2. opis proracuna i primjeri
DESCRIPTION
sTRANSCRIPT
-
OPIS PRORAUNA POJAANJA ARMIRANOBETONSKIH
KONSTRUKCIJA PROIZVODIMA OD
FRP-A S PRIMJERIMA PRORAUNA
Pripremili:
Doc.dr.sc. Josip Gali, dipl.ing.gra.
Prof.dr.sc. Tomislav Kiiek, dipl.ing.gra.
Zagreb, studeni 2013.
-
Stranica:
0
Sadraj
1 PROCJENA POVEANJA DUKTILNOSTI I VRSTOE BETONA ............................................ 1
1.1 Primjer prorauna .............................................................................................................................. 5
2 PROCJENA POVEANJA POSMINE NOSIVOSTI ...................................................................... 9
2.1 Primjer prorauna ............................................................................................................................ 14
3 PROCJENA POVEANJA NOSIVOSTI NA SAVIJANJE ............................................................. 17
3.1 Primjer prorauna ............................................................................................................................ 22
4. ANALIZE PONAANJA PRI GRANINIM STANJIMA UPORABLJIVOSTI: OGRANIENJA
VLANIH NAPREZANJA ............................................................................................................ 25
4.1 Primjer prorauna ............................................................................................................................ 28
-
Stranica:
1
Osim ako nije drugaije naznaeno, sljedei tekst odnosi se na Smjernice za projektiranje,
izgradnju i ispitivanje pojaavanja konstrukcija od armiranog ili prednapetog betona i zia sa
FRP-om (Fiber Reinforced Polymer) odobrene 24/07/2009 od Assemblea Generale Consiglio
Superiore LL.PP (Vrhovno ope vijee za javne radove u Italiji).
1 PROCJENA POVEANJA DUKTILNOSTI I VRSTOE BETONA
Modeliranje* mehanikog ponaanja ovijenih armiranobetonskih elemenata s FRP-om zahtjeva
prethodno definiranje odgovarajueg konstitutivnog odnosa , koji se odnosi na mehaniko
ponaanje pri jednoosnom tlanom naprezanju (pozitivno osno tlano naprezanje,
relativna deformacija koja se takoer uzima kao pozitivna).
U tom smislu, kao alternativa modelu parabola + horizontalni pravac, mogue je postaviti
nelinearni odnos kao to je prikazan na sljedeoj slici, kojeg ine parabola i rastui pravac. Na
prijelazu iz parabolinog u linearni dio pretpostavlja se kontinuitet prve derivacije funkcije ).
Slika 1. Model naprezanje-deformacija ovijenog betona sa FRP.
* Smjernice CNR DT 200/2004 DODATAK D
-
Stranica:
2
Predloeni odnos se analitiki moe izraziti na sljedei nain:
- (parabolini dio) 2
cd
c af
f
za 10 , (0.1)
- (linearni dio) bf
f1
cd
c za
c0
ccu1
. (0.2)
U izrazima (0.1) i (0.2) uvedeni simboli imaju sljedee znaenje:
- je bezdimenzijski koeficijent:
c0
c
; (0.3)
- fcd i c0 su proraunska vrstoa neovijenog betona i pripadajua relativna deformacija betona
(pretpostavljeni iznos relativne deformacije je 0.002);
- ccu je stvarna konana relativna deformacija ovijenog betona, koja odgovara proraunskoj
vrstoi ovijenog betona, fccd
- koeficijenti a i b su:
1a , 1 b , (0.4)
te, takoer:
cd
c0tcd
f
Ef
, (0.5)
ccu
cdccdt
ffE
. (0.6)
-
Stranica:
3
Sposobnost betona da podnese vee relativne deformacije omoguuje presjeku veu konanu
zakrivljenost pa time i troenje (disipiranje) vie energije u sluaju seizmikih djelovanja zbog
ega se poveava sigurnost elementa s takvim poprenim presjekom. Ne moe se zanemariti i da
ovijeni beton ima jo i veu konanu vrstou.
Nadalje se prikazuje uinak ovijanja na sve vrste poprenih presjeka zahvaenih intervencijama.
U tom smislu prikazuje se serija grafova koji prikazuju konanu relativnu deformaciju betona i
dimenzije ovijenog pravokutnog poprenog presjeka. Vano imati u vidu da poveanje konane
deformacije betona, koje nastaje uslijed ovijanja, obrnuto je proporcionalna vrstoi betona,
unato odnosima izmeu geometrijskih dimenzija poprenog presjeka.
Materijal koji se koristi za pojaavanje je tkanina s jednosmjernim ugljinim vlaknima
MAPEWRAP C UNI-AX 300. Geometrija pojaanja je jednaka onoj koja se uobiajeno koristi,
tj. kontinuirano ovijanje s jednim slojem tkanine od ugljinih vlakana.
Graf u nastavku pokazuje poveanje konane relativne deformacije koja se moe postii na
poprenom presjeku betona prosjene vrstoe od 20MPa, koja varira ovisno o njegovim
dimenzijama.
Konane deformacije za beton Rm = 20 Mpa
*(deformazione massima cls= maksimalna deformacija betona; dimensione del pilastro=
dimenzija poprenog presjeka)
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
30 35 40 45 50 55 60 65 70Dimensione del Pilastro [cm]
Def
orm
azio
ne
Mas
sim
a C
ls [
]
30cm
70cm
+ 5
cm
-
Stranica:
4
Na osi apscisa pokazuje se vrijednost jedne od dimenzija poprenog presjeka dok se na osi
ordinata prikazuje vrijednost konane relativne deformacije betona. Poetna vrijednost na ovim
osima je 3.5 , tj. vrijednost krajnje relativne deformacije neovijenog betona (po dogovoru). Za
procjenu maksimalne relativne deformacije betona potrebno je pronai, meu krivuljama
prikazanih u grafu, onu koja se odnosi na odgovarajuu drugu dimenziju promatranog poprenog
presjeka. Prva krivulja s vrha predstavlja presjek dimenzije 30 cm dok zadnja krivulja predstavlja
presjek dimenzije 70 cm. Svaka krivulja oznaava presjek s poveanjem promatrane dimenzije za
5 cm.
U sljedeim prikazima dani su drugi razni grafovi koji se odnose na betone s razliitim
vrijednostima prosjene vrstoe:
Konane relativne deformacije za beton Rm = 15 MPa Konane relativne deformacije za beton Rm = 18 MPa
Konane relativne deformacije za beton Rm = 22 MPa
Konane relativne deformacije za beton Rm = 25 MPa
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
30 35 40 45 50 55 60 65 70Dimensione del Pilastro [cm]
Def
orm
azio
ne
Mas
sim
a C
ls [
]
30cm
70cm
+ 5
cm
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
30 35 40 45 50 55 60 65 70
Dimensione del Pilastro [cm]
Def
orm
azio
ne
Mas
sim
a C
ls [
]
30cm
70cm+
5 c
m
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
30 35 40 45 50 55 60 65 70
Dimensione del Pilastro [cm]
Def
orm
azio
ne
Mas
sim
a C
ls [
]
30cm
70cm
+ 5
cm
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
30 35 40 45 50 55 60 65 70Dimensione del Pilastro [cm]
Def
orm
azio
ne
Mas
sim
a C
ls [
]
30cm
70cm
+ 5
cm
-
Stranica:
5
U nastavku su tabelarno prikazane vrijednosti rasta duktilnosti koje su prethodno ilustrirane za
tlanu vrstou betona od 20 MPa.
20 MPa IRINA PRESJEKA [cm]
30 35 40 45 50 55 60 65 70
VIS
INA
PR
ES
JE
KA
[c
m]
30 7.53 7.31 7.08 6.86 6.64 6.41 6.18 6.04 5.77
35 7.31 7.14 6.97 6.80 6.63 6.45 6.28 6.09 5.90
40 7.08 6.97 6.85 6.71 6.57 6.43 6.29 6.15 6.00
45 6.86 6.80 6.71 6.61 6.50 6.39 6.27 6.15 6.03
50 6.64 6.63 6.57 6.50 6.41 6.32 6.23 6.13 6.03
55 6.41 6.45 6.43 6.39 6.32 6.25 6.17 6.09 6.01
60 6.18 6.28 6.29 6.27 6.23 6.17 6.11 6.04 5.97
65 6.04 6.09 6.15 6.15 6.13 6.09 6.04 5.99 5.93
70 5.77 5.90 6.00 6.03 6.03 6.01 5.97 5.93 5.88
KONANA RELATIVNA DEFORMACIJA OVIJENOG BETONA (VRIJEDNOSTI U )
1.1 Primjer prorauna
U skladu s proraunom svojstava betona pojaanog FRP-om, kao primjer uzima se pravokutni
popreni presjek dimenzija 32 50 cm i vrstoe Rcm = 20 MPa, armiran s 8 elinih ipki 20 s
granicom poputanja od 300 MPa. Popreni presjek, za kojeg je faktor sigurnosti jednak 1,00,
oblae se na vrhu i dnu sa slojem tkanine s jednosmjernim ugljinim vlaknima vrste
MAPEWRAP C UNI-AX 300, ija su svojstva:
debljina: tf = 0.166 mm
broj slojeva: nf = 1
irina tkanine: bf = 300 mm
karakteristina vrstoa FRP-a: ffk = 4830 MPa
modul elastinosti FRP-a : Ef = 230000 MPa
-
Stranica:
6
krajnja (granina) deformacija FRP-a: 0210230000
4830.
E
f
f
fk
fk
rc * = polumjer zakrivljenosti : 20 mm
Slika 2. Presjek 32 50 cm
Primjeuje se da se doprinos ovijanja oituje u smislu konane relativne deformacije ako se
presjek savija sa velikim ekscentricitetom, a u smislu poveanja vrstoe ako na presjek djeluje
normalna centrina ili mala ekscentrina sila.
Postupak za utvrivanje doprinosa (duktilnosti ili vrstoe) jednak je u oba sluaja osim za
proraunsku reduciranu relativnu deformaciju koji je objanjen u nastavku.
Primjena neka bude pojaanje stupa u unutarnjem prostoru bez posebne izloenosti agresivnom
djelovanju, a ovijanje je ostvareno ugljinim vlaknima i epoksidnom smolom. Stoga se dobiju
sljedee vrijednosti:
Koeficijent sigurnosti FRP-a 1.1fd
Koeficijent utjecaja okolia ha = 0.95
Optimalno (uinkovito) naprezanje ovijanja dobije se po formuli:
leffeffl, fkf
Dok se naprezanje ovijanja moe prikazati kroz odnos:
l f f fd,rid
1
2f E
* U sluaju konstantnog ovijanja provokutnog presjeka, prethodno se trebaju zaobliti bridovi elementa koji se
ojaava, s polumjerom zakrivljenosti ne manjim od 20 mm, kako bi se izbjegla deformacija vlakana.
32cm
50cm
-
Stranica:
7
gdje je :
f = geometrijski koeficijent pojaanja (armature)
Ef = normalni modul elastinosti FRP-a u smjeru vlakana
fk
fd,rid fk
f
min ;0.6a
reducirana proraunska relativna deformacija kompozita ojaanog
vlaknima
U sluaju da je presjek pritisnut s malim ekscentricitetom (poveanje vrstoe) reducirana
relativna deformacija se proraunava kao:
0040f
fkridfd, .;min
a
Koeficijent uinkovitosti ovijanja keff dobije se kao:
eff H V
k k k k
kV = 1 u sluaju kontinuiranog ovijanja
k = 1 koeficijent razliit od jedinice samo u sluaju spiralnog ovijanja
C
''
A3
db1k
22
H
u kojima su b i d dimenzije poprenog presjeka vezane uz luno djelovanje
ovijanja, a Ac je plotina poprenog presjeka.
Geometrijski koeficijent ovijanja proraunava se kao:
ff
2 ( )t b d
b d
[gdje su d i b dimenzije presjeka].
Zamijenivi ope oznake dobiva se:
2 ( ) 2 0.166 (320 500)0.0017
320 500
f
f
t b d
b d
b' 2 320 (2 20) 280cb r mm ; d ' 2 500 2 20 460cd r mm
2 2 2 2b ' d ' 280 460k 1 1 0.40
3 A 3 160000H
C
eff H V0.40 1 1 0.40k k k k
-
Stranica:
8
fk
fd,rid fk
f
0.95 0.021min ;0.6 min ;0.6 0.021 0.012
1.1
a
l f f fd,rid
1 10,00175 390000 0,0068 2,32
2 2f E MPa
10.0017 230000 0.012 2.47
2MPa
MPa,,,fkf 880322380leffeffl, 0.40 2.47 0.98MPa
l,eff
ccu
cd
0 880 0035 0 015 0 0035 0 015 0 0077
11 0
f .. . . . .
f .
0.980.0035 0.015 0.0068
20.00
elei uzeti u obzir poveanje vrstoe presjeka potrebno je izraunati reduciranu proraunsku
relativnu deformaciju jednaku:
fk
fd,rid
f
0.95 0.021min ;0.004 min ;0.004 0.004
1.1
a
l f f fd,rid
1 10,00175 390000 0,0068 2,32
2 2f E MPa
10.0017 230000 0.004 0.78
2MPa
l,eff eff l 0.40 0.78 0.31f k f MPa
Stvarna vrstoa ovijenog betona, fccd, moe biti procijenjena sljedeim izrazom:
2 3
l,effccd
cd cd
1 2 6
/ff
.f f
2 3 2 3 2 3
l,eff l,effccdccd cd cd
cd cd cd
0 311 2 6 1 2 6 1 2 6 23 23
20 00
/ / /f ff .
. f . f . f . MPaf f f .
Konana (granina) normalna nosivost proraunava se kao:
101uz1
Rdydsccdc
Rd
dRcc, .fAfAN
Proraunavajui dvije vrijednosti normalne nosivosti dobije se:
R cd yd 3954c sN A f A f kN
Rcc,d ccd yd
14133
1 10c sN A f A f kN
.
-
Stranica:
9
2 PROCJENA POVEANJA POSMINE NOSIVOSTI
Poveanje posmine nosivosti elemenata pojaanih vlaknima u sluaju pravokutnog presjeka
moe se proraunati pomou izraza za Rd,fV , koji se temelji na principu Mrschove reetke:
f
Rd,f fed f
Rd f
10.9 2 (cot cot )
wV d f t
p
gdje je:
Rd parcijalni koef. sigurnosti za nosivost, iznosi 1.20
d statika visina presjeka
hw ukupna visina presjeka
ft debljina pojaanja FRP-om
kut nagiba vlakana od pojaanja u odnosu na os elementa
kut nagiba spona (pukotina) u odnosu na os elementa ( oko 45)
wf irina pojaanja FRP-om (spona)
pf razmak pukotina (spona)
Vrijednosti wf i pf moraju se mjeriti okomito na smjer vlakana, a u sluaju pojaanja
postavljenog jedno uz drugo odnos f
f
w
p iznosi 1.0 (slika dolje).
P
P'w
b
hw d
A's
As
d1 tf
hrinf
-
Stranica:
10
Proraunska efektivna vrstoa FRP, fedf , dana je izrazima:
u sluaju ovijanja u obliku slova U :
e
fed fdd
w
sin11
3 min 0.9 ;
lf f
d h
u sluaju potpunog ovijanja poprenog presjeka :
e e
fed fdd fd fdd
w w
sin sin1 11 1
6 min 0.9 ; 2 min 0.9 ;R
l lf f f f
d h d h
gdje se izraz
e
fd fdd
w
sin11
2 min 0.9 ;R
lf f
d h
uzima u obzir samo ako je pozitivan pa je:
0.2 1.6 c
R
w
r
b
Stvarna vrstoa pojaanja FRP-om, fdd, tj. vrijednost maksimalne vrstoe FRP-a za slom zbog
gubitka prionljivosti (sheet and debonding), iznosi:
f b ck ctm
fdd
ff,d c
0 24 E k f f.f
t
fd ( parcijalni koeficijent za materijale) = 1.2
c (koeficijent sigurnosti betona) = 1.5
fctm srednja vlana vrstoa betona na kojem se sidri FRP
fck karakteristina tlana vrstoa betona
dok je:
f
bf
2
1
1400
b
bkb
-
Stranica:
11
Pri emu je u sluaju kontinuirane armature, f w
sin( )min{0.9 ; }
sinb b d h
, a wh je ukupna
visina presjeka.
Vrijednost le , koja se pojavljuje u formuli za efektivno proraunsko naprezanje armature, moe
se izraunati pomou sljedeeg izraza:
ctm
ffe
2 f
tEl
(duine uvrtavati u mm)
U nastavku je prikazano nekoliko dijagrama koji pokazuju poveanje posmine vrstoe
pravokutnog poprenog presjeka pojaanog jednim slojem FRP-a. Na osi apscisa se prikazuje
vrijednost dimenzije presjeka, izmjerene okomito na smjer poprene sile, dok je na ordinatnoj osi
prikazana vrijednost poveanja vrstoe u [kN]. Svaka krivulja odgovara jednoj vrijednosti
odgovarajue druge dimenzije promatranog poprenog presjeka. Prikazane su krivulje za svakih
5 cm promjene dimenzije presjeka.
Prvi prikazani graf odnosi se na beton vrstoe 20 MPa.
Poveanje posmine vrstoe kod betona Rm =20 MPa (incremento di resistenza taglio= poveanje posmine vrstoe)
U nastavku su prikazani grafovi koji se odnose na betone s razliitim vrijednostima prosjenih
tlanih vrstoa:
0
20
40
60
80
100
120
30 35 40 45 50 55 60 65 70Incr
emen
to d
i Res
iste
nza
a T
agli
o [k
N]
Dimensione del Pilastro [cm]
70
65
60
55
50
45
40
35
30
-
Stranica:
12
Poveanje posmine vrstoe za
beton Rm = 15 MPa
Poveanje posmine vrstoe za
beton Rm = 18 MPa
Poveanje posmine vrstoe za
beton Rm = 22 MPa
Poveanje posmine vrstoe za
beton Rm = 25 MPa
Prema kriterijima za ocjenjivanje otpornosti, pojaavanje poprenog presjeka i poveanje njegove
duktilnosti preuzimaju primarnu vanost u procjeni uinkovitosti poboljanja seizmikog
ponaanja konstrukcija.
U nastavku, kao primjer, su tabelarno prikazane vrijednosti poveanja vrstoe prethodno
ilustrirane za vrstou betona od 20 MPa.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
30 35 40 45 50 55 60 65 70
Dimensione del Pilastro [cm]
Res
iste
nza
a T
agli
o [
kN
]
70
65
60
55
50
45
40
35
30
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
30 35 40 45 50 55 60 65 70
Dimensione del Pilastro [cm]
Res
iste
nza
a T
agli
o [
kN
]
70
65
60
55
50
45
40
35
30
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
30 35 40 45 50 55 60 65 70
Dimensione del Pilastro [cm]
Res
iste
nza
a T
agli
o [
kN
]
70
65
60
55
50
45
40
35
30
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
30 35 40 45 50 55 60 65 70
Dimensione del Pilastro [cm]
Res
iste
nza
a T
agli
o [
kN
]
70
65
60
55
50
45
40
35
30
-
Stranica:
13
20 MPa IRINA PRESJEKA [cm]
30 35 40 45 50 55 60 65 70 V
ISIN
A P
RE
SJE
KA
[cm
]
30 41.04 39.87 39.00 38.32 37.77 37.32 36.95 36.64 36.37
35 51.50 49.93 48.76 47.85 47.12 46.52 46.03 45.60 45.24
40 61.95 60.00 58.53 57.38 56.47 55.72 55.10 54.57 54.12
45 72.41 70.06 68.29 66.92 65.82 64.92 64.17 63.54 62.99
50 82.87 80.12 78.06 76.45 75.17 74.12 73.24 72.50 71.87
55 93.33 90.18 87.82 85.98 84.52 83.31 82.31 81.47 80.74
60 103.78 100.24 97.58 95.52 93.87 92.51 91.39 90.43 89.61
65 114.24 110.30 107.35 105.05 103.21 101.71 100.46 99.40 98.49
70 124.70 120.36 117.11 114.59 112.56 110.91 109.53 108.36 107.36
POVEANJE POSMINE VRSTOE ZA OVJENI BETON (VRIJEDNOSTI U KN)
-
Stranica:
14
2.1 Primjer prorauna
Promatra se pravokutni popreni presjek dimenzija 32 50 cm pojaan ovijanjem sa slojem
tkanine s jednosmjernim ugljinim vlaknima MAPEWRAP C UNI-AX.
Slika 3. Presjek 3250 cm Posmina vrstoa
Neka su svojstva tkanine ista kao u prijanjim primjerima:
debljina tkanine : tf = 0.166 mm
broj slojeva : nf =1
irina tkanine : bf = 300 mm
karakteristina vrstoa FRP-a: ffk = 4830 MPa
modul elastinosti FRP-a: Ef = 230000 MPa
konana (granina) deformacija FRP-a: fk = ffk / Ef = 4830/230000 = 0.021
rc * = radijus zakrivljenosti = 20 mm
U konkretnom sluaju, kad se radi o pojaavanju ovijanjem, vrijede slijedei izrazi:
230000 0.166110
2 2 1.57
f f
e
ctm
E tl mm
f
* U sluaju konstantnog omotavanja pravokutnog presjeka, prethodno se trebaju zaobliti bridovi elementa koji se
ojaava sa polumjerom zakrivljenosti ne manjim od 20 mm, kako bi se izbjegla deformacija vlakana.
32cm
50cm
44cm
-
Stranica:
15
22 1
0.91320
11400400
1
f
bf
b
bkb
f b ck ctm
fdd
ff,d c
0 24 0 24 230000 1 12 1 57400 6
0 1661 2 1 5
E k f f. . .f . MPa
t .. .
e e
fed fdd fd fdd
w w
sin sin1 11 1
6 min 0.9 ; 2 min 0.9 ;R
l lf f f f
d h d h
1 110 sin(90 ) 1 110 sin(90 )
400.6 1 0.31 4171.4 400.6 1 697.86 423 2 423
MPa
f
Rd,f fed f
Rd f
1 10.9 2 (cot cot ) 0.9 470 697.8 2 0.166 (cot 45 cot 90 ) 81.66
1.2
wV d f t kN
p
Uzimajui u obzir stup presjeka 4040 cm, kao to je prikazan na Slika 4., i pojaanje s dva sloja
tkanine od ugljikovih vlakana, vrijedi:
Slika 4. Stup 4040 cm
230000 0.332156
2 2 1.57
f f
e
ctm
E tl mm
f
40cm
40
cm
-
Stranica:
16
22 1
0.25400
11400400
1
f
bf
b
bkb
f b ck ctm
fdd
ff,d c
0 24 0 24 230000 1 12 1 57283 3
0 3321 2 1 5
E k f f. . .f . MPa
t .. .
e e
fed fdd fd fdd
w w
sin sin1 11 1
6 min 0.9 ; 2 min 0.9 ;R
l lf f f f
d h d h
1 156 sin(90 ) 1 156 sin(90 )
283.3 1 0.28 4171.4 283.3 1 496.66 333 2 333
MPa
Odakle je poveanje posmine vrstoe uslijed ovijanja:
f
Rd,f fed f
Rd f
1 10.9 2 (cot cot ) 0.9 360 496.6 2 0.332 (cot 45 cot 90 ) 91.5
1.2
wV d f t kN
p
-
Stranica:
17
3 PROCJENA POVEANJA NOSIVOSTI NA SAVIJANJE
Nove tehnike norme za proraun konstrukcija uvode bitne promjene proraunskih dijagrama
materijala u poprenim presjecima, osobito u provjeri presjeka izloenih ubrzanom savijanju i
izvijanju gdje se pretpostavlja da je lom uvijek uzrokovan dosezanjem maksimalne relativne
deformacije betona koji u tom sluaju ima proraunski dijagram oblika parabola + horizontalni
pravac.
U proraunu nosivosti nepojaanog poprenog presjeka izloenog savijanju i izvijanju
jednostavno je proraunati konani moment koristei dvije jednadbe ravnotee, jednadbu
ravnotee horizontalnih sila du uzdune osi grede te jednadbu ravnotee momenata savijanja
oko paralelne osi koja prolazi vlanom armaturom a paralelna je s neutralnom osi poprenog
presjeka.
Te dvije jednadbe su:
0 - + b s11s22 sssscd EAEAfx
)-(d b= M 2s22u )dd(EAxfx sscd
U tim jednadbama ravnotee, koeficijenti i predstavljaju koeficijent punoe dijagrama
tlanih naprezanja u betonu i udaljenost teita dijagrama tlanih naprezanja od tlanog ruba
poprenog presjeka, a x je udaljenost neutralne osi od tlanog ruba presjeka (Napomena: na Slici
5. oznaeno je kao h*). Nakon to je proraunom pretpostavljeno da beton dosee konanu
deformaciju, ovi koeficijenti imaju vrijednosti od 0.809 i =0.416.
Budui da je u veini sluajeva realne upotrebe vlana i tlana armatura dosegla granicu
poputanja, prethodne se jednadbe mogu pojednostaviti u:
0 - + b yd1yd2 fAfAfx sscd
)-(d b= M 2yd2u )dd(fAxfx scd
Nakon proraunavanja poloaja neutralne osi potrebno je, meutim, provjeriti veliinu
naprezanja u elinoj armaturi. Ako vlana armatura nije dosegla granicu poputanja njezino
naprezanje nije jednako ydf ve se proraunava kao s1 sE .
-
Stranica:
18
Slika 5. Poloaj neutralne osi
U presjecima koji su pojaani vlaknima koriste se dvije druge jednadbe ravnotee za rjeavanje
problema, jednadba ravnotee horizontalnih sila du uzdune osi grede te jednadba ravnotee
momenata savijanja oko osi paralelne koja prolazi vlanom armaturom, a paralelna je s
neutralnom osi poprenog presjeka.
0 - - + b fs11s22 ffsssscd EAEAEAfx
1f2s22u A )-(d b= M dE)dd(EAxfx ffsscd
Lom se moe pojaviti zbog dostizanja maksimalne relativne deformacije pojaanja FRP-om
(zona 1) ili maksimalne tlane relativne deformacije betona (zona 2) kao to je prikazano na
sljedeoj slici.
x = d
fd
d
dh
b
d
Af
t
As1
As2
s2 s2
y,ds1f
2
1
M
cu c
1
2
0
c0
f
bf
s >yd
co >
yd
cu >
yd
o >
fd
s2 >
yd
x = d >yd
s2 >yd
c >
yd
fyd >
yd
f >
yd
s2 >yd
s1 >yd
d >
yd
h >
yd
b>
Af >
bf >
yd
Slika 6. Nain sloma presjeka betona pojaanog izvana sa lamelom od FRP
-
Stranica:
19
U zoni 1 relativna tlana deformacija FRP lamele jednaka je elastinoj graninoj relativnoj
deformaciji: bilo koji dijagram relativnih deformacija koji odgovara takvom nainu sloma ima
kao fiksnu toku vrijednost granine relativne deformacije FRP lamele, fd.
Normalne relativne deformacije koje pripadaju razliitim vlaknima presjeka, koja lee paralelno s
neutralnom osi, mogu se proraunati, pozivajui se na linearnost dijagrama relativnih deformacija
po visini poprenog presjeka, pomou slijedeih izraza:
- (FRP) f fd ,
- (tlani rub betona) c fd o cu( )
( )
x
h x
,
- (tlana armatura) 2s2 fd o( )
( )
x d
h x
,
- (vlana armatura) s1 fd o( )
( )
d x
h x
,
u kojima je cu granina relativna deformacija koju beton moe dosei u tlaku (granina
relativna deformacija). Veliina, x, je udaljenost neutralne osi od tlanog ruba poprenog
presjeka.
Openito je nepotrebno provjeravanje iznosa relativne deformacije vlane armature kod
graninog stanja nosivosti (GSN), ali samo ako za uobiajene vrijednosti relativnih graninih
deformacija FRP-a, fd, i betona, cu, granina relativna deformacija vlane armature ne bude
nikad postignuta. U sluaju da je granina deformacija elika utvrena vaeim normama
premaena, tada se kod izrauna mora uzeti u obzir poloaj neutralne osi za takav sluaj.
U zoni 2 lom se stvara zbog drobljenja tlano napregnutog betona, dok granina relativna
deformacija FRP-a nije jo dostignuta: u tom sluaju je fiksirana maksimalna relativna
deformacija tlano napregnutog betona, cu, zbog koje se dobivaju, zbog linearnosti, normalne
relativne deformacije u ostalim materijalima. Jo jednom se normalne relativne deformacije koje
pripadaju raznim vlaknima ravnog dijela presjeka elementa, koje se proteu paralelno s
neutralnom osi, mogu proraunati pozivajui se na linearnost dijagrama relativnih deformacija po
-
Stranica:
20
visini poprenog presjeka pomou sljedeih izraza:
- (FRP) cuf 0 fdh xx
,
- (tlani rub betona) c cu ,
- (tlana armatura) 2s2 cux d
x
,
- (vlana armatura) s1 cud x
x
,
U prethodnim jednadbama, ako armatura jo nije dosegla granicu poputanja (ponaa se
elastino), njezino se naprezanje dobiva mnoenjem odgovarajue relativne deformacije s
normalnim modulom elastinosti elika; inae se uzima kao vrijednost proraunske vrstoe
(granice poputanja) elika, fyd. U zonama 1 i 2 relativna deformacija vlane armature je uvijek
vea od proraunske relativne deformacije kod poputanja armature, yd.
Budui da se ojaanje FRP-om ponaa elastino do sloma, njegovo se naprezanje moe
proraunati kao umnoak relativne deformacije i normalnog modula elastinosti FRP-a (u smjeru
osi grede).
Kako bi se izbjeglo da u GSN vlana armatura bude u elastinom podruju,
bezdimenzionalni koeficijent =x/d ne smije prei graninu vrijednost lim danu sljedeim
izrazom:
culim
cu yd
.
U sluaju da je presjek koji treba provjeriti izloen i osnoj sili (savijanje), tad vrijede principi
opisani u prethodnom odjeljku, ali uzimajui u obzir ovisnost proraunskog momenta nosivosti
armiranog presjeka, MRd, o proraunskoj uzdunoj sili, NSd.
U ovom sluaju jednadbe ravnotee postaju:
ffsssscd EAEAEAfx - - + b= N fs11s22sd
2
- A )-(d b= M 11f2s22u )dH
(NdE)dd(EAxfx sdffsscd
-
Stranica:
21
Polazei od grede dimenzija 40 60 cm armirane u sreditu s 210+516 (11.6 cm2) pri dnu i
210 (1.57 cm2) pri vrhu te sa zatitnim slojem od 40 mm, moment nosivosti poprenog presjeka
se proraunava za nepojaani i pojaani popreni presjek.
Pojaanje je izvedeno tkaninom od jednosmjernih ugljinih vlakana s visokom izdrljivou te
debljine od 0.166 mm i irine od 400 mm. Beton ima vrstou Rcm = 20 MPa, a elik fym = 300
MPa.
Za nepojaani presjek, za slom preko betona i cu = 0.0035 (3.5), u jednadbi ravnotee u kojoj
se ne uzima u obzir doprinos pojaanja, dobiva se x = 51 mm i 187.1uM kNm
Za presjek pojaan FRP-om poloaj neutralne osi mora biti dobiven iterativnim postupkom ako je
potrebno provjeravati koji od dvaju materijala, beton ili FRP, prvi dostie konanu deformaciju.
Poloaj neutralne osi za koju se istovremeno dostie konana deformacija za oba materijala je
jednak (udaljenost neutralne osi od tlanog ruba poprenog presjeka):
mmmm..
.hx
fdcu
culim 240600
00523000350
00350
Za vrijednosti neutralne osi manje od ove granice, lom nastaje zbog dosezanja krajnje relativne
deformacije FRP-a, a za vee vrijednosti zbog dosezanja krajnje relativne deformacije betona. U
ovom sluaju se iz sume horizontalnih sila dobiva, za poloaj neutralne osi yc = 65.56mm, a iz
sume momenata savijanja, 231uM kNm
Relativna deformacija i naprezanje tkanine od ugljika iznose:
MPa. ff 1202i005230
Treba imati na umu da je u sluaju nepojaanog presjeka udio betona pod tlakom manji u odnosu
na sluaj s pojaanim presjekom kad se u ravnoteu poprenog presjeka uraunava vea koliina
vlano napregnutog materijala i stoga vea koliina materijala bude pod tlakom zbog
uravnoteenja unutarnjih sila.
-
Stranica:
22
3.1 Primjer prorauna
Promatra se strop sa Slika 7 sa ploom debljine 4 cm i gredama od 12 cm, s jednakom gornjom i
donjom armaturom plotine 15.70 cm2. Beton ima srednju tlanu vrstou od Rcm = 20 MPa dok
elik ima vrstou fym = 300 MPa.
Slika 7. Strop
Slika 8. Strop presjek za proraun
Nepojaani presjek ima moment nosivosti jednak 92.09 kNm kad je udaljenost neutralne osi od
gornjeg ruba 32.01 mm. S takvim parametrima translacijska jednadba ravnotee je:
b
0= 300 1570- 210000 000220 1570 + 20 0132100062280
1s22 ydssscd AEAfx
...
24 c
m
50 cm25cm 25cm
12 12
24 c
m
24cm
100cm
20cm
-
Stranica:
23
)dd(EAxfx
.....
sscd 2s22 )(d b
kNm92.09= 30210210000000220 1570 + 0132368021020 0132100062280
Izvodei proraun stress block metodom, odnosno sa = 0.8 i = 0.416, vrijednost momenta
nosivosti je 93.18 kNm, a udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba je 30 mm.
Primjenjujui pojaanje sastavljenu od tkanine ugljinih vlakana (MapeWrap C UNI-AX 300)
suhe irine (dry film thickness DFT) 0.166 mm i modula elastinosti 230 GPa za irinu od 100
mm dobije se moment nosivosti jednak 97.3 kNm.
Koristei pojaanje istog materijala ali irine 200 mm dobije se moment nosivosti 101.5 kNm s
udaljenou neutralne osi od gornjeg ruba 35.09 mm.
U tom sluaju, jednadbe ravnotee su:
ffydssscd AAEAfx
...
b
0= 127233300 1570- 210000 000140 1570 + 20 0935100066670
1s22
22s22 )(d b
kNm101.50= 30127233 + 302102100000001401570 + 09353750210200935100066670
dA)dd(EAxfx
.....
ffsscd
Izvodei proraun stress block metodom, odnosno sa = 0.8 i = 0.416, vrijednosti momenta
nosivosti i udaljenosti neutralne osi od gornjeg ruba su:
- uM = 97.78 kNm i x= 30.5 mm ( irina armature 100 mm );
- uM = 101.66 kNm i x= 31.27 mm ( irina armature 200 mm ).
U nastavku su priloene vrijednosti momenta nosivosti za gore spomenuti strop s obzirom na
razliite tipove pojaanja. Osim ovdje navedene tkanine od ugljinih vlakana koriteni su i
sljedei materijali:
-
Stranica:
24
1. FRP lamela (lamina pultrusa - eng: pultrusion plate) s ugljinim vlaknima Carboplate E
170, modul elastinosti 170 GPa, vlana vrstoa 3100 MPa, debljina 1.4 mm
2. FRP lamela (lamina pultrusa - eng: pultrusion plate) s ugljinim vlaknima Carboplate E
250, modul elastinosti 250 Gpa vlana vrstoa 2500 MPa, debljina 1.4 mm
3. Tkanina s jednosmjernim ugljinim vlaknima MapeWrap C UNI-AX HM 300
Materijal irina Broj
slojeva
Moment
nosivosti
Carboplate E 170 100 1 104.3
Carboplate E 170 200 1 115.1
Carboplate E 170 100 2 109.6
Carboplate E 250 100 1 107.1
Carboplate E 250 200 1 120.4
Carboplate E 250 100 2 113.5
MapeWrap C
UNI-AX HM 300 100 1 98.3
MapeWrap C
UNI-AX HM 300 200 1 104.3
MapeWrap C
UNI-AX HM 300 100 2 101.4
-
Stranica:
25
4. ANALIZE PONAANJA PRI GRANINIM STANJIMA UPORABLJIVOSTI:
OGRANIENJA VLANIH NAPREZANJA
Za uporabna optereenja potrebno je provjeriti da razine vlanih optereenja u materijalima
zadovoljavaju granine vrijednosti kako bi se izbjeglo poputanje elika te umanjila pojave
puzanja kod betona i kod vanjskog pojaanja.
Ispitivanja pod uporabnim optereenjima se mogu provoditi u elastino-linearnom polju imajui
na umu i ponaanje neraspucanog te raspucanog poprenog presjeka, kao i eventualne relativne
deformacije koje se javljaju u trenutku pojaavanja konstrukcije. Naprezanja u materijalima se
odreuju superpozicijom utjecaja.
Pretpostavke na kojima se temelji proraun:
homogeno linearno elastino ponaanje materijala;
Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka;
nema proklizavanja (savreno prianjanje) izmeu betona i eline armature te betona i pojaanja
FRP-om.
Smjernice u toki 3.2.3.2 predviaju da kod graninih stanja uporabljivosti, naprezanja u
kompozitu ojaanom vlaknima (FRP), proraunate za nazovistalna optereenja, moraju
zadovoljiti ogranienje:
gdje je karakteristina vlana vrstoa FRP-a pri slomu, a je faktor promjene.
Naprezanja u betonu i eliku se ograniavaju u skladu sa vaeim normama (NTC 2008), prema
kojima, nakon procjene unutarnjih djelovanja u raznim dijelovima konstrukcije, usljed
karakteristinih i nazovistalnih optereenja, proraunavaju se maksimalna naprezanja i za beton i
za armaturu; mora se provjeriti da vrijednosti takvih naprezanja budu manje od maksimalno
doputenih vrijednosti.
Za beton mora biti:
< 0,60 za karakteristina optereenja (rijetka)
< 0,45 za nazovistalna optereenja.
-
Stranica:
26
U sluaju ravnih elemenata (ploe, zidovi, ...) izvedenih (betoniranih) in situ sa obinim betonom
te debljinama manjih od 50 mm, gore navedena ogranienja se smanjuju za 20%.
Maksimalno naprezanje elika , usljed karakteristinog optereenja, mora zadovoljiti sljedei
uvjet:
< 0,80
Kad se procijene razine naprezanja u materijalima pod uporabnim optereenjima, poznavajui
geometrijske karakteristike presjeka, mehanika svojstva i vrstou materijala te vrstu pojaanja
FRP-om, potrebno je odrediti:
Slika 9. Presjek za izraun
1. Udaljenost neutralne osi od tlanog ruba AB presjeka, yc, prije i nakon pojaavanja FRP-
om, postavljajui jednadbu sume statikih momenata plotina u odnosu na neutralnu os
(zanemarujui doprinos betona u vlaku):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
gdje je:
omjer modula elastinosti eline armature i betona, koji, u sluaju zanemarivanja
utjecaja vremena na svojstva materijala, iznosi 15;
H
tl
d1
bAf
As1
fs1
yc
n n
c
As2
d2
M
f/nfs1/n
c
s2 s2
d
Af
yc
-
Stranica:
27
omjer modula elastinosti pojaanja FRP-om i betona (za t=).
2. Moment inercije In za AB presjek prije i nakon pojaavanja FRP-om, u odnosu na
neutralnu os (zanemarujui doprinos betona u vlaku) pomou izraza:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3. Naprezanje materijala u poprenom presjeku zbog optereenja prije i nakon pojaanja
FRP-om i naknadne provjere nametnute trenutnim Normama, pomou izraza:
{
( )
( )
( )
Gdje je:
- M je vrijednost momenta savijanja koji djeluje u tom poprenom presjeku;
- je faktor konverzije koji uzima u obzir specijalne probleme prorauna, opisan u toki
2.5.2 :
Tabela 2.4 Faktor promjene za dugotrajne efekte 1 za razne sustave pojaanja FRP-om
(uporabna optereenja)
Vrsta optereenja Vrsta vlakna 1
Stalno staklo/epoksidni 0.30
(puzanje i oputanje) aramidni/epoksidni 0.50
ugljik/epoksidni 0.80
Cikliko (zamor) sve 0.50
-
Stranica:
28
4.1 Primjer prorauna
Promatra se popreni presjek 30 60 cm srednje vrstoe betona fcm = 20 MPa armiran s 8 ipki
20 od elika sa granicom poputanja 300 MPa. Popreni presjek, za kojeg se faktor sigurnosti
uzima 1, pojaan je na savijanje sa svoje donje strane (vlani rub) primjenom FRP lamele (lamina
pultrusa eng: pultrusion plate) od ugljinih vlakana Carboplate E 170, ija su svojstva:
debljina : tf = 1,4 mm
broj slojeva : nf = 1
irina lamele : bf = 300 mm
karakteristina vrstoa FRP-a: ffk = 3100 MPa
modul elastinosti FRP lamele : Ef = 170000 MPa
d1 = d2 = 30 mm
As2 = 3 20 = 942 mm2 (zanemarujui bonu armaturu)
As1 = 3 20 = 942 mm2
Af = nf bf tf = 1 300 1,4 = 420 mm2 Slika 10. Presjek 3060
Beton:
fcm = 20 MPa
( )
(
)
fck = fcm 8 = 20 8 = 12 MPa
elik:
fym = 300 MPa
Es = 210000 MPa
ns = 15
Pretpostavlja se da je prije pojaanja FRP-om, AB presjek optereen momentom savijanja uslijed
-
Stranica:
29
stalnog optereenja (vlastita teina) i iznosi M1 = 10 kNm.
Udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba i moment inercije AB presjeka iznose:
( ) ( )
( ) ( )
Naprezanja u betonu i eliku iznose :
( )
( )
Pretpostavlja se da je nakon pojaanja s FRP-om presjek optereen momentom savijanja od
nazovistalnog optereenja te iznosi M2 = 100 kNm.
Udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba i moment inercije pojaanog presjeka su:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
-
Stranica:
30
Naprezanja u betonu, eliku i u FRP-u zbog optereenja iznose:
( )
( )
( )
( )
Smatra se, osim toga, da se mehanika svojstva sustava baziranog na FRP-u smanjuju zbog
efekta viskoznosti i relaksacije (dugotrajni efekti) i stoga se uzima u obzir faktor pretvorbe
(konverzije) :
Modalitet optereenja Vrsta vlakna/smole
Trajno
(viskoznost i relaksacija) Ugljik/Epoksidna 0,80
Uzima se u obzir i da se provjera naprezanja na granina stanja uporabljivosti provodi za
nazovistalno optereenje i naprezanja u materijalima pojaanog poprenog presjeka moraju
zadovoljiti ogranienja iz normi:
( )
( )
( )