ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАbek.sibadi.org/fulltext/esd751.pdf · 2018. 12. 6. ·...

Министерство науки и высшего образования РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет (СибАДИ)»

В.Н. Тарасов, И.В. Бояркина

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАУчебно - методическое пособие

к практическим занятиям

ω2

2δx→

δφ2 1

δx→

V

a1

→

→

x

FN→→

3

F3→

δx3 V3→ →

N→

0A

PF→

2l l→

4

G3→

G2→ G1

→

Омск • 2018

СибАДИ

УДК 531 ББК 22.21

Т19

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция маркировке не подлежит

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Балакин П.Д. (ОмГТУ); д-р. техн. наук, проф. Сорокин В.Н. (ОмГТУ)

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве учебно-методического пособия.

Тарасов, Владимир Никитич. Т19 Теоретическая механика [Электронный ресурс]: учебно-методическое

пособие к практическим занятиям / В.Н. Тарасов, И.В. Бояркина. – Электрон. дан. – Омск: СибАДИ, 2018. – Режим доступа:http://bek.sibadi.org/fulltext/esd751.pdf, свободный после авторизации. – Загл. с экрана.

Содержит рекомендации для проведения практических занятий по дисциплине «Теоретическая механика». Представлены разделы: «Статика», «Кинематика», «Динамика», «Аналитическая механика». Дополнено рекомендациями к решению задач, контрольным тестированием знаний студентов, требованиями к знаниям по конкретным темам, что позволяет наиболее полно оценить уровень знаний каждого студента по учебной дисциплине. Контрольное тестирование содержит основные понятия, теоремы, законы и уравнения теоретической механики.

Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. Предназначено для проведения практических занятий у студентов,

обучающихся по образовательным программам специалитета и бакалавриата всех направлений и специальностей технической подготовки для всех форм обучения.

Подготовлено на кафедре «Механика».

Текстовое (символьное) издание (3,0 МБ) Системные требования: Intel, 3,4 GHz; 150 Мб; Windows XP/Vista/7;

DVD-ROM; 1 Гб свободного места на жестком диске; программа для чтения pdf-файлов: Adobe Acrobat; Foxit Reader

Редактор Н.В. Павлова Техническая подготовка Н.В. Кенжалинова

Издание первое. Дата подписания к использованию 19.11.2018 Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5

РИО ИПК СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2018

СибАДИ

ВВЕДЕНИЕ

Прогресс современного производства невозможен без широкого и тесного взаимодействия науки и техники.

Дисциплина «Теоретическая механика» является научной основой важнейших областей техники и продолжает интенсивно развиваться. Это стимулируется появлением новых прогрессивных технологий и инновационных производств, автоматизацией производственных процессов, созданием новых высокотехнологичных машин и механизмов, освоением макро- и микромира.

Для решения этих возрастающих по сложности задач в области строительства и машиностроения важное значение имеют знания одной из фундаментальных общенаучных дисциплин – теоретической механики – науки о механическом движении и взаимодействии материальных тел. Так, состояние покоя, в котором находятся различные строительные конструкции и производственные сооружения, является частным случаем движения.

Теоретическая механика – одна из фундаментальных дисциплин, которая оказывает существенное влияние на формирование научного мировоззрения студентов. В то же время она является основой для успешного освоения большинства инженерных дисциплин. Поэтому при изучении теоретической механики наряду с приобретением фундаментальных знаний студенты должны учиться ориентироваться в многообразии проблем, которые могут перед ними появиться в процессе дальнейшей учебы и работы.

Перечень проблем, рассматриваемых в дисциплине «Теоретическая механика», практически необъятен и с развитием науки непрерывно растет. Однако всё это многообразие опирается на ряд основных понятий, законов, принципов, методов, общих для всех областей механики.

Рассмотрение этих общих закономерностей движения материальных тел и методов их применения и составляет предмет теоретической механики. Методы теоретической механики используют инженерные дисциплины: «Сопротивление материалов», «Строительная механика», «Теория механизмов и машин», «Детали машин», «Гидравлика и гидромеханика», «Механика грунтов» и многие другие специальные дисциплины, изучаемые в технических вузах.

Изложение материала при изучении курса теоретической механики в СибАДИ происходит в следующей последовательности: «Статика», «Кинематика», «Динамика», «Аналитическая механика». Такая

3

СибАДИ

последовательность принята в Российской Федерации в технических вузах, в которых студенты изучают в дальнейшем сопротивление материалов и теорию механизмов и машин. Последовательность изложения разделов и тем теоретической механики в соответствие со стандартом выработалась на основе используемых учебников А.А. Яблонского, С.М. Тарга, Н.Н. Никитина и др., которые издавались в России в течение последних 40 лет.

В университетах естественного профиля изучение теоретической механики начинается иногда с кинематики, при этом вопросы статики частично излагаются как частный случай динамики. Разделы теоретической механики являются фундаментальными и необходимы студентам как основа для изучения последующих дисциплин.

В разделе «Статика» сначала излагается равновесие одного твердого тела, затем изучаются расчет ферм, равновесие двух тел, теория пар сил, задачи с трением, пространственная система сил.

В разделе «Кинематика» излагаются кинематика точки, кинематика плоских механизмов, плоское движение тела, сложное движение. В каждом из названных разделов рассматривается теория положений тел, скорости и ускорения точек и тел механической системы.

Раздел «Динамика» начинается с законов Ньютона. Изучаются динамика материальной точки, динамика сложного движения точки, общие теоремы динамики, динамика вращательного движения, теорема об изменении кинетической энергии.

В разделе «Аналитическая механика» изучается принцип возможных перемещений Лагранжа.

Все перечисленные разделы теории сопровождаются практическими занятиями. Изложение курса «Теоретическая механика» выполнено с позиций пользователя, для которого важна возможность использования методических рекомендаций для практического применения.

При подготовке к практическому занятию преподавателю необходима существенная переработка учебного материала, изложенного в учебниках, предназначенных в основном для самостоятельной работы студентов.

В первую очередь на практическое занятие выносится такой материал, соответствующий программе, который используется в расчетно-графических работах.

При этом необходимо выделять основной материал, подлежащий записи его студентами, и вспомогательный материал пояснительного характера. К основному материалу относятся: формулировки понятий, законов, правил, теорем, принципов и уравнений, краткие доказательства, постановки задач теоретического характера, формулы, рисунки.

Все основные результаты, выражаемые с помощью формул, должны сопровождаться словесными формулировками, наиболее подходящими для

4

СибАДИ

запоминания этих результатов в обобщенной форме, независимой от применяемых обозначений.

Формулировки целесообразно делать краткими, содержащими в основном ключевые слова.

Уточнения, ограничения и разъяснения можно отражать при этом в отдельных замечаниях, формулах и рисунках.

Теоретический материал должен сопровождаться рассмотрением типичных примеров и задач с четким выделением основных методов и приемов, используемых в процессе их решения.

В конце каждой темы целесообразно проводить обсуждения основных результатов и выдавать студентам соответствующие контрольные вопросы.

Изучение студентами дисциплины «Теоретическая механика» способствует системному и глубокому усвоению профессиональных знаний, даёт возможность сформировать у студентов готовность к творческой деятельности, развитию креативного характера мышления.

Наряду с изучением дисциплины, приобретением новых знаний, умений и навыков уделяется достаточно времени формированию у студентов творческих компетенций. Это помогает подготовить конкурентоспособного специалиста к профессиональной деятельности в современных рыночных условиях по разработке и продвижению инновационных проектов в производство.

5

СибАДИ

1. СТАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1. Рекомендации для проведения практического занятия Цель практического занятия: рекомендуется рассмотреть виды

связей; правила определения направления реакций связей; принцип освобождаемости от связей; основные понятия и аксиомы статики; связи и реакции связей; условия равновесия абсолютно твердого тела; эквивалентные и уравновешенные системы сил.

Перед изучением данной темы необходимо ознакомить студентов с понятиями: пространство, время и системы отсчета в теоретической механике. Материальная точка, материальная система и абсолютно твердое тело. Понятие силы и массы. Основные начала теоретической механики. Размерность механических величин. Несвободное твердое тело.

Требования к знаниям студента: 1. Знать формулу для определения равнодействующей системы

сходящихся сил. 2. Знать формулу для определения модуля сосредоточенной силы при

действии на балку распределённой нагрузки с интенсивностью q, изменяющейся по закону прямоугольника.

3. Уметь записать формулу для определения модуля сосредоточенной силы при действии на балку распределённой нагрузки с интенсивностью q, изменяющейся по закону треугольника.

4. Знать аксиому параллелограмма сил, записать формулу для определения модуля равнодействующей двух сходящихся сил.

5. Знать правило треугольника, записать формулу, связывающую модули двух сходящихся сил и их равнодействующую.

6. Уметь записать формулу, выражающую аксиому равновесия двух сил.

1.2. Методические рекомендации к решению задач

а) Показываем действующие на тело задаваемые силы. б) Мысленно освобождаем тело от связей, заменяя их действие

реакциями связей. в) К полученной системе сил применяем условия равновесия,

соответствующие этой системе. г) Определяем искомые величины.

6

СибАДИ

1.3. Контрольные вопросы для тестирования студентов

1. Что называется абсолютно твердым телом? Абсолютно твердым телом (или геометрически неизменяемой

механической системой) называют механическую систему материальных точек, расстояния между которыми не изменяются при взаимодействии с другими телами. Все тела в природе в той или иной мере деформируемы, но в некоторых задачах деформациями тел можно пренебречь, считая их твердыми.

2. Что называется абсолютно упругим телом? Абсолютно упругим телом в теоретической механике называют тело,

расстояние между точками которого на линии действия силы при взаимодействии с другим телом изменяется пропорционально модулю действующей силы. Примерами таких тел являются пружина, идеальный газ и др.

3. Что называется силой? Силой называют меру механического действия одного тела на другое.

Сила определяется тремя элементами: числовым значением (модулем), направлением и точкой приложения. За единицу модуля силы в системе СИ принимается ньютон (Н). Направление силы определяют линией ее действия, т.е. прямой, вдоль которой направлена сила. Точку приложения силы на расчетных схемах указывают в начале или конце вектора силы. Силу как величину векторную обозначают заглавной буквой латинского алфавита со знаком вектора сверху, например F

или P

. Для выражения

числового значения силы или ее модуля используют знак модуля от вектора, т.е. F

, P

или те же буквы, но без знаков вектора, т.е. F , P .

4. Что называется связью? Тело, ограничивающее свободу движения другого тела, является по

отношению к нему связью.

7

СибАДИ

5. Что называется реакцией связи? Реакцией связи называют силу или систему сил, выражающих

механическое действие связи на тело. При определении направлений реакций связей можно использовать следующее правило: куда запрещено перемещение, оттуда направлена реакция связи.

6. В чём заключается принцип освобождаемости от связей? Любое несвободное твердое тело можно превратить в свободное, если

освободить его от связей, заменив их действие силами реакций. 7. Какое твердое тело называется несвободным? Твердое тело, свобода движения которого ограничена связями,

называют несвободным. Все силы, действующие на несвободное твердое тело, наряду с делением на внешние и внутренние, можно разделить на активные (задаваемые) и реакции связей. Активные силы выражают действия на твердое тело других тел, вызывающих или стремящихся вызвать изменение его кинематического состояния (например равновесия).

8. Назовите основные аксиомы статики. а) Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная

точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.

б) Две силы, приложенные к твёрдому телу, взаимно уравновешиваются только в том случае, если их модули равны, и они направлены по одной прямой в противоположные стороны:

F1 = − F2; Q1 = − Q2; F1 = F2; Q1 = Q2.

в) Если к твёрдому телу, находящемуся под действием некоторой

системы сил, приложить уравновешенную систему или исключить такую систему сил, то получится система сил эквивалентная заданной системе.

г) Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.

8

СибАДИ

Модуль равнодействующей силы определяют по формуле

)cos(2)()( 212

22

1 ϕ⋅⋅++= FFFFR ,

где ϕ – угол между направлениями сил F1 и F2. Параллелограмм сил можно заменить силовым треугольником. Тогда

справедливо равенство

)sin()sin()sin(21

β+α=

β=

αRFF .

д) Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

е) Равновесие сил, приложенных к деформирующемуся телу, сохраняется при его затвердевании.

9. Перечислите основные типы опор, для которых линии действия реакции известны.

Рис. а − гладкая плоскость (реакция направлена перпендикулярно к плоскости);

Рис. б − нить, канат (реакция направлена вдоль нити);

Рис. в − шарнирно-подвижная опора (реакция проходит через центр шарнира перпендикулярно к опорной плоскости);

Рис. г − опора А − опорный стержень с шарнирами на концах (реакция направлена по стержню; опора В − изогнутый стержень (реакция направлена вдоль линии действия, проходящей через шарниры).

9

СибАДИ

10. Перечислите типы опор, реакции которых определяются после расчета.

а) Неподвижный цилиндрический шарнир. Реакция заменяется двумя взаимно-перпендикулярными составляющими AX и AY , параллельными предварительно проведенным осям Ox и Oy.

Модуль реакции 22AAA YXR += .

б) Плоская жесткая заделка в точке А: три реакции связи XА , YА , MА

в) Скользящая заделка с одной степенью свободы: реакция AR

направлена перпендикулярно направляющей и реактивный момент AМ :

г) Скользящая заделка с двумя степенями свободы: реактивный

момент AМ :

11. Как определяется проекция силы на ось? Проекция силы F на ось определяется произведением модуля силы на

косинус угла α между положительным направлениям оси и силы α= cosFFx .

а) Проекция положительна, если угол o90<α , то α= cosFFx .

б) Проекция равна нулю, если угол o90=α , то 090cos o == FFx .

10

СибАДИ

в) Проекция отрицательна, если угол o90>α , то −=α= cosFFx βcosF , где β − острый угол между линией действия силы

с осью. 12. Какие задачи называются статически определимыми? Задачи, которые можно решать методами статики твёрдого тела, то

есть задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия сил, называются статически определимыми.

13. Что называется механической системой? Механическая система – любая совокупность материальных точек.

Движения материальных точек в механической системе взаимозависимы. В механике тело рассматривают как механическую систему, образованную непрерывной совокупностью материальных точек. Тела могут взаимодействовать друг с другом.

14. Что называется механическим действием? Механическое действие – действие на данное тело со стороны других

тел, которое приводит к изменению скоростей точек этого тела или следствием которого является изменение взаимного положения точек данного тела. Другими словами, при механическом действии тело приобретает механическое движение.

15. Что называется механическим движением? Механическое движение – изменение с течением времени взаимного

положения тел в пространстве или взаимного положения частей данного тела. Таким образом, тело либо деформируется, либо перемещается в пространстве. Деформацию тел изучает наука – сопротивление материалов. Так как в теоретической механике имеют дело с абсолютно твёрдыми телами, то при механическом действии тела изменяют свое положение в пространстве относительно друг друга. В общем случае тело может поступательно перемещаться в пространстве по трём направлениям (параллельно координатным осям OX, OY, OZ) и вращаться относительно этих осей.

16. Что называется равновесием механической системы? Равновесие механической системы – состояние механической

системы, при котором её точки под действием приложенных сил остаются в покое по отношению к рассматриваемой системе отсчёта.

17. Что называется системой отсчета? Система отсчёта – система координат, связанная с телом, по

отношению к которому определяется положение других тел (механических систем) в разные моменты времени.

11

СибАДИ

18. Что называется линией действия силы?

Линия действия силы – прямая линия, вдоль которой направлен

вектор, изображающий силу. 19. Чему равны и где приложены равнодействующие распределенных сил?

Модуль равнодействующей равен площади эпюры распределенных

сил. Равнодействующая прямоугольной эпюры распределенных сил равна Q = ql . Точка приложения равнодействующей силы Q проходит через центр тяжести эпюры на расстоянии l/2 (рис. а).

Равнодействующая треугольной эпюры распределенных сил

Q =2

maxlq.

Точка приложения равнодействующей силы Q проходит через центр тяжести эпюры на расстоянии 2l/3 от вершины треугольника (рис. б).

20. Докажите теорему о переносе силы в любую точку тела вдоль линии действия.

Теорема. Силу, действующую на твердое тело, можно перенести в любую точку тела на линии действия. Пусть в точке А твердого тела приложена сила F

(рис. а). К этой силе добавим в точке В систему сил F

′

и F′′ , эквивалентную нулю, причем модули сил FFF ′′=′= (рис. б).

Тогда система сил ( FF ′

, ) эквивалентна нулю и ее можно отбросить.

12

СибАДИ

Останется одна сила F ′′

, равная заданной силе F

, но приложенная в

точке В (рис. в), где точка В – любая точка на линии действия силы F

. Векторные величины, которые можно прикладывать в любой точке линии действия, называют скользящими.

21. Какое твердое тело называется свободным? Твердое тело, на перемещение которого не наложено никаких

ограничений, называют свободным. Свободное твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы: оно может перемещаться вдоль осей декартовых координат Оx, Oy, Oz и вращаться вокруг каждой из этих осей. Свободное твердое тело на плоскости имеет три степени свободы: оно может перемещаться вдоль осей Ox и Oy, вращаться вокруг любой точки плоскости, например, точки О.

22. Что называется инертностью? Инертность – свойство материального тела, проявляющееся в

сохранении движения, совершаемого им при отсутствии действующих сил, и в постепенном изменении этого движения с течением времени, когда на тело начинают действовать силы.

23. Что называется материальной точкой? Материальная точка – точка, имеющая массу. Материальная точка не

имеет размеров и обладает способностью взаимодействовать с другими материальными точками.

13

СибАДИ

2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1. Рекомендации для проведения практического занятия

Цель практического занятия: приобретение навыков решения задач на равновесие системы сходящихся сил.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса математики: правила действия над векторами; правила построения векторных многоугольников; проецирование векторов на оси и плоскости. Необходимо также повторить принцип освобождаемости от связей; виды связей; правила определения направления реакций связей; условия равновесия в аналитической и геометрической формах.

Требования к знаниям студента: 1. Знать четкие формулировки законов и основных понятий

теоретической механики. 2. Знать содержание и особенности решения основной задачи статики. 3. Уметь составлять уравнения равновесия сходящейся системы сил. 4. Уметь строить векторные многоугольники.


1. Записать условие задачи. 2. Выделить объект, равновесие которого необходимо рассмотреть для

отыскания неизвестных величин. Объектом равновесия может быть материальная точка, абсолютно твердое тело или система абсолютно твердых тел.

3. Изобразить рассматриваемый объект и все действующие на него активные силы как заданные, так и те, которые требуется определить.

4. Выявить наложенные на объект связи. 5. В соответствии с принципом освобождаемости от связей отбросить

связи и заменить их действие на тело соответствующими реакциями, приложенными к объекту равновесия.

6. Определить направления реакций связей. 7. Установить, какая система сил действует на данный объект и

сделать выводы, является ли задача статически определимой. 8. Выбрать систему координат (если она необходима и не задана).

14

СибАДИ

9. По условиям равновесия составить уравнения равновесия сил, приложенных к объекту. Решить ее и определить неизвестные величины. Провести анализ полученных результатов.


1. Что называется системой сил? Системой сил называют совокупность сил, действующих на

рассматриваемое тело или в более общем случае на точки механической системы. Можно рассматривать систему сил, приложенных к одной материальной точке (система сходящихся сил).

2. Какая система сил называется уравновешенной? Системой сил, эквивалентной нулю (или уравновешенной

системой сил), называют такую систему сил, действие которой на твердое тело или материальную точку не приводит к изменению их кинематического состояния.

3. Какие системы сил называются эквивалентными? Две системы сил называют эквивалентными, если их действие по

отдельности на одно и то же твердое тело или материальную точку одинаково при прочих равных условиях.

4. Запишите условие эквивалентности систем сил. Условие эквивалентности двух систем сил ( 1F

, 2F

, …, nF

) и ( 1P

, 2P

, …,

kP

) записывают в форме ( 1F

, 2F

, …, nF

) ( 1P

, 2P

, …, kP

), где n и k − число сил в соответствующих системах.

5. Дайте определение равнодействующей силы. Равнодействующей силой некоторой системы сил называют силу,

действие которой на твердое тело или материальную точку эквивалентно действию этой системы сил. Равнодействующую силу обозначают ∗R

и

условие ее эквивалентности рассматривают в виде ( ∗R

) ( 1F

, 2F

,…, nF

). 6. Чему равна равнодействующая уравновешенной системы сил? Уравновешенная система сил имеет равнодействующую, равную

нулю. Уравновешивающей силой заданной системы сил называют такую силу, добавление которой к заданной системе дает новую систему, эквивалентную нулю.

Если (− ∗R

) является уравновешивающей силой системы сил ( 1F

, 2F

, …, nF

), то согласно определению она удовлетворяет условию

( 1F

, 2F

, …, nF

,(− ∗R

)) 0.

7. Какие силы называются внешними? Внешними называют силы, действующие на материальные точки

15

СибАДИ

(тела) данной системы со стороны материальных точек (тел), не принадлежащих этой системе.

8. Какие силы называются внутренними? Внутренними называют силы взаимодействия между материальными

точками (телами) данной системы. 9. Что является основной задачей статики? Основной задачей статики является исследование условий равновесия

внешних сил, приложенных к абсолютно твердому телу. 10. Как определяется направление равнодействующей системы сходящихся

сил? Равнодействующая R сходящихся сил

приложена в точке пересечения линий действия сил iF

и равна их геометрической сумме: ∗R

= 1F

+ 2F

+ … + 1−nF

+ nF

= ∑=

n

iiF

1

.

Равнодействующая направлена по прямой, соединяющей начало первой и конец последней силы.

11. Каковы условия и уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил?

Условиями равновесия выражаются замкнутостью силового многоугольника, т. е. начало первой и конец последней силы совпадают. Для равновесия плоской системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из двух прямоугольных осей координат были равны нулю:

∑=

n

iixF

1= 0; ∑

=

n

iiyF

1= 0.

12. Сформулируйте теорему о равновесии трех непараллельных сил. Если система трех

непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, находится в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке:

212,1 FFR

+= ; 2,13 RF

= .

13. Что называется механической системой? Механической системой называют совокупность взаимосвязанных

материальных точек.

16

СибАДИ

3. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ


Цель практического занятия: отработка навыков решения задач по теории пар сил.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса математики: правила действия над векторами; правила построения векторных многоугольников; проецирование векторов на оси и плоскости.

На практическом занятии рассмотреть следующие понятия: пара сил; вектор-момент пары сил; эквивалентность пар сил; сложение пар; условия равновесия пар. Рассмотреть теоремы о парах сил на плоскости и в пространстве.

Требования к знаниям студента: 1. Знать формулировки понятий: пара сил, алгебраический момент

пары сил, плоскость действия пары сил. 2. Знать условие равновесия пар сил. 3. Уметь выполнять сложение пар сил. 4. Знать теоремы и следствия из теорем о парах сил.


1. Что называется парой сил? Парой сил называют систему двух равных по

модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны. Пара сил не имеет равнодействующую. Если сила стремится придать телу поступательное движение, то пара сил стремится вращать твердое тело. Обычно пару сил ( 1F

, 2F

) прилагают, например, к рулю автомобиля.

2. Сформулируйте теоремы о парах сил на плоскости. а) Пару сил можно перемещать в любое положение в плоскости её

действия. б) Пары сил, моменты которых численно равны и одинаковы по знаку,

эквивалентны. в) Момент пары сил, эквивалентной рассматриваемой системе пар на

плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

17

СибАДИ

3. Какими параметрами характеризуется пара сил? Пару сил, приложенную к твердому телу, можно охарактеризовать

тремя параметрами: плоскостью действия, моментом пары сил и направлением вращения пары.

4. Сформулируйте теоремы о парах сил в пространстве. а) Заданную пару сил, не изменяя её действия на твёрдое тело, можно

перенести в любую плоскость, параллельную плоскости движения пары. б) Пары сил эквивалентны, если их моменты геометрически равны. в) Момент пары сил, эквивалентной данной системе пар в

пространстве, равен геометрической сумме моментов составляющих систему пар.

5. Зависит ли главный вектор и главный момент заданной системы сил от

выбора центра приведения? а) Главный вектор, равный геометрической сумме всех сил системы,

не зависит от выбора центра привидения. б) Главный момент, равный алгебраической сумме моментов всех сил

системы относительно центра привидения, зависит от выбора этого центра, так как выбор центра привидения влияет на величину и знак главного момента.

6. Сформулируйте условие равновесия пар сил на плоскости. Пары сил на плоскости уравновешиваются в том случае, если

алгебраическая сумма их моментов равна нулю.

18

СибАДИ

7. Что называется плечом пары? Плечом пары сил d называют кратчайшее

расстояние между линиями действия сил пары. 8. Чему равен алгебраический момент пары?

М = М ( 1F

, 2F

) = dF± .

Алгебраический момент пары сил имеет знак плюс, если пара стремится вращать тело против часовой стрелки, и знак минус, если пара сил стремится вращать тело по часовой стрелке.

9. Запишите условия равновесия пар в пространстве. Пары сил, расположенные произвольно в пространстве,

уравновешиваются в том случае, если геометрическая сумма их моментов равна нулю:

∑==

n

iiMМ

1=0.

10. Назовите возможные случаи приведения сил, произвольно расположенных на плоскости?

а) Если главный вектор 0=R

и главный момент 0=OM

, то система сил находится в равновесии.

б) Если главный вектор 0=R

и главный момент 0≠OM

, то система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту сил относительно центра приведения.

в) Если главный вектор 0≠R

, то главный момент 0=OM

. Система сил приводится к равнодействующей силе, равной главному

вектору сил, линия действия которого проходит через центр приведения. г) Если главный вектор 0≠R

, главный момент 0≠OM

и РМ о

⊥ , то

силы приводятся к равнодействующей, равной главному вектору Р

и приложенной в точке K, и находятся на расстоянии PMOK

= от точки O.

д) Если главный вектор 0≠R

, главный момент 0≠OM

и оМ

не перпендикулярен Р

, то систему сил можно привести к силовому винту-

динаме, представляющей собой совокупность силы и пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к линии действия этой силы, с моментом

PMP

PMММ ooо

⋅== ),cos(* .

19

СибАДИ

11. Как определяется момент пары сил в пространстве?

Момент пары сил в пространстве рассматривают как вектор, направленный по перпендикуляру к плоскости пары сил в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть пару, стремящуюся вращать плоскость против движения часовой стрелки (рис. а).

Модуль вектора момента пары равен произведению одной из сил пары на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары:

М = М ( 1F

, 2F

) = dF± (рис. б).

а

б

12. Что называется векторным моментом пары сил? Векторным моментом пары сил называют вектор, числовое значение

которого равно произведению силы пары на ее плечо. Векторный момент пары сил направлен перпендикулярно плоскости действия пары сил так, чтобы, смотря навстречу вектору, видеть пару сил, стремящуюся вращать тело против движения часовой стрелки.

13. Где прикладывается векторный момент пары сил? Векторный момент пары сил

можно прикладывать посередине отрезка, соединяющего точки приложения сил пары. Его можно прикладывать так же, как будет доказано ниже, в любой точке тела, на которое действует пара сил.

Векторный момент пары сил ( 1F

, 2F

) обозначим М

или М

( 1F

, 2F

).

14. Чему равно числовое значение векторного момента пары сил? Числовое значение векторного момента пары сил М

совпадает с

модулем алгебраического момента пары сил и, следовательно, М

= 1Fh ⋅ =

20

СибАДИ

= 2Fh ⋅ , где h − плечо пары сил. Векторный момент пары сил численно выражается площадью параллелограмма, построенного на силах пары: М

= М = 1Fh ⋅ = ADBCпл .� .

15. Назовите свойства векторного момента пары сил. Отметим простейшие свойства векторного момента пары сил: его

числовое значение не зависит от переноса сил пары вдоль своих линий действия, и он может быть равен нулю, если одна из сторон параллелограмма ADBC превратится в точку, т.е. плечо пары сил или сила пары становится равной нулю.

Векторный момент пары сил можно выразить в виде векторного произведения двух векторов: 12 FBAFВАМ

×=×= .

Действительно, =× 2FAB

),sin( 22 FВААВF

, но hFВААВ =),sin( 2

и,

следовательно, =× 2FAB

hF2 , что совпадает с модулем векторного

момента пары сил. Направления векторных произведений 2FAB

× и

1FBA

× перпендикулярны плоскости, где лежат сомножители векторных произведений, а следовательно, и плоскости действия пары сил. Они совпадают с направлением векторного момента пары сил М

.

16. Сформулируйте теорему о сумме моментов сил пары. Сумма векторных моментов сил,

входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора точки и равна векторному моменту этой пары сил.

Для пары сил ( 1F

, 2F

) можно записать ),()()( 2121 FFМFМFМ ОО

=+ .

17. Запишите в геометрической форме условие равновесия пар сил. В геометрической форме условие равновесия пар сил имеет вид

М

= 0. Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и

достаточно, чтобы модуль векторного момента эквивалентной пары сил был равен нулю или чтобы векторный многоугольник, построенный на векторных моментах заданных пар сил, был замкнут. Векторный момент М

геометрически изображается замыкающей векторного многоугольника, построенного на векторных моментах заданных пар сил.

18. Чем можно заменить пары сил, произвольно расположенные в пространстве?

Пары сил, произвольно расположенные в пространстве, можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой

21

СибАДИ

равен сумме векторных моментов заданных пар сил, т.е. ∑==

n

iiMМ

1

.

19. Сформулируйте правило о сложении двух пар сил.

Две пары сил, действующие на одно и то же тело и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой равен сумме векторных моментов заданных пар сил.

20. Запишите в аналитической форме условие равновесия системы пар сил.

В аналитической форме условие равновесия системы пар сил записывают выражением 0222 =++= zx MMMМ y ,

где zx MMM y , , − алгебраическая сумма проекций векторных моментов пар сил на соответствующие оси координат.

Из аналитической формы записи условия равновесия пар сил вытекают три уравнения равновесия системы пар сил в пространстве:

;01

== ∑=

n

iixx MM ;0

1y == ∑

=

n

iiyMM 0

1== ∑

=

n

iizz MM .

21. Назовите условия, необходимые для равновесия пар сил в пространстве.

Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций векторных моментов пар сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю. В общем случае пары сил можно уравновесить только парой сил и нельзя уравновесить одной силой или какой-либо другой системой сил, отличной от пары сил. Для равновесия пар сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраический момент эквивалентной им пары сил был равен нулю:

∑==

n

iiMМ

1=0.

Т.е. для равновесия пар сил, действующих на твердое тело в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма алгебраических моментов этих пар сил была равна нулю.

22. В чём состоит условие равновесия сил, приложенных к рычагу? При равновесии сил, приложенных к рычагу, алгебраическая сумма

моментов всех задаваемых сил, относительно опорной точки равна нулю:

0)(1

=∑=

n

iiFМ O

.

22

СибАДИ

23. Что называется опрокидывающим моментом? Момент силы P

, стремящийся опрокинуть

тело, называют опрокидывающим моментом; опрM dР ⋅= .

24. Что называется удерживающим моментом? Момент силы G

, стремящийся удержать тело

от опрокидывания, называют удерживающим моментом;

удM aG ⋅= .

25. Сформулируйте условия предельного равновесия тела. В случае предельного равновесия имеем уравнение равновесия тела

01

=∑=

n

iiAM ; 0=⋅−⋅ dPaG , откуда dPaG ⋅=⋅ .

На границе устойчивости, т.е. в случае предельного равновесия. 26. Что называется коэффициентом устойчивости? Коэффициент устойчивости при опрокидывании принято определять

отношением величины удерживающего момента к величине опрокидывающего момента: опруд кММ = .

В случае устойчивого равновесия 1>к . 27. Какие операции над парами сил не изменяют их действия на твердое

тело? Операции над парами сил, не изменяющие их действия на твердое

тело: а) Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать

и переносить в плоскости ее действия. б) У пары сил можно одновременно изменять плечо и силы,

сохраняя при этом алгебраический момент пары и плоскость действия.

28. Как направлены реакции опор балки, нагруженной парой сил и лежащей на двух опорах, одна из которых – шарнирно-неподвижная, а другая – на катках?

Так как заданная нагрузка состоит только из пары сил, то реакции опор должны составить пару сил, параллельных реакции опоры на катках и направленную в сторону, обратную направлению приложенной пары сил.

23

СибАДИ

4. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ


Цель практического занятия: приобретение навыков решения задач на равновесие произвольной плоской системы сил.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса математики: правила действия над векторами; правила построения векторных многоугольников; проецирование векторов на оси и плоскости. Необходимо также повторить вопросы из раздела «Статика»: основные виды связей; правила определения направления реакций связей; момент силы относительно неподвижного центра; теорему Вариньона о моменте равнодействующей; пары сил и их свойства; определение равнодействующей системы распределенных сил.

Требования к знаниям студента: 1. Знать содержание и особенности решения основной задачи статики. 2. Знать аксиомы статики и следствия из них. 3. Уметь правильно формулировать и применять необходимые и

достаточные условия равновесия произвольной плоской системы сил. 4. Знать теорему Вариньона (теорема о моменте равнодействующей).


Задачи на равновесие твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил, можно условно разбить на три основных типа:

1. Задачи на равновесие плоской системы параллельных сил. 2. Задачи на равновесие плоской системы сил, расположенных

произвольно. 3. Задачи на равновесие твердого тела, которое может

опрокидываться. Процесс решения задач первого и второго типа сводится к следующим

операциям: 1. Выбрать объект равновесия, т.е. тело, к которому как заданные

силы, так и силы, которые требуется определить в данной задаче. 2. Изобразить на рисунке все заданные (активные) силы, действующие

на объект равновесия; если в число активных сил входят распределенные по тому или иному закону нагрузки, то на рисунке нужно заменить их предварительно найденными равнодействующими.

3. Выбрать декартову систему координат; при этом рекомендуется одну из координатных осей проводить перпендикулярно возможно большему числу неизвестных сил.

24

СибАДИ

4. Выявить все наложенные на объект равновесия связи и, применив принцип освобождаемости от связей, приложить к нему реакции связей.

5. Установить, какая система сил действует на объект равновесия, выяснить число неизвестных величин и убедиться, что задача статически определимая.

6. Составить уравнения равновесия для полученной системы сил; при этом рекомендуется за центр, относительно которого вычисляются моменты сил, брать точку, в которой пересекается наибольшее число линий действия неизвестных сил.

7. Решить систему полученных уравнений, определить неизвестные величины и провести анализ полученных результатов.

Если на тело наряду с силами действуют и пары сил, лежащие в одной плоскости с действующими силами, то при составлении уравнений равновесия в уравнения проекций сил на оси пары не войдут, так как сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. В уравнениях же моментов к моментам сил прибавится алгебраическая сумма моментов пар сил, так как сумма моментов сил пары относительно любого центра равна моменту пары. При решении некоторых задач следует учитывать трение качения. Наибольшее значение момента трения качения определяется по формуле M= δN, где δ – коэффициент трения качения, N – модуль нормального давления.

В тех случаях, когда по условию задачи требуется определить давление тела на опоры, нужно найти равные по модулю этим давлениям соответствующие реакции связей, а затем направить искомые давления противоположно найденным реакциям.

Процесс решения задач третьего типа сводится к следующим операциям:

1. Выделить твердое тело, возможность опрокидывания которого проверяется.

2. Изобразить на рисунке все заданные силы, действующие на тело. 3. Определить опору, относительно которой может произойти

опрокидывание тела. 4. Составить уравнение моментов заданных сил относительно этой

опоры. 5. Решив уравнение, определить искомую величину (предельную силу

или предельный размер). Задачи этого типа решаются в предположении, что твердое тело

начинает отрываться от одной из опор. Поэтому реакцию этой опоры учитывать не следует. Тогда при равновесии тела реакция оставшейся опоры должна уравновешиваться равнодействующей заданных сил.

25

СибАДИ

Это означает, что линия действия равнодействующей заданных сил проходит через оставшуюся опору и, следовательно, момент равнодействующей относительно точки опоры равен нулю.


1. Что такое произвольная плоская система сил? Линии действия сил находятся в одной плоскости. 2. Что называется моментом силы относительно точки? Моментом силы относительно точки О на

плоскости называется произведение модуля силы на её плечо относительно этой точки, взятое со знаком плюс или минус:

Mo =±Fd. Плечом d силы F относительно точки O называют

длину перпендикуляра, опущенного из точки O на линию действия силы АВ.

3. Когда момент силы относительно точки положительный, а когда

отрицательный? Момент силы относительно точки O будем считать положительным,

если сила F стремится повернуть плоскость чертежа вокруг точки O в сторону, противоположную движению часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой.

4. Запишите момент силы относительно точки как векторное произведение.

Вектор момента силы ОМ относительно точки можно рассматривать как векторное произведение радиуса вектора r, проведённого из центра момента в точку приложения силы, на вектор силы F.

FrМО ×= . 5. Назовите условия равновесия плоской

системы параллельных сил?

∑ ==

n

iiyF

1 ;0 0)(

1=∑

=

n

iiFM O

.

6. Чему равен векторный момент силы

относительно точки? Векторным моментом силы относительно точки

называют вектор, приложенный в этой точке и равный по модулю произведению силы на плечо силы относительно этой точки, расположенный

26

СибАДИ

перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, и направленный так, чтобы, смотря навстречу вектору, видеть силу, стремящуюся вращать тело против движения часовой стрелки:

)(FМ О

= Fh .

7. Сформулируйте теорему Вариньона о моменте равнодействующей. Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил

относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно этой же точки.

8. Напишите три формы уравнений равновесия плоской системы сил.

Первая форма: 01

=∑=

n

iixF ; 0

1=∑

=

n

iiyF ; 0)(

1=∑

=

n

iiFМ O

.

Вторая форма:

0)(1

=∑=

n

iiFМ А

; 0)(1

=∑=

n

iiFМ В

; 01

=∑=

n

iiхF .

Третья форма: 0)(1

=∑=

n

iiFМ А

; 0)(1

=∑=

n

iiFМ В

;

0)(1

=∑=

n

iiFМ С

.

9. Задана составная конструкция (система двух тел), соединенных шарниром А. Покажите усилия в шарнире А (рис. a).

Усилия в шарнире показываются по третьему закону Ньютона (аксиома равенства действия и противодействия). Усилия в точке А на втором теле показывают направленными противоположно усилиям на первом теле (рис. б).

10. Каким свойством обладает центр тяжести? Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой

тяжести. Направление сил притяжения отдельных частиц тела к Земле практически параллельны между собой. Равнодействующая этих параллельных сил, равная их сумме, есть вес тела, а центр этой системы сил, в котором приложен вес тела, называется центром тяжести. В твердом теле центр тяжести не зависит от расположения тела в пространстве. Сила тяжести являются характеристиками гравитационного притяжения тела к Земле. Вектор силы тяжести тела является мерой гравитационного притяжения тела к центру Земли. Вес тела − это модуль вектора силы

27

СибАДИ

тяжести, который определяется по формуле закона всемирного тяготения

как функция расстояния ЗR от тела до центра Земли: 20З

ЗГ

RmGmmgF == ,

где m − масса тела; 0g − вес 1 кг массы тела в поле тяготения Земли, имеющий размерность Н/кг; ГG − универсальная гравитационная постоянная, которая имеет значение 1110673,6 −⋅=ГG ; Зm − масса Земли,

241098,5 ⋅=Зm кг.

11. В каких точках земной поверхности сила тяжести имеет наибольшее и наименьшее значения?

Наибольший вес тело имеет на полюсе, а наименьший − на экваторе. 12. По каким формулам вычисляется положение центра тяжести

однородного тела? Радиус-вектор и координаты центра тяжести однородного тела

определяются по формулам

G

Gr k

n

kk

cr

∆=∑=1

; G

Gxx

k

n

kk

c

∆=∑=1 ;

G

Gyy

k

n

kk

c

∆=∑=1 ;

G

Gzz

k

n

kk

c

∆=∑=1 ,

где cr , cx ; cy ; cz − радиус-вектор и координаты центров тяжести

отдельных частей тела. 13. По каким формулам определяются координаты объема тела, плоских

фигур и линии? Координаты объёма тела определяются по формулам

V

Vxx

k

n

kk

c

∆=∑=1 ;

V

Vyy

k

n

kk

c

∆=∑=1 ;

V

Vzz

k

n

kk

c

∆=∑=1 .

Координаты центра тяжести пластинок (плоских фигур) определяются

по формулам S

Sxx

k

n

kk

c

∆=∑=1 ;

S

Syy

k

n

kk

c

∆=∑=1 .

Координаты центра тяжести линий определяются по формулам

l

lxx

k

n

kk

c

∆=∑=1 ;

l

lyy

k

n

kk

c

∆=∑=1 ;

l

lzz

k

n

kk

c

∆=∑=1 .

14. Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?

Теорема 1. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

28

СибАДИ

Теорема 2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

Теорема 3. Объём тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей её, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной её центром тяжести.

Теорема 4. Площадь поверхности вращения, полученной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но её не пересекающей, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной её центром тяжести.

15. Какими способами можно определить положение центра тяжести площади в случае, если известны положения центров тяжести отдельных её частей?

а) Метод группировки или разбиения. Если определить центры тяжести отдельных частей фигуры, то центр

тяжести можно определить по формулам

S

Sxx

k

n

kk

c

∑== 1 ;

S

Syy

k

n

kk

c

∑== 1 ,

где 21,SS – площади фигур, образующих заданное тело; S – площадь заданной фигуры; xk, yk – координаты центров тяжести площадей 21, SS .

б) Метод отрицательных площадей. Если в пластине имеется отверстие, то отверстие рассматривается как

отрицательная площадь. 16. Дайте определение плоской ферме. Фермой называют жёсткую, геометрически неизменяемую

конструкцию, образованную из стержней, соединенных шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Точки, в которых пересекаются стержни фермы, называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах пренебрегают, а вес стержней распределяют по узлам фермы.

17. Расчет фермы. Сформулируйте леммы о нулевых стержнях?

Лемма 1. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся два стержня, то усилия в них равны нулю (схема а).

Лемма 2. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся три стержня, из которых два расположены на одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Усилия в первых двух стержнях равны между собой (схема б).

29

СибАДИ

Лемма 3. Если в загруженном узле плоской фермы сходятся два стержня и к узлу приложена внешняя сила, линия действия которой совпадает с осью одного из стержней, то усилие в этом стержне равно по модулю приложенной силе, а усилие в другом стержне равно нулю (схема в).

18. Расчет фермы. В чём заключается сущность способа вырезания узлов?

Способ вырезания узлов состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляют по два уравнения равновесия сил, приложенных к данному узлу. Реакции стержней направляют от узлов. Если в результате вычислений получат ответ со знаком минус, то соответствующий стержень сжат, если знак плюс, то стержень растянут.

19. Расчет фермы. В чём заключается сущность метода Риттера?

а б

в

Дана ферма (рис. а). Определить усилия в стержнях 4S

, 5S

, 6S

. В ферме проводится сечение, рассекающее не более трёх стержней

(рис. б). Мысленно отбрасываем одну из частей фермы, заменяя её действие реакциями, направленными по стержням в сторону отброшенной части (рис. в). Для определения известных усилий в стержнях составляем уравнения моментов относительно точек пересечения стержней (точки Риттера: Е и F). Если два рассеченных стержня параллельны 4 и 6 (нет точки Риттера), то составляют уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную данным стержням, т.е. проекцию на ось x. Если усилие в стержне имеет знак минус, то стержень сжат, если знак плюс, то стержень растянут.

30

СибАДИ

5. ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ


Цель практического занятия: отработка навыков решения задач на равновесие произвольной пространственной системы сил.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса математики: правила действий над векторами; векторное произведение; проецирование векторов на оси и плоскости. Необходимо также повторить вопросы из раздела «Статика»: основные виды связей; правила определения направления реакций связей; момент силы относительно точки в пространстве; алгебраический момент силы относительно оси; необходимые и достаточные уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.

Требования к знаниям студента: 1. Уметь правильно формулировать аксиомы статики. 2. Знать теорему о приведении системы сил к простейшему виду. 3. Знать теорему Вариньона (теорема о моменте равнодействующей). 4. Знать правила определения величины и направления момента силы

относительно точки в пространстве. 5. Уметь правильно определять момент силы относительно оси. 6. Уметь правильно формулировать и применять необходимые и

достаточные условия равновесия произвольной пространственной системы сил.


1. Записать условие задачи. 2. Выделить объект равновесия, то есть тело, равновесие которого

следует рассматривать для нахождения реакций опор. 3. Выявить и изобразить на рисунке все действующие на тело

активные силы. 4. Установить наложенные на тело связи. 5. Ввести систему декартовых координат, если это необходимо для

решения задачи. 6. Освободить тело от связей и действия этих связей заменить

реакциями связей. 7. Написать для выявленной системы сил уравнения равновесия, в

которые войдут три уравнения проекций сил на координатные оси и три уравнения моментов относительно осей.

31

СибАДИ

8. Выяснить, является ли система статически определимой. 9. Найти из уравнений равновесия реакции опор.

5.3. Контрольные вопросы для тестирования студентов 1. Сформулируйте теорему о параллельном переносе силы. Силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку

твердого тела, добавляя при этом пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту переносимой силы относительно новой точки приложения силы.

2. Докажите теорему о параллельном переносе силы. Докажем, что силу можно переносить параллельно самой себе в

новый центр, например из точки А (рис. а) в точку В (рис. в), добавляя при этом к телу соответствующую пару сил.

Приложим в точке В, выбранной за центр приведения, две равные по модулю, но противоположные по направлению силы FFF

=′′=′ (рис. б).

Получим систему трех сил, эквивалентную одной силе F

( F

, F ′

, F ′′

), в которой силы F

и F ′

образуют векторный момент ВМ

( F

), перпендикулярный плоскости действия пары (рис. б ), изображенный на рис. в в виде пространственного вектора ВМ

.

В случае плоской системы сил векторный момент ВМ

( F

) проецируется на плоскость в точку и алгебраический момент пары сил ( F

,

F ′

) условно изображают в виде дуговой стрелки ВМ в плоскости пары сил. При этом ВМ можно рассматривать как момент силы F

относительно

центра приведения В, так и момент присоединенной пары сил ( F

, F ′

). Итак, вместо силы F

, приложенной в точке А, получена сила F

в

точке В и присоединенная пара сил ( F

, F ′

), векторный момент которой

ВМ

( F

, F ′

) = ВМ

( F

).

32

СибАДИ

Процесс замены силы F

системой, содержащей силу F

и пару сил ( F

, F ′

), называют приведением силы F

к заданному центру. 3. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю? Момент силы относительно оси равен нулю, если сила пересекает ось

или ей параллельна. 4. Дайте определение главного вектора и главного момента системы сил. Векторную сумму заданных сил, приложенную в центре приведения

О, называют главным вектором системы сил R

. Главный момент заданной системы сил равен сумме алгебраических

моментов присоединенных пар сил и, следовательно, равен сумме алгебраических моментов сил относительно центра приведения.

5. Напишите аналитические выражения для главного вектора и главного момента.

Для любой системы сил ( 1F

, 2F

, …, nF

) главный вектор R

является векторной суммой этих сил:

R

= ∑=

n

iiF

1

,

а главный момент ОМ

− суммой векторных моментов сил относительно

центра приведения: ОМ

= ∑=

n

iiFМ О

1)(

.

Главный вектор R

геометрически изображается замыкающей силового многоугольника, построенного на заданных силах. Проецируя обе части векторного равенства на координатные оси, для произвольной пространственной системы сил имеем

xR = ∑=

n

iixF

1; yR = ∑

=

n

iiyF

1; zR = ∑

=

n

iizF

1.

222zyx RRRR ++= .

6. Как зависят главный вектор и главный момент от перемены центра приведения?

Главный момент ОМ

геометрически тоже изображается замыкающей векторного многоугольника, построенного на векторных моментах сил относительно центра приведения.

7. Сформулируйте основную теорему статики. Основная теорема статики (теорема Пуансо). Всякую

пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, приложенной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной главному вектору данной

33

СибАДИ

системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.

8. К чему могут быть приведены силы, произвольно расположенные в пространстве?

Силы, произвольно расположенные в пространстве, всегда могут быть приведены к одной силе, равной их главному вектору, приложенной в центре приведения, и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.

9. Назовите условия равновесия пространственной системы параллельных сил?

Равновесию пространственной системы параллельных сил соответствуют три условия равновесия:

==

=

∑∑

∑

==

=

.0)( ;0)(

;0

11

1n

i

n

i

n

i

iix

iz

FMFM

F

y

10. Запишите аналитическую форму условия равновесия произвольной

пространственной системы сил. Для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу,

необходимо и достаточно, чтобы модуль главного вектора и модуль главного момента этих сил относительно любого центра были равны нулю:

=++=

=++=

.0

;0

222

222

zyxo

zyx

MMMM

RRRR

11. Запишите уравнения равновесия пространственной системы сил.

===

===

∑∑∑

∑ ∑ ∑

===

= = =

. 0)( ;0)( ;0)(

; 0 ;0 ;0

111

1 1 1n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

iziix

iziyix

FMFMFM

FFF

y

12. Какая зависимость существует между моментами силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку?

Проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, равна моменту силы относительно оси:

zМ = ) ,cos( kMМ оо

.

34

СибАДИ

13. Запишите проецирование силы, произвольно расположенной в пространстве, на оси координат.

Дана сила F

, ее проекции на прямоугольные оси координат вычисляют по формулам

),cos( iFFiFFx

=⋅= ;

),cos( jFFjFFy

=⋅= ;

),cos( kFFkFFz

=⋅= , где i

, j

, k

− единичные векторы,

направленные по осям координат.

14. Как вычисляется момент силы относительно оси? Моментом силы F

относительно оси z называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля проекции ПF силы F на плоскость, перпендикулярную оси, на её плечо h относительно точки O пересечения оси с плоскостью:

hFМ Z ⋅±= П .

15. Запишите аналитическую форму условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

Для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы модуль главного вектора и модуль главного момента этих сил относительно любого центра были равны нулю:

=++=

=++=

.0

;0222

222

zyxo

zyx

MMMM

RRRR

16. Запишите уравнения равновесия пространственной системы сил.

=∑=∑=∑

∑ ∑ =∑==

===

= = =

. 0)( ;0)( ;0)(

; 0 ;0 ;0

111

1 1 1n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

iziix

iziyix

FMFMFM

FFF

y

35

СибАДИ

17. Запишите условия равновесия пространственной системы сходящихся сил.

01

=∑=

n

iixF ; 0

1=∑

=

n

iiyF ; 0

1=∑

=

n

iizF .

18. Как аналитически определить равнодействующую пространственной системы сходящихся сил?

Модуль равнодействующей

222zyx RRRR ++= , где xR = ∑

=

n

iixF

1; yR = ∑

=

n

iiyF

1; zR = ∑

=

n

iizF

1.

19. Выразите моменты силы относительно координатных осей через проекции силы на эти оси.

−==

−==

−==

∑∑

∑∑

∑∑

==

==

==

. )()(

; )()(

; )()(

11

11

11

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

ixiiyiizz

iziixii

iiiziixx

FyFxFММ

FxFzFММ

FzFyFММ

yy

y

20. Как определяется направление равнодействующей? Направление равнодействующей определяется направляющими

косинусами

=== .),cos( ; ),cos( ; ),cos(RRkR

RR

jRR

RiR zx y

21. Как аналитически определить модуль главного момента пространственной системы?

Модуль главного момента и косинусы его углов с осями координат равны

===

++=

.),cos( ; ),cos( ; ),cos(

; 222

ОО

ОО

ОО

О

ММkМ

ММ

jМММiМ

ММММ

zx

zx

y

y

22. Как определяется величина и направление силы трения? При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему приложена

сила трения скольжения, модуль которой пропорционален нормальному

36

СибАДИ

движению N, а направление этой силы противоположно направлению скорости тела, равная Fтр = fN, где f − коэффициент трения скольжения.

23. Запишите главные моменты системы сил относительно точки. Момент, равный геометрической сумме моментов всех заданных сил

относительно точки О, называется главным моментом системы сил относительно этой точки, т.е

∑=

=n

iоiо ММ

1= i

n

iir F

×∑

=1.

24. Запишите главный момент системы сил относительно оси. Момент, равный алгебраической сумме моментов всех заданных сил

относительно оси z, называется главным моментом системы сил относительно оси z:

∑=

=n

iz ziММ

1= iXYXY F

n

iir

×∑

=1.

25. Что называют векторным моментом силы относительно точки (пространственная система)?

Векторный момент ОМ

является третьим вектором, приложенным в центре О перпендикулярно векторам r и F

, направленным так, чтобы, смотря

навстречу вектору ОМ

, видеть силу F

, стремящуюся вращать тело против часовой стрелки.

Если сила F

дана своими проекциями xF , yF , zF на оси координат и

даны координаты x, y, z точки А приложения этой силы, то векторный момент силы относительно начала координат можно записать с помощью определителя

)(FМО

= ==×

zyx FFFzyxkji

Fr

kyFxFjxFzFizFyF xzxz yy

)()( )( −+−+− ,

где i

, j

, k− единичные векторы осей координат.

Выражения в круглых скобках перед векторами i

, j

, k

формулы являются проекциями вектора ОМ

( F

) на оси координат:

37

СибАДИ

−=−=−=

. )( ; )(; )(

xzzx

zx

yFxFFМxFzFFМzFyFFМ

y

y

y

О

О

О

Модуль векторного момента ОМ ( F

) и косинусы его углов с осями координат определяют по формулам

=

==

−+−+−=

. )()(),cos(

; )()(

),cos( ; )()(),cos(

; )()()()( 222

FМFМkМ

FМFМ

jМFМFМiМ

yFxFxFzFzFyFFМ

О

ОО

О

ОО

О

ОО

О

z

x

xzxz

y

yy

В формулах числовую величину )(FМО

берем со знаком плюс.

26. Докажите теорему Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру.

Любую произвольную систему сил, действующих на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил. Такой процесс замены системы сил одной силой и парой сил называют приведением системы сил к заданному центру.

Пусть в системе координат Оxyz дана произвольная система сил

( 1F

, 2F

, …, nF

), приложенных к твердому телу (рис. а). Выберем произвольную точку О и в этой точке попарно приложим

уравновешенные системы сил, равные по модулю и параллельные исходным силам (рис. б). Получена система 3n сил, эквивалентная исходной системе n сил. В новой эквивалентной системе сил в точке О имеем систему сходящихся сил, обозначенных iF ′

= iF

, и систему пар сил

38

СибАДИ

( iF

, iF ′′

), где i = 1,…,n. Систему сходящихся сил iF ′

можно заменить результирующей

R

= 1F

+ 2F

+ … + nF

= ∑=

n

iiF

1

.

Для заданной системы сил результирующая сила R

не является равнодействующей. Поэтому векторную сумму заданных сил, приложенную в центре приведения О, называют главным вектором системы сил R

. На рис. б он изображен в виде замыкающего вектора

силового многоугольника, приложенного в центре приведения О. Систему присоединенных пар сил ( iF

, iF ′′

) по теореме о сложении пар сил можно заменить результирующей парой сил с векторным моментом ОМ

:

ОМ

= ОМ

( 1F

) + ОМ

( 2F

) + … + ОМ

( nF

) = ∑=

n

iО iFМ

1)(

.

Векторную сумму моментов всех сил системы относительно точки О тела называют главным моментом заданной системы сил относительно центра приведения. Главный момент системы сил является вектором, замыкающим векторный многоугольник, образованный при сложении векторных моментов сил системы относительно выбранного центра. Таким образом, доказана основная теорема статики: пространственную систему сил, действующих на твердое тело, можно привести к силе, равной главному вектору системы сил, и паре сил, векторный момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения.

27. Чему равен момент силы F относительно оси Oz. К телу в точке А приложена сила F.

Моментом силы F относительно оси OZ называется взятое со знаком «+» или «–» произведение модуля проекции FOXY силы F на плоскость, перпендикулярную оси, на её плечо h1 относительно точки О пересечения оси с плоскостью P: MОZ(F) = ± FОХY·h1. Момент силы относительно оси считается положительным, если, смотря навстречу оси OZ, можно видеть проекцию FОХY силы F, стремящейся вращать плоскость Р относительно оси OZ в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

39

СибАДИ

28. Расскажите теорему высот вершин треугольника. На рис. 1 сила F

, совпадающая со стороной АВ

треугольника АВС, стремится вращать твердое тело относительно точки С.

Моментом )(FМ C

силы F

относительно центра

С является произведение силы F

на плечо h, которое совпадает с высотой h треугольника, опущенной из вершины С на основание АВ.

Для определения высоты h треугольника удобно пользоваться теоремой, которую в 2010 г. предложили авторы данного пособия:

квадрат высоты вершины треугольника равен разности квадратов гипотенузы и катета: гипотенуза равна произведению двух сторон, образующих вершину, поделенному на основание; катет равен сумме квадратов сторон, образующих эту вершину минус квадрат основания, поделенные на удвоенное основание.

Для треугольника АВС (см. рис. 1), стороны которого известны: ВС=а; АС=b; АВ=с, имеем

222222

2

−+−

⋅

=c

cbacbah . (1)

Теорема высот треугольника сформулирована для произвольного треугольника, поэтому можно использовать ее для частного случая, когда треугольник АВС прямоугольный (рис. 2), где сила F, совпадающая с основанием АВ=с, стремится вращать тело относительно вершины С прямого угла.

Плечо h силы F

тоже определяется по теореме высот треугольника

2

2

⋅

=c

bah . (2)

Укажем причину отсутствия теоремы (1) в математике до настоящего времени. Теорема (1) не вытекает из теоремы (2) для прямоугольного треугольника, подобно тому, как это исторически произошло с теоремами синусов и косинусов; высоты h треугольника обычно определяются в математике косвенным путем с помощью теорем синусов, косинусов или путем предварительного вычисления полупериметра треугольника.

40

СибАДИ

6. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ


Цель практического занятия: отработка навыков решения задач на составление уравнений движения точки в параметрической форме и определение кинематических характеристик движения точки.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса математики: проецирование векторов на ось, плоскость; правила дифференцирования векторных функций скалярного аргумента; дифференцирование сложных функций. Необходимо также повторить перед занятием следующие вопросы из раздела «Кинематика»: способы задания движения точки, основная задача кинематики точки, кинематические характеристики движения точки, понятие кривизны и радиуса кривизны кривой.

Требования к знаниям студента: 1. Уметь правильно формулировать теоремы кинематики. 2. Знать алгоритмы определения величины и направления скоростей и

ускорений точки. 3. Уметь производить кинематический расчет простых механизмов.

6.2. Методические рекомендации к решению задач Задачи по кинематике точки могут предполагать: 1. Составление кинематических уравнений движения точки. 2. Определение по заданным кинематическим уравнениям движения

точки ее траектории, положения точки, скорости, ускорения и радиуса кривизны траектории.

3. Переход от уравнений движения точки в декартовых координатах к полярным или к естественному способу задания движения.

4. Определение по некоторым заданным кинематическим параметрам движения точки других ее параметров.

Задачи решаются в такой последовательности: 1. Выбирается неподвижная система координат – декартовая,

полярная или какая-либо иная; начало координат и та или иная система координат выбираются исходя из условий задачи так, чтобы решение задачи было возможно более простым.

2. Составляются кинематические уравнения движения точки, если они не заданы.

41

СибАДИ

3. По известным соотношениям кинематики находятся все величины, требуемые по условию задачи.

4. Изображаются траектория движения, векторы скорости и ускорения точки.

Методика задач четвертого типа существенно зависит от исходных условий. В ряде случаев, когда уравнения движения точки не заданы и в качестве исходных данных приводятся скорости или ускорения точки, необходимые для ответа на поставленные вопросы соотношения находят путем интегрирования дифференциальных зависимостей между кинематическими величинами. Появляющиеся при этом постоянные интегрирования определяют по начальным условиям.


1. Какие существуют способы задания движения точки? Способы задания движения точки: векторный, координатный,

естественный. 2. Опишите векторный способ задания движения точки. При векторном способе задания движения положение точки на

траектории определяют концом радиуса-вектора r , проведенного из некоторой неподвижной точки О:

)t(rr = .

Векторное уравнение представляет собой уравнение движения точки. Точка движется по траектории, которая задана концом радиуса-вектора. Уравнение можно записать в проекциях на декартовы оси координат Ox, Oy, Oz в виде

z,kyjхir

++= где k,j,i

– единичные векторы-орты координатных осей.

3. Опишите естественный способ задания движения точки. При естественном способе задания

движения точки задают: траекторию точки; начало и направление отсчёта дуговой координаты s, которая отсчитывается от начала отсчета. Известно, что элемент дуги ds связан с координатами движущейся точки следующим уравнением:

.)()()( 222 dzdydxds ++=

42

СибАДИ

Интегрируя это уравнение, получим уравнение движения точки

∫=t

Vdtts0

)( .

4. Опишите координатный способ задания движения точки.

Движение точки задают в декартовой системе координат путем задания координат точки в виде скалярных функций времени

х=f1(t); у= f2(t); z= f3(t).

5. Как определяется средняя скорость

точки? Средней скоростью срV

точки за

время ∆t называют отношение

trVср ∆

∆=

.

Средняя скорость совпадает с вектором r∆ . В общем случае она зависит от времени осреднения ∆t.

6. Как определяется среднее ускорение точки? Пусть движущаяся точка М в момент времени t имеет скорость V

.

В момент времени ttt ∆+=1 эта точка занимает положение М1, имея скорость 1V

. Чтобы изобразить

приращение скорости V∆ за время ∆t, перенесём вектор скорости 1V

параллельно самому себе в точку М. Средним ускорением точки сра

за время ∆t называют отношение

tVaср ∆

∆=

.

Среднее ускорение точки параллельно приращению скорости V

∆ . Среднее ускорение не имеет на траектории конкретной точки приложения и изображено в точке М условно. В общем случае среднее ускорение зависит от времени ∆t.

Ускорением точки a в момент времени t называют предел, к которому стремится среднее ускорение при ∆t, стремящемся к нулю, т.е.

43

СибАДИ

dtVd

tVa

t

=∆∆

=→∆ 0

lim .

Таким образом, ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки.

7. Как определяется скорость точки при векторном способе задания? Введём понятие действительной скорости точки V

в момент времени

t, которая определяется как предел средней скорости, если промежуток времени, за который определяется средняя скорость, стремится к нулю, т.е.

.lim0 dt

rdtrV

t

=

∆∆

=→∆

Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от её радиуса-вектора. Она направлена по касательной к траектории в сторону движения точки и равна

dtrdV

= .

8. Как определяется величина ускорения точки при векторном способе задания движения?

Для ускорения точки соответственно имеем

2

2

dtrd

dtVda

== .

9. Как определяется скорость точки при координатном способе задания?

Проекция вектора скорости на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки:

хdtdхVx == ; y

dtdyVy == ; .z

dtdzVz ==

По проекциям определяют модуль скорости и направляющие косинусы углов вектора скорости с осями координат:

222222 zyxVVVV zyx ++=++= ;

VV

iV x=),cos(

; ;)cosVV

j,V( y=

.)cos(VV

k,V z=

44

СибАДИ

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Оx и Оy в этой плоскости, получим 0const ==z ; ;0== zVz yVy = ; xVx = . Соответственно

22 yxV += ; VxiV

=),cos( ; VyjV

=),cos( .

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например Оx, направляют по траектории. Тогда 0const ==y и 0const ==z , следовательно, ;0=y 0=z .

Координату точки, проекцию скорости и ее модуль определяют по формулам

)(tfx = , xVx = , xVV = .

10. Как определяется величина ускорения точки при координатном способе задания движения?

Вектор ускорения точки представим через его проекции на оси декартовой системы координат, т.е.

kajaiаа zyх

++= ,

где ах, ау, аz – проекции вектора ускорения на координатные оси. Согласно определению ускорения имеем

.)( kzjyixkVjViVdtd

dtVdа zyx

++=++==

Получаем формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат

;xdt

dVа xх == y

dtdV

а yу == ; .z

dtdVа z

z ==

Проекция вектора ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки.

Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяют по формулам

.),cos(;),cos(;),cos(

;222222

aaka

aa

jaaaia

zyxаааааzyx

zух

===

++=++==

При движении точки в плоскости осей Оx и Оy выбирают в этой же плоскости.

Тогда z=const=0; 0== zаz .

45

СибАДИ

Формулы для ускорения и его проекций на оси координат примут вид

;jyixa

+= ;хах = уау = .

Соответственно ;22 уха += axia

=),cos( ; ayja

=),cos( .

Для прямолинейного движения ось Оx направим по траектории точки. Тогда у = const = 0; z = const = 0 и 0== уау ; следовательно,

xa = . 11. Как определяется скорость точки при

естественном способе задания? При движении точки её радиус-вектор

изменяется с течением времени и, следовательно, является функцией двух переменных ( )tsr , . Определим скорость точки, используя правило дифференцирования функций с двумя переменными,

τ=τ====

Vssdsrd

dtds

dsrd

dtrdV .

Касательный вектор dsrd

=τ , равный производной от радиуса-вектора

по дуговой координате, направлен по касательной к кривой в точке М. Величина sV = называется алгебраической скоростью точки. Её можно считать проекцией скорости на положительное направление касательной к траектории, совпадающее с направлением единичного вектора τ .

Модуль скорости точки в данный момент времени равен первой производной от дуговой координаты точки по времени:

.sdtdsV ==

12. Как направлен и чему равен единичный вектор τ

? Единичный вектор τ всегда направлен по касательной к траектории в

сторону возрастания дуговой координаты независимо от направления движения точки. Модуль этого вектора равен единице как предел отношения длины хорды r∆ к длине стягивающей дуги s∆ при стремлении её к нулю.

13. Дать определение нормальному и касательному ускорениям точки при естественном способе задания.

Проекцию ускорения на положительное направление касательной, совпадающую с направлением единичного вектора τ

, называют

46

СибАДИ

касательным ускорением, а на главную нормаль, направленную по единичному вектору n , – нормальным ускорением.

Проекция ускорения на бинормаль, направленная по единичному вектору b

, равна нулю; следовательно, ускорение точки расположено в

соприкасающейся плоскости с траекторией. В этой плоскости находятся единичные векторы касательной и главной нормали.

14. Как определяется ускорение точки при естественном способе задания? Разложим ускорение точки по

естественным осям координат. Часть ускорения τa называют касательной составляющей

ускорения. Другую часть na называют нормальной составляющей ускорения. Она направлена в сторону вогнутости траектории, т.е. в сторону единичного вектора главной нормали n .

Ускорение точки при криволинейном движении

naaa += τ .

Получим формулы для проекций ускорения на естественные оси

dtdVa =τ ;

ρ

2Van = ; 0=ba .

15. Чему равно полное ускорение точки при естественном способе задания?

Учитывая ортогональность векторов τa и na , имеем полное ускорение точки

22naaa += τ ;

naaτ=αtg .

16. Каково направление нормального ускорения точки? Нормальная составляющая ускорения na всегда направлена в сторону

вогнутости траектории. 17. Каково направление касательного ускорения точки? Движение

ускоренное и замедленное. Касательная составляющая τa при 0>s направлена в положительную

сторону касательной, т. е. по направлению единичного вектора τ , а при 0<s – в отрицательную, противоположно τ . При 0>s и 0>s вектор скорости и вектор касательной составляющей

ускорения направлены в одну сторону – по τ . Движение точки является ускоренным в положительном направлении касательной к траектории.

47

СибАДИ

При 0<s и 0<s вектор скорости и вектор касательной составляющей ускорения также имеют одинаковые направления и следовательно, движение точки является ускоренным в отрицательном направлении по касательной к траектории.

При 0<s и 0>s имеем замедленное движение точки в отрицательную сторону по касательной к траектории точки.

18. Чему равно касательное ускорение точки при координатном способе задания?

Если требуется определить касательное и нормальное ускорения при координатном способе задания движения точки, то сначала по формулам определяют модули скорости и ускорения точки:

222zyx VVVV ++= ; 222

zyx aaaa ++= .

Согласно формуле

2222

222

zyx

zz

yy

xx

VVVdt

dVVdt

dVV

dtdVV

dtdVa

++

++==τ

или V

aVaVaVa zzyyxx ++

=τ .

Знак плюс, полученный в ответе после вычисления дроби, соответствует ускоренному движению точки, а знак минус – замедленному.

19. Чему равно нормальное ускорение точки при координатном способе задания?

222zyx VVVV ++= ; 222

zyx aaaa ++= ; V

aVaVaVa zzyyxx ++

=τ .

Нормальное ускорение точки определяют по формуле 22τ−= aaan .

20. Расскажите о зависимости характера движения точки от значений её нормального и касательного ускорений в течение некоторого промежутка времени.

а) Если ускорения 0=na ; 0=τa , то точка движется прямолинейно и равномерно.

б) Если ускорения 0≠na ; 0=τa , то точка движется криволинейно и равномерно.

Модуль её ускорения ρ== 2Vaa n .

48

СибАДИ

Если 0=τa в отдельный момент времени, то точка не движется равномерно, а в этот момент времени модуль её скорости имеет экстремальное значение.

Например, при колебаниях маятника его скорость максимальна в вертикальном положении маятника. При экстремуме скорости ускорение в этом положении маятника 0=τa .

в) Если ускорения 0=na ; 0≠τa , то точка движется прямолинейно и

неравномерно. Модуль её ускорения 2

2

dtsdaa == τ .

Если 02=

ρ=

Van в некоторый момент времени, то точка не движется

прямолинейно, а проходит точку перегиба траектории ( )∞=ρ или модуль её скорости обращается в нуль (например, при изменении направления движения точки 0=V ), в этой точке скорость меняет знак.

г) Если ускорения 0≠na ; 0≠τa , то точка совершает криволинейное

неравномерное движение. Модуль её ускорения 22naaa += τ . Если

направления векторов V

и τa совпадают, то движение ускоренное, в противном случае – замедленное.

21. Что называется равномерным движением точки? Равномерным называют такое движение точки по траектории любой

формы, при котором численная величина скорости всё время остаётся постоянной: const=V .

Тогда 0==τ dtdVa , и ускорение точки равно его нормальному

ускорению ρ== 2Vaa n . Найдём уравнение равномерного криволинейного движения. Из

формулы dtdsV = получаем Vdtds = . Пусть в начальный момент времени

( )00 =t точка находится от начала отсчёта на расстоянии 0

s . Тогда, взяв от левой и правой частей равенства определённые интегралы в

соответствующих пределах, получим ∫ ∫=s

s

tVdtds

0 0 или Vtss =− 0 . Так как

const=V , окончательно находим закон равномерного движения точки в виде

Vtss += 0 .

49

СибАДИ

22. Что называется равнопеременным движением точки? Равнопеременным называют такое движение точки по траектории

любой формы, при котором касательное ускорение остаётся постоянным: const=τa .

23. Вывести закон равнопеременного движения точки. Найдём закон равнопеременного движения, считая, что при 00 =t 0ss = ; 0VV = , где 0V – начальная скорость точки.

По формуле τadtdV

= или dtadV τ= . Так как const=τa , то, взяв от

обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим taVV τ+= 0 .

Формулу представим в виде taVdtds

τ+= 0 или tdtadtVds τ+= 0 .

Вторично интегрируя, найдём уравнение равнопеременного движения точки:

2

200

tatVss τ++= .

24. Что называется равноускоренным и равнозамедленным движением точки? Если при движении точки модуль скорости возрастает, то движение

называется равноускоренным ( )0>τa , а если убывает – равнозамедленным ( )0<τa . Данное утверждение справедливо при движении точки в положительном направлении отсчёта дуговой координаты s .

26. Дайте определение радиусу кривизны. Модуль вектора кривизны К есть величина, обратная радиусу

кривизны (радиусу кривой) в данной точке. Направление вектора K

определяет вектор, который в пределе при

∆φ→0 совпадает с нормалью n . Получим окончательно

nK

ρ=

1 .

25. Дайте определение вектору кривизны. Вектором кривизны K

кривой является

предел отношения

dsd

sK

s

τ=

∆τ∆

=→∆

lim

0.

На рисунке в точках Μ и 1M показаны касательные векторы, модули которых равны .11 =τ=τ

50

СибАДИ

Для оценки величины изменения вектора τ на дуге s∆ вектор 1τ

перенесём в точку М. Тогда из векторного треугольника МАВ ττ=τ∆ −

1 . В свою очередь τ∆

можно выразить через ∆φ из треугольника МАВ: ϕ∆⋅=τ∆ 1 .

Таким образом, модуль вектора кривизны

.s

K∆ϕ∆

=

К касательным векторам τ , 1τ на рисунке в точках М, М1 проведены

нормали в виде отрезков ρ , ρ 1, которые пересекаются в точке О1, называемой центром кривизны дуги ММ1. Величины ρ , ρ 1 являются радиусами кривизны в точках М, М1.

Используя формулы геометрии и учитывая, что при 0→∆s ; ρ→ρ1 , получим ϕ∆ρ=∆s .

Тогда найдём ρ

=1K , где ρ – радиус кривизны траектории.

27. Расскажите о правиле построения естественных осей координат.

Построим в точке М кривой естественные оси координат.

Первой естественной осью является касательная τ . Положительное направление этой оси совпадает с направлением единичного вектора касательной τ , направленного в сторону возрастания дуги.

Перпендикулярно касательной оси τ располагается нормальная ось n , направленная в сторону вогнутости кривой – к центру кривизны.

Оси τ и n образуют соприкасающуюся плоскость, которая находится в плоскости кривой ММ 1, т.е. в плоскости, образованной векторами τ , τ 1, при ММ 1 0→ . Через ось n перпендикулярно оси τ проходит нормальная плоскость, в которой перпендикулярно осям τ и n расположена вторая нормаль b , называемая бинормалью.

28. Расскажите о естественных осях координат. Три взаимно перпендикулярные оси τ , n , b , положительные

направления которых совпадают с направлениями единичных векторов τ , n , b

, называют естественными осями координат. Эти оси образуют в

точке М естественный трёхгранник.

51

СибАДИ

При движении точки М по кривой естественный трёхгранник движется вместе с точкой как твёрдое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой.

Правило определения правой системы координат заключается в том, чтобы, смотря навстречу вектору b

, видеть поворот вектора τ к вектору n

против вращения часовой стрелки. Термин правая система координат заимствован из физики: вправо

происходит вращение буравчика, остриё которого совпадает с вектором b

при повороте оси τ к оси n .

29. Напишите формулу для определения радиуса кривизны траектории движения точки.

Радиус кривизны траектории находим из формулы

naV 2

=ρ .

30. Что называется годографом вектора скорости? Годографом вектора скорости является линия, на которой

располагаются концы вектора скорости в различные моменты времени, если их начала совместить в одной общей точке.

31. Как строится годограф вектора скорости?

Для построения годографа вектора скорости выбирают точку,

например О (рис. б), и начала векторов скорости для различных моментов времени помещают в эту точку, не изменяя их направлений. Каждой точке М траектории (рис. а) соответствует своя изображающая точка А М на годографе вектора скорости (см. рис. б).

Масштаб скоростей при построении годографа вектора скорости может быть выбран отличным от масштаба для скоростей, изображаемых в

52

СибАДИ

точках траектории. При движении точки М по траектории соответствующая ей изображающая точка АМi движется по годографу вектора скорости.

При равномерном движении точки по прямой годографом вектора скорости является одна точка, при неравномерном движении – отрезок этой прямой.

32. Назовите параметрические уравнения годографа вектора скорости. Пусть известны уравнения движения точки в декартовых

координатах. На рисунке а показаны траектория точки и несколько векторов

скорости для разных моментов времени, а на рисунке б показан годограф вектора скорости движения точки.

Точке М (x, y, z) на траектории соответствует точка А M ( xV , yV , zV ) на годографе вектора скорости.

Координаты точки А M , согласно определению годографа, выражают

через проекции скорости на ортогональные оси координат О xV yV zV по формуле

kVjViVV zyx

++= , где xtVx =)( ; ytVy =)( ; ztVz =)( .

Представленные выражения проекций вектора скорости являются параметрическими уравнениями годографа вектора скорости.

53

СибАДИ

7. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА


Цель практического занятия: отработка навыков решения задач на задание движения твердого тела. Рассмотреть поступательное движение твердого тела, криволинейное поступательное движение тела. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек тела при поступательном движении.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса математики: дифференцирование и интегрирование функций. Необходимо также повторить перед изучением данной темы следующие вопросы из раздела «Кинематика»: кинематические характеристики движения точки, понятие кривизны и радиуса кривизны кривой, нахождение скорости и ускорения при координатном способе задания движения.

Требования к знаниям студента: 1. Уметь правильно формулировать теоремы кинематики для тел,

совершающих простейшие движения. 2. Знать методы определения величины и направления скоростей и

ускорений точек твердого тела при поступательном движении.


Зная уравнения поступательного движения тела, можно найти следующие кинематические характеристики:

а) траекторию движения; б) положение тела на траектории движения в любой момент времени; в) скорость любой точки и ориентацию вектора этой скорости в

пространстве; г) ускорение любой точки и ориентацию вектора этого ускорения в

пространстве в любой момент времени.

7.3. Контрольные вопросы для тестирования студентов 1. Назовите простейшие движения твердого тела. Простейшими движениями твёрдого тела являются поступательное

движение и вращение вокруг неподвижной оси.

54

СибАДИ

2. Дайте определение поступательного движения твердого тела. Поступательным движением твердого тела называют такое его

движение, при котором любая прямая, жёстко соединённая с телом, остаётся параллельной своему первоначальному положению в каждый момент времени. Траектории точек поступательно движущегося твёрдого тела могут быть прямыми и любыми кривыми.

3. Какое движение называется мгновенно поступательным? Движение твёрдого тела, для которого векторы скоростей точек равны

только в один момент времени, а не всё время, называется мгновенно поступательным движением. Для мгновенного поступательного движения ускорения точек в общем случае не являются одинаковыми.

4. Сформулируйте теорему о поступательном движении твердого тела. При поступательном движении твёрдого тела траектории, скорости и

ускорения всех точек тела одинаковы. 5. Докажите теорему о поступательном движении твердого тела. Рассмотрим две точки А и В

твёрдого тела. Радиусы-векторы этих точек удовлетворяют условию (рис. )

АВrrAB+=

. Для любого твёрдого тела вектор

АВ является постоянным по модулю, а при поступательном движении он не изменяется и по направлению.

Уравнение показывает, что годограф радиуса-вектора точки В, являющийся траекторией этой точки, сдвинут по сравнению с годографом радиуса-вектора точки А на постоянный вектор АВ . Если этот сдвиг осуществить, то обе траектории совпадут всеми своими точками. Такие траектории являются одинаковыми.

Если продифференцировать по времени уравнение, то получим

ABdtd

dtrd

dtrd

AB +=

.

В этом соотношении

BB V

dtrd

= ; AA V

dtrd

=

.

Кроме того, для AB – постоянного по модулю и направления вектора –

( ) 0=ABdtd

.

Таким образом, для любого момента времени имеем AB VV

= .

55

СибАДИ

Дифференцируя по времени получим B

B adtVd

= ; A

A adtVd

= ,

тогда AaaB

= . Теорема о поступательном движении твёрдого тела

доказана. 6. Запишите уравнения поступательного движения твердого тела. Поступательное движение твёрдого тела полностью определяется

движением одной его точки уравнениями: ( )tfx1

= ; ( )tfy2

= ; ( )tfz 3= . Свободное твёрдое тело, совершающее поступательное движение,

имеет три степени свободы, и уравнения являются уравнениями поступательного движения твёрдого тела.

7. Каким свойством обладают скорости точек твердого тела при поступательном движении?

Все точки твёрдого тела, движущегося поступательно, описывают тождественные и параллельные между собой траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

8. Какими свойствами обладает поступательное движение твердого тела? Поступательным движением твёрдого тела называется такое

движение, при котором любая прямая линия, проведенная на теле, остается во всё время движения тела параллельной своему начальному положению.

При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы

(при наложении друг на друга траектории движения точек А, В, С совпадают), а скорости и ускорения всех точек геометрически равны:

VA = VB = VC ; aA = aB = aС. Эти свойства позволяют свести изучение поступательного движения

тела к изучению движения его отдельной точки, т. е. к задаче кинематики точки. За такую точку, как правило, выбирают центр тяжести (центр масс) тела.

9. Расскажите об уравнениях поступательного движения твердого тела относительно неподвижной плоскости.

Рассмотрим поступательное движение тела, при котором все его точки перемещаются параллельно неподвижной плоскости OXY.

56

СибАДИ

Выражения XC = f1(t), YC = f2(t), описывающие движение центра С

тяжести тела, называют уравнениями поступательного движения твёрдого тела на плоскости.

Для тела при его поступательном движении имеем следующие выражения:

а) уравнения поступательного движения тела в пространстве: XC = f1(t), YC = f2(t), ZC = f3(t);

б) уравнения поступательного движения тела параллельно плоскости OXY: XC = f1(t), YC = f2(t);

в) уравнение поступательного движения тела параллельно координатной оси ОХ

XC = f1(t). 10. Как по заданным уравнениям поступательного движения твердого тела

определить скорость и ускорение? Если заданы уравнения поступательного движения тела, то несложно

определить скорость VC и ускорение aС центра масс, а следовательно, и скорость, и ускорение любой точки этого тела по следующим формулам.

Проекции СX , СY , СY скорости VC центра масс на координатные оси:

СX = dXC/dt; СY = dYC/dt; СY = dZC/dt. Модуль VC скорости центра масс

VC = 222 )()()( CCC ZYX ++ . Направляющие косинусы:

cos(VC, i) = СX / VC; cos(VC, j) = СY / VC; cos(VC, k) = СZ / VC. Проекции СX , СY , СZ ускорения центра масс на координатные оси:

СX = dtXd C / ; dtYdY CС / = ; dtZdZ CС / = .

Модуль ускорения центра масс aС = 222 )()()( CCC ZYX ++ . Направляющие косинусы:

cos(aС, i) = СX / aС; cos(aС, j) = СY / aС; cos(aС, k) = СZ / aС.

57

СибАДИ

8. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА


Цель практического занятия: отработка навыков решения задач на вращение твердых тел вокруг неподвижной оси и преобразование простейших движений твердых тел.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса математики: дифференцирование и интегрирование функций. Необходимо также повторить перед изучением данной темы следующие вопросы из раздела «Кинематика»: кинематические характеристики движения точки, понятие кривизны и радиуса кривизны кривой, нахождение скорости и ускорения при вращательном движении.

Требования к знаниям студента: 1. Уметь правильно формулировать теоремы кинематики для тел,

совершающих простейшие движения. 2. Знать методы определения величины и направления скоростей и

ускорений точек твердого тела, находящихся на некотором расстоянии от оси вращения.

3. Уметь производить кинематический расчет передаточных механизмов.


При решении задач на вращательное движение твердого тела вокруг

неподвижной оси встречаются задачи двух основных типов. Первый тип задач – дано уравнение вращательного движения

твердого тела, требуется определить угловую скорость, угловое ускорение, скорость и ускорение точки твердого тела.

Алгоритм решения такого рода задач следующий: 1. Выбираем систему координат так, чтобы одна из осей совпадала с

осью вращения. 2. Составляем уравнение вращения твердого тела (зависимость угла

поворота от времени). 3. Дифференцируя по времени угол поворота, определяем проекцию

угловой скорости на ось вращения. 4. Вычисляя вторую производную от угла поворота по времени,

определяем проекцию углового ускорения на ось вращения.

58

СибАДИ

5. Пользуясь выражением проекции угловой скорости на ось вращения, вычисляем скорость точки и ее нормальное ускорение.

6. Пользуясь выражением проекции углового ускорения на ось вращения, определяем касательное ускорение точки.

7. Используя найденные нормальное и касательное ускорения, находим полное ускорение точки по величине и направлению.

Второй тип задач – задано угловое ускорение или угловая скорость твердого тела; требуется найти уравнение вращательного движения, скорость и ускорение точки твердого тела.

В этом случае алгоритм решения задач следующий: 1. Интегрируя дифференциальное уравнение, определяющее

проекцию углового ускорения на ось вращения, находим проекцию угловой скорости, произвольную постоянную интегрирования определяем по начальным данным.

2. Интегрируя дифференциальное уравнение, определяющее проекцию угловой скорости на ось вращения, находим уравнение вращательного движения твердого тела, произвольную постоянную интегрирования определяем по начальным данным.

3. Пользуясь выражением проекции угловой скорости на ось вращения, вычисляем величину скорости и нормального ускорения точки.

4. Определяем величину касательного ускорения точки, зная проекцию углового ускорения на ось вращения, и далее находим полное ускорение точки.

Задачи на преобразование простейших движений предполагают следующую последовательность действий:

1. Исходя из условия задачи надо выписать уравнение движения или другие кинематические соотношения для того твердого тела, движение которого известно.

2. Пользуясь формулами кинематики точки и кинематики вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, найти уравнение движения другого твердого тела, которому передается движение, а также скорости и ускорения различных точек этого тела.


1. Какое движение твёрдого тела называется вращательным? Вращательным называется такое движение твёрдого тела, при

котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на прямой, называемой осью вращения. При этом все остальные точки движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

59

СибАДИ

2. Показать связь частоты вращения тела с угловой скоростью. В технике частоту вращения n тела выражают в оборотах в минуту.

Связь частоты вращения n с угловой скоростью имеет вид

30602 nn π

=π

=ω .

3. Записать уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси. Угол φ называют углом поворота тела (угловой координатой). Положение вращающегося тела в момент времени t задают

уравнением φ ( )tf= ,

где ( )tf – любая дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называют уравнением вращения твёрдого тела вокруг

неподвижной оси. 4. Назовите главные кинематические характеристики вращательного

движения. Для характеристики вращательного движения твёрдого тела вокруг

неподвижной оси используют понятия: угловая скорость и угловое ускорение.

5. Как определяется положение вращающегося тела? Положение вращающегося тела в любой момент

времени определяется углом поворота ϕ , являющегося функцией времени t, т.е.

ϕ=f(t). Это уравнение представляет собой уравнение

вращательного движения тела.

6. Какая величина называется угловой скоростью? Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота ϕ с

течением времени, называется угловой скоростью тела. Размерность угловой скорости ω выражается в [рад/c].

ϕ=ϕ

=ω dtd .

7. Как определяется скорость точки вращающегося тела? Вектор вращательной скорости V направлен

перпендикулярно радиусу в сторону вращения. Модуль вращательной скорости точки твёрдого тела

равен произведению кратчайшего расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость тела:

RVМ ω= ; rVD ω= .

60

СибАДИ

8. Какая величина называется угловым ускорением? Алгебраическая величина, характеризующая быстроту изменения

угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела. Размерность углового ускорения ε выражается в [ 2рад/с ].

ϕ=ω=ω

=ε dtd .

9. Какое вращение называется равномерным? Если во всё время движения ω = const ( ε = 0), то вращение

называется равномерным. 10. Какое вращение называется равнопеременным? Вращение тела, при котором угловое ускорение постоянно ε=const,

называют равнопеременным вращением. 11. Какое вращение называется равноускоренным и равнозамедленным? Если абсолютная величина угловой скорости увеличивается,

вращение называют равноускоренным, а если уменьшается − равнозамедленным:

tε±ω=ω 0 ; 2

2

00tt ε

±ω+ϕ=ϕ .

12. Как определяется вектор скорости V

при помощи формулы Эйлера?

Вращательная скорость точки равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки относительно оси вращения:

rV ×ω= ,

где r – радиус-вектор точки М, проведённый из произвольной точки оси вращения Oz, например точки О.

13. Как определяется ускорение точки вращающегося твёрдого тела? Ускорение точки вращающегося твёрдого тела равно геометрической

сумме нормального и касательного ускорений:

τ+= aaa n .

14. Как определяются величины нормального ускорения точки вращающегося тела?

Модуль нормального ускорения равен произведению кратчайшего расстояния (радиуса) от точки до оси вращения на квадрат полной угловой скорости тела:

han2ω= .

61

СибАДИ

15. Как определяются величины касательного ускорения точки вращающегося тела?

Модуль касательного ускорения равен произведению кратчайшего расстояния (радиуса) от точки до оси вращения на абсолютное значение углового ускорения тела: ha ε=τ .

16. Каким образом характеризуется вращение тела векторами ω и ε ? Состояние движения вращающегося

твёрдого тела в данный момент характеризуется вектором ω , направленным по оси вращения в ту сторону, откуда вращение представляется происходящим против часовой стрелки.

Угловое ускорение вращающегося твёрдого тела можно изобразить в виде вектора ε = ω , направленного вдоль оси вращения. При этом направление ε совпадает с направлением ω , когда тело вращается ускоренно (рис. а), и противоположно ω , когда вращение является замедленным (рис. б).

а б

17. Как определяются проекции скорости точки на оси координат по формулам Эйлера, если осью вращения является ось z ?

yVx ω−= ; xVy ω= ; 0=zV , где x, y – координаты точки.

18. Как определяется величина полного ускорения точки вращающегося твёрдого тела?

Модуль полного ускорения точки определяется по формуле

4222 ω+ε=+= τ raaa n . Направление определяется углом α ,

составленным полным ускорением a с радиусом окружности, тангенс которого

tg 2ωε

==α τ

naa .

Угол α для всех точек тела является постоянным, т. к. не зависит от

радиуса вращения. 19. Как определяется величина полного ускорения точки вращающегося

твёрдого тела при равномерном вращении? При равномерном вращении ω = const (ε = 0): naa = и ha 2ω= . В этом случае ускорение na направлено по радиусу к центру

окружности, описываемой точкой.

62

СибАДИ

20. Как определяются вектор касательного ускорения τa ? Касательное ускорение точки вращающегося твёрдого тела равно

векторному произведению вектора углового ускорения тела на радиус-вектор этой точки относительно оси вращения: ra ×ε=τ .

21. Как определяются вектор нормального ускорения na ? Нормальное ускорение точки вращающегося твёрдого тела равно

векторному произведению вектора угловой скорости тела на вращательную скорость этой точки:

)( rVan ×ω×ω=×ω= .

22. Как вычисляются проекции ускорения точки тела, вращающегося вокруг оси z?

Проекции ускорения точки тела

xyax2ω−ε−= ; yxay

2ω−ε= ; 0=za .

23. Что называют парой вращений и чему равна скорость этого результирующего движения?

Совокупность двух вращений тела, направленных в противоположные стороны и имеющих равные модули угловых скоростей, называют парой вращений. Результирующим движением является поступательное движение со скоростью, равной произведению модуля угловой скорости ω на расстояние d между осями вращения: dV ω= .

Вектор V

направлен перпендикулярно плоскости пары угловых скоростей 1ω

и 2ω

.

24. Какими параметрами определяется положение твёрдого тела с одной неподвижной точкой?

Движение твёрдого тела, одна из точек которого во всё время движения остаётся неподвижной, называют сферическим движением твёрдого тела. При таком движении все остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям. Положения тела в этом случае определяются тремя углами Эйлера: ( )tf1=ψ ; ( )tf2=θ ; ϕ ( )tf3= , где ψ − угол прецессии, θ − угол нутации, ϕ − угол собственного вращения.

25. Как формулируется теорема Эйлера-Даламбера о перемещении твёрдого тела с одной неподвижной точкой?

Твёрдое тело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в любое другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку.

63

СибАДИ

26. Как определяются модуль и направление углового ускорения тела при сферическом движении?

Вектор углового ускорения равен производной от вектора угловой скорости:

ω=ε , т. е. угловое ускорение тела геометрически равно линейной скорости конца вектора угловой скорости. Прямая, по которой направлен вектор углового ускорения ε , называется осью углового ускорения.

27. Какие модули и направления имеют составляющие ускорения точки тела при сферическом движении?

Ускорение любой точки тела при сферическом движении определяется как геометрическая сумма её вращательного и осестремительного ускорений:

ocвр aaa += .

Вектор вращательного ускорения raвр

×= ε направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через ε

и r в ту

сторону, откуда поворот ε к r на

наименьший угол виден проходящим против часовой стрелки.

Модуль вращательного ускорения

ε=εε=×ε= εhrrraвр );sin( ,

где εh – кратчайшее расстояние от точки тела до линии, по которой направлено угловое ускорение ε

, вектор углового ускорения ε

расположен в неподвижной точке. Вектор осестремительного ускорения oca направлен перпендикулярно к мгновенной оси вращения. Модуль

осестремительного ускорения

( ) 2Ω,sin ω=ω=ωω=×ω= hVVVVаос

.

В общем случае вращательное и осестремительное ускорения не перпендикулярны; следовательно, модуль ускорения a

вычисляют как

диагональ параллелограмма по формуле

),cos(222освросвросвр аaaaaaa

++= .

28. На какие составляющие движения можно разложить движение свободного твёрдого тела и как они зависят от выбора полюса?

64

СибАДИ

Движение свободного твёрдого тела можно рассматривать как сложное, состоящее из поступательного вместе с полюсом, и сферическое движение вокруг этого полюса. Таким образом, движение свободного твёрдого тела определяется шестью уравнениями: ( )tfx 10 = ; ( )tfy 20 = ;

( )tfz 30 = ; ( )tf4=ψ ; ( )tf5=θ ; ϕ ( )tf6= . Поступательная часть движения зависит от выбора полюса,

сферическая часть от выбора полюса не зависит. 29. Что называют мгновенной осью вращения твёрдого тела с одной

неподвижной точкой и каковы уравнения мгновенной оси вращения в неподвижной и подвижной системах осей декартовых координат?

Мгновенная ось представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент равны нулю.

Уравнения мгновенной оси в неподвижной системе осей

0=ω−ω yz zy ; 0=ω−ω zx xz ; 0=ω−ω xy yx .

Или эти уравнения можно представить в виде

zyx

zyxω

=ω

=ω

,

где x , y , z – координаты точек мгновенной оси.

30. Как определяются скорости точек тела при сферическом движении? Скорость любой точки тела можно определить как скорость во

вращательном движении вокруг мгновенной оси: rV ×ω= ,

где r – радиус-вектор точки, проведённый из неподвижной точки. Модуль скорости

( ) hrrV ω=ωω= ,sin ,

где h – кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до мгновенной оси.

Проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат определяются по формулам Эйлера:

yzV zyx ω−ω= ; zxV xzy ω−ω= ; xyV yxz ω−ω= ,

где x , y , z – координаты точек тела в неподвижной системе.

31. Как определяются скорости точек свободного твёрдого тела? Скорость любой точки свободного твёрдого тела равна

геометрической сумме скорости полюса и скорости точки в её сферическом движении вокруг полюса: rVV

×ω+= 0 .

65

СибАДИ

9. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА


Цель практического занятия: отработка навыков решения задач на определение скоростей точек при плоскопараллельном движении твердого тела.

Перед изучением данной темы необходимо повторить со студентами понятия из курса математики: проецирование векторов на ось, правила дифференцирования векторных функций скалярного аргумента. Необходимо также повторить перед занятием следующие вопросы из раздела «Кинематика»: способы задания движения точки, основная задача кинематики точки, кинематические характеристики движения точки.

Требования к знаниям студента: 1. Уметь четко формулировать основные положения кинематики

твердого тела. 2. Знать четкое представление о сложении и разложении движений. 3. Знать представление о классификации движений твердого тела. 4. Владеть методикой расчета кинематики простых механизмов.


Задачи, относящиеся к данной теме, можно разбить на два типа. Первый тип – это задачи на составление уравнений плоского

движения и с их помощью определение скоростей точек плоской фигуры для произвольного момента времени, то есть как функции времени.

В задачах этого типа определяются координаты той точки, скорость которой подлежит найти.

Затем по формулам кинематики точки определяется ее скорость. Второй тип задач – это задачи на определение различных

кинематических параметров при плоском движении тела для фиксированного момента времени.

При решении таких задач рекомендуется следующая последовательность действий:

1. Записать условие задачи. 2. Изобразить кинематическую схему исследуемого механизма. 3. Пронумеровать звенья механизма. 4. Произвести анализ движения всех звеньев механизма.

66

СибАДИ

5. Указать на схеме направление движения каждого звена. Для звеньев, движущихся поступательно, указать направление скорости, для вращающихся звеньев указать направление вращения, для звеньев, совершающих плоскопараллельное движение, указать направление мгновенного вращения.

6. Выбрать метод решения. 7. Записать необходимые теоремы и соотношения в общем виде. 8. Записать указанные теоремы и соотношения в применении к

данному механизму. 9. Произвести необходимые геометрические построения. 10. Найти все величины, требуемые по условию задачи. 11. Записать ответ.

9.3. Контрольные вопросы для тестирования студентов 1. Какое движение твёрдого тела

называется плоским? Плоскопараллельным (или плоским)

движением твёрдого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся параллельно неподвижной (основной) плоскости.

2. Как определяется движение тела при плоскопараллельном движении?

Движение тела при плоскопараллельном движении полностью определяется движением одного из его сечений в какой-либо из параллельных плоскостей, а положение сечения – положением двух точек этого сечения, например А и В.

3. Какими параметрами задают положение сечения при плоскопараллельном движении?

Положение сечения в плоскости можно задать тремя независимыми параметрами – координатами хА, уА точки А и углом φ, который образует отрезок АВ с осью Оx. Точку А, выбранную для определения положения сечения П, называют полюсом.

При движении сечения тела его кинематические параметры являются функциями времени

хА=х(t); уА=у(t); φ=φ(t). 4. Из каких движений состоит плоскопараллельное движение? Плоское движение представляет собой совокупность поступательного

и вращательного движений, причём модель плоского движения тела можно

67

СибАДИ

рассматривать как поступательное движение всех точек тела вместе с полюсом и вращение тела относительно полюса.

Траектории поступательного движения тела зависят от выбора полюса. Вращение тела от выбора полюса не зависит.

5. Назовите основные виды движения плоской фигуры. Положение плоской фигуры определяется тремя параметрами:

координатами полюса ( )tfxс 1= ; ( )tfyс 2= и углом поворота относительно полюса ( )tfс 3=ϕ . Основными видами движения плоской фигуры являются поступательное движение вместе с полюсом с и вращательное движение относительно полюса. Причём поступательное движение зависит от выбора полюса, а вращательное от выбора полюса не зависит.

6. Сформулируйте теорему Шаля. Плоскую фигуру можно переместить из одного положения в любое

другое положение на плоскости одним поворотом этой фигуры вокруг некоторого неподвижного центра. Предельным положением центра поворота является точка неподвижной плоскости, с которой в данный момент совпадает мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Эта точка называется мгновенным центром вращения фигуры.

7. Какую точку плоской фигуры называют мгновенным центром скоростей? Точка P плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени

равна нулю, называется мгновенным центром скоростей (МЦС). Мгновенный центр скоростей плоской фигуры находится на перпендикуляре к направлению скорости точки MV на расстоянии от точки, равном ω/MV .

8. Как определяется скорость любой точки плоской фигуры при разложения плоского движения на поступательное и вращательное?

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса AV

и вращательной скорости этой точки относительно

полюса MAV

:

MAAM VVV

+= . Вектор AMVMA ×ω=

перпендикулярен

прямой (MА), соединяющей точку M с полюсом А.

Скорость точки изображается диагональю параллелограмма, построенного на скорости полюса и вращательной скорости точки вокруг полюса.

68

СибАДИ

9. Что представляет собой неподвижная и подвижная центроиды и что происходит с центрами при действительном движении плоской фигуры?

Кривая, представляющая геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости, называется неподвижной центроидой.

Кривая, представляющая геометрическое место мгновенных центров скоростей, неизменно связанная с подвижной плоской фигурой, называется подвижной центроидой. При действительном движении плоской фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде (теорема Пуансо).

10. Назовите следствия из теоремы о скоростях точек плоской фигуры. Следствие 1. Проекции

скоростей точек плоской фигуры на прямую, их соединяющую, равны между собой (рис. а), т.е.

αβ coscos AB VV = . Следствие 2. Концы скоростей

точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками (рис. б):

11

11

11

11bAdA

BADA

= или

ABAD

BADA

=11

11 и DBAD

BDDA

=11

11 .

а

б

11. Назовите основные кинематические характеристики плоского движения тела.

Основными характеристиками тела при плоском движении являются: траектория движения полюса, угол вращения тела вокруг полюса, скорость и ускорения полюса, угловая скорость и угловое ускорение тела. Дополнительные оси О1x1y1 при поступательном движении перемещаютcя вместе с полюсом А параллельно основным осям Оxy по траектории движения полюса.

12. Как определить скорость полюса, угловую скорость и угловое ускорение при плоском движении?

69

СибАДИ

Скорость полюса плоской фигуры можно определить с помощью производных по времени от уравнений:

dtdхV A

Ax = ; dt

dyV AAy = ; 22

AyAxA VVV += .

Аналогично определяют угловые характеристики тела: угловую

скорость dtdϕ

=ω ; угловое ускорение 2

2

dtd

dtd ϕ

=ω

=ε .

13. Как показать проекции вектора скорости при плоском движении?

В полюсе А показаны проекции вектора скорости VA на оси Аx, Аy. Угол вращения тела φ, угловая скорость ω и угловое ускорение ε показаны дуговыми стрелками вокруг точки А. В связи с независимостью вращательных характеристик движения от выбора полюса угловые характеристики φ, ω, ε можно показывать в любой точке плоской фигуры дуговыми стрелками, например в точке В.

14. Как определяются ускорения точек свободного твёрдого тела? Ускорение точки свободного твёрдого тела равно геометрической

сумме ускорения полюса, осестремительного ускорения и её вращательного ускорения, определённых относительно мгновенной оси и оси углового ускорения, проходящего через полюс:

ocвр aaaa ++= 0 .

15. Дайте определение относительного, переносного и абсолютного движения точки.

Движение точки по отношению к подвижной системе отсчёта называют относительным движением точки.

Движение подвижной системы отсчёта и неизменно связанного с ней тела по отношению к неподвижной системе отсчёта является для точки переносным движением.

Движение точки по отношению к неподвижной системе отсчёта называют абсолютным.

16. Как определяется абсолютная скорость точки в составном движении? Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме её

переносной и относительной скоростей: re VVV

+= . Так как абсолютная скорость точки определяется диагональю

параллелограмма, построенной на переносной скорости eV

и относительной скорости rV

, то её модуль можно вычислить по формуле

70

СибАДИ

.),cos(222rerere VVVVVVV

++=

17. Как определяется абсолютное ускорение точки при непоступательном переносном движении?

В случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова (поворотного) ускорений:

kre aaаа ++= .

18. Как определяется абсолютное ускорение точки при поступательном переносном движении?

В случае поступательного переносного движения абсолютное ускорение равно геометрической сумме её переносного и относительного ускорений: re aаа

+= , ускорение Кориолиса равно нулю, т.е. 0=ka .

19. Каковы причины появления кориолисова (поворотного) ускорения? Появление ускорения Кориолиса (поворотного ускорения)

обуславливается двумя причинами: а) вследствие относительного движения точки, перемещающейся по

отношению к подвижной системе отсчёта, изменяется переносная скорость точки;

б) вследствие вращательного переносного движения дополнительно изменяется направление относительной скорости по отношению к неподвижной системе отсчёта.

20. Каковы модуль и направление ускорения Кориолиса и при каких условиях ускорение равно нулю?

Модуль ускорения Кориолиса )(2 rek Vа

×ω= ; ).,sin(2 rerek VVа

ωω= Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу

векторного произведения. Ускорение Кориолиса равно нулю в трёх случаях: а) если 0=ωe ; б) если 0=rV

; в) если угол между вектором eω

и rV

равен нулю или π, т. е. в случае, когда относительная скорость точки rV

параллельна оси переносного вращения. 21. Что представляет собой абсолютное движение тела, которое участвует

в нескольких вращениях вокруг сходящихся мгновенных осей? Если твёрдое тело одновременно совершает вращение вокруг

нескольких мгновенных осей, пересекающихся в одной точке, то результирующим движением будет вращение с угловой скоростью ω

абсолютного вращения тела, равной геометрической сумме скоростей составляющих движений:

∑=ω=ω

k

ik

1

.

71

СибАДИ

22. Как определить направление вектора ускорения Кориолиса при помощи правила векторного произведения?

Согласно векторному уравнению )(2 rek Va

×ω= вектор ускорения Кориолиса kа

есть третий вектор, перпендикулярный векторам eω

и rV

и направленный так, что, cмотря навстречу вектору kа , видим поворот вектора eω

к вектору rV

, происходящий против вращения часовой стрелки.

23. Как определить направление

вектора ускорения Кориолиса при помощи правила Жуковского?

Чтобы найти направление вектора ka , необходимо спроецировать вектор

относительной скорости rV

на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения и проходящую через точку М, и повернуть эту проекцию 'rV

в плоскости

на угол 90º в направлении переносного вращения.

24. Как определяется угловая скорость твёрдого тела, вращающегося вокруг двух параллельных осей в одном направлении?

Модуль абсолютной угловой скорости равен сумме модулей угловых скоростей составляющих вращений: ω= eω rω+ . Мгновенная ось абсолютного вращения плоской фигуры лежит в плоскости, проходящей через оси переносного и относительного вращений, и будучи им параллельной, делит расстояние между осями внутренним образом на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

25. Как определяется угловая скорость твёрдого тела, вращающегося вокруг двух параллельных осей в разных направлениях?

Модуль абсолютной угловой скорости равен разности угловых скоростей составляющих вращений: ω= rω eω− .

Мгновенная ось абсолютного вращения плоской фигуры параллельна осям переносного и относительного вращений и лежит в плоскости, проходящей через эти оси, угловая скорость вращения вокруг которой больше. Расстояния между осью абсолютного вращения и осями переносного и относительного вращения обратно пропорционально угловым скоростям.

72

СибАДИ

10. МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР СКОРОСТЕЙ


Цель практического занятия: отработка навыков решения задач на определение мгновенного центра скоростей при плоскопараллельном движении твердого тела.

Перед изучением данной темы необходимо повторить со студентами вопросы из курса математики: проецирование векторов на ось, правила дифференцирования векторных функций скалярного аргумента. Необходимо также повторить перед изучением данной темы следующие вопросы из раздела «Кинематика»: способы задания движения точки, основная задача кинематики твердого тела, понятия о видах движения твердого тела, основные типы задач на плоское движение твердого тела.

Требования к знаниям студента: 1. Уметь четко формулировать основные положения кинематики

твердого тела. 2. Знать четкое представление о сложении и разложении движений. 3. Знать о классификации движений твердого тела. 4. Владеть методикой расчета кинематики простых механизмов.

10.2. Методические рекомендации к решению задач Задачи, относящиеся к данной теме, можно разбить на два типа. Первый тип – это задачи на составление уравнений плоского

движения и с их помощью определение ускорений точек плоской фигуры для произвольного момента времени, то есть как функции времени.

В задачах этого типа определяются координаты той точки, скорость которой подлежит найти.

Затем по формулам кинематики точки определяется ее скорость. Второй тип задач – это задачи на определение различных

кинематических параметров при плоском движении тела для фиксированного момента времени.

При решении таких задач рекомендуется следующая последовательность действий:

Записать условие задачи. 1. Изобразить кинематическую схему исследуемого механизма. 2. Пронумеровать звенья механизма. 3. Произвести анализ движения всех звеньев механизма.

73

СибАДИ

4. Указать на схеме направление движения каждого звена. Для звеньев, движущихся поступательно, указать направление скорости, для вращающихся звеньев указать направление вращения, для звеньев, совершающих плоскопараллельное движение, указать направление мгновенного вращения.

5. Выбрать звено, угловое ускорение которого можно определить в первую очередь.

6. Выбрать метод решения задачи. 7. Определить ускорение ближайшей точки, в которой ведущее звено

соединяется со следующим звеном. 8. Записать необходимые теоремы и соотношения в общем виде. 9. Записать указанные теоремы и соотношения в применении к

данному механизму. 10. Произвести все необходимые дополнительные построения. 11. Найти мгновенный центр ускорений, найти ускорение заданной

точки. 12. Определить величину и знак углового ускорения

рассматриваемого звена. 13. Найти ускорение точки, в которой рассматриваемое звено

соединяется со следующим звеном. 14. По изложенной выше методике определить угловое ускорение

следующего звена. 15. Найти все величины, требуемые по условию задачи,

проанализировать полученные результаты. 16. Записать ответ. Замечание: угловое ускорение любого звена и ускорение любой точки

можно найти и без мгновенного центра ускорений (пункт 12). Но мгновенный центр ускорений позволяет найти общие и в некоторых случаях очень интересные закономерности в распределении ускорений различных точек.


1. Как определяются скорости точек плоской фигуры при помощи мгновенного центра скоростей?

Скорость любой точки плоской фигуры в данный момент времени представляет собой вращательную скорость этой точки вокруг мгновенного центра скоростей:

АV =PАω; АV ⊥ PА; ВV =PВω; ВV ⊥ PВ,

т. е. скорость любой точки плоской фигуры имеет модуль, равный произведению мгновенной угловой скорости фигуры на длину отрезка,

74

СибАДИ

соединяющего точку с мгновенным центром скоростей, и направлена перпендикулярно этому отрезку в сторону вращения фигуры.

Модули скоростей точек плоской фигуры в каждый момент времени пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей:

РВРА

VV

В

А = .

2. Назовите следствия теоремы об ускорениях точек плоской фигуры. Следствие 1. Проекция ускорения любой точки плоской фигуры на

ось, проведённую из произвольного полюса через эту точку, не может быть больше проекции ускорения полюса на ту же ось.

Следствие 2. Концы ускорений точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между этими точками.

3. Где находится МЦС, если известна скорость точки А и направление скорости точки В?

МЦС находится на пересечении перпендикуляров к скоростям, проведённых через точки А и В:

;APVA=ω BPVB ⋅ω= .

4. Где находится МЦС, если известна скорость точки А

тела и угловая скорость ω? МЦС находится на перпендикуляре к вектору VА в

точке А на расстоянии АР:

ω= AVАР .

5. Где находится МЦС, если тело перекатывается без

проскальзывания по поверхности неподвижного тела? МЦС находится в точке соприкосновения тел в

точке Р.

6. Где находится МЦС, если известны длина отрезка АВ,

скорости VA и VВ двух точек тела, которые перпендикулярны к отрезку АВ и направлены в одну сторону?

МЦС находится на продолжении отрезка АВ в точке пересечения с прямой, проведенной через концы векторов

AV

и BV

. Для определения ω составляем выражение

75

СибАДИ

BPV

ВРАВV BA =+

=ω , откуда ABVV

VBPBA

B−

= .

7. Где находится МЦС, если известны длина отрезка АВ, скорости VA и VB двух точек тела, которые перпендикулярны отрезку АВ и направлены в разные стороны ?

МЦС находится внутри отрезка АВ. Для определения ω составляем выражение

APABV

APV BA

−==ω , откуда .AB

VVVАР

BA

А+

=

8. Где находится МЦС, если скорости двух точек тела параллельны?

В этом случае МЦС находится в бесконечности, т.е. отсутствует. Тело совершает мгновенное поступательное движение, тогда скорости двух и всех других точек тела одинаковы.

9. Какую точку плоской фигуры называют мгновенным центром ускорений? Точка Q, ускорение которой в данный момент равно нулю, называется

мгновенным центром ускорений (МЦУ). 10. Может ли мгновенный центр ускорений совпадать с мгновенным

центром скоростей? Мгновенный центр скоростей P и мгновенный центр ускорений Q

являются различными точками плоской фигуры. 11. Как определяется ускорение любой точки плоской фигуры? Ускорение любой точки плоской фигуры

равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении вокруг полюса:

ЦМА

ВМААМ аааа

++= ;

АМаВМА ⊥ ; Аа Ц

МА )(⋅→ . Модули ускорения определяют по

формулам ;АМа В

МА ⋅ε= .2 АМаЦМА ω=

Определим модуль ускорения

.)()( 4222 ω+ε=+= АМааа ЦМА

ВМАМА

Угол, образованный вектором MAa

с радиусом-вектором r ′ ,

определяется по формуле 2arctgarctgωε

==µЦМA

ВМA

aa .

76

СибАДИ

Ускорение точки M плоской фигуры определяется путём построения многоугольника ускорений.

12. Перечислите известные вам способы определения положения мгновенного центра ускорений.

а) По условию задачи известна точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент равно нулю. Эта точка является мгновенным центром ускорений.

б) Известны модуль и направление ускорения точки А, а также величины ω и ε , тогда для нахождения Q (МЦУ) следует вектор Aa повернуть в направлении вращения фигуры, если оно ускоренное (и в обратном, если замедленное) на острый угол µ , определяемый формулой

2arctgω

ε=µ .

На полученной прямой отложить отрезок

42 ω+ε= AaAQ .

в) Известны модули и направления ускорений двух точек А и М плоской фигуры.

Примем точку А за полюс, тогда МААМ ааа += .

Построим при точке М параллелограмм ускорений по заданной диагонали Ма и одной из сторон Аа . Другая сторона параллелограмма определит ускорение МАа .

Ускорение МАа составляет угол 2arctgω

ε=µ с отрезком МА. Отложим

угол µ от ускорений точек А и М по направлению ε . Точка пересечения полупрямых Q и будет мгновенным центром

ускорений. 13. Как определяются ускорения точек плоской фигуры через мгновенный

центр ускорений? Модули ускорений точек плоской фигуры пропорциональны

расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений, а векторы ускорений оставляют с отрезками, соединяющими эти точки с мгновенным центром ускорений, один и тот же угол

2arctgω

ε=µ ; 42 ω+ε= AQaA

; BQAQ

aa

B

A = .

77

СибАДИ

11. ДИНАМИКА ТОЧКИ

11.1. Рекомендации для проведения практического занятия Цель практического занятия: приобретение практических навыков

составления и интегрирования дифференциальных уравнений движения свободной и несвободной материальных точек.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса математики: основные правила дифференцирования скалярных и векторных функций скалярного аргумента одной переменной, определенные и неопределенные интегралы, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и их интегрирование, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные) и их интегрирование, задача Коши в теории дифференциальных уравнений.

Следует повторить со студентами следующие вопросы из раздела «Кинематика»: способы задания движения материальной точки, определение скорости и ускорения точки при векторном, координатном и естественном способах задания движения точки, естественные оси, естественный трехгранник.

Требования к знаниям студента: 1. Уметь четко формулировать законы классической механики. 2. Знать содержание и особенности решения первой и второй задач

динамики материальной точки. 3. Уметь составлять и интегрировать дифференциальные уравнения

движения материальной точки в декартовых и естественных координатах в случаях действия на нее постоянной силы, а также силы, зависящей от скорости и положения точки в пространстве.


Задачи динамики точки делятся на две большие группы: 1. Задачи, в которых по заданному закону движения точки находятся

действующие на нее силы. 2. Задачи, в которых по заданным силам, действующим на точку,

определяется ее закон движения. Первая группа задач решается в такой последовательности: 1. Выбрать систему координат, если она не указана в условии задачи.

78

СибАДИ

2. Изобразить на расчетной схеме материальную точку в произвольном положении и активные силы, действующие на точку.

3. Освободиться от связей, наложенных на материальную точку, заменив их реакциями связей, и показать их на расчетной схеме.

4. Определить по заданному закону движения проекции ускорения на оси координат.

5. Составить дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси координат.

6. Из системы дифференциальных уравнений определить искомую величину.

Вторая группа задач решается в такой последовательности: 1. Изобразить систему координат, если она не указана в условии

задачи. 2. Изобразить на расчетной схеме материальную точку в

произвольном положении и активные силы, действующие на точку. 3. Освободиться от связей (в случае несвободной материальной

точки), наложенных на материальную точку, заменив их реакциями связей, и показать их на расчетной схеме.

4. Составить дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси координат.

5. Записать начальные условия движения. 6. Найти общее решение дифференциальных уравнений движения. 7. Определить постоянные интегрирования, используя начальные

условия. 8. Подставив постоянные интегрирования в общее решение,

определяем закон движения точки. При свободном движении материальной точки удобнее пользоваться

прямоугольной системой координат. Естественные оси координат используют при изучении криволинейного движения точки.


1. Как классифицируют в динамике силы, действующие на точки

механической системы? Силы, действующие на систему несвободных точек можно разделить

на: • задаваемые (активные силы и реакции связей); • внешние и внутренние ( eF

и iF

).

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек, не входящих в состав системы.

Внутренними силами называют силы взаимодействия между точками данной системы.

79

СибАДИ

2. Какая система отсчета называется инерциальной? Системы координат, в которых относительное движение точки по

отношению к подвижной системе отсчета, движущейся поступательно прямолинейно и равномерно, происходит так же, как и по отношению к неподвижной системе, называются инерциальными.

Система отсчета, в которой проявляются первый и второй законы, называется инерциальной системой отсчета. Для большинства задач за такую систему отсчета можно принять систему осей, связанных с Землей.

3. Назовите две основные задачи динамики точки, которые решаются с помощью дифференциальных уравнений движения материальной точки.

• Первая задача динамики. Зная массу точки m и уравнения ее движения )(1 tfx = , )(2 tfy = ,

)(3 tfz = , найти модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке.

• Вторая задача динамики. Зная силы, действующие на точку, ее массу m , а также начальное

положение точки и ее начальную скорость, получить уравнения движения точки.

4. Опишите последовательность решения первой задачи динамики точки. Зная массу точки и закон её движения, можно найти силу,

действующую на точку. Действительно, если, например, заданы уравнения движения точки в декартовой системе координат

x=f1(t); у=f2(t); z=f3(t), то проекции силы на оси координат определяются из дифференциальных уравнений движения точки, т. е.

;2

2

dtxdmFx = ;2

2

dtydmFy = 2

2

dtzdmFz = .

Зная проекции силы на координатные оси, можно определить модуль силы и косинусы углов силы с осями координат:

;222zyx FFFF ++=

;),cos(FFxF x=

;),cos(

FF

yF y=

FFzF z=),cos(

.

5. Опишите последовательность решения второй задачи динамики точки. По заданной массе и действующей на точку силе необходимо

определить уравнение движения этой точки. Рассмотрим решение задачи в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае сила F

, а

следовательно, и ее проекции на координатные оси могут зависеть от

80

СибАДИ

времени, координат движущейся точки, скорости, ускорения и т.д. Для простоты ограничимся случаем зависимости силы и ее проекций на оси координат от времени, координат и скорости.

Дифференциальные уравнения движения точки имеют вид

);,,;,,;( zyxzyxtFxm x = );,,;,,;( zyxzyxtFym y = ),,;,,;( zyxzyxtFzm x = .

Для нахождения уравнений движения точки в декартовых координатах необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Для случая системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть произвольных постоянных:

C1,…, C6. Для выделения конкретного вида движения материальной точки надо

дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные, которых в общем случае будет шесть.

В качестве таких условий задают начальные условия, т.е. в какой-то определенный момент времени, например при t=0 , задают координаты движущейся точки и проекции ее скорости на координатные оси:

х=х0; у=у0; z=z0;

xVх 0= ; yVy 0= ; zVz 0= .

Значения параметров при начальных условиях подставляют в уравнения, полученные при интегрировании исходных дифференциальных уравнений, и определяют значение постоянных интегрирования С1,…,С6. После этого уравнения переписывают с учетом найденных значений постоянных и определяют искомые параметры.

Следует обратить внимание, что составленные дифференциальные уравнения описывают движение точки лишь до тех пор, пока на нее действуют вошедшие в правые части уравнений силы и пока сохраняются соответствующие законы взаимодействия. Если с какого-то момента времени действия некоторых сил прекращаются или начинают действовать новые силы, то для последующего движения надо составлять новые дифференциальные уравнения; при этом положение и скорость точки в конце предшествующего движения будут начальными для нового движения.

81

СибАДИ

Кроме того, в некоторых случаях закон взаимодействия может быть таким, что при изменении направления движения будет изменяться вид дифференциального уравнения (или уравнений) этого движения (например, при действии силы трения или силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости). Поэтому, составив дифференциальное уравнение движения, надо проверить, сохраняет ли оно свой вид при изменении направления движения, если такое изменение может произойти. Когда вид уравнения изменяется, надо для движений в одну и в другую сторону составлять свои уравнения, поступая с начальными условиями так же, как в случае, когда на точку начинают действовать новые силы. Прежде чем интегрировать составленные дифференциальные уравнения движения, надо все переменные силы в правых частях уравнений представить в явном виде как функции соответствующих аргументов.

При движении точки в плоскости Оxy имеется два дифференциальных уравнения движения. В решения этих уравнений входят четыре произвольные постоянные.

Постоянные определяются из начальных условий:

при t=t0=0 x=x0; y=y0; xVх 0= ; yVy 0= .

В случае прямолинейного движения точки имеется только одно дифференциальное уравнение и в его решение входят две произвольные постоянные. Для их определения необходимо задать начальные условия:

при t=t0=0 x=x0; xVх 0= .

6. Основные законы механики (законы Галилея-Ньютона): а) Закон инерции. Материальная точка сохраняет состояние покоя или

равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние.

б) Закон пропорциональности силы и ускорения. Ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление.

в) Закон равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

г) Закон независимости действия сил. Несколько одновременно действующих на точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме.

7. Какое уравнение называется основным уравнением динамики? Соотношение, устанавливающее связь между силой F

, массой m и

ускорением a материальной точки называется основным уравнением динамики

amF = .

82

СибАДИ

8. Какова мера инертности твердых тел при поступательном движении? В классической механике масса движущего тела принимается равной

массе покоящегося тела, т. е. она рассматривается как постоянная величина, являющаяся мерой инертности тела.

9. Как определяются постоянные при интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки?

Значения постоянных интегрирования определяют по начальным условиям движения:

ot ; ox ; oy ; oz ; ox ; oy ; oz . Эти значения подставляют в уравнения, представляющие общие

решения дифференциальных уравнений движения точки. 10. Какие уравнения динамики являются

уравнениями движения материальной точки в декартовых осях координат?

Если ускорение а точки М определить как вторую производную от радиуса-вектора r , то дифференциальное уравнение движения материальной точки можно записать в виде

.2

2F

dtrdm

=

Если спроецировать обе части векторного уравнения на координатные

оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в декартовых осях координат:

max = Fx; may = Fy; maz = Fz. Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через

производные:

;2

2x

dtxd

dtdVа x

х === ;2

2у

dtуd

dtdV

а уу === .2

2z

dtzd

dtdVа z

z ===

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

;xFxm = ;уFуm = zFzm = .

Частные случаи. Если известно, что материальная точка движется в одной и той же плоскости, то, принимая ее за координатную плоскость Оxy, имеем

;xFxm = уFуm = . В этом случае z=0 и, следовательно, Fz = 0. В случае движения точки по прямой линии, направив по ней

83

СибАДИ

координатную ось Оx, получим одно дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки

xFxm = .

11. Какие уравнения динамики являются естественными уравнениями движения материальной точки?

Для естественных осей координат maτ =Fτ; man = Fn; mab = Fb,

где аτ, аn, аb и Fτ, Fn, Fb – соответственно проекции ускорения и равнодействующей силы на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории в рассматриваемом положении движущейся точки.

Определим ускорения точки

;2

2

dtsda =τ ;

2

ρ=

Van ab=0,

где ρ – радиус кривизны траектории. Естественными уравнениями

движения точки являются

),cos( τ= ∑

ii FFSm ; ),cos(2

nFFVm ii

∑=ρ

;

0),cos( =∑ bFF ii

.

12. В чем состоит сущность принципа относительности классической механики?

Принцип относительности классической механики можно сформулировать так: никакие механические явления, происходящие в среде, не могут обнаружить ее прямолинейного и равномерного поступательного движения.

13. Как формулируется золотое правило механики? То, что выигрывается в силе, теряется в скорости. 14. Сформулируйте уравнение относительного движения точки в

векторной форме. Материальная точка движется относительно неинерциальной системы

отсчета так же, как и относительно инерциальной, если к действующим активным силам и реакциям связей добавить переносную и кориолисову силы инерции, т.е.

,kеr ФФRFam

+++=

где ;eе amФ −= kk amФ

−= называют соответственно переносной и кориолисовой силами инерции.

84

СибАДИ

15. Сформулируйте дифференциальные уравнения относительного движения точки.

Дифференциальные уравнения относительного движения точки в проекциях на декартовы оси координат

+++=+++=+++=

.;;

kzezzz

kуeуууkxexxx

ФФRFzmФФRFуmФФRFxm

16. Назовите условие относительного покоя материальной точки? Материальная точка находится в состоянии относительного покоя,

если геометрическая сумма приложенных к точке сил и переносной силы инерции равны нулю, т.е.

∑ =+ 0ei ФF

.

17. Чем объясняется отклонение падающих тел к востоку? Тела, падающие на землю, незначительно отклоняются от вертикали

на восток за счет того, что сила инерции Кориолиса направлена на восток:

ϕ⋅⋅ω⋅= cos2 rек VmФ ,

где ϕ – широта, на которой находится точка.

18. В каком направлении отклоняется тело, брошенное вертикально вверх? Тело, брошенное вертикально вверх, отклоняется от вертикали на

запад, т. к. сила инерции Кориолиса в этом случае направлена перпендикулярно плоскости меридиана к западу.

19. Какие модули и направления касательной и нормальной сил инерции материальной точки?

При неравномерном криволинейном движении точки силу инерции представим в виде двух сил: касательной τФ

и нормальной nФ

. Эти силы

направлены противоположно касательному и нормальному ускорениям:

ττ −= amФ ; nn amФ

−= ; dtdVmФ =τ ;

ρ=

2VmФn ,

где ρ – радиус кривизны траектории движения точки.

20. При каком движении материальной точки равна нулю ее касательная сила инерции и при каком – нормальная?

В случае равномерного движения точки по кривой 0=τФ . В случае равномерного движения точки по прямой 0=nФ .

85

СибАДИ

21. По каким формулам вычисляются модули вращательной и центробежной сил инерции точки, принадлежащей твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?

Если точка принадлежит твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, то модули ее вращательной и центробежной сил инерции определяются по формулам

ε=τ mRФ ; 2ω= mRФn . где ε , ω– угловое ускорение и угловая скорость тела.

22. Какой модуль и какое направление имеют переносная и кориолисова силы инерции?

Переносная сила инерции численно равна произведению массы на переносное ускорение и направлена противоположно переносному ускорению: ee amФ

−= . Кориолисова сила инерции численно равна произведению массы на

ускорение и направлена противоположно ускорению Кориолиса: кк amФ

−= .

23. Как определяются переносная и кориолисова силы инерции в различных случаях переносного движения?

Если переносное движение – неравномерное вращение вокруг неподвижной оси, то переносная сила инерции имеет две составляющие: вращательную в

евe amФ

−= и центробежную це

цe amФ

−= ; ве

цeе ФФФ

+= .

Переносная вращательная сила инерции вeФ

направлена противоположно вращательному ускорению, а ее модуль

евe mRФ ε= ,

где R – расстояние до оси вращения (радиус вращения). Переносная центробежная сила инерции ц

eФ

направлена противоположно центростремительному ускорению, т. е. направлена по радиусу от оси вращения, а ее модуль 2ω= mRФц

e . Сила инерции Кориолиса кк amФ

−= направлена противоположно ускорению Кориолиса, и ее модуль ),sin(2 rerек VVmФ

ω⋅⋅ω⋅= . 24. Переносное движение – равномерное вращение вокруг неподвижной

оси. При равномерном вращении тела εе=0 и τ

еФ

=0. Уравнение

kеr ФФRFam

+++= принимает форму knе ФФNFam

+++= .

25. Переносное движение – неравномерное вращение вокруг неподвижной оси.

86

СибАДИ

В данном случае точка М перемещается по траектории АМВ и, вращаясь вместе с твёрдым телом, имеет вращательное и центростремительное ускорения, поэтому переносная сила инерции имеет две составляющие:

,nеее ФФФ

+= τ где ττ −= ее amФ

– переносная вращательная сила инерции; n

еnе amФ

−= – переносная центробежная сила инерции. Уравнение

kеr ФФRFam

+++= принимает форму

knее ФФФNFam

++++= τ .

Здесь ;rmmaФ eeе ε== ττ ,2 rmmaФ ene

nе ω== где r – расстояние от

точки до оси переносного вращения. Кориолисова сила инерции kФ

определяется по формуле ),sin(2 rerek VVmФ

ω⋅⋅ω= .

26. Переносное движение – поступательное криволинейное и неравномерное движение.

Представлен случай криволинейного поступательного движения тела D на двух кривошипах, при котором все точки этого тела движутся по круговым траекториям радиусом r= AO1 и имеют одинаковые скорости и ускорения. Точка М перемещается по траектории АМВ.

Переносные ускорения точки М равны соответствующим ускорениям, например точки А: ττ = Ae aa ; n

Ane aa = .

Переносная угловая скорость тела равна нулю: ωе=0 и Фk=0. neее ФФФ

+= τ ,

где ττ −= ее amФ – переносная касательная сила инерции; n

еnе amФ

−= – переносная нормальная сила инерции.

Уравнение kеr ФФRFam

+++= принимает форму nее ФФNFam

+++= τ .

87

СибАДИ

Здесь dt

dVmmaФ eее == ττ ;

ρ==

2e

nnе

VmmaФ ,

где ρ – радиус кривизны траектории переносного движения, ρ=О1А.

27. Переносное движение – поступательное прямолинейное равномерное. При равномерном поступательном переносном движении 0=еa ; 0=еФ . В этом случае из уравнения kеr ФФRFam

+++= получаем

уравнение относительного движения RFam r

+= , которое совпадает с

уравнением движения точки относительно инерциальной системы отсчёта. Все подвижные системы отсчёта, которые движутся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно основной инерциальной системы отсчёта, называют инерциальными. Относительно всех инерциальных систем отсчёта получаются одинаковые уравнения движения материальной точки. Ускорения материальной точки в инерциальных системах отсчёта одинаковы.

28. Расскажите о принципе относительности классической механики. Принцип относительности классической механики можно

сформулировать следующим образом: динамические процессы и механические явления в различных инерциальных системах протекают одинаково в соответствии с законами Ньютона, и никакими приборами наблюдатель, находящийся в инерциальной системе, не может отличить прямолинейное равномерное движение системы от состояния покоя.

29. Расскажите о движении точки относительно поверхности Земли. Сила тяжести P

тела на поверхности Земли есть геометрическая

сумма силы гравитационного притяжения и переносной силы инерции. Направление вектора силы тяжести P

противоположно вектору N

–

нормальной опорной реакции. Направление вектора силы тяжести P

у поверхности Земли определяет направление вертикали в данной точке, а плоскость, перпендикулярная вектору силы тяжести P

, является

горизонтальной плоскостью в данной точке поверхности Земли. Движение точки вблизи поверхности Земли можно описать

дифференциальным уравнением относительного движения

ker ФФPam

++= .

Переносные силы инерции для неподвижных тел на Земле являются малыми величинами. Сила инерции, обусловленная кориолисовым ускорением, равна ( )rзkk VmamФ

×ω−=−= 2 , где rV

– скорость

материальной точки относительно поверхности Земли.

88

СибАДИ

12. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ


Цели занятия: выяснение области применения теорем о движении

центра масс механической системы и изменении количества движения механической системы при исследовании поведения механических систем, приобретение практических навыков решения конкретных задач, встречающихся в технике.

Перед изучением данной темы следует повторить со студентами следующие вопросы из раздела «Статика»: центр тяжести твердого тела, способы определения положения центра тяжести твердых тел.

Из раздела «Кинематика» повторить: кинематика точки, кинематика поступательного, вращательного и плоскопараллельного движений твердого тела. Из курса математики повторить темы: интегрирование дифференциальных уравнений, первые интегралы дифференциальных уравнений.

Требования к знаниям студента: 1. Владеть понятиями «количество движения материальной точки» и

«количество движения механической системы», уметь вычислять данную динамическую характеристику при различных движениях материальной точки и твердого тела, системы твердых тел.

2. Уметь определять импульс силы. 3. Знать класс задач, при решении которых может быть использована

теорема об изменении количества движения, и уметь применять данную теорему для их решения.

4. Уметь вычислять координаты центра масс механической системы, состоящей из совокупности твердых тел.

5. Уметь применять теорему о движении центра масс механической системы при решении конкретных технических задач для получения первых интегралов дифференциальных уравнений движения системы и для определения реакций связей.


Задачи, решаемые с использованием теоремы о движении центра

масс, можно разделить на четыре типа:

89

СибАДИ

1. Определение действующих на систему внешних сил (или части из них) по заданному движению ее точек (тел).

2. Нахождение закона движения центра масс системы по заданным внешним силам.

3. Определение закона движения одной из точек (тел) системы по заданным внешним силам и законам движения остальных точек системы.

4. Использование для решения задачи следствий из теоремы о движении центра масс.

Задачи первого типа рекомендуется решать в следующем порядке: 1. Выявить тела, входящие в систему. 2. Выделить и изобразить на рисунке все внешние силы, действующие

на систему. 3. Выбрать систему координат. 4. Записать теорему о движении центра масс в векторном виде, а затем

в проекциях на одну или несколько осей выбранной системы координат. 5. Найти проекции известных из условия задачи внешних сил на оси

координат и подставить их в уравнения, записанные, как рекомендовано в пункте 4.

6. По известным законам движения точек системы и их массам определить проекции ускорения центра масс на оси координат (используя формулу для определения координат центра масс системы).

7. По дифференциальным уравнениям движения (пункт 4) найти силу. Задачи второго типа, где требуется найти закон движения центра

масс, решаются путем интегрирования составленных в пункте 4 дифференциальных уравнений. Если при этом находятся неопределенные интегралы, то постоянные интегрирования определяются по начальным условиям движения, в которых фигурируют положение и скорость центра масс в некоторый момент времени.

В задачах третьего типа после выполнения приведенных выше первых четырех пунктов используются формулы, по которым определяются координаты центра масс механической системы (дважды продифференцированные по времени) и полученные в них результаты вводятся в дифференциальные уравнения движения центра масс. Тогда в левых частях этих уравнений оказываются фигурирующими проекции ускорений нужной точки, по которым путем интегрирования находится закон ее движения.

Задачи четвертого типа, в которых согласно условию центр масс движется с постоянной по модулю и направлению скоростью или находится в состоянии покоя, решаются без составления дифференциальных уравнений движения центра масс. В этом случае используются формулы, определяющие координаты центра масс. Следует помнить, что при относительных перемещениях отдельных точек (тел)

90

СибАДИ

системы изменения их координат должны находиться не в относительном, а в абсолютном движении, то есть по отношению к неподвижной системе координат.

Задачи, решаемые с использованием теоремы об изменении количества движении, можно разделить на три основных типа:

Задачи на определение количества движения системы. 1. Задачи на определение различных кинематических или

динамических характеристик системы с помощью теоремы об изменении количества движения системы.

2. Задачи, в которых также требуется определить различные кинематические или динамические характеристики системы, но на основании законов сохранения ее количества движения.

При решении задачи любого типа вначале необходимо: 1. Выявить совокупность тел, входящих в систему. 2. Выбрать систему координат. Для задач первого типа рекомендуется далее, как правило, следующий

порядок действий: 1. Определить координаты центров масс тел системы как функции

времени. 2. Найти координаты центра масс системы. 3. Определить проекции на координатные оси и, если требуется по

условию задачи, модуль скорости центра масс (иногда прямо без проекций модуль скорости).

4. Вычислить проекции на координатные оси, а также модуль и направляющие косинусы вектора количества движения механической системы.

При решении задач второго типа необходимо после пунктов 1 и 2 произвести следующие операции:

3.Установить и изобразить на рисунке, действующие на систему, внешние силы.

4. Найти проекции сил на оси выбранной системы координат. 5. Составить выражения для проекций количества движения

механической системы на оси координат (как это делается при решении задач первого типа).

6. Написать теорему об изменении количества движения механической системы в интегральной или дифференциальной форме в проекциях на координатные оси.

7. Решить полученное уравнение относительно полученной величины (при использовании теоремы в дифференциальной форме интегрируется дифференциальное уравнение, постоянные интегрирования находятся по начальным условиям).

91

СибАДИ

Решение задач третьего типа предполагает выполнить те же первые четыре пункта, что и при решении задач второго типа. Затем необходимо:

1. Установить, на какую из координатных осей проекция главного вектора всех внешних сил равна нулю и, следовательно, проекция количества движения механической системы на эту ось остается неизменной.

2. Определить проекции количества движения механической системы в начальный и конечный (текущий) моменты времени на оси координат, для которых они неизменны, приравнять их и из полученных уравнений определить искомые величины.


1. Что называется механической системой? Как классифицируются силы,

действующие на механическую систему? Силы, источники которых лежат вне системы, называют внешними

силами и обозначают ekF

, силы со стороны точек данной системы называют внутренними силами и обозначают i

kF

. Внутренние силы удовлетворяют третьему закону Ньютона.

2. Какими свойствами обладают внутренние силы? Свойства внутренних сил, действующих на механическую систему. Свойство 1. Геометрическая сумма всех внутренних сил системы

(главный вектор внутренних сил) равна нулю. Свойство 2. Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил

относительно произвольной точки пространства равна нулю. 3. Как записываются дифференциальные уравнения движения

механической системы? Для каждой точки механической системы можно записать основное

уравнение динамики i

ke

kk

kkk FFdt

rdmam

+== 2

2.

Проецируя векторное уравнение на оси координат, получим дифференциальные уравнения движения

ixk

exkkk FFxm += ; i

ykeykkk FFym += ; i

zkezkkk FFzm += .

4. Чем отличаются друг от друга центр масс и центр тяжести механической системы?

Центр тяжести и центр масс системы представляют одну и ту же точку С. Понятие «центр масс системы» применимо для любой системы

92

СибАДИ

материальных точек независимо от того, находится она под действием сил тяжести или нет.

5. Что называют центром масс системы точек и как определяют его координаты?

При рассмотрении движения твердых тел и механических систем важное значение имеет точка, называемая центром масс.

Если механическая система состоит из конечного числа n материальных точек с массами m1, m2, …, mn, радиусы-векторы

nrrr ...,, ,

21 которых проведены из

точки O, то центром масс системы называется геометрическая точка С, в которой сосредоточена масса системы, радиус-вектор cr

которой

∑∑=

i

iic m

rmr

.

Координаты центра масс

∑∑=

i

iic m

xmx ;

∑∑=

i

iic m

ymy ;

∑∑=

i

iic m

zmz .

6. Сформулируйте теорему о движении центра масс механической системы. Теорема. Центр масс механической системы движется как

материальная точка, в которой приложены масса всей системы и все внешние силы механической системы.

=cam∑=

n

k

ekF

1

eR

= .

7. Какое движение твердого тела можно рассматривать как движение материальной точки?

Центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, к которой приложены все силы, действующие на систему.

Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной из его точек. Следовательно, решив задачу о движении центра масс тела как материальной точки с массой тела, можно определить поступательное движение всего тела.

8. Какое действие на свободное твердое тело оказывает приложенная к нему пара сил?

93

СибАДИ

Если приложить пару сил к свободному твердому телу, находящемуся в покое, то под действием этой пары сил тело начнет вращаться вокруг своего центра масс.

9. Сформулируйте следствия из теоремы о движении центра масс механической системы.

Следствия из теоремы о движении центра: а) Внутренние силы системы не могут изменить характер движения

центра масс. б). Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен

нулю, то центр масс находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

в) Если проекция главного вектора внешних сил системы на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось остается постоянной.

10. Влияют ли внутренние силы на движение центра масс? Внутренние силы системы не могут изменить характер движения

центра масс. 11. При каких условиях центр масс движется равномерно и прямолинейно? Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен

нулю, то центр масс движется равномерно и прямолинейно. 12. При каких условиях центр масс механической системы остается в покое

относительно данной системы координат? Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен

нулю, то центр масс находится в покое. 13. При каких условиях центр масс системы находится в состоянии покоя? Если главный вектор внешних сил остается все время равным нулю и

начальная скорость ( 0=сV ) центра масс равна нулю, то центр масс находится в покое.

14. При каких условиях центр масс системы движется равномерно и прямолинейно?

Если главный вектор внешних сил остается все время равным нулю и начальная скорость 0≠сV , то центр масс движется равномерно и прямолинейно.

15. При каких условиях центр масс системы не перемещается вдоль некоторой оси?

Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось остается все время равной нулю и проекция скорости на эту ось равна нулю, то координата центра масс по этой оси остается постоянной.

16. Назовите единицу измерения количества движения. Единица измерения количества движения – кгм/c.

94

СибАДИ

17. Сформулируйте определения количества движения материальной точки.

Количеством движения Q

материальной точки называют векторную величину, равную произведению массы точки на вектор ее скорости:

VmQ

= .

18. Сформулируйте определения количества движения системы. Количеством движения механической системы Q

называют

векторную сумму количеств движения отдельных точек системы, т.е.

∑ == kQQ

∑=

n

kkkVm

1

,

где n – число точек системы. Количество движения системы равно произведению массы системы на

скорость ее центра масс: =Q

c

n

kkk VmVm

=∑

=1.

19. Как связано количество движения системы с модулем и направлением

скорости центра масс? Направление Q

совпадает с направлением cV

.

20. Как определяется импульс силы за конечный промежуток времени? Действие силы F

на материальную точку в течение времени dt можно

охарактеризовать элементарным импульсом dtF

.

95

СибАДИ

Полный импульс силы F

за время t или импульс силы S

определяют

по формуле ∫=t

dtFS0

. Единица измерения импульса силы – H·c.

21. Чему равны проекции импульса силы на оси координат? Импульс силы S

в проекциях на координатные оси

.;;000∫∫∫ ===t

zz

t

yy

t

xx dtFSdtFSdtFS

22. Сформулируйте теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме?

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной

форме: dtFQdn

k

ek∑=

=1

.

Дифференциал количества движения механической системы равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на точки механической системы.

23. Сформулируйте теорему об изменении количества движения механической системы в интегральной форме?

Теорема в интегральной форме:

=− 0QQ

dtFn

k

ek∑ ∫

=1

= ∑

=

n

k

ekS

1

.

Изменение количества движения механической системы за время t равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на точки механической системы за то же время.

24. Запишите теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме в проекциях на координатные оси.

В проекциях на координатные оси будем иметь

∑=−∑=−∑=−===

n

k

ekzzz

n

k

ekyyy

n

k

ekxxx SQQSQQSQQ

101

101

101 ;; .

25. Назовите законы сохранения количества движения? Законы сохранения получают как частные случаи теоремы об

изменении количества движения. Возможны два частных случая: а) Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе,

за рассматриваемый промежуток времени равна нулю, то из теоремы следует, что количество движения системы постоянно по величине и направлению.

б) Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо

координатную ось равна нулю 01

=∑=

n

k

ekxF , то проекция количества

движения на эту ось – величина постоянная: Qx=const.

96

СибАДИ

13. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ГЛАВНОГО МОМЕНТА

КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ


Цели занятия: выяснение области применения теоремы об изменении

главного момента количеств движения механической системы при исследовании поведения механических систем, приобретение практических навыков решения конкретных задач, встречающихся в технике.

Перед изучением данной темы следует повторить со студентами следующие вопросы из раздела «Статика»: момент силы относительно центра (точки), момент силы относительно оси, главный вектор и главный момент системы сил. Из раздела «Кинематика» повторить следующие вопросы: кинематика точки, кинематика поступательного, вращательного и плоскопараллельного движений твердого тела.

Из курса математики повторить темы: интегрирование дифференциальных уравнений, первые интегралы дифференциальных уравнений, векторное произведение и его свойства, представление векторного произведения определителем третьего порядка, проекция векторного произведения на оси прямоугольной системы координат.

Требования к знаниям студента: 1. Владеть понятиями «момент количества движения материальной

точки» и «кинетический момент механической системы». 2. Уметь вычислять кинетический момент относительно оси как

твердого тела при различных видах его движения, так и системы, состоящей из совокупности твердых тел.

3. Уметь применять теорему об изменении момента количеств движения для составления дифференциального уравнения движения системы с одной степенью свободы, для получения первых интегралов дифференциальных уравнений движения механической системы, а также для определения реакций связей при известном движении.


Задачи, решаемые с использованием теоремы об изменении момента

количеств движения механической системы можно разделить на следующие три типа:

97

СибАДИ

1. Определение различных динамических или кинематических характеристик системы (моменты внешних сил, модули самих сил, моменты инерции и т. д.).

2. Определение различных динамических и кинематических характеристик системы с использованием закона сохранения ее момента количеств движения относительно неподвижной оси.

3. Задачи, решаемые с использованием дифференциального уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

При решении задач всех типов вначале рекомендуется: 1. Выявить совокупность тел, включаемых в систему. 2. Установить действующие на механическую систему внешние силы

и изобразить их на рисунке. 3. Выбрать систему координат, одну из осей которой направить вдоль

оси вращения тела, входящего в механическую систему. 4. Написать выражения для главных моментов всех внешних сил

системы относительно осей выбранной системы координат. 5. Составить выражение для момента количеств движения системы

относительно введенной неподвижной оси, определяя его как алгебраическую сумму моментов количеств движения материальных точек и тел системы относительно этой оси (этот пункт выполняется при решении задач первого типа).

6. Записать теорему об изменении момента количеств движения системы относительно неподвижной оси и найти искомую величину (этот пункт также выполняется при решении задач первого типа).

Для решения задач второго типа следует на основании результатов, полученных в пункте 4, установить, относительно какой из координатных осей главный момент всех внешних сил механической системы равен нулю и, следовательно, остается неизменным соответствующий момент количеств движения. Затем необходимо определить и приравнять моменты количеств движения механической системы относительно указанной оси координат в начальный и конечный (или текущий) моменты времени и из полученного соотношения найти искомую величину.

В задачах третьего типа рекомендуется при выполнении пункта 4 составить выражение для суммы моментов всех внешних сил только относительно оси вращения твердого тела и затем записать дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Дальнейший порядок действий определяется условиями задачи. В частности, может понадобиться интегрирование полученного в пункте 5 дифференциального уравнения. Если исходная механическая система разбивается на несколько частей, то полученная система уравнений, включающая неизвестные силы взаимодействия между частями,

98

СибАДИ

дополняется уравнениями, связывающими между собой кинематические характеристики движения тел. Исключением из полученной совокупности уравнений неизвестных сил можно получить дифференциальное уравнение движения данной системы.


1. Какой вид имеют дифференциальные уравнения поступательного

движения твёрдого тела? Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого

тела в проекциях на прямоугольные оси координат:

∑==

n

k

ekxFxm

1

; ∑=

=

n

k

ekyFym

1

; ∑=

=

n

k

ekzFzm

1

.

В этих уравнениях х, у, z являются координатами произвольной точки тела, в частности, это могут быть координаты его центра масс.

2. Какой вид имеет дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела? На основании какой теоремы оно получено?

Теорема об изменении кинетического момента имеет вид

( ) ze

k

n

kz

z MFMdt

dL== ∑

=

)(

1

,

где zM – главный момент внешних сил. При вращении твердого тела вокруг оси Oz, кинетический момент

,ω= zz JL где zJ – момент инерции относительно оси вращения; ω – угловая скорость вращения.

Получаем

.zz Mdt

dJ =

ω

Учитывая, что dω/dt=ε, получим дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела

zz MJ =ε или .)(1

∑=ϕ=

n

k

ekzz FMJ

3. Какой вид имеют дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела?

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения имеют вид

;exFxm c = ;e

уFуm c = ,zz cc MJ =ϕ

99

СибАДИ

где т – масса тела; zcJ – момент инерции тела относительно оси вращения; zcM – главный момент внешних сил относительно оси вращения.

4. Какими свойствами обладают главные и главные центральные оси инерции?

Главная центральная ось инерции является главной осью инерции для всех свои точек.

Главная ось инерции, не проходящая через центр масс твердого тела, является главной осью инерции лишь в одной своей точке.

Если однородное тело имеет ось симметрии, то эта ось является его главной центральной осью инерции. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то во всех точках этой плоскости одна из главных осей инерции направлена по перпендикуляру к этой плоскости.

5. Как определяется момент количеств движения (кинетический момент) твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно оси вращения?

Для твердого тела, представляющего собой совокупность конечного числа точек, кинетический момент относительно оси вращения z можно представить следующим образом:

=zL .)( 2∑∑∑ == ωkkkkkkkz hmhVmVmM

Учитывая, что ∑= 2kkz hmJ – момент

инерции вращающегося тела относительно оси z, получим

ωzz JL = .

Кинетический момент тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции этого тела относительно оси вращения на угловую скорость тела.

6. Расскажите вывод теоремы об изменении кинетического момента механической системы.

Рассмотрим движение неизменяемой механической системы под действием активных сил E

iF , реакций EiR внешних связей и внутренних

сил JiR . Выберем некоторый неподвижный центр О и определим

изменение момента количества движения i-й точки относительно этого центра:

100

СибАДИ

dLCiО/dt = MO( EiF ) + MO( E

iR ) + MO( JiR ),

где i изменяется от 1 до n. Просуммируем полученные n уравнений:

ΣdLCiO/dt = dLO/dt = ΣMO( EiF ) + ΣMO( E

iR ) + ΣMO( JiR ),

где LO – вектор кинетического момента механической системы относительно центра О.

Как известно, для неизменяемой механической системы

геометрическая сумма внутренних сил равна нулю (Σ JiR = 0). Отсюда

следует, что и геометрическая сумма моментов этих сил относительно любого центра равна нулю. Приняв за такой центр точку О, имеем ΣMO( J

iR ) = 0. Тогда получим

dLO/dt = ΣMO( EiF ) + ΣMO( E

iR ).

Это равенство выражает теорему об изменении кинетического момента механической системы.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов, приложенных к системе активных сил и реакций внешних связей относительно того же центра.

Последнему векторному равенству соответствуют три равенства в проекциях на оси координат:

dLOX/dt = ΣMOX( EiF ) + ΣMOX( E

iR );

dLOY/dt = ΣMOY( EiF ) + ΣMOY( E

iR ); dLOZ/dt = ΣMOZ( EiF ) + ΣMOZ( E

iR ),

где LOX, LOY, LOZ – кинетические моменты механической системы относительно координатных осей; ΣMOX( E

iF ), ΣMOY( EiF ), ΣMOZ( E

iF ) – суммы моментов активных сил относительно координатных осей;

101

СибАДИ

ΣMOX( EiR ), ΣMOY( E

iR ), ΣMOZ( EiR ) – суммы моментов реакций внешних

связей относительно координатных осей. Производная по времени от кинетического момента механической

системы относительно некоторой оси равна сумме моментов, приложенных к системе активных сил и реакций внешних связей относительно той же оси.

7. Расскажите следствия из теоремы об изменении кинетического момента механической системы.

1. Если геометрическая сумма моментов, приложенных к системе активных сил и реакций внешних связей относительно некоторого неподвижного центра, остается всё время равной нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается постоянным. Если ΣMО( E

iF ) + ΣMО( EiR ) = 0, то dLО/dt = 0 и,

следовательно, LО = const. 2. Если алгебраическая сумма моментов, приложенных к

механической системе активных сил и реакций внешних связей относительно некоторой оси, остается всё время равной нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой же оси остается постоянным.

Действительно, если ΣMOX( EiF ) + ΣMOX( E

iR ) = 0, то dLOX/dt = 0 и отсюда следует, что LOX = const.

8. Определить кинетический момент механической системы относительно оси OZ,OY,OX.

Момент количества движения LCiOZ каждой точки Ci системы

относительно оси вращения OZ определяется по формуле

LCiOZ = (mCi· CiY )·XCi – (mCi· CiX )·YCi.

Кинетический момент механической системы относительно оси OZ вращения равен LOZ = ΣLCiOZ.

102

СибАДИ

Аналогичным образом определяются кинетические моменты механической системы относительно осей вращения OX, OY:

LCiOX = (mCi· CiZ )·YCi – (mCi· CiY )·ZCi; LOX = ΣLCiOX; LCiOY = (mCi· CiX )·ZCi – (mCi· CiZ )·XCi; LOY = ΣLCiOY.

9. Почему сила тяжести не влияет на изменение кинетического момента механической системы относительно центра масс и относительно любой оси, проходящей через центр масс системы?

Если единственной внешней силой, приложенной к системе, является сила тяжести, то главные моменты внешних сил относительно центра масс и относительно любой оси, через него проходящей, равны нулю. В этом случае кинетический момент относительно любой оси, проходящей через центр масс, остается постоянным.

10. Почему кинетический момент Солнечной системы относительно ее центра масс не изменяется?

Движение тел Солнечной системы происходит под действием внутренних сил взаимного притяжения между телами системы. Поэтому кинетический момент Солнечной системы относительно ее центра масс должен оставаться неизменным по величине и направлению.

11. При каких условиях движение свободного твердого тела является поступательным?

Для поступательного движения твердого тела необходимо, чтобы в начальный момент движения кинетический момент тела относительно центра масс был равен нулю и главный момент внешних сил относительно центра масс тела все время оставался равным нулю.

12. Какое положение механики иллюстрируется с помощью скамейки Жуковского?

Закон сохранения кинетического момента вращающейся системы иллюстрируется с помощью скамейки Жуковского так:

const=ω= zz JL .

13. Какие основные типы задач можно решать с помощью дифференциального уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси?

По дифференциальному уравнению вращательного движения можно решать следующие задачи:

1) По заданному уравнению вращения тела )(tf=ϕ и его моменту инерции zJ определять главный момент внешних сил ϕ= z

ez JM ;

2) По заданным внешним силам, начальным условиям 0ϕ и 0ω и по моменту инерции тела zJ находить уравнение вращения тела )(tf=ϕ ;

3) Определять момент инерции тела zJ относительно оси вращения, зная e

zM и ϕ .

103

СибАДИ

14. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛА И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ


Цели занятия: познакомиться с особенностями применения общих теорем динамики при изучении движения твёрдого тела, научиться составлять дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и плоскопараллельного движения твёрдого тела и использовать их при решении первой и второй задач динамики, познакомиться с дифференциальными уравнениями вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси и движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса математики: основные правила дифференцирования скалярных и векторных функций скалярного аргумента одной переменной; определенные и неопределенные интегралы; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и их интегрирование; линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные) и их интегрирование, задача Коши в теории дифференциальных уравнений; скалярное произведение векторов и его свойства.

Следует повторить со студентами следующие вопросы из раздела «Кинематика»: кинематика твердого тела (определение скоростей точек твердого тела при различных видах его движения – поступательном, вращательном, плоскопараллельном), вращение твёрдого тела вокруг неподвижной точки, углы Эйлера, кинематические уравнения Эйлера.

Следует повторить со студентами следующие вопросы из раздела «Динамика»: общие теоремы динамики механической системы, главные и центральные оси инерции твёрдого тела и их свойства.

Требования к знаниям студента: 1. Уметь применять общие теоремы динамики для изучения движения

твёрдого тела. 2. Уметь составлять дифференциальные уравнения поступательного,

вращательного и плоскопараллельного движения твёрдого тела и использовать их при решении первой и второй задач динамики.

3. Уметь определять моменты инерции диска, кольца, стержня, пластины.

104

СибАДИ


Для решения задач динамики плоскопараллельного движения твёрдого тела рекомендуется:

1. Изобразить твёрдое тело, движение которого рассматривается, в текущем положении.

2. Выбрать и изобразить три системы координат: одну неподвижную и две подвижные (одну движущуюся поступательно и вторую жёстко связанную с твёрдым телом) с началами в центре масс твёрдого тела.

3. Изобразить на расчётной схеме все внешние силы, приложенные к твёрдому телу.

4. Составить дифференциальные уравнения движения твёрдого тела и добавить к ним уравнения связей.

5. Если это необходимо, проинтегрировать дифференциальные уравнения движения и определить искомые величины.

В некоторых случаях для решения задач оказывается более целесообразным вместо одного из дифференциальных уравнений движения твёрдого тела использовать теорему об изменении кинетической энергии механической системы.

Задачи по приближённой теории гироскопов можно разбить на два типа:

1. Определение прецессии оси трёхстепенного гироскопа по заданным внешним силам и угловой скорости собственного вращения ротора гироскопа.

2. Определение гироскопических реакций подшипников по известной угловой скорости принудительной прецессии и угловой скорости собственного вращения ротора гироскопа.

Задачи первого типа рекомендуется решать в такой последовательности:

1. Проверить, имеет ли гироскоп или гироскопическая система три степени свободы.

2. Выбрать две системы координат – подвижную и неподвижную, совместив их начало с неподвижной точкой гироскопа и направив одну из осей подвижной системы по оси вращения ротора.

3. Изобразить на рисунке внешние силы, приложенные к гироскопу. 4. Определить главный момент внешних сил относительно

неподвижной точки. 5. Найти главный момент количеств движения гироскопа

относительно неподвижной точки. 6. Применив теорему Резаля, определить движение оси гироскопа. В задачах, связанных с определением гироскопических давлений

(гироскопических реакций опор), рекомендуется:

105

СибАДИ

1. Изобразить на рисунке векторы угловой скорости собственного вращения гироскопа и главного момента количеств движения.

2. Определить и изобразить на рисунке вектор угловой скорости прецессии оси гироскопа.

3. Найти гироскопический момент (главный момент внешних сил). 4. Определить направления и модули гироскопических давлений на

опоры (гироскопических реакций опор).


1. Что называют моментом инерции материальной точки и системы материальных точек относительно плоскости?

Момент инерции материальной точки относительно плоскости есть произведение массы точки на квадрат расстояния до плоскости.

Для точки kM 2kkOyz xmJ = ; 2

kkOxz ymJ = ; 2kkOxy zmJ = .

Для системы точек 2

kkOyz xmJ ∑= ; 2kkOxz ymJ ∑= ; 2

kkOxy zmJ ∑= .

2. Что называют моментом инерции материальной точки относительно оси?

Момент инерции точки относительно оси есть произведение массы точки на квадрат расстояния от точки до оси.

Согласно определению получим для точки kM

;2kxkx

hmJ = ;2kyky

hmJ = 2kzk

hmzJ = ;

для системы точек ;1

2∑==

n

kkxkx hmJ ;

1

2∑==

n

kkyky

hmJ ∑==

n

kkzkz

hmJ1

2 .

Учитывая, что 222222222 ;; kkkzkkkykkkx yxhzxhyzh +=+=+= ,

можно записать

;)(1

22∑ +==

n

kkkkx zymJ ;)(

1

22∑ +==

n

kkkky zxmJ ∑ +=

=

n

kkkkz yxmJ

1

22 )( .

3. Что называют полярным моментом инерции тела относительно центра? Полярным моментом инерции тела относительно центра называют

сумму произведений масс точек тела на квадрат расстояний от точек до центра, т.е.

106

СибАДИ

=∑==

п

kkko rmJ

1

2 )( 22

1

2kk

п

kkk zyxm ++∑

=.

Полярный момент инерции тела равен половине суммы моментов инерции тела относительно осей координат.

zyxo JJJJ ++=2 .

Для сплошных твердых тел уравнение можно заменить интегралом

dmzyxJo )( 222 ++= ∫ .

4. Что называют моментом инерции твердого тела относительно плоскости, оси и точки?

Моментом инерции твердого тела относительно плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до плоскости.

5. Дайте определение центробежным моментам инерции? Центробежными моментами инерции называют величины xyJ , yzJ ,

zxJ , определяемые равенствами

∑∑∑ === kkkzxkkkyzkkkxy xzmJzymJyxmJ ;; ,

где km – массы точек; kkk zyx ,, – их координаты.

6. Как вычисляются осевые моменты инерции однородного круглого диска? Имеем тонкий однородный диск

радиусом R и массой m. Вычислим его момент инерции Jo относительно точки O. Этот момент инерции для тонкого диска совпадает с моментом инерции Jх относительно координатной оси Оx, перпендикулярной плоскости диска. Разобьем диск на концентрические полоски шириной dr, принимаемые в пределе за материальные окружности.

Масса полоски равна ее площади rdrπ2 , умноженной на удельную

плотность 2Rmπ

=ρ , т.е. rdrdm π⋅ρ= 2 . Момент одной полоски

относительно точки О равен dmr 2 . Для всего диска

2422

2432 mRRdrrdmrJ

R

o

m

oo =π⋅ρ=∫π⋅ρ=∫= .

Таким образом,

107

СибАДИ

2

2mRox JJ == .

Для осей координат Oz и Oy, расположенных в плоскости диска, в

силу симметрии yz JJ = . Тогда 42

2mRoyz

JJJ === .

7. Как вычисляются осевые моменты инерции тонкого кольца?

В случае тонкого кольца, имеющего форму цилиндра с малой толщиной стенки

0→δ , масса материала распределена по ободу цилиндрического кольца, имеем

;2mRJJ ox == 2

21 mRJJ zy == .

8. Как вычисляются осевые моменты инерции цилиндра? Для круглого однородного прямого

цилиндра, масса которого m, радиус R и длина l , вычислим сначала его момент инерции относительно продольной оси симметрии Oz. Для этого разобьем цилиндр плоскостями, перпендикулярными оси Oz, на тонкие диски массой dm и толщиной dz.

Для такого диска момент инерции относительно оси Oz равен dmR2

2.

Расчетная схема показывает, что масса всего цилиндра образуется из суммы элементарных дисков, т.е. масса цилиндра ∑= dmm .

Формула момента инерции цилиндра относительно его оси симметрии

совпадает с формулой момента инерции диска 2

2mRJ z = .

Формулы моментов инерции цилиндра для осей Оx, Оy, Jx=Jy совпадают с соответствующей формулой момента инерции для прямого стержня:

12

2mlJJ CyCx == .

9. Какое тело называется гироскопом? Гироскопом называют симметричное твердое тело, имеющее одну

неподвижную точку, быстро вращающееся вокруг собственной оси. В технике применяют гироскопы, у которых центр тяжести находится на оси материальной симметрии.

108

СибАДИ

10. Как вычисляются осевые моменты инерции однородного стержня? Имеем тонкий однородный

стержень длиной l и массой m. Направим по стержню ось Ox. Вычислим момент инерции стержня относительно оси Oz, проходящей перпендикулярно стержню через его торец. Согласно определению момента инерции сплошного тела относительно оси имеем

dxxdmxJl

loz ∫ρ=∫=

0

2

)(

2 , т. к. dxdm ρ= ,

где lm=ρ – удельная плотность стержня. Вычисляя интеграл, получаем

33

23

0

2 mlllmdxx

lmJ

l

oz ==∫= , таким образом, 3

2mlJoz= .

Аналогичным образом можно получить момент инерции стержня для

его центральной оси Cz : 12

2mlCZJ = .

11. Чему равен момент инерции относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса-Штейнера?

Существует связь между моментами инерции тела относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера), одна из которых проходит через центр масс.

Теорема. Момент инерции тела 1OzJ относительно некоторой оси Oz1

равен сумме момента инерции CzJ тела относительно оси Cz, проходящей через центр масс параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояний между осями:

1OzJ 2mdJCz += , где m – масса тела; d – расстояние между параллельными осями.

12. Как вычисляются осевые моменты инерции однородной треугольной пластины?

109

СибАДИ

6

2mbJ x = ;

6

2maJ y = .

13. Что называется радиусом инерции? Радиусом инерции тела, например xi ,

называют линейную величину, квадрат которой, умноженный на массу тела, равен моменту инерции тела относительно соответствующей оси координат: miJ xx

2= .

14. Какой гироскоп называется свободным? В гироскопических приборах гироскопы

обычно закрепляют в кольцевом подвесе так, что при любом повороте гироскопа его центр тяжести остается неподвижным. Такой гироскоп называется свободным.

15. В чём состоит основное свойство свободного гироскопа?

Применяемые в технике гироскопы имеют большую угловую скорость собственного вращения ω1 вокруг своей оси симметрии. Если тело вращается вокруг неподвижной оси Оz, являющейся осью симметрии тела, то вектор 0L

кинетического момента совпадает с осью вращения:

10 ω== zcz JLL , где zcJ – момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии. Ось свободного гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве по отношению к инерциальной (звездной) системе отсчета.

Это важное свойство гироскопа используется при конструировании гироскопических приборов.

16. Сформулируйте теорему Резаля. Пусть на ось быстро вращающегося гироскопа

начинает действовать сила F

, момент которой относительно центра О равен по модулю M0 = Fh. По теореме моментов

00 M

dtLd

= или 0)( M

dtOBd

= ,

где OB – вектор, совпадающий с вектором 0L

. Отсюда, учитывая, что производная от вектора OB по времени равна

скорости Bu точки В, то Bu = 0M

. Равенство указывает, что скорость конца вектора кинетического момента свободного гироскопа относительно центра О равняется по модулю и по направлению главному моменту

110

СибАДИ

внешних сил относительно того же центра (теорема Резаля). Следовательно, точка В, а с нею и ось гироскопа будут перемещаться параллельно вектору 0М

. В результате находим, что если на ось быстро

вращающегося гироскопа подействует сила, то ось начнет отклоняться не в сторону действия силы, а по направлению, которое имеет вектор 0М

момента этой силы относительно неподвижной точки О гироскопа, т. е. перпендикулярно силе. Из равенства следует также, что когда действие силы F

прекращается, то 0М

, а следовательно, Bu обращаются в нули и

ось гироскопа останавливается. 17. Что является мерой инертности при поступательном и вращательном

движениях? При поступательном движении твёрдого тела так же, как и при

движении материальной точки, мерой инертности является масса. При вращательном движении твёрдого тела мерой его инертности является момент инерции относительно оси вращения.

18. Расскажите о моментах инерции однородных пластин.

Осевые моменты инерции однородных пластин

Форма тела JOX JOY JOZ Форма тела

m·R2/2 m·R2/4 m·R2/4

m·(R2–r2)/2 m·(R2–r2)/4 m·(R2–r2)/4

m·(b2+d2)/3 m·d2/3 m·b2/3

111

СибАДИ

15. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ


Цели занятия: выяснение области применения теоремы об изменении

кинетической энергии при исследовании поведения механических систем, приобретение навыков составления дифференциальных уравнений движения механических систем с одной степенью свободы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме, освоение методики применения теоремы об изменении кинетической энергии в конечной форме для получения первых интегралов дифференциальных уравнений движения механических систем.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса математики: основные правила дифференцирования скалярных и векторных функций скалярного аргумента одной переменной, определенные и неопределенные интегралы; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и их интегрирование; линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные) и их интегрирование; задача Коши в теории дифференциальных уравнений, скалярное произведение векторов и его свойства.

Следует повторить со студентами следующие вопросы из раздела «Кинематика»: способы задания движения материальной точки, определение скорости и ускорения точки при векторном, координатном и естественном способах задания движения точки, естественные оси, естественный трехгранник, кинематика твердого тела (определение скоростей точек твердого тела при различных видах его движения), абсолютное и относительное движения точки, переносное движение, теорема о сложении скоростей.

Требования к знаниям студента: 1. Владеть понятиями «кинетическая энергия материальной точки» и

«кинетическая энергия механической системы». 2. Уметь вычислять кинетическую энергию твердого тела при

поступательном, вращательном и плоскопараллельном его движениях, а также кинетическую энергию механических систем, состоящих из тел, совершающих перечисленные движения.

3. Владеть понятиями «элементарная работа силы», «работа силы на конечном перемещении» и «мощность силы».

112

СибАДИ

4. Знать все формулы, необходимые для вычисления элементарной работы, полной работы и мощности силы, и уметь их применять при решении конкретных задач.

5. Уметь выводить теорему об изменении кинетической энергии механической системы в различных формах и формулировать ее содержание.

6. Знать, как записывается теорема об изменении кинетической энергии для неизменяемой механической системы. Свободно применять теорему в различных ее формах к решению конкретных задач.

7. Владеть понятиями, связанными с потенциальным силовым полем (силовая функция, работа потенциальной силы, поверхности уровня, потенциальная энергия, полная механическая энергия и условия ее сохранения).


Дифференциальная форма теоремы об изменении кинетической

энергии механической системы используется для составления дифференциального уравнения движения систем с одной степенью свободы и, в частности, для нахождения ускорения движущихся тел. Эта форма может также использоваться для составления дифференциальных уравнений движения систем с несколькими степенями свободы совместно с другими общими теоремами динамики.

Конечная форма теоремы об изменении кинетической энергии механической системы позволяет получить первый интеграл дифференциальных уравнений движения в тех случаях, когда можно вычислить сумму работ внешних сил на конечном перемещении системы без знания закона её движения.

Теорема об изменении кинетической энергии в случаях, когда движущаяся механическая система является неизменяемой, позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные внутренние силы, а при наложенных на систему идеальных, стационарных связях и неизвестные реакции внешних связей.

При составлении дифференциального уравнения движения системы следует:

1. Убедиться в том, что система имеет одну степень свободы. 2. Выбрать координату, относительно которой будет составляться

уравнение движения. 3. Записать теорему об изменении кинетической энергии в

дифференциальной форме.

113

СибАДИ

4. Вычислить кинетические энергии отдельных тел системы. Кинетическую энергию системы вычислить как сумму кинетических энергий отдельных тел.

5. Угловые скорости тел системы и линейные скорости их центров масс выразить через заданную скорость. В результате кинетическая энергия механической системы также будет представлена как функция этого независимого параметра.

6. Вычислить производную по времени от кинетической энергии системы.

7. Изобразить на расчётной схеме все внешние силы, действующие на механическую систему. Вычислить сумму мощностей внешних сил.

8. Составить дифференциальное уравнение движения, используя для этого теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.

9. Задать начальные условия движения механической системы. 10. Найти общее решение дифференциального уравнения движения. 11. Определить по начальным условиям постоянные интегрирования. 12. Подставив значения постоянных интегрирования в общее решение

дифференциального уравнения, найти закон движения механической системы.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной форме) применяется, например, к решению задач в следующей постановке: механическая система, находящаяся в покое, под действием внешних сил приходит в движение. За некоторое время одно из тел системы перемещается на заданное расстояние.

Найти скорости, приобретённые телами системы. Порядок решения данной задачи следующий: 1. Убедиться в том, что механическая система имеет одну степень

свободы. 2. Выбрать координату, с помощью которой будет определяться

положение системы. 3. Записать теорему об изменении кинетической энергии

механической системы в конечной форме, положив значение кинетической энергии механической системы в начальный момент времени равным нулю.

4. Изобразить на рисунке систему в начальном и конечном положениях. Вычислить кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел, входящих в её состав. На расчётной схеме показать все кинематические характеристики, от которых зависит кинетическая энергия системы.

5. Выразить кинетическую энергию системы через скорость тела, перемещение которого задано.

114

СибАДИ

6. Изобразить на расчётной схеме все внешние и внутренние силы системы (в случае неизменяемой механической системы – только внешние силы).

7. Вычислить сумму работ сил, приложенных к системе, на заданном её перемещении.

Перемещения точек приложения сил и углы поворота тел, к которым приложены моменты, выразить через перемещение тела, которое задано.

8. Из теоремы об изменении кинетической энергии в конечной форме определить искомую скорость, приравняв полученные в пунктах 5, 6 выражения кинетической энергии системы и суммы работ сил.


1. Что называется кинетической энергией материальной точки? Кинетической энергией материальной точки называют половину

произведения массы точки на квадрат ее скорости:

2;

2

22 VmTmVT == .

Квадрат модуля скорости равен скалярному квадрату вектора скорости, поэтому данные выражения равноценные. Кинетическая энергия является скалярной положительной величиной. В СИ единицей кинетической энергии является джоуль: 1 Дж=1 Н·м.

2. Что называется кинетической энергией механической системы? Кинетической энергией механической системы Т называют сумму

кинетических энергий всех точек механической системы, т.е.

∑=∑===

n

k

kkn

k

kk VmVmT

1

2

1

2

22

.

Кинетическая энергия как точки, так и системы не зависит от направления скоростей точек. Кинетическая энергия может быть равна нулю для системы только при условии, если все точки системы находятся в покое.

3. Сформулируйте теорему Кёнига. Теорема Кенига: кинетическая энергия системы в абсолютном

движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы относительно центра масс, т.е.

)(

2

2 rcc T

mVT += , где ∑= 2

2

)(krk

rcVmT .

115

СибАДИ

Величина )(rcT является кинетической энергией относительного движения системы относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с ее центром масс, или кинетической энергией системы относительно центра масс.

4. Запишите формулу для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступательном движении.

При поступательном движении твердого тела скорости всех точек тела одинаковы: VVk

= , поэтому кинетическая энергия тела равна сумме

кинетических энергий всех его точек, т.е.

222

2

1

2

1

2 mVmVVmT

n

kk

n

k

kk =∑=∑===

,

где m – масса тела; V – скорость точки тела. 5. Запишите формулу для вычисления кинетической энергии твердого тела

при вращательном движении.

zn

kkk

n

k

kk JhmVm

T222

2

1

22

1

2 ω=

ω== ∑∑

== или

2

2ω= zJT ,

где zJ – момент инерции тела относительно оси вращения Oz. Кинетическая энергия тела при вращательном движении вокруг

неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

6. Запишите формулу для вычисления кинетической энергии твердого тела при плоскопараллельном движении.

Плоское движение тела по теореме Кенига можно рассматривать как совокупность двух движений: поступательного переносного движения вместе с центром масс и относительного вращательного движения относительно центра масс.

Следовательно, по теореме Кенига кинетическая энергия при плоскопараллельном движении равна

22

22 ω+= cz

c JmVT .

При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела вместе с

116

СибАДИ

центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения.

Учитывая, что VC=ω·CP (P– мгновенный центр скоростей), получаем второй способ определения кинетической энергии твердого тела при плоском движении

2))((

2

22

2 ω=+

ω= pzcz JCPmJT ,

где zpJ – момент инерции тела относительно оси Рz, проходящей через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения.

Кинетическая энергия тела при плоском движении равна кинетической энергии этого тела при вращении относительно МЦС.

Плоское движение, состоящее из двух движений (поступательного и вращательного), можно заменять одним вращением вокруг мгновенного центра скоростей.

7. Запишите формулу для вычисления элементарной работы силы для случая, когда движение точки приложения силы задано векторным способом.

Элементарная работа dА силы F

на элементарном перемещении ds равна произведению касательной составляющей силы на элементарное перемещение, т.е.

dsFdA τ= ,

где τF – проекция силы F

на направление скорости точки приложения или на направление элементарного перемещения.

Элементарное перемещение ds по модулю совпадает с элементарным изменением радиуса-вектора rdds

= , тогда

τF =Fсоsφ,

где φ – угол между вектором силы и вектором скорости точки М. 8. Выясните, при каких условиях элементарная работа силы положительна,

отрицательна, равна нулю. Элементарная работа равна произведению модуля силы, модуля

перемещения силы и косинуса угла между векторами силы и перемещения. dA=Fdscosφ.

117

СибАДИ

Элементарная работа является скалярной величиной. Ее знак определяется знаком проекции силы τF на положительное перемещение ds.

При τF >0 элементарная работа dA>0, а при τF < 0 dA<0. Отметим частные случаи: если φ = 0°, то dA=Fds; если φ = 90°, то

dA =0; если φ =180°, то dA= –Fds. Таким образом, если сила перпендикулярна элементарному

перемещению, то ее элементарная работа равна нулю. В частности, работа нормальной составляющей силы nF всегда равна нулю.

9. Запишите формулы для вычисления работы силы на конечном перемещении.

Тогда работу А можно выразить формулой

kn

k=ndAΣA

1lim

∞→= ,

где dAk – работа на k-м элементарном перемещении. Так как сумма в формуле работы является интегральной суммой определения криволинейного интеграла на участке кривой М0 1M , то заменим ее интегралом

∫ τ=1

0

M

MdsFA .

Используя другие выражения для элементарной работы, полную работу силы на конечном перемещении М0М можно представить в разных формах:

∫∫ ++==1

0

1

0

)(M

Mzyx

M

MdzFdyFdxFrdFA

или ∫=

tdtVFA

0

,

где момент времени t = 0 соответствует точке М0, а момент времени t – точке 1M .

10. Как вычисляется работа силы тяжести? Работа силы тяжести равна произведению силы на величину

вертикального перемещения и имеет положительное или отрицательное значение:

A=±Gh. Величина работы силы тяжести положительная, когда векторы силы

тяжести G

и вертикального перемещения h

совпадают, т.е. работа положительная при опускании точки и отрицательная при подъеме. Работа силы тяжести на замкнутой траектории равна нулю.

118

СибАДИ

11. Как вычисляется работа силы упругости?

Работа силы F на конечном перемещении HM КM равна

=А − ∫

−=−=

кx

x

х

х

K

н

сxcxxdxсК

H22

22−

2

2Hсx .

Работа растяжения пружины отрицательна. Если пружина будет возвращать накопленную энергию, ее работа будет положительна, она может использоваться для совершения полезной работы.

На этом принципе работают пружинные, пневматические и гидравлические аккумуляторы энергии.

Работа линейной силы упругости не зависит от траектории перемещения, и работа по любому замкнутому циклу равна нулю.

Она также равна нулю, если точки HM и КM перемещаются по сфере, в центре которой закреплена пружина.

12. Как вычисляется работа силы трения? Вектор силы трения является касательным к траектории движения и

направлен противоположно вектору скорости точки М приложения силы. Точка М перемещается по

шероховатой поверхности по криволинейной траектории.

Сила трения определяется по закону Кулона:

fNFTP = . Работа силы трения на конечном перемещении М0М1 определяется по

формуле

=A – ∫−=∫1

0

1

0

M

M

M

MfNdsdsFTP .

Если const=N , то const=TPF и sFA TP−= , где s – длина дуги М0М1, по которой перемещается точка М.

13. Что называется мощностью силы? Мощность силы или интенсивность какого-либо источника силы

можно оценивать работой, которую он может совершить за единицу

времени. Мощность dtdAN = .

Мощность можно представить в виде ϕ=⋅= cosFVVFN

.

119

СибАДИ

Таким образом, мощность равна скалярному произведению векторов силы и скорости точки. Из формулы следует, что чем больше скорость, тем меньше сила при одной и той же мощности. Если const== VFN

, то при

изменении силы необходимо менять скорость. Следовательно, если от источника силы с заданной мощностью нужно получить большую силу, то её можно получить только при малой скорости. В СИ единицей мощности является ватт: 1 Вт = 1 Дж/с.

14. Как определяется работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?

Элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на элементарный угол поворота тела.

Полная работа на конечном перемещении

ϕ∫=ϕ

dMA z0

.

В частном случае, если момент силы относительно оси вращения является постоянным, т. е. )(FM z

= const, работу определяют по формуле

A = ± ϕzM , где φ – угол поворота тела.

Работа положительна, если направление момента совпадает с направлением вращения тела.

15. Как определяется мощность силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?

Мощность в случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси определяется по выражению

ω±=ϕ

== zz Mdt

dMdtdAN .

Мощность силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения тела на угловую скорость. Знак мощности определяется аналогично знаку работы.

16. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме.

120

СибАДИ

Теорема об изменении кинетической энергии для точки в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку:

dAmVd =

2

2.

17. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в конечной форме.

Теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной форме

2

2mV – AmV=

2

20 ,

т.е. изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.

18. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме

ie NNdtdT

+= .

Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей внешних и внутренних сил системы.

19. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в конечной форме.

ie AATT 21210 −− +=− . Изменение кинетической энергии механической системы при ее

перемещении из одного положения в другое равно сумме работ внешних и внутренних сил на этом же перемещении.

20. Влияют ли внутренние силы механической системы на изменение ее кинетической энергии?

Если система содержит недеформируемые абсолютно твердые тела, то

работа внутренних сил системы равна нулю: 01

=∑=

n

k

ikA .

21. Дайте определение понятию «силовое поле». Пусть точка движется в некотором пространстве и на нее со стороны

пространства действует сила, которая зависит от положения точки в этом пространстве, но не зависит от скорости движения. В этом случае говорят, что в пространстве задано силовое поле или что точка движется в силовом поле. Соответствующие понятия для системы материальных точек аналогичны.

121

СибАДИ

Силы, зависящие от положения точек их приложения, в механике встречаются часто. Например, сила упругости, приложенная к материальной точке, которая движется по горизонтальной прямой под действием пружины. Важнейшим примером силового поля в природе является гравитационное поле: действие Солнца на планету данной массы определяется в каждой точке пространства законом всемирного тяготения.

22. Какое силовое поле называется потенциальным? Силовое поле называют потенциальным, если существует скалярная

функция U, зависящая только от координат kkk zyx ,, точки Мк – точки материальной системы:

.,...,2,1,),,(;),,(;),,( nkz

zyxUFy

zyxUFx

zyxUFk

kzk

kyk

kx =∂

∂=

∂∂

=∂

∂=

Функция U(x, y, z) называется силовой функцией. 23. Расскажите о свойствах силовой

функции. Рассмотрим свойства силовой

функции. Элементарная работа связана с

силовой функцией следующим образом:

dUdzzUdy

yUdx

xUdzFdyFdxFdA zyx =

∂∂

+∂∂

+∂∂

=++= , т.е. dUdA = .

Таким образом, элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функции.

Полная работа силы F на участке от точки ),,( 0000 zyxM до точки ),,( 1111 zyxM равна

),,( 11111

0

1

0zyxUdUdAA

M

M

M

M=∑=∑= 010000 ),,( UUzyxU −=− ,

где 01 UUA −= . Из полученных выражений следуют выводы: 1. Работа силы в потенциальном силовом поле по замкнутой

траектории равна нулю. 2. Работа силы в потенциальном силовом поле зависит только от

начального и конечного положений точек и не зависит от формы траектории.

24. Покажите связь потенциальной силы с энергией? Потенциальной энергией П в рассматриваемой точке силового поля М

называют работу, которую совершают силы поля, действующие на

122

СибАДИ

материальную точку при ее перемещении из данного положения М в начальное положение М0, т.е.

000 или UAПAП MMMM === – U . Свяжем силовую функцию U с потенциальной энергией. Имеем

=∂∂

=xUFx – ,;;

zП

zUF

yП

yUF

xП

zy ∂∂

−=∂∂

=∂∂

−=∂∂

=∂∂

т.е. UПППUUAdПdUdA −=−=−=−== или,; 00 .

25. Приведите примеры вычисления потенциальной энергии. 1. Однородное поле тяжести. Пусть m – масса точки; g – ускорение

свободного падения. Тогда по формуле mghA = получим

.;;0;0 mgzAПmgFFF zyx −==−=== 2. Силовое поле упругой пружины. Пусть материальная точка

движется вдоль оси Оx под действием пружины, к которой она прикреплена.

По формуле =А − ∫

−=−=

кx

x

х

х

K

н

сxcxxdxсК

H22

22−

2

2Hсx ,

если при х=0 пружина не деформирована, то, полагая х0=0, получим 2

21 cxAП =−= .

26. В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для механической системы имеем ie dAdAdT += ,

т.е. приращение кинетической энергии системы за конечное время равно работе всех сил системы за то же время.

Пусть все силы системы (внутренние и внешние) потенциальны и их потенциал П не зависит явно от времени. В этом случае элементарная работа сил системы будет полным дифференциалом dПdAdA ie −=+ , тогда следует, что 0=+ dПdT . Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией системы:

const=+= ПTE . Равенство называется интегралом движения, т.е. если все силы

системы потенциальны и потенциал не зависит от времени, то при движении системы ее полная механическая энергия постоянна. Это закон сохранения механической энергии. Следует иметь в виду, что для справедливости закона сохранения механической энергии требование о том, чтобы все силы системы были потенциальными, необязательно. Достаточно потребовать, чтобы потенциальными были силы, работа которых на действительном перемещении системы отлична от нуля.

123

СибАДИ

16. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА


Цели занятия: выяснить сущность и область применения метода кинетостатики при исследовании движения механических систем научиться вычислять даламберовы силы инерции твёрдого тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном его движениях, приобрести навыки составления дифференциальных уравнений движения механических систем с помощью метода кинетостатики, научиться определять реакции опор вращающегося твёрдого тела методом кинетостатики.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса «Теоретическая механика»:

1. Раздел «Статика»: главный вектор и главный момент системы сил,теорема о приведении произвольной системы сил к центру, случаи приведения системы сил к равнодействующей и паре сил, условия равновесия произвольной пространственной, плоской и сходящейся систем сил.

2. Раздел «Кинематика»: поступательное, вращательное,плоскопараллельное движение твёрдого тела.

3. Раздел «Динамика»: осевые и центробежные моменты инерциитвёрдого тела, главные и центральные оси инерции.

Требования к знаниям студента: 1. Знать сущность метода кинетостатики как особого методического

приёма составления дифференциальных уравнений движения материальной точки и механической системы.

2. Уметь грамотно формулировать принцип Даламбера дляматериальной точки и механической системы.

3. Уметь приводить к простейшему виду даламберовы силы инерциичастиц твёрдого тела в случаях его поступательного, вращательного и плоскопараллельного движений.

4. Знать условия, при выполнении которых динамические давлениявращающегося твёрдого тела на опоры равны нулю.

5. Знать о статической и динамической балансировках твёрдого тела.


Решение задач с помощью метода кинетостатики рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

124

СибАДИ

1. Изобразить на рисунке активные силы, приложенные к каждой из материальных точек механической системы.

2. Освободить точки механической системы от наложенных связей, применив принцип освобождаемости от связей, изобразить реакции связей.

3. Добавить к активным силам и реакциям связей даламберовы силы инерции материальных точек механической системы.

4. Выбрать систему координат. 5. Составить уравнения равновесия активных сил, реакций связей и

даламберовых сил инерции для каждой из материальных точек механической системы.

6. Решив составленную систему уравнений, определить искомые величины.

Задачи, в которых требуется определить полные реакции вращающегося твёрдого тела на ось вращения, рекомендуется решать в следующем порядке:

1. Выбрать подвижные оси x, y, z, связанные с вращающимся твёрдым телом, направив ось z вдоль оси вращения, а оси y и z расположить в плоскости, содержащей центр масс тела (можно начало координат совместить с одной из опор тела).

2. Изобразить на рисунке активные силы (в том случае, если необходимо определить полные реакции опор на ось вращения).

3. Изобразить на рисунке искомые реакции (это либо полные реакции опор, либо поперечные динамические реакции).

4. Определить абсциссу и ординату центра масс тела. 5. Вычислить центробежные моменты инерции тела Jyz и Jxz . 6. Составить уравнения кинетостатики.

16.3. Контрольные вопросы для тестирования студентов 1. Что называется даламберовой

силой инерции материальной точки? Как направлена даламберова сила инерции?

Даламберова сила инерции Ф

равна произведению массы точки на вектор ускорения, взятому с обратным знаком:

amФ −= .

2. Сформулируйте принцип Даламбера для материальной точки. В общем случае форма записи принципа Даламбера для материальной

точки есть равенство нулю векторной суммы активных сил, сил реакции и сил инерции в любые моменты времени, т.е. 0=++ ФRF

.

125

СибАДИ

Форма записи уравнения движения несвободной материальной точки, по Даламберу, в виде уравнения без правой части напоминает уравнение равновесия статики, но отличается от него тем, что в динамике силы являются переменными величинами, при этом равенство сил соблюдается в любые моменты времени.

Для решения векторного уравнения выполняют его проецирование на оси координат:

0=++ xxx ФRF ; 0=++ yyy ФRF ; 0=++ zzz ФRF .

Представленные уравнения отражают принцип Даламбера для несвободной материальной точки в проекциях на оси декартовых координат.

3. К какому телу приложена сила инерции материальной точки и какие у нее модуль и направление?

Сила инерции материальной точки представляет собой противодействие материальной точки изменению ее скорости и приложена к телу, сообщающему этой точке ускорение. Сила инерции равна по модулю произведению массы материальной точки на модуль ее ускорения и направлена в сторону, противоположную ускорению: amФ

−= . 4. Сформулируйте принцип Даламбера для механической системы. При движении механической системы активная сила и реакция связи

вместе с силой инерции образуют уравновешенную систему сил для каждой точки системы

0=++ kkk ФRF

,

где kkk amФ −= – сила инерции k-й точки.

5. По какой формуле определяется главный вектор даламберовых сил инерции механической системы?

Главный вектор сил инерции системы равен произведению массы системы на ускорение центра масс и направлен в сторону, противоположную ускорению, т.е.

camФ −= .

6. К чему приводятся даламберовы силы инерции при поступательном движении твёрдого тела?

Инерционные воздействия на тело приводятся к равнодействующей, равной главному вектору сил инерции Ф

и приложенной в центре масс

тела: СamФ −= .

Направлена равнодействующая в сторону, противоположную ускорению центра масс.

126

СибАДИ

7. В чем заключается различие между дифференциальными уравнениями относительного и абсолютного движений материальной точки?

Уравнение динамики относительного движения точки в случае непоступательного переносного движения можно рассматривать как абсолютное, если к действующим на точку силам присоединить переносную и кориолисову силы инерции:

кei ФФFam ∑ ++=τ .

8. К чему приводятся даламберовы силы инерции точек твёрдого тела при вращательном его движении вокруг главной центральной оси инерции?

Инерционные воздействия на тело приводятся к паре сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела. Момент пары сил равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение и направлен в сторону, противоположную угловому ускорению. При решении задач находят модуль момента, а его направление показывают на рисунке дуговой стрелкой

ε= zФz JM .

9. К чему приводятся силы инерции точек твердого тела при плоском

движении тела, имеющего плоскость материальной симметрии? Если твердое тело, имеющее плоскость материальной симметрии,

движется параллельно этой плоскости, то силы инерции приводятся к силе, приложенной в центре масс и равной главному вектору сил инерции

maФС −= , и к паре сил, лежащей в плоскости симметрии, числовое значение момента которой определяется формулой

ε−= CФC JM .

10. К чему приводятся даламберовы силы инерции точек твёрдого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, при вращательном его движении вокруг неподвижной оси, перпендикулярной этой плоскости?

Рассмотрим тело, имеющее плоскость симметрии и вращающееся вокруг неподвижной оси, перпендикулярной этой плоскости и не проходящей через центр масс тела (рис. а).

Таким образом, сложение сил инерции точек тела в этом случае движения сводится к сложению сил инерции точек плоской материальной фигуры, имеющей массу данного тела и тот же момент инерции относительно оси вращения (рис. б). Как известно из статики, силу *Ф

и

127

СибАДИ

пару с моментом ФM , лежащие в одной плоскости, можно заменить одной действующей силой Ф

, геометрически равной главному вектору (рис. в).

Линия действия этой силы отстоит от центра приведения О на расстоянии

ФM

hФ

= .

Таким образом, при вращении твёрдого тела, имеющего плоскость

материальной симметрии, вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости, силы инерции точек тела приводятся к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии.

11. К чему приводятся силы инерции при равномерном вращении однородного тонкого стержня вокруг неподвижной оси?

На каждый элементарный участок стержня длиной x∆ и массой km действует центробежная сила инерции, равная

,sin2 αω=⋅== xdxlmadx

lmamФ kkkk

где x – координата элементарного участка стержня dx.

128

СибАДИ

Из полученной формулы видно, что эпюра сил инерции kФ

является

линейной функцией х, а равнодействующая Ф

этих сил инерции

проходит через центр тяжести треугольной эпюры, т.е. приложена в точке D на расстоянии 32lOD = .

По модулю равнодействующая сил инерции равна произведению массы стержня на ускорение его центра масс:

αω== sin2

2 lmmaФ c .

12. Определить динамические реакции подшипников при вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси?

Пусть твёрдое тело равномерно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, закреплённой в подшипниках А и В (рис.).

Найдём динамические реакции ХА, YA, ZA, XB, YВ подшипников, действующие на ось, т. е. реакции, возникающие при вращении тела. Пусть на тело действуют заданные силы eP1

, eP2

,

...., enP

. Обозначим проекции главного вектора этих сил на координатные оси Axyz, вращающиеся вместе с телом, через e

xR , eyR , e

zR . Главные моменты относительно тех же осей обозначим через e

xM , eyM , e

zM . Так как тело вращается

равномерно, то 0=ezM . Тогда

ω−=ω−−=−=

ω−−=+ω−−=+

.;;;;

22

22

yzexBxz

eyBzA

yBAxBA

JMbYJMbXФZmyФYYmxФXX cc

Уравнения определяют динамические реакции, действующие на ось равномерно вращающегося твёрдого тела, если осью вращения является ось Oz.

129

СибАДИ

17. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ


Цели занятия: выяснить область применения принципа возможных перемещений при решении задач механики, научиться применять его при решении задач о равновесии твёрдого тела и систем твёрдых тел, а также для определения зависимостей между модулями активных сил.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса «Теоретическая механика»:

1. Раздел «Кинематика»: поступательное, вращательное, плоскопараллельное движение твёрдого тела.

2. Раздел «Динамика»: элементарная работа силы. Требования к знаниям студента: 1. Уметь четко формулировать содержание основных понятий и

определений аналитической механики: связи, классификация связей, возможные перемещения, обобщённые координаты, число степеней свободы, элементарная работа силы на возможном перемещении.

2. Уметь грамотно формулировать принцип возможных перемещений, понимать его сущность, уметь записывать его в различных формах.

3. Знать особенности применения принципа возможных перемещений к исследованию равновесия механических систем с одной и несколькими степенями свободы.

4. Уметь применять принцип возможных перемещений для определения реакций связей в статически определимых и неизменяемых системах.


Принцип возможных перемещений применяется при исследовании

равновесия твёрдых тел, систем твёрдых тел: для определения положений равновесия, для определения реакций связей, при определении зависимостей между задаваемыми силами.

Задачи на исследование равновесия твёрдых тел и систем твёрдых тел рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

1. Изобразить на рисунке активные силы, приложенные к каждой из материальных точек механической системы.

2. При наличии неидеальных связей добавить соответствующие реакции связей (силы трения отнести к числу активных сил).

130

СибАДИ

3. Если искомой величиной является реакция связи, то следует отбросив данную связь, заменить её действие на механическую систему соответствующей реакцией.

Дальнейший ход решения задачи зависит от того, сколько степеней свободы имеет исследуемая механическая система.

В случае механической системы с одной степенью свободы: 1. Дать возможное перемещение одной из точек механической

системы и выразить возможные перемещения точек приложения сил в зависимости от заданного возможного перемещения.

2. Вычислить сумму элементарных работ активных сил и реакций связей на возможных перемещениях точек приложения сил и приравнять её к нулю.

3. Выразить возможные перемещения точек приложения сил через перемещение какой-либо одной точки и, подставив полученные соотношения в уравнение работ, определить искомую величину.

Для механической системы с несколькими степенями свободы: 4. Выбрать независимые возможные перемещения точек

механической системы в числе, равном числу степеней свободы этой системы.

5. Сообщить возможное перемещение, соответствующее одной из степеней свободы механической системы, считая при этом возможные перемещения, соответствующие остальным степеням свободы, равными нулю. Составить уравнение работ, выражающее принцип возможных перемещений, для каждого независимого перемещения. Используя связи между возможными перемещениями точек приложения сил на каждом независимом перемещении, преобразовать полученные уравнения работ (как в случае механической системы с одной степенью свободы).

6. Решив полученную систему уравнений (число уравнений, которой равно числу степеней свободы механической системы), определить искомые величины.


1. Что называется связями? Связи – материальные тела, осуществляющие ограничения,

налагаемые на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах. Эти ограничения записываются в виде уравнений или ограничений.

2. Что называется уравнениями связей? Уравнения связей – уравнения, которым в силу наложенных связей

должны удовлетворять координаты точек механической системы и их скорости (первые производные от координат по времени).

131

СибАДИ

3. Дайте определения стационарных и нестационарных, голономных и неголономных связей.

а) Если равенства, выражающие связи явно не содержат время, их называют стационарными, а если в эти равенства явно входит время, то нестационарными.

б) Связь называется голономной, если она выражается уравнением, не содержащим производных от координат.

в) Если дифференциальное уравнение, выражающее связь, неинтегрируемо, то эта связь называется неголономной.

4. Какие связи называют геометрическими связями? Геометрические связи – связи, уравнения которых содержат только

координаты точек механической системы. Эти связи выполнены в виде тел, поверхностей, линий и т. п.

Например, связь в виде некоторой поверхности описывается уравнением f(X, Y, Z) = 0.

5. Какие связи называют дифференциальными связями. Дифференциальные связи – связи, уравнения которых кроме

координат точек механической системы содержат ещё первые производные от этих координат по времени.

Уравнение такой связи имеет вид f(X, Y, Z, dX/dt, dY/dt, dZ/dt) = 0.

6. Какие связи называют двусторонними? односторонними? Связь называется двусторонней, если накладываемые ограничения на

координаты точки выражаются в форме равенств, определяющих поверхности, на которых должна находиться эта точка. Двусторонняя связь препятствует перемещению точки в двух противоположных направлениях. Ограничения, накладываемые на координаты точки односторонней связью, выражаются неравенствами. Односторонняя связь препятствует перемещению точки тела лишь в одном направлении.

7. В чем сущность принципа освобождаемости от связей? Принцип освобождаемости от связей позволяет рассматривать

движение несвободной материальной точки как движение свободной точки под действием задаваемых сил и реакций связей.

8. Что представляют собой обобщенные координаты механической системы?

Независимые величины qi , однозначно определяющие положение всех точек механической системы, называются обобщенными координатами этой системы.

9. Чему равно число степеней свободы механической системы?

132

СибАДИ

Для голономных систем число независимых обобщенных координат qi механической системы равно числу степеней свободы этой системы.

10. В каком случае декартовы координаты точек системы зависят не только от обобщенных координат, но и от времени?

При наличии нестационарных связей декартовы координаты всех точек механической системы являются функциями не только обобщенных координат, но и времени.

11. Как формулируется принцип возможных перемещений? Необходимое и достаточное условие равновесия системы сил,

приложенных к механической системе, подчиненной стационарным двусторонним и идеальным связям, заключается в равенстве нулю суммы элементарных работ задаваемых сил на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого ее положения.

12. Что называют возможными перемещениями механической системы? Возможными (или виртуальными) перемещениями несвободной

механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые наложенными на систему связями.

13. Как задаются возможные перемещения при поступательном движении? При поступательном движении возможные перемещения всех точек

тела геометрически равны: δSA = δSB = δSС.

Так как тело при поступательном движении не поворачивается, то его возможное угловое перемещение равно нулю (δφ =0).

Возможные перемещения δSA, δSВ, δSС точек А, В, С можно связать с их скоростями VA, VB, VC следующими соотношениями:

δSA = VA·δt; δSB= VB·δt; δSC= VC·δt, где δt – бесконечно малый промежуток времени.

133

СибАДИ

14. Как задаются возможные перемещения при вращательном движении? При вращательном движении за обобщённую координату в таком

движении принимают угол поворота φ, а за возможное перемещение δφ – приращение угла поворота.

Модули возможных перемещений δSA, δSВ, δSС точек А, В, С определяют по формулам

δSA = АО·δφ; δSВ= ВО·δφ; δSС= СО·δφ.

Следует отметить, что при вращательном движении твёрдого тела

возможные перемещения точек тела геометрически различны, т.е. δSA ≠ δSВ ≠ δSС.

15. Как задаются возможные перемещения при мгновенно поступательном движении?

Рассмотрим частный случай плоскопараллельного движения – мгновенно поступательное движение.

Из курса кинематики известно, что при мгновенно поступательном движении скорости всех точек тела геометрически равны:

VA = VB = VC. Так как δSA = VA·δt; δSB = VB·δt; δSC = VC·δt, то отсюда следует, что

равны и возможные перемещения этих точек: δSA = δSB = δSC.

16. Зависят ли возможные перемещения от действующих на систему сил? Возможные перемещения от действующих сил не зависят. 17. Какие связи механической системы называют идеальными? Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении

системы равна нулю, то такие связи называются идеальными. Идеальными связями являются: гладкая поверхность; шарнирно-подвижная и

134

СибАДИ

шарнирно-неподвижная опоры; шероховатая поверхность при качении по ней рассматриваемого тела и др.

18. Как задаются возможные перемещения при плоскопараллельном движении?

Плоскопараллельное движение твёрдого тела можно представить как вращательное движение относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей (МЦС). В этом случае в качестве обобщённой координаты используют только угол поворота φ.

Как правило, в инженерной практике возможные перемещения точек механической системы определяют с помощью мгновенного центра вращения (мгновенного центра поворота), положение которого всегда совпадает с положением мгновенного центра скоростей.

Мгновенный центр вращения – точка неподвижной плоскости, поворотом вокруг которой плоская фигура перемещается из данного положения в положение, бесконечно близкое к данному.

Рассмотрим частные случаи определения возможных перемещений точек тела при его плоскопараллельном движении.

Случай 1. Положение мгновенного центра вращения (точка Р) определяют так же, как и положение МЦС.

Модули возможных перемещений δSA, δSВ, δSС точек А, В, С определяют по формулам

δSA = АР·δφ; δSВ = ВР·δφ; δSС = СР·δφ, где АР, ВР, СР – соответственно расстояния от точек А, В, С до мгновенного центра вращения.

Необходимо еще раз напомнить, что возможные перемещения δSA, δSВ, δSС точек А, В, С связаны с их скоростями VA, VB, VC следующими соотношениями:

135

СибАДИ

δSA = VA·δt; δSB= VB·δt; δSC= VC·δt. Таким образом, направления возможных перемещений точек и их

скоростей совпадают. Случаи 2, 3, 4. Формулы для определения модулей возможных перемещений точек А,

В, С в случаях 2, 3, 4 остаются такими же, как и формулы для случая 1.

19. Что называют возможной (элементарной) работой силы? Возможная (элементарная) работа силы – бесконечно малая величина,

равная скалярному произведению вектора силы F на вектор возможного перемещения δS точки её приложения.

На рисунке показаны векторы F и δS. Согласно определению возможную работу δA(F) силы F определяют

по формуле δA(F) = F·δS = F·δS·cos(F, δS) = F·δS·cosα.

136

СибАДИ

В зависимости от величины угла α возможная работа δA(F) может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

20. Что называют возможной (элементарной) работой силы при

вращательном движении тела? Рассмотрим случай, при котором под действием силы F тело

совершает вращательное движение относительно оси ОХ. При вращении тела возможную работу δA(F) силы F на возможном

угловом перемещении δφ в общем случае определяют по формуле δA(F) = ± МОХ(F)·δφ = ± (F·h)·δφ,

где МОХ(F) – момент силы F относительно оси ОХ вращения; h – плечо силы F относительно оси вращения.

Следует отметить, что при совпадении направления МОХ(F) и δφ возможная работа δA(F) > 0. Если направления МОХ(F) и δφ противоположны, то δA(F) < 0.

21. Как формулируется план решения задач на принцип возможных перемещений?

а) Изобразить все задаваемые силы и показать моменты действующих пар сил.

137

СибАДИ

б) Сообщить системе возможное перемещение и показать на рисунке углы δφk элементарных поворотов тел и векторы ksδ элементарных перемещений точек приложения сил.

в) Подсчитать элементарные работы всех активных сил на заданном возможном перемещении и составить уравнение.

г) Выразить все величины δsk, δφk через какую-либо одну, для чего следует установить зависимость между δsk и δφk, учитывая, что модуль вектора ksδ вычисляется как длина дуги по формуле kk rs =δ δφk.

д) После замены величин ksδ , δφk через одну из полученного уравнения можно определить искомую силу или искомый момент пары сил, или искомую зависимость между действующими силами и моментами пар сил.

22. Какие виды может иметь уравнение работ? Для равновесия голономной механической системы со многими

степенями свободы, подчиненной идеальным, стационарным и неосвобождающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех задаваемых сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю на любом возможном перемещении системы по заданной обобщенной координате

0),cos(1

=δδ∑=

iiin

ii sPsP

.

Если для точек механической системы возможные перемещения задать изменением радиуса-вектора, проведенного из произвольной точки О, то уравнение, выражающее принцип возможных перемещений, будет иметь вид

0),cos(1

=δδ∑=

iii

n

ii rPrP

.

Уравнение можно записать в виде скалярного произведения векторов

01

=δ⋅∑=

i

n

ii rP

.

23. Почему принцип возможных перемещений упрощает вывод условий равновесия сил, приложенных к несвободным системам, состоящим из большого числа тел?

Если система, состоящая из большого числа тел, имеет одну степень свободы, то принцип возможных перемещений устанавливает сразу условие равновесия задаваемых сил, приложенных к системе.

24. Каким образом определяют реакции связей с помощью принципа возможных перемещений?

138

СибАДИ

Отбрасывают ту связь, реакцию которой требуется определить. Действие связи заменяют реакцией, которая переходит в число задаваемых сил. Системе сообщают возможное перемещение, соответствующее полученной степени свободы. Составляют уравнение работ, в которое входят задаваемые силы и реакция отброшенной связи. Из этого уравнения определяют искомую реакцию.

25. Как составляются уравнения работ для сил, действующих на механическую систему с несколькими степенями свободы?

Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнения работ составляются для каждого независимого перемещения системы в отдельности и получается столько условий равновесия, сколько степеней свободы имеет механическая система.

26. Показать зависимость между движущей силой и силой сопротивления в простейших машинах?

Для установления зависимости движущей силы F и силы сопротивления R или вращающего момента Mвр и момента сопротивления Mсопр сообщают машине возможное перемещение и составляют уравнение работ F⋅δSА −Q⋅δSВ=0 или

Mвр δφ −Mсопр δφ =0 .

27. Задайте возможное перемещение рычагу.

Рычаг АВ может совершать вращательное движение. Рычаг АВ рассматривается как механическая система, на которую наложена связь – шарнирно-неподвижная опора.

В качестве обобщённой координаты используем угол φ поворота тела. Зададим углу φ бесконечно малое перемещение δφ, которое называют возможным угловым перемещением или приращением угловой координаты φ. При повороте рычага на угол δφ точки А и В переместятся по дугам ААI, ВВI.

Возможные перемещения точек А и В рассматривают как величины первого порядка малости, поэтому криволинейные перемещения точек замещают направленными прямолинейными отрезками (векторами δSA, δSB), отложенными по касательным к траекториям точек. Модули возможных перемещений δSA, δSB точек А и В определяют по формулам

δSA = АО·δφ; δSВ = ВО·δφ.

139

СибАДИ

Размерность возможных перемещений определяется размерностью обобщённой координаты: δφ [рад]; δSA, δSВ [м]. Направления возможных перемещений точек механической системы совпадает с направлениями скоростей VA, VB этих точек.

28. Показать исходные и новые связи для определения опорных реакций.

140

СибАДИ

18. ТЕОРИЯ УДАРА


Цели занятия: рассмотрение основ общей теории и методы решения задач удара в механических системах, приобретение практических навыков решения конкретных задач при ударном взаимодействии двух тел; изучение фундаментальных случаев, на которых базируется современная теория удара: удар свободной материальной точки о неподвижную поверхность и удар двух свободных материальных точек.

Перед изучением данной темы рекомендуется повторить со студентами следующие вопросы из курса «Теоретическая механика»: теорему об изменении кинетического момента механической системы; теорему об изменении количества движения и о движении центра масс.

Требования к знаниям студента: 1. Уметь четко формулировать основные понятия и определения

теории: удар, ударная сила, ударный импульс, центральный удар, прямой удар, косой удар.

2. Уметь различать абсолютно неупругий удар, упругий удар, абсолютно упругий удар.

3. Знать особенности определения коэффициента восстановления при ударе.

4. Знать допущения теории удара.

18.2. Методические рекомендации к решению задач Задачи на определение коэффициента восстановления при ударе

решают по следующему алгоритму. 1. Направить на рисунке главную нормаль (ось On) вдоль линии

центров, а касательную (ось Оτ) – перпендикулярно к ней. 2. Вычислить проекции скоростей VC1On, VC2On центров масс С1, С2

соударяющихся тел в начале удара на главную нормаль. 3. Вычислить проекции скоростей UC1On, UC2On центров масс С1, С2

соударяющихся тел в конце удара на главную нормаль. 4. Определить коэффициент восстановления при ударе по формуле

k = OnCOnC

OnCOnCVVUU

21

12−− .

Задачи с помощью теоремы об изменении кинетического момента механической системы при ударе решают по следующему алгоритму.

141

СибАДИ

1. Изобразить на рисунке внешние ударные импульсы. 2. Вычислить сумму моментов ударных импульсов относительно оси

вращения. 3. Подставив результат вычислений, полученный в предыдущем

пункте, в уравнение OX

EiOX

JPSM∑=ϕ∆ ))((

, определить искомую величину.

Изменение угловой скорости твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, под действием внешних ударных сил равно сумме моментов импульсов этих сил относительно оси вращения, разделённой на момент инерции относительно той же оси.


1. Дать определение понятию «удар». Ударом называют явление, при котором за малый промежуток

времени, т.е. почти мгновенно изменяется кинематическое состояние механической системы: происходит мгновенное преобразование механической энергии, и возникают ударные импульсы в точках контактирования тел.

Рассмотрим удар двух тел, движущихся поступательно, в инерциальной системе отсчёта OXYZ.

Приняты условные обозначения: С1, С2 – центры масс тел 1, 2; VC1; VC2

– скорости центров масс тел. Удар есть процесс, при котором в течение очень малого промежутка

времени действуют очень большие силы. Время этого процесса часто равно тысячным и даже десятитысячным долям секунды. Величина силы, приложенной к телу во время удара, может в тысячи и даже в десятки тысяч раз превосходить вес тела.

2. Какой удар называется прямым? Коэффициент восстановления при прямом ударе?

142

СибАДИ

Удар называют прямым, если скорость V

точки перед ударом направлена по нормали n к поверхности в точке удара.

Для оценки упругих свойств поверхности и материальной точки используют коэффициент восстановления

VUK = ,

где U и V − численные значения скоростей после и до удара.

3. Какой удар называется непрямым? Коэффициент восстановления при

ударе. Непрямым, или косым, ударом называют такой удар, при котором

скорость точки перед ударом направлена под углом α к нормали поверхности. Угол α называют углом падения. Угол β вектора скорости U

точки после удара называют углом отражения. Скорости точки до и после удара можно разложить на касательную и нормальную составляющие:

τn VVV

+= ; τn UUU

+= .

Коэффициент восстановления при косом ударе вычисляют по формуле

βα

=′

′′===

tgtg

1

1

S

SVU

|V||U|K

nn

nn

,

где 1S ′′ , 1S ′ − проекции ударных импульсов на нормаль к поверхности за вторую и первую фазы удара.

В случае негладкой (шероховатой) поверхности ττ <VU . При решении многих задач можно не учитывать ударное трение, т.е. принимать ττ =VU .

4. Расскажите о допущениях в теории удара. В теории удара классической механики сделаны следующие

допущения: а) Действие немгновенных сил за время удара не учитывают. б) Перемещение материальной точки за время удара не учитывают.

143

СибАДИ

в) Результат действия ударной силы на материальную точку выражается в скачкообразном (конечном) изменении за время удара вектора её скорости, которое описывается векторным равенством

V2 = V1 + (S/m). 5. Расскажите о косом ударе шара о неподвижную горизонтальную

поверхность. Рассмотрим косой удар шара о неподвижную горизонтальную

поверхность.

а б

Шар ударяется о неподвижную плоскость со скоростью VC, которая

направлена к этой плоскости под углом α. После удара шар отскакивает от неподвижной плоскости со скоростью UС под углом β к плоскости. Коэффициент восстановления при ударе определяют по формуле

k = βα

tgtg

.

Последняя формула указывает удобный способ экспериментального определения коэффициента восстановления k при упругом ударе. По этому способу замеряют угол α и угол β отражения.

В случае абсолютно упругого удара угол падения α равен углу отражения β, откуда k = 1.

6. Приведите примеры основных случаев удара двух тел в теоретической механике.

На рисунках показаны основные случаи: 1 – удар свободной материальной точки о неподвижную поверхность; 2 – удар двух свободных материальных точек; 3 – удар несвободной материальной точки о неподвижную поверхность; 4 – удар двух несвободных материальных точек; 5 – удар двух тел на гладком основании; 6 – удар тела о неподвижную поверхность, нормальную к траектории движения; 7 – удар двух тел на гладкой горизонтальной поверхности с упругой . связью второго тела; 8 – вертикальный удар двух тел на упругом основании.

144

СибАДИ

7. Приведите примеры ударного взаимодействия тел. На рисунках показаны примеры: 1 – удар тела, совершающего плоское

движение, о поступательно движущееся тело; 2 – удар двух тел, совершающих плоские движения; 3 – удар поступательно движущегося тела о тело, совершающее плоское движение; 4 – удар двух вращающихся тел; 5 – удар вращающегося тела о тело, совершающее плоское движение; 6 – удар поступательно движущегося тела о тело, совершающее вращательное движение; 7 – удар в простой зубчатой передаче, возникающий при резком торможении ведущего колеса; 8 – удар в планетарной передаче, возникающий при резком торможении водила или ведущего колеса.

1 2

3V1

1

1 2

3V1

2

145

СибАДИ

8. Приведите примеры ударного взаимодействия движущегося тела с

основанием. На рисунках приведены примеры: 1 – преобразование плоского

движения тела во вращательное; 2 – преобразование поступательного движения тела в плоское; 3 – преобразование поступательного движения тела во вращательное; 4 – изменение траектории центра масс тела, совершающего плоское движение; 5 – изменение траектории поступательно движущегося тела; 6 – изменение траектории движения свободной материальной точки при ударе о неподвижную поверхность; 7 – процесс разгона приведенной массы гидравлического оборудования; 8 – ударное уплотнение грунтов; 9 – забивка сваи; 10 – прессование порошка падающим грузом.

146

СибАДИ

1 1

2

V1

5

Z

UY

α

V β

V16

Sудmпр 7 1 2

1

2

8

1

2

9

10

2

1

9. Дать определения понятиям: «линия центров», «центральный удар», «прямой удар», «косой удар».

Рассмотрим взаимодействие двух тел, совершающих поступательное движение в момент удара, и введём понятия, широко используемые в инженерной практике.

147

СибАДИ

Линия центров – линия, проходящая через центры масс соударяющихся тел.

Центральный удар – удар, при котором линия действия ударного импульса, приложенного к ударяемому телу, проходит через его центр масс.

Прямой удар – удар, при котором скорости центров масс соударяющихся тел лежат на линии центров.

Косой удар – удар, при котором хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющихся тел не лежит на линии центров.

10. Рассмотреть прямой упругий удар двух тел. Определить коэффициент восстановления.

Рассмотрим прямой центральный упругий удар двух тел. На рисунке

изображена расчётная схема этого удара. До удара (см. рис. а) соударяющиеся тела 1 и 2 движутся в одном направлении с абсолютными скоростями VC1, VC2 центров С1, С2 масс этих тел. На рис. б изображен момент удара тел 1 и 2. Расчётная схема движения тел после удара приведена на рис. в. Абсолютной скоростью называют скорость в инерциальной системе отсчёта.

Процесс упругого удара разделим на два этапа. В течение первого этапа (см. рис. б) совершается деформация

соударяющихся тел. В течение второго этапа – частичное восстановление недеформированного состояния. В момент окончания первого этапа и начала второго центры масс тел обладают одинаковыми скоростями, которые они имели бы в конце соответствующего абсолютно неупругого удара. В конце второго этапа центры масс тел имеют другие абсолютные скорости UС1, UС2.

Отношение изменений скоростей тел после удара к скоростям тел до удара характеризуется коэффициентом восстановления при ударе. Коэффициент восстановления при ударе – величина, равная модулю

148

СибАДИ

отношения разности проекций скоростей центров масс тел на нормаль после удара к разности проекций скоростей центров масс тел на нормаль до удара.

Величину коэффициента k определяют по формуле

k = OnCOnC

OnCOnCVVUU

21

12−− ,

где UC2On, UC1On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 2 и 1 на главную нормаль после удара; VC1On, VC2On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 1 и 2 до удара.

Коэффициент восстановления, являющийся безразмерной величиной, изменяется в пределах от 0 до 1 (0 < k < 1); при абсолютно неупругом ударе k = 0, при упругом ударе k < 1, при абсолютно упругом ударе k = 1.

11. Дать определение понятию «абсолютно неупругий удар». В зависимости от степени восстановления недеформированного

состояния удары разделяются на абсолютно неупругие, упругие и абсолютно упругие.

Абсолютно неупругий удар – удар, при котором недеформированное состояние соударяющихся тел не восстанавливается.

В конце неупругого удара центры тяжести соударяющихся тел движутся с одинаковыми скоростями.

12. Дать определение понятию «упругий удар». Упругий удар – удар, при котором недеформированное состояние тел

восстанавливается не полностью. В конце упругого удара центры тяжести соударяющихся тел движутся

с разными скоростями. 13. Дать определение понятию «абсолютно упругий удар». Абсолютно упругий удар – удар, при котором недеформированное

состояние соударяющихся тел восстанавливается полностью. В конце абсолютно упругого удара центры тяжести соударяющихся

тел движутся с разными скоростями. 14. Рассказать теорему об изменении количества движения механической

системы при ударе. Обозначая количество движения системы после и до удара

соответственно

∑= kkUQ

m ; ∑= kVmQ k

0

и учитывая, что по свойству внутренних сил, в том числе и ударных, 0=∑ i

kS

, получим

∑=− ekSQQ

0 .

149

СибАДИ

Данное векторное равенство выражает теорему об изменении количества движения механической системы при ударе.

Изменение вектора количества движения системы за время удара равно векторной сумме внешних ударных импульсов сил, приложенных к точкам системы за это же время.

15. Рассказать теорему о движении центра масс механической системы при ударе.

Выражая количество движения механической системы через массу системы и скорость центра масс, имеем

СUmQ

= ; СVmQ

=0 ,

где m − масса системы; СV

и СU

− скорости центра масс до и после удара.

С учетом принятых обозначений из теоремы ∑=− ekSQQ

0 получаем теорему о движении центра масс системы при ударе в векторной форме:

)( СС VUm

− ∑= ekS

.

Проецируя уравнение на оси координат, получим систему уравнений

∑=− ekxSVUm xx CС )( , ∑=− e

kySVUm yy CС )( ; ∑=− ekzSVUm zz CС )( .

Следствия теоремы о движении центра масс: 1. Если сумма ударных импульсов внешних сил равна нулю 0=∑ e

kS

, то по закону сохранения количества движения и скорости движения центра масс при ударе

0QQ

= ; СС VU

= .

Количество движения механической системы и скорость центра масс не изменяются, если векторная сумма внешних ударных импульсов сил, приложенных к точкам, равна нулю.

2. Если имеется координатная ось, например Оx, для которой сумма проекций внешних ударных импульсов на эту ось равна нулю, т.е.

0=∑ ekxS , то по закону сохранения проекции количества движения и

скорости движения центра масс при ударе

xx QQ 0= ; xx CC VU = .

16. Рассмотреть удар на материальную точку. Согласно известным утверждениям кинематики поступательное

движение твёрдого тела имеет такие же уравнения движения, как и точка. Рассмотрим движение материальной точки массой m в инерциальной системе отсчёта OXYZ под действием силы тяжести G и активной силы Fi

E на участке АВ. В момент времени, когда материальная точка занимает на

150

СибАДИ

траектории её движения положение В, происходит удар. В этом положении материальная точка получает конечное изменение скорости от V1 до V2. В момент удара на материальную точку кроме сил G и Fi

E действует ударная сила Р.

В отличие от ударной силы Р силы Fi

E и G называют немгновенными силами. В положении В, где действовала ударная сила Р, происходит резкое изменение траектории движения АВD точки. После прекращения действия ударной силы Р материальная точка на участке ВD снова движется под действием силы тяжести G и активной силы Fi

E. В действительности скачок скорости происходит в течение очень малого промежутка времени.

Ударная сила – сила, импульс которой за время удара является конечной величиной.

Ударный импульс – импульс ударной силы за время удара. 17. Рассмотреть удар шара о неподвижную плоскость. Рассмотрим удар поступательно движущегося шара о неподвижную

плоскость. Шар массой m движется поступательно, и скорость VC направлена по

нормали к неподвижной массивной поверхности в точке А. В момент времени, когда шар достигает этой поверхности, происходит прямой центральный удар. Различают две фазы этого удара. В течение первой фазы шар деформируется до тех пор, пока скорость его не станет равной нулю. Во время этой фазы кинетическая энергия шара обращается в потенциальную энергию сил упругости деформируемых тел и частично расходуется на их нагревание. В течение второй фазы под действием сил упругости шар частично восстанавливает свою первоначальную форму. Из-за остаточных деформаций и нагревания шара первоначальная кинетическая энергия шара полностью не восстанавливается. Поэтому шар

151

СибАДИ

отделяется от неподвижной поверхности с абсолютной скоростью UС, модуль которой меньше модуля его скорости VC до удара.

Шар падает на неподвижную горизонтальную плоскость с высоты h1,

при этом начальная скорость его центра масс равна нулю (VC0 = 0). В начале процесса удара скорость его центра масс равна VC. В конце удара шар со скоростью центра масс UС отрывается от неподвижной поверхности и поднимается на высоту h2max, где скорость его центра масс равна нулю.

По известным величинам h1, h2max определяют коэффициент восстановления при ударе по формуле

k = 1

max2h

h .

Эта формула используется при экспериментальном определении коэффициента восстановления.

В случае абсолютно неупругого удара шар от плоскости не отделяется, т е. h2 = 0. Тогда k = 0.

При абсолютно упругом ударе шар отскакивает от неподвижной плоскости и возвращается в исходное положение, т. е. h2max = h1. В этом случае k = 1.

При упругом ударе h2max < h1 и, следовательно, 0 < k < 1. В случае прямого центрального удара тела о неподвижную

поверхность модули скоростей связаны соотношением UС = k·VC.

18. Рассмотреть потерю кинетической энергии при ударе двух тел. Из–за остаточных деформаций и нагревания тел при ударе происходит

частичная потеря кинетической энергии соударяющихся тел. Определим потерю кинетической энергии при упругом ударе двух поступательно движущихся тел, имеющих коэффициент восстановления k.

152

СибАДИ

Введём условные обозначения: Т1 – кинетическая энергия механической системы до удара; Т2 – кинетическая энергия механической системы после удара; ΔТ – потеря кинетической энергии механической системы в процессе удара.

Величины Т1, Т2, ΔТ определяют по формулам T1 = 0,5·(m1·(VC1)2 + m2·(VC2)2); T2 = 0,5·(m1·(UC1)2 + m2·(UC2)2);

ΔT = T1 – T2, где m1, m2 – массы соударяющихся тел; VC1, VC2 – модули абсолютных скоростей центров масс тел до удара; UC1, UC2 – модули абсолютных скоростей центров масс тел после удара.

Потерю кинетической энергии при прямом центральном упругом ударе определяют по формуле

ΔT = (1 – k2)·

+⋅⋅

21

21(2 mm

mm ·(VC1On – VC2On)2,

где VC1On, VC2On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 1, 2 на главную нормаль.

При абсолютно неупругом ударе k = 0 и, следовательно,

ΔT =

+⋅⋅

21

21(2 mm

mm ·(VC1On – VC2On)2.

При абсолютно упругом ударе k = 1 и, следовательно, ΔT = 0. 19. Теорема об изменении кинетического момента механической системы

при ударе. Теорема об изменении кинетического момента механической

системы при ударе:

)(0 ekooo SMLL

∑=− ,

где oL

, 0oL

− векторы кинетических моментов механической системы относительно центра O соответственно после и до удара; )( e

ko SM

∑ − сумма моментов импульсов сил относительно центра О.

Векторные величины в теореме имеют вид

kkk UmrLo

∑ ×= ; kkk VmrLo

∑ ×= 0 ;

=∑ )( eko SM

∑ × kr e

kS

; =∑ )( iko SM

∑ × kr 0=i

kS

,

где последнее выражение равно нулю по свойству внутренних сил. Проецируя векторное равенство на оси координат, получим

уравнения

153

СибАДИ

)0 ekSMLL xxx

(∑=− ; )0 e

kSMLL yyy

(∑=− ; )0 e

kzzz SMLL

(∑=− .

Если механической системой является твердое тело, вращающееся относительно оси Оz, и на него действует ударный импульс, то

ω= zz JL ; 00 ω= zz JL ,

где zJ − момент инерции тела относительно оси вращения Оz.

Тогда

)0 ekSMLL xxx

(∑=− ; )0 e

kSMLL yyy

(∑=− ; )0 e

kzzz SMLL

(∑=− ,

получаем

)( ozJ ω−ω )ekz SM

(∑= .

20. Следствия из теоремы об изменении кинетического момента механической системы при ударе.

1. Если векторная сумма моментов ударных импульсов внешних сил относительно центра равна нулю, т.е. 0)( =∑ e

ko SM

, то из формулы

)(0 ekooo SMLL

∑=−

следует закон сохранения кинетического момента системы относительно центра при ударе

const0 == oo LL

.

2. Если имеется координатная ось, например Ox, относительно которой 0) =∑ e

kSM x

( , то из уравнений

)0 ekSMLL xxx

(∑=− ; )0 e

kSMLL yyy

(∑=− ; )0 e

kzzz SMLL

(∑=−

следует закон сохранения кинетического момента относительно оси при ударе

const0 == xx LL .

21. Рассказать о действии ударных сил на твёрдое тело при его вращении относительно неподвижной оси.

Рассмотрим процесс удара при вращении твёрдого тела на примере плоской пластины под действием активных сил Fi

E и реакций RiE внешних

связей в инерциальной системе отсчёта OXYZ. Твёрдое тело до удара вращается относительно оси ОХ с угловой

скоростью ϕ . В момент удара о неподвижную поверхность (см. рис. а) твёрдое тело имело угловую скорость 1ϕ , а после удара его угловая скорость изменилась до значения 2ϕ (см. рис. в).

154

СибАДИ

По теории удара силы Fi

E, RiE являются немгновенными силами,

следовательно, их действие на твёрдое тело не учитывается. В момент удара на тело действуют ударные силы Рi

E, ударный импульс которых обозначим символом S(Pi

E) (см. рис. б). Ударные силы Рi

E относятся к разряду внешних сил. Определим изменение угловой скорости тела в момент удара. Для

этого воспользуемся выражением LOX(2) – LOX(1) = ΣMOX(S(Pi

E)), где LOX(1), LOX(2) – кинетические моменты тела относительно оси ОХ вращения до и после удара; ΣMOX(S(Pi

E)) – сумма моментов ударных импульсов относительно оси вращения тела.

Последняя формула выражает теорему об изменении кинетического момента механической системы при ударе.

Изменение кинетического момента механической системы относительно оси вращения при ударе равно сумме моментов внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно той же оси. Кинетический момент твёрдого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на модуль угловой скорости.

Исходя из этого имеем LOX(1) = JOX· 1ϕ ; LOX(1) = JOX· 2ϕ .

155

СибАДИ

Тогда теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси вращения при ударе можно представить в следующем виде:

JOX· 2ϕ – JOX· 1ϕ = ΣMOX(S(PiE)).

Отсюда

OX

EiOX

JS(PM∑=ϕ∆ ))(

.

Таким образом, изменение угловой скорости твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, под действием внешних ударных сил равно сумме моментов импульсов этих сил относительно оси вращения, разделённой на момент инерции относительно той же оси.

Итак, действие ударного импульса на тело, вращающееся относительно неподвижной оси, проявляется в скачкообразном изменении его угловой скорости. Этой теоремой следует пользоваться в задачах на удар по телу, вращающемуся относительно неподвижной оси, когда в число данных и искомых величин входят: ударные импульсы; момент инерции тела относительно оси вращения; угловые скорости в начале и конце удара.

156

СибАДИ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Основная учебная литература 1. Тарасов, В.Н. Теоретическая механика: учебное пособие /

В.Н. Тарасов, И.В. Бояркина [и др.]. – 3-е изд., испр. и доп. – М. : Транслит, 2015. – 560 с.

Дополнительная учебная литература 2. Мещерский, И.В. Задачи по теоретической механике [Электронный

ресурс] : учебное пособие / И.В. Мещерский. – Электрон. дан. – СПб.: Лань, 2012. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/ element.php?pl1_id=2786 – Загл. с экрана, (дата обр. к ресурсу 03.09.2018).

3. Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 1: Статика и кинематика [Электронный ресурс]: учебное пособие / М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. – Электрон. дан. – СПб.: Лань, 2013. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element. php?pl1_id=4551 – Загл. с экрана (дата обр. к ресурсу: 03.09.18).

4. Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 2: Динамика [Электронный ресурс]: учебное пособие / М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. – Электрон. дан. – СПб.: Лань, 2013. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element. php?pl1_id=4552 – Загл. с экрана (дата обр. к ресурсу: 04.09.18).

5. Лукин, А. М. Образцы оформления заданий для самостоятельной работы по теоретической механике: учебно-методическое пособие / А.М. Лукин, В.В. Квалдыков. – Омск : СибАДИ, 2013. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/326612.pdf – Загл. с экрана (дата обр. к ресурсу: 04.09.18).

6. Гольцов, В.С. Теоретическая механика [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В.С. Гольцов, В.И. Колосов. – Электрон. дан. – Тюмень: ТюмГНГУ, 2013. – Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/41034 – Загл. с экрана (дата обр. к ресурсу: 05.09.18).

7. Лукин, А. М. Теоретическая механика (разделы "Статика", "Кинематика"): учебно-методическое пособие / А. М. Лукин, Д. А. Лукин, В. В. Квалдыков; – 2-е изд., испр. и доп. – Омск : СибАДИ, 2010. – 252 с.

157

СибАДИ

http://e.lanbook.com/books/



http://bek.sibadi.org/cgi-bin/cgiirbis_64.exe?LNG=&Z21ID=189218521316369161530535436&I21DBN=IBIS&P21DBN=IBIS&S21STN=1&S21REF=&S21FMT=fullwebr&C21COM=S&S21CNR=10&S21P01=0&S21P02=1&S21P03=A=&S21STR=%D0%9B%D1%83%D0%BA%D0%B8%D0%BD%2C%20%D0%90%2E%20%D0%9C%2E

http://bek.sibadi.org/fulltext/326612.pdf

https://e.lanbook.com/book/41034

http://bek.sibadi.org/cgi-bin/cgiirbis_64.exe?LNG=&Z21ID=&I21DBN=IBIS&P21DBN=IBIS&S21STN=1&S21REF=3&S21FMT=fullwebr&C21COM=S&S21CNR=10&S21P01=0&S21P02=1&S21P03=A=&S21STR=%D0%9B%D1%83%D0%BA%D0%B8%D0%BD,%20%D0%90.%20%D0%9C.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАbek.sibadi.org/fulltext/esd751.pdf · 2018. 12. 6. ·...

Documents