PrefacioEn esta unidad vamos a hablar de las principales Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas y continuas, aqu hablaremos de conceptos y significados, principales para llegar a comprender ms esta unidad.Nos dar las herramientas necesarias para lograr entender mejor esta unidad, as lograr nuestro trabajo con la mayor precisin y comprensin necesaria. Nos ayudare a determinar y aplicar el modelo matemtico apropiado a las caractersticas de una variable aleatoria y analizar sus resultados.Al igual de aplicar la distribucin normal para variables continuas y su aproximacin con la distribucin binomial.

El azarEl azar es una combinacin de circunstancias o de causas imprevisibles, complejas, no lineales, sin plan previo y sin propsito, que supuestamente provocan que acontezca un determinado acontecimiento que no est condicionado por la relacin de causa y efecto ni por la intervencin humana o divina. Este acontecimiento puede ser bueno y tambin puede ser una desgracia causada por la casualidad, la fortuna, el acaso, la suerte. El azar es un caso fortuito, no programado, y si es negativo es un contratiempo.Si algo fue "al azar" o "por azar", significa que fue por casualidad, de manera fortuita o accidental, involuntario, o sin una intencin o un motivo determinado o prefijado, algo que ocurre sin reflexionar sobre ello ni planearlo, algo que no tiene gua ni rumbo, y que no tiene orden u ocurre aleatoriamente.Un juego de azar es aquel en que el resultado es aleatorio e independiente de la destreza de los participantes o de los jugadores, es un juego de suerte. En algunos juegos, existen algunos objetos o acciones denominadas azar. Por ejemplo, se llama azar al dado o a la carta con el que se obtiene el punto con que se pierde en los juegos de dados o de naipes. La puerta, la ventana, la esquina o cualquier estorbo se denomina azar en el juego de la pelota. Tambin en el billar, cualquier lado de la tronera por dentro, es decir, que mira a la mesa, se denomina azar.El trmino azar se puede utilizar como sinnimo de: casualidad, eventualidad, suerte, circunstancia, entre otros. Azar en matemticaEn matemtica, la teora de la probabilidad o de la estadstica estudia la aleatoriedad o el azar que es un fenmeno que ocurre cuando existe una serie numrica que no puede obtenerse mediante un algoritmo ms corto que la serie misma.Variable aleatoria UnaVariable aleatoriaX es una regla que asigna un valor numrico a cada resultado en el espacio mestrual de un experimento.Se llama variable aleatoria a toda funcin que asocia a cada elemento del espacio muestral E un nmero real.Se utilizan letras maysculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.Unavariable aleatoriacontinua puede tomar cualquier valor dentro de un continuo intervalo de tiempo, como la temperatura en el Parque Central, o la altura de un atleta en centmetros.Una variable aleatoria (v.a.) es un nmero real asociado al resultado de un experimento aleatorio, es decir, una funcin real en el espacio muestral.X:Los valores de la variable aleatoria se notarn con letras minsculas x en este caso.Ejemplos: Supongamos un experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento lo siguiente sera v.a:1. Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde X puede tomar valores x=2,3,4,,12.2. Sea Y la v.a nmero de pares en los dados donde Y puede tomar los valores y=0,1,2. 3. Sea Z la v.a nmero de impares en los dados donde Z puede tomar los valores z=0,1,2.Unavariable aleatoriaovariable estocsticaes unavariable estadsticacuyos valores se obtienen de mediciones en experimento aleatorio.Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento an no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medicin incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; unadistribucin de probabilidadse usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lgicos, funciones... El trminoelemento aleatoriose utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el deproceso estocstico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).Variable aleatorias discretasUnavariable aleatoria discretapuede tomar en especfico, aislado valor numrico, como resultado de lanzar un dado, o el nmero de dlares en una cuenta bancaria escogido de forma aleatoria.Variable aleatoria discreta que slo puede asumir finitamente muchos valores (como el resultado de lanzar un dado) se llamavariables aleatoriasfinitas.Unavariable aleatoria discreta es aquella que slo puede tomar valores enteros.Se dice que una v.a. es discreta si el conjunto de todos los valores que puede tomar es un conjunto numerable.Dada una v.a. discreta, X, se define la funcin masa de probabilidad como: f(x)=P[X=x], para cada x.Sea X v.a. discreta y f(x) su funcin masa de probabilidad. Entonces:1) f(x) 0 para todo x 2) x f(x)=1 3) En general, para cualquier conjunto B, P[XB]= x B f(x), donde x son los posibles valores de BEjemplos: El nmero de hijos de una familia, la puntuacin obtenida al lanzar un dado. Nmero de caras al lanzar dos dados. Nmero de cifras acertadas en un sorteo de la lotera. Ejemplo: Experimento aleatorio: Lanzar una moneda al aire dos veces Espacio muestral: = {CC, CX, XC, XX} Sucesos elementales: {CC}, {CX}, {XC}, {XX} Se define la variable X: N de caras obtenidas Asignacin de nmeros reales: (CC, 2); (CX, 1); (XC, 1); (XX, 0) Por tanto, la variable X viene definida por los valores: 0, 1, 2 En el ejemplo anterior, X = {0, 1, 2} La v.a.d., X, queda caracterizada por la funcin de probabilidad, f(x) = P(X = x), y por la funcin de distribucin, F(x) = P(X x).Dist. de probabilidad para una variable aleatoria discreta (VAD)Normalmente, los resultados posibles (espacio muestral ) de un experimento aleatorio no son valores numricos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar de modo ordenado 2 monedas al aire para observar el nmero de caras (C) y cruces (X) que se obtienen, el espacio muestral asociado a dicho experimento aleatorio sera: = {CC, CX, XC, XX}En Estadstica resulta ms fcil utilizar valores numricos en lugar de trabajar directamente con los elementos de un espacio muestral como el anterior. As, preferimos identificar los sucesos {CX, XC} con el valor numrico 1, que representa el nmero de caras obtenidas al realizar el experimento. De este modo aparece el concepto de variable aleatoria. Sea (, (), P) un espacio de probabilidad. Una funcin X: X()= xEs una variable aleatoria, es decir, las variables aleatorias unidimensionales son funciones cuyos valores dependen del resultado de un experimento aleatorio. Una variable aleatoria es una funcin que asocia un nmero real y slo uno x, a cada suceso elemental del espacio muestral ( ) de un experimento aleatorio. Las variables aleatorias discretas son aquellas que slo pueden tomar un nmero de valores finito o infinito numerable.X: X()= xSe representan mediante letras maysculas y pueden tomar n posibles valores: X = { x1, x2, ... , xi , ... , xn } Funcin de probabilidad, f(x) (, (), P) un espacio de probabilidad, X v. a. d., y {xi}i=1.. los valores que toma. Se llama funcin de probabilidad, f(x), a la funcin que indica la probabilidad de cada posible valor del v. a. d. X, es decir: f: N [0, 1]xi f(xi) = P(X = xi) = pi =P[{ t.q. X()=xi] i=1, ..,y que verifica: (i) 0 f(xi) 1 (ii) f(xi) = 1 Si xi no es uno de los valores que puede tomar X, entonces f(xi)=0. Grficamente se representa mediante un diagrama de barras anlogo al de distribucin de frecuencias relativas para variables discretas.

Sea (, (), P) un espacio de probabilidad, X v. a. d., {xi}i=1.. los valores que toma y {pi}i=1.. la funcin de probabilidad de X. Se llama funcin de distribucin (acumulativa) de la v.a.d. X, F(x), a la probabilidad de que X sea menor o igual que x; es decir: F: N [0, 1] xi F(xi) = P(X xi) = P[{ t.q. X() xi] F(xi) = P(X xi) = j i x x j f (x ) Que cumple las siguientes propiedades: (i) F(-)=0 (ii) F(xmin) = f(x1)(iii) F(xmax) = 1 (iv) F()=1 (v) F es montona no decreciente, es decir, si xi xj entonces F(xi) F(xj) (vi) F es continua a derecha, tiene lmites a izquierda y es constante en [xi-1, xi), donde toma el valor ki k f (x ) (vii) P(X > x) = 1 - P(X x) = 1 - F(x) (viii) P(xi X xj) = F(xj) - F(xi-1)Grficamente resulta en la funcin escalera

Valor esperado de una VAD (Esperanza matemtica)Se trata de resumir la informacin de una variable aleatoria en un conjunto de medidas (nmeros). De forma anloga a lo que se hizo en el tema de Estadstica Descriptiva, podemos definir para las variables aleatorias medidas de centralizacin, dispersin, simetra y forma. Por su inters especial, nos vamos a centrar en dos medidas sobre variables aleatorias que son: la esperanza matemtica, que desempea un papel equivalente al de la media, y la varianza. Esperanza:Sea X v. a. El valor esperado o esperanza matemtica de X, denotada por E(X) o por , sedefine como:

E(X) no es una funcin de x, es un valor fijo que depende de la distribucin de probabilidad de X. E(X) est medida en las mismas unidades que X. Si X es una v.a. con funcin de probabilidad simtrica respecto a un punto x=a, entonces E(X)=a.Propiedades de la esperanza: (i) Si C es una constante, entonces E(C)=C. (ii) (ii) Linealidad: E(aX+b)=aE(X)+b, a, b (iii) (iii) Si g(X) es una funcin de X, entonces: E[g(X) ] = g(xi) f(xi) (iv) (iv) Si g(X), h(X) son funciones de X, entonces E[g(X)+h(X)]=E[g(X)]+ E[h(X)] (v) (v) |E[g(X)]| E[|g(X)|] (vi) (vi) Si X e Y son v. a. independientes E[X.Y]=E[X].E[Y]Valor monetario esperadoEs el promedio o resultado monetario esperado de una decisin, este es determinado de la multiplicacin de los resultados esperados por sus probabilidades respectivas, los resultados entonces son sumados hasta llegar al EMV. Es una tcnica de anlisis que hace el clculo para determinar el promedio de todos los resultados posibles cuando el futuro exige una serie de situaciones particulares que pueden o no en ltima instancia suceder. Estos escenarios pueden ser interpretados como posibles de forma individual. Una utilizacin comn de esta tcnica se lleva a cabo dentro de una tcnica como la realizacin de rboles de decisin. El anlisis del valor monetario esperado lo que tambin puede hacer referencia a anagrama, puede realizarse en cualquier ciclo de vida del proyecto.En conclusin el EMV es un mtodo de clculo de los resultados promedio en el futuro que es incierto es decir las oportunidades se tienen si los resultados son positivos y los riesgos que tienen los valores negativos, otra conclusin es que se encuentran multiplicando el valor monetario de un posible resultado por la probabilidad de que ocurra igualmente se puede utilizar el rbol de decisin.Se puede tener un estimado de los beneficios o costos de una actividad, proyecto o evento riesgoso si se multiplica su probabilidad de ocurrencia (po) por su impacto (i).VME =poxiOtra forma de entenderlo es como la prima que se debe pagar a una aseguradora contra un evento que tiene una probabilidad po de ocurrencia.Varianza y desviacin estndar de una V. A. D. Valor EsperadoEl valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cul era su esperanza de ganar o perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una funcin de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles del juego estar representado por la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los parmetros que describen una variable aleatoria.Sea X una variable aleatoria discreta con funcin de probabilidades f(x). Entonces, el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa por E(X), est definido por:E(X) =xif(xi)Lo anterior significa, que para calcularE(X)se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y despus se suman esos productos.El valor esperado representa elvalorpromedioque se espera suceda, al repetir el experimento en forma independiente una gran cantidad de veces. El valor esperado se interpreta fsicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la distribucin de probabilidad, por lo que es igual a lamediaopromedio aritmtico, los cuales se representan con laletram.De acuerdo a lo anterior podemos escribir que:E(X) =m=xif(xi) Variancia.Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de la distribucin de probabilidad, porque proporcionan una descripcin completa de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la de dispersin.La primera est representada por la media o valor esperado, ya vista en el punto anterior, y la segunda por la variancia o por la desviacin estndar, que evalan la dispersin de la distribucin de probabilidad o grado en que se separan del promedio los valores de la variable aleatoria X.Por ejemplo, en un espaciomuestralequiprobablevemos que los valores 5, 10 y 15 tienen una media de 10 y que los valores 9.9, 10 y 10.1 la media tambin es 10. Sin embargo, advertimos que los dos conjuntos de valores difieren notablemente en la dispersin de los valores respecto a su media y que tal dispersin es de gran importancia. Por lo tanto, para tener un conocimiento claro y completo del comportamiento de los valores que puede tomar la variable aleatoria, es indispensable conocer tanto la media como la variancia o la desviacin estndar de la distribucin de probabilidad.Las desviaciones (X-m) toman valores: (x1-m), (x2-m), (x3-m),,(xi-m), con probabilidades respectivas:f(x1), f(x2), f(x3), . . . , f(xi). Sin embargo, al tomar el valor esperado de estas desviaciones nos encontramos con que:E(X-m) =(xi-m)f(xi)=xif(xi)-mf(xi)=xif(xi)-m=m-m= 0Esto se debe a que las desviaciones positivas se compensan con las desviaciones negativas. Para determinar una medida de dispersin, necesitamos considerar nicamente la magnitud de las desviaciones sin sus signos.Una manera de eliminar el signo de las desviaciones, es considerar el cuadrado de las mismas, es decir, (xi-m)2.Si obtenemos el valor esperado de las desviaciones elevadas al cuadrado, obtenemos una medida de la dispersin de la distribucin de probabilidad, la cual es conocida como Variancia y se simboliza pors2Var(X)V(X).La variancia de una variable aleatoria X se define como2=V(X)=Var(X) = E (X-)2=(xi-)2f(xi)A partir de sta ecuacin y mediante un pequeo desarrollo matemtico, se obtiene la siguiente expresin:s2=V(X)=xi2f(xi)-m2Si representamos axi2f(xi)porE( X2),podemos escribir:s2=V(X)=Var(X) =E( X2)-[E(X)]2=E( X2)-m2Al usar la variancia como medida de dispersin o variabilidad se presenta una dificultad. Las unidades con que se miden los valores que toma la variable aleatoriaXson lineales, por ejemplo kilogramos, metros, litros, etc., por lo quem=E(X)tambin ser lineal, pero la variancias2est en unidades cuadrticas, como kilogramos elevados al cuadrado, metros elevados al cuadrado, litros elevados al cuadrado, etc.En vista de lo anterior, si queremos expresar la medida de dispersin en las mismas unidades en que se miden los valores de la variable aleatoria X, debemos tomar la raz cuadrada positiva de la variancia. A esta cantidad se le conoce con el nombre dedesviacin estndary se representacons.La desviacin estndar de una variable aleatoria X se define y simboliza como:= La distribucin BinomialLa distribucin binomial parte de la distribucin de Bernouilli. Se aplica cuando se realizan un nmero "n" de veces el experimento de Bernouilli, siendo cada ensayo independiente del anterior. Realizamos el experimento anterior n veces de forma independiente, y definimos la v.a.:X= Nmero de xitos obtenidos en las n realizaciones que puede tomar los valores k=0,1,,n 0: si todos los experimentos han sido fracaso n: si todos los experimentos han sido xitos con probabilidades:

La distribucin de probabilidad de este tipo de distribucin expresada de otra forma:

Donde " k " es el nmero de aciertos " n" es el nmero de ensayos. " p " es la probabilidad de xito E(X) = n.p Var(X) = n.p.(1-p)=n.p.qUnadistribucin binomial o de Bernoullitiene las siguientes caractersticas:1) En cada prueba del experimento slo son posiblesdos resultados:xitoyfracaso.2) Laprobabilidad de xito es constante, es decir, que no vara de una prueba a otra. Se representa porp.3) Laprobabilidad de fracasotambin esconstante, Se representa porq,q = 1 p4) Elresultadoobtenido en cada prueba esindependientede los resultados obtenidos anteriormente.5) Lavariable aleatoria binomial,X, expresa elnmero de xitos obtenidosen lanpruebas. Por tanto, los valores que puede tomarX son:0, 1, 2, 3, 4, ..., n.Ladistribucin binomialse expresa porB(n, p) Clculo de probabilidades en una distribucin binomial

nes el nmero de pruebas. kes el nmero de xitos. pes la probabilidad de xito. qes la probabilidad de fracaso.El nmero combinatorio Parmetros de la distribucin binomialMedia

Varianza

Desviacin tpica

Distribucin HipergeomtricaHasta ahora hemos analizado distribuciones que modernizaban situaciones en las que se realizaban pruebas que entraaban una dicotoma (proceso de Bernouilli) de manera que en cada experiencia la probabilidad de obtener cada uno de los dos posibles resultados se mantena constante. Si el proceso consista en una serie de extracciones o selecciones ello implicaba la reposicin de cada extraccin o seleccin, o bien la consideracin de una poblacin muy grande. Sin embargo si la poblacin es pequea y las extracciones no se remplazan las probabilidades no se mantendrn constantes. En ese caso las distribuciones anteriores no nos servirn para la modernizar la situacin. La distribucin Hipergeomtrica viene a cubrir esta necesidad de modernizar procesos de Bernouilli con probabilidades no constantes (sin reemplazamiento). La distribucin Hipergeomtrica es especialmente til en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolucin del elemento extrado o sin retornar a la situacin experimental inicial. Moderniza, de hecho, situaciones en las que se repite un nmero determinado de veces una prueba dicotmica de manera que con cada sucesivo resultado se ve alterada la probabilidad de obtener en la siguiente prueba uno u otro resultado. Es una distribucin .fundamental en el estudio de muestras pequeas de poblaciones .pequeas y en el clculo de probabilidades de, juegos de azar y tiene grandes aplicaciones en el control de calidad en otros procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situacin de partida. La distribucin Hipergeomtrica puede derivarse de un proceso experimental puro o de Bernouilli con las siguientes caractersticas: El proceso consta de n pruebas, separadas o separables de entre un conjunto de N pruebas posibles. Cada una de las pruebas puede dar nicamente dos resultados mutuamente excluyentes: A y no A. En la primera prueba las probabilidades son: P(A)= p y P(A)= q; con p+q=l.Las probabilidades de obtener un resultado A y de obtener un resultado no A varan en las sucesivas pruebas, dependiendo de los resultados anteriores. (Derivacin de la distribucin) . Si estas circunstancias a leatorizamos de forma que la variable aleatoria X sea el nmero de resultados A obtenidos en n pruebas la distribucin de X ser una Hipergeomtrica de parmetros N,n,p asEste modelo presenta similitudes con el Binomial, pero sin la suposicin de independencia de ste ltimo. Vemoslo: Partimos de un conjunto formado porNindividuos divididos en dos categoras mutuamente excluyentes:AyAc; de manera queN1individuos pertenecen a la categoraAyN2individuos,alacategoraAc. Por tanto, se cumple queN=N1+ N2 Si del conjunto anterior extraemosnindividuossin reemplazamiento(nN), la variableXque representa elnmerokde individuos que pertenecen a la categoraA(de losnextrados)tiene por funcin de densidad:

La dependencia se debe al hecho de queNes finito y las extracciones se efectan sin reemplazamiento. El caso de extracciones con reemplazamiento sera equivalente al deNinfinito y se resolvera mediante elmodelo Binomial.El programa siguiente nos muestra la forma de la funcin de densidad de esta variable y el valor de la funcin de densidad y de la funcin de distribucin en el punto que elijamos: Propiedades: Esperanza: E(X) = n N1/ N2. Varianza: V(X) = (n N1N2(N-n)) / (N2(N-1) ) Propiedades del modelo Hipergeomtrica 1) Esperanza:E(X) =nN1/N 2) Varianza:V(X) = (nN1N2(Nn))/(N2(N1)) La distribucin de PoissonEsta distribucin es una de las ms importantes distribuciones devariable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelizacin de situaciones en las que nos interesa determinar el nmero de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideracin lmite de procesos dicotmicos reiterados un gran nmero de veces si la probabilidad de obtener un xito es muy pequea.Proceso experimentaldel que se puede hacer derivar Esta distribucin se puede hacer derivar de un proceso experimental de observacin en el que tengamos las siguientes caractersticas Se observa la realizacin de hechos de cierto tipo durante un cierto periodo de tiempo o a lo largo de un espacio de observacin Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria; pueden producirse o no de una manera no determinstica. La probabilidad de que se produzcan un nmero x de xitos en un intervalo de amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, s de su amplitud) La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo infinitsimo es prcticamente proporcional a la amplitud del intervalo. La probabilidad de que se produzcan 2 o ms hechos en un intervalo infinitsimo es un infinitsimo de orden superior a dos.En consecuencia, en un intervalo infinitsimo podrn producirse O 1 hecho pero nunca ms de unoSi en estas circunstancias aleatorizados de forma que la variable aleatoria X signifique o designe el "nmero de hechos que se producen en un intervalo de tiempo o de espacio", la variable X se distribuye con una distribucin de parmetrol.As: El parmetro de la distribucin es, en principio, el factor de proporcionalidad para la probabilidad de un hecho en un intervalo infinitsimo. Se le suele designar como parmetro de intensidad, aunque ms tarde veremos que se corresponde con el nmero medio de hechos que cabe esperar que se produzcan en un intervalo unitario (media de la distribucin); y que tambin coincide con la varianza de la distribucin.Por otro lado es evidente que se trata de un modelo discreto y que el campo de variacin de la variable ser el conjunto del nmero natural, incluido el cero:

Funcin de cuantaA partir de las hiptesis del proceso, se obtiene una ecuacin diferencial de definicin del mismo que puede integrarse con facilidad para obtener la funcin de cuanta de la variable "nmero de hechos que ocurren en un intervalo unitario de tiempo o espacioQue sera:ir a programa de clculo

Cuya representacin grfica para un modelo de media 11 sera la adjunta.Obsrvense los valores prximos en la media y su forma parecida a la campana deGauss, en definitiva , a la distribucin normal

La funcin de distribucin vendr dada por:

Variables aleatorias continuasUna variable aleatoriaXes continua si su funcin de distribucin es una funcin continua.En la prctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo: mediciones biomtricas, intervalos de tiempo, reas, etc.Ejemplos Resultado de un generador de nmeros aleatorios entre 0 y 1.Es el ejemplo ms sencillo que podemos considerar, es un caso particular de una familia de variables aleatorias que tienen una distribucin uniforme en un intervalo [a,b]. Se corresponde con la eleccin al azar de cualquier valor entreayb. Estatura de una persona elegida al azar en una poblacin.El valor que se obtenga ser una medicin en cualquier unidad de longitud (m, cm, etc.) dentro de unos lmites condicionados por la naturaleza de la variable. El resultado es impredecible con antelacin, pero existen intervalos de valores ms probables que otros debido a la distribucin de alturas en la poblacin. Ms adelante veremos que, generalmente, variables biomtricas como la altura se adaptan un modelo de distribucin denominadodistribucin Normaly representada por una campana de Gauss. Dentro de las variables aleatorias continuas tenemos lasvariables aleatorias absolutamente continuas.Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribucin absolutamente continua si existe una funcin real f, positiva e integrable en el conjunto de nmeros reales, tal que la funcin de distribucin F de X se puede expresar como

Una variable aleatoria con distribucin absolutamente continua, por extensin, se clasifica como variable aleatoria absolutamente continua.En el presente manual, todas las variables aleatorias continuas con las que trabajemos pertenecen al grupo de las variables absolutamente continuas, en particular, los ejemplos y casos expuestos.La dist. Normal de probabilidadesUnadistribucin normaldemedia ydesviacin tpica se designa porN(, ). Su grfica es lacampana de Gauss:

El readel recinto determinado por la funcin y el eje de abscisases igual a la unidad.Al sersimtricarespecto al eje que pasa porx = , deja unrea igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.La probabilidad equivale al rea encerrada bajo la curva. Distribucin normal estndarN(0, 1)Ladistribucin normal estndar, o tipificada o reducida,es aquella que tiene pormediael valor cero, =0, y pordesviacin tpica la unidad, =1.

La probabilidad de la variable X depender del rea del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos unatabla.Tipificacin de la variablePara poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribucin N(, ) en otra variable Z que siga una distribucin N(0, 1).

Clculo de probabilidades en distribuciones normalesLatablanos da lasprobabilidades de P(z k), siendozla variable tipificada.Estas probabilidades nos dan lafuncin de distribucin(k).(k) = P(z k)Bsqueda en la tabla de valor de kUnidades y dcimasen la columna de la izquierda.Centsimasen la fila de arriba.P(Z a)

P(Z > a) =1 - P(Z a)

P(Z a) = 1 P(Z a)

P(Z > a) = P(Z a)

P(a < Z b ) = P(Z b) P(Z a)

P(b < Z a ) = P(a < Z b )Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla elvalor que ms se aproxime a K.

P(a < Z b ) = P(Z b) [ 1 P(Z a)]

p = KPara calcular la variableXnos vamos a lafrmula de la tipificacin.La distribucin normal estandarizadaN(0, 1)Ladistribucin normal estndar, o tipificada o reducida,es aquella que tiene pormediael valorcero, = 0, y pordesviacin tpica la unidad, =1.Su funcin de densidad es:

Su grfica es:

La probabilidad de la variable X depender del rea del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos unatabla.Tipificacin de la variablePara poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variableXque sigue una distribucinN(, )en otra variableZque siga una distribucinN(0, 1).

Aproximacin de la normal a la binomialUna distribucin binomialvariable discreta la podemos aproximar a una normal, variable continua cuando n es grande.

Problemas aproximar distribucin binomial a normal

Bibliografa Biblioteca Libro: Introduccin a la Estadstica Autor: Wilfrido caballero Libro: Estadifica Bsica en Administracin Autor: Mark L. Berson y David M. Leving Libro: Esttica Aplicada a los negocios y la economa. Autor: Allen L. Wedster Libro: Esttica para administracin y economa Autor: Anderson, Sweeney y Williams Internet http://www.significados.com/azar/ http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria http://www.vitutor.com/pro/3/a_1.html http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Summary7.html http://www4.ujaen.es/~svilchez/metodos/Tema4_VariableAleatoria.pdf http://serdis.dis.ulpgc.es/~ii-pest/Variable%20aleatoria%20Discreta_Distribuciones.pdf http://ceresegp.blogspot.mx/2011/04/valor-monetario-esperado.html http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/distribucion_binomial.html http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo3/B0C3m1t9.htm http://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/poisson.htm http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t9.htm http://www.vitutor.net/1/55.html4

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