PLANO

CARTESIANO

Produção: Patrizia Lovatti

Representando pares ordenados

de reais

O professor de Matemática construiu um quadro com as notas de seus alunos, na

última prova que ele aplicou.

Nota

Nº do aluno 8 9 10 4566 7 7 8

1 32 10764 5 8 9

8 9 10 4566 7 7 8Nota

Nº do aluno

1 32 10764 5 8 9

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos

pares ordenados

8 9 10 4566 7 7 8Nota

Nº do aluno

1 32 10764 5 8 9

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos

pares ordenados

(1,8)

8 9 10 4566 7 7 8Nota

Nº do aluno

1 32 10764 5 8 9

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos

pares ordenados

(1,8) (2,9)

8 9 10 4566 7 7 8Nota

Nº do aluno

1 32 10764 5 8 9

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos

pares ordenados

(1,8) (2,9) (3,10)

8 9 10 4566 7 7 8Nota

Nº do aluno

1 32 10764 5 8 9

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos

pares ordenados

(1,8) (2,9) (3,10) (4,6)

8 9 10 4566 7 7 8Nota

Nº do aluno

1 32 10764 5 8 9

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos

pares ordenados

(1,8) (2,9) (3,10) (4,6)

(5,7)

8 9 10 4566 7 7 8Nota

Nº do aluno

1 32 10764 5 8 9

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos

pares ordenados

(1,8) (2,9) (3,10) (4,6)

(6,6)(5,7)

8 9 10 4566 7 7 8Nota

Nº do aluno

1 32 10764 5 8 9

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos

pares ordenados

(1,8)

(7,5)

(2,9) (3,10) (4,6)

(6,6)(5,7)

8 9 10 4566 7 7 8Nota

Nº do aluno

1 32 10764 5 8 9

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos

pares ordenados

(1,8)

(7,5)

(2,9) (3,10) (4,6)

(6,6)(5,7) (8,7)

8 9 10 4566 7 7 8Nota

Nº do aluno

1 32 10764 5 8 9

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos

pares ordenados

(1,8)

(7,5)

(2,9) (3,10) (4,6)

(6,6)(5,7)

(9,8)

(8,7)

8 9 10 4566 7 7 8Nota

Nº do aluno

1 32 10764 5 8 9

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos

pares ordenados

(10,4)

(1,8)

(7,5)

(2,9) (3,10) (4,6)

(6,6)(5,7)

(9,8)

(8,7)

Nessa representação, convencionamos que o 1º elemento de cada par indica o número do aluno e o 2º elemento, a

nota que ele tirou.

Os pares (5,7) e (7,5), por exemplo, são diferentes. Apesar de serem

constituídos pelos mesmos elementos,eles estão dispostos numa ordem

diferente.

Em um par ordenado qualquer (a,b), chamamos

a - abscissa

b - ordenada

a e b - coordenadas

No par ordenado (5,7), por exemplo,a abscissa é 5, a ordenada é 7, e as

coordenadas são 5 e 7.

Qual a condição para que os pares ordenados (a,b)

e (b,a) sejam iguais?

R: a deve ser igual a b

Pode ocorrer a igualdade(3, x+y) = (x-y,-5) ?

R: Sim

Para que valores de x e y ?

R: Para x = -1 e y = -4

Observe:

(3, x+y) = (x-y,-5)

3 = x-y

x+y=-5

y = x-3

Substitui-se na 2ª:

x+(x-3)=-5

2x=-2

x=-1

y=-4

y=-1-3

Vamos estudar agora, de modo especial,o conjunto dos pares ordenados de nos

reais. Ele é representado por R2 e podeser definido assim:

R2 = {(x,y); x R e y R}

Por exemplo,

-3 R e 2 R (-3,2) R2

Os pares ordenados de números reais podem,também, ser associados a pontos. Essa correspondência se dá por meio do plano cartesiano.

O plano cartesiano é determinado por dois eixos perpendiculares, que se interceptam na origem O de cada um deles.

Você já sabe que os nos reais podem ser associados a pontos de uma reta - a reta real ou eixo real.

y

x

Ordenadas

Abscissas

Origem

P (a,b)

a

b.O (0,0).

O eixo horizontal (x) é o eixo das abscissas, orientado para a direita; e o eixo vertical (y) é o eixo das ordenadas, orientado para cima.

Observe os pares ordenados abaixo.

A (-7,4)

B (-3,-2)

C (2,-1)

D (9/2,1)

E (7,0)

F (0,3)

G (,5)

H (-3,0)

I (-6,-7/2)

Na figura seguinte, vamos marcar ospontos correspondentes a esses pares

ordenados.

.A

.B

.C

.D .E

.Fx

yG.

.H

.I

A (-7,4)

B (-3,-2)

C (2,-1)

D (9/2,1)

E (7,0)

F (0,3)

G (,5)

H (-3,0)

I (-6,-7/2)

G

.

.

..

...

A

BC

D

E

F

x

y .

.H

I

Observe que os pontos do eixo x têm ordenada nula (E e H) e os pontos do

eixo y têm abscissa nula (F).

x

y

Os eixos coordenados dividem o planoem quatro regiões, chamadas quadrantes.

1º quadrante(+,+)

3º quadrante(-,-)

2º quadrante(-,+)

4º quadrante(+,-)

O plano cartesiano estabelece, portanto,uma correspondência entre ponto e par

ordenado de reais, de forma que

A cada ponto do plano está associadoum único par ordenado de reais;

A cada par ordenado de reais está associado um único ponto do plano.

Sendo a e b nos reais não-nulos, em que quadrante está o ponto (-a,b) ?

R: Não é possível saber.

Observe os quatro exemplos:

a=1 e b=2

a=1 e b=-2

a=-1 e b=2

a=-1 e b=-2

(-a,b)=(-1,2)

4º Q

1º Q

2º Q

(-a,b)=(-1,-2) 3º Q

(-a,b)=(1,2)

(-a,b)=(1,-2)

Podem dois pares ordenados distintosserem representados pelo mesmo

ponto do plano cartesiano ?

R: Não

INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES

No universo as coisas dependem umas das outras. É essa relação de dependência que faz do mundo um

organismo vivo, dinâmico, cujos elementos se comunicam, se

relacionam e interagem continuamente.

Estudar, representar e analisar as relações

de dependência entre as grandezas

é o objetivo básico da Ciência,

desde os seus primeiros momentos.

GRANDEZAS

Quando se solta uma pedra, ela cai. Por que ela cai? O que provoca sua

queda? O que ocorre com sua velocidade durante a queda?

E ao se soltar uma pedra mais pesada? Muda alguma coisa?

E se a mesma experiência fosse feita na superfície

da Lua?

Ao estudar um fenômeno natural, a preocupação básica da Ciência é descobrir os fatores que nele influem e analisar de que forma

essa influência se dá.

Nesse processo, as variáveis envolvidas

são geralmente relacionadas por meio de

fórmulas, tabelas ou

gráficos.

Ex.1:

Fórmula: y = 2x + 4

Tabela:

x y

1 6

-3 -2

0 4

-2 0

2 8

Gráfico:

x

y

..

..

.Função de 1º

grau:

Reta

Ex.2:

Fórmula: y = x2 + 1

Tabela:

x y

1 2

-2 5

0 1

2 5

-1 2

Gráfico:

x

y Função de 2º grau:

Parábola

...

..

Função – uma lei

1

-2

02

-3

Fórmula: y = 2x + 4

6

0

48

-2

Domínio Contra-domínio

Função – representação

f: A B

DomínioContra-domínio

E a imagem?

Ex.: Dados os conjuntos A={1;2;3} e B={2;4;6;8} e a função f: A B

representada por f(x)=2x.Observe o diagrama que representa f.

1

23

2

46

8

E a imagem?

Domínio = A={1;2;3}Contra-domínio = B={2;4;6;8}Imagem = {2;4;6}

1

23

2

46

8

Imagem

Função – uma máquina

Máquina de

dobrar

1 27

2 414

O que é?

É um modo especial de relacionar grandezas. Nesse tipo de relação, duas grandezas, x e y,se relacionam de tal forma que:

• x pode assumir qualquer valor em um conjuntoA dado;• a cada valor de x corresponde um único valor de y em um dado conjunto B;• os valores que y assume dependem dos valoresassumidos por x.

x1

x2

x3

y1

y2

y3

x1

x2

x3

y1

y3

É função.

É função.

x1

x3

y1

y2

y3

x1

x2

x3

y1

y2

Não é função.

Não é função.