STATISTIK CUKUP Statistik cukup untuk parameter adalah

statistik dalam arti tertentu dapat menyerap semua informasi tentang yang termuat dalam sampel.

Bila adalah statistik untuk maka setiap inferensi tentang harus tergantung pada sampel hanya melalui .

Definisi 1.1

Statistik disebut statistik cukup bila distribusi bersyarat

sampel diberikan harga tidak bergantung .

Contoh :

Misalkan variabel random independent berdistribusi Bernoulli dengan parameter , Akan ditunjukkan bahwa:

adalah statistik cukup untuk .

n

i

iX1

Penyelesaian:

densitas dari adalah:

dengan

Fungsi pembangkit momen dari adalah

=

(yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distrbusi Binomial (n, ))

Sehingga : berdistribusi binomial (n, )

Maka :

yang tidak bergantung pada .

Jadi, adalah statistik cukup

Teorema 1.1

Misalkan adalah densitas bersama dari sampel , , adalah statistik cukup untuk bila dan hanya bila terdapat fungsi dan sedemikian sehingga untuk semua titik sampel

dan semua titik parameter berlaku: = , dengan adalah fungsi dari yang tidak tergantung dan

adakah fungsi yang tergantung hanya melalui .

Contoh:

Misalkan variabel random independent berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Tentukan statistik cukup untuk λ.

Penyelesaian:

maka densitasnya adalah :

dengan

Ambil:

Sehingga: adalah statistik cukup λ.

Definisi 1.2

Keluarga densitas disebut anggota keluarga eksponensial k parameter bila densitas tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

dengan: = fungsi nonnegatif dari

= fungsi berharga nyata dari

= fungsi nonnegatif dari

= fungsi berharga nyata dari

Contoh:

Misalkan variabel random independent berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Selidikilah apakah merupakan anggota keluarga eksponensial satu parameter.

Penyelesaian:

maka densitasnya adalah:

dengan

Dengan mengambil :

, dan ,

maka dapat disimpulkan keluarga densitas tersebut

merupakan anggota keluarga eksponesial satu

parameter.

STATISTIK LENGKAP Definisi

Keluarga densitas disebut anggota keluarga eksponensial k parameter bila densitas tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

Teorema Faktorisasi Fisher-Neyman Teorema

Misalkan adalah densitas bersama dari sampel , adalah statistik cukup untuk bila dan hanya bila terdapat fungsi dan sedemikian sehingga untuk semua titik sampel dan semua titik parameter berlaku: = , dengan adalah fungsi dari x yang tidak tergantung dan adakah fungsi yang tergantung hanya melalui .

ありがとう 감사합니다 धन्यवाद