Ünite 3 fonksİyon kavrami

Amalar

Bu niteyi altktan sonra; fonksiyon kavramn tanyacak, bir fonksiyonun bire-bir ve rten olup olmadn aratrabilecek, iki fonksiyonun bilekesini bulabilecek, ters fonksiyon kavramn anlayacak, fonksiyon grafii kavramn renip baz fonksiyonlarn gra-

fiklerini izebileceksiniz.

indekiler

Giri 83 Fonksiyon Kavram 83 Fonksiyon Grafikleri 98 Deerlendirme Sorular 116

NTE

3Fonksiyon Kavram

YazarProf. Dr. Vakf CAFEROV

A N A D O L U N V E R S T E S

alma nerileri

Yazarak alnz Bir kavram anlamadan dierine gemeyiniz zmleri size braklan sorular mutlaka znz ve cevapla-

rnz kontrol ediniz Grafikleri doru izebilmek iin yannzda kareli kat ve cet-

vel bulundurunuz Hesap makinesinden yararlannz.

A I K R E T M F A K L T E S

1. GiriFonksiyon kavram matematiin en temel kavramlarndan birisidir. Bu kavram ta-nmlamadan nce birka rnei ele alalm.

i) Fiyat 40 000 TL olan ekmekten x tane aldmzda deyeceimiz paraya ydersek

y = 40 000 x

yazabiliriz. Burada deyeceimiz parann aldmz ekmein miktarna balolduu aktr. Ekmek miktar deitike denecek para da deiecektir. te budurumda denecek para alnan ekmek miktarnn bir fonksiyonudur diyoruz.

ii) Bir emberde, evre uzunluu, r yarap olmak zere , = 2r olduunubiliyoruz. Burada da yarap deitike evre uzunluu deiecek ve her bir ya-rap iin evre uzunluu olarak tek bir say bulunacaktr. Bu durumda da evreuzunluu yarapn bir fonksiyonudur diyoruz.

iii) Hava direncinin olmad bir ortamda belirli bir ykseklikten serbest brak-lan bir cismin ald s yolu ile t zaman arasnda

bantsnn varln fizik derslerinden biliyoruz. Burada da s yolu t zaman-na baldr. Yani t deitike s de deimektedir. Bu durumda da s yolu t zama-nnn bir fonksiyonudur diyoruz.

2. Fonksiyon KavramYukardaki rneklerle sezdirmeye altmz fonksiyon kavramnn kesin tanm-n verelim.

Bo kmeden farkl A ve B gibi iki kme verilsin. A kmesindeki her bir elemana Bkmesinden bir ve yalnz bir eleman karlk getiren bir elemeye A kmesinden Bkmesine bir fonksiyon denir.

Bu eleme genellikle bir kuralla verilir. Bu kural ou kez f, g,..., h gibi harflerle gsteri-lir. A kmesinden B kmesine f kural ile verilen fonksiyon f : A B eklinde gs-terilir. Bu durumda A kmesine f fonksiyonunun tanm kmesi , B kmesine de de-er kmesi denir. A kmesinden alnan bir x elemanna B kmesinden f ile kar geti-rilen elemana x in f altnda grnts denir ve bu eleman f(x) ile gsterilir. A k-

F O N K S Y O N K A V R A M I 83

s = 12

gt2 , g = 9,8 m / sn2


mesindeki tm elemanlarn f fonksiyonu altndaki grntlerinin oluturduu k-meye f fonksiyonunun grnt kmesi denir ve f (A) ile gsterilir. Bazen, f : A Bfonksiyonuna A zerinde bir fonksiyon da denir.

rnein, A ve B kmeleri olarak Z tamsaylar kmesini alalm ve her tam sayy ka-resi ile eleyen elemeyi dnelim. Bu elemede her tam sayya karlk o saynnkaresi olan bir tam say vardr ve bu tamsay tektir. Bu nedenle bu elemeye bir fonk-siyondur diyebiliriz. Bu fonksiyon,

f : Z Z, x x2

veya

f : Z Z, f (x) = x2

eklinde gsterilir. Bu fonksiyon altnda 0 n grntsnn 0, - 1 ile 1 in grnt-snn 1, - 4 ile 4 n grntsnn 16 olduunu u ekilde ifade ederiz: f (0) = 0 ,f (-1) = 1, f (1) = 1, f (- 4) = 16, f (4) = 16. Bu fonksiyonun tanm ve deer kmeleri Ztam saylar kmesi iken her tam saynn karesi pozitif tam say veya 0 olduundangrnt kmesi, f (Z) = IN {0} dr. Bu fonksiyonu Venn emas ile yle gs-terebiliriz.

Tanm kmesine ait her bir elemann bir fonksiyon altndaki grnts tek olmakzorundadr, ancak tanm kmesine ait farkl iki elemann grnts ayn olabilir.rnein yukardaki f fonksiyonunda f (-1) = f (1) = 1 dir.

nitenin balangcndaki birinci rneimizde, alnan ekmek says doal saylarlaifade edildiinden tanm kmesi IN doal saylar kmesi, deer kmesi ise, satnalnan ekmek says 40 000 kat ile elendiinden o da IN olarak alnabilir. Buna grebu fonksiyon u ekilde ifade edilir:

g: IN IN, g (x) = 40 000x.

Burada deer kmesi, 40 000 den byk doal saylar kmesini ieren herhangi birkme de olabilir. rnein Z, Q veya IR alnabilir:

F O N K S Y O N K A V R A M I84

Z Zf

4

10-1

-4 0

1

16

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. ..

. ..

. ..


h: IN Z, h (x) = 40 000x,k: IN Q, k (x) = 40 000x,l: IN IR, l (x) = 40 000x.

Ancak bu durumlarda fonksiyon doal saylar kmesinden doal saylar kmesinedeil, doal saylar kmesinden srasyla tamsaylar, rasyonel saylar veya gerelsaylar kmesine tanmlanm bir fonksiyon olur. Bu fonksiyonlarn grntleri ay-ndr ve hepsinde 40 000 den byk doal saylar kmesidir. kinci ve nc r-neklerimizi bir fonksiyon olarak yle ifade edebiliriz:

t: IR + IR , t (r) = 2r,burada yarapn herhangi bir pozitif gerel say olabileceine dikkat ediniz,

burada da her trl kesirli zamann llebildiini varsaym bulunuyoruz. Bu sonrneklerimizden de grld gibi, bir fonksiyonda tanm kmesinin elemanlar xden farkl harflerle de gsterilebilir. rnein yukardaki f fonksiyonu, f : Z Z,f (n) = n2, veya f : Z Z, f (u)= u2 eklinde de ifade edilebilir. Bir fonksiyondanemli olan,tanm ve deer kmelerinin elemanlarnn, bunlar farkl harfle gsteril-mek kouluyla, hangi harfle gsterildii deil, tanm ve deer kmeleri ile bu k-melere ait elemanlarn nasl elendii, yani kural nemlidir.

Alan 10 birim olan dikdrtgeninin yksekliini x taban uzunluunun fonksiyo-nu olarak yaznz.

Cevabnz

rnek: Yukarda verilen g , t, s fonksiyonlarna gre g (10), t (3) ve s (5) grnt-lerini bulalm.

zm: g : IN IN, g (x) = 40 000x olduundan g (10) = 40 000. 10 = 400 000 ,buna gre 10 ekmein bedelinin 400 000 TL olduu aktr.

t: R + IR , t (r) = 2r olduundan t (3) = 2. 3 = 6 18,84 , buna gre, yara-p 3 cm olan bir emberin evresi yaklak olarak 18,84 cm dir.

buna gre, yeteri kadar yksek bir yerden serbest dmeye braklan bir cisim 5 sa-niyede 122,5 m yol alr.


s : IR+ IR , s t = 12

gt2 ,

s : IR+ IR , s t = 12

gt2 , g = 9,8 m / sn2 olduundan

s 5 = 12

9,8 . 52 = 4,9 . 25 = 122,5 ,

?f x = 10x olmaldr.


rnek: A = {x| x Trkiyede bir il}, B = IN olmak zere, her ili trafikteki plaka numa-rasna gnderen bir fonksiyondan sz edebiliriz. Bu fonksiyona gre Eskiehir ingrnts 26, stanbulun grnts 34 dr. Bu fonksiyona p dersek, p(Eskiehir) =26, p(stanbul) = 34 yazabiliriz.(Bu fonksiyonda 1 i 01, 2 yi 02,..., 9 u 09 eklinde gste-riyoruz.)

rnek: f:IR IR, f(x)= x2-2x fonksiyonu veriliyor. f(1) + f(-1) i bulunuz.

zm: Fonksiyon tanm kmesinin her bir x elemann bu elemann karesi ile 2 ka-tnn farkna gndermektedir. Yani x x2-2x dir. Buna gre f(1)= 12 - 2.1= -1, f(-1)= (-1)2 - 2.(-1)= 3 olduundan f(1) + f(-1)= -1 + 3= 2 dir.

rnek: f : IR IR, f (x) = x3- 4x2 + 2x + 1 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyon kuralnagre her x gerel says x3 - 4x2 + 2x + 1 gerel says ile elenmektedir. imdi f (0), f (1), f (-3), grntlerini bulalm. Bunun iin fonksiyonun kuralnda xyerine ilgili sayy yazp gerekli ilemleri yapacaz.

f (0) = 03- 4.02 + 2.0 + 1 = 1 , f (1) = 13 4.12 + 2.1 +1 = 1- 4 + 2 + 1 = 0 ,

f (-3) = (-3)3 4.(-3)2 + 2.(-3) + 1 = -27 36 6 + 1 = - 68 ,

f:IR IR, f(x)= x2 - 2x fonksiyonu iin f() ve f(-2) saylarn bulunuz.

Cevaplarnz 3,58 ve 8 olmaldr.

f : A B fonksiyonu verildiinde tanm kmesine ait bir x elemannn bu fonksiyonaltndaki grntsnn f (x) eklinde gsterildiini yukarda ifade etmitik. f (x) de bazen y,z ..gibi harflerle gsterilir. Bir fonksiyonun tanm ve deer kmeleriaka biliniyor ve eleme f (x) gibi bir kuralla ifade edilebiliyorsa, fonksiyon ksaca,y = f (x) eklinde de gsterilir. rnein her gerel sayy 2 kat ile eleyen fonksiyon, f: IR IR, f (x) = 2x gsterimi yerine, ksaca y = 2x biiminde de gsterilmekte-dir. Ancak bu tr gsterimlerde tanm ve deer kmelerinin ok ak olarak bilini-yor olmas gerekir. Burada x tanm kmesindeki tm elemanlar tararken y de x ebal olarak deiecektir. Bu nedenle x e bamsz deiken y ye de baml dei-ken denir. Bir fonksiyonda tanm kmesi, IR gerel saylar kmesinin alt kmesiise fonksiyona gerel deikenli fonksiyon denir.

f : A A, f (x) = x fonksiyonuna A kmesinin birim fonksiyonu denir ve IA ek-linde gsterilir. Szle ifade edersek, bir kmenin her bir elemann kendisiyle ele-yen fonksiyona bu kmenin birim fonksiyonu denir.

f : A B , f (x) = c , yani A kmesinin tm elemanlarn B kmesinin tek bir celeman ile eleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.


f 2

f 2 = 2 3 - 4 . 2 2 + 2 . 2 + 1 = 2 2 - 8 + 2 2 + 1 = 4 2 - 7 - 1,343 .

?


f : A B, g : C D fonksiyonlar verilsin. Eer aadaki koullar salanrsa bu ikifonksiyona eittir denir ve f = g eklinde gsterilir.

i) A = C,ii) B = D,iii) her x A (= C ) iin f (x ) = g (x).

Bir fonksiyonda asl olann tanm kmesi ve tanm kmesindeki her bir elema-nn ne ile elendii diyorsanz, o zaman iki fonksiyonun eitlii iin deer kme-lerinin eitlii koulunu aramayabilirsiniz.

rnek : A = {0,2}, B = {0,4} olmak zere, f : A B, f (x) = 2x, g: A B , g (x) = x2fonksiyonlar yukardaki koullar saladndan bu iki fonksiyon eittir.

Gerel deikenli bir fonksiyon, y = f (x) biiminde verilip tanm kmesi akaverilmemise, bu durumda tanm kmesi olarak fonksiyonun kuralnn anlamlolduu en geni gerel saylar kmesi fonksiyonun tanm kmesi olarak alnr.

rnek: y = f (x) = fonksiyonunun tanm kmesi aka verilmemitir. Bu

durumda n anlaml olduu (yani bir gerel say olduu) en geni gerel

saylar kmesini bu fonksiyonun tanm kmesi olarak alacaz. ifadesinde x

yerine 3 den farkl hangi sayy yazarsak yazalm bir gerel say bulabiliriz. Ancak

x = 3 iin payda sfr olur, bir saynn sfra blm ise tanmszdr. Bu nedenle bu fonk-

siyonun tanm kmesi olarak IR {3} kmesini alacaz. Yani y = fonksiyo-

nunu, f : IR {3} IR, f (x) = fonksiyonunun ksaca ifade edilmi biimi

olarak kabul edeceiz.

rnek: y = fonksiyonunun tanm kmesini bulalm. zm: Bu fonksiyonun kural x dir. Bu kuraln anlaml olabilmesiiin 4 + x 0 olmaldr. Bu eitsizliin zm kmesi, [- 4, ) olduundan fonksi-yonun tanm kmesi [- 4, ) dr. Bu fonksiyonu da g : [- 4, ) IR, g (x) = fonksiyonu olarak anlayacaz.

y = g (x) = fonksiyonunun tanm kmesini bulunuz.

y = h (x) = fonksiyonunun tanm kmesini bulunuz.

Birinci soruda cevabnz [-2,2] aral , ikinci soruda ise IR olmalyd. Nedenlerinidnnz.

Saylarla yaplan baz ilemler , fonksiyonlarla da yaplabilir.


4 - x2

4 - x23

??

1x - 3

1x - 3

1

x - 3

1x - 3

1x - 3

4 + x

4 + x

4 + x


f : A IR, g : A IR fonksiyonlar verilsin. Her x A iin x i f(x) + g (x) ile ele-yen fonksiyona f ile g nin toplam denir ve f+g ile gsterilir. Buna gre,

f + g : A IR, (f + g) (x ) = f (x) + g (x).

Benzer ekilde ,

f - g : A IR, (f - g) (x ) = f(x) - g(x)

fonksiyonuna f ile g nin fark ,

f.g: A IR, (f.g) (x) = f (x) .g (x)

fonksiyonuna f ile g nin arpm,

fonksiyonuna da f ile g nin blm denir.

rnek: f: IR IR, f (x) = -2 x2 + 3x - 4,

g: IR IR, g (x) = x2 +1

fonksiyonlar veriliyor.

i) (f + g) (2), (f - g) (2), (f . g) (2), (2) ,

ii) (f + g) (x), (f- g) (x), (f . g) (x), (x)

deerlerini bulalm.

zm:

i) (f + g) (2) = f (2) + g (2) = (-2.22 + 3.2 - 4) + (22 +1) = - 6 + 5 = -1,

(f g) (2) = f (2) - g (2) = (-2.22 + 3.2 - 4) - (22 +1) = - 6 - 5 = -11,

(f.g) (2) = f (2).g (2) = (-2.22 + 3.2 - 4) . (22 +1) = - 6.5 = -30,

bulunur . Benzer ekilde,


fg : A IR ,

fg x =

f x g x ( her x A iin g x 0 )

fg

fg

fg 2 = f 2 g 2

= - 2 . 22 + 3 . 2 - 422 + 1

= -65


ii) (f + g) (x) = f (x) + g (x) = (-2x2 +3x - 4) + (x2 + 1) = -x2 +3x -3,

(f - g) (x) = f (x) g (x) = (-2x2 +3x - 4) - (x2 + 1) = - 3x2 +3x -5,

(f.g) (x) = f (x) .g (x) = (-2x2 + 3x - 4) (x2 +1 ) = -2 x4 + 3x3 - 6x2 + 3x - 4,

(f + g) (2), (f g) (2), (f . g) (2), ( 2) saylarn son bulduumuz kurallara

gre bulup, yukarda bulunan deerlerle karlatrnz.

f(x)= x2 + 3x -5 ve g(x)= -x2 + 3x + 4 fonksiyonlarnn toplamn ve farkn bulunuz.

Cevaplarnz 6x -1 ve 2x2 -9 olmaldr.

Bire bir fonksiyon

f: A B fonksiyonu verilsin. Eer her x1, x2 A ve x1 x2 iin f (x1) f (x2) isef fonksiyonuna bire bir (1-1) fonksiyon denir. Szle ifade edersek, tanm kmesi-nin herhangi farkl iki elemannn grntleri farkl ise, fonksiyona bire bir fonksi-yon denir.

rnek: f : IN IN , f (x) = 40 000 x fonksiyonu bire birdir. nk x1, x2 INve x1 x2 iin 40 000 x1 40 000 x2 olduundan f (x1) f (x2) dir.

rnek: f: IR IR , f (x) = x2 fonksiyonu bire bir deildir. rnein -2 2 oldu-u halde f (-2) = f (2) = 4 dr. Farkl iki elemann grnts eit olduundan bu fonksi-yon bire bir olamaz.

rnek: f : IR IR , f (x) = x2 - 6x + 7 fonksiyonunun bire bir olup olmadnaratrnz.

zm: Her x1 , x2 IR ve x1 x2 iin f (x1) f (x2) olup olmadn grmekkolay grnmemektedir. Bu rnekte f(1) = 1- 6 + 7 = 2, f (5) = 25 - 30 +7 = 2 dir. Farkliki elemann grntleri eit olduundan bu fonksiyon bire - bir deildir. Sizde burnek iin grntleri eit baka saylar bulabilirsiniz. Ancak her zaman bu kadaransl olmayabiliriz. Aadaki nermeyi ispatladktan sonra, fonksiyonlarn bire bir olup olmadklarn biraz daha kolay aratrabiliriz.

nerme: f : A B fonksiyonu verilsin. Eer her x1, x2 A ve f (x1) = f (x2) ikenx1= x2 oluyorsa, f fonksiyonu bire birdir.


fg x =

f xg x =

-2x2 + 3x - 4x2 + 1

.

fg ?

?


spat: Bire birliin tanmna gre, her x1, x2 A ve x1 x2 iin f (x1) f (x2)olduunu gstermeliyiz. En az bir x1 , x2 A , x1 x2 iin f (x1) = f (x2) olamaz.nk, f (x1) = f (x2) olsayd, hipoteze gre, x1= x2 olurdu. Bu ise x1 x2 ileeliirdi.

Bu nerme bire birliin ikinci tanm olarak alnabilir. Buna gre, her x1, x2 A ve f (x1) = f (x2) iken x1= x2 oluyorsa, f fonksiyonu bire birdirdiyebiliriz.

rnek : Yukarda en son verdiimiz rnein bire bir olmadn bir de bunermeyi kullanarak grmeye alalm.

f: IR IR , f (x) = x2 6x + 7 olduundan f (x1) = f (x2) ise x12 - 6x1 + 7 = x22 6x2 + 7dr. Buradan

x12 - 6x1 - x22 + 6x2 = 0,

(x1 - x2) (x1 + x2 - 6) = 0,

x1 = x2 veya x1 + x2 = 6

bulunur. Bu eitliklerin manas tanm kmesi olan IR den alnan iki saynn f altndagrntleri eitse ya bu saylar eittir, ya da bu saylarn toplam 6 dr. Tanm kme-si olan IR deki saylarn toplam 6 ise bu saylar eit olmak zorunda olmadndan(rnein 1 ile 5, 2 ile 4 ... gibi) fonksiyon bire bir deildir.

rnek: f: IR IR, f (x) = 2x + 1 fonksiyonunun bire bir olduunu gsteriniz.

zm: Herhangi x1 , x2 gerel saylar iin f (x1) = f (x2) ise x1 = x2 olduunugstermeliyiz.

f (x1) = f (x2) ise 2x1 + 1= 2x2 +1 dir. Buradan 2x1 = 2x2, x1 = x2 elde edilir. Dolay-syla fonksiyon bire birdir.

rnek: f: IR+ {0} IR , f (x) = x2 fonksiyonunun bire bir olup olmadn aratr-nz.

zm: Herhangi x1 , x2 IR + {0} iin f (x1) = f (x2) ise x12 = x22 dir.Buradan x12 x22 = 0, (x1 x2) (x1 + x2) = 0 buradan da x1 - x2 = 0 veya x1 + x2 = 0olmaldr. Bu eitliklerin birincisinden x1 = x2 , ikincisinden x1 = - x2 elde edilir. kincieitlik sadece x1= x2= 0 iin dorudur (x1 0 , x2 0 olduunu hatrlaynz).Bu nedenle x1 = x2 olmak zorundadr. Dolaysyla fonksiyon bire birdir.

IR zerinde tanml f(x)= x2 fonksiyonunun bire bir olmadn gstermitik. Burnekle, fonksiyonun bire birliinin, fonksiyonun kural kadar tanm kmesine debal olduunu grm olduk.



f:IR IR, f(x)= x3 -x fonksiyonunun bire-bir olmadn gsteriniz.

(f (0) ve f (1) deerlerini karlatrnz).

Bir fonksiyonun sadece kuralna bakarak bire birliine karar veremeyiz. Kural-la birlikte tanm kmesini de gz nne almamz gerekir.

rten fonksiyon

f : A B fonksiyonu verilsin. Eer f (A) = B ise yani deer kmesindeki herhangi bireleman tanm kmesindeki en az bir elemann grnts ise, f fonksiyonuna r-ten fonksiyon denir. Fonksiyonun rtenliini yle de ifade edebiliriz. B deer k-mesinden alnan herhangi bir b elemanna karlk, f (a) = b olacak ekilde A tanmkmesinden en az bir a eleman bulunabiliyorsa , f fonksiyonu rtendir denir.

rnek: f : IR IR , f (x) = 2x +1 fonksiyonunun rten olup olmadn aratralm. zm: Fonksiyonun rten olduunu grmek iin her bir b IR iin f (a ) = bolacak ekilde en az bir a IR nin varln grmeliyiz.

f (a) = b ise 2a + 1 = b

dir. Buradan bulunur. b gerel says iin de bir gerel saydr

ve fonksiyonun tanm kmesinin elemandr. Bylece herhangi bir b saysna karlk f (a) = b koulunu salayan bir a says bulabildiimizden fonksiyon rtendir.

rnek: g: IR IR, g (x) = x2 fonksiyonunun rten olmad aktr. nk de-er kmesinden alacamz herhangi bir negatif say, rnein - 1 , hibir gerel say-nn karesine eit olamaz, dolaysyla tanm kmesine ait hibir elemann grntsdeildir.

Buna karlk f : IR IR + {0}, f (x) = x2 fonksiyonu rtendir. nk deer kme-sinden alnacak herhangi bir b deeri, hem hem de nin grntsdr.

Bir fonksiyonun sadece kuralna bakarak rten olup olmadna karar vereme-yiz. Kuralla birlikte deer kmesini de gz nne almamz gerekir.

Bir fonksiyonun tanm kmesi ve kural deitirilmeden, fonksiyon rten bir fonk-siyona dntrlebilir. Bunun iin deer kmesi olarak grnt kmesini almakyeterlidir. Yani, f : A f (A) fonksiyonu daima rten fonksiyondur.

Bir fonksiyonun bire-bir veya rten olmadn gstermek iin tanmlarla uyu-mayan elemanlar (saylar) bulmak yeterli iken bu zelliklerin varln grmekiin genel ispat yapmamz gerektiine dikkat ediniz.


a = b - 12

a = b - 12

?

- b b


f:[-2, 3] B, f(x)= x2 fonksiyonunun rten olmas iin B kmesi ne olmaldr?

Cevabnz B= [0, 9] aral olmaldr.

Bileke Fonksiyon

f :A B, g : B C fonksiyonlar verilsin. Herhangi bir xA elemann g (f (x))ile eleyen, yani x i f (x) in g altndaki grnts ile eleyen fonksiyona f ile g nin bi-lekesi denir ve gof ile gsterilir.

Buna gre, gof : A C , (gof) (x) = g (f (x)) dir.

gof fonksiyonunun tanm kmesinin f nin tanm kmesi olan A, deer kmesininise g nin deer kmesi olan C olduuna dikkat ediniz.

rnek : A = {-1, 2, 3}, B = {0,1,4,5}, C = {1,2} kmeleri veriliyor. Bu kmeler zerinde,

f : A B , f (- 1) = 5, f (2) = 0, f (3) = 1,

g : B C , g (0) = 1, g (1) = 1, g (4) = 2, g (5) = 2

fonksiyonlar tanmlanyor.

gof fonksiyonunu bulunuz.

zm: gof : A C, (gof) (-1) = g (f (- 1)) = g (5) = 2,

(gof) (2) = g (f (2)) = g (0) = 1,

(gof) (3) = g (f(3)) = g (1) = 1dir.


A f Bg

C

-1

2

3

0

1

4

5

1

2

A f Bg

C

f(x)

gof g(f(x))x

?


rnek: f: IR IR, f (x) = 3x + 1, g : IR IR , g (x ) = x2 4 fonksiyonlar veriliyor. (gof) (1), (gof) (2), (gof) (x), (fog) (1), (fog) (2) ve (fog) (x) g-rntlerini bulalm.

zm: (gof) (1) = g (f (1)) = g (3.1+1) = g (4) = 16 - 4 = 12,

(gof) (2) = g (f (2)) = g (3.2 +1) = g (7) = 49 - 4 = 45,

(gof) (x) = g (f (x)) = g ( 3x+1) = (3x +1 )2 - 4 = 9x2 + 6x -3.

Bu son eitlikle gof fonksiyonunun kuraln bulmu olduk. (gof) (1) ve (gof) (2) g-rntlerini bu kural yardmyla da bulabileceinizi grnz. Dier sorulara cevapvermeden nce unu ifade edelim: gof tanml iken fog tanml olmayabilir. fog nintanml olabilmesi iin g nin grnt kmesinin f nin tanm kmesinin bir alt kmesiolmas gerektiini grmeye alnz. Bu soruda bu koul salanmaktadr. Bu ne-denle soru anlamldr.

(fog) (1) = f (g (1)) = f (12 - 4) = f (-3) = 3.(-3) +1 = - 8,

(fog) (2) = f ( g(2)) = f (22 -4) = f (0) = 3.0 +1 = 1,

(fog) (x) = f (g (x)) = f (x2 - 4) = 3 (x2 4) + 1 = 3x2 11.

Bu rnekten de grld gibi, genel olarak

gof fog

dir.

f : A B, g: B C, h : C D fonksiyonlar verildiinde

fo (goh) = (fog) ohdir.

fonksiyonlar verilsin.gof ve fog bileke fonksiyonlarn bulunuz.

Cevaplarnz gof: IR+ { 0 } IR , (gof) (x) = - x - 1 , fog ise "tanmszdr" olmaldr.

rnek: f: IR IR, f (x) = x2 +1 olduuna gre f (x - 2) yi bulunuz.

zm: g (x) = f (x - 2) dersek, g fonksiyonu h (x) = x - 2 fonksiyonu ile f (x) =x2 + 1 fonksiyonunun bilekesidir. Bu nedenle g (x) i bulmak iin x2 + 1 ifadesin-de x yerine x 2 yazmak yeterlidir. Buna gre,

f (x - 2) = (x - 2)2 + 1 = x2 - 4x + 5 bulunur.


f : IR+ 0 IR , f x = x ve g : IR IR , g x = -x2 - 1 ?


g: IR IR, g (x) = x3 4x + 2 olduuna gre , g (x + 1) i bulunuz.

Cevabnz x3 + 3x2 - x -1 olmaldr.

Ters fonksiyon

f: A B fonksiyonu verildiinde tanm kmesine ait herhangi bir elemann g-rntsn, dier bir deyile x in resmini f(x) kural ile bulabiliyoruz. Acaba resmibilirsek asl bulabilir miyiz? imdi bu soruya cevap vermeye alacaz. f (A) g-rnt kmesinden alnan herhangi bir eleman, grnt kmesinin tanm gere-i, tanm kmesinden en az bir elemann grntsdr. Bu nedenle herhangibir b f (A) elemanna karlk f (a) = b olacak ekilde en az bir a A elemanbulabiliriz. Ancak fonksiyon bire bir deilse b ye karlk bulunan a birden fazlaolabilir. Eer f fonksiyonu bire bir olursa, herhangi bir b f( A) iin f (a) = bolacak ekilde tek bir a A bulunur ve dolaysyla ters ynde bir elemeyle, yani f(A) dan A ya tanmlanan yeni bir fonksiyonla b ye kar gelen a y bulabiliriz. tebu elemeye f nin ters fonksiyonu denir.

f: A B bire bir fonksiyonu verilsin. f (A) grnt kmesinden alnan herhan-gi bir grnty (resmi) A daki aslna gnderen fonksiyona f nin ters fonksiyonudenir ve f -1 ile gsterilir.

Buna gre,

f -1: f (A) A, f-1 (b) = a f (a) = b.

rnek: A ={1,2,3,4}, B ={- 1, - 4, - 7, -10, - 15 } olmak zere A dan B ye aadakiVenn emas ile verilen f fonksiyonu tanmlanyor.

Bu f fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulalm.

f nin bire bir olduu aka grlmektedir. Bu nedenle f (A) = {- 1, - 4, - 7, - 10 } kme-sinden A kmesine f -1 tersi fonksiyonu vardr.

f -1 : {- 1, - 4, - 7, - 10 } {1, 2, 3,4}

ve


?

A f B

1

2

3

4

-1

-4

-7

-10

-15


f (1) = -1 olduundan f -1 (-1) = 1,

f (2) = - 4 f -1 (- 4) = 2,

f (3) = -7 f -1 (-7) = 3,

f (4) = -10 f -1 (- 10) = 4

dir. f1 fonksiyonunun Venn emas ile gsterimi aadaki gibidir.

i) f: A B fonksiyonunun ters fonksiyonu varsa, f -1: f (A) A tersfonksiyonunun bire bir ve rten olduuna dikkat ediniz.ii) f fonksiyonu bire bir ve rten ise, ters fonksiyonun deer kmesinden tanmkmesine tanmlandna dikkat ediniz.

rnek: f : IR+ {0} IR, f (x) = x2 +1fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz.

zm: Ters fonksiyonun olmas iin f nin bire bir olmas gerekir. imdi bunuaratralm.

x1 , x2 IR+ {0} iin f (x1) = f (x2) ise x1 = x 2 olduunu grmeliyiz.

f (x1) = f (x2) x12 +1 = x22 +1

(x1 x2) (x1 + x2) = 0,

buradan da x1 = x2 veya x1 = - x2 bulunur. x1, x2 IR + {0} olduundan x1 = - x2eitlii ancak x1= x2= 0 ise mmkndr, bunun dnda x1= -x2 olamaz. Bu nedenlex1 = x2 olmaldr, dolaysyla fonksiyon bire birdir. Fonksiyon bire bir olduundanters fonksiyonu vardr. Ters fonksiyonun tanm kmesi, f nin f ( IR + {0}) grntkmesi olduundan, bu grnt kmesini bulalm (fonksiyon rten ise grntkmesinin deer kmesi olduunu hatrlaynz).


f(A) f A

-1

-4

-7

-10

-1

1

2

3

4

x12 - x22 = 0,


Her x IR + (0} iin x2 0 olduundan x2 + 1 1 dr. Buna gre grnt kmesi[1, ) aral olabilir. Bu araln grnt kmesi olduunu grmek iin, bu ara-lktan alacamz herhangi bir b saysna karlk f (a) = b olacak ekilde tanmkmesinde bir a elemannn varln grmeliyiz. a2 + 1 = b ise a2 = b 1 dir .b [1, ) olduundan b1 0 dr. Buradan veya bulunur.

olmasna karlk dr. Dolaysyla aradmz asays dir. Bylece [1, ) aralna ait herhangi bir saynn tanm kmesineait bir saynn grnts olduunu, yani [1, ) aralnn fonksiyonun grntkmesine eit olduunu gstermi olduk. Buna gre,

f -1 : [1, ) IR+ {0}

dr. imdi de ters fonksiyonun kuraln bulalm.

f : x x2 + 1= y

olduundan

f -1 : y = x2 + 1 x dir. f -1 fonksiyonu altnda y deikeni, x deikenine dntnden x i y t-rnden ifade edersek, y ye kar gelen x grntlerini daha kolay bulabiliriz.

y = x2 + 1 , x2 = y 1 buradan da bulunur. Burada y >1 iin

f -1 : [1, ) IR + {0}, y ,

f -1 : [1, ) IR + {0} ,

dir.

Genellikle fonksiyonlarda bamsz deikeni x ile gsterdiimizden ve ileride gra-fik iziminde de sorun yaratmamak amacyla bu ters fonksiyonu u ekilde ifadeedeceiz:

f -1 : [1, ) IR + {0}, f -1 (x ) = .

y = f (x) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulmak iin, nce y = f (x) eitliindenx deikeni y trnden hesaplanr daha sonra x yerine y , y yerine x yazlr. rnek: f: R R , f (x) = 3x + 5 fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz.

zm: f fonksiyonunun bire-bir olduunu kolayca grebiliriz. Bu nedenle fonksi-yonun ters fonksiyonu vardr. Ayrca f rten olduundan, f -1: IR IR dir. Ters


x = y - 1 , x = - y - 1 - y - 1 R+ 0 dr. O halde,

x = y - 1

f-1 y = y - 1

x - 1

a = - b - 1 a = b - 1 - b - 1 IR+ b - 1 IR+ 0

b - 1


fonksiyonun kuraln bulmak iin, y = 3x + 5 ifadesinde x i y cinsinden zp x yeriney , y yerine x yazalm.

y = 3x + 5 , 3x = y 5 buradan da bulunur. imdi x yerine y, y yerine x ya-

zarsak, elde ederiz. Buna gre ters fonksiyon

f -1: IR IR, y = f -1 (x) =

dir.

f : A B bire bir ve rten fonksiyon ise, aadaki Venn emasndan grld- gibi x A iin (f -1of) (x) = x dir. Dolaysyla f -1of = IA dir.

Benzer bir ema ile fof -1 = IB olduunu da siz gsteriniz.

rnek: f : IR IR , f (x) = x2 fonksiyonu bire bir olmadndan ters fonksiyonuyoktur. Buna karlk,

g : IR + { 0} IR , g (x) = x2 fonksiyonunun ters fonksiyonu vardr ve g (IR + {0}) = R+ {0} olduundan

g -1 : IR + {0} IR+ {0} , g -1 (x) =

dir.

a ve b gerel saylar ve a 0 olmak zere f: IR IR , f(x) = ax + b fonksiyonu-nun ters fonksiyonunu bulunuz.

Cevabnz f -1: IR IR , f -1(x) =

h : IR IR, h (x) = x3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun var ve

h -1 : IR IR , h -1(x) =

olduunu gsteriniz.


A

x

fB A

f(x)

f of f (f(x)) = x

f-1

-1 -1

x

x3

?

x = y - 53

y = x - 53

x - 53

x - ba olmaldr.

?


3. Fonksiyon GrafikleriA ve B bo kmeden farkl iki kme olmak zere, f : A B fonksiyonu verildi-inde bu fonksiyonu

f = {(x , y)| y = f (x) , x A }

eklinde bir ikililer kmesi olarak dnebiliriz. Bu dnce, analitik geometri bil-gilerimizle, fonksiyonlar geometrik olarak temsil etme , fonksiyonun" resmini" iz-me olana salamtr. nsanolu resmini izebildii soyut kavramlar daha iyi an-layabilmekte ve bu tr kavramlar arasnda daha kolay iliki kurabilmektedir. Bu ne-denle resmini izebildiimiz ( bu resme fonksiyonun grafii denir) fonksiyonlarndavranlarn daha kolay anlayabilmekteyiz. Bir fonksiyonun grafii konusunagemeden nce dzlemdeki kartezyen koordinat sistemini tantmaya alalm.

Dzlemde, sfra kar gelen noktalarnda birbirini dik olarak kesen yatay ve deydorultuda iki say ekseni alalm. Bu say eksenlerinde yatay olan soldan saa , d-ey olan da aadan yukar doru ynlendirelim. Yani, pozitif yn, yatay doruzerinde soldan saa, dey doru zerinde ise aadan yukarya doru olsun.Bylece oluturulan yatay eksene apsisler ekseni (x-ekseni), dey eksene ordinat-lar ekseni (y-ekseni), bu iki eksenin oluturduu sisteme kartezyen koordinat sis-temi veya dik koordinat sistemi veya ksaca koordinat sistemi , eksenlerin kesitik-leri noktaya da balang noktas veya orijin denir. Dzlemde byle bir koordinatsistemi belirlendikten sonra, dzlemin noktalar aada aklayacamz ekildeadreslenebilmekte ve bu sayede birok geometri problemleri cebirsel yntemlerlezlebilmektedir. Bu tr geometriye de analitik geometri denilmektedir. Bu d-nceyi ilk kez nl filozof Descartes ortaya attndan bu koordinat sistemine Des-cartes'in sistemi anlamnda kartezyen koordinat sistemi denilmektedir.

Dzlemde bir kartezyen koordinat sistemi seelim. Bu koordinat sistemi yardmy-la dzlemin noktalar ile IR x IR = {(x,y): x,y IR } kartezyen arpm kmesinin ele-manlar arasnda bire bir eleme kurmaya alacaz. Bunun iin dzlemde bir Pnoktas alalm ve bu noktadan yatay ve dey eksenlere birer dikme izelim. Bu dik-melerin birer tane olduunu Euclid (klid) geometrisi derslerinden bilmekteyiz.Yatay eksene izilen dikmenin bu ekseni kestii noktaya kar gelen sayya x, deyeksene izilen dikmenin bu ekseni kestii noktaya kar gelen sayya ise y diyelim.Yatay ve dey eksenler say dorusu olduklarndan her noktaya karlk bir ve yal-nz bir gerel say vardr. Bu nedenle byle x ve y saylar vardr ve bunlar tektir.


y

0x


Bylece elde ettiimiz x ve y saylar ile sraya da dikkat ederek, yani yatay eksendenbulduumuz sayy birinci, dey eksenden bulduumuz sayy ikinci bileen ala-rak, (x, y) sral ikilisini elde ederiz. Bu yolla dzlemdeki her bir P noktasna karlk(x,y) gibi bir tek gerel say ikilisi bulmu oluruz. Tersine, (x,y) gibi bir gerel sayikilisi verildiinde, x saysna yatay eksen zerinde , y saysna ise dey eksen ze-rinde kar gelen noktalar belirledikten sonra, bu noktalardan zerinde bulunduk-lar eksenlere birer dik izersek bu dikmeler P gibi bir noktada kesiirler. Bu P nokta-sn (x,y) gerel say ikilisine dzlemde kar gelen nokta olarak aldmzda, gerelsay ikilileri ile dzlemin noktalar arasnda bire-bir bir eleme kurmu oluruz. Bueleme nedeniyle dzlemdeki herhangi bir noktaya bir gerel say ikilisi, tersine her-hangi bir gerel say ikilisine de dzlemde bir nokta gzyle bakabiliriz.

Dzlemde alnan herhangi bir P noktasna yukardaki eleme ile kar gelen gerelsay ikilisi (x, y) ise x e P noktasnn apsisi, y ye P noktasnn ordinat, (x,y) ikilisinede P noktasnn koordinatlar denir ve P noktas, P = (x,y) veya P(x,y) eklindegsterilir.

rnek: Dzlemde A (2,1); B (-1,3) ; C (0,-3); D (-3,-2); E (- 0,5 , 2); gerelsay ikililerine kar gelen noktalar iaretleyiniz.

zm: Birinci bileenlere yatay eksen zerinde , ikinci bileenlere dey eksenzerinde kar gelen noktalar bulduktan sonra her bir noktadan zerinde bulundu-u eksene birer dik izersek, karlkl dikmelerin kesitikleri noktalar aradmznoktalar olacaktr.

imdi fonksiyonun grafii konusuna dnelim.


P = (x, y)

x

y

F 5 , 3

1

0,5-1 2

3

E

B F

A

-3

-2

-3

D

C

5

2


A IR ve B IR olmak zere f: A B fonksiyonu verildiinde, bu fonksiyonu f = {(x,y)| y = f (x), x A} eklinde bir ikililer kmesi olarak dnebileceimizi yu-karda ifade etmitik. Bu ikililer kmesinin eleman olan her bir ikili dzlemin birnoktas ile geometrik olarak temsil edilebilir. Bylece f kmesinin eleman olan her-hangi bir (x,y) ikilisine dzlemin tek bir noktas karlk getirilebilir. te f kmesi-nin eleman olan (x,f (x)) ikililerine dzlemde kar gelen noktalarn kmesine ffonksiyonunun grafii denir.

f : A B fonksiyonu verilsin. f = {(x,y)| y = f (x), x A} kmesinin elemanla-rna dzlemde kar gelen noktalarn kmesine f fonksiyonunun grafii denir.

rnek: A = {-2, -1, - 0, 5, 0, 0, 5, 1, , 2} olmak zere, f: A IR , f (x) = 2x + 1fonksiyonunun grafiini izelim.

zm: f = {(-2, - 3),(-1, -1),(-0,5 , 0),(0,1),(0,5 , 2),(1,3), ( ),(2,5)} dir. Bu ikililere dzlemde kar gelen noktalarn kmesi fonksiyonun grafii olacaktr.


2

2 , 2 2 + 1

f:{-2, -1, -0,5, 0, 0,5, 1, , 2} IR, f(x )= 2x + 12

ekil 3.1:


Fonksiyonun grafii olarak bulduumuz bu noktalarn bir doru zerinde olduu-nu bir cetvel yardmyla kontrol edebiliriz. Burada tanm kmesinde az sayda ele-man bulunduundan grafii oluturan noktalar tek tek bulmak mmkndr. Ta-nm kmesinde eleman says ok sayda hatta saylamaz sayda olabilir, bu durum-larda grafii, fonksiyonu oluturan tm ikilileri yazp daha sonra bunlara kar ge-len noktalar iaretleyerek bulamayz. Ancak tanm kmesine ait sonlu tane x1,x2,...,xn deerleri seilir ve fonksiyonun bu noktalardaki deerleri olan y1 = f(x1), y2 = f (x2),...,yn= f (xn) bulunduktan sonra dzlemde (x1, y1),(x2, y2),....,(xn, yn)ikililerine kar gelen noktalar dzgn bir eri ile birletirilerek y = f (x) fonksiyo-nunun grafii denilen eri bulunur. Tanm kmesinden ne kadar ok ve ne kadaryaygn eleman seilirse fonksiyonun gerek grafiine o kadar yakn bir eri bulu-nur. Daha sonraki nitelerde inceleyeceimiz trev kavramndan sonra fonksiyo-nun grafii daha hassas ve geree yakn izilebilecektir. Baz durumlarda da grafikbilinen bir eri olabilir, bu durumda bu eriyi daha kolay izebiliriz. rnein eerfonksiyon

g : IR IR , g (x) = 2x + 1

ise, bu fonksiyonun grafiinin bir doru olduu nite 4 de grlecektir. Bu doruyukarda bulduumuz noktalar tayan dorudur.


g:IR IR , g(x)= 2x + 1

ekil 3.2:


f: IR IR , f (x) = x fonksiyonunun grafiinin aadaki doru olduunu gr-nz.

rnek: A = {-2, , -1 , - 0 ,5 , 0 , 0 ,5 , 1 , , 2} olmak zere, f :A IR, f (x) = x2 fonksiyonunun grafi ini izel im.

zm: f = {(-2, 4), (-1,1), (- 0,5, 0,25) , (0,0) , (0,5, 0,25) , (1,1), (2,4)} dir. Fonksiyonu oluturan ikililerde birinci bileen x bam-sz deikenini gsterirken ikinci bileen x in f altndaki grntsn, dier bir de-yile x e kar gelen y deerini ifade ettiinden fonksiyonu oluturan ikililer aa-daki tablodaki gibi de verilebilir.

Bu ikililere dzlemde kar gelen noktalar ve dolaysyla fonksiyonun grafii aa-daki gibidir.


2 , 3

- 3 , 3 , - 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 ,

f: IR IR , f(x)= x

ekil 3.3:

x

y

-2

4 3 2

-1

1

- 0,5

0,25

0

0 0,25

1

1 2 3 4

- 3 - 2 0,5 3 22

?

- 3 , - 2


Eer fonksiyon g: IR IR, g (x) = x2 olsayd onun grafii yukarda bulduumuznoktalardan geen dzgn bir eri olurdu. Bu eriye parabol denir.


f: -2 , - 3 , - 2 , -1 , -0,5 , 0, 0,5 , 1, 2 , 3 , 2 IR , f x = x2 ekil 3.4:

g: IR IR , g(x)= x2

ekil 3.5:


Eer fonksiyon h : IR IR , h (x) = - x2 olsayd bu fonksiyonun grafii bir ncekig fonksiyonunun grafiinin x-eksenine gre simetrii olurdu. nk (x,y) g iken(x, -y) h dir.

rnek : f: IR+ {0} IR, f (x) = fonksiyonunun grafiini izelim.

zm: Tanm kmesine ait baz noktalarn grntlerini bulalm (tanm kmesinegatif olmayan saylar kmesidir).

Bu tabloya gre, (0, 0), (0,25, 0,5), (0,5, 0, 707), (1, 1), (1,44, 2), (2, 1,41), (3, 1,73), (4, 2), (5, 2,24) ikililerine kar gelen noktalar f nin grafiine aittir (burada irrasyonel say-larn yaklak deerlerini aldmza dikkat ediniz).

Bu ikililere kar gelen noktalar iaretlendikten sonra bu noktalar dzgn bir eriile birletirilirse, bu fonksiyonun grafii olan aadaki eri elde edilir.


h:IR IR , h(x)= -x2

ekil 3.6:

x

x

y

0 0,25 0,5 1 1,44 2 3 4 5

0 0,5 0,707 1 1,2 1,41 1,73 2 2,24


rnek: f: IR IR , f (x) = 3 sabit fonksiyonunun grafiini iziniz.

zm:Bu fonksiyonun grafiini izmek iin tablo hazrlamaya gerek yoktur.nk tm x gerel saylarnn grnts 3 tr. Yani f = {(x,3): x IR} dir. Bu ne-denle fonksiyonun grafii, ekilde grld gibi x- eksenine paralel bir dorudur.

NOT:

i) Baz fonksiyonlarn grafiini izmek mmkn deildir. rnein Dirichletfonksiyonu dediimiz, rasyonel saylar 1 ile irrasyonel saylar 0 ile eleyenfonksiyonun grafiini izmek mmkn deildir.

ii) Bir fonksiyonun grafii verildiinde herhangi bir x0 deerinin bu fonksiyonaltndaki grntsn bulabiliriz. Bunun iin, x0 noktasndan x-eksenine dikbir doru izilirse bu dorunun grafii kestii noktann y0 ordinat, x0 n f altn-daki grnts olur.


f: IR+ {0} IR , f(x)= x

ekil 3.7:

y

3

x

x

y

0

0

y

xx0


Dzlemdeki herhangi bir eri her zaman bir fonksiyon grafii midir?

Eer x-eksenine izilen her dik doru eriyi en ok bir noktada kesiyorsa, bu eri,uygun bir kme zerinde tanmlanm bir fonksiyon grafii olarak dnlebilir.Eer x- eksenine izilen dik dorulardan bir tanesi dahi eriyi iki veya daha ok nok-tada kesiyorsa bu eri bir fonksiyon grafii olamaz. rnein aadaki ekildeki e-ri bir fonksiyon grafii deildir.

Bir fonksiyonun grafiini bilirsek , o fonksiyonun bire bir olup olmadna kolaycakarar verebiliriz. Eer apsisler eksenine paralel olarak izilen her doru grafii enok bir noktada keserse fonksiyon bire birdir. Eer apsisler eksenine paralel olarakizilen dorulardan bir tanesi dahi grafii birden fazla noktada keserse fonksiyonbire bir deildir.

f: A B fonksiyonu bire bir ise bu fonksiyonun, f -1: f (A) A ters fonksiyo-nunun varln biliyoruz. Bu durumda, x A, y f (A) olmak zere, (x,y) f iken (y,x) f -1 dir. Yani (x,y) ikilisine dzlemde kar gelen nokta f nin gra-fiine ait bir nokta iken, (y,x) ikilisine kar gelen nokta f-1 in grafiine ait bir nokta-dr. Bu iki nokta birinci ile nc blgenin aortay dorusuna gre simetrik oldu-undan f -1 in grafii, f nin grafiinin bu aortay dorusuna gre simetrii-dir. Bu aortay dorusu h : IR IR , h (x) = x fonksiyonunun grafii olduun-dan, bu doru, y = x dorusu olur. O halde,


?

y

x

0

x

Bire - bir fonksiyon Bire - bir olmayan fonksiyon

y

cba

yy

x


Ayn koordinat sisteminde f -1 ters fonksiyonunun grafii, f fonksiyonunun gra-fiinin y = x dorusuna gre simetriidir diyebiliriz.

rnek: f: IR IR , f (x) = 2x fonksiyonunun ters fonksiyonunun

f -1: IR IR , f -1 (x) = olduunu biliyoruz. imdi bu iki fonksiyonun grafiklerini

ayn koordinat sisteminde izelim.

f (x) = 2x fonksiyonunun grafiine ait baz noktalar bulalm.

y = 2x fonksiyonunun grafii izildikten sonra bu grafiin y = x dorusuna gre si-metrii de ters fonksiyonunun grafiidir.


(x, y)y

x

x y

(y, x)

y= x2

x2

x

y = 2x

-3 -2 -1,5 -1 0 0,5 1 1,5 2 3

-6 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 6

ekil 3.8:


rnek : f: IR IR , f (x) = x3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun

f -1: IR IR , f -1 (x) = olduunu yukarda ifade etmitik. imdi bu iki fonksi-yonun grafiini ayn koordinat siteminde grelim.

A IR olmak zere, f: A IR fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun grafii bilin-diinde bu fonksiyon yardmyla tanmlanan g: A IR, g (x) = f (x) + a , (a IR),fonksiyonunun grafii de bulunabilir. Bunun iin f nin grafiini y-ekseni dorultusun-da, a pozitif ise yukar doru, a negatif ise aa doru|a| birim kaydrmak yeterlidir.nk, (x0 , y0) noktas f nin grafiine ait bir nokta ise, (x0 , y0 + a) noktas da g ningrafiine ait bir noktadr. (x0 , y0 + a) noktas (x0 , y0) noktasnn y-ekseni dorultu-sunda, a nn iaretine gre |a| birim kaydrlm olduundan g nin grafii f nin grafii-nin y-ekseni dorultusunda |a| birim kaydrlmdr.


x3

ekil 3.9:


rnek: g: IR IR g (x) = x2 + 2 fonksiyonunun grafiini izelim.

zm: Bu fonksiyonda f (x) = x2 ve a = 2 alabiliriz. Buna gre, g nin grafii f ningrafiinin y ekseninin pozitif ynnde (yukar doru) 2 birim kaydrlmdr.


ekil 3.10:

ekil 3.11:


y = x3 - 1

fonksiyonunun grafiini iziniz. Cevabnz u ekilde olmalyd.

f fonksiyonunun grafii bilindiinde bu fonksiyon yardmyla tanmlanan g (x) = f (x a) , (a IR) fonksiyonunun grafii bulunabilir. g nin grafii, f ningrafiinin x ekseni dorultusunda |a| birim , a pozitif ise saa doru, a negatif isesola doru kaydrlmdr. nk bir (x0 , y0) noktas f nin grafiine ait ise y0 = f(x0) demektir. Yani f nin x0 daki deeri y0 dr. g fonksiyonu ayn y0 deerini x0 +a noktasnda alr, nk g (x0 + a) = f (x0 + a a ) = f(x0) dr. Buna gre, (x0 + a,y0) noktas g nin grafiine aittir. (x0 + a, y0) noktas (x0 , y0) noktasnn x - eksenidorultusunda a nn iaretine gre |a| birim kaydrlm olduundan, g nin grafiif nin grafiinin x ekseni dorultusunda |a| birim kaydrlmdr.

rnek: a) y = (x-1)3

b) y = (x + 2)2

fonksiyonlarnn grafiklerini iziniz.

zm: a) f (x) = x3 ve a = 1 alnabilir. Buna gre, y = (x-1)3 fonksiyonunun grafii,y = x3 fonksiyonunun grafiinin x-ekseni dorultusunda ve pozitif ynde (saadoru) 1 birim kaydrlmdr.


?

ekil 3.12:


b) f (x) = x2 ve a = -2 alnabilir. Buna gre y = (x + 2 )2 fonksiyonunun grafii aada-ki gibidir.


ekil 3.13:

ekil 3.14:


f fonksiyonunun grafii bilindiinde bu fonksiyon yardmyla tanmlanan g (x) = f (x -a) + b, ( a,b IR) fonksiyonunun grafiini bulabiliriz. g fonksiyonu-nun grafii, yukardaki iki kaydrma ilemi yardmyla kolayca bulunabilir. Bununiin f nin grafii nce x-ekseni dorultusunda, yne de dikkat ederek, |a| birim kay-drlr, daha sonra elde edilen yeni grafik y- ekseni dorultusunda yine yne dikkatederek |b| birim kaydrlr.

rnek: g(x) = (x + 1)2 + 3 fonksiyonunun grafiini iziniz.

zm: Burada f (x) = x2 , a = -1 , b = 3 alabiliriz. Bu nedenle y = x2 fonksiyonu-nun grafii nce x-ekseni dorultusunda sola doru 1 birim kaydrlr, daha sonrayeni grafik y-ekseni dorultusunda yukar doru 3 birim kaydrlrsa g nin grafiielde edilir.

y = (x-2)2 - 1 fonksiyonunun grafiini iziniz.


ekil 3.15:

?


Cevabnz aadaki gibi olmaldr.

f1: IR IR ve f2 : IR IR fonksiyonlar verilsin.

gibi tanmlanan f: IR IR fonksiyonuna paral tanml fonksiyon denir. Tanm-dan grld gibi f(x), x n a ya kadar olan deerlerinde f1 (x) e, a dan sonraki de-erlerinde ise f2(x) e eittir. Paral tanml fonksiyonun grafiini izmek iin x ina ya kadar olan deerleri iin y= f1 (x) in, x in a dan sonraki deerleri iin ise y= f2(x) in grafiini izmek gerekiyor.

Benzer yolla iki tane yerine, sonlu tane fonksiyonlarla belirlenen paral fonksiyon-lar tanmlanabilir.

Aada tanmlarn vereceimiz mutlak deer, tam deer ve iaret fonksiyonlarparal fonksiyonlardr.

f: IR IR , f(x)= |x| fonksiyonuna mutlak deer fonksiyonu denir.

imdi mutlak deer fonksiyonunun grafiini izelim.


ekil 3.16:

f x = f1 x , x a isef2 x , x > a ise veya f x = f1 x , x < a ise f2 x , x a ise

f : IR IR , f x = x = x , x 0 ise, -x , x < 0 ise,


yazlabilir. Bu yazma gre, grafik, x 0 iin y= x olduundan y= x dorusunun I.blgedeki paras ile, x < 0 iin y= -x olduundan y= -x dorusunun ikinci blgede-ki parasndan oluur.

f: IR IR , f(x)= |x - 2|,

g: IR IR , g(x)= - |x| + 2

fonksiyonlarnn grafiklerinin aadaki biimde olduunu grmeye alnz.


f: IR IR , f(x)= |x|ekil 3.17:

f: IR IR , f(x)= |x - 2|ekil 3.18:

?


Bir x IR says verilsin. x den byk olmayan (yani kk veya eit) en byk tamsayya x in tam deeri denir ve [x] biiminde gsterilir. rnein [ 1, 5 ]= 1, [ 0, 9 ]= 0, [ ]= 3, [ - ]= - 4, [ 0 ]= 0, [ - 2 ]= - 2, [ 100 ]= 100.

f: IR IR , f(x)= [ x ] fonksiyonuna tam deer fonksiyonu denir. Bu fonksiyonu-nun grafii sonsuz basamakl bir merdivene benzer. Bunun hakknda bir fikir ver-mek iin, g: [- 1, 2] IR , g(x)= [ x ] fonksiyonunun grafiini izelim.

-1 x < 0 ise [ x ]= -1 olduundan g(x)= -10 x < 1 ise [ x ]= 0 olduundan g(x)= 01 x < 2 ise [ x ]= 1 olduundan g(x)= 1x= 2 ise [ x ]= 2 olduundan g(x)= 2

dir. Buna gre g nin grafii aadaki gibidir.


ekil 3.19:

- 12

= - 1 ,

y

2

1

x2

-1

1

-1

g: IR IR , g(x)= -|x| + 2

ekil 3.20:

g: [-1, 2] IR , g(x)= [ x ]


fonksiyonuna iaret fonksiyonu denir. Bu fonksiyonun grafiinin aadaki biim-de olduu kolayca grlebilir.

aret fonksiyonu f(x)= sgnx gibi de gsterilir.

Deerlendirme Sorular1. Alan 10 birim kare, bir taban uzunluu 4 birim olan bir yamuun yksekliini

dier tabannn x uzunluunun bir fonksiyonu olarak yazm aadakilerdenhangisidir?

A.

B.

C.

D.

E.

2. Kenar uzunluu x cm (x > 4) olan bir karenin her kesinden, kenar uzun-luklar 2 cm olan kk kareler kesilip karlm ve sonra kenarlar kvrlarakst ak bir kutu yaplmtr. Bu kutunun hacminin (cm3) x in fonksiyonuolarak yazm aadakilerden hangisidir?A. 2x2 + 16x + 32B. 2x2 + 32C. 2x2 + 16x - 32D. x2 + 16E. 2x2 - 16x + 32


f : IR IR , f x = 1 , x > 0 ise 0 , x = 0 ise-1 , x < 0 ise

y

1

x

-1

204 - x

4 + x20

204 + x

x5

5x


3.fonksiyonunun tanm kmesi hangisidir?

A. IR

B.

C. IR+

D.

E. (- , 1]

4. fonksiyonunun tanm kmesi hangisidir?

A. [-1, 1]B. [0, 1]C.

D. (-1, 1)E. (-1, 0)

5. f: IR IR , f(x) = x2 - 2x + 2 fonksiyonunun grnt kmesi hangisidir?A. IRB. [1, )C. IR+ {0}D. (- , 1]E. (- , 0]

6. f: IR IR , f(x) = 2 - |x| fonksiyonu grnt kmesi hangisidir?A. (- , 2]B. (- , 2)C. IRD. IR+ {0}E. IR- {0}

7. f: IR IR , f(x) = x2 + x iin f(x - 1) - f(-x) aadakilerden hangisidir?A. xB. 2C. 2xD. 0E. x - 1


f x = - 3x2 + 4x - 1

13

, 1

13

, 1

f x = 11 - x2

- 12

, 12


8.A. xB. 1C. - xD. 0E. x + 1

9. f: A IR , f(x) = x2 - 2x fonksiyonu verilsin. A kmesi aadakilerden han-gisi olduunda bu fonksiyon A zerinde bire-birdir?A. [1/2, )B. IR+ {0}C. [-1, )D. [1, )E. (- , 2]

10. f: [-1, 2) B, f(x)= x2 fonksiyonu verilsin. B kmesi aadakilerden hangisiolduunda bu fonksiyon rtendir?A. [1, 4]B. [0, 4]C. (1, 4)D. [0, 4)E. (0, )

11. f: IR IR , f(x) = x2 + 1 , g: IR IR , g(x) = sgn x (iaret fonksiyonu) veril-sin. (gof) (x) hangisidir?A. xB. 1C. 0D. x2 + 1E. x2

12. f(x) = x2 - 1 fonksiyonu iin (fof) (-2) = ? A. 0B. 1C. 3D. 8E. 9

13. fonksiyonunun tanm kmesi aadakilerden hangisidir?

A. IRB. [1, )C. (- , 0) [1, ) D. (1, )E. (0, )


f : IR - 0 IR , f x = x + 1x iin f x - f 1x hangisidir?

f x = x x


14. f: (- , a] IR , f(x) = (x - 1)2 fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun (- , a]zerinde bire-bir olmasn salayacak en byk a deeri hangisidir?A. - 2B. - 1C. 0D. 1E. 2

15. fonksiyonunun grnt kmesi hangisidir?

A. (- , 0)B. IR- {0}C. IRD. [-1, )E. (- , -1]

Deerlendirme Sorularnn Yantlar1. C 2. E 3. B 4. D 5. B 6. A 7. D 8. D 9. D 10. D 11. B 12. D 13. C 14. D 15. A


f : IR - 0 IR , f x = - 1x2

Ünite 3 fonksİyon kavrami

Documents