3 teori peluang

7/18/2019 3 teori peluang

1/49

33 TT ee oo rrii pp ee lluu aa nn gg dd aa nn dd iiss ttrriibb uu ss ii pp ee lluu aa nn gg

3.1 Pendahuluan

Teori peluang adalah bagian integral dari ilmu statistik, dan merupakan salah satubagian terpenting dalam teori statistik inferensial. Seperti telah dikemukakan da-lam bab 1, statistik inferensial berkaitan dengan metode pendugaan dan penarikankesimpulan terhadap karakteristik suatu populasi berdasarkan informasi yangdiperoleh dari sampel. Dalam proses pendugaan atau penarikan kesimpulan ter-sebut terkandung suatu unsur ketidak-pastian, karena pada kenyataannya prosestersebut jarang sekali didukung oleh informasi atau input yang sempurna. Secara

statistik derajat/tingkat ketidak-pastian tersebut dikuantifikasikan dengan menggu-nakan teori peluang. Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut ini.

Seorang calon kepala desa menyatakan bahwa dirinya akan mengalahkan pesa-ingnya dalam pemungutan suara yang akan dilaksanakan dalam beberapa bulanmendatang. Karena merasa ragu dengan pernyataan tersebut, seorang wartawanlokal mewawancarai 20 orang calon pemilih di desa tersebut. Ke 20 orang terse-but dapat dianggap sebagai suatu sampel acak dari seluruh calon pemilih di desatersebut. Jika ternyata tak seorangpun dari ke 20 responden menyatakan akanmemilih calon kepala desa tersebut, apakah kesimpulan anda?

Jika pernyataan kepala desa tersebut benar, maka sedikitnya 50% calon pemilihakan memilih dia, dan hal ini seharusnya tercerminkan dalam sampelnya. Akantetapi, karena dari sampel tersebut menunjukkan bahwa tak satupun calon pemilih

akan memilih dia, dapat kita simpulkan bahwa pernyataan calon kepala desa ter-sebut adalah tidak benar, dan kemungkinan besar dia akan kalah dalam pemu-ngutan suara mendatang.

Jika seandainya 9 calon pemilih menyatakan akan memilih kepala desa tersebutdan sisanya (11 orang) menyatakan akan memilih calon lain (dalam hal ini kitaanggap hanya ada dua calon kepala desa). Dapatkah kita simpulkan bahwa per-nyataan kepala desa tersebut tidak benar? Bagaimana jika hasil sampel tersebutmenunjukkan perbandingan 6 lawan 14, atau 3 lawan 17? Pada batas angkaperbandingan berapakah kita dapat menyatakan bahwa pernyataan calon kepaladesa tersebut adalah tidak benar? Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ter-sebut kita harus mengetahui bagaimana menentukan nilai peluang dari hasil sam-pel. Dengan mengetahui nilai peluang tersebut kita dapat memutuskan untuk setu-ju atau tidak dengan pernyataan kepala desa tersebut.

47


2/49

3.2 Percobaan acak

DefinisiSuatu percobaan adalah suatu proses atau kegiatan yang menghasilkan sa-tu kejadian (outcome) dari berbagai kejadian yang mungkin dihasilkan. Jikaterjadinya kejadian tersebut tidak dapat diduga dengan pasti maka perco-baan tersebut disebut sebagai percobaan acak (random experiment).

Ruang sampel (sample space) adalah kumpulan dari semua kejadian yangmungkin timbul akibat dilakukannya suatu percobaan.

Berikut ini adalah beberapa contoh percobaan acak dan kejadian-kejadian yangmungkin dihasilkannya:

Tabel 3.1 Contoh percobaan acak dan kejadian-kejadian yang mungkindihasilkan

Percobaan acak Kejadian yang mungkin dihasilkan

Melempar uang logam Rp 500,- Gambar burung garuda, angka 500

(sisi muka, sisi belakang)Melempar dadu Angka 1, 2, 3, 4, 5, 6

Mengamati harga komputer Naik, turun, tidak berubah

Menghitung jumlah buah cabe pertanaman

Mengamati gaji per bulan dosensenior sebuah perguruan tinggi

Mengamati pertumbuhan bungatanaman

0, 1, 2, ...

Sembarang bilangan yang lebihbesar dari Rp 1.500.000

Tumbuh jadi buah, tidak jadi buah

Salah satu ciri yang menonjol dari suatu percobaan acak adalah bahwa kejadianyang dihasilkan tidak dapat ditentukan dengan pasti sebelum percobaan tersebutdilaksanakan. Artinya, jika percobaan tersebut diulang, walaupun dalam kondisiyang sama, maka kejadian yang timbul dapat berbeda sama sekali dengan hasilpercobaan sebelumnya.

3.3 Permutasi dan kombinasi

Nilai peluang suatu kejadian, sering kali dapat ditentukan hanya dengan meng-hitung jumlah kejadian yang terdapat dalam ruang sampel dari suatu percobaan,tanpa harus mendaftarkan seluruh unsur/kejadian dalam ruang sampel tersebut.

48


3/49

Dalam bagian ini akan kita bahas prinsip-prinsip dasar dalam menghitung jumlahunsur/kejadian yang mungkin timbul akibat dilaksanakannya suatu percobaan.

Aturan 3.1

Jika timbulnya suatu kejadian A dapat terjadi melalui n kemungkinan, dankejadian B dapat terjadi melalui m kemungkinan, maka:

i. kejadian A atau B dapat terjadi melalui n + m kemungkinan, asalkankedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersama-sama

ii. kejadian A dan B dapat terjadi melalui n m kemungkinan

Contoh 3.1

i. Misalkan A adalah terambilnya satu kartu spade () dari satu set kartu remidan B adalah terambilnya satu kartu diamond (). Kedua kejadian tersebutmasing-masing dapat terjadi melalui 13 kemungkinan, karena dalam satu setkartu remi terdapat 13 kartu spade dan 13 kartu diamond. Maka terpilihnya

satu kartu spade atau satu kartu diamond dapat terjadi melalui

13 + 13 = 26 kemungkinan.

ii. Jika dari satu set kartu remi tersebut diambil dua kartu sedemikian rupa se-hingga salah satunya adalah kartu spade dan kartu yang lainnya adalahdiamond, maka dalam hal ini akan terdapat 13 13 = 169 kemungkinan,karena setiap kartu spade dapat berpasangan dengan salah satu dari ke 13kartu diamond.

Aturan 3.1 tersebut dapat diperluas dan berlaku untuk lebih dari dua kejadian.

Sehingga, jika kejadian A, B dan C masing-masing dapat terjadi melalui m, n danp kemungkinan, maka kejadian A atau B atau C dapat terjadi melalui m + n + pkemungkinan, dan kejadian A dan B dan C dapat terjadi melalui m n pkemungkinan.

Penggunaan aturan 3.1.ii sering kali bermanfaat ketika kita diminta untuk menen-tukan jumlah susunan/urutan dari suatu set objek tertentu. Sebagai ilustrasi per-hatikan contoh 3.2 berikut ini.

Contoh 3.2

Misalnya kita bermaksud untuk menentukan jumlah susunan dari huruf-huruf a, bdan c. Pada posisi pertama untuk setiap susunan kita mempunyai tiga pilihan,yaitu hurufa, b atau c. Jika posisi pertama sudah terisi, maka untuk posisi kedua

49


4/49

kita hanya mempunyai dua pilihan, yaitu dua huruf yang belum digunakan. Danuntuk posisi terakhir, kita hanya mempunyai satu pilihan. Dengan demikian, su-sunan ketiga huruf tersebut dapat terjadi melalui 3 2 1 = 6 kemungkinan. Keenam susunan tersebut, atau biasa juga disebut permutasi, adalah sebagaiberikut:

abc, acb, bac, bca, cab, cba

Dalam contoh di atas kita dapat dengan mudah mendaftarkan semua susunan(permutasi) yang mungkin terjadi karena hanya terdapat 6

permutasi. Secara umum, jumlah permutasi dari n unsur yang

berbeda adalah

n (n 1) (n 2) ... 3 2 1

Hasil kali dari bilangan-bilangan di atas biasa dinotasikan dengan n! (dibaca nfaktorial). Sehingga 2! = 2 1 = 2, 3! = 3 2 1 = 6, dan seterusnya.

Dapat ditunjukkan bahwa

(n 1)! =n! ....................................................................................... [3.1]n

Catatan: berdasarkan definisi, 1! = 1 dan 0! =1

Aturan 3.2

Jumlah permutasi dari n unsur yang berbeda adalahn!

Dengan aturan 3.2, dapat dengan mudah kita tentukan bahwa jumlah permutasidari 4 hurufa, b, cdan dadalah 4! = 24. Jika dari ke 4 huruf tersebut, misalnyakita hanya mengambil 2 huruf saja, maka dalam hal ini kita hanya mempunyai duaposisi yang dapat ditempati oleh ke 4 huruf tersebut. Pada posisi pertama kitamempunyai 4 pilihan dan pada posisi kedua kita hanya mempunyai 3 pilihan.Dengan demikian akan terdapat 4 3 = 12 permutasi. Ke 12 permutasi tersebutadalah

ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db,dc

Secara umum, hal ini dirumuskan dalam aturan 3.3 berikutini:

Aturan 3.3Jika dari n unsur yang berbeda diambil r unsur (r n), maka jumlahpermutasinya dinotasikan dengan nPr (dibaca jumlah permutasi tingkat rdarin unsur), dimana

50


5/49

n Pr =n!

(n r)! .................................................................................. [3.2]

Sampai sejauh ini perhatian kita terfokus pada n unsur yang berbeda satu samalainnya. Ada kalanya kita perlu menentukan jumlah permutasi dari n unsur yangtidak semuanya berbeda. Sebagai ilustrasi, misalnya huruf-hurufa dan b dalamcontoh 3.2 kita ganti kedua-duanya dengan hurufx. Maka ke 6 permutasi dalamcontoh 3.2 tersebut berubah menjadi

xxc, xcx, xxc, xcx, cxx, cxx

Perhatikan bahwa dari ke 6 permutasi tersebut hanya 3 permutasi saja yangberbeda, yaituxxc, xcxdan cxx. Dengan demikian, jumlah permutasi dari 3 hurufdimana 2 huruf diantaranya adalah sama, hanya terdapat sebanyak 3!/2! = 3permutasi yang berbeda. Misalnya kita mempunyai 4 huruf yang berbeda satusama lainnya, yaitu a, b, c dan d, maka dari ke 4 huruf tersebut akan terdapatsebanyak 4!= 24 permutasi yang berbeda. Jika hurufa dan b kita ganti denganx,dan huruf c dan dkita ganti dengan y, maka dari keempat huruf tersebut hanyaakan kita peroleh permutasi sebagai berikut:xxyy, xyxy, xyyx, yyxx, yxyxdan yxxy.Artinya kita hanya mempunyai 4!/(2! 2!) = 6 permutasi saja. Secara umum, hal inidirumuskan dalam aturan 3.4 berikut ini.

Aturan 3.4

Jika suatu set objek yang terdiri atas n unsur dapat dikelompokkan menjadi kkelompok yang berbeda, dimana kelompok ke 1 terdiri atas n1 unsur yangsama, kelompok ke 2 terdiri atas n2 unsur yang sama, demikian seterusnya,sehingga kelompok ke k terdiri atas nk unsur yang sama, maka dari ke n

unsur tersebut akan dapat disusun sebanyak

berbeda.

n!

n1! n2!Lnk!

permutasi yang

Contoh 3.3

Satu set lampu hias mempunyai 9 buah soket untuk bola lampu. Jika kita mempu-nyai 3 bola lampu berwarna merah, 4 bola lampu berwarna kuning dan 2 bolalampu berwarna biru, tentukan jumlah susunan yang dapat kita buat untuk me-nempatkan ke 9 buah bola lampu ke dalam soketnya.

Penyelesaian

Jumlah permutasi yang mungkin dapat kita susun dari ke 9 buah bola lamputersebut adalah

51


6/49

9!

3!4!2! =1260Jadi ke 9 buah bola lampu tersebut dapat ditempatkan ke dalam soketnya melalui1260 cara.

Dalam menyusun unsur-unsur tersebut, ada kalanya kita hanya tertarik pada jum-lah susunan yang berbeda tanpa menghiraukan urutan dalam setiap susunan.Susunan atau permutasi yang demikian disebut kombinasi. Misalnya jika dari 4huruf a, b, c dan d diambil dua huruf, maka kombinasi yang mungkin tersusunadalah

ab, ac, ad, bc, bd, cd

Perhatikan bahwa dalam kombinasi, urutan dalam setiap susunan tidak dibedakan,misalnya ab tidak dibedakan dengan ba, sedangkan dalam permutasi kedua su-sunan tersebut dibedakan satu sama lainnya. Sehingga dapat dikatakan bahwaab dan ba adalah dua permutasi yang berbeda dari kombinasi huruf yang sama.

Aturan 3.5

Jika dari n unsur yang berbeda diambil runsur, maka jumlah kombinasinyadinotasikan dengan nCr (dibaca jumlah kombinasi tingkat r dari n unsur),dimana

nCr =n!

r!(n r)!

............................................................................... [3.3]

Contoh 3.4

Dari 4 orang anggota partai politik A dan 3 orang anggota partai politik B di DPRakan dibentuk suatu kepanitiaan yang terdiri atas 3 orang. Tentukan jumlah su-sunan kepanitiaan yang mungkin dibentuk jika 2 orang anggota partai A dan satuorang anggota partai B harus menjadi anggota panitia tersebut.

Penyelesaian

Jumlah susunan yang mungkin dibentuk dengan cara memilih 2 orang dari 4 oranganggota partai A adalah

4!4C2 =

2!2!=6

52


7/49

Jumlah susunan yang mungkin dibentuk dengan cara memilih 1 orang dari 3 oranganggota partai B adalah

3!3C1 =

1!2!=3

Dengan aturan 3.2.ii, maka jumlah susunan kepanitian yang mungkin dibentuk

yang terdiri atas 2 orang anggota partai A dan satu orang anggota partai B adalah6 3 = 18 kemungkinan.

3.4 Interpretasi tentang peluang

Telah cukup banyak usaha yang dilakukan oleh para ahli statistik untuk men-definisikan peluang suatu kejadian secara tepat. Tiga macam pendekatan dalammenginterpretasikan peluang akan kita bahas dalam bagian ini, yaitu pendekatanpeluang secara klasik, pendekatan dengan konsep frekuensi relatif dan pende-

katan subjektif.

Pada pendekatan klasik, peluang suatu kejadian diinterpretasikan berdasarkanatas asumsi simetris dari sifat percobaan. Misalnya pada percobaan pelemparansebuah mata uang yang seimbang, hanya ada dua kejadian yang mungkin di-hasilkan, yaitu timbulnya sisi muka atau sisi belakang. Dengan asumsi simetriskita menganggap bahwa kedua permukaan tersebut mempunyai peluang yangsama untuk terjadi. Oleh karena itu, peluang timbulnya sisi muka sama denganpeluang timbulnya sisi belakang yaitu sama dengan (1 dari 2 kejadian). Secaraumum, jika suatu percobaan dapat menghasilkan n kejadian, maka denganpendekatan klasik, peluang terjadinya salah satu kejadian tersebut adalah 1/n.

Peluang terjadinya suatu kejadian A dituliskan dengan notasi P(A). Misalnya, padapercobaan pelemparan mata uang, peluang dihasilkannya sisi muka adalah:

P(sisi muka) =

Penggunaan pendekatan klasik dalam menentukan nilai peluang sangat ter-gantung pada asumsi bahwa semua kejadian yang mungkin dihasilkan mempunyaipeluang yang sama. Jika asumsi tersebut tidak dapat dipenuhi, maka nilaipeluang yang dihasilkan dengan pendekatan klasik akan salah.

Interpretasi peluang dengan menggunakan pendekatan konsep frekuensi relatifmerupakan suatu pendekatan empiris. Misalkan suatu percobaan diulang seba-nyak n kali. Jika dari percobaan-percobaan tersebut timbul kejadian tertentu,misalnya kejadian A, sebanyak f kali, maka jika n cukup besar, nilai proporsi f/ndapat digunakan sebagai suatu pendekatan bagi nilai peluang terjadinya kejadianA (dalam bab 2, telah kita bahas bahwa nilai f/n adalah frekuensi relatif dari

53


8/49

kejadian A). Dengan pendekatan konsep frekuensi relatif, nilai peluang bagi suatukejadian didefinisikan sebagai frekuensi relatif dari kejadian tersebut pada penga-matan atau pengulangan suatu percobaan dalam jumlah yang besar.

Pada keadaan tertentu, kedua pendekatan di atas mungkin tidak dapat digunakanuntuk menentukan nilai peluang suatu kejadian karena berbagai alasan. Dalamhal ini nilai peluang suatu kejadian dapat ditentukan secara subjektif berdasarkan

penilaian masing-masing orang. Misalnya, suatu perusahaan merencanakan un-tuk memproduksi suatu produk baru yang belum pernah diuji-coba sama sekali.Eksekutif perusahaan mungkin akan bertanya Berapa peluang bahwa perusahaanakan menghasilkan keuntungan dari pembuatan produk tersebut? Bagaimanakita menentukan nilai peluangnya? Dalam hal ini terdapat dua kemungkinan, yaituperusahaan akan mendapat keuntungan atau perusahaan akan menderita keru-gian, tetapi sangat tidak beralasan kalau kita katakan bahwa peluang masing-masing kejadian adalah setengah. Selain itu, pendekatan frekuensi relatif jugatidak dapat digunakan karena percobaannya tidak dapat diulang.

Contoh lain, misalkan seorang dokter menyatakan bahwa peluang seorang pa-siennya untuk bertahan hidup lebih dari satu tahun adalah 40%. Pernyataan pe-luang tersebut semata-mata penilaian subjektif dari dokter tersebut dan tidak dapat

diuji secara objektif.

Contoh 3.5

Dalam percobaan pelemparan sebuah dadu yang seimbang akan terdapat enamkejadian yang mungkin dihasilkan, yaitu timbulnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5,atau 6. Berapakah peluang timbulnya sisi dadu bermata genap?

Penyelesaian:

Nilai peluang dari kejadian ini dapat dengan mudah dihitung jika kita gunakanasumsi simetris, dan hal ini cukup beralasan karena dadu tersebut seimbang.

Kejadian timbulnya sisi dadu bermata genap terjadi jika pada percobaan tersebutdihasilkan sisi 2, 4 atau 6. Karena secara keseluruhan hanya ada enam kejadian

yang mungkin timbul, maka dengan asumsi simetris masing-masing kejadian akanmempunyai nilai peluang 1/6. Oleh karena itu, peluang terjadinya sisi dadu ber-mata genap adalah:

P(sisi dadu bermata genap) = 3/6 = 0,5

Peluang kejadian di atas dapat juga ditentukan dengan menggunakan pendekatanfrekuensi relatif. Misalkan kedua mata uang tersebut dilemparkan 2000 kali.Misalkan hasil percobaan tersebut adalah seperti tercantum dalam tabel 3.2.

54


9/49

Berdasarkan tabel tersebut, maka peluang timbulnya sisi dadu bermata genapadalah:

P(sisi dadu bermata genap) = 362 +316 +340 =0,5092000

Tabel 3.2. Distribusi frekuensi dari percobaan pelemparan sebuah dadusebanyak 2000 kali

Kejadian Frekuensi Frekuensi relatif

Sisi 1 322 0,161

Sisi 2 362 0,181

Sisi 3 300 0,150

Sisi 4 316 0,158

Sisi 5 360 0,180

Sisi 6 340 0,170

Total 2000

3.5 Beberapa aturan dasarpeluang

Sebelum membahas aturan-aturan dasar dari teori peluang ada beberapa istilahpenting yang sering digunakan yang perlu kita ketahui lebih dulu, diantaranyaadalah:

A

A A B A B

(a) A dan komplemennya (b) A dan B saling asing (c) A dan B tidak salingasing

Gambar 3.1 Diagram Venn tentang hubungan antara dua kejadian

55


10/49

1. Dua kejadian A dan B disebut kejadian bebas atau independen (inde-pendent) jika terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadi atau tidaknyakejadian B, dan sebaliknya.

2. Komplemen dari suatu kejadian A adalah semua kejadian lain yang mungkintimbul selain kejadian A. Komplemen kejadian A ditulis dengan notasi A(gambar 3.1.a).

3. Dua kejadian A dan B disebut saling asing (mutually exlusive) jika keduakejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersama-sama, artinya jikakejadian A terjadi, maka kejadian B tidak mungkin terjadi, dan sebaliknya(gambar 3.1.b).

4. P(A atau B) adalah peluang terjadinya salah satu kejadian, baik A maupun B,yaitu P(A atau B) =P(AB)

5. P(A dan B) adalah peluang terjadinya kejadian A dan B secara bersama-sama, yaitu P(A dan B) =P(AB).

Aturan 3.6

Nilai peluang suatu kejadian, misalnya kejadian A, selalu terletak antara noldan satu:

0 P(A) 1 .................................................................................... [3.4]

Nilai peluang suatu kejadian dapat dipandang sebagai frekuensi relatif kejadiantersebut dari percobaan yang diulang dalam jumlah yang besar. Telah kita ketahuibahwa frekuensi relatif adalah suatu nilai yang terletak antara nol dan satu. Olehkarena itu, nilai peluang suatu kejadian akan terletak antara nol dan satu; dan taksatupun kejadian yang mempunyai nilai peluang negatif atau lebih besar dari 1.Peluang suatu kejadian akan bernilai nol jika kejadian tersebut mustahil terjadi,dan peluang suatu keajian akan bernilai satu jika kejadian tersebut pasti terjadi.

Aturan 3.7

Jika A adalah komplemen dari kejadian A, maka

P(A) = 1 P(A) .............................................................................. [3.5]

56


11/49

Contoh 3.6

Jika dua buah mata uang yang seimbang dilemparkan, maka akan terdapat empatkejadian yang mungkin terjadi, yaitu:

MM: kedua mata uang menunjukkan sisi mukaMB: mata uang pertama menunjukkan sisi muka dan mata uang kedua

menunjukkan sisi belakangBM: mata uang pertama menunjukkan sisi belakang dan mata uang

kedua menunjukkan sisi mukaBB: kedua mata uang menunjukkan sisi belakang

Peluang bahwa kedua mata uang menunjukkan sisi muka (terjadinya MM), adalah

P({MM}) = 0,25

Komplemen dari MM adalah kejadian dimana kedua mata uang tersebut tidakmenunjukkan sisi muka. Hal ini terjadi jika MB atau BM atau BB yang timbul, danini mempunyai peluang 0,75 atau sama dengan 1 0,25. Sehingga

P({MM}) = 1 P({MM})

= 1 0,25

= 0,75

Perhatikan bahwa

P({MM}) = P({MB, BM, BB})

Aturan 3.8

Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling asing, maka peluang terjadinyakejadian A atau kejadian B adalah

P(A atau B) = P(A) + P(B) .............................................................. [3.6]

Aturan 3.9

Jika A dan B adalah dua kejadian yang tidak saling asing, maka peluangterjadinya kejadian A atau kejadian B adalah

P(A atau B) = P(A) + P(B) P(A dan B) ........................................ [3.7]

Aturan 3.8 dan 3.9 di atas akan lebih jelas dan lebih mudah dipahami jika menggu-nakan bantuan diagram Venn (lihat gambar 3.1.b dan 3.1.c).

57


12/49

Contoh 3.7

Catatan pembukuan sebuah koperasi simpan pinjam menunjukkan bahwa darikeseluruhan anggotanya yang berjumlah 100 orang, terdapat 30 orang yang belummembayar iuran bulanan, 60 orang yang mempunyai pinjaman kepada koperasidan 20 orang yang belum membayar iuran bulan dan juga mempunyai pinjaman.Jika dari daftar anggota koperasi tersebut dipilih satu orang anggotanya secaraacak, tentukan peluang bahwa orang tersebut belum membayar iuran bulananatau mempunyai pinjaman kepada koperasi.

Penyelesaian:

Kejadian bahwa orang tersebut belum membayar iuran bulanan (dinotasikandengan A) dan bahwa orang tersebut mempunyai pinjaman kepada koperasi(dinotasikan dengan B) adalah dua kejadianyang tidak saling asing. Oleh karena itu,

P(A atau B) = P(A) + P(B) P(A dan B)

= 0,3 + 0,6 0,2 = 0,7

Dengan bantuan diagram Venn dapat denganmudah dilihat bahwa dari keseluruhan anggotakoperasi, sebanyak 10% anggotanya hanyamempunyai tunggakan iuran bulanan, 40%

A

0,1

0,3

0,2

B

0,4

anggotanya hanya mempunyai pinjaman, 20% mempunyai tunggakan iuran bu-lanan dan juga mempunyai pinjaman, dan 30% tidak mempunyai tunggakan iuranbulan dan tidak mempunyai pinjaman.

Contoh 3.8

Sebuah perusahaan minuman memiliki sebuah mesin untuk mengisi botol-botolminuman secara otomatis. Mesin tersebut disetel untuk mengisi botol-botol ter-sebut dengan 330 ml minuman produk perusahaan tersebut. Untuk menguji ting-kat ketelitian mesin tersebut, diambil secara acak 1000 botol, hasil pengamatan-nya adalah sebagai berikut:

Kejadian Isi (ml) Jumlah botol Peluang

A < 330 45 0,045

B 330 905 0,905

C > 330 50 0,050

Total 1000

58


13/49

Berapakah peluang bahwa isi suatu botol akan kurang atau terlalupenuh?

Penyelesaian:

Ketiga kejadian di atas merupakan kejadian yang saling asing, karena ketiganyatidak dapat terjadi secara bersama-sama, misalnya kalau A terjadi maka B dan Ctidak akan terjadi, demikian juga jika B terjadi, maka A dan C tidak akan terjadi.

Oleh karena itu, aturan 3.8 dapat digunakan untuk menentukan P(A atau C),

yaitu: P(A atau C) = P(A) + P(C)

= 0,045 + 0,05 = 0,095

Peluang bahwa sebuah botol akan kurang penuh atau terlalu penuh adalah0,095.

3.6 Peluang bersyarat

Dalam menentukan nilai peluang suatu kejadian kadang-kadang kita dapatmemanfaatkan informasi partial dari kejadian lain yang mungkin berkaitan dengankejadian yang kita amati. Misalnya, dalam pengambilan sebuah kartu dari satu setkartu remi, j ika diketahui bahwa kartu yang terambil berwarna hitam, berapakahpeluang terambilnya kartu As? Contoh lain, misalnya, jika orang yang terpilihdalam contoh 3.7 diketahui adalah orang yang belum membayar iuran bulanan,berapakah peluangnya bahwa dia juga mempunyai pinjaman kepada koperasi?

Ketika kita menentukan peluang terjadinya suatu kejadian A pada suatu keadaandimana kejadian B telah terjadi, maka peluang yang demikian disebut peluangbersyarat (conditional probability), dan dinyatakan dengan notasi P(A|B). Dalammenentukan P(A|B), kita membatasi ruang lingkup perhatian kita hanya padabagian percobaan yang menghasilkan kejadian B. Dengan demikian, peluangbersyarat P(A|B) pada dasarnya mengukur bagian/pecahan dari kejadian B yangjuga menghasilkan kejadian A.

Aturan 3.10

Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa kejadian B telah terjadidihitung dengan rumus:

P(A | B) =P(A dan B) , asalkan P(B) 0 ...................................... [3.8]P(B)

59


14/49

Dalam contoh tentang pengambilan sebuah kartu remi di atas, kita diminta untukmenentukan P(As|kartu hitam). Dalam hal ini, informasi yang diketahui adalahterpilihnya kartu warna hitam. Dalam satu set kartu remi, kita tahu terdapat 26

kartu warna hitam (13 kartu dan 13 kartu ), yang dua diantaranya adalah kartuAs. Oleh karena itu, peluang terpilihnya kartu As jika diketahui bahwa kartu yangterpilih tersebut berwarna hitam adalah

P(As | kartu hitam)=jumlah kartuAs berwarnahitam jumlah kartu berwarnahitam

= 226

Nilai peluang tersebut, dapat juga dihitung dengan menggunakan aturan 3.10sebagai berikut:

Misalkan kejadian A adalah terpilihnya kartu As, dan kejadian B adalah terpilihnyakartu berwana hitam. Maka

P(A dan B) = P(As berwarna hitam) =2

, dan52

P(B) = P(kartu berwarna hitam) =26

, maka52

P(A | B) =P(A dan B) =P(B)

2 52= 2

26 52 26

Contoh 3.9

Tabel 3.3 Tabel frekuensi murid yang mendaftar ke suatu SMU

Status

Diterima Ditolak Total

Laki-laki 168 290 458Perempuan 72 159 231

Total 240 449 689

Seorang orang tua murid yang anak laki-lakinya tidak diterima di suatu SMUmemprotes kebijakan sekolah dan menyatakan bahwa sekolah tersebut telahmelakukan diskriminasi yang merugikan murid laki-laki. Untuk mendukungargumennya, dia menunjukkan data penerimaan murid di sekolah tersebut (tabel

3.3). Dia menyatakan bahwa dari 689 pelamar ke sekolah tersebut, sebanyak 290

60


15/49

orang (42,1%) calon murid laki-laki tidak diterima. Sebaliknya, hanya 159 orang(23,1%) calon murid perempuan yang tidak diterima di sekolah tersebut. Betulkahtuduhan orang tua murid tersebut bahwa sekolah tersebut telah melakukandiskriminasi dalam penerimaan murid baru?

Penyelesaian:

Di dalam tabel 3.3 jumlah murid yang mendaftar ke SMU tersebut dikelompokkanke dalam dua variabel, yaitu jenis kelamin dan status penerimaannya. Tabel yangdemikian disebut juga tabel frekuensi gabungan (joint frequency table). Daritabel tersebut kita dapat membentuk tabel frekuensi relatif gabungan untukmenyatakan nilai peluangnya (tabel 3.4). Oleh karena itu, tabelnyapun disebuttabel peluang gabungan (joint probability table). Hal ini dilakukan dengan caramembagi nilai frekuensi dalam tiap sel dengan frekuensi total (dalam hal ini = 689).

Tabel 3.4 Tabel peluang gabungan dari data dalam tabel 3.3

Status Peluang

Diterima Ditolak marjinal

Laki-laki 0,244 0,421 0,665Perempuan 0,104 0,231 0,335

Peluang marginal 0,348 0,652

Dari tabel 3.4 terlihat bahwa walaupun peluang laki-laki untuk ditolak menjadimurid SMU tersebut lebih besar dari murid perempuan, peluang laki-laki untukditerima ternyata juga lebih besar dari murid perempuan. Oleh karena itu, untukmembuktikan tuduhan bahwa SMU tersebut telah melakukan diskriminasi, kitaperlu membandingkan tingkat penolakan murid laki-laki dan tingkat penolakanmurid perempuan. Hal ini dapat dilakukan dengan menentukan nilai peluangbersyarat.

Untuk menilai apakah sekolah tersebut telah melakukan diskriminasi terhadapcalon murid laki-laki, kita perlu membandingkan nilai P(pendaftar ditolak karenadia laki-laki) dengan P(pendaftar ditolak karena dia perempuan). Secaramatematis, kedua peluang tersebut dapat dituliskan

sebagai P(ditolak|laki-laki) dan P(ditolak|perempuan).

Dari tabel 3.3 kita peroleh bahwa

P(ditolak | laki - laki) =P(ditolak dan laki - laki) = 0,421 =0,633dan

P(laki - laki) 0,665

61


16/49

P(ditolak | perempuan) =P(ditolak dan perempuan) = 0,231 =0,688P( perempuan) 0,335

Kedua nilai peluang tersebut menunjukkan bahwa 63,3% murid laki-laki dan 68,8%murid perempuan tidak diterima SMU tersebut. Oleh karena itu, tingkat penolakanuntuk murid perempuan sebenarnya agak lebih tinggi daripada tingkat penolakan

untuk murid laki-laki. Namun demikian, kedua peluang tersebut nilainya tidaklahterlalu berbeda jauh, oleh karena itu dapat kita katakan tuduhan bahwa sekolahtersebut telah melakukan diskriminasi antara penerimaan murid perempuan danlaki-laki adalah tidak benar.

Perhatikan bahwa dalam contoh di atas, nilai peluang bersyarat tidak sama de-ngan nilai peluang marjinalnya, dengan kata lain P(A | B) P(A). Hal ini me-nunjukkan bahwa peluang terjadinya A tergantung pada terjadi atau tidaknya B.Dengan demikian, kedua kejadian tersebut kejadian A dan B tidak saling bebasatau tidak independen. Namun demikian, ada kalanya bahwa P(A | B) = P(A),

artinya, terjadi atau tidaknya B tidak mempengaruhi terjadi atau tidaknya A. Dalamkeadaan yang demikan, kejadian A dan B disebut sebagai dua kejadian yangsaling bebas atau kejadian yang independen. Contohnya, dalam pengambilan kar-tu remi di atas, kita tahu bahwa dalam satu set kartu terdapat 4 kartu As.Sehingga P(As) = 4/52 = 2/26. Nilai peluang ini sama dengan nilai peluangbersyarat P(As|kartu hitam). Dengan demikian, terpilihnya kartu As tidaktergantung pada terpilih atau tidaknya kartu berwarna hitam, maka terpilihnyakartu As dan terpilihnya kartu hitam adalah dua kejadian yang independen.

Aturan 3.10 dapat dimanipulasi untuk mendapatkan rumus untuk menentukan nilaiP(A dan B), yaitu peluang bahwa kejadian A dan B terjadi secara bersama-sama.

Aturan 3.11

Peluang terjadinya kejadian A dan B secara bersama-sama ditentukandengan rumus:

P(A dan B) = P(A)P(B|A) ............................................................ [3.9]dan

P(A dan B) = P(B)P(A|B) .......................................................... [3.10]Jika A dan B adalah dua kejadian yang independen, maka P(B|A) = P(B),sehingga

P(A dan B) = P(A)P(B) ............................................................. [3.11]62


17/49

Contoh 3.10

Seorang penjual kelapa muda baru saja mendapat kiriman 20 buah kelapa yang 5diantaranya sudah terlalu tua. Jika seseorang mengambil 2 buah kelapa secaraacak, tentukanlah peluang bahwa

a. kelapa yang diambilnya kedua-duanya adalah kelapa tuab. kelapa yang terambil kedua-duanya adalah kelapa mudac. kelapa yang terambil salah satunya adalah kelapa tua

Penyelesaian:

MisalkanT1 adalah kejadian dimana kelapa yang pertama kali terambil adalah

kelapa tuaM1 adalah kejadian dimana kelapa yang pertama kali terambil adalah

kelapa mudaT2 adalah kejadian dimana kelapa yang terambil pada pengambilan

kedua adalah kelapa tua

M2 adalah kejadian dimana kelapa yang terambil pada pengambilankedua adalah kelapa muda

a. Keadaan pada pertanyaan (a) melibatkan kejadian T1 dan kejadian T2. De-ngan asumsi simetris, maka P(T1) = 5/20 dan P(T2|T1) = 4/19, karena setelahpada pengambilan pertama terambil kelapa tua, yang tersisa adalah 19 buahkelapa yang 4 buah diantaranya adalah kelapa tua. Oleh karena itu, denganmenggunakan aturan 3.6 diperoleh

P(T1 dan T2) =P(T1)P(T2 | T1)= 5 4

20 19 = 20380 =0,053b. Keadaan pada pertanyaan (b) melibatkan kejadian M1 dan kejadian M2.

Dengan asumsi simetris, maka P(M1) = 15/20 dan P(M2|M1) = 14/19, karenasetelah pada pengambilan pertama terambil kelapa muda, yang tersisa adalah19 buah kelapa yang 14 buah diantaranya adalah kelapa muda. Oleh karenaitu

P(M1dan M2) =P(M1)P(M2 | M1)=1514 =210 =0,553

20 19 380

c. Terdapat dua kemungkinan kejadian berkaitan dengan pertanyaan c, yaitu jika

i. {kelapa tua terambil pada pengambilan pertama dan kelapa mudaterambil pada pengambilan kedua} atau

63


18/49

ii. {kelapa muda terambil pada pengambilan pertama dan kelapa tuaterambil pada pengambilan kedua}.

Dengan kata lain, kita diminta menentukan P[(T1 danM2)atau (M1dan T2)]P(T1dan M2) =P(T1)P(M2 | T1)

= 5 15 =20 19 75380 =0,197P(M1dan T2) =P(M`)P(T2 | M1)

=155 =75 =0,197

20 19 380

Perhatikan bahwa kejadian (T1 dan M2) dan (M1 dan T2) adalah saling asing,maka dengan menggunakan aturan 3.3 kita peroleh

P[(T1 danM2)atau (M2 dan T1)]=P(T1 dan M2) +P(M2 dan T1)=0,197 +0,197 =0,394

4/19

T1

T2 P(T1 dan T2)=P(T1) P(T2|T1)=5

4

20 19

=0,053

5/20

15/19 M2 P(T1 dan M2)=P(T1) P(M2|T1)=5

2015 =0,197

19

T2 P(M1 dan T2)=P(M1) P(T2|M1)=15

5=0,197

15/205/19

M120 19

14/19 M2 P(M1 dan M2)=P(M1) P(M2|M1)=1514 =0,553

20 19

Gambar 3.2 Diagram pohon bagi persoalan dalam contoh 3.10

Penentuan nilai-nilai peluang suatu kejadian adakalanya menjadi lebih mudah de-ngan menggunakan bantuan diagram pohon. Setiap cabang dalam suatu diag-ram pohon menunjukkan kejadian yang mungkin terjadi disertai dengan nilainilai

peluangnya. Sebagai ilustrasi, persoalan dalam contoh 3.10 disajikan dalam ben-tuk diagram pohon dalam gambar 3.2.

64


19/49

3.7 Variabel acak

Dalam percobaan acak kita umumnya hanya tertarik pada aspek tertentu dari hasilpecobaan tersebut. Salah satu aspek penting yang mendapat perhatian khusus dalamberbagai aplikasi statistik adalah variabel acak (random variables). Suatu variabel acakterdiri atas nilai-nilai numerik yang diperoleh dari pengamatan ter-hadap suatuproses/percobaan yang nilai-nilainya bervariasi dari satu kasus ke kasus yang lainnya

secara acak. Sebagai ilustrasi, kita lihat kembali percobaan pelemparam dua mata uangdalam contoh 3.6. Ruang sampel dari percobaan ini adalah S = {MM, MB, BM, BB}. Dalampercobaan ini, misalnya kita hanya tertarik untuk mengamati jumlah sisi muka yang timbul,kita sebut saja X. Nilai-nilai X akan bervariasi secara acak dari satu pelemparan kepelemparan lainnya, maka X merupakan suatu variabel acak. Pada kenyataannya Xmerupakan suatu fungsi yang memetakan hasil percobaan tersebut ke dalam nilai-nilainumerik, dalam hal ini nilai-nilai X yang mungkin terjadi adalah 0, 1, dan 2 (lihat gambar3.3).

S = {MM, MB, BM, BB}

X 0 1 2

Gambar 3.3 Variabel acak X: pemetaan dari setiap unsur S terhadap X

Secara formal variabel acak didefinisikan sebagai berikut:

Definisi:Variabel acak (random variable) adalah suatu fungsi yang memetakan

setiap kejadian dalam suatu ruang sampel dari suatu percobaan acak kedalam nilai-nilai numerik.

Variabel acak dibedakan atas variabel acak diskrit dan variabel acak kontinyuberdasarkan pada nilai-nilai variabel acak tersebut. Suatu variabel acak Xdisebutvariabel acak diskrit (discrete random variable) jika nilai-nilai Xhanya terdiri atasbilangan bulat positif. Variabel acak diskrit biasanya diperoleh dari hasil mem-bilang, sehingga selalu ada celah diantara nilai-nilainya. Beberapa contoh variabel

65


20/49

acak diskrit diantaranya adalah jumlah sisi muka yang timbul pada pelemparandua mata uang, jumlah anakan produktif per rumpun tanaman padi, jumlah SKSyang diambil seorang mahasiswa pada semester tertentu, dan jumlah hasil pro-duksi yang afkir dalam suatu proses produksi.

Notasi P(X= x) atau p(x) digunakan untuk menyatakan nilai peluang bagi X= x.Misalnya dalam kasus pelemparan dua mata uang yang seimbang dengan mudah

dapat kita tentukan bahwa

P(X= 2) = P({MM}) = 0,25

dan

P(X= 1) = P({MB,BM}) = 0,5

Berbeda dengan variabel acak diskrit, maka nilai-nilai suatu variabel acak kontinyudapat mengambil sembarang nilai dalam sistem bilangan nyata, sehingga dapatdikatakan tidak terdapat celah antara nilai-nilainya. Variabel acak kontinyu bia-sanya diperoleh dari hasil pengukuran seperti waktu, panjang atau jenis pengu-kuran lainnya. Misalnya, jika Xadalah indeks prestasi kumulatif seorang sarjana

pertanian, maka nilai variabel acakXadalah suatu bilanganxdimana 2,0 x4,0.

3.8 Distribusi peluang bagi variabel acak diskrit

Distribusi peluang (probability distribution) bagi X merupakan suatu daftar yangmemuat nilai peluang bagi semua nilai variabel acak X yang mungkin terjadi.Distribusi peluang bagi variabel acak diskrit dapat disajikan dalam bentuk tabel,grafik atau rumus yang mengaitkan nilai peluang dengan setiap nilai variabelacaknya.

Sebagai ilustrasi, kita lihat kembali percobaan dua keping mata uang yangseimbang. AndaikanXadalah jumlah sisi muka yang timbul dari setiap percobaan,maka x hanya akan mungkin bernilai 0, 1 atau 2 (lihat gambar 3.3). Denganasumsi simetris, maka setiap kejadian dalam ruang sample S akan mempunyai

peluang = 0,25 (lihat tabel 3.5).

Tabel 3.5 Hubungan antara nilai x dengan unsur dari ruang sampel S

Kejadian (unsur S) x Peluang

MM 2 0,25

MB 1 0,25

BM 1 0,25

BB 0 0,25

66


21/49

Seperti telah kita lihat sebelumnya (gambar 3.3), percobaan tersebut hanyamungkin menghasilkan tiga nilai x, yaitu 0, 1 dan 2, masing-masing denganpeluang sebagai berikut:

P(X= 0) =p(0) = 0,25; P(X= 1) =p(1) = 0,5; P(X= 2) =p(2) = 0,25

Oleh karena itu, distribusi peluang bagi X, dapat dirumuskan sebagai

berikut:

p(x) =

0,25

0,50

jikax=0 atau 2jikax=1

Distribusi peluang bagi variabel acak X dapat juga disajikan dalam bentuk tabel(tabel 3.6) atau dalam bentuk grafik (gambar 3.4). Metode penyajian yang di-gunakan, baik dalam bentuk rumus, tabel atau grafik, semata-mata tergantungpada selera peneliti yang bersangkutan. Satu hal yang perlu diingat adalah bahwacara penyajian tersebut diharapkan akan memudahkan pembaca untuk mema-haminya.

Tabel 3.6 Distribusi peluang bagi X

x

p(x)

0 0,251 0,50

2 0,25

p(x)

0.5

0.25

0 x

0 1 2

Gambar 3.4 Distribusi peluang bagi X

Aturan 3.12

Misalkan X adalah suatu variabel acak diskrit yang dapat bernilaix1,x2, ...,xn,maka

1. Peluang untuk setiap nilaixiterletak antara nol dan satu:

0 p(xi) 1 untuk i= 1, 2, ..., n..................................................... [3.12]2. Jumlah peluang untuk semua nilaixisama dengan satu:

n

p(xi) =1................................................................................... [3.13]i=167


22/49

Dengan terdefinisinya distribusi peluang suatu variabel acak X, maka kita dapatmenentukan peluang bagi berbagai nilai X. Misalnya, peluang bahwa nilai X ter-

letak antara a dan b, dinotasikan dengan P(a X b), diperoleh dengan caramenjumlahkan nilai-nilai peluangp(x) untuk semuaxyang terletak antara a dan b.Untuk contoh di atas,

P(0

X

1) =p(0) +p(1) = 0,25 + 0,50 = 0,75

3.9 Nilai harapan dan varians

Distribusi peluang bagi suatu variabel acakXpada dasarnya merupakan distribusidari suatu populasi. Oleh karena itu, kita dapat menentukan rata-rata dan variansdari variable acak Xuntuk menjelaskan karakteristik dari distribusi tersebut. Nilairata-rata dari sebuah variabel acak X biasa juga disebut sebagai nilai harapan

(expected value) bagiX, dan dituliskan dengan notasi dengan E(X) atau .

Definisi:MisalkanXadalah suatu variabel acak diskrit yang dapat bernilaix1,x2, ...,xn,dengan peluang masing-masing adalah p(x1), p(x2), ..., p(xn), maka nilai

harapan bagiXdihitung dengan rumus berikut:n

E(X) = =xi p(xi) ............................................................... [3.14]i=1

Definisi tersebut menunjukkan bahwa Nilai harapan dari suatu variabel acak Xadalah rata-rata tertimbang dari semua nilai X yang mungkin, dimanapembobotnya adalah nilai peluang bagi setiap nilai X tersebut. Denganmenggunakan rumus 3.14 di atas, maka nilai harapan bagi X dalam tabel 3.5adalah

E(X) =0 0,25 +10,50 +2 0,25 =1,0

Aturan 3.13 Beberapa aturan tentang nilai harapan

MisalkanXdan Ymasing-masing adalah variabel acak, dan cadalah suatukonstanta, maka:

1. E(c) = c

2. E(cX) =cE(X)3. E(X+Y) =E(X) +E(Y)4. E(XY) =E(X) E(Y)

68


23/49

2

2

5. JikaXdan Ykeduanya adalah variabel acak yang independen, maka

E(XY) =E(X) E(Y)

Untuk dapat menjelaskan penyebaran dari distribusi tersebut secara lebih baik kitamemerlukan suatu ukuran penyebaran bagi variabel acak X. Dalam bab 2, telah

kita bahas berbagai ukuran penyebaran, yang salah satu diantaranya adalahvarians yang dihitung dengan rumus berikut:

(xi )(x )

2 12=n

= i .............................................. [3.15]n

Varians bagi variabel acak X didefinisikan dengan cara yang sama, hanya nilai 1/ndiganti dengan p(xi). Oleh karena itu, varians dari suatu variabel acak X

merupakan rata-rata tertimbang dari kuadrat simpangan nilai-nilai X terhadap rata-ratanya.

Definisi:

Misalkan X adalah suatu variabel acak diskrit yang dapat bernilaix1,x2, ...,xn,dengan peluang masing-masing adalah p(x

1), p(x

2), ..., p(x

n), maka varians

bagi X dihitung dengan rumus berikut:

n

2 =(xi ) p(xi) ................................................................. [3.16]i=1

Sedangkan simpangan baku (standard deviation), , adalah akar dari varians

Dengan menggunakan rumus varians di atas, maka varians bagiXdalam tabel 3.5adalah

Var(X) =2 =(0 1)2 0,25 +(11)2 0,50 +(21)2 0,25 =0,50

Aturan 3.14 Beberapa aturan tentang varians

MisalkanXdan Ymasing-masing adalah variabel acak, dan cadalah suatukonstanta, maka:

1. Var(c) = 0

2. Var(cX) =c2 Var(X)3. Var(X+c) =Var(X)4. JikaXdan Ykeduanya adalah variabel acak yang independen, maka

Var(X+Y) =Var(X) +Var(Y)

69


24/49

2

dan

Var(XY) =Var(X) +Var(Y)

Contoh 3.11

Misalkan Yadalah variabel acak diskrit dengan distribusi peluang sebagai berikut:

Y 1 2 3 4

P(y) 0,4 0,3 0,2 0,1

a. tentukan nilai harapan dan varians bagi Y

b. tentukan nilai harapan dan varians bagiX= 3Y 2

Penyelesaian:

a. Salah satu cara yang mudah untuk menentukan nilai harapan dan varians dari

suatu variabel acak adalah dengan menggunakan bantuan tabel seperti tabel3.7

Tabel 3.7 Tabel perhitungan bagi nilai harapan dan varians Y

y p(y) y.p(y) y - (y - )2

(y - )2.p(y)

1 0,4 0,4 -1 1 0,4

2 0,3 0,6 0 0 0

3 0,2 0,6 1 1 0,2

4

Total

0,1 0,4

2,0 =

2 4 0,4

1,0 = 2

Dari tabel tersebut kita peroleh bahwa

n

E(Y) ==yi p(yi) = 2,0 (jumlah dari kolom ke 3 tabel tersebut)i=1

Var(Y)=2

n

=(yi )

p(yi) = 1,0 (jumlah dari kolom terakhir tabel tersebut)

b. X= 3Y 2

i=1

E(X) = E(3Y 2) = 3E(Y)2 = 3(2) 2 = 4

70


25/49

Var(X) = Var(3Y 2) = 32. Var(Y) = 9

3.10 Distribusi Binomial

Di era reformasi ini jajak pendapat nampaknya sudah merupakan hal yang biasadalam kehidupan kita. Berbagai media massa, baik media cetak maupun mediaelektronik, telah sering melakukan jajak pendapat untuk berbagai persoalan. Bah-kan beberapa persoalan penting yang dihadapi oleh badan legislatif, baik MPR,DPR maupun DPRD, sering kali harus diputuskan melalui pemungutan suara(voting).

Jajak pendapat dan voting merupakan contoh dari suatu peristiwa pengambilansampel yang biasa disebut percobaan binomial. Dalam jajak pendapat atauvotingsetiap partisipan biasanya hanya mempunyai dua pilihan, misalnya A atau B(walaupun biasanya ada juga partisipan yang memilih untuk abstain, yangdemikian ini biasanya suaranya tidak diperhitungkan). Salah satu karakteristikpenting dari percobaan binomial adalah bahwa percobaan tersebut hanya mungkinmenghasilkan ada dua kejadian. Secara konvensional kedua pilihan (kejadian)tersebut biasa dikategorikan sebagai gagal atau berhasil, atau biasa juga dinotasikan dengan 0 atau 1.

Definisi:Suatu percobaan binomial mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

a. Percobaan binomial terdiri atas n ulangan yang identik

b. Dalam setiap ulangan hanya mungkin dihasilkan dua kejadian, yaituberhasil atau gagal

c. Peluang untuk berhasil dalam setiap ulangan adalah p, dan nilai pbersifat konstan

d. Setiap ulangan bersifat bebas dari ulangan lainnya, artinya hasil darisuatu ulangan tidak mempengaruhi hasil ulangan lainnya.

Contoh lain dari percobaan binomial adalah pelemparan mata uang yang se-imbang sebanyak 15 kali. Dalam setiap pelemparan hanya ada dua kemungkinan,yaitu timbulnya sisi muka (berhasil) dan timbulnya sisi belakang (gagal). Denganasumsi simetris, maka peluang timbulnya sisi muka pada setiap pelemparanadalah p = 0,5. Variabel acak yang dihasilkan dari suatu percobaan binomial di-sebut sebagai variabel acak binomial. Pada kasus di atas, variabel acak yangmenjadi perhatian kita misalnya adalah jumlah sisi muka yang timbul pada ke-15lemparan tersebut.

71


26/49

Oleh karena itu, variabel acak binomial adalah variabel acak diskrit yang hanyadapat bernilai 0, 1, 2, ..., n. Disitribusi peluang dari variabel binomial, disebutsebagai distribusi peluang binomial, yang merupakan distribusi peluang bagiterjadinya nilai 1 (berhasil) sebanyakxkali dari n ulangan.

Contoh 3.12

Pemerintah Indonesia baru-baru ini melakukan kebijakan untuk mengurangisubsidi pemerintah bagi bahan bakar minyak. Sebuah survey dilaksanakan de-ngan mewawancara 100 orang penduduk secara acak untuk mengetahui proporsipenduduk Indonesia yang setuju dengan kebijakan tersebut. Dapatkah survey ter-sebut digolongkan sebagai suatu percobaan binomial?

Penyelesaian:

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita periksa apakah semua ciri percobaanbinomial dipenuhi atau tidak oleh survey tersebut:

a. Apakah survey tersebut terdiri atas n ulangan yang identik? Ya, dalam surveytersebut terdapat n = 100, semuanya bisa dikatakan identik

b. Apakah dalam setiap ulangan hanya mungkin dihasilkan dua kejadian? Ya,

setiap orang yang diwawancara hanya boleh menjawab setuju atau tidaksetuju terhadap kebijakan tersebut

c. Apakah peluang seseorang untuk setuju bersifat konstan dalam setiapulangan? Ya, dengan asumsi bahwa total penduduk Indonesia jauh lebihbesar dari jumlah sampel yang diambil, maka peluang, dalam hal ini proporsipenduduk yang setuju, dapat dikatakan konstan

d. Apakah setiap ulangan bebas satu sama lainnya? Ya, pendapat seseorangpada suatu wawancara tidak mempengaruhi pendapat orang lainnya dalamwawancara berikutnya.

Karena semua ciri percobaan binomial terpenuhi, maka survey tersebut dapatdigolongkan sebagai suatu percobaan binomial.

Jika dalam survey tersebut populasi penduduk yang diwawancarai terbatasjumlahnya, misalnya hanya untuk satu wilayah rukun tetangga saja, maka peluangseseorang untuk setuju pada setiap kali wawancara tidak lagi konstan. Misalnyajika dalam wilayah rukun tetangga tersebut terdapat 150 orang penduduk yang 25orang diantaranya setuju terhadap kebijakan tersebut. Maka peluang untuk men-dapatkan jawaban setuju pada wawancara pertama adalah 25/150. Jika orangpertama menjawab tidak setuju, maka peluang untuk mendapatkan jawaban setujupada wawancara kedua adalah 25/149 demikian seterusnya. Misalkan setelahmewawancara 80 orang penduduk diperoleh jawaban setuju sebanyak 10 orang

72


27/49

dan jawaban tidak setuju sebanyak 70 orang, maka peluang untuk mendapatkanjawaban setuju pada wawancara ke-81 adalah 15/70. Keadaan ini menunjukkanbahwa peluang untuk berhasil bervariasi atau tidak konstan. Maka dalam kasus inisurvey tersebut bukan merupakan suatu percobaan binomial.

Pada kenyataannya, jarang sekali terjadi keadaan yang secara sempurna meme-nuhi kriteria percobaan binomial, akan tetapi pelanggaran terhadap kriteria-kriteria

tersebut umumnya sangatlah kecil sehingga percobaan binomial masih dapat di-gunakan sebagai suatu pendekatan yang cukup baik.

Aturan 3.15

Distribusi peluang binomial ditentukan oleh rumus berikut:

P(X=x) = n Cxpx

dimana

(1p)nx , untukx= 0, 1, 2, ..., n.................. [3.17]

n = jumlah ulangan

p = peluang untuk berhasil pada setiap ulangan

n Cx =n!

x!(n x)!

Contoh 3.13

Sebuah perusahaan obat mempromosikan bahwa salah satu jenis produksinyasangat efektif untuk pengobatan suatu jenis penyakit tertentu. Namun demikian,perusahaan tersebut mengakui bahwa sekitar 10% pasien yang menggunakanobat tersebut dapat terkena akibat sampingan yang tidak diinginkan. Misalkanseorang dokter telah memberikan obat tersebut untuk 4 orang pasien yang men-

derita penyakit tersebut. Berapakah peluang bahwa ke-4 orang pasien tersebutakan terkena akibat sampingan karena penggunan obat tersebut?

Penyelesaian:

Contoh ini memenuhi kriteria-kriteria yang disyaratkan untuk percobaan binomial,dengan n = 4 danp = 0,1. Oleh karena itu, peluang bahwa ke-4 tersebut terkenaakibat sampingan dari obat tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumusuntuk distribusi peluang binomial denganx= 4, yaitu:

P(X=4) = 4!4!(4 4)!(0,1)

4(10,1)44

P(X= 4!

4!0!(0,1)4(0,9)0 =(0,1)4 =0,0001

73


28/49

Jadi, peluang bahwa ke-4 orang pasien tersebut semuanya akan terkena akibatsampingan obat tersebut adalah 0,001.

Dalam percobaan binomial, setiap pasangan (n, p) mendefinisikan suatu distribusipeluang binomial secara khusus. Artinya, untuk n yang sama tetapi nilai peluangp-nya berbeda, akan menghasilkan distribusi peluang yang berbeda pula.Keadaan ini diilustrasikan dalam gambar 3.5.

p(x) p(x) p(x)

0.5 0.5 0.5

0.25 0.25 0.25

0 x0 1 2 3 4

n = 4;p = 0,3

0 x0 1 2 3 4

n = 4; p = 0,5

0 x0 1 2 3 4

n = 4; p = 0,7

Gambar 3.5 Sajian grafis dari tiga distribusi peluang binomial

Aturan 3.16

Jika X adalah suatu variabel acak binomial, maka

E(X) = = np ............................................................................... [3.18]dan

Var(X) = 2 = np(1 p) ................................................................. [3.19]

Contoh 3.14

Catatan sebuah toko swalayan menunjukkan bahwa 20% orang yang berbelanja ditoko tersebut menggunakan kartu kredit untuk membayar belanjaannya. Misalkanpada suatu pagi terdapat 10 orang yang berbelanja di toko tersebut.

a. Tentukan peluang bahwa 3 orang diantaranya membayar dengan kartukredit

74


29/49

b. Tentukan peluang bahwa paling sedikit 2 orang diantaranya membayardengan kartu kredit

c. Tentukan peluang bahwa paling sedikit 4 orang tetapi tidak lebih dari 6orang yang membayar dengan kartu kredit

d. Tentukan nilai harapan dan varians dari jumlah orang yang berbelanja

dengan kartu kreditPenyelesaian:

MisalkanXadalah jumlah orang yang berbelanja di toko tersebut yang membayarbelanjaannya dengan kartu kredit. Dalam kasus ini kita dihadapkan padapercobaan binomial dengan n = 10 denganp = 0,2.

a. Peluang bahwa tiga orang dari ke-10 orang tersebut membayar dengan kartukredit adalah:

P(X=3) = 10!3!(10

3)!

0,23

(10,2)103 =0,201

b. Peluang bahwa paling sedikit 2 orang diantaranya membayar dengan kartukredit dapat lebih mudah dihitung dengan menggunakan sifat distribusipeluang yaitu bahwa

P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + ...+ P(X= 10) = 1, oleh karena itu,

P(X2) =P(X=2) +P(X=3) +L+P(X=10)=1[P(X=0) +P(X=1)]

=1(0,107 +0,269) =0,624

c. Peluang bahwa paling sedikit 4 orang tetapi tidak lebih dari 6 orang yangmembayar dengan kartu kredit adalah

P(4 X6) =P(X=4) +P(X=5) +P(X=6)=0,088 +0,027 +0,005 =0,120

d. E(X) = np = 2Var(X) = np(1 p) =1,6

Dalam MINITAB, nilai-nilai peluang dari berbagai distribusi peluang dapat dihitungdengan perintah PDF yang kemudian diikuti anak perintah (sub-command) bagi

distribusi peluang yang bersangkutan.

PDF for values in E...E [put results in E...E]

Perintah tersebut dapat juga diaktifkan dengan memilihmenu

75


30/49

C alc Probability D istribution B inomial...

Perintah tersebut akan mengaktif jendela Binomial Distribution seperti terlihatdalam gambar 3.6

Gambar 3.6 Jendela Binomial Distribution

Sebagai ilustrasi, untuk menjawab pertanyaan (a) dalam contoh di atas, klik tombolP robability, kemudian dalam kotak Number of trials isikan nilai n,

yaitu10, lalu dalam kotak Prob ability of success isikan nilaip, yaitu 0.2, lalu klik

tombol Input con stant dan isikan 3 ke dalam kotak di sampingnya. Output

dari perintah-perintah tersebut adalah sebagai berikut:

MTB > PDF 3;

SUBC> Binomial 10 .2.

Probability Density Function

Binomial with n = 10 and p = 0.200000

x P( X = x)

3.00 0.2013

76


31/49

3.11 Distribusi Hipergeometrik

Dalam distribusi Binomial kita menggunakan asumsi bahwa sampel yang kitaperoleh berasal dari suatu populasi yang sangat besar, sehingga peluang berhasildapat dianggap konstant dari satu percobaan ke percobaan lainnya (misalnya pa-da contoh 3.12). Oleh karena itu, jika populasinya tidak terlalu besar, maka pe-luang berhasil tidak lagi konstan dan sehingga percobaan tersebut tidak lagi

memenuhi syarat percobaan Binomial (misalnya pada contoh 3.10). Ketika po-pulasinya terbatas dan sampel yang diambil tidak dikembalikan lagi sebelumpengambilan berikutnya, maka peluang berhasil dalam suatu pengambilan (per-cobaan) tergantung pada hasil percobaan sebelumnya. Keadaan ini terjadi karenasetelah dilakukan pengambilan sampel maka ukuran populasinya berkurang danpeluang berhasil mengalami perubahan. Model yang tepat untuk kasus yangdemikian adalah distribusi Hipergeometrik, yang dirumuskan sebagai berikut:

Aturan 3.17

Misalkan suatu populasi yang terhingga terdiri atas N buah objek yang Abuah diantaranya termasuk kategori jelek.Jika dari populasi tersebutdiambil sampel sebanyak n objek, maka peluang terambilnyaxbuah kategori

jelek mengikuti kaidah Distribusi Hipergeometrik, yang peluangnyaditentukan dengan rumus berikut:

P(X=x)=

A Cx (NA)C(nx)

, untukx= 0, 1, 2, ..., n ............. [3.20]NCn

Contoh 3.15

Sebagai ilustrasi, mari kita hitung kembali nilai-nilai peluang dalam contoh 3.10.Dalam persoalan tersebut diketahui bahwa N = 20, A = 5 dan n = 2

a. Peluang terambilnya 2 kelapa tua adalah

P(X=2)= 5C2 (205)C(22)20C2

5!

15!

P(X =2)= 2!3! 0!15! =101 =0,052620!

2!18!

190

b. Peluang terambilnya 2 kelapa muda setara dengan peluang tidak terambilnyakelapa tua, yaitu

77


32/49

P(X =0)=

5C0 (205)C(20)20C2

5!

15!

P(X=0)= 0!5! 2!13! =1105 =0,552620!

2!18!190

c. Peluang terambilnya 1 kelapa muda setara dengan peluang terambilnya 1kelapa tua, yaitu

P(X =1)=

5C1 (205)C(21)20C2

5!15!

= 1!4! 1!14! = 515 =0,394720!

2!18!

190

Aturan 3.18

Nilai harapan dan varians bagi variabel acak Hipergeometrik adalah sebagaiberikut:

dan

=nA .......................................................................................... [3.21]N

2 = NnN1n A 1N A .............................................................. [3.22]N

3.12 Distribusi Poisson

Distribusi Poisson juga merupakan salah satu distribusi peluang bagi variabel acakdiskrit yang penting dan sering ditemukan dalam praktek. Selain itu, distribusiPoisson juga dapat digunakan sebagai pendekatan bagi distribusi Binomial.Contoh berikut ini adalah beberapa penomena dimana distribusi Poisson dapatdigunakan:

78


33/49

Jumlah telepon per jam yang diterima operator telepon di suatu rumahsakit Jumlah kendaraan yang memasuki jalan tol per hari Jumlah demonstrasi massa di depan gedung MPR/DPR per tahun Jumlah hasil produksi yang afkir per hari dalam suatu proses produksi

Dalam setiap kasus di atas, jumlah keberhasilan atau kegagalan merupakanvariabel acak diskrit yang mengikuti kaidah distribusi Poisson. Suatu percobaanPoisson terjadi jika kita dapat mengamati suatu kejadian diskrit dalam suatuinterval yang kontinyu (dapat berupa waktu, luas, panjang, dan sebagainya), dima-na interval tersebut dapat diperpendek sedemikan rupa sehingga: rata-rata terjadinya keberhasilan dalam interval tersebut merupakan suatu

nilai yang stabil peluang terjadinya lebih dari satu kali keberhasilan dalam intervaltersebut adalah nol terjadi atau tidaknya suatu keberhasilan dalam suatu interval tidaktergantung pada terjadi atau tidaknya keberhasilan dalam interval lainnya.

Sebagai contoh, jumlah telepon per jam yang diterima oleh operator telepon di su-atu rumah sakit merupakan variabel acak diskrit yang terjadi dalam interval waktusatu jam yang kontinyu. Misalkan dalam waktu satu jam tersebut rata-rata jumlahtelepon yang diterima oleh operator telepon tersebut adalah 90 kali. Jika intervalwaktu satu jam tersebut diperpendek ke dalam hitungan detik (1 jam = 3600 detik),maka rata-rata jumlah telepon yang masuk dalam satu detik adalah 90/3600 =

0,025 dalam interval waktu satu detik tersebut hampir tidak mungkin terjadi lebihdari satu telepon yang masukada atau tidaknya telepon yang masuk dalam interval waktu satu detiktertentu tidak tergantung pada ada atau tidaknya telepon yang masukpada periode satu detik yang lainnya

Aturan 3.19

Distribusi peluang Poisson ditentukan dengan rumus berikut:

P(X=x)=

xe , x= 0, 1, 2, ... ......................................... [3.23]x!

dimana m adalah suatu bilangan non-negatif yang merupakan rata-rata (nilaiharapan) dari distribusi Poisson; e adalah bilangan natural (e = 2,718281...).

79


34/49

( )

0

Contoh 3.16

Diketahui bahwa jumlah kesalahan cetak (X) dalam satu halaman suatu suratkabar mengikuti distribusi poisson dengan rata-rata 2,2 per halaman. Gambarkandistribusi peluang bagi variabel acakXtersebut dalam bentuk grafis.

Penyelesaian

P(X=0)=2,2

e2,2

=e2,2 0,1108;

2,21e

2,2

P X=1 = 0,24380! 1!

Peluang untuk nilai-nilaiXyang lain dapat dihitung dengan cara yang sama. Hasilperhitungan selengkapnya disajikan dalam tabel 3.7 dan distribusi peluangnyadisajikan secara grafis dalam gambar 3.7.

Tabel 3.8 Distribusi Poisson

untuk = 2,2

x p(x)

0 0,11081 0,24382 0,26813 0,19664 0,10825 0,04766 0,01747 0,00558 0,00159 0,0004

10 0,0000

p(x)

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

Gambar 3.7 Distribusi Poisson untuk = 2,2

3.13 Distribusi peluang bagi variabel acak kontinyu

Ketika membahas variabel acak diskrit, pada umumnya kita selalu dapatmendaftarkan semua nilai bagi variabel diskrit dan menentukan peluang bagisetiap nilai tersebut. Hal ini tidak lagi dapat kita lakukan ketika kita berhadapandengan variabel acak kontinyu, karena seperti kita ketahui suatu variabel acakkontinyu dapat mengambil sembarang nilai dalam suatu interval tertentu dalam

sistem bilangan nyata. Dengan demikian, jumlah nilai yang mungkin diambil olehsuatu variabel acak kontinyu dapat tak terhingga banyaknya dan tidak mungkin kita

80


35/49

14 sampai 18 2 0,0218 sampai 22 11 0,1122 sampai 26 20 0,20

26 sampai 30 42 0 4230 sampai 34 17 0,1734 sampai 38 5 0,0538 sampai 42 3 0

,03

Total 100 1,00

Frekuensirelatif

daftarkan secara rinci satu per satu. Selain itu, kita juga tidak mungkin dapatmenentukan peluang bagi setiap nilai variabel acak yang tetap memenuhipersyaratan sebagai suatu distribusi peluang, yaitu bahwa jumlah semua peluangtersebut harus sama dengan satu. Oleh karena itu kita perlu menggunakanpendekatan lain dalam menentukan dan menginterpretasikan distribusi peluangbagi variabel acak kontinyu.

Dalam bagian 3.4 telah kita singgung bahwa peluang dapat diinterpretasikan me-lalui pendekatan konsep frekuensi relatif. Dengan pendekatan ini, nilai peluangsuatu kejadian merupakan frekuensi relatif dari kejadian tersebut dalam suatupercobaan dengan jumlah ulangan yang besar. Sebagai ilustrasi perhatikan con-toh berikut ini.

Contoh 3.17

Dari 100 orang sampel yang diambil secara acak, setiap orang diminta untuk me-ngerjakan suatu tugas tertentu. Hasil pengamatan terhadap waktu yang merekagunakan untuk menyelesaikan tugas tersebut disajikan dalam tabel 3.9. Gambar3.8 menyajikan histogram frekuensi bagi data dalam tabel3.9

Tabel 3.9 Data hipotetis bagivariabel acak kontinyu

W aktu (detik) frekuensi Frekuensi relati f

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1 8 22 26 30 34 38 42

Gambar 3.8 Distribusi frekuensi relatifbagi data dalam tabel 3.9

Misalkan percobaan tersebut diulang kembali, kali ini jumlah sampel yangdigunakan adalah 5000 orang. Lalu kita buat histogram frekuensi relatifnyadengan jumlah interval kelas yang besar tetapi lebar kelasnya kita buat kecil.Maka histogram tersebut akan terdiri atas kotak persegi panjang yang rampingdalam jumlah yang banyak. Dengan semakin banyaknya sampel yang diambil danlebar interval kelas yang kecil maka histogram frekuensi relatif yang dihasilkan

81


36/49

Frekuens

irelatif

akan semakin mendekati bentuk sebuah kurva yang kontinyu, seperti dapat dilihatdalam gambar 3.9.

18 22 26 30 34 38 42

Gambar 3.9 Histogram frekuensi relatif yang makin mendekati bentuksebuah kurva kontinyu

Sesuai dengan pendekatan konsep frekuensi relatif, maka peluang bagi variabelacak kontinyu ditentukan oleh luas daerah di bawah kurva yang disebut sebagaifungsi kepekatan peluang (probability density function).

Aturan 3.20

Semua fungsi kepekatan peluang f(x) harus memenuhi dua persyaratanberikut:

1. Kurvanya tidak pernah terletak di bawah sumbu mendatar, artinya

f(x) 0 untuk semua nilaix..................................................... [3.24]2. Total luas daerah di bawah kurva harus sama dengan satu, atau

f(x)dx=1 ............................................................................... [3.25]Perlu diingat bahwa f(x) bukanlah suatu nilai peluang, artinya f(x) P(X = x).Karena luas di bawah kurva untuk satu titik tertentu adalah nol, maka setiap nilaitunggal suatu variabel acak kontinyu mempunyai peluang sama dengan nol.Artinya, jika X adalah suatu variabel acak kontinyu, maka P(X = x) = 0, untuksemua nilaix. Oleh karena itu, bagi setiap variabel acak kontinyu berlaku bahwa:

82


37/49

P(a Xb) =P(a


38/49

x

f(x)

x

Gambar 3.11 Kurva normal

Suatu variabel acak yang berdistribusi normal disebut sebagai variabel acaknormal (normal random variable) dan mempunyai fungsi kepekatan peluang yangdisebut sebagai fungsi kepekatan normal (normal density function). Sebuahvariabel acak normal dapat mengambil sembarang nilai dalam sistem bilangan

nyata, mulai dari -sampai +.Suatu fungsi kepekatan normal dapat didefinisikan secara lengkap oleh nilai

harapan () dan variansnya (2). Oleh karena itu, terdapat berbagai fungsikepekatan normal yang berbeda antara satu dan lainnya jika nilai harapannya atauvariansnya berbeda. Gambar 3.12.a menunjukkan tiga fungsi kepekatan normalyang mempunyai varians yang sama tetapi nilai harapannya berbeda, sedangkangambar 3.12.b menunjukkan tiga fungsi kepekatan normal yang mempunyai nilaiharapan yang sama tetapi variansnya berbeda.

f(x) f(x)

= 0

= -2 = +2

2=1

2=4

2=9

x0

(a) 2

sama; berbeda (b) sama;2 berbeda

Gambar 3.12 Beberapa jenis kurva Normal

84


39/49

x

Perhatikan bahwa ketiga kurva normal dalam gambar 3.12.a mempunyai bentukyang sama tetapi terpusat pada posisi yang berbeda. Sebaliknya, pada gambar3.12.b ketiga kurva tersebut mempunyai pusat distribusi yang sama, tetapi bentukdistribusinya berbeda. Makin besar variansnya makin rendah bentuk kurvanya danmakin lebar distribusinya. Hal ini disebabkan karena luas di bawah kurva fungsi

kepekatan peluang harus sama dengan satu.

Misalkan X adalah sebuah variabel acak normal dengan nilai harapan x dan

varians 2, maka nilai-nilai peluang bagiXditentukan dengan luas di bawah kurvanormal tersebut. Secara konvensional, penentuan nilai-nilai peluang X tersebutbiasa dilakukan dengan menggunakan bantuan tabel bagi variabel normal baku(standard normal random variabel), yaitu suatu variabel acak yang berditribusi

normal dengan = 0 dan 2 = 1. Tabel tersebut disajikan dalam Tabel Lampiran 2.Untuk dapat menggunakan tabel tersebut, variabel normal Xharus ditransformasiagar mempunyai nilai harapan sama dengan 0 dan varians sama dengan 1. Halini dapat dilakukan dengan transformasi berikut:

Z=Xxx

.................................................................................. [3.27]

Tabel Lampiran 2 menyajikan nilai-nilai peluang (luas daerah di bawah kurva

normal baku) bagi Z> z, yaitu P(Z> z) untuk 0 z3,29. Kolom pertama tabeltersebut mencantumkan nilai-nilai z dalam satu desimal, sedangkan desimal ke-duanya diletakkan sepanjang baris pertama dari tabel tersebut. Sebagai ilustrasi,untuk menentukan P(Z> 1,85), pertama-tama cari nilai z= 1,8 dalam kolom yangpertama (kolom paling kiri) dari tabel lampiran 2 tersebut. Kemudian, cari perte-muan baris tersebut dengan kolom yang pada baris pertamanya benilai 0,05. Per-temuan baris dan kolom tersebut menunjukkan angka 0,0322. Maka P(Z> 1,85) =0,0322.

Contoh 3.18

Misalkan X adalah sebuah variabel acak normal dengan = 60 dan 2 = 10.Tentukan nilai-nilai peluang berikut:

a. P(X> 65)

b. P(X< 65)

c. P(X< -65)

d. P(-65


40/49

Penyelesaian:

a. UntukX= 65, dengan menggunakan transformasi Z, kita peroleh:

Z= 65 60 =0,510

maka dengan menggunakan Tabel lampiran 2,kita peroleh

P(X> 65) = P(Z> 0,5) = 0,3085

b. Karena luas di bawah kurva fungsi kepekatanpeluang sama dengan satu, maka

P(Z< z) = 1 P(Z> z). Oleh karena itu.

f(z)

z0,5

P(X< 65) = P(Z< 0,5) = 1 P(Z> 0,5) = 1 0,3085 = 0,6915

c. Karena kurva kepekatan normal simetris terhadap nilai harapannya, makakurva normal baku simetris terhadap titik 0.

Oleh karena itu P(Z< -z) = P(Z> z).

Dengan menggunakan sifat ini,

P(X< -65) = P(Z< -0,5)

= P(Z> 0,5)

= 0,3085

d. P(-65 0,5)

= 1 0,3085 0,3085 = 0,3830

e. P(65 0,5) P(Z< 1,53)= 0,3085 0,0630 = 0,2455

f(z)

-0,5z

0,5

Contoh 3.19

Diketahui gaji dosen per bulan pada suatu perguruan tinggi negeri tertentuberdistribusi normal dengan nilai harapan Rp. 1,73 juta dengan simpangan bakuRp. 200 ribu. Tentukan peluang bahwa seorang dosen yang dipilih secara acakakan mempunyai gaji per bulan lebih kecil dari Rp. 1,5 juta.

86


41/49

Penyelesaian

Misalkan gaji dosen per bulan adalahX, maka variabel acakXberdistribusi normal

dengan nilai harapan = 1.730.000 dan varians = 200.000. Maka untuk nilaiX= 1.500.000 dengan menggunakan transformasi Z kita peroleh:

XZ=

=1.500.000 1.730.000 =1,15200.000

Oleh karena itu, P(X< 1.500.000) = P(Z< -1,15)

= P(Z> 1,15)

= 0,1251

Dalam MINITAB, nilai peluang bagi variabel acak yang berdistribusi Normal

dihitung dengan memilih menu

C alc Probability D istribution N ormal...

Gambar 3.13 Jendela Normal Distribution dalam MINITAB

87


42/49

Perintah tersebut akan mengaktif jendela Normal Distribution, seperti terlihat dalamgambar 3.13. Untuk menghitung nilai peluang dalam contoh 3.19 di atas, dalamjendela Normal Distribution tersebut klik tombol C ummulative Probability,

lalu dalam kotak Meanisi

kan nilai , yaitu 1730000, dan dalam kotak S tandard deviation isikan nilai

s, yaitu 200000. Lalu klik tombol Input con stant dan isikan nilai x, yaitu1500000, kemudian klik O K. Output dari rangkaian perintah tersebut adalah

sebagai berikut:

MTB > CDF 1500000;

SUBC> Normal 1730000 200000.

Cumulative Distribution Function

Normal with mean = 1730000 and standard deviation = 200000

x P( X 5 dan n(1 p) > 5, karena pada keadaan ini, distribusi Binomial biasanyahampir simetris. Dengan aturan 3.11, telah kita ketahui bahwa suatu distribusi Bi-

nomial mempunyai nilai harapan = np dan varians 2 = np(1 p). Dalam pen-dekatan ini kita gunakan distribusi normal yang mempunyai nilai harapan danvarians yang sama nilainya dengan nilai harapan dan varians dari distribusi Bi-nomial yang bersangkutan. Gambar 3.14 menunjukkan suatu pendekatan bagidistribusi binomial dengan n = 13 danp = 0,6 (dinyatakan dalam bentuk histogram)

oleh distribusi Normal dengan = np = 7,8 dan varians

2

= np(1 p) = 3,12.Nilai peluang P(X = x) dalam distribusi Binomial dinyatakan sebagai luas persegipanjang bagi nilai x yang bersangkutan. Misalnya P(X = 5) dalam gambar 3.14

88


43/49

1

2

adalah luas persegi panjang bagi X = 5, yang jika dihitung dengan aturan 3.15nilainya adalah

0.24

0.18

0.12

0.06

0 x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Gambar 3.14 Pendekatan distribusi Binomial dengan distribusi Normal

P(X =5) = 13!5!(13 5)!0,65 (10,6)135 =0,0656

Dari gambar 3.14, terlihat bahwa luas persegi panjang tersebut hampir samadengan luas di bawah kurva normal untuk nilai xyang terletak antarax1 = 4,5 danx2 = 5,5. Dengan transformasi Z, kita peroleh

z = 4,5 7,8 =1,873,12

z = 5,5 7,8

=1,303,12

f(z)

Oleh karena itu, P(X = 5) dalam distribusi bi-nomial didekati oleh P(-1,87 < Z < -1,30) dalamdistribusi normal baku, yang dalam hal ini adalah

P(-1,87 < Z< -1,30) = P(Z< -1,30) P(Z< -1,87)

= 0,0968 0,0307

= 0,0661

-1,87-1,30 z

Nilai pendekatan tersebut tidak terlalu berbeda jauh dengan nilai sebenarnya, yaitu

0,0656.

89


44/49

Contoh 3.20

Berkas ujian suatu mata kuliah tertentu terdiri atas 150 soal pilihan berganda yangmasing-masing mempunyai 4 jawaban dan hanya satu jawaban yang benar.Andaikan dari ke 150 soal tersebut seorang mahasiswa bisa menjawab 100 soal,sedangkan 50 soal sisanya dia hanya menebak saja.

a. Berapakah peluang bahwa dia akan menjawab paling sedikit 20 soaldengan benar dari ke 50 soal yang hanya dia tebak saja jawabannya?b. Berapakah peluang bahwa dia menjawab dengan benar lebih dari 15 soal

tetapi kurang dari 20 soal?

Penyelesaian

Peluang untuk dapat menjawab satu pertanyaan dengan benar dari ke 50 soaltersebut adalah p = . Misalkan X adalah jumlah jawaban yang benar dari 50tebakan tersebut, makaXmerupakan variabel Binomial dengan n = 50 danp = .Oleh karena itu,

P(X20) = P(X = 20) + P(X = 21) + ... + P(X = 50)Untuk menentukan nilai peluang tersebut dapat kita gunakan pendekatan distribusi

normal dengan

=np =50 14=12,5

= np(1 p) = 50 143

4=3,062

Dengan pendekatan ini nilai peluang tersebut ditentukan dengan menghitung luasdaerah di sebelah kanan titikx= 19,5. Nilai zuntukx= 19,5 adalah

z=19,5 12,5 =2,293,062

Sehingga

P(X20)

P(Z

2,29) =

0,0110

Jadi peluang bahwa mahasiswa tersebut akan dapat menjawab paling sedikit 20pertanyaan dengan benar dari 50 pertanyaan tersebut adalah 0,011.

Peluang bahwa dia akan menjawab dengan benar lebih dari 15 soal tetapi kurangdari 20 soal, dapat dituliskan sebagai berikut:

P(15


45/49

dan

z1 =

z2 =

15,5 12,5

3,062

19,5 12,53,062

=0,98

=2,29

Sehingga

P(15 0,98) P(Z> 2,29) = 0,1635 0,0110 = 0,1525

Penambahan atau pengurangan nilaixdengan 0,5 dalam perhitungan-perhitungandi atas, biasa juga disebut sebagai suatu koreksi kekontinyuan (continuity

corection) bagi variabel acak diskrit.

Soal-soal latihan

3.1 Apakah yang dimaksud dengan variabel acak?

3.2 Tentukan apakah variabel-variabel acak berikut ini adalah diskrit ataukontinyu

a. X: Jumlah penduduk yang menderita penyakit demam berdarah padasatu tahun tertentu di Pontianak

b. Y: Lamanya pasien dirawat di suatu rumah sakit (dalam hitungan hari)karena menderita penyakit demam berdarah

c. R: Jumlah kecelakaan lalu lintas pada tahun tertentu di Pontianakd. S: Total nilai kerugian materil akibat kebakaran lahan di suatu daerah

pada suatu periode tertentu (dalam satuan Rp.)e. T: Berat 1000 butir gabah kering (dalam satuan gr)f. U: Produksi padi per hektarg. V: Penghasilan seorang pedagang per harih. W: Nilai pH tanah di suatu lokasi

3.3 Apakah yang dimaksud dengan distribusi peluang?

3.4 Tiga orang mahasiswa tingkat akhir suatu fakultas mengikuti wawancara un-tuk mendapat pekerjaan di PT Rindu Order. Setiap pelamar mungkin diterimabekerja dan mungkin ditolak.

a. Daftarkan semua kemungkinan hasil wawancara ketiga orang tersebut.b. Jika variabel acak Ydidefinisikan sebagai jumlah pelamar yang diterima

untuk bekerja, tentukan semua nilai-nilai Y yang mungkin terjadi.

91


46/49

x p(x) y p(y)

0 0.50 0 0.05

1 0.20 1 0.10

2 0.15 2 0.15

3 0.10 3 0.20

4 0.05 4 0.50

x p(x) y p(y)

0 0.20 0 0.10

1 0.20 1 0.20

2 0.20 2 0.40

3 0.20 3 0.20

4 0.20 4 0.10

Seandainya peluang seseorang untuk ditolak sama dengan peluanguntuk diterima, tentukanlah distribusi peluang bagi Y.

3.5 Sebuah kotak berisi 6 buah bola merah dan 2 buah bola putih. Dari kotak ter-sebut diambil 3 buah secara acak, dimana pada setiap pengambilan, bolayang terambil dikembalikan lagi ke dalam kotak sebelum pengambilan beri-kutnya dilakukan. Misalkan Wadalah jumlah bola putih yang terambil pada

proses pengambilan tersebut.

a. Tentukan ditribusi peluang bagi W.

b. Tentukan pula nilai harapan dan varians bagi W.

3.6 Diketahui distribusi peluang bagi variabel acakXdan Ysebagai berikut:

a. Tentukan nilai harapan bagikedua variabel acak terse-but

b. Tentukan simpangan bakubagi kedua variabel acaktersebut

c. Apakah yang dapat anda simpulkan dari hasil perhitungan a. dan b. diatas?

3.7 Diketahui distribusi peluang bagi variabel acakXdan Ysebagai berikut:

a. Tentukan nilai harapan bagikedua variabel acak tersebut

b. Tentukan simpangan bakubagi kedua variabel acaktersebut

c. Apakah yang dapat anda simpulkan dari hasil perhitungan a. dan b. diatas?

3.8 Apakah yang dimaksud dengan suatu percobaan acak? Dan apa yangdimaksud dengan ruang sampel?

3.9 Jelaskan ketiga konsep/interpretasi tentang teori peluang

3.10 Jelaskan mengapa nilai peluang suatu kejadian harus merupakan suatubilangan antara 0 dan 1?

3.11 Jika dari satu set kartu remi diambil sebuah kartu secara acak, berapakah

peluang akan terambil sebuah kartu spade ()? Berapakah peluang

92


47/49

terambilnya sebuah King? Berapakah peluang terambilnya sebuah kartuberwarna hitam?

3.12 Apakah yang dimaksud dengan dua buah kejadian yang independen?

3.13 Apakah yang dimaksud dengan dua kejadian yang saling asing?

3.14 Dari soal 3.11, apakah kejadian terpilihnya kartu spade dengan terpilihnyasebuah King saling asing? Apakah kejadian terpilihnya kartu berwarna merahdengan kartu berwarna hitam saling asing?

3.15 Dari soal 3.11, berapakah peluang terpilihnya sebuah kartu King berwarnahitam? Berapakah peluang terpilihnya sebuah kartu King atau kartu berwarnahitam? Berapakah peluang terpilihnya sebuah kartu berwarna merah atauberwarna hitam?

3.16 Untuk mempelajari pola tingkah laku konsumen di sebuah kota metropolitan,dilakukan survey terhadap 400 orang penduduk di kota tersebut. Salah satupertanyaannya adalah Apakah anda senang berbelanja pakaian?. Dari 160orang responden pria, 92 orang diantaranya menjawab Ya, dan dari 240orang responden wanita, 205 orang diantaranya menjawab Ya. Buatlahdiagram Venn atau tabel frekuensi gabungan untuk persoalan di tersebut.Jika dari hasil survey tersebut, seorang responden dipilih secara acak,tentukanlah nilai-nilai peluang berikut:

a. berapakah peluang bahwa dia adalah seorang pria?b. berapakah peluang bahwa dia tidak suka berbelanja pakaian?c. jika diketahui bahwa orang tersebut adalah seorang wanita, berapakah

peluang bahwa dia suka berbelanja pakaian?d. jika diketahui bahwa orang tersebut tidak senang berbelanja pakaian,

berapakah peluangnya bahwa dia adalah seorang pria?

3.17 Di dalam sebuah wadah terdapat 50 buah bola, 30 buah berwarna hijau dansisanya berwarna merah. Diketahui pula bahwa 30 buah bola sudah kusamwarnanya, yang 20 diantaranya berwarna hijau. Jika dari wadah tersebutdiambil sebuah bola secara acak, tentukan peluang bahwa bola yang terpilihtersebut adalah bola berwarna merah yang tidak kusam warnanya.

3.18 Dari soal 3.17, tentukan peluang bahwa bola yang terpilih adalah bola merahatau bola berwarna kusam

3.19 Sebuah toko swalayan menyatakan bahwa 60% pencuri di toko tersebut akanterdeksi oleh kamera yang di pasang di dalam toko tersebut, 20% akanterdeteksi oleh petugas satpam dan 40% lagi akan terdeteksi oleh kameradan petugas satpam sekaligus. Andaikan pernyataan tersebut benar,tentukan peluang bahwa seorang pencuri di toko tersebut akan terdeteksi

3.20 Dalam sebuah ujian terdapat 10 soal pilihan berganda, yang masing-masingterdapat 4 pilihan jawaban. Misalkan seorang peserta ujian menjawab soal-soal tersebut hanya dengan menebak atau menerka-nerka saja. Dapatkah

93


48/49

hal ini dikategorikan sebagai suati percobaan Binomial? Jelaskan denganmenunjukkan terpenuhi atau tidaknya ke-emapat ciri percobaan Binomial

3.21 Diketahui suatu percobaan Binomial dengan n = 4 dan p = 0,7. Daftarkannilai-nilai peluang bagi semua nilai variabel acak Binomial tersebut.

3.22 MisalkanXadalah variabel acak Binomial.

a. Tentukan P(X= 2) untuk n = 4 danp = 0,12b. Tentukan P(X< 2) untuk n = 4 danp = 0,12c. Tentukan P(X= 4) untuk n = 10 danp = 0,4d. Tentukan P(X 4) untuk n = 10 danp = 0,4

3.23 Dalam memproduksi suatu jenis barang X, diketahui bahwa kegagalan prosesproduksinya mencapai 5%. Jika pada suatu periode waktu tertentu diproduksi10 buah barang X, tentukanlah peluang bahwa 2 buah barang tersebuttermasuk hasil produksi yang gagal. Berapakah peluang bahwa paling sedikit2 buah hasil produksi tersebut dinyatakan gagal?

3.24 Diketahui bahwa 60% hasil produksi yang gagal dapat diperbaiki denganpengerjaan ulang. Misalkan 6 buah hasil produksi yang gagal dikerjakanulang.

a. Tentukan peluang bahwa paling sedikit 3 buah hasil produksi dapatdiperbaiki

b. Tentukan peluang bahwa tak satupun hasil produksi tersebut dapatdiperbaiki

c. Tentukan peluang bahwa semua hasil produksi tersebut dapat diperbaiki

3.25 Sebuah kotak berisi 5 buah bola merah dan 3 buah bola hijau. Jika daridalam kotak tersebut diambil 2 buah bola secara acak tanpa pengembalian,tentukan

a. peluang terambilnya satu bola hijaub. peluang terambilnya paling tidak satu bola hijauc. rata-rata dan varians terambilnya bola merah

3.26 Di sebuah toko roti terdapat 15 bungkus roti tawar, yang 10 bungkusdiantaranya adalah roti baru sedangkan 5 bungkus lainnya adalah roti sisapenjualan hari sebelumnya. Seorang pembeli membeli 3 bungkus roti tawartersebut. Jika X adalah terambilnya roti sisa penjualan hari sebelumnya,tentukan

a. P(X = 3) b. P(X = 0) c. P(X = 1)

3.27 Misalkan X adalah variabel acak diskrit yang berdistribusi Poisson dengan

= 2. Tentukana. P(X 2) b. P(X > 2)

94


49/49

3.28 Jumlah mobil yang memasuki gerbang jalan tol dalam setiap menit diketahuiberdistribusi Poisson. Jika rata-rata jumlah mobil yang memasuki gerbang tolper menitnya adalah 3 buah mobil, tentukan peluang bahwa

a. antara jam 10:00 sampai 10:01 terdapat dua mobil yang memasukigerbang tol tersebut

b. antara jam 10:00 sampai 10:01 terdapat lebih dari dua mobil yang

memasuki gerbang tol tersebut

3.29 Dalam setiap 100 kali pengeboran, sebuah perusahaan eksplorasi gas alamsecara rata-rata menemukan 4 buah sumur sumber gas alam. Andaikanperusahaan tersebut akan melakukan 20 kali pengeboran, tentukan peluangbahwa

a. dalam pengeboran-pengeboran tersebut akan ditemukan satu sumursumber gas alamb. paling tidak akan ditemukan 2 sumur sumber gas alam

3.30 Manakah diantara variabel-variabelacak di bawah ini yangdapat dikategorikan sebagai variabel yang kontinyu

P(X > 30) d. P(25 < X < 70)c. P(X < 30) f. P(50 < X < 80)

3.40 Diketahui bahwa hasil produksi yang dinyatakan afkir dari sebuahperusahaan plywood adalah 7%. Jika pada suatu periode tertentu diproduksi8000 keping plywood, tentukan peluang dihasilkannya paling sedikit 50keping yang afkir.

96

3 teori peluang

Documents