TÜRBÜLANSLI SINIR TABAKALAR

Bir türbülanslı düzlemsel sınır tabakanın zaman-ortalamalı hız profili için yaygın olan bir ampirik yaklaştırım 1/7’nci kuvvet yasasıdır:

y 1/ 7

u y

U

y 1u

U

( ) 0.99u

y xU

Bu profil y = 0 için sonsuz hız gradyeni vermektedir ki bu da sonsuz kayma gerilmesi demektir. Ancak bu imkansızdır. Bu eksikliği ortadan kaldırmak için özel çeper fonksiyonları kullanılır. Laminer ve türbülanslı sınır tabaka özellikleri Tablo 10-4’te karşılaştırılmıştır.

Düz plaka üzerindeki hava akışı için laminer ve türbülanslı sınır tabakaların karşılaştırılması

Laminer ve türbülanslı düz plaka sınır tabakalarının, aynı x-konumunda fiziksel değişkenler cinsinden karşılaştırılması. Reynolds sayısı Re = 1000 000

1/7’nci kuvvet yasası, akışkan mekanikçileri tarafından kullanılan tek türbülanslı sınır tabaka yaklaştırımı değildir. Yaygın olan diğer bir yaklaştırım da logaritma yasasıdır. Bu yasa sadece düz plakalar için değil, katı çeperlerle çevrili tüm akışlar için de borular için kullanılabilir.

*

*

1lnyuu

Bu v Logaritma yasası

*wu

Sürtünme hızı

Logaritma yasası çepere çok yakın yerlerde işe yaramaz (ln0 tanımsızdır). Ayrıca sınır tabaka kenarında deneysel değerlerden sapma gösterir.

Tüm çeper boyunca uygulanabilen bir başka yasa ise Spalding çeper yasasıdır:

*

2 3( / )* * *

**

[ ( / )] [ ( / )]1 ( / )

2 6u uByu u u u uu

e e u uu

ÖRNEK 10-13

BASINÇ GRADYENLİ SINIR TABAKALAR

Şu ana kadar basınç gradyenini dikkate almadık. Basınç gradyeni uygulandığında da sınır tabakalar laminer veya türbülanslı olabilir. Düz plaka çözümleri,

• türbülans başlangıç yerinin belirlenmesi

•sınır tabaka kalınlığı

•yüzey direnci vs

gibi büyüklükleri hesaplamada yaklaşık tahmin olarak iyi iş görür.

Daha yüksek doğruluk gerektiğinde 2-B laminer sınır tabaka denklemleri çözülmeli ve UdU/dx terimi çözüme dahil edilmelidir.

TERMİNOLOJİ

Eğer akış, viskoz olmayan ve/veya dönümsüz bir dış akış bölgesinde (sınır tabakanın dışı) ivmeleniyorsa U(x) artar, P(x) azalır. Buna elverişli basınç gradyeni denir. Çünkü sınır tabaka incedir ve çepere sıkıca tutunmuştur.

Öte yandan dış akış yavaşlıyorsa (negatif ivmeleniyorsa) U(x) azalır, P(x) artar ve bu durumda bir elverişsiz veya ters basınç gradyeni söz konusudur. Bu arzu edilmeyen bir durumdur. Çünkü sınır tabaka bu tür durumlarda genellikle daha kalındır, çepere sıkıca tutunmamıştır ve dolayısıyla çeperden ayrılması çok daha muhtemeldir.

Serbest akıma daldırılan bir cisim boyunca olan sınır tabaka, tipik olarak cismin ön kısmında elverişli bir basınç gradyenine, cismin arka kısmında ise elverişsiz bir basınç gradyenine maruz kalır

Eğer ters basınç gradyeni yeterince büyükse (dP/dx = –U dU/dx büyükse) sınır tabakanın çeperden ayrılması olasıdır.

Sınır tabaka denklemleri paraboliktir, yani aşağıakım sınırından hiçbir bilgi geçirilemez. Bununla birlikte ayrılma, çeper civarında akış alanının parabolik yapısını bozan ve böylece sınır tabaka denklemlerini uygulanamaz duruma getiren ters akışa neden olur

Momentum denklemi

Çeper üzerinde sınır tabaka momentum denklemini incelemek suretiyle çeşitli basınç gradyeni şartlarında hız profilinin şekli konusunda çok şey öğrenilebilir. Çeperde hız sıfır olduğundan (kaymama koşulu) Denklem 10 71’in sol tarafının tamamı yok olur.

2

20

1

y

u dU dPv U

dx dxy

Çeperde:

Bu denklemden yola çıkılarak, denklemi çözmeden bile, hız profili hakkında çok yararlı gözlemler yapılabilir.

Elverişli basınç gradyeni şartlarında (ivmelenen dış akış) dU/dx pozitiftir ve Denklem 1086’ya göre u’nun ikinci türevi negatif, yani (∂2u/∂y2)y = 0 < 0 olur. Sınır tabaka kenarında u hızı U(x)’e yaklaştıkça ∂2u/∂y2’nin negatif olarak kalması gerektiğini biliyoruz. Buna göre herhangi bir büküm noktası olmaksızın sınır tabaka enlemesine hız profilinin, Şekildeki gibi yuvarlak bir hal alması beklenir.

Öte yandan sıfır basınç gradyeni şartlarında, (∂2u/∂y2)y = 0 = 0, Şekil 10123b’de çizildiği gibi u, y ile doğrusal bir büyüme gösterir.

Ters basınç gradyenleri için dU/dx negatiftir ve bu durumda Denklem 1086, (∂2u/∂y2)y = 0 ifadesinin pozitif olmasını gerektirir. Ancak sınır tabaka kenarında u hızı U(x)’e yaklaştıkça ∂2u/∂y2’nin negatif olması gerektiğinden, sınır tabaka içerisinde bir yerde, Şekil 10123c’de gösterildiği gibi, bir büküm noktası (∂2u/∂y2 = 0) bulunması gerekir.

Eğer ters basınç gradyeni yeterince yüksekse (∂u/∂y)y = 0 sıfır olabilir (Şekil 10123d). Çeper boyunca bunun gerçekleştiği konum ayrılma noktasıdır

Yüksek ters basınç gradyeninin bulunması

Akış ayrılmasına karşı türbülans sınır tabakalar, aynı ters basınç gradyenine maruz laminer sınır tabakalardan daha dirençlidir.

MOMENTUM-İNTEGRAL YÖNTEMİ

Bu yöntem ile laminer ve türbülanslı sınır tabakalara ait genel özellikler hesaplanabilmektedir. Ayrıca basınç gradyeninin bulunup bulunmaması da önemli değildir.

sol yüzP P

sağ yüzdP

P P dxdx

Giren ve çıkan kütlesel debiler:

sol yüz0

Y

m w udy

sağ yüz0 0

Y Ydm w udy udy dx

dx

Burada w, sayfa düzlemine dik kontrol hacminin genişliğidir, w = 1 alınabilir.

KH’e kütle korunumu yasasını uygularsak ( )sağ yüz sol yüzm m

üst0

Ydm w udy dx

dx

Doğrusal momentum denklemi x-yönü:

,kütlexFyerçekimi ihm

, yüzey

alw

dPYwP Yw P dx wd

x

xdx

F

üst

2 2 2

0 0 0

sol yüz sağ yüz üst

Y Y Y m Udw u dy w u dy u dy dxdy

uV ndA uV ndA uV ndA

Bazı sadeleştirmelerden sonra;

2

0 0

Y Y

wdP d d

Y u dy U udydx dx dx

Dış akış çözümü (Bernoulli’den): dP/dx = –U dU/dx alınarak;

2

0 0 0

Y Y YwdU d d

U dy u dy U udydx dx dx

Çarpma kuralının tersini kullanarak;

2

0 0

1 1 wd u u dU uU dy U dy

dx U U dx U

0

1u u

dyU U

0

* 1udy

U

Ancak,

olduğundan, 2 *( ) wd dUU U

dx dx

Kármán integral denklemi

,(2 )

2f xC d dU

Hdx U dx

Kármán integral denklemi, alternatif

form:

*

H

,21

2

wf xC

U

almak suretiyle,

Düz plaka için:, 2f x

dC

dx