wykład 10 - rknet.pl
TRANSCRIPT
1
Cyfrowe przetwarzanie sygnałówCyfrowe przetwarzanie sygnałówCyfrowe przetwarzanie sygnałówCyfrowe przetwarzanie sygnałów
Wykład 10
Transformata cosinusowa. Falki.Transformata falkowa.
dr inż. Robert Kazała
2
Transformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowa
● Dyskretna transformacja kosinusowa, (DCT – ang. discrete cosine transform, czyli dyskretna transformacja cosinusowa) – jedna z najpopularniejszych blokowych transformacji danych. Jest szczególnie popularna w stratnej kompresji danych.
● Zaletą stosowania transformaty DCT w kompresji jest to, że większość współczynników jest zwykle bliska 0 – po kwantyzacji wyzerują się, co redukuje liczbę bitów potrzebną do reprezentacji sygnału bez wnoszenia dużego błędu.
● Przetwarzanie sygnałów wielowymiarowych wymaga zastosowania przekształcenia o odpowiedniej liczbie wymiarów. Ponieważ przekształcenie wielowymiarowe DCT jest separowalne, odpowiednie transformaty można uzyskać przez kolejne wykonanie jednowymiarowych przekształceń we wszystkich wymiarach.
3
Transformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowa
4
Transformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowa
5
Transformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowa
6
Transformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowa
● DCT-I
●
● DCT-II
●
● DCT-III
●
● DCT-IV
7
Transformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowa
● dwuwymiarowa DCT II
8
Transformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowa
● Transformata odwrotna IDCT
● Przy zachowaniu odpowiedniich współczynników normalizacji, transformatą odwrotną do
– DCT-I jest DCT-I pomnożona przez 2/(N-1).
– DCT-IV jest DCT-IV pomnożona przez 2/N.
– DCT-II jest DCT-III pomnożona przez 2/N i odwrotnie.
● Podobnie jak dla DFT, współczynnik normalizacji z przodu transformacji zależy od przyjętej konwencji i różni się pomiędzy różnymi definicjami.
9
Transformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowa
● Przykład DCT
10
Transformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowa
Funkcja wyliczająca Discrete Cosine Transform.
scipy.fftpack.dct(x, type=2, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=0)
Parametry :
x : array_like Tablica wejściowa.
type : {1, 2, 3}, opcjonalny Typ DCT. Domyślnie 2.
n : int, opcjonalny Długość transformaty.
axis : int, opcjonalny Oś według której wyliczana jest transformata.
norm : {None, ‘ortho’}, opcjonalny Tryb normalizacji. Domyslnie None.
overwrite_x : bool, opcjonalny Jeżeli True zawartość x może być zniszczona (domyślnie=False)
Zwracana wartość :
y : ndarray of real tablica wynikowa.
11
Transformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowaTransformata cosinusowa
Funkcja wyliczająca Inverse Discrete Cosine Transform.
scipy.fftpack.idct(x, type=2, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=0)
Parametry :
x : array_like Tablica wejściowa.
type : {1, 2, 3}, opcjonalny Typ DCT. Domyślnie 2.
n : int, opcjonalny Długość transformaty.
axis : int, opcjonalny Oś według której wyliczana jest transformata.
norm : {None, ‘ortho’}, opcjonalny Tryb normalizacji. Domyślnie None.
overwrite_x : bool, opcjonalny Jeżeli True zawartość x może być zniszczona (domyślnie=False)
Zwracana wartość :
y : ndarray of real tablica wynikowa.
12
Wady analizy FourieraWady analizy FourieraWady analizy FourieraWady analizy Fouriera
● Przy przekształcaniu do dziedziny częstotliwości, tracona jest informacja o czasie.
● Kiedy patrzymy na transformatę Fouriera, nie możemy powiedzieć kiedy dane zdarzenie miało miejsce.
● Stosowanie transformaty Fouriera przy analizie procesów niestacjonarnych daje niedokładne wyniki.
● Jeśli właściwości sygnału nie zmieniają się w czasie, wtedy sygnał jest zwany stacjonarnym, to wada ta nie jest zbyt istotna.
● Jednakże większość interesujących sygnałów zawiera liczne niestacjonarne charakterystyki przejściowe: powolne zmiany, nagłe zmiany, początki i końce zdarzeń.
13
Sygnał stacjonarnySygnał stacjonarnySygnał stacjonarnySygnał stacjonarny
● x(t)=cos(2π·10t)+cos(2π·25t)+ cos(2π· 50t) +cos(2π·100t)
14
Sygnał niestacjonarnySygnał niestacjonarnySygnał niestacjonarnySygnał niestacjonarny
15
Reprezentacja widmowaReprezentacja widmowaReprezentacja widmowaReprezentacja widmowa
16
Sygnał niestacjonarnySygnał niestacjonarnySygnał niestacjonarnySygnał niestacjonarny
17
Analiza STFT - (Short-Time Fourier Transform)Analiza STFT - (Short-Time Fourier Transform)Analiza STFT - (Short-Time Fourier Transform)Analiza STFT - (Short-Time Fourier Transform)
● Próbując poprawić wady transformaty Fouriera, Dennis Gabor(1946) przystosował transformatę Fouriera do analizy tylko małej części sygnału w czasie–technika zwana okienkowaniem (windowing) sygnału.
● To przystosowanie Gabora, zwane analizą STFT(Short-Time Fourier Transform) przedstawia sygnał w postaci dwuwymiarowej funkcji czasu i częstotliwości.
18
Analiza STFT - (Short-Time Fourier Transform)Analiza STFT - (Short-Time Fourier Transform)Analiza STFT - (Short-Time Fourier Transform)Analiza STFT - (Short-Time Fourier Transform)
● STFT stanowi sposób kompromisu pomiędzy czasowym a częstotliwościowym przedstawieniem sygnału.
● Dostarcza pewnych informacji o tym kiedy i jakie częstotliwości wystąpiły w zdarzeniu dotyczącym badanego sygnału.
● Jednakże możemy uzyskać te informacje tylko z ograniczoną dokładnością i dokładność ta jest zdeterminowana przez rozmiar okna.
19
Analiza STFT - przykładAnaliza STFT - przykładAnaliza STFT - przykładAnaliza STFT - przykład
20
STFT - PodsumowanieSTFT - PodsumowanieSTFT - PodsumowanieSTFT - Podsumowanie
● Chociaż informacje uzyskane z STFT mogą być użyteczne, wadą jest to, że jednocześnie możemy wybrać szczególny rozmiar okna czasowego, które jest takie same dla wszystkich częstotliwości.
● Wiele sygnałów wymaga podejścia bardziej elastycznego, gdzie możemy zmieniać rozmiar okna dla określenia bardziej dokładnie albo czasu albo częstotliwości.
21
Banki filtrów (Filter banks)Banki filtrów (Filter banks)Banki filtrów (Filter banks)Banki filtrów (Filter banks)
22
Banki filtrów (Filter banks)Banki filtrów (Filter banks)Banki filtrów (Filter banks)Banki filtrów (Filter banks)
23
Banki filtrów (Filter banks)Banki filtrów (Filter banks)Banki filtrów (Filter banks)Banki filtrów (Filter banks)
24
Analiza falkowaAnaliza falkowaAnaliza falkowaAnaliza falkowa
● Analiza falkowa reprezentuje następny krok logiczny: technikę okienkowania z obszarami o zmiennych rozmiarach.
● Analiza falkowa pozwala na stosowanie długich interwałów czasowych, kiedy potrzebujemy bardziej dokładnych informacji niskoczęstotliwościowych i krótszych obszarów, kiedy potrzebujemy informacji wysokoczęstotliwościowych.
25
Analiza falkowaAnaliza falkowaAnaliza falkowaAnaliza falkowa
● Należy zapamiętać, że analiza falkowa nie zawiera obszaru czasowo-częstotliwościowego, lecz obszar: czas-skala.
26
Analiza falkowaAnaliza falkowaAnaliza falkowaAnaliza falkowa
● Analiza falkowa jest zdolna do odkrywania aspektów danych, które są pomijane przez inne techniki analizy sygnałów, takich jak punkty awarii, nieciągłości wyższych pochodnych, własne podobieństwo.
● Ponadto, ponieważ pozwala to na inne spojrzenie na dane niż zaproponowane przez tradycyjne techniki, analiza falkowa pozwala także na kompresję i odszumianie sygnału bez jego znacznej degradacji.
● Pomimo swej krótkiej historii w dziedzinie przetwarzania sygnałów falki udowodniły, że są niezbędnym dodatkiem do kolekcji standardowych narzędzi do analizy sygnałów i wciąż kontynuują zdobywanie popularności.
27
FalkaFalkaFalkaFalka
● Falka jest kształtem fali o ograniczonym okresie, którego średnia wartość jest równa zero.
●
●
● Porównajmy falki do fali sinusoidalnych, które są podstawą analizy Fouriera.
28
FalkaFalkaFalkaFalka
● Sinusoidynie mają ograniczonego okresu –rozciągają się od minus nieskończoności do plus nieskończoności.
● Sinusoidy są płynne i przewidywalne, a falki zwykle są nieregularne i asymetryczne.
29
FalkaFalkaFalkaFalka
● Analiza Fouriera składa się z dzielenia sygnału na fale sinusoidalne o różnych częstotliwościach.
● Podobnie analiza falkowa jest dzieleniem sygnału na przesunięte i przeskalowane wersje oryginalnej (macierzystej) falki.
● Porównując wykres falek i fali sinusoidalnych, można intuicyjnie zauważyć, że sygnały z ostrymi zmianami mogą być lepiej zanalizowane przy pomocy nieregularnej falki niż przy użyciu płynnej sinusoidy.
30
Rodzaje falekRodzaje falekRodzaje falekRodzaje falek
Falka Haara(=db1)
Kapelusz Meksykański
31
Rodzaje falekRodzaje falekRodzaje falekRodzaje falek
Falki Daubechies
32
Rodzaje falekRodzaje falekRodzaje falekRodzaje falek
33
CWT - continuous wavelet transformCWT - continuous wavelet transformCWT - continuous wavelet transformCWT - continuous wavelet transform
● Podobnie jak w transformacie Fouriera ciągła transformata falkowa (continuous wavelet transform -CWT) jest zdefiniowana jako suma po całym czasie sygnału zwielokrotnionego o przeskalowaną, przesuniętą wersję funkcji falkowej ψ:
●
●
● Wynikiem CWT jest wiele współczynników falkowych C, które są funkcją skali i położenia.
34
CWT - continuous wavelet transformCWT - continuous wavelet transformCWT - continuous wavelet transformCWT - continuous wavelet transform
● Zwielokrotnienie każdego ze współczynników o odpowiednio przeskalowaną i przesuniętą falkę daje składowe falki oryginalnego sygnału:
Składowe falki o różnych skalach i położeniach
35
CWT - continuous wavelet transformCWT - continuous wavelet transformCWT - continuous wavelet transformCWT - continuous wavelet transform
36
CWT - SkalowanieCWT - SkalowanieCWT - SkalowanieCWT - Skalowanie
● Co właściwie rozumiemy mówiąc skala w tym kontekście?
● Skalowanie falki oznacza po prostu jej rozciąganie (lub ściskanie).
● Idąc dalej wprowadzimy pojęcie współczynnika skali(scale factor), często zaznaczanego literą a.
37
CWT - SkalowanieCWT - SkalowanieCWT - SkalowanieCWT - Skalowanie
● W przypadku np. sinusoid efekt współczynnika skali jest bardzo łatwo zobaczyć:
38
CWT - SkalowanieCWT - SkalowanieCWT - SkalowanieCWT - Skalowanie
● Współczynnik skali działa identycznie dla falek. Im mniejszy współczynnik skali tym bardziej „ściśnięta” falka:
39
CWT - SkalowanieCWT - SkalowanieCWT - SkalowanieCWT - Skalowanie
● Dla sinusoid współczynnik skali zależy (odwrotnie) od częstotliwości w radianach ω.
● Podobnie jest z analizą falkową, gdzie skala zależy od częstotliwości sygnału.
40
CWT - PrzesunięcieCWT - PrzesunięcieCWT - PrzesunięcieCWT - Przesunięcie
● Przesunięcie falki oznacza po prostu opóźnienie (lub przyspieszenie) jej początku. Matematycznie opóźnienie funkcji f(t) o k jest reprezentowane przez f(t-k).
Funkcja falkowa ψ(t) Przesunięta funkcja falkowa ψ(t-k)
41
CWT - WyznaczaniaCWT - WyznaczaniaCWT - WyznaczaniaCWT - Wyznaczania
● Ciągła transformata falkowa jest sumą po całym czasie sygnału zwielokrotnionego o przeskalowaną, przesuniętą wersję falki.
● Proces ten daje w wyniku współczynniki falkowe, które są funkcją skali i położenia.
● W rzeczywistości jest to prosty algorytm, składający się z pięciu podstawowych kroków.
42
CWT – Krok 1CWT – Krok 1CWT – Krok 1CWT – Krok 1
● Weźmy falkę i porównajmy ją do początkowej części oryginalnego sygnału.
Sygnał→
Falka →
43
CWT – Krok 2CWT – Krok 2CWT – Krok 2CWT – Krok 2
● Obliczmy liczbę C, która określa jak bardzo falka jest skorelowana z wybranym fragmentem sygnału.
● Im wyższy współczynnik C, tym większe podobieństwo.
● Wynik będzie zależny od kształtu falki jaką wybraliśmy.
Sygnał→
Falka →
44
CWT – Krok 3CWT – Krok 3CWT – Krok 3CWT – Krok 3
● Przesuńmy falkę w prawo i powtórzmy kroki 1 i 2dopóki nie przejdziemy całego sygnału.
Sygnał→
Falka →
45
CWT – Krok 4CWT – Krok 4CWT – Krok 4CWT – Krok 4
● Przeskalowujemy (rozciągnijmy) falkę i powtórzamy kroki od 1 do 3.
Sygnał→
Falka →
46
CWT – Krok 5CWT – Krok 5CWT – Krok 5CWT – Krok 5
● Powtórzmy kroki 1 do 4 dla wszystkich skal.
47
CWT – Przykład 1CWT – Przykład 1CWT – Przykład 1CWT – Przykład 1
48
CWT – Przykład 2CWT – Przykład 2CWT – Przykład 2CWT – Przykład 2
49
DWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowa
● Obliczanie współczynników falkowych dla każdej możliwej skali wymaga dostatecznie dużo pracy i wytwarza strasznie dużo danych.
● Co się stanie jeśli wybierzemy tylko podzbiór skal i położeń dla których wykonamy nasze obliczenia?
● To rozwiązanie będzie godne uwagi kiedy wybierzemy skale i położenia oparte na potędze dwójki –tak zwane podwojone (dyadic) skale i położenia–wtedy nasza analiza będzie bardziej efektywna i dostatecznie dokładna.
● W ten sposób uzyskano dyskretnętransformatę falkową (discrete wavelet transform – DWT).
50
DWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowa
● Skuteczny sposób implementacji tego schematu z użyciem filtrów został wynaleziony w 1988 roku przez Stephane Mallata.
● Algorytm Mallata faktycznie jest klasycznym schematem znanym w środowisku zajmującym się przetwarzaniem sygnałów jako dwukanałowy koder podpasmowy(two-channel subbandcoder).
● Ten bardzo praktyczny algorytm filtrujący daje szybką transformatę falkową (fast wavelet transform)–narzędzie przez któreprze chodzą sygnały i które wylicza współczynniki falkowe.
51
DWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowa
● Dla wielu sygnałów część nisko-częstotliwościowa jest najważniejszą częścią. To ona stanowi o tożsamości sygnału.
● Z drugiej strony część wysoko-częstotliwościowa, przekazuje szczegółowe cechy sygnału.
52
DWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowa
● Rozważmy dla przykładu głos ludzki.
● Jeśli usuniemy z niego elementy wysokoczęstotliwościowe, głos brzmi inaczej, ale nadal możemy stwierdzić co zostało powiedziane.
● Jednakże, jeśli usuniemy wystarczająco dużo elementów o niskich częstotliwościach usłyszymy bełkot.
53
DWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowa
● W analizie falkowej, zwykle mówimy o aproksymacjach (approximations) i współczynnikach szczegółowości (details).
● Aproksymacje są elementami sygnału o wysokiej skali i niskiej częstotliwości.
● Detale są elementami o niskiej scali i wysokiej częstotliwości.
54
DWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowa
● Proces filtrowania w najprostszym przypadku wygląda następująco:
● Oryginalny sygnał S, przechodzi przez dwa odpowiadające sobie filtry i wychodzi z nich jako sygnał podzielony na dwa sygnały.
55
DWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowa
● Niestety, jeśli wykonujemy tę operację na sygnale cyfrowym otrzymamy dwa razy tyle danych niż z iloma zaczynaliśmy.
● Przypuśćmy, dla przykładu, że oryginalny sygnał S zawiera 1000 próbek. Wtedy każdy z sygnałów wynikowych będzie zawierał po 1000 próbek, co łącznie daje 2000.
56
DWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowa
● Istnieje bardziej subtelny sposób dokonania dekompozycji z wykorzystaniem falek→możemy zatrzymać tylko jeden z dwóch punktów w każdej z 2000 próbek, aby otrzymać kompletną informację.
● Nazywane jest to downsamplingiem Otrzymamy dwa ciągi oznaczone jako cA i cD.
57
DWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowa
● W wyniku procesu po prawej stronie, zawierającego downsampling, otrzymujemy współczynniki DWT.
58
DWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowa
● Dla przykładowego sygnału sinusoidalnego, analiza falkowa będzie wyglądać następująco:
59
DWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowaDWT – Dyskretna transformata falkowa
● Można zauważyć, że współczynniki szczegółowości cD są małe i zawierają głównie wysoko-częstotliwościowy szum, podczas gdy współczynniki aproksymacji cA zawierają znacznie mniej szumu niż oryginalny sygnał.
60
DWT – Dekompozycja wielopoziomowaDWT – Dekompozycja wielopoziomowaDWT – Dekompozycja wielopoziomowaDWT – Dekompozycja wielopoziomowa
● Proces dekompozycji może być powtarzany, o kolejne rozkłady współczynników aproksymacji, tak więc jeden sygnał może być rozbity na wiele mniejszych elementów.
● Proces ten można przedstawić za pomocą drzewa dekompozycji falkowej (wavelet decomposition tree).
61
DWT – Dekompozycja wielopoziomowaDWT – Dekompozycja wielopoziomowaDWT – Dekompozycja wielopoziomowaDWT – Dekompozycja wielopoziomowa
62
DWT – Dekompozycja wielopoziomowaDWT – Dekompozycja wielopoziomowaDWT – Dekompozycja wielopoziomowaDWT – Dekompozycja wielopoziomowa
● Skoro proces analizy jest iteracyjny, teoretycznie może być kontynuowany nieskończenie długo.
● W rzeczywistości dekompozycja może być kontynuowana tylko do osiągnięcia pojedynczej próbki lub jednego piksela.
● W praktyce, wybiera się odpowiednią liczbę poziomów opartą na naturze sygnału, lub odpowiednich kryteriach takich jak entropia.
63
DWT – Dekompozycja wielopoziomowaDWT – Dekompozycja wielopoziomowaDWT – Dekompozycja wielopoziomowaDWT – Dekompozycja wielopoziomowa
64
DWT – Rekonstrukcja falkowaDWT – Rekonstrukcja falkowaDWT – Rekonstrukcja falkowaDWT – Rekonstrukcja falkowa
● Proces odzyskiwania oryginalego sygnału bez straty informacji nazywany jest syntezą lub rekonstrukcją.
● Przekształcenie matematyczne które w wyniku daje syntezę jest zwana odwrotną transformatą falkową (inverse discrete wavelet transform IDWT).
● Podczas gdy analiza falkowa obejmowała filtrowanie i downsampling, proces rekonstrukcji falkowej zawiera filtrowanie i upsampling.
65
DWT – Rekonstrukcja falkowaDWT – Rekonstrukcja falkowaDWT – Rekonstrukcja falkowaDWT – Rekonstrukcja falkowa
● Upsampling jest procesem zwiększania ilości elementów sygnału poprzez wstawianie zer pomiędzy próbki:
Elementy sygnału Elementy sygnału po procesie upsamplingu
66
DWT – Rekonstrukcja falkowaDWT – Rekonstrukcja falkowaDWT – Rekonstrukcja falkowaDWT – Rekonstrukcja falkowa
67
DWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnału
● Część procesu rekonstrukcji oparta na filtrowaniu rodzi pewną dyskusję, ponieważ dla osiągnięcia dobrej rekonstrukcji oryginalnego sygnału decydujący jest wybór odpowiedniego filtru.
● Downsampling elementów sygnału dokonany podczas fazy dekompozycji wprowadza zniekształcenia zwane aliasingiem.
● Ostrożny dobór filtrów dla faz dekompozycjii rekonstrukcji, które są blisko związane ze sobą (ale nie identyczne), pozwala na wyeliminowanie efektu aliasingu.
68
DWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnału
● Nisko -i wysokoczęstotliwościowe filtry dekompozycyjne (L i H), razem ze związanymi z nimi filtrami do rekonstrukcji (L' i H'), tworzą system zwany kwadraturowymi filtrami lustrzanymi(quadrature mirror filters).
Dekompozycja Rekonstrukcja
69
DWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnału
● Możliwa jest rekonstrukcja naszego oryginalnego sygnału ze współczynników aproksymacji i szczegółowości.
~1000współczynników
70
DWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnału
● Możliwa jest także rekonstrukcja aproksymacji i współczynników szczegółowości z wektorów współczynników.
● Na przykład, zastanówmy się jak moglibyśmy odzyskać aproksymacje pierwszego poziomu A1 z wektora współczynników cA1.
● Przepuszczamy wektor współczynników cA1przez ten sam proces jaki stosowaliśmy do rekonstrukcji oryginalnego sygnału.
71
DWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnału
● Jednak w miejsce współczynników szczegółowości cD1, wstawimy wektor złożony z samych zer:
~1000współczynników
72
DWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnału
● W wyniku procesu odzyskaliśmy aproksymacjęA1, która ma tę samą długość co oryginalny sygnał Si która jest jego prawdziwą aproksymacją.
~1000współczynników
73
DWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnału
● Podobnie możemy odzyskać współczynnik szczegółowości pierwszego poziomu D1, stosując analogiczny proces:
~1000współczynników
74
DWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnału
● Odzyskane współczynniki szczegółowości i aproksymacje są prawdziwymi składowymi oryginalnego sygnału.
● W rzeczywistości sygnał odzyskamy łącząc te współczynniki w następujący sposób:
● A1 + D1 = S
● Należy zauważyć, że wektory współczynników cA1 i cD1– ponieważ zostały utworzone przez downsampling i mają tylko połowę długości oryginalnego sygnału –nie mogą być bezpośrednio połączone w celu odzyskania sygnału.
● Zanim je połączymy musimy odzyskać współczynnik aproksymacji i szczegółowości
75
DWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnałuDWT – Filtry do rekonstrukcji sygnału
● Rozszerzając tą technikę na elementy analizy wielopoziomowej, znajdziemy podobne zależności zachowane dla składowych zrekonstruowanego sygnału.
76
DWT – Analiza wieloetapowaDWT – Analiza wieloetapowaDWT – Analiza wieloetapowaDWT – Analiza wieloetapowa
● Proces wieloetapowej analizy –syntezy może być przedstawiony w następujący sposób:
77
DWT – Analiza wieloetapowaDWT – Analiza wieloetapowaDWT – Analiza wieloetapowaDWT – Analiza wieloetapowa
● Proces ten obejmuje dwa aspekty: dzielenie sygnału w celu otrzymania współczynników falkowych i odtworzenie sygnału z tych współczynników.
● Oczywiście nie ma sensu dzielenia sygnału tylko w celu jego bezpośredniej rekonstrukcji. Możemy zmodyfikować współczynniki falkowe zanim przejdziemy do kroku rekonstrukcji.
● Wykonujemy analizę falkową ponieważ otrzymane w ten sposób współczynniki mają wiele zastosowań, wśród których głównymi są odszumianie i kompresja.
78
DWT – Analiza wieloetapowaDWT – Analiza wieloetapowaDWT – Analiza wieloetapowaDWT – Analiza wieloetapowa
79
DWT – Analiza wieloetapowaDWT – Analiza wieloetapowaDWT – Analiza wieloetapowaDWT – Analiza wieloetapowa
80
DWT – ZastosowaniaDWT – ZastosowaniaDWT – ZastosowaniaDWT – Zastosowania
81
DWT – ZastosowaniaDWT – ZastosowaniaDWT – ZastosowaniaDWT – Zastosowania