Z?ilschr. f . mrctti. Loqit w id l3ruildlaqrn d . Math. Bd. 30, S. 455-464 (2984)

ALGEBRAISCHE CHARAKTERISIERUNGEN PRAPRIMALER ALGEBREN

von BLAVS DEXECKE in Thale/Harz (DDR)

1. Primale wid priiprimale Blgebren

Eine weseiit,liclie Eigenschaft des klassisclien zweiwertigen Aussagenkalkuls ist seine funktionale Voll>tindigkeit. Diese Ejgenschaft beinhaltet, da13 man alle Funktionen, die auf der ZIengr (0, 11 definiert sind, die sogenannten Booleschen Funktionen, bereits aus den elrmentaren Booleschen Funktionen durch Superposition erhalten kann. Den c4emmtaren Booleschen Funktionen entspreehen im Aussagenkalkiil Konjunktion, Disjunktion, Iinplikation. -$yuivalenz und Xegation. Bezeichnet man diese Funk- tionrn durrh A ? v, *. -! - . so ist also (A. v, +, -, -) in der durch F(E,) mit E 2 = (0. 1 } bezeichneten Menge aller Booleschen Funktionen funktional vollstindig. Aber aiich schon (A , -). (v. -). (3, -) sind in F ( E , ) funktional vollstandig.

Drr k-wertig:> Aussagenkalkiil von LmcasrEwrcz und POST ist ebenfalls funktional vollstiiidig. Hierl)ei\~erdenFunktionen betrachtet,die auf derMengeE, = (0 , . . . , k - 11, k > 1. drfiniert sind. Sei F(E,) die Klasse aller auf E , definierter Funktionen. Einc Klassc F von auf E, definierten Funktionen ist fwiktional vollstandig in F(E,), wenri F = F ( E , ) ist. nobei F die aus F entstehende, beziiglich Superposition abgeschlossene Iilassr \-on Funktionen ist. (Der Begriff der Superposition wird zum Beispiel in [2] oder [8] naher erlihtert.)

1-ollstindigkeitsfragen treten nicht nur in der Logik, sondern auch in der Schalt- kreistheorie auf. Hirr werden gewisse elementare Schaltkreise mit einem oder mehreren Eingangrn und einem Ausgnng betrachtet. die Realisierungen von Funktionen auf E, sind. ;ius den elementaren Schaltkreiqen erhalt man durch Vereinigung von Ausgangen mit Eingangen andwer Schaltkreise neue Schaltkrrise, die ihrerseits wieder Funktionen auf EL rralisieren. Diesem Vorgehen entspricht die Superposition der zugehorigen Funktionen. Es ist eine prakt,isch sehr bedeutsame Frage, ails welchen Mengen von ElemrntarschaltkreiseIi man durch Zusammenschalten hereits alle moglichen Schalt- kreise rrhalt.

Die funktionale Vollstandigkeit lal3t sich schliel3lich ctuch in der Terminologie der Univrrsellen Ailgf?kJM forniulieren. Dazu betrachtet nmn endliche Algebren A = ( A , F ) , A = E , . k > 1. F ist, dabei eine Klasse von auf A definierten Funktionen. Die aus F durch Superposition rrzeugte abgeschlossene Klasse sei F . Es wird vorausgesetzt, daB F aIIe Projektionen e , mit

eI(a l . . . . . .I.") = x i ( i = 1, . . . ? n)

rnthiilt. Dann IieiRt I' Rlrnge aller Termfunktionen der Algebra A oder der von F erzcwgtc h7wi. (AuBer Term funktionen spielen in dieser Arbeit auch Palynomfunk- tionrn eine Rollr. Zum Unterschied zu-iachen diesen Brgriffen vgl. [2].) Der funktio- nnlcn Yollstindigkeit eiitspricht in der Universellen Algebra der Begriff der PrimalitLt.

456 KLAUSDENECKE

Eine endhche Algebra A = ( A , F ) , 1.11 > l 7 h d 3 t pl-inrul, wenn F = F ( A ) gilt, d . h. wenn F in F ( A ) funktional vollstiindig ist. Beiqpiele fiir primale Algehren sind die zweielementige Boolesche Algebra ( E , , A . -), Rher nuch die k-elementigr Postsche Algebra der Ordnung k, das ist die Algebra. (Ekr Q. n. C . L), . . . . D,_, . 0. . . . . 1: - 1). k > 2, mit

iu j = niax(i, i):

Di(j') =

i A j' = min(i: j ) ,

k - 1, wenn i 5 j 10. wenn i > j,

I k - 1. w a n i = 0 \Venn i > 0. c(i) = 1 0. i . j E E, .

Eine algebraische Charalrtcrisierung primaler Xlgcbrrn aurdr 1-011 FOSTER ulid

PIXLEY in [4] in folgender U'eise angegeben: E i w endliche Algebra A = ( - 4 . F ) . IAl > 1, ist genau dann primal. wenn sie

(i) keine echten Teilalgebren hat. einfacli ist und krinr nichtidentischrn A i i t o m ~ ~ ~ y l ~ i s - men hat ,

(ii) eine kongruenzdistributive und kongruenzvertauschbare Varit,t,it tarzrugt.

Urn festzustellen. ob eine Funktionenklasse vollstindig ist , ltann die Kenntnir; ;iller maximalen Klassen von Funktionen in F ( E , ) wi!rtvoll win. Dits sind Klassen F mit F c F ( E , ) , fiir die a,ber F u (1) = F(E,) fur al lr : f E F(E, ) \ i' gilt. Eine Funktionrn- klasse ist genau d a m funktional vollstiindig, menn sie in kriner inaximalrn Iilasse enthalten ist.

Endliche Algebren A = ( A . F ) , Iff1 > 1, derrn Iilons maxiinale Klassen in F(- - l ) sind, heil3en pruprimal. R O S E N B E R ~ [ll] hat einc vollstiindige Klnssifikation nllrr maximalen Klassen uriter Vrrwendung von Relationenklassen angegeben. Dagty3ii piht. es noch keine algehraische Chnrakterisierung praprimaler Algebrei\ analog zu tlrr fur primale von FOSTER und PIXLEY [4].

In der vorliegenden Arbeit wird diese Liicke fiir alle praprimalen -4lgcbren gv~clilos- sen, die eine gewisse ( h + 1)-stellige Termfunktion enthalten. Dabei ist, h die Aritiit der die praprimale Algebra ini Rosenbergschen Sinn definierenden Relation. Hnupt - ergebnis ist das Theorem 4.2, das alle die praprimalen Xlgrhren charaktt.risicrt. die eine BP-Termfunktion haben.

In 5 5 werden die Ergehnisse auf solche B1gi:l)ren angew-rndet, die aritlimvtische Vnrietaten erzeugen. Sine andere nlgebraische Charakterisierung dieser Algehrrn \\-urde bereits in [2] angegeben. Am Endc von $ 5 werdtm die erhaltenrn Ergehnissr grnutzt. urn Primalitats1iritrrit:n aufzustrllrn.

Q 2. Die RP-Funktion

Es sei ~uniichst~ an den Begriff dcr Varietat von Algebren als einrr Klassr von -41- gebren gleichen Typs. die gegeniiher der Bildung von Homomorphismen. Teilalgebreri und direkten Produkten abgeschlossen ist , erinnert. Eine Varietat */.' hei0t ko?cgr?tPns- distributiv, wenn fur beliebige Kongruenzen e l , 0 2 , O 3 dher riner belirbigen Algrl)rn A aus V gilt :

el u (0, A e,) = (e , u 0,) n (ol u 0, ) .

ALOEBRAISCHE CHARAKTERISIERUNQEN PRAPRIMALER A L G E B R E N 457

PIXLEY hat in [7] gezeigt, da.R eine Varietat V'- kongruenzdistributiv ist. wenn in Y " ein ternarer Term rn existiert, der die folgenden Identitaten erfiillt :

m(a, .r. y) = m(n, y, . r ) = x . m(.r. y. y) = y .

Ein solcher Term wird hier als Sstelliger BP-Teritt, bezeichnet,, bzw. die ihm zugeordnete Termfunktion )t i in einer Algebra A E 9'' als Setelliye RP-?'errnfuiiktio?~. Dieses Ergebnis \-on PISLEY erhil t nian auch fiir )L = 2 aus einein von JONSSON [5 ] angegebencn Iiin- rrichendm und notwndigen Kriteriuni fiir die Iiongruenzdistributivitat einer Varie- tat V . -4us diesem Grundr sol1 auch gesagt werden. daB f " -7-db.stributiv ist, wenn in 9 - ein Sstelliger BP-Term rxistiert.

Es ist ein iiaheliegendrr Gedanke. die Eigenschaftcn eincr Varietiit zu untersuclwn. in drr rs fur eine gewissr natiirlichr Zahl h 2 2 cinw ( h + l)-stlelligen Term m so gibt. daR alle Identit i trn

r , y. .r, . . . ~ .i-) = s . 7 1'

wobei y an hliebiger Stclle stehcn kann: erfiillt sind. Ein Term m niit diesrr Eigi.11-

schaft sol1 ( h + I)-.stel&ger B P - T e r m genannt werdcn. i%TSCHKE [6] hat gezeigt, daR nus der Existenz von m in 9" nuch fiir h. > 2 die Kongruenzdistrihutivitat von V folgt .

Eiiw wi te re Folgerung aus der Existcnz cines (h + 1)-stclligen BP-Terms ( h 2 2t in h e r Vitrietat % ' wirdc von BAKER und PIXLEV [ I ] bewiesen. Diesc h s s a g c is- \*on wesrntlich~r Brdeutung fur die nachfolgrnd dargclegten Ergebnisse. Zu ihrcr For- mulierung \rer.dcw zwri weitere Brgriffe benotigt. Unter einer endlicheii partielleii F m k e tiotr von A" in -4 \rerst.rlit man einc Funktion? derrn Definitionslxreich rine rndlich- Teilmenge VOJI -4" isit. Weitcrhin wird von der folgenden Eigenschnft mdlicher par) tirllrr lh ik t ionrn Gttbrauch geinacht:

Sei D eine Trilalgebra dcr direkten Potcnz Ah von A . Eine rr-stellige rndliche partielle Funktion f : A" -+ -4 bezcmhrt D. wenn aus (ul ~ u z l . . . .. u,, , ) E D . ( ( I , ~ . a Z 2 . . . . . u , , ~ ) E D, . . . . (uln. u z n . . . . . n R n ) E D folgt:

( f ( Q I r . u i z . . . . . ~ f ~ ) - f ( a 2 1 , ~ z 2 , . . - . ( z z n ) , . . . . f ( ~ ~ h l ~ ~ ~ i ~ z . . . . . a h n ) ) E D .

Fur einc rndlichr Menge -4 sei Pol D die Klnsse aller Funkt,ionen aus F ( A ) , die D he- wahren. Das schon erwiihnte Ergebnis von BAKER und PIXLEV brsagt dann. daR in einer Yarietiit. %". die einen ( h + 1)-stclligen RP-Term tn hat, (h 5 2) . eine heliebige rndliche partielle Funktion f : -4" + -4 genau dann einr intjerpoliermde Termfunktion in jeder Algebra. A E Y - hat. wenn f jedc Teilalgebra von Ah hewahrt. Eine interpolir- rende Termfunktion ist dabei einr Termfunktion p von A . die cine Beseliriinkung uon f ist. Dann gilt also:

Theorr i i i 2.1 ( [ I ] ) . S c i -Y pine Vurietut .wid h. r i m mt i i r l iche Zahl 2 1. Dan.71. ist f olge ) I des a qu i 1 a l ~ t i t :

( i ) I . hat eitreir ( h + I)-stell iyen B P - T e r n l ,

(ii) fiir cine beliebige Algebra A d-, eine beliebige gunze Zahl 71 2 1 und eine 6elieOiye rtrd1ich.e partialle Fiiiiktioit. f : A" -+ A hut f gensu dunn eilre i.ii.terpliereii.de T e r m - frrtrktiotr i7r. A . ii-cnii f alle l'eilulgebren von Ah bewahrt.

.%us Theorem 2.1 folgt sofort fiir endliche Algebren:

K o r o l l a r 2.2 (111). Sei A = (A , F ) ? (dl > 1, eiibe endlrche Algebra mit einer ( h + 1) - s t e l l i ge t i I'ermfunktion m (h 2 2). Dann ist eine Funktio?i f : A" -+ A fur eitw beliebige natiirliche Zahl .ti 2 1 genuzt. dnn,.n eine Termfunktion von A , wenn f jede Ted- nlgebra van Ah bewabt .

Sei P eiiie Xquivalenzrelation auf der Menge (1, . . . ? h ) . Viiter der mit A y ) be- michneten Teilinenge von Ah versteht man die in folgender Weise defiriierte Menge :

A$) = [ ( t i , , . . . . . a,,) 1 = a,, wenn i urtd j in derselben P-Klasse liegen}.

Danti ist A$') = (A!$! F ) eiiie Teilalgebra von Ah. P soll durch die Angabe ihrer nicht- t,rivialen Teilklassen bezeichnet werden. Insbesondere werde die Diagonale von Ah durch d h ( A ) beaeichnet. An Stelle von A , ( A ) soll kurz d(A) geschrieben werden. Die Teilalgebren A$') (also ituch dh(A) . \vie auch Ah selbst) uerden als triviale Teilalgebren von A" bezeichnet. Es ist klar. daB jede endliche partielle Funktion f : A" + A alle trivialrn Tei1algebrr.n von Ah bewahrt .

Anlvendung voii Korollar 2 .2 auf priniale und praprimale Algebreu fiihrt zu folgen- den Aussagrii :

K o r o l l a r 2.3. S e i A = ('4, F ) . Jr l l > 1. einc. endliche Algebra niit einer (h + 1)- stelligen BP-Ter,nfunktioii ( h > 1). D a n ~ i s t A geuau dann pri,rnal, wenn Ah keine nichttricialoi Teila.lgebreti. hat.

Beweis . Da PS in A eine (h + 1)-stellige Termfunktion m gibt,. sind genau die Fu&- tionen. die jede Teilalgelira D von Ah beuahren. Termfunktionen von A . Jede Funk- tion f : -4" + ;I ( n 2 1) bewahrt a h die trivialen Teilalgebren A$" und Ah, und das sind auch die einzigun Teilalgebren von Ah. Dahrr ist A primal. H a t Ah dagegen eine nicht,triviale Teilalgebra. S O i d A nicht primal. 0

T h e o r e m 2.4. Sei A = (-4. F ) , ( A ( > 1> eine endliche Algebra mit einer (h + 1)- stelliyen BP-Termfunktion In (h > 1). Hat Ah (bis aiLf Aquivalena) genurt. cine nicht- triviale TeilalgPbra D . RG ist A praprimal.

D , ~ D , 5 A" hriBen aquivalent. wenn Pol D, = Pol D, . Beweis . Xach Korollar 2.2 ist = Pol D . (Es sei daran erinnert. daB F die aus

F durcli Superposition rntstehende abgeschlossene Funktionenklasse ist.) Rir unter- suclirii die Algebra A' = ( A . Pol D L' {y}) mit g E F(A) \ F . g bewahrt also D niclit. E:: folgt, daB A"' keinr echte Teilalgebra hat. Da m Termfunktion voii A' ist, gilt nach Rorollnr 2.3. dalj A' primal ist. Sach Definition der maximalen Klassen (vpl. 5 1) ist A praprimal. 0

Im niichsten Abschnitt sollen die dnrch Theorem 2.4 gegebenen praprimalen Algebren niiher unt,ersuclit nerdrn.

8 3. Klassifikation aller praprimalen Algebrcn init einer BP-Termfunktion

Sei D eine Teiltnenjy ron A'. dann i+t D-' defiriiert durch: I m u-eiteren \\ ird von folgendeii Trilmengen von tlh (Relationen) Gehrauch gemacht :

D-' = ( ( 0 . b ) 1 (b. U ) ED). .

Fiir zwei Trilniengen D, . D, g A' versteht man unter D , D D, die durch

B , i D2 = : (u . 6 ) 1 es existiert ein c, so daD (a. C) E D , und (c, b) E D z }

ALGEBRAEXHE CHLLRAKTERISIERUNGES PR~PRIMALER ALGEBREN 459

c1efiniert.c Teilmenge von A 2 . Wleiter werden die Trilmengen D,,, DA und D’ benotigt, die definiert sind durch :

D, = { ( n , , . . . ~ a,) I es giht ein b E A , so daR ( a , , b ) E U , . . ., (a,,, b ) E D } ,

L( = { ( a , , . . . , a,) I es gibt ein 6 E A , so da13 ( b , a , ) E L), . . . (b , a,) E D } , D’ = { ( a 2 . a 3 . . . ., a,,. a,;) I (a,, . . ., a h - , , ah) E Zl und (a,, . . . , a h - , , a;) E D

fiir ein gruisscs Element a , E A } .

Eiiw ’I’cilmenge I, A 2 ist cine partielle Omhung, a-enn sie reflexiv ist! d . h. A ( A ) g p, antis?-iiiniet.riscli. d . h. p n p - I = d(A). und transitiv, d. h. Q o p = p. e , E A heiRt k1ri)r.utt.r. Elemetit von p A 2 , wenn (e,,. a ) E C ) fur alle a E A und e , E A heiRt groptes E l rmeuf vonp. wcnn (a. e l ) E Q fur alle a E A . Einr Teilmenge 0,s A Z heiDt Permuta- tiotr. w i i n

D, = { ( u . s ( a ) ) I a E -4 und s ist eine Permutation auf A ) .

Irislw>ondere heiRt die Permutation 0, qrriitt, wenn alle Zyklen von s dieselbe Prim- z n h l l l i n p ~ haben. Eine Teilinenge 8 & A 2 ist, eine A’quivalenz von A , wenn 8 reflexiv. syrnni~triscli (8 = 0 - I ) und transitiv ist; 8 ist aichttrivial, wenn 8 =/= A Z und 8 + A ( A ) gilt. Einv Trilrnenge y 5 A h ( h 2 2 ) ist total synmetrisch, wenn fur cine beliebige Per- ntlitiltion .Y von { 1. . . ., h } ( a , , . . .. u,,) € y genau dann gilt. wenil (Us( ,). . . . % a r ( k ) ) € 7’. Sc*i -4, 5 = I h definiert durch A, = { ( a , . . . ., ah) I a, = a, fur beliebige i + j } . ;’ Iit.ilJt total rPfle.riu, wenn A , s y. Das Zentrum von y ist die Menge aller a E A , so

A h heiRt zptrtral. wenn sie total symmrtrisch, sowie total reflexiv ist und cine nichtleere Tcil- rntmpr \-on A als Zentrum tiat.

Kint* c~ndlichn Algebra A = ( A . F), ),41 > 1, heiDt durch D g Ah erzeugt, wenn F = Pol D ist, d. h. wenn die Terrnfunktionen von A genau die Funktionen sind. die I ) hen-nhren. Die durch D erzeugte Algebra werde mit A D bezeichnet.

a,,) E y fiir boliebige a2. . . . , a,,, E A gilt. Die Teilrnenge y

Es \wrdrn d i p folgenden Klassen von Algebren betrachtet :

1 . A,. dabci ist p eine belicbige partielle Ordnung auf A init einem groaten und

2 . A,, . wo D, cine prime Permutation ohne Fixpunkte ist.

3. A ~ . ivo 6 eine nichttriviale Xquivalenz auf A ist.

1. A , . wo y ciiie zentrale Teilalgebra von Ah ist ( h 2 1). (Fur h = 1 ist y cine Teil- algel~rii B \-on A , )

Es 1iiBt sich Ieicht zeigen. daD jede Algebra aus einer dieser Klassen eine ( h + 1)- stcalligr RP-Tennfunktion cnthalt und daR Ah fur alle diese Algebren (bis auf Aqui- viilrnz) pmau eine Teilalgebra hat. Damit sind die Voraussetzungen des Theorems 2.4 rrfiillt. nnd wir erhaltrn die wohlbeknnnte Aussage :

(+win kliinsten Elrrnent.

l iolollar 3.1. Jede Algebra der Form A,, A,. A@, A , i s t praprimul.

Th(*orcm 3.2. Sai A = ( A , F). IAl > 1, eine endliche Algebra mil einer ( h + 1)- .vtelIi~lcic BP-l‘crnifwiktion ni ( h > I ) und habe Ah (bin auf A’quiualenz) genuu einc ?tichi- tririrrlc ‘I’rilalgebra D . Danir kanri A nicr ei t ie Algebra aus ein.er der Klamen A,. A,, Ag, A , ariri.

400 KLAUS DENECKE

Der Beweis wird durch Jnduktion nacli h gefuhrt. AIR erstes ist die Giiltigkeit der Aussage fiir h. = 2 zu hencisen:

Lemma 3.3 . S e i A = ( A , F ) , JAl > 1, eiire e d l i c h e Algebru, d ie ehie 2-diutributive 1,'czrietdt erzeugt, und hahe A' (b i s auf Aquiualetrz) yenau eiue iiichtirioiale Teilalgebru D. DUWL kann A iiur eine -4lgebra aus ei,tier der lilassen. A , , A , , AB o d w A , se in .

Hrweis . Es sind alle Moglichkeiten zu untersuchen: die es fiir die einzige nicht- trivinlr Teilnlgebra D von A 2 gibt. Da D einzige nichttriviale Trilalge1)ra von A' ist, giht cs gmau die drci Moglichkeiten :

1. D c :J (A) . 2. : I ( A ) c D . 3. i l ( A ) A D = 0.

Dicse drei E'iillc sollrn iiun genauer uritersucht tr-rrden.

Fall 1 : D c ; I ( A ) . Die Tailalgehra D c : I (A) ist durch die X1)l~ildung (a. n ) H a isomorph zu einer Teilalgebra B c A . A4nn-cndung des Korollars 2.2 zrigt. dnI3 cine prdprimala Algebra dw Forin A s vorliegt.

Fall 2 : A ( A ) c D. T n dicscni Fall pilit vs die RISglichkriteii D-' = D oder D-' f D .

Fall 1.1 : D-I = D. D ist syrninrtrisch und reflexiv. (D , , F ) ist einr reflexive Teil- algehra von A,. Sei ( u l . a,,) E D . Mit 0 = aI folgt. aus (a1 , u , ) E D und ( a 2 . ul ) E D. da13 ( a , I a,) ED, , d. h. D g L), -3, . Daher ist r n t w d r r D = D , oder D , = .4,.

Fall 2.1.1: D = Dz (D, f A'). Am ( u , . u 3 ) E U und ( u s . a,) E D folgt. da U syni- metrisch ist, zunachst, (a, ~ u 3 ) E D. dahw (u, . u z ) E I), . und negcm D = D, folgt iwiter ( 0 , a,) E D: d. 11. D ist transitiv. Folglich ist D tine -$quivalenz und in An- wendung von Korollilr 2.2 A rine A 1 g r - h dcr Form A @ .

F a l l 2.1.4: D , = A, ( D $: D2). 1)urch Indditioll nach tL wird bcwiearn. daR D, = A n fur alle 2 < 11 5 k gilt. Es ist klar, daB (D, , . F ) c i n e Teilalgehra von A" ist. Sci I),,- , = A"- ' . dann gilt fiir a l le u , . . . . . (4" E A :

( u , , u 2 . a 3 . u 4 . . . . . a,,) E D,: ( a , . a , . ( I , . . . . . a, , ) E D,; ( u , . u , : u 2 . c i a . . . . . a , ) E D,. Da. ni einp Termfunktion von A ist, crhalten wir:

( n i ( n 2 , a l , n l ) , m(u,. a , . ( I , , ) , n i (u , . a 3 , a,): nz(a,? a4, a4). . . . . nr(u,,. ( I , , , ( I . , , ) ) =

= (ul. a z . ( 1 3 . aq.. . . . u,,) E D".

d. h . D, = A". Daher ist auch U , = Ak und damit (0: I . . . , . k - 1) ED,, d . h . fur alle n E A existiert ein Element c E A . so daB (a . r ) E D gilt. Das brdeutct. daR I ) rin Zrntrum hat und A nach Theorem 2.5 einc, .AIgc,l)ra der Form A , ist.

Pall 2.2: D-' f D . .Jctzt inuR gckten: D-' D und D n D-' = i l ( A ) . In diescm Fal l ist D antisymmetrisch, D o D- ist syninietrisch. dnher ist D + D o D-'. Es muR also Do D-' = A 2 sr.in. Wepcn D, = D L U-' Iicdeutct dies: L) , = A'. Durch Iri- duktion ergibt sich \vie unter 2.1.2 L), = A' und (0, 1, . . . , k - 1) ED,, d . h . fiir iillr (1. E -4 existiert r in c , niit (a . e l ) E D. e l ist also groI3tr.s Elcment von D. Durch analoge &degungen weist man untw Vrruendung der Algc1)ra DA die Existcnz eines klein- sten Elementes e , nach. (Do I), F ) ist cine Teilalgrlra von A, . Da fur a + e l ( e l . a ) 4 D 0 D gilt, folgt D o D =+ A * . DR aiidererseits D o D 2 J ( A ) . folgt D o 1) = U und D ist transitiv. daher einp p:irt,ir,lle Ordnung mit kleinstein und groI3tcm Elrment.

ALOEBRAISCHE CHARAKTERISIERUNGEX PRAPRIMALER ALOEBREX 40 1

Yiir zwri beliebige Eleniente .r, y existieren Infimum und Supremum bezuglich der durch D gegebenen partiellen Ordnung und sind durch m(s. y, eo) hzw. m(r. y. e l ) grge hen.

F a l l 3 : A ( A ) A D = 0. Wegen D, n d ( A ) + 0 gilt D, $; D. Aus D, = A' wiirde sich durch Induktion Dk = Ak ergeben. d. 11. (0: 1, . . .. k - 1) E Dk und fur ein gr- wisstas 'u E A ware (a . u ) E D fur alle n E A , d. t i . (u, t i ) E D im Widersprucli zu . ] ( A ) n D = 0. Daher ist D, = 3 ( A ) . Entsprrchend gilt nuch Di = rl(A). Wegen U , = U Q D-' und D; = D-' o U ist D eine eineindeutige Abbildung. Da A keine rclitr nichtt,riviale Trilalgebra haben kann (dieser Fall wurde schon in 1. untersucht). ist U rinr surjektive Xbhildung von A auf sich selbst, d. ti. eine Permutation von A . Dn D irreflexiv kt. hat die D definierende Permutation s keine Fixpunkte. s ist ein ;\utoniorphismus von A . Da rine Potenz eines Automorphismus wieder ein Auto- Iiiorphismus ist! folgt. daB s BUS Zyklen gleicher Prirnzahllange besteht. Anwendung \-on Korollar 2.4 zeigt. daR A die Form A , hat.

.-\ndercs als die untrrsuchten Falle gibt ex nicht, damit kt Lemma 3.3 bewiesen. (7

Der Beweis des Theorems 3.2 durch Induktion wird fortgesetzt, und es wird an- prnoninirn! dalj fur jede natiirliche Zahl I mit 2 l < h gilt: Sei A eine endliche nichttrivialr Algeha mit riner ( 1 + 1)-stelligen BP-Termfunktion m und habe A' (bis au f .%quivalenz) genau eine nichttriviale Teilalgebra. Dann kann A nur eine Algebra a ~ i s rinrr der Klassen A , , A , . Ae oder A , sein.

Sei A j r t z t cine endlichr Algebra, \A / > I ? niit einer (h + 1)-stelligen BP-Term- function und habe A h (his nuf Aquivalenz) genau eine nichttriviale Teilalgebra. Es knnn \-orausgesetzt werden. daR A' f i ir I < h lteine echte Teilalgebra R hat. denn antlrrrnfalls h i t te man durch dic. Abbildung ( a , . . . . . a , ) ++ ( a , , . . . , a , . . . ., a , ) fur alle ( ( 1 , . . . . . a,) E I{ cine zu R isomorphe Teilalgebra R+ E A h , die aquivalent zu D win miiljtr. Sach Korollar 2.2 sind genau die Funktionen. die D bewahren, Termfunk- tionen \-on A . d. 11. alle Funktionen. die R bewahren. sind Termfunktionen von A . Da A' keine weiterr nichttriviale, nicht zu R iiquivalente Teilalgebra hahen kann. hat A Iiach Theorem 2.1 eine ( 1 + I)-stellige BP-Termfunktion. uncl nach der Induktions- v-oraussetzung kann A nur cine Algebra einer der Formen A , . A , : A # , A , sein. Dem- nnch ist das Theorem 3.2 brwiesen. wenn das folpende Lemma bewiesen ist :

Lrtiimn 3.4. Xei A ei,jze endliehe Algebra, IAl > 1, init e i71 .e~ ( h + l ) - s te l l iye~ BP- Ternifi~trktion (h > 2 ) . Habe A h (bis auf A'quivalenz) genau eine nichttriviale Teilalgebra D i ind A' fiir 1 .c h keive .tiichttriciale echte Teilalgebra. Dairn. ist A eine Algebra der Form A,.

Bcweis. Es ist zu beweisen. dalj D eine zentrale Teilalgebra von A h ist. d. h. total symnwtrisch. total reflexiv ist und ein Zentrum hat. Zunachst sieht man. daB 3,(A) n U $; 0 ist. denn anderenfalls giibe es fur eine bcliebige Algebra A',h' + d h ( A ) grnau die folgenden Moglichkeiten :

1. D n A$) = AY,' fur vine gewisse Aquivalenz I" auf ( 1 , . . . , h ] . Das wiirde aber hedeuten: A$? D, d. ti. i l , ( i l ) E A$' 5 D im Widcrspruch zur Annahme

1. U A Ap) = D! daraus folgt D g A$?), d. h. D ist isomorph zu einer Teilalgebra

A,,(.-l) A D = 0.

von A' fur 1 < h.. was im Widerspruch zur Voraussetzung von Lemma 3.4 steht.

462 K L A U S DENECKE

3. B A Ay) = 0; um auch dies Zuni Widerspruch zu fiihren. wird die zu Brginn des $ 3 definierte Teilalgebra D' von Ah unt'crsucht. Es gilt D' =+ 0 und I)' n A$! =+ 0. Weiter ist D + D', denn da P beliebig ist, gilt, D A A$?,.,,) = 0. D' = A$' fiir einr Xquivalenz P' auf (1, . . . , h} verschiedrn von (h - 1, h ) ist ebenfalls unmoglicli. dn sonst D n A!?! + (1 ware. Ware schliel3lich D' = a4{i!1,h): so hatten wir (u2 ! n 3 . . . . . a , a) E D' fur alle a E A , d. h. fur alle a E -4 und ein gewisses a, E -4 ware (n, , . . . . u.,-,, a ) E D . Dies steht im Widerspruch zu D n A, = 8 fur bcliebige P . Aus D' = Ah wiirde folgen A& & D', daher A)!&) 5 D! was nach 1. auf einen Widerspruch fiilirt. Da keiner drr Fille 1. bis 3. nioglich ist.: gilt d,(A) n D + 0.

DRhrr kommt iiur noch d,(A) n D = D, L],(A) n D = d h ( A ) oder 3 , ( A ) n D = A!?) (A$) + d,(A)) in Frage. Im ersten Fall ware D E d,(A). Dann ware D zu einw Tril- algebra von A isomorph im Widerspruch zur Voraussetzung des Lemmas 3.4. lm letzten Fall ware A$') E d , (A) , d. h. A$) = d,(A). Es bleibt i l h ( A ) n D = iIh(-4). d. h. d,(A) D.

Untersucht man die Projektion p , : ( a , , . . . ,a, ~ . . . , a,) + ( a , . . . , u i - , ~ a,,, . . . . u h ) , so ergibt sich :

~ ' ( 0 ) = Ah-' fur alle 1 i i h . Ware diese Gleichung nicht erfullt, so muBte fur eine gewisse Aquivalmz P auf (1, . . . , h - l} gelten: p , ( D ) = Alp-'). Daraus wiirde sich D t A$') ergeben. Das ist aber nicht moglich, da sonst eine nichttriviale Teilalgebra D von A' fur 1 < h caistie- ren wurde.

Eine weiterr, leicht einzusehende Folgerung ist :

IAlh-' < ID1 < IAlh. Als nachstes wird bewiesen, daB D total reflexiv und total symmetrisch ist. Sei

D, = D n A$). Mit der am Anfang von § 3 definierten Teilalgebra D' ergibt sich wegen p , ( D ) = Ah-' und = D(,-,,,) g D': 10'1 2 Wegen p h ( I ) ) = - - Ah-, und ID1 > IAlh-' folgt, daB es a , , . . ., I I , - , , a,, a; E A so gibt, daB a, + u,; und ( a , , . . .,, ah-, , a,) E D , sowie (a,, . . ., ah- , , a;j E D gilt. Daher ist (a2 , . . . , a h , a;) E D ' und (a2 , . . ., a;, a,) E D ' , so daB ID'I > IAJh-l gilt. Es bleiben fur D' nur noch die beiden Moglichkeiten D' = D (bzw. D' ?Z D ) und D' = A h . Im ersten Fall fOlgt aUS D6-i.h) = A):!l,h) aUCh D ( h - 1 . h ) = A$Yl,h). Im zweiten Fall folgt Bus

l D ( h - 1 , h ) l 5 und lD(~- l ,h~ l > IAlh-' ebenfalls D(h-,,h) = A)i?i,h). Sei jetzt

B:(x) = {(%(I)? 2 . . . 7 %(j), as [ j ) 7 . . ' I I 1 9 * . ' 9 u i ~ aj3 . . . 7 "h- 1, @'h) E D - wohei s eine geeignete Permutation auf A mit s(h - 1) = i, s(h) = j , i < j , i, j E (1, . . . , h} und i + h - 1 oder j + h ist}. Wegen IAlh-' < < lAlh folgt Dj,,) = D (oder Ds(x) g D ) , d. h. D(i,jj = A&. Daher sind alle A[:;) in D enthalten, und damit liegt auch A, in D und D ist total reflexiv. Aus A , D folgt Ah g D , wo- bei Ah die von A , erzeugte Algebra ist. Da Ah (bis auf Isomorphie) keine von D ver- schiedene echte Teilalgehra hat und da D(,- , ,,) cine echte Teilalgebra von A , ist, folgt IA4lh-' < IAhl. Folglich ist D = Ah und mit A , ist auch D total symmetrisch.

Der nachste Schritt besteht darin, zu bewcisen, da13 D zentral ist. Sei 1y = = ((x, , . . . , z,) 1 (z,, . . . , 5,) E D oder es existiert genau ein c E A mit x, = c fur alle x , , . . . , zh-] E A}. Es ist Dc =# Ah. Klar ist, daB D g D' gilt. Ware D c D',

ALGEBRAISCHE CHARAI(TERISIERU~(:EN PRAPRIMALER ALGYBREN 463

so wiirde aus den Eigcmschaften total reflexiver und total symmetrischer Teilalgebren folgen: Pol D 3 Pol D‘. Das ist aber nicht moglichI da Pol D und Pol D‘ bejdt:s niaxi- nmle Klassen sind. Folglich gilt D = D‘ und D ist zentral. Xach Iiorollar 2.2 ist A eine .Algebra der Form A , . 0

Q 4. Die Umkehrung des Theorem 2.4

Lemma 4.1. Sei A eine prapriniale Algebra, die eiiie (h + 1)-stellige UP-Termfunk- fioii Enthalt ( h 2 2). Dann hat Ah (his auf Aquiualenz) genau eine ‘I’eilalgebru.

Beweis. Da A = ( A , F ) priiprimal ist, gilt F = Pol D fur eine TeiImenge D 5 Ah. Daher hat Ah einr Teilalgebra D. Sei R = {Dl , . . . , D,} die Menge aller nichttrivialen Teilalgebren von Ah. Da nL Termfunktion von A ist, ist nach Korollar 2.2 jede Funk- tion, die jede diesrr Teilalgebren bewahrt, eine Ternifunktion von A , d. h. es gilt: F = Pol R. Aus den Eigenschaften des Operators Pol ([S]) folgt Pol R = Pol D , r B . . . A Pol D,. Die Gleichung Pol D = Pol D , A Pol D , n . . . A Pol D , fiihrt zu Pol D g E Pol D, (i = 1 , . . . , m ) . Da A = ( A , F ) eine praprimale Algebra ist und Pol D da- her eine maximale Klasse von Funktionen gilt Pol D = Pol D , (i = 1 , . . . , m ) . ROSENBERG hat in [lo] bewiesen, daB fur eine maxin~ale Klasse PolD, = Pol D , unmoglich ist, wenn D , und D, in zwei verschiedenen der 6 von ihm angrgebenen Relatiorienklassen liegen. Liegen D , und D, in derselhen Relationenklasse, so sind D , und D, zueinander isomorph. 0

Die bisher erhaltenen Ergebnkse werden in folgendem Theorem zusanlmengefaflt :

Theorem 4.2. Sei A eine ei~dliche nichttriuaale ,41gebra mit einer (h + l)-stell ige~ BP-Ternifunktion. Dann ist folgendes iiguiualent :

(if Ah hat (his auf Aquiualenz) genau eine nichttrioide Teilalgebra, (ii) A ist eine Algebra einer der Formen A , , AB . A , oder A , . (iii) A ist paprimal.

Beweis. (i) 3 (ii) gilt nach Theorem 3.2, (ii) 3 (iii) gilt nach Korollar 3.1, (iii) ==. (i) gilt nach Lemma 4.1. AuBerdem wurde (ii) => (iii) direkt bewiesen (Theo- rem 2.4). 0

8 6. Anwendungen

Sind die Kongruenzenverbande aller Algebren einer Varietat distributiv und sind die Kongruenzen panrweise vertauschbar, so heiBt die Varietat arithmetisch. Schon in 9: 1 wurde auf eine Charakterisierung primaler Algebren nach FOSTER und PIXLEY [4] hingewiesen, die davon Gebrauch macht, daB die betrachtete Algebra eine arithmatische Varietat erzeugt. Eine analoge Aussage fur praprimale Algebren wird in [2] angegeben. Die Anwendung des Theorems 4.2 fiihrt zu einer weiteren Charakterisierung pra- primaler Algebren, die arithmetische Varietatm erzeugen. Dazu wird der Begriff einer rektanguliiren Teilalgebra D von A 2 benotigt.

Eine Teilalgebra D von AZ ist rektangulur, nenn aus (a: y). (t, v), (u, v) E D folgt: (u, y) E D. Tnterprctiert man die Elemente von A 2 als Koordinaten von Punkten in rinem ebenen Koordinatensystem, so bedeutet dics, da13 D den vierten Eckpunkt eines Rechteekc: immrr dann euthalt, wenn sie drei beliehige andere enthalt.

Es gelten die folgenden Zusammenhange: Sei D eine Aquivalenz von A 2 und sei (z, y). (x, v ) . (u. v ) E D , dann ist (y. x ) E D und aus (y, x ) E D folgt (y. v) E D . AUS

4134 KLAUS DEKECKE

(y, v) E U und (v. u) E U folgt (y? v) E D wid (u, y) E D, d. 11. D ist eine rektanguliire Teilalgebra von A 2 . Sei D unigekehrt pine reflexive rektanguliire Teilalgebra von A 2 . Aus (-1.. y), (.r! .c). (y: y) E D folgt (y, x) ED, d. h. U ist symmetrisch und aus ( J , y)? (y. z ) : (y, y) E D folgt (.r. z) E D , d. 11. D ist transitiv. D ist also eine nichttriviale xqui- valenz.

Man iiberzeugt Rich schnell davon. daB die in den Fallen l . , 2.1.1 und 3. des Beweises von Lemma 3.3 auftret,enden Teilalgebren von A 2 rektangular sind. Es handelt sich um Teilalgebren von A . nichttriviale Aquivaltmzen und uin prime Permutationen olint. Fixpunkte. In v2] w i d bewiesen.. dal3 genau die praprimalen Algebren der Form A s . A @ , A, arithmetische Varietatcw erzeugen. Damit ergibt sich :

K o r o l l a r 5.1. S e i A e i , m endliche d l g e b r a . 1.41 > 1, die eine arithmetische Vnrietat erzcuyt. D a m i.st folgendes icquivalent : (i) A 2 hat ( h i s azcf dquivalenz) yenau eine rzichttrieiale rektawyulare TPilalgebru. (ii) A ist eine Algebra der Forni A o . A , oder L4B. (iii) A ist prupr inia l .

SchlieBlich konnm l<orollw 5.1 und Theorem 4.2 angewrndct werden, uni Kriterien fur die Primalitiit von Xlgebrrii aufzustcllrn. Die folgende Aussagc ist wohlbekannt : Eiiic. endliche Algebra A = ( A . F ) . 1-41 > 1. ist. genau dann primal. wenn F in keiner maxiinalen Klasst enthaltrn ist. Damit iind iius Korollar 5.1 crgil t sich sofort das Primnlit,iitskriterium ron FOSTER und PISLEY (# 1). htsprcchend erhalt man a u s Theorem 4.2: Eine endliche Algel~ra A = ( A . F ) , IAl > 1. die eine BP-Termfunktion en th i l t . ist genau dann prininl. wrnn A einfach ist. krinca Autoniorphisnicm hat. I; Pol p und F Pol 3’ gilt.

Literatur [ I ] B.~KER, K. A, and A. F. PIXLEY, Polynomial interpolation and the Chinese Remainder The-

orem for algebraic systems. Math. Zeitschr. 143 (1975), 165- 174. [2] DENECKE, K., Preprimal algebras. Akatlemie-Verlag. Berlin 1982. 131 FOSTER, A. L., Functional completeness in the small, algebraic structure theorems and identities.

Math. Ann. 1# (1961), 29-58. [4] FOSTER, A. L., and A. F. PIXLEY, Semi-categoricd algebra I; semi-primal algebras. Math.

Zeitschr. 83 (1964). 147- 169. Semi-cntegorical algebras 11. Math. Zeitschr. S5 (1964), 169- 184. [5] Jonsson, B., Algebras whose congruence lattices are distributive. Math. Scand. 31 (1967).

110- 121. [Cil SIITSCHKE, A.. Near unanimity identities and congruence distributivity in equational cl;~ssrs.

dlgebrti Universalis (to appear). [7] PIXLEY, 9. F., Distributivity and permutability of congruence relations in equational classes

of algebras. Pror. Arner. Math. SOC. 14 (1963), 105-109. [R] POSCHEL, R., und L. A. l i a ~ u i x r ~ , Punktionen- und Relationenalgebren. VEB Deutscher Ver-

lag der Wissenschaften, Berlin; Birkhauser Verlag. Basel und Stuttgart 1979. 191 QUACKENBUSH, R. W., .4 new proof of Rosenberg’s primal algebra characterization theorem.

Preprint 1979. [lo] ROSENBERG, I. G., Uber die Verschiedenhelt rnnximaler Klassen in Pk. Rev. Roumaine Math.

Pures Appl. 14 (19631, 431 -438. [ I l l ROSENBERQ. I. G., Uber die funktionale Vollstandigkeit in den mehrwertigen Logiken. Roz-

pravy Ceskoslovenuk6 Akttd. HO (1970), 3 -93.

K. Denecke 4308 Thale/Harz Fontanering 33 DDR

(Eingegangen am 28. J u l i 1982)