12 plano cartesiano

PLANO CARTESIANO

COORDENADAS

• Las Coordenadas son grupos de números que

describen una posición: posición a lo largo de una

línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y

longitud o la declinación y ascensión recta, son

sistemas de coordenadas en la superficie de una

esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los

cielos.

UN POCO DE HISTORIA

El sistema de coordenadas cartesianas fue conocido con

el nombre de René Descartes, un científico y filósofo

francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática

de designar cada punto en el plano por medio de dos

números.

SISTEMA COORDENADO

BIDIMENSIONAL • El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"),

perpendiculares entre sí, cada una marcada con las

distancias desde el punto donde se juntan ("origen").

El plano cartesiano está determinado por dos rectas llamadas ejes de coordenadas:

El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas. El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas. En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el cero.

PLANO CARTESIANO

X

y

0

DEFINICIÓN DE ABSCISA Y

ORDENADA

• Abscisas: los números tomados

sobre el eje X que miden la distancia

en magnitud y signo desde el origen.

El eje X se llama, eje de las abscisas.

• Ordenadas: los números tomados

sobre el eje Y miden la distancia en

magnitud y signo desde el origen.

El eje Y recibe el nombre de eje de

ordenadas.

PAR ORDENADO Par de números de la forma ( x, y ) utilizados para

localizar puntos en un plano, se expresan en forma

de pares ordenados. El orden en que se escribe es

muy importante.

Ejemplo de Par Ordenado

Ejemplo:

En el par ordenado ( 3 , 5) el 3 corresponde

al número localizado en el eje de ( x ) y el

5 corresponde al número localizado en el

eje de ( y ).

Par Ordenado ( 3 , 5)

X

Y

Origen

0

1 2 3 4

1 2 3 4 5

( 3 , 5 )

Los ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes

CUADRANTES

SIGNOS DE LOS PARES ORDENADOS

EN LOS CUADRANTES

( x, y )

X

Y

Cuadrante I Cuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

( + , + ) ( - , + )

( - , - ) ( + , - )

Origen

GRÁFICA DE PUNTOS EN EL

PLANO CARTESIANO

A cada punto

del plano le

corresponde

un par

ordenado de

números

reales.

Localiza los siguientes pares ordenados en

el plano:

A ( 2 , 3)

B (-3 , 4)

C (-3 , -2)

D ( 3 , 0) 0 X

Y

1 2 3 4 - 4 - 3 -2 -1 -1

-2

-3

-4

1

2

3

4 ( 2 , 3 )

( 3 , 0 )

( -3 , 4 )

( -3 , -2 )

A

D

B

C

EJERCICIOS

Resuelve las ecuaciones y dibuja las

gráficas

Ejemplo # 1 y = - 3x + 5

Si x = 0 y = -3 (0) + 5 = 0 + 5 = 5

( x, y )

( 0 , 5 )

Si x = 1 y = -3 (1) + 5 = -3 + 5 = 2 ( 1 , 2 )

Si x = 5 y = -3 (5) + 5 = -15 + 5 = -10 ( 5, -10 )

Si x = -1 y = -3 (-1) + 5 = 3 + 5 = 8 ( -1, 8 )

X Y

0 5

1 2

5 -10

-1 8 X

Y

2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 0

2

4

6

8

10

-2

-4

-6

-8

-10

(0, 5)

(1, 2)

(5, -10)

(-1, 8)

Gráficamente estos

fueron los pares

ordenados que se

formaron.

Ejercicio # 2 y = 4x + 2

Si x = 0 y = 4 (0) + 2 = 0 + 2 = 2 ( 0 , 2 )

( x, y )

Si x = 1 y = 4 (1) + 2 = 4 + 2 = 6 ( 1 , 6 )

Si x = -1 y = 4 (-1) + 2 = -4 + 2 = - 2 ( -1,-2 )

X Y

0 2

1 6

-1 -2

Variable

independiente

Variable

dependiente

X Y

0 2

1 6

-1 -2

X

Y

0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

6

-1 -2

-3

-4

-5

-6

(1,6)

(0,2)

(-1,-2) Los pares

ordenados

formados

son estos.

Ejercicios resueltos con dos variables

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

X Y

0 2

Si x = 0

2( 0 ) + 5y = 10

0 + 5y = 10

y = 10/ 5 y = 2

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

X Y

0 2

5 0 Si x = 5

2( 5 ) + 5y = 10

10 + 5y = 10 5y = 10 - 10

5y = 0

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

Si x = -5

2( -5 ) + 5y = 10

-10 + 5y = 10 5y = 10 + 10

5y = 20

y = 20/5 y = 4

X Y

0 2

5 0

-5 4

X

Y

X Y

0 2

5 0

-5 4

0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

5

Estos son los

pares ordenados

que se formaron.

(0,2)

(5,0)

(-5,4)

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

SOBRE UN EJE • Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el

eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia

entre los puntos corresponde al valor absoluto de la

diferencia de sus abscisas: |x2 – x1|

• Ejemplo: La distancia entre los puntos (- 4, 0) y (5, 0)

es 5 – (-4) = 9 unidades

DISTANCIA ENTRE DOS

PUNTOS CUALESQUIERA

Ejemplo:

En una carta de navegación el origen se sitúa en un

puerto. Un barco se encuentra en el punto (-5, 6) y otro

en el (2, 3). ¿Qué distancia hay entre ellos, si las

unidades de la carta corresponden a kilómetros?

Solución: Construimos el triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa

al segmento que une los puntos (-5,6) y (2,3), como se muestra

en la siguiente figura.

Las longitudes de los catetos son:

7)5(2 363

(-5,3)

Recordemos que el teorema de Pitágoras establece:

“En un triángulo rectángulo el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de

los catetos”.

94937 22

6.758

Los dos barcos se encuentran a una distancia que es

aproximadamente de 7.6 kilómetros.

Ahora, sean A(x1,y1) y B(x2,y2), dos puntos cualesquiera cuyas

parejas de coordenadas se encuentran en el plano cartesiano como

se muestra en la figura.

Se tiene también un punto C de coordenadas (x2,y1). Al

fragmentar la recta por los puntos dados se tiene:

12xxAC

12yyCB

Además la distancia que se busca es la comprendida por el

segmento: AB

dAB

El punto C servirá de referencia para construir un triángulo

rectángulo ACB, de donde se puede establecer con el

teorema de Pitágoras.

222 ABCBAC

Reconocemos aquí los catetos y la hipotenusa del triángulo.

Sustituyendo se tiene:

12xxAC

12yyCB

2

12

2

12

2

yyxxdAB

Como interesa saber la distancia, se toma la raíz cuadrada de

ambos miembros, para eliminar los cuadrados.

2

12

2

12yyxxd

AB

Ejercicio.

Calcular la distancia entre los puntos A y B cuyas

coordenadas son (3, 2) y (-3, -1) respectivamente.

Solución: Paso 1 Traza un plano cartesiano

Paso 2 Coloca en él los puntos dados y

únelos para visualizar la distancia a

calcular.

Paso 3 Se designa al punto A

como inicial y se aplica la

fórmula dada.

221233

ABd

45AB

d

O bien, si designamos a B como el punto inicial se tiene:

222133

BAd

45BA

d

Como puedes observar la distancia es la misma. No pueden

obtenerse resultados diferentes. Respeta los signos negativos de

la fórmula así como los valores de cada par de coordenadas,

recuerda que esto te evitará cometer errores.

Ejemplo: A (2, 1) B (-3, 2)

Ejemplo:

Calcular la distancia entre los puntos A(7, 5) y B

(4, 1).

d = 5 unidades

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN

UNA RELACIÓN DADA

• Dividir un segmento AB en una relación dada r es el

determinar un punto P de la recta que contiene al segmento

AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la

relación r:

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA

RAZÓN DADA

Si C1(x1, y1) y C2(x2, y2) son los extremos de un segmento de

recta, y además un punto C(x, y) divide a tal segmento en una

razón dada por la expresión que se muestra a continuación,

se puede decir que las coordenadas del punto C están

dadas por:

CCCC

r2

1

1;1

,1

2121

r

r

ryyy

r

rxxx

Demostración

Considere la figura

Por triángulos semejantes

Factorizando

Finalmente se tiene:

Al despejar x 12

xxrxrx

21)1( rxxrx

r

rxxx

1

21

rCC

CC

2

1

xx

xxr

2

1

21 rxxxrx

Análogamente para y

Que corresponde a las coordenadas del punto C(x, y)

Ejemplo: Encuentre la pareja de coordenadas de un punto A,

que divide al segmento determinado por E(-1, 6) y F(3, -3) en

la razón r = ¾.

r

ryyy

1

21

Solución

La coordenada x, según la expresión

Análogamente para la coordenada y,

Las coordenadas del punto A serán

7

5

4

31

34

31

x

7

15

4

31

34

36

y

7

15,

7

5

r

rxxx

1

21

r

ryyy

1

21

Punto medio de un segmento de recta

Un caso particular que encontramos, es cuando r = 1, en las

ecuaciones:

Que se conoce como punto medio

Dichas ecuaciones se reducen a lo siguiente:

r

rxxx

1

21

r

ryyy

1

21

2

21xx

x

2

21yy

y

Ejemplo: Determinar las coordenadas del punto medio del

segmento comprendido por los puntos

C(3, 6) y D(-4, -2).

Solución: Identificando al punto C como punto inicial se tiene:

Por lo tanto las coordenadas del punto medio son:

2

1

2

43

x

22

26

y

2,

2

1A

C(3, 6)

D(-4,-2)

X

Y

A(-1/2, 2)