transformacion conforme

Variable ComplejaTransformaciones conformes.

Mara Eugenia Torres

Universidad Nacional de Entre Ros

Facultad de Ingeniera

Matematica III

Carrera de Bioingeniera

Octubre 2008

Transformacion conforme 1

Alcance y objetivos

En estas notas tratamos de complementar con un analisis mas detallado ciertos con-tenidos de la seccion de transformaciones conformes desarrollada en el libro de texto. Esdecir, esto no lo sustituye en modo alguno y varios temas, teoremas y propiedades no hansido abordados nuevamente aqu. No obstante, en la seccion .6 (pag. 17) encontrara unresumen de resultados.

Si encuentra errores de tipeo o de alguna otra ndole, le agradeceremos nos lo haga saberpara ir mejorando para ediciones posteriores, enviando un e-mail [email protected]. Desde ya, muchas gracias.

Contenidos

.1. Sobre el buen uso del idioma espanol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

.2. Transformaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Usos de las transformaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

.3. Ejemplos de introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Transformaciones lineales y afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Solucion de la seccion .3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3. Transformaciones del tipo w = z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.4. Transformaciones del tipo w = 1/z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.5. Transformado por 1/z del cuadrado unitario . . . . . . . . . . . . . . 13

.4. Ejercicios propuestos con la transformada w = 1/z . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1. Formas alternativas de representar un crculo en el plano complejo . . 16

.5. La transformacion fraccionaria lineal o de Mobius . . . . . . . . . . . . . . . 17

.6. Transformacion Conforme - Revision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

.7. Problemas para pensar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

.1. Sobre el buen uso del idioma espanol.

En textos de matematica escritos en ingles es frecuente encontrar las palabras map,mapping, transform, transformation. En consecuencia, en los textos traducidos encontramosmapa, mapeo, transformada, transformacion. Sin embargo, en muchos de los casos su uso encastellano es erroneo y un anglicismo1.

La palabra inglesa mapping puede referir a numerosas areas cientficas, entre ellas car-tografa, lingustica (usado como metafora o analoga), genetica (Gene mapping, the as-signment of DNA fragments to chromosomes), en informatica (Data mapping, Memory-mapped I/O o Texture mapping), en neurociencia (Brain mapping). En Matematica lapalabra Map (o mapping) se usa (siempre en ingles) como sinonimo de function (funcion)o -en logica formal - como el predicado de un funcional(un smbolo logico que puede apli-carse a un termino objeto para producir otro termino objeto). El uso de la palabra mapping

1Conforme a la Real Academia Espanola (2). Anglicismo. (1). m. Giro o modo de hablar propio de lalengua inglesa. (2). m. Vocablo o giro de esta lengua empleado en otra. (3). m. Empleo de vocablos o girosingleses en distintos idiomas.

Matematica III - 2008


sugiere que se trata de un termino mas generico. En el contexto de la geometra el terminofunction se refiere a un mapping cuyo proposito es asignar valores a los elementos deldominio. En otras palabras, una funcion define un conjunto de valores (de aqu que paradefinir una funcion se necesita una terna (f, A,B)). Por el contrario, mapping tiene unaconnotacion mas geometrica, como cuando se habla de a mapping of one space to another(una transformacion de un espacio en otro).

Usada en castellano (2) las palabras mapa y mapear poseen las siguiente acepciones:

mapa. (Del b. lat. mappa, toalla, plano de una finca rustica).1. m. Representacion geografica de la Tierra o parte de ella en una superficie plana.2. m. Representacion geografica de una parte de la superficie terrestre, en la que seda informacion relativa a una ciencia determinada. Mapa lingustico, topografico, de-mografico.3. f. coloq. p. us. Lo que sobresale en un genero, habilidad o produccion. La ciudad deToro es la mapa de las frutas.

mapear.(De mapa).1. tr. Biol. Localizar y representar graficamente la distribucion relativa de las partesde un todo; como los genes en los cromosomas.2. tr. cult. Chile. Hacer mapas.3. tr. cult. Chile. Trasladar a un mapa sistemas o estructuras conceptuales.

Desde el punto de vista de la matematica, un mapa es un elemento matematico utilizadoen la llamada geometra diferencial, descripto como una porcion de la variedad analogaa un espacio vectorial; los cambios de mapa indican como estas porciones de variedades seacoplan entre s. Una variedad es el objeto geometrico estandar en matematica, que generalizala nocion intuitiva de curva (1-variedad) o superficie (2-variedad) a cualquier dimension ysobre cuerpos2 variados (no forzosamente el de los reales). Este tipo de teora matematica seutiliza cuando se trabaja por ejemplo en control no lineal o en ciertas areas de mecanica delos fluidos.

La palabra transformacion (transformation en ingles) en su version mas simple com-prende una variedad de diferentes funciones de la geometra, tales como rotaciones, reflexionesy traslaciones. Estas pueden aplicarse en el espacio Eucldeo. Tambien es utilizada para de-nominar operaciones en el contexto del algebra lineal, y que utilizan explcitamente teorade matrices. En este contexto, se conocen las transformaciones lineales. Sin embargo no selimita a esto. El termino transformacion, algunas veces expresado como transformada, puedehacer referencia a los siguientes elementos, entre muchos otros:

Transformada de Fourier, Transformada de Fourier discreta y Transformada rapida deFourier

2Un cuerpo es una estructura del algebra abstracta en la cual las operaciones de adicion y multipli-cacion se pueden realizar y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, ademas de laexistencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo, los cuales permiten efectuar la operacionesde substraccion y division (excepto la division por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmeticade numeros ordinarios.Los cuerpos son objetos importantes de estudio en algebra puesto que proporcionan la generalizacion apropi-ada de dominios de numeros tales como los conjuntos de numeros racionales, de los numeros reales, o de losnumeros complejos.



Transformada de coseno discreta y Transformada de coseno discreta modificada

Transformada de Hilbert

Transformada de Laplace

Transformada Z

Transformadas wavelet

Transformacion bilineal

Transformacion lineal

Transformacion polinomica

e incluso puede ser utilizada como sinonimo de funcion.Por lo anterior, en el contexto de este curso, no hablaremos de mapasconformes, ni

de mapeos conformes y nos limitaremos a referirnos a transformaciones conformes o atransformaciones bilineales, por ser la denominacion correcta en el uso del idioma espanolen el area de la matematica en que estamos trabajando.

.2. Transformaciones conformes

En matematica, una transformacion conforme es una funcion que preserva angulos.Mas formalmente, una transformacion

w = f(z)

se dice conforme (o que preserva angulos) en z0 si preserva:

1. la magnitud y

2. la orientacion (es decir la direccion)

de los angulos entre dos curvas que pasen por z0. Las transformaciones conformes preservantanto los angulos como las formas de figuras infinitesimalmente pequenas, pero no necesa-riamente su tamano.

.2.1. Usos de las transformaciones conformes

Si una funcion es armonica - es decir si satisface la ecuacion de Laplace (2f = 0 )-en cierto espacio particular, y es transformada por medio de una transformacion conformeen otro espacio, la funcion transformada tambien es armonica. Por esta razon, cualquierfuncion que este definida por medio de un potencial puede ser transformada por medio deuna transformacion conforme y aun seguir siendo gobernada por un potencial. En fsicaexisten multiples ejemplos de tales funciones, entre ellas los campos electromagneticos, loscampos gravitacionales, y en dinamica de los fluidos, los flujos potenciales, que son una



aproximacion de los flujos de fluidos suponiendo densidad constante, viscosidad nula y flujoirrotacional.

La importancia de las transformaciones conformes para el estudio de los campos electro-magneticos fue puesta de manifiesto en 1910 por Harry Bateman (1).

Las transformaciones conformes son de gran utilidad para resolver problemas de la inge-niera o la fsica que pueden ser expresados en terminos de funciones de variable compleja,pero que presentan severas dificultades en su geometra. Escogiendo una transformacionadecuada, el problema puede simplificarse transformando la region en la que se plantea elproblema en otra de geometra mas accesible. Por ejemplo, si se desea calcular el campoelectrico E(z) proveniente de un punto de carga, ubicado cerca de una esquina de dos planosconductores separados por cierto angulo (donde z es la coordenada compleja de un puntoen el espacio bidimensional), utilizando una transformacion conforme muy simple el anguloes transformado (mapeado) en uno de pi radianes, haciendo que el angulo entre los planosse transforme ahora en una lnea recta (formada por las dos semirrectas opuestas). En estenuevo domino, el problema es de muy facil resolucion.

.3. Ejemplos de introduccion

.3.1. Transformaciones lineales y afines

En los cursos de calculo acostumbramos pensar a las funciones de R en R graficadas enRR o R2. Sin embargo, esto no es de ayuda cuando trabajamos con funciones en el campocomplejo C, dado que en este caso, el grafico esta en CC, y por lo tanto en un espacio dedimension cuatro.

Pensemos en una simple funcion lineal, e imaginemos que queremos transformar puntosaleatorios ubicados dentro del cuadrado:

R = {x+ iy C : 1 x 1,1 y 1}.Que pasa con el cuadrado R si multiplica z = x + iy R por un numero real a?,digamos a = 2.

Y si ahora le suma un numero real b?. (suponga b = 4).Grafique ambas situaciones, pero antes de hacerlo trate de imaginarse que obtendra,ganando as cierta intuicion.

Ahora analice que sucede si a es un numero imaginario puro (suponga a = 2i). Calculeen que se transforma z = x+ iy, bajo la transformacion T (z) = a.z con a = 2i.

Que sucede si b es un imaginario puro?. Suponga T (z) = z + b con b = 4i.En cada uno de los puntos anteriores grafique el transformado de la region R. Analice comose transformaron cada uno de los lados de R. Describa geometricamente el efecto de dichatransformacion.

Que tipo de transformaciones son?.Matematica III - 2008


Efectivamente, son del tipo:

f : R C Cupslopef(z) = a z + b , con a, b C.Ahora bien, suponga que:

a = 0,25 + i 0,7 y b = 0. Sigue siendo una transformacion lineal, pero que pasa con laimagen de R en este caso?. Grafique nuevamente. Como ha actuado esta transformacionsobre el eje y?.

Haga ahora a = 0,1 + i 0,7 y b = 0,1 i 0,5. Grafique nuevamente.En el campo complejo, las funciones de la forma f(z) = z para algun valor constante

de , se denominan Transformaciones Lineales de C en C. Las funciones de la formaf(z) = 1z + 2 para 1 y 2 constantes, se denominan Transformaciones afines. En lostextos clasicosde ingeniera, aun se denomina a estas ultimas como lineales. La distincionentre ambas es importante en ingeniera. La adicion de un vector constante a todo vectordel plano es equivalente a realizar una traslacion. En ingeniera esto es un corrimiento (shift,en ingles). Entonces, en el campo complejo, una transformacion afn es una transformacionlineal con un corrimiento.

Los terminos funcion, transformacionson equivalentes. Aunque en ingles se usa tam-bien map, y mapping, como equivalentes, no existen tales expresiones matematicas encastellano. Sin embargo es frecuente en las traducciones mejicanas encontrar que se habla demapeos o mapas. Esto constituye un anglicismo.

.3.2. Solucion de la seccion .3

En la figura 1 se presentan las graficas correspondientes a los ejercicios propuestos en laseccion .3. En (a) se observa que la transformacion afn f(z) = az + b, con a = 2+ 0i, b = 0produce una dilatacion3 tanto en la parte real como en la parte imaginaria de los puntosdel cuadrado R. En (b) se puede apreciar que f(z) = az + b, con a = 1 + 0i, b = 2 + i0produjo solo una traslacion de R. Por su parte, la transformacion d) f(z) = az + b, cona = 1 + 0i, b = 2i, tambien produjo una traslacion de R pero ahora en el sentido del ejeimaginario. Por ultimo, en (d) observamos que f(z) = az + b, con a = i, b = 0, produjo unarotacion de 90o del rectangulo; esto puede apreciarse, por ejemplo, al mirar como han sidotransformados los lados de R.

Observar que para transformar la region es necesario:

1. Calcular en forma explcita la parte real y la parte imaginaria de f(z). En este caso

w = f(z)= az + b= (a1 + ia2)(x+ iy) + (b1 + ib2)= (a1 x a2y + b1) + i(a2 x+ a1 y + b2)

Entoncesu+ iv = (a1 x a2y + b1) + i(a2 x+ a1 y + b2) C

3En ingles stretched, stretching.Matematica III - 2008


5 0 55

0

5

x

y

z = x + i y

(a) Plano complejo z

5 0 55

0

5

u

v

w = u + i v = f(z)

(b) f(z) = az + b, con a = 2, b = 0.

5 0 55

0

5

u v

w = u + i v = f(z)

(c) f(z) = az + b, con a = 1, b = 2.

Figura 1: En (a) se muestra la region R y algunos puntos interiores. En (b)-(c) se muestra laimagen de la region R bajo la transformacion afn w = f(z) = az+ b, para diferentes valoresde a C y b C

y resulta

Re(f) = u = a1 x a2y + b1 RIm(f) = v = a2 x+ a1 y + b2 R (1)

2. Calcular el transformado de cada uno de los lados del cuadrado, los cuales deberanestar adecuadamente parametrizados para poder recorrer la curva en cierto sentido,haciendo x = x(t) y y = y(t):

L1 (color cian), tiene por ecuaciones en el plano Cz:{Re(z) = x con 1 < x < 1Im(Z) = 1.

En este caso hacemos en la ec. (1) x = t (el parametro que vara de -1 y 1) ey = 1, resultando {

u = a1 t+ a2 + b1

v = a2 t a1 + b2para t (1, 1).



5 0 55

0

5

u

v

w = u + i v = f(z)

(d) f(z) = az + b, con a = 1, b = 2i.

5 0 55

0

5

u

v

w = u + i v = f(z)

(e) f(z) = az + b, con a = i, b = 0.

Figura 2: En (d)-(e) se muestra la imagen de la region R de la figura 1 bajo la transformacionafn w = f(z) = az + b, para otros valores de a C y b C

Graficamos u+ iv para valores de t (1, 1) en el plano Cw.L2 (color azul en fig. 1.(a)), tiene por ecuaciones en el plano Cz:{

Re(z) = 1Im(Z) = y con 1 < y < 1

Reemplazando en la ec. (1) por x = 1 e y = t (el parametro que vara de -1 y 1),resulta {

Re(f) = u = a1 a2t+ b1Im(f) = v = a2 + a1 t+ b2

para t (1, 1).

L3 (color rojo en fig. 1.(a)), tiene por ecuaciones en el plano Cz:{Re(z) = x con 1 < x < 1Im(Z) = 1

En este caso debemos tener en cuenta que si nos interesa seguir recorriendo elborde del cuadrado en sentido anti-horario, tal como venamos, ahora x debera irdesde 1 hacia -1, entonces deberemos reemplazar en la ec. (1) por x = t e y = 1.El parametro t seguira variando de -1 y 1 y el sentido anti-horario lo sustentax = t. De este modo se obtienen las ecuaciones parametricas de la imagen porla transformacion w = f(z) del segmento L3.

De forma analoga a la anterior se procede con el segmento L4 (color magenta enla fig. 1.(a)).

Para el ejemplo siguiente de la seccion .3.1, tenemos a = 0,25 + i 0,7 y b = 0 en la figura3. Se observa que la region se ha encogido4 por un factor menor que uno y ha sido rotadaen sentido anti-horario. Si concentramos nuestra atencion en el segmento real [1, 1] de Cz,

4En ingles shrinkMatematica III - 2008


5 0 55

0

5

x

y

z = x + i y

(a) Region R Cz.

5 0 55

0

5

u

v

w = u + i v = f(z)

(b) f(z) = az + b Cw.Figura 3: En (a) se muestra la region R y algunos puntos interiores. En (b) se muestra laimagen de la region R bajo la transformacion afn w = f(z) = az+b, para a = 0,25+i 0,7 Cy b = 0 C

5 0 55

0

5

x

y

z = x + i y

(a) Region R Cz.

5 0 55

0

5

u

v

w = u + i v = f(z)

(b) f(z) = az + b CwFigura 4: En (a) se muestra la region R y algunos puntos interiores. En (b) se muestra laimagen de la region R bajo la transformacion afn w = f(z) = az+b, con a = 0,25+i 0,7 Cy b = 0,1 0,5 i C.

observamos que su longitud ha sido encogida a la de un segmento (cual? ) de longitud1.4866 en el espacio transformado Cw. Habitualmente no pensamos que una transformacionlineal (de la forma T (z) = A.z) tenga la capacidad de encogerel eje real.Si ahora le sumamos una constante compleja lo que se produce es un corrimiento5, comopodemos apreciar en la figura 4. Por lo tanto una transformacion afn es un corrimientode una transformacion lineal. En geometra real se suele denominar traslacion al corrimien-to. Pensando en un futuro contexto de procesamiento de senales, es preferible la segundadenominacion. Tanto la palabra encoger como corrimiento son usuales en ese caso.

5En inglesshift



.3.3. Transformaciones del tipo w = z2

Analicemos ahora la transformacion

f(z) = az2, para a, z C.

Para el mismo cuadrado R de la seccion anterior, calcule y grafique su transformado, con-siderando los siguientes casos:

a = 1

a = 0,25 + i 0,7

Discuta como se transforman los puntos interiores del cuadrado. Que esperara que ocurracon los puntos del exterior del cuadrado?.

Considere ahora un sector circular

S ={z = ei, 0 < < 1, para 0 = pi/3, 1 = 2pi/3, 0 < < 1

}, (2)

y transformelo bajo w = z2.Tras haber realizado esta transformacion, resuelva los siguientes ejercicios.

Ejercicio .1 Puede inferir que le pasara al sector si en lugar de tener un radio entre ceroy uno, este pudiera llegar a 2?. Y si solo pudiera llegar hasta 0.25?.

Ejercicio .2 Puede inferir que ocurre con el eje x (el eje real) bajo la misma transforma-cion?, con el eje y?, con una recta paralela al eje x?. Con una paralela al eje y ?, Conuna franja horizontal?, con una franja vertical?. Con un sector anular?.

Al igual que cuando se trabajaba con funciones reales, en el campo complejo es importantedesarrollar cierta intuicion de lo que una funcion simple puede hacer. Para ello se necesitatambien cierta experiencia y esta se desarrolla con la practica. Una ayuda importante es elanalisis de como se transforman lneas rectas, ciertas curvas y regiones sencillas.

Ejercicio .3 Cual es la imagen bajo la transformacion f(z) = z2 de la franja de ancho 2y altura 1 acotada por los ejes real e imaginario en dos lados y que tienen al origen en laesquina inferior izquierda?. Determine cuales son las coordenadas en Cz de los vertices dela region descripta.

Solucion de la seccion .3.3- Caso de sector cuadrangular

En la figura 5 se muestra nuevamente nuestra region cuadrada R C y su imagen bajola transformacion w = f(z) = az2 para a = 1 C y a = 0,25 + i0,7. Hemos mantenido elcodigo de colores para los lados del cuadrado y sus transformados. Sin embargo observamosque parecen haber desaparecido los transformados de los lados verticales (azul y magenta).Sin embargo, un trabajo mas cuidadoso, mirando las etapas de graficacion en Matlab, lepermitira constatar que en realidad los mismos estan escondidos debajo de las imagenes delos lados horizontales (cian y rojo). Ver las imagenes del segundo caso en 5(c-d).



3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3

x

y

z = x + i y

(a) Region R Cz.

3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3

u

v

w = z2 = f(z)

(b) f(z) = z2

3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3

u

v

w = a z2 = f(z)

(c) f(z) = az2

3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3

u v

w = a z2 = f(z)

(d) f(z) = az2

Figura 5: En (a) se muestra la region R y algunos puntos interiores. En (b)-(d) se muestrala imagen de la region R bajo la transformacion w = f(z) = az2, para (b) a = 1 C y (c-d)a = 0,25 + i0,7 respectivamente. En (c) y (d) apreciamos como se superponen las imagenesde los lados opuestos en el cuadrado.

Haciendo los calculos analticos verificamos esto. En este caso se tiene:

w = f(z) = a z2

= (a1 + i a2) (x+ i y)2

= (a1 + i a2) [(x2 y2) + i 2x y]

= [a1(x2 y2) a2 2 x y] +

+i [a2(x2 y2) + 2 a1 x y]

Resulta entonces que en el plano Cw se tiene que w = u+ iv con{u = a1(x

2 y2) a2 2x yv = a2(x

2 y2) + 2 a1 x y.

A partir de este punto se procede como en el punto 2 de la pagina 6 obteniendose as losresultados graficados en la figura 5(b) y (c). Se aprecia en ambos casos la mayor concentracionde puntos en las proximidades de z = 0 y que los segmentos de recta laterales (lados delcuadrado) se han transformado en segmentos circulares.



Solucion de la seccion .3.3- Caso del sector circular

Para el caso del sector circular S dado por la ec. (2), en lugar de trabajar con coordenadascartesianas para z, conviene trabajar con coordenadas polares, dado que la transformaciones f(z) = z2.As entonces, hacemos:

z = ei, con como se indica en (2).

Por lo tanto, la imagen de S a traves de la transformacion dada sera

w = z2

= 2 ei 2 .

De aqu se concluye que w = f(z) esta dada en Cw por w = %ei con{% = 2

= 2 ,

y dado que 0 < < 1, para 0 = pi/3, 1 = 2pi/3 y que 0 < < 1, se puede concluirque la imagen de la region S a traves de la transformacion w = z2 es la region S del planocomplejo Cw definida por

S = {w = %ei , con 20 < < 21, y 0 < % < 1} ,mostrada en la figura 6.(b).

1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

x

y

z = x+i y

(a) Region S Cz.

1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

u

v

w = u+i v

(b) f(z) = z2

Figura 6: En (a) se muestra la region S y algunos puntos interiores. En (b) se muestra laimagen de la region S bajo la transformacion w = f(z) = z2.

.3.4. Transformaciones del tipo w = 1/z

La transformacion w = 1/z en el plano complejo tiene sentido solo si z 6= 0. Observandoque f(z) = 1/z = z

zz= z|z|2 , resulta que 1/z hace dos cosas sobre la variable z Cz:



3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3

x

y

(a) Region R Cz.

3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3

u

v

w = 1/z = f(z)

(b) f(z) = 1/z

Figura 7: En (a) se muestra la region R y algunos puntos interiores. En (b) se muestra laimagen de la region S bajo la transformacion w = f(z) = 1/z.

1. toma primero el conjugado de z

2. luego lo escala dividiendo por su modulo al cuadrado.

Si el modulo es uno, su unico efecto es una reflexion sobre el eje real (el eje x).Miremos ahora la imagen de z en el plano Cw, en coordenadas polares. Si z = ei:

w = f(z) = 1ei.= %ei

,

con % = 1 y = . EntoncesUn punto que esta sobre el crculo unitario, sigue en el, pero pasa a su reflejado en eleje real.

Un punto que este dentro del crculo unitario en Cz tendra su imagen fuera del crculounitario en Cw. Por el contrario, si z estaba fuera del crculo unitario ( > 1), suimagen tendra % < 1 y estara dentro de el en Cw.

Un punto que esta en el eje real ( = n 2pi, n Z) sigue estando en el eje real y en lamisma semirrecta. Si < 1, entonces w sera un numero real mayor que uno.

Un punto que esta sobre el eje imaginario ( = pi/2 + n 2pi, n Z), tendra su imagenen el mismo eje, pero cambiara de signo.

Los puntos proximos al origen seran llevados a puntos proximos a .

.3.5. Transformado por 1/z del cuadrado unitario

Consideremos el cuadrado unitario del primer cuadrante de Cz:

= {z = x+ iy, 0 x 1, 0 y 1}



Denominemos a sus lados 1 (sobre el eje real), 2 (con x = 1), 3 (con y = 1) y 4 (sobreel eje imaginario) y consideremos sus ecuaciones parametricas en el plano Cz:

1 : z = , 0 < 12 : z = x+ iy, x = 1, 0 < y 13 : z = (1 t) + iy, y = 1, 0 < t 14 : z = (1 t)ei pi/2, 0 < t 1

. (3)

El segmento 1 se transforma por w = f(z) = 1/z en w = % con % = ()1 > 1. Es decir,

que se ha transformado en la semirrecta contenida en el eje real, con u > 1.

El segmento 4 se transforma en w =11t e

i pi/2, 0 < t 1, o lo que es lo mismow = 1

1t (i), 0 < t 1. Cuando t = 0, w es i, cuando t 1 , w . Por lo tanto, laimagen de 4 en el plano Cw esta en el semieje imaginario (eje v) negativo y esta dado porw = iv, con v < 1.

Para transformar el segmento 2 necesitamos mirar la transformacion en coordenadascartesianas:

w = f(z) = 1/z,= 1

x+ i y, multiplicando por el conjugado numerador y denominador,

= x i yx2+y2

,

entonces se tiene que, las coordenadas real e imaginaria de la imagen satisfacen:

w = u+ i v =x

x2 + y2 i y

x2 + y2,

es decir {u = x

x2+y2,

v = yx2+y2

.(4)

Para el caso de 2 : z = x+ iy, x = 1, 0 < y 1 se tiene:{u = 1

1+y2,

v = y1+y2

.(5)

Dividiendo m.a m. ambas ecuaciones se tiene que v/u = y y reemplazando en la primerade ec. (5) se tiene que:

u =1

1 + (v/u)2,

de donde resulta que u2u+v2 = 0 y completando cuadrados, la imagen de 2 esta contenidaen la circunferencia:

(u 1/2)2 + v2 = (1/2)2,que corresponde a |w 1/2| = 1/2. Que parte de esta circunferencia es la imagen de 2?

Si miramos con otros ojos nuestro segmento, y tratamos de parametrizarlo en coordenadaspolares, nos daramos cuenta que z = ei, con 0 < < pi/4 y 0 < 1, el menor numero entero donde no se anula la derivada n-enesimade f , entonces el angulo entre dos curvas suaves cualesquiera que se intersequen en z0 seincrementa con un factor de n a traves de la transformacion w = f(z). En particular,w = f(z) no es una transformacion conforme en z0.

Observar que la hipotesis dice que se satisface que:

f (z0) = f (z0) = ... = f (n1)(z0) = 0,

y que f (n)(z0) 6= 0.



.7. Problemas para pensar

Cuando crea haber entendido bien el tema de transformaciones conformes, le proponemosque trate de completar los espacios en blanco en los problemas siguientes, sin volver a mirarel texto ni sus notas.

1. La funcion analtica f(z) = coshz es conforme excepto en z = ...... .

2. Las transformaciones conformes preservan tanto la magnitud como ..... del angulo.

3. La funcion ... es un ejemplo de una transformacion que es conforme en todo punto delplano complejo.

4. Si f (z0) = f (z0) = 0 y f (z0) 6= 0, entonces la transformacion w = f(z) .... lamagnitud de los angulos en el punto z0.

5. T (z) = .... es una transformacion lineal fraccionaria que transforma los puntos 0, 1 +i, e i en los puntos 1, i, y 8.

6. La imagen del crculo |z 1| = 2 bajo la transformacion lineal T (z) = (2z i)/(iz+1)es un .....

7. La imagen de una recta L bajo la transformacion lineal fraccionaria T (z) = (iz 2)/(3z + 1 i) es un crculo si y solo si el punto z = . . . esta en L.

En los siguientes problemas indique si la afirmacion es verdadera o falsa, sin recurrir a susnotas o libro. Si la afirmacion es falsa, justifique su respuesta, explicando porque motivo lo eso bien presentando un contraejemplo. Si la afirmacion es verdadera, justifique su respuesta,sea demostrando la afirmacion o citando un resultado apropiado visto en teora o en estasnotas.

1. Si f(z) es analtica en un punto z0, entonces la transformacion w = f(z) es conformeen z0.

2. La transformacion w = z2 + iz + 1 no es conforme en z = 12i.

3. La transformacion w = z2 + 1 no es conforme en z = i.4. La transformacion w = z no es conforme en todo punto del plano complejo.

5. Una transformacion lineal fraccionaria es conforme en todo punto de su dominio.

6. La imagen de un crculo bajo una transformacion lineal fraccionaria es un crculo.

7. La transformacion lineal fraccionaria T (z) = ziz+1

transforma los puntos 0,1, e i enlos puntos i, 8, y 0, respectivamente.

8. Dados tres puntos distintos z1, z2, y z3, existe una transformacion lineal fraccionariaque transforma z1 , z2, y z3 en 0, 1, y 8.



9. La inversa de una transformacion lineal fraccionaria T (z) = (az + b)/(cz + d) esT1(z) = (cz + d)/(az + b).

10. Si f (z) = A(z + 1) 1/2(z 1) 3/4, entonces w = f(z) transforma el semiplanosuperior en una region poligonal no acotada.

11. Si f (z) = A(z+1)1/2z1/2(z1)1/2, entonces w = f(z) transforma el semiplanosuperior en un rectangulo.

Bibliografa

[1] Harry Bateman. The transformation of the electrodynamical equations. Proc. LondonMath. Soc., 8:223264, 1910. 4

[2] Real Academia Espanola. www.rea.org.es. 1, 2


transformacion conforme

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