Transformación De Esfuerzos Y Deformaciones

Palabras Claves: esfuerzos, cargas axiales, carga transversal, componentes, direcciones paralelas, fuerza, magnitud, subíndice, superficie perpendicular, tensión, esfuerzo cortante, esfuerzo normal, corte, transformación de componentes, deformación, esfuerzo plano, superficie libre, estado de esfuerzo tridimensional, fluencia, energía de distorsión,

Resumen:

En este documento estudiaremos sobre la transformación de esfuerzos y deformaciones cuando este elemento es inclinado con respecto a los ejes principales, que cambios genera esta rotación en el análisis de los esfuerzos y deformaciones.

Como se puede observar el mismo estado de esfuerzos se debe representar en diferentes ejes de coordenadas ya que se ha provocado un giro en sus ejes (figura 1).

Cuando vamos analizar sobre la transformación de esfuerzos principalmente será con esfuerzos planos, teniendo en cuanta que dos caras del cubo estarán libres de esfuerzo. Si cogemos el eje Z perpendicular a las caras del cubo se tiene como análisis σz= τzx = τzy=0 y sus componentes restantes serian σx, σy y τxy (figura 2). Esta misma situación la podemos encontrar en una placa delgada que es sometida a fuerzas que actúan en el plano medio (figura 3). Esto también ocurre en una superficie libre de una estructura, ósea que no está sujeto a una fuerza externa. (Figura 4).

Como un estado de esfuerzo plano en un punto que se escoge en la estructura y denominamos como Q se caracteriza por que esta sometido a esfuerzos σx, σy y τxy que acompaña a elementos que podremos ver en la figura 5

Estos fenómenos de esfuerzos planos se pueden observar en los recipientes a presión de pared delgada (figuras 6 y 7)

Figura 1

Figura 3

Figura 2

Figura 4Figura 5

Figura 6 Figura 7

Figura 8

LAS TRANSFORMACIONES DEL ESFUERZO PLANO

Para el análisis, debemos suponer que existe un estado de esfuerzo plano en nuestro punto Q de la estructura con σz= τzx = τzy=0 y está definido por los componentes σx, σy y τxy que acompañan a los elementos que se pueden ver en la figura 8.

En esta ocasión lo que se pide es determinar las componentes de los esfuerzos σx`, σy` y τx`y` después de que se ha girado el elemento un ángulo ø en el eje z (figura 9) se debe de expresar estas componente4s con respecto a σx, σy y τxy y ø.

Para determinar el esfuerzo normal σx` y el esfuerzo cortante τx`y` que ejercen cobre la cara perpendicular al eje x`, se tiene en cuanta un elemento prismático con caras perpendiculares a los ejes x, y` y x` (figura 10).

Observamos que la cara oblicua la denominamos ∆A, las areas de las caras vertical y horizontal son iguales a ∆A cos ø y ∆A sen ø. Para ver las fuerzas ejercidas sobre las tres caras son las que se muestran el la figura 11 donde se ve que no se ejercen fuerzas sobre las caras triangulares por lo que los esfuerzos normales y cortantes se vuelven nulos.

Utilizando componentes en el eje x` y y` podemos escribir las siguientes ecuaciones de quilibrio

∑ Fx =0σx ∆ A−σx (∆ A cos ø )cos ø−τxy (∆ A cos ø ) sen ø−σy (∆ A sen ø ) sen ø−τxy (∆ A sen ø ) cos ø=0

∑ Fy =0 τx y ∆ A−σx (∆ A cos ø ) sen ø−τxy (∆ A cos ø )cos ø−σy (∆ Asen ø )cos ø+τxy (∆ A sen ø ) sen ø=0

Resolviendo la primera ecuación para σx` y la segunda para τx`y` tenemos que:

σx =σxcos2ø+σy sen2 ø+2 τxy sen ø cos ø (Ecuación 1)

τx y = (σx−σy ) sen ø cos ø+τxy (cos2 ø−sen2 ø) (Ecuación 2)

Haciendo las relaciones trigonométricas quedaría

sen2ø=2 sen ø cosø cos2 ø=cos2 ø−sen2 ø (Ecuación 3)

Figura 9

Figura 10

Figura 11

cos2ø=1+cos 2ø2

sen2 ø=1−cos2 ø

2 (Ecuación 4)

Ahora escribiendo la ecuación 1 de la siguiente manera

σx =σx 1+cos2 ø2

+σy 1−cos 2ø2

+τxy sen2 ø

σx =1+cos 2ø2

+1−cos2 ø2

cos2 ø+τxy sen 2ø (Ecuación 5)

Usando las relaciones de la ecuación 3 tenemos que la ecuación 2 es

τx y =σx−σy2

sen2 ø+τxysen2ø (Ecuación 6)

Para expresar la fuerza normal σy se obtiene reemplazando ø en la ecuación 5 por el ángulo ø+90∘ que el eje y` forma con el eje x. Como cos2 ø y sen (2 ø+180 º) = -sen2ø entonces

σy =σx+σy2

−σx−σy2

cos2 ø−τxy sen2ø (Ecuación 7)

Sumando los miembros de las ecuaciones 5 y 7 obtendríamos

σx +σy =σx+σy

σz= σz` =0, verificamos que la suma de esfuerzos normales que se ejercen sobre un elemento cubico es independiente de la orientación del elemento

ESFUERZOS PRINCIPALES- ESFUERZOS CORTANTE MAXIMO

Observando las ecuaciones 5 y 6 son las ecuaciones paramétricas de un círculo. El significado es que si escogemos un sistema con ejes rectangulares y se grafica cierto punto M de abscisa σx` y ordenadas τx`y` para cualquier valor de ø , los puntos que se obtienen estaran situados en un

circulo. Se comprueva elimminando ø de las ecuaciones 5 y 6 transponiendo σx+σy

2 en la

ecuacion 5 elevando al cuadro ambos miembros, despues elevamos al cuadrado los miembros de la ecuacion 6, finalmente se suman miembro a miembro, obteniendose

(σx−σx+σy2

2)+τ2 x y =( σx−σy2 )2

+τ2 xy (Ecuación 9)

Siendo igual σprom=σx+σy2

y R=√( σx+σy2 )2

+τ2 xy (Ecuación 10)

Escribimos la identidad de la ecuación 9 de la formaFigura 12

(σx −σprom )2+τ2 xy=R (Ecuación 11)

Esta ecuación es la del circulo que tiene un radio R con centro en un punto C de abscisa σprom y ordenada 0 (Figura 12).

Se observa que los puntos D y E están localizados en el diámetro vertical del círculo, estos

corresponden al valor numérico del esfuerzo τx`y puesto que la abscisa es σprom=( σx+σy2 ) los

valores øs del parámetro ø que corresponden a estos puntos se obtienen haciendo σx v=( σx+σy2 ) en la ecuación 5 donde se dice que los dos últimos términos sumándolos debe de dar cero.

Debido a la simetría del círculo con respecto al eje horizontal, se obtiene el mismo resultado en lugar de ser graficado M, podría haberse graficado un punto N de abscisa σx` y ordenada - τx`y` (Figura 13)

Observando los punto A Y B donde los puntos de la figura 12 interseca el eje horizontal, son de interés por que el A corresponde al valor máximo del esfuerzo normal σx` y el punto B muestra el valor mínimo. Ambos puntos tienen valor nulo del esfuerzo cortante τx`y. con esto los valores de ø que corresponden a los punto descritos se obtienen haciendo τx`y`=0 . En la ecuación 6 se escribiría

tan2θ p= 2 τxyσx−σy

(Ecuación 12)

La ecuación define dos valores 2 øp que difieren en 180º entonces dos valores de øp que difieren en 90º. Estos dos valores nos serviran para determinar la orientacion del elemento (Figura 14) y los planos que contienen estos elementos son llamados planos principales de esfuerzo en el punto Q .

Los valores de σmax y σmin del esfuerzo normal que ejerce sobre este plano con esfuerzos principales aplicados en Q.

tan2θs=−σx−σy2 τxy

(Ecuación 13)

σmax ,min=σx+σy2

±√( σx−σy2 )2

+¿ τ2 xy ¿(Ecuación 14)

Esta ecuación define dos valores 2θs que difieren en 180º y dos valores que difieren en 90º

Tenemos que ser conscientes que el análisis sobre la transformación de esfuerzo plano se limita en el plano de esfuerzo. Si giráramos el elemento en un sentido contrario al eje tomado z las caras pueden que se sometan a esfuerzos cortantes aún mayores que los que se han dado.

Figura 13

Figura 14

Esto ocurrirá si los esfuerzos cortantes definidos en la ecuación 14 tengan el mismo signo demostrando estos sean en tensión o ambos en compresión

Para obtener el esfuerzo cortante máximo utilizaríamos esta ecuación

τmax=√( σx−σy2 )2

+¿ τ2 xy ¿ (Ecuación 15).