01 เซต บทนำ

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

บทน า

เรอง เซต

โดย

อาจารย ดร.จณดษฐ ละออปกษณ อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

http://www.google.co.th/imgres?q=%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%90&um=1&hl=th&sa=N&rlz=1R2ADRA_enTH425&biw=1051&bih=687&tbm=isch&tbnid=srkh9z1q97NYlM:&imgrefurl=http://www.manager.co.th/Qol/ViewNews.aspx?NewsID=9540000014478&imgurl=http://www.manager.co.th/asp-bin/Image.aspx?ID=1799322&w=300&h=429&ei=oZ_TTbm5I42ougPb-Yi5DQ&zoom=1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง เซต สอการสอน เรอง เซต มจ านวนตอนทงหมดรวม 7 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง เซต 2. เนอหาตอนท 1 ความหมายของเซต

- ความหมายของเซต - การเขยนเซต - เซตจ ากดและเซตอนนต

3. เนอหาตอนท 2 เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต - แผนภาพเวนน-ออยเลอร - สบเซตและเซตก าลง - การเทากนของเซต - การด าเนนการบนเซต

4. เนอหาตอนท 3 เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร - เอกลกษณการด าเนนการบนเซต - การหาจ านวนสมาชกของเซตและการแกปญหาโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร

5. แบบฝกหด (พนฐาน) 6. แบบฝกหด (ขนสง) 7. สอปฏสมพนธ เรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง เซต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


2

เรอง เซต หมวด บทน า จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนเขาใจทมา เกดความซาบซง เหนคณคาของคณตศาสตรเรอง เซต ตระหนกถงความส าคญและประโยชน ตลอดจนบทประยกตของเซต

วตถประสงคหลกของการจดท าสอบทน า: เพอใหผเรยนเกดแรงบนดาลใจในการเรยน ไดเหนถงทมาและประโยชนของเนอหาทจะไดเรยนตอไป โดยมไดมงเนนทการทองจ าเนอหาหรอเรองราวตามทปรากฏในสอบทน า การใชสอบทน าจงควรใชเพยงประกอบในขนการน าเขาสบทเรยน หรอน าเสนอผเรยนกอนการจดการเรยนรในเนอหานนๆ และไมควรน าเนอหาในสอบทน าไปใชวดผลการศกษาหรอใชในการสอบ เพราะอาจท าใหการใชสอไมบรรลวตถประสงคทแทจรงตามทมาดหมายไว


3

บทสารคดและขอมลเพมเตม

มนษยใชประโยชนจากคณตศาสตรทงในเชงรปธรรม คอเปนเครองมอทชวยอ านวยความสะดวกสบายในการด ารงชวต เชน การวด การนบ การค านวณ ตลอดจนใชเปนฐานรากทน าไปสการสรางสรรคเทคโนโลยใหมๆ ใหเกดขน


4

อกทงประโยชนในเชงนามธรรม เพอตอบสนองความกระหายใครร ซงเปนเสมอนเครองประดบทางสตปญญาอยางหนงและเปนคลงความรเพอรอการสานตอจากนกคดรนตอมา ทมองเหนความสอดคลองของความรเรองนนๆ กบ ศาสตรอนๆ จนสามารถน าไปปรบใช ตลอดจนรงสรรคผลงานในดานตางๆ ตอไป

ในแงมมนคณตศาสตรถกมองในลกษณะของระบบทตงอยบนองคประกอบสประการ คอ อนยาม นยาม สจพจนและทฤษฎบท ซงรวมเรยกวาระบบสจพจน แนวคดทพจารณาคณตศาสตรในลกษณะน มเคาลางมาแตครงบราณการ สะทอนผานงานของ ยคลด (Euclid, 276-194 กอนครสตศกราช) เมอราว 300 ปกอนครสตกาล และยงคงมอทธพลตอความคดของมนษยตอเนองมายาวนานกวา 2,000 ปจวบจนกระทงถงปจจบน


5

ระบบสจพจน ประกอบดวย อนยาม นยาม สจพจน และทฤษฎบท ค าอนยาม คอ ค าทไมมการก าหนดความหมายชดเจน หากแตเปนทเขาใจกนโดยทวไปวาหมายถงอะไร เพราะหากมการใหความหมายค าเหลาน กจ าเปนตองมการใหความหมายของค าทใชอธบาย ค าเหลานดวย ดงนนจงจ าเปนตองมการก าหนดค ามลฐานขน นกคณตศาสตรเรมเหนความส าคญกบ ค าอนยาม เมอราวตนครสตวรรษท 20 โดยอาศยค าอนยาม จะสามารถก าหนดความหมายของค าใหมใหเปนทเขาใจตรงกนได เรยกวา ค านยาม ซงลกษณะของค านยามทด ควรประกอบดวย

1. ค าทใชในบทนยามและค านยาม ควรเปนค าทอยในกลมเดยวกนหรอมสมบตใกลเคยงกน

2. บทนยามควรยอนกลบได 3. ควรมค าทสามารถแยกแยะค าทจะนยามจากค าอนๆ

4. ค าทใชในบทนยามควรเขาใจไดงายกวาค าทจะนยาม

สจพจน คอ ขอความทจะถอวาเปนจรงโดยไมตองพสจน และน าไปใชในการพสจนขอความอนๆได ขอความทพสจนไดอยางสมเหตสมผล โดยอาศย อนยาม นยาม และสจพจนนน เรยกวา ทฤษฎบท


6

ตอมาเมอราวศตวรรษท 19 เกอรก คนทอร (Georg Cantor, ค.ศ. 1845-1918) ไดน าเสนอ “ทฤษฎเซต” ซงเปนแนวคดในระบบสจพจน เพอหวงทจะตอบปญหาเกยวกบทมาของจ านวนตางๆ ซงเปนสงทนกคณตศาสตรสมยนนก าลงใหความสนใจ “ทฤษฎเซต” ของคนทอร สามารถน าไปใชในการอธบายสงตางๆ ทางคณตศาสตรไดอยางรดกม สามารถน าไปใชสรางจ านวนนบ จ านวนเตม จ านวนตรรกยะ และจ านวนจรง

แตตอมา “ทฤษฎเซต” ดเหมอนจะถกทาทายครงส าคญ จนสรรพสงทสรางมาตองสญสลายไปทงหมด เมอตองเผชญกบปฏทรรศนหรอ paradox ซงเปนขอความทมความขดแยงในตวเอง

เบอรนาด รสเซลตงค าถามขนมาวา “ณ หมบานแหงหนง มชายชางตดผมคนหนงทจะคอยท าหนาทโกนหนวดใหกบชายทกคนในหมบานทไมไดโกนหนวดดวยตนเอง...... ลองคดดเลนๆ สวา ใครจะเปนคนโกนหนวดใหกบชายชางตดผมผนน”


7

หากชายชางตดผมเปนผโกนหนวดของตนเอง กจะขดแยงกบทวาเขาจะโกนหนวดใหเฉพาะกบคนทไมไดโกนหนวดดวยตนเองเทานน หรอชายชางตดผมไมไดเปนผโกนหนวดของตนเอง แตชายทกคนทไมไดโกนหนวดเอง ชางตดผมจะเปนผโกนให ดงนนไมวาใครจะเปนผท าหนาทโกนหนวดใหกบชายชางตดผมผนน กลวนแตเกดขอขดแยงในตวเองทงสน


8

ฉบพลนทนใดนนเอง ปฏทรรศนกบงเกดขนและท าใหทฤษฎเซตของคนทอรสนคลอน ภายหลง แอนสท แซรเมโล (Ernst Zermelo, ค.ศ. 1871 - 1953) ไดเสนอแนวทางแกปญหาน โดยเสนอใหมการก าหนดเซตทเรยกวาเอกภพสมพทธขนมา

เมอคณตศาสตรถกน าเสนอในลกษณะทมรากฐานเปนทฤษฎเซต นอกจากจะท าใหการศกษาทางคณตศาสตรเปนระบบอยางในปจจบนแลว ยงกอใหเกดแนวคดทคาดไมถงขนอก หนงในนนคอ โรงแรมมหศจรรยของฮลแบรท ซงท าใหสจพจนของยคลดทวา “สวนรวมยอมมากกวาสวนยอย” ซงควรจะเปนจรงอยางไมมขอกงขานน กลบกลายเปนสงทไมจรงภายใตระบบทอธบายดวยทฤษฎเซต

โรงแรมมหศจรรยของฮลแบรทมหองพกตงแตหมายเลข 1, 2, 3,… ไมมทสนสด และทส าคญคอ ทกหองมแขกเขาพกหมดแลว หากมแขกรายใหมตองการเขาพกเพมขนอกสกคน จะท าอยางไร


9

แนนอนวาส าหรบโรงแรมทวไปยอมไมสามารถท าได แตส าหรบโรงแรมของฮลแบรทละ? เหตการณนไมเปนปญหาส าหรบโรงแรมของฮลแบรท เพราะโรงแรมจะขอใหแขกทพกหองหมายเลข 1 ยายไปพกหองหมายเลข 2 และขอใหแขกทพกหองหมายเลข 2 ยายไปพกหองหมายเลข 3 อยางนไปเรอยๆ กลาวคอขอใหแขกทพกหอง

หมายเลข n ยายไปพกหองหมายเลข n+1 ซงจะท าใหแขกทกคนยงมทพกและโรงแรมมหองพกหมายเลข 1 ส าหรบแขกผมาใหม

ดวยวธการขางตน หากมแขกใหมเขามาพกจ านวนหนงรอยคน หนงลานคน หรอแมกระทงหนงพนลานคน กคงไมเปนปญหากระไร หากมองในเชงคณตศาสตร สมมตวายายแขกชดเดมทพกในหองหมายเลข 1, 2, 3, … ไปพกในหองหมายเลข 6, 7, 8, … เนองจากเปนแขกชดเดม ดงนนเมอนบหองทงหมดกอนการยายซงกคอหองหมายเลข 1, 2, 3, … กบจ านวนหองหมายเลข 6, 7, 8 … หลงจากยายแลว มจ านวนเทากน แต !!! 6, 7, 8, … เปนสวนยอยของ 1, 2, 3, … และนเองทท าใหสงทไมนาเชอไดบงเกดขน


10

ค าถามอภปราย จากปญหาขางตน หากมแขกใหมเขามาพกจ านวนอนนตคน โรงแรมฮลแบรทจะยงสามารถจดใหทกคนเขาพกไดหรอไม เพราะอะไร แนวค าตอบ

โรงแรมฮลแบรทสามารถจดการปญหาดงกลาวได ถาแขกจ านวนอนนตคนนน เปนอนนตคนแบบนบได สมมตใหแขกใหมมหมายเลขประจ าตวเปน 1, 3, 5, 7,… ซงมจ านวนเปนอนนตคน โดย ฮลแบรทจะยายแขกชดเดมทพกในหองหมายเลข 1, 2, 3, 4, … ไปพกในหองหมายเลข 2, 4, 6, 8, … และใหแขกใหมเขาพกตามหองทตรงกบหมายเลขของตน ดงน แขกชดเดมอนนตคนทเคยพกกยงคงมทพก และแขกชดใหมอนนตคน กยงคงไดเขาพก หลงจากยายแลว มจ านวนเทากน แต !!! 6, 7, 8, … เปนสวนยอยของ 1, 2, 3, … และนเองทท าใหสงทไมนาเชอไดบงเกดขน


11

เรองมหศจรรยเกยวกบเซตยงมมากกวาน ทงๆททฤษฎเซตเปนทฤษฎทสรางขนมาเพอรองรบระบบทางคณตศาสตร แตแนวคดทางทฤษฎเซตกมประโยชนมากในการวเคราะหและประพนธดนตรไรกญแจเสยงแบบอสระในแงของการวเคราะห ซงจะชวยท าใหเขาใจไดถงโครงสรางและความสมพนธของกลมโนต สวนในแงของการประพนธจะท าใหผประพนธมนใจวา กลมโนตทใชในบทเพลงไรกญแจเสยงไมไดรวมกลมกนโดยบงเอญหากแตเกดขนอยางมเหตผลและมทศทางทชดเจน นอกจากนความรเกยวกบเรองเซต ยงสามารถน ามาชวยในการแกปญหาทมความซบซอนได ซงสะทอนไดจากเหตการณดงตวอยางตอไปน

หนวยงานทองถนแหงหนงตองการชวยเหลอผตกงาน จงขอขอมลผวางงานของหมบานตางๆ จากนาย อ าเภอ ใหสงขอมลของผวางงานในแตละหมบานมา ซงมนายอ าเภอของหมบานแหงหนง ไดสงรายละเอยดขอมลมาใหดงน

“ลกบานวยท างานของผมมทงหมด 52 คน มอาชพ ท าไรขาวโพดกบเลยงแกะ เมอวานกระผมลองไปนบ จ านวนด พบวามคนทไมไดท าไรขาวโพด 30 คน พวกทเลยงแกะอยางเดยว 15 คน สวนพวกขยนทท าทง สองอยางมอย 5 คน… แลวตกลงวา มคนตกงานกคนกน ? จะไดชวยเหลอไดถก”


12

หากมองเพยงผวเผนแลว ดเหมอนกบวานายอ าเภอจะไมไดใหขอมลทเจาหนาทตองการ หากแตถาเราใชความรเรองเซตทแทนขอมลทนายอ าเภอใหมาดวยแผนภาพเวนน-ออยเลอรแลว เรากจะพบวา ขอมลทเจาหนาทตองการ ถกซอนอยแลวในจดหมายของนายอ าเภอ ดงน


13

ในชวงน ผสอนควรพจารณาอธบายเพมเตม โดยอาจแทรกระหวางการน าเสนอสอบทน า หรอหลงจากน าเสนอจบแลว ทงนไมควรอางองทฤษฎบทตามบทเรยน หากแตสะทอนใหเหนถงประโยชนของการน าแผนภาพมาใชเพอใหเกดความเขาใจทงายและตรงกน สงเกตวา ขอมลบางอยางของนายอ าเภอไมไดถกน ามาใชงาน และอาจมวธแกปญหาไดหลายวธ ทงนผสอนอาจยกตวอยางอน หรอตวอยางทซบซอนขนเพมเตมได


14

นอกจากนน ในชวตจรงเราอาจจะพบปญหาในลกษณะเดยวกนทมความซบซอนมากกวาปญหาขางตน เชน มอาชพมากกวาสองอาชพ ซงเรากยงสามารถใชความรในเรองเซตมาชวยแกปญหาเหลานไดเชนกน


15

ภาคผนวกท 1 แผนภาพแสดงความสมพนธ

เรอง เซต


16

เซต

ความรพนฐาน

การด าเนนการบนเซต

การใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ในการแกปญหาทวไป และปญหาเกยวกบจ านวนสมาชก

ความหมาย

การเปรยบเทยบ

การเขยนเซต

ประเภทของเซตทส าคญ

ยเนยน

อนเตอรเซกชน

คอมพลเมนต ผลตาง

แจกแจงสมาชก

บอกเงอนไข

เซตจ ากด

เซตอนนต

เซตวาง

เอกภพสมพทธ

การเทากน

การเทยบเทา

สบเซต

เซตก าลง


17

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


18

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


19


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


20


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

01 เซต บทนำ

Documents