1

Plano CartesianoPlano Cartesiano

Jorge alberto ruiz

2

Objetivos

1.1. Localizar puntos en el plano cartesiano.Localizar puntos en el plano cartesiano.

2.2. Trazar la gráfica (poligonal) de un conjunto Trazar la gráfica (poligonal) de un conjunto de puntosde puntos..

3.3. Encontrar la distancia y el puntoEncontrar la distancia y el punto medio entre medio entre dos puntos en el plano.dos puntos en el plano.

Jorge alberto ruiz

3

Plano CartesianoPlano Cartesiano

Un plano cartesianoplano cartesiano se compone de dos

rectas numéricas reales que se intersecan

formando un ángulo de 90 grados en el cero

de las dos rectas.

ElEl plano cartesianoplano cartesiano se utiliza como sistema se utiliza como sistema

de referencia para localizar puntos en un de referencia para localizar puntos en un

plano.plano.

Jorge alberto ruiz

4Plano CartesianoPlano Cartesiano

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

I CuadranteII Cuadrante

III Cuadrante IV Cuadrante

OrigenEje de las

Abscisas

Eje de las

Ordenadas

Shortcut to wplotsp.lnk

Jorge alberto ruiz

5

Pares OrdenadosPares Ordenados

Un Un par ordenadopar ordenado es un par de números de es un par de números de

la forma la forma ( x, y )( x, y ) en donde el orden en que en donde el orden en que

se escriben los números es importante. La forma se escriben los números es importante. La forma

general de un par ordenado es: general de un par ordenado es:

((abscisaabscisa, , ordenadaordenada))

Cada par ordenado representa un punto Cada par ordenado representa un punto

en el plano cartesiano y viceversa.en el plano cartesiano y viceversa.

Jorge alberto ruiz

6

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

x

Signos de los puntos (pares ordenados) en los cuadrantes

Eje de las ordenadasEje de las ordenadas

Cuadrante I

x > 0, y > 0

Cuadrante IV

x > 0, y < 0

Cuadrante III

x < 0, y < 0

Cuadrante II

x < 0, y > 0

OrigenOrigen

(+,+)(-,+)

(-,-) (+,-)

Eje de las Eje de las abscisasabscisas

Jorge alberto ruiz

7

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

x

EjemplosLocaliza los siguientes pares ordenados en el Localiza los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano.plano cartesiano.

1. A(2, 3)

2. B(-2, 4)

3. C(-3, -2)

4. D(1, -3)

5. E(2, 0)

6. F(0, -1)

A(2, 3)B(-2, 4)

C(-3, -2) D(1, -3)

E(2, 0)

F(0, -1) Puntoscuadrantales

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8Ejemplo La cantidad (en miles) de automóviles vendidos en P.R. para los años 1988 al 1993 está dada en la tabla. Localiza los puntos en el plano cartesiano y traza una gráfica poligonal de los datos. La gráfica poligonal se obtiene uniendo los puntos con segmentos de líneas.

1988 1989 1990 1991 1992 1993

25 20 28 30 15 40

Jorge alberto ruiz

9

y

t

10

20

30

40

50

60

88 89 90 91 92 93 94Años

Cantidad

en Miles

1988 1989 1990 1991 1992 1993

25 20 28 30 15 40

A B C D E F

A

B

CD

E

F

Jorge alberto ruiz

10

País Precio por Galón, p(U.S. $)

Millas Promedio por Auto

Canada 1.57 10,371 England 2.86 10,186 France 3.31 8740

Germany 3.34 7674 Sweden 3.44 7456

United States 1.24 11,099

Ejemplo Los datos mostrados representan el precio por galón de gasolina en 1994 y el número promedio de millas recorridas por autos en varios países. Dibuja una gráfica poligonal de los datos.

Jorge alberto ruiz

11

M

P

7000

8000

9000

10000

11000

12000

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5Precio

Cantidad

Millas

4.0

24.1 57.1 86.2 31.3 34.3 44.3

11099 10371 10186 8740 7674 7456

A B C D E F

A

B

C

D

E

F

Jorge alberto ruiz

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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

x

Distancia entre dos puntos del planoDistancia entre dos puntos del plano

Distancia entre A y B

1 1( , )A x y

2 2( , )B x y

1x

2 1x x1y

2y

2 1y yd

2x

© Copywriter

13

Usando el Teorema de Pitágoras tenemos queUsando el Teorema de Pitágoras tenemos que

2 2 2

1 2 2 1 2 1,d P P x x y y

Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemosobtenemos

2 2

1 2 2 1 2 1,d P P x x y y

Jorge alberto ruiz

14

1 1 1 2 2 2

2 2

1 2 2 1 2 1

La distancia entre dos puntos , y ,

en un plano se donota y define por

d , .

P x y P x y

P P x x y y

Fórmula de DistanciaFórmula de Distancia

Jorge alberto ruiz

15

1 23,8 , 1, 2P P

2 2

1 2 2 1 2 1,d P P x x y y

2 2

1 2, 1 3 2 8d P P

2 2

1 2, 4 6d P P

1 2, 16 36d P P 52 2 13

Ejemplo 1: Encuentra la distancia entre los puntos (3, 8) y (-1, 2).

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16Ejemplo 2: En un mapa el punto En un mapa el punto A A tiene las coordenadas tiene las coordenadas (2 , -1.4)(2 , -1.4) y el punto y el punto BB tiene unas coordenadas tiene unas coordenadas (-4.6 , 2.5).(-4.6 , 2.5). Calcule la distancia entre Calcule la distancia entre AA y y BB. . Suponga que la escala es en centímetros.Suponga que la escala es en centímetros.

© Copywriter

17

212

212 yyxxd

22 4.15.226.4 d

22 4.15.26.6

La distancia entre A(2, -1.4) y B(-4.6, 2.5) es:

© Copywriter

18

22 4.15.26.6 d

22 9.36.6

77.58

67.7 cm

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19

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4y

x

El punto medio entre dos puntos del planoEl punto medio entre dos puntos del plano

Punto medio entre A A y BB

1x2x1y

2y

221 xx

221 yy

1 1( , )A x y

2 2( , )B x y

Jorge alberto ruiz

20

1 2 1 2PM , ,2 2

x x y yA B

Fórmula del Punto MedioFórmula del Punto Medio

El punto medio del segmento de línea con extremos y 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y se define y denota por;

Jorge alberto ruiz

21

Encuentra el punto medio del segmento entre

1 3, 8P y 2 1, 2P .

1 2 1 21 2PM , ,

2 2

x x y yP P

PM 1,5

1 2

3 1 8 2PM , ,

2 2P P

1 2PM , 1,5P P

Ejemplo 1:

Jorge alberto ruiz

22

Ejemplo 2:Ejemplo 2:

La cadena de los supermercados La cadena de los supermercados OrtízOrtíz tuvo tuvo unas ventas anuales de unas ventas anuales de $1.7$1.7 millones en millones en 1997 1997 y de y de $1.95$1.95 millones en millones en 1999.1999. Haga un Haga un estimado de las ventas de estos estimado de las ventas de estos supermercados en supermercados en 1998. 1998. Asumir que las Asumir que las ventas siguieron un patrón lineal.ventas siguieron un patrón lineal.

Jorge alberto ruiz

23

Como las ventas siguieron un patrón lineal y Como las ventas siguieron un patrón lineal y el año 1998 está en el medio de los años 1997 el año 1998 está en el medio de los años 1997 y 1999 podemos usar la fórmula de punto y 1999 podemos usar la fórmula de punto medio.medio.

:puntos los Tenemos

1.95 ,1999y 1.7 ,1997

Jorge alberto ruiz

24

1.7 ,1997 y 1.95 ,1999

PM

2

95.17.1,

2

19991997

millones 825.1 , 1998Las ventas en el 1998 fueron de 1.825 millones.

Jorge alberto ruiz

25Ejercicios:

1. Encuentra la distancia entre 2,3 y -2,-5

2. Encuentra la distancia entre 3 2,2 3 y -4 2,-3 3

3. Encuentra la distancia entre 2,3 y el punto medio entre 2,-2 y (-4,-6)

4. Encuentra los puntos ,5 , cuya distancx

ia al

punto 2,3 es 20.

Jorge alberto ruiz

26

.5,23,2 entre distancialaEncuentra.1 y

22 3522 d

2 22 2 8d

0 64d

8d

Jorge alberto ruiz

27

2. Encuentra la distancia entre,

3 2,2 3 4 2, 3 3 .y

2 2

4 2 3 2 3 3 2 3d

2 2

7 2 5 3d

49(2) 25(3)d

98 75d

173d Jorge alberto ruiz

28

3. Encuentra la distancia entre,

2,3 y el punto medio entre 2,-2 y (-4,-6).

2 21 2 4 3d

2 21 7d

50d

4,12

)6(2,

2

)4(2..

MP

25 2d 5 2d © Copywriter

29

2 220 2 5 3x

4. Encuentra los puntos ,5 , cuya distancia al

punto 2,3 es 20.

x

2 220 2 2x

220 2 4x

22 220 2 4x

Jorge alberto ruiz

30 220 2 4x

216 2x

216 2x

4 2x

2 4x

. . 6,5 , 2,5C S

6 2x x

Jorge alberto ruiz