Лекция №6 Динамика релятивистской частицы

13/03/2012

Алексей Викторович Гуденко

План лекции

Постулаты теории относительности. Принцип относительности Эйнштейна.

Релятивистская кинематика. Замедление времени и сокращение длины. Преобразования Лоренца. Интервал. Релятивистский закон сложения скоростей.

Релятивистский импульс. Релятивистская энергия. Связь между энергией и импульсом частицы. Динамический инвариант.

Примеры релятивистского движения частиц.

Альберт Эйнштейн (1879 -1955)

Альберт Эйнштейн – немецкий физик-теоретик (в 1933 г. переехал в США). Нобелевская премия 1921 г. «за заслуги перед теоретической физикой, и особенно за открытие закона фотоэлектирческого эффекта».

Основные принципы (постулаты) специальной теории относительности (СТО)

Специальная теория относительности - изучает быстро движущиеся частицы в ИСО.

Постулат I. Законы природы = Законы природы = invinv.. Все физические законы – как механические так и электромагнитные – имеют одинаковый вид во всех ИСО. Никакими опытами невозможно установить, какая из инерциальных систем неподвижна.

Постулат II. Скорость света = Скорость света = invinvСкорость света в пустоте одна и та же во всех инерциальных системах отсчёта и равна c c ≈≈ 300000 300000 км/скм/с

Скорость света С = inv

С = 299792458 м/с Скорость света не изменяется при переходе от

одной ИСО к другой, т.е. является инвариантом. Скорость света в вакууме не зависит от движения

источника света и одинакова во всех направлениях. Скорость света в вакууме является предельной:

никакой сигнал, никакие частицы, никакое воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Это предельная скорость передачи информации.

Относительность одновременности.

BA O

X'

Y'

O'

Y

XO

V

BA BA O

X'

Y'

O'

Y

XO

V

Δt' = 0 - из симметрии Δt = L/(c-v) - L/(c+v) = 2Lv/(c2 – v2),

длина стержня x2 – x1 = 2L

Замедление времени. Синхронизация часов.

Собственное время τ0 – самое маленькое. Все движущиеся часы покажут большее время: τ > τ0

τ = 2(L2 + ¼ v2τ2)1/2/cL

vτ

v

τ0 = 2L/c

τ = τ0/(1 - v2/c2)1/2

τ = 2(L2 + ¼ v2τ2)1/2/cLL

vτ

v

τ0 = 2L/c

τ = τ0/(1 - v2/c2)1/2

Лоренцевское сокращениеl = l0(1 – β2)1/2

Длина стержня – разность координат его концов в одно и то же время (Δt = 0) – зависит от системы отсчёта.

l0 – длина покоящегося стержня (собственная длина)

Продольные размеры движущегося со скоростью β стержня сокращаются: l = ll = l00(1 – (1 – ββ22))1/21/2

Преобразования Лоренца

x’ = (x – ut)/(1 – β2)1/2

y’ = y z’ = z t’ = (t – ux/c2)/(1 – β2)1/2

x = (x’ + ut’)/(1 – β2)1/2

y = y’ z = z’ t = (t’ + ux’/c2)/(1 – β2)1/2

Интервал – релятивистский инвариант. Причинность.

Для любой пары событий величина пространственно-временного интервала между событиями s является инвариантом: SS2 2 == ((ссΔΔt)t)22 – – ΔΔxx22 – – ΔΔyy22 – – ΔΔzz22 = = ((ссΔΔt')t')22 – – ΔΔx'x'22 – – ΔΔy'y'22 – – ΔΔz'z'22

Типы интервалов:1. S2 = 0 – светоподобный интервал

2. S2 > 0 – времениподобный интервал. Между событиями может быть причинно-следственная связь

3. S2 < 0 – пространственноподобный интервал. Между событиями не может быть причинно-следственной связи.

Сложение скоростей в СТО

vx = (vx’ + u)/(1 + vx’u/c2)

vy = (vy’ + u)(1 – u2/c2)1/2/(1 + vy’u/c2)

vz = (vz’ + u)(1 – u2/c2)1/2 /(1 + vz’u/c2)1/2

Две частицы

Расстояние между частицами L = 1,6 cв.с. Частицы летят навстречу друг другу с v = 0,8 c Через какое время они встретятся:

1) по лабораторным часам?2) по собственным часам?

1) Скорость сближения – 2v, Δt = L/2v = 1 c

2) Относительная скорость v’ = 2v/(1+β2) = 0,975 c < cВремя встречи по собственным часам расчитаем через интервал: s2 = (c Δt)2 – (L/2)2

s’2 = (c Δt0)2 Δt0 = [(Δt)2 – (L/2c)2]1/2 = 0,6 c

Импульс и энергия в СТО

Импульс релятивистской частицы p = m0v/(1 – v2/c2)1/2

Релятивистская энергия: Е = mc2/(1 – v2/c2)1/2

Энергия покоя:Е0 = mc2

Кинетическая энергия:K = E – E0;

Скорость частицы: v = c2 p/E E2 = E0

2 + p2c2 pc = (K(K + 2E0))1/2

Для безмассовых частиц: E = pc; v = c закон дисперсии релятивистской частицы

E = E(p): E = (E02 + p2c2)1/2

Законы релятивистской динамики

F = dP/dt Работа силы:

dA = Fdr Кинетическая энергия частицы:

К = ∫Fdr = ∫dp/dt vdt = ∫vdp = pv - ∫pdv = mv2/(1 – v2/c2)1/2 + mc2(1 – v2/c2)1/2 – mc2 = mc2/(1 – v2/c2)1/2 – mc2

Энергия релятивистской частицы

К = mc2/(1 – v2/c2)1/2 – mc2

Для малых скоростей – обычная формула: К = mc2/(1 – v2/c2)1/2 – mc2 ≈ ½ mv2

v → c K → ∞

vc

E

E0

mc2/(1 – v2/c2)1/2

mc2 + ½ mv2

vc

E

E0

mc2/(1 – v2/c2)1/2

mc2 + ½ mv2

Динамический инвариант E2 – pc2 = inv

При столкновении протонов высоких энергий могут образовываться антипротоны:p + p p + p → → p + p + p + pp + p + p + p~~

Пороговая энергия реакции Кпорог = ?

1. Встречные пучки: ККпорогпорог = = EEpp = = 938 МэВ 938 МэВ ≈ 1 ГэВ≈ 1 ГэВ

2. неподвижная мишень: ККпорогпорог = 6 = 6EEpp ≈ 6 ГэВ≈ 6 ГэВ

Мюон (μ) – нестабильная частица с временем жизни τ0 ≈ 2 мкс

Задача (5.11). Время жизни τ0 = 2,2 мкс

Масса m ≈ 207 me

E = 1 ГэВ β = ? τ = ? S = ? β ≈ 0,995; τ = τ0 E/mc2 ≈ 10 τ0 = 2,1.10-5c;

S ≈ c τ = 6 км