TopografiaAula 2 – Unidades Usuais e Revisão de TrigonometriaAgronomia / Arquitetura e Urbanismo / Engenharia Civil

Prof. Luiz Miguel de Barros

luizmiguel.barros@yahoo.com.br

Revisão – Aula 1

O que é topografia?

Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontaise verticais, distancias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumentaladequado a exatidão pretendida, implanta e materializa pontos de apoio noterreno , determinando suas coordenadas topográficas.

A este ponto se relacionam os pontos de detalhes visando sai exata representaçãoplanimétrica numa escala pré-determinada e à sua representação altimétrica porintermédio de curvas de nível, com predeterminação dos pontos cotados.

Revisão – Aula 1

• Planimetria – estuda os procedimentos, métodos e instrumentos demedida de ângulos e distancias, considerando um plano horizontal.

• Altimetria – estuda os procedimentos, métodos e instrumentos dedistancias verticais ou diferença de níveis e ângulos verticais.

• Planialtimetria – aplica técnicas da planimetria e altimetria para aconstrução da planta com curvas de nível.

Unidades Usuais

• Principais grandezas da planimetriaDistâncias (metro, m)

Áreas ou superfícies (metro quadrado, m2)

Ângulos (sexagesimal, graus; e centesimal, grados)

• O metro é uma unidade de medida de comprimento, sendocorrespondente a distância percorrida pela luz no Vácuo,durante um intervalo de tempo correspondente à1/299.792.458 s.

• É uma unidade básica do Sistema Internacional de Unidades.

Unidades Usuais

Unidades Usuais

Medidas linear. – Sistema métrico decimal (unidade básica é o metro).

Quilômetro (km) – 1.000 m

Hectometro (hm) – 100 m

Decâmetro (dam) – 10 m

Metro (m) – 1 m

Decímetro (dm) – 0,1 m

Centímetro (cm) – 0,01 m

Milímetro (mm) – 0,001 m

Unidades Usuais

Exercicios de transformação

Transforme 10 Km e 98 mm em multiplos e submultiplos de do metro.

10 km – 100hm – 1000dam – 10.000m – 100.000dm – 1.000.000 cm 10.000.000mm

98mm – 9,8cm – 0,98dm – 0,098m – 0,0098dam – 0,00098hm – 0,000098km

Transforme 21,45m em km e mm.

21,45 m = 21.450 mm = 0,02145km.

Unidades Usuais

Unidades Usuais

Unidades Usuais

Unidades Usuais

Unidades Usuais

Unidades Usuais

Unidades Usuais

Ângulos

Ângulo é uma figura geométrica formada por duas linhas quepossuem um ponto de interseção, sendo este ponto o vértice doângulo. A abertura do ângulo é uma propriedade invariantedeste e é medida pelo sistema internacional em radianos.

A medida em radiano de um ângulo é o comprimento do arcocortado pelo ângulo dividido pelo raio do círculo.

Unidades Usuais

Unidades Usuais

2 π rad = 360° = 400°ou

π = 180° = 200°

Unidades Usuais

• Soma de ângulos (sexagesimal)

1) 12°30’10” + 24° 13’15” = 36°43’25”

2) 49°30’ + 31°42’ = 80°72’*

* Nesse caso, o resultado ultrapassa os 60’, ficam 12’ na casa dosminutos e vão 60’ para a casa dos graus. 60’ = 1°, então, você leva 1° dacasa do minuto para a casa do grau. O mesmo vale para o segundo.

Sendo o resultado final

49°30’ + 31°42’ = 81°12’

Unidades Usuais

• Subtração de ângulos (sexagesimal)1) 79°55’58” – 22°54’50” = 57°01’08”

2) 28°12’34” – 13°40’42” Como existe menos segundos no minuendo do que no subtraendo, transformamos 1’ dos 12’ que existe no minuendo em segundo somando 60” com 34” existente.A soma dos segundos resultam em 94”. Restam-nos 11’, que são insuficientes. Temos que transformar 1° em minuto, somando com os existentes, totalizando 71’.Sendo o resultado final27°71’94” – 13°40’50” = 14°31’42”

Unidades Usuais

• Transforme o ângulo 45°12’18” (graus sexagesimais) exibido na forma longa, para o formato decimal, na unidade graus.

18” / 60 = 0,3’

0,3’ + 12’ = 12,3’

12,3’ / 60 = 0,205°

45° + 0,205° = 45,205°

Unidades Usuais

• Transforme o ângulo 45°72’95” (graus centesimais) exibido na forma longa, para o formato decimal, na unidade graus.

95” / 100 = 0,95’

0.95’ +72’ = 72,95’

72,95’ / 100 = 0,7295°

45° + 0,7295° = 45,7295°

Unidades Usuais

Revisão deTrigonometria

• A soma dos ângulos internos de um triângulo é iguala 180° podendo ser estabelecida as seguintesrelações.

Teorema de PitágorasHip2 = Cat. Adj2 + Cat. Opo.2

Seno senα = Cateto Oposto (c)/Hipotenusa (a)

Cosseno cosα = Cateto Adjacente (b)/Hipotenusa (a)

Tangente tgα = Cateto Oposto (c)/Cateto Adjacente (b)

Trigonometria

Trigonometria

Ângulos Notáveis

30° 45° 60°

Sen 1/2 √2/2 √3/2

Cos √3/2 √2/2 1/2

Tg √3/3 1 √3

30° 45° 60°

Trigonometria

Lei dos senos

a/sen A = b/sen B = c/sen C

Lei dos cossenos

cos A = (b2 + c2 – a2)/2bc

cos B = (a2 + c2 – b2)/2ac

cos C = (a2 + b2 – c2)/2ab

• Calcule os ângulos internos do triangulo retângulo ABC de lados conhecidos.

a / sen A = b / senB

4 / sen A = 5 / sen 90°1

sen A = 4/5 = 53,13°

53.13° = 53°07’48”

A + B + C = 180°

C = 180° - 90° - 53.13°

C = 36,87° = 36°52’12”

Trigonometria

• Calcule os ângulos e a área do triangulo ABC de lados conhecidos.

Trigonometria

cos A = (b2 +c2 –a2)/2bc

cos A = (142 + 92 – 72)/2.14.9

A = 25,208765° = 25°12’32”

cos A = 0,904762

a/sen A = b/senB

senA = 0,425918°

senB = (b x senA) / a

senB = (14 x 0,425918°) / 7

senB = 0,851836

B = 58,411928°

senx = sen (180° - x)

B = 121, 588072° = 121°35’17”

A + B + C = 180°

C = 33,203163° = 33°12’11”

p = (a + b + c) / 2 = 15cm

A = √p.(p-a).(p-b).(p-c)

A = √15.(15-7).(15-14).(15-9)

A = 26.83 m2