UNIDADE DIDÁTICA

DALVA SALES MOLINA SERRANO

ORIENTADOR: PROF. MS. AMAURI JERSI CEOLIM

CAMPO MOURÃO

2011

FACULDADE ESTADUAL DE CIÊNCIAS E

LETRAS DE CAMPO MOURÃO - FECILCAM

APRESENTAÇÃO ...................................................... 03

O QUE É MODELAGEM MATEMÁTICA? ............................ 05

INTERAÇÃO COM O ASSUNTO ..................................... 11

PRIMEIRA PARTE:

Questionário sociocultural ...........................................

11

SEGUNDA PARTE:

Área da superfície corporal .........................................

12

TERCEIRA PARTE:

Estudo teórico sobre Modelagem Matemática .......................

15

QUARTA PARTE:

Questões relacionadas à construção de uma casa ..................

18

MATEMATIZAÇÃO ................................................... 20

MODELAGEM MATEMÁTICA ........................................ 24

REFERÊNCIAS ........................................................ 25

3

sta Unidade Didática foi elaborada para ser utilizada por alunos

do curso de Formação de Docentes e professores com a finalidade de

fornecer subsídios teóricos e práticos para uma melhor compreensão da

”Modelagem Matemática”, sendo resultante de alguns questionamentos sobre o

ensino de Matemática pois o mesmo tem trazido preocupações a professores,

alunos, pais e à sociedade, sobretudo, devido ao baixo rendimento escolar

constatado nas avaliações internas e externas (ENEM, SAEB, 2009). Portanto,

o material propõe alternativas metodológicas que visam auxiliar na melhoria da

aprendizagem desta disciplina dando-se ênfase no trabalho com a Geometria.

A produção da Unidade Didática cumpre as exigências do plano de

trabalho do professor PDE cujas atividades consistem, entre outras em, com o

devido acompanhamento de seu Orientador, elaborar uma produção didático-

pedagógica pertinente ao seu objeto de estudo/problema devidamente

sistematizado no Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, e de acordo

com a sua área/disciplina de ingresso no Programa.

O material com o tema “Modelagem Matemática no ensino de Geometria”

será desenvolvido em 32 aulas de 50 minutos cada, com alunos do curso de

Formação de Docentes do Colégio Estadual Santo Inácio de Loyola EFMN, da

cidade de Fênix, Paraná. As aulas envolverão os seguintes conteúdos: unidades

de medidas, escalas, conceitos geométricos, semelhanças, cálculo de áreas e

de volumes.

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A Modelagem Matemática é uma tendência metodológica da Educação

Matemática que, conforme as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do

Estado do Paraná desta disciplina fundamentam a prática docente.

A forma tradicional da educação não encontra mais aceitação por grande

parte dos educadores, pois a mesma, como coloca Saviani (1988) é classificada

como intelectualista, e às vezes como enciclopédica, pois os conteúdos são

separados da experiência do aluno e das realidades sociais, o que vale é uma

educação formalíssima e acrítica. Com tendência progressista da educação a

Modelagem Matemática encontra o seu espaço contrapondo-se à pedagogia

tradicional. D’ambrósio falando sobre as propostas atuais para se ensinar

matemática afirma que:

A Modelagem Matemática tem como pressuposto a problematização de situações do cotidiano. Ao mesmo tempo em que propõe a valorização do aluno no contexto social, procura levantar problemas que sugerem questionamentos sobre situações de vida. (DCEs, 2008, p. 64).

A Modelagem Matemática tem sido utilizada como uma forma de quebrar a forte dicotomia existente entre a matemática escolar formal e a sua utilidade na vida real. Os modelos matemáticos são formas de estudar e formalizar fenômenos do dia a dia. Através da modelagem matemática o aluno se toma mais consciente da utilidade da matemática para resolver e analisar problemas do dia-a-dia. Esse é um momento de utilização de conceitos já aprendidos. É uma fase de fundamental importância para que os conceitos trabalhados tenham um maior significado para os alunos, inclusive com o poder de torná-los mais críticos na análise e compreensão de fenômenos diários (D’AMBRÓSIO, 1989, p. 3).

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Assim a Modelagem Matemática é uma proposta de trabalho que permite

ao aluno a construção de conceitos matemáticos a partir de uma situação

problema apresentada pelo professor que pode ser por meio de jogos,

resolução de problemas etc.

Conceitos de Modelagem Matemática vêm sendo apresentado por vários

autores. Entre eles podem-se citar:

“Modelagem é um processo muito rico de encarar situações e culmina

com a solução efetiva do problema real e não com a simples resolução formal

de um problema artificial” (D’AMBRÓSIO 1989, p.11).

Veleda e Almeida (2010) apresentam um quadro com definições de

Modelagem Matemática, a partir de um levantamento feito por Broering

(2009), que identificou 50 definições diferentes de Modelagem Matemática

citadas em trabalhos publicados nas edições IV e V da CNMEM. Por

considerarem que algumas definições apresentam caracterizações

semelhantes para Modelagem Matemática, os autores agruparam estas

A Modelagem Matemática é descrita como um processo dinâmico utilizado para obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual (BASSANEZI, 2007, p.24).

Pode ser considerado um processo artístico, visto que, para se elaborar um modelo, além de conhecimento de matemática, o modelador, precisa ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, saber discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas (BIEMBENGUT, 2009, p.12).

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definições de acordo com essas caracterizações, levando em conta termos e

ideias que identificaram.

• Um meio de descrever e/ou estudar problemas da realidade; • Um processo (ou ferramenta) para compreender a realidade; • Um recurso didático que oportuniza tratar de problemas da realidade nas aulas de

Matemática • Um ambiente de aprendizagem que oportuniza aos alunos investigar a realidade por meio

da Matemática (VELEDA e ALMEIDA, 2010, p.6).

Portanto, “O trabalho pedagógico com a Modelagem Matemática

possibilita a intervenção do estudante nos problemas reais do meio social e

cultural em que vive, por isso, contribui para sua formação crítica’ (DCEs,

2008, p.65).

Para se obter o modelo é necessário passar pelo processo da

Modelagem Matemática que conforme Biembengut (2009) é composto por três

etapas: a) Interação com o assunto: Nesta etapa, a situação a ser estudada

será delineada e para torná-la mais clara deverá ser feita uma pesquisa sobre

o assunto escolhido por meio de livros ou revistas especializadas. b)

Matematização: Esta é a fase mais complexa e desafiadora, pois é nesta que

se dará a tradução da situação problema para a linguagem matemática. Assim,

a intuição e a criatividade são elementos indispensáveis. c) Modelo

matemático: O modelo concluído deverá corresponder à situação-problema

apresentada.

O ato de modelar surge de alguma inquietude. De uma situação – problema. Raramente um problema é individual, geralmente ele afeta um grupo que vive uma realidade similar. Daí a relevância, no ensino, de se tomar como tema algo que faça parte da realidade do aluno. É mais fácil para obtenção de dados e na elaboração de questões (BIEMBENGUT e HEIN, in BARBOSA ET AL, 2007, p.36).

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No que se refere às razões para se incluir modelagem no ensino Barbosa

(2004) apresenta cinco argumentos sendo eles: Motivação: A Modelagem

desperta um maior interesse para a aprendizagem de Matemática, pois os

alunos passam a perceber onde e como aplicar o que estudam na escola;

Facilitação da aprendizagem: A compreensão das ideias matemáticas tornam-

se mais fáceis já que é possível o estabelecimento de conexões com outros

assuntos; Preparação para utilizar a matemática em diferentes áreas;

Desenvolvimento de habilidades gerais de exploração; Compreensão do

papel sócio-cultural da matemática, ou seja, os alunos analisam como a

matemática pode ser utilizada nas práticas sociais.

Braz e Ceolim (2010) citando Blum apud Barbosa (2004) colocam que

todos estes motivos são importantes e representam as facetas da Modelagem

na escola, por outro lado destacam o último argumento, ressaltando que “ele

está diretamente conectado com o interesse de formar sujeitos para atuarem

efetivamente na sociedade e, em particular, capazes de analisar a forma como

a matemática é usada nos debates sociais.”

Este argumento para se incluir a Modelagem Matemática no ensino leva

em consideração o interesse na formação matemática do aluno para atuar na

sociedade.

Biembengut (2009) sugere que o professor pode desenvolver o trabalho

com a Modelagem da seguinte forma: Propor uma breve pesquisa e a partir

desta, uma síntese: propor questionamentos sobre o assunto ou sugestões do

que se possa estudar; determinar, face ao que o aluno desconhece, do

conteúdo programático a ser desenvolvido e qual a questão a ser resolvida

primeiro; passar a desenvolver o conteúdo programático; propor exemplos

semelhantes para que o conteúdo não se restrinja ao modelo.

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Ao se representar uma situação real por meio de um modelo matemático

existem vários procedimentos e de acordo com Biembengut e Hein (2007,

p.13-14), esses procedimentos podem ser agrupados em três etapas, que por

sua vez são subdivididos em seis subetapas.

A figura a seguir apresenta o esquema proposto por Biembengut e Hein

(2007, p. 15).

BIEMBENGUT e HEIN (2007, p.15)

Primeira Etapa: Interação

Reconhecimento da situação - problema; Familiarização com o assunto

a ser modelado - referencial teórico.

Nesta etapa, a situação a ser discutida deve ser a delimitação do tema

que é feita com o uso de pesquisas em livros, jornais, revistas e por dados

obtidos juntos a especialista da área.

Segunda Etapa: Matematização

Formulação do problema - hipótese; Resolução do problema em termos

do modelo - aplicação. Depois de reconhecer a situação problema, esta etapa

caracteriza-se na formulação do problema, ou seja, a tradução da situação

Interação

Matematização

Modelo Matemático

situação formulação interpretação

familiarização

resolução

resolução

9

problema para a linguagem matemática que é feita utilizando conceitos que os

alunos já possuem ou vão adquirir.

O objetivo principal desta etapa do processo de modelar é chegar a um

conjunto de expressões aritméticas, fórmulas, equações algébricas, gráficos,

representações ou programa computacional que levem a solução ou permitam a

dedução de uma solução.

Depois de formulado a situação problema cabe agora a resolução, tendo

a necessidade das entidades matemáticas usadas na formulação.

Terceira Etapa: Modelagem Matemática

Interpretação da solução; Validação do modelo - avaliação.

Nesta etapa faz-se uma avaliação para verificar em que nível o aluno se

aproximou da situação problema representada, que é feita através de uma

interpretação do modelo, uma verificação de sua adequabilidade e uma

interpretação da solução. Caso o modelo não atenda as necessidades que o

geraram, o processo deve ser corrigido na segunda etapa (matematização)

mudando ou ajustando a formulação do problema (BIEMBENGUT e HEIN,

2007).

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Este questionário tem o objetivo de coletar dados socioculturais dos

alunos e para se ter um diagnóstico, antes do início das atividades, sobre como

eles veem a Matemática e o ensino da mesma.

1. Nome: ..................................................................................................................................

2. Idade: ................................................................................................................................

3. Sexo: ( ) Masculino

( ) Feminino

4. Você tem facilidade para aprender Matemática?

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5. Você considera a Matemática importante para sua formação pessoal e para

a prática social?

6. Você já tinha ouvido falar de Modelagem Matemática?

7. Seus professores de Matemática já trabalharam com metodologias

diferenciadas como Modelagem Matemática, resolução de problemas,

etnomatemática em sua turma?

( ) Sim

( ) Nunca

( ) Algumas vezes

( ) Sempre trabalharam

8. Você acredita que uma metodologia diferenciada traz vantagens para o

ensino-aprendizagem de matemática? Por quê?

9. Quais seriam os principais obstáculos para a implementação de novas

metodologias no ensino de matemática na escola?

( ) Desinteresse dos alunos;

( ) Dificuldades dos professores;

( ) Obstáculos da Gestão Pedagógica;

( ) Oposição dos pais.

10. No seu entendimento, metodologias diferentes ajudam no processo ensino

aprendizagem?

( ) Sim ( ) Não

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É possível medir a área da superfície corporal? Como isso pode ser

feito?

Esta atividade tem como objetivo calcular com os alunos a superfície

aproximada do corpo de uma pessoa e espera-se com isso estimular a reflexão

do mesmo a respeito de como é possível realizar esta tarefa. A atividade é

interessante para enriquecer os conhecimentos dos alunos, tanto na

aprendizagem de cálculos matemáticos como por utilizar um tema que faz

parte da realidade dos educandos, isto é, seu próprio corpo.

Esta forma de trabalhar possibilita um envolvimento maior dos alunos,

pois desperta o senso crítico para questões sociais, da realidade e do

cotidiano. A proposta de trabalho envolve as três fases da Modelagem

Matemática conforme Bienbengut e Hein (2007), sendo elas: A Interação que

é o reconhecimento da situação (problema); A Familiarização com o assunto a

ser modelado (referencial teórico); A Matematização, ou seja, Formulação do

problema (hipóteses), resolução do problema em termos de modelo; O Modelo

matemático que é uma representação ou interpretação simplificada da

realidade.

Com esta atividade podem ser desenvolvidos os seguintes conteúdos:

medidas de área de cilindro tronco de cone, área de esfera. Medida de massa,

medida de comprimento, radiciação. Também é possível despertar nos alunos

interesse sobre funções que a pele desempenha no nosso corpo fazendo

interdisciplinaridade com outras áreas.

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Para desenvolver a atividade de medir a área da superfície corporal

utilizando a Modelagem Matemática, sugerimos que a turma seja dividida em

equipes, onde cada uma delas escolhe uma estratégia para realizar a atividade

utilizando o material disponível: Barbante e régua. Apenas um aluno por equipe

deve ser escolhido para que sua pele seja medida.

Em seguida coloquem os resultados na tabela abaixo: Área (m²)

Modelagem Do grupo

Área (m²) Para crianças de 3 a 30 kg

Área (m²) Fórmula dos fisiologistas

Área (m²) Fórmula de Mosteller

Grupo 1: Grupo 2: Grupo 3: Grupo 4: Grupo 5: Grupo 6: Grupo 7: Grupo 8:

Fonte: SANT’ANA, Alvino Alves; SANT’ANA, Marilaine de Fraga.

Validação da área da superfície corporal calculada por cada equipe.

Para tanto vamos aplicar as fórmulas apresentadas abaixo, que foram

retiradas do artigo de Santana e Fraga “Modelagem Matemática: uma

experiência inicial” no cálculo da área da superfície corporal para validar os

resultados obtidos pelos grupos.

“Fórmula para crianças de 3 a 30 kg: 30

4mA

+=

“Fórmula dos fisiologistas: ( )3 2

2 11,0 mA =

“Fórmula de Mosteller”: 60

3

mhA =

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O conhecimento teórico sobre Modelagem Matemática é necessário para

que os alunos compreendam como será desenvolvido o trabalho. É preciso que a

prática seja realizada com embasamento teórico, sem perder suas

características. Salienta-se também, que a Modelagem Matemática exige

mudanças de postura tanto de professores quanto de alunos, pois, mediante

esta abordagem interdisciplinar, se faz necessária a passagem de uma

matemática estanque para uma Educação Matemática e isto deve ter

fundamentação teórica para que a prática possa correr efetivamente.

Assim o trabalho é proposto para se desenvolver em forma de seminário

em que os alunos irão apresentar os resultados dos estudos teóricos sobre

Modelagem Matemática desenvolvido da seguinte forma:

1. Preparação: distribuição do texto sobre Modelagem Matemática que

consta no início da Unidade Didática; Leitura e debates em equipes;

Cada equipe ficará responsável por um tópico: O que é Modelagem

Matemática; Caracterização da Modelagem Matemática; etapas da

Modelagem Matemática; razões para se incluir Modelagem Matemática

no ensino. Será também sugerido leitura e análise dos seguintes artigos:

( BARBOSA, 2004) Modelagem matemática: o que é? Por quê? Como?

(VELEDA e ALMEIDA, 2010) Diferentes caracterizações de Modelagem

Matemática na educação matemática: um estudo; (CALDEIRA, 2009)

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Modelagem Matemática: um outro olhar; (BIEMBENGUT e HEIN, 2007)

Modelagem Matemática no ensino.

2. Apresentação: Cada equipe apresentará suas considerações, podendo

utilizar dos recursos didáticos da escola tais como TV Pendrive,

laboratório de informática dentre outros.

1. Relatórios: trabalhos escritos em forma de síntese, onde cada

participante poderá apresentar idéias, análises e considerações sobre o

tema Modelagem Matemática.

O objetivo de se trabalhar as questões relacionadas á construção de

uma casa é o de contextualizar o assunto, iniciando-se com diálogo sobre o que

seria necessário para se fazer uma construção, por exemplo: distância da

construção em relação à rua, posição em relação ao sol, economia de materiais,

pesquisa de preços, qualidade dos produtos, tamanho das peças, porque as

portas normalmente ficam nos cantos, qual a função das janelas. Nesse

momento alem da possibilidade de levantar questões matemáticas que

envolvem geometria plana e espacial, sistemas de medidas, porcentagem,

relações métricas no triângulo retângulo, pode-se, levá-los à reflexão sobre o

problema habitacional no Brasil.

Questão que podem motivar a realização das atividades: “O que é necessário para se fazer uma construção?”

Os alunos discutirão em equipes e após as discussões apresentarão em

um cartaz as respostas possíveis.

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Nesta atividade pretende-se que os alunos façam um diagnóstico da

realidade sócio-econômica e cultural da comunidade onde estão inseridos e

escolham a construção que mais chame a atenção para a realização da maquete.

O papel do professor é o de mediador da relação ensino aprendizagem,

orientando o trabalho tirando dúvidas e colocando novos pontos de vista em

relação ao problema tratado e outros aspectos que permitam aos alunos

pensarem sobre o assunto. Os conteúdos matemáticos a serem trabalhados

serão determinados pelos problemas levantados em decorrência da pesquisa de

campo.

• Formação de equipes.

• Cada equipe escolhe a construção que desejar para fazer a

maquete. Visita do local para realizar as medições.

• Entrevistas com profissionais de obras em construção.

• Escolha de três construções para serem representadas em forma

de maquetes.

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Na matematização torna-se fundamental a construção de elementos de

análise da realidade para ampliar leituras de mundo, fazendo-se uma

intervenção consciente no contexto social do aluno, refletindo criticamente e

teorizando todo o processo de elaboração do saber.

Assim como método de compreensão, de transformação da realidade, o

conhecimento do conteúdo traz contribuições para o processo de

matematização. Na área de matemática, portanto, é possível ressignificar,

contextualizar, problematizar conhecimentos matemáticos, construindo outros

significados para essa área de formação. Após se reconhecer a situação

problema, a característica desta etapa da matematização é a formulação do

problema, ou seja, a tradução da situação problema para a linguagem

matemática que é feita utilizando conceitos que os alunos já possuem ou vão

adquirir.

Para BIEMBENGUT e HEIN (2000), esta é a fase mais complexa e

desafiadora, pois é nesta que se dará a “tradução” da situação problema para a

linguagem matemática.

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No decorrer das atividades envolvidas na construção de Maquetes, os

alunos poderão sentir necessidade de aprofundamento em alguns tópicos que

serão utilizados neste processo, assim destacamos alguns deles que podem ser

pesquisados:

1) Fazer uma pesquisa sobre:

a) Unidade de Medida;

b) Como era feito medidas antes do Sistema Internacional de

Medidas;

c) O que é Sistema Internacional de Medidas;

d) Qual é a unidade de medida no SI

- de comprimento

- de área

- de volume

- de medidas agrárias

- de ângulo plano

2) Ao simular uma construção exemplificamos alguns itens que podem ser

mencionados como: conhecer o perímetro do terreno, a área a ser

construída e quanto tirar ou acrescentar de terra para nivelar o terreno.

Qual unidade de medida é usada para esses itens? E para saber o volume

da caixa d’água?

Os resultados serão apresentados para turma sob a coordenação da

pesquisadora em forma de seminários.

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Os sites sugeridos facilitarão as pesquisas que serão realizadas pelos alunos, pois tratam dos conteúdos que precisarão ser aprofundados. http://pt.wikipedia.org/wiki/Pe_(unidade) http://www.coladaweb.com/fisica/fisica-geral/unidades-de-medidas-e-principais-grandezas

http://www.inmetro.gov.br/consumidor/unidlegaismed.asp

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2211-6.pdf

Após apresentação dos alunos o professor reforçará os conteúdos

vistos incluindo múltiplos de submúltiplos e a conversão entre eles usando tabelas.

Conforme Bienbengut e Hein (2009, p.59) “a maquete é um modelo de

casa que se quer construir”. “Um modelo não é uma verdade definitiva, mas

permite dar uma noção de como será a casa, e calcular a quantidade de

material necessário para a construção”.

Para que se possa montar a maquete propõe-se o trabalho com as

seguintes etapas:

Formação de equipes. Das três Construções escolhidas para fazer as

maquetes, escolhe-se uma para simular a construção da mesma em tamanho

real e com opção de sustentabilidade.

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Algumas equipes fazem as maquetes convencionais e uma equipe faz uma

delas com opção de sustentabilidade ambiental, no caso, energia alternativa.

Os estudantes devem fazer pesquisas sobre o tipo de material

disponível para a construção, entrevistar profissionais da área de construção,

visitar a algumas obras e lojas de materiais de construção. Construir uma

tabela com os dados obtidos.

Devem fazer o orçamento da quantidade de material, levantamento de

custo do material, custo de mão de obra, dentre outros.

Para BIEMBENGUT e HEIN (2000), Modelagem Matemática é o

processo envolvido na obtenção de um modelo. Por meio da Modelagem

Matemática no problema envolvido, os alunos deverão chegar a um modelo que

pode ser uma expressão ou tabela que represente as sínteses e solução do

problema:

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O que é necessário para se fazer a construção de uma casa?

Apresentação das maquetes e do orçamento dos gastos relacionados às

construções reais realizados, inicialmente para a turma. Na sequência, em uma

data a ser escolhida pelos alunos, professor e direção, estes trabalhos serão

apresentados para a comunidade escolar a fim de mostrar a produção dos

alunos, a relação entre o que aprenderam e o que executaram, com o intuito de

verificar se os objetivos foram alcançados.

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BARBOSA, J. C. Modelagem matemática e os professores: a questão da formação. Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, n.15, p.5-23, 2001. BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por quê? Como? Revista Veritati, n. 4, p. 73-80, 2007. BASSANEZI, R.C. Ensino –aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2007. BRAZ, B. C. CEOLIM, A. J. A modelagem matemática na formação de professores na modalidade normal em nível médio: uma experiência. Campo Mourão: FECILCAM. V EPCT. 26 A 29 DE OUTUBRO DE 2010. BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Contexto, 2007. CALDEIRA, Ademir Donizeti. Modelagem Matemática: um outro olhar. Alexandria Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.2, n. 2, p. 33-54, jul. 2009 D’AMBROSIO, B. S. Como ensinar matemática hoje? Temas e Debates. SBEM. Ano II. N2. Brasilia. 1989. P. 15-19. D’AMBROSIO, Ubiratan. Desafios da Educação matemática no novo milênio. Educação Matemática em Revista-SP, n. 11, p. 14-17, dez. 2001. PARANÁ. Diretrizes Curriculares para o ensino de Matemática do Estado do Paraná, Curitiba, SEED, 2008. SANT’ANA, Alvino Alves; SANT’ANA, Marilaine de Fraga. Modelagem Matemática: Uma experiência inicial. In: V Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática.

24

VELEDA, G. G; ALMEIDA, L.M.W. Diferentes caracterizações de modelagem matemática na educação matemática: um estudo. IV EPMEM – ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e a aprendizagem de matemática Maringá – PR, 11 a 13 de Novembro de 2010.

25