Тема 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
DESCRIPTION
Тема 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. § 1.1. Пространство и время – фундаментальные физические понятия. Пространство и время – фундаментальные физические понятия. Границы Вселенной 10 30. м. Ближайшая Галактика. Радиус нашей Галактики. 10 27. Ближайшая звезда. 10 21. Земля - Солнце. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Тема 1. КИНЕМАТИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ§1.1. Пространство и время –
фундаментальные физические понятия
Пространство и время –
фундаментальные физические понятия
Диапазон расстояний во Вселенной
Радиус ядра
Радиус вирусаРадиус атома
Размер крупинки солиРост человека
Останкинская башня
Земля - Луна Земля - Солнце
Ближайшая звездаРадиус нашей Галактики
Ближайшая Галактика
Москва -Киев
Границы Вселенной 1030
10-9
10-3
103
10-15
109
1015
1021
1027
м
Свойства пространства
Непрерывность
Непрерывность: в пространстве нет разрывов в любой его части по любому направлению.
Свойства пространства
Непрерывность Однородность
Однородность: вдоль любого из направлений свойства пространства неизменны.
Свойства пространства
Непрерывность Однородность Изотропность
Изотропность: свойства пространства одинаковы по всем направлениям.
Свойства пространства
Непрерывность Однородность Изотропность Трехмерность
Трёхмерность: положение любой точки в пространстве относительно выбранной точки отсчета определяется совокупностью трёх чисел - координат.
Диапазон временных интервалов во Вселенной
Свет пересекает ядро
Свет проходит размер атома
Колебание молекулы
Период радиоволны
Удар сердца 1 день
Жизнь человекаПервобытный человек
Возраст ЗемлиВозраст Вселенной
10-18
10-12
10-6
10-24
1 106
1012
1018
с
Свойства времени
Непрерывность Однородность Однонаправленность
Тема 1. КИНЕМАТИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§1.2. Система отсчета.
Радиус-вектор материальной точки.
Закон движения материальной точки
СИСТЕМА КООРДИНАТ
x
z
y
Масштаб 1 м
0
Тела отсчета
Систему координат можно «привязать» к разным точкам отсчета, принадлежащим одному телу:
x
z
y
Масштаб 1 м
0
Система отсчета (СО): система координат + часы
x
z
y
Масштаб 1 м
0
Материальная точка -тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.
Радиус-вектор материальной точки (МТ)
x
z
y
xА
yА
zА
ArA
i
j
k0
AAAA zyxr ,,
1,0,0;0,1,0;0,0,1 kji
.1 kji
kzjyixr AAAA
222AAAA zyxr
Введём единичные векторы координатных осей (орты):
Радиус-вектор МТ связан с её координатами:
По правилу сложения векторов:
По определению, модули единичных векторов:
Дважды применив теорему Пифагора, получим величину радиус-вектора МТ по модулю:
Закон движения МТ. Траектория
x
z
y
траектория
r(t)
)(),(),()( tztytxtrr
– закон движения материальной точки
0
Тема 1. КИНЕМАТИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 1.3.Вектор перемещения.
Путь
x
z
y1
2
x1 x2
y2
y1
r1
r2
Δr
траектория
вектор перемещения 12 rrr
)( 11 trr
)( 22 trr
:
путь
Путь – расстояние, пройденное телом вдоль траектории.
Расстояние между точками траектории – модуль вектора перемещения
l
x
z
y
1
2
x1 x2
y2
y1
12 xxx 12 yyy
12 zzz
x
y
0
222 zyxlr
22 yx
Вначале рассмотрим случай, когда траектория лежит в плоскости экрана:
В трёхмерном случае необходимо учесть изменение координаты и по оси z :
Тогда модуль вектора перемещения (расстояние
между двумя соответствующими точками траектории) равен:
Тема 1. КИНЕМАТИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 1.4. Скорость МТ.
Ускорение
x
0
v
Δr
,t
rv
Скорость характеризует быстроту перемещения МТ по траектории, а также направление, в котором она движется в каждый момент времени.
При равномерным движении направление скорости и перемещения совпадают и лежат на траектории МТ:
В этом случае вектор скорости определяется как перемещение в единицу времени:
и вычисляется путём деления пути S на время его преодоления t .
y
x0
r0
r
v
Δr t
rv
~
,0t
t
rv
t
0lim
dt
rd
.r
dt
rdv
Однако в общем случае (криволинейное и неравномерное движение) не только величина, но и направление вектора перемещения будет разным в зависимости от выбираемого промежутка времени.
Следовательно, записанное выше выражение для скорости будет здесь весьма приближённым:
Однако, если время перемещения взять бесконечно малым:
то перемещение фактически уляжется на траекторию, а скорость будет касательной к ней.
Таким образом, скорость в данной точке (или мгновенная скорость) определяется как предел отношения перемещения ко времени, стремящемуся к нулю, т.е. является производной радиус-вектора по времени:
Скорость:
x
z
y
0
vx
vyv
i
j
k
zyx vvvv ,,
kvjvivv zyx
222zyx vvvvv
dt
rdv
kzjyixr
kzjyixdt
dv
k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv zyx ;; zvyvxv zyx ;;
Скорость и её проекции:
С другой стороны:
, где
t
va
t
0lim
dt
vd
.v
2
2
dt
rd
dt
vda
У с к о р е н и е
2
2
dt
rda
.r
Ускорение характеризует скорость изменения скорости и определяется производной скорости по времени:
Скорость же определена выше как производная радиус-вектора по времени: .
dt
rdv
Т.е. ускорение может быть определено как вторая производная радиус-вектора по времени:
Ускорение:
zyx aaaa ,,
kajaiaa zyx
zvayvaxva zzyyxx ;;
222zyx aaaaa
Ускорение и его проекции:
По аналогии с определением проекций скорости, проекции ускорения на оси координат равны производным по времени проекций скорости на соответствующие оси или вторым производным по времени соответствующих координат:
x
z
y
0
ax
aya
i
j
k
Запишем связь в виде векторного уравнения с использованием единичных векторов:
Модуль ускорения:
Тема 1. КИНЕМАТИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 1.5. Движение по окружности.
Угловая скорость.
Угловое ускорение
v
r
ΔrΔφ 1
2 S
.rS
0tприа
,Sr
.dSdrr
Рассмотрим движение материальной точки (МТ) по окружности.
Перемещение из точки 1 в точку 2 можно характеризовать как вектором перемещения Δr, так и углом поворота Δφ радиус-вектора МТ.
Пройденный при этом путь (длина окружности) определяется произведением радиуса на угол его поворота:
При очень малых перемещениях
drdr Таким образом:
v
r
ΔrΔφ
dφ
dr
dr = dφ×r
1
2
r
S
dφ
направление - по правилу правого винта
.drdr Таким образом:
Углу поворота придают направление в виде вектора, указывающего, в какую сторону поворачивается радиус-вектор:
Т.е. вектор малого перемещения МТ по окружности определяется
векторным произведением:
r
dr
dφ
ω
dφ
r+dr dt
d
Угловая скорость ω определяется подобно линейной скорости v (см. §1.4):
Аналогично определяется угловое ускорение:
2
2
dt
d
dt
d
tt
0
limdt
d
r
dr
dφ
ω
dφ
r+dr
Угловое ускорение:
2
2
dt
d
dt
d
ε
ε
Если угловая скорость уменьшается со временем, то угловое ускорение противоположно ей по направлению.
Если угловая скорость растёт со временем, то угловое ускорение совпадает с ней по направлению.
Линейная и угловая скорости
rv
ω
r
vdt
rdv
drdr
r
dt
drv
В векторном виде с учётом правила правого винта:
Тема 1. КИНЕМАТИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 1.6. Нормальное (центростремительное) ускорение
Скорость и ускорение :направление ускорения в общем случае не совпадает с направлением скорости.
g
g
g
v
v
v
Пример – движение тела в поле силы тяжести:
a = F / m (!)
Направление ускорения совпадает с направлением силы, действующей на тело:
R
0
v1
.21 vvv
Рассмотрим движение МТ по окружности с постоянной по модулю скоростью:
Δφ
1
2 v2
v2
v1Δφ
Δv
Δr Но несмотря на это существует ускорение, поскольку вектор скорости изменяется со временем.
.lim0 t
va
t
Вектор скорости при перемещении МТ поворачивается на тот же угол, что и её радиус-вектор.
Тогда из подобия получившихся треугольников можно записать:
,R
r
v
v
откуда приращение скорости: .
R
rvv
R
0
v1
;21 vvv
vRR
vaц 2
2
aц
Δφ
1
2 v2
v2
v1Δφ
Δv
Δr
;lim0 t
va
t
.limlim00 t
r
R
v
t
r
R
va
tt
.R
rvv
Определим модуль ускорения, подставив в его уравнение значение приращения скорости:
= v Т.е. в данном случае
ускорение равно: .2
R
va
При Δt → 0 угол Δφ → 0, и следовательно, вектор Δv, а значит – и вектор ускорения становятся перпендикулярными вектору скорости.
Таким образом, ускорение в данном случае направлено к центру окружности и по этой причине называется центростремительным.
Конец темы