plano cartesiano y geometría
TRANSCRIPT
-PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO
-DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS-PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS
-PERÍMETROS Y ÁREAS
-LA FUNCIÓN LINEAL Y SU GRÁFICA
PARALELISMO, COINCIDENCIA Y
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS
-ECUACION PRINCIPAL Y ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
EJERCICIOS PROPUESTOS
POSICIÓN Y DIRECCIÓN DE UNA RECTA
CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA, A PARTIR DE DOS PUNTOS
ECUACIÓN DE LA RECTA, A PARTIR DE DOS PUNTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA RESUMEN
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Esc Sale Mouse o Av. Pág. Avanza
x
y
1
2 3 4-4 -3 -2 -1 5-5
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
(1,2)
(3,4)
(4½,2½)
(-2,1)
(-5,3)
(-4,1½)
(-1½,-2)
(-4½,-1)
(-3,-3)
(5,-3½)
(2,-2½)
(3,-1½)
x
y
1
2 3 4-4 -3 -2 -1 5-5
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
(1½, 2)
(-4½, 3)
(-1½, -3)
(2, -1½)
(5, 1)
(3½, -3½)
(-4, -2)
IDENTIFICA LOS PUNTOS
QUE SE INDICAN Y LUEGO
COMPRUEBA.(-3, 3½)
x
y
x1 x2
y1
y2
P1
P2
PMy1 +y2
2
x1 +x2
2
EL PUNTO MEDIO PM ENTRE P1
y P2 TIENE COORDENADAS:PM( , )x1 +x2
2
y1 +y2
2
OBSERVA COMO SE DETERMINA EL PUNTO MEDIO
ENTRE DOS PUNTOS P1(x1, y1) y P2 (x2, y2)
OBSERVA COMO SE DETERMINA EL PUNTO MEDIO
ENTRE LOS PUNTOS P1(2, 3) y P2 (6, 7)
SEGÚN FÓRMULA
ANTERIOR:PM( , )x1 +x2
2
y1 +y2
2
ESTO ES:
PM( , )2 +6
2
3 +7
2
LUEGO:
PM( 4 , 5 )
x
y
P1
P2
PM
2 6
3
7
4
5
x
y
2 4
2
6 8 10
4
6
8
-6
-4
-2
-10 -8 -6 -4 -2
37-4 = 3
6-2 =4
4
916d
Según Pitágoras:
22234d
= 5
APLICANDO EL
TEOREMA DE
PITÁGORAS, ES
POSIBLE
DETERMINAR LA
DISTANCIA
ENTRE DOS
PUNTOS DEL
PLANO.
¡SIRVE EL TEOREMA
DE PITÁGORAS! ¡AH!25d
x
yLA DISTANCIA
ENTRE DOS
PUNTOS SE
OBTIENE COMO
CONCLUSIÓN
DEL PROCESO
SIGUIENTE:
x1 x2
y1
y2
x2 -x1
x2 -x1
y2 -y1 y2 -y1
Aquí, Según Pitágoras:
d2 =(x2 - x1)2
+ (y2 - y1)2
ESTO ES:
P1
P2
d = (x2 - x1)2
+ (y2 - y1)2
ESTA ES LA FÓRMULA
GENERAL PARA DETERMINAR
LA DISTANCIA ENTRE DOS
PUNTOS
SEAN LOS PUNTOS P1 y P2,, DE
COORDENADAS (x1,y1) y (x2,y2)
CÁLCULO DE LA DISTANCIA ENTRE
LOS PUNTOS P1(2, 3) y P2 (14, 8)
x
y
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
P1(2,3)
P2 (14, 8)
12
5
Según Pitágoras: d2 = (14 - 2)2 + (8 - 3)2d=13
SEAN LOS PUNTOS :
A(-2, -4) B( 3, 8) C(6, 4)
EN UN PLANO, ESTO ES:
x
y
A
B
C
AL UNIR LOS VÉRTICES,
MEDIANTE SEGMENTOS DE
RECTA, SE DETERMINA EL
TRIÁNGULO ABC
ENTONCES, EL PERÍMETRO
DEL TRIÁNGULO ABC SE
OBTIENE SUMANDO LA
MEDIDA DE SUS LADOS AB,
BC Y AC.
d = (x2 - x1)2
+ (y2 - y1)2
PARA EL CÁLCULO DE ESTAS
MEDIDAS, SE APLICA LA
FÓRMULA DE DISTANCIA:
Continúa...
ENTRE LOS PUNTOS:
d = (x2 - x1)2
+ (y2 - y1)2
APLICANDO LA
FÓRMULA:
(3 - -2)2+ (8 - -4)2
ABd 22
125
14425 169 13
A(-2, -4) B( 3, 8 )
BCd (6 - 3)2
+ (4 - 8)2
LUEGO, CONSIDERANDO LOS PUNTOS:
22)4(3
169 25 5
B( 3, 8 ) C(6, 4)
Continúa...
Y CONSIDERANDO LOS PUNTOS:
ACd (6 - -2)2
+ (4 - -4)2 2288
6464
A(-2, -4) C(6, 4)
128
CON LO CUAL SE CONCLUYE QUE EL PERÍMETRO DEL
TRIÁNGULO QUE DETERMINAN LOS PUNTOS A,B,C, ES:
P= 13 + 5 +
P =
11,31
11,31
29,31Continúa...
PARA RESOLVER EL PROBLEMA
DEL CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO ABC ,
EXISTE UNA FÓRMULA QUE PERMITE DETERMINAR
EL ÁREA DE CUALQUIER TRIÁNGULO
CUANDO LAS MEDIDAS DE SUS LADOS SE CONOCEN
ESTA ES, )()()( cpbpappA
AQUÍ:
es la mitad del perímetro del triángulo
son las medidas de los respectivos
lados del triángulo ABC.cba ,,
p
Continúa...
ASÍ, ENTONCES, CONSIDERANDO QUE LAS MEDIDAS
DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO ABC, SON:13, 5 y
11.31 Y QUE SU PERÍMETRO ES 29.31
CON LA FÓRMULA DE HERÓN:
)()()( cpbpappAREA
SE TIENE: 31,11a 5b 13c 66,14p
ESTO ES:
66,166,935,366,14AREA
27,93= 780.47 =
EN UN PLANO DE COORDENADAS, SE TIENEN
LOS PUNTOS A(-3, -2) , B (-2, 5) y C (7, -4)
x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
A
B
C
AL UNIR LOS VÉRTICES,
MEDIANTE SEGMENTOS DE
RECTA, SE DETERMINA EL
TRIÁNGULO ABC.
¡DETERMINA SU PERÍMETRO
Y LUEGO COMPRUEBA!
¡DETERMINA SU ÁREA
Y LUEGO COMPRUEBA!
Continúa...
ENTRE LOS PUNTOS:
d = (x2 - x1)2
+ (y2 - y1)2
APLICANDO LA
FÓRMULA:
(-2 - -3)2+ (5 - -2)2
ABd 22
71
491 50 7,07
A(-3,-2) B( -2, 5 )
BCd (7 - -2)2
+ (-4 - 5)2
LUEGO, CONSIDERANDO LOS PUNTOS:
22)9(9
8181 162 12,72
C(7, -4)B( -2, 5 )
Continúa...
ADEMÁS, CON LOS PUNTOS:
ACd (7 - -3)2
+ (-4 - -2)2 22)2(10
4100 104 10,19
A(-3,-2) C(7, -4)
P = 7,07 + 12,72 + 10,19 =
ASÍ, ENTONCES, EL PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO ABC ES:
29,98
Y CON LA FÓRMULA DE HERÓN:
)()()( cpbpappAREA
8,427,292,799,14AREA
16,27= 264,7 =EL ÁREA DEL TRIÁNG. ES:
x
y
-2
4
2
6
2 64-8 -4-6 -2
UNA MANERA INGENIOSA PARA CALCULAR EL ÁREA DE UN
TRIÁNGULO, DIBUJADO EN UN PLANO, ES INSCRIBIRLO EN UN
RECTÁNGULO.SEA EL TRIÁNGULO: P(-6, -2) , Q (-3, 4) y R (5, 1)
AL INSCRIBIRLO EN UN RECTÁNGULO,
SE TIENE:
AHORA, EL ÁREA DEL
TRIÁNGULO PQR, SE OBTIENE
CALCULANDO EL ÁREA DEL
RECTÁNGULO Y LUEGO
RESTÁNDOLE LAS ÁREAS DE
LOS TRES TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS T1, T2 Y T3 QUE
SE DETERMINARON
DEL RECTÁNGULO ES: 11 • 6 = 66
DE LOS TRIÁNGULOS
T1 + T2 + T3 ES:
T1T2
T3
12 + 9 + 16.5 = 37.5
ASÍ, EL ÁREA:
POR LO TANTO, EL
ÁREA DEL
TRIÁNGULO PQR ES:
66 - 37.5 = 28.5
x
y
-2
4
2
6
2 64-8 -4-6 -2
ANÁLOGAMENTE AL CASO ANTERIOR, SE PUEDE CALCULAR EL
ÁREA DE UN CUADRILÁTERO, CON AYUDA DE UN
RECTÁNGULO.¡INTÉNTALO CON EL CUADRILÁTERO:
A(-2, -3) , B(6, 0) , C (3, 4) y D (-5, 3) !
DC
A
B
¡LUEGO
COMPRUEBA!
Área del rectángulo = 77
Área de T1 = 12
T1
T2
Área de T2 = 6
T 3
T4
Área de T3 = 2.5
Área de T4 = 9
ASÍ, EL ÁREA DEL
CUADRILÁTERO ABCD ES:
77 - 29.5 = 47.5
DETERMINAR LA
DISTANCIA Y EL PUNTO
MEDIO, ENTRE LOS
PUNTOS SIGUIENTES:
1.- A(-4,-5) y B (2,3)
2.- C(-3,6) y D (9,1)
3.- E(1,-7) y F (10,5)
4.- G(-6,-2) y H (6,14)
5.- I(0,-4) y J (3,0)
6.- K(-1,1) y L(7,7)
DISTANCIA PUNTO MEDIO
10
13
16,27
20
5
10
(1, -1)
(3, 3½)
(5½, -1)
(0, 6)
(1½, -2)
(3, 4)
CALCULAR EL PERÍMETRO Y
EL ÁREA, DEL POLÍGONO QUE
RESULTA AL UNIR LOS
PUNTOS SIGUIENTES:
7.- A(-4,-5), B (2,3) y C (1,-7)
8.- D(-3, 6), E (9,1) y F (6, 0)
9.- G(-6,-2), H (6,14)
C(1,-7) y D(-3,6)
10.- A(-4,-5), H (6,14)
F(6, 0) y D(-3,6)
PERÍMETRO ÁREA
25.42
26.97
49.18
48.26
25.96
17.47
127.5
46
EL PLANO CARTESIANO PERMITE
DIBUJAR DIVERSOS TIPOS DE
LÍNEAS, RECTAS Y CURVAS .
x
y
-
2
-
6
4
2
-
4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
LA IMPORTANCIA DE LOS
GRÁFICOS RADICA EN QUE
PERMITEN DAR HA CONOCER,
MEDIANTE UN IMPACTO
VISUAL, DIVERSAS
SITUACIONES, COMO SER:
ESTADO DE UNA EMPRESA,
COMPRA VENTA DE
PRODUCTOS, MOVIMIENTO DE
UN MÓVIL, ÍNDICES DE
PRODUCIÓN, NACIMIENTO,
MORTALIDAD, INTERESES,
PRECIPITACIONES Y OTROS
CASOS; QUE PERMITEN A
SIMPLE VISTA OBTENER
INFORMACIÓN VÁLIDA, PARA
LA TOMA DE DESICIONES.
x
y
100
200
300
400
E F M A M J J A S
EN EL GRÁFICO DE LA
FIGURA, SE INDICAN LOS
MILES DE PARES DE
CALZADO VENDIDOS POR
UNA FÁBRICA, ENTRE LOS
MESES DE ENERO Y
SEPTIEMBRE DEL AÑO 2005.
M
I
L
E
S
MESES
LAS LÍNEAS PERMITEN
UNA MEJOR APRECIACIÓN
DE LA SITUACIÓN.
¿EN QUÉ MES LAS VENTAS ESTUVIERON MÁS BAJAS?
¿EN QUÉ MES LAS VENTAS ESTUVIERON MEJOR?
¿QUÉ PRODUCCIÓN DE CALZADO DEBE ASEGURAR LA EMPRESA
PARA EL PRÓXIMO PERÍODO?
LOS DIFERENTES TIPOS DE LÍNEA, QUE SE DIBUJAN EN UN
PLANO CARTESIANO, SE PUEDEN ESCRIBIR ALGEBRAICAMENTE,
DE ACUERDO A SU FORMA:
* LAS LÍNEAS RECTAS SE ESCRIBEN DE LA FORMA:
baxxf )( DONDE, IRba ,
xY ADEMÁS, ES UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
A LA CUAL SE LE PUEDEN DAR DIFERENTES
VALORES, PARA OBTENER RESPECTIVOS VALORES
DE )( xf
EN UN PLANO CARTESIANO, LOS VALORES QUE
SE LE VAYAN ASIGNANDO A LA VARIABLE xSE UBICAN EN EL EJE DE LAS X, A PARTIR DE
DONDE SE UBICA, EN EL EJE Y, SU VALOR )( xfCON LO CUAL: )(xfy
A TODAS LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS SE
LES DENOMINA FUNCIONES.
)(xfy
EN PARTICULAR, A LAS FUNCIONES baxxf )(
QUE REPRESENTAN LÍNEAS RECTAS, SE LES DENOMINA
FUNCIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO.
Sea la función lineal: 52)( xxf
En una tabla de valores;
esto es:
32)( xxfx ))(,( xfx
1
4
2•1 - 3= -1 (1, -1)
2•4 - 3= 5 (4, 5)
x
y
1 4-1
5
ASÍ, SU GRÁFICA ES:
52)( xxf
¡OBSERVA!
43)( xxf
43)( xxfx ))(,( xfx
0
5
3•0 - 4= -4 (0, -4)
3•5 - 4= 11 (5, 11)
52)( xxf
52)( xxfx ))(,( xfx
-2•0 + 5= 50 (0, 5)
-2•3 + 5= -13 (3, -1)
SI:
ENTONCES:
SI:
ENTONCES:
GRAFICAMENTE;
ESTO ES:
x
y
3 5-1
-4
5
11
43)( xxf
52)( xxf
EN UN PLANO CARTESIANO, GRAFICA LAS
RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE
LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES:
3)( xxf
12)( xxf
3)( xxf
12)( xxfx
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
¡LUEGO
COMPRUEBA! ¿QUÉ PUEDES CONCLUIR?
x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64-4-6 -2
EN EL PLANO, LAS LÍNEAS SE
DIBUJAN DE IZQUIERDA A
DERECHA Y PRESENTAN UNA
INCLINACIÓN ASCENDENTE O
DESCENDENTE, DENOMINADA
COEFICIENTE DE DIRECCIÓN O
PENDIENTE DE LA RECTA,
CUYO VALOR NUMÉRICO SE
REPRESENTA CON LA LETRA m.
AL PUNTO DONDE LAS
RECTAS CORTAN AL EJE
DE LAS Y SE LE
DENOMINA COEFICIENTE
DE POSICIÓN Y SU VALOR
NUMÉRICO SE
REPRESENTA CON LA
LETRA n.
3)( xxf
12)( xxf
3)( xxf
12)( xxf
EN LAS FUNCIONES LINEALES baxxf )(EL VALOR DE LA PENDIENTE COINCIDE CON EL
VALOR DEL COEFICIENTE a DE x Y EL VALOR
DEL COEFICINTE DE POSICIÓN COÍNCIDE CON EL
TÉRMINO b
1
2
-1
-2
-3
3
1
1
FUNCIÓN LINEAL
PENDIENTE
(m)
COEF. DE POSICIÓN
(n)
COMPLETA LA TABLA CON EL VALOR DE LA
PENDIENTE Y EL COEFICIENTE DE POSICIÓN DE
CADA UNA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES:
FUNCIÓN LINEAL
PENDIENTE
(m)
COEF. DE POSICIÓN
(n)
53
2)( xxf
32
1)( xxf
74
3)( xxf
17
5)( xxf
23
2)( xxf
5
3
-7
-1
-2
23
34
23
-12
-57
EN UN PLANO CARTESIANO, GRAFICA LAS RECTAS
CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE LAS FUNCIONES
LINEALES SIGUIENTES:
x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
73)( xxf
13)( xxf
53)( xxf
¿QUÉ PUEDES DECIR
DE SUS PENDIENTES?
¿POR QUÉ LAS RECTAS
SON PARALELAS?¿DÓNDE CORTAN, LAS
RECTAS, AL EJE Y?
EN GENERAL, SIEMPRE QUE DOS O MÁS RECTAS
PRESENTEN LA MISMA PENDIENTE Y DISTINTO
COEFICIENTE DE POSICIÓN, PODEMOS ASEGURAR
QUE ESTAS SON PARALELAS; ES DECIR, NUNCA SE
INTERSECTAN.
CUANDO DOS RECTAS COÍNCIDEN EN EL VALOR DE
AMBOS COEFICIENTES (PENDIENTE Y POSICIÓN), SE
DICE QUE ÉSTAS SON COINCIDENTES EN TODA SU
EXTENSIÓN.
EJEMPLO:
92)( xxf
52)( xxf
m = 2
m = 2
n = 9
n = -5
EJEMPLO:
43)( xxf m = 3
m = 3
n = 4
43)( xxf n = 4
AHORA, GRAFICA LAS RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA
UNA DE LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES:
x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
13
2)( xxf
42
3)( xxf
¿QUÉ PUEDES DECIR
DE SUS PENDIENTES?
¿QUÉ POSICIÓN PRESENTAN LAS
RECTAS, UNA RESPECTO DE LA OTRA?¿FORMAN UN
ÁNGULO DE 90°?
EN GENERAL, SIEMPRE QUE EL VALOR DE LA
PENDIENTE DE UNA RECTA CORRESPONDA CON EL
VALOR DEL OPUESTO AL INVERSO MULTIPLICATIVO
DE OTRA RECTA, PODEMOS ASEGURAR QUE ESTAS
SON PERPENDICULARES; ES DECIR, SE INTERSECTAN
FORMANDO UN ÁNGULO DE 90°.
EJEMPLO:
24
3)( xxf
73
4)( xxf
34m =
m = - 43
NOTA QUE AL MULTIPLICAR AMBAS
PENDIENTES, EL PRODUCTO ES -1. = -134
-43
EN ADELANTE, LAS FUNCIONES nmxxf )(SE ESCRIBEN COMO nmxy CUYA IGUALDAD
RECIBE EL NOMBRE DE ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA
RECTA.
PENDIENTE
(m)COEF. DE POSICIÓN
(n)
ECUACIÓN
PRINCIPAL
4
-1
23
-57
3
23
-34
-23
12
5
43
2xy
14
3xy
3
2
7
5xy
53
2xy
2
13xy
CUANDO UNA ECUACIÓN PRINCIPAL PRESENTA
COEFICIENTES FRACCIONARIOS, ES POSIBLE
EVITARLOS APLICANDO PROPIEDADES DE LAS
IGUALDADES.
EJEMPLO: SI: 43
2xy ·3
1223 xy )2( x
)2(122)2(3 xxxy
1223 xy
ESTO ES: 1232 yx
·(-1)
A ESTA EXPRESIÓN DE LA RECTA, SE LE DENOMINA ECUACIÓN
GENERAL DE LA RECTA
A PARTIR DE UNA ECUACIÓN GENERAL, TAMBIÉN ES
POSIBLE DETERMINAR SU ECUACIÓN PRINCIPAL
1232 yxSI: )2( x
)2(12)2(32 xxyx
xy 2123 )3
1(
xy3
24
ESTO ES: 43
2xy
LA ECUACIÓN
PRINCIPAL DE
LA RECTA
CONSIDERANDO QUE LA PENDIENTE DE UNA RECTA SE
REPRESENTA POR LA LETRA m, Y QUE EL COEFICIENTE DE
POSICIÓN SE REPRESENTA POR LA LETRA n; COMPLETA, SEGÚN
CORRESPONDA, LA TABLA SIGUIENTE:.
m ECUACIÓN
GENERALn
ECUACIÓN
PRINCIPAL
13
2
34
3xy
7
33xy
25
-12
2x - 3y = 6
23
1xy
-34
3
x - 3y = -6
3x + 4y = 12
21x - 7y = 3
2
1
5
2xy 4x - 10y = 5
-37
3
-223
23
2xy
x
y
x1 x2
y1
y2
P1
P2
LA PENDIENTE m DE UNA RECTA TAMBIEN SE PUEDE OBTENER
A PARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS DE ELLA:
SEAN ESTOS: P1(x1, y1) y P2 (x2, y2)
12xx
12yy
ASÍ, m =12
12
xx
yy
EN UN PLANO, ESTO ES:
SE DEFINE A LA
PENDIENTE DE
LA RECTA
COMO EL
CUOCIENTE
ENTRE LA
MEDIDA DEL
CATETO
OPUESTO, AL
ÁNGULO , Y
LA MEDIDA DE
SU CATETO
ADYACENTE.
= tg ( ) Donde es
la inclinación
de la rectaUSANDO UNA CALCULADORA: = tg -1 (m)
SI: P1(1, 4) y P2 (5, 12)
ENTONCES, LA PENDIENTE
DE LA RECTA QUE PASA POR
LOS PUNTOS P1 y P2 SE
PUEDE DETERMINAR
APLICANDO LA FÓRMULA:
m =12
12
xx
yy
ESTO ES:
m =12 - 4
5 - 1 = 84 2=
DETERMINA, LA PENDIENTE
DE LA RECTA QUE PASA POR
LOS PUNTOS P1 (3, 7) y P2 (8, 22)
APLICANDO LA FÓRMULA:
m =12
12
xx
yy
¡VEAMOS!
m =22 - 7
8 - 3 = 155
m = 3
PARA LOS PUNTOS P1 (3, 7) y P2 (8, 2); EN
UN PLANO CARTESIANO, SE TIENE:
x
y
3 9
7
2
P1
P2
22
2165PP
5
6
61
21PPm -5
6
¿PORQUÉ LA PENDIENTE DA NEGATIVA?
¿QUÉ SIGNO TIENE LA PENDIENTE CUANDO
LA RECTA ES ASCENDENTE?
x
y
LA ECUACIÓN DE UNA RECTA TAMBIÉN SE PUEDE OBTENER A
PARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS DE ELLA:
SEAN ESTOS PUNTOS : P1 (1, 2) y P2 (9, 7)
1 9
2
7
EN UN PLANO, ESTO ES:
P1
P2
y
SI SE UBICA EN LA
RECTA UN PUNTO
CUALQUIERA (x,y),
SE DETERMINA UN
NUEVO TRIÁNGULO
RECTÁNGULO, CON
LO CUAL SE
PRESENTAN DOS
ALTERNATIVAS
PARA EL CÁLCULO
DE LA PENDIENTE;x - 1
9 - 1
y - 2
7 - 2
m =y - 2
x - 1 =7 - 2
9 - 1
ESTO ES :
8y - 16 = 5x - 5
DE DONDE: 5x - 8y = -11
x
ASÍ:
x
y
EN GENERAL, A PARTIR DE DOS PUNTOS , LA ECUACIÓN DE UNA
RECTA SE OBTIENE COMO CONCLUSIÓN DE LO SIGUIENTE:
SEAN LOS PUNTOS CONOCIDOS : P1(x1, y1) y P2 (x2, y2)
x1 x2
y1
y2
P1
P2
EN UN PLANO, ESTO ES:
x2 - x1
y2 - y1
AL UBICAR EN LA
RECTA UN PUNTO
CUALQUIERA (x,y), SE
DETERMINA UN
NUEVO TRIÁNGULO
RECTÁNGULO, CON
LO CUAL SE
PRESENTAN DOS
ALTERNATIVAS PARA
EL CÁLCULO DE LA
PENDIENTE;
x
x - x1
y - y1
m = =y - y1
x - x1
y2 - y1
x2 - x1
DE DONDE SE OBTIENE
LA FÓRMULA PARA
OBTENER LA ECUACIÓN
GENERAL DE LA RECTA.
y - y1 =y2 - y1
x2 - x1
·(x - x1)
y
ASÍ:
SEAN LOS PUNTOS : P1(2, 3) y P2 (7, 9)
ENTONCES, SEGÚN LA FÓRMULA: y - y1 =y2 - y1
x2 - x1
·(x - x1)
SE TIENE:
y - 3 =9 - 3
7 - 2·(x - 2)
ESTO ES: y - 3 =6
5·(x - 2) ·5
5y - 15 = 6x - 12
DE DONDE LA ECUACIÓN
GENERAL DE LA RECTA ES: 6x - 5y = -3
¡COMPRUEBA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA
RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS : P1(1, 6) y P2 (5, 7)
ES x - 4y = -23 !
EN LA ECUACIÓN : y - y1 =y2 - y1
x2 - x1
·(x - x1)
m
ESTO ES: y - y1 = m ·(x - x1)
IGUALDAD QUE TAMBIÉN PERMITE DETERMINAR LA
ECUACIÓN DE UNA RECTA, A PARTIR DE UN PUNTO
CONOCIDO Y SU PENDIENTE CONOCIDA
EJEMPLO: SI UNA RECTA PASA POR EL PUNTO (5, -2) y
TIENE PENDIENTE m = 4; ENTONCES:
DE ACUERDO A: y - y1 = m ·(x - x1)
SE TIENE: y - -2 = 4 ·(x - 5)
DE DONDE LA ECUACIÓN
GENERAL DE LA RECTA ES:4x - y = 22
EN VIRTUD DE TUS AVANCES, EN LOS TEMAS
CONSIDERADOS, INTENTA COMPLETAR LA TABLA DE
DOBLE ENTRADA, A PARTIR DE LOS DATOS QUE SE
APORTAN.
ECUACIÓN
GENERAL
ECUACIÓN
PRINCIPALP1(x1, y1) P2(x2, y2)
(6, 2) (1, 5)
m
2(-1, 3)
-3(7, 1)
(-3, 4) (5, -2)
(4, 0) (1, -1)
3x + 5y = 28
3x + 4y = 7
x - 3y = 4
5
35
5
3xy
223xy 3x + y = 22
4
31
4
3xy
2x - y = -552xy
3
11
3
1xy
LA DISTANCIA ENTRE UN
PUNTO P1(x1, y1) Y UNA
RECTA DE ECUACIÓN
CONOCIDA ax + by = c SE
PUEDE DETERMINAR
APLICANDO LA FÓRMULA :
d =a x1 + b y1 - c
a2 + b2
LA DISTANCIA, ENTRE EL
PUNTO P(2, 3) Y LA RECTA
DE ECUACIÓN CONOCIDA
5x + 12y = 7, APLICANDO
LA FÓRMULA ES:
d =5 ·2 + 12 · 3 - 7
52 + 122
d = 3
UNA FUNCIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO,
GRÁFICAMENTE, ES UNA RECTA QUE SE
PUEDE EXPRESAR ALGEBRAICAMENTE EN
FORMA DE ECUACIÓN PRINCIPAL
(y = mx + n) Y/O EN FORMA DE ECUACIÓN
GENERAL ( ax + by =c ).
DOS O MAS RECTAS SON PARALELAS SI Y
SOLO SI TIENEN LA MISMA PENDIENTE Y
DISTINTO COEFICIENTE DE POSICIÓN.
EN EL PRESENTE PROGRAMA, TE HABRÁS DADO CUENTA QUE:
DOS O MÁS RECTAS PARALELAS QUE
TIENEN EL MISMO COEFICIENTE DE
POSICIÓN SON COINCIDENTES EN TODA
SU EXTENCIÓN (es una misma recta)
DOS RECTAS SON PERPENDICULARES SI
Y SOLO SI EL PRODUCTO ENTRE SUS
PENDIENTES DA -1,
54
3xy
2043 yx
12 xy
32 xy x
y
532 yx
1064 yx x
y
13
2xy
72
3xy
ADEMÁS, LA ECUACIÓN DE UNA RECTA SE PUEDE OBTENER A
PARTIR DE :
UN PUNTO CONOCIDO P1(x1, y1)Y SU PENDIENTE CONOCIDA m.
y - y1 = m ·(x - x1)
DOS PUNTOS CONOCIDOS
P1(x1, y1) Y P2(x2, y2)y - y1 =
y2 - y1
x2 - x1
·(x - x1)
d =a x1 + b y1 - c
a2 + b2
Y, LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO P1(x1, y1) Y UNA
RECTA DE ECUACIÓN CONOCIDA ax + by = c SE
PUEDE DETERMINAR APLICANDO LA FÓRMULA :
CORRESPONDE A DOS IGUALDADES ALGEBRAICAS, EN FORMA DE
ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS, QUE PRESENTAN LAS MISMAS
VARIABLES O INCÓGNITAS Y QUE BUSCA DETERMINAR, MEDIANTE
ALGÚN PROCEDIMIENTO APROPIADO, EL VALOR DE AMBAS INCÓGNITAS
QUE SATISFACEN LA IGUALDAD DE LAS ECUACIONES.
SU FORMA ES:
222
111
cybxa
cybxa IRcbacba222111
,,,,,
DONDE,
EJEMPLO: EN EL SISTEMA,
2552
923
yx
yx
LOS VALORES QUE SATISFACEN
AMBAS IGUALDADES A LA VEZ
SON:
5x 3yY
¡PARA COMPROBAR, SE REEMPLAZAN LOS VALORES EN CADA ECUACIÓN!
Y LAS INCÓGNITAS SON: x, y
LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS PUEDEN
RESULTAR DE LA INTERPRETACIÓN DE PROBLEMAS COMO LOS
SIGUIENTES:
SI EN UN CIRCO INGRESARON 600
PERSONAS, CANCELANDO $500 LOS
ADULTOS Y $300 LOS NIÑOS,
REUNIÉNDOSE $220000. ¿CUÁNTOS NIÑOS
Y CUÁNTOS ADULTOS INGRESARON?
N + A = 600
300N + 500A = 220000
INTERPRETACIÓN
POR DOS NOVILLOS Y CINCO
CABALLOS, SE CANCELARON $640000. SI
LA DIFERENCIA ENTRE EL COSTO DE UN
NOVILLO Y UN CABALLO ES $40000.
¿CÚANTO COSTARÁN 12 NOVILLOS Y UN
CABALLO, AL MISMO PRECIO ANERIOR?
2N + 5C = 640000
INTERPRETACIÓN
N - C = 40000
LA SUMA DE LAS EDADES ENTRE DOS
PERSONAS ES 100 AÑOS Y SU DIFERENCIA
ES 20 AÑOS. ¿CUÁLES SON SUS EDADES?
INTERPRETACIÓN
E1 + E2 = 100
E1 - E2 = 20
PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SE
PUEDEN UTILIZAR DIFERENTES PROCEDIMIENTOS. EN ESTE
PROGRAMA SE ESTUDIAN LOS SIGUIENTES:
MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN, POR SUSTITUCIÓN,
POR REDUCCIÓN Y POR DETERMINANTE.
2552
923
yx
yx2
39 xy
yx
5
252
POR IGUALACIÓN DE LA VARIABLE y, SE TIENE:
2
39 x
5
252 x Amplificando por el m.c.d.10
45 - 15x = 4x - 50 + 15 x + 50
45 + 50 = 4x + 15x
95 = 19x 5 = x
PARA EL
SISTEMA:
REEMPLAZANDO x = 5, EN
CUALESQUIERA DE LAS
ECUACIONES INICIALES, SE
OBTIENE EL VALOR y = -3
2552
923
yx
yxPARA EL
SISTEMA:
EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN SE DESPEJA UNA
DE LAS INCÓGNITAS EN CUALESQUIERA DE AMBAS ECUACIONES Y
SE REEMPLAZA EN LA OTRA ECUACIÓN.
2
39 xy
REEMPLAZANDO EN LA
SEGUNDA ECUACIÓN, SE
TIENE:
52 x 25)2
39(
x
5015454 xxESTO ES:
2
+ 45
15x = 50 + 45
15x = 95 x = 5
REEMPLAZANDO x = 5, EN LA ECUACIÓN 3x + 2y = 9
SE TIENE:
5
15 + 2y = 9 2y = -6 y = -3
EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN SE BUSCA IGUALAR LOS
COEFICIENTES DE UNA MISMA INCÓGNITA EN AMBAS ECUACIONES, A SU
MÍNIMO COMÚN U OTRO MÚLTIPLO EN COMÚN, MEDIANTE
AMPLIFICACIÓN, PARA LUEGO SUMAR O RESTAR, SEGÚN CONVENGA, DE
MANERA QUE QUEDE UNA SOLA ECUACIÓN CON UNA SOLA INCÓGNITA.
2552
923
yx
yx
EN EL SISTEMA:
EL MÍNIMO COMÚN ENTRE LOS
COEFICIENTES DE LAS y ES 10
5
2
15x + 10 y = 45
4x - 10 y = 50 +
19x = 95
x = 5
REEMPLAZANDO x = 5, EN LA
ECUACIÓN QUE SE CONSIDERE
MÁS SIMPLE; EN ESTE CASO EN,
3x + 2y = 95
15 + 2y = 9 -15
2y = 9 -15
2y = -6
y = -32
1
EN EL
SISTEMA:
EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR DETERMINANTES SE PUEDEN
DETERMINAR LAS INCÓGNITAS, APLICANDO EL CONCEPTO DE
DETERMINANTE, CON AYUDA DE LOS COEFICIENTES QUE PRESENTAN LAS
ECUACIONES, DE ACUERDO AL PROCEDIMIENTO SIGUIENTE:
3x + 2y = 9
2x - 5y = 25
x =3
2
2
-5
2
-5
9
25=
9 · -5
-25 · 2
3 · -5
-2 · 2
x =-45 - 50
-15 - 4=
-95
-19
x = 5
REEMPLAZANDO x = 5, EN
CUALESQUIERA DE LAS
ECUACIONES INICIALES, SE
OBTIENE EL VALOR y = -3
EL VALOR DE y TAMBIÉN SE
PUEDE OBTENER AL
RESOLVER LA EXPRESIÓN:
y =3
2
2
-5
3
2
9
25=
75 - 18
-15 - 4
57
-19
y = -3
TODA ECUACIÓN NO SIMPLIFICADA, DEBE SER ESCRITA EN SU FORMA
GENERAL, PARA UNA MEJOR OPERACIÓN DE LA MISMA.
EJEMPLO: EN LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:
)4,09(6,125,225,03,0 xyx3
1
4
1
3
2
2
1
5
2
)5
29(
3
52
2
5
4
1
3
1xyx
3
2152
2
5
4
1
3
1xyx 12
4 x - 3 y + 30 = 24 - 180 x + 8 + 180x - 30
184 x - 3y = 24 + 8 - 30
ESTO ES: 184 x - 3 y = 2 SU FORMA GENERAL
EN UN CIRCO INGRESARON 600
PERSONAS, CANCELANDO $500 LOS
ADULTOS Y $300 LOS NIÑOS,
REUNIÉNDOSE $220000. ¿CUÁNTOS
NIÑOS Y CUÁNTOS ADULTOS
INGRESARON?
N + A = 600
300N + 500A = 220000
INTERPRETACIÓN
DESARROLLO, POR SUSTITUCIÓN:
N = 600 - A
300 (600-A) + 500A = 220000
180000 - 300A + 500A = 220000
200A = 220000 - 180000
200A = 40000
A = 200
ESTO ES: ADULTOS
200 Y NIÑOS 400
POR DOS NOVILLOS Y CINCO
CABALLOS, SE CANCELARON
$640000. SI LA DIFERENCIA ENTRE
EL COSTO DE UN NOVILLO Y UN
CABALLO ES $40000. ¿CUÁL ES EL
PRECIO DE UN CABALLO Y EL
PRECIO DE UN NOVILLO?
2N + 5C = 640000
INTERPRETACIÓN
N - C = 40000
DESARROLLO, POR REDUCCIÓN:
5
+
7N = 200000 + 640000
7N = 840000 N = $120000
ESTO ES: NOVILLO $120000 Y
CABALLO $ 80000
LA SUMA DE LAS EDADES
ENTRE DOS PERSONAS ES
100 AÑOS Y SU DIFERENCIA
ES 20 AÑOS. ¿CUÁLES SON
SUS EDADES?.
INTERPRETACIÓN
E1 + E2 = 100
E1 - E2 = 20
DESARROLLO, POR REDUCCIÓN:
+
2E1 = 120
E1 = 60
ESTO ES:
UNA EDAD ES 60 AÑOS Y LA
OTRA ES 40 AÑOS
POR LA VENTA DE 3 TORTAS Y 6
EMPANADAS SE CANCELARON
$17100. SI EN OTRA VENTA DE 2
TORTAS Y 9 EMPANADAS SE
CANCELAN $ 13150, ¿CUÁL ES EL
PRECIO DE CADA PRODUCTO?.
2T + 9E = $ 13150
INTERPRETACIÓN
3T + 6E = $ 17100
DESARROLLO, POR DETERMINANTES
T =3
2
6
9
6
9
17100
13150=
153900
27
T = $ 5000
E = $ 350
-78900
- 12
LOS PROCESOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE
PRIMER GRADO, CON DOS INCÓGNITAS, NO SIEMPRE SE PUEDEN
APLICAR INMEDIATAMENTE. HAY CASOS EN LOS CUALES LAS
ECUACIONES DEBEN PLANTEARSE EN FUNCIÓN DE NUEVAS
VARIABLES O INCÓGNITAS, DENOMINADAS VARIABLES
AUXILIARES, PARA FACILITAR LA APLICACIÓN DE LOS
PROCEDIMIENTOS.
EJEMPLO: EN EL SISTEMA,
71
4
2
1
51
2
2
3
yx
yx
SI SE CONSIDERA:
2
1
xm
Y
1
1
yn
SE TIENE EL SISTEMA:
3m - 2n = 5
m + 4n = -7
LAS SOLUCIONES DE ESTE NUEVO
SISTEMA SE REEMPLAZAN EN:
mx 2
1n
y 1
1
PARA OBTENER LOS VALORES DE x
Y DE y DEL SISTEMA INICIAL.
Y
EN EL SISTEMA,
4115
5
14
7
2115
2
14
8
yx
yx
SI:
14
1
xm Y
115
1
yn
SE TIENE EL SISTEMA
AUXILIAR,
8m - 2n = 2
7m + 5n = 4
POR SUSTITUCIÓN DE m, QUEDA:
8
22 nm
45)8
22(7 n
n8
14 + 14n + 40n = 32 -14
54n = 183
1n
115
1
3
1
y3115 y ( )2
5y - 11 = 9
REEMPLAZANDO EN:115
1
yn
SE TIENE:
DE DONDE, y = 4
ANÁLOGAMENTE x = 3
SON DE LA FORMA:
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxaIR
DONDE,
SUS COEFICIENTES
EJEMPLO: EN EL SISTEMA, LOS VALORES QUE SATISFACEN
TODAS LAS IGUALDADES A LA VEZ
SON:
¡PARA COMPROBAR, SE REEMPLAZAN LOS VALORES EN CADA ECUACIÓN!
2x + 3y - 5z = 18
5x - 4y + 2z = -4
x - y - 7z = 6x = 2 y = 3 Y z = -1
Y SUS INCÓGNITAS SON: x,y,z
2x + 3y - 5z = 18
5x - 4y + 2z = -4
x - y - 7z = 6
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE TRES
ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS.
EN EL SISTEMA:IGUALANDO LOS COEFICIENTES DE y AL
MÍNIMO COMÚN ENTRE ELLOS, SE TIENE:
4
3
12
8x + 12y - 20z = 72
15x - 12y + 6z = -12
12x - 12y - 84z = 72
+
23x - 14z = 60SUMANDO O RESTANDO DE A DOS
ECUACIONES, CONVENIENTEMENTE,
SE OBTIENE EL SISTEMA:
-
3x + 90z = -84
APLICANDO CUALESQUIERA DE LOS MÉTODOS DE
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS SE OBTIENEN LOS VALORES:
x = 2
z = -1
FINÁLMENTE, REEMPLAZANDO LOS VALORES DE x Y
DE z, EN CUALESQUIERA DE LAS TRES ECUACIONES
INICIALES, SE OBTIENE EL VALOR DE y.y = 3
SISTEMAS DE ECUACIONES LITERALES
¡OBSERVA Y ANALIZA!
(a + b)x - (a - b)y = 4ab
(a - b)x + (a + b)y = 2a2 - 2b2
(a + b)
(a - b)
Igualando los coeficientes de las y a su MCM que es a2 -b2 ,
a fin de aplicar la reducción de coeficientes, se tiene:
+
[(a + b)2 + (a - b)2 ]x = 4ab (a + b) + [2a2 - 2b2] (a - b)
(2a2 +2b2)x = 4ab (a + b) + 2(a2 - b2) (a - b)
2(a2 + b2)x = 2(a + b) [2ab + (a - b)2]
2(a2 + b2)x = 2(a + b) [a2 + b2]1
2(a2 + b2)
x = a + bEsto es:Continúa ...
(a - b)x + (a + b)y = 2a2 - 2b2
x = a + b
Ahora, remplazando el valor obtenido de x
en cualquiera de las ecuaciones, se tiene que:
Como , entonces en ;
(a - b)(a + b) + (a + b)y = 2a2 - 2b2
Se tiene:
a2 -b2 + (a + b)y = 2a2 - 2b2
(a + b) y = a2 - b21
(a + b)
y = a - bEsto es:
Luego el conjunto solución es: {(a+b, a-b)}
AL FINALIZAR EL ESTUDIO DEL PLANO CARTESIANO,
FUNCIONES LINEALES Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
DE PRIMER GRADO;TE INVITAMOS A INCREMENTAR
TUS CONOCIMIENTOS EN OTROS TÓPICOS DE
LA MATEMÁTICA, MEDIANTE EL ESTUDIO DE
PROGRAMAS COMO ÉSTE.
¡DESCUBRIRÁS EL GENIO QUE HAY EN TI!
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