2014 t07-optica

Óptica

Fco Javier Corral 2014-2015

Reflexión

La reflexión es el cambio de dirección que se produce cuando un rayo de luz choca

contra una superficie reflectante.

1. Rayo incidente, normal y rayo reflejado están en el mismo plano.

2. Los ángulos de incidencia y de refracción son iguales.

Reflexión especular: los rayos que llegan paralelos a una superficie plana se

reflejan paralelamente

Reflexión difusa: si la superficie no es plana, los rayos reflejados no son paralelos.

Refracción

La luz no se mueve a la misma velocidad en todos los medios. El valor máximo corresponde al vacío. Se

define el índice de refracción como el cociente:

VACIO

MEDIO

MEDIO

vn 1

v

Medio n

Vacío / Aire 1,00

Agua 1,33

Vidrio 1,52

Diamante 2,41

La refracción es el cambio de velocidad producida en un rayo cuando pasa de un

medio a otro de distinto índice de refracción.

1. El rayo incidente, el rayo refractado y la normal están en el mismo plano.

2. La relación entre el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción viene dada

por la Ley de Snell: 1 2

n seni n senr

La reflexión y la refracción son dos fenómenos que pueden darse a la vez. Cuando

un rayo choca con la superficie de separación de dos medios, parte se refleja y

parte se refracta.

Reflexión total: Angulo límite

Supongamos que un rayo de luz pasa de un medio a otro con un índice de refracción menor; el ángulo de

refracción es mayor que el de incidencia (el rayo se aleja de la normal). Si aumentamos el ángulo de

incidencia llegará un momento en el que el ángulo de refracción sea de 90º.

A ese ángulo de incidencia vamos a llamarle ángulo límite. Cualquier rayo

que incida con un ángulo mayor se reflejará hacia el medio de partida.

Para calcular el ángulo límite aplicamos la ley de Snell:

1

2 1

2

nn seni n sen90 i arcsen

n

para un ángulo de incidencia superior al ángulo límite solo se produce

reflexión.

N

i r

N

i

r

n1

n2

n1<n2

n2 i

Óptica


Prisma óptico

Un prisma óptico es un conjunto de dos caras, no paralelas,

que separa dos medios de distinto índice de refracción.

Vamos a calcular el ángulo de desviación del prisma .

Sabemos las características del prisma: el ángulo , el índice

de refracción n y suponemos que está en el aire.

Para la refracción en la primera cara: 1 1

seni nsenr con lo que conocemos el valor de r1.

En el triángulo ABC: 1 2 2 1r i 180 180 i r

Para la refracción en la segunda cara: 2 2

nseni senr

En el cuadrado ABCE: 1 2 1 2

180 i r 180 360 i r

es el ángulo de desviación del prisma; ángulo que forma la dirección del rayo de entrada con la dirección del

rayo de salida.

Dispersión de la luz

El índice de refracción depende del medio y de la longitud de

onda. Así para el vidrio:

Color nm n

Rojo 640 1,509 Amarillo 590 1,511 Verde 510 1,515 Azul 485 1,517

Violeta 435 1,521

Si a un prisma llega un rayo de luz blanca, los rayos que la componen se refractan de acuerdo con el índice

de refracción y se separan. A esa descomposición de la luz blanca le llamamos dispersión.

Lámina de caras plano paralelas

Aplicando la ley de Snell 1 1 2 1 2 1 2

n seni n senr n seni i i vemos que el rayo emergente de la lámina y el

de entrada son paralelos, se produce un desplazamiento lateral. ¿Cuánto vale ese desplazamiento lateral?

Llamando n21

al cociente de índices de refracción

2 2221

21 2

2121

n sen isen iseni n senr cosr 1

nn

en el triángulo ABC 21

2 2

21

hnh hcosr AC

AC cosr n sen i

y en el triángulo ACD tenemos:

21

2 2

21

hn sen(i r)dsen(i r) d ACsen(i r) d

AC n sen i

i1

r1 r2

i2

180-

A C

B

D

E

Aire n=1

n

Luz blanca

rojo

azul

h

d

i

r i-r

A

B C

D

n1

n2

n1

i2

r

Óptica


Dioptrio esférico

Un dioptrio es una superficie de separación entre dos medios de diferente índice de refracción. Vamos a

estudiar dos: el esférico y el plano. Vamos a trabajar con rayos paraxiales: rayos próximos a los ejes, con

ángulos pequeños de forma que se confundan el arco, el seno y la tangente.

Criterio de signos:

Distancias horizontales: positivas a la derecha del dioptrio, negativas a la izquierda.

Distancias verticales: positivas por encima del eje óptico, negativas por debajo.

Ángulos con el eje óptico: Positivos si el camino más corto para hacerlo coincidir con el eje óptico va

en sentido antihorario. ¡Ojo, σ1 es negativo!

Ángulos con la normal: son positivos.

Supongamos un rayo paraxial que sale del punto P1 se refracta en el punto A y llega al punto P2. Si aplicamos

la ley de Snell tenemos:

1 2n seni n senr y al ser rayos paraxiales 1 2

n i n r (1)

En el triángulo P1AC: 1

(180 i) 180 luego 1

i

En el triángulo CAP2: 2

r (180 ) 180 luego 2

r

Si sustituimos estos valores en la expresión (1) tenemos:

1 1 2 2n ( ) n ( ) (2)

Teniendo en cuenta que estamos trabajando en la zona paraxial:

1 1 2 2

1 2

h h htg tg tg

s s R

Sustituyendo estos valores en la expresión (2):

1 2

1 2

h h h hn n

R s R s

o lo que es lo mismo 1 2

1 2

1 1 1 1n n

R s R s

que es la invariante de Abbe, que también se puede escribir como 2 1 2 1

2 1

n n n n

s s R

i

r

h P1 P2 1 2

s1 s2

R

A

B

C

n2 n1

EJE OPTICO

EJE OPTICO

DIOPTRIO

DIOPTRIO

n2 n

1

N

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Focos del dioptrio

Todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico se refractan y pasan

por el mismo punto, al que vamos a llamar foco imagen F2. La

distancia desde el vértice hasta ese punto es la distancia focal f2.

Para calcular la distancia focal aplicamos la ecuación del dioptrio con

1s y

2 2s f

2 1 2 1 2

2

2 2 1

n n n n nf R

f R n n

Todos los rayos que pasan por un punto al que vamos a llamar foco

objeto salen paralelos al eje óptico. A ese punto le vamos a llamar

foco objeto F1 y f1 a la distancia focal objeto. Para calcular la

distancia focal aplicamos la ecuación del dioptrio con 2

s y

1 1s f

2 1 2 1 1

1

1 2 1

n n n n nf R

f R n n

La suma de las distancias focales es:

1 2

1 2

2 1 2 1

n nf f R R R

n n n n

El cociente de las distancias focales es:

1 1

2 2

f n

f n

Si la ecuación del dioptrio la dividimos entre el segundo miembro obtenemos una nueva ecuación del dioptrio,

más sencilla:

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 2 1 1 2 1 2 1

n n n n n R n R f f1 1

s s R s (n n ) s (n n ) s s

que es la ecuación de Gauss (¡…!) del dioptrio esférico.

Formación de imágenes en un dioptrio

Los rayos paralelos al eje óptico pasan por el foco 2.

Los rayos que pasan por el centro de curvatura no se

desvían.

Los rayos que pasan por el foco 1 salen paralelos al eje

óptico.

El punto de corte de las tres líneas determina el final de

la imagen que comienza en el eje óptico.

La imagen es real si los rayos se cortan y virtual si se cortan las prolongaciones hacia atrás.

f2

F2

f1

y1

y2

F2

C F1

Óptica


Aumento de un dioptrio

El aumento de un dioptrio es la relación entre los tamaños

de la imagen y del objeto. Si aplicamos la ley de Snell,

tenemos: 1 2n seni n senr y como estamos en la zona

paraxial: seni i tgi y senr r tgr

con lo que 1 2n tg i n tgr ; 1 2

1 2

1 2

y yn n

s s y el aumento del

dioptrio es: 2 1 2

1 2 1

y n sA

y n s

Lentes

Una lente es un medio transparente limitado por dos dioptrios de los que, al menos uno, es esférico. Vamos a

trabajar solo con lentes delgadas; en las que la anchura es despreciable frente al radio de curvatura.

Las lentes son de dos tipos:

Lentes convergentes: son más gruesas en el centro que en los extremos

y pueden ser biconvexa (R1>0 y R2<0) planoconvexa (R1>0 y R2= ) y

menisco convergente (R1>0, R2>0, R2>R1)

Lentes divergentes: son más gruesas en los extremos y pueden ser

biconcava (R1<0 y R2>0) planoconcava (R1= y R2<0) y menisco

divergente (R1>0, R2>0, R1>R2)

Para deducir la fórmula de las lentes sólo hay que tener en cuenta que

se trata de dos dioptrios en el aire:

Dioptrio 1: n1=1; n2=n; R=R1

y al sustituir en la ecuación del dioptrio:

1 1

n 1 n 1

s s R

Dioptrio 2: n1=n; n2=1; R=R2

y al sustituir en la ecuación del dioptrio:

2 2

1 1 1 n

s s R

Si sumamos las dos expresiones, para eliminar s’ tenemos:

2 1 1 2

1 1 1 1(n 1)

s s R R

(3)

Todos los rayos que vienen paralelos al eje óptico se refractan pasando por el foco. La distancia focal de la

lente se calcula a partir de (3) teniendo en cuenta que:

1

2 2 2 1 2

s 1 1 1(n 1)

s f f R R

(4)

Comparando las expresiones (3) y (4) obtenemos la ecuación de las lentes:

2 1 2

1 1 1

s s f

y1

y2

i r

s2 s1

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Aumento de una lente

Tenemos dos triángulos semejantes A1B1O y A2B2O. Definimos el

aumento de una lente como la relación de tamaño entre la

imagen y2 y el objeto y1.

2 2

1 1

y sA

y s

2

P 0 convergente1P

P 0 divergentef

Se define la potencia de una lente como la inversa de su distancia focal expresada en metros. La unidad es la

dioptría que es la potencia de una lente que tiene una distancia focal de 1m.

La potencia de una lente convergente es positiva y la de una divergente es negativa.

Formación de imágenes en las lentes

Para formar imágenes, al igual que en el dioptrio esférico hay que tener en cuenta:

1. Rayo que llega paralelo al eje óptico sale por el foco

2. Rayo que pasa por el centro óptico (centro de la lente) no se desvía

3. La imagen se forma desde el eje óptico hasta el punto de corte de los dos anteriores.

Lentes convergentes.

Dependiendo de la posición del objeto tenemos cinco posibilidades:

Si el objeto está la imagen se forma y la imagen es

antes de 2F entre F y 2F menor, real e invertida

en 2F en 2F igual, real e invertida

entre F y 2F entre 2F y mayor, real e invertida

en F no hay imagen no hay imagen

entre F y la lente entre y F mayor, virtual y derecha

y1

y2

s1 s2

O

A2

A1

B2

B1

F 2F F 2F

F 2F F 2F

F 2F

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Lentes divergentes.

Sólo hay una posibilidad de formación de imagen que siempre es

menor, virtual y derecha, independientemente de donde se encuentre

el objeto.

Espejos

Vamos a considerar un espejo como un dioptrio esférico en el que el índice de refracción n2

es igual y de

sentido contrario al n1. El rayo llega, se refleja y vuelve por el primer medio pero en sentido contrario.

En la ecuación del dioptrio esférico: 2 1 2 1

2 1

n n n n

s s R

si

2 1n n , tenemos:

1 1 1 1

2 1

n n n n

s s R

o bien

2 1

1 1 2

s s R que es la fórmula de los espejos.

¡Cuidado con los signos de los radios!

Los espejos cóncavos tienen radio negativo y los convexos tienen radio positivo.

De la fórmula de los espejos podemos deducir inmediatamente que la distancia focal es la mitad del radio.

Formación de imágenes en los espejos

1. Los rayos paralelos al eje óptico se reflejan pasando por el foco.

2. Los rayos que pasan por el foco se reflejan y salen paralelos al eje óptico.

3. Los rayos que pasan por el centro no se desvían.

Espejos cóncavos. Se pueden dar cinco posibilidades, dependiendo de la posición del objeto.

F

F C

F C

F C

F C

F C

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Espejos convexos

Sólo hay una posibilidad de formación de imagen.

Independientemente de dónde esté el objeto, la imagen siempre

es menor, derecha y virtual.

Aumento de un espejo

Se obtiene a partir del aumento de un dioptrio, sin más que hacer la sustitución 2 1

n n

2 1 2 2

1 2 1 1

y n s sA

y n s s

Instrumentos ópticos

El ojo

El ojo humano es una esfera de unos 25 mm de diámetro. En él se distinguen las siguientes partes:

Esclerótica: membrana blanca, opaca y resistente.

Termina en la córnea por la parte anterior.

Coroides: Recubre la parte interior del ojo excepto la

córnea y tiene por misión mantener la temperatura del

ojo.

Retina: membrana situada en el fondo del ojo llena de

células nerviosas en la que se proyectan las imágenes. En

la retina hay dos tipos de células: conos y bastones. Los

bastones detectan la intensidad de luz y los conos los

colores.

Hay tres tipos de conos en función del color al que son sensibles: rojo, verde y azul. Cualquier color se forma

por combinación de esos tres. Las señales luminosas que llegan a la retina se convierten en impulsos

eléctricos que son enviados por el nervio óptico hasta el cerebro. La mácula es la zona en la que hay mayor

concentración de conos.

Cristalino: Lente biconvexa elástica. Está sujeto al globo ocular por los músculos ciliares que permiten

modificar el radio de curvatura y por tanto la potencia de la lente.

El conjunto pupila/iris selecciona la cantidad de luz que entra en el ojo.

El punto remoto es la distancia máxima a la que está situado un objeto para que se distinga claramente y

punto próximo a la distancia mínima. Un ojo normal tiene el punto próximo a 25 cm y el punto lejano en el

infinito.

C F

Esclerótica

Coroides

Retina

Cristalino

Musc Ciliares

Córnea

Iris

Nervio óptico

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Defectos de la visión

Miopía.

Se debe a un alargamiento del ojo. El punto próximo está más cerca del ojo. Se

ven bien los objetos cercanos pero la imagen de objetos lejanos se forma por

delante de la retina por lo que se ven borrosos. Se corrige con lentes

divergentes.

Hipermetropía.

Es lo contrario de la miopía. El punto próximo se aleja de ojo. Se ven bien los

objetos lejanos pero no los cercanos porque la imagen se forma por detrás de la

retina. Se corrige con lentes convergentes.

Astigmatismo.

La cornea normal tiene forma esférica. Si la córnea tiene forma elipsoidal se produce el astigmatismo y los

rayos paralelos no coinciden en el mismo foco. Se pone de manifiesto porque dificulta la visión clara y

simultánea de dos rectas perpendiculares, de los radios de una bicicleta. Se corrige con lentes cilíndricas.

Presbicia.

También se llama vista cansada y suele aparecer a partir de los 40-45 años. Se debe a la pérdida de

flexibilidad de los músculos ciliares o del cristalino. Consiste en un alejamiento del punto próximo. Los

que lo padecen ven bien de lejos pero mal de cerca, necesitan alejar el texto que van a leer para verlo

con claridad. Este defecto se corrige con lentes convergentes (o bien con cristales bifocales o

progresivos).

Cataratas.

Al aumentar la edad el cristalino pierde transparencia y los objetos se ven borrosos, como si estuvieran

colocados detrás de un velo o de una película acuosa. Suele aparecer a partir de los 60 años y no admite

corrección. Sólo admite cirugía en la que se limpia el cristalino o bien se sustituye por uno sintético.

Daltonismo.

Es un defecto genético de la vista, relacionado con el cromosoma X, que impide

distinguir ciertos colores; generalmente el rojo y el verde (se presenta en el 8%

de los hombres y en el 1% de las mujeres). Menos frecuente es la confusión

entre el azul y el amarillo. Se debe a la deficiencia de conos en la retina.

Se detecta por medio de un test de colores. Aquí tienes una muestra del test de

Ishihara para detectar el daltonismo.

Si no ves los números… ¡preocúpate!

Óptica


La lupa: Microscopio simple

La lupa es un instrumento óptico formado por una lente convergente que

se utiliza para ver un objeto cercano, ampliado y derecho. El objeto se

coloca entre el foco y la lente y la imagen obtenida es virtual. El

aumento máximo de la lupa es 20.

Telescopio

Instrumento óptico diseñado para ver objetos muy

lejanos con un tamaño aparente mayor. Como los

objetos están muy alejados, los rayos que proceden de

él llegan paralelos. Está formado por dos lentes

convergentes: objetivo y ocular, de forma que sus

focos coinciden.

Microscopio compuesto

Instrumento óptico diseñado para ver cuerpos

pequeños, formado por dos lentes convergentes. El

objetivo tiene una distancia focal menor que la del

ocular.

La imagen final, invertida y mayor puede ser hasta

2000 veces el tamaño del objeto.

F

FOb FOb

FOc

OBJETIVO OCULAR

FOc

FOb FOb

FOc

OBJETIVO OCULAR

FOc

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Espectro electromagnético

El espectro electromagnético es el conjunto de todas las posibles radiaciones electromagnéticas ordenadas

por frecuencia o por longitud de onda. La frecuencia y la longitud de onda son inversas.

Ondas de radio

Comprenden las ondas de radio, FM, televisión, GPS y GSM.

Microondas

Se utilizan para calentar cuerpos que contienen agua (microondas doméstico) y en comunicaciones

dada su facilidad para atravesar la atmósfera (WiFi y Bluetooth).

Infrarrojo

Se utilizan en aparatos de visión nocturna, mandos a distancia de electrodomésticos y conexiones sin

cables entre periféricos de ordenador.

Visible

Conjunto de radiaciones que detecta el ojo humano. Las longitudes de onda van desde 380 nm

(violeta) hasta 780 nm (rojo).

Ultravioleta

Se trata de una radiación con mucha energía, es capaz de romper enlaces en moléculas. La mayor

parte de la radiación UV emitida por el Sol es absorbida por la capa de ozono.

Radiación X

Atraviesa la mayor parte de las sustancias por lo que son útiles en medicina y en cristalografía para

determinar la posición de los átomos en las estructuras cristalinas.

Radiación

Se genera en reacciones nucleares y es muy peligrosa para las células por lo que se utilizan, junto con

rayos X de alta energía, en el tratamiento de algunas lesiones cancerígenas (radioterapia).

102

Frecuencia

104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018 1020 1022 1024

V UV IR Micro

ondas Ondas de radio

UHF VHF SW MW LW

380nm 780nm

Energía

Radiaciones ionizantes Radiaciones no ionizantes

Rayos y cósmicos Rayos X

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Teoría corpuscular (Newton 1704)

La luz está formada por partículas (corpúsculos) que son lanzados a gran velocidad por los cuerpos emisores

de luz y que se mueven en línea recta. Estas partículas tienen un tamaño muy pequeño y se mueven sin

rozamiento. Cuando la luz choca contra un obstáculo las partículas no pueden atravesarlo y se producen

sombras. Relaciona la intensidad luminosa con el número de corpúsculos emitidos.

Explica la reflexión como un choque entre una partícula pequeña con una superficie

de gran masa: la velocidad en vertical se invierte pero se mantiene en horizontal,

con lo que los ángulos de incidencia y de refracción son iguales.

No explica correctamente la refracción. La velocidad en horizontal se mantiene

pero aumenta en vertical (las partículas son atraídas por el medio) con lo que la

velocidad de propagación en un medio con mayor índice de refracción es superior a

la del vacío.

Teoría ondulatoria (Huygens 1690)

La masa de los cuerpos emisores de luz no cambia por lo que no se pueden emitir partículas sin un descenso

de masa. La luz es una perturbación ondulatoria, similar al sonido, que se propaga por el medio. Como en esa

época solo se conocían las ondas mecánicas y necesitan un medio material para propagarse, se inventa un

medio de elasticidad perfecta, llamado éter, en el que se propaga la luz. La teoría fue abandonada, debido al

mayor prestigio de Newton, hasta que en 1800 Young observó la difracción de la luz y se pudo medir la

velocidad de propagación de la luz en distintos medios.

Teoría electromagnética (Maxwell 1865)

Supone que la luz es una onda electromagnética de alta frecuencia. Una onda

electromagnética es una perturbación simultánea de un campo eléctrico y

uno magnético, perpendiculares entre sí, que no necesita un medio material

para propagarse. La velocidad de propagación de estas ondas en un medio es

8 11v 3·10 ms

Difracción

Es una consecuencia del principio de Huygens: un punto alcanzado por una onda se

convierte en emisor secundario de ondas. Las ondas luminosas cuando pasan a través de una

rendija o por el borde de un objeto se flexionan y alcanzan puntos que no están en línea

recta con el emisor de la onda. Para que se produzca difracción el tamaño de la rendija o

del objeto tiene que ser de un tamaño similar a la longitud de la onda que incide.

N

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Engineering