univerzitet u ni u

UNIVERZITET U NI�U

PRIRODNO�MATEMATI�KI FAKULTET

INFORMATOR

Departamana za matematiku

Ni², 2017.

Drage budu¢e koleginice i kolege,

dobrodo²li u Ni²,

najve¢i grad u Jugoisto£noj Srbiji!

Pred vama se nalazi tekst koji ima za cilj da vas upozna sa na²imgradom, Fakultetom, Departmanom, studijskim programima i stude-ntskim ºivotom koji vas o£ekuje ukoliko se odlu£ite da od oktobrabudete studenti na Departmanu za matematiku Prirodno-matemati-£kog fakulteta u Ni²u.

Sadrºaj

1 Predgovor 7

2 Za²to studirati matematiku? 112.1 Za²to Departman za matematiku na PMF-u u Ni²u? . 122.2 Aktivnosti studenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Kako do indeksa? 173.1 Pripremna nastava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Prijavljivanje kandidata . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Formiranje rang liste . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Polaganje prijemnog ispita . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.1 Ulaganje prigovora na kona£nu rang listu . . . . 213.4 Upis primljenih kandidata . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Pravila studiranja 234.1 Vrste i nivoi studija na Fakultetu . . . . . . . . . . . . 234.2 Status studenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Prava, obaveze i mirovanje studenata . . . . . . . . . . 25

5 Studijski programi na Departmanu za matematiku 295.1 Osnovne akademske studije . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Master akademske studije . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5

6

5.2.1 Op²ta matematika . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2.2 Matemati£ki modeli u �zici . . . . . . . . . . . 375.2.3 Verovatno¢a, statistika i �nansijska matematika 39

6 Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 43

7 �esto postavljana pitanja 73

1

Predgovor

Ni² je najve¢i grad jugoisto£ne Srbije, tre¢i po veli£ini u Srbiji, isedi²te Ni²avskog okruga. Nalazi se na raskrsnici najvaºnijih balkan-skih i evropskih saobra¢ajnih pravaca. U Ni²u se magistralni pravac,koji vodi sa severa, dolinom Morave iz pravca Beograda, ra£va napravac ka jugu, dolinom Vardara prema Solunu i Atini, i pravac kaistoku, dolinom Ni²ave i Marice prema So�ji, Istanbulu i dalje kaBliskom Istoku. Ovi putni pravci bili su poznati jo² od najstarijihvremena kao pravci kretanja naroda, robe i vojski ("Via Militaris"u periodu Rima i Vizantije, "Carigradski drum" u srednjevekovnomperiodu u doba Turaka).

Pored drumskih saobra¢ajnica, Ni² sa Evropom i svetom povezuje ivazdu²ni saobra¢aj. Aerodrom "Konstantin Veliki" je drugi aerodromu Srbiji po broju primljenih putnika godi²nje (posle aerodroma NikolaTesla). Ime je dobio po Konstantinu Velikom, rimskom imperatorukoji je ro�en u Ni²u 274. godine i kroz istoriju je poznat ne samokao vladar i mudar vojskovo�a, ve¢ i kao veliki vizionar i pobornikhri²¢anstva. Njegove vizije rezultirale su "Milanskim ediktom", kojije done²en 313. godine, i kojim je prestao progon hri²¢ana u Rimskomcarstvu.

7

8 Informator

Tu, na raskrsnici Evrope sa Malom Azijom i Crnomorskog pod-ru£ja sa Mediteranom, nalazi se grad koji je u dana²nje vreme vaºanprivredni, univerzitetski, kulturni, verski i politi£ki centar Srbije, gradkoji je bogat kulturno-istorijskim spomenicima (Medijana, Ni²ka tvr-�ava, �ele-kula, �egar, memorijalni park "Bubanj", logor "Crvenikrst", itd.), turisti£kim atrakcijama (Ni²ka Banja, Kameni£ki vis, Bo-janine vode, Cerjanska pe¢ina, itd.), ali i mestima za odmor i uºivanjeu samom gradu (Kazandºijsko soka£e, Park �air, Park Svetog Save,Obrenovi¢eva ulica).

Ni² je grad u kome se tokom cele godine odrºavaju kulturne ma-nifestacije, kao ²to su: festival gluma£kih ostvarenja "Filmski sus-reti", festival ozbiljne muzike "Nimus" (Ni²ke muzi£ke sve£anosti),dºez festival "Ni²vil", muzi£ki festival "Nisomnija", sajam knjiga uNi²u, me�unarodni festival amaterskih horova "Horske sve£anosti",festival de£ije muzike "Majska pesma" i druge. Pored festivala, tu je iNarodno pozori²te, tri bioskopa, brojne izloºbe, kao i koncerti raznihmuzi£kih pravaca.

Pored kulturnih, Ni² moºe da se pohvali i sportskim manifestaci-jama koje se organizuju, pre svega, u sportskom centru �air. Sport-ski centar �air raspolaºe Stadionom �air, Halom �air i zatvorenim

Predgovor 9

bazenom. Hala �air je dvorana u kojoj £esto svoje me£eve kao doma¢i-ni igraju ºenska i mu²ka odbojka²ka, rukometna i teniska reprezentacijaSrbije. Pored toga, me£evi kupa Radivoja Kora¢a u ko²arci se naj£e²¢eigraju upravo ovde. Na otvorenom bazenu �air je jula 2010. god.odrºan zavr²ni turnir Svetske lige u vaterpolu. U gradu postoji velikibroj sportskih i rekreativnih klubova, planinarsko dru²tvo, konji£kiklubovi, �tnes centri, teretane, plesne ²kole.

Ni² je tako�e i jedan od pet univerzitetskih centara na teritorijiRepublike Srbije. Univerzitet u Ni²u osnovan je 15. juna 1965. godine.Njegovim osnivanjem zaokruºuje se jedan zna£ajan period u novijojistoriji grada koji po£inje 1960. godine formiranjem prvih ni²kih fakul-teta pod okriljem Univerziteta u Beogradu. Uz porast broja studenata,razvoj novih nau£nih disciplina, ali i sve izraºenije potrebe privrednih idru²tvenih delatnosti za ²kolovanim kadrom, vremenom se Univerzitetu Ni²u razvijao i danas u svom sastavu broji trinaest fakulteta i oko30 000 studenata.

U okviru Univerziteta u Ni²u postoje tri studentska doma. Sobe sujednokrevetne, dvokrevetne ili trokrevetne. Svaka soba ima svoje ku-patilo, priklju£ak za telefon i besplatan internet. U svim studentskimdomovima nalaze se TV sale, £itaonice i kantine. Pravo na sme²taj

10 Informator

u studentskim domovima imaju svi studenti koji ispunjavaju uslovepredvi�ene konkursom. Konkurs za sme²taj studenata za bruco²e jepo£etkom septembra meseca, a za ostale studente sredinom septembraili po£etkom oktobra. Boravak u studentskim domovima obezbe�en jeu toku akademske godine, a izuzetno je mogu¢ i preko letnjeg raspusta.

Studentski restorani pruºaju kompletnu ishranu svim zaintereso-vanim studentima, pri £emu pravo na bene�ciranu ishranu imaju svistudenti koji se �nansiraju iz budºeta.

U okviru Univerziteta u Ni²u postoji Zavod za zdravstvenu za-²titu studenata u kome rade lekari raznih specijalnosti. U njima seobavlja i redovni sistematski pregled studenata po rasporedu koji jeuvek blagovremeno istaknut na oglasnoj tabli Prirodno-matemati£kogfakulteta.

Jedan od fakulteta na Univerzitetu u Ni²u je Prirodno-matemati£ki

fakultet. Osnovan je septembra 1999. godine izdvajanjem pojedinihdepartmana sa Filozofskog fakulteta. Ina£e, rad na departmanima zamatematiku, �ziku i hemiju se odvijao jo² od samog osnivanja Filo-zofskog fakulteta, ta£nije od 1971. godine, ²to zna£i da u narednoj²kolskoj godini deo sada²njeg Prirodno-matemati£kog fakulteta ulaziu £etrdeset ²estu godinu uspe²nog nastavno-nau£nog rada i postojanja.

Danas je ²est departmana u sastavu Prirodno-matemati£kog fakul-teta:

• Departman za matematiku,

• Departman za ra£unarske nauke,

• Departman za �ziku,

• Departman za hemiju,

• Departman za geogra�ju i

• Departman za biologiju i ekologiju.

2

Za²to studirati matematiku?

Matematika je jedna od najstarijih nauka £ije je podru£je izu£a-vanja vrlo te²ko precizno de�nisati, ali se obi£no uzima da izu£avakoli£ine, strukturu, prostor i promene. Sam njen naziv poti£e od staro-gr£ke re£i "mathema", koja zna£i u£enje, nauka, ²to samo oslikavaveliki ugled koji je matematika uºivala u anti£kim civilizacijama. Ma-tematika se razvijala kako sa potrebom da se re²e odre�eni problemiiz realnog sveta tj. prakse, tako i kao teorija koja svakog £asa moºena¢i neku svoju neo£ekivanu, ali vaºnu primenu.

Velika snaga matematike leºi u njenoj mogu¢nosti da sloºene prob-leme iz realnog sveta procesom apstrakcije svede na matemati£ki mo-del, a onda se primenom matemati£kih formula (ponekad i primenomra£unara za odre�ena sloºena izra£unavanja) dolazi do ta£nog ili do-voljno preciznog pribliºnog re²enja.

Matematika pruºa mo¢an alat za re²avanje problema iz oblastiizu£avanja svih prirodnih i tehni£kih, ali i velikog broja dru²tvenihnauka. Zahvaljuju¢i tome, dana²nji matemati£ari imaju ²iroke mo-gu¢nosti za primenu svog znanja u razumevanju fenomena spoljnogsveta, kako �zi£kih, tako i industrijskih, ekonomskih, biolo²kih, lingvi-sti£kih, muzi£kih, i mnogih drugih.

11

12 Informator

Iz pomenutih razloga, matemati£ari spadaju u retke stru£njake kojinemaju problema sa zapo²ljavanjem. Matemati£ari se danas zapo²lja-vaju na razli£itim poslovima u osnovnim, srednjim i visokim ²kolama,na fakultetima, nau£nim institutima, bankama, osiguravaju¢im dru-²tvima, institucijama za procenu i upravljanje rizikom, statisti£kimzavodima, velikim kompanijama u procesima odlu£ivanja i kontrolekvaliteta, berzama, kao i u razvojnim i istraºiva£kim centrima, u zemljii inostranstvu.

2.1 Za²to Departman za matematiku

na PMF-u u Ni²u?

Prirodno-matemati£ki fakultet u Ni²u je akreditovana i renomiranadrºavna obrazovno-nau£na ustanova. Departman za matematiku jejedan od najstarijih departmana ovog fakulteta i postoji skoro polaveka.

Nastavni proces na Departmanu za matematiku odvija se premabolonjskim principima. Studenti se motivi²u da, kroz doma¢e zadatke,kolokvijume i seminarske radove, aktivno u£estvuju u nastavi. Na tajna£in mogu savladati zna£ajan deo gradiva £ime sti£u pravo da nazavr²nom ispitu budu oslobo�eni tog dela. Kroz zavr²ne radove, uznesebi£nu pomo¢ nastavnika i saradnika departmana, studenti prover-avaju i unapre�uju svoje znanje. U isto vreme u£e vi²e o samomprocesu istraºivanja.

Prirodno-matemati£ki fakultet ostvaruje saradnju sa univerzite-tima, institutima i drugim fakultetima kako u zemlji tako i u inos-transtvu. Tako�e, fakultet u£estvuje u me�unarodnim programimakao ²to su: erasmus +, erasmus mundus, ceepus, mevlana,

tempus, horizon 2020, ipa.Ova saradnja pruºa mogu¢nost studentima da tokom studija duºe

Za²to studirati matematiku? 13

ili kra¢e vreme provedu van mati£nog fakulteta, a sve u cilju njihovogstru£nog usavr²avanja.

Na ovaj na£in studenti se povezuju sa svojim kolegama iz zemljei inostranstva tako da ne £udi podatak da su biv²i studenti Depart-mana za matematiku Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u uspe²nii konkurentni na najrazli£itijim zanimanjima u zemlji i inostranstvu,pogotovo u oblastima primene matemati£kih znanja u industriji, ak-tuarstvu, programerskim �rmama i bankama.

Na Departmanu za matematiku nastavni kadar se, pored nastavnogprocesa, veoma uspe²no bavi i nau£nim radom. Visok kvalitet nau£no-istraºiva£kog rada potvr�uje i veoma visok indeks citiranosti (SCI) is-traºiva£a zaposlenih na Departmanu za matematiku, kao i veliki brojradova objavljenih u vode¢im me�unarodnim i doma¢im £asopisima.Me�u predava£ima na Departmanu nalazi se i jedan dopisni £lan Srpskeakademije nauka i umetnosti, redovni profesor Prirodno-matemati£kogfakulteta u Ni²u Vladimir Rako£evi¢. Nastavnici i saradnici depart-mana u£estvuju na seminarima, nau£nim i stru£nim konferencijamau zemlji i inostranstvu, a i sami su organizatori zna£ajnih nau£nihskupova. Nau£ni rad nastavnika i saradnika u znatnoj meri prati iz-dava£ka delatnost. Iz oblasti matematike Prirodno-matemati£ki fakul-tet izdaje vrhunski me�unarodni nau£ni £asopis "Filomat", kao i me�u-narodni nau£ni £asopisi "Functional analysis, approximation and com-

putation" i "Applied Mathematics and Computer Science". Pored oz-biljnih nau£nih £asopisa, Fakultet izdaje i £asopis "Matematika i infor-

matika", koji se pre svega bavi promocijom matematike i informatike,i u kojem studenti mogu da na£ine svoje prve korake u pisanju nau£nihradova. U cilju podsticanja e�kasnosti nastavnog rada, objavljuju seudºbenici, zbirke zadataka, kao i monogra�je.

Zna£ajnu bazu nau£nog i nastavnog rada predstavlja bibliotekasa bogatim i savremenim fondom nau£ne literature iz zemlje i ino-stranstva. Biblioteka trenutno raspolaºe sa oko 40 250 naslova. Me�uovim naslovima je preko 6 600 knjiga, 283 diplomska i master rada

14 Informator

i oko 200 magistarskih teza i doktorskih disertacija iz matematike,kao i preko 300 £asopisa sa vi²e od 17 000 svezaka. �itaonica bib-lioteke je na raspolaganju studentima svakog radnog dana od 8 do19h. Pored biblioteke, u procesu u£enja, studentima su na raspo-laganju i tri ra£unarske u£ionice sa besplatnim pristupom internetu.Studenti imaju mogu¢nost da, preko studentskog portala, elektronskiprijavljuju ispite, prate raspored ispita za predstoje¢e ispitne rokovei raspored £asova, kao i da u svakom trenutku imaju uvid u podatkeiz svog studentskog dosijea kao ²to su broj ostvarenih ESP bodova,upisani semestar, poloºeni i prijavljeni ispiti itd.

Ukoliko ste radoznali, kreativni, ma²toviti, i volite mate-matiku, onda su studije matematike na Departmanu za mate-matiku Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u pravi izborza vas!

Ima¢ete priliku da vas stru£ni i savesni predava£i i saradnici uvodeu tajne matemati£kih teorija. Upozna¢ete neke od mnogobrojnih pri-mena matematike. Ste¢i ¢ete dovoljno (pred)znanja da moºete na-staviti master studije na Departmanu za matematiku na Prirodno-matemati£kom fakultetu u Ni²u, ili na drugim fakultetima u zemlji iinostranstvu. U okviru master studija vam se pruºa mogu¢nost da se

Za²to studirati matematiku? 15

usavr²avate iz odre�enih oblasti matematike, ali i da se bavite prime-nama matematike u �zici, �nansijama, biologiji, medicini, i drugimdru²tvenim i tehni£kim naukama.

Za one najambicioznije, koji imaju talenta i ºele da se bave nau£nimradom, doktorske studije matematike su pravi izbor.

Pored doktorskih studija koje se odvijaju na Departmanu za ma-tematiku, Prirodno-matemati£ki fakultet u Ni²u je jedan od osniva£aDoktorske ²kole matematike koja se realizuje na nivou cele Srbije sanajeminentnijim predava£ima iz na²e zemlje.

2.2 Aktivnosti studenata

Pored obaveza vezanih za samu nastavu, na Prirodno-matemati£-kom fakultetu i Departmanu za matematiku pruºa se i puno mogu-¢nosti za putovanja, bavljenje sportom, naukom i organizaciju drugihnenastavnih aktivnosti.

Departman za matematiku u£estvuje na festivalu "Nauk nije bauk".Ovaj festival okuplja zainteresovane iz svih oblasti nauke, i putempredavanja, izloºbi i eksperimenata, kroz igru i zabavu, mladima pri-bliºava misteriozni svet nauke.

U cilju popularizacije nauke, Prirodno-matemati£ki fakultet i De-partman za matematiku imaju i razvijenu saradnju sa Istraºiva£komstanicom "Petnica", koja predstavlja jednu od najve¢ih institucija zaneformalno obrazovanje u ovom delu Evrope. Na²i studenti, saradnicii nastavnici angaºovani su kao asistenti i predava£i u ovoj instituciji.Na programima matematike, koji se organizuju nekoliko puta godi²nje,oni kroz razne aktivnosti, a naro£ito kroz mentorski rad istraºiva£kihprojekata, pomaºu talentovanim srednjo²kolcima u prvim koracima kanau£nom radu.

Na Departmanu za matematiku postoje i planovi da se svake go-dine, maja meseca, obeleºava mesec matematike, uz prigodne ak-

16 Informator

tivnosti i sa ºeljom da se u ceo proces aktivno uklju£e kako studenti,tako i zainteresovani sugra�ani. Tako�e postoje planovi i volja da seDepartman za matematiku uklju£i i u realizaciju manifestacije "No¢istraºiva£a", koja predstavlja "druga£iji izlazak petkom uve£e", gdese u neformalnoj atmosferi, uz �lmove i muziku, istraºiva£ki poziv izakademskih klupa seli u svakodnevno okruºenje.

Studenti Prirodno-matemati£kog fakulteta su jako dobro organizo-vani. Naime, kroz Savez studenata i Studentski parlament uklju£ujuse u rad organa samog fakulteta i ²tite prava i interese studenata unjima. Iz redova studenata Studentskog parlamenta bira se Predsed-nik parlamenta i student prodekan. Studentski parlament se zalaºeza kvalitetnu nastavu i uslove studiranja, za²titu prava studenata,kvalitetno i pravovremeno informisanje studenata. Tako�e, Studentskisavez i Studentski parlament organizuju kulturna i sportska de²a-vanja, ostvaruju saradnju sa ostalim fakultetima i savezima studenatau zemlji i inostranstvu, organizuju humanitarne aktivnosti. Studentskiparlament ima svoje predstavnike u Savetu fakulteta, Nastavno-nau£-nom ve¢u fakulteta, Komisiji za obezbe�enje kvaliteta fakulteta i de-partmana, Studentskom parlamentu Univerziteta u Ni²u, Univerzitet-skom sportskom savezu.

Sportska sekcija Saveza studenata zaduºena je za formiranje tim-ova u ko²arci, fudbalu, rukometu, odbojci i drugim sportovima. Ovitimovi treniraju i spremaju se za odlazak na Primatijadu-susret stu-denata Prirodno-matemati£kih fakulteta Srbije, Crne Gore, RepublikeSrpske, Makedonije, Hrvatske i Bosne i Hercegovine, koja se svake go-dine organizuje na nekoj turisti£ki atraktivnoj destinaciji u zemlji iliregionu. Pored ovog takmi£enja, ekipe Prirodno-matemati£kog fakul-teta u£estvuju na turnirima koji se organizuju na nivou Univerziteta uNi²u, na kojima u£estvuju svi fakulteti. Vi²e o organizaciji sportskihtakmi£enja moºe se na¢i na sajtu Univerzitetskog sportskog savezaNi²a.

http://www.ussn.org.rs/

http://www.ussn.org.rs/

3

Kako do indeksa?

Put sticanja statusa studenta Departmana za matematiku Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u, sastoji se iz nekoliko koraka:

• pripremna nastava (nije obavezno),

• prijavljivanje kandidata,

• polaganje prijemnog ispita i

• upis primljenih kandidata.

17

18 Informator

3.1 Pripremna nastava

Pripremna nastava se organizuje na Departmanu za matematikusvake godine od sredine marta do sredine juna meseca radi bolje pripre-me kandidata za polaganje prijemnog ispita. Pripremnom nastavomsu obuhva¢ene oblasti matematike, po programu za gimnazije matema-ti£kog smera, iz kojih budu¢i studenti dobijaju zadatke na prijemnomispitu. To su:

• Rastavljanje polinoma na £inioce; Deljivost polinoma;

• Racionalni algebarski izrazi; Stepenovanje i korenovanje;

• Kompleksni brojevi; Polinomi;

• Linearne jedna£ine i nejedna£ine; Jedna£ine i nejedna£ine saapsolutnim vrednostima;

• Kvadratne jedna£ine, nejedna£ine i kvadratna funkcija; Bikvad-ratne i simetri£ne jedna£ine;

• Iracionalne jedna£ine i nejedna£ine;

• Eksponencijalna funkcija; Eksponencijalne jedna£ine i nejedna-£ine;

• Logaritamska funkcija; Logaritamske jedna£ine i nejedna£ine;

• Trigonometrija; Trigonometrijske jedna£ine i nejedna£ine;

• Povr²ina i zapremina poliedara i obrtnih tela;

• Analiti£ka geometrija u ravni; Krive drugog reda (krug, elipsa,hiperbola, parabola);

Kako do indeksa? 19

• Aritmeti£ki i geometrijski niz; Matemati£ka indukcija; Binomniobrazac.

Nastava se organizuje svake subote od 10 do 14h u nekoj od u£ionicana Prirodno-matemati£kom fakultetu, a drºe je nastavnici i sarad-nici Departmana za matematiku. Ukoliko imate dodatnih pitanja uvezi sa pripremnom nastavom moºete ih postaviti koordinatoru zapripremnu nastavu, profesorki dr Jasmini Ðor�evi¢ putem [email protected].

3.2 Prijavljivanje kandidata

Za upis na prvu godinu osnovnih akademskih studija mogu konku-risati lica sa zavr²enim srednjim obrazovanjem u £etvorogodi²njem tra-janju. Prijava kandidata se vr²i na ²alterima Sluºbe za nastavu i stu-dentska pitanja Fakulteta. Prilikom prijavljivanja na Konkurs za upisodgovaraja¢ih osnovnih akademskih studija, kandidat se opredeljujeza odgovaraju¢i studijski program i dostavlja konkursom propisanudokumentaciju.

20 Informator

3.2.1 Formiranje rang liste

Rang lista prijavljenih kandidata formira se za svaki studijski pro-gram posebno. Mesto kandidata na rang listi odre�uje se na osnovuop²teg uspeha u srednjoj ²koli i rezultata ostvarenih na prijemnomispitu.

Op²ti uspeh kandidata u srednjoj ²koli ra£una se kao zbir prose£nihocena iz svih predmeta u I, II, III i IV razredu, pomnoºen brojemdva. Po ovom osnovu kandidat moºe ste¢i najmanje 16, a najvi²e40 poena. Napomenimo da se prose£na ocena za svaki razred ra£unazaokruºivanjem na dve decimale.

3.3 Polaganje prijemnog ispita

Kandidat koji konkuri²e za upis u prvu godinu osnovnih akadem-skih studija za studijski program matematika polaºe prijemni ispitiz matematike. Prijemni ispit obuhvata gradivo predmeta matemati-ka koje je izu£avano u srednjoj ²koli u £etvorogodi²njem trajanju, aoblasti su navedene u Poglavlju 3.1. Prijemni ispit kandidat polaºeu pisanoj formi u prostorijama Fakulteta. Vreme i raspored pola-ganja prijemnog ispita su blagovremeno objavljeni na oglasnoj tabli isajtu Fakulteta. Vreme trajanja prijemnog ispita je 150 minuta. Pri-jemni ispit se sastoji od deset zadataka, od kojih svaki ta£no ur�enzadatak nosi maksimalno 6 poena, ²to zna£i da uspeh na prijemnomispitu donosi kandidatu najvi²e 60 poena. Broj poena koji kandidatostvaruje na prijemnom ispitu odre�uje se na osnovu kvaliteta izradetesta na prijemnom ispitu.

U prvu godinu osnovnih akademskih studija moºe se, bez prijemnogispita, upisati:

(a) lice koje ima ste£eno visoko obrazovanje u trajanju od najmanjetri godine,

Kako do indeksa? 21

(b) kandidat koji je kao u£enik srednje ²kole, osvojio jednu od prvetri nagrade na adekvatnom republi£kom takmi£enju iz odgovara-ju¢e oblasti koje organizuje resorno Ministarstvo, odnosno jednuod prve tri nagrade na adekvatnom me�unarodnom takmi£enju,iz odgovaraju¢e oblasti.

3.3.1 Ulaganje prigovora na kona£nu rang listu

Kandidat moºe uloºiti prigovor dekanu na kona£nu rang listu. Pri-govor se ulaºe u pisanoj formi. Dekan je duºan da odgovori na svakiuloºeni prigovor u pisanoj formi. Ako kandidat nije zadooljan od-govorom dekana, ima prava da podnese ºalbu na kona£nu rang listuSavetu Fakulteta. Savet Fakulteta razmatra i odlu£uje o eventualnimºalbama kandidata. Odluka Saveta Fakulteta je kona£na. Vreme zapodno²enje prigovora, ºalbi, kao i za davanje odgovora u okviru ovog£lana precizira dekan u skladu sa Konkursom. Po okon£anju svihnavedenih postupaka, isti£e se kona£na rang lista za svaki studijskiprogram na sajtu i oglasnim tablama Fakulteta.

3.4 Upis primljenih kandidata

Mesto na kona£noj rang listi i broj ukupno postignutih bodovaodre�uje da li se kandidat moºe upisati na prvu godinu studija, kao ida li ¢e biti �nansiran iz budºeta ili ¢e pla¢ati ²kolarinu kao samo�-nansiraju¢i student.

Kandidat moºe biti upisan na teret buºeta, ako se na kona£nojrang listi nalazi do broja odobrenog za upis sudenata na teret budºeta(koji je utvr�en konkursom za odre�eni studijski program), a ostvarioje najmanje 51 bod. Kandidat moºe biti upisan kao samo�nansiraju¢istudent ukoliko se na kona£noj rang listi nalazi do broja odobrenogza upis samo�nasiraju¢ih studenata (koji je utvr�en konkursom za

22 Informator

odre�eni studijski program), a ostvario je najmanje 31 bod.Studenti koji imaju maksimalan broj poena na prijemno ispitu i

maksimalan broj poena iz srednje ²kole prilikom dodele indeksa dobi-jaju na poklon komplet knjiga od Departmana za matematiku.

Studenti pri upisu dobijaju i svoju e-mail adresu pomo¢u kojemogu lak²e komunicirati sa predmetnim nastavnicima i saradnicima.

Ukoliko postoji mogu¢nost, dekan Fakulteta moºe doneti odlukuo preraspore�ivanju slobodnih budºetskih mesta sa jednog studijskogprograma na drugi, a u skladu sa odobrenim kvotama. Dekan Fakul-teta odre�uje dane za upis studenata u skladu sa kona£nom rang lis-tom.

4

Pravila studiranja

Fakultet organizuje i izvodi nastavu na studijskim programima utoku ²kolske godine koja po£inje 1. oktobra i traje 12 kalendarskihmeseci. �kolska godina deli se na zimski i letnji semestar, od kojihsvaki ima 15 nastavnih nedelja. Nastava se organizuje i izvodi posemestrima, u skladu sa studijskim programom.

Studijski program je skup obaveznih i izbornih predmeta, sa okvir-nim sadrºajem, £ijim se savladavanjem obezbe�uju neophodna znanjai ve²tine za sticanje diplome odgovaraju¢eg nivoa i vrste studija.

Studije na Fakultetu organizuju se na srpskom jeziku. Na Dok-torskoj ²koli matematike studije se izvode na srpskom ili engledskomjeziku.

4.1 Vrste i nivoi studija na Fakultetu

Obrazovna delatnost Fakulteta ostvaruje se kroz akademske studijena osnovu odobrenih, odnosno akreditovanih studijskih programa.

Studije su organizovane i izvode se kroz sva tri nivoa studija:

23

24 Informator

1. Studije prvog stepena su osnovne akademske studije koje imaju180 ESP bodova.

2. Studije drugog stepena su master akademske studije koje imaju120 ESP bodova.

3. Studije tre¢eg stepena su doktorske akademske studije koje imaju180 ESP bodova, uz predhodno ostvaren obim studija od naj-manje 300 ESP bodova na osnovnim i master akademskim studi-jama.

Ukupno angaºovanje studenta se sastoji od aktivne nastave (preda-vanja i veºbe), samostalnog rada, kolokvijuma, ispita i izrade zavr²nihradova.

4.2 Status studenata

Student Fakulteta je lice upisano na osnovne, master, specijali-sti£ke ili doktorske akademske studije na Fakultetu. Status studentadokazuje se indeksom. Studenti Fakulteta imaju status studenta kojise �nansira iz budºeta (budºetski student) ili studenta koji se sam �-nansira (samo�nansiraju¢i student). U pogledu prava i obaveza naFakultetu, potpuno su izjedna£eni buºetski i samo�nansiraju¢i stu-denti.

Student koji u teku¢oj ²kolskoj godini ostvari odre�en broj ESPbodova, propisanih zakonom, ima pravo da se u narednoj ²kolskoj go-dini �nansira iz budºeta. Student koji u teku¢oj ²kolskoj godini neostvari odre�en broj ESP bodova, nastavlja studije u statusu samo�-nasiraju¢eg studenta.

Student koji se �nansira iz budºeta moºe u tom statusu da imaupisan samo jedan studijski program na istom nivou studija.

Kako do indeksa? 25

Student koji se sam �nansira opredeljuje se u skladu sa studijskimprogramom za onoliko predmeta koliko je potrebno da se ostvari naj-manje 37 ESP bodova, osim ako mu je do zavr²etka studija ostalomanje od 37 ESP bodova.

Strani drºavljanin moºe se upisati na studijski program pod istimuslovima kao i doma¢i drºavljanin. Strani drºavljanin pla¢a ²kolarinu,osim ako me�unarodnim sporazumom nije druga£ije odre�eno. Stranidrºavljanin moºe se upisati na studije ako je zdravstveno osiguran.

4.3 Prava, obaveze i mirovanje studenata

Student ima pravo:

1. na upis, kvalitetno ²kolovanje i objektivno ocenjivanje,

2. na blagovremeno i ta£no informisanje o svim pitanjima koja seodnose na studije,

3. na aktivno u£estvovanje u dono²enju odluka, u skladu sa Za-konom i Statutom,

4. na samoorganizovanje i izraºavanje sopstvenog mi²ljenja,

5. na povlastice koje proizilaze iz statusa studenta,

6. na podjednako kvalitetne uslove studija,

7. na razli£itost i za²titu od diskriminacije,

8. da bira i da bude biran u Studentskom parlamentu i drugimorganima Fakulteta, odnosno Univerziteta.

Student je obavezan da:

26 Informator

1. uredno poha�a nastavu, izvr²ava obaveze predvi�ene studijskimprogramom i planom realizacije, op²tim i pojedina£nim aktimaFakulteta,

2. polaºe ispite na na£in i u rokovima kako je to utvr�eno aktimaFakulteta,

3. u£estvuje u vrednovanju kvaliteta nastave i nastavnika na na£inepredvi�ene op²tim i pojedina£nim aktima Fakulteta,

4. ispunjava nastavne i predispitne obaveze,

5. postupa u skladu sa aktima Fakulteta i Univerziteta,

6. po²tuje prava zaposlenih i drugih studenata na Fakultetu,

7. u£estvuje u dono²enju odluka u skladu sa Zakonom, Statutom iaktima Fakulteta.

Student ima pravo prigovora Nastavno-nau£nom ve¢u Fakultetaukoliko Fakultet prekr²i neku od obaveza u roku od 15 dana kada jepravo studenta povre�eno, izuzev ocenjivanja studenata.

Studentu se, na njegov zahtev, odobrava mirovanje prava i obavezau slu£aju:

1. teºe bolesti,

2. upu¢ivanja na stru£nu praksu u trajanju od najmanje ²est meseci,

3. odsluºenja i dosluºenja vojnog roka,

4. nege vlastitog deteta do godinu dana ºivota,

5. odrºavanje trudno¢e,

6. priprema za olimpijske igre, svetsko ili evropsko prvenstvo (kadaima satus vrhunskog sportiste),

Kako do indeksa? 27

7. u drugim slu£ajevima predvi�enim posebnim aktom Fakulteta.

Student koji je bio spre£en da polaºe ispit zbog bolesti ili odsustvazbog stru£nog usavr²avanja u trajanju od najmanje tri meseca, moºepolagati ispit u prvom narednom roku. Student u toku mirovanja svo-jih prava i obaveza ima pravo da polaºe ispite. Student kome mirujuprava i obaveze produºava rok zavr²etka studija za period mirovanja.

Student ima pravo da Nastavno-nau£nom ve¢u Fakulteta, prekoStudentskog parlamenta ili preko studenta prodekana, podnosi pred-loge koji se odnose na podizanje kvaliteta obrazovnog procesa, kao iorganizaciju i na£in izvo�enja nastave. Nastavno-nau£no ve¢e Fakul-teta razmatra predloge i o njima se iznja²njava.

Student ima pravo prigovora na ocenu dobijenu na ispitu, ako sma-tra da ispit nije obavljen u skladu sa pravilima studija, u roku od 36£asova od dobijene ocene.

Student koji nije zadovoljan prelaznom ocenom na ispitu, imapravo da podnese zahtev za polaganje ispita u narednom roku. Zahtevse podnosi studentskoj sluºbi. Prodekan za nastavu donosi odluku oponovnom polaganju ispita. Student koji ponovo polaºe ispit pla¢aposebnu naknadu tro²kova.

Odgovornost studenata ure�uje se Pravilnikom o disciplinskoj imaterijalnoj odgovornosti studenata Univerziteta.

Student sa posebnim potrebama-invaliditetom ima pravo da po-laºe prijemni ispit, kao i sve predispitne obaveze i ispite predvi�enestudijiskim programom, na na£in prilago�en njegovim mogu¢nostima.

Studenti koji studiraju osnovne, master, specijalisti£ke ili dok-torske akademske studije imaju pravo da zavr²e zapo£ete studije uperiodu koji je dvostruko duºi od vremena trajanja studija.

Prestanak statusa studenta zbog neblagovremenog zavr²etka stu-dija konstatuje dekan re²enjem sa dejstvom od prvog narednog danapo isteku roka.

Studentu se, na li£ni zahtev, moºe produºiti rok za zavre²etak

28 Informator

studija do dve ²kolske godine:

(a) ako je u toku studija ispunjavao uslove za odobrenje mirovanjaprava i obaveza, a to pravo nije iskoristio, odnosno nije ga isko-ristio u trajanju koje mu je, s obzirom na okolinosti, moglo bitiodobreno,

(b) ako je u toku trajanja studija zapo£eo i zavr²io drugi odobreni,odnosno akreditovani studijski program, na istom ili na vi²emstepenu, na Univerzitetu u Ni²u ili na drugom univerzitetu uzemlji ili u inostranstvu,

(c) u drugim slu£ajevima ako Nastavno-nau£no ve¢e smatra razlogeopravdanim.

Status studenta prestaje u slu£aju:

(a) ispisivanja sa studija,

(b) zavr²etka studija,

(c) neupisivanja ²kolske godine,

(d) ako ne zavr²i studije do isteka roka koji se odre�uje u dvostrukombroju ²kolskih godina potrebnih za realizaciju studijskog pro-grama,

(e) izricanja disciplinske mere isklju£enja sa studija na visoko²kol-skoj ustanovi.

5

Studijski programi naDepartmanu za matematiku

Na Departmanu za Matematiku Prirodno-matemati£kog fakultetau Ni²u nastava se odvija na slede¢im nivoima studija:

1. Osnovne akademske studije Matematika,

2. Master akademske studije Matematika,

3. Doktorske akademske studije Matematika,

4. Doktorska ²kola matematike.

5.1 Osnovne akademske studije

Studijski program Osnovne akademske studije Matematika trajetri godine (²est semestra). Broj ESP bodova koji se ostvaruju po-ha�anjem nastave i polaganjem ispita na ovom studijskom programuje 180. Nastava se organizuje prema novom studijskom programu koji

29

30 Informator

je akreditovan 2014. godine, kroz £asove predavanja i veºbi. Preda-vanja izvode nastavnici, a veºbe nastavnici ili saradnici Fakulteta. Svipredmeti su jednosemestralni. Pored obaveznih, postoji i lista izbornihpredmeta, ²to daje mogu¢nost studentima da samostalno kreiraju svojobrazovni pro�l i usmere svoje dalje obrazovanje ka ºeljenom moduluna master akademskim studijama. Od ukupnih 180 ESP bodova, stu-dent ostvaruje 144 ESP boda (ili 80%) u okviru obaveznih predmeta,dok 36 ESP bodova (20%) student ostvaruje polaganjem izbornih pred-meta.

Studentu se daje mogu¢nost da 30 ESP bodova moºe ostvariti pola-ganjem predmeta sa bilo kog drugog akademskog studijskog programaosnovnih studija koje se realizuju na Prirodno-matemati£kom fakul-tetu u Ni²u (Ra£unarske nauke, Fizika, Hemija, Biologija, Geogra�ja).Jedino ograni£enje je da se studentu ne dozvoljava izbor sli£nih pred-meta po sadrºaju (na primer, ne dozvoljava se da student bira i polaºepredmet Matematika sa studijskog programa Hemija, i ne dozvoljavase da student bira i polaºe predmet Primena ra£unara u biologiji, sastudijskog programa Biologija). Posebna komisija razmatra i re²avazahteve studenata u vezi sa ovim pitanjem.

Dozvoljen je prelaz sa srodnog studijskog programa na osnovneakademske studije Matematika. Posebna komisija razmatra i re²avazahteve studenata u vezi sa ovim pitanjem, prema Pravilniku o os-tvarivanju studija na osnovnim i diplomskim akademskim studijamaPrirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u.

Polaganjem svih ispita na osnovnim akademskim studijama stu-dent ostvaruje 180 ESP bodova i sti£e stru£ni naziv "matemati£ar".

Ovaj studijski program omogu¢ava veliku mobilnost studenata nasrodne studijske programe u Srbiji i u svetu. Tako�e, studentimase pruºa mogu¢nost da sa ostvarenih jo² 60 ESP bodova sa masterstudija iz oblasti matematike (240 ukupno), steknu zvanje "diplomi-

rani matemati£ar". Raspored predmeta na studijskom programu, pogodinama, je slede¢i:

Studijski programi na Departmanu za matematiku 31

R. br. Naziv predmeta S ESPBPRVA GODINA

1 Matemati£ka logika i teorija skupova I 72 Matemati£ka analiza 1 I 83 Linearna algebra I 84 Teorija brojeva i polinoma I 75 Matemati£ka analiza 2 II 86 Elementarna matematika 2 II 77 Uvod u algebarske strukture II 88 Analiti£ka geometrija II 7

DRUGA GODINA9 Matemati£ka analiza 3 III 810 Uvod u numeri£ku analizu III 711 Geometrija III 812 Izborni predmet 1 III 713 Matemati£ka analiza 4 IV 814 Teorija mera i integrala IV 715 Uvod u verovatno¢u IV 816 Izborni predmet 2 IV 7

TRE�A GODINA17 Matemati£ka statistika V 718 Uvod u kompleksnu analizu V 819 Uvod u topologiju V 820 Izborni predmet 3 V 721 Uvod u diferencijalne jedna£ine VI 7.522 Funkcionalna analiza VI 7.523 Izborni predmet 4 VI 524 Izborni predmet 5 VI 525 Izborni predmet 6 VI 5

Ukupno ESP bodova 180

32 Informator

Vi²e informacija o samim predmetima, kako obaveznim, tako iizbornim, moºe se na¢i na sajtu Departmana za matematiku.

Na svakoj poziciji izbornog predmeta student bira jedan predmetod ponu�ena dva. Izborni predmeti na istoj poziciji imaju isti nedeljnifond £asova i nose isti broj ESP bodova. Fakultet je u obavezi daorganizuje nastavu iz svakog izbornog predmeta, bez obzira na brojprijavljenih studenata. Spisak izbornih predmeta, na ovom studijskomprogramu, nalazi se u slede¢oj tabeli:

Naziv predmeta S ESPBIzborni predmet 1

12Elementarna matematika 1

III 7Kona£no dimenzionalni vektorski prostori

Izborni predmet 2

16Elementarna geometrija

IV 7Metri£ki prostori i Riman-Stiltjesov integral

Izborni predmet 3

20Finansijska matematika

V 7Uvod u programiranje

Izborni predmet 4

23Pedagogija

VI 5Istorija i �lozo�ja matematike

Izborni predmet 5

24Psihologija

VI 5Engleski jezik

Izborni predmet 6

25Programski paketi u nastavi matematike

VI 5Metodi nacrtne geometrije

http://wpresspmf.pmf.ni.ac.rs/?page_id=1668


5.2 Master akademske studije

Studijski program Master akademske studije Matematika traje dvegodine (£etiri semestra). Broj ESP bodova, koji se ostvaruju po-ha�anjem nastave i polaganjem ispita na ovom studijskom programuje 120. Nastava se organizuje prema novom studijskom programu kojije akreditovan 2014. godine, kroz £asove predavanja i veºbi. Pre-davanja izvode nastavnici Fakulteta, a veºbe nastavnici ili saradnici.Sam studijski program je zami²ljen tako da omogu¢i studentu da krozobavezne i izborne predmete, sam kreira svoj obrazovni pro�l premasopstvenim interesovanjima.

Svi predmeti su jednosemestralni. Student je u obavezi da poloºi14 predmeta, kao i da uradi studijski istraºiva£ki rad, ²kolsku, odnosnostru£nu praksu i odbrani zavr²ni rad (master rad).

Studentu se daje mogu¢nost da 20 ESP bodova (u okviru kvoteESP bodova namenjenih izbornim predmetima) moºe ostvariti po-laganjem predmeta sa bilo kog drugog studijskog programa masterakademskih studija koje se realizuju na Prirodno-matemati£kom fakul-tetu u Ni²u. Jedino ograni£enje je da se studentu ne dozvoljava izborsli£nih predmeta po sadrºaju. Posebna komisija razmatra i re²avazahteve studenata u vezi sa ovim pitanjem.

Studijski istraºiva£ki rad predstavlja individualni rad studenta,pod nadzorom mentora za izradu master rada. Predvi�eno je damentor dostavi studentu materijal iz odre�ene oblasti matematike(poglavlja u knjigama, nau£ne radove vezane za jednu temu). Stu-dent je duºan da izu£i dostavljeni materijal, i da sklopi sve dostavljenesadrºaje u jednu celinu.

Master rad podrazumeva sistematizaciju znanja studenta u jed-noj od oblasti matematike: algebra, diferencijalne jedna£ine, verovat-no¢a, matemati£ka statistika, funkcionalna analiza, kompleksna anal-iza, matemati£ka analiza, diferencijalna geometrija. Izradom i odbra-nom master rada student dokazuje da je u potpunosti usvojio principe

34 Informator

matemati£kog razmi²ljanja i da je u stanju da prezentuje znanje izmatematike i njenih primena drugim licima, stru£nim i nestru£nim zamatematiku.

Polaganjem svih ispita i odbranom master rada, student ostvaruje120 ESP bodova i sti£e stru£ni naziv "master matemati£ar".

Dozvoljen je prelaz sa srodnog studijskog programa na masterakademske studije Matematika. Ve¢e Departmana za matematiku raz-matra i re²ava zahteve studenata u vezi sa ovim pitanjem.

Na master akademskim studijama iz matematike, student se opre-deljuje za jedan od tri modula:

1. Op²ta matematika,

2. Matemati£ki modeli u �zici,

3. Verovatno¢a, statistika i �nansijska matematika.

U nastavku navodimo tabele sa obaveznim i izbornim predmetima zasvaki od modula. Vi²e informacija o samim predmetima, sadrºajima,literaturi, nastavnicima i saradnicima na predmetima, mogu se na¢ina sajtu Departmana za matematiku.

5.2.1 Op²ta matematika

Modul Op²ta matematika je prirodni nastavak osnovnih akadem-skih studija Matematika. Studenti su u prilici da ovladaju logi£kimna£inom razmi²ljanja i zaklju£ivanja i da steknu veliko (pred)znanje izrazli£itih oblasti matematike. Ovaj modul omogu¢ava mobilnost stu-denata na srodne studijske programe u zemlji i inostranstvu. Studenti,po zavr²etku studja na ovom modulu, rade, pre svega u osnovnim isrednjim ²kolama, ali pronalaze svoje mesto u nau£nim institutima,na fakultetima, u razvojnim i istraºivackim centrima.

http://wpresspmf.pmf.ni.ac.rs/?page_id=1666


Modul Op²ta matematika predvi�a 9 obaveznih i 5 izbornih pred-meta. Od ukupno 120 ESP bodova, student ostvaruje 67.5 ESP bo-dova (ili 56.25%) u okviru obaveznih predmeta, 34.5 ESP bodova(28.25%) student ostvaruje polaganjem izbornih predmeta, 6 ESPbodova student ostvaruje ²kolskom praksom, 4 ESP boda studijskimistraºiva£kim radom, i na kraju 8 ESP bodova student ostvaruje iz-radom i odbranom master rada.

Raspored predmeta na studijskom programu:

36 Informator


1 Teorija verovatno¢a I 7.52 Diferencijalne jedna£ine i dinami£ki sistemi I 7.53 Teorija operatora I 7.54 Izborni predmet 1 I 7.55 Algebarske strukture II 7.56 Diferencijalna geometrija II 7.57 Parcijalne diferencijalne jedna£ine II 7.58 Kompleksna analiza II 7.5

DRUGA GODINA9 Neeuklidska geometrija III 7.510 Algebarska topologija III 7.511 Izborni predmet 2 III 7.512 Izborni predmet 3 III 7.513 Izborni predmet 4 IV 614 Izborni predmet 5 IV 615 �kolska praksa IV 616 Studijski istraºiva£ki rad IV 417 Zavr²ni rad (Master rad) 8


Na svakoj poziciji izbornog predmeta student bira jedan predmetod ponu�ena dva. Izborni predmeti na istoj poziciji imaju isti nedeljnifond £asova i nose isti broj ESP bodova. Spisak izbornih predmeta naovom modulu nalazi se u slede¢oj tabeli:



4Osnovi Furijeove analize

I 7.5Teorija �ksne ta£ke i primene

Izborni predmet 2

11Metodika nastave matematike

III 7.5Mera i integracija

Izborni predmet 3

12Teorija skupova

III 7.5Banahove algebre i spektri

Izborni predmet 4

13Stohasti£ki procesi

IV 6Uop²teni inverzi

Izborni predmet 5

24Mere nekompaktnosti i primene

IV 6Matemati£ka logika

5.2.2 Matemati£ki modeli u �zici

Modul Matemati£ki modeli u �zici je prirodni nastavak osnovnihakademskih studija Matematika. Studenti su u prilici da ovladajuodgovaraju¢im matemati£kim metodama i modelima koji se prime-njuju u raznim oblastima savremene �zike. Ovaj modul omogu¢avamobilnost studenata na srodne studijske programe u zemlji i inostran-stvu. Studenti, po zavr²etku studja na ovom modulu, rade u kompani-jama, nau£nim institutima, na fakultetima, razvojnim i istraºivackimcentrima i u osnovnim i srednjim ²kolama.

Modul Matemati£ki modeli u �zici predvi�a 8 obaveznih i 6 izbornihpredmeta. Od ukupno 120 ESP bodova, student ostvaruje 60 ESPbodova (ili 50%) u okviru obaveznih predmeta, 42 ESP boda (35%)student ostvaruje polaganjem izbornih predmeta, 6 ESP bodova stu-dent ostvaruje stru£nom praksom, 4 ESP boda ostvaruje studijskim is-

38 Informator

traºiva£kim radom, i na kraju 8 ESP bodova student ostvaruje izradomi odbranom master rada.

Raspored predmeta na studijskom programu:


1 Diferencijalne jedna£ine i dinami£ki sistemi I 7.52 Teorija operatora I 7.53 Osnovi Furijeove analize I 7.54 Teorija verovatno¢a I 7.55 Parcijalne diferencijalne jedna£ine II 7.56 Klasi£na teorijska �zika II 7.57 Izborni predmet 1 II 7.58 Izborni predmet 2 II 7.5

DRUGA GODINA9 Kvantna mehanika III 7.510 Neograni£eni operatori matemati£ke �zike III 7.511 Izborni predmet 3 III 7.512 Izborni predmet 4 III 7.513 Izborni predmet 5 IV 614 Izborni predmet 6 IV 615 Stru£na praksa IV 616 Studijski istraºiva£ki rad IV 417 Zavr²ni rad (Master rad) 8


Na svakoj poziciji izbornog predmeta student bira jedan predmetod ponu�ena dva. Izborni predmeti na istoj poziciji imaju isti nedeljnifond £asova i nose isti broj ESP bodova. Spisak izbornih predmeta naovom modulu nalazi se u slede¢oj tabeli:



7Teorija aproksimacija i kvadraturne formule

II 7.5Tenzorski ra£un

Izborni predmet 2

8Diferencijalna geometrija

II 7.5Stohasti£ki procesi

Izborni predmet 3

11Integralne jedna£ine i specijalne funkcije

III 7.5Teorija grupa i primene

Izborni predmet 4

12Numeri£ko re²avanje diferencijalnih jedna£ina

III 7.5Algebre operatora u kvantnoj mehanici

Izborni predmet 5

13Op²ta teorija relativnosti

IV 6Matemati£ki metodi nelinearne dinamike

Izborni predmet 6

14Simetrija u �zici

IV 6Atomska i molekularna �zika

5.2.3 Verovatno¢a, statistika i �nansijska matema-tika

Modul Verovatno¢a, statistika i �nansijska matematika je prirod-ni nastavak osnovnih akademskih studija Matematika. Ovaj modulje zasnovan na primeni stohasti£kih i statisti£kih modela u ekonomiji(posebno u �nansijama i osiguranju), medicini (posebno epidemiologijii biomedicini), biologiji (populacionoj dinamici pre svega), u dru²-tvenim i tehni£kim naukama. S obzirom na aktuelnost sadrºaja kojepokriva, ovaj modul omogu¢ava veliku mobilnost studenata na srodnestudijske programe u zemlji i inostranstvu. Studenti, po zavr²etku

40 Informator

studja na ovom modulu, rade u bankama, osiguravaju¢im dru²tvima,institucijama za procenu i upravljanje rizikom, statisti£kim zavodima,velikim kompanijama u procesima odlu£ivanja i kontrole kvaliteta,nau£nim institutima, fakultetima, razvojnim i istraºiva£kim centrima,kao i u obrazovanju.

Programom je predvi�eno da studenti na ovom modulu poha�ajunastavu iz 6 obaveznih i 8 izbornih predmeta. Od ukupno 120 ESPbodova, student ostvaruje 45 ESP bodova (ili 37.5%) u okviru oba-veznih predmeta, 57 ESP bodova (47.5%) polaganjem izbornih pred-meta, 6 ESP bodova student ostvaruje stru£nom praksom, 4 ESPBboda studijskim istraºiva£kim radom, i na kraju 8 ESP bodova stu-dent ostvaruje izradom i odbranom master rada.

Raspored predmeta na studijskom programu dat je u slede¢oj tabeli:



1 Teorija verovatno¢a I 7.52 Multivariaciona analiza I 7.53 Statisti£ki softver I 7.54 Izborni predmet 1 I 7.55 Stohasti£ki procesi II 7.56 Vremenski nizovi II 7.57 Aktuarska matematika II 7.58 Izborni predmet 2 II 7.5

DRUGA GODINA9 Izborni predmet 3 III 7.510 Izborni predmet 4 III 7.511 Izborni predmet 5 III 7.512 Izborni predmet 6 III 7.513 Izborni predmet 7 IV 614 Izborni predmet 8 IV 615 Stru£na praksa IV 616 Studijski istraºiva£ki rad IV 417 Zavr²ni rad (Master rad) 8

Ukupno ESPB bodova 120

Na svakoj poziciji izbornog predmeta, student bira jedan od po-nu�ena dva predmeta. Izborni predmeti na istoj poziciji imaju istinedeljni fond £asova i nose isti broj ESP bodova. Spisak izbornihpredmeta na ovom modulu nalazi se u slede¢oj tabeli:

42 Informator


4Finansijska matematika

I 7.5Diferencijalne jedna£ine i dinami£ki sistemi

Izborni predmet 2

8Parcijalne diferencijalne jedna£ine

II 7.5Teorija uzoraka i planiranje eksperimenata

Izborni predmet 3

9Risovi prostori i primene u ekonomiji

III 7.5Metodika nastave matematike

Izborni predmet 4

10Finansijsko modeliranje 1

III 7.5Teorija masovnog opsluºivanja

Izborni predmet 5

11Teorija operatora

III 7.5Teorija rizika

Izborni predmet 6

12Teorija odlu£ivanja

III 7.5Regresiona analiza u �nansijama

Izborni predmet 7

13Stohasti£ki dinami£ki sistemi

IV 6Finansijsko modeliranje 2

Izborni predmet 8

14Statisti£ka kontrola kvaliteta

IV 6Ekonometrija

6

Re²eni zadaci sa prethodnihprijemnih ispita

ZADACI-JUN 2016.

1. Matemati£kom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj nvaºi jednakost:

1

1 · 3+

1

3 · 5+ · · ·+ 1

(2n− 1)(2n+ 1)=

n

2n+ 1.

2. Dat je aritmeti£ki niz a1, a2, a3 . . . . Zbir prva 3 £lana na neparnimmestima je 3, a zbir prva 3 £lana na parnim mestima je 12. Odreditiprvih ²est £lanova ovog aritmenti£kog niza.

3. Odrediti broj a tako da re²enja x1 i x2 kvadratne jedna£ine 4x2 −15x+ a = 0 zadovoljavaju uslov x21 = x2.

4. Re²iti nejedna£inux2 − 4x+ 3

x+ 1< 0.

5. Re²iti jedna£inu sinx−√

3 cosx = 2.

43

44 Informator

6. Izra£unati(−3 + i

√3)10

.

7. Re²iti jedna£inu 6 · 4x − 13 · 6x + 6 · 9x = 0.

8. Osnovica jednakokrakog trougla iznosi 2. Teºi²ne duºi koje supovu£ene na krake, seku se pod pravim uglom. Odrediti povr²inutrougla.

9. Duºina dijagonale jednakokrakog trapeza je 12, a ugao izmedudijagonale i osnovice tog trapeza je 30◦. Odrediti povr²inu tog trapeza.

10. Izra£unati zapreminu pravilne £etvorostrane piramide, koja imavisinu 8 i £iji je dijagonalni presek povr²ine 60.

Izrada zadataka traje 150 minuta.Svaki ta£no ura�en zadatak nosi 6 poena.

Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 45

RE�ENjA:

1. Ako je n = 1, onda traºena jednakost jeste1

1 · 3=

1

3, ²to je

o£igledno ta£no.Indukcijska pretpostvka jeste da je traºeno tvr�enje ta£no za neki

prirodan broj n, tj. pretpostavimo da vaºi

1

1 · 3+

1

3 · 5+ · · ·+ 1

(2n− 1)(2n+ 1)=

n

2n+ 1.

Potrebno je dokazati tvr�enje za prirodan broj n+1, odnosno trebadokazati da vaºi

1

1 · 3+

1

3 · 5+ · · ·+ 1

(2n− 1)(2n+ 1)+

1

(2n+ 1)(2n+ 3)=

n+ 1

2n+ 3.

Na osnovu indukcijske pretpostavke sledi:

1

1 · 3+

1

3 · 5+ · · ·+ 1

(2n− 1)(2n+ 1)+

1

(2n+ 1)(2n+ 3)

=n

2n+ 1+

1

(2n+ 1)(2n+ 3)

=2n2 + 3n+ 1

(2n+ 1)(2n+ 3)=

n+ 1

2n+ 3.

Time je tvr�enje dokazano.

2. Neka je a1 prvi £lan, a d neka je razlika tog aritmeti£kog niza. Tadaje, na osnovu uslova zadatka, ispunjeno:

a1 + a3 + a5 = 3, a2 + a4 + a6 = 12.

Tako�e je

a2 = a1+d, a3 = a1+2d, a4 = a1+3d, a5 = a1+4d, a6 = a1+5d.

46 Informator

Dolazimo do sistema linearnih jedna£ina

3a1 + 6d = 3, 3a1 + 9d = 12,

odnosnoa1 + 2d = 1, a1 + 3d = 4,

£ija su re²enjaa1 = −5, d = 3.

Prvih ²est £lanova ovog aritmeti£kog niza jesu

a1 = −5, a2 = −2, a3 = 1, a4 = 4, a5 = 7, a6 = 10.

3. Na osnovu Vijetovih formula, vaºe jednakosti:

x1 + x2 =15

4, x1x2 =

a

4.

Ako tim uslovima pridruºimo pretpostavku zadatka x21 = x2, tada je

4x21 + 4x1 − 15 = 0, a = 4x31.

Re²avanjem prve jedna£ine dolazimo do zaklju£ka da moºe biti x1 =

−5

2, ili x1 =

3

2. Stoga postoje dve mogu¢nosti za a, i to: a = −125

2ili

a = 272.

4. Kako je x2−4x+ 3 = (x−1)(x−3), potrebno je re²iti nejedna£inu

(x− 1)(x− 3)

x+ 1< 0.

Znak svakog £inioca posmatramo u odnosu na karakteristi£ne ta£ke−1, 1, 3, i prikazujemo tabelarno:


−1 1 3x+ 1 − 0 + + + + +x− 1 − − − 0 + + +x− 3 − − − − − 0 +

(x− 1)(x− 3)

x+ 1− ∗ + 0 − 0 +

Sledi da je(x− 1)(x− 3)

x+ 1< 0 ako i samo ako je x < −1 ili 1 < x < 3.

5. Data jedna£ina moºe biti zapisana u ekvivalentnom obliku:

1

2sinx−

√3

2cosx = 1.

Kako je sinπ

3=

√3

2i cos

π

3=

1

2, poslednja jedna£ina je ekvivalentna

jedna£inisinx cos

π

3− cosx sin

π

3= 1,

ilisin(x− π

3

)= 1.

Re²enje ove jedna£ine jeste

x− π

3=π

2+ 2kπ, k ∈ Z,

odnosnox =

5

6π + 2kπ, k ∈ Z.

6. Neka je z = −3 + i√

3. Tada je |z| =√

12. Argument ϕ kom-

pleksnog broja z zadovoljava uslov tgϕ = −√

3

3. Kako broj z pripada

48 Informator

drugom kvadrantu (realan deo broja z je pozitivan, a imaginaran deo

broja z je negativan), sledi da je ϕ =5

6π. Stoga je

z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) =√

12

(cos

5

6π + i sin

5

6π

).

Na osnovu Moavrove formule, vaºi

z10 = |z|10(cos 10ϕ+ i sin 10ϕ) = 125

(cos

25

3π + i sin

25

3π

).

7. Polaznu jedna£inu podelimo sa 9x, i dobijamo jedna£inu

6 ·(

4

9

)x− 13 ·

(2

3

)x+ 6 = 0.

Smenom t =

(2

3

)xdolazimo do kvadratne jedna£ine

6t2 − 13t+ 6 = 0,

£ija su re²enja t =2

3i t =

3

2. Ako je

(2

3

)x=

2

3, onda je jedno re²enje

x = 1. Ako je(

2

3

)x=

3

2, onda je drugo re²enje jedna£ine x = −1.

8. Neka je 4ABC polazni jednakokraki trougao (videti Sliku 1.),tako da je AB osnovica tog trougla. Povucimo sve tri teºi²ne duºitrougla, koje se seku u teºi²tu T . Neka je D sredina osnovice AB.Tada je AD istovremeno teºi²na duº i visina koja odgovara osnoviciAB. Stoga je AD = 1. Troguao ∆ABT je jednakokraki, sa pravimuglom u ta£ki T . Sledi da je trougao ∆ATD tako�e jednakokraki sa


pravim uglom u ta£ki D. Proizilazi da je DT = AD = 1. Poznatoje da teºiste T deli svaku teºi²nu duº, pa i duº CD u odnosu 2 : 1,posmatrano od C ka D. Dakle, CT : TD = 2 : 1. Sledi da je CD = 3.Na kraju, povr²ina trougla ∆ABC jeste

P =1

2· AB · CD = 3.

Slika 1.

9. Neka je AB = a duºa osnovica, a CD = b kra¢a osnovica trapeza(videti Sliku 2). Neka su ta£ke E i F na osnovici AB, tako da suCE = h i DF = h visine trapeza. Kako je EF = b, sledi da je

EB =a− b

2i AE =

a+ b

2. Uo£imo trougao ∆AEC, koji kod temena

E ima prav ugao, a kod temena A ima ugao od 30◦. Tada je CE =h = 6, a na osnovu Pitagorine tereme sledi AE = 6

√3. Proizilazi da

je povr²ina trapeza jednaka

P =a+ b

2h = 36

√3.

50 Informator

Slika 2.

10. Neka je osnova piramide kvadrat ABCD, teme piramide neka jeS, i neka je O presek dijagonala osnove (videti Sliku 3.). Tada jeSO visina piramide, koja iznosi 8. Dijagonalni presek piramide jestebilo koji od podudarnih trouglova ∆ACS i ∆BDS. Visina OS ovihtrouglova je 8, a povr²ina je 60. Sledi da je AC = BD = 15. Kvadrat

ABCD ima dijagonalu 15, te je njegova stranica jednaka15√

2

2. Na

kraju, zapremina piramide je

V =1

3· 225

2· 8 = 300.

Slika 3.


ZADACI-JUN 2015.

1. Uprostiti izraz 1

(√a+√b)−2

−

( √a−√b

a3/2 − b3/2

)−1−1 · (ab)1/4,gde je a > 0, b > 0 i a 6= b.

2. Za kompleksan broj z = 1a−ia odrediti Re z, Im z i njegov trigono-

metrijski oblik ako je a < 0.

3. Odrediti a i b ako je pri deljenju polinoma P (x) = x5 + x4 − x3 +2x2 + ax+ b polinomom Q(x) = x2 − x− 2 ostatak jednak 7.

4. Odrediti vrednosti parametra a ∈ R za koje kvadratna jedna£ina

4x2 + 8ax− 12x+ 1 = 0

ima korene jednake po apsolutnoj vrednosti.

5. Re²iti nejedna£inu√x+ 1 +

√x− 3 ≤ 2.

6. Re²iti nejedna£inu

logx 2 · log2x 2 > log24x 2.

7. Re²iti jedna£inu

sin3x

2+ sinx =

11

4sin

x

2.

52 Informator

8. Odrediti jedna£inu kruºnice £iji je pre£nik duº AB, gde je A =(2,−3), B = (−1, 1), a zatim na pravoj 5x + y + 1 = 0 na¢i ta£ke izkojih se duº AB vidi pod pravim uglom.

9. Oko osnove kruºnog valjka opisan je jednakokraki trapez povr²ine50cm2 sa o²trim uglom od 300. Izra£unati povr²inu i zapreminu valjkaako je duºina njegove visine jednaka duºini kraka trapeza.

10. Tri broja £iji je zbir 7 obrazuju prva tri £lana opadaju¢e geometri-jske progresije. Ako se tim brojevima dodaju redom brojevi 1,3 i 4,dobijaju se prva tri £lana aritmeti£ke progresije. Odrediti ove brojeve.



RE�ENjA:

1. Transformacijom izraza se dobija 1

(√a+√b)−2

−

( √a−√b

a3/2 − b3/2

)−1−1· (ab)1/4=

[(√a+√b)2 − a3/2 − b3/2

√a−√b

]−1· (ab)1/4

=

[a+ 2

√a√b+ b− (a1/2 − b1/2)(a+ a1/2b1/2 + b)

√a−√b

]−1· (ab)1/4

= (ab)−1/2 · (ab)1/4

= (ab)−1/4.

2. Kako je z = 1a−ia ·

a+iaa+ia

= 12a

+ i 12a, sledi da je Rez = 1

2a, Imz = 1

2a,

odakle je r =√

14a2

+ 14a2

= 1√2|a| , ϕ = arctan 1. Kako je a < 0, to je

ϕ = 5π/4 (ili ϕ = −3π/4). Prema tome, z = 1√2|a|

(cos 5π

4+ i sin 5π

4

)(ili z = 1√

2|a|

(cos −3π

4+ i sin −3π

4

)).

3. I. Kako je Q(x) = (x + 1)(x − 2) i P (x) = Q(x)S(x) + 7, gde jeS(x) odgovaraju¢i polinom stepena 3, to je P (−1) = 3 − a + b = 7 iP (2) = 48 + 2a + b = 7. Iz sistema −a + b = 4, 2a + b = −41 sledia = −15, b = −11.

II. Deljenjem polinoma P (x) polinomom Q(x) dobija se polinomS(x) = x3 + 2x2 + 3x + 9 i ostatak R(x) = (15 + a)x + 18 + b.Kako je poznato da je ostatak jednak 7, iz identiteta R(x) ≡ 7, tj.(15 + a)x + 18 + b ≡ 7 sledi da mora biti 15 + a = 0 i 18 + b = 7,odakle je a = −15, b = −11.

54 Informator

4. Ako je x1 = x2, po Vijetovim formulama je

2x1 = −8a− 12

4, x21 =

1

4.

Iz druge jedna£ine je x1 = ±12, tako da je a = 1 i a = 2.

Ako je x1 = −x2, tada je x1 + x2 = 0 i −x21 = 14, ²to je nemogu¢e.

Prema tome, koreni su jednaki po apsolutnoj vrednosti za a = 1ili a = 2.

5. Iz uslova x+ 1 ≥ 0 i x− 3 ≥ 0 sledi da mora biti x ≥ 3. Kako je

√x+ 1 ≤ 2−

√x− 3, x ≥ 3, (6.1)

i√x+ 1 ≥ 0, mora biti 2−

√x− 3 ≥ 0, odnosno 2 ≥

√x− 3. Odavde

je 4 ≥ x − 3, tj. x ≤ 7. Kvadriranjem nejedna£ine (6.1) dobijase 4√x− 3 ≤ 0. Prema tome, nejedna£ina ima jedinstveno re²enje

x = 3.

6. Nejedna£ina je de�nisana za x > 0, x 6= 1, x 6= 1/2, x 6= 1/4. U tomslu£aju ona je ekvivalentna sa nejedna£inom

1

log2 x· 1

1 + log2 x>

1

(2 + log2 x)2.

Kako je desna strana pozitivna, to mora biti log2 x > 0 i 1+log2 x > 0,ili log2 x < 0 i 1 + log2 x < 0, iz £ega sledi da je x > 1 ili 0 < x < 1/2.U tom slu£aju data jedna£ina se transformi²e u jedna£inu

(2 + log2 x)2 > log2 x · (1 + log2 x),

tj. u jedna£inu 3 log2 x > −4, iz koje sledi da je x > 2−43 . Prema

tome, x ∈ (2−43 , 1/2) ∪ (1,+∞).


7. Kako je sin 3x2

= sin(x+ x

2

), primenom adicione formule i for-

mula dvostrukog ugla data jedna£ina se transformi²e u ekvivalentnujedna£inu

sinx

2·[4 cos2

x

2+ 2 cos

x

2− 15

4

]= 0.

Ako je sin x2

= 0, tada je x = 2kπ, k = 0,±1,±2, . . .

Ako je 4 cos2 x2

+ 2 cos x2− 15

4= 0, smenom t = cos x

2, pri £emu je

| t |≤ 1, ova jedna£ina postaje 4t2+2t− 154

= 0, odakle je t1 = 3/4, t2 =−5/4. Iz zahteva | t |≤ 1 sledi da u obzir treba uzeti samo prvore²enje. Prema tome, re²enja jedna£ine su x = 2kπ, k = 0,±1,±2, . . .i x = ±2 arccos 3

4+ 4kπ, k = 0,±1,±2, . . .

8. Centar kruºnice O = (x0, y0) je sredina duºi AB, pa je x0 =1/2, y0 = −1.Kako je AB = 5, polupre£nik kruºnice je r =

√5, a

njena jedna£ina (x− 1

2

)2

+ (y + 1)2 =25

4.

Drugi deo zadatka se moºe re²iti na dva na£ina.I. Kako je svaki periferijski ugao nad pre£nikom prav, ta£ka M =

(α, β) iz koje se duº AB vidi pod pravim uglom, mora se nalaziti nakruºnici i na pravoj l : 5x + y + 1 =, tj. u preseku prave l i kruºnice.Zbog toga su njene koordinate re²enja sistema(

α− 1

2

)2

+ (β + 1)2 =25

4, 5α + β + 1 = 0.

Eliminacijom β se dolazi do jedna£ine 26α2 − α − 6 = 0 koja imare²enja α1 = 1/2 i α2 = −6/13. Kako je β = −5α − 1, odnosnoβ1 = −7/2 i β2 = 17/13, traºene ta£ke su M1 = (1/2,−7/2) i M2 =(−16/13, 17/13).

56 Informator

II. Neka je l1 prava odre�ena ta£kama A i M , a l2 prava odre�enata£kana B i M . Koe�cijenti pravaca ovih pravih su

k1 =β + 3

α− 2, k2 =

β − 1

α + 1.

Iz uslova normalnosti k1·k2 = −1 sledi (β+3)(β−1)+(α−2)(α+1) = 0.Kako je ta£kaM na pravoj l, to je 5α+β+1 = 0. Iz ove dve jedna£inese eliminacijom β dobija 26α2 − α− 6 = 0, ²to dovodi do re²enja kaou slu£aju I.

9. Kako se radi o tangentnom trapezu duºina osnovica a i b i kraka c,to je a+ b = 2c.

Ugao trapeza je 300, odakle je visina trapeza h = c sin 300 = c/2.Prema tome, povr²ina trapeza je

a+ b

2h =

c2

2= 50.

Otuda je c = 10. Polupre£nik valjka je r = h/2 = 5/2, a njegovavisina H = c = 10, tako da su povr²ina i zapremina valjka

P = 2πr(r +H) = 125π/2 cm2, V = πr2H = 125π/2 cm3.

10. Zadatak se moºe re²iti na vi²e na£ina.I. Neka su prva tri £lana geometrijske progresije q1 = r, q2 =

rq, q3 = rq2. Prva tri £lana aritmeti£ke progresije su a1, a2 = a1 +d, a3 = a2 + d. Kako je a1 = q1 + 1 = r+ 1, a2 = q2 + 3 = rq+ 3, a3 =q3 + 4 = rq2 + 4 i d = a2 − a1 = a3 − a2, to je

rq + 3− r − 1 = rq2 + 4− rq − 3,

odnosno r(q2−2rq+1) = 1. Odavde i iz uslova q1 +q2 +q3 = r(1+q+q2) = 7 eliminacijom r se dobija jedna£ina 6q2− 15q+ 6 = 0 koja ima


re²enja q = 2 i q = 1/2. Kako je geometrijska progresija opadaju¢a,u obzir se uzima samo drugo re²enje. Iz jedna£ine r(1 + q + q2) = 7sledi r = 4, pa je q1 = 4, q2 = 2, q3 = 1.

II. Kao u I, q1 = r, q2 = rq, q3 = rq2 i q1+q2+q3 = r(1+q+q2) = 7.Kako je a1 = a = q1 + 1, a2 = a + d = q2 + 3, a3 = a + 2d = q3 + 4,to je 3(a + d) = q1 + q2 + q3 + 8 = 15, tj. a2 = a + d = 5. Sa drugestrane, a2 = rq + 3 = 5, pa se r i q odre�uju iz sistema

rq = 2, r(1 + q + q2) = 7.

Odavde je 2q2 − 5q + 2 = 0, tj. q = 2 i q = 1/2. Za drugo re²enje, zakoje je geometrijska progresija opadaju¢a, je r = 4, a traºeni brojevisu q1 = 4, q2 = 2, q3 = 1.

58 Informator

ZADACI-JUN 2014.

1. Odrediti vrednost izraza

A =1 + (a+ x)−1

1− (a+ x)−1

[1− 1− (a2 + x2)

2ax

]ako je x = (a− 1)−1, a ∈ R \ {0, 1}.

2. Neka je zn =(√

3+i√3−i

)n, n ∈ N. Odrediti:

(a) z2014;

(b) sve prirodne brojeve n ∈ N za koje je zn = 1.

3. Ako je ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x6 + x5− 2x4− 2x3−4x2 + ax+ b polinomom Q(x) = x2 − 4 jednak 5, odrediti a i b.

4. Re²iti jedna£inu√x− 2

√x− 1 +

√x+ 3− 4

√x− 1 = 1.

5. Odrediti parametar m tako da zbir kvadrata re²enja jedna£inex2 −mx+m− 1 = 0 bude minimalan.

6. Re²iti nejedna£inu

log2(x2 − x− 6) + log0.5(x

2 − 4x− 12) ≤ 2.

7. Re²iti jedna£inucos 4x+ 2 cos2 x = 1.


8. Data je prava (p) : 4x+ 6y = 1990 i parabola (P ) : y2 = 4x. Odre-diti uzajamno normalne tangente parabole, od kojih je jedna paralelnadatoj pravoj.

9. Prav valjak i kupa imaju zajedni£ku osnovu, a vrh kupe nalazi seu sredi²tu druge osnove valjka. Odrediti ugao izme�u izvodnice kupei ose valjka, ako je odnos povr²ine valjka i kupe 7:4.

10. Dat je niz brojeva a1 = 2, a2 = 3, a4 = 11, a5 = 18, . . ., takav darazlike njegovih uzastopnih £lanova obrazuju aritmeti£ki niz. Odreditia500.


60 Informator

RE�ENjA:

1.

A =1 + 1

a+x

1− 1a+x

·(2ax− 1 + a2 + x2

2ax

)=a+ x+ 1

a+ x− 1· (a+ x)2 − 1

2ax

=a+ x+ 1

a+ x− 1· (a+ x− 1)(a+ x+ 1)

2ax

=(a+ x+ 1)2

2ax.

Za x = (a− 1)−1, izraz postaje

A =(a+ 1

a−1 + 1)2

2aa−1

=(a(a− 1) + 1 + (a− 1))2

2a(a− 1)=

a3

2(a− 1).

2. (a) zn =(√

3+i√3−i

)n=(

12

+√32i)n

= (eπi3 )n =⇒ z2014 = −1

2−√32i;

(b) zn = 1 ⇐⇒ 6 | n.3. Po²to je P (x) = Q(x)S(x) + 5, a Q(x) = (x+ 2)(x−2), za x = −2,odnosno x = 2, dobijamo:

64 − 32 − 32 + 16 − 16 − 2a + b = 564 + 32 − 32 − 16 − 16 + 2a + b = 5.

Stoga je a = −8 i b = −11.4. Re²enja traºimo u intervalu x ∈ [1,+∞). Kako je√

1− 2√x− 1 + x− 1 +

√4− 4

√x− 1 + x− 1 = 1

⇔√

(√x− 1− 1)2 +

√(√x− 1− 2)2 = 1,


po£etna jedna£ina je ekvivalentna slede¢oj jedna£ini;

|√x− 1− 1|+ |

√x− 1− 2| = 1.

Kako je

|√x− 1− 1| =

{ √x− 1− 1, x ≥ 2

1−√x− 1, x < 2,

i

|√x− 1− 2| =

{ √x− 1− 2, x ≥ 5

2−√x− 1, x < 5,

to se jedna£ina re²ava na tri intervala.1) Za 1 ≤ x < 2,

1−√x− 1 + 2−

√x− 1 = 1

⇔ 2√x− 1 = 2

⇔ x− 1 = 1⇒ x = 2.

Kako x = 2 ne pripada skupu [1, 2), jedna£ina u ovom slu£ajunema re²enja.

2) Za x ∈ [2, 5),√x− 1− 1 + 2−

√x− 1 = 1

⇒ 1 = 1.

Svako x intervala [2, 5) je re²enje jedna£ine.3) Za x ≥ 5,

√x− 1− 1 +

√x− 1− 2 = 1

⇔√x− 1 = 2

⇔ x = 5.

Re²enje jedna£ine je unija re²enja u sva tri slu£aja, tj. x ∈ [2, 5].

62 Informator

5. Primenom Vijetovih formula iz date jedna£ine, imamo x1 +x2 = mi x1 · x2 = m− 1. Dakle,

f(m) = x21 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = m2 − 2m+ 2.

Funkcija ima minimum u temenu parabole T(− b

2a, 4ac−b

2

4a

), tj. za

m = 1.6. Nejedna£ina je de�nisana za x2 − x − 6 > 0 i x2 − 4x − 12 > 0,tj. za x ∈ (−∞,−2)∪ (6,+∞). Nejedna£ina je ekvivalentna slede¢emizrazu:

log2(x2 − x− 6)− log2(x

2 − 4x− 12) ≤ 2

⇔ log2

x2 − x− 6

x2 − 4x− 12≤ 2

⇔ x2 − x− 6

x2 − 4x− 12≤ 22

⇔ −x2 + 5x+ 14

x2 − 4x− 12≤ 0

⇒ x ∈ (−∞,−2) ∪ [7,∞).

Iz uslova de�nisanosti logaritma sledi da je re²enje nejedna£ine x ∈(−∞,−2) ∪ [7,∞).7.

cos 4x+ 2 cos2 x = 1 ⇔ 2 cos2 2x− 1 + 21 + cos 2x

2= 1

⇔ 2 cos2 2x+ cos 2x− 1 = 0

⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x =1

2

⇔ 2x = π + 2kπ ∨ 2x = ±π3

+ 2kπ, k ∈ Z

⇔ x =π

2+ kπ ∨ x = ±π

6+ kπ, k ∈ Z.


8. Uslov dodira prave y = kx + n i parabole (P ) : y2 = 2px jep = 2kn, u na²em slu£aju je to 1 = kn. Dakle, za tangente (t1) : y =k1x+ n1, (t2) : y = k2x+ n2, vaºe uslovi k1n1 = 1 i k2n2 = 1.

Jedna£ina prave p se moºe predstaviti u obliku

y = −2

3x+

995

3.

Ako je t1 ‖ p, tada je k1 = −23, dok se iz uslova t1 ⊥ t2 zaklju£uje

da je k1k2 = −1, odnosno da je k2 = 32. Kako je n1 = 1

k1= −3

2i

n2 = 1k2

= 23, jedna£ine tangenti su

(t1) : y = −2

3x− 3

2, (t2) : y =

3

2x+

2

3.

9. Neka je R polupre£nik osnove i H visina kupe i valjka. Tada jeodnos povr²ina

PVPK

=2R2π + 2RπH

Rπ√R2 +H2 +R2π

=7

4.

Sre�ivanjem, dobijamo

8R2 + 8RH = 7R√R2 +H2 + 7R2

R + 8H = 7√R2 +H2 ↗2

R2 + 16RH + 64H2 = 49(R2 +H2)

48R2 − 16RH − 15H2 = 0/ : H2

48(RH

)2− 16

(RH

)− 15 = 0.

Re²enja su: RH

= 34i RH

= − 512. Kako je tanα = R

H> 0, to je

α = arctan 34.

64 Informator

10. Neka je aritmeti£ki niz sa op²tim £lanom bn, n ∈ N. Kako jea5 − a4 = b4 = 7 i b4 = b1 + 3d, zaklju£ujemo da je razlika uzastopnih£lanova aritmati£kog niza d = 2. Imamo da je:

a2 − a1 = 1 = b1;

a3 − a2 = 3 = b2;

a4 − a3 = 5 = b3;

. . .

a500 − a499 = 2 · 499− 1 = 997 = b499.

Sabiranjem levih i desnih strana jednakosti imamo

a500 − a1 = 1 + 3 + 5 + . . .+ 997 = 4992.

Dakle, a500 = 2 + 4992 = 249003.


ZADACI-JUN 2013.

1. Uprostiti izraz: (√ab− ab

a+√ab

):

4√ab−

√b

a− b.

2. Izra£unati:

i2008 + i2009

(i− 1)(i2010 − 1)

3. U jedna£ini 3x2 − 3(m − 1)x + m2 + 2 = 0 odrediti vrednostiparametra m tako da koreni jedna£ine zadovoljavaju uslov

x31 + x32 = −2.

4. Re²iti jedna£inu√

2x+ 8 +√x+ 5 = 7.


12 · 16x − 25 · 12x + 12 · 9x = 0 .


log3x

(3

x

)+ log2

3 x = 1

66 Informator

7. Re²iti jedna£inusin 2x+ 2 cos2 x = 0.

8. Odrediti jedna£inu kruga koji prolazi kroz ta£ke A(3, 4) i B(4, 5),a centar mu leºi na krugu x2 + y2 = 50.

9. Kolika je povr²ina pravilne £etvorostrane piramide £ija je osnovnaivica a = 6 cm, a visina 1 cm kra¢a od visine bo£ne strane?

10. Ako je zbir drugog i tre¢eg £lana geometrijskog niza jednak 6, a£etvrti £lan je za 24 ve¢i od drugog £lana, izra£unati prvi £lan niza ikoli£nik niza.



RE�ENJA:

1. (√ab− ab

a+√ab

):

4√ab−

√b

a− b=a√ab+ ab− aba+√ab

· a− b4√ab−

√b

=a√ab(a− b)(

a+√ab)(

4√ab−

√b) =

a√a√b(√

a−√b)(√

a+√b)

√a(√

a+√b)

4√b(

4√a− 4√b)

=a 4√b(√

a−√b)

(4√a− 4√b) =

a 4√b(

4√a− 4√b)(

4√a+ 4√b)

(4√a− 4√b)

= a4√b(

4√a+

4√b)

= a4√ab+ a

√b .

2. Iz i4 = (i2)2

= (−1)2 = 1 sledi da je i2008 = (i4)502

= 1, i2009 =i2008 · i = i i i2010 = i2008 · i2 = −1, te je zato

i2008 + i2009

(i− 1)(i2010 − 1)=

1 + i

−2(i− 1)=

1

2· 1 + i

1− i· 1 + i

1 + i=

1

2· (1 + i)2

1− i2=

1 + 2i+ i2

4=i

2.

3. Kako je x1 + x2 = m− 1 i x1x2 =m2 + 2

3to imamo

68 Informator

−2 = x31 + x32 = (x1 + x2)(x21 − x1x2 + x22

)= (x1 + x2)

(x21 + 2x1x2 + x22 − 3x1x2

)= (x1 + x2)

[(x1 + x2)

2 − 3x1x2]

= (m− 1)[(m− 1)2 − (m2 + 2)

]= (m− 1)(−2m− 1)

odnosno 2 = (m − 1)(2m + 1) = 2m2 − m − 1. Re²enja jedna£ine

2m2−m−3 = 0 su brojevim1 =1 +√

25

4=

3

2im2 =

1−√

25

4= −1,

te su brojevi3

2i −1 traºene vrednosti parametra m.

4. Re²enja date jedna£ine, ukoliko ih ima, moraju zadovoljavati uslove2x+ 8 ≥ 0 i x+ 5 ≥ 0, dakle moraju pripadati skupu [−4,∞). Dakleto su oni brojevi x ∈ [−4,∞) koji zadovoljavaju uslov

√2x+ 8 = 7−

√x+ 5 . (6.2)

Broj x ∈ [−4,∞) zadovoljava jedna£inu (6.2) ako i samo ako zado-voljava konjunkciju slede¢a dva uslova{ √

x+ 5 ≤ 7 ,

2x+ 8 =(7−√x+ 5

)2Dakle re²enja polazne jedna£ine su svi oni brojevi x ∈ R za koje

vaºi −4 ≤ x ,x ≤ 44 ,46− x = 14

√x+ 5

(6.3)

Kako uslov x ≤ 44 povla£i da je 46 − x ≥ 0, to je sistem uslova(6.3) ekvivalentan sa {

x ∈ [−4, 44] ,(46− x)2 = 142(x+ 5)

(6.4)


Imamo (46 − x)2 = 142(x + 5) ⇐⇒ x2 − 288x + 1136 = 0, are²enja poslednje jedna£ine su brojevi 144 +

√2272102 = 284 i 144 −√

2272102 = 4. Sada iz 284 /∈ [−4, 44] i 4 ∈ [−4, 44], sledi da postojijedinstveno re²enje polazne jedna£ine i to je broj 4.

5. Deljenjem obe strane date jedna£ine sa 32x dobijamo ekvivalentnujedna£inu

12 ·(

4

3

)2x

− 25 ·(

4

3

)x+ 12 = 0 . (6.5)

Vidimo da su re²enja polazne jedna£ine svi oni brojevi x ∈ R za

koje je broj(

4

3

)xre²enje jedna£ine 12t2 − 25t+ 12 = 0. Re²enja ove

kvadratne jedna£ine su brojevi25 +

√49

24=

4

3i

25−√

49

24=

3

4. Kako

je(

4

3

)x=

4

3⇔ x = 1 i

(4

3

)x=

3

4⇔ x = −1, to su re²enja polazne

jedna£ine brojevi 1 i −1.

6. Re²enja date jedna£ine moraju zadovoljavati uslove x 6= 0, 3x > 0,

3x 6= 1,3

x> 0 i x > 0. Dakle re²enja ove jedna£ine su svi oni brojevi

x ∈(

0,1

3

)∪(

1

3,∞)

za koje vaºi

log3x 3− log3x x+ log23 x = 1 (6.6)

Kako je

log3x 3−log3x x=1

log3(3x)− 1

logx(3x)=

1

log3 3+log3 x− 1

logx 3+logx x

70 Informator

=1

1+log3 x− 1

1

log3 x+1

, to se smenom s = log3 x jedna£ina (6.6) svodi

na jedna£inu1

1 + s− 1

1

s+ 1

+ s2 = 1

koja je ekvivalentna sa1− s1 + s

+ s2 = 1 (6.7)

Jedna£inu (6.7) zadovoljavaju svi oni brojevi s ∈ R \ {−1} za kojevaºi

(1− s) = (1 + s)(1− s2) = (1 + s)2(1− s) .To su oni brojevi s 6= −1 za koje vaºi 1− s = 0 ∨ 1 = (1 + s)2. Dakleskup re²enja jedna£ine (6.7) je {1, 0,−2}. Otuda su re²enja polazne

jedna£ine svi oni brojevi x ∈(

0,1

3

)∪(

1

3,∞)

za koje vaºi log3 x ∈

{1, 0,−2}, pa je skup re²enja polazne jedna£ine skup {31, 30, 3−2} ={3, 1,

1

9

}.

7. Uslov 0 = sin 2x+2 cos2 x = 2 sin x cosx+2 cos2 x = 2 cos x(sinx+cosx) je ekvivalentan disjunkciji cosx = 0 ∨ sinx = − cosx, a onasa cosx = 0 ∨ (cosx 6= 0 ∧ sinx = − cosx).

Skup re²enja jedna£ine cosx = 0 je skup{π

2+ kπ | k ∈ Z

}.

Uslov cosx 6= 0 ∧ sinx = − cosx je ekvivalentan sa

x /∈{π

2+ kπ | k ∈ Z

}∧ tgx = −1 tj. sa x ∈

{−π

4+ kπ | k ∈ Z

}.

Zaklju£ujemo da je skup re²enja polazne jedna£ine skup{π2

+ kπ | k ∈ Z}∪{−π

4+ kπ | k ∈ Z

}.


8. Neka je K proizvoljan krug, ta£ka C(p, q) njegov centar i broj rnjegov polupre£nik.

Uslov A,B ∈ K je ekvivalentan konjunkciji uslova

C ∈ s i r2 = (3− p)2 + (4− q)2 ,

gde smo sa s ozna£ili simetralu duºi AB. Koe�cijent pravca prave

AB je broj kAB =5− 4

4− 3= 1, pa kako je prava s normalna na pravu

AB, zaklju£ujemo da je koe�cijent pravca prave s broj ks = − 1

kAB=

−1. Prava s sadrºi sredi²te duºi AB £ije su koordinate(

7

2,9

2

), te je

y − 9

2= −

(x− 7

2

), odnosno y = −x+ 8, jedna£ina prave s. Dakle

A,B ∈ K ⇐⇒(q = −p+ 8 i r2 = (3− p)2 + (4− q)2

).

Ta£ka C pripada krugu £ija je jedna£ina x2 + y2 = 50 ako i samoako vaºi p2 + q2 = 50.

Iz prethodnog vidimo da je krug K kakav se traºi ako i samo ako jeure�eni par (p, q) koordinata njegovog centra re²enje sistema jedna£ina{

q = −p+ 8 ,p2 + q2 = 50

(6.8)

pri £emu istovremeno za njegov polupre£nik vaºi r2 = (3−p)2+(4−q)2.

Sistem (6.8) je ekvivalentan sistemu{q = −p+ 8 ,p2 + (8− p)2 = 50

72 Informator

Kako je p2 + (8− p)2 = 50⇔ p2 − 8p+ 7 = 0⇔ p ∈ {7, 1}, to su svare²enja tog sistema ure�eni parovi (7, 8−7) = (7, 1) i (1, 8−1) = (1, 7).Ako je (p, q) = (7, 1) onda je r2 = (3 − 7)2 + (4 − 1)2 = 25. Ako je(p, q) = (1, 7) onda je r2 = (3− 1)2 + (4− 7)2 = 13.

Zbog toga postoje ta£no dva kruga koja zadovoljavaju sve uslovezadatka, i to su dakle krugovi £ije su jedna£ine (x−7)2 +(y−1)2 = 25i (x− 1)2 + (y − 7)2 = 13.

9. Kolika je povr²ina pravilne £etvorostrane piramide £ija je osnovnaivica a = 6 cm, a visina 1 cm kra¢a od visine bo£ne strane?

10. Ako je x prvi £lan, a q koli£nik proizvoljnog geometrijskog niza,onda su prvi, drugi, tre¢i i £etvrti £lan tog niza brojevi x, xq, xq2 ixq3, tim redom, pa niz zadovoljava uslove zadatka ako i samo ako jepar (x, q) re²enje sistema jedna£ina{

xq + xq2 = 6 ,xq3 − xq = 24

(6.9)

Iz xq3−xq = xq(q+ 1)(q− 1) i xq+xq2 = xq(1 + q) imamo da je ovajsistem ekvivalentan sistemu{

xq(1 + q) = 6 ,6(q − 1) = 24

Iz druge jedna£ine ovog sistema dobijamo da je q = 5, a onda iz

prve i da je x =1

5. Zaklju£ujemo da sistem (6.9) ima ta£no jedno

re²enje i to je par (x, q) =

(1

5, 5

).

7

�esto postavljana pitanja

Pitanje: Da li je prijemni ispit teºak?Odgovor: Te²ko je iskreno i nepristrasno odgovoriti na to pitanje.Prijemni ispit je zami²ljen s jedne strane kao �nalna provera kojomDepartman za matematiku obavlja selekciju prijavljenih kandidata, asa druge strane i sami kandidati dobijaju pravu povratnu informacijuo svom znanju matematike. Onima koji kroz srednju ²kolu nisu imaliproblema sa matematikom prijemni ispit ne bi trebalo da predstavljaproblem. Ali testirajte svoje znanje. U prethodnoj glavi su zadaci saprijemnih ispita pa organizujte sebi proveru! Ili do�ite na probni pri-jemni koji se organizuje u sklopu pripremne nastave i sami se uveriteu teºinu zadataka.

Pitanje: �ta mi je potrebno od opreme?Odgovor: Poºeljno je imati ra£unar i pristup internetu, jer ¢ete nataj na£in mo¢i da pratite sve vezano za proces nastave (obave²tenjapredmetnih nastavnika, doma¢e zadatke, seminarske radove,...) kao ida nalazite sadrºaje koji bi mogli da unaprede proces spremanja ispita.

Pitanje: Da li je mogu¢e istovremeno studirati i raditi?

73

74 Informator

Odgovor: Mogu¢e jeste, ali imajte u vidu da kao studenti imateobavezu da prisustvujete nastavi i izvr²avate svoje predispitne obaveze,tako da je te²ko uskladiti i jedno i drugo. Ukoliko imate materijalnihpote²ko¢a, postoje razne studentske stipendije i krediti (Ministarstvoprosvete, nauke i tehnolo²kog razvoja, Republi£ka fondacija za mladetalente, lokalna samouprava, neka preduze¢a itd.) za koje moºete dakonkuri²ete, a uspeh na konkursu zavisi samo od vas i vaseg u£enja.Tako�e, stanovanje u studentskom domu i kori²¢enje studentske kan-tine ublaºava udarce na ku¢ni budºet. Budite u toku sa podno²enjemdokumentacija za stipendije, kredite, studentski dom i kantinu.

Pitanje: Kako odabrati izborni predmet sa spiska ponu�enih?Odgovor: Izborni predmeti se pojavljuju tek na drugoj godini, adotad ¢ete ve¢ malo bolje upoznati razne oblasti matematike. Uvekmoºete pitati za misljenje i starije kolege, mada je najbolje re²enjepogledati sadrºaj predmeta na sajtu i pitati predmetnog nastavnika osamom predmetu.

Pitanje: �ta ako varam na ispitu?Odgovor: Pre svega budite svesni da time £inite ozbiljan prestup, ida ¢ete, ako budete otkriveni, biti i adekvatno kaºnjeni (vise o samimkaznama moºe se na¢i u Statutu fakulteta). Sa druge strane, £ak iakoslu£ajno ne budete otkriveni odmah, to ²to niste nau£ili u okviru pred-vi�enog gradiva ¢e vas sigurno sa£ekati na nekom drugom ispitu, ima-ju¢i u vidu sloºenu strukturu matematike. Uostalom, ni sami studentine vole kada se mu£e da radom i zalaganjem steknu znanje i poloºeispit, dok neko na nepo²ten na£in dolazi do ocena i na taj na£in obe-smi²ljava koncept studiranja kao sticanja znanja zarad op²teg dobra.

Pitanje: �ta ukoliko zakasnim sa prijavom ispita?Odgovor: Ispite je mogu¢e prijaviti i ukoliko je rok za prijavu pro²ao,samo ²to ¢ete u tom slu£aju morati pored prijave ispita da platite i

http://wpresspmf.pmf.ni.ac.rs/?wpfb_dl=35

�esto postavljana pitanja 75

odgovaraju¢u kaznu.

Pitanje: Da li je mogu¢e da neki semestar odslu²am na nekom dru-gom univerzitetu, moºda u inostranstvu?Odgovor: Naravno. Jedna od prednosti bolonjskog procesa je i mo-bilnost predava£a i studenata, u smislu da je mogu¢e iskoristiti neki odbrojnih projekata za razmenu studenata (u delu 2.1 su navedeni pro-grami i univerziteti sa kojima sara�uje Prirodno-matemati£ki fakultetu Ni²u).

Pitanje: Kako se odre�uje visina ²kolarine za obnovu godine?Odgovor: Na osnovu prijavljenih predmeta. Svaki prijavljen predmetza odre�enu ²kolsku godinu nosi odre�eni broj ESP bodova, a svakegodine se utvr�uje cena jednog boda. U zavisnosti od broja predmetakoje prenesete u slede¢u godinu odre�uje se visina ²kolarine.

Pitanje: Moºe li se ispit polagati pre no ²to ga odslu²am?Odgovor: Ne moºe. U Statutu fakulteta iz 2013, £lan 61, stav 1,stoji: Student polaºe ispit neposredno po okon£anju nastave iz togpredmeta, a najkasnije do po£etka nastave tog predmeta u narednoj²kolskoj godini.

Pitanje: Koliko puta imam pravo da iza�em na jedan ispit?Odgovor: Na ispit moºete izlaziti sve do po£etka nastave tog pred-meta u narednoj ²kolskoj godini. Broj izlazaka zavisi od broja ispitnihrokova u tom periodu.

Pitanje: Moºe li se studirati ubrzano?Odgovor: Moºe. Ukoliko u jednoj ²kolskoj godini odaberete daslu²ate i polaºete vi²e predmeta od predvi�enih brºe ¢ete do¢i doukupnog potrebnog broja ESP bodova za zavr²etak nivoa studija nakome se nalazite.

http://wpresspmf.pmf.ni.ac.rs/?wpfb_dl=35

76 Informator

Pitanje: Kakva prava imaju studenti sa posebnim potrebama (inva-liditetom)?Odgovor: Student sa invaliditetom ima pravo da polaºe ispit na na£inprilago�en njegovim mogu¢nostima i potrebama, a u skladu sa poseb-nim pravilnikom.

Ako imate jo² neko pitanje posetite nas!

Ili nas kontaktirajte putem e-maila pm�[email protected], a mi¢emo se potruditi da damo odgovore na sva va²a pitanja. Dosta koris-nih informacija moºete na¢i i na sajtu Fakulteta, uklju£uju¢i i infor-macije o pripremnoj nastavi, konkursu za upis, prijemnom ispitu.

Vi²e informacija o samom Departmanu za matematiku, ali i oaktivnostima nastavnika i saradnika, kao i studenata departmana,moºete prona¢i i na Facebook stranici departmana.

http://www.pmf.ni.ac.rs/pmf/index.php

http://www.facebook.com/pmf.ni.ac.rs

�esto postavljana pitanja 77

78 Informator

Izdavač: Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet, Niš

Priređivači: dr Marija Krstić, dr Milan Zlatanović, dr Nebojša Dinčić, dr Jelena Milošević

Obrada na računaru: priređivači

Dizajn korica: Bratislav Radovanović

Štampa: Unigraf X copy

Tiraž: 100

Zabranjeno je reprodukovanje, distribucija, prerada ili druga upotreba ovog autorskog dela ili njegovih delova, uključujući fotokopiranje, štampanje ili čuvanje u elektronskom obliku, bez pisane dozvole izdavača. Navedene radnje predstavljaju kršenje autorskih prava.

CIP - Каталогизација у публикацији - Народна библиотека Србије, Београд 378.6:51(497.11)"2017"(036) INFORMATOR Departamana za matematiku / [priređivači Marija Krstić ... [at al.]]. - Niš : Prirodno-matematički fakultet,, 2017 (Niš : Unigraf X copy). - 76 str. : ilustr. ; 25 cm Na vrhu nasl.: Univerzitet u Nišu. - Tiraž 100. ISBN 978-86-6275-048-8 a) Природно-математички факултет (Ниш). Департман за математику - 2017 COBISS.SR-ID 231352076

univerzitet u ni u

Documents