topografia anotaes de aula 2010 1

UNIMAR - UNIVERSIDADE DE MARLIAFEAT FACULDADE DE ENGENHARIA, ARQUITETURA E TECNOLOGIA

TOPOGRAFIA I e IIANOTAES DE AULA

Prof. CARLOS EDUARDO TROCCOLI PASTANAe-mail: [email protected] telefone: 3422-4244 REVISADA e AMPLIADA EM 2010-1 CORREES E SUGESTES

NDICECAPTULO 1 ............................................................................................................ 11. CONCEITOS FUNDAMENTAIS: ...................................................................................................................... 1 1.1. DIFERENA ENTRE GEODSIA E TOPOGRAFIA:.................................................................................... 2 1.2. TOPOGRAFIA:............................................................................................................................................... 41.2.1 LIMITES DE APLICAO DA TOPOGRAFIA:..................................................................................................... 4 1.2.2. - DIVISES DA TOPOGRAFIA:...................................................................................................................... 81.2.2.1. TOPOMETRIA:...................................................................................................................................... 8

1.2.2.2. TOPOLOGIA ou GEOMOFOGENIA:....................................................................................................... 10 1.2.2.3. TAQUEOMETRIA: ............................................................................................................................... 10 1.2.2.4. FOTOGRAMETRIA: ............................................................................................................................. 10 1.2.2.5. GONIOMETRIA: .................................................................................................................................. 11

1.2.3. TEORIA DOS ERROS EM TOPOGRAFIA:........................................................................................................ 121.2.3.1. ERROS SISTEMTICOS: ....................................................................................................................... 12 1.2.3.2. ERROS ACIDENTAIS:........................................................................................................................... 13 1.2.3.3. ENGANOS PESSOAIS:.......................................................................................................................... 13

1.2.4. CUIDADOS QUE DEVEM SER TOMADOS: ..................................................................................................... 13 1.2.5. NOO DE ESCALA: .................................................................................................................................. 14 1.2.6. PRECISO GRFICA ................................................................................................................................... 16 1.2.7. EXERCCIOS: .............................................................................................................................................. 17

1.2.5.1. MODOS DE EXPRESSAR AS ESCALA:.................................................................................................... 15

CAPTULO 2 .......................................................................................................... 192. TRIANGULAO E TRIGONOMETRIA: .......................................................................................................... 19 2.1 TRIANGULAO: ........................................................................................................................................ 19 2.2. CLCULO DA REA DE UM TRINCULO QUALQUER, CONHECENDO-SE APENAS AS MEDIDAS DOS LADOS. ........................................................................................................................................................ 21 2.3. EXERCCIOS................................................................................................................................................. 25 2.4. TRIGONOMETRIA: ..................................................................................................................................... 252.4.1. CRCULO TRIGONOMTRICO:..................................................................................................................... 26 2.4.2 VALORES QUE AS FUNES PODEM ASSUMIR:............................................................................................. 27 2.4.3. RELAO ENTRE O CRCULO TRIGONOMTRICO E UM TRINGULO QUALQUER:....................................... 27

2.5 TABELA PRTICA DAS FUNES NO TRINGULO RETNGULO .................................................. 28 2.6 - RELAES TRIGONOMTRICAS NUM TRINGULO QUALQUER: ................................................ 292.6.1 - Lei dos Co-senos .................................................................................................................................... 29 2.6.2 - Lei dos Senos: ......................................................................................................................................... 30

2.7 - EXERCCIOS: ............................................................................................................................................. 31

CAPTULO 3 .......................................................................................................... 333 RUMOS E AZIMUTES: ...................................................................................................................................... 33 3.1 INTRODUO:.......................................................................................................................................... 33 3.2 DEFINIO DE RUMO, AZIMUTE, DEFLEXO, NGULO HORRIO E ANTI-HORRIO, INTERNOS E EXTERNOS: ................................................................................................................................... 34 i

3.2.1 RUMO:..................................................................................................................................................... 34 3.2.2 AZIMUTE:................................................................................................................................................. 35 3.2.3 DEFLEXES: ............................................................................................................................................. 37 3.2.4 NGULOS HORRIOS ( DIREITA) e ANTI-HORRIOS ( ESQUERDA): ....................................................... 383.2.3.1 CLCULO DOS AZIMUTES SENDO DADOS AS DEFLEXES: ................................................................. 37

3.2.4.1 CLCULO DOS AZIMUTES SENDO DADOS OS NGULOS HORIZONTAIS DIREITA: ............................ 41

3.3 - EXERCCIOS: ............................................................................................................................................. 42

CAPTULO 4 .......................................................................................................... 454. MEDIDAS ANGULARES, LINEARES E GRRIAS ......................................................................................... 45 4.1 INTRODUO........................................................................................................................................... 45 4.2 MEDIDAS ANGULARES............................................................................................................................ 454.2.1 - NGULO.................................................................................................................................................. 454.2.1.1 - NGULO PLANO............................................................................................................................... 46 4.2.1.2 - NGULO DIEDRO ............................................................................................................................. 46 4.2.1.4 - NGULO ESFRICO........................................................................................................................... 47 4.2.2.1. SEXAGESIMAL .................................................................................................................................... 47 4.2.2.3. RADIANO:.......................................................................................................................................... 48 4.2.1.3 - NGULO TRIEDRO ........................................................................................................................... 47

4.2.2 - UNIDADES DE MEDIDAS ANGULARES........................................................................................................ 474.2.2.2. CENTESIMAL (GRADO) ....................................................................................................................... 48

4.2.3. CONVERSO DE UNIDADES:....................................................................................................................... 48

4.2.3.1. CONVERSO DE GRAUS EM GRADO.................................................................................................... 48

4.2.3.2. CONVERSO DE GRADOS EM GRAUS .................................................................................................. 49 4.2.3.3. CONVERSO DE GRAUS EM RADIANOS............................................................................................... 50 4.2.3.4. CONVERSO DE RADIANOS EM GRAUS............................................................................................... 50

4.2.4 EXERCCIOS: ............................................................................................................................................ 50

4.3 - MEDIDAS LINEARES: ............................................................................................................................... 51 4.4 - MEDIDAS AGRRIAS:.............................................................................................................................. 534.4.1 - DEFINIES E ORIGENS DAS PRINCIPAIS UNIDADES DE MEDIDAS:............................................................. 544.4.1.1 - HECTARE: ........................................................................................................................................ 54 4.4.1.2 - ARE: ................................................................................................................................................ 54 4.4.1.3 - CENTIARE: ....................................................................................................................................... 54 4.4.1.4 - ACRE: .............................................................................................................................................. 54 4.4.1.5 - CINQENTA:.................................................................................................................................... 54 4.4.1.6 - COLNIA: ........................................................................................................................................ 54 4.4.1.8 - MORGO: .......................................................................................................................................... 55 4.4.1.9 - QUARTA: ......................................................................................................................................... 55 4.4.1.10 - TAREFA: ........................................................................................................................................ 55 4.4.1.11 - ALQUEIRE GEOMTRICO:................................................................................................................ 55 4.4.1.12 - ALQUEIRE PAULISTA:...................................................................................................................... 55 4.4.1.7 - DATA DE TERRAS:............................................................................................................................ 54

4.4.2 - UNIDADE LEGAIS NO BRASIL: ................................................................................................................... 57

CAPTULO 5 .......................................................................................................... 595. MEDIES DE DISTNCIAS HORIZONTAIS:................................................................................................ 59 5.1. MEDIO DIRETA DE DISTNCIA HORIZONTAL:.............................................................................. 595.1.1. MEDIO COM DIASTMETRO.................................................................................................................... 61 5.1.2. MEDIO DIRETA DE ALINHAMENTO RETO ENTRE 2 PONTOS VISVEIS ENTRE SI:........................................ 63 5.1.3. MEDIO DIRETA DE ALINHAMENTO RETO ENTRE 2 PONTOS NO VISVEIS ENTRE SI:................................ 64

ii

5.3. MEDIO ELETRNICA DE DISTNCIA HORIZONTAL:.................................................................... 66

5.2. MEDIO INDIRETA DE DISTNCIA HORIZONTAL:.......................................................................... 65

5.4. ERROS DE AFERIO DO DIASTIMETRO:............................................................................................. 66

5.5. EXERCCIOS................................................................................................................................................. 67

CAPTULO 6 .......................................................................................................... 696 LEVANTAMENTOS REGULARES .................................................................................................................... 69 6.1 LEVANTAMENTO REGULAR A TEODOLITO E TRENA ...................................................................... 696.2.1. INSTRUMENTOS ...................................................................................................................................... 71 6.2.2. ACESSRIOS ........................................................................................................................................... 73

6.2 INSTRUMENTOS E ACESSRIOS NECESSRIOS PARA UM LEVANTAMENTO REGULAR .......... 71 6.3 MEDIDAS DE NGULOS COM O TEODOLITO .................................................................................... 73

6.3.1. MEDIDA SIMPLES..................................................................................................................................... 74 6.3.2. NGULO DUPLO ou MEDIDA DUPLA DO NGULO .................................................................................... 75 6.3.3. FECHAMENTO EM 360 ........................................................................................................................... 76 6.3.4. REPETIO ............................................................................................................................................. 78 6.3.5. REITERAO........................................................................................................................................... 79 6.5.1. CLASSIFICAO QUANTO NATUREZA (TIPOS)....................................................................................... 806.5.1.1. POLIGONAL ABERTA........................................................................................................................ 80 6.5.1.3. POLIGONAL SECUNDRIA, ENQUADRADA OU AMARRADA ............................................................... 82 6.5.1.2. POLIGONAL FECHADA ..................................................................................................................... 81

6.5 POLIGONAL ............................................................................................................................................... 80

6.6 COORDENADAS CARTESIANAS E POLARES....................................................................................... 836.6.1. COORDENADAS CARTESIANAS ................................................................................................................ 83 6.6.2. COORDENADAS POLARES........................................................................................................................ 83

6.7 COORDENADAS RETANGULARES ........................................................................................................ 84 6.8 COORDENADAS RELATIVAS E ABSOLUTAS....................................................................................... 856.9.1. ORIENTAO ENTRE DOIS PONTOS DADOS POR COORDENADAS ............................................................ 87 6.9.2. DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS DADOS POR COORDENADAS ................................................................ 88

6.9 CONVERSO DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES ....................................................... 87

CAPTULO 7 .......................................................................................................... 897 SEQNCIA DE CLCULOS DE UMA POLIGONAL REGULAR ................................................................ 89 7.1 DETERMINAO DO ERRO DE FECHAMENTO ANGULAR (EFA) .................................................... 91 7.2 DETERMINAES DOS AZIMUTES ....................................................................................................... 93 7.4 CLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS (X,Y) ................................................................................ 94 7.3 TABELA DE CAMPO ................................................................................................................................. 94 7.5 CLCULO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR ABSOLUTO (EF) .................................................. 96 7.7 DISTRIBUIO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR ....................................................................... 98

7.6 CLCULO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR RELATIVO (M) ..................................................... 97 7.8 DETERMINAO DO PONTO MAIS A OESTE (W) E MAIS AO SUL (S) .......................................... 100

7.9 DETERMINAO DAS COORDENADAS TOTAIS ............................................................................. 1017.9.1. DETERMINAO DAS ABCISSAS (X)........................................................................................................ 101 7.9.2. DETERMINAO DAS ORDENADAS (Y)................................................................................................... 102 7.10.1. DEDUO DA FRMULA ..................................................................................................................... 103 7.10.2. CLCULO DA REA ............................................................................................................................. 104

7.10 CLCULO DA REA DO POLGONO ................................................................................................ 102

iii

7.11 DETERMINAES DAS DISTNCIAS E AZIMUTES (OU RUMOS) CORRIGIDOS ...................... 105

7.11.1. DETERMINAES DAS DISTNCIAS ..................................................................................................... 105 7.11.2. DETERMINAES DOS RUMOE E AZIMUTES ......................................................................................... 107 7.11.3. CROQUI A GLEBA. ............................................................................................................................... 110 7.12.1. PROCEDIMENTOS PARA O DESENHO ................................................................................................... 111

7.12 DESENHO TOPOGRFICO POR COORDENADAS ......................................................................... 111 7.13 ROTEIRO DO MEMORIAL DESCRITIVO ........................................................................................... 112 7.14 TABELAS ................................................................................................................................................ 1137.14.1. TABELA DE COORDENADAS PARCIAIS.................................................................................................. 113 7.14.2. TABELA DE COORDENADAS PARCIAIS CORRIGIDAS ............................................................................. 113 7.14.3. TABELA DE COORDENADAS TOTAIS .................................................................................................... 114

7.15 EXERCCIOS........................................................................................................................................... 114

CAPTULO 8 ........................................................................................................ 1218 MAGNETISMO TERRESTRE........................................................................................................................... 121 8.1 - DECLINAO MAGNTICA: ................................................................................................................ 1218.1.1. GEOGRFICA ........................................................................................................................................ 121 8.1.2. SECULAR............................................................................................................................................... 122

8.2 - AVIVENTAO DE RUMOS:................................................................................................................ 124

CAPTULO 9 ........................................................................................................ 1339 ALTIMETRIA .................................................................................................................................................... 133 9.1 NIVELAMENTO GEOMTRICO INTRODUO ............................................................................. 1339.1.1. APARELHOS NECESSRIOS .................................................................................................................... 1349.1.1.1. NVEL TOPOGRFICO .................................................................................................................... 134 9.1.1.2. MIRA ESTADIMTRICA ................................................................................................................... 134 9.1.1.3. LEITURAS NA MIRA ESTADIMTRICA .............................................................................................. 135

9.2 DETERMINAO DA COTA DE UM PONTO.................................................................................... 1379.2.1. DEFINIES E CLCULOS ...................................................................................................................... 1399.2.1.1. PLANO DE COLIMAO (PC) ou ALTURA DO INSTRUMENTO (AI) .................................................... 139 9.2.1.2. VISADA R ................................................................................................................................. 139 9.2.1.3. VISADA VANTE .......................................................................................................................... 140 9.2.1.4. PONTO INTERMEDIRIO ................................................................................................................ 140 9.2.1.5. PONTO AUXILIAR .......................................................................................................................... 140

9.3 CLCULO DA PLANILHA DE UM NIVELAMENTO GEOMTRICO: .............................................. 141

9.3.1. DADOS DE CAMPO E CLCULOS............................................................................................................ 141 9.3.2. PRECISO PARA O NIVELAMENTO GEOMTRICO .................................................................................... 143 9.3.1.1. CLCULO DO ERRO DE FECHAMENTO VERTICAL (Efv) .................................................................... 143 9.3.1.2. CLCULO DO ERRO VERTICAL MDIO (ev) ..................................................................................... 144 9.3.3. CLCULOS DAS COTAS COMPENSADAS................................................................................................. 145

9.3.1.3. PRECISO PARA O NIVELAMENTO GEOMTRICO ............................................................................ 144

9.4 EXERCCIOS............................................................................................................................................. 148

CAPTULO 10 ..................................................................................................... 15110 TAQUEOMETRIA OU ESTADIMETRIA...................................................................................................... 151 10.1 PRINCIPIOS GERAIS DA TAQUEOMETRIA ..................................................................................... 15210.1.1. DISTNCIA HORIZONTAL VISADA HORIZONTAL................................................................................ 152 10.1.2. DISTNCIA HORIZONTAL VISADA INCLINADA................................................................................... 153

iv

10.1.3. DISTNCIA VERTICAL.......................................................................................................................... 155

10.2 DETERMINAO DA COTA DE UM PONTO ................................................................................. 156 10.3 EXERCCIOS .......................................................................................................................................... 156

CAPTULO 11 ..................................................................................................... 15911 CURVAS DE NVEL....................................................................................................................................... 159 11.1 GENERALIDADES................................................................................................................................. 159 11.2 CONDIES QUE AS CURVAS DE NVEL DEVEM REUNIR:........................................................ 160 11.3 PRINCIPAIS ACIDENTES DO TERRENO E SUA REPRESENTAO ............................................ 163

11.3.1. MORRO, COLINA OU ELEVAO.......................................................................................................... 163 11.3.2. COVA, DEPRESSO OU BACIA.............................................................................................................. 164 11.3.3. VALE................................................................................................................................................... 165 11.2.4. DIVISOR DE GUA OU LINHA DE CUMEADA ......................................................................................... 166

11.4 INCLINAO DO TERRENO, DECLIVIDADE OU INTERVALO ................................................... 168

11.5 PROBLEMAS BSICOS COM CURVAS DE NVEL .......................................................................... 16911.5.1 LINHA DE MAIOR DECLIVE QUE PASSA POR UM PONTO ........................................................................ 169 11.5.2 DETERMINAO DE UM PONTO SITUADO ENTRE DUAS CURVAS DE NVEL ............................................ 16911.5.2.1 INTERPOLAO GRFICA ............................................................................................................. 169 11.5.2.2 INTERPOLAO ANALTICA .......................................................................................................... 170

11.5.3 DETERMINAO DE UM PONTO QUE NO EST SITUADO ENTRE DUAS CURVAS DE NVEL .................... 171 11.5.4 TRAAR LINHA COM DECLIVE CONSTANTE .......................................................................................... 172 11.5.5 DELIMITAO DA BACIA HIDROGRFICA ASSOCIADA A UMA SEO DE UMA LINHA DE GUA ............. 173 11.5.6 ELABORAO DE UM PERFIL DO TERRENO ........................................................................................... 173

CAPTULO 12 ..................................................................................................... 17512 TERRAPLANAGEM ....................................................................................................................................... 175 12.1 GENERALIDADES................................................................................................................................. 175 12.2 DETERMINAO DA COTA MDIA MTODO DAS SEES E MTODO DOS PESOS ..... 17612.2.1. MTODO DAS SEES......................................................................................................................... 177 12.2.2. MTODO DOS PESOS........................................................................................................................... 178

12.3 PROJETO ELUCIDATIVO DAS DIVERSAS SITUAES EM TERRAPLENAGEM........................ 181

12.3.1. PLANO HORIZONAL SEM IMPOR UMA COTA FINAL............................................................................... 182 12.3.2. PLANO HORIZONAL COM COTA FINAL IGUAL A 3,60 m....................................................................... 186 12.3.3. PLANO INCLINADO, SEM IMPOR COTA DETERMINADA......................................................................... 191 12.3.4. PLANO INCLINADO NOS DOIS SENTIDOS, COM COTA FIXA PARA UM PONTO. ...................................... 194

CAPTULO 13 ..................................................................................................... 19813 DIVISES DE REAS.................................................................................................................................... 198 13.1 GENERALIDADES................................................................................................................................. 19813.2.1. DETERMINAES DAS DISTNCIAS E AZIMUTES (OU RUMOS) A PARTIR DAS COORDENADAS TOTAIS... 199 13.2.2. HIPTESE 1 DIVIDIR A RES EM DUAS REAS IGUAIS PARTINDO DE UM PONTO. ............................... 201 13.2.3. HIPTESE 2 DIVIDIR A RES EM DUAS REAS IGUAIS TRAANDO UMA PARALELA LINHA 1-7......... 206 13.2.4. HIPTESE 3 DIVIDIR A RES EM TRS (3) REAS IGUAIS TRAANDO UMA PARALELA LINHA 1-2..... 214

13.2 DESENVOLVIMENTO DE UM EXERCCIO COMPLETO. ............................................................... 199

CAPTULO 14 ..................................................................................................... 22914 LOCAES DE OBRAS................................................................................................................................ 229 v

14.2 LOCAO DE RESIDNCIAS E SOBRADOS ................................................................................... 23014.2.1. PROCEDIMENTO ................................................................................................................................. 231 14.3.1. PROCEDIMENTO ................................................................................................................................. 240

14.1 GENERALIDADES................................................................................................................................. 229

14.3 LOCAO DE PRDIOS ..................................................................................................................... 239 14.4 LOCAO DE TNEOS...................................................................................................................... 24314.4.1. LOCAO DE TNEOS POR POLIGONAL .............................................................................................. 244 14.4.2. LOCAO DE TNEOS POR TRIANGULAO ....................................................................................... 245

14.5 LOCAO DE EIXOS DE PONTES.................................................................................................... 245

vi

CAPTULO 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS:No nosso dia a dia, deparamos freqentemente com situaes nas quais necessrio determinar as posies relativas de pontos sobre a superfcie, bem como suas representaes atravs de plantas, mapas, cartas ou perfis. Primeiramente, importante o conhecimento do significado da palavra Mensurao. Etimologicamente, Mensurao de origem latina, da palavra

mensuratione. Segundo o dicionrio do Aurlio, a palavra Mensurao significa

o ato de medir ou de mensurar. Mensurao ter um sentido amplo, onde

designar a rea de conhecimento humano que agrupa as cincias e as tcnicas

de medies, do tratamento e da representao dos valores medidos.

O uso do termo Mensurao, tal como apresentado acima, no de uso corrente entre os profissionais da rea em nosso pas. Na maioria das vezes, Estas palavras apresentam um significado um pouco restrito e fazem, simplesmente, partes da Mensurao. Apresenta-se a seguir algumas cincias e tcnicas que fazem parte da Mensurao: Geodsia freqente o uso das palavras Agrimensura, Geodsia ou at mesmo Topografia.

Topografia

Cartografia Hidrografia Fotogrametria

TopografiaProf. Carlos Eduardo T. Pastana

1

O objetivo do nosso curso e a de realizar-se uma representao grfica, em plantas, dos limites de uma propriedade com suas divises internas e os detalhes que esto no seu interior (cercas, edificaes, reas cultivadas, benfeitorias em geral, rios, crregos, vales, espiges etc.), tornando-se necessrio recorrer TOPOGRAFIA.

1.1. DIFERENA ENTRE GEODSIA E TOPOGRAFIA:A Topografia est inserida na Geodsia, utilizam mtodos e instrumentos semelhantes, porm, a Geodsia se preocupa com a forma e dimenses da superfcie terrestre. A GEODSIA (do grego daiein, dividir) uma cincia que tem por finalidade a Terra, enquanto a Topografia se limita a descrio de rea restritas da

determinao da forma da terra e o levantamento de glebas to grandes que no permitem o desprezo da curvatura da Terra. A aplicao da Geodsia nos levantamento topogrficos justificada quando da necessidade de controle sobre a locao de pontos bsicos no terreno, de modo a evitar o acmulo de erros na operao do levantamento. a parte da MENSURAO que tem por objetivo e estudo da forma e dimenso da terra. Levando em considerao a forma da Terra, a Geodsia desenvolve as solues para transformar a superfcie do elipside em uma superfcie plana como a das cartas. Apesar da superfcie terrestre ser bastante irregular, formada de depresses e elevaes, possvel consider-la regular em face da reduzida dimenso destes acidentes em relao ao raio da Terra, uma vez que a mxima depresso ou elevao inferior a 10 km, desprezvel ante a extenso do raio mdio da Terra, aproximadamente igual a 6.371 km. Nestas condies, em primeira aproximao, a superfcie terrestre pode ser considerada como a superfcie de nvel mdio dos mares, supostamente prolongada por sob os continentes e normal em todos os seus pontos direo da gravidade, superfcie esta denominada de GEIDE.


2

Tendo em vista a impossibilidade de ser determinada a equao analtica representativa desta superfcie, adotou-se como forma da Terra a de um TERRESTRE (figura 1.1), que definido por: SEMI-EIXO MAIOR = a ACHATAMENTO: A = (a b) / aPN

elipside de revoluo girando em torno do seu eixo menor, dito ELIPSIDE

b a

Figura 1.1 Elipside Terrestre (Adaptado de Jelinek, A. Ritter Material Didtico)

PS

Elipside internacional de referncia: a = 6.378.388 m b = 6.356.912 m A = 1/297 R = (2a + b)/3 = 6.371.220 m Assim sendo, a GEODSIA1 e a TOPOGRAFIA tm os mesmos objetivos, diferindo nos fundamentos matemticos em que se baseiam, a geodsia apoiada na trigonometria esfrica e a topografia, na trigonometria plana. A TOPOGRAFIA por sua vez, que considera trechos de dimenses limitadas, admite a superfcie terrestre como plana, o que corresponde a desprezar a curvatura da Terra.

No nosso curso no nos aprofundaremos no estudo da GEODSIA.

1

sob este conceito de forma da Terra que a GEODSIA trabalha nos estudos que exigem maior rigor matemtico.


3

1.2. TOPOGRAFIA:lugar e graphen, descrever. Significa, portanto, a descrio exata e minuciosa Etimologicamente, a palavra TOPOGRAFIA de origem grega, onde topos indica

de um lugar. (DOMINGUES, 1979). Logo, podemos definir classicamente a TOPOGRAFIA como sendo a cincia que estuda a representao detalhada de

uma superfcie terrestre, representada atravs de uma Projeo Ortogonal Cotada, denominada Superfcie Topogrfica. Isto equivale dizer que, no s os limites desta superfcie, bem como todas as suas particularidades naturais ou artificiais, sero projetada sobre um plano considerado horizontal, sem levar em conta a curvatura resultante da esfericidade terrestre.

A esta projeo ou imagem figurada do terreno d-se o nome de PLANTA ou PLANO TOPOGRFICO2. (ESPARTEL, 1987).

Esta superfcie plana chamada de PLANO TOPOGRFICO e um plano perpendicular a direo vertical do lugar, isto , direo da gravidade. Sendo assim, adotando-se esta hiptese do plano topogrficos do terreno sero projetados sobre o referido plano.

1.2.1 LIMITES DE APLICAO DA TOPOGRAFIA:A hiptese do plano topogrfico exige certa restrio no que se refere extenso da rea a ser levantada, uma vez que todas as medidas so realizadas partindo do princpio da Terra ser plana, ou seja, no considerando a sua curvatura. Deste modo, a adoo da hiptese do plano topogrfico implica na substituio do arco a pela tangente, cometendo assim um erro, denominado de erro de esfericidade.

A tangente pode ser calculada pela expresso (1.1):

t = R tg

(1.1)

E o arco pode ser calculado pela expresso (1.2):

2

No sendo a crosta terrestre uma superfcie plana, a topografia supe um plano horizontal, tangente a geide, num

ponto central rea a ser levantada, plano este onde so projetados todos os acidentes do terreno.


4

a=

R 180 o

(1.2)

Se levarmos em considerao o raio da terra, aproximadamente 6.371,00 km,

pode-se dizer que para medidas de distncias muito pequenas, seus valores medidos sobre a superfcie esfrica sero aproximadamente iguais queles medidos sobre um plano (Figura 1.2)

(Adaptado de Segantine, Paulo Notas de Aula de Topografia)

Figura 1.2 Limites do Plano Topogrfico

A tabela 1.1 apresenta os valores da tangente e do arco em funo do ngulo central.VALORES DE 5 10 15 30 1 1,5

TANGENTE t (m)

ARCO a (m)

ERRO ABSOLUTO DE ESFERICIDADE (m)0,006 0,052 0,176 1,412 11,292 38,116

ERRO RELATIVO DE ESFERICIDADE APROXIMADO1:1.418.000 1:354.000 1:158.000 1:39.000 1:9.800 1:4.300

9.266,250 18.532,540 27.798,908 55.598,875 111.206,219 166.830,506

9.266,244 18.532,488 27.798,732 55.597,463 111.194,927 166.792,390

Tabela 1.1 Erro de Esfericidade absoluto e relativo

Teoricamente chegou-se a concluso que o efeito da curvatura da terra nos

levantamentos planimtricos, para um arco prximo de 10 km, o erro de esfericidade de aproximadamente 6mm (0,006m), apresentando, neste caso,TopografiaProf. Carlos Eduardo T. Pastana

5

um erro relativo aproximado da ordem de um milionsimo (0,000.001), erro este que pode ser totalmente desprezvel em Topografia.

Na prtica, aceitam-se levantamentos que apresentem uma preciso relativa da ordem de 1:200.000, o qual se indica a adoo do raio do campo topogrfico dos mtodos topogrficos. Alguns autores consideram o limite de 50 km, a partir da origem do levantamento. A Norma NBR 13.133/94 Execuo de Levantamento Topogrfico, da ABNT, considera um plano de projeo limitado a 80 km (item 3.40-d, da Norma). Assim, conclui-se: 1. - Para levantamentos de grande preciso, deve-se dividir a rea em tringulos com rea menor que 40 km2 e os seus lados no devem exceder 10 km; 2. Para servios de normal preciso, pode-se limitar a rea cuja planta pode-se levantar, a um crculo de aproximadamente 50 km de raio; 3. Nos casos de levantamentos para estudos de construo de estradas, linha de transmisso de energia eltrica, onde o comprimento excede em muito a largura, isto , representando uma estreita faixa da superfcie terrestre, as operaes topogrficas no esto sujeitas a limites, e podem estender-se indefinidamente; 4. Sem medo de cometer exageros, pode-se afirmar que a Topografia pode encaixar-se dentro de todas as atividades da Engenharia, Arquitetura e Urbanismo, Geologia, etc.. 5. De uma forma ou de outra, tida como bsica para os estudos necessrios para a construo de:Uma via (rodovia ou ferrovia); Uma ponte ou um tnel Uma barragem ou uma usina hidreltrica; Uma linha de transmisso de fora ou telecomunicaes; Uma grande indstria ou uma edificao Um conjunto habitacional; TopografiaProf. Carlos Eduardo T. Pastana

da ordem de 25 a 30 km. Acima destes limites no se recomenda o emprego

6

Planejamento urbano, paisagismo ou reflorestamento; Irrigaes e drenagens; Perfurao de minas; Distribuio de gua e rede de esgoto de uma cidade; Linha de metr ou aeroportos.

6. Permite estimar o volume de terra a ser escavado (nos cortes) ou a ser acrescentado (nos aterros), num terreno natural, quando, aps estudo e projeto, desejar-se alter-lo. possvel, ainda, iniciar a perfurao com a certeza de perfurar apenas um tnel e no dois (por um erro de direo), uma vez que fornece as direes exatas a seguir. O uso e a aplicao da Topografia nos diferentes ramos de atividades tm sido incrementados, dentre outras razes, pela modernizao do instrumental pertinente, aliada introduo da informtica nas medies e nos clculos de praxe. As grandezas medidas num levantamento topogrfico podem ser: a) lineares e b) angulares. a) As grandezas lineares so principalmente: Distncias horizontais; Distncias verticais ou diferena de nvel. de um tnel simultaneamente de ambos os lados de uma montanha,

As distncias horizontais e verticais (figura 1.3) so determinadas pelas equaes (1.3) e (1.4):A

DH

iDN

iDH = distncia horizontal. DN = diferena de nvel.Figura 1.3 Distncias horizontais e verticais

B


7

DH = AB cos i DN = AB seni

(1.3) (1.4)

zenitais ou verticais.

b) As grandezas angulares so: ngulos azimutais ou horizontais e ngulos

1.2.2. - DIVISES DA TOPOGRAFIA:A TOPOGRAFIA pode se dividir em cinco partes principais (figura 1.4):

TOPOMETRIA

Planimetria ou Placometria Altimetria ou Hipsometria

TOPOLOGIA OU GEOMORFOGENIA

TOPOGRAFIA

TAQUEOMETRIA FOTOGRAMETRIA GONIOMETRIAFigura 1.4 Divises da Topografia

Terrestre ou Fototopografia Area ou Aerofotogrametria

1.2.2.1. TOPOMETRIA:Segundo (Cordini, J.) a topometria estuda os processos clssicos de medida de distncia, ngulos e diferena de nvel. Encarrega-se, portanto, da medida das grandezas lineares e angulares, quer seja no plano horizontal ou no plano vertical, topogrficos3. objetivando definir o posicionamento relativo dos pontos

Por sua vez, a topometria se divide em: planimetria e altimetria. A topometria pode alcanar o seu objetivo mediante trs procedimentos distintos:

3

Ponto topogrfico qualquer ponto do terreno que contribui para a definio das medidas lineares ou angulares.


8

Efetuando medidas de grandezas angulares e lineares em relao a

um plano horizontal de referncia: planimetria; efetuando medidas de referncia: altimetria;

grandezas angulares e lineares em relao a um plano vertical de

Efetuando conjuntamente medidas de grandezas angulares e lineares em relao aos planos horizontais e verticais, determinando assim as posies relativas dos pontos topogrficos, bem como suas

denominados planialtimtricos];

respectivas alturas taqueometria. [So levantamentos topogrficos

Efetuando medidas de ngulos, distncias e diferenas de nvel sobre sobre fotografias tomadas a partir de aeronaves: aerofotogrametria.

fotografias tomadas de pontos do terreno: fotogrametria terrestre; ou

A Planimetria ou Placometria: Na Planimetria, as medidas, tanto lineares como angulares, so efetuadas em planos horizontais, obtendo-se ngulos e distncias horizontais, no se coordenadas planas (X,Y) de pontos de interesse.

levando em considerao o relevo, e a conseqente determinao de

Consiste em obter ngulos azimutais e distncias horizontais. Para efeito de representao planimtrica ou avaliao de rea, as distncias inclinadas so reduzidas s dimenses de suas bases produtivas. Entende-se por base produtiva as dimenses que so aproveitadas praticamente; na Agricultura ou nas Edificaes4. B. Altimetria ou Hipsometria:

distncias verticais ou diferenas de nvel, incluindo-se a medida de ngulos

A altimetria estuda e estabelece os procedimentos e mtodos de medida de

4

Na Agricultura as maiorias das plantas desenvolvem-se procurando o centro da Terra, o que faz com que a rea

utilizada seja a projeo horizontal. O mesmo acontece com as Edificaes, pois exigem o aplainamento dos terrenos para que possam ser construdas


9

verticais. A operao topogrfica que visa o levantamento de dados altimtricos o nivelamento.Os trabalhos da altimetria juntado a planimetria do origem s plantas planialtimtricas. A altimetria isoladamente da origem ao perfil.

1.2.2.2. TOPOLOGIA ou GEOMOFOGENIA:A Topologia, complemento indispensvel Topometria, tem por objetivo de estudo das formas exteriores do terreno (relevo) e as leis que regem a sua formao, suas modificaes atravs dos tempos e as leis que as regem. A principal aplicao da Topologia d-se na representao cartogrfica do terreno pelas curvas de nvel, que so as intersees obtidas por planos eqidistantes, paralelos com o terreno a representar. Atualmente vem sendo muito utilizada a tcnica de representao do relevo atravs dos DTM: Digital Terrain Models. Por esta tcnica possvel visualizar o sobremaneira a anlise do problema de interesse. relevo em perspectiva, em conjunto com a planta planialtimtrica, o que facilita

1.2.2.3. TAQUEOMETRIA:A Taqueometria tem por finalidade o levantamento de pontos do terreno, pela resoluo de tringulos retngulos, dando origem s plantas cotadas ou com curvas de nvel. A sua principal aplicao em terrenos altamente acidentados, por exemplo: morros, montanhas, vales, etc., sobre o qual oferece reais realizados com maior rapidez e economia. a parte da topografia que trata das medidas indiretas das distncias horizontais e verticais. vantagens em relao aos mtodos topomtricos, j que os levantamentos so

1.2.2.4. FOTOGRAMETRIA:A Fotogrametria Terrestre aquela que realizada por aparelhos chamados fototeodolitos (fotogrmetros), instalados convenientemente em pontos do


10

terreno que fornecem fotografias orientadas (fotogramas), que permitem levantar com preciso suficiente os detalhes do terreno.

A Aerofotogrametria o mtodo de levantamento utilizado para grandes glebas de aperfeioadas, acopladas em avies, fornecendo fotografias orientadas da superfcie da Terra, que podem ser de dois tipos: eixos verticais e inclinados. Atualmente est sendo substituda pelas fotos de satlites. Terra. Emprega aparelhagens modernssimas, e cada vez mais

1.2.2.5. GONIOMETRIA:do ngulo vertical (perpendicular ao plano topogrfico). a parte da topografia que trata da medio do ngulo azimutal (horizontal) e

Atualmente os fabricantes de teodolitos esto produzindo somente teodolitos com ngulos verticais zenitais, isto , a origem do ngulo vertical no znite (figura 1.5). Os ngulos verticais podem ser: - ZENITAL - NADIRAL ZENITE

Origem no znite; Origem no nadir.Mira

Z

N

HORIZONTAL

Z = NGULO ZENITAL. N = NGULO NADIRAL. NADIR

Figura 1.5 Esquema do ngulo Zenital e Nadiral.


11

1.2.3. TEORIA DOS ERROS EM TOPOGRAFIA:Segundo (Correa, Iran. C. S.) 5, todas as observaes topogrficas se reduzem na medida de uma distncia, de um ngulo ou de uma diferena de nvel as condies exteriores e pelo observador. quais podem ser afetadas de erros ocasionados pelos aparelhos, pelas Procura-se eliminar algumas das causas dos erros e reduzir os valores dos que restam, mas como no possvel faz-los desaparecer completamente, tornaatravs dos resultados das observaes efetuadas. se necessrio calcular o valor mais provvel da grandeza, o qual obtido Todas as grandezas que nos interessam so medidas ou observadas por intermdio de nossos sentidos e com o auxlio de instrumentos. Efetuando-se uma srie de medidas de uma mesma grandeza, a prtica revela que essas medidas ou observaes nunca so absolutamente concordantes. Se considerarmos uma dessas medidas ou observaes como valor exato da grandeza que se est a medir, comete-se erro. Os erros podem ser classificados em duas grandes categorias: sistemticos e

acidentais.

1.2.3.1. ERROS SISTEMTICOS:So os erros que aparecem numa medida com absoluta constncia ou variando segundo uma lei determinada. Este erro poder ser eliminado quando sua causa for definida. Os erros sistemticos apresentam sempre o mesmo sinal, que poder ser positivo ou negativo, considerando-se a mesma grandeza medida, mesmo equipamento e mesmo operador. Os erros constantes ou sistemticos: Devidos temperatura; Fora de puxar; Curvatura da corrente ou trena; Erros de graduao ou retificao errada.

5

Iran Carlos Stalliviere Corra - Topografia Aplicada Engenharia Civil 2007 / 9 Edio / Departamento de Geodsia

IG/UFRGS


12

1.2.3.2. ERROS ACIDENTAIS:So os erros devidos s aes simultneas e independentes de causas diversas e desconhecidas. Podero apresentar ora valor positivo, ora valor negativo para a mesma situao. A cincia se conforma com estes erros e institui mtodos para escolher o valor mais representativo da srie de grandeza medida. Os erros acidentais:

Imperfeio da vista ou de outros defeitos que tornam impossveis Leituras exatas; Variao no instrumento; Pequenas mudanas de temperatura durante a mesma operao.

1.2.3.3. ENGANOS PESSOAIS:Os enganos tem origem na mente do observador, por exemplo: Erro de leitura na mira ou no vernier; Erro de contagem do nmero de treinadas; Visadas num ponto errado; Uso de parafusos errados.

1.2.4. CUIDADOS QUE DEVEM SER TOMADOS:Na realizao de um trabalho, a escolha de mtodos e instrumentos depende: Do grau de preciso de cada instrumento; Dos erros encontrados. Do mtodo empregado e do conhecimento dos limites permissveis

Neste caso, para que se possa corrigir, necessrio que o trabalho seja bem conduzido e bem sistematizado. Na prtica, a escolha de mtodos estar sempre ligada preciso exigida pela finalidade a que se destina o trabalho em questo, ao tempo disponvel e ao custo permissvel.


13

A Teoria dos Erros tem por finalidade estabelecer um mtodo seguro e aceitvel de uma grandeza, uma vez que se reconhece ser impossvel tornar as medidas isentas de erros. Alm disso, a teoria dos erros se preocupa em de uma determinada grandeza que se mede. determinar o erro mais tranqilizador que se pode cometer a respeito do valor

conveniente, segundo o qual sempre se possa estabelecer o valor mais

Pela simplificao dos assuntos abordados no nosso curso, no entraremos em detalhes quanto aos mtodos que nos fornece o erro mais tranqilizador. Se necessrio em seus trabalhos profissionais, utilizar o Mtodo dos Mnimos

Quadrados ou um outro mtodos que atenda os objetivos.

1.2.5. NOO DE ESCALA:Na execuo de trabalhos topogrficos podem-se encontrar alguns problemas relativos escala, apesar de simples, se considera conveniente ressaltar. Escala corresponde relao constante entre as distncias medidas no terreno

(objeto o) e sua representao no papel (imagem i). Ela pode se apresentar na forma de frao ou de proporo: 1/100 ou 1:100, sendo esta ltima preferida. A equao (1.3) relaciona a dimenso do desenho no papel (imagem i) com o

seu tamanho real no terreno (objeto o). Esta relao dada pela frmula:

E=Onde:

i o

(1.3)

E= o = i =

Unidades que devem ser colocadas no papel para representar (imagem).

Escala ou razo escolhida; Unidades medidas no terreno (objeto);


14

A escala representada por uma frao do tipo 1/M, onde M denominado de mdulo da escala. Deste modo, podemos fazer a seguinte operao:

E=da,

1 i = M o

(1.4)

o=iM

(1.5)

A expresso (1.5) permite estimar a medida real de um terreno a partir do conhecimento da escala da planta e sua respectiva medida. A tabela 1.2 apresenta um resumo, por ordem decrescente de valores, as principais escalas para plantas e cartas topogrficas, cartogrficas e geogrficas, com o seu respectivo emprego.ESCALA 1/100 1/200 1/250 1/500 1/1000 1/2000 1/1250 1/2500 1/5000 1/10.000 1/50.000 1/100.000 1/200.000 1/500.000 1/1.000.000 EQUIVALNCIA 1 km (terreno) 10 m 5m 4m 2m 1m 0,50 m 0,80 m 0,40 m 0,20 m 0,10 m 0,02 m 0,01 m 0,005 m 0,002 m 0,001 m 1 cm (desenho) 1m 2m 2,5 m 5m 10 m 20 m 12,5 m 25 m 50 m 100 m 500 m 1.000 m 2.000 m 5.000 m 10.000 m EMPREGO Detalhes de edifcios, Terraplenagem, etc. Planta de fazenda Planta de uma vila Planta de uma propriedade, planta cadastral Antigo cadastro Planta pequena cidade Planta de grande propriedade Carta de diversos pases Carta de grandes pases Carta aeronutica Carta reduzida (grande carta interNacional do mundo)

Tabela 1.2 Principais tipos de escalas e suas respectivas aplicaes. Fonte Espartel (1.987).

1.2.5.1. MODOS DE EXPRESSAR AS ESCALA:a. Escala Numrica Apresenta-se na forma fracionria, possuindo um numerador e um denominador, ou seja, um ttulo.


15

1 (em desuso). 20.000 1 20.000(pouco uso).

1 : 20.000 (mais usada).

b. Escala Grfica Mostra a proporo entre as dimenses reais e as do mapa atravs de um grfico (figura 1.6).

Figura 1.6 Escalas Grficas. (Adaptado BAITELLI / WESCHENFELDER)

Vantagens da escala grfica: (a) (b) obteno rpida e direta de medidas sobre mapas. cpias reduzidas ou ampliadas por processos fotocopiadores.

1.2.6. PRECISO GRFICADenomina-se de preciso grfica de uma escala como sendo a menor grandeza susceptvel de ser representada num desenho, atravs desta escala. correntemente admitido que o ser humano normal no distingue um segmento de um ponto se este tiver comprimento menor ou igual a 0,2 mm. Este valor denomina-se limite de percepo visual. 6 Deste modo, conhecendo a escala do desenho, pode-se calcular o erro admissvel nas operaes grficas atravs da equao 1.6.

e = 0,0002 Merros grficos:

(1.6)

A ttulo de exemplo, nas escala 1/500, 1/1000 e 1/2000, temos os seguintes e1 = 0,0002 500 = 0,10m = 10cm e2 = 0,0002 1000 = 0,20m = 20cm e3 = 0,0002 2000 = 0,40m = 40cm

6

Antnio Pestana Elementos de Topografia Volume 1 2006.


16

erro de preciso, no tero representao grfica, e, portanto, no aparecero no desenho. Logo, nas escala 1/500, 1/1000 e 1/2000 no podemos respectivamente. representar detalhes de dimenses inferiores a 10 cm, 20 cm e 40 cm,

Assim, pode-se concluir que as dimenses que tiverem valores menores que o

Na elaborao do desenho, as dimenses do papel devem ser suficientes para conte-lo. Neste sentido, a ABNT recomenda em suas normas para desenho (NB8/1969), as seguintes dimenses (Tabela 1.3):FORMATO DO PAPEL A0 A1 A2 A3 A4

LINHA DE CORTE (mm) X 841 594 420 297 210 Y 1189 841 594 420 297

MARGEM (mm) 10 10 10 10 5

Independentemente do formato, a NB-8/1969 recomenda um espaamento de 25 mm na margem esquerda do papel.Tabela 1.3 Dimenses do papel

1.2.7. EXERCCIOS:1) Para representar no papel uma linha reta que no terreno mede 45 m usando a escala de 1:50, qual ser o seu valor em cm ? 2) A distncia entre 2 pontos na planta de 80 cm, para uma escala de

1:250, qual o seu valor no terreno ? 3) A distncia entre 2 pontos na planta de 820 mm; sabendo-se que no

terreno esses pontos esto distantes de 615 m, qual ser a escala da planta ?


17

CAPTULO 2TRIANGULAO E TRIGONOMETRIA

2. TRIANGULAO E TRIGONOMETRIA:2.1 TRIANGULAO:Sabe-se que o tringulo uma figura geomtrica que se torna totalmente determinada quando se conhecem seus trs lados: no h necessidade de conhecer os ngulos. Para levantamentos com medidas exclusivamente lineares os tringulos constituiro a amarrao do levantamento. Deve-se, portanto, tomar-se alguns cuidados para que no haja acumulao de erros a saber: Deve-se ter a preocupao de estabelecer tringulos principais; Os detalhes devem ser amarrados a, se necessrio, tringulos secundrios; Deve-se medir cada uma das retas que constituem os lados de todos os tringulos; A medio deve ser feita, de preferncia, com trena de ao; Ao medir-se uma linha os detalhes que a margeiam sero mela amarrados; Observar que a base do tringulo dever estar na linha, tendo como vrtice o ponto do detalhe; Procurar determinar tringulos acutngulos.


19

com sucesso em grande quantidade de pequenos problemas, a saber: - Para medio de um pequeno lote urbano irregular: (Figura 2.1).

A soluo do tringulo, por usar apenas medidas lineares, pode ser aplicada

Medir os quatro lados e pelo menos uma das duas diagonais (BD) ou (AC) Caso o lote possuir muito fundo e pouca largura, a diagonal ficar quase como indicado. (Figura 2.2).

coincidente com os lados e a preciso ser prejudicada; neste caso proceder

Figura 2.1

Medio esquemtica de lotes urbanos.

Figura 2.2

PROCEDIMENTO (Figura 2.3)

Figura 2.3 Procedimentos para medies de pequenas propriedades.

1) Tringulos principais 3) Medir todos os lados 2) Tringulos secundrios

ABC; ACE; CDE, EFA. AB, BC, CD, DE, EF, FA, AG, AE, EG, EC, GC.TopografiaProf. Carlos Eduardo T. Pastana

AGE, EGC.

20

4) Amarrar a construo M na linha EG (secundria) (Figura 2.4).

5) Observar processo correto de amarrao da construo M na linha EG

Figura 2.4 Amarraes.

2.2.

CLCULO

DA

REA

DE

UM

TRINCULO

QUALQUER,

CONHECENDO-SE APENAS AS MEDIDAS DOS LADOS.Tambm conhecido como frmula de Heron7, permite o clculo da rea de um tringulo utilizando-se apenas das medidas de seus lados. Consideremos a figura do tringulo genrico (figura 2.5) a ser utilizado na demonstrao8:

7

Heron (tambm escrito como Hero e Hero) de Alexandria (10 d.C. - 70 d.C.) foi um sbio do comeo da era crist.

Gemetra e engenheiro grego, Heron esteve ativo em torno do ano 62. especialmente conhecido pela frmula que leva seu nome e se aplica ao clculo da rea do tringulo.8

Demonstrao da frmula de Heron obtida em: www.tutorbrasil.com.br, professor Caju.


21

B

c

a

. .

A

H

b

C

Figura 2.5 Tringulo genrico

1. - O primeiro passo encontrar o valor de cos . Para isso, vamos aplicar Pitgoras no tringulo AHB para encontrar o comprimento de AH .

c 2 = h 2 + ( AH ) 2 ( AH ) 2 = c 2 h 2

AH = c 2 h 2Assim:

cos =

c2 h2 c

2. Agora, utilizando o tringulo ABC, aplica-se a Lei dos Co-senos relativo ao ngulo :

a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Substituindo o valor de

cos :c2 h2 a = b + c 2bc c2 2 2

a 2 = b 2 + c 2 2b c 2 h 2Isolando o valor de

h22b c 2 h 2 = b 2 + c 2 a 2b2 + c2 a2 c h = 2b2 2


22

b2 + c2 a2 h = c 2b 2 2

2

(2.1)

Mas, sabemos que:

A=Substituindo

bh b2 h2 A2 = 2 4

h2

pelo valor da expresso (2.1), temos:2

2 2 2 2 2 b2 + c2 a 2 2 c 2 2 2 b + c a b b c b 2b 2b 2 A = = 4 4

A =2

b c b2 2

2

(b

2

+ c2 a2 4b 2

)

2

4

4b 2c 2 b 2 + c 2 a 2 = 16

(

)

2

A

2

(2bc )2 (b 2 + c 2 a 2 )2 =16diferena de dois quadrados, que :

Aplicando2 2

a

frmula

da

x y = ( x + y) ( x y)

A

2

[2bc (b =2

2

+ c 2 a 2 2bc + b 2 + c 2 a 2 16

)] [

(

)]

A

2

[ (b =A

2bc + c 2 + a 2 b 2 + 2bc + c 2 a 2 16

)

] [(

)

]

2

[a =

2

(b c ) (b + c ) a 2 162 2

][

]Topografia

Prof. Carlos Eduardo T. Pastana

23

Novamente a diferena entre quadrados:

A2 =

[a (b c )] [a + b c] [b + c a ] [a + b + c ]16

A2 =

[a b + c] [a + b c] [b + c a ] [a + b + c ]16

A2 =

[a b + c] [a + b c ] [b + c a ] [a + b + c]2 2 2 2a+b+c que o semi-permetro, temos: 2

Fazendo aparecer p =

A2 =

[a + b + c 2b] [a + b + c 2c] [a + b + c 2a ] [a + b + c]2 2 2 2

a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c b c a A2 = 2 2 2 2

A = p (p - a) (p - b) (p - c)

(2.2)

Onde:

A a rea de um tringulo qualquer;p= a+b+c o semi-permetro; 2

a, b e c so os lados de um tringulo qualquer.


24

2.3. EXERCCIOS1 Aplicando a frmula de Heron, calcule a rea da regio triangular limitada pelo tringulo cujos lados medem 4 m, 6 m e 8 m. 2 Calcule a rea do terreno cuja forma e dimenses esto representadas pela figura 2.6a.

108m

m

13 mFigura 2.6a Clculo de rea de um tringulo qualquer.

3 Um terreno tem a forma triangular e as medidas dos seus lados so: 17 m, 15 m e 8 m. Qual a rea desse terreno? 4 Para o desenho representado na figura 2.6b, calcular a rea.

Figura 2.6b Poligonal dividida em tringulos.

2.4. TRIGONOMETRIA:Aplica-se extensivamente a trigonometria na busca de solues de problemas topogrficos. de engenharia e astronomia, e principalmente nas resolues de problemas


25

2.4.1. CRCULO TRIGONOMTRICO: um crculo de raio adotado igual a 1 (um), destinado a determinar as funes valores angulares (Figura 2.7). trigonomtricas e os valores por eles assumidos quando se toma os respectivosH

Cossecante

B

Cotangente

Tangente

F

JSeno

E

C O

I

G A

Secante

Cosseno

DFigura 2.7 Ciclo Trigonomtrico

No ciclo trigonomtrico temos: OI = = = = = = cos tg

OJ AE BF OG OH

sen

cotg sec cosec TopografiaProf. Carlos Eduardo T. Pastana

26

2.4.2 VALORES QUE AS FUNES PODEM ASSUMIR:FUNES TRIGONOMTRICAS Co-seno Seno Tangente Co-tangente Secante Co/secante VALORES -1 a +1 - a + - a + - a -1 e +1 a + - a -1 e +1 a + -1 a +1

2.4.3. RELAO ENTRE O CRCULO TRIGONOMTRICO E UM TRINGULO QUALQUER:Analisando a figura 2.8, temos:

yE G

C

A

B

F

D

x

Figura 2.8 Relao entre o crculo trigonomtrico e um tringulo qualquer

ABC ADE AD DE AE AD DE AE = = = = AC AB BC 1 cos senTopografiaProf. Carlos Eduardo T. Pastana

27

Conclui-se que:

sen =

cateto.oposto hipotenusacateto. adjacente hipotenusa

(2.3)

cos =

(2.4)

2.5 TABELA PRTICA DAS FUNES NO TRINGULO RETNGULOSeja o tringulo com os vrtices ABC e os respectivos lados a, b, c. O lado a oposto ao ngulo oposto ao ngulo . (Figura 2.9).

,

o lado b oposto ao ngulo

;

e o lado c

Bc a

C

b

A

Figura 2.9 Funes no tringulo retngulo

Conclui-se, que: a sen = c b cos = c a tg = b b cot g = a

a = c senb = c cos a = b tg b = a cot g

a sen b c= cos a b= tg b a= cot g c=


28

2.6 - RELAES TRIGONOMTRICAS NUM TRINGULO QUALQUER: 2.6.1 - Lei dos Co-senosNum tringulo qualquer, o quadrado de um lado, igual a soma dos quadrados dos outro dois lados, menos duas vezes o produto desses pelo coseno do ngulo por eles formado. Demonstrao:

Tomemos em tringulo qualquer (Figura 2.10), no retngulo, onde se procura calcular um lado, conhecendo-se os outros dois lados e o ngulo oposto a este lado.

C

b

a

h

n

APor Pitgoras no Por Pitgoras no

H

c

B

AHC: CHB:

Figura 2.10 Lei dos Co-senos

AHC b 2 = n 2 + h 2 PIT GORAS

PITAGORAS

(2.5)

CHB a 2 = (c n) 2 + h 2 = c 2 2cn + n 2 + h 2 Substituindo (2.5) em (2.6): No

(2.6) (2.7) (2.8)

AHC temos:

a 2 = c 2 2cn + b 2

n = b cos A

Substituindo a equao (2.8) na equao (2.7), temos a expresso (2.9) que traduz a lei dos co-senos em funes dos lados e do ngulo .

a 2 = b 2 + c 2 2bc.cos ATopografiaProf. Carlos Eduardo T. Pastana

(2.9)

29

Analogamente, as expresses (2.10) e (2.11) traduz a lei dos co-senos em funes dos lados e dos ngulos B e C respectivamente:

b 2 = a 2 + c 2 2ac.cos B c 2 = a 2 + b 2 2ab.cos C2.6.2 - Lei dos Senos:

(2.10) (2.11)

Num tringulo qualquer (Figura 2.11), o produto da diviso de um lado pelo seno do ngulo oposto a este lado igual ao produto da diviso de qualquer dos outros dois lados pelos respectivos senos dos ngulos opostos. Demonstrao:

C

b

a

hc

A

cFigura 2.11 Lei dos senos

B

sen A =

hc hc = sen A b b hc hc = sen B a a

sen B =Logo:

sen A b = sen B aPortanto:

a b = sen A sen BTopografiaProf. Carlos Eduardo T. Pastana

(2.12)

30

sen A = sen C =Logo:

hb hb = sen A c c hb hb = sen C a a

sen A c = sen C aPortanto:

a c = sen A sen C

(2.13)

De (2.12) e (2.13) tiramos a expresso (2.14) que traduz a lei dos senos:

a b c = = sen A sen B sen C

(2.14)

2.7 - EXERCCIOS:1 Na observao de um tringulo que servir de apoio para um levantamento, obtiveram-se os seguintes valores: A = 511639; B=741635; C=542646; lado BC=100,60 m. Calcular o comprimento do lado AB. 2 Um segmento AB de 5,74 m, forma com a reta r, um ngulo de 262855. Calcule a medida da projeo ortogonal de AB sobre r. 3 Qual a altura de uma chamin cuja sombra se espalha por 20 metros quando o sol est a uma altura de 60 grados em relao ao horizonte. 4 Calcular a distncia entre dois pontos inacessveis A e B, conhecendo uma =3830, =7030. base CD (medida) = 150,00 m e os ngulos (medidos) = 40, = 60,


31

A

B

D

C

5 Para determinar a largura AB de um rio, mediu-se: CD 85,00m, = 7418, = 5620, = 1856.A

RIOB D

C


32

CAPTULO 3 RUMOS e AZIMUTES3 RUMOS E AZIMUTES:3.1 INTRODUO:Um alinhamento topogrfico um segmento de reta materializado por dois pontos nos seus extremos. Tem extenso, sentido e orientao (figura 3.1):

NMGN TICO

BVI S

NORT E MA

45

A

OBSERVADOR(Adaptado de Jelinek, A. Ritter - Topografia 1) Figura 3.1 Orientao de um segmento

Sentido: de A para B. Orientao: 45 Extenso: 20,00 metros.TopografiaProf. Carlos Eduardo T. Pastana

20BSSOLA

m

UA

O

L

33

3.2 DEFINIO DE RUMO, AZIMUTE, DEFLEXO, NGULO HORRIO e ANTI-HORRIO, INTERNOS e EXTERNOS: 3.2.1 RUMO:Rumo de uma linha o menor ngulo horizontal, formado entre a direo NORTE/SUL e a linha, medindo a partir do NORTE ou do SUL9, no sentido ou 0g a 100g. horrio ( direita) ou sentido anti-horrio ( esquerda) e variando de 0o a 90

Se tomarmos para exemplo da figura 3.1, e se dissermos simplesmente que seu N/S). Portanto, no teremos bem caracterizada a posio relativa da linha, pois esta poder ser entendida como sendo NE, NW, SE ou SW. Uma vez que esta poder ser localizada de quatro maneiras diferentes em relao a direo NORTE/SUL, ser necessrio indicar qual o quadrante. Para o exemplo da figura 3.1 ser: Sentido: de A para B, portanto o menor ngulo, que representa o rumo da linha AB ser medido a partir do Norte (N) no sentido horrio, para o Leste (E). Orientao: 45. Podemos dizer que o RAB = 45 NE. Extenso: 20,00 metros. rumo 45o00 (menor ngulo horizontal formado pela linha A-B e a direo

Observando a figura 3.2, concluiremos que: A-1 A-2 A-3 A-4 = = = = 36o NE 46o SE 28o SW 62o NW, so rumos vantes.

9

Quando tomamos como referncia a meridiano magntico, o rumo obtido chamado rumo magntico, e quando

usamos o meridiano verdadeiro, o rumo obtido chamado rumo verdadeiro.


34

N N1

62 4

O

36 36O

O

W

A

E

46 3 28O

O

2

SFigura 3.2 Rumos de uma linha

J os rumos das linhas: 1-A 2-A 3-A 4-A = = = = 36o SW 46o NW 28o NE 62o SE, so rumos r.

Observamos que o RUMO R de uma linha igual ao valor numrico do RUMO VANTE, situado em quadrante oposto.

3.2.2 AZIMUTE:Azimute10 o ngulo horizontal formado entre a direo Norte/Sul e o alinhamento em questo. medido a partir do Norte, no sentido horrio ( direita), podendo variar de 0 a 360 ou 400 g.

10

Usualmente, quando no for expressamente afirmado o contrrio, o AZIMUTE ser sempre direita (sentido horrio)

do NORTE. Numa definio mais ampla, o azimute pode ser medido do NORTE ou do SUL no sentido horrio ( direita) ou no sentido anti-horrio ( esquerda)..


35

Na figura 3.3, estaremos relacionando os rumos da figura 3.2 com os AZIMUTES.NAzA-1 1

AzA-2 462O

36

O

WAzA-446

AO

E

AzA-3 328O

2

SFigura 3.3 Azimutes.

Portanto os AZIMUTES VANTES das linhas: R, dado pela expresso 3.1

Az A1 = 3600 Az A2 = 18000 4600 Az A3 = 18000+2800 Az A4 = 36000-6200

= = =

134o00 203o 00 298o00

Na figura 3.4 observamos que a relao entre AZIMUTE VANTE e o AZIMUTE AZIMUTE R (1-2) = AZIMUTE VANTE (1-2) 180oN N258 20 78 20O O

(3.1)

VANT E

2

N

R

1

78 20

O

3

Figura 3.4 Relao entre Azimute vante e Azimute r


36

Converso entre RUMOS e AZIMUTE:QUADRANTE NE SE SW NW FRMULA RUMO = AZIMUTE(*) RUMO = 180o AZIMUTE RUMO = AZIMUTE 180o RUMO = 360o AZIMUTE

(*) NOTA: Valor numrico do Rumo ser igual ao valor numrico do Azimute. indicar o quadrante.

Quando transformamos de Azimute para Rumo no podemos esquecer de

3.2.3 DEFLEXES:Deflexo o ngulo formado entre o prolongamento do alinhamento anterior e o alinhamento que segue. Varia de 0 a 180 e necessita da indicao da direita (sentido horrio) ou da esquerda (sentido anti-horrio) (figura 3.5).

N

AZ2-3

NAZ1-2 78 20O

AZ1-2 78 20O

A LONG PR O A 1 -2 LIN H

ME N

T O DA

N

VAN TE

2

Dd

R

1DEFLEXO DIREITA (HORRIO)

3

Figura 3.5 Deflexo direita.

3.2.3.1 CLCULO DOS AZIMUTES SENDO DADOS AS DEFLEXES:Observando a figura 3.6, pode-se afirmar:

Az2-3 = Az1-2 + Dd2-3 Az3-4 = Az2-3 - De3-4TopografiaProf. Carlos Eduardo T. Pastana

(3.2) (3.3)

37

Onde:

Az = azimute das linhas; Dd e De = Deflexes direita e esquerda1-2 ha lin da to en am ng olo

N4

Az2-3

NAz1-2pr

Az3-4

N1

2

Dd

N3Depr ol on ga m en to

Az2-3

da

lin h

a

23

Figura 3.6 Deflexo direita e esquerda

Exemplo: Dados: Az1-2 = 592020 Dd = 553025 De = 893540 Calcular Az2-3 = ? Az3-4 = ? Utilizando as equaes (3.2) e (3.3) determina-se:

Az2-3 =

592020 + 553025 = 1145045 1145045 893540 = 251505

Az3-4 =somar a este valor 360.

IMPORTANTE: Quando, no clculo do azimute, resultar um valor superior a

360, deve-se subtrair deste valor 360. Se o valor resultar negativo, deve-se

3.2.4 NGULOS HORRIOS ( DIREITA) ESQUERDA):

e ANTI-HORRIOS (

Teodolitos (figura 3.7) so os aparelhos utilizados para medies de ngulos entre dois alinhamentos e os respectivos Rumos ou Azimutes que estes


38

alinhamentos fazem com a direo N/S. Os teodolitos, em sua maioria so fabricados para medio de ngulo no sentido horrio ( direita).

Figura 3.7 Teodolito

Na figura 3.8 observa-se o esquema de graduao de um teodolito. No exemplo a AGULHA (ou DEFLETOMETRO) est coincidindo com o zero da graduao. Observa-se a linha visada 1-2 (medido a partir do Norte). Na leitura observa-se um ngulo de 34 00 00. Podemos ento afirmar que: Rumo da linha 1 -2: Azimute da linha 1-2: R1-2 = 340000 NE Az1-2 = 340000N 2

Agulha

L in

ha de vis t

a

W

E 1

S Figura 3.8 Graduao de um Teodolito


39

Na figura 3.9 observamos o esquema para medio de um ngulo Horrio ( direita) e um ngulo Anti-Horrio ( esquerda). O operador estaciona o Teodolito sobre o ponto 6. Faz com que o zero da graduao coincida com o eixo da luneta; Visa ao ponto 5 (visada r), luneta) e visa ao ponto 7 ( vante).

soltando o parafuso particular (que trava a graduao e movimenta somente a Como sabido que a graduao no sentido horrio, faz-se a leitura do ngulo 5 6 7 no sentido horrio, conforme indicado na figura 3.9. Portanto: O ngulo horrio 5 6 7 ser de 9700 00 J o ngulo anti-horrio ser 2830000, obtido da subtrao entre 3600000 e 970000.

7rio or H

N

g n

ulo

W

Ei x od aL Lin ha u 5-6 neta Vis .R

Agulha

Lin ha 6-7

Vis

.Va n te

5

6

E

SFigura 3.9 Medio de um ngulo Horrio (leitura direta) e ngulo Anti-Horrio (a ser calculada).


40

3.2.4.1 CLCULO DOS AZIMUTES SENDO DADOS OS NGULOS HORIZONTAIS DIREITA:A figura 3.10 apresenta um trecho de uma poligonal com 8 vrtices. De uma anlise mais detalhada conclui-se que:

A poligonal foi percorrida no sentido horrio; Os ngulos internos foram medidos da estaca vante para a estaca r; O azimute dado, Az8-7 o Azimute r do Az7-8; O azimute a ser calculado, Az7-6 o Azimute r do Az6-7;

Figura 3.10 Clculo de Azimutes pelos ngulos direita (Adaptado de Baitelli/Weschenfelder - Topografia Aplicada Agronomia)

Exemplo: Dados da figura 3.10: Calcular: Sabe-se que: An = 21226'39" Az7-6 = ? Az8-7 = 7436'12"

Azn = Azn-1 +An 180A validade da frmula (3.4) d-se quando se adota o caminhamento proposto. Onde:

An no sentido horrio para

(3.4)

Azn An

= azimute do alinhamento = azimute do alinhamento anterior = ngulo horizontal (sentido horrio)

Azn-1


41

Portanto

Az7-6 = 7436'12" + 21226'39" 180 Az7-6 = 28702'51" - 180 Az7-6 = 10702'51"IMPORTANTE: Quando, no clculo do azimute, resultar um valor superior a

360, deve-se subtrair deste valor 360. Se o valor resultar negativo, deve-se somar a este valor 360.

3.3 - EXERCCIOS:1) - Transformao de rumos em azimutes: LINHA1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 12-13

RUMO42o1520NW 00o1530SW 89o4040SE 10o1540SE 89o4010NE 00o1020NE 12o0020NW 15o0520SW 00o5030NW 89o4020NW 12o3520SE 07o0510SE

AZIMUTE

2) - Operaes com rumos e azimutes: Para o croqui da figura 3.11, calcular: - Os azimutes e rumos vantes e rs das linhas; - Os ngulos direita e a esquerda para cada vrtice; - Os ngulos de deflexes para cada vrtice.


42

N

N120 20 7O O

2

N

N148 40 38O

3

00

N6O

4

148

50

N37 1O

N65 20O

40

5

Figura 3.11 Poligonal aberta

3) - Dados os rumos vante das linha da tabela abaixo, encontrar os azimutes a vante e a r. Desenhar os esquemas para cada linha. LINHAAB BC CD DE EF

RUMO31o10NW 12o50SW 00o15SE 88o50NE 00o10NE

AZIMUTE VANTE R

4) - O azimute direita de CD 189o30 e o rumo de ED 08o10SE. Calcular o ngulo CDE, medido com sentido direita, isto , no sentido horrio. 5) - Completar a tabela abaixo: LINHAA-B B-C C-D D-E E-F F-G 40o 02 02NE 18o 47 35o 20 35SE 10o1845NW

RUMO VANTE R

AZIMUTE VANTE332o12

R


43

6) - Transformar rumo em azimute ou vice-versa:234032 SE 455045 SW 582020 SW 345015 NW 495633NW 362948SE 394713SW 234032 SE 455045 SW 582020 SW 345015 NW 495633NW 3492056 284000 1800000 2011938 2704742 3492056 1590023 336.2245 3492056 284000 1800000 2011938 2704742 1590023 1590023

7) - Calcular os rumos e determinar o erro de fechamento angular do polgono pelos rumos calculados e pela somatria dos ngulos internos. Desenhar o esquema para cada ponto. ESTACA PONTO VISADO2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2

NGULO DIREITA86o 07 175o 10 143o 58 108o 45 247o 12 78o 53 121o 08 267o 33 88o 13 82o 47 220o 11

RUMO CALCULADO15o 32NE

10 11


44

CAPTULO 4 MEDIDAS ANGULARES, LINEARES e AGRRIAS4. MEDIDAS ANGULARES, LINEARES e GRRIAS4.1 INTRODUOPara o perfeito entendimento de TOPOGRAFIA, faz-se necessrio um estudo das unidades de medidas angulares, lineares e unidades de reas utilizadas. Para tanto, este captulo tem como objetivo, uma recordao das operaes fundamentais entre ngulos, suas converses, adies e subtraes. Quanto as unidade de medidas, recordaremos apenas as do sistema universal, seus mltiplos e divises. Para as unidades de reas agrrias, fez-se um apanhado da origem e utilizao de diversas unidades de reas utilizadas no Brasil nos seus diversos Estados.

4.2 MEDIDAS ANGULARES 4.2.1 - NGULO o trecho de plano do horizonte compreendido entre duas semi-retas que tm origem comum (vrtice). d) ngulo esfrico. Os ngulos podem ser: a) ngulo plano; b) ngulo diedro; c) ngulo triedro; e,


45

4.2.1.1 - NGULO PLANO o ngulo sobre uma superfcie plana que pode ser horizontal ou vertical (Figura 4.1).

PLANO HORIZONTAL ngulos azimutais.

Os ngulos medidos neste plano so chamados de

PLANO VERTICAL Os ngulos medidos neste plano so denominados de ngulos verticais. Os ngulos planos podem ser:

ngulo reto: tem os lados perpendiculares entre si. Mede 90o ou 100 grados. ngulo agudo: mede menos que um ngulo reto. ngulo obtuso: mede mais que um ngulo reto.

4.2.1.2 - NGULO DIEDRO o ngulo formado pela interseo de duas faces.Plano Vertical (PV) VV

N

Zenital

Plano Horizontal de Referncia (PHR)N Azimute

Figura 4.1 ngulo diedro


46

4.2.1.3 - NGULO TRIEDRO o ngulo formado pela interseo de trs faces. Para interseo de mais de trs faces denomina-se ngulo slido.

4.2.1.4 - NGULO ESFRICO o ngulo medido sobre uma superfcie esfrica, presente nos clculos GEODSICOS.

4.2.2 - UNIDADES DE MEDIDAS ANGULARESPara tanto se utiliza o TEODOLITO TOPOGRFICO, um aparelho para medidas exclusivamente de ngulos horizontais e vrtices. basicamente de um crculo graduado acoplado a uma luneta telescpica. Este conjunto adaptado a um trip e estacionado sobre o vrtice do ngulo que se deseja medir, aps ser nivelado. As unidades de medidas angulares so: Tal aparelho consta

Sexagesimal; Centesimal (grados); Radianos.

4.2.2.1. SEXAGESIMALNo Brasil, o sistema adotado o sexagesimal, no qual a circunferncia est dividida em 360 partes iguais, sendo cada parte de 1o (um grau, que constitui a unidade do sistema sexagesimal). Cada grau est dividido em 60 partes iguais, onde cada parte corresponde a um ngulo de 1 (um minuto). Cada minuto est dividido em 60 partes iguais, sendo que cada parte corresponde a um ngulo de 1 (um segundo). NOTAO: grau minutos segundos ( o)

() ()


47

Os segundos ( ) admitem partes fracionrias, porm no sistema centesimal. EXEMPLO: 12o 12o 12o 16 16 16 36,1 36,12 36,125

=1 = 12 = 125

Dcimo de segundos Centsimos de segundos Milsimos de segundos

4.2.2.2. CENTESIMAL (GRADO)Na unidade centesimal, a circunferncia est dividida em 400 partes iguais, cada parte correspondendo a 1g (um grado). Cada grado est dividido em 100 partes iguais, cada parte corresponde a 1 centgrado, 1 centsimo de grados ou 1 minuto centesimal. Cada centgrado est dividido em 100 partes iguais, onde cada parte corresponde a 1 decimiligrado ou milsimos de grado. Portanto, o grado composta de uma parte inteira e uma parte fracionria que pode ser: EXEMPLO: 21,1 21,12 21,125

=1 = 12 = 125

Dcimo de grados Centsimos de grados Milsimos de grados

4.2.2.3. RADIANO:Chama-se de radiano, ao ngulo central que corresponde a um arco de comprimento igual ao raio. A circunferncia est dividida em rd (6,2832 rd), 1744,8. A aplicao prtica desta unidade de medida angular, d-se principalmente na medida de ngulos pequenos. onde 1 radiano corresponde a um ngulo, no sistema sexagesimal, a 57o

4.2.3. CONVERSO DE UNIDADES: 4.2.3.1. CONVERSO DE GRAUS EM GRADOXg 400g

360o Yo

Portanto:

400 g Y o X = 360 oo

(4.1)Topografia

Prof. Carlos Eduardo T. Pastana

48

Exemplo:

Converter 62o 3721 em grados. Resoluo: - Passagem do sistema sexagesimal para o sistema decimal: Multiplica-se os minutos por 60, adiciona-se os segundos e divide-se o resultado por 3.600 e obtm a parte decimal. 37 x 60 2.220 + 21 = 2.241 = 2.220

2.241 = 0,6225 3.600Da: 62o 3721 = 62,6225o. - Clculo do valor em grados:g

400 g 62,6225o X = = 69,5805 g o 360

4.2.3.2. CONVERSO DE GRADOS EM GRAUS400g Xg Portanto: 360o

Yo

360 o X g Y = 400 go

(4.2)

Exemplo:

Converter 65,5805 grados em graus. Resoluo:

- Clculo do valor em grados:o

360 o 65,5805 g Y = = 62,6225o g 400

- Passagem do sistema decimal para o sistema sexagesimal: 62,6225o.


49

Multiplica-se a parte fracionria por 60 para obter-se os minutos. Multiplica-se novamente a parte fracionria por 60 para obter-se os segundos. 0,6225 x 60 0,35 x 60 Portanto: = 37,35 (37 equivale aos minutos). = 21 = 62o 3721.

62,6225o

4.2.3.3. CONVERSO DE GRAUS EM RADIANOS180o Yo Portanto:

rad

Z rad

Z radExemplo: Converter 150o em radianos. Resoluo:

Y o rad = 180 o

(4.3)

Z rad

150 o rad 5 = = rad 6 180 o

4.2.3.4. CONVERSO DE RADIANOS EM GRAUS radZ rad Portanto:

Yo

180o

Y =o

180 o Z rad

rad

(4.4)

4 em graus. 3 rad Resoluo:

Exemplo:

Converter

Yo =4.2.4 EXERCCIOS:

4 180 o rad 3

rad

= 240 o

Faa as seguintes transformaes:TopografiaProf. Carlos Eduardo T. Pastana

50

1 Transforme para grados e radianos: a) 36o ; b) 10; c) 234; d) 50. 2 Transforme em graus sexagesimais: a) 56 grados; b) 75 grados; c) 3 rad. 3 1 rd em graus e em grados; 4 45gr 58 em graus e em radianos; 6 23o 16 em radianos; 5 37gr 426 em graus e em radianos; 7 54o 45 58 em grados; 8 / 4 rd em grados; 9 88gr 8888 em graus e em radianos.

4.3 - MEDIDAS LINEARES:A unidade padro para medida linear o metro que corresponde a uma parcela de 1/40.000.000 do meridiano da terra. Atualmente o metro definido como a quantidade de 1.650.763,73 comprimentos de onda, no vcuo da transio no perturbada 2p10 - 5d5 do Kr86. O sistema mtrico decimal foi criado no Brasil, a partir de 1.874.. No entanto, ainda hoje, so usados as medidas do antigo sistema metrolgico em muitos estados brasileiros, conforme TABELA 4.1: SISTEMA ANTIGO 1 linha 1 polegada 1 palmo 1 vara 1 braa 1 corda 1 quadra 1 polegada inglesa 1 p ingls 1 jarda VALOR 10 pontos 12 linhas 8 polegadas 5 palmos 2 varas 15 braas 4 cordas 12 polegadas inglesas 3 ps ingleses SISTEMA MTRICO 0,002291 m 0,0275 m 0,22 m 1,10 m 2,20 m 33,00 m 132,00 m 0,0254 m 0,30476 m 0,91438 m(continua)


51

SISTEMA ANTIGO 1 p portugus 1 cvado 1 passo geomtrico 1 toesa 1 quadra Uruguai 1 quadra brasileira 1 milha brasileira 1 milha terrestre 1 milha mtrica 1 milha martima 1 lgua mtrica 1 lgua martima 1 lgua brasileira

VALOR 12 polegadas 2 ps 5 ps 3 cvados 50 braas 60 braas 1.000 braas 1.760 jardas 833,33 braas 841,75 braas 2.500 braas 2525,25 braas 3.000 braas

SISTEMA MTRICO 0,33 m 0,66 m 1,65 m 1.98 m 110,00 m 132,00 2.200,00 m 1.609,31 m 1.833,33 m 1.851,85 m 5.500,00 m 5.555,55 m 6.600,00 m

TABELA 4.1 Unidades de Medidas Lineares

Por ser simples de se trabalhar, o sistema mtrico tende, em breve, a ser usado pela totalidade dos pases.

Possui os seus mltiplos e submltiplos.

- SUBMLTIPLOS:DECMETRO CENTMETROS MILMETROS Corresponde a dcima parte do metro (0,10 m ou 1 dm) Corresponde a centsima parte do metro (0,01 m ou 1 cm) Corresponde a milsima parte do metro (0,001 m ou 1 mm)

- MLTIPLOS:DECMETRO HECTMETRO QUILOMETRO Corresponde a 10 vezes o metro (10 m ou 1 dam) Corresponde a 100 vezes o metro (100 m ou 1 hm) Corresponde a 1000 vezes o metro (1000 m ou 1 km)


52

EXEMPLOS:2,432 m 2,045 m 3,002 m 5,058 dam 5,23 dam 5,4258 km 0,5 m 0,01 m 0,004 m 0,0052 m = 2 metros, 4 decmetros, 3 centmetros e 2 milmetros = 2 metros, 4 centmetros e 5 milmetros = 3 metros e 2 milmetros = 50 metros (5 decmetros), 5 decmetros e oito centmetros = 52 metros (5 decmetros), 3 decmetros = 5 quilmetros, 4 hectmetro, 2 decmetro, 5 metros e 8 decmetros = 5 decmetros = 1 centmetro = 4 milmetros = 5 milmetros e 2 dcimos de milmetros

4.4 - MEDIDAS AGRRIAS:As unidades de medidas de superfcie so:

Metro quadrado

m2 .

Are: corresponde a superfcie de um quadrado de 10 metros delado ou seja 100 m2. muito usado o mltiplo destas unidades, o HECTARE (100 vezes o ares) que equivale a 10.000 m2 e corresponde superfcie de um quadrado de 100 metros de lado. A converso de um nmero qualquer de m2 para hectare (ha.) basta dividi-lo por 10.000 e separ-lo a partir da direita, em casas de algarismo, assim:

Dividindo por 10.000 tem-se: 127,8493 hectares. Assim, temos: 1 hectare (ha) 1 are (a) 1 centiare (ca) Portanto: 127,8493 hectares, corresponde a: 127 hectares 84 ares 93 centiares.TopografiaProf. Carlos Eduardo T. Pastana

rea = 1.278.493 m2

= 10.000,00 m2 = = 100,00 m2 1,00 m2

(quadrado de 100 x 100 m) (quadrado de 10 x 10 m) (quadrado de 1 x 1 m)

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4.4.1 - DEFINIES E ORIGENS DAS PRINCIPAIS UNIDADES DE MEDIDAS: 4.4.1.1 - HECTARE:Medida agrria do SISTEMA MTRICO DECIMAL que equivale a superfcie de um quadrado de 100 metros de lado ou 10.000 m2.

4.4.1.2 - ARE:Medida agrria do SISTEMA MTRICO DECIMAL que quadrado de 10 metros de lado ou 100 m2. a superfcie de um

4.4.1.3 - CENTIARE: a centsima parte do are ou seja, 1 m2.

4.4.1.4 - ACRE:Medida de superfcie empregada na Inglaterra e nos Estados Unidos. Equivale a 4.046,80 m2.

4.4.1.5 - CINQENTA:Unidade agrria empregada na Paraba e a rea de 50 x 50 braas, tambm chamada de quarta no Rio Grande do Norte. Equivale a 12.100,00 m2.

4.4.1.6 - COLNIA:Unidade de superfcie agrria usada no Esprito Santo equivalente a 5 alqueires geomtricos. Equivale a 242.000,00 m2.

4.4.1.7 - DATA DE TERRAS:Designao antiga de rea geralmente retangular, caracterizada pela metragem de testada e de fundo. Exemplo: uma data de 800 com meia lgua, exprime uma rea de 800 braas de testadas por 1.500 braas de fundo, equivalente a 6.600.000,00 m2. Em Minas Gerais, So Paulo e Paran a data varia de 20 a 22 m por 40 a 44 metros.


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4.4.1.8 - MORGO:Unidade de superfcie empregado no estado de Santa Catarina, equivalente a 0,25 hectares ou seja um quadrado de 50,00 metros de lado.

4.4.1.9 - QUARTA:Unidade agrria empregada no Rio Grande do sul, equivalente rea de 50 x 50 braas, equivalente a 12.100,00 m2. Na Paraba recebe a designao de cinqenta. No Paran a quarta vale 50 x 25 braas, iguais a 6.050,00 m2.

4.4.1.10 - TAREFA: a rea de terra que corresponde a um determinado trabalho agrcola que se deve realizar em determinado limite de tempo, por um homem ou grupo de homens. Aparece em dimenses muito variveis, desde 7x7 braas at 50x50 braas. Na Bahia corresponde a superfcie de um quadrado de 30 braas de la

topografia anotaes de aula 2010 1

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