Mecnica de Materiales

Transformacin de EsfuerzosDepartamento de Ingeniera Civil y Ambiental

Profesor: Juan F. Correal Daza, Ph.D., P.E. Ph.D.,

Concepto de esfuerzo en el planoViga de Concreto sin Refuerzo Longitudinal g

Viga de Concreto con Refuerzo Longitudinal y sin Refuerzo Transversal

Concepto de esfuerzo en el planoZ ZX XZ XY YX XEstado General de Esfuerzos

ZY

YZ

Y Y Y XY X X XY YX

Esfuerzo Plano

Esfuerzo Plano (vista en 2D)

Concepto de esfuerzo en el planoY

Y XY X X Y Y X X

Y

X

Ecuaciones generales de la transformacin de esfuerzo planoConvencin de signos positivosY

+Y +XY +XY

Y

Y

XX

X Esfuerzo normal + acta hacia Ef l h i afuera sobre todas las caras. Esfuerzo cortante + acta hacia arriba sobre la cara derecha del elemento. Angulo + se mide desde el eje x positivo en direccin contraria a las manecillas del reloj (regla de mano derecha).

X

Ecuaciones generales de la transformacin de esfuerzo planoY

Y XY

Y

Y X A A sen

X A cos

X

X

Ecuaciones generales de la transformacin de esfuerzo planoY Y X A cos A A sen + + FX=0: Fy=0: X = X x A cos xy A sen yA sen Y xy A X x A X

xy A cos

X+Y - cos2 sen2 + X Y cos2 + xysen2 (1) 2 2 - (2) sen2 cos2 XY= X Y sen2 + xycos2 2 reemplazando = +90 en (1)

Y =

X+Y - cos2 sen2 X Y cos2 xysen2 2 2

Esfuerzo plano- Ejemplo planoLos esfuerzos en un punto B de una viga de acero son mostrados en la figura. Determine el esfuerzo en dicho punto a un ngulo orientado a 41 fi D i l f di h l i d 41 con respecto a la horizontal y medido en contra de las manecillas del reloj. Muestre el estado de esfuerzos planos en un diagrama. j p g

Elevacin

Seccin

Esfuerzo plano- Ejemplo plano-

Esfuerzo plano- Ejemplo planoUna placa rectangular de 3.0 pulg. x 5.0 pulg. esta formada por dos placas pulg. pulg. triangulares unidas por una soldadura La placa est sometida a un soldadura. esfuerzo de tensin y de compresin como se muestra en la figura. Encuentre el esfuerzo normal y de cortante en la soldadura.

Esfuerzo plano- Ejemplo plano-

Esfuerzos actuando en la soldadura:

Esfuerzo Principales Axiales y Mximo de CorteComo puedo encontrar el plano que me produce los esfuerzos normales mximos o mnimos? l i i ?X+Y - X = cos2 sen2 + X Y cos2 + xysen2 2 2 dX d X-Y 2sen2 2sen2 + 2xycos2 = 0 cos2 = 2 (1)

Resolviendo para : Tan2 Tan2p = xy (X-Y) /2 Dos posibles soluciones p1 y p2 y difieren en 90 90

Y

Esfuerzo Principales Axiales y Mximo de CorteXY XY

p2 = p1+90 +90

2

1

X

p1X

=

Al reemplazar p1 y p2 en Eq. (1): 1,2 = X+Y 2 ( X2Y )2

+ xy2

Si se reemplaza p1 y p2 en Eq. (2): xy = 0

Esfuerzos normal mximo y mnimo se define como: esfuerzos principales en el plano y los planos donde actan se denominan planos principales

En planos principales no acta el esfuerzo cortante

Esfuerzo Principales Axiales y Mximo de CorteComo puedo encontrar el plano que me produce el esfuerzo cortante mximo? t t i ?X-Y sen2 sen2 + xycos2 cos2 X Y = XY 2 dXY XY d =0 y resolviendo para : (X-Y) /2 xy Dos posibles soluciones s1 y s2 y difieren 90 entre si y 45 entre los 45 planos principales (2) ( )

Tan2s = Tan2 T 2 2

Los planos del esfuerzo cortante mximo se pueden encontrar orientando a un elemento a 45 con respecto a la posicin de un elemento que defina los planos del esfuerzo principal l t d fi l l d l f i i l

Al reemplazar s1 y s2 en Eq. (2): max en plano =

Esfuerzo Principales Axiales y Mximo de Corte )2

(

X-Y 2

+ xy2

Esfuerzo cortante mximo en el plano xy

S Si se reemplaza s1 y s2 en Eq. (1): ee p e q. ( ): prom= X+Y 2 Esfuerzo normal sobre el plano de mximo cortante p

2

Y

max

prom 1

prom

X

45 45X

=

Esfuerzo Principales Axiales y Mximo de Corte- Ejemplos CorteUn muro de cortante en un edificio de concreto reforzado es sometido a una carga vertical (muerta y viva) uniforme de intensidad tid ti l ( t i ) if d i t id d q, y a una carga horizontal puntual H (sismo o viento). El esfuerzo debido a estas cargas en el p g punto A es mostrado en la figura. g a) Determine los esfuerzos principales y muestre un diagrama de dichos esfuerzos con su respectiva orientacin. b) D t Determine el esfuerzo cortante mximo y l esfuerzos normales i l f t t i los f l asociados y mustrelos en un diagrama de un elemento orientado apropiadamente. p p

Esfuerzo Principales Axiales y Mximo de Corte- Ejemplos Cortea) Esfuerzos principales:

Luego:

Esfuerzo Principales Axiales y Mximo de Corte- Ejemplos Corteb) Esfuerzo cortante mximo:

Circulo de Mohr para Esfuerzo PlanoX+Y - cos2 sen2 + X Y cos2 + xysen2 (1) (1) 2 2 X-Y (2) ( ) sen2 sen2 + xycos2 cos2 X Y = XY 2 X = La ecuacin (1) se puede expresar como: X X+Y - cos2 sen2 = X Y cos2 + xysen2 (1) 2 2 Y xy x xy y X x X

Para eliminar el parmetro , se eleva al cuadrado cada ecuacin (1) y (2) y sumando las ecuaciones:

[

X X

(

X+Y 2

)]

2

+ 2xy =

(

X-Y 2

)

2

+ 2xy

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano [X -

(

X+Y 2

)]

2

+ 2xy =

(

X-Y 2

)

2

+ 2xy

Ya que x, y y xy son co s so constantes co oc d s, la ecuacin anterior se puede es conocidas, ecu c e o escribir como: (X - prom) 2 + 2xy = R2 donde: X+Y prom= 2 R=

(

X-Y 2

)

2

+ xy2

O

C R prom

Circulo de Mohr para Esfuerzo PlanoPasos para la construccin del circulo de Mohr: Dados x, y y xy: 1. Dibuje un eje de coordenadas con como abscisa (positivo hacia la derecha) y como ordenada (positivo hacia abajo) 2. Localice el centro C del circulo en el punto con coordenadas (prom, 0) ( 3. Localizar el punto A (representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara A del elemento) con coordenadas (X,XY) ( 4. Localizar el punto B (representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara B del di i d f b l d l elemento) se localiza diametral con respecto a A (Y,-XY) ( 5. Con C como centro, trace el circulo de Mohr por los puntos A y B. Y

Y90 90

XY

B XX

Y XY O B 180 180 C R prom X A

A

XY

2 en Mohr es elemento

Circulo de Mohr para Esfuerzo PlanoPasos para encontrar los esfuerzos en un plano inclinado : Una vez construido el circulo de Mohr con x, y y xy: 1. Medimos un ngulo 2 (sentido 2 antihorario) desde CA. El ngulo 2 localiza 2 el punto D. 2. El punto D se localiza a un angulo de 180 grados desde CD. CD Los esfuerzos en un plano inclinado definido por el ngulo en el elemento, se encuentran elemento en un punto sobre el circulo, en donde el ngulo desde el punto de referencia es 2. 2 Y D O XY B C 2 prom X A D

Y

D XY

X

D

XY

Circulo de Mohr para Esfuerzo PlanoPasos para los esfuerzos principales: Una vez construido el circulo de Mohr con x, y y xy: 1. El esfuerzo principal 1 es el punto en el circulo en donde esfuerzo normal alcanza su valor algebraico mximo y el cortante es 0. El plano principal est a un ngulo 2p1 desde el 2 p punto de referencia A. 2. El otro plano principal, asociado con el esfuerzo normal menor en trminos algebraicos, 2, esta representado por el l b i d l punto P2, diametralmente opuesto al P1. 1= OC+CP1= OC CP R= X+Y +R 2 cos2 cos2p1 = X-Y 2R = XY sen2 sen2p1 R 2 P2 1

P1

2 P2

B C P1 2p1 prom 1 A

O

(

X-Y 2

)

2

+

xy2

Circulo de Mohr para Esfuerzo PlanoPasos para el esfuerzo cortante mximo: Una vez construido el circulo de Mohr con x, y y xy: 1. Los puntos S1 y S2 representan los planos de esfuerzos cortantes mximo positivo y negativo y se localizan en la parte inferior y superior del circulo, respectivamente. Los planos de esfuerzo cortante mximo estn a 2=90 de los planos principales en el 2=90 circulo Mohr circ lo de Mohr, es decir a 45 en elemento 45 elemento. max= R R= max O B S2 C 2 prom S1 A max prom max

prom

(

X-Y 2

)

2

+

xy2

X+Y prom= 2

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano- Ejemplo PlanoUn elemento es sometido a un esfuerzo uniaxial de tensin con x = 55 MP como se ve en l fi MPa, la figura. Usando el circulo de Mohr, determine: a) El esfuerzo que acta en un elemento orientado a un ngulo = -30 30 (sentido horario) b) El mximo esfuerzo de cortante y su esfuerzo normal asociado. asociado Muestre los esfuerzos respectivos sobre un diagrama de un elemento orientado apropiadamente.

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano- Ejemplo PlanoEsfuerzo Uniaxial:

a) Elemento a = -30: 30 Punto C:

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano- Ejemplo Planob) Mximo esfuerzo cortante:

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano- Ejemplo PlanoUn elemento es sometido a un esfuerzo biaxial como se ve en la figura. Usando l i l d M h d t U d el circulo de Mohr, determine: i a) El esfuerzo que acta en un elemento orientado a un ngulo = 22.5 22.5 ( (sentido antihorario). ) b) El mximo esfuerzo de cortante y su esfuerzo normal asociado. Muestre los esfuerzos en un diagrama de un elemento orientado apropiadamente. apropiadamente

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano- Ejemplo PlanoEsfuerzo biaxial: a) Elemento a = 22.5: 22.5

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano- Ejemplo Planob) Mximo esfuerzo cortante:

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano- Ejemplo PlanoUn elemento es sometido a un esfuerzo plano como se ve en la figura. Usando l i l d M h d t U d el circulo de Mohr, determine: i a) Los esfuerzos principales. b) El mximo esfuerzo de cortante y su esfuerzo normal asociado. ) Muestre los esfuerzos en un diagrama orientado apropiadamente.Datos:

Sistema de Convenciones (+)

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano- Ejemplo Planoa) Esfuerzos principales

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano- Ejemplo Planob) Mximo esfuerzo cortante:

Circulo de Mohr Esfuerzo TriaxialZ ZX XZ XY YX XEstado General de Esfuerzos

3 ZY YZ

Y 1Esfuerzos Triaxiales

2

1, 2, 3 = E f Esfuerzos Principales Pi i l

Circulo de Mohr Esfuerzo Triaxialy 3 x z 1 2 2 1 3(max)z= De modo similar se pueden obtener los esfuerzos mximos de corte: (max)x= 1-3 2 (max)y= 1-2 2 2-3 2

Circulo de Mohr Esfuerzo Triaxial

A O 3 2 prom= 1+3 2 C B

(max)z= ) (max)y= (max)x=

2- 3 2 1-2 2 1- 3 2

1

Cortante Mximo Absoluto Circulo con mayor radio

Circulo de Mohr Esfuerzo Triaxial-Ejemplo TriaxialUn cubo de hierro fundido se prueba en el laboratorio sometindolo a esfuerzo triaxial. Los esfuerzos normales que actan en cada cara son 1=-2100 psi 2 =-2100 psi y 3 =-4200 psi. Encuentre los esfuerzos mximos de corte en cada cara y dibuje los crculos de Mohr respectivos.

Circulo de Mohr Esfuerzo Triaxial-Ejemplo Triaxial-

A

O 1 , 2 3

Circulo de Mohr Esfuerzo Triaxial-Ejemplo TriaxialDebido a la carga aplicada, el elemento en el punto indicado en la figura est sometido al estado de esfuerzo plano que se muestra. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo absoluto en el punto. punto P1 P220 lb/pulg2

40 lb/pulg2

Circulo de Mohr Esfuerzo Triaxial-Ejemplo TriaxialEsfuerzos principales: A 40 C 10 20 max= 41.2-10 = 31.2 psi 41.2min= -10 - 41.2 = -51.2 psi Tan = R= 40 (20-10) 202p O R= C x+ y = (-20+0)/2 2 prom= -10 psi prom=

( (

X-Y 2 -20-0 202

) )

2

+ xy2 + 402 = 41.2 psi

2

= 38 38

180 = -2p p = -52 52

Circulo de Mohr Esfuerzo Triaxial-Ejemplo TriaxialEsfuerzo cortante mximo absoluto: 1= 31.2 psi 2= 0 - (max)abs= 1 3 = 41.2 psi 2 2s= 76+90=166 76+90=166 s= 83 83 2s 1+3 prom= 2 A = 10 psi 3= -51.2 psi

2

C

(max)abs 3

1

Concepto de Deformacin Unitaria Planay dx x dx y y dy dy x Deformacin unitaria normal en x, x y xy/2 x Deformacin unitaria normal en y, y

xy/2 x Deformacin unitaria cortante xy

Concepto de Deformacin Unitaria PlanaConvencin de signos positivosy Deformaciones unitarias normales x y y son + si causan alargamiento a lo largo de los j i ejes respectivos Deformacin unitaria de cortante es + si el ngulo interno que se distorsiona es menor a 90 90 +yd dy dy d + xy/2

dx

+xdx

x

Esta convencin de signos es consecuente con la de esfuerzos planos

Circulo de Mohr para Deformacin Planay

Pasos para construccin del circulo de Mohr: Dados x, y y xy: 1. Dibuje un eje de coordenadas con como abscisa (positivo hacia la derecha) y /2 como ordenada (positivo hacia abajo) 2. Localice el centro C del circulo en el punto con coordenadas (prom, 0) ( 3. Localizar el punto A (representa las condiciones de deformacin sobre la cara A del elemento) con coordenadas (X,XY/2) ( 4. Localizar el punto B (representa las condiciones de deformacin sobre la cara B di i d d f i b l del elemento) se localiza diametral con respecto a A (Y,-XY/2) ( 5. Con C como centro, trace el circulo de Mohr por los puntos A y B. /2

Bxy/2

ydy dy

Ax

Y B XY/2 O C

dx

xdx

180 180 R XY/2 A

prom X

2 en Mohr es elemento

Circulo de Mohr para Esfuerzo PlanoPlanoEjemploUn elemento de material sometido a deformacin plana (vea la figura) tiene las i i t d f l siguientes deformaciones unitarias: x = 220 X 10-6, i it i y = 480 X 10-6 y xy = 180 x 10-6. Calcule las deformaciones unitarias 1010p para un elemento orientado a un ngulo = 50 y muestre sus g 50 deformaciones unitarias sobre un croquis de un elemento orientado apropiadamente.

Circulo de Mohr para Esfuerzo PlanoPlanoEjemplo

Circulo de Mohr para Esfuerzo PlanoPlanoEjemplo