Mdulo Didtico de apoio atividade docente para o CRV Disciplina: Matemtica Ensino Mdio Ttulo: Plano cartesiano

16. Plano cartesiano

16.1. Localizar pontos no plano cartesiano. 16.2. Representar um conjunto de dados graficamente. 16.3. Resolver problemas que envolvam simetrias no plano cartesiano. 16.4. Reconhecer a equao de uma reta no plano cartesiano. 16.5. Interpretar geometricamente a inclinao de uma reta.

1.

Introduo e coordenadas na reta

Neste mdulo vamos estudar coordenadas e retas no plano cartesiano. Apesar dos termos coordenadas e plano cartesiano serem novos, voc j tem um conhecimento intuitivo de seu significado, derivado de sua experincia cotidiana.

Exerccio 1.1

Localize, no mapa ao lado,

a esquina das ruas Itoror e Dom Vioso e a praa que fica na interseo das ruas Coronel Jos Benjamim e Progresso.

Se voc no teve dificuldade com este exerccio, voc j tem a habilidade bsica necessria para estudar este mdulo. Os outros pr-requisitos so um bom domnio das operaes aritmticas elementares, habilidades algbricas e familiaridade com resultados bsicos de geometria elementar, em particular com o teorema de Pitgoras e com semelhana de tringulos.

Supomos tambm conhecido o conceito de coordenadas na reta, que revemos brevemente. Dada uma reta fixa, queremos encontrar uma maneira de descrever a posio de um ponto qualquer. Para isto, tomamos emprestada a idia de uma estrada com marcos que indicam a quilometragem percorrida desde o incio da viagem, como segue.1

Na reta marcamos um ponto O, que chamamos origem. Este ponto determina duas semi-retas; selecionamos uma delas, que denominamos semi-reta positiva. usual marcar esta semi-reta com uma flecha em sua ponta, determinando na reta um sentido denominado sentido positivo; o sentido oposto denominado negativo. Usualmente (mas no necessariamente), a reta apresentada em posio horizontal, com a semi-reta positiva apontando para a direita. Supondo j determinada uma unidade de medida, estabelecemos uma correspondncia entre o conjunto R dos nmeros reais e os pontos da reta da seguinte maneira: a cada ponto P da reta associamos o nmero x = OP ; aqui supomos que OP a medida orientada do segmento OP, isto , OP > 0 se P est na semi-reta positiva e OP < 0 caso contrrio. Em particular, ao ponto O associamos o nmero 0. a cada nmero real x associamos o ponto P da reta tal que OP = x . Na figura abaixo ilustramos esta correspondncia com OP = 2 e OQ = 3 .

Chamamos esta correspondncia de sistema de coordenadas na reta 1. Em geral, usa-se a notao P ( x ) para indicar que OP = x , isto , que ao ponto P correspondeo nmero real x, e neste caso dizemos que x a coordenada do ponto P. Quando conveniente, abandonamos as formalidades e falamos do ponto x; este o significado de rotular os pontos da reta com nmeros, como abaixo da reta na figura anterior. A reta assim marcada conhecida como reta numrica.

Exerccio 1.2

Desenhe uma reta numrica e marque os pontos 7, 1,

1 9 e 2 4

Exerccio 1.3

Mostre que a distncia entre os pontos x e y na reta numrica

| x y | . Explique por que necessrio usar o valor absoluto.

1

Deveramos ser mais precisos e dizer que diferentes escolhas de origem, sentido positivo ou unidade de medida determinam diferentes sistemas de coordenadas na mesma reta. Como na prtica sempre fica claro qual o sistema de coordenadas utilizado, no vamos prestar ateno a isto.

2

O significado fsico das coordenadas na reta simples. Podemos pensar na reta como uma estrada (nossa idia original) e em O como o ponto a partir do qual todas as distncias so medidas. A coordenada x de um ponto P indica, na unidade de medida escolhida, a distncia que deve ser percorrida para sair de O e chegar at P; se x > 0 o deslocamento feito no sentido indicado pela semi-reta positiva e no sentido contrrio se x < 0 .

Exerccio 1.3

Dados dois pontos x e y na reta numrica, o que se pode dizer

se (i) x < y , (ii) x = y e (iii) x > y ?

Resumindo, a idia de reta numrica a seguinte: para determinar a posio de um ponto na reta, basta conhecer sua coordenada. Ela nos informa quanto (em unidades de medida) e em que direo devemos andar, a partir da origem, para chegar at o ponto.

2.

Coordenadas no plano

Vimos na introduo como estabelecer uma correspondncia um a um entre os pontos de uma reta e o conjunto R dos nmeros reais, bastando para isto escolher uma origem, uma unidade de medida e um sentido positivo na reta. Nosso objetivo nesta seo fazer algo semelhante para o plano. Para isto, vamos retomar o exerccio 1.1.

Problema 2.1

Explicar como chegar s esquinas das ruas Cesrio Alvim e

Padre Eustquio, Humait e Francisco Bicalho e Itoror e Progresso, partindo da praa e seguindo primeiro pela Rua Cel. Jos Benjamim para depois prosseguir paralelamente Rua Progresso.Vamos pensar nas ruas Cel. Benjamim e Progresso como retas numricas com origem na praa e com quadra sendo a unidade de medida comum a estas retas, como na figura ao lado. Para chegar esquina de Cesrio Alvim e Padre Eustquio partindo da praa, devemos fazer o trajeto indicado em vermelho na figura: 2 quadras no sentido positivo na Cel. Jos Benjamim e depois 4 quadras na3

Cesrio Alvim, acompanhando o sentido positivo da Progresso. Podemos informao conveniente: resumir de modo esta bem

para

chegar

esquina de Cesrio Alvim e Padre Eustquio partindo da praa necessrio andar (2,4). O 2 quer dizer andar 2 quadras no sentido positivo na Cel. Jos Benjamim e o 4 quer dizer andar 4 quadras na Cesrio Alvim, acompanhando o sentido positivo da

Progresso. Para chegar esquina de Humait e Francisco Bicalho necessrio seguir o trajeto verde: andar 1 quadra no sentido negativo da Cel. Benjamin e depois outras 2 quadras acompanhando o sentido negativo da Progresso; indicamos isto dizendo que neste caso necessrio andar ( 1, 2) . Aqui o sinal negativo em 1 indica que estamos andando no sentido negativo da Cel. Benjamim, e o mesmo comentrio se aplica ao 2 . Finalmente, para chegar esquina de Itoror e Progresso necessrio seguir o trajeto azul: andar 0 quadras na Cel. Benjamim e depois 2 quadras no sentido positivo da Progresso. Na nossa notao, devemos andar (0,2) ; o 0 indica que no h deslocamento ao longo da Cel. Benjamim.

Exerccio 2.1

Indique, na forma (a, b ) , como chegar s esquinas das ruas

Riachuelo e Castigliano, Itoror e Henrique Gorceix e Cel. Jos Benjamim e Anchieta.

O que fizemos at aqui foi semelhante ao j feito na reta numrica: estabelecemos um cdigo para explicar como sair da praa e chegar a uma esquina dada. Para isto, fixamos uma origem (a praa) e duas retas numricas que se interceptam na origem4

(as ruas Cel. Benjamim e Progresso). O cdigo : o par ordenado (a, b ) quer dizer andar a quadras pela Cel. Benjamim e depois b quadras paralelamente Progresso. importante notar que, neste cdigo, no h duas maneiras distintas de chegar a uma esquina; por exemplo, ( 2,5) nos leva diretamente esquina de Rio Pomba e Costa Senna, ou seja, podemos (com um pequeno abuso de linguagem) falar desta esquina como a esquina ( 2,5) . Vamos agora formalizar estas idias,

generalizando a idia de esquina para pontos do plano; o roteiro j est pronto.

Marcamos no plano um ponto especial O, que chamamos de origem, e duas retas numricas perpendiculares com origem em O; estas retas so chamadas eixos coordenados. Um destes eixos ser chamado eixo x, que colocaremos na horizontal com o sentido positivo para a direita. O outro eixo ser chamado eixo y, que colocaremos na vertical com o sentido positivo para cima. Por convenincia grfica, vamos supor iguais as unidades de medida nestes dois eixos 2. Chamamos plano cartesiano 3 ao plano munido de origem e eixos.

Consideremos agora um ponto qualquer P no plano cartesiano. Queremos descrever como chegar a P saindo da origem, andando primeiro paralelamente ao eixo x e depois ao eixo y. Para isto, traamos por

P

duas

perpendiculares

aos

eixos

coordenados, determinando o ponto a no eixo x e o ponto b no eixo y, como na primeira figura esquerda. Isto feito, sabemos como ir da origem ao ponto P; basta andar a unidades de medida ao longo do eixo x e depois b unidades de medida paralelamente ao eixo y, seguindo o caminho2

Supor iguais as unidades de medida serve apenas para que os reticulados sejam formados por quadrados em vez de retngulos no quadrados. Matematicamente, no faz diferena supor estas unidades iguais ou diferentes. 3 Homenagem a Ren Descartes (1596-1650), famoso matemtico francs e introdutor do mtodo de coordenadas no plano em seu livro La Gomtrie (1637).

5

indicado em vermelho na segunda figura esquerda. Estamos exatamente na situao do mapa do problema 2.1; o ponto P a interseo (esquina) das perpendiculares (ruas) aos eixos x e y nos pontos de coordenadas a e b, respectivamente. Aqui dizemos que as coordenadas de P so (a, b ) ; a chamada de

primeira coordenada ou abscissa e b a segunda coordenada ou ordenada. Outrasnotaes so P (a, b ) , P = (a, b ) e, mais simplesmente, (a, b ) quando no for necessrio dar nome ao ponto.

Devemos prestar ateno ao caso em que P est sobre um dos eixos, por exemplo, o eixo x. Neste caso, a perpendicular traada por P ao eixo y o prprio eixo x, e a ordenada de P 0. Conclumos que o eixo x o conjunto dos pontos da forma (a,0) , conforme a figura ao lado. Em termos de caminhar da origem at o ponto, a interpretao simples: para pontos no eixo x, basta andar na horizontal, o deslocamento na vertical sendo nulo. Analogamente, o eixo y o conjunto dos pontos de abscissa nula, isto , o conjunto dos pontos da forma (0, b ) .

A ltima figura merece um comentrio. Notamos que o ponto destacado foi rotulado por a e tambm por (a,0) ; isto no deve causar confuso. O nmero a a coordenada do ponto no eixo x, visto como reta numrica. J (a,0) so as coordenadas do mesmo ponto, mas agora visto como um ponto no plano cartesiano.

Em resumo, o que fizemos at agora foi o seguinte. Introduzindo uma origem e dois eixos coordenados, transformamos o plano em um plano cartesiano. Neste, qualquer ponto determina um par de nmeros reais e, reciprocamente, qualquer par de nmeros reais determina um ponto. Por este motivo, o plano cartesiano usualmente denotado por R2; o 2 serve para lembrar que para especificar a posio de um ponto so necessrios dois nmeros.

6

Chegamos assim ao objetivo enunciado no incio desta seo, ou seja, ao anlogo no plano do que fizemos na reta numrica. Na reta, a coordenada de um ponto indica a distncia4

a percorrer da origem at este ponto. No

plano, as coordenadas de um ponto indicam, nesta ordem, as distncias horizontal e vertical que necessrio percorrer da origem at este ponto. Ilustramos isto na figura ao lado, onde P = (a, b ) , Q = (c, d ) e R = (0, e ) .

Exerccio 2.2

Desenhe seu prprio plano cartesiano e marque os pontos

1 1 5 2 (2,3), (0, 2), ,0 , , 5 e , . No necessrio marcar os pontos 2 3 2 3exatamente; basta dar uma boa idia de onde eles esto.

Exerccio 2.35

Determine as coordenadas dos pontos marcados na figura a

seguir . Aproveite e marque mais alguns pontos com coordenadas que voc mesmo escolher.

Lembramos que nossas distncias tm sinal; se positivas, so percorridas no sentido positivo da reta, e no sentido oposto caso contrrio. 5 O objetivo deste exerccio fazer que voc no tenha problemas em relacionar pontos com coordenadas; um pouco de treino no faz mal a ningum.

4

7

3.

Comentrios sobre coordenadas

Nesta seo vamos fazer comentrios simples sobre as relaes entre as coordenadas de um ponto e sua posio no plano, bem como sobre as relaes entre coordenadas e algumas simetrias. Por convenincia, vamos passar a escrever as coordenadas de um ponto qualquer na forma ( x, y ) . Isto feito para enfatizar o fato de que agora pensamos em nossos pontos como tendo coordenadas variveis; quando quisermos fixar o valor de uma coordenada, usaremos as letras a, b, c,, como antes. Um pequeno inconveniente desta notao que as letras x e y j foram usadas para denotar os eixos, mas na prtica isto no causa confuso 6.

Um de nossos objetivos nesta seo estudar a posio de um ponto no plano a partir de suas coordenadas. Por exemplo, j vimos o que acontece se uma das coordenadas igual a 0: um ponto ( x, y ) est no eixo x se e somente se y = 0 e no eixo y se e somente se x = 0 . O que se pode dizer sobre a posio de ( x, y ) quando tanto x quanto y so diferentes de 0?

Para responder a esta pergunta, notamos que os eixos coordenados dividem o plano em quatro regies, que chamamos de primeiro,segundo, terceiro e quarto quadrantes, como na figura ao lado. Por

conveno, os pontos dos eixos no pertencem a nenhum quadrante. Se x > 0 ento P est no primeiro ou no quarto quadrante, isto , acima do eixo y, pois para chegar em P a partir da origem devemos andar para a direita; o mesmo argumento mostra que se x < 0 ento x est no segundo ou no terceiro quadrante.Analise a posio de ( x, y ) , quando x 0 e y 0 , em funo

Exerccio 3.1do sinal de y.

Em particular porque vamos parar de rotular os eixos a partir de agora, convencionando que o eixo horizontal sempre o eixo x.

6

8

Conclumos que o primeiro quadrante o conjunto dos pontos ( x, y ) tais que x > 0 e y > 0 .

Exerccio 3.2

Explique, atravs do sinal de x e y, quando que ( x, y ) est no

segundo, terceiro ou quarto quadrantes.

Mostramos acima que se P = ( x, y ) ento P est direita do eixo y se

x > 0 , esquerda se x < 0 e sobre este eixo se x = 0 . O conjunto dospontos ( x, y ) com x > 0 ento o semiplano determinado pelo eixoy, conforme a figura ao lado. Mais geralmente, seja a um nmero

real e r a reta que corta o eixo x no ponto a; o conjunto dos pontos ( x, y ) tais que x > a o conjunto dos pontos direita de r.

Exerccio 3.3

Considere a reta vertical r que corta o eixo x no ponto a, e seja

P = ( x, y ) . O que se pode dizer de x quando P estiver esquerda de r? E se P estiver sobre r? Faa comentrios anlogos sobre a posio de P com respeito a uma reta horizontal que corta o eixo y no ponto b.

Por convenincia grfica, a partir de agora vamos (quase) sempre fazer nossas figuras com pontos no primeiro quadrante. O(a) leitor(a) deve se convencer que todos os argumentos apresentados so verdadeiros para pontos quaisquer.Sejam P1 = ( x1, y 1 ) e P2 = ( x2 , y 2 ) . Como podemos saber se P1 e

Exerccio 3.4

P2 esto na mesma reta vertical ou na mesma reta horizontal?

Consideremos agora um ponto P = (a, b ) ; sejam P ' seu simtrico com relao ao eixo x e A = (a,0) , como na figura ao lado. Os tringulos OAP e OAP so congruentes, pois so retngulos, AP = AP ' e tm OA comum, e conclumos que P ' = (a, b ) .

9

Exerccio 3.5

Qual o simtrico do ponto (a, b ) em relao ao eixo y?

Ainda falando de simetrias, consideremos a figura ao lado. As retas r e s so as bissetrizes dos ngulos formados pelos eixos; r chamada bissetriz principal e s a

bissetriz secundria. O ponto P2 o simtrico de P1 com

relao a r, o ponto P3 o simtrico de P2 com relao ao eixo y, e assim por diante.Sabendo que P1 = (a, b ) , determine as coordenadas de todos os

Exerccio 3.6

pontos de P2 at P8 .

Problema 3.1

Sejam P1 = ( x1, y 1 ) e P2 = ( x2 , y 2 ) . Vamos achar as coordenadas

do ponto mdio M do segmento P1P2 .

Seja M = ( x, y ) . Na figura ao lado, todos os segmentos verticais so paralelos. Como M o ponto mdio deP1P2 , segue que x o ponto mdio de x1 e x2 , ou seja,x= x1 + x 2 y + y2 . Do mesmo modo obtemos y = 1 , e 2 2

x + x2 y1 + y 2 , conclumos que M = 1 . 2 2Sejam P1 = ( x1, y 1 ) e P2 = ( x2 , y 2 ) . Determine as coordenadas dos

Exerccio 3.7

pontos que dividem o segmento P1P2 em trs partes iguais. O que se pode dizer dos pontos da forma P = ( x, x ) , isto ,

Problema 3.2

pontos cujas coordenadas so iguais?

Esta situao est ilustrada na figura ao lado. Os tringulos OAP e OBP so congruentes, pois so tringulos retngulos issceles com catetos iguais. Em particular, o nguloPOA mede 45, e vemos que P est na bissetriz principal.10

Reciprocamente, mostramos que se um ponto P est na bissetriz principal entoP = ( x, x ) para algum x. Nossa concluso que a bissetriz principal conjunto de

todos os pontos da forma ( x, x ) .

Exerccio 3.9

Qual o conjunto dos pontos da forma ( x, x ) ?

Exerccio 3.10

Qual o conjunto dos pontos ( x, y ) tais que x < y ? E tais que

x > y ? E tais que x y ?

Problema 3.3P2 ?

Sejam P1 = ( x1, y 1 ) e P2 = ( x2 , y 2 ) . Qual a distncia entre P1 e

Observando a figura ao lado, vemos que o tringulo P1PP2 retngulo em P. Seus catetos tm medida | x2 x1 | e | y 2 y1 |7

. Segue do teorema de

Pitgoras que P1P2 = ( x2 x1 )2 + ( y 2 y1 )2 .

Exerccio 3.11

Ache um ponto no eixo y que seja eqidistante de ( 2,0) e (2,1) .

Quantos so os pontos do eixo y que tm esta propriedade? Por qu?

Exerccio 3.12

No problema 3.3 usamos o teorema de Pitgoras no tringulo

retngulo P1PP2 . O que acontece se x1 = x2 ou y1 = y 2 ? Sejam C = (a, b ) , P = ( x, y ) um ponto qualquer e r > 0 . Mostre

Exerccio 3.13

que PC = r se e somente se ( x a )2 + ( y b )2 = r 2 . Se voc desenhar todos estes pontos P, qual a figura que voc vai obter?

7

Por que usamos valores absolutos?

11

4.

Retas no plano e suas equaes

Nosso objetivo nesta seo descrever retas no plano cartesiano atravs das coordenadas de seus pontos. Na verdade, j fizemos isto vrias vezes em casos particulares, que lembramos a seguir: ( x, y ) est no eixo x se e somente se y = 0 ; ( x, y ) est no eixo y se e somente se x = 0 ; ( x, y ) est na reta vertical que corta o eixo x no ponto a se e somente sex = a (exerccio 3.4);

( x, y ) est na reta horizontal que corta o eixo y no ponto b se e somente sey = b (exerccio 3.4);

( x, y ) est na bissetriz principal se e somente se x = y ; ( x, y ) est na bissetriz secundria se e somente se x = y (exerccio 3.9);

Note que todos estes exemplos consistem de duas partes: uma descrio geomtrica de uma reta e a caracterizao algbrica dos pontos ( x, y ) que pertencem reta. A esta caracterizao chamamos de equao da reta. Por exemplo, resumimos o primeiro e o ltimo exemplo acima dizendo que a equao do eixo x y = 0 e a equao da bissetriz secundria x = y 8.

Repetimos para enfatizar. A equao de uma reta deve ser entendida como a propriedade que caracteriza os pontos desta reta, ou seja, como um critrio que permite afirmar se um ponto est ou no na reta. Por exemplo, o que queremos dizer com a equao da bissetriz principal x = y a bissetriz principal o conjunto dos pontos ( x, y ) tais que x = y . bissetriz principal pois pois 1 2 .8

1 1 Assim, o ponto , est na 2 2

1 1 = x = y ; o ponto (1,2) no est na bissetriz principal 2 2

Do mesmo modo, a equao da circunferncia de centro (a , b) e raio r (x a)2 + (y b)2 = r 2 , conforme o exerccio 3.11. Neste mdulo, estamos interessados apenas em equaes de retas, de modo que no faremos comentrios sobre circunferncias.

12

Passamos agora ao tpico principal desta seo, que achar a equao da reta r que passa por dois pontos distintos P1 = ( x1, y 1 ) e P2 = ( x2 , y 2 ) . Para simplificar um pouco a exposio, conveniente definir x = x2 x1 e y = y 2 y1 . Estes dois nmeros so conhecidos como variao de x e variao de y, respectivamente 9.

Vamos primeiro analisar dois casos especiais de nosso problema. Se x = 0 temos x1 = x2 ; neste caso r uma reta vertical e sua equao x = x1 , como j vimos. Analogamente, se y = 0 segue que r uma reta horizontal de equao y = y1 . Podemos ento prosseguir supondo que x 0 e y 0 . Aproveitamos a ocasio para introduzir um nmero muito importante para o nosso trabalho; ele a =

y x

10

,

conhecido como a inclinao ou coeficiente angular da reta r. Notamos que no caso y = 0 temos a = 0 , mas no possvel definir a no caso x = 0 . Vamos supor primeiro x > 0 e y > 0 , isto , x2 > x1 e y 2 > y1 , como na figura A direita. Nesta figura notamos, em particular, o tringulo retngulo P1AP2 de catetos x e y , que j encontramos no problema 3.3.

Exerccio 4.1

Na figura A, suponha que P1 fique fixo e que P2 se mova na reta

x = x2 . O que acontece com y medida que P2 se move? E o que acontece com a? Repita o exerccio supondo que P2 se move na reta y = y 2 .

Nosso objetivo achar a equao da reta r, isto , uma condio para determinar quando que um ponto P = ( x, y ) , diferente de P1 e de P2 , pertence reta9

10

Ou delta xis e delta ipsilon, em linguagem coloquial. A partir de agora as letras a e b passam a ter significado restrito e no sero mais utilizadas para denotar nmeros reais arbitrrios.

13

determinada por P1 e P2 . A figura A mostra que a condio para que isto acontea que os tringulos P1AP2 e P1BP sejam semelhantes, ou seja, equivale a dizer que

P2 A PB . Isto = AP1 BP1

y y y1 , = x x x1ou seja

(1)

y y 1 = a( x x1 ) .Definindo b = ax1 + y1 podemos escrever esta ltima equao como

(2)

y = ax + b .

(3)

Tanto (2) como (3) so conhecidas como equaes de r. Por algum tempo, vamos nos concentrar em equaes da forma (3); uma aplicao importante da equao da reta na forma (2) aparece no problema 5.1.

Problema 4.1

Achar a equao geral da reta r que passa por P1 = ( 2,1) e

P2 = (2,3) . Determinar se os pontos (4,4) e (1, 1) esto em r. Achar em r um ponto da forma (2, y ) e outro da forma ( x,0) .Primeiro calculamos a =

y 3 1 1 = = ; substituindo em (2) temos x 2 ( 2) 2 1 1 1 [ x ( 2)] = ( x + 2) = x + 1 2 2 2 1 x +2. 2

y 1=

e da chegamos equao geral de r, que y = O ponto (4,4) est em

r pois a

1 substituio na equao de r nos d 4 = 4 + 2 , 2 uma expresso verdadeira; j (1, 1) no est em

1 r, pois 1 1 + 2 . 2

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1 Para que um ponto (2, x ) esteja em r devemos ter y = 2 + 2 = 3 , ou seja, 2 (2,3) um ponto de r. Para que um ponto ( x,0) esteja em r devemos ter 0 = donde x = 4 ; logo ( 4,0) est em r.

1 x +2, 2

importante tratar de um detalhe na deduo da expresso (1), onde escrevemos PB = y y1 e BP1 = x x1 com alguma liberdade. Quando P est direita de P2 , y y1 e x x1 so positivos e o que acabamos de escrever est correto. Mas se P est esquerda de P1 ento y y1 e x x1 so negativos e no podem denotar comprimentos de segmentos. Isto no cria problemas; de fato, neste caso temos PB y1 y y y1 = = BP1 x1 x x x1 e o raciocnio continua o mesmo. Observaes semelhantes a esta nos permitem concluir que o raciocnio que fizemos para deduzir as equaes (2) e (3) valem quaisquer que sejam os sinais de x e y .

Exerccio 4.2

1 Determine a equao da reta que passa pelos pontos 1, e 2

( 1,0) . Verifique se os pontos (1,0) e (2,2) esto ou no nesta reta. Ache nesta reta um ponto de abscissa 3 e outro de ordenada 4 .

Exerccio 4.3

Verifique se os pontos (1,2) , (2,1) e (0,3) so colineares. Faa o

mesmo para os pontos (1, 1) , ( 3,7) e (5, 2) .

Exerccio 4.4

Seja r uma reta de equao y = ax + b que passa pela origem. O

que se pode dizer sobre a e b?

At aqui, mostramos que toda reta no vertical tem uma equao da forma y = ax + b ; retas verticais tm equaes da forma x = c . Uma maneira de unificar as equaes de todas as retas em um nico formato o seguinte: qualquer reta tem

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uma equao da forma x + y = , onde , e so nmeros reais

11

e pelo

menos um entre e diferente de 0. De fato, a equao y = ax + b pode ser escrita como ax + ( 1)y = b , e x =c pode ser escrita como 1x + 0 y = c .

Reciprocamente, se 0 ento x + y = pode ser escrita como y =

x + ; se

= 0 ento 0 e x + y = se torna x =

. Ou seja: toda vez que voc

encontrar uma equao da forma x + y = , onde pelo menos um entre e diferente de 0, voc estar na presena de uma reta no plano.

5.

A interpretao geomtrica de a e b

Nesta seo vamos interpretar geometricamente os nmeros a e b que aparecem na equao y = ax + b de uma reta (no vertical) r. Estes nmeros so chamados de coeficiente angular (ou inclinao) de r e coeficiente linear de r, respectivamente.

Exerccio 5.1

Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta de

equao 2 x + 3 y = 4 .

A interpretao de b bastante simples. Fazendo x = 0 na em y = ax + b obtemos y = b ; isto quer dizer que (0, b ) est em r. Por outro lado, (0, b ) est no eixo y, e conclumos que r corta o eixo y no ponto b. Em que ponto a reta y = ax + b corta o eixo x?

Exerccio 5.2

Passamos ao estudo de a. J sabemos que a = 0 significa que a reta horizontal, de modo que temos que analisar apenas o caso a 0 .

11

As letras gregas , e (alfa, beta e gama) so usadas aqui apenas para evitar confuso com a, b e c.

16

Vamos supor primeiro a > 0 . Seja P = ( m, n ) um ponto qualquer de r; isto quer dizer que

n = am + b . Colocando x = r + 1 na equao de r,temos y = a( m + 1) + b = (am + b ) + a = n + a , e ento ( m + 1, n + a ) est em r. Isto nos permite fazer a figura ao lado, que nos d a interpretao procurada para a: se um ponto anda na reta de modo a se deslocar uma unidade de comprimento no sentido positivo na horizontal, seu deslocamento na vertical ser de a unidades de comprimento. Ainda supondo a > 0 , qual o deslocamento vertical de um

Exerccio 5.3

ponto que anda ao longo da reta de modo a se deslocar k unidades de comprimento na horizontal? No se esquea de analisar o caso k < 0 e fazer o desenho correspondente. Mostre que para a < 0 a figura

Exerccio 5.4

anloga anterior como ao lado. Qual o deslocamento vertical de um ponto que anda ao longo da reta de modo a se deslocar k unidades de comprimento na horizontal? No se esquea de analisar o caso

k 0 e para baixo se ak < 0 ). Esta interpretao explica a terminologia inclinao: quanto maior for o valor absoluto | a | , mais inclinada ser a reta com relao horizontal. A reta est inclinada para a direita se a > 0 , para a esquerda se a < 0 e horizontal se a = 0 .

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Exerccio 5.5

A figura ao lado mostra oito retas

coloridas (os eixos esto em preto) de coeficientes angulares

1 1 0, , 1, 2, 5, 1 2 e . Associe a cada uma destas retas , 5 3o seu coeficiente angular.

Podemos relacionar o coeficiente angular com o ngulo que a reta r faz com o eixo x. Se a > 0 ento o ngulo est entre 0 e 90, se a < 0 ento o ngulo est entre 90 e 180, e se a = 0 ento a reta horizontal, caso em que convencionamos dizer que o ngulo 0.

Repetimos ao lado uma figura anterior, mas agora com outro objetivo. Nela podemos ver imediatamente que se a > 0 o ngulo que a reta faz com a horizontal aumenta medida que a aumenta 12. Faa comentrios anlogos para o caso em que a < 0 .

Exerccio 5.6

Finalmente, usamos a figura ao lado para ilustrar o fato de que duas retas so paralelas se e somente se seus coeficientes

angulares so iguais.

O prosseguimento natural do fizemos at aqui estudar posies relativas e intersees de duas retas com mais detalhe, mas este assunto mais propriamente tratado com a linguagem de sistemas de equaes e ser objeto de outro mdulo.

Se voc j estudou trigonometria, deve ter notado que estas observaes sobre o coeficiente angular decorrem do fato de que a a tangente do ngulo que r faz com a horizontal.

12

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Problema 5.1

Encontrar a equao da reta r que passa pelo ponto (1,2) e

paralela reta s de equao y = 2 x + 7 . O coeficiente angular de s 2 ; como r e s so paralelas, este tambm deve ser o coeficiente angular de r. Alm disso, conhecemos um ponto (1,2) de r; nesta situao, podemos escrever a equao de r na forma (2) (seo 4) como y 2 = 2( x 1) e da obter y = 2 x + 4 .

Exerccio 5.6

Determine a equao da reta que

1. passa pelo ponto ( 3, 2) e paralela reta 3 x 2y = 1. 2. passa pelo ponto ( 1,3) e paralela reta x = 5 .

3. passa pelo ponto (1,1) e paralela reta y = 2 .

Bibliografia Elon Lages Lima: Coordenadas no plano. Coleo do Professor de Matemtica, IMPA (1992).

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