プラズマ基礎数学 図子 秀樹
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2007. プラズマ基礎数学 図子 秀樹. 講義内容. Collision Processes (4-17,18) 1-1) collision dynamics and “quasi-collision potential filed” 1-2) Derivation of Fokker Planck equation Conservation laws in global physical quantities (4-24,25) 2-1) particle density, momentum, energy, charge density - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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プラズマ基礎数学
図子 秀樹
2007
1. Collision Processes (4-17,18) 1-1) collision dynamics and “quasi-collision potential filed” 1-2) Derivation of Fokker Planck equation2. Conservation laws in global physical quantities (4-24,25) 2-1) particle density, momentum, energy, charge density 2-2) derivation of conservation laws3. Maxwell equations (5-1,2) 3-1) derivation of 1st set of Maxwell equations 3-2) derivation of 2nd set of Maxwell equations4. Analysis of fluctuating signals in plasma (5-8,9) 4-1) digital data acquisition of analog signals and FFT methods 4-2) Physical meaning of frequency domain
講義内容
2
Plasma• Definition of “plasma”=>
• Nature of “plasma” =>
• Description of “plasma”
element ?
interaction between elements ?
transfer information among element ?
3
1. Collision Processes
• 1-1) interaction between plasma particles
Rutherford formula
equation of motion
effective cross section
• 1-2) Kinetic description for plasma
Fokker Planck eq.
4
“衝突”関連する key wordを３つ考えよ
• 運動量の保存、エネルギーの保存、向き、方向、弾性衝突、非弾性衝突、反発（係数）、衝突の平均自由行程、衝突断面積、衝突周波数（時間）
5
In burning plasma, we have to considertwo types of collisions
1) Coulomb collision 2) Nuclear fusion Collision
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Characteristics in Coulomb Collisions (Arzimovich’s view)
“Collisional Transport in Magnetized Plasma”Halendar, Sigmar 2002
Which one is a trajectory of the test charged particlein a plasma?
7
Spizter’s viewtrajectory in velocity space
(a) Initial (b) After Nth collisions
(c) After 10Nth collisions
( 1962 Phys. of Fully Ionized Gases )
Do you find rules to describe <Vx> andVz>?
8
Wesson’s view
1) Collisions between test particle and field particles
2) Test particle: ions or electrons
3) Field particles: ions and electrons
V
||V
||V
||V
V
V
9
Neutral Beam Injection Ebeam~0.1-0.3 MeV
WWW MPI
H+
10
Te increase leads to enhanced scattered spectrum
Wcrit Wcrit
)(8.14 keVTeWcrit
Kurimoto, Zushi 1997
e
es n
T 2/3
11
プラズマ中の衝突をどう記述するか
• 衝突過程を運動方程式に組み入れることができるか？
• その場合の相互作用は何か？• 繰り返し衝突する過程をどう記述するか？• たくさんの粒子との衝突をどう表すか？• そのとき相互作用はどう記述するのか？
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Collision dynamics in Coulomb field
Scattering angleImpact parameter
Initial velocity v
Coulomb field
Landau’s text
2
13
Energy & Angular momentum
r
ZerU
rUrrm
E
mrM
0
2
22
2
4)(
),(2
,
14
,2
,/)]([2
/
4)(
),(2
,
2
2
0
2
22
2
b rMrUEm
drrM
r
ZerU
rUrrm
E
mrM
15
Exercise Idue date; 23 April till noon
• 1. Derive Rutherford scattering formula
hints:
• 2. Conversion from two body collision
equations into one particle motion in a central field
hints: conversion from v1,v2 into
relative velocity and velocity of
center of mass
bmvMmvE ,2
1 2
16
Coulomb collision cross section
22
4
2
0 cot
mv
b
Zee
20
2
904
mv
eZb
=90 scattering,
• Scattering cross section ~b902
220
42
9064 E
eZ
17
Collision in shielded Coulomb field
bdbnvdtN etargt 21) Total target ions 2) Limit in b
Debyemaxb
18
Dominant Collision in Momentum change
32
290
0
902
02
90
2
2||
||
1ln4
2
90
2
1
22
22
2cos1
2 cos
1ln
v
v
vnmv
nmv
bb
bdbnmv
dt
dp
bdbnmvt
p
bdbtnvmvmvp
bb
D
D
90blnln D
902cot2
b
b
Integration from bmin to Debye length
19
Dominant Collision in Momentum change
320
42
32
222
0
42
290
8
ln
ln
21
64
4
ln4
v
v
m
neZ
v
vmv
mv
eZn
v
vnmv
dt
pd
90blnln D
902cot2
b
b
220
42
9064 E
eZ
20
• １個の荷電粒子が標的粒子の作る静電場で“運動量”を微少に変化する。
• これを“衝突”と定義する。• 単位時間内の運動量変化量は “有効場における”運動方程式として表現でき その値は微小散乱の集積効果を表す。• 衝突間の運動量変化量は入射粒子の速度の２乗に反比例する。
• 初期運動方向の運動量ベクトルの変化率は、速度の３乗に反比例し、初期運動方向を向く。
21
一般化• 質量mi、電荷 ei、速度 viの入射粒子が質量m
j、電荷Ｚ ej、速度 vjの標的粒子と衝突する。 ２体問題のみを取り扱い、３個同時に衝突することはないと仮定する。
• 中心力場での換算質量を持つ粒子の散乱で表現
•標的粒子は既知の分布関数 f(vj) に従う。•テスト粒子の分布関数の発展を記述したい！
22
Generalization of momentum eq.
3ij
ijij
ij
v
vA
dt
pd
i
ji
ji
jiij
ij
ijjiij
m
m/m
mm
mm
lneZA,vvv
1
4
1
20
42
Taking into account v-4 dependence of 90 ,
Characteristics of “Force”1)2)3)
23
Similarity to electro-static force
3ij
ijij
ij
v
vA
dt
pd
)(
')'(
4
1
'4
)'(
4
'
0
33
0
30
11
r
dVr
x
dxr
rx
r
rqE
Eqdt
pd
')'(
4
1)( 3
0
rdr
rr
' ', ,' 1 xatqxatqxxr
24
Generalization of momentum eq.
3ij
ijij
ij
v
vA
dt
pd
i
ji
ji
jiij
ij
ijjiij
m
m/m
mm
mm
lneZA,vvv
1
4
1
20
42
HAmdt
dpvi
j
i
Taking into account v-4 dependence of 90 ,
Introduce a potential H in velocity space
220
243
4
ln ,
)(1
i
jij
jj
j
i
m
ZeAvd
v
vf
m
mH
i; test particles, j: field particles
25
Wesson’s view
Parallel Motion in Velocity spaceCan be interpreted by a potential H.
V
||V
||V
||V
V
VMotion in the Perpendicular direction ?
26
,
)(1 3
jij
jj
j
i vdv
vf
m
mH
HAdt
vd
HAmdt
dp
vj
i
vij
i
vi
vj
jiij vvv
Test particle; i
Field particles; j
27
Potential H for field particles with Maxwell distribution
2
2
32/3 2exp
2)(
thj
j
thj
jjj
v
v
v
nvf
,
)(1)( 3
j
ji
jj
j
ii vd
vv
vf
m
mvH
Assume the isotropic distribution function fj(vj) in velocity spaceUse the spherical coordinatesVi is set to Z-axis.
28
2
0 0 0
23 sinsin dvvdddrdvdvvd
j
ji
jj vdvv
vf
3)(
22 cos2
)(
jjii
jj
vvvv
vf
1) Volume element d3v in velocity space
jj
ji
jj dvvvv
vfd 2)(
cos2
ji
jj
vv
vf
)(
0
21
122
)(cos2
cos2 jjj
jjii
dvvfvvvvv
d
jijiji
jjj
jijjj
vvvvvv
dvvfv
jjiivvdvvfv vvvv
1)(2
221)(2
0
2
1
10
2 cos2
2)
3)
j
ji
jj vdvv
vf
3)(
4)
29
i
i
v
jjj
v
jjjij
i
j
ji
jj
j
ii
dvvfvdvvfvvm
m
vdvv
vf
m
mvH
)()(1
41
)(1)(
0
2
3
function ;exp2
2/1
0
2 errordyy
v
vvn
m
mH
x
i
thjij
j
i
30
Exercise IIdue date; 23 April till noon
,v
v
v
nm
m)v(H
,vdv
)v(f
m
mH
i
thj
i
jj
ii
jij
jj
j
i
21
1 3
function ;)exp(2
0
2 Errordyyxx
2
2220
2j
2i
4j
2
)(')()(
2
)2/(1
2
lnZZen
x
xxxx
v
vv
m
m
mHA
dt
vd
thj
thji
j
i
i
vj
i
1)
2)
31
Potential H for field particles with Maxwell distribution
,E
,
)(1 3
jij
jj
j
i vdv
vf
m
mH
')'(
4
1)( 3
0
rdr
rr
r
VS
drrrr
rrE
dVrQ
SdE
0
23
0
00
''4)'(4
1)(
,')'(1
32
,2
1)(
,)(
1 3
i
thj
i
j
ii
jij
jj
j
i
v
vv
m
mvH
vdv
vf
m
mH
HAdt
vdv
j
i
jiij vvv
vi
vj
Test particle; i
Field particles; j
function ;)exp(2
0
2 Errordyyxx
33
まとめ• テスト粒子の小角散乱衝突過程による速度空間での摩擦力（初期速度の方向の減速）は 分布電荷の作る場におけるテスト電荷のクーロン力による運動と同様に考えることができる。
• 初期速度と垂直方向の衝突過程は同様に考えられるか？ どのような potentialで？