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  • Departamento de Matemática e Engenharias

    Possibilidade de detecção directa de Buracos Negros

    por radiação electromagnética

    José Laurindo de Góis Nóbrega Sobrinho

    Revisão da Tese submetida para satisfação parcial dos requisitos das Provas de Aptidão Pedagógica e Capacidade Científica para habilitação à Categoria de Assistente

  • ii

    Abstract

    Os buracos negros são objectos previstos pela Teoria da Relatividade

    Geral. São conhecidos actualmente vários candidatos a buraco negro, todos

    eles identificados a partir de processos indirectos, que vão desde os de

    massa estelar (1-102M ) aos supermassivos (106-1010M ). Embora não se

    conheça nenhum candidato a buraco negro de massa subestelar (

  • iii

    Índice

    Lista de Figuras vii

    Lista de Tabelas ix

    Lista de Fórmulas x

    Acrónimos xv

    Prefácio xvii

    Dedicatória xxi

    1 Buracos negros 1

    1.1 Introdução.................................................................................. 1

    1.2 Propriedades.............................................................................. 3

    1.2.1 Buracos Negros de Schwarzschild................................. 3

    1.2.2 Geodésicas no espaço-tempo de Schwarzschild............ 5

    1.2.3 Desvio gravitacional para o vermelho........................... 8

    1.2.4 Conversão de massa em energia radiativa..................... 9

    1.2.5 Captura de partículas..................................................... 10

    1.2.6 Ângulo de captura de fotões.......................................... 12

    1.2.7 Outros tipos de buracos negros...................................... 14

    1.2.8 Termodinâmica de Buracos Negros............................... 19

    1.3 Formação................................................................................... 22

    1.3.1 Buracos negros estelares................................................ 22

    1.3.2 Buracos negros primordiais........................................... 23

    1.3.3 Buracos negros supermassivos...................................... 25

    1.3.4 Evolução de um buraco negro....................................... 26

    1.4 Processos de detecção indirecta................................................. 27

    1.4.1 Acreção esférica de matéria........................................... 27

    1.4.2 Buracos Negros em sistemas binários........................... 33

    1.4.3 Microlentes gravitacionais............................................. 39

    1.4.4 Dinâmica estelar e do gás ionizado............................... 42

    1.4.5 Masers............................................................................ 44

    2 Radiação de Hawking 45

    2.1 Emissão de radiação por buracos negros................................... 45

  • iv

    2.2 Emissão de radiação de Hawking por buracos negros com

    carga eléctrica ou com rotação.................................................. 53

    2.3 Emissão de radiação de Hawking por buracos negros

    uniformemente acelerados........................................................ 54

    2.4 Emissão partículas com massa................................................... 59

    2.5 Evaporação de um buraco negro................................................ 60

    2.6 Explosões de buracos negros..................................................... 62

    2.7 Destino final de um buraco negro.............................................. 65

    3 Identificação de objectos candidatos a buraco negro 67

    3.1 Buracos negros supermassivos.................................................. 67

    3.1.1 Via Láctea...................................................................... 69

    3.1.2 M106 (NGC 4258)......................................................... 70

    3.1.3 M31 (NGC 224)............................................................. 71

    3.1.4 NGC 3115...................................................................... 73

    3.1.5 M87 (NGC 4486)........................................................... 73

    3.1.6 O contra-exemplo M33.................................................. 74

    3.2 Buracos Negros de massa intermédia........................................ 74

    3.3 Buracos negros estelares em sistemas binários......................... 75

    3.3.1 Cyg X-1......................................................................... 78

    3.3.2 A0620-00....................................................................... 79

    3.3.3 O contra-exemplo CAL 87............................................ 79

    3.4 Buracos negros de massa estelar isolados................................. 80

    3.4.1 Radiação emitida na acreção esférica............................ 80

    3.4.2 Buracos negros como microlentes................................. 80

    3.4.3 Surgimento de buracos negros em supernovas.............. 81

    4 A possibilidade de detecção directa de buracos negros 85

    4.1 Buracos negros de Schwarzschild............................................. 85

    4.2 Buracos negros e o espectro electromagnético.......................... 90

    4.3 Possibilidade de detecção directa de buracos negros (teórica).. 94

    4.4 Possibilidade de detecção directa de buracos negros (limites

    técnicos actuais)......................................................................... 96

    4.4.1 Rádio.............................................................................. 96

    4.4.2 Infravermelho................................................................ 102

  • v

    4.4.3 Visível............................................................................ 105

    4.4.4 Ultravioleta.................................................................... 112

    4.4.5 Raios X.......................................................................... 113

    4.4.6 Raios gama..................................................................... 119

    4.4.7 Buracos negros em fase terminal................................... 121

    4.4.8 Emissão de partículas com massa e raios gama

    secundários.................................................................... 125

    4.5 Análise e discussão de resultados.............................................. 128

    4.5.1 Dos buracos negros rádio aos buracos negros de raios

    gama............................................................................... 128

    4.5.2 Distância máxima de detecção versus raio de

    Schwarzschild................................................................ 132

    4.5.3 Buracos negros terminais............................................... 137

    4.5.4 Raios gama secundários................................................. 138

    5 Conclusão 141

    Referências 145

    A Geodésicas na vizinhança de um buraco negro de

    Schwarzschild 151

    A.1 Geodésicas radiais nulas........................................................... 151

    A.2 Geodésicas radiais para partículas com massa......................... 152

    A.3 Geodésicas nulas não radiais.................................................... 153

    A.4 Geodésicas não radiais para partículas com massa................... 154

    B Disco de acreção de matéria geometricamente finos 159

    B.1 Formação de um disco de acreção............................................ 159

    B.2 Dinâmica geral do disco........................................................... 160

    B.3 Viscosidade............................................................................... 162

    B.4 Densidade superficial de matéria.............................................. 164

    B.5 A altura do disco....................................................................... 166

    B.6 Estrutura radial.......................................................................... 168

    B.7 Dissipação de energia no disco................................................. 170

    B.8 Luminosidade do disco............................................................. 172

    B.9 Partição do disco....................................................................... 173

    B.10 Estrutura vertical e temperatura.............................................. 175

  • vi

    B.11 Espectro emitido..................................................................... 177

    B.12 Espectro integral da radiação emitida..................................... 179

    C Efeito de lente gravitacional 173

    D Partículas elementares 189

    E Radiação do corpo negro 191

  • vii

    Lista de Figuras

    1.1 Estrutura do buraco negro de Schwarzschild.................................................... 4

    1.2 Parâmetro de impacto de uma partícula........................................................... 11

    1.3 Ângulo entre a direcção de propagação do fotão e a componente radial da

    velocidade........................................................................................................ 12

    1.4 Captura de fotões por um buraco negro........................................................... 13

    1.5 Estrutura dos buracos negros de Reissner-Nordström..................................... 15

    1.6 Estrutura dos buracos negros de Kerr.............................................................. 18

    1.7 Os vários tipos de buracos negros................................................................... 19

    1.8 Massa e natureza dos restos estelares em função da massa estelar inicial...... 23

    1.9 Perturbação de densidade no Universo primordial.......................................... 24

    1.10 Diagrama de Rees para a formação de buracos negros supermassivos........... 26

    1.11 Espectro emitido na acreção esférica por um buraco negro numa região HII.. 30

    1.12 Espectro emitido na acreção esférica por um buraco negro numa região HI.... 30

    1.13 Espectro da emissão de radiação de sincotrão resultante da acreção esférica

    por um buraco negro numa região HII.............................................................. 32

    1.14 Transferência de matéria num sistema binário via ponto de Lagrange L1....... 34

    1.15 Transferência de matéria num sistema binário via vento estelar..................... 34

    1.16 Ângulo de inclinação de um sistema binário................................................... 38

    1.17 Anel de Einstein............................................................................................... 40

    1.18 Variação de magnitude provocada por uma lente gravitacional...................... 41

    2.1 Formação de pares partícula-antipartícula junto ao horizonte de

    acontecimentos................................................................................................. 47

    2.2 Espectro de radiação do corpo negro............................................................... 52

    2.3 Observador uniformemente acelerado no espaço-tempo de Minkowski......... 55

    3.1 Evolução de 6 estrelas no centro da Galáxia................................................... 71

    3.2 A região central de NGC 4258........................................................................ 72

    3.3 Curvas para a determinação da massa de MACHO-96-BLG-5 e MACHO-

    98-BLG-6......................................................................................................... 82

    3.4 Curva para a determinação da massa de MACHO-99-BLG-22...................... 82

    4.1 Temperatura de buracos negros de Reissner-Nordström e de Kerr................. 86

    4.2 Temperatura de buracos negros de Kerr-Newmann........................................ 86

    4.3 Horizontes de um buraco negro de Schwarzschild uniformemente acelerado.. 87

  • viii

    4.4 Temperatura de um buraco negro de Schwarzschild uniformemente

    acelerado.......................................................................................................... 88

    4.5 Aceleração permitida aos buracos negros de Kerr........................................... 88

    4.6 Temperatura de buracos negros de Kerr uniformemente acelerados............... 89

    4.7 Espectro electromagnético............................................................................... 91

    4.8 Representação de um buraco negro de Schwarzschild em tamanho real.......... 94

    4.9 Buracos negros visíveis................................................................................... 94

    4.10 Variação da luminosidade por unidade de frequência com o raio de

    Schwarzschild.................................................................................................... 99

    4.11 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos 20m............ 100

    4.12 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos 4m.............. 101

    4.13 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos 3.6cm.......... 102

    4.14 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking no

    infravermelho................................................................................................... 106

    4.15 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking no visível.......... 108

    4.16 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking a olho nu........... 112

    4.17 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking no ultravioleta... 115

    4.18 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos raios X........ 118

    4.19 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos raios gama.. 122

    4.20 Função f(M) para a evaporação de buracos negros......................................... 123

    A.1 Geodésicas radiais para fotões......................................................................... 152

    A.2 Tempo próprio e tempo coordenada................................................................ 154

    A.3 Função potencial para os fotões....................................................................... 155

    A.4 Função potencial para partículas com massa................................................... 156

    B.1 Evolução da densidade superficial de matéria num disco de acreção............. 167

    B.2 Taxa de dissipação de energia num disco de acreção...................................... 174

    B.3 Partição radial de um disco de acreção fino.................................................... 175

    B.4 Variação da temperatura do disco na perpendicular........................................ 178

    B.5 Espectro de emissão formado na superfície do disco de acreção.................... 179

    B.6 Radiação emitida pelo disco de acreção para diferentes taxas de acreção...... 181

    C.1 Desvio de um raio de luz por um corpo........................................................... 184

    C.2 Buraco negro como lente gravitacional........................................................... 186

    C.3 Disco de acreção e o efeito de lente gravitacional........................................... 187

  • ix

    Lista de Tabelas

    3.1 Galáxias com candidatos a buraco negro supermassivo.................................. 68

    3.2 Candidatos a buraco negro de massa intermédia............................................. 75

    3.3 Os 21 mais fortes candidatos a buraco negro de massa estelar em binários.... 77

    4.1 Lista de 50 buracos negros de Schwarzschild (desde os supermassivos aos

    de dimensão Planckiana)................................................................................. 92

    4.2 Distâncias de detecção de buracos negros no rádio......................................... 97

    4.3 Distâncias de detecção de buracos negros no infravermelho.......................... 104

    4.4 Sensibilidades dos filtros R, V e B.................................................................. 107

    4.5 Distâncias de detecção de buracos negros no óptico....................................... 109

    4.6 Magnitude absoluta de buracos negros............................................................ 111

    4.7 Distâncias de detecção de buracos negros no ultravioleta............................... 114

    4.8 Distâncias de detecção de buracos negros em raios X..................................... 117

    4.9 Distâncias de detecção de buracos negros em raios gama............................... 120

    4.10 Tempo de evaporação de buracos negros........................................................ 124

    4.11 Emissão de neutrinos e leptões por buracos negros......................................... 126

    4.12 Distância para a observação de buracos negros a partir da detecção de raios

    gama secundários............................................................................................. 127

    4.13 Lista dos telescópios considerados.................................................................. 129

    4.14 Distâncias máximas para a detecção dos buracos negros da Tabela 4.1 nas

    várias bandas do espectro electromagnético.................................................... 133

    4.15 Distâncias máximas para a detecção de buracos negros.................................. 134

    4.16 Buracos negros detectáveis a pelo menos 10 raios de Schwarzschild de

    distância........................................................................................................... 136

    4.17 Comparação entre as distâncias para a detecção de raios gama primários e

    secundários....................................................................................................... 139

    D.1 Leptões e hadrões............................................................................................ 190

  • x

    Lista de Fórmulas

    1.1 Métrica de Schwarzschild............................................................................ 3

    1.2 Massa geometrizada..................................................................................... 3

    1.3 Raio de Schwarzschild................................................................................. 3

    1.4 Tensor métrico na forma covariante............................................................. 4

    1.5 Passagem do tensor métrico para a forma contravariante............................ 4

    1.6 Tensor métrico na forma contravariante....................................................... 5

    1.7 Lagrangeano para o espaço-tempo de Schwarzschild.................................. 5

    1.8 Integral do movimento E (energia) ............................................................. 5

    1.9 Integral do movimento L (momento angular azimutal) .............................. 5

    1.10 Momento radial Pr........................................................................................ 6

    1.11 Integral do movimento δ.............................................................................. 6

    1.12 Equação radial para o movimento no espaço-tempo de Schwarzschild....... 6

    1.13 Função potencial para o movimento no espaço-tempo de Schwarzschild... 6

    1.14 Raio da órbita circular instável para partículas materiais no espaço-tempo

    de Schwarzschild.......................................................................................... 7

    1.15 Raio da órbita circular estável para partículas materiais no espaço-tempo

    de Schwarzschild.......................................................................................... 7

    1.16 Variação da coordenada radial r com a coordenada angular ϕ no espaço-

    tempo de Schwarzschild............................................................................... 7

    1.17 Desvio gravitacional para o vermelho.......................................................... 9

    1.18 Parâmetro de impacto................................................................................... 10

    1.19 Secção de choque para a captura de partículas............................................. 11

    1.20 Componente azimutal da velocidade de um fotão........................................ 12

    1.21 Equação radial para fotões........................................................................... 12

    1.22 Parâmetro de impacto do fotão em função da massa................................... 13

    1.23 Ângulo para a captura de fotões por um buraco negro................................. 13

    1.24 Métrica de Kerr na forma de Boyer-Lindquist............................................. 15

    1.25 Função ρ da métrica de Kerr........................................................................ 16

    1.26 As coordenadas cartesianas (x,y,z) e as coordenadas da métrica de Kerr.... 16

    1.27 Singularidade de um buraco negro de Kerr.................................................. 16

    1.28 Horizonte de acontecimentos exterior num buraco negro de Kerr............... 17

    1.29 Horizonte de acontecimentos interior num buraco negro de Kerr............... 17

    1.30 Superfície do limite estacionário num buraco negro de Kerr....................... 17

  • xi

    1.31 Relação entre carga eléctrica e momento angular num buraco negro de

    Kerr-Newmann............................................................................................. 18

    1.32 Área de um buraco negro de Kerr-Newmann............................................... 20

    1.33 Primeira Lei da Termodinâmica para buracos negros.................................. 21

    1.34 Massa inicial dos buracos negros primordiais.............................................. 25

    1.35 Equação da continuidade.............................................................................. 28

    1.36 Equação de Euler.......................................................................................... 28

    1.37 Equação da entropia..................................................................................... 28

    1.38 Luminosidade emititda na acreção esférica, por um buraco negro, numa

    região HII..................................................................................................... 29

    1.39 Eficiência da conversão entre massa e energia na acreção de matéria por

    um buraco negro........................................................................................... 31

    1.40 Luminosidade resultante da emissão de sincotrão na acreção esférica, por

    um buraco negro numa região HII............................................................... 31

    1.41 Terceira Lei de Kepler.................................................................................. 37

    1.42 Terceira Lei de Kepler incluindo o ângulo de inclinação do binário........... 38

    1.43 Função de massa de um sistema binário...................................................... 39

    1.44 Raio do Anel de Einstein (adaptado a buracos negros)................................ 39

    1.45 Tempo de atravessamento do Anel de Einstein............................................ 40

    1.46 Ampliação por uma microlente gravitacional.............................................. 40

    1.47 Velocidade transversal de uma lente gravitacional...................................... 41

    1.48 Massa de uma lente gravitacional................................................................ 42

    1.49 Massa de um buraco negro supermassivo a partir da dinâmica estelar........ 42

    1.50 Raio de influência de um buraco negro (supermassivo).............................. 44

    1.51 Resolução relativa das observações de buracos negros supermassivos....... 44

    2.1 Princípio da Incerteza de Heisenberg........................................................... 46

    2.2 Integral da energia de um fotão criado num par partícula-antipartícula...... 48

    2.3 Tempo para um referencial (partícula) atingir o horizonte de

    acontecimentos............................................................................................. 49

    2.4 Energia do fotão para um observador local.................................................. 49

    2.5 Energia do fotão para um observador local (em função do 4-momento)..... 49

    2.6 Energia do fotão ao atingir o infinito........................................................... 50

    2.7 Relação entre energia cinética e temperatura............................................... 50

    2.8 Temperatura de um buraco negro em unidades geometrizadas.................... 51

    2.9 Temperatura de um buraco negro em unidades não geometrizadas............. 51

    2.10 Temperatura de um buraco negro em função da massa (massas solares).... 51

  • xii

    2.11 Lei de Wien.................................................................................................. 52

    2.12 Temperatura de um buraco negro em função da gravidade superficial........ 53

    2.13 Gravidade superficial de um buraco negro de Kerr-Newmann.................... 53

    2.14 Temperatura de um buraco negro de Kerr-Newmann.................................. 53

    2.15 Temperatura de um buraco negro de Kerr.................................................... 54

    2.16 Temperatura de um buraco negro de Reissner-Nordström........................... 54

    2.17 Temperatura registada por um observador de Rindler................................. 54

    2.18 Métrica para o espaço-tempo de Rindler...................................................... 55

    2.19 Métrica C para um buraco negro com rotação e aceleração uniforme......... 56

    2.20 Função ∆ presente na métrica C................................................................... 56

    2.21 Horizontes para um buraco negro de Kerr uniformemente acelerado.......... 56

    2.22 Horizonte de Rindler de um buraco negro de Schwarzschild

    uniformemente acelerado............................................................................. 57

    2.23 Horizonte de acontecimentos de um buraco negro de Schwarzschild

    uniformemente acelerado............................................................................. 57

    2.24 Função Θ (presente nas expressões dos horizontes de um buraco negro de

    Schwarzschild uniformemente acelerado).................................................... 58

    2.25 Temperatura sobre os horizontes de um buraco negro uniformemente

    acelerado....................................................................................................... 58

    2.26 Limitações da aceleração de um buraco negro de Schwarzschild................ 58

    2.27 Limitações da aceleração de um buraco negro de Kerr................................ 58

    2.28 Comprimento de onda de Compton.............................................................. 59

    2.29 Massa do buraco negro a partir da qual passam a ser emitidas partículas

    com uma determinada massa........................................................................ 60

    2.30 Luminosidade do corpo negro...................................................................... 60

    2.31 Luminosidade de um buraco negro.............................................................. 60

    2.32 Taxa de evaporação de um buraco negro..................................................... 61

    2.33 Tempo de evaporação de buracos negros..................................................... 61

    2.34 Taxa de emissão de mesões π por um buraco negro.................................... 63

    2.35 Taxa de emissão de fotões gama secundários por um buraco negro............ 63

    4.1 Densidade de fluxo da radiação emitida por um corpo negro..................... 95

    4.2 Relação entre densidade de fluxo e distância............................................... 95

    4.3 Densidade de fluxo em função do raio de Schwarzschild............................ 95

    4.4 Distância (máxima) para a detecção da radiação de Hawking..................... 96

    4.5 Luminosidade por unidade de frequência.................................................... 99

    4.6 Relação entre luminosidade e magnitude absoluta....................................... 107

  • xiii

    4.7 Relação entre luminosidade e fluxo............................................................. 107

    4.8 Luminosidade na banda do visível............................................................... 110

    4.9 Fluxo na banda do visível............................................................................. 110

    4.10 Relação entre magnitude aparente, magnitude absoluta e distância............. 111

    A.1 Equação para as geodésicas radiais nulas..................................................... 151

    A.2 Variação do tempo coordenada nas geodésicas radiais nulas...................... 151

    A.3 Equação para as geodésicas radiais de partículas com massa...................... 152

    A.4 Velocidade de queda livre de uma partícula................................................. 152

    A.5 Variação do tempo próprio nas geodésicas radiais de partículas com

    massa............................................................................................................ 153

    A.6 Variação do tempo coordenada nas geodésicas radiais de partículas com

    massa............................................................................................................ 153

    A.7 Potencial para as geodésicas nulas não radiais............................................. 154

    A.8 Potencial para as geodésicas não radiais de partículas com massa.............. 154

    B.1 Velocidade angular das partículas no disco................................................. 161

    B.2 Componente Trϕ do tensor do stress viscoso................................................ 163

    B.3 Componente Trϕ do tensor do stress viscoso em função da velocidade

    angular.......................................................................................................... 164

    B.4 Torque entre dois anéis do disco adjacentes................................................ 164

    B.5 Densidade superficial num disco fino.......................................................... 165

    B.6 Equação da continuidade para um disco de acreção.................................... 165

    B.7 Equação de Navier-Stokes para um disco de acreção.................................. 165

    B.8 Altura do disco de acreção........................................................................... 168

    B.9 Taxa de acreção de matéria pelo disco......................................................... 169

    B.10 Integração da equação de Navier-Stokes...................................................... 169

    B.11 Factor de redução (potencial kepleriano)..................................................... 170

    B.12 Relação entre densidade superficial, viscosidade e taxa de acreção............ 170

    B.13 Taxa local de dissipação de energia no disco, por unidade de volume, em

    função da viscosidade................................................................................... 171

    B.14 Taxa local de dissipação de energia no disco, por unidade de volume,

    cancelada a dependência da viscosidade...................................................... 171

    B.15 Expressão geral para a luminosidade total do disco..................................... 172

    B.16 Componente da aceleração gravítica normal ao plano do disco................... 176

    B.17 Taxa de dissipação de energia no disco na direcção vertical....................... 176

    B.18 Variação da temperatura no disco segundo a direcção vertical.................... 177

    B.19 Luminosidade total do disco na banda do visível......................................... 180

  • xiv

    C.1 Equação radial com a coordenada radial reciproca u=1/r............................ 183

    C.2 Solução da equação C.1 quando r>>2m....................................................... 184

  • xv

    Acrónimos

    Constantes físicas

    Velocidade da luz no vazio c=2.99792458×108ms-1

    Constante de Planck h=6.62620×10-34Js

    Carga elementar e=1.602189×10-19C

    Número de Avogadro No=6.0221367×1023mol-1

    Constante universal dos gases R=8.31441Jmol-1K-1

    Constante de Boltzmann k=1.380662×10-23JK-1

    Constante de Stefan-Boltzmann σ=5.66956×10-8Wm-2K-4

    Constante da gravitação G=6.6742×10-11Nm2kg-2

    Massa de Planck mp=5.456×10-8kg

    Raio Solar R =6.9599×108m

    Massa Solar M =1.989×1030kg

    Luminosidade Solar L =3.826×1026W

    Distâncias

    UA - Unidade Astronómica; 1UA=1.495979×1011m

    AL - Ano Luz; 1AL=9.460530×1015m

    pc - parsec; 1pc=3.085678×1016m (≈3.26AL)

    Distância (média) Terra-Lua ≈ 3.8×108m

    Distância (média) Sol-Plutão ≈ 5.9×1012m (≈40UA)

    Densidade de Fluxo

    Jy (Jansky) 1Jy=10-26Wm-2s

  • xvi

    Abreviaturas

    AGILE - Astro-revilatore Gamma a Immagini LEggero

    EROS - Experience pour la Recherche d'Objets Sombres

    FUSE - Far Ultraviolet Spectroscopic Explorer

    GRB - Gamma Ray Burst

    HESS - High Energy Stereoscopic System

    HST - Huble Space Telescope

    INTEGRAL - INTErnational Gamma-Ray Astrophysics Laboratory

    MACHO - MAssive Compact Halo Objects

    MASER - Microwave Amplification Stimulated Emission of Radiation

    MDO - Massive Dark Object

    N-XMM - Newton X-ray Multi-mirror Mission

    OGLE - Optical Gravitational Lensing Experiment

    PIH - Princípio de Incerteza de Heisenberg

    ���������������

    �������

    QPO - Quasi Periodic Oscillations

    SIRTF - Space InfraRed Telescope Facility

    SOFIA - Stratospheric Observatory For Infrared Astronomy

    TRG - Teoria da Relatividade Geral

    VLA - Very Large Array

    VLBI - �����������������������������

  • xvii

    Prefácio

    Todos os candidatos a buraco negro conhecidos actualmente resultam de

    evidências observacionais indirectas. A detecção da radiação de Hawking (radiação

    própria emitida por um buraco negro) é, ao que sabemos, o único processo de detecção

    directa de buracos negros. A motivação deste trabalho consiste em investigar se, dentro

    dos limites técnicos actuais, é ou não possível detectar a componente electromagnética

    da radiação de Hawking e, em caso afirmativo, a que distância e para que tipo de

    buracos negros.

    Os primeiros três capítulos são de revisão de literatura, com algumas partes

    originais. No Capítulo 1 são introduzidos os buracos negros e descritas algumas das

    suas principais propriedades. São resumidos os mecanismos de formação de buracos

    negros e os principais processos de detecção indirecta. No Capítulo 2 é descrito o

    mecanismo de emissão de radiação por buracos negros. É também discutida a emissão

    de partículas com massa na fase final da evaporação de buracos negros. O Capítulo 3 é

    dedicado à apresentação dos principais candidatos a buraco negro conhecidos

    actualmente. Estes vão desde os buracos supermassivos (nos quais se encontram os

    candidatos mais seguros) aos buracos negros estelares presentes em sistemas binários.

    O Capítulo 4 é dedicado ao estudo da possibilidade de detecção, dentro dos limites

    técnicos actuais, da radiação de Hawking emitida por buracos negros de Schwarzschild.

    É considerada a detecção de buracos negros das mais variadas massas em comprimentos

    de onda que vão desde o rádio aos raios gama. No Capítulo 5 são apresentadas as

    conclusões.

    Este trabalho é parte integrante das minhas Provas de Capacidade Científica e

    Aptidão Pedagógica para a obtenção da categoria de Assistente no Departamento de

    Matemática e Engenharias da Universidade da Madeira.

    Sou licenciado em Física (Ramo Científico) pela Universidade da Madeira

    (1994/95). Exerço actividade docente desde o ano lectivo de 1994/95, tendo passado

    pelo departamento de Física da Universidade da Madeira, Escola Secundária de Jaime

    Moniz, Escola Básica e Secundária de Machico e Departamento de Matemática (actual

    Departamento de Matemática e Engenharias) da Universidade da Madeira onde estou

    actualmente.

  • xviii

    Participei na conferência "New Trends in Geometrical and Topological Methods"

    realizada na Universidade da Madeira (Agosto 1995) com a apresentação de um póster

    intitulado "Space-Time Geometry of a Pair of Reissner-Nordström Black Holes" e no

    6ºENAA (Encontro Nacional de Astronomia e Astrofísica) realizado na Universidade de

    Évora com a apresentação dos pósteres "Geometria do Espaço-Tempo de um Par de

    Buracos Negros de Reissner-Nordström" e "Escolha do local para a instalação de um

    Observatório na Madeira" este último, integrado no Grupo STORM (Students Taking

    Observational Research Measurements), foi eleito, pelos participantes, como o melhor

    do encontro. Fui membro da organização do 11ºENAA realizado na Universidade da

    Madeira (Julho 2001).

    Apresentei nas 3 edições da Semana da Astronomia, realizadas pelo Grupo de

    Astronomia da Universidade da Madeira, os cursos: "Buracos Negros" (2001), "A

    Nossa Galáxia" (2001), "Os Buracos Negros" (2002) e "O buraco Negro no Centro da

    Nossa Galáxia" (2003). Fui o organizador da III Semana da Astronomia (Julho 2003).

    Durante o ano lectivo 2002/03 apresentei em várias escolas básicas e secundárias da

    região uma palestra intitulada "Nós e o Universo".

    Integrado no grupo STORM participei no trabalho de observação do seeing para a

    selecção do melhor local da ilha para a instalação de um observatório óptico, em várias

    sessões de observação (cometas Hyakutake e Hale-Bopp, Eclipses do Sol,...) e em

    várias edições do programa Astronomia no Verão da FCT (Fundação para a Ciência e

    Tecnologia).

    A concretização desta tese não teria sido possível sem o apoio constante da minha

    esposa Elda Sobrinho e dos meus pais, Alexandre Sobrinho e Esperança Gois, a quem

    dedico o meu trabalho.

    Agradeço ao Professor Doutor José Carmo, na qualidade de Presidente do

    Departamento de Matemática e Engenharias (e orientador da componente pedagógica

    destas provas) e ao Professor Doutor Pedro Augusto, na qualidade de Presidente do

    Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira (do qual também faço parte) e

    orientador desta tese pela disponibilidade e apoio. Ao Dr. Angelino Gonçalves do

    Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira, pelas discussões e críticas

    construtivas. De uma forma geral estou profundamente grato a todos os familiares,

    colegas e amigos que directa ou indirectamente me ajudaram na realização deste

    trabalho.

  • xix

    O texto desta tese foi escrito utilizando o Microsoft Word 2000 e as equações

    foram construídas no Microsoft Equation Editor v3.01. Grande parte dos cálculos, bem

    como a geração de gráficos, foram efectuados no Mathematica 4.1 (Wolfram Research).

    Algumas das imagens foram construídas ou adaptadas com a ajuda do Microsoft Paint.

    Foi feita uma consulta, quase permanente, da NASA Astrophysics Data System i e

    também da Biblioteca de Astronomia e Astrofísica do Grupo de Astronomia da

    Universidade da Madeiraii

    José Laurindo de Gois Nóbrega Sobrinho

    Outubro 2003

    Durante a discussão da tese, que teve lugar 14 de Novembro de 2003 na

    Universidade da Madeira, o arguente Professor Doutor José Pizarro de Sande Lemos, a

    quem agradeço a disponibilidade e interesse, sugeriu algumas alterações. Após reunião

    com o orientador Professor Doutor Pedro Augusto fiz a revisão da tese incluindo

    algumas dessas alterações. Nomeadamente, a lista de exemplos de buracos negros que

    antes terminava nos de dimensão comparável à do núcleo atómico, foi estendida até aos

    buracos negros de dimensão planckiana. Os anexos referentes à acreção esférica por

    buracos negros de Schwarzschild, existentes na versão original, foram retirados e serão

    publicados em separado.

    José Laurindo de Gois Nóbrega Sobrinho

    Fevereiro 2004

    i http://adswww.harvard.edu ii http://www.uma.pt/Investigacao/Astro/Biblioteca/index.htm

  • xx

  • xxi

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  • Buracos Negros 1

    1 Buracos Negros

    1.1 Introdução

    Num artigo enviado em 1783 para a Philosophical Transactions da Royal Society

    o reverendo e geólogo britânico John Michell argumentou que corpos com um raio 500

    vezes superior ao do Sol e com uma densidade igual ou superior à deste não deixariam,

    em virtude da sua atracção gravitacional, os seus próprios raios de luz escaparem sendo

    assim invisíveis aos nossos sentidos (e.g. Lynden-Bell 2002)1.

    Michell pensou em termos de velocidade de escape que é tanto maior quanto

    maior for a massa do corpo (planeta, estrela,...) e tanto maior quanto menor for o

    respectivo raio. Embora no caso da Terra o seu valor seja de apenas 11kms-1, numa

    estrela de neutrões pode atingir 1.5×105kms-1, ou seja, metade da velocidade da luz.

    Jogando com os valores do raio e da massa podemos imaginar (como Michell) uma

    estrela cuja velocidade de escape seja superior à da luz. Essa estrela não seria visível por

    um observador distante.

    Esta foi uma espectacular previsão de uma das propriedades dos buracos negros:

    aprisionar a luz e ser invisível. Todavia estas estrelas escuras não correspondem

    exactamente à definição actual de buraco negro. Um corpo capaz de aprisionar a sua

    própria luz não pode ser descrito pela teoria da gravitação de Newton. Em 1915 Albert

    Einstein apresentou uma nova teoria, actualmente designada por Teoria da Relatividade

    Geral (TRG), aplicável nessas situações.

    Algumas provas experimentais da TRG foram surgindo com o decorrer dos anos.

    Um eclipse total do Sol (1919) permitiu confirmar que este desvia os raios de luz

    provenientes de estrelas distantes e que, além disso, o ângulo de desvio estava de acordo

    com o previsto. O avanço do periélio do planeta Mercúrio é outra prova experimental da

    TRG. A descoberta de imagens múltiplas de um quasar (1980) veio validar a previsão

    da existência de lentes gravitacionais avançada por Einstein.

    Pouco tempo decorrido após a publicação da TRG, Karl Schwarzschild chegou,

    1 Numa monografia publicada em 1795, intitulada Systéme du Mond, o astrónomo e matemático francês

    Pierre Laplace também descreveu a ideia de estrelas invisíveis recorrendo, embora sem o referir, aos

    mesmos argumentos de Michell (e.g. Lynden-Bell 2002).

  • Buracos Negros 2

    baseando-se na mesma, à solução para o campo gravítico em torno de uma massa

    esférica (Secção 1.2.1). Este resultado permitia descrever o campo em torno de estrelas

    como o Sol ou ainda em torno de estrelas mais compactas como as anãs brancas e

    estrelas de neutrões em relação às quais os efeitos relativistas são mais relevantes. O

    que não ficou imediatamente evidente é que essa solução comportava também a

    descrição de um objecto bem mais exótico: o buraco negro.

    Os buracos negros são objectos previstos pela TRG. No entanto, eram objectos de

    tal forma fora do comum que, na falta de qualquer evidência da sua existência, o seu

    estudo não foi muito motivador ao longo de muitos anos. Apenas a descoberta de outros

    objectos exóticos como os quasares (1963) e as estrelas de neutrões (1967) veio reavivar

    o entusiasmo e o interesse pelo estudo dos buracos negros.

    Desde então têm sido identificados vários candidatos a buraco negro. Em termos

    de massa, estes vão desde os buracos negros estelares 1-102M (Secções 3.3 e 3.4),

    espalhados pela nossa galáxia, até aos super buracos negros 106-1010M (Secção 3.1)

    presentes nos núcleos de algumas galáxias incluindo a nossa. Toda esta selecção de

    candidatos é feita a partir de observações indirectas (Secção 1.4).

    No plano teórico conseguiram-se nas últimas décadas grandes desenvolvimentos

    sobre as propriedades dos buracos negros e sobre a interacção dos mesmos com o meio

    envolvente. Um dos resultados teóricos mais fascinantes aponta para a emissão de

    radiação por buracos negros (Secção 2.1). Esta radiação, designada por radiação de

    Hawking, inclui ondas electromagnéticas, ondas gravitacionais e, no caso de buracos

    negros de menor massa, partículas com massa (Secção 2.4). A emissão de radiação de

    Hawking leva à evaporação do buraco negro (Secção 2.5). Na fase final da evaporação

    são emitidas grandes quantidades de raios gama num curto intervalo de tempo

    assistindo-se, assim, à explosão do buraco negro (Secção 2.6).

    A motivação deste trabalho consiste em analisar a possibilidade de detecção

    directa de buracos negros (dentro dos limites técnicos actuais) a partir da componente

    electromagnética da radiação emitida pelos mesmos. Pretende-se averiguar quais os

    buracos negros mais favoráveis para a detecção (em termos de distâncias) e quais as

    bandas do espectro mais favoráveis para a observação.

  • Buracos Negros 3

    1.2 Propriedades

    1.2.1 Buracos negros de Schwarzschild

    A solução de Schwarzschild resulta da resolução das equações do campo no vácuo

    para um espaço-tempo com simetria esférica. Esta solução contém a descrição exacta de

    um buraco negro sem carga e sem rotação: buraco negro de Schwarzschild. A métrica

    correspondente, também conhecida por métrica de Schwarzschild, é normalmente

    escrita, em coordenadas esféricas, como se segue (e.g. d' Inverno 1992):

    22222222 dsinrdrdr

    r

    m21

    1dt

    r

    m21ds ϕθ−θ−

    −−�

    ���

    �−=

    (1.1)

    onde t é o tempo-coordenada, s representa um intervalo de espaço-tempo e:

    2c

    GMm = (1.2)

    surge como uma constante de integração das equações do campo. Aqui G é a constante

    de gravitação universal, c é a velocidade da luz e M é a massa criadora do campo. É

    usual o recurso a unidades geometrizadas onde G=c=1. É importante notar que m tem as

    dimensões de uma distância.

    A métrica (1.1) apresenta singularidades nos pontos r=0 e r=2m. No caso r=2m é

    possível mostrar que a singularidade correspondente não é real, ou seja, não é uma

    singularidade física (e.g. d' Inverno 1992). De facto, mediante uma transformação

    adequada de coordenadas é possível remover esta singularidade. No caso r=0 não é

    possível estabelecer qualquer transformação de coordenadas capaz de remover a

    singularidade. Estamos perante uma singularidade real. A superfície r=2m corresponde

    ao chamado horizonte de acontecimentos do buraco negro. O raio de um buraco negro

    deste tipo, também designado por raio de Schwarzschild, é dado por:

    2s c

    GM2m2r == (1.3)

  • Buracos Negros 4

    Figura 1.1 - Estrutura do buraco negro de Schwarzschild

    Ao ponto r=0 chamamos singularidade do buraco negro. Se extrapolarmos as

    soluções das equações do campo para o interior do buraco negro, verifica-se que elas

    acabam por quebrar na singularidade. Uma vez desenvolvida uma teoria quântica da

    gravitação, talvez se possa substituir a ocorrência de uma singularidade por um estado

    da matéria que agora desconhecemos. Seja como for, no presente estudo, estamos

    interessados apenas em processos que ocorrem do lado de fora do horizonte de

    acontecimentos e, portanto, longe da singularidade, onde a TRG é válida sem qualquer

    restrição. Na Figura 1.1 está representada a estrutura do buraco negro de Schwarzschild.

    Com os coeficientes da métrica (1.1) construímos o tensor métrico na forma covariante:

    ji ,0g ;�sinrg

    rg ;r

    m21g ;

    r

    m21g

    ij22

    33

    222

    1

    1100

    ≠=−=

    −=��

    ���

    �−−=−=

    (1.4)

    onde os índices 0, 1, 2 e 3 correspondem, respectivamente às coordenadas t, r, θ e ϕ. O

    tensor métrico na forma contravariante obtém-se a partir da relação:

    ( ) ij3

    0�

    i�j� �gg =�

    =

    (1.5)

    onde ij� representa a função delta de Kronecker. No caso da métrica de Schwarzschild

    temos:

  • Buracos Negros 5

    ji ,0g ;�sinr

    1

    g

    1g ;

    r

    1

    g

    1g

    ;r

    m21

    g

    1g ;

    r

    m21

    g

    1g

    ij22

    33

    332

    22

    22

    11

    111

    00

    00

    ≠=−==−==

    ��

    ���

    �−−==�

    ���

    �−==

    (1.6)

    1.2.2 Geodésicas no espaço-tempo de Schwarzschild

    O trajecto mais curto entre dois pontos do espaço-tempo designa-se por linha

    geodésica. As partículas livres deslocam-se sempre seguindo as geodésicas. As

    equações das geodésicas podem obter-se a partir do Lagrangeano (e.g. Chandrasekhar

    1983):

    ����

    ����

    ��

    ���

    �−�

    ���

    �−

    ��

    ���

    −��

    ���

    ���

    ���

    �−=

    222

    22

    2

    2

    g�d

    d)�(Sinr

    �d

    �dr

    r

    m21

    �d

    dr

    �d

    dt

    r

    m21

    2

    1L

    � (1.7)

    onde τ corresponde ao tempo próprio (tempo medido por um observador no referencial

    da partícula) e t corresponde ao tempo coordenada (tempo medido por um observador

    distante). No caso dos fotões τ deverá ser interpretado como um parâmetro afim.

    No espaço-tempo de Schwarzschild as geodésicas são descritas num plano

    invariante (e.g. Chandrasekhar 1983). Vamos escolher, por exemplo, o plano θ=90º.

    O facto do Lagrangeano (1.7) não depender explicitamente das coordenadas t e ϕ

    conduz aos seguintes integrais do movimento:

    E�d

    dt

    r

    m21

    �d

    dt

    LP gt =�

    ���

    �−=

    ��

    ���

    �∂

    ∂= (1.8)

    L�d

    dr

    �d

    d

    LP 2g ==

    ��

    ���

    �∂

    ∂−=

    �� (1.9)

    Podemos interpretar E como sendo a energia da partícula e L como a componente

    do momento angular segundo um eixo normal ao plano invariante (tudo por unidade de

  • Buracos Negros 6

    massa). Considere-se também o momento radial:

    �d

    dr

    r

    m21

    1

    �d

    dr

    LP gr

    −=

    ��

    ���

    �∂

    ∂−= (1.10)

    O facto do Hamiltoneano coincidir com o Lagrangeano (e.g. Chandrasekhar 1983)

    e não depender explicitamente do tempo coordenada conduz a um terceiro integral do

    movimento, δ, tal que:

    ��d

    drP

    �d

    dL

    �d

    dtE r =−−

    �(1.11)

    O valor de δ pode ser escalonado de forma a ser zero para o movimento de fotões

    e igual à unidade para o movimento de partículas materiais (e.g. Chandrasekhar 1983).

    Substituindo (1.8), (1.9) e (1.10) em (1.11) obtemos a seguinte equação radial:

    ���

    ����

    �+�

    ���

    �−−=�

    ���

    �2

    22

    2

    r

    L�

    r

    m21E

    �d

    dr(1.12)

    Se, nesta equação, interpretarmos o membro do lado esquerdo como sendo a

    energia cinética da partícula e E2 como a sua energia total, então:

    ( ) ���

    ����

    �+δ�

    ���

    �−=

    2

    22

    r

    L

    r

    m21rV (1.13)

    será a respectiva energia potencial (tudo por unidade de massa). O movimento só será

    permitido quando for E2≥V2. A partir desta condição podemos tirar uma série de

    conclusões sobre o tipo de geodésicas permitido, tanto aos fotões como às partículas

    materiais, nas imediações de um buraco negro de Schwarzschild.

    Consideremos então um fotão que, partindo do infinito, desloca-se em direcção a

    um buraco negro de Schwarzschild. Se este seguir uma trajectória radial (Secção A.1)

    então, visto não existir qualquer barreira de potencial no seu caminho, acabará sendo

    capturado. Se, por outro lado, o seu movimento não for na direcção radial então o fotão

  • Buracos Negros 7

    segue uma geodésica curvilínea condicionada por uma barreira de potencial (Secção

    A.3). Se a energia do fotão for suficiente para vencer a barreira então este avança em

    direcção ao horizonte de acontecimentos e é capturado. Caso contrário o fotão é

    reflectido pela barreira de potencial, escapando, para longe (Figura A.3).

    É também permitida aos fotões uma geodésica circular. Esta, situada em r=3m,

    corresponde ao pico da barreira de potencial. A superfície esférica de raio r=3m é

    designada por rotosfera. Fotões, provenientes do infinito, cuja energia seja igual ao

    potencial em r=3m, descrevem uma geodésica espiral cuja curva tende para o círculo

    r=3m. A órbita r=3m é no entanto instável. Um fotão que permaneça durante algum

    tempo nessa órbita acabará mais cedo ou mais tarde por ser capturado pelo buraco negro

    ou por escapar para o infinito.

    No caso das partículas materiais o tipo de geodésicas permitido está condicionado

    pelo valor do integral L (Secções A.2 e A.4). O caso mais interessante ocorre quando

    12m2

  • Buracos Negros 8

    1.2.3 Desvio gravitacional para o vermelho

    Consideremos um buraco negro de Schwarzschild de massa m e uma partícula

    material de coordenada radial r1>2m. Vamos supor que essa partícula emite luz de um

    dado comprimento de onda e que alguns desses raios de luz são captados por um

    observador distante de coordenada radial r2>r1. O período de emissão em termos de

    tempo próprio, que designaremos por dτ1, relaciona-se com o período de emissão em

    termos de tempo-coordenada, que designaremos por dt1, através da seguinte relação (e.

    g. Berman & Gomide 1987):

    11

    1 dtr

    m21d −=τ

    De modo análogo, o período de recepção, em termos de tempo próprio, que

    designaremos por dτ2, relaciona-se com o período de recepção em termos de tempo-

    coordenada, que designaremos por dt2, através da seguinte relação:

    22

    2 dtr

    m21d −=τ

    Como o espaço-tempo de Schwarzschild é estático (os elementos do tensor métrico

    (1.4) não dependem explicitamente do tempo) fica dt1=dt2 (e.g. d'Inverno 1992).

    Relacionando as duas expressões anteriores obtemos:

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    r

    m21

    r

    m21

    �cd

    �cd

    ==

    onde λ1 e λ2 são os comprimentos de onda registados no momento da emissão e da

    recepção respectivamente. Se supusermos que r2>>r1 então o numerador do lado direito

    desta expressão pode ser substituído pela unidade ficando:

  • Buracos Negros 9

    1

    12

    r

    m21−

    λ=λ

    (1.17)

    À medida que a partícula se aproxima do buraco negro, o valor de λ2 vai

    aumentando progressivamente. O observador distante regista assim um desvio para o

    vermelho no comprimento de onda da luz emitida pela partícula. Esse desvio vai ficando

    cada vez mais acentuado tornando-se infinito sobre o horizonte de acontecimentos. Diz-

    se que r=2m é uma superfície de desvio para o vermelho infinito. Por seu turno λ1

    permanece sempre constante pois corresponde ao comprimento de onda, de emissão,

    medido no referencial da partícula.

    1.2.4 Conversão de massa em energia radiativa

    Resolvendo (1.15) em ordem a L2 e substituindo o resultado na equação radial

    (1.12) obtemos, no caso das geodésicas circulares para partículas com massa, a seguinte

    expressão para o integral da energia:

    r

    m31

    r

    m21

    E

    2

    2

    ��

    ���

    �−

    =

    No caso da última órbita circular estável (r=6m) esta expressão toma o valor:

    9

    8E m6 =

    pelo que a energia de ligação, por unidade de massa, para uma partícula nessa órbita é:

    %.7259

    81EEE m6lig ≈−=−= ∞

    Esta é a fracção de energia da partícula libertada quando esta, inicialmente em

  • Buracos Negros 10

    repouso no infinito (V=E=1), descreve um movimento espiral em direcção a um buraco

    negro de Schwarzschild, até à órbita circular estável mais interior (caindo depois em

    direcção ao horizonte de acontecimentos). Esta taxa de conversão de massa em outras

    formas de energia é muito superior à das reacções nucleares no seio das estrelas, a qual

    ronda apenas os 0.9% (no máximo), quando se dá a conversão H→Fe (e.g. Shapiro &

    Teukolsky 1983).

    1.2.5 Captura de partículas

    A secção de choque para a captura de uma partícula material proveniente do

    infinito, por um buraco negro, é dada por (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983):

    2cap b�� max=

    onde bmax é o valor máximo que o parâmetro de impacto, b, pode ter para que a

    partícula seja capturada. Se o parâmetro de impacto for nulo, temos uma captura frontal,

    e se for superior a bmax, não ocorre captura. O parâmetro de impacto é determinado,

    como se depreende da Figura 1.2, pela expressão:

    ( ) rrb r ��≈= ∞→ sinlim (1.18)

    Quando r→∞ podemos desprezar os termos de ordem inferior a r4 na equação

    (1.16) ficando:

    ( )2

    42

    2

    L

    r1E

    d

    dr−=��

    ����

    ϕ

    Introduzindo nesta equação o resultado (1.18) vem:

    2

    2

    2 L

    1E

    b

    1 −=

  • Buracos Negros 11

    Figura 1.2 - Parâmetro de impacto b para uma partícula com uma trajectória r=r(ϕ) na vizinhança de um

    buraco negro de massa M (adaptado de Shapiro & Teukolsky 1983).

    Quando r→∞ a função potencial, dada pela expressão (1.13), tende para a

    unidade. Podemos, assim, interpretar E2-1 como a energia cinética da partícula no

    infinito. Considerando que a velocidade da partícula no infinito é v∞ temos a relação:

    ∞= bvL

    Se for v∞

  • Buracos Negros 12

    Figura 1.3 - Ângulo entre a direcção de propagação de um fotão e a direcção de vr, num dado ponto P

    (adaptado de Shapiro & Teukolsky 1983).

    1.2.6 Ângulo de captura de fotões

    Seja ψ o ângulo entre a direcção de propagação de um fotão e a direcção radial,

    num dado ponto P, como se mostra na Figura 1.3. Atendendo a que, em unidades

    geometrizadas a velocidade da luz é igual à unidade, as componentes da velocidade,

    num referencial local, podem ser escritas como:

    ( )( )��

    ���

    =

    =

    radial) e(component �v

    azimutal) e(component �vr

    cos

    sin

    Por outro lado, do ponto de vista de um observador local, a componente azimutal

    da velocidade é dada por (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983):

    ( )21

    r

    m21

    r

    f�sinv

    /

    ��

    ���

    �−==� (1.20)

    onde estamos a considerar f=L/E. A equação (1.12) pode escrever-se, para o caso dos

    fotões, do seguinte modo:

    2

    2

    2

    22f2

    22

    r

    L

    r

    m21

    f

    LV

    f

    L

    d

    dr��

    ���

    �−−=−=�

    ���

    �(1.21)

  • Buracos Negros 13

    Figura 1.4 - Captura de fotões por um buraco negro de Schwarzschild do ponto de vista de um

    observador local. Os fotões emitidos de cada ponto (abcissa r) para o interior da região a cinzento são

    capturados (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983)

    onde é um parâmetro afim e Vf é dado por (1.13) com δ=0.

    O potencial efectivo Vf é máximo quando r=3m, ou seja, no ponto, correspondente

    à única geodésica circular permitida aos fotões (Secção 1.2.2). Fazendo na equação

    (1.21) r=3m resulta:

    3m)(r m33f == (1.22)

    Um fotão, proveniente do infinito, será capturado se f for inferior ao valor anterior

    e será reflectido se f for superior a esse valor. O parâmetro f é claramente um parâmetro

    de impacto.

    Assim, conjugando (1.20) com (1.22), resulta que do ponto de vista de um

    observador local, um fotão, deslocando-se em direcção ao buraco negro (r decrescente),

    pode escapar à captura apenas se se verificar a condição:

    ( )2/1

    r

    m21

    r

    m33sin �

    ���

    �−>ψ (1.23)

    Em r=6m um fotão, deslocando-se em direcção ao buraco negro, pode escapar

    apenas quando ψ>45º (Figura 1.4) e em r=4m quando ψ>67º. Em r=3m já é ψ>90º pelo

    que o fotão já não pode escapar. Isto significa que 50% da luz radiada por um emissor

    isotrópico situado sobre a rotosfera (Secção 1.2.2) é irremediavelmente capturada.

  • Buracos Negros 14

    1.2.7 Outros tipos de buracos negros

    Quando se dá a formação de um buraco negro, seja por que processo for, é apenas

    retida informação acerca da massa, carga eléctrica e momento angular. Qualquer outra

    informação relativa ao corpo que originou o buraco negro (e.g. forma geométrica, tipo

    de matéria, campo magnético) é completamente radiada para longe ou simplesmente

    engolida2. No caso de a carga eléctrica e o momento angular serem nulos temos um

    buraco negro caracterizado apenas pelo valor da sua massa. Estes buracos negros, ditos

    de Schwarzschild, já foram discutidos na Secção1.2.1.

    Caso exista, para além da massa, uma quantidade não nula de carga eléctrica então

    dizemos que temos um buraco negro de Reissner-Nordström. A métrica para este tipo

    de buracos negros escreve-se, em coordenadas esféricas, na forma (e.g. d' Inverno

    1992):

    222222

    2

    22

    2

    22 dsinrdrdr

    rr

    m21

    1dt

    rr

    m21ds ϕθ−θ−

    ε+−

    −���

    ����

    � ε+−=

    onde m continua a ser, como na solução de Schwarzschild, a massa geometrizada e ε é a

    carga eléctrica escrita também em unidades geometrizadas. Note-se que quando ε=0 o

    elemento de linha anterior reduz-se à métrica de Schwarzschild (1.1). A solução de

    Reissner-Nordström apresenta uma única singularidade real para r=0. A singularidade

    associada a g11=0 é apenas aparente podendo ser removida mediante uma escolha

    conveniente de coordenadas (e.g. d' Inverno 1992). O horizonte de acontecimentos para

    este tipo de buraco negro é determinado resolvendo a equação (e.g. d' Inverno 1992):

    0r

    r

    m21

    g

    1g

    2

    2

    11

    11 =+−==

    (onde g11 é determinado com a ajuda da expressão 1.5). A equação tem duas soluções:

    2 Este facto levou o físico teórico John Wheeler a proferir a célebre frase "Black holes have no hair" (e.g. Novikov 1995)

  • Buracos Negros 15

    Figura 1.5 - Estrutura interna de alguns buracos negros de Reissner-Nordström. Em cada caso foram

    indicados os dois horizontes de acontecimentos, r+ e r-, e a singularidade s. O buraco negro da esquerda

    tem carga nula (ε=0) e por isso é na realidade um buraco negro de Schwarzschild. Por sua vez o buraco

    negro da direita tem a carga máxima permitida (ε=m) e por isso diz-se que é um buraco negro de

    Reissner-Nordström extremo.

    22mmr ε−+=+

    22mmr ε−−=−

    Num buraco negro de Reissner-Nordström existem dois horizontes de

    acontecimentos (r+ e r-). O horizonte de raio r+, mais exterior, é semelhante ao dos

    buracos negros de Schwarzschild. Quando ε=0, r- é nulo e r+=2m. Por ouro lado quando

    ε=m os dois horizontes coincidem (são iguais a m) e dizemos, nesse caso, que temos um

    buraco negro de Reissner-Nordström extremo. Na Figura 1.5 estão representadas as

    estruturas de alguns buracos negros de Reissner-Nordström.

    Se, para além da respectiva massa, o buraco negro tiver movimento de rotação e

    for electricamente neutro temos um buraco negro de Kerr3. A métrica correspondente,

    também designada por métrica de Kerr, é muitas vezes escrita na forma de Boyer-

    Lindquist (e.g. d' Inverno 1992):

    ( )

    ( ) ( ) ( )[ ] ��

    d�sin�aaR

    �sin

    dtd�sin

    amR4�ddR

    dt

    mR21ds

    222222

    2

    22

    2222

    22

    2

    −+−

    +−−���

    ����

    �−=

    (1.24)

    3 O nome foi atribuído em homenagem ao neozelandês Roy Kerr que em 1963 descobriu a solução das equações do campo para um corpo em rotação.

  • Buracos Negros 16

    com:

    ( )�aR 2222 cos+= (1.25)

    22 amR2R� +−=

    onde o parâmetro a traduz o momento angular do buraco negro por unidade de massa.

    Note-se que quando a=0, ou seja, quando o buraco negro não tem rotação é recuperada a

    métrica de Schwarzschild (1.1). As coordenadas (R,θ,ϕ) estão relacionadas com as

    coordenadas cartesianas (x,y,z) do seguinte modo:

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )��

    ��

    =

    −=

    +=

    �Rz

    �a�Ry

    �a�Rx

    cos

    cossinsinsin

    sinsincossin

    ��

    ��

    (1.26)

    A coordenada R não corresponde à coordenada radial usual. A coordenada radial

    usual, r, é dada por:

    ( )�aRzyxr 2222222 sin+=++=

    sendo, no entanto, R≈r quando ar >> ou quando 0a ≈ . A métrica de Kerr depende de

    θ e por isso não é simetricamente esférica. No entanto, como não depende de ϕ

    concluímos que é axialmente simétrica. O eixo de simetria, que coincide com o eixo de

    rotação do buraco negro, é, por convenção, o eixo ZZ'. A métrica de Kerr apresenta uma

    única singularidade real correspondente a ρ=0 (e.g. d' Inverno 1992). A partir de (1.25)

    e (1.26), com ρ=0 e a≠0, tiramos que:

    ���

    =

    =

    0z

    ar 22(1.27)

    Isto significa que, para um buraco negro em rotação, a singularidade consiste num

    anel assente no plano equatorial. Quanto maior a velocidade de rotação, maior o raio da

    singularidade. Quando a=0 temos um buraco negro de Schwarzschild com a sua

  • Buracos Negros 17

    singularidade pontual. O horizonte de acontecimentos para um buraco negro de Kerr é

    determinado a partir de g11=0. A partir da expressão (1.5) pode verificar-se que

    g11=1/g11, ou seja, g11=-∆/ρ2. Resolvendo então a equação ∆=0 obtêm-se as soluções:

    ( ) ( )22222 amm�ar −++=+ sin (1.28)

    ( ) ( )22222 amm�ar −−+=− sin (1.29)

    Num buraco negro de Kerr existe um horizonte de acontecimentos mais interior r-

    e outro mais exterior r+. A partir das expressões (1.28) e (1.29) verifica-se que a

    velocidade angular do buraco negro não pode exceder m. Quando a=m fica r-=r+ e

    dizemos que temos um buraco negro de Kerr máximo.

    Num buraco negro de Schwarzschild o horizonte de acontecimentos é

    simultaneamente uma superfície de desvio para o vermelho infinito (Secção 1.2.3). No

    caso de um buraco negro com rotação não acontece o mesmo. A superfície de desvio

    para o vermelho infinito pode ser determinada avaliando g00=0 (e.g. d' Inverno 1992),

    resultando:

    ( ) ( )( )222222 �amm�as cossin −++=+

    ( ) ( )( )222222 �amm�as cossin −−+=− (1.30)

    A superfície s+ é exterior a r+, tocando este apenas sobre os pólos. s+ é também

    conhecida por superfície do limite estacionário uma vez que, embora ainda seja possível

    a uma partícula escapar do seu interior, entre esta e r+ não é permitido o repouso. Tudo é

    arrastado no sentido da rotação do buraco negro. Na Figura 1.6 está representada a

    estrutura no plano equatorial (θ=90º) e segundo um plano meridiano de buracos negros

    de Kerr com a=0.8m e a=m (foi representada também a estrutura do buraco negro de

    Schwarzschild para efeitos de comparação).

    Por último vamos referir os buracos negros de Kerr-Newmann. Estes

    caracterizam-se por possuírem massa, carga eléctrica e momento angular (e.g.

  • Buracos Negros 18

    aaaaaaaaa

    Figura 1.6 - (A) Estrutura de um buraco negro de Schwarzschild (buraco negro de Kerr com a=0). (B)

    Estrutura de um buraco negro de Kerr com a=0.8m segundo um plano meridiano (à esquerda) e segundo o

    plano equatorial (θ=90º; à direita). (C) Estrutura de um buraco negro de Kerr máximo (a=m) segundo um

    plano meridiano (à esquerda) e segundo o plano equatorial (à direita).

    Demianski 1985). Num buraco negro de Kerr-Newmann a carga eléctrica e o momento

    angular por unidade de massa devem respeitar a relação (e.g. Davies 1978):

    222 m�a ≤+ (1.31)

    Quando se verifica a igualdade, na expressão anterior, diz-se que temos um

    buraco negro de Kerr-Newmann extremo. Este é o caso limite de um objecto que ainda

    possui um horizonte de acontecimentos. No diagrama da Figura 1.7 estão incluídos

    todos os tipos de buracos negros descritos anteriormente.

  • Buracos Negros 19

    Figura 1.7 - Cada ponto da circunferência representa um buraco negro de Kerr-Newman extremo. Todos

    os outros buracos negros são representados por pontos interiores à circunferência. Ao buraco negro de

    Schwarzschild corresponde a origem dos eixos. Os buracos negros de Reissner-Nordström são

    representados pelos pontos do eixo ε (carga eléctrica) e os buracos negros de Kerr pelos pontos do eixo a

    (momento angular).

    1.2.8 Termodinâmica de buracos negros

    A fronteira de um buraco negro é dada pelo respectivo horizonte de

    acontecimentos. Sobre o horizonte residem as trajectórias espaço-temporais dos raios

    luminosos emitidos no momento da formação do mesmo. Estas trajectórias são sempre

    não convergentes (e.g. Hawking 1994). Com base neste facto Stephen Hawking provou

    um importante teorema sobre buracos negros (e.g. Hawking & Ellis 1973), designado

    por Teorema da Área, que indicamos a seguir:

    Teorema da área - Em qualquer interacção a área da superfície, A,

    de um buraco negro nunca pode decrescer ( 0�A ≥ ).

  • Buracos Negros 20

    Este comportamento, da área da superfície do buraco negro sugere uma forte

    analogia com a quantidade termodinâmica entropia. A desordem (entropia) de um

    sistema aumenta sempre ou, quanto muito, permanece constante. Podemos colocar uma

    certa ordem numa parte do sistema, mas sempre à custa de um aumento da desordem de

    outra parte do sistema. Globalmente, "a entropia nunca decresce" (Segunda Lei da

    Termodinâmica; e.g. Holman 1988).

    A Segunda Lei da Termodinâmica é diferente de outras leis físicas no sentido em

    que podem ocorrer violações da mesma. Essas violações são muito pouco prováveis. No

    entanto, se lançarmos alguma matéria com elevado grau de entropia para o interior de

    um buraco negro teríamos aparentemente um decréscimo da entropia relativa à matéria

    exterior ao buraco negro. Note-se que qualquer entropia existente no interior do buraco

    negro não pode ser contabilizada por um observador externo. Estamos assim perante

    uma violação da Segunda Lei da Termodinâmica. Para tornear este problema foi então

    sugerido que a área do horizonte de acontecimentos do buraco negro era uma medida da

    sua entropia. Assim, quando um buraco negro absorve matéria, a sua área, ou seja a sua

    entropia, aumenta. A soma da entropia da matéria exterior com a entropia do buraco

    negro é sempre crescente no tempo. O Teorema da área pode assim ser visto como uma

    Segunda Lei da Termodinâmica para Buracos Negros.

    A Primeira Lei da Termodinâmica, que traduz a conservação da energia de um

    sistema que troca energia com a sua vizinhança na forma de calor ou trabalho, pode

    escrever-se como (e.g. Holman 1988):

    dWdQdU +=

    onde U representa a energia interna do sistema (que depende apenas do estado do

    mesmo), Q representa o calor transferido entre o sistema e a sua vizinhança e W o

    trabalho realizado pelo sistema sobre a sua vizinhança. É possível escrever uma

    expressão equivalente para buracos negros.

    A área total da superfície do horizonte de acontecimentos de um buraco negro de

    Kerr-Newmann é dada por (e.g Davies 1978):

    ��

    ���

    −−+−=

    2

    2

    2

    2222

    m

    a

    m

    �1m2�m2�4A (1.32)

  • Buracos Negros 21

    com ε2

  • Buracos Negros 22

    1.3 Formação

    1.3.1 Buracos negros estelares

    O destino final de uma estrela depende da respectiva massa inicial. Uma estrela

    com uma massa inicial de 0.8-8M acabará como uma anã branca de massa 0.5-1.4M .

    Se a massa inicial da estrela for 8-60M então o produto final será provavelmente uma

    estrela de neutrões de ≈1.4M . Se a massa inicial da estrela se situar entre as 60-90M

    então o produto final será um buraco negro de massa superior a 1.4M . Estrelas cuja

    massa inicial seja superior a 90M são estruturalmente instáveis sabendo-se pouco

    acerca da respectiva evolução. É provável que também se formem buracos negros (e não

    estrelas de neutrões) a partir de estrelas com massas iniciais de 40-60M . Esses buracos

    negros teriam massas muitos próximas de 1.4M (e.g. Unsöld & Baschek 2002;

    Padmanabhan 2001; Binney & Merrifield 1998).

    Na Figura 1.8 está representada a massa dos restos estelares em função da massa

    estelar inicial. Os valores apresentados têm um caracter meramente indicativo uma vez

    que os mesmos não são conhecidos com exactidão.

    Existe um limite superior para a massa de uma estrela de neutrões. O valor desse

    limite não é bem conhecido. Unsöld & Baschek (2002) falam em 1.8M mas, por

    exemplo, Padmanabhan (2001) considera 3-5M . De qualquer forma restos estelares

    cuja massa seja superior ao permitido para uma estrela de neutrões representam

    configurações de matéria para as quais não existe um estado de equilíbrio. Nesses casos

    ocorre o colapso gravitacional da estrela (e.g. Padmanabhan 2001; Demianski 1985;

    Hawking & Ellis 1973)

    Para um observador distante o raio da estrela diminui progressivamente

    aproximando-se do respectivo raio de Schwarzschild (Secção 1.2.1). Esse ponto será

    atingido apenas assimptoticamente, ou seja, ao fim de um intervalo de tempo infinito.

    No entanto a radiação electromagnética emitida pela estrela sofre um desvio para o

    vermelho (Secção 1.2.3) cada vez mais intenso, acabando o respectivo comprimento de

    onda por ser indetectável. A estrela torna-se então invisível para o observador distante.

  • Buracos Negros 23

    Figura 1.8 - Massa dos restos estelares (Mf) e respectiva natureza em função da massa estelar inicial (Mi)

    Do ponto de vista de um observador local, solidário com a superfície da estrela,

    tudo se passa de uma forma diferente. Para este o raio de Schwarzschild não só é

    atingido num tempo finito, como o processo de contracção continua a partir desse

    ponto. A estrela tende para um volume nulo, ou seja, para uma densidade infinita.

    No processo libertam-se enormes quantidades de energia que, a exemplo do que

    acontece numa supernova, são transferidas para o envelope da estrela podendo fazer

    com que este seja violentamente expulso. Se for esse o caso, o observador distante

    registará uma explosão catastrófica que não saberá distinguir de outras não relacionadas

    com a formação de buracos negros (e.g. Demianski 1985).

    Podemos ter também outros cenários para a formação de buracos negros de massa

    estelar. Por exemplo, uma estrela de neutrões, pertencente a um sistema binário, pode,

    ao acretar matéria da sua companheira, atingir uma massa acima do nível permitido. Se

    isso acontecer então ocorre o colapso da estrela dando origem a um buraco negro (e.g.

    Luminet 1998).

    1.3.2 Buracos negros primordiais

    É possível que no Universo Primordial, nos instantes seguintes ao Big Bang,

    tenham estado reunidas as condições para que se formassem buracos negros de pequena

    massa (Hawking 1971).

  • Buracos Negros 24

    Figura 1.9 - Representação de uma perturbação de densidade no Universo primordial. A perturbação

    propriamente dita cinge-se à região de raio R1. Existe uma zona de transição de espessura ∆R de cujo

    valor depende a formação ou não de um buraco negro (adaptado de Novikov et al. 1979).

    Sabemos que nesses primórdios devem ter ocorrido algumas irregularidades pois

    se assim não fosse hoje o Universo seria perfeitamente uniforme e não existiriam

    estruturas, como por exemplo, as galáxias (e.g. Carr & Hawking 1974).

    Essas irregularidades consistiam em perturbações de densidade nas mais variadas

    escalas de comprimento. Uma dessas perturbações está esquematicamente representada

    na Figura 1.9. A perturbação propriamente dita está encerrada numa região de raio R1.

    A transição entre a região perturbada e a região não perturbada faz-se gradualmente

    através de um anel de espessura ∆R=R2-R1 (cf. Figura 1.9). A formação de buracos

    negros depende fortemente da espessura desta região de transição. Se ∆R for

    suficientemente pequeno, isto é, se R1/R2≈1, surgem gradientes de pressão bastante

    elevados e as perturbações de densidade crescem violentamente. No interior do volume

    de raio R1 a energia potencial gravítica passa a dominar sobre a energia cinética da

    expansão. Esta região deixa assim de se expandir com o resto do Universo e colapsa

    dando origem a um buraco negro (Novikov et al. 1979).

    Os buracos negros formados nos instantes iniciais dizem-se primordiais. A massa

    inicial de um buraco negro primordial está relacionada com a densidade do Universo,

    ρU (kgm-3), e com a idade do Universo, tU (s), no momento da formação através da

    expressão (e.g. Kiefer 2002; Eardley & Press 1975):

  • Buracos Negros 25

    (kg) t10G

    cM U

    353

    U

    6

    bnp ≈≈ (1.34)

    De acordo com esta expressão devem ter-se formado primeiro os buracos negros

    de menor massa. Os primeiros buracos negros podem ter-se formado quando a idade do

    Universo era da ordem do tempo de Planck (≈10-43s) com massas da ordem da massa de

    Planck (≈10-8kg). Quando a idade do Universo era próxima dos 10-23s podem ter-se

    formado buracos negros com massas da ordem dos 1012kg. Quando o Universo tinha

    10-5s podem ter surgido buracos negros de 1M e aos 10s buracos negros de 106M .

    1.3.3 Buracos negros supermassivos

    Existem evidências observacionais que apontam para a presença de objectos

    compactos de grande massa (>106M ), eventualmente buracos negros supermassivos, no

    centro de algumas galáxias (Secção 3.1).

    São vários os caminhos que podem levar à formação de um buraco negro

    supermassivo no centro de uma galáxia (Figura 1.10). Uma nuvem de gás presente na

    zona central de uma galáxia pode originar, por contracção, um objecto supermassivo

    que poderá colapsar originando um buraco negro supermassivo. Pode também acontecer

    que se forme um enxame estelar a partir dessa nuvem de gás.

    Em resultado das colisões as estrelas do enxame podem trocar energia entre si.

    Uma estrela ao ganhar energia desloca-se mais para o exterior podendo mesmo ser

    expulsa do enxame. Por sua vez uma estrela ao perder energia desloca-se mais para o

    interior tornando a zona central ainda mais densa e, portanto, as interacções entre

    estrelas mais frequentes. Pode acabar por formar-se no centro do enxame um objecto

    compacto (>106M ) que acabará por colapsar dando provavelmente origem a um buraco

    negro supermassivo (e.g. Misner et al. 1999).

    Outra possibilidade é que em virtude das colisões se formem estrelas de massas

    superiores a 8M . Estas estrelas deixariam como restos da sua evolução estrelas de

    neutrões e buracos negros de massa estelar (Figura 1.8). Poderia formar-se assim um

    enxame de objectos compactos que acabaria por colapsar dando origem a um buraco

    negro supermassivo (e.g. Shapiro & Teukolsky 1985).

  • Buracos Negros 26

    Figura 1.10 - Diagrama de Rees para a formação de buracos negros supermassivos (Rees 1978).

    1.3.4 Evolução de um buraco negro

    Uma vez formado um buraco negro, primordial ou não, este irá experimentar uma

    evolução que depende do tipo de condições presentes no meio em que se encontra.

    Independentemente de o meio ser mais ou menos denso haverá sempre acreção esférica

    de matéria e radiação pelo buraco negro. Nesse processo cresce a massa do buraco

    negro e, portanto, aumenta também o respectivo raio (Secção 1.4.1).

    Um buraco negro pode acabar por alojar-se no núcleo de uma estrela. Este cenário

    é bastante aceitável se atendermos ao facto de que o raio de Schwarzschild de um

    buraco negro (expressão 1.3), mesmo estelar, é muito inferior ao raio de qualquer

  • Buracos Negros 27

    estrela4. Não é assim de excluir a existência de buracos negros, de massas estelares ou

    inferiores, no núcleo de algumas estrelas. Numa situação dessas a matéria da estrela

    seria progressivamente acretada pelo buraco negro que desse modo cresceria (e.g.

    Eardley & Press 1975; Seok-Jae 1990).

    Um buraco negro não se pode bifurcar por forma a originar dois buracos negros.

    Se dois buracos negros colidirem um com o outro fundem-se dando origem a um único

    buraco negro de massa igual ou superior à soma das massas dos dois buracos negros

    iniciais (e.g. Hawking & Ellis 1973).

    Em todas as situações descritas anteriormente temos sempre como resultado um

    aumento da massa do buraco negro. Contudo os buracos negros também podem perder

    massa através da chamada radiação de Hawking (Secção 2.5) que será tanto mais

    eficiente quanto menor for a massa do buraco negro. É assim de admitir que alguns

    buracos negros primordiais, de massa relativamente pequena, em vez de terem crescido,

    tenham perdido parte da sua massa.

    1.4 Processos de detecção indirecta

    1.4.1 Acreção esférica de matéria

    i) Campo magnético quase desprezável

    Um buraco negro mergulhado numa nuvem de gás, mais ou menos densa, acaba

    sempre por acretar alguma matéria. Se o buraco negro estiver isolado e o gás não

    possuir uma quantidade de momento angular significativa então o processo de acreção

    tem simetria esférica.

    Numa primeira abordagem à acreção esférica é comum considerar-se um gás sem

    colisões. No entanto a natureza do gás do meio interestelar e da matéria trocada entre

    estrelas em sistemas binários levam a crer que a acreção de matéria por objectos

    compactos (buracos negros, estrelas de neutrões e anãs brancas) seja hidrodinâmica (e.g.

    Shapiro & Teukolsky 1983). A taxa de acreção esférica hidrodinâmica em regime

    4 Por exemplo, o raio do Sol é cerca de 2.4×105 superior ao respectivo raio de Schwarzschild.

  • Buracos Negros 28

    adiabático (Bondi 1952), embora relativamente baixa, é cerca de 109 vezes superior à

    verificada no caso do gás sem colisões.

    O estudo relativista da acreção esférica hidrodinâmica adiabática (e.g. Shapiro &

    Teukolsky 1983) revela que esta ocorre necessariamente em regime trans-sónico. Neste

    regime a velocidade do gás começa por ser inferior à velocidade local do som. Com a

    aproximação ao buraco negro a velocidade cresce, acabando por ultrapassar a

    velocidade local do som. Por outro lado, verifica-se que a taxa de acreção é máxima

    justamente no regime trans-sónico (Bondi 1952).

    Na acreção esférica, o gás que circunda o buraco negro, maioritariamente

    constituído por hidrogénio, vai caindo radialmente sob a influência do campo gravíti