ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ( ЧАСТИЦА )

Зад. 1От хоризонтално летящ със скорост m/s вертолет е пуснато малко кълбо с маса

kg (Фиг.1.1). Да се определят:1. Законът за движение на кълбото, ако съпротивлението на въздуха се дава със силата

;2. Разстоянието от точката, в която кълбото се удря в земята, до положението на

вертолета, от което то е пуснато, ако същият лети на височина m.

Фиг. 1.1

Дадено: Търси се: m/s 1) ;

kg 2) ;

Решение:

1. Определяне на закона за движение на кълбото

Записваме основното уравнение на динамиката във векторна форма:. (1)

Поставяме координатна система с начало – началното положение на кълбото (т. е вертолета) и осите избрани така, че движението на кълбото да е в положителна посока (Фиг.1.2). След това, поставяме действащите върху кълбото сили с техните направления – това са силата на тежестта и силата на съпротивление на въздуха ( има вертикална директриса и е насочена надолу, а е с направление, съвпадащо с тангентата на траекторията в точката и посока срещу движението).

Фиг. 1.2Разлагаме (1) скаларно по двете оси и получаваме:

1

, (2) и , (3). След това заместваме силите в (2) и (3):

, (2') . (3')Но , , и . Тогава (2') и (3') добиват вида:

, (4) . (5)Започваме решението на (4):

. (4')

Това е хомогенно диференциално уравнение от втори ред. То се решава по следния начин:Записваме характеристичното му уравнение:

.

Решаваме го и получаваме:

,

и .

Тогава общото решение на хомогенното уравнение е:

.

В нашия случай то има следния вид:. (6)

Първата му производна е:. (7)

За да определим интеграционните константи и използваме известните ни гранични условия за началното положение на кълбото /при s/:

,.

Изразите (6) и (7) стават:,

.Решаваме системата уравнения и получаваме: , .Окончателно за получаваме:

.Преминаваме към (5):

. (5')

Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред – първо се решава хомогенното му уравнение, а след това се намира частният му интеграл.

Хомогенното уравнение е следното:

.

Решението му е същото като на (4’). Тогава общото решение на (5') има вида:.

Тук е частният интеграл на нехомогенното диференциално уравнение. Той има вида:,

където е най-малката производна от лявата страна на нехомогенното уравнение, а е полином, чиято степен отговаря на степента на полинома в дясната част на нехомогенното уравнение.

В нашия случай , защото най-малката производна в израза отляво на (5') е първата, а , защото полинома от дясната страна на (5') е от нулева степен. Тогава:

.

2

Определяме първата и втората производна на :, .

Заместваме ги в (5') / отговаря на , а – на / и определяме :

,

,

.

Тогава и общото решение на (5') е:

, (8)

а първата му производна е:. (9)

За да определим интеграционните константи и използваме известните ни гранични условия за началното положение на кълбото /при s/:

,.

Изразите (8) и (9) стават:,

.Решаваме системата уравнения и получаваме: , .Окончателно за получаваме:

.Закон за движение на кълбото:

2. Определяне на разстоянието от точката, в която кълбото се удря в земята, до положението на вертолета, от което то е пуснато

Височината на летене на вертолета е m. Това означава, че кълбото ще измине същото разстояние преди да се удари в земята (Фиг.1.3). Тогава ще бъде равно на :

m.Заместваме в закона за движение за и определяме времето , за което кълбото

стига до земята:

,

. (10)

Това уравнение има точно решение, но то се намира трудно и затова определянето на става с опитване: задава се някаква стойност за , например s. В уравнение (10) се получава 500 = 4,824. Както се вижда, разликата е голяма, затова опитваме с друга стойност за

. Вземамe s. В (10) се получава 500 = 872,57. Отново сме далеч, но вече сме намерили интервала, в който се намира – между 1s и 15s. След още няколко опита получаваме: s.

С тази стойност заместваме в закона за движение за и за получаваме:

m.

3

Фиг. 1.3

Зад.2Тяло с маса kg се плъзга с триене по хоризонтална повърхност под действие на сила

, където (Фиг.2.1). Силата на съпротивление на въздуха е , .

Да се определи законът за движение на тялото, ако началната скорост е m/s и коефициентът на триене е .

Фиг. 2.1

Дадено: Търси се: = ?

m/s

Решение:

Записваме основното уравнение на динамиката във векторна форма:. (1)

Приемаме координатна система с начало – началното положение на тялото и ос избрана така, че движението на тялото да е в положителната й посока (Фиг.2.2). Поставяме действащите върху тялото сили:

– по оста : движещата сила /по посока на движението/, силата на триене ,

силата на съпротивление на въздуха /последните две са противоположни на движението/ (Фиг.2.2);

– по оста : силата на тежестта /насочена надолу/ и нормалната реакция /насочена нагоре/(Фиг.2.2).

4

Фиг. 2.2

Разлагаме (1) по двете оси и получаваме:, (2)

, (3)

, (2')

. (3')Но , , и . Тогава (2') и (3') добиват вида:

, (2''). (3'')

Получава се система от две уравнения с три неизвестни – , и , но от схемата се вижда, че движението на тялото е само по ос . В такъв случай , . Тогава от (3''):

, и .Сега вече в уравнение (2'') не знаем само търсения закон за движение . Започваме

определянето му:,

, (4)

. (4')Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред и се решава по следния начин:Първо решаваме хомогенното му уравнение:

.

Записваме характеристичното уравнение:

,

.Корените на това уравнение са и . Тогава общото решение на (4) е:

.

Полиномът има следния вид:.

Това е така, защото най-малката производна от дясната страна на (4) е нулева, а изразът вляво на (4) е от втора степен. Определяме първата и втората производна на :

, и ги заместваме в (4’) / отговаря на , - на , а - на /. Получаваме:

.Групираме коефициентите пред различните степени на :

,след което ги сравняваме – тези отляво с тези отдясно /пред еднаквите степени на /:

, ,, ,

, .За получаваме: , а за общото решение:

. (5)

Следва намирането на интеграционните константи и . За целта определяме първата производна на (5):

. (6)След това записваме граничните условия – това са положението и скоростта на тялото в

началния момент на движението /при s/: и m/s.

5

Заместваме с тях в (5) и (6) и получаваме:(5')

(6')

(5'')(6'')

От системата уравнения (5'') и (6'') намираме и .Окончателно, Законът за движение на тялото е:

Зад. 3Тяло с маса kg е свързано с пружина с коравина N/m и започва движение върху

хоризонтална равнина (Фиг.4.1). Коефициентът на триене e . В началния момент тялото има скорост m/s, а пружината е ненапрегната. Силата на съпротивление на въздуха е

. Да се определи законът за движение на тялото докато за пръв път промени посоката си на

движение.

Фиг. 4.1

Дадено: Търси се:kg m/s = ?N/m

;

Решение:

Записваме основното уравнение на динамиката във векторна форма:. (1)

Приемаме координатна система с начало – началното положение на тялото и ос избрана така, че движението на тялото да е в положителната й посока (Фиг.4.2). Поставяме действащите върху тялото сили:

– по ос : силата на триене , силата на съпротивление на въздуха и пружинната сила /всички са противоположни на движението/ (Фиг.4.2);

– по ос : силата на тежестта /насочена надолу/ и нормалната реакция /насочена нагоре/(Фиг.4.2).

Фиг. 4.2

6

Разлагаме (1) по двете оси и получаваме:, (2)

, (3), (2')

. (3')Но , и . Тогава (2') и (3') добиват вида:

, (2''). (3'')

Получаваме система от две уравнения с три неизвестни – , и , но от схемата се вижда, че тялото не може да се движи по оста . В такъв случай , , . Тогава от (3'') получаваме:

, и .Сега вече в уравнение (2'') не знаем само търсения закон за движение . Започваме

определянето му:,

, (4)

. (4')Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред и се решава по следния начин:Първо решаваме хомогенното му уравнение:

.

Записваме характеристичното уравнение:

,

.Корените на това уравнение са комплексните числа и , където

и . Тогава общото решение на (4) е от вида:

Полиномът има следния вид:.

Това е така, защото най-малката производна от дясната страна на (4) е нулева, а изразът вляво на (4) също е от нулева степен. Определяме първата и втората производна на :

, и ги заместваме в (4’) / отговаря на , - на , а - на /. Получаваме:

За общото решение получаваме:

. (5)

Следва намирането на интеграционните константи и . За целта определяме първата производна на (5):

(6)След това записваме граничните условия – това са положението и скоростта на тялото в

началния момент на движението /при /: и m/s.

Заместваме с тях в (5) и (6) и получаваме:

(5')

7

(6')

(5'')(6'')

От системата уравнения (5'') и (6'') намираме и .Окончателно, Законът за движение на тялото е:

.

Зад.4Частица с маса kg се движи върху гладка хоризонтална равнина под действие на

сила , N/m. Да се определи законът за движение на частицата ако в началния момент от движението тя е била в т. и е имала скорост m/s (Фиг.4.1).

Фиг. 4.1

Дадено: Търси се:kg

, N/m m/s

Решение:

Записваме основното уравнение на динамиката във векторна форма:. (1)

В тази задача координатната система е зададена и затова директно се пристъпва към поставяне на силите, действащи на частицата. В условието на задачата е казано, че движението е върху гладка хоризонтална равнина: “гладка” означава, че няма триене между частицата и повърхността, а “хоризонтална” – че силата на тежестта не влияе на движението на частицата. В такъв случай, единствената действаща сила е дадената .

8

Фиг. 4.2

Силата е правопропорционална на вектора и за определяне на нейните компоненти и трябва първо да се определят координатите на вектора /от координатите на

втората точка (т. ) вадим тези на първата (т. )/: . Точка има

координати: m и , а координатите на точка са двете компоненти на закона за движение: и (Фиг.4.2). Тогава:

;,

а компонентите на силата са:;

.Разлагаме (1) скаларно по двете оси и получаваме:

(2) и (3)Започваме решението на (2):

,,

,

. (2’)Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред – първо се решава

хомогенното му уравнение, а след това се намира частният му интеграл.Хомогенното уравнение е следното:

.Записваме характеристичното му уравнение:

.Решаваме го и получаваме:

.Тогава общото решение на хомогенното уравнение е:

Частното решение има следния вид:

, защото най-малката производна от дясната страна на (2’) е нулева, а изразът вляво на (2’) също е от нулева степен. Определяме първата и втората производна на :

, и ги заместваме в (2’):

9

.

За общото решение получаваме:(4)

Следва намирането на интеграционните константи и . За целта определяме първата производна на (4):

(5)След това записваме граничните условия – това са положението и скоростта на тялото в

началния момент на движението /при s – т. /:

;

m/s.Заместваме с тях в (4) и (5) и получаваме:

; .

Окончателно за получаваме:.

Преминаваме към (3):,

,

. (3’)Това е хомогенно диференциално уравнение от втори ред, а общото му решение е същото

като на (2’):. (6)

Първата производна е:. (7)

За да определим интеграционните константи и използваме известните ни гранични условия за началното положение на кълбото / при s – т. /:

m,.

Изразите (6) и (7) стават:;

.

Окончателно за получаваме:.

Закон за движение на частицата:

;.

Зад.5Частица с маса kg се спуска по идеално гладък участък , наклонен под ъгъл

спрямо хоризонта, а след това продължава движението си по идеално гладък улей с форма на четвърт кръг (Фиг.5.1). Да се определят:

1.Закона за движение на частицата в участък , ако в началния момент тя е била в покой;

2.Скоростта, с която частицата ще напусне улея.Забележка: Силата на съпротивление на въздуха ( kg/s) да се вземе предвид

само за участък !

10

Фиг. 5.1

Дадено: Търси се:kg 1) Закон за движение в участък

, kg/s 2)

Решение:

Записваме основното уравнение на динамиката във векторна форма:. (1)

В тази задача движението на частицата се осъществява в два участъка, които трябва да бъдат разгледани поотделно.

1. Определяне на закона за движение на частицата в участък

Въвеждаме координатна система за първия участък и поставяме действащите сили – силата на тежестта , силата на съпротивление на въздуха и нормалната реакция (Фиг.5.2).

Разлагаме (1) по двете оси:, (2)

, (3), (2’). (3’)

Разглеждаме първо уравнение (3’), защото частицата не може да се движи по оста . В такъв случай , , . Тогава:

N.

11

Фиг. 5.2

Продължаваме с (2’):,

,

.Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред и решението е:- хомогенно уравнение:

.- характеристично уравнение:

,,

; .- общо решение:

.- частен интеграл:

, , , .

- вид на закона за движението и скоростта:,

.- интеграционни константи:

.

.

Закон за движение в първи участък:.

Закон за скоростта в първи участък:.

12

Преди да продължим с участък трябва да се определи скоростта на частицата в т., тъй като тя ще бъде началната й скорост за втория участък на движение!

– определяне на скоростта на частицата в т.Дължината на участък е m (Фиг.5.3). С тази стойност се замества в закона за

движение и като резултат ще се получи времето, за което частицата стига от т. до т. . След това, със същото време се замества в закона за скоростта в първия участък и се получава .

.

С опитване: s.

m/s.

Фиг. 5.32. Определяне на скоростта на частицата в т.

В участък движението на частицата е в улей с форма на четвърт кръг, т.е. кривата на движение е позната. Тогава, по-удобно е да се използва естествената координатна система, състояща се от тангента и нормала в равнината на движение. Отново поставяме действащите сили – сега това са силата на тежестта и нормалната реакция (Фиг.5.4).

След това, налице са два подхода за определяне на скоростта в т. : единият е традиционният – определят се законите за движение и скорост в участък , след тях се определя времето за движение на частицата от т. до т. и след заместване се получава скоростта. Този подход, обаче, е по-дълъг и трудоемък и затова определянето на ще стане по друг, по-лесен начин, състоящ се в следното:

От Кинематиката е известно, че при естествен начин на задаване на движението, ускорението на частица се състои от две компоненти – нормална и тангенциална, като първата отговаря за изменение на направлението на скоростта, а втората – за изменение на големината на скоростта. В тази задача ние се интересуваме от големината на скоростта и затова разглеждаме движението на частицата само по тангентата (Фиг.5.4):

, (4)

13

)60sin( 0 Gma t . (4’)

Фиг. 5.4

Въвеждаме естествената координата и централният ъгъл (Фиг.5.4), като връзката между тях е:

. Продължаваме със зависимостите:

,

.

Използваме познатата субституция:

,

а синуса разлагаме:.

След всички преобразувания диференциалното уравнение (4’) става с отделящи се променливи:

,

.

То се решава по отношение на по следния начин:

,

,

,

,

14

,

В крайна сметка:m/s.

15