aplicacions de la derivada : gràfiques de funcions, hôpital i el polinomi de taylor. mònica orpí

TALENT JOVE

APLICACIONS DE LA

DERIVADA- Polinomi de Taylor

- Regla de l’Hôpital

- Gràfiques de funcions

Per Mònica Orpí i Mañé

APLICACIONS DE LA DERIVADA

1. APROXIMAR FUNCIONS PER POLINOMIS : Polinomi de Taylor

2. RESOLUCIÓ D’INDETERMINACIONS : REGLA DE L’HÔPITAL

3. GRÀFICA DE FUNCIONS

4. PROBLEMES D’OPTAMITZACIÓ

APLICACIONS DE LA DERIVADA :

APROXIMAR UNA FUNCIÓ

o Aproximacions del valor d’una funció fent

𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 · (𝑥 − 𝑎)

Vàlid només per a valors x propers a a, és a dir, x≈a

Exemple : f(x)= 𝑥 i volíem conèixer 144

145 = 144 +1

2 144(145 − 144)

En càlcul, el Teorema de Taylor, rep el nom del matemàtic britànic Brook

Taylor, qui el va enunciar al 1712.

Aquest teorema permet aproximar una funció derivable en l'entorn reduït

al voltant d'un punt a mitjançant un polinomi els coeficients del qual

depenen de les derivades de la funció en aquest punt.

Com més gran és el valor de n, que serà el grau del polinomi, més bé

aproximarà el polinomi de Taylor a la funció.

En termes matemàtics: Si n≥0 és un enter i f una funció que és

derivable n vegades en l‘ interval tancat [a, x] i n+1 cops en l'interval

obert (a, x), llavors es compleix que: Matemàtic britànic (1685-1731). Va ser

membre de la Royal Society

considerada com la més antiga de les

societats científiques que encara

existeixen.

http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/taylor/Taylorpag.html

En un entorn petit del punt a, la funció f(x) es comporta com el polinomi de grau 1 següent,

que serà la recta tangent de la funció en x=a

𝑓′ 𝑎 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑒𝑠𝑡à 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑝 𝑑𝑒 𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑛𝑒𝑚

𝑢𝑛𝑎 1𝑎. 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó 𝑑𝑒 𝑓′ 𝑎 ≅𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎

𝑥 − 𝑎,

𝑎ï𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡 𝑓 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 ≅ 𝑓′ 𝑎 · 𝑥 − 𝑎 𝑖 𝑝𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡,

𝒇 𝒙 ≈ 𝒇 𝒂 + 𝒇′ 𝒂 · 𝒙 − 𝒂

Prenent g(x)=f(a)+f’(a)·(x-a) com el polinomi de grau 1 que aproximaràa f(x) en punts proper a x=a

D’on surt g(x) ??Com que f(x)=𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 𝑖 𝑓𝑒𝑚 𝑙′𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑥 = 3 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑒

𝑓 𝑥 ≅ 𝑓 3 + 𝑓′ 3 𝑥 − 3 𝑝 𝑒𝑟 𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑠 𝑎 3

Atès que f(3)=9-9+1=1 i que f’(x)=2x-3 i per tant f’(3)=6-3=3 , prenent g(x) la funció que aproxima a f(x) en x=3 tenim

que g(x)=1+3(x-3)=3x-8, que és la recta tangent de f(x) en x=3

f(x)=𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏

g(x)=1+3(x-3)=3x-8

APLICACIONS DE LA DERIVADA : REGLA DE L’HÔPITAL

Guillaume François Antoine, marquès de l’Hôpital (1661 - 1704) matemàtic francès - Analyse des infiniment petits pour

l'intelligence des lignes courbes (1696).

Actualment se sap que la regla es déu a Johann Bernoulli, que va ser qui la va desenvolupar i demostrar.

L’explicació és que ambdós varen entrar en un curiós negoci per mitjà del qual el marqués l’Hôpital va comprar els drets dels descobrimients matemàtics de Bernoulli que tingué a L'Hôpital

com alumne.

La regla de L'Hôpital és un teorema utilitzat

principalment per determinar límits que d'altra

manera foren complicats de calcular. Es pot

aplicar si es tracta de cercar un límit d'un

quocient entre dues funcions contínues, f(x)/g(x),

el numerador i denominador el qual tendeixen

alhora a zero o bé tendeixen a l‘infinit.

Per calcular el límit es deriva independentment

el numerador i el denominador i es determina el

límit del quocient entre aquestes derivades. Si el

límit existeix, la regla afirma que coincidirà amb el

límit de f(x)/g(x).

LA REGLA DE L’HÔPITAL

És una regla que serveix per resoldre

indeterminacions del tipus0

0𝑖

∞

∞

És basa amb el teorema següent :

Si on f i g són

derivables en un entorn d’a i existeix el límit :

Aleshores coincidirà amb

El mateix enunciat serveix quan els límits de f(x) i g(x) van simultàniament a l’∞

http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/lhospital.1/index.html

1r Exemple

Últim Exemple

→

→

DEMOSTRACIÓ REGLA L’HÔPITAL :De manera análoga es fa el cas 2 ) f x → ∞ i g(x) → +∞

Teorema del valor mitjà de Cauchy

TAMBÉ SÓN ÚTILS PER REPRESENTAR LES FUNCIONS

En la representació de funcions és molt útil conèixer què passa en cada interval :

* És creixent o decreixent en aquell interval

* Podem localitzar el valor màxim i mínim en aquest interval?

* La funció és còncava o convexa ?

Les derivades donen resposta a totes aquestes

preguntes !!!

APLICACIONS DE LA DERIVADA REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS

Passos a seguir per a poder representar una funció f(x) :

Domini de f(x)

Punts de tall amb els eixos

Càlcul de les asímptotes ( AV, AH i AO)

Estudi de la monotonia : Intervals de creixement i decreixement. Màxims i mínims

Curvatura (concavitat i convexitat) i punts d’inflexió

Altres aspectes interessants :

Simetries (parell o senar ) i periodicitat

SIMETRIES :

Simetria parell f(-x)=f(x) Simetria senar f(-x)= - f(x)

p

INTERVALS DE CREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT CREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :

Recorda que la derivada d’una funció y=f(x)en un punt x indica la pendent de la rectatangent en aquest punt.

Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenentangents de pendent positiva, la funció éscreixent en aquest punts

Si f(x) és derivable tenim que

f’(x)>0 ⇒ f(x) és creixent

INTERVALS DE DECREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT DECREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :

Recorda que la derivada d’una funció y=f(x) en

un punt x indica la pendent de la recta tangent en

aquest punt.

Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenen

tangents de pendent negativa, la funció és

decreixent en aquest punts

Si f(x) és derivable tenim que

f ’(x)<0 ⇒ f(x) és decreixent

PUNTS ESTACIONARIS O SINGULARS: SÓN ELS PUNTS D’UNA FUNCIÓ CONTÍNUA

QUE TENEN PENDENT HORITZONTAL. COM QUE LA TANGENT ÉS HORITZONTAL , LA PENDENT ÉS 0 I PER AQUESTA RAÓ LA DERIVADA ENS AQUEST PUNTS ÉS 0.

x=a és un punt singular ⇔f’(a)=0

Hi ha tres casos :

El punt 𝑐1 s’anomena mínim relatiu

f’(𝑐1) = 0

El punt 𝑐2 s’anomena punt d’inflexió de tangent horitzontal

f’(𝑐2) = 0

El punt 𝑐3 s’anomena màxim relatiu

f’(𝑐3) = 0

Màxim relatiu Mínim relatiu

PUNTS D’INFLEXIÓ DE TANGENT HORITZONTAL

Observa que les rectes tangent passen a estar damunt de la corba a estar sota o al revés

EXEMPLE : ESTUDI DE LA MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ ESTUDIA ELS INTERVALS DE CREIXEMENT I DECREIXEMENT I PUNTS SINGU LARS DE

Conclusió obtinguda de la taula *:

La funció és decreixent en −∞, −1 𝑖 0,1

La funció és creixent en (-1,0) i (0, ∞)

Hi ha dos mínims en (-1,f(-1))=(-1,-1) i en (1,f(1))=(1,-1)

Hi ha un màxim en (0,f(0))=(0,0)

Observem que el domini és (-∞, +∞)

I donat que és polinòmica és contínua

en (-∞, +∞)

Calculem primer els punts on s’anul·la la

derivada i localitzem els punts singulars

• Estudiem el signe que

tindrà la derivada en

els intervals que

determinen els punts

singulars

*

ESTUDI DE LA CONCAVITAT D’UNA FUNCIÓ : Com hem vist, la primera derivada f’ ens dóna informaciósobre la funció f(x). Si derivem f’ obtenim la derivada de f’,que denotarem per f’’(x). Aquesta ens donarà informació def’(x)

Així com f’>0 ens informa que f és creixent, f’’>0 ensinforma que f’ és creixent. Això ens indica que la corba de f(x)està per sobre de les seves tangent (ja que les pendentspassen a ser negatives a ser positives i per tant f’ creix). Enaquest cas direm que f és còncava

En el cas que f’’<0 ens informa que f’ és decreixent. Això es tradueix que la corba de f(x) està per sota de les tangents i direm que f(x) és convexa

o f’’>0 en un interval ⇒ f és còncava ∪o f’’<0 en un interval ⇒ f és convexa ∩

EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR MÀXIM I MÍNIMS :

També podem detectar que un punt singular és un màxim oun mínim amb el test de la 2a derivada

Si f’(a)=0 i f ’’(a)>0 ⇔ f presenta un mínim en x=a

Si f’(a)=0 i f’’(a)<0 ⇔f presenta un màxim en x=a

EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR PUNTS D’INFLEXIÓ:

x=a és un punt d’inflexió PI de f(x) sien aquell punt on la corba canvia decurvatura

f(x) presenta un PI en x=a si f’’(a)=0.

Si a més, tenim que f’(a)=0 i f ’’(a)=0aleshores diem que en x=a f presentaun punt d’inflexió de tangenthoritzontal

Còncava : la corba de

f(x) està per sobre de

les seves tangent

Convexa : la corba de

f(x) està per sota de

les seves tangent

EXEMPLE : EN LA FIGURA ES MOSTRA EL GRÀFIC DE LA FUNCIÓ F(X).

COMPLETA LA TAULA SEGÜENT AMB ELS SIGNES DE F, F’ I F’’ EN ELS PUNTS DELGRÀFIC A, B, C, D I E :

Solució :

A= (a,f(a)) B=(b,f(b)) C=(c,f(c)) D=(d, f(d)) E=(e, f(e))

f(a)=0, f’(a)=0 perquè presenta un mínim (tangenthoritzontal) i f’’(a) >0 perquè es còncava

f(b)>0, f’(b)>0 ja que la recta tangent tindrà pendentpositiu ja que f és creixent i f’’(b)<0 ja que és convexa

f(c)>0, f’(c)=0 ja que presenta un màxim i f’’(c)<0 ja queés convexa

f(d)>0, f’(d)<0 ja que f decreix i f’’(d)<0 perquè ésconvexa (podria ser el PI, ja que f(x) passa de convexa acòncava i, en aquest cas f’’(d)=0 )

f(e)<0, f’(e)>0 ja que f creix, f’’(e)>0 ja que f és còncava

En una funció racional, normalment apareixen

AV en els valors de x que fa que el seu

denominador s’anul·li.

És molt probable que la funció de la gràfica

tingui un denominador del tipus

(𝒙𝟐 -4) a que presenta dues AV : x=-2 i x=2

Una funció racional normalment presentarà una AH

quan el grau del numerador sigui igual o inferior

que el del denominador

Per exemple : 𝒇 𝒙 =𝒙𝟐−𝟐

𝒙𝟐+𝟒

𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝑨𝑯 𝒆𝒏 𝒚 = 𝟏 ja que

𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞ 𝒇 𝒙 = 𝟏

Per exemple : 𝒇 𝒙 =𝒙−𝟐

𝒙𝟐+𝟒

𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝑨𝑯 𝒆𝒏 𝒚 = 𝟎 ja que

𝒍𝒊𝒎𝒙→±∞

𝒇 𝒙 = 𝟎

Una funció racional normalment presentarà una AO

quan el grau del numerador és superior en una

unitat al grau del denominador

Per exemple : 𝒇 𝒙 =𝒙𝟐−𝟐

𝒙 +𝟒

Presenta una AO del tipus y=x-4 ja que

𝐦 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞𝒇(𝒙)

𝒙= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→±∞

𝒙𝟐−𝟐

𝒙 +𝟒

𝒙= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→±∞

𝒙𝟐−𝟐

𝒙𝟐+𝟒𝒙= 𝟏

𝒏 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞

𝒇 𝒙 − 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞

𝒙𝟐−𝟐

𝒙+𝟒− 𝒙 =

= 𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞

𝒙𝟐−𝟐

𝒙+𝟒−

𝒙+𝟒

𝒙+𝟒𝒙 = 𝐥𝐢𝐦

𝒙→±∞

𝒙𝟐−𝟐

𝒙+𝟒−

𝒙𝟐+𝟒𝒙

𝒙+𝟒=

𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞

−𝟐−𝟒𝒙

𝒙+𝟒= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→±∞

−𝟒𝒙

𝒙= −𝟒

ALGUNS EXEMPLES DE GRÀFIQUES :

1) Domini ℝ- 0

2) Punts de tall amb els eixos

Eix OX ⇒ y=0 𝑥+1

𝑥2 =0 ⇒ x+1=0 ⇒x=-1

Punt (-1,0)

Eix OY ⇒ x=0 ( No talla l’eix ja que x=0 no pertany al domini de f(x)

3) Asímptotes

AV en x=0 lim𝑥→0±

𝑥+1

𝑥2 =1

0+ = +∞ AV x=0

AH lim𝑥→±∞

𝑥+1

𝑥2 =∞

∞⇒ lim

𝑥→±∞

𝑥+1

𝑥2 = 0± AH y=0

No té AO, ja que té AH

4. Intervals de creixement i decreixement – Màxims i mínims

f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)f és creixent de (-2, 0) i presenta un mínim en (-2, -1/4)

5. Curvatura (Intervals de concavitat i convexitat-Punts d’inflexió

En (-3, f(-3))=(-3,-2/9) presenta un PI

+

LA GRÀFICA DE F(X)=𝑥+1

𝑥2

Talla l’eix OX en (-1,0)

Té AV en x=0 i AH en y=0

f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)

f és creixent de (-2, 0)

Presenta un mínim en (-2, -1/4)

Té en (-3, -2/9) Punt d’inflexió

És convexa de (-∞, −3) i còncava (-3, 0) i de

(0, +∞)

• Intervals de creixement i decreixement :

f’(x)=3𝑥2 𝑥2−1 −𝑥3(2𝑥)

𝑥2−1 2 =3𝑥4−3𝑥2−2𝑥4

𝑥2−1 2 =𝑥4−3𝑥2

𝑥2−1 2

f’(x)=𝑥4−3𝑥2

𝑥2−1 2 = 0 ⇒ 𝑥4 − 3𝑥2=0⇒𝑥2 𝑥2 − 3 = 0

⇒ 𝑥 = 0 𝑖 𝑥 = ± 3 fem el test de la 2a derivada pe avaluar

si són màxims, mínims o punts d’inflexió

𝑓′′ 𝑥 =2𝑥3+6𝑥

𝑥2−1 3 i si avaluem en els punts singulars f’’(0)=0⇒

(0, 0) és Punt d’inflexió de tangent horitzontal

𝑓′′( 3)>0 ⇒( 3, 𝑓 3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎

f′′(− 3)<0 ⇒(− 3, 𝑓 −3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎à𝒙𝒊𝒎

-∞ − 𝟑 − 𝟏 𝟏 𝟑 +∞

f Màxim ∄ ??? ∄ Mínim

f’ + 0 - 0 +

f’’ ∩ ??? ∪

En (-1,1) f’<0, per

tant f decreix

= 2𝑥(𝑥2+3)

(𝑥2−1)3

En (-1,1) (𝑥2 − 1)3<0

(-1,0) 2𝑥(𝑥2 + 3)<0per tant f’’>0 cóncava

(0,1) 2𝑥 𝑥2 + 3 >0per tant f ’’<0 convexa

∩ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎∪ còncava

La gràfica

de f(x)=𝑥3

𝑥2−1