco negro supermassivo implica medir velocidades
relativistas em órbitas de apenas alguns raios de Schwarzschild. No entanto, dadas as
enormes distâncias a que se encontram os candidatos a buraco negro supermassivo
(Tabela 3.1), incluindo o do núcleo da Nossa Galáxia (Secção 3.1.1), isso não é (ainda)
possível. A alternativa mais provável ao buraco negro é o enxame de restos de estrelas.
Se conseguirmos excluir esta hipótese então teremos dado um grande passo com vista à
confirmação da existência de um buraco negro (e.g. Kormendy & Richstone 1995).
Define-se raio de influência do buraco negro por (Kormendy & Gebhardt 2001):
2inf
GMr = (1.50)
onde σ é a velocidade de dispersão na região central e M a massa encerrada nessa zona.
Um indicador da resolução relativa com que são feitas as observações é dado pela
relação (Kormendy & Gebhardt 2001):
*
infr
rS = (1.51)
onde σ* é a resolução espacial com que foi possível observar o candidato. Em geral σ*
corresponde ao raio mais interior utilizado para a determinação dinâmica da massa
(Kormendy 2003).
1.4.5 MASERs
A amplificação de microondas por emissão estimulada de radiação, normalmente
designada por MASER (Microwave Amplification Stimulated Emission of Radiation),
constitui um dos processos mais seguros na detecção de buracos negros supermassivos.
A emissão estimulada acontece quando um átomo ou molécula num estado
excitado ao ser submetido a um fotão de comprimento de onda adequado desce para um
nível energético inferior, emitindo um fotão que se junta ao primeiro (que serviu apenas
para estimular a emissão). Se este fenómeno for mais importante que a absorção, o que
Buracos Negros 45
acontece se o meio tiver mais átomos excitados do que no nível normal, o meio
comporta-se como um amplificador emitindo uma risca bastante intensa (e.g. Lequeux
1997).
Se na região central de uma galáxia for produzida energia suficiente para excitar
as moléculas de água das nuvens moleculares que eventualmente existam nas
imediações então teremos uma emissão estimulada bastante forte. O estudo destes
masers pode ser feito com grande resolução a partir da interferometria rádio. Se o
movimento de rotação dos masers respeitar as Leis de Kepler então podemos determinar
de forma bastante segura o valor da massa central (e.g. Ferrarese & Merritt 2002). É o
que acontece no caso de NGC 4258 (Secção 3.1.2).
Radiação de Hawking 45
2 Radiação de Hawking
2.1 Emissão de radiação por buracos negros
Como já foi referido (Secção 1.2.8) existe uma forte analogia entre as Leis da
Termodinâmica e a mecânica dos buracos negros. Nessa analogia é possível atribuir ao
buraco negro uma temperatura proporcional à gravidade superficial do mesmo. Na
Relatividade Geral Clássica a temperatura de um buraco negro corresponde ao zero
absoluto não havendo qualquer relação física entre esta e a gravidade superficial. Por
essa razão a analogia entre as referidas leis era inicialmente vista como uma mera
curiosidade matemática despida de qualquer significado físico (e.g. Wald 1997).
Esta visão mudou dramaticamente quando Hawking (1974, 1975) provou que os
buracos negros não são realmente negros. Eles radiam energia continuamente em todos
os comprimentos de onda. Esta revelação é baseada na hipótese de que o campo
gravítico do buraco negro cria partículas emitindo-as para o infinito à mesma razão que
um corpo negro emitiria se tivesse uma temperatura igual à determinada pela gravidade
superficial do primeiro.
O espaço "vazio" não pode ser completamente vazio. Se uma dada região do
espaço fosse efectivamente vazia isso significaria que nessa região os campos, como por
exemplo o gravítico e o electromagnético, teriam de ser exactamente zero. Nesse caso
tanto o valor do campo, como a respectiva variação seriam conhecidos de forma exacta.
Esta situação contraria claramente o Princípio da Incerteza de Heisenberg (PIH; e.g.
Cohen-Tanoudji et al. 1977). Tem assim de existir uma quantidade mínima de incerteza
associada ao campo em qualquer ponto do espaço (e.g. Hawking 1994).
Podemos pensar nessa incerteza como flutuações de pares de partículas de luz ou
gravitação que, aparecendo juntas num dado momento, afastam-se e depois voltam a
juntar-se num momento posterior aniquilando-se mutuamente. Estas partículas não
podem ser observadas directamente através de qualquer detector e, por isso, dizem-se
virtuais. O PIH também prevê a formação de pares virtuais de partículas com massa
como, por exemplo, electrões. Neste caso o par será do tipo partícula-antipartícula. As
antipartículas de luz e de gravitação correspondem às respectivas partículas (e.g.
Hawking 1994).
Radiação de Hawking 46
Para obtenção dos seus resultados Hawking recorreu às técnicas da Teoria
Quântica do Campo. Podemos no entanto atingir o essencial dos mesmos a partir de
uma série de considerações mais elementares. Vamos então, nesta ordem de ideias,
seguir uma abordagem proposta por Schutz (1985). Essa abordagem visa apenas
apresentar os argumentos e ideias que estão por detrás dos resultados de Hawking, não
consistindo, de forma alguma, numa discussão rigorosa dos mesmos.
O PIH pode ser escrito na forma:
=∆∆ tE (2.1)
onde ∆E é a incerteza associada à energia de uma partícula que fica num dado estado
quântico durante um intervalo de tempo ∆t.
Note-se que a criação de um par partícula-antipartícula viola a conservação da
energia. No entanto, se o tempo de vida do par for inferior ao intervalo ∆t dado por (2.1)
então não ocorre a violação de qualquer Lei Física. Podemos dizer que, ao passo que em
larga escala o Princípio da Conservação da Energia é sempre verificado, em pequena
escala o mesmo pode ser violado.
O espaço existente junto ao exterior do horizonte de acontecimentos de um buraco
negro é espaço ordinário e localmente plano. Assim, a formação de pares partícula-
antipartícula deve ocorrer também nessa região.
Considere-se então a formação de um par de fotões de energias +E e -E. No
espaço-tempo plano o fotão de energia negativa não se pode propagar livremente pelo
que terá de se reencontrar forçosamente com o seu companheiro de energia positiva por
forma a aniquilarem-se mutuamente. No entanto, se o par for produzido suficientemente
perto do horizonte de acontecimentos então o fotão de energia negativa tem uma
segunda alternativa a qual consiste na possibilidade de atravessar para a região interior
ao horizonte de acontecimentos antes que ocorra o aniquilamento (Figura 2.1).
Na métrica de Schwarzschild as órbitas exteriores ao horizonte e com energias
negativas correspondem a partículas deslocando-se no sentido do passado e por isso são
excluídas. O mesmo não acontece no interior do horizonte onde são também permitidas
órbitas com energias negativas. Quer isto dizer que, uma vez ultrapassado o horizonte
de acontecimentos o fotão de energia negativa pode propagar-se livremente como
qualquer outro fotão real.
Radiação de Hawking 47
Figura 2.1 - Formação de pares partícula-antipartícula junto ao horizonte de acontecimentos. A- o par
forma-se e desaparece sem atravessar o horizonte. B- o par forma-se do lado de fora e ambas as partículas
atravessam o horizonte. C- o par forma-se do lado de fora mas apenas a partícula de energia negativa
atravessa o horizonte.
Para entendermos o comportamento de um fotão no interior do horizonte de
acontecimentos é necessário considerar um observador local. Qualquer partícula livre,
no interior do horizonte de acontecimentos, está necessariamente em movimento no
sentido de r decrescente. Consideremos então que a 4-velocidade do nosso observador é,
por simplicidade, da forma:
( )0,0,U,0U r=
Aplicando a condição de normalização:
1gUUU.U rrrr ==
com grr=g11 dado por (1.4), resulta:
2m)(r 1r
m2U r <−−=
onde o sinal negativo indica que o movimento decorre no sentido de r decrescente.
Podemos agora então considerar o movimento de um fotão no interior do buraco negro.
Radiação de Hawking 48
A energia do fotão, para o observador local, que designaremos por E*, é dada por:
2/1r
rrrr* 1
r
m2PgUPU.PE
−
−−===
onde o momento radial Pr é dado por dr/dτ (expressão 1.10 escrita na forma
contravariante). Deve ser E*>0 pois só nessas condições é que a geodésica é permitida.
Desde que o fotão se desloque no sentido de r decrescente (Pr<0), como de resto
estamos a considerar, o resultado anterior conduz de facto a um valor positivo. Além
disso não são impostas quaisquer restrições ao sinal de E. Concluímos assim que os
fotões podem viajar no interior do horizonte de acontecimentos, quer tenham E>0 ou
E<0, desde que se desloquem para dentro (Pr<0). Este fenómeno surge como uma
consequência directa da inversão de papeis entre espaço e tempo quando é cruzado o
horizonte de acontecimentos.
No caso de o fotão de energia negativa escapar para o buraco negro então o seu
companheiro, de energia positiva, fica livre. Este fotão pode seguir o mesmo destino do
seu companheiro mas também tem a possibilidade de escapar para o infinito como uma
partícula de luz real. Esta segunda hipótese é particularmente interessante.
Com vista a determinar uma expressão para a energia deste fotão (E>0) vamos
analisar as flutuações quânticas a partir de um referencial em queda livre no exterior do
buraco negro. Neste tipo de referencial, onde o espaço-tempo é localmente plano, as
flutuações comportam-se como se não existisse curvatura. Consideremos então que o
nosso referencial, que pode ser encarado como uma partícula de matéria, é abandonado
a partir do repouso num ponto exterior ao horizonte de acontecimentos caracterizado
por r=2m+∆m (com ∆m<<2m). O referencial irá seguir uma geodésica radial que pode
ser descrita pela equação (1.12) com L=0 e δ=1. O integral da energia que aparece nesta
equação, que aqui será designado por E' (por forma a evitar qualquer confusão entre este
valor e a energia E do fotão), sendo uma constante, pode ser determinado em qualquer
ponto, particularmente em r=2m+∆m. Temos então:
m2
m
mm2
m21'E ≈
+−= (2.2)
Radiação de Hawking 49
O referencial (partícula) atinge o horizonte de acontecimentos num tempo próprio
finito dado, a partir da equação (1.12), por:
+
+−
−=m2
mm2
mm2
m2
r
m2
dr
Integrando e considerando a aproximação até a primeira ordem em ∆m vem:
mm22 = (2.3)
Se interpretarmos este intervalo de tempo como correspondendo a uma flutuação
quântica do campo, podemos, substituindo (2.3) em (2.1), estimar o valor da energia do
fotão segundo o observador no referencial local. Essa energia é então dada por:
mm22
== (2.4)
Esta energia pode ainda ser escrita em termos do 4-momento, P
, e da 4-
velocidade do observador local, ( )0,0,0,UU t=
, como se mostra a seguir:
tttt gUPU.P ==
(2.5)
Nesta expressão o momento Pt corresponde ao integral do movimento (do fotão)
dado pela expressão (1.8). O seu valor E, constante ao longo de toda a trajectória,
corresponde à energia atribuída ao fotão por um observador no infinito. Os valores de Ut
e de gtt podem ser avaliados no ponto de partida do fotão, ou seja, em r=2m+∆m. No
caso de gtt vem:
m
m2
r
m21
1
g
1g
mm2r
tt
tt ≈
−==
+=
Radiação de Hawking 50
Para Ut que é, por definição, igual a dt/dτ, temos com a ajuda de (1.8) e de (2.2):
2/1
mm2r
t
m2
m
r
m21
'EU
−
+=
≈
−=
Fica então:
m2
mgUU tt
tt ≈=
Face às considerações anteriores podemos escrever, a partir de (2.5), a expressão
que relaciona a energia do fotão no referencial local, ξ, com a energia do fotão no
infinito, E, na forma:
m2
mE =
Este último resultado pode ser combinado com (2.4) obtendo-se a seguinte
expressão para a energia do fotão ao atingir o infinito:
m8
h
m4E
π==
(2.6)
É importante notar que a energia do fotão no infinito depende apenas da massa do
buraco negro e que quanto menor for essa massa mais energético será o fotão. O
resultado não apresenta qualquer dependência do ponto onde é originado o par de
fotões.
A temperatura de um gás de partículas clássicas pode relacionar-se com a energia
cinética de cada uma das partículas através da expressão:
kT2Ec = (2.7)
Radiação de Hawking 51
onde k é a constante de Boltzmann e a constante de proporcionalidade 2π foi
introduzida por conveniência. Considerando que os fotões são emitidos termicamente
vamos igualar a respectiva energia, dada por (2.6), à expressão (2.7). Fica então:
km8T
= (2.8)
Esta expressão, para a temperatura de um buraco negro de massa m, corresponde
ao resultado exacto encontrado por Hawking ao considerar o buraco negro como um
corpo negro. Na abordagem seguida anteriormente (Schutz 1985) não é possível mostrar
que assim é, de facto. No entanto, é facilmente aceitável que um buraco negro é, na sua
essência, um corpo negro, visto absorver toda a radiação incidente e emitir radiação
própria com origem em flutuações aleatórias.
A expressão (2.8) pode escrever-se em unidades não geometrizadas, substituindo
m por (1.2) e multiplicando tudo pela velocidade da luz. Obtemos então:
kGM8
cT
3
= (2.9)
onde a temperatura T é dada em graus Kelvin. Esta expressão pode ainda escrever-se de
uma forma mais sugestiva se substituirmos as constantes físicas pelos respectivos
valores e introduzirmos a massa solar M . Temos assim (e.g. Demianski 1985):
( )K M
M102.6T 8 r−×≈ (2.10)
Verifica-se que a temperatura de um buraco negro será tanto menor quanto maior
for a sua massa. Um buraco negro de 1M apresenta uma temperatura de apenas 6.2×10-
8 K.
Se um buraco negro emite radiação como um corpo negro então deve apresentar
um espectro de emissão contínuo com uma curva semelhante à que se representa na
Figura 2.2. A emissão ocorre para todos os comprimentos de onda, mas não com a
mesma intensidade. Para uma dada temperatura T existe um comprimento de onda λmax
para o qual a intensidade de emissão é máxima.
Radiação de Hawking 52
Figura 2.2 - Espectro da radiação do corpo negro em função do comprimento de onda, para várias
temperaturas. Note-se que, para cada temperatura existe um comprimento de onda máximo (λmax) para o
qual a curva tem um máximo. O valor de λmax, decresce com o aumento da temperatura e quanto maior o
valor desta mais alto é o pico da curva (Eisberg & Resnick 1985)
A temperatura T e o comprimento de onda λmax relacionam-se entre si, segundo a Lei de
Wien (e.g. Eisberg & Resnick 1985), pela expressão:
(Km) 10898.2T 3max
−×= (2.11)
É assim possível associar a cada buraco negro um comprimento de onda
(máximo). A um buraco negro de Schwarzschild com 1.5M , por exemplo, corresponde
uma temperatura de 4.1×10-8K e um comprimento de onda λmax≈70.6km. Trata-se
portanto de um buraco negro rádio-VLF (Figura 4.7).
Radiação de Hawking 53
2.2 Emissão de radiação de Hawking por buracos negros com carga eléctrica ou com rotação
A radiação de Hawking foi introduzida (na secção anterior), por simplicidade,
tendo por base o buraco negro de Schwarzschild. Assim, as expressões (2.8), (2.9) e
(2.10) são válidas apenas para buracos negros de Schwarzschild. Uma expressão mais
geral para a temperatura de buracos negros pode escrever-se, em unidades
geometrizadas, como (e.g. Wald 1984):
k2
T
= (2.12)
onde κ∼(∂m/∂A) é a gravidade superficial do buraco negro (Secção 1.2.8). No caso de
um buraco negro de Kerr-Newmann a gravidade superficial é dada por (e.g. Wald
1984):
2222
222
]amm[m2
am
−−−+
−−= (2.13)
Substituindo (2.13) em (2.12) obtemos a expressão para a temperatura dos buracos
negros de Kerr-Newmann:
2/1
2
222
m
a1
m
2
111
2
km8k2
T
−
+−
−+
==
(2.14)
A partir daqui podemos tirar imediatamente as expressões para a temperatura de
buracos negros de Kerr e buracos negros de Reissner-Nordström. Por exemplo, para um
buraco negro de Kerr (a≠0, ε=0) temos:
Radiação de Hawking 54
2/12
m
a11
2
km8T
−
−+
=
(2.15)
e para um buraco negro de Reissner-Nordström (a=0, ε≠0):
2/122
m
1
m
2
111
2
km8T
−
−
−+
=
(2.16)
No caso de um buraco negro de Schwarzschild a fracção mais à direita em cada
uma das expressões anteriores é igual à unidade pelo que recuperamos naturalmente a
expressão (2.8).
2.3 Emissão de radiação de Hawking por buracos negros uniformemente acelerados
O efeito de Unruh, consiste na "experiência pensada" da detecção de partículas por
um detector uniformemente acelerado no espaço-tempo de Minkowski (Unruh 1976).
Um observador uniformemente acelerado, também designado por observador de
Rindler, regista um banho térmico de partículas provenientes de um determinado
horizonte à sua volta. A temperatura associada a esse banho de partículas é dada pela
expressão (e.g. Wald 1984):
(K) A104T r25−×≈ (2.17)
onde Ar é a aceleração. Essas partículas são reais para observadores em aceleração não
existindo, contudo, para os restantes observadores. Um sistema uniformemente
acelerado pode ser visto como uma versão simplificada de um sistema em repouso no
exterior de um buraco negro. Estas considerações ilustram a ambiguidade existente na
definição de partícula no espaço-tempo curvo (e.g. Wald 1984, Ohnishi & Takagi
1992).
Radiação de Hawking 55
Figura 2.3 - Observador uniformemente acelerado no espaço-tempo de Minkowski. O ramo de hipérbole
χ=const. representa a linha do universo desse observador. Tanto no passado como no futuro do
observador existe um horizonte que não pode ser transposto. Esse horizonte, designado por horizonte de
aceleração, não encerra qualquer singularidade (adaptado de Kiefer 2002).
Considere-se um observador uniformemente acelerado ao longo do eixo XX' do
espaço-tempo de Minkowski. A linha do universo deste observador é uma hipérbole
como se mostra na Figura 2.3. Verifica-se que o observador encontra, no seu futuro, um
horizonte que não pode transpor. Esse horizonte que, ao contrário do horizonte de
acontecimentos de um buraco negro, não encerra qualquer singularidade, é designado
por horizonte de aceleração.
A região I, representada na Figura 2.3, é também designada por espaço-tempo de
Rindler. A métrica correspondente a este espaço-tempo, também designada por métrica
de Rindler, pode escrever-se, com duas das coordenadas espaciais suprimidas, como
(e.g. Kiefer 2002):
2222r
222 ddAdxdtds −=−= (2.18)
onde as coordenadas (ζ,χ) relacionam-se com (t,x) pela transformação:
=
)Acosh(
)Asinh(
x
t
r
r
Radiação de Hawking 56
Um buraco negro em rotação e a deslocar-se com movimento uniformemente
acelerado pode ser descrito pela denominada métrica C, a qual se pode escrever na
forma (e.g. Yu 1995):
( )( )
( ) ( ) ]dzaradt[
xG
]dzx1adt[
dx
xG
dr
f
1ds
222
22222
+−−
−−+−−=
(2.19)
onde:
( )2rrxA1f += , 222 xar +=
41
2r1
222 rAamr2r −+−= (2.20)
( ) 41
2r
23r
221 xAaxmA2xxG −−−=
2r
21 Aa1
1
+= ,
2r
2
2r
2
2 Aa1
Aa1
+
−=
Aqui m, a e Ar são parâmetros que correspondem respectivamente à massa,
rotação e aceleração do buraco negro. Quando Ar=0 a métrica C reduz-se à métrica de
Kerr na forma de Boyer-Lindquist (1.24). Por outro lado considerando m=a=0 a métrica
C reduz-se ao elemento de linha de Rindler (2.18).
Os horizontes para um buraco negro com rotação uniformemente acelerado
obtêm-se igualando (2.20) a zero. Esta equação tem, no caso geral, quatro raízes. Uma
dessas raízes é sempre negativa e, por isso, não tem significado físico. As restantes
podem escrever-se na forma (Yu 1995):
REDr 1h ++−= ; REDr 2h +−= ; REDr 3h −+= (2.21)
onde:
Radiação de Hawking 57
−−=
3
1
3
1Cos 1
A6
1D
r
+−=
3
1
3
1Cos 1
A6
1E
r
+=
3
1Cos 1
A6
1R
r
e:
4r
42r
2 AaAa141 +−=
0 com
ArcCos
3<<
−=
( )22r
22r
26r
64r
42r
2 Aa1Am54AaAa33Aa331 +−−−+=
Quando a aceleração Ar tende para zero temos um buraco negro de Kerr. Nesse
caso rh1 diverge enquanto que rh2 e rh3 coincidem, respectivamente, com (1.28) e (1.29).
Quando a tende para zero estamos perante um buraco negro de Schwarzschild
uniformemente acelerado. Nesse limite os horizontes podem escrever-se na forma (Yu
1995):
→
3
1Cos
A3
2r
r
1h (2.22)
+→
3
1
3
1Cos
A3
2r
r
2h (2.23)
0r 3h →
Radiação de Hawking 58
onde:
( )rmA33ArcCos −= (2.24)
Se considerarmos ainda m a tender para zero obtemos, nesse limite, o seguinte:
r1h A
1r → , 0r 2h → e 0r 3h →
A análise dos resultados anteriores permite constatar que rh1 corresponde ao
horizonte de Rindler, rh2 ao horizonte exterior do buraco negro e rh3 ao respectivo
horizonte interior.
Podemos avaliar a temperatura sobre qualquer um dos três horizontes, dados por
(2.21), através da expressão (Yu 1995):
( )22hi
rrii ar
dr
d
k4k2
T hi
+==
= (2.25)
onde k é a contante de Boltzmann, κ é a gravidade superficial, a é a velocidade de
rotação do buraco negro e ∆ é dado pela expressão (2.20).
A aceleração de um buraco negro de Schwarzschild não pode assumir qualquer
valor. De facto a partir de (2.24) tiramos que deve ser:
m33
1A r ≤ (2.26)
No caso de um buraco negro de Kerr uniformemente acelerado o valor de Ar deve
respeitar a condição (Yu 1995):
( )( ) 0maAama33ma54ma27A
a2m27ma33Aam266
r62442444
r
44222r
22
>−+++−
−−+−(2.27)
Radiação de Hawking 59
2.4 Emissão de partículas com massa
Na radiação de Hawking também podem ser emitidas partículas com massa. Estas
resultam, como no caso dos fotões, da separação de pares partícula-antipartícula
originados pelas flutuações do campo. Neste caso, para que a separação se concretize, é
necessário que as forças de maré originadas pelo campo gravítico do buraco negro
provoquem um afastamento entre ambas as partículas da ordem do respectivo
comprimento de onda de Compton, λc (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983). Este
comprimento de onda, característico para cada partícula com massa, é dado pela
expressão (e.g. Eisberg & Resnick 1985):
cm
h
0c = (2.28)
onde m0 é a massa da partícula.
No caso de um buraco negro de massa M, a força de maré, ao longo da distância
λc, é da ordem de (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983):
c30
r
MGm
Para obter a ordem de grandeza do trabalho efectuado podemos multiplicar a
expressão anterior por λc. Por outro lado esse trabalho deve ser equivalente à energia
necessária para criar as duas partículas. Sendo assim podemos escrever:
20
2c3
0 cm2r
MGm≈
Considerando que a separação ocorre muito próximo do horizonte de
acontecimentos, onde o campo gravítico é mais forte, vamos substituir r pelo raio de
Schwarzschild (1.3). Substituindo também λc por (2.28) tiramos que:
Radiação de Hawking 60
0
2p
0 m
mM
Gm
chM ≤⇔≤ (2.29)
onde mp é a massa de Planck. Esta expressão indica a ordem de grandeza da massa que
o buraco negro deverá ter para que possam ser emitidas, via radiação de Hawking,
partículas de massa m0.
2.5 Evaporação de um buraco negro
A luminosidade da radiação emitida por um corpo negro esférico é, segundo a Lei
de Stefan-Boltzmann, dada pela seguinte expressão (e.g. Harwit 1998):
42 Tr4L σπ= (2.30)
onde σ é a constante de Stefan-Boltzmann, r é o raio da superfície emissora e T a
respectiva temperatura. No caso do corpo negro ser um buraco negro de Schwarzschild
a superfície emissora corresponde ao horizonte de acontecimentos. Assim, r é dado pelo
raio de Schwarzschild (1.3) e T corresponde à temperatura de Hawking dada pela
expressão (2.9). Substituindo (1.3) e (2.9) em (2.30) vem:
( )W M
106.3
k4
c
MG
L
2
3242
223BN
×≈
=
(2.31)
Esta é a expressão para a luminosidade de um buraco negro de Schwarzschild
segundo um observador no infinito. Verifica-se que a energia responsável pela
luminosidade do buraco negro tem origem única e exclusivamente na respectiva massa.
A emissão de radiação por um buraco negro é, portanto, acompanhada por um
decréscimo da massa do mesmo.
Este decréscimo em massa pode entender-se como uma consequência do fluxo de
energia negativa que entra no buraco negro. De facto um fotão com uma energia
negativa tem a si associada uma massa também ela negativa (E=mc2). Assim, quando
Radiação de Hawking 61
um desses fotões penetra no buraco negro, a sua massa associada soma-se
algebricamente à massa (positiva) do buraco negro.
A expressão para a taxa da perda de massa pelo buraco negro pode ser escrita
como (e.g. Maki et al. 1996):
( ) ( )1-2
16
kgs M
Mf1034.5
dt
dM ×−= (2.32)
onde f é uma função que varia muito lentamente com a massa M do buraco negro. Para
M>>1014kg é f(M)≈1 (e.g. Maki et al. 1996) e para M<<108kg é f(M)≈15.4 (e.g.
Semikoz 1994).
O processo de perda de massa por um buraco negro é normalmente designado por
evaporação. O tempo de evaporação, para um buraco negro isolado, obtém-se a partir da
integração de (2.32). Tendo em conta que f varia muito lentamente com M (e.g. He &
Fang 2002) podemos considerar:
( )( )s
Mf106.1
MMt
17
3f
3i
evap×
−≈ (2.33)
que corresponde ao intervalo de tempo necessário para que a massa do buraco negro
passe do valor inicial Mi para o valor final Mf.
Consideremos, como exemplo, o intervalo de tempo necessário para que um
buraco negro de 2M , isolado, evapore reduzindo a sua massa para 1M . Substituindo
estas massas em (2.33) e fazendo f(M)=1 obtemos tevap ≈ 3.4×1074s ≈ 1.1×1067 anos.
Acontece que este valor é muito superior à idade estimada para o Universo, a qual é da
ordem dos 1010 anos (e.g. Unsöld & Baschek 2002), o que significa que os buracos
negros de massa estelar e superior praticamente não são afectados pela evaporação.
O conceito de evaporação torna-se, contudo, particularmente útil e interessante
quando aplicado a buracos negros de massa subestelar. Esses buracos negros podem ter-
se formado nos primórdios do Universo (Secção 1.3.2). Uma vez formados podem ter
evoluído evaporando e/ou aumentando as respectivas massas através da acreção de
matéria (Secção1.4.1). Muitos deles podem já ter evaporado completamente enquanto
que outros podem estar em fases mais ou menos avançadas do processo de evaporação.
Radiação de Hawking 62
Um buraco negro primordial com uma massa inicial de 1012kg estaria agora (admitindo
a idade do Universo igual a 1010 anos) na fase final da evaporação.
Acabamos de ver que durante o processo de evaporação o buraco negro perde
massa o que implica que a sua área, e portanto a sua entropia, diminua. Estamos perante
uma violação do Teorema da Área (Secção 1.2.8) ou, se quisermos, da Segunda Lei da
Termodinâmica para buracos negros. O Teorema da Área deve então ser substituído
pela (Bekenstein 1974):
Segunda Lei da Termodinâmica generalizada - Em qualquer
interacção, a soma das entropias de todos os buracos negros com a
entropia da matéria existente fora do buraco negro nunca decresce.
Um buraco negro estelar capta muito mais matéria, por acreção esférica (Secção
1.4.1), do que aquela que perde por evaporação. Por exemplo, um buraco negro de 1M
tem, de acordo com (2.32), uma taxa de evaporação da ordem de 10-43kgs-1. O mesmo
buraco negro, mergulhado numa região HII, apresenta uma taxa de acreção de matéria
(em regime adiabático) da ordem de 107kgs-1 (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983). Nestes
casos continua a ser perfeitamente aplicável o Teorema da Área (Secção 1.2.8). Apenas
para buracos negros mais pequenos (Secção 4.2), para os quais a evaporação é mais
rápida, podemos ter a situação contrária.
2.6 Explosões de buracos negros
Na emissão de fotões, neutrinos, gravitões e leptões, por um buraco negro,
podemos assumir que essas partículas se comportam como se fossem pontuais. O
mesmo não se pode dizer dos hadrões (Page & Hawking 1976) pois quando estes
começam a ser emitidos a ordem de grandeza da dimensão do buraco negro é igual ou
inferior à do alcance da força nuclear forte (10-15m). Os mesões π0 (Anexo D), por
exemplo, passam a ser emitidos, de acordo com (2.29), quando a massa do buraco negro
é de ≈4.2×1011kg, ou seja, quando o respectivo raio, dado por (1.3), é de ≈6.2×10-16m.
Para explicar a emissão de hadrões é então necessário recorrer a modelos baseados
na Teoria da Cromodinâmica Quântica (quantum chromodynamics - QCD) (e.g. Cline
Radiação de Hawking 63
& Hong 1992; Semikoz 1994; Belyanin et. al. 1996). Esta teoria, desenvolvida com o
objectivo de quantificar as interacções fortes entre quarks e gluões, permite explicar a
produção de jactos de matéria hadrónica emitidos na fase final da evaporação de um
buraco negro.
A escala energética associada à teoria QCD, habitualmente designada por ΛQCD, é
da ordem de 0.3GeV (e.g. Semikoz 1994) ao que corresponde uma temperatura da
ordem de 1012K.
Quando a temperatura do buraco negro excede este valor passam a ser emitidos
quarks e gluões em vez de partículas compostas. Nos jactos, compostos por quarks e
gluões, acabam por formar-se hadrões com especial predominância para os mesões π.
Alguns bariões (exceptuando protões e neutrões) e mesões K desintegram-se pouco
depois fornecendo mais mesões π (Anexo D). A ordem de grandeza do fluxo de mesões
π, formados a partir dos jactos de quarks e gluões, pode estimar-se através da expressão
(Belyanin et al. 1996):
)(s T107.2dt
dN 1-5.16 ×≈ (2.34)
Todos os três tipos de mesões π surgem no jacto com igual probabilidade. Os
mesões π+ e π- acabam desintegrando-se em partículas como electrões, positrões e
neutrinos. Porventura mais interessante, do ponto de vista observacional, é a
desintegração dos mesões πo. Estes decaem em dois fotões gama cada qual
transportando metade da energia da partícula inicial (Semikoz 1994). Assim, podemos
escrever o fluxo de fotões gama, resultantes da decomposição de mesões π0, na forma:
dt
dN
3
2
dt
dN = (2.35)
Mesmo depois de ultrapassado o limite a partir do qual as interacções fortes se
tornam importantes, o buraco negro continua a emitir directamente fotões gama
(Semikoz 1994). Designaremos por primários os raios gama emitidos directamente pelo
buraco negro e, por secundários os raios gama resultantes da desintegração dos mesões
πo.
Radiação de Hawking 64
Os raios gama secundários têm energias próximas dos 70MeV (metade da massa
do mesão π0) sendo este valor pouco dependente da temperatura do buraco negro
(Belyanin et al. 1996). Por seu turno os raios gama primários têm energias que serão
tanto maiores quanto mais avançada for a fase de evaporação do buraco negro (Secção
2.1).
O tempo de vida de um buraco negro na fase terminal da evaporação pode
determinar-se a partir da equação (2.33). Verifica-se que, por exemplo, um buraco negro
com uma massa de 107kg, evapora em cerca de 7 minutos. Quando a massa for 106kg o
tempo de evaporação será de apenas 0.4 segundos. Como são libertadas grandes
quantidades de fotões gama (cerca de 1030 no último caso) num curto intervalo de
tempo, ocorre uma espécie de explosão de raios gama (e.g. Semikoz 1994).
Desde os anos 70 que se observam na natureza explosões de raios gama (e.g.
Fishman & Meegan 1995) habitualmente designadas por GRBs (Gamma Ray Bursts).
Os GRBs observados têm durações que vão desde os 10-3s aos 103s sendo o
grosso da energia emitido entre 0.1MeV e 1.0MeV (e.g. Galama & Sari 2002). A
hipótese de que alguns dos GRBs observados estejam relacionados com a explosão de
buracos negros primordiais foi por diversas vezes equacionada (e.g. Page & Hawking
1976, Semikoz 1994, Belyanin et al. 1996).
Com o lançamento do satélite BeppoSAX (em 1996) tornou-se possível identificar
a posição dos GRBs de maior duração (>2s) com um erro de ≈3' (e.g. Vreeswijk et al.
2000). Foi então possível observar a emissão associada a esses GRBs noutras bandas do
espectro (rádio, óptico e raios X). A análise dos resultados veio revelar que estas
explosões ocorrem a distâncias da ordem dos Gpc (e.g. Galama & Sari 2002) não
podendo por isso ser atribuidas a explosões de buracos negros que seriam detectáveis
apenas a distâncias inferiores a 100AL (Secção 4.4.8).
Os GRBs de curta duração (<2s) nunca foram localizados com precisão suficiente
para que se possam efectuar observações dos mesmos noutras bandas do espectro pelo
que não são conhecidas as distâncias a que ocorrem (e.g. Galama & Sari 2002). Alguns
destes GRBs são consistentes com a explosão de buracos negros primordiais (e.g. Cline
et al. 1999).
Radiação de Hawking 65
2.7 Destino final de um buraco negro
A descoberta da emissão de radiação por buracos negros veio mostrar que estes
não podem ser, como se poderia pensar, o produto final estável do colapso gravitacional
de um corpo celeste. Hawking (1974) considerou o espaço-tempo de Schwarzschild
como um cenário fixo onde se propagavam os campos quânticos. Neste modelo
semiclássico um buraco negro de Schwarzschild isolado evapora continuamente
acabando por explodir (Secção 2.6). O produto final seria, neste caso, uma singularidade
nua, ou seja, um singularidade sem um horizonte de acontecimentos à sua volta.
A existência de uma singularidade nua levanta o problema da entrada de
informação não previsível no nosso Universo uma vez que nesse ponto deixariam de ser
aplicáveis as Leis da Física tal como as conhecemos (e.g. Page 1986). A ocorrência de
uma singularidade nua é de tal forma problemática que foi introduzida, por Roger
Penrose, a ideia da existência de um Censor Cósmico que as proíbe (e.g. d'Inverno
1992).
A emissão da radiação de Hawking é, como vimos (Secção 2.5), acompanhada por
um decréscimo da massa do buraco negro. Isto significa que o espaço-tempo de um
buraco negro em evaporação não é estático. A radiação de Hawking, emitida pelo
buraco negro, deve ter algum efeito sobre a geometria do espaço-tempo (e.g. Balbinot
1984). Esse efeito, habitualmente designado por contra-reacção (backreaction), não foi
considerado de inicio por Hawking (1974).
A inclusão da contra-reacção poderá revelar qual o destino final de um buraco
negro em evaporação (e.g. evapora completamente, deixa uma singularidade nua, deixa
um resto de massa macroscópica, deixa um resto de massa Planckiana...). Embora
tenham sido efectuados nos últimos anos vários estudos sobre esta matéria (e.g.
Balbinot & Barletta 1989, Brout et al. 1995, Diba & Lowe 2002, Chen 2003) não
existem resultados concludentes.
Candidatos a buraco negro 67
3 Identificação de objectos candidatos a Buraco Negro
3.1 Buracos negros supermassivos
Durante as últimas décadas cresceram as suspeitas, baseadas em evidências
observacionais, de que muitas galáxias alojam na sua região central buracos negros
supermassivos. As observações baseiam-se sobretudo em estudos da dinâmica estelar e
do gás ionizado (Secção 1.4.4) ou dos maser's (Secção 1.4.5).
Com observações de maior resolução efectuadas a partir do espaço,
nomeadamente pelo Huble Space Telescope (HST), alguns desses candidatos a buraco
negro viram o seu caso muito reforçado. Para além disso o HST permitiu descobrir
muitos mais candidatos (e.g. Kormendy & Gebhardt 2001).
Importa, no entanto, realçar que, apesar da evolução a nível de resolução, estamos
ainda a observar a vários raios de Schwarzschild do centro. Por exemplo, à distância do
centro da Galáxia (≈8×103pc), onde se presume existir um buraco negro de 3.7×106M
(Secção 3.1.1), uma resolução de 5×10-5'' (resolução máxima do VLBI - Very Long
Baseline Interferometry; e.g. Melia & Falcke 2001) corresponde a 2×10-6pc (≈0.4UA) o
que, neste caso, equivale a cerca de 6 raios de Schwarzschild.
Na Tabela 3.1 indicam-se as 37 galáxias em cujo núcleo se julga existir um buraco
negro supermassivo (e.g. Kormendy 2003). Alguns dos candidatos são mais seguros que
outros. Se tomarmos como indicador de segurança o valor de Sr (Secção 1.4.4) então
destacam-se claramente, da Tabela 3.1, cinco candidatos. São eles (por ordem
decrescente de segurança): Via Láctea, NGC4258, M31, NGC3115 e M87. Descrevem-
se em seguida, de forma muito resumida, algumas das características destes cinco
candidatos. Como contra-exemplo é indicado o caso da galáxia M33 em cujo centro se
provou não existir um buraco negro supermassivo (Secção 3.1.6).
Candidatos a buraco negro 68
Tabela 3.1 - Galáxias com candidatos a Buracos Negros Supermassivos. Na coluna 1 são indicadas as
37 galáxias em cujo centro se julga existir um buraco negro supermassivo (e.g. Kormendy 2003). Na
coluna 2 é indicado o tipo de evidência dinâmica (estelar, gás ou maser) que levou à identificação do
candidato a buraco negro. Na coluna 3 é indicado o tipo de galáxia e na coluna 4 a respectiva distância em
Mpc. Na coluna 5 é indicada a velocidade de dispersão, σ, medida fora da esfera de influência do buraco
negro. Na coluna 6 é indicada a massa do buraco negro e o respectivo erro. Por exemplo, dizer que a
massa de M32 é 2.9 (2.3-3.5)×106M significa que o valor da massa de M32 situa-se entre 2.3×106M e
3.5×106M sendo o seu valor mais provável igual a 2.9×106M . Na coluna 7 é indicado o raio de
influência do buraco negro (rinf) medido em arcos de segundo e na coluna 8 a resolução espacial, σ*, com
que os candidatados foram observados. Na coluna 9 é indicado o valor da relação Sr=rinf/σ*. Os dados da
tabela foram retirados de Kormendy (2003).
Galáxia Dinâmica TipoDistância
(Mpc) σσσσ
(km/s)Massa (M )
rinf
('') σσσσ* ('') Sr
Via Láctea Estelar Sbc 0.008 103 3.7 (3.3-4.1)×106 38.8 0.0159 2438
M 32 NGC 221
Estelar E2 0.81 75 2.9 (2.3-3.5)×106 0.56 0.052 10.83
M 31 NGC 224
Estelar Sb 0.76 160 7.0 (3.0-20.0)×107 3.20 0.039 81
NGC 821 Estelar E4 24.1 209 3.7 (2.9-6.1)×107 0.031 0.052 0.60
NGC 1023 Estelar S0 11.4 205 4.4 (3.9-4.8)×107 0.081 0.068 1.18
M 77 NGC 1068
Maser Sb 15 151 1.5×107 0.039 0.008 4.8
NGC 2778 Estelar E2 22.9 175 1.4 (0.5-2.2)×107 0.018 0.052 0.34
NGC 2787 Gás SB0 7.5 140 4.1 (3.6-4.5)×107 0.248 0.068 3.63
M 81 NGC 3031
Estelar Sb 3.9 143 6.8 (5.5-7.5)×107 0.76 0.068 11.08
NGC 3115 Estelar S0 9.7 182 1.0 (0.4-2.0)×109 2.77 0.047 59
NGC 3245 Gás S0 20.9 205 2.1 (1.6-2.6)×108 0.213 0.068 3.11
NGC 3377 Estelar E5 11.2 145 1.0 (0.9-1.9)×108 0.38 0.111 3.4
M 105 NGC 3379
Estelar E1 10.6 206 1.0 (0.6-2.0)×108 0.201 0.111 1.81
NGC 3384 Estelar S0 11.6 143 1.6 (1.4-1.7)×107 0.060 0.052 1.15
NGC 3608 Estelar E2 22.9 182 1.9 (1.3-2.9)×108 0.223 0.052 4.3
NGC 4291 Estelar E2 26.2 242 3.1 (0.8-3.9)×108 0.180 0.052 3.45
M 106 NGC 4258
Maser Sbc 7.2 105 3.9 (3.8-4.0)×107 0.44 0.0047 93
NGC 4261 Gás E2 31.6 315 5.2 (4.1-6.2)×108 0.146 0.058 2.54
NGC 4342 Estelar S0 15.3 225 3.1 (2.0-4.8)×108 0.351 0.135 2.60
M 84 NGC 4374
Gás E1 18.4 296 1.6 (0.4-2.8)×109 0.89 0.068 13.1
(continua)
Candidatos a buraco negro 69
Tabela 3.1 - Galáxias com candidatos a Buracos Negros Supermassivos (continuação)
Galáxia Dinâmica TipoDistância
(Mpc) σσσσ
(km/s)Massa (M )
rinf
('') σσσσ* ('') Sr
NGC 4459 Gás SA0 16.1 186 7.0 (5.7-8.3)×107 0.112 0.068 1.63
NGC 4473 Estelar E5 15.7 190 1.1 (0.3-1.5)×108 0.173 0.052 3.31
NGC 4486B Estelar E1 16.1 185 6.0 (4.0-9.0)×108 0.97 0.258 3.75
M87 NGC 4486
Gás E0 16.1 375 3.4 (2.5-4.4)×109 1.35 0.043 31.3
NGC 4564 Estelar E3 15.0 162 5.6 (4.8-5.9)×107 0.127 0.052 2.43
NGC 4596 Gás SB0 16.8 152 7.8 (4.5-11.6)×107 0.179 0.068 2.61
M 104 NGC 4594
Estelar Sa 9.8 240 1.1 (0.3-3.4)×109 1.73 0.111 15.61
M 60 NGC 4649
Estelar E1 16.8 385 2.0 (1.4-2.4)×109 0.71 0.052 13.71
NGC 4697 Estelar E4 11.7 177 1.7 (1.6-1.9)×108 0.41 0.052 7.9
NGC 4742 Estelar E4 15.5 90 1.4 (0.9-1.8)×107 0.099 0.068 1.45
NGC 4945 Maser Scd 3.7 - 1.4×106 - - -
NGC 5128 Gás S0 4.2 150 2.4 (0.7-6.0)×108 2.26 0.205 11.03
NGC 5845 Estelar E 25.9 234 2.4 (1.0-2.8)×108 0.150 0.111 1.36
NGC 6251 Gás E2 93 290 5.3 (3.7-6.8)×108 0.060 0.050 1.21
NGC 7052 Gás E4 58.7 266 3.3 (2.0-5.6)×108 0.071 0.135 0.52
NGC 7457 Estelar S0 13.2 67 3.5 (2.1-4.6)×106 0.053 0.052 1.01
IC 1459 Estelar S0 29.2 340 2.5 (2.1-3.0)×109 0.661 0.052 12.69
3.1.1 Via Láctea
O centro da Nossa Galáxia, embora bastante complexo (se calhar típico de
qualquer galáxia), é também bastante estudado em virtude da sua proximidade. Para
uma introdução às condições físicas, dinâmicas e distribuição de massa no centro da
Galáxia ver, por exemplo, Genzel & Townes (1987), de Zeeuw (1993) ou Melia &
Falcke (2001).
A velocidade de rotação do gás entre 2pc e 4pc do centro é constante, sendo o seu
valor 110kms-1 (Genzel & Townes 1987). Este valor implica a existência de uma massa
da ordem de 106M dentro do parsec central desde que o movimento do gás seja circular
(Kormendy & Richstone 1995).
Candidatos a buraco negro 70
Imagens obtidas no infravermelho próximo revelaram a existência de um enxame
de estrelas em torno de Sgr A* (fonte rádio no centro da Galáxia). Enxames compostos
por anãs brancas, estrelas de neutrões, buracos negros de massa estelar ou outros corpos
de massa subestelar que tenham uma massa e uma densidade comparáveis às observadas
no centro da Nossa Galáxia não são estáveis por períodos superiores a 107 anos.
Acontece que as estrelas presentes no centro da Galáxia têm idades superiores a 108 ou
109 anos. Este argumento permite concluir que o MDO presente no centro da Nossa
Galáxia não pode consistir apenas num enxame compacto de estrelas pouco luminosas
(Eckart & Genzel 1999).
Genzel et al. (1996) determinaram as velocidades radiais de 223 das estrelas do
enxame central situadas entre 22.7'' e 1.1''. O valor mais alto registado foi de 452kms-1
para a estrela IRS 16SE (a 2.0'' de Sgr A*). Desde 1995 que se têm vindo a observar
estrelas cada vez mais próximas do centro. Actualmente são estudadas 22 estrelas que se
aproximam a menos de 0.4'' de Sgr A* (Ghez et al. 2003). Na Figura 3.1 estão indicadas
as posições (entre 1995 e 2003) e órbitas de seis dessas estrelas, para as quais foi
possível determinar o vector aceleração.
Das 6 estrelas representadas na Figura 3.1 as que mais se aproximam do centro
são S0-2, S0-16 e S0-19. O valor da massa central pode ser estimado com uma maior
precisão a partir da análise do movimento orbital destas estrelas (Ghez 2003).
Assim, no ano 2000, quando a estrela S0-16 passou a cerca de 60UA do centro a
uma velocidade de 9000kms-1 foi possível estimar o valor da massa central em
3.7×106M (Ghez 2003).
3.1.2 M106 (NGC 4258)
Esta é uma galáxia espiral com um núcleo activo onde se descobriram masers de
água (Claussen et al. 1984). Essa descoberta veio dar uma grande contribuição na
pesquisa de um buraco negro supermassivo na região central.
São conhecidos vários masers a menos de 0.3pc do centro (Figura 3.2) com
velocidades de rotação Keplerianas e trajectórias praticamente circulares. Os masers
mais interiores rodam a aproximadamente 1000kms-1 (e.g. Kormendy 2003).
As observações apontam para uma massa central de 3.9×107M (e.g. Kormendy
2003). O facto de esta massa ser conhecida com grande precisão (Tabela 3.1) e estar
Candidatos a buraco negro 71
xxx
Figura 3.1 - Evolução das posições (entre 1995 e 2003) de seis das estrelas que mais se aproximam de
Sgr A*. São também indicadas as respectivas trajectórias (Ghez 2003). Para o centro da Galáxia a 8kpc de
distância, 1'' corresponde a 0.04pc. Assim cada divisão da escala da figura corresponde a
0.05''≈0.002pc≈414UA
encerrada num volume tão pequeno (r<0.1pc) faz de NGC 4258 um dos mais fortes
candidatos a alojar um buraco negro supermassivo.
3.1.3 M31 (NGC 224)
A galáxia M31 constitui um dos exemplos onde a dinâmica do enxame estelar
nuclear é bem distinta da dinâmica do bolbo circundante. O núcleo de M31 roda com
grande velocidade (≈250kms-1 a 0.3'' (≈1.1pc) do centro; Statler et al. 1999) e apresenta
Candidatos a buraco negro 72
xxx
Figura 3.2 - A região central de NGC 4258. Os pontos sobre o disco indicam a localização dos masers de
água (Bragg et al. 2000). O buraco negro, situado sobre o ponto de intersecção dos eixos, tem uma massa
de 3.9×107M a que corresponde um raio de Schwarzschild de aproximadamente 3.7×10-6pc não
podendo por isso ser representado nesta escala.
também elevadas velocidades de dispersão (≈250kms-1) a cerca de 1pc do centro. Além
disso a relação M/Lv aumenta fortemente com a aproximação ao centro sendo o seu
valor ≈100 para r=1'' (≈3.7pc) (Kormendy & Richstone 1995).
O facto de M31 ter um núcleo duplo requer que sejam construídos modelos mais
detalhados antes de se poder concluir, com segurança, que esse MDO pode ser de facto
um buraco negro. Foi sugerido que o núcleo duplo poderá dever-se ao facto de M31 ter
digerido em tempos uma galáxia compacta como a sua satélite M32. Outra hipótese
poderá ser a presença de um buraco negro binário no núcleo (e.g. Lauer et al. 1993;
Peng 2002).
Bacon et al. (2001) apresentam resultados, obtidos a partir das observações do
HST, consistentes com a presença de um buraco negro de 3.5-8.5×107M no centro de
M31. Kormendy (2003) confirma a detecção de um buraco negro no centro de M31 e
considera como massa mais provável 7.0×107M .
Candidatos a buraco negro 73
3.1.4 NGC 3115
É uma galáxia do tipo S0 cujo núcleo apresenta uma velocidade de rotação de
325kms-1 a 100'' (≈4700pc) do centro (Illingworth & Schechter 1982). Observações
efectuadas com o Canada-France-Hawaii Telescope (CFHT) e com o HST revelaram
um núcleo brilhante com uma velocidade de dispersão próxima dos 600kms-1 (e.g.
Kormendy et al. 1996).
O valor de M/Lv passa de 5 a 4'' (188pc) do centro para valores superiores a 50 a
cerca de 0.5'' (23pc) do centro (e.g. Kormendy & Richstone 1995) o que é muito
superior aos verificados para populações estelares velhas (Secção 1.4.4).
A densidade estelar na região nuclear de NGC 3115 é semelhante à de uma
galáxia que não tenha um MDO no seu centro (Kormendy & Richstone 1995). No
entanto, se não existisse um MDO no centro de NGC 3115 o valor da respectiva
velocidade de escape seria ≈352kms-1 o que é muito inferior ao observado para a
velocidade de dispersão das estrelas (Kormendy et al. 1996).
Baseados em observações efectuadas pelo HST Kormendy et al. (1996) concluem
que esse MDO é um buraco negro de 2.0×109M .
3.1.5 M87 (NGC 4486)
Esta galáxia elíptica gigante, com um jacto predominante, é uma das mais bem
estudadas a partir da dinâmica do gás ionizado (e.g. Kormendy & Richstone 1995). A
sua velocidade de dispersão aumenta de 278 kms-1, em r=9.6'' (750pc), para 350 kms-1,
em r=1.5'' (117pc). Se admitirmos que movimento do gás é circular então estes valores
estão de acordo com a presença de um MDO de massa ∼109M (Sargent et al. 1978).
O gás ionizado forma um disco perpendicular ao jacto com um dos lados do disco
aproximando-se a 500kms-1 e o lado oposto a afastar-se com velocidade do mesmo
valor (Ford et al. 1994). Atendendo a que o disco apresenta uma inclinação de 52º
(Marconi et al. 1997) a sua velocidade de rotação é ≈630kms-1. Por forma a explicar a
curva de rotação observada é necessária uma massa de 3.2×109M nos 3.5pc centrais de
M87 (Marconi et al. 1997).
Candidatos a buraco negro 74
O valor de M/L é de ≈110 a 3.5pc do centro (Marconi et al. 1997) o que é muito
superior ao normal para uma população estelar velha (Secção 1.4.4).
Se o gás não descrever órbitas circulares então a sua dinâmica não pode ser
utilizada para determinar o valor da massa central (Kormendy & Richstone 1995) o que,
por si só, faz de M87 um candidato mais fraco do que os descritos anteriormente.
Macchetto et al. (1997), admitindo que a rotação do disco é Kepleriana, concluem
que existe uma massa de 3.9×109M , encerrada nos 3.5pc centrais e que a mesma deve
consistir num buraco negro. Os dados obtidos pelo HST forneceram fortes evidências de
que o núcleo activo de M87 é alimentado pela acreção (Secção 1.4.1) para um buraco
negro supermassivo (Corbin et al. 2002).
3.1.6 O contra-exemplo M33
M33 é uma galáxia do tipo Sc sem bolbo e cujo núcleo se assemelha a um enxame
de estrelas gigante (e.g. Kormendy & Richstone 1995). O brilho do núcleo corresponde
a cerca de 70% do brilho da galáxia o que faz deste a fonte de raios X mais intensa no
Grupo Local (La Parola et al. 2002). A velocidade de dispersão central é de
aproximadamente 21kms-1 e M/Lv <0.4. Isto significa que a massa da região central não
pode exceder as 5×104M , o que permite excluir a presença de um buraco negro
supermassivo no centro de M33 (Kormendy & McClure 1993).
M33 é um bom exemplo para mostrar que um núcleo galáctico pequeno e denso
não é por si só uma evidência clara da presença de um buraco negro supermassivo
(Kormendy & Richstone 1995).
3.2 Buracos negros de massa intermédia
Entre os buracos negros supermassivos (M>106M ) e os buracos negros estelares
(M<102M ) ficam os buracos negros de massa intermédia (M≈103-105M ). A formação
de um buraco negro de massa intermédia poderá dever-se à fusão sucessiva de buracos
negros de massa estelar (e.g. Mouri & Taniguchi 2002).
Existem evidências observacionais de que algumas galáxias e enxames fechados
podem alojar buracos negros de massa intermédia nos respectivos núcleos.
Candidatos a buraco negro 75
Tabela 3.2 - Candidatos a buracos negros de massa intermédia: Nas colunas 1 e 2 indicam-se as
galáxias ou enxames fechados em cujos centros há evidência de que possa existir um buraco negro de
massa intermédia. Na coluna 3 é indicado o tipo de evidência que levou à identificação do candidato a
buraco negro. Na coluna 4 é indicada a distância em kpc. Na coluna 5 é indicada, de acordo com os dados
disponíveis, a massa de cada buraco negro. No caso de M15 e G1 são também indicados os limites
superior e inferior da massa. Por exemplo, dizer que a massa de M15 é 3.9(2.7-6.1)×103M significa que
o valor da massa de M15 situa-se entre 2.7×103M e 6.1×103M sendo o seu valor mais provável igual a
3.9×103M . A referência indicada na coluna 6 corresponde aquela de onde se retirou o valor da massa do
buraco negro. (1) A galáxia NGC 253 apresenta uma fonte de raios X no seu centro que ioniza o gás
circundante. Essa fonte pode ter origem em redor de um buraco negro de massa intermédia ou de um
buraco negro supermassivo pouco activo (Weaver et al. 2002).
Designação Tipo Evidência D(kpc) M(M ) Referências
M110 NGC 205
Galáxia E6Dinâmica estelar 8.9×102 < 9×104 Jones et al. 1996
NGC 253 Galáxia Sc Raios X 3.1×103 ---(1) ---
M82 NGC 3034
Galáxia irregular
Raios X 3.7×103 >103 Mouri & Taniguchi 2002
M15 NGC 7078
Enxame fechado
Dinâmica estelar
10 3.9 (2.7-6.1) ×103 Gerssen et al. 2002
G1 (em M31)
Enxame fechado
Dinâmica estelar 8.9×102 2.0 (1.2-3.4)×104 Gebhardt et al. 2002
Na Tabela 3.2 são indicados alguns desses casos. Importa, no entanto, realçar que
essas evidências, baseadas sobretudo em estudos da dinâmica estelar ou do espectro de
raios X resultante da acreção de matéria (Secções 1.4.1 e 1.4.2), são menos seguras do
que as verificadas para o caso dos buracos negros supermassivos.
3.3 Buracos Negros estelares em sistemas binários
Com as observações de raios X efectuadas pelo satélite UHURU em 1972
verificou-se que existe um grande número de sistemas binários cujas componentes
interactuam. A maior parte desses sistemas era constituída por uma supergigante e uma
estrela de neutrões a rodar muito rapidamente (e.g. Cowley 1992). De todos os binários
Candidatos a buraco negro 76
de raios X descobertos nessa época apenas Cyg X-1 (Secção 3.3.1) parece conter um
buraco negro e não uma estrela de neutrões.
Ao longo das últimas décadas muitas outros binários de raios X foram descobertos
e alguns identificados como candidatos a alojar um buraco negro. Tipicamente, estes
são escolhidos por apresentarem comportamentos, tanto no óptico como nos raios X,
semelhantes a Cyg X-1. Embora essas semelhanças não sejam suficientes para concluir
acerca da presença de um buraco negro são, sem dúvida, um bom indicador de que o
sistema merece uma investigação mais profunda.
As fontes de raios X podem ser de natureza persistente (como Cyg X-1) ou
transiente. Nesta segunda categoria também se incluem candidatos a buraco negro,
nomeadamente A0620-00 (Secção 3.3.2) que é apontado como um candidato seguro
(e.g. Cowley 1992). Fontes de raios X transientes cujo comportamento no óptico e nos
raios X se assemelhe, pelo menos em parte, com o de A0620-00 são normalmente
incluídas nas listas de candidatos a buraco negro.
Outro critério de selecção de candidatos a buraco negro em sistemas binários
consiste na determinação da respectiva função de massa (Secção 1.4.2). Se esta indicar a
presença de um objecto compacto com um raio inferior a 100km (o que é muito inferior
ao raio de uma estrela normal) e com uma massa superior a 3M então estamos acima
do limite permitido às estrelas de neutrões (cf. Figura 1.8) e temos, portanto, um
candidato a buraco negro (e.g. Orosz 2002).
Há, na literatura, várias compilações de candidatos a buracos negros de massa
estelar em sistemas binários (e.g. Cowley 1992; McConnell 1994; Tanaka 2001; Orosz
2002). Na Tabela 3.3 indicam-se os 21 candidatos apontados como mais seguros em tais
compilações.
Muitos dos binários candidatos a alojar um buraco negro são eleitos por
apresentarem características espectrais comuns a Cyg X-1 (no caso persistente) ou a
A0620-00 (no caso transiente) (e.g. Cowley 1992). Assim, vamos descrever em maior
detalhe estes dois candidatos (Secções 3.3.1 e 3.3.2).
É também apresentada, a título de contra-exemplo, a fonte de raios X CAL 87 que,
embora fosse inicialmente apontada como um candidato a buraco negro (e.g. Cowley
1992), pode ser modelada recorrendo a um binário de anãs brancas.
Candidatos a buraco negro 77
Tabela 3.3 – Os 21 mais fortes candidatos a buraco negro de massa estelar em sistemas binários.
Colunas: (1) nome da fonte de raios X candidata a alojar um buraco negro de massa estelar. (2) natureza
da fonte de raios X (P-persistente , T-transiente). (3) período orbital do binário. (4) função de massa
(equação 1.43). (5) ângulo de inclinação do sistema (Figura 1.16). (6) massa estimada para o buraco
negro. (7) É assinalado se a fonte apresenta QPO’s (Secção 1.4.2ii). (8) É assinalado se a fonte apresenta
piscar rápido (Secção 1.4.2iii). (9) É assinalado se foram observadas linhas Kα do ferro (Secção 1.4.2iv).
Os dados não referenciados foram retirados de Cowley (1992) ou de Orosz (2002). As referências
numeradas são: (1) van der Hooft et al. 1999; (2) Nowak 1995; (3) Cui et al. 2002; (4) Wood et al. 2000;
(5) Takizawa et al. 1997; (6) Fabian et al. 1989; (7) Remillard et al. 2002; (8) Markoff et al. 2002; (9)
Feng et al. 2001; (10) Ueda et al. 1998; (11) Wijnands & van der Klis 2000; (12) Rose 1995; (13) Zwitter
& Calvani 1989; (14) Oosterbroek et al. 1996.
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
Fonte de
Raios X Nat. T (dias) f(M) (M ) i (º) Mbn (M ) QPO Piscar Fe
GRO
J0422+32 T 0.2121600(2) 1.19±0.02 44±2 3.66-4.97 ♦1 ♦2 -
LMC X-3 P 1.70479(4) 2.29±0.32 67±3 5.94-9.17 - - ♦3
LMC X-1 P 4.2288(6) 0.14±0.05 ≈63? 4.0-10.0? ♦ - ♦3
A0620-00 T 0.3230160(5) 2.72±0.06 40.8±3.0 8.70-12.86 - - -
GRS 1009-45 T 0.285206(2) 3.17±0.12 67? 3.64-4.74? - - -
XTE
J1118+480 T 0.169930(4) 6.1±0.3 81±2 6.48-7.19 ♦4 - -
GRS 1124-683 T 0.432606(3) 3.01±0.15 54±2 6.47-8.18 ♦5 - -
4U 1543-47 T 1.116407(3) 0.25±0.01 20.7±1.5 8.45-10.39 - - ♦6
XTE 1550-564 T 1.5435(5) 6.86±0.71 72±5 8.36-10.76 ♦7 - -
4U 1630-47 T - - - - ♦7 ♦ ♦3
GX 339-4 P 0.62 - - 5? (8) ♦ ♦ ♦9
GRO J1655-
40 T 2.6219(2) 2.73±0.09 70.2±1.2 6.03-6.57 ♦7 - ♦10
H 1705-250 T 0.521(1) 4.86±0.13 >60 5.64-8.30 - - -
GRS 1758-258 P (3) - - - - - - -
SAX J1819.3-
258 T 2.81730(1) 3.13±0.13 75±2 6.82-7.42 - ♦11 -
XTE
J1859+226 T 0.382(3) 7.4±1.1 - 7.6-12.0? ♦7 - -
SS 433 P 13 (12) 10.6 (13) ≈78 (13) ≈10 (13) - - -
GRS
1915+105 T 34(2) 9.5±3.0 70±2? 10.0-18.0? ♦7 - -
Cyg X-1 P 5.59983(2) 0.244±0.005 35±5 6.85-13.25 - ♦ ♦3
GS 2000+250 T 0.3440915(9) 5.01±0.12 64.0±1.3 7.15-7.78 - ♦ -
GS 2023+338 T 6.4714(1) 6.08±0.06 56±4 10.06-13.38 - ♦ ♦14
Candidatos a buraco negro 78
3.3.1 Cyg X-1
Cygnus X-1 foi uma das primeiras fontes de raios X a ser identificada. Na mesma
região veio a ser identificada uma fonte rádio que mais tarde foi associada a uma
supergigante azul de magnitude aparente 9 designada por HDE 226868. A supergigante,
que designaremos por estrela secundária, e a fonte de raios X, que designaremos por
estrela primária, formam um sistema binário (e.g. Cowley 1992).
Se a estrela HDE 226868 for normal, tendo em conta a luminosidade e tipo
espectral observados, então a estrela primária tem uma massa muito maior que a de uma
estrela de neutrões (>>1.4M ; cf. Figura 1.8). É possível que a estrela primária seja um
buraco negro e que os raios X sejam devidos à acreção de matéria (Secção 1.4.2),
proveniente da estrela secundária (e.g. Cowley 1992).
Como não se observam eclipses no sistema então o respectivo ângulo de
inclinação, i (Figura 1.16), deve ser inferior a 60º (Bolton 1975). A partir de modelos
que têm conta que o movimento de rotação da HDE 226868 deve estar sincronizado
com o respectivo movimento orbital, Gies & Bolton (1986), considerando i≈33º,
fixaram o valor minímo da massa da estrela primária em 7M .
Durante cerca de 90% das observações, Cyg X-1 apresentou-se, do ponto de vista
energético, no estado baixo. Este estado é caracterizado por um fluxo não térmico de
intensidade moderada e altamente variável (e.g. Nowak 1995). Por vezes Cyg X-1
transita para o estado energético alto (fluxo quase-térmico bastante intenso e pouco
variável). Foi o que aconteceu em Maio de 1996 tendo Cyg X-1 permanecido aí durante
cerca de 3 meses (Dotani 1998).
Quando no estado baixo Cyg X-1 apresenta QPO’s (Secção 1.4.2ii) cuja
frequência oscila entre os 0.04Hz e os 0.07Hz (e.g. Nowak 1995). Estas oscilações
podem ser interpretadas como o resultado de instabilidades térmicas experimentadas
pelo fluxo de matéria no disco de acreção. Por outro lado o ruído de baixa frequência
observado é visto como uma das principais propriedades da acreção de matéria por
buracos negros no estado baixo (Grebenev et al. 1993).
Foram detectadas, no espectro de raios X de Cyg X-1, linhas nos 6.2KeV, 6.4KeV
e 6.6KeV (e.g. Schulz et al. 2002). Estas linhas são atribuidas a processos de transições
electrónicas envolvendo a camada K do ferro (Secção 1.4.2iv). A observação das linhas
de emissão Kα do ferro constituem um dos meios mais úteis para sondar o forte campo
gravítico nas vizinhanças de um buraco negro. A detecção de uma linha distorcida pelo
Candidatos a buraco negro 79
campo gravítico seria uma grande evidência a favor da existência de um buraco negro.
Embora uma linha desse tipo já tenha sido detectada na galáxia MCG-6-30-15 nunca se
detectou nenhuma em Cyg X-1 (Schulz et al. 2002).
3.3.2 A0620-00
A fonte de raios X transiente A0620-00, descoberta em 1975, foi identificada
opticamente com uma estrela que passou de magnitude 17.5 para magnitude 12. Esta
veio ainda a ser classificada como uma Nova Recorrente pois essa variação de
magnitude já havia sido registada em 1917 (e.g. Cowley 1992).
Quando a luminosidade é máxima o espectro é dominado pelo disco de acreção.
Com o decréscimo da luminosidade é opticamente observável uma estrela anã do tipo
K5/K7. A função de massa do sistema (equação 1.43) é f(M)=2.72M (cf. Tabela 3.3).
Atendendo a que as estrelas de neutrões têm massas de ≈1.4M (Figura 1.8) e que f(M)
traduz o limite inferior da massa do corpo candidato a buraco negro (Secção 1.4.2)
podemos classificar A0620-00 como um candidato.
Gelino et al. (2001) verificaram que o ângulo de inclinação, i, para o sistema é de
≈41º. Tendo em conta este valor e o de f(M) determinaram para a estrela visível (que se
apurou ser uma anã K4 da sequência principal) a massa de 0.68M . Sendo assim, a
massa do candidato a buraco negro será ≈11M .
3.3.3 O contra-exemplo CAL 87
A fonte de raios X CAL 87 faz parte de um binário eclipsante situado na direcção
da Grande Nuvem de Magalhães. A componente visível do par é uma estrela variável de
magnitude aparente 19-20. Tem um espectro de raios X suave (≈0.1KeV). O seu
espectro óptico é dominado por um disco de acreção (Secção 1.4.2). Inicialmente CAL
87 foi incluído na lista de potenciais candidatos a alojar um buraco negro (e.g. Cowley
1992).
Schandl et al. (1997) modelaram com êxito a curva óptica de CAL 87 assumindo
uma anã branca de 0.75M e uma companheira de 1.5M . É, assim, possível interpretar
o espectro observado em CAL 87 sem recorrer à presença de um buraco negro ou
Candidatos a buraco negro 80
mesmo de uma estrela de neutrões (Asai et al. 1998).
Grande parte das fontes de raios X suaves, como CAL 87, podem ser atribuídas a
sistemas binários compostos por duas anãs brancas caracterizados por elevadas taxas de
acreção. Nesse caso a emissão de raios X seria devida à combustão nuclear na superfície
dessas anãs (Ebisawa et al. 2001).
3.4 Buracos negros de massa estelar isolados
3.4.1 Radiação emitida na acreção esférica
Uma vez que existem evidências da presença de buracos negros em sistemas
binários (Secção 3.3) é de esperar que também exista um grande número de buracos
negros de massa estelar isolados. Estes buracos negros capturam matéria do meio
interestelar seguindo um processo de acreção esférica (Secção 1.4.1).
O espectro da radiação emitida durante o processo situa-se na banda dos raios X
(Figura 1.11) e também, no caso da existência de um campo magnético, na banda do
infravermelho (Figura 1.13).
A luminosidade resultante da acreção esférica, por um buraco negro de 1M , numa
região HII, com um campo magnético não desprezável, é da ordem de 1018W
(Secção1.4.1), ou seja, ≈10-8L , ou ainda, ≈109 vezes inferior à luminosidade de um
disco de acreção, geometricamente fino, em torno de um buraco negro de 1M quando a
taxa de acreção é de 10-12M ano-1 (Secção 1.4.2).
No entanto se o buraco negro estiver mergulhado num meio mais denso como, por
exemplo, uma nuvem molecular e a sua velocidade em relação ao gás circundante for
baixa (<20kms-1) então a luminosidade, na banda dos raios X, será ∼1022W (Fujita et al.
1998).
3.4.2 Buracos negros como microlentes
Existem três fortes candidatos a buraco negro detectados a partir do efeito de
microlente (Secção 1.4.3). Em qualquer um desses candidatos foi medida a paralaxe, o
que permite impor limites mais apertados nos valores atribuídos à massa das lentes.
Candidatos a buraco negro 81
Dois dos candidatos, MACHO-96-BLG-5 e MACHO-98-BLG-6, foram
identificados pelo projecto MACHO (MAssive Compact Halo Objects). Os MACHO's
podem ser detectados ao actuarem como microlentes em relação à luz proveniente de
estrelas mais distantes. Este eventos são, no entanto, muito raros pelo que devem ser
observadas milhões de estrelas ao longo de vários anos. Desde 1992 que foram
observadas milhões de estrelas tanto na direcção da Grande Nuvem de Magalhães como
na direcção do bolbo da Nossa Galáxia.
O outro candidato a buraco negro foi identificado de forma independente pelos
projectos MACHO e OGLE (Optical Gravitational Lensing Experiment) sendo
habitualmente designado por MACHO-99-BLG-22 ou OGLE-1999-BUL-32.
Qualquer um dos três candidatos situa-se na direcção do bolbo galáctico e ao que
tudo indica a estrela que funciona como fonte luminosa de fundo localiza-se no bolbo.
Conhecemos assim, com algum rigor, a distância Df (Figura 1.17).
Nos gráficos da Figura 3.3 estão representadas as curvas da função M(Dl)
(equação 1.48) para as microlentes MACHO-96-BLG-5 e MACHO-98-BLG-6. As
massas que melhor se adaptam a cada uma das lentes, com uma confiança de 50%, são
1036+
− M para MACHO-96-BLG-5 e 736+
− M para MACHO-98-BLG-6 (Bennett et al.
2002a).
O evento MACHO-99-BLG-22 (OGLE-1999-BUL-32) é um dos mais demorados
(1120 dias) descoberto até a data (Bennett et al. 2002b). Aos eventos MACHO-96-
BLG-5 e MACHO-98-BLG-6 correspondem durações de 970 e 490 dias
respectivamente (Bennett et al. 2002a).
O candidato MACHO-99-BLG-22 tanto pode estar no disco galáctico perto de nós
(<1kpc) ou então no bolbo (>5kpc) (Figura 3.4). Se estiver próximo então a sua massa
será de 100M . Se estiver no bolbo então poderá não ter muito mais do que 4M . Neste
último caso existe uma pequena probabilidade de que a lente seja uma estrela de
neutrões e não um buraco negro (Bennett et al. 2002b).
3.4.3 Surgimento de buracos negros em supernovas
SN1997D é uma supernova do tipo II e foi classificada, desde a sua descoberta em
Janeiro de 1997 (de Mello et al. 1997), como sendo peculiar. É a supernova menos
luminosa e menos energética descoberta até a data (Benetti et al. 2001).
Candidatos a buraco negro 82
Figura 3.3 - Curvas das funções M(Dl) e de verosimilhança (que nos dá a localização mais provável da
lente) para os eventos MACHO-96-BLG-5 e MACHO-98-BLG-6. A curva a tracejado que aparece em
baixo de cada um dos gráficos traduz a probabilidade de cada uma das lentes ser uma estrela da sequência
principal (Bennett et al. 2002a).
Figura 3.4 - Curvas das funções M(Dl) e de verosimilhança (que nos dá a localização mais provável da
lente) para o evento MACHO-99-BLG-22 (OGLE-1999-BUL-32). A curva a tracejado que aparece em
baixo, e que apenas tem algum significado a partir dos 7kpc, traduz a probabilidade da lente ser uma
estrela da sequência principal (Bennett et al. 2002b).
Turatto et al. (1998) apontam para uma estrela progenitora de 25-40M (massa
antes da explosão). Nesse caso poderá ter-se formado um buraco negro. A luminosidade
devida à acreção esférica de matéria por esse buraco negro deveria sobrepor-se à
Candidatos a buraco negro 83
luminosidade devida ao decaimento radioactivo ao fim de aproximadamente 3 anos
(Zampieri et al. 1998). Decorrido esse período de tempo a luminosidade do sistema
situava-se nos limites de detectabilidade do HST pelo que não foi possível observar o
surgimento da radiação devida à acreção (Balberg & Shapiro 2001).
Outra supernova recente que também poderá ter originado um buraco negro é a
SN1987A. No entanto, neste caso, estima-se que a luminosidade devida à acreção só
possa surgir daqui a cerca de 900 anos (e.g. Benetti et al. 2001).
Detecção directa de buracos negros 85
4 A possibilidade de detecção directa de buracos negros
4.1 Buracos negros de Schwarzschild
A temperatura de Hawking para buracos negros de Kerr-Newmann, de Kerr e de
Reissner-Nordström (Secção 1.2.7) é dada, respectivamente, pelas equações (2.14),
(2.15) e (2.16).
No gráfico da Figura 4.1 estão representadas as curvas para a temperatura de um
buraco negro de Reissner-Nordström de massa m, com a respectiva carga a variar entre
0 e m, e para um buraco negro de Kerr de massa m, com o respectivo momento angular
por unidade de massa a variar também entre 0 e m. Verifica-se que essas temperaturas
são sempre inferiores à temperatura de um buraco negro de Schwarzschild (equação
2.8) com a mesma massa. A temperatura do buraco negro de Reissner-Nordström decai
bruscamente quando este se aproxima do caso extremo (ε=m) atingindo o zero nesse
ponto. O mesmo acontece com o buraco negro de Kerr. À medida que a sua velocidade
de rotação aumenta a respectiva temperatura diminui atingindo o zero quando o buraco
negro se torna máximo (a=m). Temos, assim, que a buracos negros de Reissner-
Nordström extremos e a buracos negros de Kerr máximos correspondem temperaturas
nulas. Estes não emitem radiação de Hawking.
No gráfico da Figura 4.2 está representada a temperatura de um buraco negro de
Kerr-Newmann (ε≠0, a≠0), de massa m, com a respectiva carga eléctrica e momento
angular por unidade de massa a variarem entre 0 e m. Qualquer aumento num destes
parâmetros, com m mantido constante, leva a um decréscimo da temperatura. A
temperatura atinge zero para os pontos tais que ε2+a2=m2 sobre os quais o buraco negro
se torna extremo (Secção 1.2.7).
Consideremos agora um buraco negro de Schwarzschild (Secção 1.2.1)
uniformemente acelerado (Secção 2.3). Devido à aceleração, Ar, temos, para além de
um horizonte de acontecimentos rh2 (equação 2.23), um horizonte de Rindler rh1
(equação 2.22).
Detecção directa de buracos negros 86
Figura 4.1 - (a) Temperatura (T0) de um buraco negro de Schwarzschild de massa m. (b) Variação da
temperatura de um buraco negro de Reissner-Nordström, de massa m, quando a respectiva carga eléctrica,
ε, varia entre 0 e m. (c) Variação da temperatura de um buraco negro de Kerr, de massa m, quando o
respectivo momento angular por unidade de massa, a, varia entre 0 e m.
Figura 4.2 - Variação da temperatura de um buraco negro de Kerr-Newmann, de massa m, quando a
respectiva carga eléctrica, ε, e momento angular por unidade de massa, a, variam entre 0 e m. O valor T0
corresponde à temperatura de um buraco negro de Schwarzschild de massa m.
Detecção directa de buracos negros 87
Figura 4.3 - Variação do raio do horizonte de Rindler (rh1) e do horizonte de acontecimentos (rh2) de um
buraco negro de Schwarzschild em função da respectiva aceleração uniforme Ar. Quanto maior a
aceleração maior será rh2 e menor será rh1. Quando Ar atinge o seu valor máximo os dois horizontes
coincidem sendo o respectivo raio dado por 3m.
Quando Ar→0, rh1 diverge e rh2→2m como seria de esperar (equação 1.3). À
medida que Ar aumenta rh1 vai decrescendo e rh2 vai-se tornando maior até que, quando
Ar atinge o seu valor máximo (expressão 2.26), temos rh1=rh2=3m. Este comportamento
está ilustrado no gráfico da Figura 4.3.
As temperatura T1 e T2 associadas, respectivamente, aos horizontes rh1 e rh2 podem
ser determinadas a partir da equação (2.25). No gráfico da Figura 4.4 está representada a
variação destas temperaturas com a aceleração do buraco negro. Quando Ar=0 temos
T1=0 e T2 a coincidir, naturalmente, com o valor dado pela equação (2.8). À medida que
Ar aumenta, a temperatura do horizonte de acontecimentos, T2, diminui e a temperatura
do horizonte de Rindler, T1, embora comece por aumentar, acaba também por decrescer.
Em r=3m as duas temperaturas anulam-se, deixando assim de ser emitida radiação de
Hawking.
Consideremos agora um buraco negro de Kerr uniformemente acelerado. Como
acontecia com o buraco negro de Schwarzschild a aceleração, Ar, não pode assumir
qualquer valor. Os valores permitidos são aqueles que verificam a desigualdade (2.27).
No gráfico da Figura 4.5 está representada a variação da aceleração uniforme máxima
permitida em função do momento angular por unidade de massa, a, para um buraco
negro de massa m (sem carga eléctrica).
Detecção directa de buracos negros 88
Figura 4.4 - Variação da temperatura do horizonte de Rindler (T1) e da temperatura do horizonte de
acontecimentos (T2) de um buraco negro de Schwarzschild em função da respectiva aceleração uniforme
Ar (em valor absoluto).
Figura 4.5 - Variação da aceleração uniforme máxima, Ar, permitida em função do momento angular por
unidade de massa, a, para um buraco negro de massa m e sem carga eléctrica. A região colorida
corresponde à zona permitida aos buracos negros. O eixo horizontal corresponde ao buraco negro de
Schwarzschild uniformemente acelerado e o eixo vertical ao buraco negro de Kerr sem aceleração. As
corresponde à aceleração máxima permitida a um buraco negro de Schwarzschild (ver expressão 2.26).
Detecção directa de buracos negros 89
Figura 4.6 - Variação da temperatura do horizonte de Rindler (T1) e do horizonte de acontecimentos (T2)
para um buraco negro com rotação, em função da respectiva aceleração uniforme Ar. Foram considerados
os casos a=0.5m e a=0.8m. A linha horizontal corresponde à temperatura de um buraco negro de Kerr
com iguais valores de m e a mas sem aceleração. No eixo vertical T=T0 corresponde à temperatura de um
buraco negro de Schwarzschild de igual massa.
Consideremos a variação das temperaturas dos horizontes rh1 e rh2 (que podem ser
determinadas a partir de 2.25) com a aceleração, Ar, de um buraco negro de Kerr com
momento angular por unidade de massa, a, fixo. Nos gráficos da Figura 4.6 estão
representados os casos a=0.5m e a=0.8m. Verifica-se que quanto maior o valor de Ar,
mais a temperatura do horizonte de acontecimentos, T2, se torna inferior à temperatura
de um buraco negro de Kerr com iguais valores de m e a mas sem aceleração.
Acabamos de constatar que buracos negros de Reissner-Nordström, Kerr, Kerr-
Newmann ou uniformemente acelerados têm sempre temperaturas inferiores às de um
buraco negro de Schwarzschild de igual massa. Vamos então considerar, ao longo deste
capítulo, dedicado à possibilidade de detecção directa de buracos negros (a partir da
radiação electromagnética emitida pelos mesmos), apenas buracos negros de
Schwarzschild uma vez que serão os que terão melhores possibilidades de detecção.
Detecção directa de buracos negros 90
4.2 Buracos negros e o espectro electromagnético
Os buracos negros são na sua essência objectos bastante simples. Um buraco
negro fica completamente determinado por três parâmetros: massa, carga eléctrica e
momento angular (Secção 1.2.7).
Consideremos um buraco negro de Schwarzschild (Secção 1.2.1). Este é
completamente caracterizado pela sua massa M. Todos os outros valores referentes ao
buraco negro podem ser expressos em termos de M. É o que acontece, por exemplo,
com λmax (Secção 2.1) correspondente ao comprimento de onda para o qual a emissão
de radiação de Hawking electromagnética é mais intensa. Saber M é equivalente a saber
λmax. Quanto maior a massa de um buraco negro maior é o seu valor de λmax e menor é a
sua temperatura (equações 2.10 e 2.11). A buracos negros de massas iguais
correspondem iguais valores de λmax.
Podemos, deste modo, associar a cada comprimento de onda do espectro
electromagnético (Figura 4.7) um (e só um) buraco negro de Schwarzschild. Uma
travessia de todo o espectro, desde o rádio longínquo, até aos raios gama mais
energéticos, leva-nos dos buracos negros supermassivos presentes no centro de algumas
galáxias (Secção 3.1), até aos buracos negros de dimensões microscópicas.
Falaremos então em buracos negros rádio, infravermelhos, visíveis, ultravioleta,
de raios X e de raios gama. Note-se que dizer que um buraco negro é, por exemplo,
infravermelho não significa que este apenas emite raios infravermelhos de um dado
comprimento de onda. Significa, isso sim, que apesar de emitir fotões de todos os
comprimentos de onda, a emissão é mais intensa para um determinado comprimento de
onda (λmax) situado na região do infravermelho.
Na Tabela 4.1 é indicada uma lista de 50 buracos negros de Schwarzschild,
devidamente numerados, que serão referidos como exemplos ao longo das secções
seguintes. Foram considerados desde os buracos negros supermassivos (emissão mais
intensa em rádio) até aos de dimensão planckiana (emissão em raios gama). Para além
de λmax foram indicados, em cada caso, o valor da temperatura (equação 2.11), da
massa (equação 2.10), o raio de Schwarzschild (equação 1.3) e a luminosidade total do
buraco negro (equação 2.31).
Detecção directa de buracos negros 91
λλλλ (m) νννν (Hz) E (eV)
ELF - Extremely Low Frequency 106 3×102
VF - Voice Frequency 105 3×103
VLF - Very Low Frequency 104 3×104
LF - Low Frequency 103 3×105
MF - Medium Frequency 102 3×106
HF - High Frequency 10 3×107
VHF - Very High Frequency 1 3×108
UHF - Ultra High Frequency 10-1 3×109
SHF - Super High Frequency 10-2 3×1010
Rádio
EHF - Extremely High Frequency 10-3 3×1011
Submilimétrico 3×10-4 1012
IV longínquo 3×10-5 1013
IV médio 5×10-6 6×1013
Infravermelho
IV Próximo 7×10-7 4.3×1014
Visível 4×10-7 7.5×1014 3.1 eV
UV próximo
3×10-7 1015 4.1 eV
UV médio
2×10-7 1.5×1015 6.2 eV
UV distante
10-7 3×1015 12.4 eV
Ultravioleta
UV extremo
10-8 3×1016 124 eV
RX Suaves
1.2×10-9 2.4×1017 1 KeV
RX Médios
1.2×10-10 2.4×1018 10 Kev
Raios X
RX Fortes
2×10-12 1.2×1020 0.5 MeV
Rγ Suaves
1.2×10-13 2.4×1021 10 MeV
Rγ Médios 1.2×10-17 2.4×1025 105 MeV
Raios Gama
Rγ Fortes
Figura 4.7 - Espectro electromagnético
Detecção directa de buracos negros 92
Tabela 4.1 - Lista de 50 buracos negros de Schwarzschild. Em cada caso são indicados os
valores do comprimento de onda máximo (λmax), da temperatura (T), da massa (M), do raio de
Schwarzschild (rs) e da luminosidade (L).
n λλλλmax (m) T (K) M (M ) rs (m) L (W)
1 1012 2.9×10-15 2.1×107 6.3×1010 2.0×10-43
2 1011 2.9×10-14 2.1×106 6.3×109 2.0×10-41
3 1010 2.9×10-13 2.1×105 6.3×108 2.0×10-39
4 109 2.9×10-12 2.1×104 6.3×107 2.0×10-37
5 108 2.9×10-11 2.1×103 6.3×106 2.0×10-35
6 107 2.9×10-10 2.1×102 6.3×105 2.0×10-33
7 106 2.9×10-9 2.1×101 6.3×104 2.0×10-31
8 105 2.9×10-8 2.1×100 6.3×103 2.0×10-29
9 104 2.9×10-7 2.1×10-1 6.3×102 2.0×10-27
10 103 2.9×10-6 2.1×10-2 6.3×101 2.0×10-25
11 102 2.9×10-5 2.1×10-3 6.3×100 2.0×10-23
12 101 2.9×10-4 2.1×10-4 6.3×10-1 2.0×10-21
13 100 2.9×10-3 2.1×10-5 6.3×10-2 2.0×10-19
14 10-1 2.9×10-2 2.1×10-6 6.3×10-3 2.0×10-17
15
Rádio
10-2 2.9×10-1 2.1×10-7 6.3×10-4 2.0×10-15
16 10-3 2.9×100 2.1×10-8 6.3×10-5 2.0×10-13
17 10-4 2.9×101 2.1×10-9 6.3×10-6 2.0×10-11
18 10-5 2.9×102 2.1×10-10 6.3×10-7 2.0×10-9
19
Raios IV
10-6 2.9×103 2.1×10-11 6.3×10-8 2.0×10-7
20 7.0×10-7 4.1×103 1.5×10-11 4.4×10-8 4.1×10-7
21 6.0×10-7 4.8×103 1.3×10-11 3.8×10-8 5.6×10-7
22 5.0×10-7 5.8×103 1.1×10-11 3.2×10-8 8.0×10-7
23
Visível
4.0×10-7 7.2×103 8.6×10-12 2.5×10-8 1.3×10-7
24 10-7 2.9×104 2.1×10-12 6.3×10-9 2.0×10-5
25 Raios UV
10-8 2.9×105 2.1×10-13 6.3×10-10 2.0×10-3
26 10-9 2.9×106 2.1×10-14 6.3×10-11 2.0×10-1
27 Raios X
10-10 2.9×107 2.1×10-15 6.3×10-12 2.0×101
(continua)
Detecção directa de buracos negros 93
Tabela 4.1 - Lista de 50 buracos negros de Schwarzschild (continuação).
n λλλλmax (m) T (K) M (M ) rs (m) L (W)
28 10-11 2.9×108 2.1×10-16 6.3×10-13 2.0×103
29 10-12 2.9×109 2.1×10-17 6.3×10-14 2.0×105
30 10-13 2.9×1010 2.1×10-18 6.3×10-15 2.0×107
31 10-14 2.9×1011 2.1×10-19 6.3×10-16 2.0×109
32 10-15 2.9×1012 2.1×10-20 6.3×10-17 2.0×1011
33 10-16 2.9×1013 2.1×10-21 6.3×10-18 2.0×1013
34 10-17 2.9×1014 2.1×10-22 6.3×10-19 2.0×1015
35 10-18 2.9×1015 2.1×10-23 6.3×10-20 2.0×1017
36 10-19 2.9×1016 2.1×10-24 6.3×10-21 2.0×1019
37 10-20 2.9×1017 2.1×10-25 6.3×10-22 2.0×1021
38 10-21 2.9×1018 2.1×10-26 6.3×10-23 2.0×1023
39 10-22 2.9×1019 2.1×10-27 6.3×10-24 2.0×1025
40 10-23 2.9×1020 2.1×10-28 6.3×10-25 2.0×1027
41 10-24 2.9×1021 2.1×10-29 6.3×10-26 2.0×1029
42 10-25 2.9×1022 2.1×10-30 6.3×10-27 2.0×1031
43 10-26 2.9×1023 2.1×10-31 6.3×10-28 2.0×1033
44 10-27 2.9×1024 2.1×10-32 6.3×10-29 2.0×1035
45 10-28 2.9×1025 2.1×10-33 6.3×10-30 2.0×1037
46 10-29 2.9×1026 2.1×10-34 6.3×10-31 2.0×1039
47 10-30 2.9×1027 2.1×10-35 6.3×10-32 2.0×1041
48 10-31 2.9×1028 2.1×10-36 6.3×10-33 2.0×1043
49 10-32 2.9×1029 2.1×10-37 6.3×10-34 2.0×1045
50
Raios Gama
10-33 2.9×1030 2.1×10-38 6.3×10-35 2.0×1047
Verifica-se, a partir da análise da Tabela 4.1, que as temperaturas só começam a
ter valores mensuráveis do espaço (>1K) a partir dos buracos negros infravermelhos
(em laboratório podemos ir até aos 10-5K). Como era de esperar pela equação (2.31)
temos que os buracos negros mais pequenos (menor massa) são também os mais
luminosos. Por exemplo, o buraco negro nº19, cuja massa é de 2.1×10-11M , tem uma
luminosidade de 2.0×10-7W. Por sua vez o buraco negro nº28 cuja massa é de
2.1×10-16M tem uma luminosidade de 2.0×103W (ver mais exemplos nas Figuras 4.8 e
4.9).
Detecção directa de buracos negros 94
Figura 4.8 - Representação em tamanho real de um buraco negro de Schwarzschild com ≈10-5M (rs=3.1
cm) do ponto de vista de um observador distante.
Figura 4.9 - Representação de quatro buracos negros visíveis: vermellho, amarelo, azul esverdeado e
violeta (nºs 20 a 23 da Tabela 4.1). Os quatro objectos estão representados segundo uma escala comum a
qual corresponde a uma ampliação de cerca de 750 000 vezes.
4.3 Possibilidade de detecção directa de buracos negros (teórica)
Vamos começar por determinar a distância máxima a que se pode estar de um
buraco negro para que a radiação de Hawking (a única forma de emissão
electromagnética que se conhece: Secção 2.1) emitida pelo mesmo seja detectável num
determinado comprimento de onda.
O espectro de emissão de um buraco negro é igual ao de um corpo negro à mesma
temperatura (Secção 2.1). A densidade de fluxo7 da radiação de Hawking emitida por
um buraco negro de Schwarzschild é então dada por (Anexo E):
7 A densidade de fluxo traduz a energia emitida por unidade de área, de tempo e de frequência, ou seja, é o fluxo por unidade de frequência.
Detecção directa de buracos negros 95
( )sWm 1e
1
c
h2S 2-
kT/h2
3
−
= (4.1)
Esta expressão traduz a quantidade de energia emitida pelo buraco negro por
unidade de área, de tempo e de frequência. Seja sν a densidade de fluxo incidente sobre
um detector à distância d do centro do buraco negro. Consideraremos sempre d>>rs por
forma a que se possam desprezar os efeitos da relatividade geral junto ao detector. Os
valores de Sν, sν, e d relacionam-se através da expressão (e.g. Lang 1999):
2
s
r
d
s
S
= (4.2)
onde rs é o raio de Schwarzschild do buraco negro (expressão 1.3).
Este resultado permite-nos relacionar as densidades de fluxo da radiação emitida e
a medida com a distância ao buraco negro emissor. Como estamos particularmente
interessados em saber a distância máxima de detectabilidade da radiação de Hawking
emitida pelo buraco negro, para um determinado comprimento de onda, vamos tomar a
densidade de fluxo sν igual à sensibilidade do telescópio para esse comprimento de
onda. A distância máxima será então dada pelo valor de d.
Conciliando a expressão do raio de Schwarzschild (1.3) com a da temperatura do
buraco negro (2.9) obtemos:
skr4
cT
=
Substituindo este último resultado na densidade de fluxo (4.1) vem:
( )sWm 1e
1
c
h2S 2-
c/r82
3
s
2
−= (4.3)
Resolvendo (4.2) em ordem à distância d e substituindo Sν por (4.3) obtemos:
Detecção directa de buracos negros 96
1e
1
cs
h2rd
c/r82
3
ss
2
−= (4.4)
Se a densidade de fluxo sν traduzir a sensibilidade do telescópio então a expressão
anterior diz-nos qual a distância máxima à qual se poderá detectar, com esse telescópio,
a radiação de Hawking emitida no comprimento de onda, λ=c/ν, por um buraco negro
de raio rs.
4.4 Possibilidade de detecção directa de buracos negros (limites técnicos actuais)
4.4.1 Rádio
Nem todas as ondas de rádio, provenientes do espaço exterior, conseguem penetrar
na atmosfera da Terra. A janela do rádio situa-se aproximadamente entre os
comprimentos de onda de 1cm e 10m. O limite inferior depende da composição
atmosférica e o limite superior da densidade electrónica da ionosfera (e.g. Kraus 1986).
Existem actualmente vários rádio-telescópios, e respectivas redes
interferométricas, operando desde as ondas milimétricas até as métricas. A sensibilidade
varia consoante o telescópio e, para cada um, consoante o comprimento de onda de
trabalho. O VLA (Very Large Array), por exemplo, apresenta uma sensibilidade de
0.045mJy nos 3.6cm e de 15mJy nos 4m (http://www.vla.nrao.edu).
Vamos considerar a possibilidade de detecção da radiação de Hawking dos 50
buracos negros da Tabela 4.1 nos 4m e 3.6cm considerando as sensibilidades indicadas
anteriormente. Vamos considerar também a detecção nos 20m (embora não exista
actualmente qualquer rádio-telescópio a operar neste comprimento de onda) para uma
sensibilidade de 15mJy (a mesma do VLA nos 4m).
As distâncias máximas de detecção, determinadas a partir da equação (4.4), para
os buracos negros 13 a 50 da Tabela 4.1, estão indicadas na Tabela 4.2. Na tabela são
também indicadas as densidades de fluxo emitidas por cada buraco negro em cada caso.
Detecção directa de buracos negros 97
Tabela 4.2 - Distâncias máximas para a detecção no rádio. São indicados, para os buracos
negros nºs 13 a 50 da Tabela 4.1 a densidade de fluxo emitida e a distância máxima à qual
podem ser detectados nos comprimentos de onda de 20m (sν=15mJy), 4m (sν=15mJy) e 3.6cm
(sν=0.045mJy). Os buracos negros nºs 1 a 12 não foram incluídos pois para esses é sempre d<rs.
Situação idêntica ocorre para o buraco negro nº13 quando observado nos 3.6cm. Os casos
assinalados com fundo cinzento correspondem a distâncias de detecção inferiores a 10rs.
λλλλ=20m λλλλ=4m λλλλ=3.6cm n rs (m)
S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)
13 6.3×10-2 5.5×10-2 1.2×10-1 7.9×10-1 4.6×10-1 - <rs
14 6.3×10-3 6.2×10-1 4.1×10-2 15 2.0×10-1 2.7 1.6
15 6.3×10-4 6.3 1.3×10-2 1.6×102 6.4×10-2 9.0×105 89
16 6.3×10-5 63 4.1×10-3 1.6×103 2.0×10-2 1.8×107 40
17 6.3×10-6 6.3×102 1.3×10-3 1.6×104 6.5×10-3 1.9×108 13
18 6.3×10-7 6.3×103 4.1×10-4 1.6×105 2.0×10-3 1.9×109 4.1
19 6.3×10-8 6.3×104 1.3×10-4 1.6×106 6.5×10-4 1.9×1010 1.3
20 4.4×10-8 9.0×104 1.1×10-4 2.2×106 5.4×10-4 2.8×1010 1.1
21 3.8×10-8 1.0×105 1.0×10-4 2.6×106 5.0×10-4 3.2×1010 1.0
22 3.2×10-8 1.3×105 9.1×10-5 3.1×106 4.6×10-4 3.9×1010 9.3×10-1
23 2.5×10-8 1.6×105 8.2×10-5 3.9×106 4.1×10-4 4.8×1010 8.3×10-1
24 6.3×10-9 6.3×105 4.1×10-5 1.6×107 2.0×10-4 1.9×1011 4.1×10-1
25 6.3×10-10 6.3×106 1.3×10-5 1.6×108 6.5×10-5 1.9×1012 1.3×10-1
26 6.3×10-11 6.3×107 4.1×10-6 1.6×109 2.0×10-5 1.9×1013 4.1×10-2
27 6.3×10-12 6.3×108 1.3×10-6 1.6×1010 6.5×10-6 1.9×1014 1.3×10-2
28 6.3×10-13 6.3×109 4.1×10-7 1.6×1011 2.0×10-6 1.9×1015 4.1×10-3
29 6.3×10-14 6.3×1010 1.3×10-7 1.6×1012 6.5×10-7 1.9×1016 1.3×10-3
30 6.3×10-15 6.3×1011 4.1×10-8 1.6×1013 2.0×10-7 1.9×1017 4.1×10-4
31 6.3×10-16 6.3×1012 1.3×10-8 1.6×1014 6.5×10-8 1.9×1018 1.3×10-4
32 6.3×10-17 6.3×1013 4.1×10-9 1.6×1015 2.0×10-8 1.9×1019 4.1×10-5
33 6.3×10-18 6.3×1014 1.3×10-9 1.6×1016 6.5×10-9 1.9×1020 1.3×10-5
34 6.3×10-19 6.3×1015 4.1×10-10 1.6×1017 2.0×10-9 1.9×1021 4.1×10-6
35 6.3×10-20 6.3×1016 1.3×10-10 1.6×1018 6.5×10-10 1.9×1022 1.3×10-6
36 6.3×10-21 6.3×1017 4.1×10-11 1.6×1019 2.0×10-10 1.9×1023 4.1×10-7
37 6.3×10-22 6.3×1018 1.3×10-11 1.6×1020 6.5×10-11 1.9×1024 1.3×10-7
38 6.3×10-23 6.3×1019 4.1×10-12 1.6×1021 2.0×10-11 1.9×1025 4.1×10-8
39 6.3×10-24 6.3×1020 1.3×10-12 1.6×1022 6.5×10-12 1.9×1026 1.3×10-8
(continua)
Detecção directa de buracos negros 98
Tabela 4.2 - Distâncias máximas para a detecção no rádio (continuação).
λλλλ=20m λλλλ=4m λλλλ=3.6cm n rs (m)
S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)
40 6.3×10-25 6.3×1021 4.1×10-13 1.6×1023 2.0×10-12 1.9×1027 4.1×10-9
41 6.3×10-26 6.3×1022 1.3×10-13 1.6×1024 6.5×10-13 1.9×1028 1.3×10-9
42 6.3×10-27 6.3×1023 4.1×10-14 1.6×1025 2.0×10-13 1.9×1029 4.1×10-10
43 6.3×10-28 6.3×1024 1.3×10-14 1.6×1026 6.5×10-14 1.9×1030 1.3×10-10
44 6.3×10-29 6.3×1025 4.1×10-15 1.6×1027 2.0×10-14 1.9×1031 4.1×10-11
45 6.3×10-30 6.3×1026 1.3×10-15 1.6×1028 6.5×10-15 1.9×1032 1.3×10-11
46 6.3×10-31 6.3×1027 4.1×10-16 1.6×1029 2.0×10-15 1.9×1033 4.1×10-12
47 6.3×10-32 6.3×1028 1.3×10-16 1.6×1030 6.5×10-16 1.9×1034 1.3×10-12
48 6.3×10-33 6.3×1029 4.1×10-17 1.6×1031 2.0×10-16 1.9×1035 4.1×10-13
49 6.3×10-34 6.3×1030 1.3×10-17 1.6×1032 6.5×10-17 1.9×1036 1.3×10-13
50 6.3×10-35 6.3×1031 4.1×10-18 1.6×1033 2.0×10-17 1.9×1037 4.1×10-14
Os buracos negros 1 a 12 não foram incluídos pois para esses a distância de
detecção, dada pela expressão (4.4) é, para qualquer dos comprimentos de onda
considerados, sempre inferior aos respectivos raios de Schwarzschild o que significa
que a detecção é impossível. Situação idêntica ocorre com o buraco negro nº13 para um
comprimento de onda de observação de 3.6cm.
No caso λ=20m os buracos negros nº13 e nº14 são detectáveis a distâncias
equivalentes a 1.9rs e 6.4rs respectivamente. No caso λ=4m o buraco negro nº13 é
detectável à distância de 7.3rs. Como estamos a considerar d>>rs (queremos distâncias
superiores a, pelo menos, 10rs) estas três situações foram assinaladas na Tabela 4.2 com
fundo cinzento.
De acordo com os valores da Tabela 4.2, a distância de detecção máxima é tanto
menor quanto maior for o comprimento de onda de observação. Vejamos o que
acontece, por exemplo, com o buraco negro nº15. Para λ=3.6cm este é detectável até
uma distância de 89m. No entanto, para λ=4m a distância máxima para a detecção fica-
se pelos 6.4cm e para λ=20m pelos 1.3cm.
A densidade de fluxo (equação 4.3) cresce, obedecendo a uma lei exponencial,
com o decrescimento de rs. Assim, quanto maior a massa do buraco negro menor será a
xxx
Detecção directa de buracos negros 99
Figura 4.10 - Variação da luminosidade por unidade de frequência com o raio de Schwarzschild para um
comprimento de onda de observação λ=4m. O pico do gráfico corresponde a Lν≈4.1×10-28Ws para um
buraco negro com rs≈0.08m.
densidade de fluxo emitida. Por exemplo, o buraco negro nº11 (2.1×10-3M ), apresenta,
para um comprimento de onda de observação de λ=4m, uma densidade de fluxo da
ordem de 10-54Jy. Já o buraco negro nº32 (2.1×10-20M ) apresenta, para o mesmo
comprimento de onda de observação, uma densidade de fluxo de 1.5×1015Jy.
A luminosidade por unidade de frequência, Lν, obtém-se integrando a densidade
de fluxo (4.3) sobre toda a área do horizonte de acontecimentos do buraco negro:
==
2sSr4dASL (4.5)
Embora os buracos negros de dimensões subatómicas apresentem densidades de
fluxo bastante elevadas (Tabela 4.2) as respectivas luminosidades por unidade de
frequência (equação 4.5) são, dadas as reduzidas dimensões dos mesmos, bastante
baixas. Continuando com λ=4m temos, para o buraco negro nº11, Lν≈1.1×10-77Ws, e,
para o buraco negro nº32 Lν≈7.5×10-43Ws.
No gráfico da Figura 4.10 está representada a variação de Lν com rs (equação 4.5)
para um comprimento de onda λ=4m. Verifica-se que o valor máximo de Lν é de
≈4.1×10-28Ws, para um buraco negro com rs≈0.08m (≈2.7×10-5M ). Considerando, por
exemplo, uma largura de banda de 1.5MHz o valor anterior equivale a uma
luminosidade de ≈6.2×10-22W.
Detecção directa de buracos negros 100
Figura 4.11- Distância para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco negro para
o comprimento de onda λ=20m e uma sensibilidade de 15mJy: (a) A parte cinzenta corresponde aos
valores de rs para os quais d>10rs. O ponto de intersecção (d=10rs) corresponde a um buraco negro com
rs≈2.6×10-3m e M≈8.8×10-7M . (b) A parte cinzenta corresponde aos valores de rs para os quais é d>rs. O
ponto de intersecção (d=rs) corresponde a um buraco negro com rs≈0.18m e M≈6.1×10-5M .
Consideremos agora a função d(rs) dada pela equação (4.4). Vamos utilizar de
novo os comprimentos de onda de 20m, 4m e 3.6cm (mantendo também os mesmos
valores paras as sensibilidades do detector).
No caso λ=20m apenas buracos negros com raio inferior a ≈2.6×10-3m
(M<8.8×10-7M ) podem ser detectados a uma distância d>10rs (Figura 4.11a). Incluem-
se neste caso os buracos negros nºs 15 a 50 da Tabela 4.1. O facto de ter de ser d>rs
implica que, para λ=20m, apenas sejam detectáveis buracos negros cujos raios sejam
inferiores a ≈0.18m (M<6.1×10-5M ) (Figura 4.11b). Incluem-se neste caso os buracos
negros nºs 13 a 50 da Tabela 4.1.
Quando λ=4m podem ser detectados, a uma distância d>10rs, buracos negros cujo
raio seja inferior a ≈0.04m (M<1.4×10-5M ) (Figura 4.12a). Incluem-se neste caso os
Detecção directa de buracos negros 101
xxx
Figura 4.12 - Distância para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco negro para
o comprimento de onda λ=4m e uma sensibilidade de 15mJy: (a) A parte cinzenta corresponde aos
valores de rs para os quais d>10rs. O ponto de intersecção (d=10rs) corresponde a um buraco negro com
rs≈0.04m e M≈1.4×10-5M . (b) A parte cinzenta corresponde aos pontos para os quais é d>rs. O ponto de
intersecção (d=rs) corresponde a um buraco negro com rs≈0.25m e M≈8.5×10-5M . O pico da curva d(rs)
ocorre para rs≈0.08m (M≈2.7×10-5M ) sendo nesse caso d≈0.5m
buracos negros nºs 14 a 50 da Tabela 4.1. A condição d>rs implica que, para λ=4m,
apenas sejam detectáveis buracos negros cujos raios sejam inferiores a ≈0.25m
(M<8.5×10-5M ) (Figura 4.12b). Incluem-se nesta categoria os buracos negros nºs 13 a
50 da Tabela 4.1.
O pico da curva d(rs) ocorre para rs≈0.08m (M≈2.7×10-5M ) sendo nesse caso
d≈0.5m≈6.3rs (Figura 4.12b). Note-se que para λ=20m o pico da curva d(rs) ocorre para
um ponto onde a detecção já não é possível (situa-se fora na região d<rs; Figura 4.11b).
No gráfico da Figura 4.13a está representada a função d(rs) para λ=3.6cm. A
distância de detecção máxima, correspondente ao pico do gráfico, é de 90m
Detecção directa de buracos negros 102
xxxxxxxxxx
Figura 4.13 - Distância para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco negro para
o comprimento de onda λ=3.6m e uma sensibilidade de 0.045mJy. (a) O pico da curva corresponde a
rs≈7.3×10-4m, M≈2.5×10-7M , d≈90m. (b) O ponto de intersecção (d=10rs) corresponde a um buraco
negro com rs≈9.2×10-3m (M≈3.1×10-6M ).
correspondente a um buraco negro com rs=7.3×10-4m (2.5×10-7M ). O ponto de
intersecção d=10rs, representado na Figura 4.13b, ocorre para rs≈9.2×10-3m
(M≈3.1×10-6M ). São, assim, detectáveis nos 3.6cm, a distâncias superiores a 10rs,
buracos negros com rs<9.2×10-3m. Incluem-se neste caso os buracos negros nºs 14 a 50
da Tabela 4.1.
4.4.2 Infravermelho
O vapor de água, o dióxido de carbono e o ozono atmosféricos absorvem grande
parte da radiação infravermelha proveniente do espaço fazendo com que a observação,
nesta banda do espectro, a partir do solo, seja possível apenas para algumas janelas.
Os observatórios de infravermelho terrestres devem ser montados em zonas altas e
secas. É, por exemplo, o caso do JMCT (James Clerk Maxwell Telescope) instalado no
monte Mauna Kea (Ilhas Hawai) 4092m acima do nível do mar.
Alguns programas de observação recorrem também à montagem de telescópios em
aviões os quais voando a altitudes superiores a 12km evitam grande parte do vapor de
água atmosférico. Como exemplo temos o SOFIA (Stratospheric Observatory For
Detecção directa de buracos negros 103
Infrared Astronomy) que estará operacional em 2004 e vem substituir o KAO (Kuiper
Airborne Observatory) da NASA o qual esteve operacional entre 1975 e 1995. O
SOFIA poderá operar em toda a banda do infravermelho.
Em Agosto de 2003 foi lançado o telescópio espacial SIRTF (Space InfraRed
Telescope Facility) que irá operar nos comprimentos de onda de λ=1µm (infravermelho
próximo) a λ=180µm (infravermelho longínquo).
Vamos considerar a possibilidade de detecção da radiação de Hawking dos 50
buracos negros da Tabela 4.1 nos 800µm (ondas submilimétricas), 20µm (infravermelho
médio - Filtro Q ) e nos 3.4µm (infravermelho próximo - Filtro L). Nos 800µm vamos
considerar a sensibilidade de 10mJy (correspondente ao SOFIA). Nos 20µm e 3.4µm
consideraremos sensibilidades de 10-2mJy e 10-3mJy (correspondentes ao SIRTF).
As distâncias máximas de detecção, determinadas a partir da equação (4.4), para
os buracos negros 16 a 50 da Tabela 4.1, estão indicadas na Tabela 4.3. Na tabela são
também indicadas as densidades de fluxo emitidas por cada buraco negro em cada caso.
Verifica-se que, nos 3.4µm, os buracos negros nºs 19 a 23 seriam detectáveis a
distâncias da ordem dos 104m (cerca de 1011rs). No caso dos 20µm o melhor resultado,
em termos de distância, corresponde ao buraco negro nº18 com d=1.4×103m (2.2×109rs).
Nos 800µm o melhor resultado corresponde ao buraco negro nº 17 com d=31m
(4.9×106rs).
Nos gráficos da Figura 4.14 estão representadas as curvas da função d(rs) para os
mesmos comprimentos de onda da Tabela 4.3. Foram também consideradas as mesmas
sensibilidades.
No caso dos 800µm (Figura 4.14a) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria
possível detectar um buraco negro com rs=1.6×10-5m (5.4×10-9M ) a 40m de distância.
A condição d=10rs ocorre quando rs≈2.6×10-4m (este ponto não está representado no
gráfico). São, assim, detectáveis nos 800µm todos os buracos negros com rs<2.6×10-4m
onde se incluem os buracos negros nºs 16 a 50 da Tabela 4.1.
Nos 20µm (Figura 4.14b) verifica-se que seria possível detectar um buraco negro
com rs=4.0×10-7m (1.4×10-10M ) a 8.0×103m de distância. A condição d=10rs ocorre
quando rs≈1.2×10-5m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim
detectáveis nos 20µm buracos negros com rs<1.2×10-5m onde se incluem os buracos
negros nºs 17 a 50 da Tabela 4.1.
Detecção directa de buracos negros 104
Tabela 4.3 - Distâncias máximas para a detecção no infravermelho. São indicados, para os
buracos negros nºs 16 a 50 da Tabela 4.1 a densidade de fluxo emitida e a distância máxima à
qual podem ser detectados nos comprimentos de onda de 800µm (sν=10mJy), 20µm
(sν=0.01mJy) e 3.4µm (sν=0.001mJy). Os buracos negros nºs 1 a 15 não foram incluídos pois
para esses é sempre d<rs. Situação idêntica ocorre para o buraco negro nº16 nos 20µm e 3.4µm
e para o buraco negro nº17 nos 3.4µm.
λλλλ=800µµµµm λλλλ=20µµµµm λλλλ=3.4µµµµm n rs (m)
S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)
16 6.3×10-5 4.9×108 13
17 6.3×10-6 2.8×1011 31 2.6×105 1.8×10-1
18 6.3×10-7 3.8×1012 11 1.4×1015 1.4×103 1.4×1012 2.4×102
19 6.3×10-8 3.9×1013 3.6 5.5×1016 8.6×102 9.6×1017 2.0×104
20 4.4×10-8 5.6×1013 3.0 8.2×1016 7.3×102 1.8×1018 1.9×104
21 3.8×10-8 6.5×1013 2.8 9.7×1016 6.8×102 2.3×1018 1.8×104
22 3.2×10-8 7.8×1013 2.6 1.2×1017 6.3×102 3.0×1018 1.7×104
23 2.5×10-8 9.8×1013 2.3 1.5×1017 5.6×102 4.0×1018 1.6×104
24 6.3×10-9 3.9×1014 1.1 6.2×1017 2.9×102 2.0×1018 9.0×103
25 6.3×10-10 3.9×1015 3.6×10-1 6.3×1018 91 2.2×1020 2.9×103
26 6.3×10-11 3.9×1016 1.1×10-1 6.3×1019 29 2.2×1021 9.3×102
27 6.3×10-12 3.9×1017 3.6×10-2 6.3×1020 9.1 2.2×1022 2.9×102
28 6.3×10-13 3.9×1018 1.1×10-2 6.3×1021 2.9 2.2×1023 93
29 6.3×10-14 3.9×1019 3.6×10-3 6.3×1022 9.1×10-1 2.2×1024 30
30 6.3×10-15 3.9×1020 1.1×10-3 6.3×1023 2.9×10-1 2.2×1025 9.3
31 6.3×10-16 3.9×1021 3.6×10-4 6.3×1024 9.1×10-2 2.2×1026 2.9
32 6.3×10-17 3.9×1022 1.1×10-4 6.3×1025 2.9×10-2 2.2×1027 9.3×10-1
33 6.3×10-18 3.9×1023 3.6×10-5 6.3×1026 9.1×10-3 2.2×1028 2.9×10-1
34 6.3×10-19 3.9×1024 1.1×10-5 6.3×1027 2.9×10-3 2.2×1029 9.3×10-2
35 6.3×10-20 3.9×1025 3.6×10-6 6.3×1028 9.1×10-4 2.2×1030 2.9×10-2
36 6.3×10-21 3.9×1026 1.1×10-6 6.3×1029 2.9×10-4 2.2×1031 9.3×10-3
37 6.3×10-22 3.9×1027 3.6×10-7 6.3×1030 9.1×10-5 2.2×1032 2.9×10-3
38 6.3×10-23 3.9×1028 1.1×10-7 6.3×1031 2.9×10-5 2.2×1033 9.3×10-4
39 6.3×10-24 3.9×1029 3.6×10-8 6.3×1032 9.1×10-6 2.2×1034 2.9×10-4
40 6.3×10-25 3.9×1030 1.1×10-8 6.3×1033 2.9×10-6 2.2×1035 9.3×10-5
41 6.3×10-26 3.9×1031 3.6×10-9 6.3×1034 9.1×10-7 2.2×1036 2.9×10-5
(continua)
Detecção directa de buracos negros 105
Tabela 4.3 - Distâncias máximas para a detecção no infravermelho (continuação).
λλλλ=800µµµµm λλλλ=20µµµµm λλλλ=3.4µµµµm n rs (m)
S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)
42 6.3×10-27 3.9×1032 1.1×10-9 6.3×1035 2.9×10-7 2.2×1037 9.3×10-6
43 6.3×10-28 3.9×1033 3.6×10-10 6.3×1036 9.1×10-8 2.2×1038 2.9×10-6
44 6.3×10-29 3.9×1034 1.1×10-10 6.3×1037 2.9×10-8 2.2×1039 9.3×10-7
45 6.3×10-30 3.9×1035 3.6×10-11 6.3×1038 9.1×10-9 2.2×1040 2.9×10-7
46 6.3×10-31 3.9×1036 1.1×10-11 6.3×1039 2.9×10-9 2.2×1041 9.3×10-8
47 6.3×10-32 3.9×1037 3.6×10-12 6.3×1040 9.1×10-10 2.2×1042 2.9×10-8
48 6.3×10-33 3.9×1038 1.1×10-12 6.3×1041 2.9×10-10 2.2×1043 9.3×10-9
49 6.3×10-34 3.9×1039 3.6×10-13 6.3×1042 9.1×10-11 2.2×1044 2.9×10-9
50 6.3×10-35 3.9×1040 1.1×10-13 6.3×1043 2.9×10-11 2.2×1045 9.3×10-10
Finalmente, nos 3.4µm (Figura 4.14c) verifica-se que seria possível detectar um
buraco negro com rs=6.9×10-8m (2.3×10-11M ) a 6.2×104m de distância. A condição
d=10rs ocorre para rs≈2.3×10-6m (este ponto não está representado no gráfico). São,
assim, detectáveis nos 3.4µm todos os buracos negros com rs<2.3×10-6m onde se
incluem os buracos negros nºs 18 a 50 da Tabela 4.1.
4.4.3 Visível
Embora a transição entre a luz visível e as bandas adjacentes não seja abrupta,
vamos considerar que a mesma se situa entre os 0.7µm e os 0.4µm8. A atmosfera
terrestre deixa-se atravessar pela luz visível pelo que existem inúmeros observatórios
ópticos terrestres. No espaço está, desde 1990, o HST que também efectua observações
no óptico.
A sensibilidade dos detectores ópticos mede-se normalmente em termos de
magnitudes aparentes. O olho humano é sensível até a magnitude 6. Os melhores
detectores ópticos conseguem captar, actualmente, o brilho de objectos de magnitude
aparente 30.
8 Estes são os valores indicados pelo Institute for Telecommunications Sciences dos Estados Unidos (http://its.bldrdoc.gov).
Detecção directa de buracos negros 106
Figura 4.14 - Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco
negro. Foram considerados os comprimentos de onda 800µm (ondas submilimétricas), 20µm
(infravermelho médio - Filtro Q ) e 3.4µm (infravermelho próximo - Filtro L). Os valores
correspondentes a cada um dos picos dos gráficos são: (a) rs=1.6×10-5m, d=40.3m, M=5.4×10-9M ; (b)
rs=4.0×10-7m, d=8.0×103m, M=1.4×10-10M ; (c) rs=6.9×10-8m, d=6.2×104m M=2.3×10-11M .
Detecção directa de buracos negros 107
Tabela 4.4 - Sensibilidades dos filtros R, V e B. Para cada um dos filtros é apresentado o
respectivo comprimento de onda (em µm), a largura de banda (em Hz) e a densidade de fluxo
(em µJy) para uma fonte cuja magnitude aparente é m=30.
Filtro λλλλ (µµµµm) ∆∆∆∆νννν (××××1014
Hz) s (µµµµJy)
R 0.70 1.3 0.022
V 0.55 0.8 0.034
B 0.44 1.6 0.017
Vamos considerar a possibilidade de detecção da radiação de Hawking dos 50
buracos negros da Tabela 4.1 nos 0.7µm (Filtro R), 0.55µm (Filtro V) e 0.44µm (Filtro
B). Em qualquer dos casos vamos considerar, como sensibilidade limite, a magnitude
aparente m=30. Para podermos continuar a aplicar, no cálculo da distância, a expressão
(4.4) é preciso exprimir esta magnitude em termos de densidade de fluxo.
A luminosidade, L, de um corpo celeste, relaciona-se com a respectiva magnitude
absoluta, MA, através da expressão (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983):
( )AA10 MM5.2
1
L
Llog −=
r
r
(4.6)
onde L =3.826×1026W é a luminosidade do Sol e MA =4.83 é a respectiva magnitude
absoluta. A Luminosidade por sua vez pode relacionar-se com o fluxo, F, através da
expressão:
Fd4L 2= (4.7)
onde d é a distância entre o detector e a fonte emissora. Se esta estiver a uma distância
de 10pc (≈32.6AL) então a sua magnitude absoluta é igual (por definição) à respectiva
magnitude aparente. Fazendo então, em (4.6), MA=30 e substituindo a luminosidade
obtida em (4.7), com d=32.6AL, obtemos o fluxo F≈2.7×10-20Wm-2. Se dividirmos este
fluxo pela largura de banda associada a cada um dos comprimentos de onda de
observação obtemos a densidade de fluxo, ou seja, a sensibilidade, em cada caso. Os
resultados são os apresentados na Tabela 4.4.
Detecção directa de buracos negros 108
Figura 4.15 - Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking no óptico em função do raio do
buraco negro. Foram considerados os comprimentos de onda 0.70µm (Filtro R), 0.55µm (Filtro V) e
0.44µm (Filtro B). Os valores correspondentes aos picos das três curvas são: (R) rs=1.4×10-8m,
d=9.2×105m, M=4.7×10-12M ; (V) rs=1.1×10-8m, d=8.3×105m, M=3.7×10-12M ; (B) rs=8.9×10-9m,
d=1.3×106m, M=3.0×10-12M .
Na Tabela 4.5 são indicadas as distâncias máximas para a detecção, no óptico, dos
buracos negro nºs 19 a 50 da Tabela 4.1. A sensibilidade do detector para cada
comprimento de onda de observação é a indicada na Tabela 4.4. Na Tabela 4.5 são
também indicadas as densidades de fluxo emitidas por cada buraco negro em cada caso.
Verifica-se que os buracos negros nºs 20 a 25 são detectáveis até distâncias da
ordem dos 105m. Em particular o buraco negro nº24 é detectável, nos 0.44µm, à
distância de 1.3×106m. Note-se que os buracos negros nºs 24 e 25 têm o respectivo λmax
na banda do ultravioleta (Tabela 4.1) e não na banda do visível como acontece com os
buracos negros nºs 20 a 23.
No gráfico da Figura 4.15 estão representadas as curvas da função d(rs) para os
comprimentos de onda considerados anteriormente (Tabela 4.5). Foram também
consideradas as mesmas sensibilidades.
Verifica-se que um telescópio capaz de observar até a magnitude 30 seria capaz de
detectar um buraco negro com rs=8.9×10-9m (3.0×10-12M ) à distância de 1.3×106m. O
ponto d=10rs (que não está representado na figura) ocorre quando rs é da ordem dos
10-7m (5.5×10-7m para o filtro R, 4.3×10-7m para o filtro V, 3.5×10-7m para o filtro B).
Detecção directa de buracos negros 109
Tabela 4.5 - Distâncias máximas para a detecção no visível. São indicados, para os buracos
negros nºs 19 a 50 da Tabela 4.1 a densidade de fluxo emitida e a distância máxima à qual
podem ser detectados para os comprimentos de onda de 0.70µm (sν=0.022µJy), 0.55µm
(sν=0.034µJy) e 0.44µm (sν=0.017µJy). Os buracos negros nºs 1 a 18 não foram incluídos pois
para esses é sempre d<rs.
λλλλ=0.70µµµµm λλλλ=0.55µµµµm λλλλ=0.44µµµµm n rs (m)
S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)
19 6.3×10-8 3.0×1017 2.4×105 9.0×1016 1.0×105 1.8×1016 6.6×104
20 4.4×10-8 2.6×1018 4.8×105 1.4×1018 2.8×105 5.4×1017 2.5×105
21 3.8×10-8 5.2×1018 5.9×105 3.3×1018 3.8×105 1.7×1018 3.8×105
22 3.2×10-8 1.1×1019 7.1×105 8.3×1018 4.9×105 5.2×1018 5.5×105
23 2.5×10-8 2.3×1019 8.2×105 2.1×1019 6.3×105 1.6×1019 7.8×105
24 6.3×10-9 3.5×1020 8.1×105 5.1×1020 7.8×105 7.0×1020 1.3×106
25 6.3×10-10 4.9×1021 3.0×105 7.9×1021 3.1×105 1.2×1022 5.4×105
26 6.3×10-11 5.1×1022 9.7×104 8.3×1022 9.9×104 1.3×1023 1.7×105
27 6.3×10-12 5.1×1023 3.1×104 8.3×1023 3.1×104 1.3×1024 5.5×104
28 6.3×10-13 5.1×1024 9.8×103 8.3×1024 9.9×103 1.3×1025 1.7×104
29 6.3×10-14 5.1×1025 3.1×103 8.3×1025 3.1×103 1.3×1026 5.5×103
30 6.3×10-15 5.1×1026 9.8×102 8.3×1026 9.9×102 1.3×1027 1.7×103
31 6.3×10-16 5.1×1027 3.1×102 8.3×1027 3.1×102 1.3×1028 5.5×102
32 6.3×10-17 5.1×1028 98 8.3×1028 99 1.3×1029 1.7×102
33 6.3×10-18 5.1×1029 31 8.3×1029 31 1.3×1030 55
34 6.3×10-19 5.1×1030 9.8 8.3×1030 9.9 1.3×1031 17
35 6.3×10-20 5.1×1031 3.1 8.3×1031 3.1 1.3×1032 5.5
36 6.3×10-21 5.1×1032 9.8×10-1 8.3×1032 9.9×10-1 1.3×1033 1.7
37 6.3×10-22 5.1×1033 3.1×10-1 8.3×1033 3.1×10-1 1.3×1034 5.5×10-1
38 6.3×10-23 5.1×1034 9.8×10-2 8.3×1034 9.9×10-2 1.3×1035 1.7×10-1
39 6.3×10-24 5.1×1035 3.1×10-2 8.3×1035 3.1×10-2 1.3×1036 5.5×10-2
40 6.3×10-25 5.1×1036 9.8×10-3 8.3×1036 9.9×10-3 1.3×1037 1.7×10-2
41 6.3×10-26 5.1×1037 3.1×10-3 8.3×1037 3.1×10-3 1.3×1038 5.5×10-3
42 6.3×10-27 5.1×1038 9.8×10-4 8.3×1038 9.9×10-4 1.3×1039 1.7×10-3
43 6.3×10-28 5.1×1039 3.1×10-4 8.3×1039 3.1×10-4 1.3×1040 5.5×10-4
44 6.3×10-29 5.1×1040 9.8×10-5 8.3×1040 9.9×10-5 1.3×1041 1.7×10-4
45 6.3×10-30 5.1×1041 3.1×10-5 8.3×1041 3.1×10-5 1.3×1042 5.5×10-5
46 6.3×10-31 5.1×1042 9.8×10-6 8.3×1042 9.9×10-6 1.3×1043 1.7×10-5
(continua)
Detecção directa de buracos negros 110
Tabela 4.5 - Distâncias máximas para a detecção no visível (continuação).
λλλλ=0.70µµµµm λλλλ=0.55µµµµm λλλλ=0.44µµµµm n rs (m)
S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)
47 6.3×10-32 5.1×1043 3.1×10-6 8.3×1043 3.1×10-6 1.3×1044 5.5×10-6
48 6.3×10-33 5.1×1044 9.8×10-7 8.3×1044 9.9×10-7 1.3×1045 1.7×10-6
49 6.3×10-34 5.1×1045 3.1×10-7 8.3×1045 3.1×10-7 1.3×1046 5.5×10-7
50 6.3×10-35 5.1×1046 9.8×10-8 8.3×1046 9.9×10-8 1.3×1047 1.7×10-7
Buracos negros cujos raios sejam inferiores aos indicados podem ser detectados no
óptico. Estão neste caso os buracos negros nºs 19 a 50 da Tabela 4.1 como já foi
indicado na Tabela 4.5.
Verifica-se, ainda pelo gráfico da Figura 4.15, que a observação com o filtro B
tem vantagem, em termos de distância, para buracos negros cujo raio seja inferior a
≈2.5×10-8m (onde se incluem os buracos negros nºs 23 a 50 da Tabela 4.1). Para valores
de rs superiores é já o filtro R que permite observar a maiores distâncias (estão neste
caso os buracos negros nºs 19 a 22 da Tabela 4.1).
A magnitude absoluta de um buraco negro na banda do óptico pode determinar-se
a partir de (4.6) com a luminosidade L substituída pela luminosidade do buraco negro na
banda do visível (a qual designaremos por Lvis). O valor de Lvis é dado por :
vis2svis Fr4L = (4.8)
onde rs é dado pela equação (1.3) e Fvis corresponde ao fluxo da radiação emitida por
um determinado buraco negro na banda do visível. O valor de Fvis é obtido integrando a
expressão (4.3) ao longo de toda a banda do visível (0.7µm>λ>0.4µm):
( )2-m4.0/c
m7.0/cc/r82
3m4.0/c
m7.0/c
vis Wm d1e
1
c
h2dSF
s2
−== (4.9)
Na Tabela 4.6 são indicados para os buracos negros nºs 19 a 30 da Tabela 4.1 os
correspondentes valores de Fvis (equação 4.9), Lvis (equação 4.8) e magnitude absoluta
na banda do visível, MA, (equação 4.6). Verifica-se que o buraco negro mais brilhante
(magnitude absoluta menor) é o nº 24 com MA=86.4.
Detecção directa de buracos negros 111
Tabela 4.6 - Magnitude absoluta na banda do visível. São indicados para os buracos negros
nºs 19 a 30 da Tabela 4.1 os respectivos fluxos e luminosidades na banda do visível bem como
as correspondentes magnitude absolutas.
n rs (m) Fvis (Wm-2
) Lvis (W) MA
19 6.3×10-8 2.7×105 1.3×10-8 91.0
20 4.4×10-8 3.6×106 9.0×10-8 88.9
21 3.8×10-8 9.0×106 1.6×10-7 88.3
22 3.2×10-8 2.3×107 2.9×10-7 87.6
23 2.5×10-8 6.0×107 4.8×10-7 87.1
24 6.3×10-9 1.8×109 9.2×10-7 86.4
25 6.3×10-10 3.0×1010 1.5×10-7 88.3
26 6.3×10-11 3.2×1011 1.6×10-8 90.8
27 6.3×10-12 3.2×1012 1.6×10-9 93.3
28 6.3×10-13 3.2×1013 1.6×10-10 95.8
29 6.3×10-14 3.2×1014 1.6×10-11 98.3
30 6.3×10-15 3.2×1015 1.6×10-12 100.8
Consideremos a observação de buracos negros a olho nu. O olho humano
consegue detectar objectos até a magnitude aparente 6. A expressão que relaciona
magnitude aparente (ma), magnitude absoluta (MA) e distância (d) pode escrever-se
como (e.g. Harwit 1998)9:
dlog55mM 10aA −+= (4.10)
com a distância d expressa em pc. Fazendo ma=6 em (4.10) e recorrendo às equações
(4.6), (4.8) e (4.9) para determinar MA podemos calcular a distância máxima à qual se
podem detectar buracos negros a olho nu. A curva d(rs) correspondente está
representada no gráfico da Figura 4.16.
Verifica-se que o olho humano seria capaz de detectar um buraco negro com um
raio de 1.0×10-8m a cerca de 27.2m de distância. Buracos negros com raios maiores ou
menores seriam detectáveis a distâncias inferiores. Por exemplo, a 10cm de distância,
xxx
9 Não vamos considerar a parcela correspondente à extinção interestelar uma vez que para as distâncias em causa (ver Figura 4.16) a mesma poder considerar-se nula
Detecção directa de buracos negros 112
Figura 4.16 - Distância máxima para a detecção a olho nu da radiação de Hawking emitida por buracos
negros. Ao pico do gráfico correspondem os valores rs≈1.0×10-8m, d≈27.2m e M≈3.4×10-12M .
seria detectável um buraco negro com rs≈1.3×10-7m (λmax no infravermelho; Tabela 4.1)
ou um buraco negro com rs≈5.0×10-14m (λmax nos raios gama; Tabela 4.1).
4.4.4 Ultravioleta
A radiação ultravioleta proveniente do exterior da Terra é bloqueada pela camada
de ozono pelo que a observação nesta banda do espectro (Figura 4.7) tem de ser feita a
partir do espaço (e.g. Smith 1995).
Os instrumentos do HST conseguem detectar no ultravioleta médio
(165nm<λ<310nm) objectos de magnitude aparente ma≈25 ao que corresponde uma
sensibilidade sν≈0.32µJy10
O satélite FUSE (Far Ultraviolet Spectroscopic Explorer), lançado em 1999,
permite efectuar observações entre os 90nm e 120nm (ultravioleta distante - ultravioleta
longínquo) com uma sensibilidade limite sν≈3.3×10-7Jy11.
10 Os dados foram retirados do "Hubble Space Telescope, Primer for Cycle 11" - Secção 4.1.
(http://www.stsci.edu/proposer/cy11/documents/online) 11 Os dados foram retirados do "The Fuse Observers Guide" Versão 5.0, Julho 2003
(http://fuse.pha.edu/suport/guide/guide.html)
Detecção directa de buracos negros 113
Vamos considerar a possibilidade de detecção da radiação de Hawking, emitida
pelos 50 buracos negros da Tabela 4.1, nos 237nm (ultravioleta médio) e nos 105nm
(ultravioleta distante). Nos 237nm vamos considerar sν=3.2×10-7Jy (HST) e nos 105nm
sν=3.3×10-7Jy (FUSE).
As distâncias máximas de detecção, determinadas a partir da equação (4.4), para
os buracos negros 19 a 50 da Tabela 4.1, estão indicadas na Tabela 4.7. Na tabela são
também indicadas as densidades de fluxo emitidas por cada buraco negro em cada caso.
Verifica-se que os buracos negros 24 e 25 são detectáveis, para os comprimentos de
onda considerados, a distâncias da ordem dos 105m.
Nos gráficos da Figura 4.17 estão representadas as curvas da função d(rs) para os
mesmos comprimentos de onda da Tabela 4.7. Foram também consideradas as mesmas
sensibilidades.
No caso dos 237nm (Figura 4.17a) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria
possível detectar um buraco negro com rs=4.8×10-9m (M=1.6×10-12M ) a 4.1×105m de
distância. A condição d=10rs ocorre quando rs≈2.6×10-7m (este ponto não está
representado no gráfico). São, assim, detectáveis nos 237nm todos os buracos negros
com rs<2.6×10-7m onde se incluem os buracos negros nºs 19 a 50 da Tabela 4.1.
No caso dos 105nm (Figura 4.17b) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria
possível detectar um buraco negro com rs=2.1×10-9m (M=7.1×10-13M ) a 6.1×105m de
distância. A condição d=10rs ocorre quando rs≈8.4×10-8m (este ponto não está
representado no gráfico). São, assim, detectáveis nos 105nm todos os buracos negros
com rs<8.4×10-8m onde se incluem os buracos negros nºs 19 a 50 da Tabela 4.1.
4.4.5 Raios X
Os raios X interagem fortemente com a matéria por meio do processo de absorção
fotoelectrónica. O livre percurso médio dos raios X no ar é, por essa razão, limitado a
alguns centímetros (e.g. Smith 1995) pelo que a astronomia de raios X tem de ser
efectuada a partir do espaço.
Ao longo dos últimos anos foram colocados em órbita vários telescópios de raios
X. Um dos mais sensíveis, actualmente em operação, é o Newton-XMM. Apresenta, por
exemplo (http://heasarc.gsfc.nasa.gov/docs/xmm/), sensibilidade sν=3.3×10-10Jy nos
Detecção directa de buracos negros 114
xxxxx
Tabela 4.7 – Distâncias máximas para a detecção no ultravioleta. São indicados, para os
buracos negros nºs 19 a 50 da Tabela 4.1 a densidade de fluxo emitida e a distância máxima à
qual podem ser detectados nos comprimentos de onda de 237nm (sν=3.2×10-7Jy) e 105nm
(sν=3.3×10-7Jy). Os buracos negros nºs 1 a 18 não foram incluídos pois para esses é sempre d<rs.
λλλλ=237nm λλλλ=105nm n rs (m)
S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)
19 6.3×10-8 7.7×1012 3.1×102 3.1×102 1.9×10-3
20 4.4×10-8 4.1×1015 5.0×103 4.5×108 1.6
21 3.8×10-8 3.3×1016 1.2×104 5.1×1010 15
22 3.2×10-8 2.7×1017 2.9×104 5.8×1012 1.3×102
23 2.5×10-8 2.2×1018 6.6×104 6.5×1014 1.1×103
24 6.3×10-9 1.3×1021 4.0×105 9.6×1020 3.4×105
25 6.3×10-10 4.0×1022 2.2×105 1.8×1023 4.6×105
26 6.3×10-11 4.4×1023 7.4×104 2.2×1024 1.6×105
27 6.3×10-12 4.5×1024 2.4×104 2.3×1025 5.2×104
28 6.3×10-13 4.5×1025 7.5×103 2.3×1026 1.7×104
29 6.3×10-14 4.5×1026 2.4×103 2.3×1027 5.2×103
30 6.3×10-15 4.5×1027 7.5×102 2.3×1028 1.7×103
31 6.3×10-16 4.5×1028 2.4×102 2.3×1029 5.2×102
32 6.3×10-17 4.5×1029 75 2.3×1030 1.7×102
33 6.3×10-18 4.5×1030 24 2.3×1031 52
34 6.3×10-19 4.5×1031 7.5 2.3×1032 17
35 6.3×10-20 4.5×1032 2.4 2.3×1033 5.2
36 6.3×10-21 4.5×1033 7.5×10-1 2.3×1034 1.7
37 6.3×10-22 4.5×1034 2.4×10-1 2.3×1035 5.2×10-1
38 6.3×10-23 4.5×1035 7.5×10-2 2.3×1036 1.7×10-1
39 6.3×10-24 4.5×1036 2.4×10-2 2.3×1037 5.2×10-2
40 6.3×10-25 4.5×1037 7.5×10-3 2.3×1038 1.7×10-2
41 6.3×10-26 4.5×1038 2.4×10-3 2.3×1039 5.2×10-3
42 6.3×10-27 4.5×1039 7.5×10-4 2.3×1040 1.7×10-3
43 6.3×10-28 4.5×1040 2.4×10-4 2.3×1041 5.2×10-4
44 6.3×10-29 4.5×1041 7.5×10-5 2.3×1042 1.7×10-4
45 6.3×10-30 4.5×1042 2.4×10-5 2.3×1043 5.2×10-5
46 6.3×10-31 4.5×1043 7.5×10-6 2.3×1044 1.7×10-5
(continua)
Detecção directa de buracos negros 115
Tabela 4.7 – Distâncias máximas para a detecção no ultravioleta (continuação).
λλλλ=237nm λλλλ=105nm n rs (m)
S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)
47 6.3×10-32 4.5×1044 2.4×10-6 2.3×1045 5.2×10-6
48 6.3×10-33 4.5×1045 7.5×10-7 2.3×1046 1.7×10-6
49 6.3×10-34 4.5×1046 2.4×10-7 2.3×1047 5.2×10-7
50 6.3×10-35 4.5×1047 7.5×10-8 2.3×1048 1.7×10-7
Figura 4.17 - Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco
negro. Foram considerados os comprimentos de onda 237nm (ultravioleta médio) e 105nm (ultravioleta
extremo). Os valores correspondentes a cada um dos picos dos gráficos são: (a) rs=4.8×10-9m,
d=4.1×105m, M=1.6×10-12M ; (b) rs=2.1×10-9m, d=6.1×105m, M=7.1×10-13M .
Detecção directa de buracos negros 116
0.2-0.5KeV (6.2nm>λ>2.5nm - raios X suaves), sν=8.6×10-11Jy nos 0.5-2.0KeV
(2.5nm>λ>0.6nm - raios X suaves e médios) e sν=2.0×10-10Jy nos 5-10KeV
(0.25nm>λ>0.13nm - raios X médios)
Vamos considerar a possibilidade de detecção da radiação de Hawking, emitida
pelos 50 buracos negros da Tabela 4.1, nos 3.5nm (sν=3.3×10-10Jy), 1nm
(sν=8.6×10-11Jy) e 0.167nm (sν=2.0×10-10Jy). As distâncias máximas para a detecção
dos buracos negros nºs 25 a 50, obtidas a partir da equação (4.4), bem como a densidade
de fluxo emitida por cada buraco negro em cada caso, estão indicadas na Tabela 4.8.
Verifica-se que alguns dos buracos negros são detectáveis a distâncias da ordem
dos 108m, ou seja, a distâncias comparáveis à distância Terra-Lua. Por exemplo, o
buraco negro nº27 é detectável nos 0.167nm até à distância de 5.4×108m e para 1nm até
à distância de 3.0×108m. O buraco negro nº28 é detectável nos 0.167nm até à distância
de 3.9×108m e para 1nm à distância máxima de 1.3×108m.
Nos gráficos da Figura 4.18 estão representadas as curvas da função d(rs) para os
mesmos comprimentos de onda da Tabela 4.8. Foram também consideradas as mesmas
sensibilidades.
No caso dos 3.5nm (Figura 4.18a) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria
possível detectar um buraco negro com rs=7.1×10-11m (M=2.4×10-14M ) a 1.1×108m de
distância (≈1/3 da distância Terra-Lua). A condição d=10rs ocorre quando rs≈3.6×10-9m
(este ponto não está representado no gráfico). São, assim, detectáveis nos 3.5nm todos
os buracos negros com rs<3.6×10-9m onde se incluem os buracos negros nºs 25 a 50 da
Tabela 4.1.
Para o comprimento de onda de 1nm (Figura 4.18b) verifica-se, pelo pico do
gráfico, que seria possível detectar um buraco negro com rs=2.0×10-11m
(M=6.8×10-15M ) a 3.9×108m de distância (aproximadamente à distância Terra-Lua). A
condição d=10rs ocorre quando rs≈1.0×10-9m (este ponto não está representado no
gráfico). São, assim, detectáveis no comprimento de onda de 1nm todos os buracos
negros com rs<1.0×10-9m onde se incluem os buracos negros nºs 25 a 50 da Tabela 4.1.
Por fim, no caso dos 0.167nm (Figura 4.18c) verifica-se, pelo pico do gráfico, que
seria possível detectar um buraco negro com rs=3.4×10-12m (M=1.2×10-15M ) a
6.2×108m de distância (≈1.6 vezes superiores à distância Terra-Lua). A condição d=10rs
xxx
Detecção directa de buracos negros 117
Tabela 4.8 – Distâncias máximas para a detecção nos raios X. São indicados, para os
buracos negros nºs 25 a 50 da Tabela 4.1 a densidade de fluxo emitida e a distância máxima à
qual podem ser detectados para os comprimentos de onda de 3.5nm (sν=3.3×10-10Jy), 1nm
(sν=8.6×10-11Jy) e 0.167nm (sν=2.0×10-10Jy). Os buracos negros nºs 1 a 24 não foram incluídos
pois para esses é sempre d<rs.
λλλλ=3.5nm λλλλ=1nm λλλλ=0.167nm n rs (m)
S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)
25 6.3×10-10 2.3×1021 1.7×106 3.2×107 3.8×10-1
26 6.3×10-11 9.1×1026 1.0×108 8.7×1026 2.0×108 3.2×1018 8.0×103
27 6.3×10-12 1.9×1028 4.7×107 1.9×1029 3.0×108 1.4×1030 5.4×108
28 6.3×10-13 2.0×1029 1.5×107 2.5×1030 1.1×108 7.7×1031 3.9×108
29 6.3×10-14 2.0×1030 4.9×106 2.5×1031 3.4×107 8.9×1032 1.3×108
30 6.3×10-15 2.0×1031 1.5×106 2.5×1032 1.1×107 9.0×1033 4.2×107
31 6.3×10-16 2.0×1032 4.9×105 2.5×1033 3.4×106 9.0×1034 1.3×107
32 6.3×10-17 2.0×1033 1.5×105 2.5×1034 1.1×106 9.0×1035 4.2×106
33 6.3×10-18 2.0×1034 4.9×104 2.5×1035 3.4×105 9.0×1036 1.3×106
34 6.3×10-19 2.0×1035 1.5×104 2.5×1036 1.1×105 9.0×1037 4.2×105
35 6.3×10-20 2.0×1036 4.9×103 2.5×1037 3.4×104 9.0×1038 1.3×105
36 6.3×10-21 2.0×1037 1.5×103 2.5×1038 1.1×104 9.0×1039 4.2×104
37 6.3×10-22 2.0×1038 4.9×102 2.5×1039 3.4×103 9.0×1040 1.3×104
38 6.3×10-23 2.0×1039 1.5×102 2.5×1040 1.1×103 9.0×1041 4.2×103
39 6.3×10-24 2.0×1040 49 2.5×1041 3.4×102 9.0×1042 1.3×103
40 6.3×10-25 2.0×1041 15 2.5×1042 1.1×102 9.0×1043 4.2×102
41 6.3×10-26 2.0×1042 4.9 2.5×1043 34 9.0×1044 1.3×102
42 6.3×10-27 2.0×1043 1.5 2.5×1044 11 9.0×1045 42
43 6.3×10-28 2.0×1044 4.9×10-1 2.5×1045 3.4 9.0×1046 13
44 6.3×10-29 2.0×1045 1.5×10-1 2.5×1046 1.1 9.0×1047 4.2
45 6.3×10-30 2.0×1046 4.9×10-2 2.5×1047 3.4×10-1 9.0×1048 1.3
46 6.3×10-31 2.0×1047 1.5×10-2 2.5×1048 1.1×10-1 9.0×1049 4.2×10-1
47 6.3×10-32 2.0×1048 4.9×10-3 2.5×1049 3.4×10-2 9.0×1050 1.3×10-1
48 6.3×10-33 2.0×1049 1.5×10-3 2.5×1050 1.1×10-2 9.0×1051 4.2×10-2
49 6.3×10-34 2.0×1050 4.9×10-4 2.5×1051 3.4×10-3 9.0×1052 1.3×10-2
50 6.3×10-35 2.0×1051 1.5×10-4 2.5×1052 1.1×10-3 9.0×1053 4.2×10-3
Detecção directa de buracos negros 118
Figura 4.18 - Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco
negro. Foram considerados os comprimentos de onda 3.5nm (raios X suaves), 1nm (raios X médios) e
0.167nm (raios X fortes). Os valores correspondentes a cada um dos picos dos gráficos são: (a)
rs=7.1×10-11m, d=1.1×108m, M=2.4×10-14M ; (b) rs=2.0×10-11m, d=3.9×108m, M=6.8×10-15M ; (c)
rs=3.4×10-12m, d=6.2×108m, M=1.2×10-15M .
Detecção directa de buracos negros 119
ocorre quando rs≈1.9×10-10m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim,
detectáveis nos 0.167nm todos os buracos negros com rs<1.9×10-10m onde se incluem os
buracos negros nºs 26 a 50 da Tabela 4.1.
4.4.6 Raios gama
Tal como os raios X, os raios gama interagem fortemente com a matéria pelo que
a astronomia de raios gama tem de ser feita a partir do espaço. Exceptuam-se aqui os
raios gama fortes com energias superiores a 100GeV que conseguem penetrar a
atmosfera e atingir o solo (e.g. Morselli 2002).
No domínio dos raios gama suaves está actualmente operacional o INTEGRAL
(INTErnational Gamma-Ray Astrophysics Laboratory). Os instrumentos deste
permitem a observação entre os 15KeV (λ=8.3×10-11m; ainda nos raios X fortes) até aos
10MeV (λ=1.2×10-13m; raios gama suaves) com uma sensibilidade próxima dos
6.6×10-11Jy (e.g. Winkler 2000).
Para a observação a nível dos raios gama médios será lançado brevemente o
AGILE (Astro-revilatore Gamma a Immagini LEggero). Os instrumentos do AGILE
permitirão efectuar observações nos 0.1-30GeV (1.2×10-14m>λ>4.1×10-17m; raios gama
médios) com uma sensibilidade próxima dos 6.7×10-13Jy (e.g. Morselli 2002).
Quanto aos raios gama fortes está a ser construído na Namíbia o HESS (High
Energy Stereoscopic System). Este terá uma sensibilidade próxima dos 1.7×10-17Jy na
banda dos 0.1-10TeV (1.2×10-17m>λ>1.2×10-19m; raios gama fortes) (e.g. Morselli
2002).
Vamos considerar a possibilidade de detecção da radiação de Hawking, emitida
pelos 50 buracos negros da Tabela 4.1, nos 2.5×10-13m (sν=6.6×10-11Jy), nos 8.3×10-17m
(sν=6.7×10-13Jy) e nos 2.5×10-19m (sν=1.7×10-17Jy). As distâncias máximas para a
detecção dos buracos negros nºs 29 a 50, obtidas a partir da equação (4.4), bem como a
densidade de fluxo emitida por cada buraco negro em cada caso, estão indicadas na
Tabela 4.9. Os buracos negros 1 a 28, no caso λ=2.5×10-13m, 1 a 31, no caso
λ=8.3×10-17m, e 1 a 34, no caso λ=2.5×10-19m, não foram considerados pois para esses
é d<rs.
Detecção directa de buracos negros 120
Tabela 4.9 – Distâncias máximas para a detecção nos raios gama. São indicados, para os
buracos negros nºs 29 a 50 da Tabela 4.1 a densidade de fluxo emitida e a distância máxima à
qual podem ser detectados para os comprimentos de onda de 2.5×10-13m (sν=6.6×10-11Jy),
8.3×10-17m (sν=6.7×10-13Jy) e 2.5×10-19m (sν=1.7×10-17Jy). Os buracos negros nºs 1 a 28 no caso
λ=2.5×10-13m, nºs 1 a 31 no caso λ=8.3×10-17m e nºs 1 a 34 no caso λ=2.5×10-19m não foram
incluídos pois para esses é sempre d<rs.
λλλλ=2.5××××10-13
m λλλλ=8.3××××10-17
m λλλλ=2.5××××10-19
m n rs (m)
S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)
29 6.3×10-14 1.9×1031 3.3×107
30 6.3×10-15 1.3×1039 2.8×1010
31 6.3×10-16 3.6×1040 1.5×1010
32 6.3×10-17 4.0×1041 4.9×109 2.2×1024 1.2×102
33 6.3×10-18 4.0×1042 1.6×109 5.5×1047 5.7×1012
34 6.3×10-19 4.0×1043 4.9×108 2.7×1050 1.3×1013
35 6.3×10-20 4.0×1044 1.6×108 3.5×1051 4.6×1012 1.9×1049 6.7×1013
36 6.3×10-21 4.0×1045 4.9×107 3.6×1052 1.5×1012 1.3×1057 5.5×1016
37 6.3×10-22 4.0×1046 1.6×107 3.6×1053 4.7×1011 3.6×1058 3.0×1016
38 6.3×10-23 4.0×1047 4.9×106 3.6×1054 1.5×1011 4.0×1059 9.8×1015
39 6.3×10-24 4.0×1048 1.6×106 3.6×1055 4.7×1010 4.0×1060 3.1×1015
40 6.3×10-25 4.0×1049 4.9×105 3.6×1056 1.5×1010 4.0×1061 9.9×1014
41 6.3×10-26 4.0×1050 1.6×105 3.6×1057 4.7×109 4.0×1062 3.1×1014
42 6.3×10-27 4.0×1051 4.9×104 3.6×1058 1.5×109 4.0×1063 9.9×1013
43 6.3×10-28 4.0×1052 1.6×104 3.6×1059 4.7×108 4.0×1064 3.1×1013
44 6.3×10-29 4.0×1053 4.9×103 3.6×1060 1.5×108 4.0×1065 9.9×1012
45 6.3×10-30 4.0×1054 1.6×103 3.6×1061 4.7×107 4.0×1066 3.1×1012
46 6.3×10-31 4.0×1055 4.9×102 3.6×1062 1.5×107 4.0×1067 9.9×1011
47 6.3×10-32 4.0×1056 1.6×102 3.6×1063 4.7×106 4.0×1068 3.1×1011
48 6.3×10-33 4.0×1057 49 3.6×1064 1.5×106 4.0×1069 9.9×1010
49 6.3×10-34 4.0×1058 16 3.6×1065 4.7×105 4.0×1070 3.1×1010
50 6.3×10-35 4.0×1059 4.9 3.6×1066 1.5×105 4.0×1071 9.9×109
O buraco negro nº30 é detectável nos 2.5×10-13m a uma distância de 2.8×1010m ou
seja a 0.18UA (cerca de 73 vezes a distância Terra-Lua). O buraco negro nº34 é
detectável nos 8.3×10-17m a uma distância de 1.3×1013m (cerca de duas vezes a
distância Sol-Plutão). No caso da observação nos 2.5×10-19m temos que o buraco negro
Detecção directa de buracos negros 121
nº 36 é detectável a 5.5×1016m o que equivale a cerca de 5.8AL.
Nos gráficos da Figura 4.19 estão representadas as curvas da função d(rs) para os
mesmos comprimentos de onda da Tabela 4.9. Foram também consideradas as mesmas
sensibilidades.
Para o comprimento de onda de 2.5×10-13m (Figura 4.19a) verifica-se, pelo pico
do gráfico, que seria possível detectar um buraco negro com rs=5.0×10-15m
(M=1.7×10-18M ) a 2.8×1010m de distância (≈73 vezes a distância Terra-Lua ou
≈0.19UA). A condição d=10rs ocorre quando rs≈3.5×10-13m (este ponto não está
representado no gráfico). São, assim, detectáveis no comprimento de onda de
2.5×10-13m todos os buracos negros com rs<3.5×10-13m onde se incluem os buracos
negros nºs 29 a 50 da Tabela 4.1.
No caso dos 8.7×10-17m (Figura 4.19b) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria
possível detectar um buraco negro com rs=1.7×10-18m (M=5.8×10-22M ) a 1.5×1013m de
distância (≈100UA, ≈14 horas luz ou ≈2.5 a distância máxima de Plutão ao Sol). A
condição d=10rs ocorre quando rs≈1.5×10-16m (este ponto não está representado no
gráfico). São, assim, detectáveis no comprimento de onda de 8.7×10-17m todos os
buracos negros com rs<1.5×10-16m onde se incluem os buracos negros nºs 32 a 50 da
Tabela 4.1.
No caso dos 2.5×10-19m (Figura 4.19c) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria
possível detectar um buraco negro com rs=5.0×10-21m (M=1.7×10-24M ) a 5.5×1016m de
distância (≈5.8AL). A condição d=10rs ocorre quando rs≈5.3×10-19m (este ponto não
está representado no gráfico). São, assim, detectáveis no comprimento de onda de
2.5×10-19m todos os buracos negros com rs<5.3×10-19m onde se incluem os buracos
negros nºs 35 a 50 da Tabela 4.1.
4.4.7 Buracos negros em fase terminal
Para estimar o tempo de evaporação de um buraco negro podemos recorrer à
equação (2.33). A função f(M) presente nas equações (2.32) e (2.33) varia muito
lentamente com a massa. O seu valor é de 15.4 para M<<108kg e de 1 para M>>1014kg.
Vamos supor, por simplicidade que f(M)=15.4, para M<108kg, que f(M)=1, para
xxxxxxx
Detecção directa de buracos negros 122
Figura 4.19 - Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco
negro. Foram considerados os comprimentos de onda 2.5×10-13m (raios gama suaves), 8.3×10-17m
(raios gama médios) e 2.5×10-19m (raios gama fortes). Os valores correspondentes a cada um dos picos
dos gráficos são: (a) rs=5.0×10-15m, d=2.8×1010m, M=1.7×10-18M ; (b) rs=1.7×10-18m, d=1.5×1013m,
M=5.8×10-22M ; (c) rs=5.0×10-21m, d=5.5×1016m, M=1.7×10-24M
Detecção directa de buracos negros 123
Figura 4.20 - Função f(M) para a evaporação de buracos negros (cf. equações 2.32 e 2.33).
M>1014kg e que f(M) apresenta um comportamento linear entre estes dois pontos
(Figura 4.20). Na Tabela 4.10 são apresentados os tempos de evaporação para os
buracos negros 30 a 50 da Tabela 4.1.
A idade estimada para o Universo é da ordem dos 1010anos (e.g. Unsöld &
Bascheck 2002). Isto significa que os buracos negros primordiais, como o buraco negro
nº30 da Tabela 4.1 (tempo de evaporação da ordem dos 1012anos), ainda não tiveram
tempo para se evaporar completamente. Os buracos negros nºs 1 a 29 da Tabela 4.1
apresentam, por terem massas superiores, tempos de evaporação superiores (cf. equação
2.33).
O buraco negro nº34 tem um tempo de evaporação aproximadamente igual a 1
ano. Consideraremos como buracos negros terminais todos aqueles cujo tempo de
evaporação seja igual ou inferior a 1 ano onde se incluem os buracos negros nºs 34 a 50
da Tabela 4.1. Note-se que todos estes buracos negros têm o seu λmax na banda dos raios
gama fortes (cf. Figura 4.7).
As distâncias máximas para a detecção da radiação de Hawking emitida por
buracos negros terminais foram determinadas anteriormente (Tabelas 4.2, 4.3, 4.5, 4.7,
4.8 e 4.9). Os melhores resultados ocorrem para a observação nos 2.5×10-19m (Tabela
4.9). Neste comprimento de onda o buraco negro nº36 (rs=6.3×10-21m, T=2.9×1016K,
M=4.3×106kg) é detectável a uma distância de 5.5×1016m (≈5.8AL). O mesmo buraco
negro é detectável nos 8.3×10-17m (raios gama médios) a cerca de 1.5×1012m (≈10UA) e
Detecção directa de buracos negros 124
Tabela 4.10 - Tempo de evaporação de buracos negros de Schwarzschild. São indicados
para os buracos negros de Schwarzschild nºs 30 a 50, da Tabela 4.1, os respectivos tempos de
evaporação de acordo com a equação (2.33).
n rs (m) M (kg) tevap
30 6.3×10-15 4.3×1012 1012 anos
31 6.3×10-16 4.3×1011 109 anos
32 6.3×10-17 4.3×1010 106 anos
33 6.3×10-18 4.3×109 103 anos
34 6.3×10-19 4.3×108 1 ano
35 6.3×10-20 4.3×107 8.7 horas
36 6.3×10-21 4.3×106 31s
37 6.3×10-22 4.3×105 3.1×10-2s
38 6.3×10-23 4.3×104 3.1×10-5s
39 6.3×10-24 4.3×103 3.1×10-8s
40 6.3×10-25 4.3×102 3.1×10-11s
41 6.3×10-26 43 3.1×10-14s
42 6.3×10-27 4.3 3.1×10-17s
43 6.3×10-28 4.3×10-1 3.1×10-20s
44 6.3×10-29 4.3×10-2 3.1×10-23s
45 6.3×10-30 4.3×10-3 3.1×10-26s
46 6.3×10-31 4.3×10-4 3.1×10-29s
47 6.3×10-32 4.3×10-5 3.1×10-32s
48 6.3×10-33 4.3×10-6 3.1×10-35s
49 6.3×10-34 4.3×10-7 3.1×10-38s
50 6.3×10-35 4.3×10-8 3.1×10-41s
nos 2.5×10-13m (raios gama suaves) a cerca de 4.9×107m. Nos raios X médios
(λ=0.167nm) a distância de detecção é de 4.2×104m, no visível (λ=0.44µm) de 1.7m, no
infravermelho próximo (λ=3.4µm) de 9.3×10-3m e no rádio SHF (λ=3.6cm) de
4.1×10-7m.
Detecção directa de buracos negros 125
4.4.8 Emissão de partículas com massa e raios gama secundários
Para além de fotões e gravitões os buracos negros também emitem, via radiação de
Hawking, partículas com massa (Secção 2.4). Na Tabela 4.11 é indicada a ordem de
grandeza da massa do buraco negro (equação 2.29) a partir da qual passam a ser
emitidos leptões e neutrinos (Anexo D). Considerou-se a massa dos vários tipos
neutrinos igual ao respectivo limite superior (Hagiwara et al. 2002).
Verifica-se que os neutrinos νe (que são os mais leves) passam a ser emitidos
quando a massa do buraco negro for da ordem de 1019kg ou inferior. Estão neste caso os
buracos negros nºs 19 (λmax no infravermelho) a 50 da Tabela 4.1. Os neutrinos νµ são
emitidos pelos buracos negros nºs 28 a 50 da Tabela 4.1 e os neutrinos ντ (os mais
pesados) pelos buracos negros nºs 30 a 50 da Tabela 4.1.
De acordo com os resultados da Tabela 4.11 os buracos negros nºs 31 a 50 da
Tabela 4.1 emitem leptões µ, os buracos negros nºs 32 a 50 leptões τ e os buracos
negros nºs 28 a 50 electrões e positrões.
Os mesões π0 (Anexo D), que são os hadrões mais leves, passam a ser emitidos, de
acordo com a equação (2.29), quando a massa do buraco negro for da ordem de 1011kg,
ou seja, quando o raio de Schwarzschild for ≈10-16m. Estão nesta situação os buracos
negros nºs 31 a 50 da Tabela 4.1.
Como o raio do buraco negro emissor é inferior ao alcance da força nuclear forte,
em vez de serem emitidos mesões π0, são emitidos quarks e gluões. O mesmo acontece
para os restantes hadrões (Secção 2.6).
A ordem de grandeza do fluxo de mesões π, formados nos jactos de quarks e
gluões emitidos pelo buraco negro, pode estimar-se através da expressão (2.34) e o
fluxo de fotões gama, resultantes da decomposição de mesões π0, a partir da expressão
(2.35). Podemos exprimir o fluxo em termos energéticos multiplicando dNγ/dt pela
energia correspondente a um fotão (≈70MeV) e dividindo tudo pela área do horizonte
de acontecimentos do buraco negro (πrs2).
Vamos considerar a possibilidade de detecção desses raios gama ditos secundários
por não serem emitidos directamente pelo buraco negro. A detecção dos raios gama
primários já foi considerada anteriormente (Secção 4.4.6).
Detecção directa de buracos negros 126
Tabela 4.11 - Emissão de neutrinos e leptões por buracos negros. É indicado para cada
partícula a respectiva massa m0, a ordem de grandeza da massa do buraco negro abaixo da qual
passa a ser emitida essa partícula (equação 2.29) e o raio de Schwarzschild correspondente
(equação 1.3).
Partícula m0 (MeV) M (kg) rs (m)
neutrino νe <3×10-6 1019 10-8
neutrino νµ <0.19 1014 10-13
electrão 0.511 1014 10-13
neutrino ντ <18.2 1012 10-15
leptão µ 105.659 1011 10-16
leptão τ 1784 1010 10-17
Na Tabela 4.12 indicam-se para os buracos negros nºs 31 a 46, da Tabela 4.1, o
fluxo de fotões gama emitido (equação 2.35), o fluxo de energia correspondente e uma
estimativa da distância à qual esse fluxo poderia ser detectável (equação 4.2) por um
sensor com a sensibilidade sν=6.7×10-13Jy (igual à do AGILE nos 0.1-30GEV; Secção
4.4.6).
O AGILE poderá detectar variações de sinal da ordem de 1µs (e.g. Tavani et al.
2001). O buraco negro nº38, com um tempo de evaporação de31 µs (Tabela 4.10), pode
ser detectado, dentro dos limites técnicos do AGILE a 8.1×1017m (≈85.5AL) de
distância (Tabela 4.12). Os buracos negros de dimensão inferior apresentam tempos de
evaporação inferiores a 1µs (Tabela 4.10) pelo que os respectivos raios gama
secundários não poderão ser detectados pelo AGILE a distâncias superiores a ≈85.5AL.
Assim as distâncias máximas para a detecção de raios gama secundários variam,
dentro dos limites técnicos actuais, entre 4.5×1012m (≈30UA) para o buraco negro nº31
e 8.1×1017m (≈85.5AL) para o buraco negro nº38 e outros mais pequenos.
Por outro lado, há que ter em conta que a equação (4.4), que estamos a utilizar
para calcular a distância máxima de detecção, é válida para um Universo Euclidiano. O
nosso Universo é aproximadamente Euclidiano num raio de ≈109AL (Weinberg 1972)
pelo que não podemos aplicar a equação (4.4) para averiguar a distância máxima de
detecção dos buracos negros nºs 47 a 50 uma vez que a mesma conduziria a valores de
ordem igual ou superior a 109AL.
Detecção directa de buracos negros 127
Tabela 4.12 - Distância para a observação de buracos negros a partir da detecção de raios
gama secundários. São indicados para os buracos negros nºs 31 a 46 (Tabela 4.1) o fluxo de
fotões gama secundários emitidos, o fluxo de energia correspondente e a distância máxima à
qual se poderá detectar o mesmo com um detector de sensibilidade sν=6.7×10-13Jy.
1UA≈1.5×1011m 1AL≈9.5×1015m
n rs (m) dNγγγγ/dt (s-1
) F (Wm-2
) d (m)
31 6.3×10-16 2.8×1023 2.5×1042 4.5×1012
32 6.3×10-17 8.9×1024 7.9×1045 2.6×1013
33 6.3×10-18 2.8×1026 2.5×1049 1.4×1014
34 6.3×10-19 8.9×1027 7.9×1052 8.1×1014
35 6.3×10-20 2.8×1029 2.5×1056 4.5×1015
36 6.3×10-21 8.9×1030 7.9×1059 2.6×1016
37 6.3×10-22 2.8×1032 2.5×1063 1.4×1017
38 6.3×10-23 8.9×1033 7.9×1066 8.1×1017
39 6.3×10-24 2.8×1035 2.5×1070 4.5×1018
40 6.3×10-25 8.9×1036 7.9×1073 2.6×1019
41 6.3×10-26 2.8×1038 2.5×1077 1.4×1020
42 6.3×10-27 8.9×1039 7.9×1080 8.1×1020
43 6.3×10-28 2.8×1041 2.5×1084 4.5×1021
44 6.3×10-29 8.9×1042 7.9×1087 2.6×1022
45 6.3×10-30 2.8×1044 2.5×1091 1.4×1023
46 6.3×10-31 8.9×1045 7.9×1094 8.1×1023
4.5 Análise e discussão de resultados
4.5.1 Dos buracos negros rádio aos buracos negros de raios gama
Nas Secções 4.4.1 a 4.4.6 foi investigada a possibilidade de detecção da radiação de
Hawking emitida por buracos negros tendo em conta os limites técnicos actuais. Para
isso, procurou-se considerar a observação com telescópios cujas sensibilidades, sν,
fossem semelhantes aos melhores existentes na actualidade. Na Tabela 4.13 São
apresentados, em resumo, os telescópios considerados, as respectivas sensibilidades e
Detecção directa de buracos negros 128
xx
Tabela 4.13 - Lista dos telescópios considerados. É indicado, para cada banda do espectro o
telescópio considerado, a respectiva largura de banda, o comprimento de onda central relativo à
largura de banda, <λ>, e a sensibilidade do detector, sν. O caso λ=20m foi introduzido apenas
como exemplo e não corresponde à observação com qualquer telescópio existente.
Banda
espectral <λλλλ> (m) sνννν (Jy)
Largura de
banda Telescópio
20m 1.5×10-2 0.5MHz -
4m 1.5×10-2 1.5MHz VLA Rádio
3.6cm 4.5×10-5 0.7GHz VLA
800µm 10-2 160µm SOFIA
20µm 10-5 5.5µm SIRTF Infravermelho
3.4µm 10-6 0.6µm SIRTF
0.70µm 2.2×10-8 0.21µm HST
0.55µm 3.4×10-8 0.08µm HST Visível
0.44µm 1.7×10-8 0.1µm HST
237nm 3.2×10-7 145nm HST Ultravioleta
105nm 3.3×10-7 30nm FUSE
3.5nm 3.3×10-10 0.3KeV N-XMM
1nm 8.6×10-11 1.5KeV N-XMM Raios X
0.167nm 2.0×10-10 5KeV N-XMM
2.5×10-13m 6.6×10-11 10MeV INTEGRAL
8.3×10-17m 6.7×10-13 30GeV AGILE Raios gama
2.5×10-19m 1.7×10-17 10TeV HESS
larguras de banda associadas aos comprimentos de onda de observação utilizados.
Para cada comprimento de onda foi calculada a distância máxima (equação 4.4) à
qual se poderão detectar os 50 buracos negros introduzidos na Tabela 4.1. Os resultados
obtidos são os apresentados nas Tabelas 4.2 (observação no rádio), 4.3 (observação no
infravermelho), 4.5 (observação no visível), 4.7 (observação no ultravioleta), 4.8
(observação em raios X) e 4.9 (observação em raios gama).
De uma forma geral, verifica-se que as distâncias máximas para a detecção
atingem valores superiores quando o comprimento de onda de observação, λ, é da
mesma ordem de grandeza do comprimento de onda característico do buraco negro,
λmax, uma vez que este corresponde ao comprimento de onda para o qual a emissão de
Detecção directa de buracos negros 129
radiação de Hawking é mais intensa (Figura 2.2). Por exemplo, o buraco negro nº 20,
com λmax=0.7µm, é detectável a 4.8×105m quando observado nos 0.7µm (Tabela 4.5).
Já para os comprimentos de onda λ=0.55µm e λ=3.4µm, o mesmo buraco negro, é
detectável a 2.8×105m (Tabela 4.5) e 1.9×104m (Tabela 4.3) respectivamente.
Em todas as situações de observação consideradas existem sempre alguns buracos
negros que não podem ser detectados pois para esses a distância de detecção (4.4) é
inferior ao respectivo raio de Schwarzschild (d<rs). Estão neste caso, por exemplo, os
buracos negros nºs 1 a 13 quando é considerada a observação nos 3.6cm (Tabela 4.2).
Esta situação, d<rs, ocorre devido à densidade de fluxo da radiação emitida pelo
buraco negro, Sν (equação 4.3), ser inferior à densidade de fluxo correspondente à
sensibilidade do detector, sν, como se constata pela equação (4.2). Consideremos, como
exemplo, a detecção, nos 3.6cm (sν=4.5×10-5Jy), da radiação de Hawking emitida pelos
buracos negros nºs 13 e 14. No caso do buraco negro nº14 temos rs=6.3×10-3m,
Sν=2.7Jy (>>sν) e d=1.6m. Isto significa que o buraco nº14 pode ser detectado a uma
distância cerca de 250 vezes superior ao respectivo raio. No caso do buraco negro nº13
temos rs=6.3×10-2m, Sν=3.2×10-54Jy (<<sν) e d=1.7×10-26m (<<rs).
À medida que avançamos para a observação em comprimentos de onda menores a
distância máxima de detecção atinge valores cada vez maiores. Por exemplo, no caso da
observação nos 3.6cm é possível detectar o buraco negro nº15 até 89m de distância
(Tabela 4.2). Já nos 3.5nm, por exemplo, é possível detectar o buraco negro nº26 a
1.0×108m (Tabela 4.8). Este comportamento é interrompido quando se trata da
observação no ultravioleta (Tabela 4.7) pelo facto de os valores de sν relativos aos
detectores considerados serem superiores (menor sensibilidade) aos do visível (Tabela
4.13).
Os buracos negros nºs 1 a 12 não se podem detectar em nenhuma das situações
consideradas. As distâncias de detecção, dadas pela equação (4.4), são sempre inferiores
ao respectivo raio de Schwarzschild (equação 1.3). Estão neste caso os buracos negros
com massas superiores a 10-4M o que inclui os buracos negros de massa estelar (1-
102M ; Secções 3.3. e 3.4), de massa intermédia (103-105M ; Secção 3.2) e
supermassivos (106-1010M ; Secção 3.1), ou seja, todos os buracos negros até hoje
detectados indirectamente.
De entre todos os buracos negros, da Tabela 4.1, o maior que é detectável é o nº13
(λmax=1m, T=2.9×10-3K, M=2.1×10-5M , rs=6.3cm). A distância máxima de detecção é
Detecção directa de buracos negros 130
de 12cm, para λ=20m, e de 46cm, para λ=4m (Tabela 4.2). A detecção não é possível
nos outros comprimentos de onda considerados.
O buraco negro rádio detectável a maior distância é o nº15 (o buraco negro rádio
mais pequeno daqueles que estão na Tabela 4.1). A radiação de Hawking emitida por
este pode ser detectada até 89m de distância (Tabela 4.2). De uma forma geral, a
radiação de Hawking emitida por buracos negros rádio (buracos negros com o λmax na
região do rádio) pode ser detectada apenas até algumas dezenas de metros. A detecção
directa deste tipo de buracos negros é, assim, uma questão laboratorial.
De entre os buracos negros infravermelhos (nºs 16 a 19 da Tabela 4.1) vamos
destacar o nº 19 não só por ser aquele cuja radiação de Hawking pode detectar-se a
maior distância (2.4×105m) mas também por ser aquele cuja observação pode ser
efectuada desde o rádio ao ultravioleta. Nos 3.4µm (infravermelho próximo) este buraco
negro pode ser detectado a 2.0×104m (Tabela 4.3) e nos 0.7µm (Filtro R do visível) a
2.4×105m (Tabela 4.5). Embora tratando-se de um buraco negro infravermelho a
distância máxima obtida para a detecção é maior no caso da observação no visível (filtro
R). Isso acontece porque para este buraco negro é λmax=1µm (Tabela 4.1) o que está
muito mais próximo de 0.7µm do que de 3.4µm.
Os buracos negros visíveis (nºs 20 a 23 da Tabela 4.1) são detectáveis desde o
rádio (λ=20m) até ao ultravioleta (λ=105nm). Verifica-se que as maiores distâncias para
a detecção são da ordem dos 105m referentes à utilização dos filtros R, V e B do visível
(Tabela 4.5). Considerando um telescópio capaz de detectar objectos com magnitude
aparente de grandeza 30, o filtro R, permite atingir as maiores distâncias. Por exemplo,
o buraco negro nº22 poderia ser detectado a 7.1×105m utilizando o filtro R. Embora esta
distância pareça pequena devemos ter em conta que a mesma é cerca de 2.2×103rs. As
distâncias para a detecção dos buracos negros visíveis noutros comprimentos de onda
(rádio, infravermelho e ultravioleta) são, naturalmente, inferiores. Atendendo às
dimensões dos buracos negros visíveis (rs da ordem de 10-8m; Figura 4.9) e aos valores
obtidos para a distância resulta que a detecção da radiação de Hawking emitida por
buracos negros visíveis é uma questão laboratorial.
As sensibilidades existentes no ultravioleta são inferiores às consideradas para a
observação no visível (Tabela 4.13). Assim, o buraco negro ultravioleta nº24 (Tabela
4.1) é detectável a maior distância no visível (λ=0.44µm, Filtro B; Tabela 4.5) e o
buraco negro ultravioleta nº25 (Tabela 4.1) é detectável a maior distância nos raios X
Detecção directa de buracos negros 131
(λ=3.5nm; Tabela 4.8). Ambos são detectáveis a distâncias da ordem de 106m. No
ultravioleta as distâncias máximas para a detecção são da ordem de 105m (λ=105nm;
Tabela 4.7).
Ambos os buracos negros de raios X da Tabela 4.1 são detectáveis a distâncias da
ordem dos 108m (ordem de grandeza da distância Terra-Lua). O buraco negro nº26 é
detectável, para λ=1nm, a 2.0×108m e o buraco negro nº27, para λ=0.167nm, a
5.4×108m (Tabela 4.8). Ambos os buracos negros são detectáveis para todos os
comprimentos de onda considerados à excepção dos raios gama. No entanto a ordem de
grandeza do valor da distância de detecção depende muito do comprimento de onda
considerado. Se, por exemplo, para λ=0.167nm, o buraco nº27 é detectável a uma
distância da ordem dos 108m, para λ=20µm, a distância desce para 9.1m (Tabela 4.3) e,
para λ=20m, a distância é de apenas 1.3×10-6m (Tabela 4.2).
Todos os buracos negros com valores de λmax inferiores a 2×10-12m são buracos
negros de raios gama (cf. Figura 4.7). Estão nesta situação os buracos negros nºs 28 a 50
da Tabela 4.1.
O buraco negro nº28 é detectável, nos raios X médios (λ=0.167nm; Tabela 4.8) a
3.9×108m (≈ distância Terra-Lua). Embora seja um buraco negro de raios gama não é
detectável nos comprimentos de onda de raios gama considerados (Tabela 4.9) pelo
facto de o seu λmax, que é 10-11m (Tabela 4.1), estar muito mais próximo dos 0.167nm
do que dos comprimentos de onda de raios gama considerados.
O buraco negro nº29 é o primeiro da lista a poder ser detectado em raios gama. Ele
é detectável a 3.3×107m para λ=2.5×10-13m (Tabela 4.9). Este buraco é no entanto
detectável a distâncias superiores nos raios X (pela mesma razão exposta para o nº28).
Assim, para λ=0.167nm, o buraco negro nº29 é detectável a 1.3×108m, e, para λ=1nm, a
3.4×107m (Tabela 4.8).
De todos os buracos negros da Tabela 4.1 o que se pode detectar a maior distância,
em termos de raios gama primários, é o nº 36. Este pode ser detectado a 5.5×1016m
(≈5.8AL) quando λ=2.5×10-19m, a 1.5×1012m (≈9.8UA) quando λ=8.3×10-17m e a
4.9×107m (≈0.13 vezes a distância Terra-Lua) quando λ=2.5×10-13m (Tabela 4.9). Este
buraco negro é detectável também para todos os outros comprimentos de onda
superiores a 2.5×10-13m. Porém à medida que o comprimento de onda aumenta as
distâncias tornam-se cada vez menores (Tabelas 4.8, 4.7, 4.5, 4.3 e 4.2) e o problema da
Detecção directa de buracos negros 132
detecção acaba por transformar-se numa questão laboratorial.
Na Tabela 4.14 são indicados para cada tipo de buraco negro (rádio,
infravermelho, visível, ...) aquele que é detectável a uma maior distância quando é
considerada a observação numa determinada banda do espectro. Por exemplo, para os
buracos negros rádio (buracos negros nºs 1 a 15 da Tabela 4.1) e para os comprimentos
de onda de observação rádio considerados (λ=20m, λ=4m, λ=3.6cm), a distância de
detecção maior é de 89m relativa ao buraco negro nº15 quando observado nos 3.6cm.
Pela Tabela 4.14 verifica-se que o problema da detecção da radiação de Hawking
emitida por buracos negros assume contornos laboratoriais principalmente quando se
considera a observação em ultravioleta, visível, infravermelho e rádio.
4.5.2 Distância máxima de detecção versus raio de Schwarzschild
A equação (4.4) permite determinar a distância máxima à qual se poderá detectar a
radiação de Hawking emitida por um buraco negro de raio rs (equação 1.3) num dado
comprimento de onda, λ, com um detector de sensibilidade sν.
Para cada λ e sν considerados (Tabela 4.13) traçou-se a curva d(rs). Esta curva
apresenta um pico (e.g. Figura 4.19) que corresponde ao buraco negro para o qual a
distância máxima de detecção é maior. Os resultados referentes aos picos das curvas
estão compilados na Tabela 4.15. Note-se que no caso λ=20m o pico do gráfico fica na
região d<rs (Figura 4.11b) pelo que o valor indicado na Tabela 4.15 corresponde
aproximadamente ao ponto para o qual d(rs)-rs é máximo
Verifica-se que quanto menor o comprimento de onda de observação, λ, mais alto é o
pico do gráfico (distância) e menor o raio do buraco negro. Por exemplo, nos 20µm,
podemos detectar um buraco negro de raio 4.0×10-7m à distância máxima de 8.0×103m
(Figura 4.14b) e nos 8.3×10-17m podemos detectar um buraco negro de raio 1.7×10-18m
à distância de 1.5×1013m (Figura 4.19b). As distâncias mais elevadas são atingidas, para
buracos negros mais pequenos, quando observados em comprimentos de onda mais
pequenos. Há uma excepção relativa à observação no ultravioleta devido ao facto de os
detectores considerados terem sensibilidades inferiores (valores de sν superiores aos do
visível; Tabela 4.13).
Detecção directa de buracos negros 133
Tabela 4.14 - Distâncias máximas para a detecção dos buracos negros da Tabela 4.1 nas
várias bandas do espectro electromagnético. Para cada família de buracos negros,
caracterizada pelo valor de λmax, são indicados os melhores resultados para a detecção da
radiação de Hawking considerando a observação nas várias bandas do espectro
electromagnético. Em cada célula é indicado o número do buraco negro (entre parêntesis), a
distância máxima para a detecção em metros e o comprimento de onda de observação, λ. As
células vazias correspondem a situações para as quais a detecção não é possível.
λλλλ (comprimento de onda de observação) λλλλmax
Rádio IV Visível UV Raios X Raios Gama
Rádio
(15) 89 λ=3.6cm
- - - - -
IV
(16) 40 λ=3.6cm
(19) 2.0×104
λ=3.4µm
(19) 2.4×105
λ=0.70µm
(19) 3.1×102
λ=237nm - -
Visível
(20) 1.1 λ=3.6cm
(20) 1.9×104
λ=3.4µm
(23) 8.2×105
λ=0.70µm
(23) 6.6×104
λ=237nm - -
UV
(24) 4.1×10-1
λ=3.6cm
(24) 9.0×103
λ=3.4µm
(24) 1.3×106
λ=0.44µm
(25) 4.6×105
λ=105nm
(25) 1.7×106
λ=3.5nm -
Raios X
(26) 4.1×10-2
λ=3.6cm
(26) 9.3×102
λ=3.4µm
(26) 1.7×105
λ=0.44µm
(26) 1.6×105
λ=105nm
(27) 5.4×108
λ=0.167nm-
Raios
Gama
(28) 4.1×10-3
λ=3.6cm
(28) 93 λ=3.4µm
(28) 1.7×104
λ=0.44µm
(28) 1.7×104
λ=105nm
(28) 3.9×108
λ=0.167nm
(36) 5.5×1016
λ=2.5×10-19m
O máximo da curva d(rs) para λ=2.5×10-19m (Figura 4.19c) corresponde a um
buraco negro com rs=5.0×10-21m (Tabela 4.15). O tempo de evaporação (equação 2.33)
deste buraco negro é de ≈16s pelo que se trata de um buraco negro em fase terminal
(Secção 4.4.7). A distância máxima à qual poderá ser detectado, no comprimento de
onda em questão, é de 5.5×1016m (≈5.8AL).
Detecção directa de buracos negros 134
Tabela 4.15 - Distâncias máximas para a detecção de buracos negros. Para cada
comprimento de onda de observação, λ, é indicado o raio, rs, e massa, M, do buraco negro para
o qual a distância máxima, d, à qual se poderá detectar a radiação de Hawking atinge o seu
máximo. A sensibilidade do detector, em cada caso, é dada por sν. É indicado também o número
da figura onde está representado o gráfico correspondente a cada uma das situações.
λλλλ sνννν (Jy) rs (m) M (M ) d (m) Figura
20m 1.5×10-2 5.0×10-2 1.7×10-5 1.1×10-1 4.11b
4m 1.5×10-2 8.0×10-2 2.7×10-5 5.0×10-1 4.12b
3.6cm 4.5×10-5 7.3×10-4 2.5×10-7 90 4.13
800µm 10-2 1.6×10-5 5.4×10-9 40 4.14a
20µm 10-5 4.0×10-7 1.4×10-10 8.0×103 4.14b
3.4µm 10-6 6.9×10-8 2.3×10-11 6.2×104 4.14c
0.70µm 2.2×10-8 1.4×10-8 4.7×10-12 9.2×105 4.15
0.55µm 3.4×10-8 1.1×10-8 3.7×10-12 8.3×105 4.15
0.44µm 1.7×10-8 8.9×10-9 3.0×10-12 1.3×106 4.15
237nm 3.2×10-7 4.8×10-9 1.6×10-12 4.1×105 4.17a
105nm 3.3×10-7 2.1×10-9 7.1×10-13
Laboratóriona
Terra ou no
Espaço
6.1×105 4.17b
3.5nm 3.3×10-10 7.1×10-11 2.4×10-14 1.1×108 4.18a
1nm 8.6×10-11 2.0×10-11 6.8×10-15 3.9×108 4.18b
0.167nm 2.0×10-10 3.4×10-12 1.2×10-15 6.2×108 4.18c
2.5×10-13m 6.6×10-11 5.0×10-15 1.7×10-18 2.8×1010 4.19a
8.3×10-17m 6.7×10-13 1.7×10-18 5.8×10-22 1.5×1013 4.19b
2.5×10-19m 1.7×10-17 5.0×10-21 1.7×10-24
Telescópiona
Terra ou no
Espaço
5.5×1016 4.19c
O máximo da curva d(rs) para λ=8.3×10-17m (Figura 4.19b) corresponde a um
buraco negro com rs=1.7×10-18m (Tabela 4.15). O tempo de evaporação (equação 2.33)
deste buraco negro é de ≈20 anos. A distância máxima à qual poderá ser detectado, no
comprimento de onda em questão, é de 1.5×1013m (≈100UA).
Para λ=2.5×10-13m é possível detectar um buraco negro com rs=5.0×10-15m
(buraco negro de raios gama situado entre os buracos negros nºs 30 e 31 da Tabela 4.1)
à distância de 2.8×1010m (≈80 vezes a distância Terra-Lua).
A observação nos raios X, para os comprimentos de onda considerados, pode ser
feita até distâncias da ordem dos 108m. Por, exemplo, nos 3.5nm podemos detectar um
buraco negro com rs=7.1×10-11m à distância de 1.1×108m (≈1/3 da distância Terra-Lua)
Detecção directa de buracos negros 135
e nos 0.167nm podemos detectar um buraco negro com rs=3.4×10-12m à distância de
6.2×108m (≈1.8 vezes a distância Terra-Lua).
Para comprimentos de onda superiores (ultravioleta, visível, infravermelho e
rádio) os picos dos gráficos indicam distâncias máximas para a detecção muito
inferiores às verificadas no caso dos raios gama e raios X (Tabela 4.15). A detecção da
radiação de Hawking, nessas bandas do espectro é, actualmente, uma questão
laboratorial.
Considerou-se também o gráfico d(rs) para o caso da detecção de buracos negros a
olho nu (Figura 4.16), verificando-se que a distância máxima para a detecção é de
27.2m para um buraco negro com rs≈1.0×10-8m. A distâncias máximas de 5-10m seriam
visíveis buracos negros como os nºs 20 a 23 da Tabela 4.1.
A distância de detecção máxima para a detecção de um buraco negro (equação
4.4) é determinada a partir da respectiva temperatura (equação 2.9). A temperatura por
sua vez foi determinada do ponto de vista de um observador no infinito (Secção 2.1).
Por essa razão considerou-se, sempre que possível, distâncias superiores a 10rs. Na
Tabela 4.16 indicam-se os pontos de intersecção d(rs)=10rs para as várias curvas d(rs)
consideradas (Tabela 4.15).
Para cada comprimento de onda de observação, λ, a Tabela 4.16 indica-nos o raio
de Schwarzschild, rs, do buraco negro, para o qual a distância máxima de detecção
(equação 4.4) é justamente igual a 10rs. Por exemplo, quando λ=3.6cm, podemos
detectar um buraco negro com rs=9.2×10-3m à distância de 9.2×10-2m (Figura 4.13b).
Todos os buracos negros com raio inferior a 9.2×10-3m são detectáveis, neste
comprimento de onda, a distâncias superiores a 10 vezes o respectivo raio (incluem-se
aqui os buracos negros nºs 14 a 50 da Tabela 4.1). Por outro lado, buracos negros com
raio superior a 9.2×10-3m, caso sejam detectáveis, são-no a distâncias inferiores a 10
vezes o respectivo raio.
4.5.3 Buracos negros terminais
Os buracos terminais (tempo de evaporação igual ou inferior a 1 ano; buracos
negros nºs 34 a 50 da Tabela 4.1) são detectáveis, nos comprimentos de onda de raios
gama considerados, a distâncias cuja ordem de grandeza é, no caso dos buracos negros
nºs 34 a 44, igual ou superior ao raio da órbita de Plutão (5.9×1012m ≈ 40UA). Os
Detecção directa de buracos negros 136
xxxxx
Tabela 4.16 - Buracos negros detectáveis a pelo menos 10 raios de Schwarzschild de
distância. Para cada comprimento de onda de observação, λ, é indicado o raio de Schwarzschild
do buraco negro cuja distância máxima de detecção é 10 vezes superior (d=10rs). É também
indicada a massa correspondente a esse buraco negro. Na coluna mais à direita são indicados os
buracos negros da Tabela 4.1 que se enquadram em cada caso.
λλλλ (m) M (M ) rs (m) d (m) Buracos negros
20m 8.8×10-7 2.6×10-3 2.6×10-2 15 - 50
4m 1.4×10-5 4.0×10-2 4.0×10-1 14 - 50
3.6cm 3.1×10-6 9.2×10-3 9.2×10-2 14 - 50
800µm 8.8×10-8 2.6×10-4 2.6×10-3 16 - 50
20µm 4.1×10-9 1.2×10-5 1.2×10-4 17 - 50
3.4µm 7.8×10-10 2.3×10-6 2.3×10-5 18 - 50
0.70µm 1.9×10-10 5.5×10-7 5.5×10-6 19 - 50
0.55µm 1.5×10-10 4.3×10-7 4.3×10-6 19 - 50
0.44µm 1.2×10-10 3.5×10-7 3.5×10-6 19 - 50
237nm 8.8×10-11 2.6×10-7 2.6×10-6 19 - 50
105nm 2.8×10-11 8.4×10-8 8.4×10-7 19 - 50
3.5nm 1.2×10-12 3.6×10-9 3.6×10-8 25 - 50
1nm 3.4×10-13 1.0×10-9 1.0×10-8 25 - 50
0.167nm 6.4×10-14 1.9×10-10 1.9×10-9 26 - 50
2.5×10-13m 1.2×10-16 3.5×10-13 3.5×10-12 29 - 50
8.3×10-17m 5.1×10-20 1.5×10-16 1.5×10-15 32 - 50
2.5×10-19m 1.7×10-24 5.0×10-21 5.0×10-20 37 - 50
buracos negros nºs 36 a 38 são detectáveis, para λ=2.5×10-19m, a distâncias superiores a
1AL. O buraco negro nº36 (tevap=31s) é detectável a 5.8AL (Tabela 4.9).
Considerando a observação noutras bandas do espectro verifica-se que as
distâncias são muito inferiores. Por exemplo a detecção nos raios X médios
(λ=0.167nm) pode ser feita, no caso do buraco negro nº34, à distância de 4.2×105m
(Tabela 4.8). Para os restantes buracos negros (nºs 35 a 50) as distâncias são inferiores
uma vez que para esses o valor de λmax é também mais pequeno (Tabela 4.1) e, portanto,
mais distante do comprimento de onda de observação (neste caso 0.167nm).
Detecção directa de buracos negros 137
No caso do visível as distâncias de detecção dos buracos negros terminais (Tabela
4.5) são inferiores a 17m (distância correspondente ao buraco negro nº34). No
ultravioleta as distâncias são análogas às verificadas para o visível (Tabela 4.7).
Considerando a observação dos buracos negros terminais no infravermelho e no
rádio as distâncias tornam-se ainda mais pequenas (Tabelas 4.2 e 4.3). Por exemplo, o
buraco negro nº34 é detectável a 9.3×10-2m, para λ=3.4µm (infravermelho), e o buraco
negro nº 36 é detectável a 2.0×10-10m, para λ=4m (rádio). Estas distâncias, embora
pareçam pequenas, são várias ordens de grandeza superiores ao valor do raio do buraco
negro emissor. Por exemplo, no caso do buraco negro nº36 (rs=6.3×10-21m) temos que
2.0×10-10m ≈ 3.2×1010rs.
De uma forma geral temos que o problema da detecção da radiação de Hawking
emitida por buracos negros terminais pode ser considerado a uma escala astronómica
para a observação em raios gama (fortes) mas torna-se numa questão laboratorial
quando é considerada a observação em comprimentos de onda de raios X e superiores o
que, no contexto da identificação inequívoca de um buraco negro pela sua curva de
corpo negro, se traduz num trabalho essencialmente laboratorial.
4.5.4 Raios gama secundários
Os buracos negros nºs 31 a 50 (Tabela 4.1) emitem raios gama secundários
(Secção 4.4.8). Na Tabela 4.17 é feita a comparação entre as distâncias máximas para a
detecção dos raios gama secundários (Tabela 4.12) e as distâncias obtidas para a
detecção de raios gama primários (Tabela 4.9).
Verifica-se que para os comprimentos de onda e sensibilidades considerados as
distâncias máximas para a detecção de raios gama secundários são sempre superiores às
verificadas para a detecção de raios gama primários. A excepção que ocorre para o
buraco negro nº36 resulta do facto de o comprimento de onda de observação, λ, ser
nesse caso da mesma ordem de grandeza (10-19m) do comprimento de onda para o qual
a emissão de Hawking é máxima, λmax (Tabela 4.1).
Os buracos negros nºs 33 a 44 são detectáveis, tanto a nível dos raios gama
primários como dos raios gama secundários, a distâncias superiores ao raio da órbita de
Plutão (5.9×1012m ≈ 40UA). O buraco negro nº34, por exemplo, é detectável a
Detecção directa de buracos negros 138
xxxxxxxx
Tabela 4.17 - Comparação entre as distâncias máximas para a detecção de raios gama
primários e secundários. São indicadas, para os buracos negros nºs 31 a 46 (Tabela 4.1) as
distâncias máximas à qual os raios gama primários e secundários podem ser detectados. No caso
dos raios gama secundários foi considerado um detector com sν=6.7×10-13Jy. No caso dos raios
gama primários é indicado o comprimento de onda de observação, λ, para o qual a detecção
pode fazer-se a maior distância. A sensibilidade do detector, sν, é nesses casos igual à
considerada anteriormente (cf. Tabela 4.13).
Raios gama primários Raios gama
secundários n rs (m)
λλλλ (m) d (m) d (m)
31 6.3×10-16 2.5×10-13 1.5×1010 4.5×1012
32 6.3×10-17 2.5×10-13 4.9×109 2.6×1013
33 6.3×10-18 8.3×10-17 5.7×1012 1.4×1014
34 6.3×10-19 8.3×10-17 1.3×1013 8.1×1014
35 6.3×10-20 2.5×10-19 6.7×1013 4.5×1015
36 6.3×10-21 2.5×10-19 5.5×1016 2.6×1016
37 6.3×10-22 2.5×10-19 3.0×1016 1.4×1017
38 6.3×10-23 2.5×10-19 9.8×1015 8.1×1017
39 6.3×10-24 2.5×10-19 3.1×1015 4.5×1018
40 6.3×10-25 2.5×10-19 9.9×1014 2.6×1019
41 6.3×10-26 2.5×10-19 3.1×1014 1.4×1020
42 6.3×10-27 2.5×10-19 9.9×1013 8.1×1020
43 6.3×10-28 2.5×10-19 3.1×1013 4.5×1021
44 6.3×10-29 2.5×10-19 9.9×1012 2.6×1022
45 6.3×10-30 2.5×10-19 3.1×1012 1.4×1023
46 6.3×10-31 2.5×10-19 9.9×1011 8.1×1023
1.3×1013m (≈87UA) para os raios gama primários e a 8.1×1014m (≈5400UA) para os
raios gama secundários.
Quanto mais o buraco negro se aproxima da fase final da evaporação maior é a
distância à qual se poderão detectar os raios gama secundários. O mesmo se poderá
dizer em relação à detecção dos raios gama primários desde que a observação seja feita
num comprimento de onda da mesma grandeza do λmax do buraco negro.
Detecção directa de buracos negros 139
Os melhores resultados para a distância de detecção, dentro dos limites técnicos
actuais, apontam para os 5.8AL no caso dos raios gama primários (Secção 4.4.6) e
85.5AL no caso raios gama secundários (Secção 4.4.8). No entanto as distâncias da
ordem dos anos luz são atingidas, tanto para os raios gama primários como para os
secundários, por buracos negros terminais com tempos de evaporação inferiores a 60s.
Conclusão 141
5 Conclusão
Os buracos negros são objectos previstos pela Física. O mais simples é o de
Schwarzschild (Secção 1.2.1) caracterizado apenas pela respectiva massa. Os buracos
negros podem classificar-se quanto à massa em estelares (1-102M ), intermédios (103-
105M ) e supermassivos (106-1010M ). Todos os candidatos a buraco negro conhecidos
actualmente, detectados por processos indirectos, incluem-se nestas três categorias.
Podemos falar também em buracos negros de massa subestelar (<1M ). Embora não se
conheça actualmente qualquer candidato a buraco negro nesta categoria, nem qualquer
processo que leve à sua formação no Universo actual, estes podem ter-se formado nos
primórdios do Universo (buracos negros primordiais) com massas que vão desde a
massa de Planck (≈10-8kg) até, por exemplo, as 106M . Os buracos negros primordiais
podem ter evoluído aumentando a sua massa ou evaporando consoante o meio
envolvente (Secção 1.3.4) pelo que é provável que existam no Universo actual buracos
negros das mais variadas massas.
Se um buraco negro tem uma temperatura, que é tanto maior quanto menor for a
sua massa, então deve emitir radiação. Tendo em conta as flutuações quânticas do
campo, junto ao horizonte de acontecimentos de um buraco negro, é possível mostrar
que estes de facto emitem radiação própria, e que têm, consequentemente, uma
temperatura associada (Secção 2.1). Essa radiação, designada por radiação de Hawking,
é essencialmente constituída por fotões e gravitões e resulta da separação de pares
partícula-antipartícula virtuais pelo campo gravítico do buraco negro (Figura 2.1). A
radiação de Hawking é, ao que sabemos, o único processo pelo qual podemos detectar
directamente buracos negros. O espectro de emissão de um buraco negro é igual ao de
um corpo negro de igual temperatura pelo que apresenta um máximo característico da
temperatura. Tendo por base esse máximo, podemos associar a cada comprimento de
onda do espectro electromagnético um buraco negro de Schwarzschild podendo então
falar-se em buracos negros rádio, infravermelhos, visíveis, ultravioleta, de raios X e de
raios gama (Secção 4.2).
Nesta tese, determinámos as distâncias máximas para a detecção da componente
electromagnética da radiação de Hawking emitida por 50 buracos negros, que cobrem o
espectro electromagnético, dentro dos limites técnicos e sensibilidades actuais. Para a
Conclusão 142
observação no rádio (λ=3.6cm) a distância máxima de detecção é igual a 89m (buraco
negro de 2.1×10-7M ). No infravermelho (λ=3.4µm) a maior distância possível é de
2.0×104m (buraco negro de 2.1×10-11M ). No visível e ultravioleta é da ordem dos
105-6m (buracos negros de massa da ordem de 10-12 M ). A olho nu, podemos visualizar
um buraco negro, de cor azul, até 27m.
Contrariamente aos casos anteriores (rádio, infravermelho, visível e ultravioleta)
as distâncias começam a ser astronómicas nos raios X. Por exemplo, nos 0.167nm,
podemos vê-los até a 5.4×108m (≈1.4 vezes a distância Terra-Lua) para buracos negros
de ≈2.1×10-15M . Nos raios gama (2.5×10-10nm), podemos detectá-los até aos
5.5×1016m (≈5.8AL).
A emissão de radiação por um buraco negro é acompanhada por um decréscimo da
massa do mesmo. O processo é designado por evaporação (Secção 2.5). O tempo de
evaporação para um buraco negro de 1M é da ordem dos 1067anos (muito superior à
idade do Universo). Quanto mais pequeno o buraco negro menor é o respectivo tempo
de evaporação. Foi considerada a possibilidade de detecção de buracos negros em fase
terminal (tempos de evaporação inferiores a 1 ano).
Verificou-se que a detecção de buracos negros terminais é possível para distâncias
que vão desde algumas vezes a distância de Plutão ao Sol até acerca de 6AL quando a
observação é feita na banda dos raios gama. A detecção dos mesmos buracos negros
noutros comprimentos de onda (Tabelas 4.2, 4.3, 4.5, 4.7 e 4.8) só pode ser feita a
distâncias muito inferiores às verificadas para a observação com raios gama. Assim,
embora a detecção de buracos negros terminais em raios gama possa ser feita a
distâncias de alguns AL (Tabela 4.9), a detecção dos mesmos, por exemplo, no
infravermelho (Tabela 4.3) só pode ser efectuada a nível de laboratório.
Na radiação de Hawking não são emitidos apenas fotões e gravitões mas também
partículas com massa (Secção 2.4). Para massas da ordem dos 1011kg o buraco negro
emite quarks e gluões que formam predominantemente mesões π0 que decaem
libertando fotões gama. Estes fotões gama dizem-se secundários enquanto que os fotões
gama emitidos directamente pelo buraco negro, como atrás, dizem-se primários.
Estudou-se a detecção dos raios gama secundários emitidos por buracos negros tendo
para distâncias máximas de detecção desde as 30UA aos 85.5AL.
Dentro dos limites técnicos actuais, não é possível detectar a radiação de Hawking
emitida por buracos negros de massa superior a ≈10-4M onde se incluem os buracos
Conclusão 143
negros de massa estelar e superior (isto é, todos os identificados por processos
indirectos, até hoje). A detecção de buracos negros de massa inferior a 10-5M , do rádio
ao ultravioleta, é possível mas apenas a nível de laboratório. A detecção de buracos
negros de raios X e raios gama é possível a distâncias astronómicas (distâncias iguais ou
superiores à distância Terra-Lua) se a observação for feita nos raios X ou gama. Os
buracos negros em fase terminal, que são também buracos negros de raios gama, podem
detectar-se a distâncias da ordem dos AL, se observados nos raios gama, e a nível de
laboratório se observados noutros comprimentos de onda.
Os buracos negros de raios gama, de raios X, ultravioletas e mesmo os visíveis são
de tal forma minúsculos (rs<10-7m) que o seu estudo provavelmente se enquadra mais
no âmbito da Física Atómica ou da Física de Partículas. A ordem de grandeza das
distâncias máximas para a detecção obtidas, na maioria dos casos, acaba por reforçar
esta ideia. No entanto quando um buraco negro, ao evaporar, se aproxima da explosão
de raios gama final temos um evento de dimensões astronómicas observável a alguns
AL de distância.
O potencial do caminho de trabalho futuro, aberto por esta tese, é imenso, já que
nos permite detectar directamente buracos negros a partir da sua emissão de corpo
negro.
Por exemplo, a pesquisa de candidatos a buraco negro de massa subestelar
passaria pela revisão dos processos de formação de buracos negros primordiais e
respectiva evolução donde poderíamos estimar a distribuição de buracos negros de
massa subestelar no Universo actual, tanto a nível espacial como a nível de massa, e
estudar os comprimentos de onda mais interessantes de pesquisar. Poderiam também ser
pesquisados os vastos arquivos astronómicos e, eventualmente, de Física de Partículas,
na busca de eventuais candidatos a buraco negro.
Referências 145
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Geodésicas 151
ANEXO A
Geodésicas na vizinhança de um buraco negro de Schwarzschild
A.1 Geodésicas radiais nulas
No caso do movimento radial de um fotão os integrais δ (expressão 1.11) e L
(expressão 1.9) são ambos nulos, pelo que, a equação radial (1.12) toma a forma:
E d
dr±= (A.1)
onde o sinal (-) corresponde à aproximação do fotão ao buraco negro e o sinal (+) ao
afastamento. Com a ajuda do momento Pt (equação 1.8) podemos escrever (A.1) na
forma:
−±=
r
m21
dt
dr
Integrando obtemos:
( ) 'Km2rlnm2rt +−×+±= (A.2)
onde K' é uma constante de integração. No gráfico da Figura A.1 estão representadas
algumas das geodésicas nulas descritas por (A.2). Note-se que, do ponto de vista de um
observador distante, o fotão nunca atinge o horizonte de acontecimentos.
Geodésicas 152
Figura A.1 - Geodésicas para fotões que se aproximam ou afastam radialmente de um buraco negro de
Schwarzschild. A vertical r=2m representa o horizonte de acontecimentos e a vertical r=0 a singularidade
(d' Inverno 1992).
A.2 Geodésicas radiais para partículas com massa
No caso do movimento radial de uma partícula com massa é L=0 e δ=1. A
equação radial (1.12) toma então a forma:
−−=
r
m21E
d
dr 22
(A.3)
Considerando que a partícula parte do infinito temos E=1 (cf. expressão 1.8) e a
equação (A.3) escreve-se como:
r
m2
d
dr−=
τ(A.4)
Geodésicas 153
onde o sinal (-) reflecte justamente o facto de estarmos a considerar o movimento em
direcção ao buraco negro. Note-se que este resultado corresponde à velocidade de queda
livre da partícula. Integrando a equação vem:
( )2/32/300 rr
m23
2−=τ−τ (A.5)
onde r0 é a posição da partícula quando o seu tempo próprio é τ0. O tempo próprio τ,
descrito pelo resultado anterior, é aquele que um observador solidário com a partícula
registaria. Um observador distante registaria, para um mesmo evento, o tempo
coordenada t. Conciliando (1.8) com (A.4) e tomando de novo E=1 resulta:
−−=
r
m21
r
m2
dt
dr
Integrando obtemos:
( )
( )( )( )( )m2rm2r
m2rm2rlnm2
rm6rm6rrm23
2tt
0
0
02/3
02/3
0
−+
−+×+
−+−−=−
(A.6)
onde r0 é a posição da partícula quando o tempo coordenada é t0. No gráfico da Figura
A.2 são apresentadas as curvas características para as funções (A.5) e (A.6). Note-se
que, embora para o observador distante a partícula leve um tempo infinito para atingir o
horizonte de acontecimentos, do ponto de vista da partícula tudo decorre num tempo
finito.
A.3 Geodésicas nulas não radiais
O estudo qualitativo das geodésicas não radiais, permitidas aos fotões na vizinhança
de um buraco negro de Schwarzschild, pode fazer-se a partir da função potencial (1.13).
Geodésicas 154
Figura A.2 - Linha do universo de uma partícula caindo radialmente, em direcção a um buraco negro de
Schwarzschild, em termos de tempo próprio e tempo coordenada (d' Inverno 1992).
Notando que neste caso é δ=0 e L≠0 temos:
−=
r
m21
r
LV
2
22f (A.7)
O gráfico desta função, que atinge o seu valor máximo em r=3m, está
representado na Figura A.3 onde estão também representados alguns dos tipos de
geodésicas nulas não radiais permitidos.
A.4 Geodésicas não radiais para partículas com massa
Vamos proceder ao estudo qualitativo das geodésicas não radiais, para partículas
com massa, na vizinhança de um buraco negro de Schwarzschild. O estudo será feito a
partir da função potencial (1.13) que, neste caso, atendendo a que δ=1 e L≠0, se
escreve:
Geodésicas 155
−
+=
r
m21
r
L1V
2
22m (A.8)
Figura A.3 - Potencial efectivo imposto por um buraco negro de Schwarzschild ao movimento geodésico
(não radial) dos fotões. Os números indicam alguns dos tipos de geodésicas permitidos: (1) O fotão
descreve uma geodésica circular de raio 3m. Trata-se da única trajectória circular permitida aos fotões.
Esta é no entanto instável. Qualquer perturbação é susceptível de atirar com o fotão para o infinito ou
então em direcção ao buraco negro. A superfície r=3m chama-se Rotosfera. (2) O fotão descreve uma
trajectória curvilínea, não ligada, que o leva a escapar para infinito ou então a penetrar o horizonte de
acontecimentos. Tudo depende da direcção inicial do seu movimento. (3) O fotão descreve uma
trajectória curvilínea, não ligada, que o leva a escapar sempre para infinito independentemente do sentido
radial inicial do seu movimento. (4) O fotão acaba sempre por cair para o buraco negro mesmo que
inicialmente se desloque no sentido de r crescente.
Caso seja 12m2<L2 a função potencial anterior tem dois extremos relativos dados
por:
−−=
2
22
max L
m1211
m2
Lr
−+=
2
22
min L
m1211
m2
Lr
Quando 12m2=L2 temos apenas um extremo relativo e quando 12m2>L2 não
existe qualquer extremo relativo. Os gráficos correspondentes a estas três situações
estão representados nas Figura A.4 onde estão também representados alguns dos tipos
de geodésicas não radiais permitidos às partículas com massa.
Geodésicas 156
Fígura A.4 - Potencial efectivo imposto por um buraco negro de Schwarzschild ao movimento geodésico
(não radial) de partículas com massa, quando: (a) 12m2>L2, (b) 12m2=L2 e (c) 12m2<L2. Os números
indicam alguns dos tipos de geodésicas permitidos: (1) A partícula descreve uma trajectória curvilínea,
não ligada, que a leva a escapar para infinito ou então a penetrar para o interior do horizonte de
acontecimentos. Tudo depende da direcção inicial do seu movimento. (2) A partícula acaba sempre por
penetrar na região r<2m. Mesmo que o seu movimento inicial a afaste dessa região, será sempre
irremediavelmente reflectida pela barreira de potencial. (3) A partícula descreve um geodésica circular
Geodésicas 157
estável. Este tipo de geodésica só é permitido quando 12m2<=L2. No caso limite, 12m2=L2, a geodésica
tem raio 6m. Este é o limite inferior para as geodésicas circulares estáveis. (4) A partícula descreve uma
geodésica circular, neste caso, instável. Qualquer perturbação é susceptível de alterar o tipo de trajectória
da partícula. O raio desta órbita situa-se entre 6m e 3m. (5) A partícula descreve uma trajectória
curvilínea, não ligada, que a leva a escapar sempre para infinito. Mesmo que inicialmente viaje no
sentido de r decrescente, dado que a sua energia E não é suficiente para vencer a barreira de potencial
imposta pelo buraco negro, acaba por ser reflectida. (6) A partícula descreve uma geodésica elíptica
circunscrita entre os raios ra e rb. Este tipo de geodésica só é permitido para o caso 12m2<L2.
Discos de acreção finos 159
ANEXO B
Discos de acreção de matéria geometricamente finos
B.1 Formação de um disco de acreção
Consideremos um sistema binário formado por uma estrela normal e um buraco
negro. Se a distância entre ambos for relativamente pequena então estamos perante
aquilo a que chamamos um binário próximo. Alguma matéria da estrela pode transitar
para a esfera de influência do buraco negro, principalmente se esta tiver atingido a sua
fase de gigante vermelha.
A matéria que flui da estrela normal para o buraco negro tem um considerável
momento angular, o que previne a queda livre dessa matéria em direcção ao horizonte
de acontecimentos, e portanto não deverá ocorrer acreção esférica. Este argumento é
particularmente válido quando o momento angular por unidade de massa excede rIc,
onde rI é a órbita circular estável mais interior (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983). Nestas
circunstâncias a força centrifuga é comparável à força gravítica e a matéria é obrigada a
efectuar órbitas em torno do buraco negro.
Ao descreverem essas órbitas as partículas colidem entre si libertando energia
cinética e energia interna. Como o momento angular é retido as partículas acabam por
descrever órbitas circulares pois estas são as órbitas de menor energia para um dado
valor de momento angular. Por outro lado as partículas acabam por cair para um plano
orbital comum pois órbitas circulares com diversas inclinações fomentam as colisões
entre partículas. Forma-se assim um disco de acreção de matéria em torno do buraco
negro.
Se colocarmos uma partícula numa órbita circular em torno de um corpo
gravitante ela ficará nessa órbita. A extracção de energia e momento angular dessa
partícula requer um movimento radial descendente.
A energia radiada por unidade de massa desde a periferia do disco até ao horizonte
de acontecimentos é igual à energia de ligação gravitacional, por unidade de massa, da
Discos de acreção finos 160
órbita circular estável mais interior. No caso de um buraco negro de Schwarzschild a
energia radiada corresponde a 5.72% da massa da partícula (Secção 1.2.4). No caso de
um buraco negro de Kerr a eficiência do processo é superior, podendo ir até aos 42% se
o buraco negro for extremo e o disco rodar no mesmo sentido. Estamos a supor que
pouca ou nenhuma energia é radiada entre rI, onde se situa o limite interior do disco, e o
horizonte de acontecimentos.
Os valores apresentados anteriormente revelam a acreção de matéria por um
buraco negro como um processo muito eficiente de converter massa em radiação. No
entanto esta conversão só é possível se existirem paralelamente mecanismos,
igualmente eficientes, que transportem o momento angular da partícula para o exterior.
Em meios gasosos, como são os discos de acreção, esses mecanismos assentam numa
redistribuição de momento angular entre partículas, possibilitando a queda de algumas
delas em direcção ao interior à custa de outras que se deslocam mais para o exterior. A
identificação e descrição detalhada desses mecanismos de redistribuição está longe de
ser trivial. As hipóteses mais plausíveis assentam na viscosidade turbulenta e na
presença de campos magnéticos.
B.2 Dinâmica geral do disco
Vamos considerar apenas discos Keplerianos, ou seja, discos cuja massa não
contribui significativamente para o campo gravítico (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983). A
velocidade orbital das partículas de gás no disco é dada por:
dr
d
r
v2
−=
onde Φ é o potencial gravítico Newtoniano devido à massa M do buraco negro. Temos
então:
r
GMv =
Discos de acreção finos 161
ao que corresponde a velocidade angular:
3r
GM = (B.1)
Uma vez que ( )r = concluímos que a rotação do disco deve ser diferencial
(com as partes mais interiores a rodarem mais depressa) e que deverá existir uma taxa
de shearing A não nula (Pringle 1981):
dr
drA =
A fricção entre partículas de gás pertencentes a anéis adjacentes resulta na
dissipação de energia, do movimento do fluído, sob a forma de calor que é depois
radiado para longe. Como a única fonte de energia responsável pelo movimento é o
potencial gravitacional, da massa central, então o gás deverá cair sucessivamente para
dentro do poço de potencial. Além desta viscosidade molecular existem outros
mecanismos que conduzem ao mesmo resultado de uma forma mais eficiente.
Embora o movimento das partículas de gás no disco seja predominantemente
circular, existe também uma componente na direcção radial. As partículas descrevem
espirais bastante apertadas à medida que se aproximam do limite interior do disco.
O maior tempo que o gás permanece do lado de fora do horizonte de
acontecimentos e o aquecimento a que está sujeito fazem da acreção por disco um
processo muito mais energético do que a acreção esférica.
A maior parte da radiação emitida por um disco de acreção é proveniente das
zonas mais interiores. A reposição de matéria ocorre nas zonas mais exteriores pelo
ponto de Lagrange L1 (Figura 1.14). Algum deste gás pode abandonar o binário pelo
ponto de Lagrangre L2 ou mesmo voltar à estrela normal via L1. O resto fica sob a
influência do buraco negro passando a fazer parte integrante do disco.
Discos de acreção finos 162
B.3 Viscosidade
Um dos principais problemas na elaboração de uma teoria dos discos de acreção
reside na descrição da viscosidade responsável pelo torque que remove o momento
angular para o exterior. A viscosidade governa a estrutura local do disco bem como a
escala do tempo no qual o disco evolui. Dada uma viscosidade e um processo radiactivo
podemos construir um modelo de disco de acreção. A incerteza está na natureza e
magnitude dessa viscosidade. Muitas vezes supõe-se que o torque é produzido por
viscosidade local de caracter não especificado e cuja magnitude é avaliada por meras
análises dimensionais.
O tipo de viscosidade mais simples consiste na fricção entre partículas adjacentes
do fluído que se movem com velocidades distintas. Sabemos que este tipo de
viscosidade está presente nos discos de acreção pois os mesmos apresentam uma
rotação diferencial. É a chamada viscosidade atómica ou molecular.
Se pensarmos que a escala de qualquer stress hidrodinâmico é a pressão p, então
faz sentido considerar que o stress viscoso é da forma pα , onde α é o chamado
parâmetro adimensional para a viscosidade e cujo valor pode ir até a ordem da unidade
(e.g. Shakura & Sunyaev 1973). No caso da viscosidade molecular o valor de α é
pequeno o que significa que este tipo de viscosidade não é suficientemente forte para
que se produzam resultados significativos (e.g. Pringle 1981).
Uma forma de α assumir um valor razoável reside na existência de turbulência no
disco. Um fluído turbulento é caracterizado pela formação de remoinhos que podem ser
grandes ou pequenos (e.g. Landau & Lifshitz 1987). Os remoinhos grandes constituem a
estrutura fundamental da turbulência. Neles a viscosidade é praticamente nula. Por seu
turno os remoinhos pequenos são autênticos dissipadores da energia que recebem dos
grandes. Nestes a viscosidade é alta. Assim, no caso de um fluído turbulento teríamos,
para a viscosidade, a expressão:
turbturbturb lv≈ν
onde turbv é a velocidade característica dos remoinhos turbulentos e turbl o tamanho
característico dos remoinhos maiores. Atendendo a que a turbulência supersónica
desaparece rapidamente à medida que a sua energia é dissipada em choques, então
Discos de acreção finos 163
esperamos que turbv seja uma velocidade subsónica. Por outro lado turbl deve ser inferior
à altura do disco. Podemos então escrever:
ah turb ≅
onde a é a velocidade local do som e h a meia altura do disco. Daqui por diante
utilizaremos apenas ν , com o significado de turbν .
Embora a hipótese do disco turbulento venha resolver o problema da magnitude da
viscosidade, introduz um novo problema. De facto não existe nenhuma razão óbvia
segundo a qual o disco deva ser turbulento. O critério de estabilidade de Rayleigh para
discos de acreção (e.g. Pringle 1981):
( ) 0rdr
d 2 >
é amplamente satisfeito por muitos potenciais, incluindo o Kepleriano.
As partículas de gás num disco de acreção estão sujeitas a movimentos verticais,
radiais e circulares. No caso de um disco fino, como estamos a considerar, o movimento
vertical das partículas é praticamente inexistente se comparado com o respectivo
movimento radial e este por sua vez é muito pouco significativo se comparado com o
movimento circular. Isto significa, em termos de componentes da velocidade, que:
φ<<<< vvv rz
Temos assim que a única componente essencial da velocidade é ϕv e que a única
componente não desprezável do tensor do stress viscoso é Tr, que neste caso fica (e.g.
Shapiro & Teukolsky 1983):
3
rr r
GM
2
3
r
v
r
vTT −=
−
∂
∂== (B.2)
ou ainda:
Discos de acreção finos 164
ηω−=φ 2
3Tr (B.3)
onde η é o coeficiente da viscosidade dinâmica. O elemento Tr traduz o transporte da
componente r do momento angular por unidade de tempo através da área unitária cujo
vector normal fica na direcção ϕ .
O torque entre dois anéis do disco adjacentes é dado por (e.g. Krolik 1999):
r
r2dzrTrdG 3
r∂
∂== (B.4)
onde estamos a considerar para ν e para a densidade superficial de matéria Σ os
respectivos valores médios azimutais e verticais. Se 0r <∂∂ então 0< (pois é
sempre 0r3 > ) o que significa que o momento angular está a ser transferido para o
exterior.
Além da viscosidade usual, foram sugeridos outros mecanismos capazes de
explicar o torque, nomeadamente mecanismos baseados em campos magnéticos. A
existência de campos magnéticos nos discos de acreção é muito plausível, pois, como
estes existem nas estrelas, então também devem existir na matéria acretada. Estão neste
caso mecanismos baseados no stress electromagnético, em ventos magnetizados e na
chamada instabilidade de Velikhov-Chandrasekhar-Balbus-Hawley (e.g. Krolik 1999).
B.4 Densidade superficial de matéria
A distribuição de matéria num disco de acreção pode ser descrita, como é usual,
pela densidade volúmica )z,,r( . Se o disco for geometricamente fino e
azimutalmente simétrico a distribuição de matéria é apenas função da coordenada radial
r. Podemos substituir a densidade volúmica ρ pela densidade superficial Σ definida
como se segue (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983):
( ) ( )−
=h
h
dzz,rr
Discos de acreção finos 165
onde h é a meia-altura do disco. No caso de um disco fino, onde ρ praticamente não
varia com z, podemos escrever:
( ) h2r = (B.5)
A equação da continuidade para um disco, onde não existem fontes ou sumidouros
de matéria no seu interior, pode ser escrita como se segue (e.g. Krolik 1999):
( ) 0vrrr
1
t
r =
∂
∂+
∂
∂(B.6)
onde rv é a velocidade radial ( 0vr < para movimentos dirigidos para o centro).
Existe também uma equação da continuidade para a componente axial do
momento angular. Esta equação, que é o análogo da equação de Navier-Stokes, tem a
forma (e.g. Krolik 1999):
( ) ( )r
G
r2
1vr
rr
1r
t r32
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂(B.7)
onde G é o momento da força entre anéis adjacentes. Se não existir transferência de
momento angular entre anéis adjacentes então G=0 e temos conservação de momento
angular no anel.
O passo seguinte será determinar a dependência temporal de Σ . Para isso temos
de escolher um processo responsável pelo torque. Vamos escolher, por exemplo, a
viscosidade turbulenta pelo que G será dado por (B.4). Substituindo G em (B.7) e
tomando também a equação da continuidade (B.6), podemos determinar a velocidade
radial (e.g. Krolik 1999):
( )rr
r
r
r
rv
2
3
r
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
Discos de acreção finos 166
Utilizando esta expressão para rv podemos combinar as equações da conservação
da massa (B.6) e da conservação do momento angular (B.7) numa única equação.
Substituindo, nessa equação, a velocidade angular ω por (B.1) resulta (e.g. Pringle
1981):
( )
∂
∂
∂
∂=
∂
∂r
rr
rr
3
t
A solução para Σ depende muito da forma de ν . A solução geral para um disco
que se estende desde a origem até ao infinito e com torque nulo na origem é (e.g.
Pringle 1981):
( ) ( ) ( ) d3
r
3
rJefr12t,r
4/1
4/1t
0
4/34/1 2
= −
∞−
onde ( )λf é uma função arbitrária que depende das condições iniciais e J1/4 é a função
ordinária de Bessel de ordem 1/4. Embora não seja exactamente este o cenário para um
disco de acreção em torno de um buraco negro podemos tirar algumas conclusões. Na
Figura B.1 estão representadas as curvas típicas da função Σ para vários instantes.
Verifica-se que a viscosidade tende a espalhar o gás contido no disco. Grande
parte da matéria move-se para o interior perdendo energia e momento angular. Alguma
matéria move-se para o exterior de forma a tomar o momento angular perdido pela
primeira. Numa situação extrema toda a massa do disco acabaria na origem e todo o
momento angular no infinito.
B.5 A altura do disco
Um disco de acreção diz-se fino, quando a respectiva (meia) altura h é sempre
muito inferior ao raio de qualquer parte do disco. Se rI for o raio do limite interior do
disco, que corresponde à última órbita circular estável, então, num disco fino, é sempre
h<<rI. No caso geral é h=h(r). No entanto se a dependência de r não for muito
xxxxxxxxx
Discos de acreção finos 167
Figura B.1 - Evolução no tempo da densidade superficial de matéria, de um disco de acreção, em função
de x=r/rI (adaptado de Pringle 1981).
acentuada podemos considerar que h é constante. Num disco fino a temperatura do
mesmo é relativamente baixa. O calor produzido pelo stress viscoso não é armazenado
no disco mas sim radiado com grande eficiência. A acreção por disco fino deverá assim
ser altamente não adiabática.
Se a luminosidade do disco for da ordem do limite crítico de Eddington, LE, então
a força de pressão de radiação é comparável à gravidade e nesse caso a altura do disco
poderá não ser desprezável. Quando a luminosidade do disco é muito inferior a LE então
a pressão de radiação não consegue suportar a matéria muito acima do plano do disco.
Temos nesse caso um disco fino.
Consideremos um referencial que acompanhe a velocidade orbital do disco, vorb,
para um dado raio r. Nesse referencial os átomos de gás têm velocidades aleatórias, da
ordem da velocidade do som no meio a. Se atendermos a que a componente vertical da
aceleração gravítica é, no caso de um disco fino, dada por (e.g. Shapiro & Teukolsky
1983):
rz com r
z
r
GMa
2z <<=
Discos de acreção finos 168
podemos inferir que a altura típica que um átomo pode atingir acima do plano do disco,
que é um valor indicativo da altura do disco, é da forma (e.g. Krolik 1999):
orbv
arh ∝ (B.8)
Temos assim que, a relação entre a altura do disco h e o raio r é, grosso modo,
igual à relação entre a velocidade do som no gás e a respectiva velocidade orbital. O
critério a impor à temperatura para que o disco seja fino é o seguinte (e.g. Krolik 1999):
1r
r
c
kT
s2
<<
onde µ é a massa média por partícula de gás. Se T não satisfizer esta relação então
existe a tendência para a expansão do disco em altura, deixando assim de ser fino. Note-
se que (B.8) permite-nos escrever o stress viscoso (B.2) como se segue:
s
t2sr v
vvT ρ−∝ϕ
B.6 Estrutura radial
Admitindo que existe qualquer coisa responsável pelo torque, capaz de remover
de forma eficiente o momento angular, vamos centrar a nossa atenção no caso dos
discos não dependentes do tempo.
Como acontece em qualquer sistema dinâmico, a estrutura de um disco de acreção
é determinada pelas equações de conservação da massa, momento e energia. No caso
não dependente do tempo estas adquirem uma forma relativamente simples. Como
estamos a considerar discos azimutalmente simétricos, cujas propriedades são
verticalmente integráveis, a única variação espacial de interesse é na direcção radial e a
única componente do momento com interesse é aquela que corresponde à direcção
Discos de acreção finos 169
vertical. A conservação de energia pode ser escrita numa equação separada desde que se
assuma que qualquer calor gerado por dissipação é radiado localmente.
Como estamos a considerar um regime não dependente do tempo a integração da
equação da continuidade (B.6) é imediata, conduzindo a uma constante:
rvrC = (B.9)
Verifica-se que esta constante tem as dimensões kgs-1, ou seja, corresponde a uma
taxa de acreção. Podemos então escrever (e.g. Krolik 1999):
rvr2dt
dM=
O valor de dM/dt corresponde à massa que atravessa, por unidade de tempo, um
anel (cilindro) de raio r no disco de acreção. Este valor não depende explicitamente de r
como fica patente pela equação da continuidade. Substituindo (B.9) na equação da
conservação do momento angular (B.7) e integrando resulta (e.g. Krolik 1999):
( )dzW
r2
C
2
r
dt
dMr2 −=+ (B.10)
onde Wrϕ representa o stress total no disco (soma do stress viscoso com o stress
electromagnético). A constante de integração C é avaliada para um raio onde o stress no
disco seja nulo. No caso de um buraco negro esse raio é rI. De facto o stress é nulo para
rI, pois é a partir desse raio que o material cai para o interior, afastando-se do disco.
Temos então para C a expressão (e.g. Krolik 1999):
( )dt
dMrrC I
2I−=
Verifica-se que C corresponde ao fluxo constante de momento angular no disco. O
sinal negativo indica que o momento é extraído ao disco. Podemos escrever (B.10) na
forma (e.g. Krolik 1999):
Discos de acreção finos 170
( ) ( ) dzWrX2
r
dt
dMr−=
onde o factor de redução X(r) é dado por:
( ) ( )( )r
r
r
r1rX I
2
I
−=
o que no caso de um potencial kepleriano fica:
( )r
r1rX I−= (B.11)
É importante notar que o factor de redução é máximo para r=rI.
No caso de um stress puramente viscoso ( ϕϕ = rr TW ) resulta, com a ajuda de (B.2),
a seguinte relação (e.g. Pringle 1981):
( )rXdt
dM
3
1 = (B.12)
B.7 Dissipação de energia no disco
Se assumirmos que o torque responsável pela remoção do momento angular é
essencialmente viscoso, então a taxa local de dissipação de energia por unidade de
volume é proporcional ao shear local (e.g. Krolik 1999) podendo ser escrita como:
2
V 2
3Q
ω−ρν=
Tendo ainda em conta a aproximação do disco fino, podemos integrar a equação
anterior na vertical. Na prática isso equivale a multiplicar ambos os membros por 2h.
Discos de acreção finos 171
Se, além disso, substituirmos VhQ2 por Q, onde Q é a taxa de dissipação de energia por
unidade de área (incluindo as duas faces do disco), vem:
2
2
3h2Q
ω−ρν=
Tendo em conta (B.5) vem:
2
2
3Q
ω−νΣ= (B.13)
Se atendermos ainda a que, no caso de um potencial kepleriano, o shear é dado
por:
2
3
r
rA −=
∂
∂=
vem que:
2AQ νΣ=
Este último resultado ilustra a dependência da taxa de dissipação relativamente ao
shear no caso de um torque essencialmente viscoso. Substituindo (B.12) e (B.1) em
(B.13) vem (e.g. Krolik 1999):
( )rXdt
dM
r4
GM3Q
3= (B.14)
Este resultado ilustra a simplicidade dos discos de acreção não dependentes do
tempo. A fonte de maior incerteza, a viscosidade, desapareceu. No entanto isso resulta
do facto de estarmos a considerar que é a viscosidade a responsável pelo fluxo de
matéria.
Discos de acreção finos 172
A taxa de dissipação é máxima quando a primeira derivada de Q, com respeito a r,
se anula. Isso acontece para:
II r36.1r36
49r ≈=
A taxa de dissipação é, portanto, máxima ainda antes de ser atingido o limite
interior do disco. De facto ao atingir rI a dissipação deve cair para zero pois nesse ponto
o shear torna-se nulo.
B.8 Luminosidade do disco
Se assumirmos que todo o calor dissipado é radiado (o que nem sempre se
verifica) então a luminosidade total do disco é dada por:
=E
I
r
r
rdr2QL (B.15)
Note-se que a luminosidade de apenas uma das faces do disco corresponde à
metade do valor dado por esta expressão. Vamos avaliar (B.15) para uma secção anelar
do disco, compreendida entre r1 e r2, com I12 rrr >>> (de modo a ser ( ) 1rX ≈ ).
Obtemos (e.g. Krolik 1999):
( )
−=
2121 r
1
r
1
dt
dM
2
GM3r,rL
Verifica-se que a energia radiada nesta região é 3 vezes superior à energia
potencial gravítica perdida pela matéria em acreção nessa mesma região. De onde vem
essa energia extra? A resposta é simples: trata-se de alguma energia potencial gravítica
libertada em secções mais interiores do disco e que é transportada para o exterior,
acompanhando a transferência de momento angular. Como já foi referido anteriormente,
Discos de acreção finos 173
a remoção de momento angular, permitindo a queda de algumas partículas para o
interior, implica um alargamento do disco.
Não existe contudo qualquer problema quando integramos (B.15) para todo o
disco. Assim, tendo em conta (B.11) obtemos (e.g. Krolik 1999):
dt
dM
r
GM
2
1L
I
=
Este último resultado levanta uma segunda questão. Porque é que a perda total de
calor pelo disco é inferior (é metade) à perda total de energia potencial gravítica?
Acontece que quando a matéria cai definitivamente em direcção ao centro, deixando
para trás o limite interior do disco, leva consigo alguma energia cinética. Esta energia é
justamente igual à metade da energia do potencial Kepleriano que fica assim
indisponível para radiação. No entanto, no caso de um disco de acreção para um buraco
negro, 1/2 não é o factor correcto. Há que entrar com correcções relativistas.
O raio para o qual a luminosidade é máxima corresponde ao máximo da função
Qr2 e tem o valor:
IIL r25.2r4
9r
max==
Verifica-se que a parte mais luminosa do disco, embora se situe na zona mais
interior do mesmo, fica aquém de rI. No gráfico da Figura B.2 estão representadas as
funções Q(r) e L(r). São também indicadas as contribuições de algumas regiões para a
luminosidade total do disco.
B.9 Partição do disco
Um disco de acreção pode ser dividido em várias zonas anelares, cada qual com
características bem distintas. De acordo com Shakura & Sunyaev (1973) temos as
regiões:
Discos de acreção finos 174
Figura B.2 - Taxa de dissipação de energia Q(r), no disco, por unidade de área e luminosidade Q(r)r2. As
percentagens ilustram as contribuições de cada uma das regiões demarcadas para a luminosidade integral
do disco (adaptado Shakura & Sunyaev 1973).
a- A pressão da radiação é dominante. Na interacção matéria-radiação é
dominante a dispersão de electrões livres.
b- A pressão do gás é dominante. Na interacção matéria-radiação a dispersão
electrónica também desempenha aqui o papel principal.
c- A opacidade aqui é determinada pela absorção livre-livre e outros
mecanismos menos relevantes.
Num disco de acreção existem duas regiões c. Uma região cI, bastante estreita,
junto ao limite interior do disco, e outra cE, bastante extensa, junto ao limite exterior do
disco. Na região cI a pressão da radiação é dominante e na região cE é a pressão do gás
que domina. Duas regiões do tipo b fazem a interface entre as regiões c e a região a.
Esta partição do disco está esquematizada na Figura B.3.
Expressões para a densidade média de energia, densidade superficial de matéria,
densidade bariónica, velocidade radial, campo magnético e temperatura para cada uma
das diferentes regiões podem encontrar-se em Shakura & Sunyaev (1973). Analisando
Discos de acreção finos 175
xxxx
Figura B.3 - Partição radial do disco de acreção (note-se que a figura é apenas ilustrativa e não respeita
qualquer escala)
essas expressões é notória, para qualquer uma das regiões, uma fraca dependência da
espessura do disco em relação à eficiência α do mecanismo de remoção de momento
angular. Quando α decresce, a densidade superficial do disco aumenta rapidamente e a
velocidade radial do movimento das partículas decai, aumentando a espessura do disco
como α-1/10. No entanto se α decrescer para valores da ordem de:
215
dt
dM10
≈ −
a espessura do disco será comparável ao raio do mesmo. Nesse caso deixaríamos de ter
um disco de acreção para termos simplesmente acreção esférica.
B.10 Estrutura vertical e temperatura
Existem dois processos que determinam a estrutura vertical do disco: difusão de
calor e balanço entre a força de gravidade e a pressão da radiação e/ou do gás.
Atendendo a que estamos a considerar que o movimento vertical das partículas de gás é
muito pouco significativo, se comparado com os respectivos movimentos radial e
orbital, vamos admitir a existência de equilíbrio hidrostático na direcção vertical. Isto
significa que na direcção do eixo z o gradiente de pressão deve ser completamente
equilibrado pela componente da aceleração gravítica normal ao plano do disco, zg . A
equação que traduz tal equilíbrio é (Shakura & Sunyaev 1973):
Discos de acreção finos 176
3z r
GMzg
dz
dp1−==
ρ(B.16)
A equação que nos dá a taxa dissipação de energia no disco por unidade de área,
ao longo da direcção vertical, q(z), pode ser escrita como (Shakura & Sunyaev 1973):
Σ=
ρ
Q
dz
dq1(B.17)
onde Q, dado por (B.14), corresponde à taxa de dissipação (total) de energia por
unidade de área no disco. Integrando resulta:
( ) ( )Σ
=zu
Qzq
onde:
( ) ( )dzzzuz
0ρ=
A função q(z) dá a taxa de dissipação de energia por unidade de área entre o plano
do disco (z=0) e o ponto z<h, contabilizando para isso as duas faces do disco. Note-se
que para hz = temos Qq = .
Se às equações (B.16) e (B.17) juntarmos a equação da transferência radiativa
(Shakura & Sunyaev 1973):
)z(qdz
d
3
c r −=
onde εr é a densidade de energia, σ é a opacidade e ρ a densidade de matéria; então
temos um sistema fechado de equações , cuja solução determina a distribuição vertical
das várias quantidades físicas no disco.
Nas regiões a e b, a opacidade é dominada pela dispersão electrónica. Nesse caso
o estado termodinâmico do gás pode ser descrito, em qualquer ponto e em qualquer
Discos de acreção finos 177
instante, por apenas dois parâmetros: temperatura e densidade. Vamos supor também
que o disco é bastante opaco e que, portanto, a sua temperatura central Tc é muito
superior à sua temperatura superficial Ts. No cenário criado por estas duas suposições é
possível derivar a seguinte expressão para a temperatura (Shakura & Sunyaev 1973):
( )4/12
c
u41TuT
Σ−= (B.18)
A curva característica para a variação da temperatura descrita por (B.18) está
representada na Figura B.4. Note-se que a temperatura não varia muito quando Σ<<u2 .
A estrutura do disco pode assim ser caracterizada por uma temperatura central Tc que
depende apenas da coordenada radial r, sendo a dependência de z ignorada. Contudo, se
o objectivo for o estudo do espectro de radiação emitido, a partir da superfície do disco,
então não se pode desprezar a dependência de z, pois o espectro é fortemente
dependente da distribuição vertical da densidade e da temperatura.
B.11 Espectro emitido
A maior parte da energia é radiada principalmente perto do plano central do disco.
Esta radiação não é acessível em termos de observação directa. O espectro de radiação
observável forma-se na superfície do disco. Este espectro depende da distância ao
buraco negro e da distribuição de matéria segundo a perpendicular ao plano do disco. O
tipo de espectro emitido depende também da zona do disco.
Nas regiões mais exteriores, onde os processos livre-livre e livre-ligado (e.g.
Shapiro & Teukolsky 1983) são os principais responsáveis pela opacidade, forma-se um
espectro Planckiano (Shakura & Sunyaev 1973):
( )kT
h xcom
1e
x
h
kT
c
h2xF
x
33
s2
=−
=
Discos de acreção finos 178
Figura B.4 - Variação da temperatura do disco ao longo da vertical em função do integral da densidade u.
Quando u=0 estamos sobre o plano central do disco (z=0) e T=Tc.
A este espectro corresponde um fluxo de energia dado por (Shakura & Sunyaev
1973):
( ) == )s cm (erg bT4
cdxxFQ 1-2-4
s
onde b é a constante da densidade de radiação.
Na região intermédia do disco, onde a dispersão de Thomson (e.g. Shapiro &
Teukolsky 1983) domina a opacidade, o espectro emitido obedece, no caso de o disco
poder ser considerado como um meio homogéneo com uma fronteira abrupta, à seguinte
distribuição (Shakura & Sunyaev 1973):
( )x
x2/34/5
se1
exTnconstxF
−
−
−=
onde n corresponde à densidade bariónica local. O fluxo de energia é, neste caso, dado
por:
)s cm (erg Tn108.1Q -1-225.2s
4−×=
Na região mais interior do disco o processo de Comptonização (e.g. Shapiro &
Teukolsky 1983) afecta fortemente a forma do espectro emitido. Este obedece a uma
distribuição de Wien com (Shakura & Sunyaev 1973):
Discos de acreção finos 179
Figura B.5 - Espectro local formado na superfície de um disco de acreção de matéria para um buraco
negro: a) espectro Planckiano (Q=const×T4); b) espectro de radiação de um meio homogéneo cuja maior
contribuição vem da dispersão electrónica (Q=const×n1/2T2.25); c) igual ao caso b mas com o meio
consistindo numa atmosfera isotérmica exponencial (Q=const×T2.5) e d) espectro resultante da
Comptonização (Q≈const×T4). As intensidades estão normalizadas por forma a que Q seja o mesmo nos
quatro casos apresentados (adaptado de Shakura & Sunyaev 1973).
( ) x3e xconstxF −=
e:
bd(r) com T4
)r(cdQ 4
s <<=
Na Figura B.5 indicam-se as curvas correspondentes aos vários espectros referidos
anteriormente.
B.12 Espectro integral da radiação emitida
A distribuição espectral da radiação emitida na totalidade pelo disco obtém-se
integrando o espectro local ao longo de toda a superfície do disco (Shakura & Sunyaev
1973):
Discos de acreção finos 180
( )[ ]rdrrTF4I s
r
r
E
I
=
onde Ts(r) é uma função que nos dá a temperatura superficial do disco em função do
raio. Os valores rE e rI correspondem aos limites interior e exterior do disco. Ao
considerar o integral anterior devemos ter em mente que Fν varia consoante a região do
disco e que Ts(r) depende da taxa de acreção e do parâmetro α (Shakura & Sunyaev
1973).
Na Figura B.6 estão representadas algumas curvas de Iν em função de x(=hν/(kT)).
Cada curva corresponde a uma dada taxa de acreção e a um valor do parâmetro α. São
apresentadas curvas para taxas de acreção críticas e subcríticas. A taxa de acreção de
matéria diz-se crítica quando a perda total de energia pelo disco iguala a Luminosidade
de Eddington:
( )W M
M103.1L 31
Er
×=
Na banda do óptico temos, para uma vasta gama de condições iniciais, um
espectro da forma (Shakura & Sunyaev 1973):
3/13/8
I2
2I
2
h
kT
c
hr16I
=
A luminosidade óptica do disco é então dada por:
)(W dt
dMM10dIL
3/23/428
óptico
opt
≈= (B.19)
Para um buraco negro de 10M é de esperar uma luminosidade semelhante à do
Sol mesmo que a taxa de acreção seja tão baixa quanto 10-11M ano-1. No entanto, nesse
caso, não seria fácil fazer a distinção entre o buraco negro e uma estrela normal. A
luminosidade óptica deverá, regra geral, ser superior ao valor dado por (B.19) em
xxxxxx
Discos de acreção finos 181
Figura B.6 - A radiação integral do disco para diferentes valores da taxa de acreção e do parâmetro α
(adaptado de Shakura & Sunyaev 1973).
virtude da reemissão, na banda do visível, por parte das regiões mais periféricas do
disco das radiações mais energéticas provenientes das zonas mais interiores do disco
(Shakura & Sunyaev 1973).
Lentes gravitacionais 183
ANEXO C
Efeito de lente gravitacional
Consideremos uma estrela, um observador distante e um corpo de massa m
localizado entre ambos. Vamos mostrar que os raios de luz provenientes da estrela que
passem junto ao corpo de massa m são deflectidos proporcionando ao observador uma
imagem aparente da estrela. O corpo de massa m, que poderá ser um buraco negro, será
designado por corpo deflector. Esta situação está esquematizada na Figura C.1.
Vamos recorrer à equação radial (1.12) para as geodésicas no espaço-tempo de
Schwarzschild. Antes porém, notemos que pelas equações (1.9) e (1.10), temos (e.g.
d'Inverno 1992):
2r
L
d
dr
d
d
d
dr
d
dr
==
Considerando esta substituição na equação radial e introduzindo a coordenada
radial reciproca u=1/r vem (e.g. d'Inverno 1992):
( ) 222
umu21L
E
d
du−−
=
ϕ
Diferenciando esta última equação com respeito a ϕ obtemos:
22
2
mu3ud
ud=+
ϕ(C.1)
Consideremos, por simplicidade, que o raio de luz passa sempre bastante distante
do raio de Schwarzschild do corpo deflector. Nesse caso é sempre r>>2m pelo que o
termo do lado direito da equação anterior é muito pequeno. Se o desprezarmos então
temos como solução da equação:
Lentes gravitacionais 184
Figura C.1 - Desvio de um raio de luz proveniente de uma estrela distante por um corpo de massa m. O
observador regista uma imagem aparente da estrela.
( )b
cosu
α+ϕ= (C.2)
onde b e α são constantes de integração. A constante α pode ser eliminada rodando o
eixo que define ϕ=0. A constante b corresponde à distância de menor aproximação entre
o raio de luz e o corpo deflector e é por vezes designado por parâmetro de impacto.
Substituindo então (C.2), com α=0, no lado direito de (C.1) vem:
( )2
2
2
2
b
cosm3u
d
ud ϕ=+
ϕ
Esta equação tem o integral particular (e.g. d'Inverno 1992):
( )2
2
b
cos2mu
ϕ−=
e a sua solução geral é:
( ) ( )2
2
b
cos2m
b
cosu
ϕ−+
ϕ=
Lentes gravitacionais 185
Para pontos bastante distantes do corpo deflector podemos considerar que u e
cos2(ϕ) são praticamente nulos. Nesse caso fica:
( )b
m2cos
−=ϕ
Temos assim os seguintes valores assimptóticos para o ângulo ϕ:
b
m2
22 2estrela +π
=ε+π
=ϕ
b
m2
22 1observador −π
−=ε−π
−=ϕ
A deflexão total, experimentada pelo raio de luz, será então dada por:
b
m4=ϕ∆
Os raios de luz provenientes de uma estrela podem ser desviados das suas
trajectórias normais por um corpo massivo. Esses raios de luz devem então intersectar-
se num dado ponto. Um observador colocado nesse ponto registará não uma mas sim
duas ou mais imagens dessa estrela. Esta situação está esquematizada na Figura C.2.
Este efeito, de obtenção de imagens múltiplas, designa-se por efeito de lente
gravitacional. Ao conjunto dos pontos de convergência dos raios de luz damos o nome
de zona focal.
Uma vez identificadas várias imagens de um mesmo objecto podemos retirar
alguma informação acerca do corpo deflector, também chamado de lente, e verificar se
este é ou não um buraco negro. Em geral este procedimento reveste-se de contornos
muito complexos e não dispensa outro tipo de observações.
Outro caso particularmente interessante é aquele em que temos um buraco negro
rodeado por um disco de acreção de matéria. Os raios de luz emitidos pelo disco,
principalmente aqueles provenientes do lado mais distante, sofrem um certo desvio.
Lentes gravitacionais 186
Figura C.2 - A estrela emite radiação electromagnética em todas as direcções, em particular, nas
direcções (1) e (2). O raio de luz (1) chega ao observador de forma directa. Por sua vez o raio (2) chega
ao observador depois de ter sido desviado, da sua trajectória normal, por um buraco negro. O observador
regista duas imagens da estrela, sendo uma delas real e outra aparente.
Um observador distante, situado ligeiramente fora do plano do disco, verá uma
imagem semelhante à da Figura C.3. Da parte mais distante do disco o observador
recebe duas imagens, ambas aparentes sendo uma delas directa e outra indirecta.
Lentes gravitacionais 187
Figura C.3 - (A): Disco de acreção de matéria em torno de um buraco negro (são indicadas as dimensões
típicas). Supõe-se a existência de um observador distante, do lado direito da imagem, localizado cerca de
10º acima do plano do disco. (B): Imagem registada pelo observador. A radiação emitida pelo disco do
lado do observador atinge este, sem que seja muito afectada pelo campo gravítico do buraco negro
proporcionando assim uma imagem directa e real . Por sua vez a radiação emitida pelo lado mais distante
do disco só pode atingir o observador depois de ser desviada pelo buraco negro. Neste caso o observador
capta duas imagens aparentes; uma directa, que corresponde à parte superior do disco, e outra indirecta
que corresponde à parte inferior do disco (adaptado de Luminet 1997).
Partículas elementares 189
ANEXO D
Partículas elementares
As partículas elementares estão divididas em duas grandes classes: leptões e
hadrões. Na Tabela D.1 são indicadas algumas destas partículas, bem como as
respectivas antipartículas, spin, massa, tempo de vida médio e reacção de decaimento
mais provável.
Os leptões são partículas que não estão sujeitas à interacção nuclear forte e que
não mostram sinais de terem qualquer estrutura interna. Conhecem-se três tipos de
leptões: electrões, muões e tauões.
Associado a cada leptão existe um tipo de neutrino. Embora a massa dos neutrinos
não seja conhecida foi possível, nos últimos anos, estabelecer limites superiores para a
massa dos mesmos (Fukuda et al. 1998; Hagiwara et al. 2002).
Os hadrões são partículas sujeitas à interacção forte. Subdividem-se em bariões e
mesões. Os hadrões são internamente constituídos por quarks: os bariões por três quarks
e os mesões por um quark e um antiquark (e.g. Segré 1982). Conhecem-se actualmente
seis sabores de quarks. Cada quark tem spin 1/2 e pode ter uma de três cargas
habitualmente designadas por "cores".
As partículas também podem ser classificadas quanto ao Spin em fermiões e
bosões. Os fermiões são partículas com Spin não inteiro e sujeitas ao Princípio de
Exclusão de Pauli (não podem existir dois fermiões no mesmo estado quântico). Por seu
turno, os bosões são partículas com spin inteiro que não respeitam o Princípio de
Exclusão de Pauli (pode existir um número indeterminado de bosões no mesmo estado
quântico).
Existe uma partícula responsável por cada força. No caso da força
electromagnática é o fotão e no caso da força gravítica o gravitão. A força forte entre
quarks é da responsabilidade dos gluões. Fotões, gluões e gravitões têm massa em
repouso nula. As partículas responsáveis pela interacção fraca são as W+, W- e Zo. Estas
três partículas têm massas bastante elevadas sendo o seu valor da ordem dos 80GeV.
Partículas elementares 190
Tabela D.1 - Leptões e Hadrões. São indicados alguns dos leptões e hadrões conhecidos. Para cada
um deles é indicado o Spin, a vida média em segundos (caso não sejam estáveis) e a reacção (ou as
reacções) de decaimento mais provável (prováveis). (e.g. Wichmann 1971; Segré 1982; Shapiro &
Teukolsky 1983; Duquesne 1986). No caso dos neutrinos os limites superiores para as massas foram
retirados de Hagiwara et al. (2002).
Classificação p p Spin m(MeV) vm(s) Decaimento
Electrões e+ e- 1/2 0.511 estável -
Muões µ+ µ- 1/2 105.659 2.20×10-6
e
e
e
e
++→
++→
−−
++
Tauões τ+ τ- 1/2 1784 5×10-3
e
e
e
e
++→
++→−−
++
νe e 1/2 < 3×10-6 estável -
νµ 1/2 < 0.19 estável -
Leptões
Neutrinos
ντ 1/2 < 18.2 estável - Protões p p 1/2 938.256 estável -
Neutrões n n 1/2 939.550 1.01×103eepn ++→ −
Σ+ + 1/2 1189.47 0.81×10-10 po +→+
n +→ ++
Σ- − 1/2 1197.44 1.65×10-10 n +→ −−Sigma
Σo o 1/2 1192.46 <1.0×10-14 oo +→
Ξo o 1/2 1314.7 3.0×10-10 ooo +→
Qui
Ξ- − 1/2 1321.2 1.74×10-10 −− +→ o
Lambda ∆o o 1/2 1115.58 2.51×10-10−+→ p
o
oon +→
Bariões
Hiperões
Omega Ω- − 3/2 1674 1.5×10-10 (?)
K+ K- 0 493.8 1.235×10-8
oK +→ ++
oK +→ −−
Kaões
Ko oK 0 497.9 K1 0.87×10-10
K2 5.68×10-08
−+ +→ K1
ooo2 K ++→
π+ π- 0 139.58 2.608×10-8 +→ ++
+→ −−
Hadrões
Mesões
Piões
πo o 0 134.98 0.89×10-16
o +→
Radiação do corpo negro 191
ANEXO E
Radiação do corpo negro
Todos os corpos, com temperaturas acima do zero absoluto, radiam energia sob a
forma de ondas electromagnéticas. Os corpos também podem absorver e/ou reflectir as
ondas electromagnéticas que incidam sobre eles. A um corpo que absorva integralmente
toda a radiação que incida sobre ele chama-se corpo negro. De acordo com a Lei de
Kirchoff, para a radiação electromagnética, que diz que um bom receptor é também um
bom emissor, o corpo negro, sendo um receptor perfeito, é também um emissor perfeito
de radiação (e.g. Eisberg & Resnick 1985).
Um corpo negro pode ser simulado, de forma aproximada, em laboratório, por um
corpo oco onde existe um pequeno orifício. A radiação electromagnética proveniente do
exterior pode penetrar pelo orifício e ser reflectida ou absorvida pelas paredes interiores.
Se a área correspondente ao orifício for muito inferior à área da superfície interior então
não deve sair praticamente nenhuma da radiação capturada. O orifício comporta-se
assim como um receptor de radiação perfeito. Por outro lado, estando as paredes
interiores aquecidas uniformemente até uma certa temperatura devem emitir radiação.
Parte dessa radiação irá sair pelo orifício que assim tem um comportamento semelhante
ao da superfície do corpo negro. O espectro dessa radiação emergente é designado por
espectro do corpo negro.
Todos os corpos negros, com a mesma temperatura, têm o mesmo espectro de
emissão contínuo. A forma específica da curva do espectro não pode ser deduzida a
partir de argumentos clássicos. Há que considerar a quantização da energia das ondas
electromagnéticas. No gráfico da Figura 2.2 estão representadas as curvas do espectro
do corpo negro, em função do comprimento de onda, para várias temperaturas. Note-se
que para cada temperatura existe um comprimento de onda ,λmax, para o qual a emissão
é máxima. Com o decréscimo da temperatura este máximo, além de baixar, é deslocado
no sentido dos comprimentos de onda maiores.
A densidade de fluxo para a radiação emitida por um corpo negro é dada pela
expressão (e.g. Eisberg & Resnick 1985):
Radiação do corpo negro 192
)s(Wm 1e
1
c
h2S 2-
kT/h2
3
−=
onde T é a temperatura do corpo negro.
O fluxo de energia emitido no intervalo de frequências [ν1,ν2] é dado por:
[ ] ν
ν
ννν ν−
νπ=
2
1
21d
1ec
h2S
kT/h
3
2,
Na resolução deste integral é usual considerar a transformação x=hν/kT ficando:
[ ]( )
−
π=νν
2
1
21
x
xx
3
32
4
, dx1e
x
hc
kT2S
onde x1=hν1/(kT) e x2=hν2/(kT). Quando consideramos a integração sobre todo o
espectro, x1=0 e x2=∞, o integral é igual a π4/15 pelo que resulta (e.g. Eisberg &
Resnick 1985):
[ ]4
32
45
,0 Thc15
k2S
π=∞
Substituindo as diversas constantes pelos respectivos valores obtemos:
[ ]48
,0 T1067.5S −∞ ×=
que é a Lei de Stefan. Note-se que o factor 5.6×10-8 corresponde com grande
aproximação à constante de Stefan-Boltzmann.
Determinando o máximo da curva do espectro do corpo negro obtém-se a relação
entre a temperatura T e o comprimento de onda λmax (e.g. Eisberg & Resnick 1985):
k
hc2014.0T .max ×=
Radiação do corpo negro 193
Substituindo as constantes pelos respectivos valores obtemos:
)mK(10898.2T3
max−×=
que é a Lei de Wien.