ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯДВИЖЕНИЯ

Сегодня: Thursday, April 20, 2023

ЛекцияТема: ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО Тема: ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО

ДВИЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Введение

Содержание лекции:

Сегодня: Thursday, April 20, 2023

1. Момент силы2. Векторное произведение3. Момент импульса4. Закон сохранения момента импульсадля системы частиц

5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции.

6. Расчет моментов инерции7. Кинетическая энергия вращения8. Гироскоп

ВведениеВведение

Описание движения системы материальных точек

является более сложной задачей по сравнению с

описанием движения материальной точки.

Однако все новые явления есть прямое следствие

законов Ньютона.

Под действием внешних сил система

материальных точек будет двигаться аналогично

движению центра масс

будет подчиняться уравнению

n

kk

n

kkk mm

11/rR

2

2

dt

dMe R

F

n

kкmM

1где масса системы

Тело может крутиться, колебаться, но при

отсутствии внешних сил центр масс будет

двигаться с постоянной скоростью.

Поэтому движение центра масс можно

рассматривать отдельно от всех внутренних

движений и его можно не учитывать при изучении

вращения. Для описания вращения полезно ввести новые физические величины: причину изменения состояния вращения тела - момент силы; величину, которая изменяется под действием момента силы, момент импульса.

Эти величины подобны силе и импульсу в

динамике поступательного движения. Изучать вращение и вводить такие новые понятия

удобно на примере вращения твердого тела вокруг

неподвижной оси.

В этом случае каждая точка твердого тела

движется в плоскости, перпендикулярной к этой

оси, плоское, двумерное вращение.

Затем легко обобщить полученные результаты на

случай трехмерного вращения.

6.2. Момент силы 6.2. Момент силы

Пусть тело вращается в плоскости xy вокруг оси, перпендикулярной плоскости xy.

Рис. 1.

y

x x

y

AB

r

d

x

y

При плоском повороте тела на угол d под действием силы F(Fx,Fy) совершается элементарная

работа, равная

A = (F,dr) = Fxdx + Fydy = (xFy yFx)d.

В двумерном случае работа пропорциональна углу

d поворота, умноженному на величину

M = xFy – yFx,

получившую название момента силы.

Если на тело действует несколько сил, тогда элементарная работа равна сумме работ, совершаемой каждой силой:

n

kkykkxk

n

kkk dyFdxFdA

11)()r(F , M d

Закон сложения моментов, как скалярных величин, справедлив для случая плоского вращения:

векторы d = dt и Mk – параллельны и

направлены перпендикулярно плоскости xy.

Полученное выражение для элементарной работы

показывает, что для нахождения твердого тела в

состоянии равновесия необходимо выполнение

следующих условий:1. Геометрическая сумма всех внешних сил должна быть равна нулю тогда центр масс тела не будет перемещаться.

2. Сумма всех моментов сил должна быть равна нулю - тогда не совершается работа по изменению состояния вращения тела.

Геометрически условие А = Md означает:

работа по перемещению тела равна тангенциальной

составляющей силы в направлении перемещения Ft,

умноженной на перемещение rd (рис. 6.2)

A = rd |F| sin = Ft rd,

Момент силы равен составляющей силы, перпендикулярной радиусу Ft, умноженной на

радиус.

Рис. 2.

B

O

F

Ft

Fn

A

d

r┴ r

Составляющая силы, направленная вдоль радиуса, не изменяет состояние вращения тела, а может только перемещать тело вдоль радиуса.

В векторной форме

М=[r,F ]

Вектор M перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы r, F.

Причем вращение вектора r к F на наименьший угол, если его наблюдать из конца вектора М, происходит против часовой стрелки (правило правого винта).

Для системы материальных точек

n

kk

1MM

Определенный таким образом момент силы, называется моментом силы относительно точки.

Он равен произведению модуля силы на плечо r,

т.е. на длину перпендикуляра, опущенного из О на линию действия силы.

Моментом силы относительно оси z называется скалярная величина Mz, равная проекции на ось z вектора момента силы относительно любого центра О, взятого на этой оси:

Рис. 3.

Mz = M0cos

6.3. Векторное произведение 6.3. Векторное произведение

В определениях момента силы используется операция, называемая в векторном анализе векторным произведением.

В векторное произведение входит множитель sin, который в векторной записи заменяется крестиком: А,В = AB nABsin.Здесь n – единичный вектор, нормальный плоскости, содержащей векторы А и В.Однако такая плоскость имеет два возможных направления нормали. Чтобы однозначно выбрать направление нормали, принято использовать «правило правой руки», или буравчика (правого винта).

При этом большой палец правой руки указывает

направление вектора АВ.

Большой палец правой руки указывает направление n нормали к плоскости, проведенной через векторы А и В. Остальные пальцы согнуты в направлении от вектора А к В.

Рис. 4. Правило правой руки

Если вращать буравчик против часовой стрелки от А к В, то поступательное движение буравчика укажет направление вектора А,В.

Векторное произведение обладает следующими очевидными свойствами:

АА = 0,

А(В + С) = АВ + АС,

АВ = – ВА,

ii = jj = kk = 0,

ij = k, jk = i, ki = j;

здесь i, j и k – единичные векторы соответственно вдоль осей x, y и z.

6.46.4. Момент импульса . Момент импульса

Внешняя сила при поступательном движении определяет скорость изменения импульса системы частиц. Момент силы при вращательном движении определяет скорость изменения момента импульса L или углового момента системы частиц.

Рассмотрим плоское вращение одной частицы

относительно оси О, например, по эллипсу,

подобно вращению планеты А вокруг Солнца О.

На тело массой m действует момент силы, где силы равны:

Fx = md2x/dt2, Fy = md2y/dt2;

.xy ypxpdt

d

dt

dxym

dt

dyxm

dt

d

Рис. 5. Определение момента импульса L относительно оси

Mz = xFy – yFx = xmd 2y/dt 2 – ymd 2x/dt2 =

Момент силы равен скорости изменения величины Lz = xpy ypx, называемой моментом

импульса, или угловым моментом.

Момент импульса относительно оси равен тангенциальной составляющей импульса, умноженной на радиус:

Lz = ptr,

либо произведению импульса на плечо

импульса Lz = pr.

Момент момент импульса ависит от положения оси, относительно которой он вычисляется.

В случае трех измерений момент импульса определяется как векторное произведение

L = [r,p],

где p – импульс частицы, r – радиус-вектор, проведенный из начала системы координат к частице.

Частица может обладать моментом импульса даже при движении по прямой, например, на рис. 6 частица массой m имеет величину момента импульса L = rm sin. Согласно правилу правой руки, вектор L направлен от читателя, или в отрицательном направлении оси z.

Рис. 6. Частица массой m движется в плоскости ху со скоростью

Как и для момента силы, различают момент

импульса относительно центра (точки) и

относительно оси.

Момент импульса материальной точки

относительно центра О равен векторному

произведению радиуса-вектора r точки,

проведенного из центра О, на ее импульс движения

p = mv, т.е. L0 = [r,mv].

Момент импульса Lz материальной точки

относительно оси z, проходящей через центр О,

равен проекции вектора L0 на эту ось.

Для вычисления момента импульса справедливы

все формулы, приведенные для вычисления

момента силы, если в них заменить вектор F (или

его проекции) вектором mv (или его проекциями).

Frpp

rprL

vdt

d

dt

d

dt

d

Примером плоского двухмерного движения может

служить движение планет по орбите вокруг

Солнца:

L = rp,

Член vp равен нулю, поскольку векторы v и р

параллельны друг другу. Аналогично обращается в

нуль и член rF, так как сила тяготения

F – центральная сила, параллельная (или

антипараллельная) вектору r.

Таким образом,

dL/dt = 0 или L = const. Мы доказали, что если на тело действует

центральная сила любого происхождения, то

момент импульса этого тела будет сохраняться.

6.5. Закон сохранения момента 6.5. Закон сохранения момента импульсаимпульса для системы частицдля системы частиц

Пусть тело состоит из множества частиц, на которые действуют внутренние и внешние силы.

Для каждой из частиц имеем (i – intrinsic, M(i) – моменты внутренних, e – extrinsic, M(e) – внешних сил):

dtdLMM zke

zki

zk /)()(

dtdLMM ze

zi

z /)()(

Просуммировав это выражение по всем частицам системы, получим

Поскольку внутренние силы – действие и противодействие – по третьему закону Ньютона равны, действуют по одной прямой в противоположных направлениях и равны их плечи (перпендикуляр, опущенный от оси вращения на линию действия сил), то моменты внутренних сил взаимно сокращаются Mz

(i) = 0.

dtdLM ze

z /)(

Поэтому скорость изменения момента импульса системы материальных точек относительно оси определяется моментом внешних сил относительно этой же оси:

Полученное соотношение справедливо для движения любой совокупности частиц. Независимо от того, образуют они твердое тело или нет.

Если на систему не действуют внешние силы или сумма этих моментов равна нулю, либо силы являются центральными, то момент количества движения системы остается постоянным.Векторная запись динамического закона вращения в трехмерном пространстве по форме напоминает

уравнение Ньютона F = = dp/dt:M = dL/dt.

Если сложить уравнения вращения для каждой из частиц системы, то получим, что внешний момент сил, действующих на систему, равен скорости изменения полного момента количества движения системы:

n

k

n

kk

ik

ek

e dtddt

d

1 1полн /LLMMM )()()(

Если полный момент внешних сил равен нулю, то вектор полного момента импульса остается постоянным – закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы является прямым следствием законов Ньютона и изотропности пространства – эквивалентности свойств пространства в различных направлениях.

Пример 1. Студент на вращающейся скамье (скамья Жуковского) держит в вытянутых руках пару гантелей. Он вращается со скоростью 1 = 0,5

об/с, затем сгибает руки и прижимает гантели к груди (Рис. 8.) и начинает вращаться с угловой скоростью 2, которую мы должны определить.

Начальный момент импульса гантелей дается выражением

Ld1 = R1mv1 = R1m(1R1) = m1R12,

где m – масса двух гантелей.

Рис. 8. Студент, прижимая к себе гантели, начинает вращаться быстрее

Начальный момент импульса системы равен

L1 = Ls1 + m1R12,

здесь Ls1 – начальный

момент импульса студента

По условию Ls1 = Ld1= m1R12. Запишем момент

импульса системы, когда гантели находятся на расстоянии R2:

L2 = Ls2 + m2R22.

Применяя закон сохранения импульса системы, имеем

Ls2 + m2R22 = Ls1 + m1R1

2.

Момент импульса студента пропорционален скорости его вращения, поэтому

Ls2 = (2/1)Ls1.

Подставляя этот результат в предшествующее равенство, получаем

(2/1)Ls1 + m2R22 = Ls1 + m1R1

2.Подставим теперь сюда выражение Ls1 = m1R1

2. В

результате находим

2 = 21R12/(R1

2 + R22),

об/с 97,0с)1,0()6,0(

)6,0(2)5,0( 1

22

2

2

Мы видим, что угловая скорость вращения почти удваивается. Аналогичный принцип работает, когда вращающийся на коньках фигурист прижимает к себе руки и «группируется».

Пример 2. Пусть студент, стоя на вращающейся

скамье, держит над головой велосипедное колесо.

Он раскручивает его до тех пор, пока колесо не

приобретает угловую скорость 1 = 5 с1.

Затем студент сходит с вращающейся скамьи и

вновь вступает на нее и при этом поворачивает ось

вращения колеса вниз, как показано на Рис. 9.

Определим новую угловую скорость вращения

студента.

Рис. 9. Студент раскручивает колесо (а); студент вновь на вращающейся скамье (б); студент поворачивает колесо вниз (в)

Поскольку начальный момент импульса системы равен нулю, можно написать равенство

0 = Ls1 + L0,или

Ls1 = L0,где L0 – момент импульса, сообщаемый колесу.

Когда студент сходит со скамьи, Ls обращается в нуль (соответствующий момент импульса передается Земле). Таким образом, момент импульса студента и колеса при возвращении студента на скамью равен L0.Следовательно, студент начинает вращаться вдвое быстрее, чем первоначально, причем в противоположном направлении, так что 2 = 10 с1.

6.7. Вращение твердого тела вокруг 6.7. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.неподвижной оси. Момент инерции Момент инерции

Пусть частицы образуют твердое тело, способное вращаться вокруг некоторой оси. Любая часть этого тела расположена неизменным образом относительно других его частей.

Рис. 10. Вращающийся диск (показан элемент массы mk), удаленный на

расстояние rk от оси

вращения

Найдем полный момент импульса относительно неподвижной оси. Пусть масса k-й частицы равна mk, и она расположена на расстоянии rk от оси (Рис.

10).

Момент импульса k-й частицы равен

Lk = mkvkrk.Угловая скорость вращения тела связана с линейной скоростью точки соотношением

vk = rk,

и, следовательно,

Lk = mkvkrk = Lk = mkrk2.

n

kkk

n

kk rmLL

1

2

1ω

Полный момент количества движения тела равен сумме моментов количества движения всех частиц, образующих тело:

Вынося одинаковую для всех частиц системы

угловую скорость за знак суммы и вводя

обозначение, получаем L = I.

  Это выражение L = I похоже на формулу для импульса р = mv в динамике поступательного движения.

Скорость заменяется на угловую скорость, а масса на некую величину I, называемую моментом инерции.

Момент инерции играет роль массы при вращении и служит мерой инерции во вращательном движении.

Величина I зависит не только от массы тела, но и

от того, как масса распределена относительно оси

вращения.

Тело обладает моментом инерции независимо от

того, вращается оно или нет.

Между массой и моментом инерции имеется

существенная разница – масса тела обычно не

изменяется, тогда как момент инерции можно

изменить перемещением масс относительно оси

вращения.

Пусть мы находимся на подставке, способной вращаться вокруг неподвижной оси (скамья Жуковского), и вращаемся с разведенными руками.

Можно уменьшить начальный момент инерции тела I1, опустив руки. При этом масса всей системы не

изменится, но момент инерции уменьшится до I2.Если момент внешних сил равен нулю, то в силу закона сохранения момента импульса имеем:

I11 = I22 = L = const,откуда следует, что угловая скорость вращения увеличится

2 = (I1/I2)1 > 1.

Как уже отмечалось, этим, например, пользуются фигуристы для увеличения скорости своего вращения. Уравнение, описывающее вращение тела вокруг неподвижной оси, принимает вид

M = dL/dt = d(I)/dt, Если момент инерции тела остается неизменным, то основное уравнение динамики вращательного движения переходит в следующее:

M = I, = d/dt,что напоминает по форме второй закон Ньютона, где роль силы играет момент силы, линейное ускорение заменено на угловое, а мерой инертности тела служит момент инерции. Физический же смысл этого уравнения и входящих в него величин принципиально отличен от второго закона Ньютона, хотя оно и есть прямое его следствие.

6.8. Расчет моментов инерции 6.8. Расчет моментов инерции

Момент инерции тела относительно оси можно рассчитать или измерить.

По определению имеем:

Если вещество распределено в теле непрерывно, то, разбив тело на бесконечно малые элементы dmi(r), получим

n

kii rmI

1

2 .

.)(V

rdmrI 2

Интегрирование выполняется по всему объему, занимаемому телом.

Рассмотрим, например, стержень массой M, длиной l c осью вращения, проходящей через конец стержня.

.2

0

2

0

20 3

1Mldxx

l

Mx

l

MdxI

ll

Рис. 11. Расчет момента инерции стержня относительно конца (а) и относительно центра масс (б)

Момент инерции, по определению, равен в одномерном случае:

Если ось (СС’) проходит через середину – центр масс стержня, параллельно оси (ОО’), то имеем:

Причем оказывается, что I0 и Iс связаны соотношением:

I0 = Ma2 + Ic,где a = l/2 расстояние между осями (ОО’) и (СС’).

./

/

22

2

2c 12

1Mldxx

l

MI

l

l

То есть момент стержня относительно оси (ОО’) равен моменту инерции стержня относительно оси (СС’), проходящей через центр масс, плюс произведение массы стержня на квадрат расстояния между осями.

Это утверждение называется теоремой о параллельном переносе оси или теоремой Штейнера

Обруч или кольцо MR2

Концентрическое кольцо с внешним радиусом R и

внутренним r

21

2

2

1rRm

Моменты инерции некоторых

распространенных тел

(относительно указанных на рисунках осей)

12

2ml

3

2ml

2

5

2mR

2

3

2mR

Стержень

(относительно середины)

Стержень

(относительно конца)

Твердый шар

 Сферическая оболочка

Диск

(относительно края) 2

2

3mR

6.6.9. Кинетическая энергия вращения 9. Кинетическая энергия вращения

Пусть тело вращается вокруг некоторой оси, так что каждая его точка движется со скоростью rk,

где rk – расстояние от данной точки до оси. Если масса точки равна mk, то полная кинетическая

энергия тела равна сумме кинетической энергии его частиц:

.21

21

1

2

1

2

n

kkk

n

kkk rmmK v

.IrmKn

kkk

2

1

22

2

1

2

1

Поскольку угловая скорость постоянна для всех точек, то имеем

Можно записать выражение для кинетической энергии и в другом виде. Поскольку L = I, то имеем

K = L2/2I. Эти выражения подобны соответствующим выражениям для кинетической энергии поступательного движения точки при формальной замене: m I, v , P L.

Воспользовавшись теоремой Штейнера, можно переписать выражение для кинетической энергии в виде

K = (1/2)2(IC + ma2) = (1/2)2IC + (1/2)mv2.

Кинетическая энергия представляет собой сумму кинетических энергий вращения тела относительно оси, проходящей через центр масс, плюс кинетическая энергия поступательного движения центра масс. Пусть, например, скорость центра масс обруча равна , масса обруча m. Определим его кинетическую энергию при движении по горизонтальной поверхности (рис.12).

ободvободvИмеем Kполн = (1/2)mv2 + (1/2) m,

где – линейная скорость обода в системе ц.м.

Для наблюдателя, движущегося вместе с центром обруча, скорость точки соприкосновения обруча с плоскостью равна v. Поэтому = v.ободv

Рис. 12. Обруч, катящийся по плоскости

Таким образом,

Kполн = (1/2)mv2 + (1/2)mv2 = mv2.

6.6.11. Гироскоп 11. Гироскоп

Гироскоп – быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве.

Название «гироскоп» происходит от греческого gyréuō – кружусь, вращаюсь, и skopéō – смотрю, наблюдаю. Гироскоп обладает интересными свойствами, проявляющимися у вращающихся небесных тел, артиллерийских снарядов, роторов турбин, установленных на судах. На свойствах гироскопов основаны различные приборы и устройства, применяемые в современной технике.

Свойства гироскопов реализуются при выполнении двух условий: 1. ось вращения гироскопа должна иметь возможность изменять свое положение в пространстве; 2. угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси должна быть очень велика по сравнению со скоростью изменения направления оси в пространстве. Чтобы ось гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, его обычно закрепляют на кольцах т.н. карданова подвеса (рис.13), в котором оси внутренних и внешних колец и ось гироскопа пересекаются в одной точке, называемой центром подвеса.

Закрепленный в таком подвесе гироскоп имеет 3

степени свободы и может совершать любой поворот

около центра подвеса.

Рис. 13. Классический карданов подвес: а – внешнее кольцо; б – внутреннее кольцо; в – ротор

Пусть симметричное тело вращается с большой угловой скоростью вокруг оси y, и к оси гироскопа приложена пара сил F, перпендикулярная оси y и лежащая в плоскости xy (рис. 14).

Рис. 14.

При этом возникает вращательный моментM, перпендикулярныйплоскости xy.

Поскольку dL = Mdt изменение момента количества движения направлено параллельно вектору M, то ось гироскопа повернется вокруг оси х в направлении, перпендикулярном действию силы. Используя равенства dL = Ld и dL = Mdt, получаем

M = L0d/dt = L0. Учитывая направления векторов, имеем M = [,L0]. Это уравнение позволяет определить момент силы, который необходимо приложить, чтобы заставить гироскоп вращаться с угловой скоростью .

Величина носит название угловой скорости прецессии, т.е. скорости вращения гироскопа относительно оси x.

Если к оси гироскопа приложена сила с моментом М, то угловая скорость прецессии равна

= M/(Lsin ) = M/(Isin ),

где угол между направлениями вектора силы F и вектором L0, I – момент инерции гироскопа

относительно оси y, угловая скорость собственного вращения гироскопа вокруг оси y, M – момент силы F относительно центра О.Из формулы следует, что скорость прецессии тем медленнее, чем больше величина I, называемая собственным кинетическим моментом гироскопа или моментом количества движения.

Прецессия гироскопа ( 0) возможна лишь при действии момента сил на ось гироскопа (M 0) , при этом происходит отклонение оси на угол = (M/L0) t. Вращение прекратится, как только исчезнет силовое воздействие на ось гироскопа М = 0. Этим гироскоп принципиально отличается от не вращающегося тела. Не вращающееся тело под влиянием приложенного момента начинает ускоренно вращаться, и это вращение будет происходить с достигнутой скоростью бесконечно долго и после прекращения действия момента – закон сохранения момента импульса.

Гироскоп начинает вращаться с постоянной угловой скоростью сразу после приложения момента силы M и останавливается немедленно после прекращения действия момента силы .

Пример прецессионного вращения дает артиллерийский снаряд. Если снаряд не вращается вокруг собственной оси, то под действием силы сопротивления воздуха он начинает кувыркаться.

Вращающийся вокруг оси снаряд обладает всеми свойствами гироскопа, Вращение снаряду придают специальные направляющие в стволе орудия нарезные стволы.

Если гироскоп находится в кардановом подвесе, то он имеет три степени свободы.

Гироскоп на кардановом подвесе не испытывает действия момента в результате вращения Земли или в результате движения самолета, в котором он находится. Поэтому ось вращающегося тела будет сохранять определенное направление в пространстве.

Если эту ось направить на звезду, то при любых перемещениях прибора и толчках она будет продолжать указывать на эту звезду, меняя свою ориентировку относительно осей, связанных с Землей.

На морских судах и самолетах имеется много

вращающихся частей: вал двигателя, ротор

турбины, гребные и воздушные винты и т.д.

При разворотах судна, качке на подшипники, в

которых укреплены эти вращающиеся части,

действуют указанные гироскопические силы, и их

необходимо учитывать при соответствующих

инженерных расчетах, чтобы избежать катастрофы.

Гироскопы в технике.

Важнейшими навигационными устройствами являются гирокомпас и гирогоризонт. Гирокомпас, указывающий направление истинного меридиана, предназначается для определения курса движущегося объекта.

В отличие от магнитного компаса он указывает истинный, а не магнитный меридиан, и на его показания не влияют металлические массы и магнитные поля.

Гирогоризонт определяет направление истинной плоскости горизонта и отклонения движущегося объекта от этой плоскости.

Гироскопические устройства обеспечивают автоматическое управление и стабилизацию полета летательного аппарата.

Современная техника требует от многих гироскопических устройств очень высокой точности.

Например, у некоторых приборов при массе ротора порядка 1 кг для обеспечения нужной точности смещение центра тяжести от центра подвеса не должны превышать долей микрона, иначе момент силы тяжести вызовет нежелательную прецессию (уход) оси гироскопа.

На точность показаний приборов с гироскопом влияет трение осей в кардановом подвесе.

Решение указанных проблем привело к разработке гироскопов, основанных на других физических принципах, например квантовых гироскопов.

На кораблях устанавливаются гироскопические

успокоители качки, которые представляют собой

большие быстро вращающиеся маховики, дающие

при колебаниях гироскопическую силу, в

значительной степени ослабляющую колебания

всего корабля.

При колебаниях мотор вызывает вращение оси

волчка в нужном направлении, вследствие этого

момент гироскопических сил, действую щих на

опоры маховика, противодействует колебаниям

корабля.

На самолете гироскопы употребляются в различных устройствах, например в приборе, показывающем истинное положение самолета относительно горизонта искусственный горизонт, и в автопилотах.

Автопилот представляет собой комбинацию целого ряда приборов, автоматически обеспечивающих определенный курс полета и нормальное положение машины относительно горизонта.

Основные выводы

Вращательное движение макроскопических тел подчиняется законам Ньютона, и наблюдаемые новые явления при вращении тел являются их прямым следствием.

Для описания вращательного движения тел вводятся момент силы M, момент количества движения (импульса) L, момент инерции I.

Причиной изменения состояния вращения материальной точки (k) относительно центра О, является момент силы, равный векторному произведению силы F, приложенной к точке, на

радиус-вектор точки r: Mk = [rk,Fk].

Для системы материальных точек

– момент равен сумме моментов от всех внешних

сил.

Момент импульса L материальной точки k,

относительно точки О, определяется как

Lk = [rk,Pk],

n

kk

1MM

где Pk = mkvk – импульс частицы.

Под действием момента силы M изменяется момент импульса L.

Динамический закон вращения по форме напоминает закон Ньютона

M = dL/dt.Если полный момент всех внешних сил равен нулю , то момент импульса остается постоянным

L = const– закон сохранения момента импульса.

Этот закон является следствием изотропности пространства, т.е. независимости свойств пространства от направления.

Мерой инертности тела во вращательном

движении служит момент инерции

где r – расстояние до оси вращения от точечной

массы mi или dm(r).

)(rdmrmrI ii22

При вращении вокруг неподвижной оси

M = I,где – угловое ускорение.

Если твердое тело покоится или вращается вокруг

фиксированной оси с постоянной угловой

скоростью , то должны выполняться условия

равенства нулю равнодействующих всех внешних

сил и моментов:

Fi = 0,

Mi = 0. Из этих условий можно определить точку

приложения, величину и направление силы,

необходимой для уравновешивания тела.

Лекция окончена

Нажмите клавишу <ESC> для выхода