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  • Algebraische Theorie Linearer Differentialgleichungssysteme

    Werner M. Seiler

    Institut für Mathematik

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 1 / 20

  • Worum geht’s?

    Kann man (manche) Fragen, die Analytiker zu Systemen linearer Differentialgleichungen haben, mit algebraischen Methoden beantworten (oder zumindest so tun als ob)?

    • Formale Analyse allgemeiner Systeme linearer Differentialgleichungen (d.h. inklusive unter- und überbestimmter Systeme)

    ” lineare (partielle) Algebrodifferentialgleichungen“

    • Heute zwei Themen: • Konstruktion formal korrekt gestellter Anfangswertprobleme • Indexkonzepte auch für partielle Differentialgleichungen

    • Wesentliches Hilfsmittel • Gröbner-Basen

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 2 / 20

  • Worum geht’s?

    Kann man (manche) Fragen, die Analytiker zu Systemen linearer Differentialgleichungen haben, mit algebraischen Methoden beantworten (oder zumindest so tun als ob)?

    W.M. Seiler, E. Zerz: Algebraic Theory of Linear Systems: A Survey. In: Surveys in Differential-Algebraic Equations II, A. Ilchmann, T. Reis (Hrsg.), Differential-Algebraic Equations Forum, Springer-Verlag 2015, S. 287–333

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 2 / 20

  • (Homoge) Lineare Gleichungssysteme

    a11x1 + · · ·+ a1nxn = 0 ...

    ... am1x1 + · · ·+ amnxn = 0

    (1)

    • Unterliegende algebraische Strukturen: • Lösungsraum Untervektorraum des Rn • Betrachte alle linearen Gleichungen, die von Lösungen von (1) erfüllt

    werden Untervektorraum U des Dualraums

    αi = n∑

    j=1

    aije ∗ j U = 〈α1, . . . , αm〉R =

    { m∑ i=1

    ciαi | ci ∈ R }

    • Rechnerische Behandlung mit Gauß-Algorithmus • bestimmt

    ” gutes“ Erzeugendensystem von U

    • erlaubt qualitative Aussagen wie Dimension des Lösungsraums ohne dessen explizite Berechnung

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 3 / 20

  • Polynomiale Gleichungssysteme

    f1(x1, . . . , xn) = 0 ...

    ... fm(x1 . . . , xn) = 0

    (2)

    mit f1, . . . , fm ∈ P = k[x1, . . . , xn] • Unterliegende algebraische (und geometrische) Strukturen:

    • Lösungsmenge Varietät V ⊆ kn • Menge aller Polynome, die auf V verschwinden Ideal I in P

    I = 〈f1, . . . , fm〉P = { m∑

    i=1

    hi fi | hi ∈ P }

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 4 / 20

  • Polynomiale Gleichungssysteme

    f1(x1, . . . , xn) = 0 ...

    ... fm(x1 . . . , xn) = 0

    (2)

    mit f1, . . . , fm ∈ P = k[x1, . . . , xn] • Rechnerische Behandlung mit Gröbner-Basen

    • erlauben qualitative Aussagen wie Dimension der Varietät • falls V endlich, kann V explizit berechnet werden • verallgemeinern Konzept einer Dreiecksform

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 4 / 20

  • Lineare Differentialgleichungssysteme

    • Einfaches Beispiel (überbestimmtes System)

    uxx − au − y = 0 , uxy = 0 (a ∈ R)

    • Offensichtliche Fragen: • System lösbar? • Dimension des Lösungsraums? •

    ” Anfangsbedingungen“ für eindeutige Lösung

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 5 / 20

  • Lineare Differentialgleichungssysteme

    • Einfaches Beispiel (überbestimmtes System)

    uxx − au − y = 0 , uxy = 0 (a ∈ R)

    • Problem: Existenz von Integrabilitätsbedingungen

    ∂x(uxy )− ∂y (uxx − au − y) = auy + 1 = 0

    • a = 0 Gleichung 1 = 0, also System unlösbar • a 6= 0 zusätzliche Gleichung erster Ordnung uy + 1/a = 0

    Stört Konstruktion von Potenzreihenlösungen: • Im Ausgangssystem nicht erkennbar, daß es Bedingung an

    Koeffizienten erster Ordnung gibt • Bedingung wird erst sichtbar, wenn in dritter Ordnung gearbeitet wird • Wann sind alle versteckten Bedingungen bekannt?

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 5 / 20

  • Lineare Differentialgleichungssysteme

    Algebraische Formulierung

    Schreibe homogenen Anteil als lineare Differentialoperatoren

    L1u = (∂ 2 x − a)u = y , L2u = ∂x∂yu = 0

    L1, L2 Elemente eines (evtl. nicht-kommutativen) Polynomrings D = k[∂x , ∂y ] mit k = R für konstante Koeffizienten und (z.B.) k = R(x , y) für variable Koeffizienten

    Hier: ausschließlich k = R — Methoden können aber unverändert für beliebige

    Funktionenkörper angewandt werden

    Analog zu den anderen Typen von Gleichungen:

    • betrachte Ideal I = 〈L1, L2〉D ⊆ D (Untermodul U ⊆ Dm im Fall mehrerer unbekannter Funktionen)

    • suche ” gutes“ Erzeugendensystem Gröbner-Basen

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 5 / 20

  • Was ist ”

    gut“?

    • Problem: gegeben polynomiales Ideal I = 〈f1, . . . , fm〉 ⊆ P, finde

    ” besseres“ Erzeugendensystem von I:

    • entscheidet Idealmitgliedschaft: liegt weiteres Polynom h ∈ P in I? • erlaubt effektive Arithmetik in Faktorring P/I • liefert Syzygien: h1, . . . , hm ∈ P so daß

    ∑m i=1 hi fi = 0

    (erlaubt Lösen von LGS über dem Ring P)

    • Erinnerung: Polynomdivision in k[x ] • Zu gegebenen Polynomen f , g ∈ k[x ] \ {0} existieren eindeutige

    Polynome q, r ∈ k[x ] so daß f = qg + r und deg r < deg g • Für Berechnung müssen Terme in f und g nach Grad geordnet seien!

    • Idee: benutze multivariate Verallgemeinerung

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 6 / 20

  • Was ist ”

    gut“?

    • Problem: gegeben polynomiales Ideal I = 〈f1, . . . , fm〉 ⊆ P, finde

    ” besseres“ Erzeugendensystem von I:

    • entscheidet Idealmitgliedschaft: liegt weiteres Polynom h ∈ P in I? • erlaubt effektive Arithmetik in Faktorring P/I • liefert Syzygien: h1, . . . , hm ∈ P so daß

    ∑m i=1 hi fi = 0

    (erlaubt Lösen von LGS über dem Ring P)

    • Erinnerung: Polynomdivision in k[x ] • Zu gegebenen Polynomen f , g ∈ k[x ] \ {0} existieren eindeutige

    Polynome q, r ∈ k[x ] so daß f = qg + r und deg r < deg g • Für Berechnung müssen Terme in f und g nach Grad geordnet seien!

    • Idee: benutze multivariate Verallgemeinerung

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 6 / 20

  • Was ist ”

    gut“?

    • Problem: gegeben polynomiales Ideal I = 〈f1, . . . , fm〉 ⊆ P, finde

    ” besseres“ Erzeugendensystem von I:

    • entscheidet Idealmitgliedschaft: liegt weiteres Polynom h ∈ P in I? • erlaubt effektive Arithmetik in Faktorring P/I • liefert Syzygien: h1, . . . , hm ∈ P so daß

    ∑m i=1 hi fi = 0

    (erlaubt Lösen von LGS über dem Ring P)

    • Erinnerung: Polynomdivision in k[x ] • Zu gegebenen Polynomen f , g ∈ k[x ] \ {0} existieren eindeutige

    Polynome q, r ∈ k[x ] so daß f = qg + r und deg r < deg g • Für Berechnung müssen Terme in f und g nach Grad geordnet seien!

    • Idee: benutze multivariate Verallgemeinerung

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 6 / 20

  • Termordnungen

    Definition

    Termordnung Totalordnung ≺ auf Menge T der Terme xµ mit (i) ∀ r , s, t ∈ T : s ≺ t ⇒ rs ≺ rt (ii) ∀ t ∈ T : 1 � t ≺ Totalgradordnung zusätzlich (iii) ∀ s, t ∈ T : deg s < deg t ⇒ s ≺ t

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 7 / 20

  • Termordnungen

    Definition

    Termordnung Totalordnung ≺ auf Menge T der Terme xµ mit (i) ∀ r , s, t ∈ T : s ≺ t ⇒ rs ≺ rt (ii) ∀ t ∈ T : 1 � t ≺ Totalgradordnung zusätzlich (iii) ∀ s, t ∈ T : deg s < deg t ⇒ s ≺ t

    Beispiele

    • n = 1 ordne nach Grad (einzige Möglichkeit) • Lexikographische Ordnung: xµ ≺lex xν ⇐⇒ erster von Null

    verschiedener Eintrag in µ− ν negativ • Lexikographische Totalgradordnung: xµ ≺deglex xν ⇐⇒

    deg xµ < deg xν oder (deg xµ = deg xν und xµ ≺lex xν)

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 7 / 20

  • Termordnungen

    Definition

    Termordnung Totalordnung ≺ auf Menge T der Terme xµ mit (i) ∀ r , s, t ∈ T : s ≺ t ⇒ rs ≺ rt (ii) ∀ t ∈ T : 1 � t ≺ Totalgradordnung zusätzlich (iii) ∀ s, t ∈ T : deg s < deg t ⇒ s ≺ t

    Definition

    Gegeben Polynom 0 6= f = ∑

    t∈T ctt mit ct ∈ k und Termordnung ≺ • Leitterm lt f = max≺ {t ∈ T | ct 6= 0} • Leitkoeffizient lc f = clt f

    Gegeben Ideal I ⊆ P • Leitideal lt I = 〈lt f | f ∈ I \ {0}〉

    Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 7 / 20

  • Multivariate Division mit Rest

    Satz

    Zu gegebenen Polynomen f , g1, . . . , gm ∈ P \ {0} und einer beliebigen Termordnung ≺ existieren immer Polynome q1, . . . , qm, r ∈ P so daß f =

    ∑m j=1 qjgj + r mit lt (qjgj) � lt f und lt r � lt f .

    Achtung Fallen:

    • Weder r noch q1, . . . , qm eindeutig bestimmt: • hängen von Details der Berechnung haben • Rest r kann nicht als Normalform verwendet werden

    • I = 〈g1

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