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  • MTODOS NUMRICOS BSICOS CON SOFTWARE

    DAVID TOSTADO MENA

    INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR

    DE ALVARADO

  • CONTENIDO 1. INTRODUCCIN A LOS MTODOS NUMRICOS...

    1.1 Definicin.. 1.2 Errores...

    Errores por redondeo.. Errores por truncamiento

    2. SOLUCIN DE ECUACIONES...

    2.1 Introduccin.. Interpretacin geomtrica de las races... Teorema sobre la localizacin de las races...

    2.2 Mtodo de Aproximaciones Sucesivas Interpretacin geomtrica del mtodo Teorema de convergencia

    2.3 Mtodo de Newton-Raphson 2.3.1 programacin del mtodo de Newton-Raphson...

    2.4 Mtodo de la biseccin.. 2.4.1 Programacin del mtodo de la biseccin

    2.5 Mtodo de la falsa posicin 2.5.1 Programacin del mtodo de la falsa posicin..

    2.6 Problemas de aplicacin. Problemas propuestos

  • 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

    3.1 Sistema de ecuaciones lineales 3.1.1 Mtodo de Gauss-Seidel...

    Convergencia del mtodo... 3.2 Sistema de ecuaciones no lineales

    3.2.1 Mtodo de iteracin de punto fijo... Interpretacin geomtrica Convergencia del mtodo

    3.2.2 Mtodo de Newton-Raphson.. 3.3 Programas..

    3.3.1 Programacin del mtodo de Gauss-Seidel. 3.3.2 Programacin del mtodo de iteracin de punto fijo 3.3.3 Programacin del mtodo de Newton-Raphson..

    Problemas propuestos.

    4. AJUSTES DE FUNCIONES

    4.1 Introduccin. 4.2 Interpolacin de Lagrange

    4.2.1 Programacin del mtodo de Lagrange 4.3 Regresin con mnimos cuadrados.

    4.3.1 Regresin polinomial Regresin lineal Regresin de grado superior..

    4.3.2 Regresin no polinomial..

  • 4.3.3 Programacin de la regresin lineal.. Problemas propuestos.

    5. DERIVACIN E INTEGRACIN NUMRICA

    5.1 Derivacin.. 5.1.1 Tangente a una curva-derivada 5.1.2 Diferenciacin numrica.

    Aproximacin por diferencias con tres puntos.. 5.2 Integracin numrica..

    5.2.1 Introduccin. 5.2.2 Regla de los trapecios 5.2.3 Regla de Simpson de 1/3.. 5.2.4 Errores en la regla trapezoidal y de Simpson 5.2.5 Uso repetido de la regla trapezoidal ... 5.2.6 Integracin de Romberg 5.2.7 Integracin doble 5.2.8 Programacin de las reglas trapezoidales y de

    Simpson 5.2.9 Programacin de la regla de Simpson de 1/3 para una

    integral doble .. Problemas propuestos...

  • 6. SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR MTODOS NUMRICOS

    6.1 Introduccin. 6.2 Solucin numrica. 6.3 Mtodo de Euler.. 6.4 Mtodos de Runge-Kutta... 6.5 Mtodos numricos para ecuaciones diferenciales de

    segundo orden. 6.6 Programacin del mtodo de Runge-Kutta.

    Problemas propuestos

  • 1

    CAPITULO 1

    INTRODUCCIN A LOS MTODOS NUMRICOS 1.1 Definicin Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que pueden resolverse utilizando generalmente operaciones aritmticas y lgicas.

    Estos mtodos tienen dos caractersticas comunes: son laboriosos y aproximados; no obstante resuelven problemas que son muy difciles o imposibles de resolver por matemticas clsicas.

    La razn por la cual son laboriosos es que involucran un gran nmero de clculos generados, la mayora de las veces, al utilizar repetidamente determinadas formulas. Este proceso iterativo es ideal para implementarlo en una computadora, por eso es que los mtodos numricos han tomado un gran auge en la actualidad, a pesar de que existen desde hace mucho tiempo.

    1.2 Errores La inexactitud de estos mtodos se debe a errores que se cometen en los clculos, estos son errores por redondeo y errores por truncamiento.

    Errores por redondeo

    Estos errores se originan debido a que las computadoras y calculadoras solo manejan o guardan un nmero finito de las cifras significativas durante un clculo. Cuando el nmero es irracional o es decimal peridico, este tiene una cantidad infinita de cifras y por lo tanto la computadora lo corta de acuerdo a la siguiente regla (llamada redondeo)

  • 2

    Por ejemplo, el nmero 2 es irracional, y por lo tanto tiene una cantidad infinita de decimales, sin embargo para poder cuantificar el error supongamos que el valor exacto es 1.414213562 (con 10 cifras significativas). Si se usa una computadora o una calculadora que maneje nicamente 8 dgitos, entonces 2 se almacena como 1.41422136. Ntese que el octavo digito se redondea a 6, dado que el noveno es mayor que 5. El error absoluto entonces se calcula de la siguiente manera:

    = I valor exacto valor aproximado I

    = I 1.414213562 - 1.41422136 I = 7.798 x 10 Si la computadora solo corta y no redondea entonces el valor aproximado seria 1.41422135 y por lo tanto:

    = I 1.414213562 -1.41422135I = 7.788 x 10 que es mayor que el anterior por eso todas las calculadoras y computadoras efectan el redondeo en forma automtica.

    Si consideramos ahora que el nmero 2 est involucrado en una operacin tal como: (9536) 2 , tendremos: Valor exacto (10 dgitos) = 13485.94053 Valor aproximado (8 dgitos) = 13.485.940 Y el error es: = 0.00053, esto es 12712 veces mayor que el anterior.

    Esto nos muestra que a pesar de que el error al almacenar 2 es insignificante, cuando se combina con alguna opcin el error se propaga y puede llegar a ser relevante.

    Errores por truncamiento

    Son aquellos que resultan de usar una aproximacin en vex de un procedimiento matemtico exacto.

    La serie de Taylor es el medio ms importante que se emplea para obtener modelos numricos y analizar los errores de truncamiento. Esta serie aproxima una funcin en forma polinomial por medio de la siguiente definicin:

    Si el valor de una funcin F(x) se puede expresar en una regin de x, cerca de x=a, por la serie infinita:

  • 3

    F(x) = F(a) + (x-a) F(a) + ()! F(a) + ()

    ! F(a) ++ ()

    ! Entonces la serie se llama Serie de expansin de Taylor de F(x) alrededor de x=a. Los siguientes ejemplos muestran algunas funciones expandidas por la serie de Taylor alrededor de x=0:

    = 1 + x + ! + ! + ! +. = x - ! + ! + ! + = 1 - ! + ! + ! +.. ln(1 + $) = x - + + +. Como se puede observar, la serie es una suma infinita de trminos y al evaluar la funcin para algn valor de x, se utiliza un numero finito de trminos, cometindose entonces un error por truncamiento.

    Ejemplo 1.1 Determinar el error al calcular el nmero e, al utilizar la serie de Taylor con diferentes nmeros de trminos, considerando que el valor exacto de estos nmeros es e = 2.718281828.

    Solucin:

    El problema se resuelve sustituyendo en la serie correspondiente a la funcin . El valor de x = 1. La siguiente tabla muestra los valores aproximados y los errores al tomar 3, 4, 5, 6, 7 y 8 trminos de la serie:

    No. De trminos

    Valor aproximado

    Error

    3 2.500000000 0.218281828 4 2.666666667 0.051615161 5 2.708333333 0.009948494 6 2.716666667 0.001616161 7 2.718055556 0.000226272 8 2.718153969 0.000027859

  • 4

    Ntese que el error disminuye al considerar un mayor nmero de trminos.

    La grafica siguiente muestra como se aproxima la funcin y = mediante un polinomio de primer grado, segundo grado y tercer grado de la serie de Taylor.

    y = y = 1 + x + 2 + 6 y = 1 + x + 2 y = 1 + x

    Fig. 1.1 Expansin de F(x) = por la serie de Taylor @ de x = 0

  • 5

    CAPITULO 2 SOLUCIN DE ECUACIONES

    2.1 introduccin La determinacin de races o soluciones de una ecuacin es uno de los problemas ms antiguos de las matemticas, que se presentan con frecuencia en la solucin de una gran variedad de problemas reales.

    Las principales ecuaciones que se estudiaron fueron las lineales y posteriormente las cuadrticas. Los mtodos algebraicos para resolver son exactos y muy sencillos, como se muestran en los siguientes ejemplos: Ejemplo 2.1 Ecuacin: 5 2x = 0 Ejemplo 2.2 Ecuacin: -2x 4 = 0 Sol: Mediante procedimientos Sol: utilizando la formula general:

    Algebraicos elementales: x = x = 1 5

    Interpretacin geomtrica de las races

    Las races reales de la ecuacin F(x) = 0 representan las intercepciones de la curva y = F(x) con el eje X. De aqu que las races se les llame tambin CEROS de la funcin.

    Las siguientes graficas muestran la solucin grafica de los ejemplos anteriores:

  • 6

    Fig. 2.1 Grafica de y = 5 2x Fig. 2.2 Grafica de y = - 2x 4

    Otro tipo de ecuaciones que se estudian en algebra son los polinomios de grado superior, ecuaciones exponenciales, logartmicas, trigonomtricas, etc. Los siguientes ejemplos muestran las races de un polinomio de tercer grado y de una funcin exponencial.

    Ejemplo 2.3 Ecuacin: - 3 - x + 3 = 0 Solucin algebraica:

    ( ( 3) ( ( ( 3) * 0 Solucin Grafica ( 3 ( 1 * 0 ( 3 # 1 ( 1 * 0 x = 3 x = -1 x = 1

    Fig. 2.3

    Ejemplo 2.4 Ecuacin: 2 ( 25 * 0 Solucin algebraica: Solucin Grafica

    log 2 * log 25 xlog 2 * log 25 * ./0 ./0 x = 4.6438562 Fig. 2.4

    Sin embargo para la mayora de las ecuaciones que no son de primer, segundo o tercer grado (polinomios), los mtodos algebraicos resultan infructuosos y una alternativa para resolverlas es por medio de mtodos numricos.

    Estos mtodos tienen las desventajas de ser aproximados, laboriosos y solo pueden calcular una raz a la vez.

  • 7

    Los mtodos de solucin aproximada existentes constan bsicamente de dos pasos fundamentales:

    a) Determinacin de un valor aproximado a la raz que se busca. b) Mejoramiento de la solucin hasta un grado de precisin preestablecido,

    mediante el uso de una formula recursiva, que depender del mtodo que se utilice.

    Como se puede observar, es necesario determinar el intervalo en donde se encuentra la raz buscada, el cual se obtiene por medio del siguiente teorema:

    Una raz Tres races Cinco races

    Fig. 2.5 Races reales de una ecuacin

    Cuando da funcin es discontinua en el intervalo considerado, entonces no se debe aplicar este teorema, como se ilustra en la figura siguiente.

    En este caso, a pesar de que F(a) es positivo F(b) es negativo. No existe ninguna raz en el intervalo (a, b), debido a que existe una discontinuidad en dicho intervalo. Sin embargo el teorema se puede aplicar en cualquier otra parte del dominio de la curva en

    TEOREMA SOBRE LA LOCALIZACIN DE RACES REALES Si F(x) es continua en el intervalo (a, b), y si F(a) y F(b) son de signos diferente, entonces existe un nmero impar de races reales en dicho intervalo.

  • 8

    donde no hay discontinuidad.

    Como se puede observar, la grafica nos proporciona un valor aproximado a la raz buscada, sin embrago se puede prescindir de ella, dado que una tabulacin adecuada mostrara el cambio de signo de la funcin y por lo tanto el intervalo correspondiente a la raz

    Ejemplo 2.5 Hallar los intervalos de las races de la ecuacin: ( 9 + 15 * 0 Sol. Efectuando una tabulacin en el intervalo (-3, 9):

    X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F(x) -93 -29 5 15 7 -13 -39 -65 -85 -93 -83 -49 15

    De acuerdo con los cambios se concluye que las

    races se encuentran en los intervalos:

    (-2. -1), (1, 2), (8,9). Fig. 2.7 Grafica de y = ( 9 # 15 Los resultados se pueden comprobar con la grafica de la funcin.

  • 9

    Ejemplo 2.6 Cuantas races tiene la ecuacin 5 = 0? Sol.

    Existen dos cambios de signo en la funcin, sin embargo la ecuacin solamente tiene una raz (en el intervalo de 2 a 3), dado que el otro cambio de signo se encuentra en un intervalo en donde hay discontinuidad como se muestra en la figura.

    Fig. 2.8

    Existen dos tipos de mtodos numricos para calcular la raz de una ecuasion:

    a) De intervalo, en donde las formulas empleadas estn basadas en un par de valores que representan los lmites inferior y superior que comprenden a la raz. Estos mtodos son convergentes, ya que se acercan progresivamente a la raz a medida que crece el nmero de iteraciones.

    b) Abiertos, que en contraste con los de intervalo utilizan un solo valor de x o un par de ellos, pero no necesariamente encierran a la raz. Esto ocasiona que algunas veces divergen o se alejan de la raz a medida que crece el nmero de iteraciones. Sin embargo, cuando estos mtodos convergen, en general lo hacen mucho ms rpido que los mtodos de intervalo.

    2.2 Mtodo de aproximaciones sucesivas

    Este mtodo es de tipo abierto y se conoce tambin como Sustitucin Sucesiva o bien como iteraciones de punto fijo.

    x F(x) -3 -4 -2 -4.14 -1 -4.4 0 -5 1 -8 2 1 3 -2 4 -2.6

  • 10

    Consideremos la ecuacin: F(x) = 0 [2.1] Y sea x = a una raz de ella, es decir, F(a) = 0. Por medio de procedimientos algebraicos es posible obtener una ecuacin equivalente a la ecuacin 2.1 que tenga la siguiente forma:

    X = g(x) [2.2] El mtodo consiste en sustituir 2, un valor aproximado a la raz, en el segundo miembro de la ecuacin 2.2, obtenemos una nueva aproximacin para la raz, la cual denotaremos por: 3 * 4(2) Sustituyendo ahora 3 en la misma ecuacin se encuentra la siguiente aproximacin: * 4(3) El procedimiento se repite hasta llegar a la exactitud deseada, de acuerdo a un criterio de convergencia. As entonces para la n+1 sima aproximacin tendremos:

    53 * 4() Si a medida que n crece, a, se dice que el mtodo converge, en caso contrario, diverge.

    Criterios de convergencia

    Un criterio de convergencia es una medida del grado de aproximacin de una raz y puede emplearse en cualquiera de estos mtodos.

    Comnmente se utilizan dos criterios:

    a) Error absoluto: Se define como el valor absoluto de la diferencia entre dos iteraciones consecutivas, es decir 6 * | + 1 ( |

    b) Error relativo: si la magnitud de los nmeros implicados no se conoce de antemano, es ms recomendable usar este error, que se define como: 6 * 89:9: 8

    Entonces si a medida que n crece:

    disminuye, el mtodo converge

  • 11

    aumenta, el mtodo diverge

    Para utilizar estos criterios se calcula el error entre cada par de iteraciones; si disminuye, se continua hasta llegar a la raz; por lo contrario, si aumenta se debe parar y efectuar otro despeje de la forma x = g (x). Normalmente es necesario un mximo de tres iteraciones para comprobar la convergencia o divergencia. Para evitar calcular el error en cada paso, se puede observar la convergencia por la forma en que se van repitiendo las cifras de las aproximaciones, hasta llegar a ser iguales en dos aproximaciones consecutivas.

    Solucin:

    Del ejemplo 2.6 tenemos que la raz pedida se encuentra en el intervalo (1, 2) y por lo tanto el valor inicial puede ser: 2 * 15 De la ecuacin se obtiene el siguiente despeje: * 53 Sustituyendo en este despeje se obtiene las aproximaciones siguientes:

    3 * 1.42887 * 1.41096 * 1.40669 * 1.40568 * 1.40545 * 1.40539 * 1.40538 ? * 1.40538 @ * 1.40538

    Ejemplo 2.7 calcular la menor raz positiva de la ecuacin: ( 9 # 15 * 0 , por aproximaciones sucesivas; con una exactitud de 5 decimales ( = .00001)

    Nota: este mismo despeje funciona para la raz negativa; sin embargo para la raz mayor el despeje es: * 9 ( 15:. Comprobar que las otras races son: -1.21198 y 8.80644

  • 12

    La raz es: 1.40538

    Despeje: * ln 5

    Verificar que:

    El despeje: * ABC no converge para esta raz

    Las otras dos races son:

    -0.37142 y 0.6053

    Localizacin de la raz x f(x) -1 4.6 0 -1 1 2.3 2 12.6 3 24.9 4 25.4 5 -23.4

    Los intervalos de las races son: (-1, 0), (0, 1) y (4, 5). Para calcular la mayor: 2 * 4.5

    3 * 4.6176 * 4.6692 * 4.6914 * 4.7009 * 4.7049 * 4.7067 * 4.7074 ? * 4.7077 @ * 4.7078 32 * 4.7079 33 * 4.7079 3 * 4.7079 La raz es: 4.7079

    Ejemplo 2.8 Determinar la mayor raz de la ecuacin: 5 ( * 0, por aproximaciones sucesivas, con una exactitud de4 decimales.

  • 13

    Verificar que:

    El despejex * ( 2 Converge hacia la raz negativa

    Independientemente del valor

    inicial que se utilice.

    El despeje * 5 ln # 2

    Localizacin de las races:

    x F(x) -1.5 1.96 -1 -1 0 -3.46 1 -4.49 2 -4.93 3 -5.05 4 -4.96 5 -4.73 . .

    . .

    13 -0.54 14 0.14

    Los intervalos son: (1.5, -1) y (13, 14)

    Raz menor

    Despeje: * C ( 2 2 * (1.14 3 * (1.2442 * (1.2203 * (1.2166 * (1.2160 * (1.2159 * (1.21587 * (1.21586 ? * (1.21586 @ * (1.21586 La raz es: x = -1.21586

    Raz mayor

    Despeje: * 5 ln # 2 2 * 13.5 3 * 13.7042 * 13.76964 * 13.79043 * 13.79702 * 13.79911 .

    .

    32 * 13.80007 33 * 13.80007 La raz es: x = 13.80007

    Ejemplo 2.9 Calcular las races de la ecuacin: ( 5 ln # 2 * 0, por aproximaciones sucesivas, con una exactitud de 5 decimales.

  • 14

    converge hacia la raz positiva

    independientemente del valor

    inicial que se utilice.

    Para calcular la mayor raz es necesario el siguiente artificio algebraico:

    Sumando y restando x a los dos miembros de la ecuacin:

    + * + 3 sin # 1 * # 3 sin # 12

    Comprubese que:

    El despeje: * 3 sin # 1 converge a la primera raz: x = -2.86825

    El despeje: * FG sin 3H ( 1 Converge a la segunda raz: x = -1.53847

    Tabulacin

    x f(x) -3 -0.27

    -2 0.52

    -1 -1

    0 -2.52

    1 -1.72

    x2 1.58

    Intervalos de las races: (-3, -2), (-2,-1) y (1, 2)

    2 * 1.5 .. 3 * 1.6477 .. * 1.5349 . * 1.6226 * 1.5850

    La solucin es: x = 1.5850

    Ejemplo 2.10 Localizar las races de la ecuacin: ( 3 sin # 1 * 0 y calcular la mayor de ellas por aproximaciones sucesivas, con 4 decimales exactos.

  • 15

    INTERPRETACIN GEOMTRICA DEL MTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS

    Recordemos que el problema original es encontrar la raz de la ecuacin:

    f(x) = 0 [2.3] Posteriormente se obtiene la ecuacin equivalente:

    x = g(x) [2.4] Y se resuelve esta ltima. Puesto que las ecuaciones 2.3 y 2.4 tienen la misma solucin, se ha resuelto del problema original.

    La ecuacin 2.4 sin embargo, se puede descomponer en un sistema simultneo de ecuaciones de forma:

    y = x

    y =g(x) [2.5] Y al resolver el sistema tendremos la solucin buscada. Grficamente el sistema representa una recta y una curva. La interseccin de estas dos es la solucin de dicho sistema, por lo tanto la abscisa del punto de interseccin corresponde a la raz del problema original.

    Fig. 2.9 Interpretacin geomtrica del mtodo

    La convergencia o divergencia de este mtodo se puede observar grficamente mediante es siguiente procedimiento:

    A partir del valor inicial 2, la primera aproximacin 3 * 4(2) se puede obtener trazando una vertical hasta cortar a la curva y despus una horizontal hasta cortar

  • 16

    a la recta (en donde abscisas y ordenadas son iguales). Las dems aproximaciones se obtienen de manera similar.

    Fig. 2.10 convergencia y divergencia del mtodo de aproximaciones sucesivas

    La grafica muestra dos casos de convergencia (a y b) y dos divergencias (c y d). Se observa que existen dos tipos de patrones tanto para la convergencia como para la divergencia: montono (a y c) y oscilatorio o en espiral (b y d).

    Ntese que la convergencia ocurre nicamente cuando el valor de la pendiente de y = g(x) es menor (en valor absoluto) que la pendiente de y = x. se establece entonces el siguiente teorema:

    TEOREMA

    El mtodo converge si: -1

  • 17

    De esta manera se puede determinar si un despeje especifico tiene convergencia o no, derivando de la funcin g(x) y sustituyendo en la derivada un valor cercano a la raz.

    Sin embargo, la aplicacin de este teorema tiene las siguientes desventajas: Hay que derivar. En ocasiones -1 < g(2) < 1, lo cual indica que converge, pero puede ser

    que no converja a la raz buscada, si no a otra que se encuentra cerca. Es por esto que la tcnica empleada en los problemas anteriores(sustituir directamente en los despejes) es ms recomendable, por la rapidez y credibilidad. En los siguientes ejemplos se muestra la forma de utilizar este teorema.

    Nota: la ecuacin tiene dos races, con intervalos: (1, 2) y (12, 13). Verifquese que para el primer despeje -1

  • 18

    Nota: en ambos casos g (2) apenas rebasa el lmite entre la convergencia y la divergencia; esto quiere decir que el patrn de convergencia o divergencia es muy lento (en este caso se llega a la raz 1.4387 en ms de 50 iteraciones).

    g(x) = arcsin( 3 ) g(x) = 3L3/@ g(-2.5) = 0.603 De acuerdo a este resultado debe de converger; sin embargo si se realizan los clculos se puede comprobar que no converge hacia esta raz negativa si no a la raz x = 0 (que se encuentra cercana).

    Despeje

    g(x) = L( + 5)/11 g(x) = /L11( + 5) g(1.4) = 1.07

    Por ser > 1, No converge

    Despeje

    g(x) = 1/2 ln(11 5) g(x) = 3333 g(1.4) = 0.92

    Por ser < 1, SI converge

    Ejemplo 2.12 Qu despeje converge para la raz de la ecuacin: 11 5 = 0 que se encuentra en el intervalo (1. 3, 1.5)?

    Ejemplo 2.13 para la ecuacin: x 3sin = 0 converge el despeje x = arcsin( 3 )para la raz en el intervalo (-3, -2)?

  • 19

    2.3 Mtodo de NEWTON-RAPHSON

    Consideremos la ecuacin: F(x) = 0 y un valor 2 cercano a la raz de la ecuacin. La expansin de Taylor de la funcin alrededor de 2 ser: () * (2) +( ( 2)(2) + (O)! (2)+ (O)! (2) ++ (O)! () Tendremos ahora una ecuacin de grado infinito, sin embargo, un valor aproximado de la raz se puede obtener tomando solamente dos trminos de la serie:

    (2) + ( ( 2)(2) * 0 Despejando x se obtiene:

    * 2 ( (2)(2) Ahora x constituye una mejor aproximacin a la raz, y se puede remplazar a 2, con lo cual encontraremos una nueva aproximacin, y as sucesivamente. En general, para la n + 1-esima aproximacin tendramos la siguiente frmula:

    53 * ( Q()Q() [2.6]

    Interpretacin Geomtrica

    El patrn de la convergencia de este mtodo se obtiene trazando una recta tangente en el punto (2, (2)); la interseccin de esta recta con el eje X nos dar una estimacin de la raz, 3. Las dems aproximaciones se obtienen de igual manera.

    El esquema grafico se observa en la siguiente figura.

  • 20

    Fig. 2.11 Esquema grafico del mtodo de Newton-Raphson

    Localizacin de la raz x f(x) 0 -3 1 -3.16 2 -1.36 3 -4.7 4 -19.1 5 -31.9 6 -19.1 7 22.2

    Intervalo: (6, 7)

    Ejemplo 2.14 Utilizar el mtodo de Newton-Raphson para calcular la menor raz positiva de la ecuacin: sin ( * 3, con 8 decimales exactos.

  • 21

    Valor inicial: 2 * 6.5 Derivada: F(x) = 2xsin + cos 1 Utilizando la formula [2.6] se obtienen los siguientes resultados:

    3 = 6.5 2.333?2.2? = 6.50954959 = 6.50954959 2.222.33 = 6.50953209 = 6.50953209 ?.32ST.3??? = 6.50953209 La solucin es: x=6.50953209

    Nota: Esta funcin tiene un nmero infinito de races. Considerando el intervalo

    (-10,10) las races restantes son: -9.35208675, -6.3663385, -3.12846645 y 9.28172927

    Intervalo: (2,3) Valor inicial: 2 = 2.5 Deriva: U() = 6

    3 = 2.5 0.79376515.138729 = 2.6544672 = 2.6544672 0.3318539.679880 = 2.6201844 = 2.6201844 0.01971498.542826 = 2.6178767

    Tabulacin x f(x) 0 0 1 -0.72 2 1.22 3 -6.25

    Ejemplo. 2.15 Calcular la mayor raz positiva de la ecuacin: 2 =0, utilizando el mtodo de Newton-Raphson, con 8 decimales exactos.

  • 22

    * 2.6178767 ( (8.510(8.469080 * 2.61786661 * 2.61786661 ( 3.210

    (8.4687585 * 2.61786661

    La solucin es: x= 2.61786661

    Nota: si seleccionamos valores inciales comprendidos entre 2 y 2.5, se podran obtener resultados no deseados. Esto se deb a que la funcin tiene un mximo dentro de este intervalo, que produce que las siguientes aproximaciones se alejen de la raz pedida y ocasionalmente convergan hacia otras races.

    2 * 2.2 3 * (6.8085 * (4.5391 * (3.0269

    ..

    ..

    33 * (0.53984 3 * (0.53984

    Converge hacia la raz NEGATIVA

    Por ejemplo: 2 * 2 3 *1.3333 *1.50828 *1.48817 *1.48796 *1.48796 *1.48796 Converge hacia la MENOR raz positiva

  • 23

    Intervalo: (1.5,2) Valor inicial: 2 * 1.8 Derivada: VU$ * 12 ( 24 # 9

    3 * 1.8 (0.1484.68 * 1.76837607

    * 1.76837607 (0.00947424.084821 * 1.76605670

    * 1.76605670 (4.95510

    4.0421144 * 1.76604444

    * 1.76604444 ( 04.0418891 * 1.76604444

    La raz es: 1.76604444

    Verifquese que las otras races son: 0.06030738 y 1.17364812

    Localizacion de la raz: x F(x) 0 -0.5

    1 0.5

    1.5 -0.5

    2 1.5

    3 26.5

    Ejemplo 2.16 Calcular la mayor raz positiva de: 4 ( 12 # 9 ( 0.5 * 0 utilizando el mtodo de Newton, con una aproximacin de 8 decimales exactos.

  • 24

    2.3.1 PROGRAMACIN DEL MTODO DE NEWTON-RAPSHN El programa correspondiente a este mtodo est dado a continuacin. Se puede observar que la funcin y la derivada se deben definir dentro del programa, mientras que el valor inicial se proporciona como dato. En este caso se calcula la raz de la ecuacin: $. # 2 ( 8 * 0 en el intervalo (0,1).

  • 25

    La ejecucin del programa se realizo con un valor inicial de 0.5. el programa imprime en cada iteracin los valores de la aproximacin de la raz, asi como la funcin y la derivada para dicho valor.

    Valor inicial:

    Xo = 0.5

    Iter Aproximacin Funcin Derivada 0 0.5000000000 -54744213135 -4.0116279952 1 0.3635413568 0.0429762642 -4.6393337077 2 0.3728048129 0.0001944290 -4.5973305689 3 0.3728471046 0.0000000041 -4.5971384607 4 0.3728471055 0.0000000000 -4.5971384567

    La raz es: 0.3728471055

    2.4 MTODO DE BISECCIN Este mtodo es del tipo de intervalo, que consiste en reducir el intervalo en donde se encuentra la raz dividindolo a la mitad en cada paso, de tal manera que la raz se encuentra localizada en cada nuevo intervalo.

    El algoritmo es el siguiente:

    1. Se considera un intervalo (a, b) en donde se encuentra la raz, esto es F(a) y F(b) son de signos diferentes.

    2. La primera estimacin de la raz se obtiene calculando el punto madio:

    * F + W2 ; YZ: F(a) y F (c) son de signos diferentes entonces el nuevo intervalo es: (a, c) F(c) y F (b) son de signos diferentes entonces el nuevo intervalo es: (c, b)

    Tales situaciones se muestran en las siguientes figuras.

  • 26

    3. El procedimiento se repite para las siguientes aproximaciones, hasta llegar a la exactitud deseada.

    En este mtodo es posible determinar aproximadamente cuantas bisecciones se necesitan para llegar a la exactitud requerida.

    Por ejemplo supongamos que el intervalo inicial tiene una longitud de 1 unidad, y que se desea una exactitud de 6 * 110. Despus de una biseccin el nuevo intervalo ser de 3 unidad de longitud. Despus de dos bisecciones este ser de 3

    unidades y despus de n bisecciones el intervalo medir

    3

    unidades.

    Dado que la raz se encuentra a la mitad del ltimo intervalo hallado, y el error en la raz no ser mayor que la mitad de dicho intervalo, el criterio del error se satisface si:

    1212 \ 6, WZ

    1253 \ 10

    Esta desigualdad se satisface para n] 19. Ntese que este resultado es independiente del tipo de funcin correspondiente a la ecuacin.

    Ejemplo: 2.17 Calcular la menor raz positiva de: ( 8 # 10 # 12 * 0 utilizando el mtodo de la BISECCION, con una exactitud de 4 decimales.

  • 27

    Intervalo inicial: (2,3), en donde a = 2, b = 3

    La primera aproximacion a la raiz sera el punto medio: * (5) * 2.5 Puesto que f (2.5) = 2.625 y f (3) = -3. El nuevo intervalo sera: (2.5,3) La segunda aproximacion: (2.5+3)/2=2.75 ; f (2.75) = -0.2031 El nuevo intervalo: (2.5 , 2.75)

    La tercera aproximacion: .5. * 2.625; V2.625 * 1.2129 El nuevo ontervalo: (2.625,2.75) La cuarta aproximacion: (2.625+2.75)/2 = 2.6875; f (2.6875) = 0.5046 El nunevo intervalo: (2.6875, 2.75) Despues de repetir el procedimiento, en las iteraciones 13 y 14 se llega finalmente a la convergencia, con la exactitud pedida:

    X = 2.7320

    Nota:

    Para obtener una exactitud de 10 decimales son necesarias 35 iteraciones, despues de las cuales converge al valor: 2.7320508076.

    Tabulacin: x f (x) 0 12 1 15 2 8 3 -3

  • 28

    Se observa en la grafica que la curva parece tocar al eje X en la vecindad de x = 2; la tabulacion nos muestra que no es asi, y por lo tanto la raiz se encuentra en el intervalo (3,4). Utilizando un programa de computacion se obtienen los siguientes resultados:

    INTERVALO PTO. MEDIO F (x) Iter 3.000000 4.000000 3.50000000 0.2970945392 1 3.000000 3.500000 3.25000000 -2.8571888915 2 3.250000 3.500000 3.37500000 -1.3654189181 3 3.375000 3.500000 3.43750000 -0.5542428087 4 3.437500 3.500000 3.46875000 -0.1334144898 5 3.468750 3.500000 3.48437500 0.0806537832 6 3.468750 3.484375 3.47656250 -0.0266799557 7 3.476563 3.484375 3.48046875 0.0269123896 8 3.476563 3.480469 3.47851563 0.0000975386 9 3.476563 3.478516 3.47753906 -0.0132958840 10 3.477539 3.478516 3.47802734 -0.0066003409 11 3.478027 3.478516 3.47827148 -0.0032516931 12 3.478271 3.478516 3.47839355 -0.0015771502 13 3.478394 3.478516 3.47845459 -0.0007398241 14 3.478455 3.478516 3.47848511 -0.0003211473 15 3.478485 3.478516 3.47850037 -0.0001118055 16 3.478500 3.478516 3.47850800 -0.0000071337 17

    La raiz es 3.4785079956

    Ejemplo 2.18 Hallar la menor raz positiva de la ecuacin:|| ( 4 * 0 utilizando el mtodo de la biseccin, con un error aproximado de 0.00001

    Tabulacin:

    x F (x) 0 -4 1 -3.16 2 -0.36

    2.2 -0.087 2.3 -0.055 2.4 -0.109 3 -2.73 4 8.11

  • 29

    2.41. PROGRAMACION DEL METODO DE LA BISECCION

    El programa utilizado para resolver el ejemplo 2.18 se muestra a continuacion. Se observa que la funcion esta definida en el programa, y que los datos son los limites del intervalo.

  • 30

    2.5. MTODO DE LA FALSA POSICIN Este es un mtodo de intervalo y se conoce tambien como REGLA FALSA, o bien como REGULA FALSI. La reduccin del intervalo se obtiene de forma diferente L mtodo de la biseccin. El algoritmo es el siguiente:

    Graficamente el metodo consiste de los siguiente:

    1. Se considera un intervalo (a,b) en donde se enecuentra la raiz, esto es: F(a) y F (b) son de signos diferentes.

    2. La primera aproximacin 2 se determina por la interseccin con el eje X de la recta que une los puntos (a,F(A)) y (b, F(b)).

    3. Entonces si: F(a) y F($2) son de signos diferentes, el nuevo intervalo es (A, 2) F(b) y F(2) son de signos diferentes, el nuevo iintervalo (2, W 4. Las siguientes aproximaciones se obtienen de forma similas, hasta llegar a

    la raiz.

    La siguiente grafica muestra las situaciones referidas en el paso 3:

    Fig. 2.13 Esquema grafico del metodo de la Regla Falsa.

    Se observa en la secuencia grfica que las aproximaciones a la raz se obtienen reemplazando a la curva por una recta. De aqu el nombre de regla falsa o falsa posicin.

  • 31

    De la Fig. 2.13 (a) se establece la siguiente ecuacin (utilizando tringulos semejantes) Q()_O * Q(`)`_O Despejando a $2:

    $2 * F(W) ( W(F)(W) ( (F) De la misma manera se obtiene la siguiente aproximacion:

    $2$3 ( $2 * ( (W)W ( $3

    $3 *$2(W) ( W($2)(W) ( ($2) Y en general, para la aproximacin n+1:

    $53 * $(W) ( W($2)(W) ( ($2) Sim embargo esta frmula no se puede considerar general, dado que al analizar la figura 2.13 (b) se obtienen los siguientes resultados:

    $2 * F(W) ( W(F)(W) ( (F) $3 *$2(a) ( b($2)(F) ( ($2) $53 * $2(F) ( b($)V(F) ( ($)

    Se observa que existen dos frmulas diferentes para el clculo de las aproximaciones (de $3en adelante) dependiendo si el pivote para el trazado de las rectas es el punto (a, F(a)) o (b,F(b)). Ser necesario entonces establecer un criterio para determinar cual es la formula que se uliza, segn sea el caso. Por ejemplo de la fig.2.13 (a) tenemos que F($2) y F(b) son de signo contrario, mientras que de la fig.2.13 (b) F($2) y F(a) tienen diferentes signos. Entonces en general, pata la primera aproximacin:

    [2.7] $2 * F(W) ( W(F)(W) ( (F)

  • 32

    [2.8]

    En doonde: p = a si F ($) y F(a) son de signos diferenetes P = b si F($2) y F (b) son de signos diferentes. Como todos los mtodos de intervalo, este mtodo siempre converge; sin embargo, comparado con el de Newton es de convergencia ms lenta, por lo que se recomienda reducir el intervalo(cuando se use una calculadora no programable). Nomalmente la reduccin con incrementos de 0.1 es suficiente para obtener el resultado en forma rapida. Por ejemplo, la mayoria de los problemas se pueden resolver con una aproximacin de 4 6 decimales utilizando 3 iteraciones.

    53 * (c) ( c()(c) ( ()

    Ejemplo 2.19 Determinar la raz negativa de la ecuacin: $ ( + 5 * 0, por el mtodo de la Regula Falsi, con una aproximacin de 6 decimales exactos.

    Localizacin de la raz:

    X F(x)

    0 4

    -1 3.63

    --------- ---------

    --------- ---------

    -1.7 -0.095684

    -1.6 0.702103

    -------- ---------

    -------- ---------

    -2 -3.13

  • 33

    Entonces:

    a = -1.7 F(a) = -0.095684 b = -1.6 F(b) = 0.702103

    2 * Q(`)`Q()Q(`)Q() * (3.)(.232)(3.)([email protected]?)(.232)([email protected]?) * (1.688006 F(2 * .005365, por lo tanto el pivote es a

    3 = 2(F) F(2)(F) (2) = (1.688006)(.095684) (1.7)(. 005365)(.095684) (.005365)= 1.688643, (3)0.0000374 = 3(F) F(3)(F) (3) = (1.688643)(.095684) (1.7)(. 0000374)(.095684) (.0000374)= 1.688648, () = 2.6110 = (F) F()(F) () = (1.688648)(.095684) (1.7)(2.6110

    )(.095684) (2.6110)= 1.688648 Solucin: x = -1.688648

    NOTA SOBRE EL PIVOTE

    Como se puede observar del ejemplo 2.19, el pivote a es el limite inferior de todos los intervalos, y por lo tanto, a y F(a) siempre aparecen en las frmulas para cada aproximacin. Esto quiere decir que F(a) y F() son de signo diferentes. Sin embargo en ocasiiones puede ocurrirun cambio de signo de la funvion y por lo tanto la conveniencia de utilizar otro pivote: es decir cuando F() y F(53) son de signo contrario, entonces el nuevo pivote es . Esta situacin se presenta cuando la funcin tiene un punto de inflexin muy cercano a la raz; no obstante, si el pivote se mantiene igual se llega a la convergencia sin ningun contratiempo.

  • 34

    Fig. 2.14 Cambio de pivote en el mtodo de Regla Falsa

    En la grafica se muestra como la funcin es negativa y el lmite superior de cada intervalo es p; sin embargo cerca de la raz existe un cambio de curvatura(punto de inflexin) y la funcin F(53) pasa a ser positiva, y por lo tanto cambiat el pivote y el nuevo intervalo ser: (, 53. 2.5.1. PROGRAMACIN DEL MTODO DE LA REGLA FALSA A continuacin se presenta el programa correspodiente a este mtodo y una corrida para calcular la raz positiva de ecuacin ( # 5 * 0

  • 35

  • 36

    rea del trangulo: FW2 * 35 Por teorema de pitgoras: FL(F + 1) F2 = 35 Mediante un desarrollo algebraico se obtiene la siguiente ecuacin: 2F + F 4900 = 0 La raz buscada de la ecuacin se obtiene la siguiente ecuacin: 2F + F 4900 = 0 La raz buscada de la ecuacin se encuentra en el intervalo: (13,14)

    Por la sencillez de la ecuacin seleccionemos el mtodo de Newton con una aproximacin de 3 decimales exactos. Derivada: F(a) = 6F+ 2

    Valor inicial: F2 = 13.5 F3 = 13.318 F = 13.316 F = 13.316

    Grafica del tanque:

    Volumen: V CILINDRO + V ESFERA

    V= 10G + 3G = 100

    Simplificando: 4G + 30G 300 = 0 La raz se encuentra en el intervalo: (1,2)

    Utilizando Newton- Raphson:

    Derivada:

    F(G) = 12G + 60G

    Valor inicial: G2 = 1.5 G3 = 1.6189 G = 1.618 G = 1.618

    El radio es: G = 1.618e

    NOTA: la ecuacin tiene otras dos races: -7.015 y -2.103, sin embargo stas no tienen ningn significado para este problema.

    Ejemplo: 2.21 Se desea disear un tanque de almacenamiento de gas propano con la forma de un cilindro circular recto de 10ft de longitud, con una semiesfera unida a cada extremo. Calcular el radio necesario para que el volumen sea de 100VY.

  • 37

    Sust W = 1800:

    2600(1- 0.512.2f)- 1800 = 0

    Simplificando:

    13(1- 0.512.2f) -1800 = 0

    Localizando la raz:

    t F(t) 10 -3.31 15 -1.45 19 -0.2209

    20 0.04782

    Intervalo (19, 20)

    Utilizando Regla Falsa: Y2 * (19)(. 0478) (20)(.2209)(. 0478) (.2209) Y2 = 19.822

    F(Y2)=.0017; pivote = a

    Y3 = (19)(. 00107) (19.822)(.2209)(. 00107) (.2209) Y3 = 19.818; f(Y3) = 2.410 Y = 19.818

    Por lo tanto. La edad aproximada es de: 19.818 aos --------------------------------------------------

    Este problema, sin embargo se puede resolver en forma algebraica:

    13(1-0.512.2f) = @3 Sacando raz cbica:

    0.512.2f = 1 ( @3)f/ 2.2f = 1 ( @3)f/0.51

    Aplicando logaritmos a los dos miembros se obtiene la solucin exacta:

    Y = g h1 1 (9/13)i0.075

    Ejemplo 2.22. El peso W (en Kg) de una poblacin de elefantes africanos hembras est relacionado con la edad t (en aos) mediante la frmula: W = 2600(1 0.512.2f) Estimar la edad de una hembra adulta que pesan1800 Kg.

  • 38

    Ejemplo: 2.23. Una masa de 1 Kg de CO est contenida en un recipiente a una temperatura de 215K y una presin de 70 bars. Calcule el volumen del gas utilizando la ecuacin de estado Van Der Waals para un gas no ideal dada po: kc + lm (n ( W) * op, en donde: R= 0.08314 bar-e/q4mil-r p = presin (bars) a = 1.463 bar e/(kg mol) T= temperatura(q) b = 0.0394 e/kg mol v= volumen especifico (e/kg mol) Determinar el volumen especifico v(en e/kg) y comparar los resultados al calcular el volumen utilizando la ecuacin de estado para gases ideales: p v =RT

    Sustituyendo valores en la ecuacin de Van Der Waals:

    s70 + 1.463n t (n 0.0394) = (0.08314)(215) s70 + 1.463n t (n 0.0394) 17.8751 = 0

    Utilizando Regla Falsa:

    a = 0.2 F(a) = 0.75916 B =0.3 F(b) = 4.6031

    n2 = 0.2142, (n2) = 0.06748; ucZnY = W n3 = 0.2154, (n3) = 0.00557 n = 0.2155, (n) = 0.000456

    El volumen es: 0.2155 e/kg-mol

    Dividiendo entre el peso molecular: n = 0.215528 = 0.0077e/q4 = 7.7 ve/q4

    Utilizando la ecuacin de edo. De gas ideal:

    n = opc = (0.08314)(215)70 n = 0.255e/r4 eu n = 0.0091e/r4 n = 9.1ve/q4

  • 39

    PROBLEMA DE APLICACIN: CRECIMIENTO DEMOGRFICO. La dinmica de crecimiento demogrfico es de importancia en todos los planes de estudio de ingeniera. Los programas de construccin y de distribucin de recursos en proyectos a gran escala, tales como abastecimiento de agua y sistemas de transporte, dependen en gran medida de las tendencias de la poblacin. Adems las tendencias de otro tipo de poblaciones, tales como microbios, son importantes en problemas tales como tratamiento de basura, manejo de la fermentacin y la elaboracin de productos farmacuticos.

    Si consideramos que el crecimiento de una poblacin P se describe mediante la ecuacin diferencial:

    vwvY * qw, q > 0 Entonces P(t) sigue un crecimiento no acotado (dado que la solucin de la ecuacin anterior es P = c xf). En muchos casos esta ecuacin provee un modelo poco realista del crecimiento de una poblacin. Cuando el alimento no escasea, el crecimiento se limita solo por el consumo de productos txicos o de espacio, si es que el tamao de la poblacin crece demasiado. Con el tiempo estos factores retardan la tasa de crecimiento de la poblacin y la detienen completamente cuando sta alcanzan una densidad mxima P max . en este caso se modifica la ecuacin anterior de la siguiente manera:

    vwvY * qw(wmaxw) Esta ecuacin fue estudiada por primera vez en 1840 por el matemtico biolgico belga P.F. Verhulst, y se conoce como ecuacin logstica.

    La solucin de esta ecuacin esta dad por la funcin:

    P (t) = z{|C35}~{|C~ O 3BS({|C):

    En don de w es la unidad de poblacin inicial. La siguiente grfica muestra un modelo logstico de crecimiento demogrfico. Las curvas logstica han demostrado ser bastantes exactas para predecir los modelos de crecimiento, en espacio restringido, de cierto tipo de bacterias, protozoos, pulgas de agua(Daphnia) y moscas de fruta (Drosophila).

  • 40

    Este modelo simula un crecimiento inicial lento, despus una aceleracin en el mismo, seguido por un periodo de nivelacin.

    Fig, 2.15 Grafica de crecimiento demogrfico

    Ejemplo: 2.24 considrese el crecimiento de una poblacin bacteriolgica en un lago. Inicialmente la poblacin es de 10 clulas por litro. A los 60 das la poblacin alcanza una densidad de 15,000 clulas por litro, siendo la tasa de crecimiento K de 210 litros por clula por da. Se requiere calcular la densidad de la poblacin bacteria a los 90 das. Si su nmero excede las 40,000 clulas por litro, entonces la calidad estndar del agua requiere la implementacin de algn procedimiento para disminuirlas y proteger a las personas que se introduzcan al agua.

    Supngase que el crecimiento se comporta de acuerdo al modelo matemtico de Verhulst.

  • 41

    Sust. Los datos en la funcin logstica:

    1500 = w1 + z32 1 (32S )(2)z Esta ecuacin solo tiene una incgnita: P max. El procedimiento consiste en resolverla y despus simplemente sustituir t = 90 en la ecuacin logstica para encontrar la densidad de poblacin correspondiente. Puesto que la ecuacin es complicada para derivarla, se utilizara el mtodo de la Regla Falsa. Para facilitar el desarrollo matemtico, sustituyamos la variable Pmax por la variable x de tal forma que la ecuacin quede de la forma: F(x) = 0. 1 + 32 1 2.2223 = 15000 = 0

    Para encontrar el intervalo de la raz, se deber tomar en cuenta que la solucin es mayor que 15000, por lo tanto una buena tcnica seria tabular valores de 20,000 en adelante con incrementos de 10,000:

    2 = F(W) W(F)(W) (F) = (60000)(2746) (65000)(4049)2746 + 4049 = 62979 (2) = 312.7; por lo tanto el pivote es b.

    3 = 2(W) W(2)(W) (2) = 63186, (3) = 20

    x F(x) 20000 -14890 30000 -14638 40000 -13820 50000 -11266 60000 -4049 70000 12197

    x F(x)

    a 60000 -4049 F(a) b 65000 2746 F(b)

  • 42

    * 3(W) ( W(3)(W) ( (3) * 63199, () = 1.27

    = (W) W()(W) () = 63200, () = 0.08

    Asi entonces, Pmax = 63200 clulas por litro. Sustituyendo este valor en la ecuacin logstica, se obtienen que a los 90 das habr: w = 2235 OO:O 3BSC:OS ( OO)(TO) = 58,930 clulas /litro Lo cual quiere decir que el agua deber ser tratada, ya que excede el lmite de 40000.

  • 43

    PROBLEMAS PROPUESTOS

    En los siguientes problemas, hallar la raz o races indicadas en cada caso, utilizando cualquiera de los mtodos analizados en las secciones anteriores.

    1. La tercera raz de: ( 26 + 131 226 + 115 = 0

    2. La mayor raz positiva de: 20 30 + 5 = 0

    3. La raz de: g( 3) + 2 = 1

    4. La mayor raz de: / + 2 = 8

    5. La menor raz positiva de: x+ tan x = 0

    6. La raz de: + 5 + 2g = 0

    7. La segunda raz positiva de:B =

    8. La segunda raz positiva de: + 0.3 = 0

    9. Todas las races de:32 = 0, en el intervalo (0,2)

    10. Todas las races de: In x + 4cos x -3x = 0

    11. La menor raz positiva de: + = 15

  • 44

    Resolver los siguientes problemas:

    12. La concentracin C de cierto frmaco en la sangre t horas despus de ser inyectado en el tejido muscular, est dada por la expresin: C = f5f25f Cundo es mxima la concentracin?

    Sol. Despus de 4 hrs 29min 10seg

    13. Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcohol por galn dentro de un tanque que inicialmente contiene 400 gal, de cerveza con un 3% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el interior con una rapidez de 4 gal/min. Si el numero x de galones de alcohol que hay en el tanque despus de t min esta dado por la expresin:

    X = (400- t) [0.06 (4.6875x1032)(400-t)] En qu tiempo habr 9 gal de alcohol en el tanque? Sol. 4hrs, 5min, 33seg

    14. Determinar los puntos crticos(mximos, mnimos y puntos de inflexin) de la funcin: f(x) = 2 (

    Sol . Mximo para: x = - 0.29557, x= 2.2136195 Mnimo para: x = 0.2558944, x=1.7105376 Pts. De inflexin para: x = 0.2558944, x = 1.7105376

    15. Muchos campos de ingeniera requieren estimaciones exactas de la poblacin. Por ejemplo, para la transportacin, los ingenieros consideran necesario determinar po separado la tendencia de crecimiento demogrfico de una ciudad y de los suburbios adyacentes. La poblacin del rea urbana declina en funcin del tiempo de acuerdo con la expresin:

    w(Y) * wFeZxf + wFeF Mientras la poblacin suburbana crece de acuerdo a: Pa(t) = z35~{~O 3BS:i En donde Pu max, Ku, Pu min, p max, Po y K1 son parmetros derivados en forma emprica. Determnese el tiempo y los valores correspondientes cuando las dos poblaciones son iguales. Los valores de los parmetros son: Pu max = 120,000, Po = 5,000 Pu min = 60, 000, Ps max =3000,000, Ku = 0.04 F3 .

  • 45

    Sol 62.34 aos

    16. Dos escaleras se cruzan en un pasillo. Cada escalera esta colocada de la base de una pared a algn punto de la pared opuesta. Las escaleras se cruzan a una altura H arriba del pavimento. Dado que las longitudes de las escaleras son: a = 30ft, b = 20ft y que H = 8 ft, encuentre W, el ancho del pasillo. Sol. W = 16.212 ft

  • 46

    SISTEMAS SIMULTNEOS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

    3.1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definicin. Una ecuacin lineal es aquella en donde todas las variables o incgnitas estn elevadas a la primera potencia, no aparece ningn trmino con productos o cocientes entre incgnitas y no contiene trminos con funciones transcendentes.

    Tipos de solucin. Un sistema de ecuaciones lineales con n incgnitas puede tener tres tipos de solucin:

    *Solucin nica (sistema consistente). *Solucin mltiple (infinidad de soL, sistema dependiente). * No solucin (sistema inconsistente). Mtodos de solucin. Se clasifican en algebraicos y numricos:

    Suma y resta

    Algebraicos Igualacin

    Substitucin

    Regla de Cramer

    Directos Gauss

    Gauss- Jordan

    Numricos

    Iterativos Jacobi

    Gauss- Seidel

  • 47

    Solamente para sistemas en donde el nmero de incgnitas es igual al nmero de ecuaciones y que tenga solucin nica.

    Los mtodos algebraicos son recomendables para sistemas pequeos (2 o 3 ecuaciones) mientras que los mtodos numricos son ms adecuados para sistemas con mayor numero de ecuaciones.

    En los mtodos DIRECTOS se llega a la solucin (generalmente exacta) en un numero finito de pasos, mientras que en los ITERATIVOS se utiliza la tcnica de aproximaciones sucesivas. Para la mayora de los sistemas, los mtodos iterativos requieren de un mayor nmero de clculos que los empleados en los mtodos directos, para llegar a un grado de precisin preestablecido. Sin embargo, cuando los elementos no nulos de la matriz del sistema se acumulan a lo largo de la diagonal principal, siendo los elementos de la misma los mayores en valor absoluto, los mtodos iterativos pueden compararse favorablemente con los mtodos directos. Adems, debido a que los mtodos iterativos usan relativamente poca memoria, son particularmente ventajosos para resolver sistemas con un gran nmero de ecuaciones con las caractersticas antes mencionadas. Puesto que los mtodos directos se estudian ampliamente en otras materias, analizaremos solamente el mtodo iterativo de Gauss Seidel, dado que el de Jacobi es muy parecido pero de convergencia ms lenta.

    3.11.- METODO DE GAUSS SEIDEL

    Este mtodo utiliza la misma tcnica del mtodo de aproximaciones sucesivas, analizado en el captulo 2, con la diferencia de que en este caso habr n ecuaciones y n incgnitas, en vez de una ecuacin y una incgnita.

    Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

    F33$3 +F3$ +F3 $ +F3$ ++F3$ * W3 (1) F3$3 +F

    $ +F $ +F$ ++F$ * W (2) F3$3 +F$ +F $ +F$ ++F$ * W (3) F3$3 +F$ +F $ +F$ ++F$ * W (4) F3$3 +F$ +F $ +F$ ++F$ * W (n)

  • 48

    Sea la solucin inicial:

    $1(2) ,$2(2) ,$3(2) ,$4(2) , . ,$(2)

    Si los elementos de la diagonal no son nulos, se puede despejar a $3 de la ecuacin (t), a $ de la ecuacin (2).., y asi sucesivamente:

    $3 = `3(:_5:_5:_55:_):: $ = `(:_:5_5_55_) $ = `(:_:5_5_55_) . Etctera.

    Los valores de las nuevas aproximaciones se obtienen substituyendo en los segundos miembros de estas ecuaciones los valores actuales de cada incgnita. El procedimiento se repite hasta que convergan los valores para todas las incgnitas con la precisin.

    Asi entonces, para una iteracin K + 1 tendremos:

    $3(x53) = `3(:_()5:_()5:_()55:_()):: $(x53) = `(:_:(S:)5_()5_()55_()) $(x53) = `(:_:(S:)5_()5_()55_()) Etc.

  • 49

    Ntese que para cada calculo se emplea siempre los valores ms recientes de cada incgnita. El mtodo de JACOBI utiliza los valores de la iteracin anterior para el clculo de la siguiente, por lo cual su convergencia es ms lenta.

    El proceso termina cuando en dos iteraciones consecutivas el error para todas las incgnitas es menor que un valor establecido.

    El error absoluto para cada variable ser: Error =$(x53) ($Z(x) Para i = 1, 2, 3, , n

    3.2.- SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES El problema de encontrar la solucin de un sistema de ecuaciones no lineales es mucho ms difcil que para un sistema lineal, inclusive algunos sistemas no tienen solucin real. Para resolver este tipo de sistemas se pueden emplear mtodos estudiados anteriormente tales como:

    Iteracin de punto fijo Newton- Ranhson

    3.2.1.- MTODO DE ITERACIN DE PUNTO FIJO Consideremos el caso ms simple: un sistema de dos ecuaciones no lineales con dos incgnitas:

    F (x, y) = 0 G (x, y) = 0 Este mtodo utiliza la misma tcnica que el de la seccin anterior (Gauss- Seidel) , y consta de los siguientes pasos: 1.- seleccin de valores iniciales: 2, 2. Conversin de las ecuaciones originales a ecuaciones equivalentes de la forma:

    X = f(x, y) Y = g(x. y) 3.- substitucin de los valores actuales de las incgnitas en los despejes del paso 2 para obtener las siguientes aproximaciones:

  • 50

    X1 = f($2,2 -------------------------------------------- Y1 = g($3,2 --------------------------------------------- X2 = f($3,3 $ # 1 * V$, ) Y2 = g($,3 # 1 * 4$, )

    Si : 6 * |$ # 1 ($| y 6 * | ( 1 (| disminuyen, entonces el mtodo CONVERGE, en caso contrario, DIVERGE.

    4.- En caso de que no converja, se deber regresar al paso 2, efectuar otros despejes y repetir el procedimiento.

    INTERPRETACION GEOMETRICA

    Un sistema de dos ecuaciones no lineales representa, en general, dos curvas planas: la solucin es entonces la interseccin de estas curvas.

    Al aplicar este mtodo es conveniente utilizar la grafica para tener una estimacin de la solucin buscada y seleccionar adecuadamente los valores iniciales.

    Ejemplo 3.3 Hallar la solucin del sistema: $ # ( 3 ( 8 * 0 g$ ( 2 # 5 * 0 Utilizando el mtodo de iteracin de punto fijo, con una exactitud de 3 decimales.

  • 51

    Graficas de las curvas:

    Se observa que tiene una solucin nica y que esta se encuentra en el primer cuadrante.

    Una estimacin inicial puede ser: $2 * 3 2 * 1

  • 52

    Despejes: Las siguientes iteraciones:

    X = L8 + 3 = 2.8799 = 1.0625 Y = 5 = 2.8856 = 1.0615 Primera iteracin:

    X1 = L8 + 3(1) (1)(3) = 2.8284 = 2.8839 = 1.0618

    Y1 = (3)(.??)5(.??) = 1.0677 = 2.8845 = 1.0617

    Segunda iteracin:

    X2 = L8 + 3(1.0677) (1.0677)(2.8284) = 2.8983

    Y2 = (3.2)([email protected]?)5([email protected]?) = 1.0582 = 2.8843 = 1.0617 ? = 2.8843 ? = 1.0617

    Solucin: (2.8843, 1.0617)

  • 53

    CONVERGENCIA DEL METODO

    Como ya se sabe, la convergencia depende de los despejes. En general, un criterio de convergencia es el siguiente:

    El sistema de ecuaciones: Converge si, en un intervalo alrededor de la solucin:

    X = f (x, y, z,....) |V| + |V| + |V| + < 1 Y = g(x, y, z,.) |4| + |4| + |4| + < 1 Z = h(x, y, z,.) || + || + || + < 1 ------------------------ ------------------------------------------

    ------------------------ ------------------------------------------

    En donde:

    Fx= derivada parcial con respecto a x

    Fy= derivada parcial con respecto a y

    Fz= derivada parcial con respecto a z

    Asi sucesivamente.

    Del ejemplo 3.3 tenemos que:

    F = L8 ( 3 , g =5 Derivando:

    Fx = L?5 , gx= 3

    Fy = L?5 , gy=

    Sustituyendo x = 3 , y = 1:

    Fx = - o.1768 , gx = - o.2832

    Fy = 0.5303 , gy = 0.1831

  • 54

    Asi entonces:

    |V| + |V| = 0.7071 0 y despus con h

  • 102

    DEFINICION

    Una funcin f se dice que es diferenciable en x si:

    Existe.

    Si este lmite existe, se llama entonces derivada de f en x y se denota por f(x).

    5.1.2 DIFERENCIACION NUMERICA

    La derivada se puede calcular aproximadamente por diferenciacin numrica o aproximacin por diferencias.

    Para ilustrarlo, consideremos una funcin f(x) y supongamos que se desea evaluar la primera derivada en x = x0. Conociendo f(x0) y f(x0 + h), en donde h es el intervalo entre dos puntos consecutivos de la funcin, la derivada se puede aproximar calculando la pendiente de la secante que une estos dos puntos, y puesto que x0 + h est a la derecha de x0 se conoce como aproximacin por diferencias hacia delante.

    Lim

    5

    h 0

  • 103

    Finalmente consideremos dos puntos: uno a la izquierda y el otro a la derecha de x0, en este caso ser; aproximacin por diferencias centrales.

    Para obtener una estimulacin del error al usar aproximaciones por diferencias nos podemos basar en el desarrollo de la Serie de Taylor de la funcin alrededor de un punto.

    Por ejemplo, el desarrollo de Taylor de f(x1+1), la cual denotaremos por fi+1 alrededor de x1 est dado por la siguiente expresin:

    VZ # 1 * VZ # VZU # 2 VZ # W33 VZ +44 VZ g + En donde h = xi+1 x1

    Despejando a fi: Para despejar fi se divide ambos miembros de la serie de Taylor entre h y luego se despeja fi

    VZU * VZ + 1 ( VZ ( VZUU ( 14 VUUU (

    Si truncamos del segundo trmino en adelante tendremos la misma ecuacin (5.1) de aproximaciones por diferencias hacia adelante. Los trminos truncados conforman lo que se llama el error por truncamiento, y puerto que el termino ms significativo es (1/2) hfi tendremos:

  • 104

    En donde 0 (h) indica que el error es aproximadamente proporcional con el intervalo h, 0 que es del orden h.

    As entonces: error = -1/2 hfi.

    La aproximacin por diferencias hacia atrs de la primera derivada utilizando fi+1 y fi se obtiene de manera similar. El desarrollo de Taylor de fi+1 es:

    En donde: error hf i.

    La aproximacin por diferencias centrales utilizando fi+1 y fi-1 se puede obtener restando los desarrollos de Taylor correspondientes:

    Entonces:

    Se observa en este caso que el error es proporcional a h2 en vez de h, lo cual indica que el error disminuye, dado que h es un valor pequeo.

  • 105

    EJEMPLO 5.1.- Calcular aproximadamente f (3) para la funcin:

    V * + u ( 2 Utilizando diferencias hacia delante, hacia atrs y centrales. Con h = 0.1 y h =0.05, estimando en cada caso el error.

    Primero calculemos el valor exacto de la derivada. Derivando la funcin se obtiene:

    DIFERENCIAS HACIA ADELANTE. Utilizando la formula (5.1)

    Error = -0.224279

    DIFERENCIAS HACIA ATRS. Utilizando la formula (5.2)

  • 106

    DIFERENCIAS CENTRALES. Utilizando la formula (5.3)

    APROXIMACION POR DIFERENCIAS CON TRES PUNTOS

    Para una derivada de orden n, el nmero mnimo de datos necesarios para obtener una aproximacin por diferencias es n+1. As para una derivada de primer orden se necesitan dos puntos (como en la seccin anterior). Sin embargo si se utilizan ms puntos se obtiene una aproximacin mejor. Por ejemplo utilicemos tres puntos: fi, fi+1, fi+2 para obtener la primera derivada fi. Los desarrollos de fi+1, y fi+2 de la Serie de Taylor son:

    Combinando estas dos ecuaciones es posible eliminar los trminos de la segunda derivada; con esto el trmino principal de los errores de truncamiento es el de la derivada de tercer orden.

    Multiplicando la ecuacin (5.7) por 4 y restndole la ecuacin (5.8):

    Despejando a fi obtendremos la formula llamada.

  • 107

    Aproximacin por diferencias hacia adelante con tres puntos:

    Se puede observar que tiene un error similar al obtenido con diferencias centrales con dos puntos (formula 5.6). De una manera similar se puede obtener la frmula para

    Aproximacin por diferencias hacia atrs con tres puntos:

    O bien Aproximacin por diferencias centrales con tres puntos:

    Ejemplo 5.2 Resolver el problema del ejemplo 5.1, con h = 0.1, utilizando tres puntos.

    La funcin que se va a derivar es:

    V * + u ( 2

  • 108

    Entonces:

    Fi = f (xi) = F (3) = 10.09861 Fi+1 = f (xi+1) = F (3.1) = 9.76491 Fi+2 = f (xi+2) = F (3.2) = 9.50263 Fi-1 = f (xi-1) = F (2.9) = 10.52746 Fi-2 = f (xi-2) = F (2.8) = 11.08702

    a) Aproximacin por diferencias hacia delante.

    b) Aproximacin por diferencias hacia atrs.

    c) Aproximacin por diferencias centrales.

    Los errores obtenidos en el ejemplo anterior (utilizando dos puntos) son los siguientes: -0.22428, 0.52322 y -0.04747 para diferencias hacia delante, hacia atrs y centrales, respectivamente.

  • 109

    5.2 INTEGRACION NUMERICA

    5.2.1 INTRODUCCION.

    El teorema fundamental del clculo integral establece que:

    V()v * ()] * (W) ( (F)`

    En donde F (x) es una antiderivada o primitiva de f (x). Con este teorema se puede calcular el valor exacto de una integral definida, siempre y cuando sea posible encontrar la antiderivada de F(x). Sin embargo existen una gran cantidad de integrales llamadas no elementales, las cuales no tienen antiderivadas, y por lo tanto no se puede emplear el teorema.

    Algunos ejemplos clsicos de estas integrales son los siguientes:

    Los mtodos numricos para resolver estas integrales estn basados en la interpretacin grafica de una integral definida:

    SI F(x) es continua y positiva en el intervalo [a, b], entonces la integral V()v` es, numricamente igual al rea bajo la curva: y =f(x), limitada por el eje X y las rectas X = a, x = b.

    Entonces si V()v * 1` , el valor de la integral ser el mostrado en la figura.

  • 110

    En esta seccin se analizaran los siguientes mtodos:

    Regla de los trapecios. Regla de Simpson de 1/3. Integracin de Romberg.

    Los dos primeros mtodos se basan en la estrategia de reemplazar una funcin complicada o un conjunto de datos tubulares por una funcin polinimica mas fcil de integrar. As entonces:

    I= Vv * 4()v`` En donde g(x) es un polinomio de primer grado (recta) para el mtodo de los trapecios, o bien un polinomio de segundo plano (parbola) en el caso de Simpson. Estos esquemas de integracin son conocidos como frmulas de integracin de Newton Cortes. El ltimo mtodo (Romberg), es un mejoramiento de la regla de los trapecios, y se utiliza solamente cuando se tiene la funcin analtica.

    5.2.2 REGLA DE LOS TRAPECIOS

    Consideremos el problema de calcular el rea de la regin ilustrada en la fig. 5.1. Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual magnitud H, y denotemos por Y0, Y1, Y2,, Ya a las ordenes as obtenidas (fig. 5.2).

    El problema es ahora calcular el rea de una de las subregiones y sumarlas para hallar el rea total. Para tal efecto vamos a formar figuras geomtricas de rea conocida (trapecios), uniendo con segmentos rectilneos los puntos P0 y P1, P1 y P2,, y as sucesivamente.

  • 111

    La siguiente figura muestra, en ampliacin los dos primeros subintervalos. Las reas de los dos trapecios estn dadas por las siguientes expresiones:

    Sumando las reas de los n trapecios que se forman, se obtendr una aproximacin al rea buscada:

    A= H (y0 + y1) + H (y1 + y2) + H (y2 + y3) +.+ H (ya-1 + ya) Simplificando:

    A = H ( y0 + y1 + y2 + y3 +.+ ya-1 + yn) [5.12] En este caso de que la curva sea una funcin analtica de ecuacin y = f(x), limitada en un intervalo [a, b], entonces la regla de los trapecios se puede escribir de la siguiente forma:

    Vv * Y * 3 V(0 # V2 # # 3 V()` [5.13] En donde: H = (b a)/n, x0 = a, x1 = x0 + H,.., xa = b Es evidente que la aproximacin ser mejor a medida que aumente el nmero de subintervalos (n); sin embargo, para valores muy grande de n, el error puede aumentar debido a los errores de redondeo analizados anteriormente.

    Algunos de los ejemplos resueltos en las siguientes secciones se pueden resolver por clculo integral de una forma ms sencilla, sin embargo el objetivo es que el estudiante aprenda el mtodo y tenga ms referencia de comparacin con la solucin exacta.

  • 112

    Ejemplo 5.3 Determinar un valor aproximado para la integral # 2 # 1v2 por la regla de los trapecios, utilizando 4 y 8 intervalos.

    N = 4

    Formula: I H [ f(x0) + f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) ]

    Formula: I H [ f(x0) + f(x1) + f(x2) + f(x3) ++ f(xn) ] H = 3/8 = 0.375

    Sustituyendo en la frmula:

    I 17.08132

    El valor exacto de esta integral es g * 3 * 17.06666 ., por lo tanto el error disminuye para n = 8.

  • 113

    2.3 REGLA DE SIMPSON DE 1/3

    Consideremos el mismo problema correspondiente a la fig. 5.1; de igual manera dividamos en n subintervalos iguales (fig5.2). La diferencia entre este mtodo y el de los trapecios es que en vez de unir los puntos P0, P1,.., Pn por segmentos rectilneos, se unen por segmentos parablicos tomados los puntos de tres en tres, dado que una parbola queda definida por tres puntos.

    El procedimiento ser calcular el rea bajo la parbola de cada pareja de bandas, para finalmente sumar estas en reas. Es por esto que en este mtodo se debe emplear un nmero PAR de intervalos.

    Seleccionemos ahora los dos primeros intervalos y coloquemos unos ejes coordenadas de la manera que se muestra en la figura.

    Si la ecuacin de la parbola es: y = ax + bx + c.

    Entonces podremos calcular el rea bajo la parbola empleando el teorema fundamental del clculo integral:

    Para determinar los valores de a y c, se sustituyen las coordenadas de los puntos P0, P1 y P2 en la ecuacin de la parbola:

  • 114

    Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtienen los siguientes resultados:

    Sustituyendo a y c en la frmula para el rea:

    Procedimiento de igual manera con las dems parejas de intervalos, y sumando las reas obtenidas, tendremos el rea total:

    Simplificando: [5.14]

    Si la curva tiene por ecuacin y = f(x), en un intervalo [a, b], entonces el rea se obtiene mediante la integral definida:

    I* Vv` Y la formula anterior se escribe de la siguiente manera:

    [5.15]

    En donde:

    * W ( F

  • 115

    Ejemplo 5.3 Determinar un valor aproximado para la integral # 2 # 1v2 utilizando la regla de Simpson con 8 intervalos.

    H = 3/8 = 0.375

    Sustituyendo en la frmula 5.15:

    I 17.06666528

    Se puede observar que este mtodo es ms aproximado que el de trapecios (solucin exacta: I = 17.066666). Problema de aplicacin: Determinacin de la corriente R.M.S. mediante Integracin Numrica.

    Antecedentes: el valor promedio de una corriente elctrica oscilante durante un periodo puede ser cero. Por ejemplo supongamos que la corriente de describe mediante una senoidal simple: i (t) =( Y), en donde T es el periodo. El valor promedio de esta funcin se puede determinar mediante la ecuacin:

    Este resultado se muestra en la fig. 5.3 a. Como se puede ver, resulta una corriente neta igual a cero, ya que las reas positivas y negativas bajo la curva se cancelan.

    A pesar de que el resultado neto es cero, esta corriente es capaz de realizar un trabajo y generar calor. Por lo tanto los ingenieros electrnicos a menudo, simbolizan esta corriente mediante la expresin:

  • 116

    En donde IRMS se conoce como corriente RMS (raz cuadrada media; en ingls root mean square). El problema de cancelacin de signos positivos y negativos se evita elevando la corriente al cuadrado antes de calcular el promedio (Fig. 5.3 b).

    Supngase el siguiente problema:

    Ejemplo 5.4 La corriente en un circuito est dada por:

    Determinese la corriente RMS, en un periodo [0, T], para T= 1s, utilizando regla de Simpson con 8 y 16 intervalos.

    Para n = 8

    H = 0.5/8 = 0.0625

  • 117

    Tabulacin de la funcin f(t) = 100 e-2t sen2 (2 t )

    Para n = 16

    En este caso el valor de la integral es: 15.41277141; entonces:

    IRMS = 15.41277141 = 3.9259102 Amp Nota: El valor exacto de la integral es 15.4126081 (el cual se puede obtener con n 32). Estos mtodos de trapecios y de Simpson se pueden utilizar tambin para datos tabulares, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.5 El diseo de un nuevo aeroplano requiere un tanque de gasolina con un rea seccional constante en cada ala, como se muestra en la figura. El tanque debe tener una capacidad de 5000 lb de gasolina, cuya densidad es de 42 lb / ft3. Usar regla de Simpson para estimar la longitud del tanque.

  • 118

    Vol. = (rea) (Long.)

    En donde: Vol.= 222``/f= 119.048 ft3 rea =3 1.5 # 41.6 # 2(1.8 # 41.9 # 22 # 42.1 # 1.6 = 11.0333 ft2

    Long. = .B * 10.79 ft Ejemplo 5.6 Una forma de medir el bombeo cardiaco (cantidad de sangre que bombea el corazn en un min) es mediante la tcnica del medio de contraste. Esta consiste en inyectar de 5 a 10 mg de lquido de contraste una vena principal cerca del corazn. El lquido es vaciado en el lado derecho del corazn y despus bombeado a travs de los pulmones y sale por el lado izquierdo hacia la aorta, donde se mide la concentracin a cada segundo.

    La siguiente tabla muestra la respuesta de una paciente en descanso, a una inyeccin de 5.6 mg de lquido de contraste. Tambin se muestra la grfica de la concentracin en funcin del tiempo. Los datos se han ajustado a una curva suave. El tiempo se mide con t = 0 en el momento de la inyeccin. Las lecturas de la concentracin son cero al principio, mientras el lquido pasa a travs de los pulmones. Alcanza un mximo aproximadamente a las 9 segundos y declina a cero a los 30 seg.

  • 119

    El bombeo Cardiaco (en L/min) se calcula dividiendo los miligramos de lquido de contraste entre el rea bajo la curva de concentracin y multiplicando el resultado por 60:

    Bombeo Cardiaco = BB`l 60 Utilizar la regla de Simpson para calcular el bombeo cardiaco del paciente.

    Solucin:

    En este caso H = intervalo del tiempo = 1

    Aplicando regla de Simpson (a partir del sexto seg):

    rea = 3 1.5 # 438 # 267 # 480 # # 40.9 # 0] * 544.167 Bombeo Cardiaco = ..3{ 60

    = 0.617

    El error exacto es -0.11119943, de manera que se ha obtenido una estimacin razonable de la respuesta. Se sabe que si se multiplica n por 10, el error se dividir aproximadamente entre 100; de esta forma es fcil determinar qu tan grande debe ser n para dar un grado deseado de exactitud. Desde luego, en este ejemplo resulta fcil determinar f (x); en otros casos es difcil o imposible y entonces estas frmulas de error resultan de escasa utilidad; si embargo existe otra tcnica que se analizara ms adelante para resolver este problema sin necesidad de derivar.

  • 120

    ERROR EN LA REGLA DE SIMPSON

    En este caso se considera primero el rea de dos subregiones consecutivas, comprendidas dentro del intervalo [xr-1, xr+1], siguiendo un procedimiento similar al anterior, se obtiene el siguiente resultado:

    Podemos observar que el error es O (1/n4), y por lo tanto es menor que el de la regla trapezoidal.

    Considerando la misma integral del ejemplo anterior y el mismo nmero de bandas (10) se obtiene el siguiente resultado: Valor de la integral por Simpson: 0.477302454

    Valor exacto: 0.477302437

    Siendo entonces el error exacto: -1.7x10-8

    Calculemos ahora el error utilizando la formula (5.16): F(x) = e-x/2, derivando: fIV(x) = 1/16 e-x/2 As entonces, para el intervalo (1,2) el error se encuentra entre:

    Lo cual concuerda con el valor del error exacto.

    5.2.5.- USO REPETIDO DE LA REGLA TRAPEZOIDAL

    En la mayora de las aplicaciones prcticas de integracin numrica, no es factible diferencias el integrando, y las frmulas de error obtenidas anteriormente no tienen un uso directo.

    Entonces en necesario enfrentar el problema tal vez ms difcil de la integracin numrica; Cmo se decide la cantidad de bandas a emplear? No es suficiente solo tomar un gran nmero de bandas y desear que todo salga bien: por lo general

  • 121

    esto desperdiciar tiempo de computadora, y en ocasiones dar una exactitud inadecuada.

    En las siguientes secciones se ver la forma de resolver este problema de manera sistemtica y eficiente.

    Supngase que se desea evaluar la integral:

    Vv * g`

    Y sea In la aproximacin a I obtenida al emplear la regla trapezoidal con n intervalos. El problema consiste en decidir qu tan grande debe ser n de manera In se aproxime a I con la exactitud deseada.

    Un enfoque posible seria evaluar I1, I2, I3, I4, I5,.. Hasta que hubiera convergencia; pero esto sera desde luego muy laborioso.

    Un enfoque mucho ms prctico consiste en evaluar I1, I2, I4, I8, I16,.., ya que los valores de la funcin requeridos para In tambin se necesitan para I2n, de esta forma no se desperdicia ningn valor.

    El procedimiento es el siguiente:

    a) Consideremos primero el caso de un solo intervalo.

    b) Consideremos ahora dos bandas.

  • 122

    Sumando las reas de los dos trapecios:

    Sea: J2 = J1 + f (a + c) Entonces:

    I2 = 3

    J2 reas para dos bandas

    c) Para cuatro bandas La suma de las reas de los 4 trapecios es:

    Reduciendo trminos:

    Sea J4 = J2 + f(a + c) + f(a + c) Entonces:

  • 123

    d) Para ocho bandas En este caso:

    Entonces:

    Las dems aproximaciones se obtienen de manera similar. Se observa con este procedimiento que para calcular I2n se aprovechan los valores utilizados para In, obtenindose el resultado en menos tiempo.

    Sin embargo esta tcnica no se puede utilizar en la regla de Simpson, porque los coeficientes de las funciones dependen de n, y por lo tanto son diferentes para cada caso.

    Ejemplo 5.7 Calcular el valor de la integral: 3 -x/2 dx, con 4 decimales exactos, mediante el uso repetido de la regla trapezoidal.

    Datos: a = 1, b = 2, c = 1, f(x) = e-x/2 Una banda

  • 124

    Dos bandas

    J * J3 + fa +1 2H * 0.9596 g = 1 2H = 0.4798

    Cuatro bandas

    J = J + fa +1 4H C + fa +9 4H C = 1.9117 g = 1 4H = 0.4779

    Ocho bandas

    ? = + V(F +1 8H ) + VF +3 8H +V(F +5 8H + VF +2 8H = 3.8197 g? = 1 8H ? = 0.4775

    Diecisis bandas

    3 = + VF + 1 16H + VF + 3 16H + V(F+ 5 16H C) +VF + 7 16H + VF + 9 16H + V(F +11 16H C) +VF + 13 16H + VkF + 15 16H m = 7.6376

    x F(x)

    1.25 0.5698

    1.375 0.5028

    1.625 0.4437

    1.875 0.3916

    x F(x)

    1.5 0.4724

    x F(x)

    1.25 0.5353

    1.75 0.4169

    X F(x)

    1.0625 0.5879

    1.1875 0.5523

    1.3125 0.5183

    1.4375 0.4874

    1.5625 0.4578

    1.6875 0.4301

    1.8125 0.4040

    1.9375 0.3796

  • 125

    De manera similar, I n = 0.4773 (igual que el anterior), por lo tanto el resultado con cuatro decimales es exacto es: g * 0.4773

    5.2.6 INTEGRACION DE ROMBERG

    El procedimiento de la ltima seccin puede mejorar en gran medida al utilizar la tcnica conocida como integracin de Romberg. Se mostro antes que el error al emplear la regla de los trapecios 0 (g H ). En otras palabras:

    g = g + F H [5.17] En donde a es una constante. De manera semejante:

    g = g + F 4H [5.18] Multiplicado [5.18] por cuatro y restndole la ecuacin [5.17]:

    3g = 4g g O bien: g = g , en donde g = 1 gH (4g g) Es posible demostrar que g es la aproximacin a g que se obtendra al emplear la regla de Simpson con 2n bandas, y desde luego es de esperarse que g sea mas exacto g.

    Demostracin:

    Consideramos por ejemplo 4 y 8 intervalos con un acho de cada banda de 2H y H respectivamente. Utilizado trapecios: g = 2(2 + + + + 3) g? = (2 + 3 + + + + + + + ?) g3 = 1 3H (4g g) = = 3H (2 + 43 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + ?)

    Lo cual es g regla de Simpson para 8 bandas

  • 126

    Este proceso puede llevarse a una etapa ms lejos. Se sabe que el error en la regla de Simpson es O (1 )H , de manera que para valores pares en de n:

    g * g + H [5.19] Entonces: g * g + 16H [5.20] Al multiplicar la ecuacin [5.20] por 16 y restarle la ecuacin [5.19] se obtiene: 15g = 16g5 g5 De donde: g = 1 16H (16g5 g5) = g55

    Este valor ser una mejor aproximacin a g Continuando de la misma forma:

    g555 = 1 64H (64g55 g55) g5555 = 1 256H (256g555 g555)

    Y as sucesivamente. Es de esperarse que se obtenga aproximaciones a g cada vez mejores. La tcnica de integracin de Romberg consiste en obtener las siguientes aproximaciones a g:

    g3 gg5 gg5g55 g?g?5g55g555

    Hasta que dos valores sucesivos sean iguales con la exactitud deseada.

    Resumiendo, la forma de calcular todas estas aproximaciones es la siguiente:

    g3 = 3 g = 1 2H g5 = 1 2H (4g g3) g = 1 4H g5 = 1 4H (4g g)g55 = 1 16H (16g5 g5

  • 127

    g? * 1 8H ?g?5 * 1 8H 4g ( gg?55 * 1 16H 16g?5 ( g5g?555 * 1 64H 64g?55 ( g55 . Y as sucesiva mente.

    En donde:

    * W ( F 3 * 1 2H VF # VW * 3 # VF # 1 2H ) * # VF # 1 4H # VF # 1 4H ? * # VF # 1 8H # VF # 1 8H # VF # 1 8H # VF # 1 8H . Y as sucesivamente.

    Ejemplo 5.8 calcular el valor de la integral: 3 H v3 , con 9 decimales exactos, utilizando integracin Romberg.

    3 ( 1 2H VF # VW * 0.48720505 g3 * 3 * 0.48720505

    * 3 # VF # 1 2H * 0.959571602 g * 1 2H * 0.479785801 g * 1 3H 4g ( g3 * 0.477312718

    * # VF # 1 4H # VF # 1 4H * 1.91169505 g * 1 4H * 0.477923762 g * 1 4H 4g ( g3 * 0.477303082

  • 128

    g55 * 115 16g5 ( g5 * 0.47730244

    ? * # sF # 18 t # V sF #38 t # V sF #

    58 t # V sF #

    98 t * 3.81966239

    g? * 3? ? * 0.477457798 g?5 * 13 4g? ( g * 0.477302477

    g?55 * 171516g35 ( g5 * 0.477302437 g?555 * 163 64g?

    55 ( g55 * 0.477302437

    Por lo tanto el valor exacto de, la integral, hasta el noveno decimal es:

    I = 0.477302437

    5.2.7 INTEGRACIN DOBLE La integral doble de una funcin f(x, y) definida sobre una regin plana R se define por:g * V, va La regin R se puede clasificar en:

    Si la regin es de tipo I, entonces el clculo de la integral doble, utilizando la integral reiterada es igual a:

    g * V, vv()()` [5.21] Es decir, primero se resuelve la integral:

    X F(X)

    1.125 .569782824

    1.375 .502831578

    1.625 .443747310

    1.875 .391605626

  • 129

    V, )v()() Para tal efecto se considera a x como constante, obtenindose entonces una funcin nicamente de x. posteriormente se resuelve la integracin normal, con respecto a x.

    Si definimos: g (x) V(, )v()() [5.22] Entonces la integral [5.21] se reduce a:

    g * 4()v` [5.23] Es decir, se ha transformado el problema bidimensional a un problema unidimensional, que se puede resolver por cualquiera de los mtodos analizados anteriormente.

    Utilizando por ejemplo la Regla de Simpson de 1/3 [5.24]

    La regin R en este caso es de tipo II, entonces los datos son:

    A = 1, b = 3, H = 1 , c(y) = y + 1, d(y) = 2 + 1 2 * 1,3 * 2, * 3

    g = 3 4[2) + 44(3) + 24() + 44(3) + 4(2)]

    = W F 2 = F, 3 = 2 + , = 3 +, . . , = W 4() = V(OO , )v

    En donde:

    Ejemplo 5.10. Hallar el valor de la integral: vv:533 Utilizando regla de Simpson, con n = 2.

  • 130

    Utilizando la formula [5.24] adaptando para regiones de tipo II:

    g * 13 [4(2) + 44(3) + 4()] En donde:

    G(2) = 353 v = 0.18724 4(3) = 2 + [email protected] v = 0.42145 4() = 3 + [email protected] v = 1.49201 Sustituyendo en la formula:

    g = 13 [0.18724 + 4(0.42145) + 1.49201] = 0.99685 El valor de esta integral con una exactitud de 5 decimales, se puede obtener utilizando aproximadamente 30 intervalos, y es igual a: I = -0.99517. por lo tanto, el error absoluto con n = 2 es: 6 = 0.00168.

    H = 0.5, 2 = 1,3 = 1.5, = 2 Utilizando la formula [5.24]:

    g = 0.53 [4(2) + 44(3) + 4()] Utilizando nuevamente regla de Simpson,, para las tres integrales (con n = 2):

    G(2) = L1 + 3 v = 3.44747 4(3) = L1.5 + 3. v = 5.13478

    Ejemplo 5.9. Calcular la integral: g = L$ + vv_53_3 Utilizando regla de Simpson 1/3, con dos intervalos en ambas direcciones.

  • 131

    4 L2 #

    v * 7.01329

    Sustituyendo en la formula:

    g * 0.53 3.44747 # 44.513479 # 7.01329 * 5.166647 La solucin exacta (basta el sexto decimal) es:

    g * 5.66853 Por lo tanto el error absoluto es:6 * 0.000206 5.2.8 PROGRAMACIN DE LA REGLA TRAPEZOIDAL Y DE SIMPSON

    Este programa evalua una integral definida por los mtodos de trapecios y de Simpson de 1/3. Se muestra una corrida del programa para la integral:

    533 v, Utilizando 10 intervalos para los dos mtodos.

  • 132

    5.2.9 PROGRAMACION DE LA REGLA DE SIMPSON PARA UNA INTEGRAL DOBLE

    El programa calcula la integral doble (de tipo I) utilizando regla de Simpson con el mismo numero

    de intervalos en ambos direcciones.

  • 133

    Se muestra ahora la ejecucin del programa para calcular la integral:

    3 L + 2 dx dy

    Limite inferior = 1

    Limite superior = 4

    Intervalos = 4

    Integrales alternas:

    G(x0) = 11.64221737

  • 134

    G(x1) = 29.09025656

    G(x2) = 85.65154119

    G(x3) = 235.10688144

    G(x4) = 569.09975164

    El valor de la integral es: 452.1391008500

  • 135

    PROBLEMAS PROPUESTOS PARA EL CAPITULO 5

    1.- En un circuito elctrico la tensin aplicada E (t) e inductancia L, estn relacionadas por la

    primera ley de kirchhoff de acuerdo a la ecuacin:

    g (t) = L f # oZ

    donde R es la resistencia del circuito e i la corriente. Suponga que medimos la corriente para

    varios valores de t y obtenemos:

    t 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04

    i 3.10 3.12 3.14 3.18 3.24

    Donde t se mide en segundos e i en amperes; la inductancia L es constante y vale 0.98 henrys, y la

    resistencia es de 0.142 ohms. Aproxime la tensin (o voltaje) para los valores de t = 1.0, 1.01, 1.02,

    1.03 y 1.04.

    Solucin: t 1.0 1.01 1.02 1.03 1.04

    g(t) 2.40 2.403 3.386 5.352 7.320

    2.-La distribucin de la velocidad de un fluido cerca de una superficie plana esta dada por

    la siguiente tabla:

    i yi(m) vi(m/s)

    0 0.0 0.0

    1 0.002 0.006180

    2 0.004 0.011756

    3 0.006 0.016180

    4 0.008 0.019021

    Donde (y) es la distancia de la superficie y (v) la velocidad.

    La ley de newton para la tensin superficial esta dada por:

    r = l

    donde es la viscosidad que suponemos que vale 0.001 Ns/m2. Calcule la tensin

    superficial en y = 0 mediantes aproximaciones por diferencias utilizando los siguientes

    puntos: a) i = 0 y 1 ; b) i = 0,1 y 2.

  • 136

    3.-Calcular aproximadamente el valor de las integrales dadas, utilizando las reglas

    trapezoidal y de Simpson con los intervalos especificados.

    a) 53

    n = 6 solucin: trapezoidal = 9.4769

    Simpson = 9.4945

    b) 325B/2 v n = 8 solucin: trapezoidal = 10.01077

    Simpson = 10.01077

    c) . 533 dx n = 10 solucin: trapezoidal = 11.121002 Simpson = 11.083115

    4.-Calcular las integrales dadas utilizando el mtodo de romberg con la presicin indicada.

    ( + 1) ( 13 dx E= .000001 ( 5 decimales exactos )

    Solucin: 64.94403

    63.77697 63.38795

    63.48441 63.38689 63.38682

    63.41122 63.38682 63.38682 63.38682

  • 137

    b) # 13.2.3 dx E = .00001 ( 4 decimales exactos )

    Solucin: 5.06342

    3.198225 2.576493

    2.518707 2.292201 2.273248

    2.305340 2.234216 2.230350 2.229669

    2.246110 2.226367 2.225844 2.225773 2.225757

    5.-Al comprimirse amoniaco en un cilindro se obtuvieron los siguientes datos:

    P(lb/in2) 60 80 100 120 140 160 180

    V(in3) 80 67.5 60 52.5 45 37.5 32.5

    Calcular el trabajo hecho durante el proceso, empleando regla de Simpson.

    Sugerencia: W = cvn solucion w = 441.7 lb.ft 6.- Un arquitecto planea utilizar un arco en forma parabolica dado por:

    y = 0.1 x (30.x) metros

    donde (y) es la altura desde el piso y (x) la distancia horizontal, ambas en metros.

    Calcule la longitud total del arco desde x = 0 hasta x = 30 mts. Utilice regla de Simpson

    dividiendo el intervalo en 10 partes. La longitud total del arco esta dada por la integral:

    L = L1 + (v/v)22 dx solucin: 56.52 m

  • 138

    7.-Calucule aproximadamente el valor de las siguientes integrales utilizando regla de

    Simpson de 1/3, con n = 4 en ambas direcciones.

    a) L # 33 dy dx solucin: 4.5275

    b) A + 3 dx dy solucin: 26.93419

    c) . 5 dx dy solucin: 33.992236

  • 139

    CAPITULO 6 Solucin de ecuaciones diferentes por

    mtodos numricos 6.1 INTRODUCCIN En esta seccin analizaremos ecuaciones diferenciales ordinarias, para las cuales se aplica la siguiente:

    DEFINICIN: la solucin de una ecuacin diferencial de orden n: F[x, y, 3,, . , ()] Es cualquier funcin y = (x) o relacin g (x, y) = 0 que la satisfaga.

    Por ejemplo, la E.D.: 3= x + 1 tiene como solucin: y = 3 + + 5, ya que al sustituir esta funcin en la E.D, la satisface:

    vv s12 + + 5t = + 1 Sin embargo cualquier funcin de la forma: y = 3 + + , en donde C es un parmetro o constante arbitraria, es solucin de a E.D., y se conoce con el nombre de solucin general. Cuando el parmetro tiene un valor especifico, se llama entonces solucin particular.

    Asi tambin, la E.D. x dx + y dy = 0 tiene como solucin general a la relacin: + = , porque al diferenciar ambos miembros de la solucin se obtiene la E.D, original:

    D ( +) = 2v + 2v = 0

    REPRESENTACIN GEOMTRICA

  • 140

    La solucin general de una E.D, representa una familia de curvas, y cada uno de los elementos de la familia es una solucin particular.

    De los ejemplos anteriores tenemos las siguientes graficas.

    Familia de parbolas: y = 3 # # Familia de crculos: # * Con su eje focal en x = -1 con centros en el origen Para hallar una solucin particular es necesario especificar cierta condicin o condiciones para determinar el valor del parmetro o los parmetros(segn sea el orden de la ecuacin). Se distinguen dos tipos de problemas:

    Problemas con valores iniciales Problemas con valores en la frontera

    a) Un problema con valores iniciales est formado por una ecuacin diferencial de orden n y un conjunto de n condiciones independientes, todas ellas para el mismo punto.

    Ejemplo: 6.1 Hallar la solucin particular de E.D, 3= x + 1 tal que y (1) = 3

    Solucin general: y = 3 # +

    Sust. X= 1, y = 3: 3 =3+ 1 # De donde: c =

  • 141

    Solucin particular: y = : + +

    b) Para un problema con valores en la frontera se deben especificar las condiciones para dos puntos.

    Ejemplo 6.2 resolver el problema: vv + * 0; (0 * 1, k2m * 5

    Sol. General: y = a sen x + b cos x

    Sust. X = 0, y = 1: 1 = a sen 0 + b cos 0 De donde: b = 1 Sust. X= /2, y = 5: 5= a (1) + b (0) De donde: a = 5 Sol, particular: y = 5 sen x + cos x

    Resumiendo, en un problema con valor inicial se establece como dato un punto por donde pasara la curva (solucin), mientras que en un problema con valores en la frontera est condicionada a dos puntos dados.

  • 142

    6.2 SOLUCIN NUMRICA

    Muchos problemas que involucran ecuaciones diferenciales, no se pueden resolver por matemticas exactas, sin embargo es posible resolverlos utilizando mtodos numricos que consisten en sustituir el dominio continu de la solucin exacta, por uno discreto formado por puntos aislados, igualmente espaciados entre s Asi, en un problema con valores iniciales, las soluciones para x 2., se substituye por el conjunto infinito de puntos:

    2, 3 * 2 + , *2 + 2, *2 + 3 . , * 2 +

    Tal y como se muestra en la figura

  • 143

    En este curso limitaremos el estudio a problemas con valores iniciales que involucran ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden y se analizaran los siguientes mtodos:

    Euler Runge Kutta

    6.3 MTODO DE EULER Consideremos el problema con valor inicial:

    Multiplicando la ecuacin por dx: dy = f(x, y) dx Integrando en el intervalo [2,3] v: =