คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

บทน า

เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

โดย

อาจารย ดร.จณดษฐ ละออปกษณ อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร สอการสอน เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร มจ านวนตอนทงหมดรวม 9 ตอน ซง

ประกอบดวย

1. บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร 2. เนอหาตอนท 1 การใหเหตผล

- การใหเหตผลแบบอปนย - การใหเหตผลแบบนรนย

3. เนอหาตอนท 2 ประพจนและการสมมล - ประพจนและคาความจรง - ตวเชอมประพจน - การสมมล

4. เนอหาตอนท 3 สจนรนดรและการอางเหตผล - เอกลกษณในการเชอมประพจน - สจนรนดร

5. เนอหาตอนท 4 ประโยคเปดและวลบงปรมาณ - การอางเหตผล - ประโยคเปด - วลบงปรมาณ

6. แบบฝกหด (พนฐาน) 7. แบบฝกหด (ขนสง) 8. สอปฏสมพนธ เรอง หอคอยฮานอย 9. สอปฏสมพนธ เรอง ตารางคาความจรง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (การใหเหตผล) หมวด บทน า ตอนท 1 (1/4) หวขอยอย 1. การใหเหตผลแบบอปนย 2. การใหเหตผลแบบนรนย จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนเขาใจทมา เกดความซาบซง เหนคณคาของคณตศาสตรเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร ตระหนกถงความส าคญและประโยชน ตลอดจนบทประยกตของการใหเหตผลและตรรกศาสตร

วตถประสงคหลกของการจดท าบทน า คอเพอใหผเรยนไดเกดแรงบนดาลใจในการเรยน เหนถงทมาและประโยชนของเนอหาทจะไดเรยนตอไป โดยมไดมงเนนทการทองจ าเนอหาหรอเรองราวตามทปรากฏในสอบทน า การใชสอบทน าจงควรใชเพยงประกอบในขนการน าเขาสบทเรยน หรอน าเสนอผเรยนกอนการจดการเรยนรในเนอหานนๆ และไมควรน าเนอหาในบทน าไปใชวดผลการศกษาหรอใชในการสอบ เพราะอาจท าใหการใชสอไมบรรลวตถประสงคทแทจรงตามทมาดหมายไว

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

บทสารคดและขอมลเพมเตม

โลกจะเปนอยางไร ถาเราไมมเหตผล ถาทกสงทกอยางเกดขนจากการดนเดาอยางไรระเบยบ การตดสนใจทตงอยบนความเลอนลอย ไรหลกการ และไมสามารถอางองเพอสรางความรใหมๆ หรอใชในการตดสนใจครงตอๆ ไปได

หากโลกเปนเชนนนจรง แมเวลาจะหมนเวยนเปลยนผานไปนานสกเทาใดมนษยกยงคงจะไมแตกตางอะไร

ไปกบมนษยในยคโบราณทด ารงชพดวยสญชาตญาณและการไลลาหาเกบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

แมสภาพทางกายจะออนแอและ ออนดอยกวาสตวชนดอนๆ แตธรรมชาตกไดมอบสมบตเลอคา ทผลกดนใหมนษยธรรมดากลายมาเปนมนษยทมความอารยและอดมดวยปญญาความคด คอ ของขวญชนนนกคอ สมอง ทมคณภาพเหนอกวาสตวทงหลาย และดวยสมองนเองทท าให มนษยมคณสมบตส าคญทท าใหมนษยแตกตางจากสตวทวไปคอ การใหเหตผล เพอใชในการสนบสนนความเชอ เพอคนหาความจรงใหมๆ ความสามารถเชนนไดเกดมขนแลวตงแตยคแรกๆ เมอครงมนษยยงเรรอนรอนแรม ไรถนฐาน ซงลวนมาจากการสงเกตและจดจ า จวบจนกาลตอมารปแบบของการใหเหตผลไดเรมเปลยนแปลงไป เมอมนษยเรมสนใจทจะตอบค าถามวา “ท าไม” มากกวา “อยางไร”

และนคอจดเปลยนครงส าคญของมนษยชาต ทท าใหเราเปลยนผานและกาวขามจากโลกยคเกา มาสโลกยคใหมอยางในปจจบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

ในทางคณตศาสตร การใหเหตผลถอเปนกระบวนการและเปนหวใจส าคญทสดของศาสตรสาขาน ขอสรปทางคณตศาสตรบางประการ แมวานกคณตศาสตรจะรอยอยางเตมอกวาเปนจรง แตหากไรสนซงเหตผลทรดกมมาประกอบแลว ขอสรปนนกเปนเพยงความคดเหนของปจเจกบคคล และถกมองดวยสายตาทเยยหยนไยไพ ดงนน หวใจส าคญของคณตศาสตรดวงน จงมลกษณะและความหมายทแตกตางจากการใหเหตผลของคนอนทวๆไป ส าหรบนกคณตศาสตร และนกการศกษาคณตศาสตรแลว การใหเหตผลทางคณตศาสตร อาจแบงไดออกเปน 2 แบบ คอ 1. การใหเหตผลแบบอปนย และ 2. การใหเหตผลแบบนรนย ซงมทงขอดและขอจ ากดทแตกตางกน หากแตมความสมพนธกนอยางลกซง ทองอาศยซงกนและกนในการสรางองคความรใหมๆ ใหเกดขน

นอกจากประเภทของการใหเหตผลตามขางตนแลว ยงมการใหเหตผลในแบบอนอก เชน การใหเหตผลเกยวกบปรภม (spatial reasoning) โดยหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ไดนยามการใหเหตผลทเกยวของกบปรภม วาเปนการใชความร ความเขาใจเกยวกบสมบตตางๆ ของรปเรขาคณต และความสมพนธระหวางรปเรขาคณตมาใหเหตผล หรออธบายปรากฏการณ หรอแกปญหาทางเรขาคณต นอกจากนยงมนกการศกษาอกหลายทานทไดแบงประเภทของการใหเหตผลไว เชน บารด (Baroody) ทไดแบงการใหเหตผลเปน 3 ประเภท คอการใหเหตผลแบบอปนย การใหเหตผลแบบนรนย และการใหเหตผลแบบสามญส านก(intuitive reasoning) ซงเปนการใหเหตผลทเกดจากการหยงร(insight) ลางสงหรณ ไมมขอมลทจ าเปนประกอบการตดสนใจ อาจเปนการตด สนใจจากสงทเหนไดชดหรอจากความรสกภายใน

สตกกน (Richard Stiggins) ไดกลาวถงการให เหตผลหลกๆ 3 แบบคอ การใหเหตผลแบบวเคราะห การใหเหตผลแบบเปรยบเทยบ การใหเหตผลแบบประเมน โดยอธบายวาการใหเหตผลแบบวเคราะห(analytical reasoning) เปนการใหเหตผล

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

การใหเหตผลแบบอปนย เปนวธการสรปผลในการคนหาความจรงทไดจากการสงเกตหรอการทดลองหลายๆ ครงจากกรณยอยๆ แลวน ามาสรปเปนกรณทวๆ ไป จงเปนการใหเหตผลแบบวทยาศาสตรและถอวาเปนหวใจส าคญของวทยาศาสตร ซงแมจะถกดแคลนวาเปนขอสรปทไมจรง ดวยอาจจะไมเปนจรงเชนนนเสมอไป แตกปฏเสธไมไดวา ดวยการสงเกตและการใหเหตผลแบบน มนษยทกผทกนามกสามารถน าไปใชไดจรง และกยงสามารถใชไดอยในปจจบน เชนในสถานการณ “คนหลงปาและแอปเปล”

โดยพจารณาสวนยอยหรอสวนประกอบ ซงประกอบกนเปนสงนนๆ เปนการศกษาลงลกในสวนยอยๆ เมอตองการศกษาสงนนอยางลกซงกใชการวเคราะหเพอศกษารายละเอยด หรอในกรณทตองการแกปญหา นกเรยนจะตองอาศยการวเคราะหสถานการณหรอปญหา แลวน าความรและการใหเหตผลมาใชในการแกปญหานนๆ การใหเหตผลแบบเปรยบเทยบ (comparative reasoning) เปนกระบวนการศกษาวาสงนนๆ มอะไรทเหมอนกน มอะไรทตางกน ในบางโอกาสเราตองศกษาสวนทตางกน บางโอกาสเราตองศกษาสวนทเหมอนกน การใชการใหเหตผลวธนจะตองมความรความเขาใจสงทตองการเปรยบเทยบอยางลกซง มขอตกลงอยางชดเจนวาอยางไรทถอวาเหมอนกน อยางไรทถอวาตางกนกอนทจะท าการเปรยบเทยบ การใหเหตผลในการประเมน (evaluative reasoning) เปนการใชเหตผลประเมนเมอเราตดสนคณคา หรอความถกตองโดยใชเหตผล อาศยความสมเหตสมผลเปนเครองตดสน นอกจากนสตกกนยงกลาวถงการใหเหตผลในลกษณะอนๆ อกไดแก การสงเคราะห (synthesizing) ซงเปนการน าขอมลตางๆ มาหลอมรวมเปนขอสรป หรอเปนการน าขอมลจากหลายๆ แหลงมาท าความเขาใจและหาขอสรป การจ าแนก (classifying) เปนการจดแบง ประเภท เชน การจ าแนกประเภทของพช ประเภทของสตว ซงการจ าแนกในลกษณะน ผจ าแนกตองรจกแตละประเภททตองจ าแนกเปนอยางด และอาศยการใหเหตผลในการจ าแนก และการอนมาน (inferential) เปนการใหเหตผลแบบอปนย และการใหเหตผลแบบนรนย

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

หรอทปรากฏเดนชดในกระกวนการสงเกตตนถวในแปลงเพาะ ของหลวงพอเมนเดล จนท าใหเกดแนวคดและขอสรปเกยวกบองคความรดานพนธกรรมในเวลาตอมา

จากสถานการณ “คนหลงปาและแอปเปล” เหนไดวา แมวาจะหวโหยสกเพยงใด อยากทานแอปเปลสกเพยงใด แตดวยการสงเกตวานกกนแลวนกกตาย ลงกนลงกตาย กวางกนกวางกตาย ดวยการใหเหตผลแบบอปนยจงสรปไดวา เออหนอ หากเรากน ชะรอยเรากคงจะตาย สวนขอเทจจรงหรอผลทเกดหลงกน จะออกผลเปนวา ตายจรง เจบปวยเลกนอย หรอไมเปนอะไรเลย นบวาเปนคนละสวนกบเรองน ตวอยางนเพยงสะทอนใหเหนวาลกษณะการใหเหตผลแบบอปนยนน เปนการใหเหตผลทเราใชกนอยอยางบอยครง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

หรอตวอยางทเกยวกบคณตศาสตร เชน การสงเกตวา

11111111 = 9 × 12345679 22222222 = 18 × 12345679 33333333 = 27 × 12345679 44444444 = 36 × 12345679

เพยงการสงเกต กท าใหเราพอจะคาดเดาไดโดยไมตองค านวณวา 55555555 = 45 × 12345679

ตวอยางเพมเตม 1. จากการสงเกตวา 88 = 7 + 9 × 9

888 = 6 + 9 × 8 9 8888 = 5 + 9 × 987 88888 = 4 + 9 × 9876 ท าใหเราคาดเดาไดโดยไมตองค านวณวา 888888 = 3 + 9 × 98765

2. จากการสงเกตวา 2 - 4 = 2

2 - 8 = 4 + 2 2 - 16 = 8 + 4 + 2

2 - 32 = 16 + 8 + 4 + 2

ท าใหเราคาดเดาไดโดยไมตองค านวณวา 2 - 64 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

จดเดนของการใหเหตผลแบบน จงอยทการใชงานไดงาย และใชงานไดจรง แตถงกระนนกตาม แมการใหเหตผลแบบอปนย อาจน าไปสการคนพบแนวคดใหมๆ จากการสงเกตปรากฏการณตางๆ ผานประสาทสมผส ตงเปนขอคาดเดาหรอกฎ เพอใชคาดหมาย ท านายอนาคตได แตการใหเหตผลแบบนกเตมไปดวยจดดอยมากมาย ทงการไดขอสรปทหลากหลาย หรอขอสรปทไดนนกอาจจะผดพลาด หากการรวบรวมขอมลจากกรณยอยๆ ไมเพยงพอ หรอท าไมไดในทกกรณ ซงกรณทละเวนไวนเอง อาจเปนขอมลส าคญทจะชใหเหนวาขอสรปนนๆ ผด หรอการได

ขอสรปทผดพลาด เชน จากการทดลองแทน 2,3,4,5,6,7,8,9,10 ลงในพหนาม 41 + x +x2 สงเกตไดวา ผลลพธทไดคอ 151 131, 113, 97, 83, 71, 61, 53, ,47 ซงลวนแลวแตเปนจ านวนเฉพาะ จงอาจสรปไดวาพหนาม

41 + x +x2 เปนจ านวนเฉพาะเมอ x เปนจ านวนนบ การใหเหตผลแบบนเอง จงเปนสงทยอมรบไมไดในวชา

คณตศาสตร เพราะอาจเกดขอผดพลาดขนได โดยถาพจารณาพหนาม 41 + x +x2 อยางถถวนขนแลว จะสงเกตได

วา คาของพหนามนเทากบจ านวนเฉพาะเมอ x = 0,1,2,…,39 แตเมอคาของ x = 40 คาของพหนามนจะเทากบ 241 ซงเปนจ านวนประกอบ จงอาจกลาวไดวาเปนตวอยางคานทท าใหเหนวาขอสรปทไดไมถกตอง หรอตวอยางทวา จากการพจารณาการแยกตวประกอบของ 1 - xn เมอ n เปนจ านวนนบ พบวา

1 - x= 1 - x 1) + 1)(x - (x = 1 - x2

1) + x+ 1)(x - (x = 1 - x 23 1) + 1)(x + 1)(x - (x = 1 - x 24

1) + x+ x+ x+ 1)(x - (x = 1 - x 2345

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

และ 1) + x- 1)(x + x+ 1)(x + 1)(x - (x = 1 - x 226

ซงท าใหคาดเดาไดวา จะไมมสมประสทธตวใดในการกระจายมคาสมบรณเกนกวา 1 แตในป ค.ศ.1941 ว ไอวานอฟ ไดพสจนใหเหนวาขอความดงกลาวเปนจรงส าหรบ n ทนอยกวา 105 เพราะพบวาในการกระจาย 1 - x105 จะมตวประกอบหนงคอ x48 + x47 + x46 – x43 – x42 – 2x41 – x40 – x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 – x28 – x26 – x24 – x22 – x20 + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 – x9 – x8 – 2x7 – x6 – x5 + x2 + x + 1 หรออกหนงตวอยางทแสดงใหเหนถงขอผดพลาด ทเกดขนจากการใหเหตผลแบบอปนย จากการพจารณาจ านวน

นบในรป 1 +2 n2 เมอ n มคา = 0, 1, 2, 3 และ 4 พบวา

เมอ n = 0 ผลลพธทได คอ 3 = 1 +2 02

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

เมอ n = 1 ผลลพธทได คอ 5 = 1 +2 12

เมอ n = 2 ผลลพธทได คอ 17 = 1 +2 22

เมอ n = 3 ผลลพธทได คอ 257 = 1 +2 32

และเมอ n = 4 ผลลพธทไดกคอ 65537 = 1 +2 42

จากการพจารณาจ านวนนบในรป 1 +2 n2 ขางตน ท าให ปแยร เดอ แฟรมาต (Pierre de Fermat 1601-1665) นกคณตศาสตรนามอโฆษ ท าการคาดเดาไววา จ านวนนบทกตวทเขยนอยในรปแบบดงกลาวเปนจ านวนเฉพาะ

ตอมาเลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler 1707-1783) จงพบวา 417)(641)(6700 = 4294967297 = 1 +2 52

เปนจ านวนประกอบ จากตวอยางทผานมา อาจท าใหเกดขอสงสยขนไดวา เราจะตองทดลองอกเทาไรถงจะเพยงพอ จะมากหรอ

จะนอย และส าหรบความสามารถของมรรตยชนผมวนตายแลว เราจะหาญอาจทดลองไปไดยาวนานอกสกเพยงใด เมอก าลงทดลองอยกบจ านวนทมมากมายจนเกนหยงถงได ค าวามากของมนษย จงไมใชค าวามากของคณตศาสตรอกตอไป การใหเหตผลทชวยใหเรา “ท าได” ในบางครงแบบนจงดจะไมเพยงพอเสยแลวส าหรบการใชงานของมนษย ทตองการการใหเหตผลทรดกม ทจรง และตอบค าถามไดวา “ท าไม” ซงการใหเหตผลทตอบสนองความตองการนคอ การใหเหตผลแบบทเรยกวา “การใหเหตผลแบบนรนย” นนเอง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

การใหเหตผลแบบนรนย เปนวธการสรปผลในการคนหาความจรง โดยการน าความรพนฐานซงอาจเปน

ความเชอ ขอตกลง กฎ โดยจะเรยกรวมวาเหต ซงยอมรบวาเปนจรงแลว มาอางอยางสมเหตสมผล เพอน าไปสขอสรป

การใหเหตผลแบบอปนยอาจน าไปสการคนพบแนวคดใหมๆ จากการสงเกตปรากฏการณตางๆ ผานประสาทสมผส ตงเปนขอคาดเดาหรอกฎ เพอใชคาดหมาย ท านาย (predict) อนาคตได อยางไรกตามขอสรปทไดจากการใหเหตผลแบบอปนยน อาจเกดขอผดพลาด ถาการรวบรวมขอมลจากกรณยอยๆ ไมเพยงพอหรอไมไดท าทกกรณทเปนไปได กรณทละเวนไวอาจเปนขอมลซงชใหเหนวาขอสรปผด เชนจากการสงเกตวา a 6, 4, ,2 เราอาจคาดเดาวา 8 = a เพราะคดวาแบบรปของการเปลยนแปลงคอการเพมขนทละสอง แต a อาจเปน 10 กได ถาคดวา a เกดจากการบวกกนของสองจ านวนกอนหนา

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

เชน เหตขอท 1 คอ จ านวนคหมายถงจ านวนทหารดวย 2 ลงตว

เหตขอท 2 คอ 18 หารดวย 2 ลงตว ผล คอ 18 เปนจ านวนค

ไมมสงใดทสมบรณพรอมไปเสยทกอยาง ถงแมวาการใหเหตผลแบบนจะมขอดอยมากมาย แตกมขอดอยปะปนอยดวยเชนกน กลาวคอ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

การใหเหตผลแบบนรนย จะเรมตนดวยการยอมรบวาเหตเปนจรงเปนส าคญ ดงนนถาเหตทยอมรบวาจรงนนขดแยงกบความจรงทางโลก ขอสรปทไดจากการใหเหตผลแบบนรนยกอาจขดแยงกบความจรงทางโลกไดเชนกน ตวอยางเชน

เหตขอท 1 คอ นกวทยาศาสตรทกคนบนได เหตขอท 2 คอ ฟรานซส เบคอนเปนนกวทยาศาสตรคนหนง ผล คอ ฟรานซส เบคอนบนได

ซงผลทไดจากการใหเหตผลแบบนรนยน จะขดแยงกบความจรงทางโลกทเราทราบกนดอยวา มนษยปถชนคนธรรมดาสามญไมสามารถบนได ฟรานซส เบคอน นกวทยาศาสตรคนส าคญ กเปนอกผหนงทชขอบกพรองของการใหเหตผลแบบนรนย โดยกลาววาเราไมไดอะไรใหมๆ เลยจากการใหเหตผลแบบน เชน

การใหเหตผลแบบนรนย จะเรมตนดวยการยอมรบวาเหตเปนจรงเปนส าคญ ดงนนถาเหตทยอมรบวาจรงนนขดแยงกบความจรงทางโลก ขอสรปทไดจากการใหเหตผลแบบนรนยอาจขดแยงกบความจรงทางโลกไดเชนกน เชน เหต 1. สนขทกตวบนได 2. เจาตบเปนสนขตวหนง ผล เจาตบบนได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

การทเราเชอวา โลหะทกชนดน าไฟฟา และเชอวาเหลกเปนโลหะ แลวปตทจะสรปไดวา เหลกเปนสอไฟฟา และเรยกสงนวาเปนความรใหม ทงๆ ทกอนหนาท กอนทเราจะเชอวาโลหะทกชนดน าไฟฟาไดนน เรามไดรอยกอนแลวหรอวา เหลกสามารถน าไฟฟาได ตอมา ชาลล ดาวน ไดเกบรกษาจดเดนและก าจดจดดอยของการใหเหตผลทง 2 แบบ ดวยการรวมวธการใหเหตผลทงสองประเภทเขาไวดวยกน และเรยกวาเปนการใหเหตผลแบบวทยาศาสตร

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

ค าถามอภปราย ชายคนหนงมความเชอวา หากเขากนผลไมสแดงแลว เขาตองตาย วนหนงเขาไดไปเทยวปาและโชครายเกดพลดหลง ระหวางทก าลงหวโหยเพราะไมไดรบประทานอาหารมาหลายวน เขามองเหนตนไมตนหนงมผลไมสแดงสกปลงอยเตมไปหมด แตทใตรมไมกลบมซากนกและผลไมสแดงซงมรองรอยของการจกกนของนกเหลออย เมอรอสกพกเขาพบวาลงทกนผลไมชนดนนกตาย กวางทกนผลไมชนดนนกตาย เขาจงตดสนใจทจะไมกนผลไมชนดนน ถามวา ชายผนนใชเหตผลแบบใดจงสรปไดวาเขาจะไมกนผลไมนน แนวค าตอบ ค าถามนยงไมสามารถตอบได นอกจากจะไดขอมลเพมจากชายผนนวาเขามกระบวนการคดอยางไร

หากเขาไมกนผลไมนน เพราะเขาเชออยางสนทใจวา “หากเขากนผลไมสแดงแลว เขาตองตาย” และเขากเหนวา “ผลไมนนมสแดง” กระบวนการคดแบบน สรปไดวาเขาใชการใหเหตผลแบบนรนย

หากเขาไมกนผลไมนน เพราะเขาเหนวา ทง นก ลง กวาง ตางกนตางกตาย เขาจงไมกนเพราะเกรงวาจะเปนแบบตวอยางทผานมา กระบวนการคดแบบน สรปไดวาเขาใชการใหเหตผลแบบอปนย

สงเกตวาแมค าตอบจะเหมอนกน คอ ไมกน แตการใหเหตผลเปนแบบใดกลบอยทกระบวนการคด การพจารณาวาการใหเหตผลเปนแบบใดจงค าวามส าคญจงไมอยท ค าตอบ หากแตอยทวธคด วธใหเหตผล

ค าถามอภปราย การพสจนโดยใช “อปนยเชงคณตศาสตร” เปนการใหเหตผลแบบอปนบหรอนรนย แนวค าตอบ อปนยเชงคณตศาสตร เปนวธการพสจนทางคณตศาสตรแบบหนง และนบวาเปนการใหเหตผลแบบนรนย แตเนองจากมโครงสรางขนอปนย ซงมกระบวนการคดคลายกบรปแบบของอปนย จงอาจเปนทมาของการใชชอระเบยบวธพสจนนวา อปนยเชงคณตศาสตร

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

ภาคผนวกท 1 แผนภาพแสดงความสมพนธของเรอง

การใหเหตผลและตรรกศาสตร

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ตรรกศาสตร

การใหเหตผลแบบอปนย

การใหเหตผลแบบนรนย

ประพจนและคาความจรง

ตวเชอมประพจน

การสมมล

เอกลกษณในการเชอมประพจน

สจนรนดร

การอางเหตผล

ประโยคเปด

วลบงปรมาณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได