apuntes de medos numericos.pdf
TRANSCRIPT
MÉTODOS NUMÉRICOS BÁSICOS
CON SOFTWARE
DAVID TOSTADO MENA
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR
DE ALVARADO
CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS………...
1.1 Definición…………………………………………………..
1.2 Errores……………………………………………………...
Errores por redondeo……………………………………..
Errores por truncamiento…………………………………
2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES………………………………...
2.1 Introducción………………………………………………..
Interpretación geométrica de las raíces………………...
Teorema sobre la localización de las raíces…………...
2.2 Método de Aproximaciones Sucesivas…………………
Interpretación geométrica del método…………………
Teorema de convergencia………………………………
2.3 Método de Newton-Raphson……………………………
2.3.1 programación del método de Newton-Raphson…...
2.4 Método de la bisección…………………………………..
2.4.1 Programación del método de la bisección…………
2.5 Método de la falsa posición………………………………
2.5.1 Programación del método de la falsa posición……..
2.6 Problemas de aplicación………………………………….
Problemas propuestos ……………………………………
3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES …
3.1 Sistema de ecuaciones lineales …………………………
3.1.1 Método de Gauss-Seidel……………………………...
Convergencia del método……………………………...
3.2 Sistema de ecuaciones no lineales………………………
3.2.1 Método de iteración de punto fijo……………………...
Interpretación geométrica………………………………
Convergencia del método………………………………
3.2.2 Método de Newton-Raphson…………………………..
3.3 Programas…………………………………………………..
3.3.1 Programación del método de Gauss-Seidel………….
3.3.2 Programación del método de iteración de punto fijo…
3.3.3 Programación del método de Newton-Raphson……..
Problemas propuestos………………………………….
4. AJUSTES DE FUNCIONES………………………………………
4.1 Introducción………………………………………………….
4.2 Interpolación de Lagrange…………………………………
4.2.1 Programación del método de Lagrange………………
4.3 Regresión con mínimos cuadrados……………………….
4.3.1 Regresión polinomial……………………………………
Regresión lineal…………………………………………
Regresión de grado superior…………………………..
4.3.2 Regresión no polinomial………………………………..
4.3.3 Programación de la regresión lineal…………………..
Problemas propuestos………………………………….
5. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA…………………
5.1 Derivación…………………………………………………..
5.1.1 Tangente a una curva-derivada………………………
5.1.2 Diferenciación numérica……………………………….
Aproximación por diferencias con tres puntos……..
5.2 Integración numérica……………………………………..
5.2.1 Introducción.……………………………………………
5.2.2 Regla de los trapecios…………………………………
5.2.3 Regla de Simpson de 1/3……………………………..
5.2.4 Errores en la regla trapezoidal y de Simpson………
5.2.5 Uso repetido de la regla trapezoidal ………………...
5.2.6 Integración de Romberg………………………………
5.2.7 Integración doble………………………………………
5.2.8 Programación de las reglas trapezoidales y de
Simpson…………………………………………………
5.2.9 Programación de la regla de Simpson de 1/3 para una
integral doble …………………………………………..
Problemas propuestos………………………………...
6. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR
MÉTODOS NUMÉRICOS………………………………………
6.1 Introducción……………………………………………….
6.2 Solución numérica……………………………………….
6.3 Método de Euler…………………………………………..
6.4 Métodos de Runge-Kutta………………………………...
6.5 Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales de
segundo orden…………………………………………….
6.6 Programación del método de Runge-Kutta…………….
Problemas propuestos……………………………………
1
CAPITULO 1
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
1.1 Definición
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que pueden resolverse utilizando generalmente operaciones aritméticas y lógicas.
Estos métodos tienen dos características comunes: son laboriosos y aproximados ; no obstante resuelven problemas que son muy difíciles o imposibles de resolver por matemáticas clásicas.
La razón por la cual son laboriosos es que involucran un gran número de cálculos generados, la mayoría de las veces, al utilizar repetidamente determinadas formulas. Este proceso iterativo es ideal para implementarlo en una computadora, por eso es que los métodos numéricos han tomado un gran auge en la actualidad, a pesar de que existen desde hace mucho tiempo.
1.2 Errores
La inexactitud de estos métodos se debe a errores que se cometen en los cálculos, estos son errores por redondeo y errores por truncamiento.
Errores por redondeo
Estos errores se originan debido a que las computadoras y calculadoras solo manejan o guardan un número finito de las cifras significativas durante un cálculo. Cuando el número es irracional o es decimal periódico, este tiene una cantidad infinita de cifras y por lo tanto la computadora lo “corta” de acuerdo a la siguiente regla (llamada redondeo)
2
Por ejemplo, el número √2 es irracional, y por lo tanto tiene una cantidad infinita de decimales, sin embargo para poder cuantificar el error supongamos que el valor “exacto” es 1.414213562 (con 10 cifras significativas). Si se usa una computadora
o una calculadora que maneje únicamente 8 dígitos, entonces √2 se almacena como 1.41422136. Nótese que el octavo digito se redondea a 6, dado que el noveno es mayor que 5. El error absoluto entonces se calcula de la siguiente manera:
ε = I valor exacto – valor aproximado I
= I 1.414213562 - 1.41422136 I = 7.798 x 10�� Si la computadora solo corta y no redondea entonces el valor aproximado seria 1.41422135 y por lo tanto:
ε = I 1.414213562 -1.41422135I = 7.788 x 10�� que es mayor que el anterior por eso todas las calculadoras y computadoras efectúan el redondeo en forma automática.
Si consideramos ahora que el número √2 está involucrado en una operación tal
como: (9536) √2 , tendremos:
Valor exacto (10 dígitos) = 13485.94053
Valor aproximado (8 dígitos) = 13.485.940
Y el error es: ε = 0.00053, esto es 12712 veces mayor que el anterior.
Esto nos muestra que a pesar de que el error al almacenar √2 es insignificante, cuando se combina con alguna opción el error se propaga y puede llegar a ser relevante.
Errores por truncamiento
Son aquellos que resultan de usar una aproximación en vex de un procedimiento matemático exacto.
La serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento. Esta serie aproxima una función en forma polinomial por medio de la siguiente definición:
Si el valor de una función F(x) se puede expresar en una región de x, cerca de x=a, por la serie infinita:
3
F(x) = F(a) + (x-a) F’(a) + (�)� ! F’’(a) +
(�)��! F’’’(a) +……+ (�)��! ��
Entonces la serie se llama Serie de expansión de Taylor de F(x) alrededor de x=a.
Los siguientes ejemplos muestran algunas funciones expandidas por la serie de Taylor alrededor de x=0:
� = 1 + x + � ! +
��! + ��! +………….
���� = x - ��! +
��! + ��! +………
����= 1 - � ! +
��! + �! +………..
ln(1 + $) = x - � +
�� + �� +………….
Como se puede observar, la serie es una suma infinita de términos y al evaluar la función para algún valor de x, se utiliza un numero finito de términos, cometiéndose entonces un error por truncamiento.
Ejemplo 1.1
Determinar el error al calcular el número e, al utilizar la serie de Taylor con diferentes números de términos, considerando que el “valor exacto” de estos números es e = 2.718281828.
Solución:
El problema se resuelve sustituyendo en la serie correspondiente a la función �. El valor de x = 1. La siguiente tabla muestra los valores aproximados y los errores al tomar 3, 4, 5, 6, 7 y 8 términos de la serie:
No. De términos
Valor aproximado
Error
3 2.500000000 0.218281828
4 2.666666667 0.051615161
5 2.708333333 0.009948494
6 2.716666667 0.001616161
7 2.718055556 0.000226272
8 2.718153969 0.000027859
4
Nótese que el error disminuye al considerar un mayor número de términos.
La grafica siguiente muestra como se aproxima la función y = � mediante un polinomio de primer grado, segundo grado y tercer grado de la serie de Taylor.
y = �
y = 1 + x + � 2⁄ + �� 6⁄
y = 1 + x + � 2⁄
y = 1 + x
Fig. 1.1 Expansión de F(x) = � por la serie de Taylor @ de x = 0
5
CAPITULO 2
SOLUCIÓN DE ECUACIONES
2.1 introducción
La determinación de raíces o soluciones de una ecuación es uno de los problemas más antiguos de las matemáticas, que se presentan con frecuencia en la solución de una gran variedad de problemas reales.
Las principales ecuaciones que se estudiaron fueron las lineales y posteriormente las cuadráticas. Los métodos algebraicos para resolver son exactos y muy sencillos, como se muestran en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 2.1 Ecuación: 5 – 2x = 0 Ejemplo 2.2 Ecuación: � -2x – 4 = 0
Sol: Mediante procedimientos Sol: utilizando la formula general:
Algebraicos elementales: x = � x = 1 ± √5
Interpretación geométrica de las raíces
Las raíces reales de la ecuación F(x) = 0 representan las intercepciones de la curva y = F(x) con el eje X.
De aquí que las raíces se les llame también CEROS de la función.
Las siguientes graficas muestran la solución grafica de los ejemplos anteriores:
6
Fig. 2.1 Grafica de y = 5 – 2x Fig. 2.2 Grafica de y = � - 2x – 4
Otro tipo de ecuaciones que se estudian en algebra son los polinomios de grado superior, ecuaciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. Los siguientes ejemplos muestran las raíces de un polinomio de tercer grado y de una función exponencial.
Ejemplo 2.3 Ecuación: �� - 3� - x + 3 = 0
Solución algebraica:
� (� ( 3) ( (� ( 3) * 0 Solución Grafica
�� ( 3��� ( 1� * 0
�� ( 3��� # 1��� ( 1� * 0
x = 3 x = -1 x = 1
Fig. 2.3
Ejemplo 2.4 Ecuación: 2 ( 25 * 0
Solución algebraica: Solución Grafica
log 2� * log 25
xlog 2 * log 25
� * ./0 �./0
x = 4.6438562 Fig. 2.4
Sin embargo para la mayoría de las ecuaciones que no son de primer, segundo o tercer grado (polinomios), los métodos algebraicos resultan infructuosos y una alternativa para resolverlas es por medio de métodos numéricos.
Estos métodos tienen las desventajas de ser aproximados, laboriosos y solo pueden calcular una raíz a la vez.
7
Los métodos de solución aproximada existentes constan básicamente de dos pasos fundamentales:
a) Determinación de un valor aproximado a la raíz que se busca. b) Mejoramiento de la solución hasta un grado de precisión preestablecido,
mediante el uso de una formula recursiva, que dependerá del método que se utilice.
Como se puede observar, es necesario determinar el intervalo en donde se encuentra la raíz buscada, el cual se obtiene por medio del siguiente teorema:
Una raíz Tres raíces Cinco raíces
Fig. 2.5 Raíces reales de una ecuación
Cuando da función es discontinua en el intervalo considerado, entonces no se debe aplicar este teorema, como se ilustra en la figura siguiente.
En este caso, a pesar de que F(a) es positivo F(b) es negativo. No existe ninguna raíz en el intervalo (a, b), debido a que existe una discontinuidad en dicho intervalo. Sin embargo el teorema se puede aplicar en cualquier otra parte del dominio de la curva en
TEOREMA SOBRE LA LOCALIZACIÓN DE RAÍCES REALES
Si F(x) es continua en el intervalo (a, b), y si F(a) y F(b) son de signos diferente, entonces existe un número impar de raíces reales en dicho intervalo.
8
donde no hay discontinuidad.
Como se puede observar, la grafica nos proporciona un valor aproximado a la raíz buscada, sin embrago se puede prescindir de ella, dado que una tabulación adecuada mostrara el cambio de signo de la función y por lo tanto el intervalo correspondiente a la raíz
Ejemplo 2.5 Hallar los intervalos de las raíces de la ecuación: � ( 9� + 15 * 0
Sol. Efectuando una tabulación en el intervalo (-3, 9):
X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F(x) -93 -29 5 15 7 -13 -39 -65 -85 -93 -83 -49 15
De acuerdo con los cambios se concluye que las
raíces se encuentran en los intervalos:
(-2. -1), (1, 2), (8,9). Fig. 2.7 Grafica de y = �� ( 9� # 15
Los resultados se pueden comprobar con la grafica de la función.
9
Ejemplo 2.6 ¿Cuantas raíces tiene la ecuación � �� – 5 = 0?
Sol.
Existen dos cambios de signo en la función, sin embargo la ecuación solamente tiene una raíz (en el intervalo de 2 a 3), dado que el otro cambio de signo se encuentra en un intervalo en donde hay discontinuidad como se muestra en la figura.
Fig. 2.8
Existen dos tipos de métodos numéricos para calcular la raíz de una ecuasion:
a) De intervalo, en donde las formulas empleadas están basadas en un par de valores que representan los límites inferior y superior que comprenden a la raíz. Estos métodos son convergentes, ya que se acercan progresivamente a la raíz a medida que crece el número de iteraciones.
b) Abiertos, que en contraste con los de intervalo utilizan un solo valor de x o un par de ellos, pero no necesariamente encierran a la raíz. Esto ocasiona que algunas veces divergen o se alejan de la raíz a medida que crece el número de iteraciones. Sin embargo, cuando estos métodos convergen, en general lo hacen mucho más rápido que los métodos de intervalo.
2.2 Método de aproximaciones sucesivas
Este método es de tipo abierto y se conoce también como Sustitución Sucesiva o bien como iteraciones de punto fijo.
x F(x)
-3 -4
-2 -4.14
-1 -4.4
0 -5
1 -8
2 1
3 -2
4 -2.6
10
Consideremos la ecuación: F(x) = 0 [2.1]
Y sea x = a una raíz de ella, es decir, F(a) = 0.
Por medio de procedimientos algebraicos es posible obtener una ecuación equivalente a la ecuación 2.1 que tenga la siguiente forma:
X = g(x) [2.2]
El método consiste en sustituir �2, un valor aproximado a la raíz, en el segundo miembro de la ecuación 2.2, obtenemos una nueva aproximación para la raíz, la cual denotaremos por: �3 * 4(�2) Sustituyendo ahora �3 en la misma ecuación se encuentra la siguiente aproximación: � * 4(�3) El procedimiento se repite hasta llegar a la exactitud deseada, de acuerdo a un criterio de convergencia. Así entonces para la n+1 ésima aproximación tendremos:
��53 * 4(��) Si a medida que n crece, �� → a, se dice que el método converge, en caso
contrario, diverge.
Criterios de convergencia
Un criterio de convergencia es una medida del grado de aproximación de una raíz y puede emplearse en cualquiera de estos métodos.
Comúnmente se utilizan dos criterios:
a) Error absoluto: Se define como el valor absoluto de la diferencia entre dos iteraciones consecutivas, es decir 6 * |�� + 1 ( ��|
b) Error relativo: si la magnitud de los números implicados no se conoce de antemano, es más recomendable usar este error, que se define como: 6 * 8�9:���9: 8
Entonces si a medida que n crece:
ε disminuye, el método converge
11
ε aumenta, el método diverge
Para utilizar estos criterios se calcula el error entre cada par de iteraciones; si disminuye, se continua hasta llegar a la raíz; por lo contrario, si aumenta se debe parar y efectuar otro despeje de la forma x = g (x). Normalmente es necesario un máximo de tres iteraciones para comprobar la convergencia o divergencia. Para evitar calcular el error en cada paso, se puede observar la convergencia por la forma en que se van repitiendo las cifras de las aproximaciones, hasta llegar a ser iguales en dos aproximaciones consecutivas.
Solución:
Del ejemplo 2.6 tenemos que la raíz pedida se encuentra en el intervalo (1, 2) y por lo tanto el valor inicial puede ser: �2 * 15
De la ecuación se obtiene el siguiente despeje: � * √�53��
Sustituyendo en este despeje se obtiene las aproximaciones siguientes:
�3 * 1.42887
� * 1.41096
�� * 1.40669
�� * 1.40568
�� * 1.40545
�� * 1.40539
�� * 1.40538
�? * 1.40538
�@ * 1.40538
Ejemplo 2.7 calcular la menor raíz positiva de la ecuación: �� ( 9� # 15 * 0 , por aproximaciones sucesivas; con una exactitud de 5 decimales (ε = .00001)
Nota: este mismo despeje funciona para la raíz negativa; sin embargo para la raíz mayor el despeje es:
� * �9� ( 15�:�. Comprobar que las otras raíces son: -1.21198 y 8.80644
12
La raíz es: 1.40538
Despeje: � * ln 5�
Verificar que:
• El despeje: � * ABC�
no converge para esta raíz
• Las otras dos raíces son:
-0.37142 y 0.6053
Localización de la raíz
x f(x)
-1 4.6
0 -1
1 2.3
2 12.6
3 24.9
4 25.4
5 -23.4
Los intervalos de las raíces son: (-1, 0), (0, 1) y (4, 5).
Para calcular la mayor: �2 * 4.5
�3 * 4.6176 � * 4.6692 �� * 4.6914 �� * 4.7009 �� * 4.7049 �� * 4.7067 �� * 4.7074 �? * 4.7077 �@ * 4.7078 �32 * 4.7079 �33 * 4.7079 �3 * 4.7079 La raíz es: 4.7079
Ejemplo 2.8 Determinar la mayor raíz de la ecuación: 5� ( � * 0, por aproximaciones sucesivas, con una exactitud de4 decimales.
13
Verificar que:
• El despejex * � �⁄ ( 2
Converge hacia la raíz negativa
Independientemente del valor
inicial que se utilice.
• El despeje � * 5 ln�� # 2�
Localización de las raíces:
x F(x)
-1.5 1.96
-1 -1
0 -3.46
1 -4.49
2 -4.93
3 -5.05
4 -4.96
5 -4.73
. .
. .
13 -0.54
14 0.14 Los intervalos son: (1.5, -1) y (13, 14)
Raíz menor
Despeje: � * �C� ( 2 �2 * (1.14
�3 * (1.2442
� * (1.2203
�� * (1.2166
�� * (1.2160
�� * (1.2159
�� * (1.21587
�� * (1.21586
�? * (1.21586
�@ * (1.21586
La raíz es: x = -1.21586
Raíz mayor
Despeje:� * 5 ln�� # 2� �2 * 13.5
�3 * 13.7042
� * 13.76964
�� * 13.79043
�� * 13.79702
�� * 13.79911
…………….
…………….
�32 * 13.80007
�33 * 13.80007
La raíz es: x = 13.80007
Ejemplo 2.9 Calcular las raíces de la ecuación: � ( 5 ln�� # 2� * 0, por aproximaciones sucesivas, con una exactitud de 5 decimales.
14
converge hacia la raíz positiva
independientemente del valor
inicial que se utilice.
Para calcular la mayor raíz es necesario el siguiente artificio algebraico:
Sumando y restando x – a los dos miembros de la ecuación:
� + � * � + 3 sin� � # 1� � * � # 3 sin�� # 1�
2
Compruébese que:
• El despeje: � * 3 sin� � # 1� converge a la primera raíz: x = -2.86825
• El despeje: � * FG� sin�� 3H � ( 1
Converge a la segunda raíz: x = -1.53847
Tabulación
x f(x)
-3 -0.27
-2 0.52
-1 -1
0 -2.52
1 -1.72
x2 1.58
Intervalos de las raíces: (-3, -2), (-2,-1) y (1, 2)
�2 * 1.5 ………….. �3 * 1.6477 ………….. � * 1.5349 …………. �� * 1.6226 ��� * 1.5850 ………… La solución es: x = 1.5850
Ejemplo 2.10 Localizar las raíces de la ecuación: � ( 3 sin�� # 1� * 0 y calcular la mayor de ellas por aproximaciones sucesivas, con 4 decimales exactos.
15
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS
Recordemos que el problema original es encontrar la raíz de la ecuación:
f(x) = 0 [2.3]
Posteriormente se obtiene la ecuación equivalente:
x = g(x) [2.4]
Y se resuelve esta última. Puesto que las ecuaciones 2.3 y 2.4 tienen la misma solución, se ha resuelto del problema original.
La ecuación 2.4 sin embargo, se puede descomponer en un sistema simultáneo de ecuaciones de forma:
y = x
y =g(x) [2.5]
Y al resolver el sistema tendremos la solución buscada. Gráficamente el sistema representa una recta y una curva. La intersección de estas dos es la solución de dicho sistema, por lo tanto la abscisa del punto de intersección corresponde a la raíz del problema original.
Fig. 2.9 Interpretación geométrica del método
La convergencia o divergencia de este método se puede observar gráficamente mediante es siguiente procedimiento:
A partir del valor inicial �2, la primera aproximación �3 * 4(�2) se puede obtener trazando una vertical hasta cortar a la curva y después una horizontal hasta cortar
16
a la recta (en donde abscisas y ordenadas son iguales). Las demás aproximaciones se obtienen de manera similar.
Fig. 2.10 convergencia y divergencia del método de aproximaciones sucesivas
La grafica muestra dos casos de convergencia (a y b) y dos divergencias (c y d). Se observa que existen dos tipos de patrones tanto para la convergencia como para la divergencia: monótono (a y c) y oscilatorio o en espiral (b y d).
Nótese que la convergencia ocurre únicamente cuando el valor de la pendiente de y = g(x) es menor (en valor absoluto) que la pendiente de y = x. se establece entonces el siguiente teorema:
TEOREMA
El método converge si: -1<g´ (�2) < 1, para algún valor �2 cercano a la raíz.
17
De esta manera se puede determinar si un despeje especifico tiene convergencia o no, derivando de la función g(x) y sustituyendo en la derivada un valor cercano a la raíz.
Sin embargo, la aplicación de este teorema tiene las siguientes desventajas:
• Hay que derivar. • En ocasiones -1 < g´(�2) < 1, lo cual indica que converge, pero puede ser
que no converja a la raíz buscada, si no a otra que se encuentra cerca.
Es por esto que la técnica empleada en los problemas anteriores(sustituir directamente en los despejes) es más recomendable, por la rapidez y credibilidad.
En los siguientes ejemplos se muestra la forma de utilizar este teorema.
Nota: la ecuación tiene dos raíces, con intervalos: (1, 2) y (12, 13). Verifíquese que para el primer despeje -1 <g´(12.5)<1, es decir, este despeje funciona para la raíz mayor. Las raíces son: 1.2959 y 12.7132.
Despeje
g(x) = 5ln �
g´(x) = �
g´(1.5) = 3.333…
Por lo tanto NO converge
Despeje
g(x) = � �⁄
g´(x) = 3� � �⁄
g´(1.5) = 0.27
Por lo tanto SI converge
Ejemplo 2.11 ¿Qué despeje se debe emplear para calcular la raíz en el intervalo (1, 2) de la ecuación � − 5 ln � = 0 ?
18
Nota: en ambos casos g´ (�2) apenas rebasa el límite entre la convergencia y la divergencia; esto quiere decir que el patrón de convergencia o divergencia es muy lento (en este caso se llega a la raíz 1.4387 en más de 50 iteraciones).
g(x) = arcsin(� 3⁄ ) g´(x) =
3�L3��/@ g´(-2.5) = 0.603
De acuerdo a este resultado debe de converger; sin embargo si se realizan los cálculos se puede comprobar que no converge hacia esta raíz negativa si no a la raíz x = 0 (que se encuentra cercana).
Despeje
g(x) = L(� + 5)/11
g´(x) = � /L11(� + 5) g´(1.4) = 1.07
Por ser > 1, No converge
Despeje
g(x) = 1/2 ln(11� − 5) g´(x) =
3333���
g´(1.4) = 0.92
Por ser < 1, SI converge
Ejemplo 2.12 ¿Qué despeje converge para la raíz de la ecuación: 11� − � − 5 = 0 que se encuentra en el intervalo (1. 3, 1.5)?
Ejemplo 2.13 para la ecuación: x − 3sin � = 0 ¿converge el despeje x = arcsin(� 3⁄ )para la raíz en el intervalo (-3, -2)?
19
2.3 Método de NEWTON-RAPHSON
Consideremos la ecuación: F(x) = 0 y un valor �2 cercano a la raíz de la ecuación. La expansión de Taylor de la función alrededor de �2 será:
�(�) * �(�2) +(� ( �2)�´(�2) + (�O)� ! �´´(�2)+ (�O)��! �´´´(�2) +⋯+ (�O)��! �(�) Tendremos ahora una ecuación de grado infinito, sin embargo, un valor aproximado de la raíz se puede obtener tomando solamente dos términos de la serie:
�(�2) + (� ( �2)�´(�2) * 0
Despejando x se obtiene:
� * �2 ( �(�2)�´(�2) Ahora x constituye una mejor aproximación a la raíz, y se puede remplazar a �2, con lo cual encontraremos una nueva aproximación, y así sucesivamente. En general, para la n + 1-esima aproximación tendríamos la siguiente fórmula:
��53 * �� ( Q(�)Q´(�) [2.6]
Interpretación Geométrica
El patrón de la convergencia de este método se obtiene trazando una recta tangente en el punto (�2, �(�2)); la intersección de esta recta con el eje X nos dará una estimación de la raíz, �3. Las demás aproximaciones se obtienen de igual manera.
El esquema grafico se observa en la siguiente figura.
20
Fig. 2.11 Esquema grafico del método de Newton-Raphson
Localización de la raíz
x f(x)
0 -3
1 -3.16
2 -1.36
3 -4.7
4 -19.1
5 -31.9
6 -19.1
7 22.2
Intervalo: (6, 7)
Ejemplo 2.14 Utilizar el método de Newton-Raphson para calcular la menor raíz positiva de la ecuación: � sin � ( � * 3, con 8 decimales exactos.
21
Valor inicial: �2 * 6.5 Derivada: F´(x) = 2xsin � + � cos � − 1
Utilizando la formula [2.6] se obtienen los siguientes resultados:
�3 = 6.5 −�2.�333?2���.2���?� = 6.50954959
� = 6.50954959 − 2.222�������. 3�3��� = 6.50953209
�� = 6.50953209 − ?.�32ST��. 3�???� = 6.50953209
La solución es: x=6.50953209 ®
Nota: Esta función tiene un número infinito de raíces. Considerando el intervalo
(-10,10) las raíces restantes son:
-9.35208675, -6.3663385, -3.12846645 y 9.28172927
Intervalo: (2,3)
Valor inicial: �2 = 2.5
Deriva: �U(�) = 6� − �� − �
�3 = 2.5 − 0.7937651−5.138729 = 2.6544672
� = 2.6544672 −−0.331853−9.679880 = 2.6201844
�� = 2.6201844 −−0.0197149−8.542826 = 2.6178767
Tabulación
x f(x) 0 0
1 -0.72
2 1.22 3 -6.25
Ejemplo. 2.15 Calcular la mayor raíz positiva de la ecuación: 2�� − ��=0, utilizando el
método de Newton-Raphson, con 8 decimales exactos.
22
�� * 2.6178767 ( (8.5�10��
(8.469080 * 2.61786661
�� * 2.61786661 ( 3.2�10��(8.4687585 * 2.61786661
La solución es: x= 2.61786661 ®
Nota: si seleccionamos valores iníciales comprendidos entre 2 y 2.5, se podrían obtener resultados no deseados. Esto se deb a que la función tiene un máximo dentro de este intervalo, que produce que las siguientes aproximaciones se alejen de la raíz pedida y ocasionalmente convergan hacia otras raíces.
�2 * 2.2
�3 * (6.8085
� * (4.5391
�� * (3.0269
……………..
……………..
�33 * (0.53984
�3 * (0.53984
Converge hacia la raíz NEGATIVA
Por ejemplo:
�2 * 2
�3 *1.3333
� *1.50828
�� *1.48817
�� *1.48796
�� *1.48796
�� *1.48796
Converge hacia la MENOR raíz positiva
23
Intervalo: (1.5,2)
Valor inicial: �2 * 1.8
Derivada: VU�$� * 12� ( 24� # 9
�3 * 1.8 (0.1484.68 * 1.76837607
� * 1.76837607 (0.00947424.084821 * 1.76605670
�� * 1.76605670 (4.955�10��
4.0421144 * 1.76604444
�� * 1.76604444 ( 04.0418891 * 1.76604444
La raíz es: 1.76604444 ®
Verifíquese que las otras raíces son: 0.06030738 y 1.17364812
Localizacion de la raíz: x F(x)
0 -0.5
1 0.5
1.5 -0.5
2 1.5
3 26.5
Ejemplo 2.16 Calcular la mayor raíz positiva de: 4�� ( 12� # 9� ( 0.5 * 0 utilizando el método de Newton, con una aproximación de 8 decimales exactos.
24
2.3.1 PROGRAMACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPSHN
El programa correspondiente a este método está dado a continuación. Se puede observar que la función y la derivada se deben definir dentro del programa, mientras que el valor inicial se proporciona como dato. En este caso se calcula la raíz de la ecuación: $ .����� # 2� ( 8� * 0 en el intervalo (0,1).
25
La ejecución del programa se realizo con un valor inicial de 0.5. el programa imprime en cada iteración los valores de la aproximación de la raíz, asi como la función y la derivada para dicho valor.
Valor inicial:
Xo = 0.5
Iter Aproximación Función Derivada 0 0.5000000000 -54744213135 -4.0116279952 1 0.3635413568 0.0429762642 -4.6393337077 2 0.3728048129 0.0001944290 -4.5973305689 3 0.3728471046 0.0000000041 -4.5971384607 4 0.3728471055 0.0000000000 -4.5971384567
La raíz es: 0.3728471055
2.4 MÉTODO DE BISECCIÓN
Este método es del tipo de intervalo, que consiste en reducir el intervalo en donde se encuentra la raíz dividiéndolo a la mitad en cada paso, de tal manera que la raíz se encuentra localizada en cada nuevo intervalo.
El algoritmo es el siguiente:
1. Se considera un intervalo (a, b) en donde se encuentra la raíz, esto es F(a) y F(b) son de signos diferentes.
2. La primera estimación de la raíz se obtiene calculando el punto madio:
� * F + W2 ; ��Y������Z: F(a) y F (c) son de signos diferentes entonces el nuevo intervalo es: (a, c) F(c) y F (b) son de signos diferentes entonces el nuevo intervalo es: (c, b) Tales situaciones se muestran en las siguientes figuras.
26
3. El procedimiento se repite para las siguientes aproximaciones, hasta llegar a la exactitud deseada.
En este método es posible determinar aproximadamente cuantas bisecciones se necesitan para llegar a la exactitud requerida.
Por ejemplo supongamos que el intervalo inicial tiene una longitud de 1 unidad, y que se desea una exactitud de 6 * 1�10��. Después de una bisección el nuevo
intervalo será de 3 unidad de longitud. Después de dos bisecciones este será de
3 � unidades y después de n bisecciones el intervalo medirá 3 � unidades.
Dado que la raíz se encuentra a la mitad del último intervalo hallado, y el error en la raíz no será mayor que la mitad de dicho intervalo, el criterio del error se satisface si:
1212� \ 6, �WZ�� 1
2�53 \ 10�� Esta desigualdad se satisface para n] 19.
Nótese que este resultado es independiente del tipo de función correspondiente a la ecuación.
Ejemplo: 2.17 Calcular la menor raíz positiva de: �� ( 8� # 10� # 12 * 0 utilizando el método de la BISECCION, con una exactitud de 4 decimales.
27
Intervalo inicial: (2,3), en donde a = 2, b = 3
La primera aproximacion a la raiz sera el punto medio: � * ( 5�) * 2.5
Puesto que f (2.5) = 2.625 y f (3) = -3.
El nuevo intervalo sera: (2.5,3)
La segunda aproximacion: (2.5+3)/2=2.75 ; f (2.75) = -0.2031
El nuevo intervalo: (2.5 , 2.75)
La tercera aproximacion: .�5 .��
* 2.625; V�2.625� * 1.2129
El nuevo ontervalo: (2.625,2.75)
La cuarta aproximacion: (2.625+2.75)/2 = 2.6875; f (2.6875) = 0.5046
El nunevo intervalo: (2.6875, 2.75)
Despues de repetir el procedimiento, en las iteraciones 13 y 14 se llega finalmente a la convergencia, con la exactitud pedida:
X = 2.7320
Nota:
Para obtener una exactitud de 10 decimales son necesarias 35 iteraciones, despues de las cuales converge al valor: 2.7320508076.
Tabulación:
x f (x) 0 12 1 15 2 8 3 -3
28
Se observa en la grafica que la curva parece “tocar” al eje X en la vecindad de x = 2; la tabulacion nos muestra que no es asi, y por lo tanto la raiz se encuentra en el intervalo (3,4).
Utilizando un programa de computacion se obtienen los siguientes resultados:
INTERVALO PTO. MEDIO F (x) Iter 3.000000 4.000000 3.50000000 0.2970945392 1 3.000000 3.500000 3.25000000 -2.8571888915 2 3.250000 3.500000 3.37500000 -1.3654189181 3 3.375000 3.500000 3.43750000 -0.5542428087 4 3.437500 3.500000 3.46875000 -0.1334144898 5 3.468750 3.500000 3.48437500 0.0806537832 6 3.468750 3.484375 3.47656250 -0.0266799557 7 3.476563 3.484375 3.48046875 0.0269123896 8 3.476563 3.480469 3.47851563 0.0000975386 9 3.476563 3.478516 3.47753906 -0.0132958840 10 3.477539 3.478516 3.47802734 -0.0066003409 11 3.478027 3.478516 3.47827148 -0.0032516931 12 3.478271 3.478516 3.47839355 -0.0015771502 13 3.478394 3.478516 3.47845459 -0.0007398241 14 3.478455 3.478516 3.47848511 -0.0003211473 15 3.478485 3.478516 3.47850037 -0.0001118055 16 3.478500 3.478516 3.47850800 -0.0000071337 17
La raiz es 3.4785079956
Ejemplo 2.18 Hallar la menor raíz positiva de la ecuación:� |����| ( 4 * 0 utilizando el método de la bisección, con un error aproximado de 0.00001
Tabulación:
x F (x) 0 -4 1 -3.16 2 -0.36
2.2 -0.087 2.3 -0.055 2.4 -0.109 3 -2.73 4 8.11
29
2.41. PROGRAMACION DEL METODO DE LA BISECCION
El programa utilizado para resolver el ejemplo 2.18 se muestra a continuacion. Se observa que la funcion esta definida en el programa, y que los datos son los limites del intervalo.
30
2.5. MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
Este es un método de intervalo y se conoce tambien como REGLA FALSA, o bien como REGULA FALSI. La reducción del intervalo se obtiene de forma diferente L método de la bisección. El algoritmo es el siguiente:
Graficamente el metodo consiste de los siguiente:
1. Se considera un intervalo (a,b) en donde se enecuentra la raiz, esto es: F(a) y F (b) son de signos diferentes.
2. La primera aproximación �2 se determina por la intersección con el eje X de la recta que une los puntos (a,F(A)) y (b, F(b)).
3. Entonces si: ≫ F(a) y F($2) son de signos diferentes, el nuevo intervalo es (A, �2) ≫ F(b) y F(�2) son de signos diferentes, el nuevo iintervalo (�2, W� 4. Las siguientes aproximaciones se obtienen de forma similas, hasta llegar a
la raiz.
La siguiente grafica muestra las situaciones referidas en el paso 3:
Fig. 2.13 Esquema grafico del metodo de la Regla Falsa.
Se observa en la secuencia gráfica que las aproximaciones a la raíz se obtienen reemplazando a la curva por una recta. De aquí el nombre de regla falsa o falsa posición.
31
De la Fig. 2.13 (a) se establece la siguiente ecuación (utilizando triángulos
semejantes) Q()_O� * �Q(`)`�_O
Despejando a $2: $2 * F�(W) ( W�(F)�(W) ( �(F)
De la misma manera se obtiene la siguiente aproximacion:
�$2$3 ( $2 * ( �(W)W ( $3 $3 *$2�(W) ( W�($2)�(W) ( �($2)
Y en general, para la aproximación n+1:
$�53 * $��(W) ( W�($2)�(W) ( �($2)
Sim embargo esta fórmula no se puede considerar “general”, dado que al analizar la figura 2.13 (b) se obtienen los siguientes resultados:
$2 * F�(W) ( W�(F)�(W) ( �(F)
$3 *$2�(a) ( b�($2)�(F) ( �($2)
$�53 * $2�(F) ( b�($)V(F) ( �($�)
Se observa que existen dos fórmulas diferentes para el cálculo de las aproximaciones (de $3en adelante) dependiendo si el pivote para el trazado de las rectas es el punto (a, F(a)) o (b,F(b)). Será necesario entonces establecer un criterio para determinar cual es la formula que se uliza, según sea el caso. Por ejemplo de la fig.2.13 (a) tenemos que F($2) y F(b) son de signo contrario, mientras que de la fig.2.13 (b) F($2) y F(a) tienen diferentes signos.
Entonces en general, pata la primera aproximación:
[2.7] $2 * F�(W) ( W�(F)�(W) ( �(F)
32
[2.8]
En doonde: p = a si F ($) y F(a) son de signos diferenetes
P = b si F($2) y F (b) son de signos diferentes.
Como todos los métodos de intervalo, este método siempre converge; sin embargo, comparado con el de Newton es de convergencia más lenta, por lo que se recomienda reducir el intervalo(cuando se use una calculadora no programable). Nomalmente la reducción con incrementos de 0.1 es suficiente para obtener el resultado en forma rapida. Por ejemplo, la mayoria de los problemas se pueden resolver con una aproximación de 4 ó 6 decimales utilizando 3 iteraciones.
��53 * ��(c) ( c�(�)�(c) ( �(�)
Ejemplo 2.19 Determinar la raíz negativa de la ecuación: $� ( � + 5 * 0, por el método de la Regula Falsi, con una aproximación de 6 decimales exactos.
Localización de la raíz:
X F(x)
0 4
-1 3.63
--------- ---------
--------- ---------
-1.7 -0.095684
-1.6 0.702103
-------- ---------
-------- ---------
-2 -3.13
33
Entonces:
a = -1.7 F(a) = -0.095684
b = -1.6 F(b) = 0.702103
�2 * Q(`)�`Q()Q(`)�Q() * (�3.�)(.�2 32�)�(�3.�)(�.2@��?�)(.�2 32�)�(�.2@��?�) * (1.688006
F(�2 * .005365, por lo tanto el pivote es a
�3 = �2�(F) − F�(�2)�(F) − �(�2) = (−1.688006)(−.095684) − (−1.7)(. 005365)(−.095684) −(.005365)= −1.688643, �(�3)0.0000374
� = �3�(F) − F�(�3)�(F) − �(�3) = (−1.688643)(−.095684) − (−1.7)(. 0000374)(−.095684) −(.0000374)= −1.688648, �(� ) = 2.61�10�� �� = � �(F) − F�(� )�(F) − �(� ) = (−1.688648)(−.095684) − (−1.7)(2.61�10��)(−.095684) −(2.61�10��)= −1.688648
Solución: x = -1.688648
NOTA SOBRE EL PIVOTE
Como se puede observar del ejemplo 2.19, el pivote a es el limite inferior de todos los intervalos, y por lo tanto, a y F(a) siempre aparecen en las fórmulas para cada aproximación. Esto quiere decir que F(a) y F(��) son de signo diferentes. Sin embargo en ocasiiones puede ocurrirun cambio de signo de la funvion y por lo tanto la conveniencia de utilizar otro pivote: es decir cuando F(��) y F(��53) son de signo contrario, entonces el nuevo pivote es ��. Esta situación se presenta cuando la función tiene un punto de inflexión muy cercano a la raíz; no obstante, si el pivote se mantiene igual se llega a la convergencia sin ningun contratiempo.
34
Fig. 2.14 Cambio de pivote en el método de Regla Falsa
En la grafica se muestra como la función es negativa y el límite superior de cada intervalo es p; sin embargo cerca de la raíz existe un cambio de curvatura(punto de inflexión) y la función F(��53) pasa a ser positiva, y por lo tanto cambiatá el pivote y el nuevo intervalo será: (��, ��53�. 2.5.1. PROGRAMACIÓN DEL MÉTODO DE LA REGLA FALSA
A continuación se presenta el programa correspodiente a este método y una corrida para calcular la raíz positiva de ecuación�� ( � # 5 * 0
35
36
Área del tríangulo: FW2 * 35
Por teorema de pitágoras: FL(F + 1) − F 2 = 35
Mediante un desarrollo algebraico se obtiene la siguiente ecuación: 2F� + F� − 4900 = 0 La raíz buscada de la ecuación se obtiene la siguiente ecuación: 2F� + F − 4900 = 0 La raíz buscada de la ecuación se encuentra en el intervalo: (13,14)
Por la sencillez de la ecuación seleccionemos el método de Newton con una aproximación de 3 decimales exactos. Derivada: F´(a) = 6F + 2ª Valor inicial: F2 = 13.5 F3 = 13.318 F = 13.316 F� = 13.316
Grafica del tanque:
Volumen: V CILINDRO + V ESFERA V= 10¶G + 3�¶G� = 100 Simplificando: 4¶G� + 30¶G − 300 = 0 La raíz se encuentra en el intervalo: (1,2)
Utilizando Newton- Raphson: Derivada: F(G) = 12¶G + 60¶G Valor inicial: G2 = 1.5 G3 = 1.6189 G = 1.618 G� = 1.618 El radio es: G = 1.618e NOTA: la ecuación tiene otras dos raíces: -7.015 y -2.103, sin embargo éstas no tienen ningún significado para este problema.
Ejemplo: 2.21 Se desea diseñar un tanque de almacenamiento de gas propano con la forma de un cilindro circular recto de 10ft de longitud, con una semiesfera unida a cada extremo. Calcular el radio necesario para que el volumen sea de 100VY�.
37
Sust W = 1800: 2600(1- 0.51��2.2��f)�- 1800 = 0 Simplificando: 13(1- 0.51��2.2��f)� -1800 = 0 Localizando la raíz:
t F(t) 10 -3.31 15 -1.45 19 -0.2209
20 0.04782 Intervalo (19, 20) Utilizando Regla Falsa:
Y2 * (19)(. 0478) − (20)(−.2209)(. 0478) − (−.2209) Y2 = 19.822 F(Y2)=.0017; pivote = a
Y3 = (19)(. 00107) − (19.822)(−.2209)(. 00107) − (−.2209)
Y3 = 19.818; f(Y3) = 2.4�10�� Y = 19.818
Por lo tanto. La edad aproximada es de: 19.818 años -------------------------------------------------- Este problema, sin embargo se puede resolver en forma algebraica: 13(1-0.51��2.2��f)� = @3� Sacando raíz cúbica: 0.51��2.2��f = 1 − ( @3�)f/�
��2.2��f = 1 − ( @3�)f/�0.51
Aplicando logaritmos a los dos miembros se obtiene la solución exacta:
Y = g� h1 − 1 − (9/13)i�0.075
Ejemplo 2.22. El peso W (en Kg) de una población de elefantes africanos hembras está relacionado con la edad t (en años) mediante la fórmula:
W = 2600(1 – 0.51��2.2��f)�
Estimar la edad de una hembra adulta que pesan1800 Kg.
38
Ejemplo: 2.23. Una masa de 1 Kg de CO está contenida en un recipiente a una temperatura de 215°K y una presión de 70 bars. Calcule el volumen del gas utilizando la ecuación de estado Van Der Waals para un gas no ideal dada po: kc + l�m (n ( W) * op, en donde:
R= 0.08314 bar-e�/q4mil-°r p = presión (bars)
a = 1.463 bar e�/(kg mol) T= temperatura(°q) b = 0.0394 e�/kg mol v= volumen especifico (e�/kg mol)
Determinar el volumen especifico v(en e�/kg) y comparar los resultados al calcular el volumen utilizando la ecuación de estado para gases ideales: p v =RT
Sustituyendo valores en la ecuación de Van Der Waals:
s70 + 1.463n t (n − 0.0394) = (0.08314)(215) s70 + 1.463n t (n − 0.0394) − 17.8751 = 0
Utilizando Regla Falsa:
a = 0.2 F(a) = 0.75916
B =0.3 F(b) = 4.6031
n2 = 0.2142, �(n2) = −0.06748; �ucZn�Y� = W
n3 = 0.2154, �(n3) = −0.00557
n = 0.2155, �(n ) = −0.000456
El volumen es: 0.2155 e�/kg-mol Dividiendo entre el peso molecular: n = 0.215528 = 0.0077e�/q4
= 7.7 ve�/q4
Utilizando la ecuación de edo. De gas ideal:
n = opc = (0.08314)(215)70
n = 0.255e�/r4 − e�u n = 0.0091e�/r4 n = 9.1ve�/q4
39
PROBLEMA DE APLICACIÓN: CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO.
La dinámica de crecimiento demográfico es de importancia en todos los planes de estudio de ingeniería. Los programas de construcción y de distribución de recursos en proyectos a gran escala, tales como abastecimiento de agua y sistemas de transporte, dependen en gran medida de las tendencias de la población. Además las tendencias de otro tipo de poblaciones, tales como microbios, son importantes en problemas tales como tratamiento de basura, manejo de la fermentación y la elaboración de productos farmacéuticos.
Si consideramos que el crecimiento de una población P se describe mediante la ecuación diferencial:
vwvY * qw, q > 0
Entonces P(t) sigue un crecimiento no acotado (dado que la solución de la ecuación anterior es P = c �xf). En muchos casos esta ecuación provee un modelo poco realista del crecimiento de una población. Cuando el alimento no escasea, el crecimiento se limita solo por el consumo de productos tóxicos o de espacio, si es que el tamaño de la población crece demasiado. Con el tiempo estos factores retardan la tasa de crecimiento de la población y la detienen completamente cuando ésta alcanzan una densidad máxima P max . en este caso se modifica la ecuación anterior de la siguiente manera:
vwvY * qw(wmax−w) Esta ecuación fue estudiada por primera vez en 1840 por el matemático biológico belga P.F. Verhulst, y se conoce como ecuación logística.
La solución de esta ecuación esta dad por la función:
P (t) =z{|C
35}~{|C~ O �3�BS(��{|C):
En don de w es la unidad de población inicial.
La siguiente gráfica muestra un modelo logístico de crecimiento demográfico. Las curvas logística han demostrado ser bastantes exactas para predecir los modelos de crecimiento, en espacio restringido, de cierto tipo de bacterias, protozoos, pulgas de agua(Daphnia) y moscas de fruta (Drosophila).
40
Este modelo simula un crecimiento inicial lento, después una aceleración en el mismo, seguido por un periodo de nivelación.
Fig, 2.15 Grafica de crecimiento demográfico
Ejemplo: 2.24 considérese el crecimiento de una población bacteriológica en un lago. Inicialmente la población es de 10 células por litro. A los 60 días la población alcanza una densidad de 15,000 células por litro, siendo la tasa de crecimiento K de 2�10�� litros por célula por día.
Se requiere calcular la densidad de la población bacteria a los 90 días. Si su número excede las 40,000 células por litro, entonces la calidad estándar del agua requiere la implementación de algún procedimiento para disminuirlas y proteger a las personas que se introduzcan al agua.
Supóngase que el crecimiento se comporta de acuerdo al modelo matemático de Verhulst.
41
Sust. Los datos en la función logística:
1500 = w�1 + �z�32 − 1� ��( 32S )(�2)z�
Esta ecuación solo tiene una incógnita: P max. El procedimiento consiste en resolverla y después simplemente sustituir t = 90 en la ecuación logística para encontrar la densidad de población correspondiente. Puesto que la ecuación es complicada para derivarla, se utilizara el método de la Regla Falsa. Para facilitar el desarrollo matemático, sustituyamos la variable Pmax por la variable x de tal forma que la ecuación quede de la forma: F(x) = 0. �1 + � 32 − 1� ��2.2223 = 15000 = 0
Para encontrar el intervalo de la raíz, se deberá tomar en cuenta que la solución es mayor que 15000, por lo tanto una buena técnica seria tabular valores de 20,000 en adelante con incrementos de 10,000:
�2 = F�(W) − W�(F)�(W) − �(F) = (60000)(2746) − (65000)(−4049)2746 + 4049 = 62979
�(�2) = −312.7; por lo tanto el pivote es b.
�3 = �2�(W) − W�(�2)�(W) − �(�2) = 63186, �(�3) = −20
x F(x) 20000 -14890 30000 -14638 40000 -13820 50000 -11266 60000 -4049 70000 12197
x F(x)
a 60000 -4049 F(a)
b 65000 2746 F(b)
42
� * �3�(W) ( W�(�3)�(W) ( �(�3) * 63199, �(� ) = −1.27
�� = � �(W) − W�(� )�(W) − �(� ) = 63200, �(��) = −0.08
Asi entonces, Pmax = 63200 células por litro. Sustituyendo este valor en la ecuación logística, se obtienen que a los 90 días habrá: w = �� 2235� ��OO:O �3�BS��C:OS �( ��OO)(TO) = 58,930 células /litro
Lo cual quiere decir que el agua deberá ser tratada, ya que excede el límite de 40000.
43
PROBLEMAS PROPUESTOS En los siguientes problemas, hallar la raíz o raíces indicadas en cada caso, utilizando cualquiera de los métodos analizados en las secciones anteriores.
1. La tercera raíz de: �� ( 26�� + 131� − 226� + 115 = 0
2. La mayor raíz positiva de:�� − 20�� − 30� + 5 = 0
3. La raíz de: � g�(� − 3) + 2� = 1
4. La mayor raíz de: ��/ ���� + 2� = 8�
5. La menor raíz positiva de: x+ tan x = 0
6. La raíz de: � + 5� + 2�g�� = 0
7. La segunda raíz positiva de:��B���√� = ��
8. La segunda raíz positiva de: � ���� − � + 0.3 = 0
9. Todas las raíces de:3� ���2� = 0, en el intervalo (0,2)
10. Todas las raíces de: In x + 4cos x -3x = 0
11. La menor raíz positiva de: √���+ � = 15
44
Resolver los siguientes problemas:
12. La concentración C de cierto fármaco en la sangre t horas después de ser inyectado en el tejido muscular, está dada por la expresión:
C = �f�5f�25f� ¿Cuándo es máxima la concentración?
Sol. Después de 4 hrs 29min 10seg
13. Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcohol por galón dentro de un tanque que inicialmente contiene 400 gal, de cerveza con un 3% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el interior con una rapidez de 4 gal/min. Si el numero x de galones de alcohol que hay en el tanque después de t min esta dado por la expresión: X = (400- t) [0.06 – (4.6875x10�32)(400-t)�] ¿En qué tiempo habrá 9 gal de alcohol en el tanque? Sol. 4hrs, 5min, 33seg
14. Determinar los puntos críticos(máximos, mínimos y puntos de inflexión) de la función: f(x) = 2�� ( ��
Sol . Máximo para: x = - 0.29557, x= 2.2136195 Mnimo para: x = 0.2558944, x=1.7105376 Pts. De inflexión para: x = 0.2558944, x = 1.7105376 15. Muchos campos de ingeniería requieren estimaciones exactas de la
población. Por ejemplo, para la transportación, los ingenieros consideran necesario determinar po separado la tendencia de crecimiento demográfico de una ciudad y de los suburbios adyacentes. La población del área urbana declina en función del tiempo de acuerdo con la expresión:
w�(Y) * wFeZ���xf + wFeF� Mientras la población suburbana crece de acuerdo a:
Pa(t) = z�
35�~{��~O �3�BS�:i En donde Pu max, Ku, Pu min, p max, Po y K1 son parámetros derivados en forma empírica. Determínese el tiempo y los valores correspondientes cuando las dos poblaciones son iguales. Los valores de los parámetros son: Pu max = 120,000, Po = 5,000 Pu min = 60, 000, Ps max =3000,000, Ku = 0.04 Fñ��3 .
45
Sol 62.34 años 16. Dos escaleras se cruzan en un pasillo. Cada escalera esta colocada de la
base de una pared a algún punto de la pared opuesta. Las escaleras se cruzan a una altura H arriba del pavimento. Dado que las longitudes de las escaleras son: a = 30ft, b = 20ft y que H = 8 ft, encuentre W, el ancho del pasillo. Sol. W = 16.212 ft
46
SISTEMAS SIMULTÁNEOS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES
3.1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Definición. Una ecuación lineal es aquella en donde todas las variables o incógnitas están elevadas a la primera potencia, no aparece ningún término con productos o cocientes entre incógnitas y no contiene términos con funciones transcendentes.
Tipos de solución. Un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas puede tener tres tipos de solución:
*Solución única (sistema consistente).
*Solución múltiple (infinidad de soL, sistema dependiente).
* No solución (sistema inconsistente).
Métodos de solución. Se clasifican en algebraicos y numéricos:
Suma y resta
Algebraicos Igualación
Substitución
Regla de Cramer
Directos Gauss
Gauss- Jordan
Numéricos
Iterativos Jacobi
Gauss- Seidel
47
• Solamente para sistemas en donde el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones y que tenga solución única.
Los métodos algebraicos son recomendables para sistemas pequeños (2 o 3 ecuaciones) mientras que los métodos numéricos son más adecuados para sistemas con mayor numero de ecuaciones.
En los métodos DIRECTOS se llega a la solución (generalmente exacta) en un numero finito de pasos, mientras que en los ITERATIVOS se utiliza la técnica de aproximaciones sucesivas. Para la mayoría de los sistemas, los métodos iterativos requieren de un mayor número de cálculos que los empleados en los métodos directos, para llegar a un grado de precisión preestablecido. Sin embargo, cuando los elementos no nulos de la matriz del sistema se acumulan a lo largo de la diagonal principal, siendo los elementos de la misma los mayores en valor absoluto, los métodos iterativos pueden compararse favorablemente con los métodos directos. Además, debido a que los métodos iterativos usan relativamente poca memoria, son particularmente ventajosos para resolver sistemas con un gran número de ecuaciones con las características antes mencionadas. Puesto que los métodos directos se estudian ampliamente en otras materias, analizaremos solamente el método iterativo de Gauss – Seidel, dado que el de Jacobi es muy parecido pero de convergencia más lenta.
3.11.- METODO DE GAUSS – SEIDEL Este método utiliza la misma técnica del método de aproximaciones sucesivas, analizado en el capítulo 2, con la diferencia de que en este caso habrá n ecuaciones y n incógnitas, en vez de una ecuación y una incógnita.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
F33$3 +F3 $ +F3� $� +F3�$� +………+F3�$� * W3 (1)
F 3$3 +F $ +F � $� +F �$� +………+F �$� * W (2)
F�3$3 +F� $ +F�� $� +F��$� +………+F��$� * W� (3)
F�3$3 +F� $ +F�� $� +F��$� +………+F��$� * W� (4)
F�3$3 +F� $ +F�� $� +F��$� +………+F��$� * W� (n)
48
Sea la solución inicial:
$1(2) ,$2(2) ,$3(2) ,$4(2) , …. ,$�(2)
Si los elementos de la diagonal no son nulos, se puede despejar a $3 de la ecuación (t), a $ de la ecuación (2)….., y asi sucesivamente:
$3 = `3�(:�_�5:�_�5:�_�5⋯5:�_�)::
$ = ` �(�:_:5��_�5��_�5⋯5��_�)��
$� = `��(�:_:5��_�5��_�5⋯5��_�)��
…………………………. Etcétera.
Los valores de las nuevas aproximaciones se obtienen substituyendo en los segundos miembros de estas ecuaciones los valores actuales de cada incógnita. El procedimiento se repite hasta que convergan los valores para todas las incógnitas con la precisión.
Asi entonces, para una iteración K + 1 tendremos:
$3(x53) = `3�(:�_�(�)5:�_�(�)5:�_�(�)5⋯5:�_�(�))::
$ (x53) = ` �(�:_:(�S:)5��_�(�)5��_�(�)5⋯5��_�(�))��
$�(x53) = `��(�:_:(�S:)5��_�(�)5��_�(�)5⋯5��_�(�))��
……………… Etc.
49
Nótese que para cada calculo se emplea siempre los valores “más recientes” de cada incógnita. El método de JACOBI utiliza los valores de la iteración anterior para el cálculo de la siguiente, por lo cual su convergencia es más lenta.
El proceso termina cuando en dos iteraciones consecutivas el error para todas las incógnitas es menor que un valor establecido.
El error absoluto para cada variable será: Error =�$�(x53) ($Z(x)� Para i = 1, 2, 3, …………, n
3.2.- SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
El problema de encontrar la solución de un sistema de ecuaciones no lineales es mucho más difícil que para un sistema lineal, inclusive algunos sistemas no tienen solución real. Para resolver este tipo de sistemas se pueden emplear métodos estudiados anteriormente tales como:
• Iteración de punto fijo • Newton- Ranhson
3.2.1.- MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO
Consideremos el caso más simple: un sistema de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas:
F (x, y) = 0
G (x, y) = 0
Este método utiliza la misma técnica que el de la sección anterior (Gauss- Seidel) , y consta de los siguientes pasos:
1.- selección de valores iniciales: �2, �2. Conversión de las ecuaciones originales a ecuaciones equivalentes de la forma:
X = f(x, y)
Y = g(x. y)
3.- substitución de los valores actuales de las incógnitas en los despejes del paso 2 para obtener las siguientes aproximaciones:
50
X1 = f($2,�2� -------------------------------------------- Y1 = g($3,�2� --------------------------------------------- X2 = f($3,�3� $ # 1 * V�$, �) Y2 = g($ ,�3� � # 1 * 4�$�, ��)
Si : 6 * |$� # 1 ($�| y 6� * |�� ( 1 (��| disminuyen,
entonces el método CONVERGE, en caso contrario, DIVERGE. 4.- En caso de que no converja, se deberá regresar al paso 2, efectuar otros despejes y repetir el procedimiento. INTERPRETACION GEOMETRICA Un sistema de dos ecuaciones no lineales representa, en general, dos curvas planas: la solución es entonces la intersección de estas curvas.
Al aplicar este método es conveniente utilizar la grafica para tener una estimación de la solución buscada y seleccionar adecuadamente los valores iniciales.
Ejemplo 3.3 Hallar la solución del sistema: $ # �� ( 3� ( 8 * 0
�g�$ ( 2�� # 5 * 0
Utilizando el método de iteración de punto fijo, con una exactitud de 3 decimales.
51
Graficas de las curvas:
Se observa que tiene una solución única y que esta se encuentra en el primer cuadrante. Una estimación inicial puede ser: $2 * 3 �2 * 1
52
Despejes: Las siguientes iteraciones:
X = L8 + 3� − �� �� = 2.8799 �� = 1.0625 Y =
���5� �� = 2.8856 �� = 1.0615 Primera iteración:
X1 = L8 + 3(1) −(1)(3) = 2.8284 �� = 2.8839 �� = 1.0618
Y1 = (3)��( .? ?�)5� ( .? ?�) = 1.0677
�� = 2.8845 �� = 1.0617 Segunda iteración:
X2 = L8 + 3(1.0677) −(1.0677)(2.8284) = 2.8983
Y2 = (3.2���)��( .?@?�)5� ( .?@?�) = 1.0582
�� = 2.8843 �� = 1.0617 �? = 2.8843 �? = 1.0617 Solución:
(2.8843, 1.0617)
53
CONVERGENCIA DEL METODO Como ya se sabe, la convergencia depende de los despejes. En general, un criterio de convergencia es el siguiente: El sistema de ecuaciones: Converge si, en un intervalo alrededor de la solución:
X = f (x, y, z,…....) |V�| + |V�| + |V�| +……… < 1 Y = g(x, y, z,…….) |4�| + |4�| + |4�| +……… < 1
Z = h(x, y, z,….…) |ℎ�| + |ℎ�| + |ℎ�| +……… < 1
------------------------ ------------------------------------------
------------------------ ------------------------------------------
En donde:
Fx= derivada parcial con respecto a x
Fy= derivada parcial con respecto a y
Fz= derivada parcial con respecto a z
Asi sucesivamente.
Del ejemplo 3.3 tenemos que:
F = L8 ( 3� − �� , g =���5�
Derivando:
Fx = ��L?5������ , gx=
3 ��������
Fy = ���L?5������ , gy=
��
Sustituyendo x = 3 , y = 1:
Fx = - o.1768 , gx = - o.2832
Fy = 0.5303 , gy = 0.1831
54
Asi entonces:
|V�| + |V�| = 0.7071 <1
Por lo tanto SI converge.
|4�| + |4�| = 0.4663 <1
Sin embargo si se utilixara el despeje:
Y = g = �5 ���
Derivando: gx = �����9�C�C(��)� , gy =
�� Sustituyendo x = 3 , yyy = 1:
Gx = -1.2175 , gy = 5.4661
Entonces:
|4�| + |4�| = 6.6836 > 1 , por lo tanto NO converge.
3.2.2.- MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON
Recordemos que para una ecuación: F(x) = 0 , el método de Newton – Rapshon está basado en tomar dos términos de la serie de Taylor para expander la función F (x), e igualarlos a cero:
F(x) = F(a) + (x – a) F’(a) = 0
Para x = �� + 1, a = �� tendremos:
F (�� + 1) = F(��) + (�� + 1 (��) F’(��) = 0
De donde: �� + 1 = �� – Q(�)QU(�)
Consideremos ahora el sistema de dos ecuaciones no lineales:
U (x, y) = 0
55
H (x, y) = 0
Aplicando Serie de Taylor para funciones de dos variables:
U($�+ 1, �� + 1) = u($�,��) + ($� + 1 ($�)� ($�,��) + (�� + 1 (��)��($�, ��) * 0
H ($�+ 1, �� + 1) = h ($�,��) + ($� + 1 ($�)ℎ ($�,��) + (�� + 1 (��)ℎ�($�, ��) * 0
Utilizando otra nomenclatura:
�� +($� + 1 ($�) ����� +(�� + 1��) ����� * 0 ℎ� +($� + 1 ($�) �ℎ��� +(�� + 1��) �ℎ��� * 0
Puesto que las incógnitas en estas ecuaciones son: �� + 1 y �� + 1 entonces el sistema se puede escribir de la siguiente manera:
���� $� + 1 + ����� �� + 1 * (�� + $� ���� + �� �����
���� $� + 1 + ����� �� + 1 * (ℎ� + $� ���� + �� �����
Utilizando regla de Cramer para resolver el sistema anterior, se obtiene la siguiente solución:
�� + 1 *�� ( ������� (ℎ� ��Z����Z�� �ℎZ�� ( ��Z�� �ℎZ��
�� + 1 * �� + �Z �ℎZ�� (ℎZ �������� ����� ( ����� ���� En donde: ��= u(�� , ��) , ℎ�= h(�� , ��) ���� = �(�� , ��), ���� * ℎ(�� , ��)
56
Y asi sucesivamente.
Nótese que el denominador de las expresiones [3.1] son iguales y se llama el JACOBIANO del sistema.
Este sistema se resolvió en el ejemplo anterior por el método de iteración de punto fijo; en este caso vamos a utilizar como valores iniciales:
�2 * 2.5, �2 * 1
Las funciones son:
U(x, y) = � # �� ( 3� ( 8 , h (x, y) = y Inx -2xy + 5
Derivando estas funciones con respecto a x con respecto a y:
���= 2x + y ,
���� = x – 6y ,
��� =
�- 2y ,
���� = In x – 2x
1 Iteración: sustituyendo �2 = 2.5 , �2= 1
Ejemplo: 3.4 Hallar la solución del sistema: � # �� ( 3� = 8
y In x – 2xy = -5
Utilizando el método de Newton, con una exactitud de 8 decimales.
57
U(x, y) = -2.25 h(x, y) = 0.91629073
��� = 6 , ���� = -3.5 ,
��� = -1.6, ���� = -4.08370927
�3= 2.5 – (� . �)(��.2?��2@ �)�(2.@3� @2��)(��.�)(�)(��.2?��2@ �)�(��.�)(�3.�) = 2.91177524
�3= 1+ (� . �)(�3.�)�(2.@3� @2��)(�)(�)(��.2?��2@ �)�(��.�)(�3.�) = 1.06304326
2 Iteración: sustituyendo �3 = 2.91177524, �3 = 1.06304326
U(X, Y) = 0.18359514 h(X, Y) = -0.05454485
��� = 6.88659373, ���� = -3.46648434
��� = - 1.76100228, ���� = -4.754787853
� = 2.88443757, � = 1.06169659
3 Iteración:
U(x, y) = 0.00077872 h(x, y) = -0.00010807
��� = 6.83057173, ���� = -3.48574194
��� = -1.75531567, ���� = -4.70954522
��= 2.88433195, ��= 1.06171301
4 Iteración:
U(x, y) = 0.00000001 h(x, y) = -0.0
��� = 6.8303769, ���� = -3.4859461
��� = -1.7553293, ���� = -4.7093706
��= 2.88433195, ��= 1.06171301 solución final.
58
3.3 PROGRAMAS
3.3.1 PROGRAMACIÓN DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
En este programa las ecuaciones deben estar previamente ordenadas, de tal forma que el sistema sea “pasado”.
Program GAUSS_SEIDEL:
Uses crt;
Var A:array[1..10,1..10] of real declaracion de variable.
XN:array[1..10] of real
XV:array[1..10] of real;
B:array[1..10]of real;
I,j,L,n, iter: integer;
S: real: wait: char;
BEGIN
Elser;
Write(´numero de ecuaciones:´); readin (n);
Writein; writein(´coeficientes de ecuacions:´´);
Writein;
For i: = 1 to n do
Begin
For j: 1 to n do lectura de los coeficientes de las ecuaciones
Begin
Write(´a(´,|,´,´,|.´) =´); readin (a[I, j]);
end;
Write (´b(´,I,´) =; readin (b[i]):
Writein;
end;
For i: =1 to n do
Begin
XN[i]:= 0.0; XY[i]: =0.0; inicialización de las variables:
end; �3 * � * ⋯ * �� * 0
Writein(´matriz aumentada´); writein;
For i:=1 to n do
Begin
59
For j:=1 to n do
Begin impresión de la matriz aumentada
Write(a[I, j]: 10:4);
end;
Writein( b[i]:10:4);
end;
Writein;
Readin(wait); inicializacion de iter
Iter:=0;L:=0;
WHILE L< n do L es un contador que se incrementa cada vez que
Begin converge una incognita
Iter:= iter + 1;
Writein(´iteracion No´, Iter):writein;
For i:= 1 to n do
Begin
S := 0.0;
For j:=1 to n do
Begin
If i<> j then s:= s + a [I, j]´xv[j];
end;
Xn[i]:=(b [i]-s) /a[I, j]; calculo de cada incógnita
Write(´X,I,´=´,xn[i]:8:6); impresión de las incognitas
If abs(xn[1]-xv[1])<=0.00001 then L:=L+1;
Xv[i]:=xn[i];
end: (ciclo 1}
If iter div 6 = iter/6 then readin(wait):
Writein: writein;
end; {ciclo while}
writein ;writein(´SOLUCION´):writein;
for i:= 1 to n do Solucion del sistema
writein(´X´,I,´=´,xn[i]:10:8;
readin
END.
60
SE PRESENTA AHORA UNA CORRIDA DE ESTE PROGRAMA PARA RESOLVER EL SISTEMA:
8$3 - 2$ + 3$� - $� = 10
3$3 + 6$ - $� + $� = 12
2$3 + 3$ - 11$�+ 5 $� = 12
$3 + 2$ - 5$� +12 $�= -23
Se suprimió la lectura de los coeficientes de las ecuaciones:
Matriz aumentada
8.0000 -2.0000 3.0000 -1.0000 10.0000 3.0000 6.0000 -1.0000 1.0000 12.0000 2.0000 2.000 -11.0000 5.0000 15.0000 1.0000 2.0000 5.0000 -12.0000 -23.0000 Iteración NO. 1 X1 = 1.365821 x2 = 1.349905 x3 = -0.747149 x4 = 1.94415 Iteración NO. 2 X1 = 2.110677 x2 = 0.496111 x3 = 0.039134 x4 = 2.191547 Iteración NO. 3 X1 = 1.633296 x2 = 0.824616 x3 = 0.154380 x4 = 2.254536 Iteración NO. 4 X1 = 1.680079 x2 = 0.809935 x3 = 0.187513 x4 = 2.269793 Iteración NO. 5 X1 = 1.665890 x2 = 0.820008 x3 = 0.194615 x4 = 2.273249
61
Iteración NO. 6 X1 = 1.666177 x2 = 0.820472 x3 = 0.196365 x4 = 2.274079 Iteración NO. 7 X1 = 1.665741 x2 = 0.820844 x3 = 0.196764 x4 = 2.274271 Iteración NO. 8 X1 = 1.665708 x2 = 0.820895 x3 = 0.196860 x4 = 2.274316 Iteración NO. 9 X1 = 1.665691 x2 = 0.820912 x3 = 0.196882 x4 = 2.274327 Iteración NO. 10 X1 = 1.665688 x2 = 0.820915 x3 = 0.196887 x4 = 2.274329 SOLUCION Iteración NO. 9 X1 = 1.66568817 x2 = 0.82091505 x3 = 0.19688691 x4 = 2.27432940
3.3.2.- PROGRAMACIÓN DEL MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO
Este programa está diseñado para resolver sistemas de dos ecuaciones no lineales, en donde las ecuaciones están dadas en la forma:
X = g(x, y) , y= f(x, y)
Además los valores iniciales se deben estimar previamente, y por lo tanto son datos al ejecutar el programa. El programa mostrado resuelve el sistema:
X = L8 ( 3� − �� , y = ���5�
62
63
Valores iniciales
X = 3 y = 1
Iter x y Ex Ey
1 2.82842712 1.06768188 0.1715729 0.0676819
2 2.89827076 1.05858562 0.0698436 0.0090963
3 2.87988590 1.06249342 0.0183849 0.0039078
4 2.88562246 1.06146378 0.0057366 0.0010296
5 2.88394389 1.06178534 0.0016786 0.0003216
6 2.88444708 1.06169126 0.0005032 0.0000941
7 2.88429761 1.06171946 0.0001495 0.0000282
8 2.88434217 1.06171108 0.0000446 0.0000084
9 2.88432890 1.06171358 0.0000133 0.0000025
10 2.88433285 1.06171284 0.0000039 0.0000007
11 2.88433168 1.06171306 0.0000012 0.0000002
12 2.88433203 1.06171299 0.0000004 0.0000001
SOLUCION
X = 2.88433203
Y = 1.06171299
3.3.3 PROGRAMACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPSHON
El programa esta elaborado para sistemas de 2 ecuaciones no lineales, en donde los valores iniciales han sido previamente seleccionados. Las ecuaciones deben estar escritas de acuerdo al modelo:
U (x, y) = 0 , h(x, y) = 0
64
El sistema utilizado como ejemplo es el siguiente:
� + �� ( 3� ( 8 * 0, �g�� ( 2�� # 5 * 0
65
66
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Resolver el sistema dado utilizando el método de Gauss- Seidel, con una aproximación de 3 decimales exactos ( 6 * 0.0001). �3 ( 5� + �� − 3�� = 9 8�3 − � + 2�� − �� = 12 �3 − � + �� − 5�� = 10 2�3 + � − 6�� + 2�� = −16
2. Encontrar la solución del siguiente sistema por Gauss- Seidel, con una aproximación de 5 decimales exactos ( 6 = 0.000001). 3�3 − 8� + �� + 2�� = −10 +�� + �� + 8�� = 15 2�3 + �� − 9�� = −12 12�3 + 6�� − �� = 22 4� + 16�� + �� = 26
Hallar todas soluciones de los sistemas de ecuaciones no lineales dados utilizando los métodos analizados en este capítulo: Iteración de punto fijo y Newton-Raphson
3. � + � − � = 1 Y - sen� = 0
� = −1.646 �� = 2.935 �� = 0.948
Solución (en 8 iteraciones) :
�3 = 0.679
� = 2.57232 �� = 0.88612 �� = 1.85118 �� = 1.53284
Solución (en 6 iteraciones)
�3 = 1.88723
Solución: (0.72595, 050295)
(-1.6701, 034513)
67
4. �� + 3� = 21 � + 2� + 2 = 0
5. X In +� = 5 � − 2�� + � = 8
Hallar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones, que se encuentran cerca del unto dado, utilizando el método de Iteración de Punto Fijo, con una aproximación de 4 decimales exactos ( 6 = .00001).
6. 2x – y + � � = 6
��� + � − 1� = 5 �� + ����� = 8 Punto: (2, 2, 1)
7. �� − ����� = 4 � − 2� + �� = 20
�( �3) − � − 1� = 10
Punto: (2, 0.5, 2)
Solución: (1.64304, -2.34978)
(-2.07929, -3.16173)
Solución: (-2.482477, 1.597372)
(1.6001217, 4.59349235)
(8.0099328, 0.0062005)
Solución:
X= 2.11312977
Y = 1.82692631
Z = 1.03865289
Solución:
X = 1.69830260
Y = 1.82692631
Z = 2.48397580
68
CAPITULO 4
AJUSTE DE FUNCIONES
4.1 INTRODUCCIÓN
Las funciones ( de una variable independiente) se pueden clasificar en:
• Analíticas y • Tabulares
Las funciones analíticas son aquellas en donde la relación entre las variables se representa mediante una expresión matemática. Por otro lado, las funciones tabulares están definidas mediante un conjunto de pares ordenados y no están relacionadas por ninguna ecuación. En este capítulo se analizara como obtener una función analítica representativa o que se ajuste a una función tabular dada. Se estudiaran dos métodos:
• Lagrange y • Mínimos cuadrados
4.2 INTERPOLACION DE LAGRANGE Considerando una función tabular definida por n pares ordenados: X �3 � �� ´ ´ ´ Xn
y �3 � �� ´ ´ ´ Yn
Gráficamente esta función representa un conjunto de n puntos en un plano coordenado:
69
Tracemos un polinomio que pase por todos estos puntos, como se muestra en la figura:
Es evidente que si se tuvieran únicamente dos punto, el polinomio que pasa por estos de primer grado ( recta); si fueran tres puntos el polinomio seria de segundo grado (parábola) y asi sucesivamente. En general, un polinomio que esta definido y pasa por n puntos será de grado n – 1. Asi entonces: Y = f (�) * F��� + F��3���3 + F�� ��� +⋯F � # F3� # F2 4,1� Este polinomio puede escribirse de la siguiente forma: Y = q3�� ( � ��� ( ����� ( ���… . �� ( ��� # q �� ( �3��� ( ����� ( ���… �� (��� # q��� ( �3��� ( � ��� ( ���… . �� ( ��� # ⋯# q��� ( �3��� ( � ��� (��� … �� ( ���3� 4.2� En donde q3, q , q�, … , q� son parámetros que se deberán seleccionar de tal manera que las ecuaciones [4.1] y [4.2] sean equivalentes.
DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS Puesto que el polinomio pasa por todos los puntos, entonces las coordenadas de cada punto deben de satisfacer la ecuación [4.2]. Sustituyendo el punto (x1, y1):
�3 * q3��3 ( � ���3 ( �����3 ( ���… ��3 ( ���
Despejando: q3 * �:��:����:����:���…�:���
70
Sustituyendo el punto (� , � ): � * q (� ( � )(� ( ��)(� ( ��)… (� ( ��)
q * � (� ( �3)(� ( ��)(� ( ��)… (� ( ��) Y asi sucesivamente hasta el último punto (����): �� * q�(�� ( �3)(�� ( � )(�� ( ��)… (�� ( ���3)
q� * ��(�� ( �3)(�� ( ��)(�� ( ��)… (�� ( ���3) Sustituyendo q3, q , q�, … . . , q�en la ecuación [4,2]
esta formula se llama polinomio de Lagrange, y se puede escribir de manera simplificada mediante la expresión:
� *¡ Π£¤�3(� ( ��)Π£¤�3(�Z ( �¤)����¥3
�Z, Z * ¦
Sust. En la formula [4.3]:
V(Y) * (1 + 3)(1 − 0)(1 − 3)(1 − 5)(−5 + 3)(−5 − 0)(−5 − 3)(−5 − 5) (2) + (1 + 5)(1 − 0)(1 − 3)(1 − 5)(3 + 5)(−3 − 0)(−3 − 3)(−3 − 5) (−1) +(1 + 5)(1 + 3)(1 − 3)(1 − 5)(0 + 5)(0 + 3)(0 − 3)(0 − 5) (4) + (1 + 5)(1 + 3)(1 − 0)(1 − 5)(3 + 5)(3 + 3)(3 − 0)(3 − 5) (6)
Y = (��)(��)(��)…(��)(:��)(:��)(:��)…(:��)�3 + (�:)(��)(��)…(��)(���)(���)(���)…(���) �3 +⋯ (�:)(��)(��)…(��S:)(���)(���)(���)…(���S:) �� [4.3]
Ejemplo 4.1. Dados los datos:
X -5 -3 0 3 5 F(x) 2 -1 4 6 1
Hallar f(1), empleando polinomio de Langrage.
71
+(1 # 5��1 # 3��1 ( 0��1 ( 3��5 # 5��5 # 3��5 ( 0��5 ( 3� �1� * 0.08 # 0.1667 # 3.4133 # 2 ( 0.06 * 5.6
a continuación se muestran otros valores interpolares y extrapolares ( fuera del rango de los datos), que al graficarlos siguen la trayectoria de una curva que corresponde al polinomio de cuarto grado que pasa exactamente por los puntos dados.
x F(x)
-6 7.875
-4 0.650
-2 0.125
-1 2
1 5.6
2 6.375
4 4.250
6 -3.775
Además de interpolar y extrapolar, el polinomio de Lagrange se puede usar también para obtener la ecuación de la curva, empleando la misma fórmula [ 4.2], con la diferencia que no se sustituye ningún valor de “x” para interpolar.
V��� * �� # 3��� ( 0��� ( 3��� ( 5��(5 # 3��(5 ( 0��(5 ( 3��(5 ( 5� �2� #
�� # 5��� ( 0��� ( 3��� ( 5��(3 # 5��(3 ( 0��(3 ( 3��(3 ( 5� �(1�
#�� # 5��� # 3��� ( 3��� ( 5��0 # 5��0 # 3��0 ( 3��0 ( 5� �4� #�� # 5��� # 3��� ( 0��� ( 5��3 # 5��3 # 3��3 ( 0��3 ( 5� �6�
#�� # 5��� # 3��� ( 0��� ( 3��5 # 5��5 # 3��5 ( 0��5 ( 3� �1� *
Ejemplo 4.2 Hallar la ecuación del polinomio de Lagrange correspondiente a los datos del problema anterior.
72
Efectuando las operaciones indicadas y reduciendo términos semejantes, se obtiene la ecuación pedida:
F(x) = 0.00417�� ( 0.07917�� ( 0.2042� # 1.879� # 4
El resultado se puede comprobar de tal forma que los datos deben datisfacer la ecuación del polinomio.
4.2.1 PROGRAMACIÓN DEL MÉTODO DE LAGRANGE
El siguiente programa sirve para interpolar o extrapolar un valor de un conjunto de datos utilizando el polinomio de Lagrange.
73
Se muestra la ejecución del programa con los mismos datos del ejemplo: 4.1:
No. De puntos : 5
X Y
-5 2 -3 -1 0 4 3 6 5 1
Valor que se desea interpolar: 1
SOLUCION:
F (1.00) = 5.600000
4.3 REGRESIÓN CON MÍNIMOS CUADRADOS
Cuando el numero de datos es grande o se asocia un error sustancial en ellos, la interpolación de Lagrange es inapropiada, dado que el polinomio resultaría de un grado superior y las variaciones en la curva darían resultados no satisfactorios.
74
La grafica muestra el polinomio de Lagrange ajustado a los siguientes Datos:
Debido a la oscilación de la curva, las Interpolaciones por ejemplo para x =1.5 Ó x = 8.5 parecen ir mas allá del rango Sugerido por los datos. Una estrategia más adecuada en estos casos es ajustar los puntos s una función que pase “lo más cerca posible” de ellos, sin coincidir necesariamente con ninguno. A simple vista se podría efectuar el ajuste, sin embargo no sería satisfactorio puesto que se ha hecho de manera arbitraria. En la siguiente grafica se ilustra un ajuste utilizando esta técnica. Considerando el caso de n puntos: x �3 � �� …………. �� y �3 � �� ………….. �� Y que la curva optima sea y = f (x).
x 1 2 2.8 4 5 6 7 8 9
y 2 2.5 2.3 4 3.5 7 6.5 7.4 6.8
El problema con este ajuste es que es ambiguo dado que cada analista trazaría curvas diferentes. Además se desconocería la ecuación de esta. La manera de quitar esta subjetividad es establecer un criterio que minimice la diferencia entre los datos y la curva.
En este capítulo se analiza un método para llevar a cabo este objetivo, el cual se llama regresión con mínimos cuadrados.
75
Para llevar a cabo este análisis definamos residuo o desviación a la diferencia entre la curva y cada punto. Es decir, para el punto (�3, �3� tendremos: Ri = f (Xi) – Yi.
Gráficamente el residuo es la distancia del punto a la curva y servirá como referencia para seleccionar el criterio de minimización adecuado. CRITERIOS PARA EL MEJOR AJUSTE
Analicemos ahora algunos criterios para lograr la optimización de la curva.
a) Una estrategia obvia seria minimizar la suma de los errores residuales:
∑ V��3� ( �3���¥3 minima.
Sin embargo este criterio es inadecuado, como se puede ver en la figura 4.1ª, en donde se considera el caso simple de ajustar una linea a dos puntos. Se observa en la figura que la linea trazada satisface este criterio, sin embargono es un ajuste satisfactorio, dado que la mejor linea de ajuste es obviamente la que pasa por los dos puntos; sin embargo cualquier linea que pase por su punto medio de la linea que los conecta (exepto una linea vertical) genera un valor minimo de la sumatoria igual a cero, ya que los residuos se cancelan.
76
b) Otro criterio seria el minimizar la suma de los valores absolutos de los residuos, esto es:
∑ |V(�3) ( �3|��¥3 mínima.
La figura 4.1 b muestra porque este criterio tampoco funciona. Con los cuatro puntos, cualquier línea que se encuentre dentro de las líneas punteadas, minimiza el valor absoluto de la suma. Además matemáticamente es necesario derivar para minimizar, y la función valor absoluto no tiene derivada.
c) Llegamos finalmente al criterio de minimizar la suma de los cuadrados de los residuos (de aquí el nombre minimos cuadrados), es decir: ∑ V��¡� ( �¡] ��¥3 minima.
SELECCIÓN DE LA CURVA
Una vez establecido el criterio de minimización, se debe seleccionar la curva. Esta tendrá que ser la adecuada, de tal forma que se ajuste a los datos, de acuerdo a la trayectoria o tendencia de ellos. Analizaremos dos tipos de curvas:
• Polinomial y • No polinomial
77
4.3.1 REGRESION POLINOMIIAL
REGRESION LINEAL
El caso mas simple es cuando se ajusta una recta a un conjunto de datos, lo cual se llama Regresión Lineal. Consideremos n puntos y la ecuación de la recta de minimos cuadrados: � * V(�) * F2 + F3� Para encontrar los valores de los coeficientes F2�F3 que satisfagan el criterio de minimos cuadrados, se debe derivar parcialmente con respecto a estos parámetros la función sumatoria:
¡ V��¡� ( �¡� eigualarlaacero��¥3
Sustituyendo la función y derivando tendremos: ��F2¡(F2 + F3�¡ ( �¡� * 0
2¡�F2 + F3�¡ ( �¡� * 0
�F2 + F3¡�¡ *¡�¡ 4.4]
��F3¡(F�+F3�¡ − �¡) = 0
2¡(F2 + F3�¡ − �¡)(�¡) = 0
F2¡�¡ + F3¡�¡ =¡�¡�¡ [4.5] Las ecuaciones [4.4] y [4.5] forman un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas: F2�F3, que se puede resolver por cualquier método.
78
�F2 + F3¡�¡ * ¡�¡
F2¡�¡ # F3¡�¡ * ¡�¡�¡ 4.6]
Ejemplo 4.3.- Ajustar una recta de minimos cuadrados para los siguientes datos:
X 1 2 3 4 6 8 9 10 Y 2 4 3 3 5 5 4 6
Tabla de sumatorias:
X Y Xy � 1 2 2 1 2 4 8 4 3 3 9 9 4 3 12 16 6 5 30 36 8 5 40 64 9 4 36 81 10 6 60 100
43 32 197 311
Sustituyendo en [4.6] se obtiene el siguiente sistema: 8F2 + 43F3 = 32 43F2 + 311F3 = 197 La solución del sistema es: F2 = 2.3177, F3 = 0.313 Por lo tanto la ecuación de la recta es:
y = 2.3177 + 0.313x
79
Ejemplo 4.4.- La presión barométrica (en pulg. De mercurio) a diferentes alturas (en pies) esta dada por la siguiente tabla:
Presión 29.9 29.4 29.0 28.4 27.7 Altura 0 500 1000 1500 2000
Utilizar regresión lineal para estimar la presión barométrica correspondiente a una altura de 1200 ft. Mostrar la grafica de los datos y de la recta. Selección de variables: variable independiente “x” altura variable dependiente “y” presión
80
Efectuándose las sumas se obtiene:
¡�¡ * 5,000,¡�¡ * 144,4
¡�¡�¡ * 141,700,¡�¡ * 7,500,000
Sistema de ecuaciones: 5F2 # 5000F3 * 144.4
5000F2 # 7500000F3 * 141700
Ecuación de la recta: y = 29.96 – 0.001 x
Utilizando otras literales: P = 29.96 – 0.001 h
En donde: P = presión barométrica ( in de Hg)
H = Altura (en ft)
Entonces para h = 1200 ft, P = 28.76 pulg. De Hg
81
Selección de variables: variable independiente “x” Periodo
Variable dependiente “y” Estatura Efectuando las sumas se obtiene:
¡�� * 1405.8,¡�� = 250
¡�� �� = 70,309.3,¡�� = 395,292.14
Sistemas de ecuaciones: 5F2 + 1405.8F3 = 250 1405.8F2 + 395292,14F3 = 70209.3 Resolviendo el sistema se encuentra la ecuación de la recta: Y = -95.045 + 0.516 x En donde x = Periodo de embarazo (días) Y = Estatura (cm) Asi entonces, para 280 días de embarazo, se espera una estatura de 49.43 cms para el recién nacido.
Ejemplo 4.5. La siguiente tabla muestra la estatura de un bebe al nacer (en cm) y el periodo de embarazo (en días). Con el fin de evitar una falsa impresión, debemos notar que los valores dados son promedios de muchas observaciones (un número igual en cada caso). En este problema los valores dados deben tratarse como si fueran observaciones sencillas.
Utilizando regresión lineal, ¿Cuál sería la estatura aproximada de un bebe producto de un embarazo de 280 días?
Estatura 48 49 50 51 52 Periodo 277.1 279.3 281.4 283.2 284.8
82
CUANTIFICACION DEL ERROR EN LA REGRESION LINEAL
Recordamos algunos conceptos fundamentales de estadística:
Media La media y de una muestra se define como la suma de los datos individuales (�¡) dividido entre el número de datos (n):
� * ∑�¡�
Desviación estándar Es la medida de dispersión de una muestra; se denota por «� y se define como:
«� * ¬ «Y� ( 1
En donde: «f = «Y * ∑��Z ( �� [4.7] Si las medias individuales se dispersan muy lejos de la media, St (y por lo tanto Sy) crecerá. Si se agrupan muy cerca de la media, entonces Sy será pequeña.
83
Varianza Otra forma de medir la dispersión es con la varianza que no es más que el cuadrado de la desviación estándar:
«� * «Y� ( 1
Cualquier línea recta diferente a cualquiera de las calculadas en los ejemplos anteriores genera una mayor suma de los cuadrados de los residuos. Por lo tanto la línea de mínimos cuadrados es única y en términos del criterio escogido es la mejor línea a este ajuste. Esto nos permitirá tener una medición de la dispersión. Definamos a la sumatoria de los cuadrados de los residuos como:
«Y *¡(F� + F3�3 ( �3) 4.8] Nótese la similitud entre las ecuaciones [4.7] y [4.8]. En el primer caso, los residuos representan la diferencia entre los datos y una aproximación simple de la medida de la tendencia central; la media. En la ecuación [4.8], los residuos representan el cuadrado de la distancia vertical entre los datos y otra medida de la tendencia central; la línea recta. La analogía se puede extender mas para casos en donde: 1) la dispersión de los puntos alrededor de la recta son de magnitud similar a lo largo del rango entero de los datos, y 2) la distribución de estos puntos alrededor de la línea es normal. Se puede demostrar que si este criterio se cumple, la regresión con mínimos cuadrados proporcionan la mejor (es decir, la mas probable) aproximación de F2�F3. A esto se le conoce como principio de probabilidad máxima dentro de la estadística. Además si este criterio se cumple, una “desviación estandar” de la línea de regresión se puede determinar con la siguiente expresión:
«�/ = ¬ «f� − 2 [4.9] En donde «�/ se llama error estándar de la aproximación. La notación con
subíndice “y/x” indica que el error es para un valor predicho de “y” correspondiente aun valor particular de “x”. «�/ cuantifica la dispersión alrededor de la línea de regresión, mientras que la
desviación estandar original, S, cuantifica la dispercion alrededor de la media. Los conceptos anteriores se pueden emplear para evaluar la “eficiencia” del ajuste.
84
Esto es particularmente útil en la comparación de varias regresiones. Para hacerlo, se regresa a los datos originales y se determina la suma de los cuadrados alrededor de la media para la variable dependiente (en este caso y). se puede llamar a esto la suma total de los cuadrados, «f. Esta es la cantidad de dispersión en la variable que existe antes de la regresión. Esta presenta la dispersión que existe después de la regresión. La diferencia entre las dos cantidades, «f ( «� , cuantifica la mejora en la reducción del error debido al
modelo de la línea recta. Esta diferencia se puede normalizar al error total y obtener:
G * «3 ( ««f 4.10] En donde: r es el coeficiente de correlación y G es el coeficiente de determinación. Para un ajuste, « = 0�G = 1, indicando que la línea resta explica el 100% de la variabilidad. Si G = 0, entonces el ajuste no presenta mejorías. Utilizando estos conceptos se puede ahora estimar los errores en el ajuste de mínimos cuadrados. Ejemplo 4.6.- Calcular la desviación estandar total, el error estándar de la aproximación y el coeficiente de correlación para los datos del ejemplo 4.4. La recta de minimos cuadrados para estos datos es: y=29.96 – 0.00108x
Tabla de sumatorias �3 �3 (� − �3) (F2 + F3�3 − �3) 0 29.9 1.0404 0.0036 500 29.4 0.2704 0.0004 1000 29.0 0.0144 0.0144 1500 28.4 0.2304 0.0036 2000 27.7 1.3924 0.0100 ¡ 144 2.948 0.032
85
� * 144.45 = 28.88(media) «f =¡(� − �3) , «f =¡(F2 + F3�¡ − �¡) = 0.032
«�¬ «f� − 1 = ¬2.9484 = 0.858487¯��nZF�Z����YF�vFGY�YFu
«�C = ¬ «f� − 2 = ¬0.0323 = 0.1033°GG�G��YF�vFG
Dado que «�/ < «�, el modelo de regresión lineal es aceptable.
El alcance de la mejoría se cuantifica mediante:
G = «f − «f«f = 2.948 − 0.0322.948 = 0.98915±��VZ�Z��Y�v�v�Y�GeZ�F�Z��
R=0.99456 Coeficiente de correlación Se puede comprobar que para el Ejemplo 4.3: «�/ = 0.8342, G = 0.65206�G = 0.8342
Para el ejemplo 4.5: (considerando y=-95.044+0.5159x) «�C = 0.1205, G = 0.99564�G = 0.997
REGRESION POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR La recta de mínimos cuadrados analiza en la sección anterior es el caso mas simple de regresión polinomial, dado que la recta es un polinomio de primer grado. El procedimiento de mínimos cuadrados empleado anteriormente se puede extender fácilmente y ajustar los datos a un polinomio de grado “m”: � = F2 + F3� + F � + F���………+ F���
86
En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos esta dada por:
«f *¡(F2 + F3�3 + F �¡ +⋯…# F��¡ ( �¡) 4.11��
�¥3
Ahora se deriva la ecuación [4.11] con respecto a cada caso uno de los coeficientes del poliomio y se iguala a cero, para obtener:
�«f�F2 * 2¡�F2 # F3�¡ + F �¡ +⋯…# F3�¡� ( �¡� * 0
�«f�F3 * 2¡�¡�F2 + F3�¡ + F �¡ +⋯…# F3�¡� ( �¡� * 0
�«f�F * 2¡�¡��F2 + F3�¡ + F �¡ +⋯…# F3�¡� ( �¡� * 0
�«f�F� * 2¡�¡��F2 + F3�¡ + F �¡ +⋯…# F3�¡� ( �¡� * 0
Desarrollando las sumatorias y simplicando, se obtiene las siguientes ecuaciones:
87
Las ecuaciones [4.12] forman un sistema de m+1 ecuaciones lineales con un m+1 incógnitas: F2, F3, F , …… , F�. Por lo tanto para ajustar un polinomio de grado m a un conjunto de datos bastara resolver simultáneamente un sistema de m+1 ecuaciones lineales. El error en la regresión polinomial se puede calcular mediante el error estándar de la aproximación:
«�/ * ¬ «� ( (e + 1) 4.13] En donde m es el orden del polinomio y
«f =¡(F2 + F3�¡ + F F¡ +⋯… .+F��¡� − �¡) �¥3
Además se puede también calcular el coeficiente de correlación:
G = «� − «f«� [4.14] En donde «� = ∑(� − �¡ )
En este caso la ecuación del polinomio de segundo grado (parábola) será:
� = F2 + F3� + F �
Ejemplo 4.7. Ajustar un polinomio de segundo grado de mínimos cuadrados y calcular el error estándar y el coeficiente de correlación para los siguientes datos:
x -3 -1 3 5 7
Y 3 -1 -1 2 5
88
Y el sistema de ecuaciones corresponde para calcular los tres coeficientes, de acuerdo a [4.12] está dado por:
[4.15]
Tabla de sumatorias
x y xy � � y �� �� �² ( ��) F2 + F3�3 + F��Z ( �Z) -3 3 -9 9 27 27 81 1.96 0.1521 -1 -1 1 1 -1 -1 1 6.76 0.4225 3 -1 -3 -9 -9 27 81 6.76 0.0001 5 2 10 25 50 125 625 0.16 0.4489 7 5 35 49 245 343 2401 11.56 0.1681 11 8 34 93 312 467 3189 27.2 1.1917
Sustituyendo en [4.15]:
5F2 + 11F3 + 93F = 8
11F2 + 93F3 + 467F = 34
93F2 + 467F3 + 3189 = 312
Resolviendo el sistema se obtienen los coeficientes del polinomio:
F2 = −1.17, F3 = −0.6, F = 0.22
La ecuación del polinomio será entonces:
�F2 + F3¡�� + F ¡�� =¡�� F2¡�� + F3¡�� + F ¡��� =¡�� �� F2¡�� + F3¡��� + F ¡��� =¡�� ��
Después de la
regresión
�² = 85 = 1.6
89
Y = -1.17 – 0.6x + 0.22�
Error estándar: ��/³A ´�����53� ��/³ * A3.3@3�
��� * 0.771913
Coeficiente de correlación G ´:�´�´� * �. �3.3@3� �. * 0.9561875
90
a) Seleccionaremos para este problema al Volumen como la variable independiente (x) y a la Presión como la variable dependiente (y). La ecuación del polinomio será de la forma: � * F2 + F3� + F � El sistema para hallar los coeficientes es:
�F2 + F3¡�� + F ¡�� *¡�� F2¡�� + F3¡�� + F ¡��� *¡�� �� F2¡�� + F3¡��� + F ¡��� *¡�� ��
Efectuando las sumatorias correspondientes y sustituyendo se obtiene el sistema:
6F2 + 130F3 + 4150F = 991.7
130F2 + 4150F3 + 164500F = 10016
4150F2 + 164500F3 + 7281250F = 168310
La solución del sistema es la siguiente:
F2 = 621.9, F3 = −37.65, F = 0.52
Ejemplo 4.8. En un experimento para determinar la razón de calores específicos (K) de cierto gas, este s comprimió adiabáticamente hasta determinados volúmenes especificados (V). y la presión correspondiente (P), con los siguientes resultados:
P(lb/c�u4 ) 16.8 39.7 78.6 115.5 195 546.1 V(c�u4�) 50 30 20 15 10 5
Ajustar una curva de mínimos cuadrados como se indica en cada caso.
a) Polinomios de segundo grado. b) Hipérbola equilátera. c) De la forma Pµ2 = cte.
Graficar las curvas resultantes para cada caso y seleccionar la mejor de ellas.
91
La ecuación del polinomio es:
� * 621.9 − 37.65� + 0.52�
Utilizando variables más apropiadas para este problema tendremos la ecuación:
P = 621.9 – 37.65V + 0.52µ En donde: p = Presión del gas (en lb/Z� ) V= Volumen del gas (en Z��)
b) La hipérbola equilátera tiene una ecuación de forma: xy =a; por lo tanto la función se puede escribir como: f(x) = a��3 Los residuos entonces son: Ri = a�Z�3 Aplicando el criterio de mínimos cuadrados, se buscara un valor del único parámetro “a” tal que las sumatorias: ∑ oZ�¥3 Sean mínimas. El procedimiento será derivar con respecto al parámetro e igualar a cero: ��∑(F�Z�3 − �Z) = 0
[4.16] ¡2(F�Z�3 − �Z)(�Z�3) = 0
F¡�Z� =¡�Z�3�Z
Es decir, para resolver el problema bastara efectuar solo las sumatorias indicadas en la formula [4.16]
Xi Yi Yi/xi 1/�Z 50 16.8 0.336000 0.000400 30 39.7 1.336000 0.001111 20 78.6 3.930000 0.002500 15 115.5 7.700000 0.004444 10 195.0 19.50000 0.010000 5 546.1 109.2200 0.040000
142.009 0.058455
F = ∑ ���∑ 3��
92
Sustituyendo en [4.16]:
F * 142.0090.058455 = 2429.4
Por lo tanto la ecuación de la curva de ajuste(hipérbola equilátera), utilizando las varibales P y V está dada por:
PV = 2429.4
C) Cuando un gas ideal se expande o se comprime, se dice que experimenta un proceso politropico; en este caso la relación entre P y V para cada punto del proceso es tal que el producto de la presión por el volumen elevado a un exponente fijo, permanece constante, es decir: Pµ¶ = �Y�. en donde K es el exponente politropico.
Seleccionando a la presión como la variable dependiente, la función se puede escribir de la siguiente forma:
P =Cµ�¶
En este caso n se puede continuar con ell procedimiento utilizado en los problemas anteriores, debido a que el parámetro “K” aparece como exponente se puede linealizar la ecuación y utilizar el modelo correspondiente.
Utilizando logaritmos:
In P = In cµ�¶
In P = In C –K In V [4.17]
La ecuación [4.17] representa una función lineal el lineal en un plano In x – In y pudiéndose utilizar entonces el modelo lineal analizado anteriormente:
Y = F2 + F3�
Entonces: In P y , In V x , In C F2, -K F3 Utilizaremos ahora el modelo lineal para establecer el sistema de ecuaciones para la determinación de las incógnitas C y K:
n In C - k ∑ g�µZ = ∑ g�wZ [4.18]
In C ∑ g�µZ − q ∑(g�µZ) = q∑(g�µZ)(g�wZ)
93
Tabla sumatoria
Vi Pi In Vi In Pi (In Vi) (In Vi)(In Pi) 50 16.8 3.9120 2.8214 15.3037 11.0372 30 39.7 3.4012 3.6814 11.5682 12.5212 20 78.6 2.9957 4.3644 8.9760 13.0745 15 115.5 2.7081 4.7593 7.3338 12.8616 10 195.0 2.3026 5.2730 5.3020 12.1416 5 546.1 1.6094 6.3028 2.5903 10.1437
Σ 16.9290 271922 51.0739 71.7810
Sustituyendo en [4.18]:
6In C . -16.929K = 27.1922
16.929 In C – 51.00739 K = 71.781
Solución del sistema: k = 1.4938 , C = 6291
Ecuación de la curva de ajuste:
Pµ3.�@�? * 6291
Grafiquemos las tres curvas para seleccionar la optima.
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES DE AJUSTE
94
c) proceso politropico
Se puede observar que en el caso a) el polinomio no es un buen ajuste, ya que la dispersión es grande e inclusive existen valores negativos de la presión. En los casos b) y c) ya no aparece ninguna presión negativa, pero dada que la dispersión es menor en el último caso, se selecciona la curva c) como el mejor ajuste a los datos.
Se podría pensar polinomios de mayor orden se ajusten mejor a los datos, sin embargo esta posibilidad queda descartada analizando polinomios de ajuste de tercero, cuarto y quinto grado, cuyas graficas aparecen a continuación.
95
POLINOMIO DE TERCER GRADO P= -0.034µ� + 3.2347µ ( 95.184µ + 918.22 Este polinomio se ajusta bastante bien excepto en el intervalo 30\V \50. Por ejemplo P(40) = 120.2lb/in. Además para valores extrapolares V ] 50 la presión es negativa. POLINOMIO DE CUARTO GRADO P= .0000029µ� ( .00032µ� #.0125µ ( .2038 # 1.289 El polinomio “casi” pasa por todos los puntos, sin embargo para 30\ µ \ 50, LA PRESION ES NEGATIVA. Por ejemplo: P(40) = 148.6 lb/Z� . Además es demasiado grande, por ejemplo: P(52) = 184 lb/Z� POLINOMIO DE QUINTO GRADO P= .0000023µ� # .000029µ� (.0014µ� # .023µ ( .351µ # 1.665 El ajuste es “perfecto”, el polinomio pasa por todos los puntos (de hecho es idéntico al polinomio de Lagrange). El problema es que para V] 30, los valores de la presión son absurdos. Ejemplo: P(45) = 436 lb//Z� P(52) = .453 lb//Z�
96
4.3.3. PROGRAMACION DE LA REGRESION LINEAL.
97
Número de puntos: 3
Coordenadas de los puntos
X = 1 y = 4
X = 2.5 y = 4.8
X = 4.6 y = 8.3
La ecuación de la recta es:
Y = 7.184 – 0.550x
98
PROBLEMAS PROPUESTOS
x -5 -4 0 2 3 5 6 8 y 6 4 2 2 0 0 -1 -3 Graficar la recta y los datos solución: y = 2.38 -0.6x
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. hallar la ecuación del polinomio de segundo grado de niminos cuadrados que se ajusta a los datos dados en la siguiente tabla:
X -4 -1 0 3 6 8 11 y -1 1 4 5 5 2 -1 Graficar la recta y los datos. Solución: y = 3.38 + 0.786x -0.108�
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Hallar la ecuación de la curva de regresión de la forma: y = a In x + B que se ajusta a los siguientes datos:
X 1 2 4 6 8 y -7 -3 4 5 7 Graficar la curva y los datos. Solución: y = 6.95 Inx – 7-07
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Encontrar la ecuación del polinomio de Lagrange correspondiente a los puntos dados en la siguiente tabla:
x -3 1 6 8 F(x) 2 3 -1 5 Hallar f (-2), f(1.5) f(4.8) y f(7.2) y graficar el polinomio, mostrando los datos y los puntos interpolados.
Solución: y = 0.059996��-0.3565� - 0.8827x + 4.1792
------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Ajustar una curva de mínimos cuadrados de la forma: y = a� + W� para los siguientes datos:
X -2 -1 1 2 3 4 y 50 10 10 30 50 -25
99
Graficar la curva y los datos.
---------------------------------------------------------------------------------------------
6. Las resistividad eléctricas(en Ohm- cm x 10��) del platino a diferentes temperaturas _(en grados Kelvin) están dad por la siguiente tabla:
Temperatura 100 200 300 400 500 resistividad 4.1 8 12.6 16.3 19.4
Utilizando regresión Lineal, la resistividad correspondiente para una temperatura de 350°r,Graficar la recta y los datos.
Solución R= 14.025 ohms - cm x 10��
100
CAPITULO 5
DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA
5.1 DERIVACION
5.1.1 TANGENTE A UNA CURVA – DERIVADA
¿Cuál seria una definición elemental de una tangente de una curva en un punto? Algunas respuestas típicas de los estudiantes son los siguientes:
Una línea recta que toca solamente un punto de la grafica.
Una línea recta que toca, pero no corta a la curva.
Una línea que toca la parte convexa de una grafica.
Todas ellas revelan la idea de una tangente toca a la grafica pero no la cruza, una impresión que puede jugar un papel negativo posteriormente cuando el estudiante conoce la idea de una tangente a una grafica en un punto de inflexión.
Vinner (1983) encontró que cuando se les pidió a los estudiantes dibujar la tangente a la grafica y=x3 en el origen, una gran proporción bosquejo un segmento de recta un poco a un lado de forma que no pasara a través de la grafica. Los estudiantes pueden también tener una gran dificultad con la tangente a una línea recta, la cual rompe todas las reglas, informales del juego (No toca la grafica, es la grafica…).
Se necesita entonces una definición mas adecuada. Consideremos una función f(x) y escojamos un punto (x, f(x)), como se muestra en la figura.
¿Qué línea (Si existe) será la tangente de la curva es ese punto?
101
Para contestar esta pregunta seleccionemos un pequeño numero h≠0, y marquemos sobre la grafica el punto Q (x+h, f(x+h)). Tracemos ahora la línea secante que pasa a través de los puntos P y Q. A medida que h tiende a cero (por la derecha), la línea secante tiende a una posición límite. Cuando h tiende a cero (por la izquierda) tiende a la misma posición límite. La línea es esta posición es a la que llamaremos la TANGENTE de la grafica en el punto P:
Las siguientes figuras muestran la situación, primero con h>0 y después con h<0.
Puesto que las secantes obtenidas tienen pendientes de la forma:
Entonces la tangente, es decir, la posición limite de esas secantes tendrán como pendiente:
Lim
·�¸5¹��·�¸�
¹ h 0
102
DEFINICION
Una función f se dice que es diferenciable en x si:
Existe.
Si este límite existe, se llama entonces derivada de “f” en “x” y se denota por f’(x).
5.1.2 DIFERENCIACION NUMERICA
La derivada se puede calcular aproximadamente por diferenciación numérica o aproximación por diferencias.
Para ilustrarlo, consideremos una función f(x) y supongamos que se desea evaluar la primera derivada en x = x0. Conociendo f(x0) y f(x0 + h), en donde h es el intervalo entre dos puntos consecutivos de la función, la derivada se puede aproximar calculando la pendiente de la secante que une estos dos puntos, y puesto que x0 + h está a la derecha de x0 se conoce como aproximación por diferencias hacia delante.
Lim
·�¸5¹��·�¸�
¹ h 0
103
Finalmente consideremos dos puntos: uno a la izquierda y el otro a la derecha de x0, en este caso será; aproximación por diferencias centrales.
Para obtener una estimulación del error al usar aproximaciones por diferencias nos podemos basar en el desarrollo de la Serie de Taylor de la función alrededor de un punto.
Por ejemplo, el desarrollo de Taylor de f(x1+1), la cual denotaremos por fi+1 alrededor de x1 está dado por la siguiente expresión:
VZ # 1 * VZ # �VZU # ℎ²2 VZ # W33 VZ +ℎ44 VZ ∧ gµ + ⋯
En donde h = xi+1 – x1
Despejando a fi’: Para despejar fi’ se divide ambos miembros de la serie de Taylor entre “h” y luego se despeja fi’
VZU * VZ + 1 ( VZ� ( �VZUU ( 14 �²VUUU ( ⋯
Si truncamos del segundo término en adelante tendremos la misma ecuación (5.1) de aproximaciones por diferencias hacia adelante. Los términos truncados conforman lo que se llama el error por truncamiento, y puerto que el termino más significativo es – (1/2) hfi’’ tendremos:
104
En donde 0 (h) indica que el error es aproximadamente proporcional con el intervalo h, 0 que “es del orden h”.
Así entonces: error = -1/2 hfi’’.
La aproximación por diferencias hacia atrás de la primera derivada utilizando fi+1 y fi se obtiene de manera similar. El desarrollo de Taylor de fi+1 es:
En donde: error ≈ ½ hf i’’.
La aproximación por diferencias centrales utilizando fi+1 y fi-1 se puede obtener restando los desarrollos de Taylor correspondientes:
Entonces:
Se observa en este caso que el error es proporcional a “h2” en vez de “h”, lo cual indica que el error disminuye, dado que h es un valor pequeño.
105
EJEMPLO 5.1.- Calcular aproximadamente f’ (3) para la función:
V��� * �² + u��� ( 2
Utilizando diferencias hacia delante, hacia atrás y centrales. Con h = 0.1 y h =0.05, estimando en cada caso el error.
Primero calculemos el valor exacto de la derivada. Derivando la función se obtiene:
DIFERENCIAS HACIA ADELANTE. Utilizando la formula (5.1)
Error = -0.224279
DIFERENCIAS HACIA ATRÁS. Utilizando la formula (5.2)
106
DIFERENCIAS CENTRALES. Utilizando la formula (5.3)
APROXIMACION POR DIFERENCIAS CON TRES PUNTOS
Para una derivada de orden n, el número mínimo de datos necesarios para obtener una aproximación por diferencias es n+1. Así para una derivada de primer orden se necesitan dos puntos (como en la sección anterior).
Sin embargo si se utilizan más puntos se obtiene una aproximación mejor. Por ejemplo utilicemos tres puntos: fi, fi+1, fi+2 para obtener la primera derivada fi’.
Los desarrollos de fi+1, y fi+2 de la Serie de Taylor son:
Combinando estas dos ecuaciones es posible eliminar los términos de la segunda derivada; con esto el término principal de los errores de truncamiento es el de la derivada de tercer orden.
Multiplicando la ecuación (5.7) por 4 y restándole la ecuación (5.8):
Despejando a fi’ obtendremos la formula llamada.
107
Aproximación por diferencias hacia adelante con tre s puntos:
Se puede observar que tiene un error similar al obtenido con diferencias centrales con dos puntos (formula 5.6).
De una manera similar se puede obtener la fórmula para
Aproximación por diferencias hacia atrás con tres p untos:
O bien Aproximación por diferencias centrales con tres pun tos:
Ejemplo 5.2 Resolver el problema del ejemplo 5.1, con h = 0.1, utilizando tres puntos.
La función que se va a derivar es:
V��� * �² + u��� ( 2
108
Entonces:
Fi = f (xi) = F (3) = 10.09861
Fi+1 = f (xi+1) = F (3.1) = 9.76491
Fi+2 = f (xi+2) = F (3.2) = 9.50263
Fi-1 = f (xi-1) = F (2.9) = 10.52746
Fi-2 = f (xi-2) = F (2.8) = 11.08702
a) Aproximación por diferencias hacia delante.
b) Aproximación por diferencias hacia atrás.
c) Aproximación por diferencias centrales.
Los errores obtenidos en el ejemplo anterior (utilizando dos puntos) son los siguientes: -0.22428, 0.52322 y -0.04747 para diferencias hacia delante, hacia atrás y centrales, respectivamente.
109
5.2 INTEGRACION NUMERICA
5.2.1 INTRODUCCION.
El teorema fundamental del cálculo integral establece que:
¼ V(�)v� * �(�)] * �(W) ( �(F)`
En donde F (x) es una antiderivada o primitiva de f (x).
Con este teorema se puede calcular el valor exacto de una integral definida, siempre y cuando sea posible encontrar la antiderivada de F(x). Sin embargo existen una gran cantidad de integrales llamadas “no elementales”, las cuales no tienen antiderivadas, y por lo tanto no se puede emplear el teorema.
Algunos ejemplos clásicos de estas integrales son los siguientes:
Los métodos numéricos para resolver estas integrales están basados en la interpretación grafica de una integral definida:
SI F(x) es continua y positiva en el intervalo [a, b], entonces la integral ½ V(�)v�̀
es, numéricamente igual al área bajo la curva: y =f(x), limitada por el eje X y las rectas X = a, x = b.
Entonces si ½ V(�)v� * 1` , el valor de la integral será el mostrado en la figura.
110
En esta sección se analizaran los siguientes métodos:
� Regla de los trapecios. � Regla de Simpson de 1/3. � Integración de Romberg.
Los dos primeros métodos se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tubulares por una función polinimica mas fácil de integrar. Así entonces:
I=½ V���v� * ½ 4(�)v�̀̀
En donde g(x) es un polinomio de primer grado (recta) para el método de los trapecios, o bien un polinomio de segundo plano (parábola) en el caso de Simpson. Estos esquemas de integración son conocidos como fórmulas de integración de Newton – Cortes. El último método (Romberg), es un mejoramiento de la regla de los trapecios, y se utiliza solamente cuando se tiene la función analítica.
5.2.2 REGLA DE LOS TRAPECIOS
Consideremos el problema de calcular el área de la región ilustrada en la fig. 5.1. Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual magnitud H, y denotemos por Y0, Y1, Y2,………, Ya a las ordenes así obtenidas (fig. 5.2).
El problema es ahora calcular el área de una de las subregiones y sumarlas para hallar el área total. Para tal efecto vamos a formar figuras geométricas de área conocida (trapecios), uniendo con segmentos rectilíneos los puntos P0 y P1, P1 y P2,……, y así sucesivamente.
111
La siguiente figura muestra, en ampliación los dos primeros subintervalos. Las áreas de los dos trapecios están dadas por las siguientes expresiones:
Sumando las áreas de los n trapecios que se forman, se obtendrá una aproximación al área buscada:
A= ½ H (y0 + y1) + ½ H (y1 + y2) + ½ H (y2 + y3) +….+ ½ H (ya-1 + ya)
Simplificando:
A = H (½ y0 + y1 + y2 + y3 +….+ ya-1 + ½ yn) [5.12]
En este caso de que la curva sea una función analítica de ecuación y = f(x), limitada en un intervalo [a, b], entonces la regla de los trapecios se puede escribir de la siguiente forma:
½ V���v� * Y * ¾ �3 V(�0� # V��2� # ⋯ # 3 V(��)�̀ [5.13]
En donde: H = (b – a)/n, x0 = a, x1 = x0 + H,….., xa = b
Es evidente que la aproximación será mejor a medida que aumente el número de subintervalos (n); sin embargo, para valores muy grande de n, el error puede aumentar debido a los errores de redondeo analizados anteriormente.
Algunos de los ejemplos resueltos en las siguientes secciones se pueden resolver por cálculo integral de una forma más sencilla, sin embargo el objetivo es que el estudiante aprenda el método y tenga más referencia de comparación con la solución exacta.
112
Ejemplo 5.3 Determinar un valor aproximado para la integral ½ �� # 2�√� # 1v��2
por la regla de los trapecios, utilizando 4 y 8 intervalos.
N = 4
Formula: I ≈ H [½ f(x0) + f(x1) + f(x2) + f(x3) + ½ f(x4) ]
Formula: I ≈ H [½ f(x0) + f(x1) + f(x2) + f(x3) +……+ ½ f(xn) ]
H = 3/8 = 0.375
Sustituyendo en la fórmula:
I ≈ 17.08132 ®
El valor exacto de esta integral es g * ��3� * 17.06666 …., por lo tanto el error
disminuye para n = 8.
113
2.3 REGLA DE SIMPSON DE 1/3
Consideremos el mismo problema correspondiente a la fig. 5.1; de igual manera dividamos en n subintervalos iguales (fig5.2). La diferencia entre este método y el de los trapecios es que en vez de unir los puntos P0, P1,….., Pn por segmentos rectilíneos, se unen por segmentos parabólicos tomados los puntos de tres en tres, dado que una parábola queda definida por tres puntos.
El procedimiento será calcular el área bajo la parábola de cada pareja de bandas, para finalmente sumar estas en áreas. Es por esto que en este método se debe emplear un número PAR de intervalos.
Seleccionemos ahora los dos primeros intervalos y coloquemos unos ejes coordenadas de la manera que se muestra en la figura.
Si la ecuación de la parábola es: y = ax² + bx + c.
Entonces podremos calcular el área bajo la parábola empleando el teorema fundamental del cálculo integral:
Para determinar los valores de a y c, se sustituyen las coordenadas de los puntos P0, P1 y P2 en la ecuación de la parábola:
114
Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtienen los siguientes resultados:
Sustituyendo a y c en la fórmula para el área:
Procedimiento de igual manera con las demás parejas de intervalos, y sumando las áreas obtenidas, tendremos el área total:
Simplificando: [5.14]
Si la curva tiene por ecuación y = f(x), en un intervalo [a, b], entonces el área se obtiene mediante la integral definida:
I* ½ V���v�`
Y la formula anterior se escribe de la siguiente manera:
[5.15]
En donde:
¾ * W ( F�
115
Ejemplo 5.3 Determinar un valor aproximado para la integral ½ �� # 2�√� # 1v��2
utilizando la regla de Simpson con 8 intervalos.
H = 3/8 = 0.375
Sustituyendo en la fórmula 5.15:
I ≈ 17.06666528 ®
Se puede observar que este método es más aproximado que el de trapecios (solución exacta: I = 17.066666……).
Problema de aplicación: Determinación de la corriente R.M.S. mediante Integración Numérica.
Antecedentes: el valor promedio de una corriente eléctrica oscilante durante un periodo puede ser cero. Por ejemplo supongamos que la corriente de describe
mediante una senoidal simple: i (t) =���( ¿À Y), en donde T es el periodo. El valor
promedio de esta función se puede determinar mediante la ecuación:
Este resultado se muestra en la fig. 5.3 a. Como se puede ver, resulta una corriente neta igual a cero, ya que las áreas positivas y negativas bajo la curva se cancelan.
A pesar de que el resultado neto es cero, esta corriente es capaz de realizar un trabajo y generar calor. Por lo tanto los ingenieros electrónicos a menudo, simbolizan esta corriente mediante la expresión:
116
En donde IRMS se conoce como corriente RMS (raíz cuadrada media; en inglés “root mean square”). El problema de cancelación de signos positivos y negativos se evita elevando la corriente al cuadrado antes de calcular el promedio (Fig. 5.3 b).
Supóngase el siguiente problema:
Ejemplo 5.4 La corriente en un circuito está dada por:
Determinese la corriente RMS, en un periodo [0, T], para T= 1s, utilizando regla de Simpson con 8 y 16 intervalos.
Para n = 8
H = 0.5/8 = 0.0625
117
Tabulación de la función f(t) = 100 e-2t sen2 (2Á t )
Para n = 16
En este caso el valor de la integral es: 15.41277141; entonces:
IRMS = √15.41277141 = 3.9259102 Amp ®
Nota: El valor exacto de la integral es 15.4126081 (el cual se puede obtener con
n – 32).
Estos métodos de trapecios y de Simpson se pueden utilizar también para datos tabulares, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5.5 El diseño de un nuevo aeroplano requiere un tanque de gasolina con un área seccional constante en cada ala, como se muestra en la figura. El tanque debe tener una capacidad de 5000 lb de gasolina, cuya densidad es de 42 lb / ft3. Usar regla de Simpson para estimar la longitud del tanque.
118
Vol. = (Área) (Long.)
En donde: Vol.= �222Â`� Â`/Ãf= 119.048 ft3
Área =3� 1.5 # 4�1.6� # 2(1.8� # 4�1.9� # 2�2� # 4�2.1� # 1.6�
= 11.0333 ft2
Long. = ÄÅÂ.ÁB * 10.79 ft ®
Ejemplo 5.6 Una forma de medir el bombeo cardiaco (cantidad de sangre que bombea el corazón en un min) es mediante la técnica del medio de contraste. Esta consiste en inyectar de 5 a 10 mg de líquido de contraste una vena principal cerca del corazón. El líquido es vaciado en el lado derecho del corazón y después bombeado a través de los pulmones y sale por el lado izquierdo hacia la aorta, donde se mide la concentración a cada segundo.
La siguiente tabla muestra la respuesta de una paciente en descanso, a una inyección de 5.6 mg de líquido de contraste. También se muestra la gráfica de la concentración en función del tiempo. Los datos se han ajustado a una curva suave. El tiempo se mide con t = 0 en el momento de la inyección. Las lecturas de la concentración son cero al principio, mientras el líquido pasa a través de los pulmones. Alcanza un máximo aproximadamente a las 9 segundos y declina a cero a los 30 seg.
119
El bombeo Cardiaco (en L/min) se calcula dividiendo los miligramos de líquido de contraste entre el área bajo la curva de concentración y multiplicando el resultado por 60:
Bombeo Cardiaco = �ÇÈBÂíÊ��ÈÅáB`¤ÅÂÌ�l �60
Utilizar la regla de Simpson para calcular el bombeo cardiaco del paciente.
Solución:
En este caso H = intervalo del tiempo = 1
Aplicando regla de Simpson (a partir del sexto seg):
Área = 3� 1.5 # 4�38� # 2�67� # 4�80� # ⋯ # 4�0.9� # 0] * 544.167�ÇÍ �
Bombeo Cardiaco = �.��Ç���.3��{Î
Ï ´ �60
= 0.617 Í
��� ®
El error exacto es -0.11119943, de manera que se ha obtenido una estimación razonable de la respuesta. Se sabe que si se multiplica n por 10, el error se dividirá aproximadamente entre 100; de esta forma es fácil determinar qué tan grande debe ser n para dar un grado deseado de exactitud. Desde luego, en este ejemplo resulta fácil determinar f” (x); en otros casos es difícil o imposible y entonces estas fórmulas de error resultan de escasa utilidad; si embargo existe otra técnica que se analizara más adelante para resolver este problema sin necesidad de derivar.
120
ERROR EN LA REGLA DE SIMPSON
En este caso se considera primero el área de dos subregiones consecutivas, comprendidas dentro del intervalo [xr-1, xr+1], siguiendo un procedimiento similar al anterior, se obtiene el siguiente resultado:
Podemos observar que el error es O (1/n4), y por lo tanto es menor que el de la regla trapezoidal.
Considerando la misma integral del ejemplo anterior y el mismo número de bandas (10) se obtiene el siguiente resultado:
Valor de la integral por Simpson: 0.477302454
Valor exacto: 0.477302437
Siendo entonces el error exacto: -1.7x10-8
Calculemos ahora el error utilizando la formula (5.16):
F(x) = e-x/2, derivando: fIV(x) = 1/16 e-x/2
Así entonces, para el intervalo (1,2) el error se encuentra entre:
Lo cual concuerda con el valor del error exacto.
5.2.5.- USO REPETIDO DE LA REGLA TRAPEZOIDAL
En la mayoría de las aplicaciones prácticas de integración numérica, no es factible diferencias el integrando, y las fórmulas de error obtenidas anteriormente no tienen un uso directo.
Entonces en necesario enfrentar el problema tal vez más difícil de la integración numérica; ¿Cómo se decide la cantidad de bandas a emplear? No es suficiente solo tomar un gran número de bandas y desear que todo salga bien: por lo general
121
esto desperdiciará tiempo de computadora, y en ocasiones dará una exactitud inadecuada.
En las siguientes secciones se verá la forma de resolver este problema de manera sistemática y eficiente.
Supóngase que se desea evaluar la integral:
¼ V���v� * g`
Y sea In la aproximación a I obtenida al emplear la regla trapezoidal con n intervalos. El problema consiste en decidir qué tan grande debe ser n de manera In se aproxime a I con la exactitud deseada.
Un enfoque posible seria evaluar I1, I2, I3, I4, I5,….. Hasta que hubiera convergencia; pero esto sería desde luego muy laborioso.
Un enfoque mucho más práctico consiste en evaluar I1, I2, I4, I8, I16,….., ya que los valores de la función requeridos para In también se necesitan para I2n, de esta forma no se “desperdicia ningún valor”.
El procedimiento es el siguiente:
a) Consideremos primero el caso de un solo intervalo.
b) Consideremos ahora dos bandas.
122
Sumando las áreas de los dos trapecios:
Sea: J2 = J1 + f (a + ½ c)
Entonces:
I2 = 3 �J2 Áreas para dos bandas
c) Para cuatro bandas
La suma de las áreas de los 4 trapecios es:
Reduciendo términos:
Sea J4 = J2 + f(a + ¼ c) + f(a + ¼ c)
Entonces:
123
d) Para ocho bandas
En este caso:
Entonces:
Las demás aproximaciones se obtienen de manera similar. Se observa con este procedimiento que para calcular I2n se “aprovechan” los valores utilizados para In, obteniéndose el resultado en menos tiempo.
Sin embargo esta técnica no se puede utilizar en la regla de Simpson, porque los coeficientes de las funciones dependen de n, y por lo tanto son diferentes para cada caso.
Ejemplo 5.7 Calcular el valor de la integral: ½ � 3
-x/2 dx, con 4 decimales exactos,
mediante el uso repetido de la regla trapezoidal.
Datos: a = 1, b = 2, c = 1, f(x) = e-x/2
Una banda
124
Dos bandas
J * J3 + f�a +1 2H ∁� * 0.9596
g = 1 2H ∁Ó = 0.4798
Cuatro bandas
J� = J + f�a +1 4H C� + f�a +9 4H C� = 1.9117
g� = 1 4H ±Ó� = 0.4779
Ocho bandas
Ó? = Ó� + V(F +1 8H ±) + V�F +3 8H ±� +V(F +5 8H ± + V�F +2 8H ±� = 3.8197
g? = 1 8H ±Ó? = 0.4775
Dieciséis bandas
Ó3� = Ó� + V�F + 1 16H ±� + V�F + 3 16H ±� + V(F+ 5 16H C) +V�F + 7 16H ±� + V�F + 9 16H ±� + V(F +11 16H C) +V�F + 13 16H ±� + VkF + 15 16H ±m = 7.6376
x F(x)
1.25 0.5698
1.375 0.5028
1.625 0.4437
1.875 0.3916
x F(x)
1.5 0.4724
x F(x)
1.25 0.5353
1.75 0.4169
X F(x)
1.0625 0.5879
1.1875 0.5523
1.3125 0.5183
1.4375 0.4874
1.5625 0.4578
1.6875 0.4301
1.8125 0.4040
1.9375 0.3796
125
De manera similar, I n = 0.4773 (igual que el anterior), por lo tanto el resultado con cuatro decimales es exacto es: g * 0.4773
5.2.6 INTEGRACION DE ROMBERG
El procedimiento de la última sección puede mejorar en gran medida al utilizar la técnica conocida como integración de Romberg. Se mostro antes que el error al
emplear la regla de los trapecios 0 (g � H ). En otras palabras:
g = g� + F � H [5.17]
En donde a es una constante. De manera semejante:
g = g � + F 4� H [5.18]
Multiplicado [5.18] por cuatro y restándole la ecuación [5.17]:
3g = 4g � − g�
O bien: g = g � , en donde g � = 1 gH (4g � − g�) Es posible demostrar que g � es la aproximación a g que se obtendría al emplear la regla de Simpson con 2n bandas, y desde luego es de esperarse que g � sea mas exacto g �.
Demostración: Consideramos por ejemplo 4 y 8 intervalos con un acho de cada banda de 2H y H respectivamente. Utilizado trapecios: g� = 2¾(�2 + � + �� + �� + �3) g? = ¾(�2 + �3 + � + �� + �� + �� + �� + �� + �?) g3 = 1 3H (4g� − g�) = = ¾ 3H (�2 + 4�3 + 2� + 4�� + 2�� + 4�� + 2�� + 4�� + �?) Lo cual es g� regla de Simpson para 8 bandas
126
Este proceso puede llevarse a una etapa más lejos. Se sabe que el error en la
regla de Simpson es O (1 ��)H , de manera que para valores pares en de n:
g * g� + Õ ��H [5.19]
Entonces: g * g � + Õ 16��H [5.20]
Al multiplicar la ecuación [5.20] por 16 y restarle la ecuación [5.19] se obtiene:
15g = 16g �5 − g�5
De donde: g = 1 16H (16g �5 − g�5) = g �55
Este valor será una mejor aproximación a g Continuando de la misma forma:
g �555 = 1 64H (64g �55 − g�55) g �5555 = 1 256H (256g �555 − g�555)
Y así sucesivamente. Es de esperarse que se obtenga aproximaciones a g cada vez mejores. La técnica de integración de Romberg consiste en obtener las siguientes aproximaciones a g:
g3 g g 5
g�g�5g�55 g?g?5g�55g�555
………………………… Hasta que dos valores sucesivos sean iguales con la exactitud deseada.
Resumiendo, la forma de calcular todas estas aproximaciones es la siguiente:
g3 = ±Ó3
g = 1 2H ±Ó g 5 = 1 2H (4g − g3) g� = 1 4H ±¦�g�5 = 1 4H (4g − g )g�55 = 1 16H (16g�5 − g 5
127
g? * 1 8H ±Ó?g?5 * 1 8H �4g ( g��g?55 * 1 16H �16g?5 ( g�5�g?555 * 1 64H �64g?55 ( g�55� …………………. Y así sucesiva mente.
En donde:
� * W ( F
Ó3 * 1 2H V�F� # V�W�� Ó * Ó3 # V�F # 1 2H ±)
Ó� * Ó # V�F # 1 4H ±� # V�F # 1 4H ±�
Ó? * Ó� # V�F # 1 8H ±� # V�F # 1 8H ±� # V�F # 1 8H ±� # V�F # 1 8H ±�
……………………. Y así sucesivamente.
Ejemplo 5.8 calcular el valor de la integral:½ �3 H v� 3 , con 9 decimales exactos,
utilizando integración Romberg.
Ó3 ( 1 2H V�F� # V�W�� * 0.48720505
g3 * �Ó3 * 0.48720505
¦ * Ó3 # V�F # 1 2H ±� * 0.959571602
g * 1 2H ±Ó * 0.479785801
g * 1 3H �4g ( g3� * 0.477312718
Ó� * Ó # V�F # 1 4H ±� # V�F # 1 4H ±� * 1.91169505
g� * 1 4H ±Ó� * 0.477923762
g� * 1 4H �4g� ( g3� * 0.477303082
128
g�55 * 115 �16g�5 ( g 5� * 0.47730244
Ó? * Ó� # � sF # 18 �t # V sF # 3
8 �t # V sF # 58 �t # V sF # 9
8 �t * 3.81966239
g? * 3? �Ó? * 0.477457798
g?5 * 13 �4g? ( g�� * 0.477302477
g?55 * 1715�16g35 ( g�5� * 0.477302437
g?555 * 163 �64g?55 ( g�55� * 0.477302437
Por lo tanto el valor exacto de, la integral, hasta el noveno decimal es:
I = 0.477302437
5.2.7 INTEGRACIÓN DOBLE
La integral doble de una función f(x, y) definida sobre una región plana R se define por:g * ∬ V��, ��va�
La región R se puede clasificar en:
Si la región es de tipo I, entonces el cálculo de la integral doble, utilizando la integral reiterada es igual a:
g * ½ ½ V��, ��v�v�È()Ì()̀ [5.21]
Es decir, primero se resuelve la integral:
X F(X)
1.125 .569782824
1.375 .502831578
1.625 .443747310
1.875 .391605626
129
¼ V��, �)v�È()Ì()
Para tal efecto se considera a x como constante, obteniéndose entonces una función únicamente de x. posteriormente se resuelve la integración “normal”, con respecto a x.
Si definimos: g (x) ½ V(�, �)v�È()Ì() [5.22]
Entonces la integral [5.21] se reduce a:
g * ½ 4(�)v�̀ [5.23]
Es decir, se ha transformado el problema bidimensional a un problema unidimensional, que se puede resolver por cualquiera de los métodos analizados anteriormente.
Utilizando por ejemplo la Regla de Simpson de 1/3 [5.24]
La región R en este caso es de tipo II, entonces los datos son:
A = 1, b = 3, H = 1 , c(y) = y + 1, d(y) = 2� + 1
�2 * 1,�3 * 2,� * 3
g = ¾3 4[�2) + 44(�3) + 24(� ) + ⋯44(��3) + 4(�2)]
¾ = W − F� �2 = F, �3 = �2 + ¾,� = �3 +¾,… . . , �� = W
4(��) = ¼ V(��ÈOÌO , �)v�
En donde:
Ejemplo 5.10. Hallar el valor de la integral: ½ ½ ÌÅ��� v�v� �:�53�3
Utilizando regla de Simpson, con n = 2.
130
Utilizando la formula [5.24] adaptando para regiones de tipo II:
g * 13 [4(�2) + 44(�3) + 4(� )] En donde:
G(�2) = ½ ÌÅ�3�53� v� = 0.18724
4(�3) = ¼ ����2� + 2@� v� = −0.42145
4(� ) = ¼ ����3� + 33@� v� = −1.49201
Sustituyendo en la formula:
g = 13 [0.18724 + 4(−0.42145) + 1.49201] = −0.99685
El valor de esta integral con una exactitud de 5 decimales, se puede obtener utilizando aproximadamente 30 intervalos, y es igual a: I = -0.99517. por lo tanto, el error absoluto con n = 2 es: 6 = 0.00168.
H = 0.5, �2 = 1,�3 = 1.5,� = 2
Utilizando la formula [5.24]:
g = 0.53 [4(�2) + 44(�3) + 4(� )] Utilizando nuevamente regla de Simpson,, para las tres integrales (con n = 2):
G(�2) = ½ L1 + ��3 v� = 3.44747
4(�3) = ¼ L1.5 + ��3.� v� = 5.13478
Ejemplo 5.9. Calcular la integral: g = ½ ½ L$ + �v�v� _53_ 3
Utilizando regla de Simpson 1/3, con dos intervalos en ambas direcciones.
131
4�� � ¼ L2 # ��
v� * 7.01329
Sustituyendo en la formula:
g * 0.53 3.44747 # 4�4.513479� # 7.01329� * 5.166647
La solución exacta (basta el sexto decimal) es:
g * 5.66853
Por lo tanto el error absoluto es:6 * 0.000206
5.2.8 PROGRAMACIÓN DE LA REGLA TRAPEZOIDAL Y DE SIMPSON
Este programa evalua una integral definida por los métodos de trapecios y de Simpson de 1/3. Se muestra una corrida del programa para la integral:
½ ���√53�3 v�, Utilizando 10 intervalos para los dos métodos.
132
5.2.9 PROGRAMACION DE LA REGLA DE SIMPSON PARA UNA INTEGRAL DOBLE
El programa calcula la integral doble (de tipo I) utilizando regla de Simpson con el mismo numero
de intervalos en ambos direcciones.
133
Se muestra ahora la ejecución del programa para calcular la integral:
½�3 ½ ∆ ��
L�� + 2�� dx dy
Limite inferior = 1
Limite superior = 4
Intervalos = 4
Integrales alternas:
G(x0) = 11.64221737
134
G(x1) = 29.09025656
G(x2) = 85.65154119
G(x3) = 235.10688144
G(x4) = 569.09975164
El valor de la integral es: 452.1391008500
135
PROBLEMAS PROPUESTOS PARA EL CAPITULO 5
1.- En un circuito eléctrico la tensión aplicada E (t) e inductancia L, están relacionadas por la
primera ley de kirchhoff de acuerdo a la ecuación:
g (t) = L È�Èf # oZ
donde R es la resistencia del circuito e i la corriente. Suponga que medimos la corriente para
varios valores de t y obtenemos:
t 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04
i 3.10 3.12 3.14 3.18 3.24
Donde t se mide en segundos e i en amperes; la inductancia L es constante y vale 0.98 henrys, y la
resistencia es de 0.142 ohms. Aproxime la tensión (o voltaje) para los valores de t = 1.0, 1.01, 1.02,
1.03 y 1.04.
Solución: t 1.0 1.01 1.02 1.03 1.04
g(t) 2.40 2.403 3.386 5.352 7.320
2.-La distribución de la velocidad de un fluido cerca de una superficie plana esta dada por
la siguiente tabla:
i yi(m) vi(m/s)
0 0.0 0.0
1 0.002 0.006180
2 0.004 0.011756
3 0.006 0.016180
4 0.008 0.019021
Donde (y) es la distancia de la superficie y (v) la velocidad.
La ley de newton para la tensión superficial esta dada por:
r = µ ÈlÈ�
donde µ es la viscosidad que suponemos que vale 0.001 Ns/m2. Calcule la tensión
superficial en y = 0 mediantes aproximaciones por diferencias utilizando los siguientes
puntos: a) i = 0 y 1 ; b) i = 0,1 y 2.
136
3.-Calcular aproximadamente el valor de las integrales dadas, utilizando las reglas
trapezoidal y de Simpson con los intervalos especificados.
a) ½ È√�5��
3 n = 6 solución: trapezoidal = 9.4769
Simpson = 9.4945
b) ½ 32√ 5�B��
/ 2 v� n = 8 solución: trapezoidal = 10.01077
Simpson = 10.01077
c) ½ � .Ø √53�3 dx n = 10 solución: trapezoidal = 11.121002
Simpson = 11.083115
4.-Calcular las integrales dadas utilizando el método de romberg con la presicin indicada.
½ (� + 1)√� ( 13� dx E= .000001 ( 5 decimales exactos )
Solución: 64.94403
63.77697 63.38795
63.48441 63.38689 63.38682
63.41122 63.38682 63.38682 63.38682
137
b) ½ √�� # 13.��2.3� dx E = .00001 ( 4 decimales exactos )
Solución: 5.06342
3.198225 2.576493
2.518707 2.292201 2.273248
2.305340 2.234216 2.230350 2.229669
2.246110 2.226367 2.225844 2.225773 2.225757
5.-Al comprimirse amoniaco en un cilindro se obtuvieron los siguientes datos:
P(lb/in2) 60 80 100 120 140 160 180
V(in3) 80 67.5 60 52.5 45 37.5 32.5
Calcular el trabajo hecho durante el proceso, empleando regla de Simpson.
Sugerencia: W = ½cvn solucion w = 441.7 lb.ft
6.- Un arquitecto planea utilizar un arco en forma parabolica dado por:
y = 0.1 x (30.x) metros
donde (y) es la altura desde el piso y (x) la distancia horizontal, ambas en metros.
Calcule la longitud total del arco desde x = 0 hasta x = 30 mts. Utilice regla de Simpson
dividiendo el intervalo en 10 partes. La longitud total del arco esta dada por la integral:
L = ½ L1 + (v�/v�) �22 dx solución: 56.52 m
138
7.-Calucule aproximadamente el valor de las siguientes integrales utilizando regla de
Simpson de 1/3, con n = 4 en ambas direcciones.
a) ½ ½ L�� # ��∗3 3 dy dx solución: 4.5275
b) ½ ½ A�� + �∗3Â�� dx dy solución: 26.93419
c) ½ ½ �� .Ø 5� �√��� dx dy solución: 33.992236
139
CAPITULO 6
Solución de ecuaciones diferentes por métodos numéricos
6.1 INTRODUCCIÓN
En esta sección analizaremos ecuaciones diferenciales ordinarias, para las cuales se aplica la siguiente:
DEFINICIÓN: la solución de una ecuación diferencial de orden n:
F[x, y, �3,� , … . , �(�)] Es cualquier función y = (x) o relación g (x, y) = 0 que la satisfaga.
Por ejemplo, la E.D.: �3= x + 1 tiene como solución: y = 3 � + � + 5, ya que al
sustituir esta función en la E.D, la satisface:
vv� s12� + � + 5t = � + 1
Sin embargo cualquier función de la forma: y = 3 � + � + ±, en donde C es un
parámetro o constante arbitraria, es solución de a E.D., y se conoce con el nombre de solución general. Cuando el parámetro tiene un valor especifico, se llama entonces solución particular.
Asi también, la E.D. x dx + y dy = 0 tiene como solución general a la relación: � +� = �, porque al diferenciar ambos miembros de la solución se obtiene la E.D, original:
D (� +� ) = 2�v� + 2�v� = 0
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
140
La solución general de una E.D, representa una familia de curvas, y cada uno de los elementos de la familia es una solución particular.
De los ejemplos anteriores tenemos las siguientes graficas.
Familia de parábolas: y = 3 � # � # � Familia de círculos: � # � * �
Con su eje focal en x = -1 con centros en el origen
Para hallar una solución particular es necesario especificar cierta condición o condiciones para determinar el valor del parámetro o los parámetros(según sea el orden de la ecuación).
Se distinguen dos tipos de problemas:
• Problemas con valores iniciales • Problemas con valores en la frontera
a) Un problema con valores iniciales está formado por una ecuación
diferencial de orden n y un conjunto de n condiciones independientes, todas ellas para el mismo punto. Ejemplo: 6.1 Hallar la solución particular de E.D, �3= x + 1 tal que y (1) = 3
Solución general: y = 3 � # � + �
Sust. X= 1, y = 3: 3 =3 + 1 # �
De donde: c = �
141
Solución particular: y = : + � + �
b) Para un problema con valores en la frontera se deben especificar las
condiciones para dos puntos. Ejemplo 6.2 resolver el problema: v �v� + � * 0; �(0� * 1, � kÁ
2m * 5
Sol. General: y = a sen x + b cos x Sust. X = 0, y = 1: 1 = a sen 0 + b cos 0 De donde: b = 1 Sust. X= Á/2, y = 5: 5= a (1) + b (0) De donde: a = 5 Sol, particular: y = 5 sen x + cos x Resumiendo, en un problema con valor inicial se establece como dato un punto por donde pasara la curva (solución), mientras que en un problema con valores en la frontera está condicionada a dos puntos dados.
142
6.2 SOLUCIÓN NUMÉRICA Muchos problemas que involucran ecuaciones diferenciales, no se pueden resolver por matemáticas exactas, sin embargo es posible resolverlos utilizando métodos numéricos que consisten en sustituir el dominio continuó de la solución exacta, por uno discreto formado por puntos aislados, igualmente espaciados entre sí Asi, en un problema con valores iniciales, las soluciones para x ≥ �2., se substituye por el conjunto infinito de puntos:
�2, �3 * �2 + ℎ, � *�2 + 2�, �� *�2 + 3ℎ… … . , �� * �2 + �ℎ Tal y como se muestra en la figura
143
En este curso limitaremos el estudio a problemas con valores iniciales que involucran ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden y se analizaran los siguientes métodos:
• Euler • Runge –Kutta
6.3 MÉTODO DE EULER Consideremos el problema con valor inicial:
Multiplicando la ecuación por dx: dy = f(x, y) dx
Integrando en el intervalo [�2,�3] ½ v�:� = ½ V(�, �)v�:�
Y (�3) – y (�2) = ½ V(�, �)v�:�
Y (�3) = y (�2)+ ½ V(�, �)v�:�
si consideramos que f (x, y) varia muy poco ene l intervalo [�2, �3], entonces
se puede sustituir por f(�2,�3) y efectuar la integración del segundo
miembro de la ecuación anterior:
y(�3) = y (�2) + f(�2,�2) ½ v�32
= y (�2) + f (�2,�2 ) [�3- �2] = y (�2) + f (�2,�2 ) [�2+ h - �2] = y (�2) + f (�2,�2 ) – h Si denotamos por �3 a este valor aproximado de y (�3) tendremos: �3= y(�2) + h – f (�2,�2) De manera similar se puede obtener la aproximación para y (� ), considerando ahora el intervalo [�3,� ]: � = y (�3) + h – f (�3,�3)
v�v� * V(��, �) �(�2) * �2
144
En general, para el intervalo [��, �2 + 1] : [6.1] Conocida como fórmula de Euler.
La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente forma: È�È * ( ��53
Datos: �2 * 1, �2 * (3, ℎ = 0.1, V(�, �) = − ��53 Empleando la formula [6.1]: �3 =−3 + (0.1)V(1, −3) = -2.7, �3 = 1.1 � =−2.7 + (0.1)V(1.1, −2.7) = -2.4312, � = 1.2 �� =−2.4312 + (0.1)V(1.2, −2.4312) = -2.1921, �� = 1.3 �� =−2.1921 + (0.1)V(1.3, −2.1921) = -1.9802, �� = 1.4 �� =−1.9802 + (0.1)V(1.4, −1.9802) = -1.7929, �� = 1.5 En la siguiente tabla se muestran los resultados comparados con la solución exacta:
Y= - ��53
x Y Euler
Y Exacta
Error absoluto
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
-3.0000 -2.7000 -2.4312 -2.1921 -1.9802 -1.7929
-3.0000 -2.715 -2.4590 -2.2305 -2.0270 -1.8462
0.0149 0.0278 0.0384 0.0468 0.0533
�� + 1 = �(�2) + ℎ ∗ V(�2. ��)
Ejemplo 6.3 resolver el problema 2xy dx + (� + 1)dy = 0, y(1) = -3
Por el método de Euler para 1 ≤ x ≤ 1.5, utilizando h = 0.1.
Comparar los resultados con la solución exacta.
145
6.4 MÉTODO DE RUNGE-KUTTA Estos métodos son mas exactos que el de Euler. Existen métodos de Runge-Kutta de segundo, tercer, cuarto y quinto orden, siendo la exactitud mayor cuanto mayor sea el orden. Las formulas para el método de Runge-Kutta de cuarto orden son:
�� ( 1 * �� + 16 (q3 + 2q + 2q� + q�) En donde: q3 * ℎ. V(�� , ��) q * ℎ. V(�� + � , �� + x: ) [6.2]
q� * ℎ. V(�� + ℎ2 , �� + q 2 ) q� * ℎ. V(�� + ℎ, �� + q�) Los datos son los mismos del problema anterior, excepto h. Entonces para calcular ��: q3 * 0.2V(1, (3)= 0.6 q = 0.2V(1.1, −2.7) = 0.53756 q� = 0.2V(1.1, −2.73122) = 0.54377 q� = 0.2V(1.2, −2.45623) = 0.48319
�� = −3 + 16 (0.6 + (0.53756 + 0.54377) + .48319) = −2.459025
Para calcular � : q3 = 0.2V(1.2, −2459025)= 0.48374 q = 0.2V(1.3, −2.21716) = 0.42859 q� = 0.2V(1.3, −2.24473) = 0.43393 q� = 0.2V(1.4, −2.02509) = 0.38313 � = −2.027040
Ejemplo 6.4 Hallar y(1.4) para el problema con valor inicial:
È�È = − ��53, y(1) = -3, utilizando Runge-Kutta, con h = 0.2
146
Se muestran ahora los resultados comparados con la solución exacta:
x Y Runge-Kutta
Y Exacta
Error absoluto
1 1.2 1.4
-3.000000 -2.459025 -2.027040
-3.000000 -2.459016 -2.027027
0.000009 0.000013
Obsérvese que el error disminuye en relación el ejemplo 6.3 (Euler)
Reescribiendo la ecuación diferencial v�v� * ( ����
�1 + �(�)���� * ( 1(1 + �(�) tan �
Los datos son los siguientes:
�2, �� * 14Á = 0.7854,ℎ = 0.1, V(�, �) = − 1(1 + �−�) tan �
Calculo de �3: q3 = 0.1V(0, 0.7854)= -0.5 q = 0.1V(0.05, 0.7604) = - 0.05388 q� = 0.1V(0.05, 0.7585) = - 0.05409 q� = 0.1V(1.4, 0.7313) = -0.058508
�3 = 0.7854 + 16 (−0.5 + 2(−0.05388 − 0.05409) − 0.058508) �3 = 0.731327 Calculo de �
Escribaaquílaecuación. cos �v� + (1 + ��)����v� = 0, �(0) = Á4 Ejemplo 6.5 Resolver el problema con valor inicial:
Para x = 0.2, utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden, con h = 0.1
Compara los resultados con la solución exacta: ( 1+�) sec y =2√2
147
q3 * 0.1V(0.1, 0.731327)= -0.058506 q = 0.1V(0.15, 0.702074) = - 0.063538 q� = 0.1V(0.15, 0.699558) = - 0.063863 q� = 0.1V(0.2, 0.667454) = -0.069764
� = 0.731327 + 14 (−0.058506 + 2(−0.063538 − 0.063863) − 0.069764) � = 0.667481
Tabla comparativa de resultados
x Y Runge Kutta Y exacta Error absoluto 0 Á/4 Á/4
0.1 0.731327 0.731325 0.000002 0.2 0.667481 0.667479 0.000002
� = ����3(35BC √ )
6.5 MÉTODO NUMÉRICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Los procedimientos discutidos anteriormente fueron aplicados a la ecuación diferencial de primer orden: �3 = V(�, �), Sujeta a la condición inicial: y(�2) = �2. Para aproximar una solución de una ecuación de segundo orden de la forma: v �v� V(�, �, �3) Primero se reduce la ecuación de segundo orden a un sistema de ecuaciones de primer orden, mediante la sustitución �3 = �. La ecuación anterior se transforma entonces en el sistema: �3 = � �3 = V(�, �, �) [6.3]
148
Aplicándose el método numérico a cada ecuación. Para el método de Runge-Kutta las formulas son:
[6.4]
Utilizaremos las sustituciones [6.3] para transformar la E.D de segundo orden a un sistema de 2 E.D, de primer orden:
�� # 1 * �� + 14 (q3 + 2q + 2q� + q�) ��3 = �� + 14 (ß3 + 2ß + 2ß� + ß�)
r3 = ℎ. �
ß3 = ℎ. V($�, ��, ��) r = ℎ. (�� + 12ß3)
ß = ℎ. �($� + 12ℎ, �� + 13r3. �� + 13ß3) r� = ℎ. (�� + 12ß )
ß� = ℎ. �($� + 12ℎ, �� + 13r3. �� + 13ß
r� = ℎ. (�� + 12ß�) ß� = ℎ. �($� + ℎ, �� +r�. �� + ß�)
En donde:
�33 − 2�3 + � = �� , �(1) = 0, �3(1) = 1 Ejemplo: 6.6 Resolver el problema con valor inicial:
Para o≤ � ≤ 1.4,por medio del método de Runge-Kutta de cuarto orden, con un paso de h =
0.2.
Comparar los resultados con la solución exacta dada por la función:
Y= (e-1)(1-x)��3 + x� + ��g��
149
�3 * �
�3 * �� ( � # 2�
�(1) * 0, �(1) * 1
Los datos son: f(x, y, u,) = BC ( � + 2�
�2 * 1, �2 * 0, �2 * 1
Utilizando las formulas [6.4] para el cálculo de los parámetros correspondientes a �3 r3 * ℎ. �2 * (0.2)(1) * 0.2
ß3 * ℎ. �($2, �2, �2) * 0.2V(1, 0, 1, ) * 0.9436564
r = ℎ. (�2 + 1/2ß3) = 0.2(1 + .9436564/2) = 0.2943656
ß = ℎ. � k$2, + 3 ℎ, �2 + 3 q3.�2 + 1/2ß3m = 0.2V(1.1, 0.1, 1.4718282)= 1.1149433
r� = ℎ. (�2 + 1/2ß ) = 0.2(1 + 1.1149433/2) = 0.31149433
ß� = ℎ. � s$2, + 12ℎ, �2 + 12q . �2 + 1/2ß3t = 0.2V(1.1, .1471828, 1.557472, ) = 1.1397641
r� = ℎ. (�2 + ß�) = 0.2(1 + 1.1397641) = 0.4279528
ß� = ℎ. � s$2, +ℎ, �2 + 12q�. �2 + ß�t = 0.2V(1.2,0.31149433, 2.1397641) = 1.3469596
�3 =�2 + 14(r3 + 2r + 2r� +r�) = 0.30661212
�3 = �2 + 14(ß3 + 2ß + 2ß� + ß�) = 2.13333845
Calculo para �
r3 = ℎ. �2 = (0.2)(2.13333845) = 0.4266677
ß3 = ℎ. �($3, �3, �3) = 0.2V(1.2, 0.30661212, 2.13333845, ) = 1.3453658
150
r * �. (�3 + 1/2ß3) * 0.2(2.1333845 + 0.676829) = 0.5612043
ß = ℎ. � k$3, + 3 ℎ, �3 + 3 q3.�3 + 1/2ß3m = 0.2V(1.3, 0.5199946, 2.700606)= 1.5829265
r� = ℎ. (�3 + 1/2ß ) = 0.2(2.13333845 + 0.79146325) = 0.5849603
ß� = ℎ. � s$3, + 12ℎ, �3 + 12q . �3 + 1/2ß t = 0.2V(1.3, .587214, 2.924802, ) = 1.6169850
r� = ℎ. (�3 + ß�) = 0.2(2.13333845 + 1.6169850) = 0.7500647
ß� = ℎ. �(1,+ℎ, �3 + q�. �3 + ß�) = 0.2V(1.4,0.891572, 3.750323) = 1.9011292
� =�3 + 14 (r3 + 2r + 2r� + r�) = 0.88478906
Tabla de resultado
x Y Runge Kutta Y exacta Error absoluto 0 0 0
0.1 0.30661212 0.30665183 0.00003971 0.4 0.88478906 0.88489697 0.00010791
6.6 PROGRAMACIÓN DEL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN PARA ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
El siguiente programa resuelve problemas con valor inicial de la forma:
v�v� = V(�, �), �(�2) = �2
Para el intervalo: �2 ≤ � ≤ �Ã
Con un paso h
151
El programa se ejecuto para el problema con valor inicial:
v�v� * 2� ( 8��
� # 4
Y(0) = -1
Con los siguientes resultados:
Valores iniciales:
152
X0 = 0
Y0 = -1
VALOR FINAL xf = 1
Incremento
H = .2
TABLA DE RESULTADOS
X Y 0.000000 -1.000000 0.200000 - 0.951225 0.400000 - 0.818504 0.600000 - 0.635530 0.800000 - 0.440366 1.000000 - 0.262013
PROBLEMAS PROPUESTOS PARA EL CAPITULO 6
Resolver los siguientes problemas con valor inicial, utilizando los métodos de Euler y de Runge-Kutta de cuarto orden.
1. (� # 4)v� − (2� − 8��)v� = 0 soluciones Y(0) = -1. Para x= 0.4 Con h = 0.2 (Runge-Kutta) H= 0.05 (Euler)
2. ��3 + 4� = ��� �(1) = 1, Para x = 0.6 Con h = -0.2 (Runge-Kutta) H= -0.05 (Euler)
x y Runge Y Euler 1.0 1.000000 1.000000 0.8 1.994744 1.860498 0.6 5.092979 4.262865
X Y Runge-
Kutta
Y Euler
0.0 -1.000000 -1.000000
0.2 -0.931225 -0.962980
0.4 -0.818504 -0.837441
153
3. Y dx = x(In y – In x + 1)dy Y (1) = x, para x = 1.9 Con h = 0.3 (Runge-Kutta) h= -0.1 (Euler)
4. ��v� * 2��v� ( 2���v�
�(1) * √2, cFGF� * 1.4= 0.2 Con h = 0.2 (Runge-Kutta) h= 0.05 (Euler)
5. (sen y) dx = (x cos y - ��� �)v� Y (0) = Á/2, para x = 1 Con h = 0.5 ( Runge-Kutta) H = 0.1 (Euler)
6. Halla y (¡), resolviendo el problema: Y´´ + 2xy´+ xy = 0 , y (0) = 1, y´(0) = 0 Mediante el método de Runge-Kutta de 4°orden, utilizando h = 0.5 Solución: y(1) = 0.8771
7. Resolver el problema: (� − 1)´´ + 3��´ + �� = 0, �(0) = 4, �´(0) = 6 En el intervalo 0 ≤ � ≤ 0.6,utilizando el método de Runge-Kutta de 4° orden con un paso de h= 0.3 Comparar el resultado con la solución obtenida por serie de potencias:
Y = 4 + 6x + 33� �� + 3 �� + 33� ��+…….
Solución: y (0.3) = 5.9091, y (0.6) = 8.7871
X Y Runge-
Kutta
Y Euler
1.0 2.7182818 2.7183818 1.3 3.1129726 3.117212 1.6 3.4880047 3.495236 1.7 3.8496193 3.859111
X Y Runge-
Kutta
Y Euler
1.0 3.414236 1.4142136 1.2 2.1281081 2.0774462 1.4 3.4537786 3.150206
x Y Runge-
Kutta Y Euler
0.0 1.5707963 1.5707963 0.5 0.9598203 1.009216 1.0 0.6456675 0.366598
154
8. Elaborar un programa Runge- Kutta de 4° orden para resolver el problema con valores iniciales: Y´´ - 0-01(y´� # 2y=sen x , y (0) = 0, y´(0) = 1 En el intervalo 0 ≤ � ≤ 5, utilizando h = 0.5 y h= 0.2. Comprara los resultados con la solución exacta:
X 0 1 2 3 4 5 y 0 0.8450 0.9135 0.1412 -0.7540 -0.9544
Solución:
X Y h – 0.5 Y h - 0.2 0 1 2 3 4 5
0 0.8443 0.9144 0.1448 -0.7524 -0.9584
0 0.8450 0.9135 0.1413 -0.7540 -0.9544
155