Ueber algebraische ZahlkSrper mit gegebener Diskriminante Von TRYGVE NAGELL, in Oslo

I,

Ein quadratischer Zahlk6rper ist bekanntlich durch seine KSrperdis- kriminante eindeutig bestimmt. Fiir KSrper h6heren Grades gilt dies nieht mehr. Es gibt im allgemeinen mehrere nicht-konjugierte KSrper n t~n Grades mit derselben Diskriminante, wenn n ~ 3 ist. Nach einem bekannten Satz yon H e r m i t e und M i n k o w s k i ist ihre Anzahl jedoeh endlieh. 1) Wit wollen hier den folgenden Satz beweisen: 2)

Es set" n eine feste nat#rh'che Z a h l ~ 3, und es bedeute A . (1)) die

A n z a k l der ZahlkOrper n *e" Grades mz't der D i s k r i m i n a n t e D. Dann ist

lim sup A, (D) ---~ c,~. (I) I O l - + ~

Beweis : Es seien P l , P~ . . . . . Pr lauter verschiedene Primzahlen, unter denen die s~imtlichen Primteiler der Zahl n vorkommen. Es seien ferner /) und Q zwei natiirliche Zahlen so, daf3

P Q -~ PlP~ ... 2 r

ist. Wir setzen dann

o=lf/..- Man sieht nun leicht, daf3 der durch die Zahl a erzeugte KSrper n ten

Grades die folgende K6rperbasis hat

O~ 2 O~ 3 O~ n -1 (3) I , ~ , Q , (2" . . . . ' ~"-""

1) C h . H e r m i t e , Journ. fiir Math . Bd. 47 ; /-/. M i n k o w s k L G e o m e t r i e d e r Z a h I e n . 2) Fiir n : 3 ist dieses Resultat sehon bekannt. Siehe IV.E.H. Berwide, On c u b i c

f i e l d s w i t h a g i v e n d i s e r i m i n a n t ~ Proe. London Math. Soc. 2. ser.~ vol. 23 (1925) , S. 359, und H. I t asse , A r i t h m e t i s e h e T h e o r i e d e r k u b i s e h e n Z a h l k 6 r p e r a u f k l a s s e n k S r p e r - t h e o r e t i s e h e r G r u n d I a g e : Math. Zeitsehrift: Bd. 31 (193o) 1 S. 565.

r~ Commentarii Math~maticl Helvetici ] 6 9

Um dies zu beweisen, haben wir zu zeigen, dai3 eine Zahl

p ( A o q - A a a q - A ~ ' - ~ -+- + . - ' ~ ) (4)

wo 2, Ao, A1, . . . . A ,_ , ganze rationale Zahlen sind, nur dann ganz ist, wenn die Koeffizienten A aUe durch p teilbar sind. Wegen

D = (_p O"- ' ) (5)

geniigt es anzunehmen, dat3 p eine der Primzahlen Pi (I <__i < __ r)ist .

Da ~-~ eine ganze algebraische Z~ihl ist, rout3, wenn die Zahl (4) ganz

A Ao ist, auch ~/~_ ganz sein. A 0 ist folglich dutch p teilbar. Es sei nun

v l

fl ein Teiler yon )9, und es seien Ao, A 1 . . . . . Ai-1 alle durch p teil- bar ; dann ist auch Ai dutch p teilbar. Denn in (4) sind die Zahlen

Qj-I, ftir J ~ i - / - I , alle durch"~/)i+ 1 teilbar, und folglich auch die Zahl

al A; Ai ~:-ci ' A b e t dann rout3 ~ - ganz sein, d. h. Ai ist dutch p teilbar. Die

Koeffizienten A sind folglich alle d u r e h p teilbar. Dasselbe ergibt sich, wenn p ein Teiler yon Q ist; man hat nut den Induktionsbeweis yon der anderen Seite mit A , _ I , A,_~ usw. anzufangen.

Die Zahlen (3) bilden folglieh eine KGrperbasis, und wegen (5) wird die K6rperdiskriminante gegeben dureh

(__ x)�89162 n". (PlP~ ... ~ ) , - 1 . (6)

Wenn die Primzahlen p; fest gegeben sind, bestehen ftir die Zahlen _P und Q genau 2 ~ M6glichkeiten, denen ebenso viele Zahlen a entsprechen. Die Zahlen a erzeugen genau 2 ~-1 verschiedene ZahlkGrper n ten Grades;

denn I ~ / P - - - ~ I und '~//)"-'~----Q[" bestimmen offenbar denselben KGrper. Folglich gilt: Die AnzaM der nic~t-kanjugierten ZaMk~rper n u" Grades mit der Diskriminante (6) ist mindestens gleich 2 ~-1 .

Da wir r beliebig grol3 w~ihlen kGnnen, folgt hieraus sofort der Satz (I).

x7o

II.

Der Minkowskische Beweis daffir, daf3 nur endlich viele Zahlk6rper n t'n Grades mit gegebener Diskriminante D existieren, beruht auf dem folgenden Satz : 3)

In jedem algebraischen Zahlk6rper n ten Grades mit der Diskriminante D gibt es eine ganze Zahl ~ n ten Grades, die mit ihren Konjugierten ~(~), ~(3), . . . . ~(n) den folgenden Ungleichungen geniigt

I 1<1 1 und I , 2 ~ i ~ z , (7)

wenn der K6rper reell ist, oder

<1r und < , , 3 < - i - < n , (7')

wenn der K6rper imagin~ir ist, und ~(2) die zu ~ konjugiert-imagin~ire Zahl bedeutet.

Hieraus folgt zugleich eine Methode um die s~imtlichen K6rper n ten Grades mit gegebener Diskriminante zu bestimmen. Fiir die ganzzahligen Koeffizienten al in der Gleichung

.~ + a, ~,,-1 + a~ ~ - 2 + . . . + an = o (8)

bestehen ja wegen den Ungleichungen (7) und (7') nur endlieh viele M6glichkeiten. Die so erhaltenen Gleiehungen ftir _~ bestimmen alle diejenigen K6rper n t'n Grades, deren Diskriminanten absolut genommen ~ I D I sind. Die Anzahl der zu untersuehenden Gleiehungeu w~ichst aber so schnell mit IDI , da~3 die Methode praktisch unbrauehbar wird. (Ihre Anzahl ist in bezug a u f [ D I v o n der Grt/13enordnung I D [~v, wenn N = i n2 -if- ~ n - - ~ gesetzt wird.) Es entsteht so die Frage, ob man statt (7) und (7') giinstigere Ungleichungen aufstellen kOnnte. Dies ist mir nur dann gelungen, wenn ich n spezialisiere. Es gilt z. B. der fol- gende Satz :

E s sei n e i n e unfferacle g re )nzah l und ~n = 2n - - 2. Dann gz'bt es bt

j e d e m reellen algebraisc/zen KSrper n un Grades m i t der D i sk r im ina te D

eine g a n z e Zah l ~ n u~ Grades, die m i t i/zren Konjuf f ier ten ~(~), ~'~), . . . , ~(*) den flolgenden Un~leickun~en ffeniioct

8(,~ "~/Z ~ i ~ (9) I ~ 1 < ~ , I . I < , - - - i ~ .

8) Siehe D. Hilbert, D i e T h e o r i e de r a l g e b r a i s c h e n Z a h l k 6 r p e r , ]'ahresber. d. Deutschen Math. Vereinigung~ Bd. 4 (Berlin I894)~ S. 212~ und T. Nagell, Zur T h e o r i e d e r a l g e b r a i s c h e n R i n g % Journ. f. Math, Bd. 163. Bekanntlich ist ja aueh n be- sehr~inkt~ wenn D gegeben ist.

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Beweis : Es sei wl, w~, . . . , oJ, eine K6rperbasis, und

eine homogene lineare Form in ul , ue . . . . . u,,, ferner

(i) - - (1) ~o(i)

die zu F 1 konjugierten Formen. Dann haben die Ungleichungen

IFII<I, I F ; I < [ ~ / ~ - , 3 < i ~ . (xo)

nur endlich viele L6sungen in ganzen rationalen Zahlen uk. Es sei 9o der kleinste positive Wer t yon I / ;~l , der diesen L6sungen entspricht.

Um unseren Satz zu beweisen, geniigt es nun offenbar zu zeigen, daf3

q~ < I"~/D[ ist. Denn eine yon Null verschiedene ganze Zahl ~, die den Ungleichungen (9) gentigt, ist notwendig vom n ten Grade, da ein

K6rper yon Primzahlgrad keinen irrationalen Unterk6rper hat. q0 ~ ["~/D

ist ausgeschlossen, da sonst I & l = "V'~[ >- , ware. Sollte es keine

L6sungen der Ungleichungen (Io) geben, so setze man q~ ~--- m ~ - - ~ - I .

Es sei sonst angenommen, daf3 q9 ) =~/-D sei. Wir bestimmen dann die positive Zahl e so, dat3

ist. Durch Anwendung des bekannten Minkowskischen Satzes homogene lineare Formen 4) ergibt sich nun:

Wenn F~ reell ist, haben die Ungleichungen

fiber

I& ~ I + 6

I&l < "~/~ _< i < z , 3 - - */ ,

L6sungen in nicht s~imtlich verschwindenden ganzen rationalen uk.

Wenn fi'2 und F s konjugiert-imagin~tr sind, gilt dasselbe ffir die Un- gleichungen

4) Siehe z.B.E. Landau, Einffihrung in die e lementare und analyt i sche Theor ie der a lgebra ischen Zahlen und der Ideale , Satz I16 (Leipzig x927).

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I

Die Gleichheitszeichen k6nnen hier niemals f~ir [F~-[ gelten; denn sonst

w~rde I ~ q l = Hieraus folgt nun zuniichst, daf3 die Un- gleichungen (IO) immer mindestens ein System yon L6sungen haben.

Ferner folgt, daf3 die Voraussetzung ~ ~ ~ / D auf einen Widerspruch ftihrt.

Unser Satz ist folglich bewiesen. Die Anzahl der zu untersuchenden Gleichungen (8) wird bier in bezug auf [D] yon der Gr6f3enordnung [z) l~ ~+~; die Ungleichungen (9) sind also bedeutend g~instiger als die Ungleichungen (7) und (7').

Durch ahnliche Betrachtungen kann man den folgenden Satz beweisen:

Es see" n ee'ne ttJtfferade natiirliclte Zah l ~ 3. Dann ge'bt es in jede~pz algebraisc/zen Zalzlk~rper n t~'` Grades nzit der D i sk r im inan te D ei, ze ganz e Za/zl ~ n ~ Grades, die me't e'/eren l (onjugier ten ~(2), ~(8) . . . . , ~(~) den folgenden Unffleic/zztnge~z geniie~en ,

Wenn ~ i~izagz)zSr ist, bedezttet bier ~(2) die zu ~ konjugiert-i*naginizre

Za/zl.

Diese Resultate gelten auch ffir algebraische Ringe.

Zur Bestimmung aller kubischen Kbrper mit der gegebenen Diskri- minante D hat man eine andere, im allgemeinen bequemere Methode, die die Eigenschaften des durch ~/Z 3D erzeugten K6rpers benutzt (Siehe die oben zitierte Arbeit yon Berwick).

(Eingegangen den I. Juni I93 o)

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