43 ตรีโกณมิติ บทนำ

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

บทน า

เรอง ตรโกณมต

โดย

อาจารย ดร.จณดษฐ ละออปกษณ อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

http://www.google.co.th/imgres?q=%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%90&um=1&hl=th&sa=N&rlz=1R2ADRA_enTH425&biw=1051&bih=687&tbm=isch&tbnid=srkh9z1q97NYlM:&imgrefurl=http://www.manager.co.th/Qol/ViewNews.aspx?NewsID=9540000014478&imgurl=http://www.manager.co.th/asp-bin/Image.aspx?ID=1799322&w=300&h=429&ei=oZ_TTbm5I42ougPb-Yi5DQ&zoom=1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ตรโกณมต

สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตองมม 30 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตางๆ

6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน


2

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10.แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11.แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดน รวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ตรโกณมต หมวด บทน า จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนเขาใจทมา เกดความซาบซง เหนคณคาของคณตศาสตรเรอง ตรโกณมต ตระหนกถงความส าคญและประโยชน ตลอดจนบทประยกตของตรโกณมต

วตถประสงคหลกของการจดท าสอบทน า: เพอใหผเรยนเกดแรงบนดาลใจในการเรยน

ไดเหนถงทมาและประโยชนของเนอหาทจะไดเรยนตอไป โดยมไดมงเนนทการทองจ าเนอหาหรอเรองราวตามทปรากฏในสอบทน า การใชสอบทน าจงควรใชเพยงประกอบในขนการน าเขาสบทเรยน หรอน าเสนอผเรยนกอนการจดการเรยนรในเนอหานนๆ และไมควรน าเนอหาในสอบทน าไปใชวดผลการศกษาหรอใชในการสอบ เพราะอาจท าใหการใชสอไมบรรลวตถประสงคทแทจรงตามทมาดหมายไว


4

บทสารคดและขอมลเพมเตม หากถามบคคลทวไปทพอจะรจก “คณตศาสตร” มาบาง วาชอนกคณตศาสตรทานใดทคนหมากทสด

คอนขางจะแนใจไดเลยวา รายชออนดบตนๆ คงจะปรากฏนามของ พทาโกรสแหงซามอส อยอยางแนนอน และผลงานชนโดดเดนมากทสดของเขากคอ “ความสมพนธระหวางความยาวดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก”


5

วชาทวาดวยการศกษาความสมพนธเกยวกบสวนประกอบตางๆ ของรปสามเหลยม ทงความยาวดานและ

ขนาดของมม เชน ทพทาโกรสไดศกษาน เรยกวา ตรโกณมต โดยศพทมลวทยาแลว ตรโกณมต หรอ trigonometry มาจากการรวมของค าสามค า คอ ตร หรอ tri ซงแปลวา สาม โกณ หรอ gon ซงแปลวา มมหรอเหลยม และมต หรอ metric ซงแปลวา การวด ซงรวมความทงสามค าไดวา การวดรปสามเหลยม หรอวชาทวาดวยการวดรปสามเหลยมนนเอง

พทาโกรส แหงซามอส (Pythagoras of Samos, ประมาณ 580 – 496 ปกอนครสตศกราช) เปนนกคณตศาสตรชาวกรก เกดทเมองอเจยน เกาะซามอส พทาโกรสเปนผกอตงส านกพทาโกเรยน ทเมองโครโทนา ซงอยทางตอนใตของประเทศอตาลในปจจบน โดยเปดสอนทงหลกปรชญา ทฤษฎจ านวน เรขาคณต ดนตร ดาราศาสตร ธรรมชาตวทยา ส านกพทาโกเรยนมหลกปรชญาทส าคญคอ “ทกสรรพสงลวนแทนไดดวยจ านวน” ซงจ านวนในทนหมายถงจ านวนตรรกยะบวกและศนยเทานน พทาโกรสเปนทรจกในฐานะผพสจนทฤษฎบทพทาโกรส แตทงนยงมหลกฐานทยนยนไดวาชาวบาบโลน และชาวอยปตรจกความสมพนธระหวางความยาวดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉากมากอนแลว ในปจจบนยงมผสนใจศกษา และคนหาบทพสจนของทฤษฎบทพทาโกรสในรปแบบทแตกตาง โดยสามารถรวบรวมไดกวา 300 วธเลยทเดยว


6

มนษยเรารจกน าวชาตรโกณมตมาใชงานตงแตสมยโบราณ ยอนไปไดไกลกวา 4,000 ปลวงมาแลว และจวบจนปจจบนทวชาตรโกณมตกยงมบทบาทแทรกอยในแทบจะทกสาขาวชา สรรพศลปวทยาของมนษยชาตทสงสมสบตอกนมา อาท ดาราศาสตร สถาปตยกรรมศาสตร วศวกรรมศาสตรเหลาน ลวนแลวแตมความรทางตรโกณมตเปนเครองมอชนส าคญทงสน


7

รองรอยการสรางและใชความรทางตรโกณมต ปรากฏเดนชดอยในแหลงอารยธรรมตางๆ เชน ใน

อารยธรรมอยปต ความเจรญของวชาตรโกณมตสะทอนผานการน าความรไปใชสรางพระมดหรอหลกฐานจาก พาไพรสอาเมส เอกสารโบราณทกลาวถงโคแทนเจนตของมมระหวางเสนสงเอยงและฐาน

พาไพรสอาเมส (Ahmes Papyrus) เอกสารพาไพรสโบราณทมเนอหาเกยวของกบคณตศาสตร ตงชอตาม อาเมส เสมยนชาวอยปตยคโบราณ ซงเปนผจดบนทกเอกสารน พาไพรสอาเมส รจกกนในอกชอหนงวา พาไพรสไรนด (Rhind Papyrus) ซงตงชอตามไรนด (Alexander Henry Rhind) นกกฎหมายและนกอยปตวทยาชาวสกอตซ ซงซอกระดาษมวนนมาจากตลาดในเมองลกซอร ประเทศอยปต เมอป ค.ศ. 1858 ปจจบนพาไรรสอาเมสหรอพาไรรสไรนดจดแสดงอยทพพธภณฑบรตช


8

ในอารยธรรมบาบโลนพบการประดษฐเครองมอวดมมและการน าความรตรโกณมตไปใชในการสราง

ปฏทนและการศกษาดาราศาสตร นอกจากนยงพบการบนทกทอาจจะเปนตารางคาเซแคนตในจารกอกษร คนฟอรมบนแผนดนเหนยวพรมตน 322

พรมตน 332 เปนแผนดนเหนยวจารกอกษรคนฟอรม แผนท 322 ในชดสะสมของพลมตน (George Arthur Plimpton) มเนอหาเกยวของกบตารางแสดงสามสงอนดบของพทาโกรส แผนดนเหนยวเหลาน พรมตนซอมาจากเอดการ แบงค พอคาโบราณวตถชาวอเมรกน ตงแตปค.ศ. 1922 และตอมาอก 8 ป เขาไดมอบชดสะสมนใหกบมหาวทยาลยโคลมเบย


9

ในอารยธรรมกรกมการสรางนาฬกาแดด โดยอาศยแนวคดจากชาวอยปตและบาบโลน ซงเบองหลงของ

การสรางนาฬกาแดดนมการน าความรทางตรโกณมตเขามาเกยวของ นอกจากนตรโกณมตยงปรากฏในภมรของทาเลสแหงมเลตสทใชเงาเพอค านวณความสงของวตถทไมสามารถวดความสงไดโดยตรง เชน พระมด ซงการน าความรไปใชในลกษณะน กลาวคอ การวดระยะทาง ความสง ความลก ยงพบไดในอารยธรรมจนอกดวย


10

ทาเลสแหงมเลตส (Thales of Miletus, ประมาณ 640 – 546 ปกอนครสตศกราช) นกปราชญชาวกรก จากเมองมเลตส ซงปจจบนอยในประเทศตรก ทาเลสไดรบการยอมรบวาเปนบคคลแรกทค านวณความสงของพรามดโดยใชแสงเงา เขายงมผลงานดานเรขาคณต ดาราศาสตร การเดนเรอ นอกจากนทงอรสโตเตลและเบอรแทรนด รสเซลล ตางยกยองใหทาเลสเปนบคคลคนส าคญดานปรชญา


11

ในอารยธรรมฮนด งานทางตรโกณมตไดรบอทธพลจากงานของชาวกรก และดจะใหความส าคญไปในเรองของตารางคอรดและตารางครงคอรดบนวงกลมทมรศมหนงหนวย ซงนบเปนรากฐานของการหาคาไซน

สวนในอารยธรรมอาหรบ สวนใหญเนนการใชตรโกณมตเพองานทางดานดาราศาสตร โดยพบการ

ประดษฐเครองมอเพอใชค านวณระยะหางของดวงดาว นกคณตศาสตรชาวอาหรบยงนยมสรางตารางตรโกณมตตางๆ เชน ตารางแทนเจนต ตารางโคแทนเจนต และยงเปนผคนพบเอกลกษณตรโกณมต ทฤษฎบท รวมถงการจดระบบและพสจนเอกลกษณและทฤษฎบทเหลานนอกดวย


12

องคความรทางตรโกณมตทเกดขนตามแหลงอารยธรรมทวโลก ไดผานการสรางสรรค ถายทอด

แลกเปลยนเรยนร ปรบปรง และถกน ามาใชเปนเครองมอค านวณเพอตอบค าถามตางๆ ทงทพบและน าไปใชไดทวไปในชวตประจ าวน เชน การหาความกวางของแมน า การหาความสงของภเขา ซงไมสามารถวดไดโดยตรง และค าถามททาทายมนษยตวกระจอย เชน การค านวณหาความยาวเสนรอบวงของโลก เหมอนดงทเอราโทสเทเนส ไดเคยฝากผลงานไว


13

ราวสามรอยปกอนครสตกาล เอราโทสเทเนสแหงไซรน บรรณารกษแหงหองสมดอเลกซานเดรย และ

นกปราชญผเปนมตรรกของอารคมดสไดอาจหาญทจะค านวณความยาวเสนรอบวงของโลก ตงแตในยคทยงเตมไปดวยผคนทเชออยางสนทใจวาโลกแบน


14

เอราโทสเทเนสสงเกตวาในวนครษมายน ซงเปนวนทชวงเวลากลางวนจะยาวนานมากกวาชวงเวลากลางคนทสดในรอบปและดวงอาทตยจะตงฉากกบโลกทเสน tropic of cancer และในตอนเทยงวนของวนนนเอง ขณะทดวงอาทตยก าลงทอดทอเงา ท าใหเกดเปนภาพสะทอนเตมดวงกลางบอน าทเมองไซรน หางออกไปทางเหนออกราว 480 ไมล ณ เมองอเลกซานเดรย ดวงอาทตยดวงเดมนนกลบแผดแสงเสนตรงท ามม 7 องศา 12 ลปดากบ เสาหน

จากสมมตฐานทแสงเดนทางเปนเสนตรงและความรทางเรขาคณต ท าใหทราบวามมแยง ณ ต าแหนง

ศนยกลางของโลกกยอมมขนาด 7 องศา 12 ลปดาดวยเชนกน และดวยความรทางพชคณตพนฐาน เอราโทสเทเนสสามารถค านวณไดวา เมอขนาดของมม 7 องศา 12 ลปดา รองรบสวนโคงยาว 5,000 สเตเดยหรอประมาณ 787.5 กโลเมตร กยอมใหมมขนาด 360 องศา ซงรองรบสวนโคงทเปนเสนรอบวงของโลกยาว 252,000 สเตเดย หรอประมาณ 39,690 กโลเมตร ซงคลาดเคลอนจากการค านวณในปจจบนไมถง 2%


15

การพฒนาของตรโกณมต จากการศกษาอตราสวนและความสมพนธของความยาวดานและขนาดของมม

มาสการพจารณาตรโกณมตในฐานะของฟงกชนบนวงกลมหนงหนวยหรอฟงกชนคาจรง สงผลตอพฒนาการทางดานคณตศาสตรอยางมาก และความรทเกดขนยงถกน าไปใชงานในศาสตรหลายแขนง โดยเฉพาะวทยาศาสตรและเทคโนโลย ทงความรในการประมาณคาของฟงกชนอนๆ ซงหาความสมพนธไดยากดวยฟงกชนตรโกณมตพนฐาน การแปลงสญญาณเพอใหตอเนองและความคมชด โดยใชอนกรมของฟงกชนตรโกณมตพนฐาน เชน สญญาณ ไฟฟา สญญาณคลนวทย คลนเสยง สญญาณภาพในคอมพวเตอร การแปลงสญญาณโทรคมนาคม การแปลงสญญาณทไดจากเครอง MRI (Magnetic Resonance Imagine) รวมถงการน าไปประยกตใชในแผนดนไหววทยาและรงสวทยา


16


17

ภาคผนวกท 1 แผนภาพแสดงความสมพนธ

เรอง ตรโกณมต


18

ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมต

ความรพนฐาน

การประยกตอตราสวนตรโกณมต

คาฟงกชนตรโกณมตในจตภาคตางๆ

เอกลกษณตรโกณมต

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมตองมม 30 45 และ 60

รปสามเหลยมมมฉาก

สามเหลยมคลาย

ทฤษฎบทพทาโกรส

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

การประยกตของฟงกชนตรโกณมต

กฎของไซน

กฎของโคไซน


19

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


20

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


21


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


22


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

43 ตรีโกณมิติ บทนำ

Documents