04 – Teori Peluang

Bandung, 19 Oktober 2012

Peluang :Adalah perbandingan banyaknya kejadian yang diharapkan dengan banyaknya kejadian yang dapat terjadi.

Misalkan :Sewaktu melemparkan mata uang, ada dua macam kejadian yaitu depan dan belakang. Jadi banyaknya kejadian ada dua.kalau kita mengharapkan depan, banyaknya kemungkinan depan dalam satu kali pelemparan uang logam adalah satu kali sedangkan kemungkinan yang dapat terjadi adalah dua yaitu depan atau belakang.jadi dalam satu kali pelemparan mata uang logam peluang depan adalah satu per dua sama dengan setengah atau lima puluh persen.

2

Dua faktor pada Peluang :

1.Banyaknya kejadian

2.Kejadian yang diharapkan

3

1. Banyaknya kejadian :

Banyaknya kemungkinan kejadian dapat dihitung secara :

a. Aturan perkalianb. Permutasi c. Kombinasi

4

1. a. Aturan Perkalian – aturan pengisian tempat

Contoh :Tono mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia juga memiliki 2 buah celana warna hitam dan putih yang berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda?

Penyelesaian :

6

Dengan aturan jumlah :

7

contoh 2 :Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka, padahal tersedia angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?

Penyelesaian :Untuk menjawab pertanyaan tersebut marilah kita pakai pengisian tempatkosong seperti terlihat pada bagan berikut.

8

1. a. Aturan Perkalian – Notasi Faktorial

9

10

2. Permutasi :

11

12

13

14

15

b. Permutasi Jika Ada Unsur yang Sama

Untuk menghitung banyaknya permutasi jika ada unsur yang sama, marilah kita lihat contoh berikut.Berapakah banyaknya bilangan yang dapat disusun dari angka 2275 apabila tidak boleh ada angka-angka yang sama. Untuk menjawab soal tersebut dapat dipergunakan bagan di bawah ini.16

Angka 2275 dapat diuraikan dengan kombinasi seperti berikut :

Angka yang sama dihapus

Sehinggga didapat 12 angka yang beda . Jadi banyaknya permutasi 2275 ada 12 cara.

17

18

19

20

21

22

23

3. Kombinasi

Pada waktu kenaikan kelas dari kelas X ke kelas XI, siswa yang naik akan memasuki jurusan masing-masing. Ada yang IPA, IPS, maupun Bahasa. Oleh karena itu, diadakan perpisahan kelas dengan jalan berjabat tangan. Kita contohkan ada 3 siswa saling berjabat tangan misalkan Adi, Budi, dan Cory. Ini dapat ditulis Adi-Budi, Adi-Cory, Budi-Adi, Budi-Cory, Cory-Adi, Cory-Budi. Dalam himpunan Adi berjabat tangan dengan Budi ditulis {Adi, Budi}. Budi berjabat tangan dengan Adi ditulis {Budi, Adi}. Antara {Adi, Budi} dan {Budi, Adi} menyatakan himpunan yang sama, berarti keduanya merupakan kombinasi yang sama. Di lain pihak Adi – Budi, Budi – Adi menunjukkan urutan yang berbeda yang berarti merupakan permutasi yang berbeda. 24

25

26

27

Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:

a. ganda putrab. ganda putric. ganda campuran

28

29

Ruang Sampel Suatu Percobaan

1. Menentukan Banyak Kemungkinan Kejadian dari Berbagai Situasi :

Misalkan kita mengambil sebuah dadu maka sisi-sisi sebuah dadu akan terlihat 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jadi ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Apabila kita melambungkan sebuah dadu sekali maka kemungkinan angka yang muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Kita tidak dapat memastikan bahwa angka 5 harus muncul atau angka 2 tidak muncul.

30

Ruang Sampel Suatu Percobaan

1. Menentukan Banyak Kemungkinan Kejadian dari Berbagai Situasi :

Jadi kemungkinan munculnya angka 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 dalam suatu kejadian adalah sama. Misalnya, pada percobaan pelambungan sebuah dadu sekali. Jika A adalah kejadian muncul bilangan prima, maka A adalah 2, 3, dan 5 dan jika B kejadian muncul bilangan lebih besar dari 5 maka B adalah 6.

Untuk menuliskan kejadian dari suatu percobaan diketahui dengan himpunan.

31

Contoh1. Pada percobaan pelemparan sebuah dadu sekali, A

adalah kejadian muncul bilangan prima dan B adalah kejadian muncul bilangan lebih besar dari 3, AC, dan BC masingmasing merupakan komplemen dari A dan B. Nyatakanlah A, B, AC, dan BC dalam bentuk himpunan.

Penyelesaian :

32

Diketahui 3 buah mata uang logam mempunyai sisi angka (A) dan sisi gambar (G),dilempar sekali. Jika P adalah kejadian muncul dua gambar dan Q adalah kejadian muncul tiga angka, nyatakan P dan Q dalam bentuk himpunan.

33

Peluang :Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.

34

35

2. Dalam kantong ada 6 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Jika diambil 4 kelereng

sekaligus secara acak, tentukan peluang terambil:

36

37

38

3. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.

39

Contoh 1 :Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali,tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka.

40

Contoh 2 :Pada percobaan pelemparan 2 buah dadu sekaligus sebanyak 108 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya A = {(x, y) | x = 3}, x adalah dadu pertama dan y adalah dadu kedua.

41

4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

42

Komplemen Peluang

43

Contoh :Dalam sebuah kotak terdapat bola yang diberi nomor 1 sampai 10. Jika diambil sebuah bola, berapakah peluang munculnya:

a. Nomor Primab. Bukan nomor prima

44

5. Peluang Dua Kejadian Saling Asing

a. Peluang gabungan dua kejadian (kejadian A atau kejadian B) dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

Misal A dan B adalah dua kejadian yang berbeda S, maka peluang kejadian A∪B ditentukan dengan aturan:

45

Contoh soal :

46

Dalam melambungkan sebuah dadu, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima!

Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima adalah 2/3

b. Peluang gabungan dua kejadian saling asing (kejadian A atau B di mana A dan B saling asing)

47

Contoh Soal :Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yang berurutan, sebuah kartu diambil dari dalam kantong secara acak, misal A adalah kejadian bahwa yang terambil kartu bernomor genap dan B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil.a. Selidiki apakah kejadian A dan B saling

asing.b. Tentukan peluang kejadian A atau B.

48

Penyelesaian :

49

Peluang Kejadian Saling Bebas

Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya . atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B.

Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.

A adalah kejadian keluarnya dadu pertama angka 3 dan B adalah kejadian keluarnya dadu kedua angka 5 maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang kejadian ini dapat dirumuskan:

50

Contoh soal

Pada pelemparan dua buah dadu sekaligus. A adalah kejadian keluarnya dadu pertama angka 3 dan B adalah kejadian keluarnya dadu kedua angka 5. Berapakah peluang terjadinya A, B, dan A∩B.

51

Pada pelemparan dua buah dadu sekaligus. A adalah kejadian keluarnya dadu pertama angka 3 dan B adalah kejadian keluarnya dadu kedua angka 5. Berapakah peluang terjadinya A, B, dan A∩B.

Jawab :

52

Peluang Kejadian Bersyarat

Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B.

Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul adalah:

Atau peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul adalah:

53

Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang yang terambil kedua-duanya bola merah.

Penyelesaian

Jadi, peluang yang terambil kedua-duanya bola merah tanpa pengembalian adalah 1/3 .

54

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1. Sebuah kartu diambil secara acak dari 52 buah kartu bridge. Tentukan peluang terambil kartu skop atau kartu berwarna merah.

2. Jika sebuah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya angka dadu bilangan prima atau bilangan genap.

3. Dalam pelemparan dua buah dadu sekaligus, berapakah peluang keluarnya dadu pertama angka 1 dan dadu kedua angka 4.

4. Dalam kantin sekolah terdapat 30 siswa, di mana 12 siswa sedang minum es dan makan soto, 20 siswa sedang minum es dan makan bakso, sedangkan 3 siswa hanya duduk. Tentukan peluang yang minum es saja.

55

Lanjutan latihan :

5. Dalam kotak terdapat 10 bola, 5 bola berwarna putih, 1 bola merah dan lainnya berwarna kuning. Jika sebuah bola diambil secara acak, berapa peluang:5. terambil bola berwarna kuning,6. terambil bola tidak berwarna kuning.

6. Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang keluarnya bilangan genap, bila telah diketahui telah keluar bilangan lebih dari 5.

56

Evaluasi :1. Dari 5 pria dan 4 wanita akan dipilih 3 pria dan 3

wanita. Banyak cara memilih ada ....2. Banyak sepeda motor yang memakai nomor polisi

dengan susunan angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5 dan terdiri atas lima angka tanpa berulang adalah ….

3. Nilai n yang memenuhi

4. Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng kuning. Dari kantong itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Banyak cara terambil 2 kelereng merah dan 1 kelereng kuning adalah ….

5. Pada pelemparan dua buah dadu satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 atau 5 adalah ….

57

58