1

İÇERİK

1. Bölüm : Tanımlar………………………………………...…….sayfa 3-

9

2. Bölüm : Matematik ve Müziğin Arasındaki İlişkinin

İncelenmesi…………………………………………………sayfa 10-31

3. Bölüm: Sonuç……………………………………………...……sayfa

32

4. Bölüm: Kaynaklar…………………………….…………….sayfa 33-34

2

MÜZİĞİN MATEMATİĞİ

1. BÖLÜM: Tanımlar

Projenin iyi olarak anlaşılması için öncelikle

müziğin tanımı yapılmalıdır; fakat her insan müziğe

farklı bir şekilde yaklaştığı için kesin bir tanım

yapmak mümkün değildir. Müziği seslerin ritim,

melodi ve harmoniyle anlamlı bir şekilde

sıralanması olarak tanımlayabiliriz. Müziğin tanımını

anlayabilmek için de sesin ne olduğuna bakmamız

lazım. Ses; atmosferde kulağımız tarafından

algılanan basınç değişimleridir ve dalga halinde yayılır. Sesin bir frekansı, boyu, periyodu ve

hızı vardır. Sesin frekansı bir saniyedeki titreşim sayısıdır ve birimi Hertz(Hz)dir (Hertz, 19.

yüzyılda radyo dalgalarının nasıl oluştuğunu keşfeden bilim adamının adıdır.).

Ritim; bir dizede, bir notada vurgu, uzunluk veya ses özelliklerinin, durakların düzenli

bir biçimde tekrarlanmasından doğan ses uyumudur.

3

Ritim Çeşitleri:

2/4 lük ritim: Her ölçüde 2 tane 4 lük nota vardır.

4/4 lük ritim: Her ölçüde 4 tane 4 lük nota vardır.

3/4 lük ritim: Her ölçüde 3 tane 4 lük nota vardır.

4

5/8 lik ritim: Her ölçüde 5 tane 8 lik nota vardır.

6/8 lik ritim: Her ölçüde 6 tane 8 lik nota vardır.

Tam Ses Aralık / Yarım Aralık: İki nota arasındaki mesafeye “aralık” denir. Klasik batı

müziğindeki kullanılan sisteme eşit tamperaman (tampere) sistemi denir. Bu sitemde, bir tam

ses (örneğin, Do-Re) iki eşit parçaya ayrılır. Elde edilen her bir parçaya bir yarım aralık adı

verilir. Aşağıdaki örnekte görülebileceği gibi Do majör gamında Mi-Fa ve Si-Do notaları

arasında yarım aralık vardır. Diğer notaların arası ise tam aralıktır.

Do------------------1/2------------------Do# = Re -------------------1/2---------------- Re

Batı Müziği Ses Sistemi "Tampere Sistem"

Bu müzik sisteminde bir tam ses aralığı eşit iki parçaya bölünmektedir. Nedir bu tam ses?

Yanyana duran iki sesin birbiri arasındaki frekans uzaklığı bize, o aralığın uzak yani tam veya

yakın yani yarım aralık olduğunu gösterir. Bundan yola çıkarak seslerin gerçek frekans

değerlerini vermek yerine şöyle bir örnekleme yapacağım.

İlk örnek ses aralığımız DO-RE aralığı olsun. Tam seslik aralığı 100, Yarım seslik aralığı da

50 birim farklılık olarak varsayarsak;

DO sesinin frekans değerini 100 RE sesinin frekans değerinide 200 olarak kabul edelim.

5

Bu yaklaşım ile görülmektedir ki; DO-RE ses aralığı TAM aralıktır.

Tampere Sistemdeki Doğal Aralıklar şu şekilde sıralanırlar:

DO-RE = TAM (geniş-uzak aralık)

RE-Mi = TAM (geniş-uzak aralık)

Mi-FA = YARIM (dar-yakın aralık)

FA-SOL = TAM (geniş-uzak aralık)

SOL-LA = TAM (geniş-uzak aralık)

LA-Si = TAM (geniş-uzak aralık)

Si-DO = YARIM (dar-yakın aralık)

Aralıkların uzaklıklarını başka bir grafikle böyle anlatabiliriz.

Bunlara ek olarak Ses Değiştiriciler diye adlandırdığımız işaretlerden bahsetmemiz

gerekecek.

Diyez (#) : Diyez, uyguladığımız sesi yarım ses tizleştiren (incelten) işarettir. Notanın sol

tarafına yerleştirilir.

Bemol ( ) : Bemol, uyguladığımız sesi yarım ses pesleştiren (kalın) işarettir. Notanın sol

tarafına yerleştirilir.

6

Armonide karşımıza çıkan dizilerden en bilinenleri Majör ve Minör dizilerdir.

Majör Dizi: 3Tam + 1Yarım + 2Tam + 1Yarım aralıktan meydana gelen dizidir.

Minör Dizi: 2Tam + 1Yarım + 3Tam + 1Yarım + 2Tam aralıktan meydana gelen dizidir.

Not: Tam aralıklar ayrı ayrı hesaplanmalıdırlar. Örn: 3Tam=1T+1T+1T gibi

Akor: Belirli kurallar çerçevesinde tınlatılan en az 3 sesin oluşturduğu kümeye verilen

isimdir.

Temel Akorlar (1-3-5): 3 sesten meydana gelirler. İlk ses dizinin 1. sesi, ikinci ses dizinin 3.

sesi, üçüncü ses ise dizinin 5. sesidir.

Örnek :

Birinci Çevirim Akorlar (1-3-6) : İlk ses dizinin 3. sesi, ikinci ses dizinin 5. sesi, üçüncü ses

dizinin 8. sesidir.

Örnek: Mi SOL DO

İkinci Çevirim Akorlar (1-4-6) : İlk ses dizinin 5. sesi, ikinci ses dizinin 8. sesi, üçüncü ses

dizinin 3. sesidir.

7

Örnek: SOL DO Mi

Yukarıda bahsettiğimiz Temel ve Çevirim akorlar Minör Akorlar için de aynen geçerlidir. Ben

sadece örnek teşkil etmesi bakımından Majör bir dizi üzerinde çalıştım.

Tam Aralıklar: 4 aralığı tam aralık olarak adlandırıyoruz:

Unison: 2 farklı ses kaynağının verdiği aynı frekanstaki sestir. Örneğin gitar ve keman

unison çalsın dendiğinde iki enstrüman aynı frekanstaki notayı çalar.

Tam 4’lü (T4): 5 yarım sesten oluşur.

Tam 5’li (T5): 7 yarım sesten oluşur.

Oktav (Tam 8’li): 12 yarım

sesten oluşur. Herhangi bir gamın ilk

ve son sesi arasındaki aralıktır. Bir

diğer değişle, bir notanın 7 nota

inceltilerek elde edilen ince sesine kadar

olan bölüme bir oktav denir. Mesela; kalın do’dan ince do’ya kadar olan 8 notalık ses dizisi

bir oktav sayılmaktadır. (Oktav denilebilmesi için nota değil ses aralığı önemlidir.)

*T : tam ses

Bizim sesleri ince veya kalın olarak algılamamızın sebebi seslerin titreşimindeki

farklılıklardır. Düşük titreşimli sesleri kalın (bas), yüksek titreşimli sesleriyse ince (tiz)

8

algılarız. Sesin kalınlığına (ya da inceliğine) ''perde" denir. Yüksek frekanslı sesler yüksek

perdeli, düşük frekanslı sesler düşük perdeli seslerdir.

Ton: Müzikte diatonik (doğal major) gamda bir ‘tam aralık’ olarak tanımlanan ton

belli bir frekansta ve perdede üretilen saf ses anlamında kullanılır. Örneğin bir ses çatalı

(diyapozon) titreştirildiğinde ortaya çıkan 440 Hz frekansındaki ‘Do (C)’ notası saf bir tondur.

Saf tonlar doğal ortamda fazla karşılaşılmayan ve genellikle müzik aletleri veya ses üreteçleri

aracılığıyla üretilen seslerdir. Yüksek frekanslı (yüksek perdeden) sesler tiz düşük frekanslı

(düşük perdeden) sesler pes (bas) olarak algılanır.

Müzikle matematik arasındaki en önemli ilişkilerden ikisinin de altın oran ve Fibonacci

sayıları olduğu ileride açıklanacaktır. Altın oranı açıklayacak olursak: Bir doğru parçasının

(AB), altın orana uygun bir şekilde C noktasından bölündüğünü düşünelim. Bu nokta öyle bir

yerdedir ki küçük parçanın (AC) büyük parçaya (CB) oranı, bütün doğrunun (AB), küçük

parçaya (AC) oranına eşittir.

biçimine dönüştürülebilir. Bu denklemin pozitif kökü

altın orandır.

Fibonacci sayıları 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,

4181, 6765... şeklinde bir sonraki sayının ondan önceki iki sayının toplamına eşit olduğu sayı

a b

9

dizisidir. Fibonacci sayılarının altın oranla arasında ilginç bir ilişki vardır. Dizideki ardışık iki

sayının oranı, sayılar büyüdükçe Altın Oran'a yaklaşır.

2. BÖLÜM: Matematik ve Müziğin Arasındaki İlişkinin İncelenmesi

Sanat ve bilim birbirinden ayrı iki dal

olarak kabul edilir. Sanat ve bilimin ayrı kabul

edilmesi gibi, sanata bağlı müzik ve bir bilim

olan matematik arasında bir ilişki

düşünülememiştir. Her ne kadar bu iki dal

farklı olarak algılansa da aralarında çok sıkı bir

ilişki vardır ve bu ilişkinin incelenmesi Eski

Yunanlılara kadar uzanır. Eski Yunan’da müzik matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul

edilmiştir.

Pisagor Okulu’ndaki programda müzik; aritmetik, geometri ve astronomiyle aynı

düzeyde görülüyordu.

Matematik

(değişmeyenin çalışması)

Miktar Büyüklük

tek başına

(kesin olan)

Aritmetik

alakalı

(göreli olan)

Müzik

hareketsiz

(stabil olan)

Geometri

hareket halinde

(hareketli olan)

Astronomi

Şekil 1: Pisagor Okulu’ndaki program

Matematiğin müzik üzerindeki etkisini ilk olarak görebileceğimiz yer müzik

parçalarının yazımındadır. Bir müzik parçasında ritim ( 4:4 lük, 3:4 lük gibi ), belirli bir ölçüye

göre vuruşları birlik, ikilik, dörtlük, sekizlik, onaltılık, ... gibi olan notalar bulunur. Fark edildiği

10

gibi bunlar ikinin üsleri biçiminde ifade edilirler. Belirli bir ritimde, değişik uzunluktaki notalar,

belirli bir ölçüye uydurulur. Her ölçünün ise değişik uzunluktaki notaları kullanan belirli sayıda

vuruştan oluştuğu görülür.

MÖ 6. yy.da yaşamış ve bugün kullanılmakta olan

müzikal dizinin oturmasına katkı sağlamış olan Pisagor

çıkan sesin ve notanın, çekilen teli uzunluğuna bağlı

olduğunu gözlemlemiştir. Pisagor 12 birimlik teli ikiye

bölmüş ve oktavı elde etmiştir. Elde edilen 6

birimlik yeni tel (telin ½ si) kesilmeden önceki telin

çıkardığı sesin bir oktav tizini çıkarmaktadır. Pisagor 8 birimlik tel

(telin 2/3ü) ile 5li aralığı, 9 birimlik tel (telin ¾ ü) ile 4lü aralığı

bulmuştur. Antik devirde dört sesin bir arada duyulması prensibi "tetrakord" olarak

adlandırılmakta ve müzik teorisinin temel kuralı olarak sayılmaktaydı. Böylelikle tetrakord,

6,8,9 ve 12 ile elde edilmiştir. Pisagor oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu

vermektedir.

Pisagor’un matematik ve

müzikle kurduğu bir diğer ilişkiyi

kürelerin müziği (kürelerin

armonisi)nde, görebiliyoruz.

Kürelerin armonisi Pisagor’un,

evrenin armoni gösteren sayılarla

düzenlendiği fikri üzerine kurulu bir

varsayımıdır. Bu varsayıma göre, müzikal oranlara göre dizilmiş gezegenler arasındaki

uzaklıklar müzikal aralıklara denk gelmektedir. Notalara paralel olarak sayıların da belirli bir

düzene bağlı olduğunu savunan Pisagor’un bu varsayımında dokuz gezegenin,

hareketleriyle, algılayamadığımız, uyumlu bir ses oluşturduğu öne sürülür.

11

Müzikte ritimlerin ifadesinde kullanıldığı gibi aralıklarda ve bunların belirlenmesinde

de matematik kullanılır:

*T: tam ses

*M: majör

*m: minör

1 M 2 m M 3 m │4T 5T│ M 6 m M 7 m 8

Unison oktav

2. 3. 4. Ve 5. Aralıklarda majöre tam sayı(1,2,…) karşılık gelirken, minöre kesirli sayı(1.5,

4.5…) gelir.

6. ve 7. Aralıklarda ise minöre tam sayı karşılık gelirken, majöre kesirli sayı gelir.

Örneğin;

Pisagor oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir.

2/3:3/4=8/9 (5T-4T=2M )

2/3 sol notası

¾ fa notası

Piyanoda: Fa fa diyez sol

½ ½ ½ + ½ = 1 (tam sayı),majör

Do Re Mi Fa Sol La Si Do

12

(5T-4T=2M )

( fa ve sol )=2 ses

Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir.

Devam edecek olursak; 8/9.8/9=64/81 (2M+2M=3M)

Esas sesimiz "do" olsun. Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü "sol" sesini, ¾ ü "fa"

sesini, 8/9 i ise "re" sesini, 64/81 i ise " mi" sesini vermektedir.

Diğer aralıkları kısaca şöyle sıralayabiliriz;

3/4:8/9=27/32 4T-2T=3m

¾ fa notası

8/9 re notası

¾ : 8/9 =27/32 (4T - 2T = 3m)

Fa re

4T - 2T = 3 m minör (1/2+1/2+1/2 )

( Do’ ya göre 4‘ lü aralık = do,re,mi,fa) ( re mi fa )

( Do‘ ya göre 2’ li aralık = do,re)

2:27/32=16/27 6M

2:64/82=81/128 6m

2: 8/9=9/16 7m

Majör

13

Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la, si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81,

¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2 oranları ile ifade edilir.

Daha önceden Pisagor’un, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde ettiğini söylemiştik. Fakat bir

notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da

"Pisagor koması" olarak adlandırılır. Böyle bir durum ortaya çıktığı zaman Pisagor sisteminde

bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12

eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir. Bu sistem de bugün klasik batı müziğinde

kullanılan tampereman sistem denir. Böylece 1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile

gösterilmiştir.

Tampere edilmiş 5li, 7 yarım ton ile ifade edilmektedir ve bu da, Pisagor 5lisinden

daha küçük bir aralıktır. 4lü ise, 5 yarım ton ile ifade edilir ve Pisagor 4lüsünden daha

büyüktür.

Yapılan bazı çalışmalarda insan kulağının hala Pisagor aralıklarını tercih ettiğini

gösterse de günümüzde kullanılan tampere edilmiş sistemden vazgeçmek mümkün değildir

(Reid,1995).

Euclid (M.Ö. 300)'in çalışmaları temel olarak Pisagor'a dayanır, ancak Pisagor ve

Euclid iki önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; kurulan majör dizideki Majör 3'lü ve Majör 6'lı

aralıklarda. Örneğin Do dizisinde Euclid'in Majör 3'lüsü 4/5=64/80 iken, Pisagor için bu;

64/81=8/9.8/9 dur (Archibald,1923: 10).

Eski Yunan’da fark edilen bir başka

şey de akor basılırken notaların birbirine

uyumudur. Basılan notayla en iyi uyum

sağlayan notaların, o notanın frekansının

tamsayı katları olan frekansa sahip olan

notalardır. Örneğin 220 Hz.lik bir frekansa

sahip bir notayla en iyi uyumu gösterecek

14

notaların frekansları 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, 1100 Hz.dir. Her ne kadar günümüzdeki müzik

anlayışında buna dayanılmasa da, insan kulağının bunu aradığı bilinmektedir.

Doğuşkan

Doğanın mucizesi olan doğuşkan sesler doğal olarak akor oluşturur. örneğin do sesinin üst

doğuşkanlarına bakacak olursak sırası ile: do, do, sol, do, mi... seslerini buluruz. bu

seslerden 1-3-5 inci dereceleri çekecek olursak: do-mi-sol elde ederiz.(oktav farklılıkları

gözardı edilir) bu da bize do majör akorunu verir.

*İki ucundan tutturulmuş gergin bir tel çekilip bırakıldığında, oluşan dalgalar telin iki ucuna

doğru hareket eder ve eşiklerden yansıyarak geri dönerler. Dönüşte karşılaşan bu titreşimler

üst üste binişir, sonra ayrılıp eşiklere kadar giderek yeniden yansır. Bu telin titreşimi sönene

kadar böylece sürer.* Ayhan Zeren, Müzik fiziği adlı kitabında doğuşkanlar hakkında bu

şekilde bahsetmiştir. Bunu tanım olarak alıp matematiksel oranları ile açıklamak ise,

matematikle ilişkisine girer.

Sözgelimi, bir obua sesi ile bir klarnet sesini bir birinden ayırabilmemizi sağlayan,

bu çalgıların çaldıkları sesin üzerinde oluşan doğuşkanların bir birinden farklı güçte

duyulmalarıdır.

Bir tel titreştiği zaman çıkan ses asla tek başına duyulmaz. Bir cismin titreşimi sonucu çıkan

ses her zaman o sesin üstünde ve altında oluşan diğer seslerle birlikte oluşur. Bu üst seslere

üst doğuşkanlar, alt seslere ise alt doğuşkanlar denir.

Daha sonra elde edilen bilgiler, doğuşkanların sadece teller üstünde değil, aynı zamanda

üflemeli çalgılarda da bulunduğunu ortaya koydu. Farklı bir üfleme tekniği sayesinde havanın

boru içerisinde yaptığı çarpışmalar buna sebep oluyordu. Aşağıda da bahsedeceğim gibi

hiçbir ses doğada tek başına bulunmaz ve doğuşkanlara sahiptir, ancak eğitimli bir kulağa

sahip kişi yukarı doğru 4 sese kadar duyabilir.

15

Resimde de görülebildiği üzere, herhangi bir tel üzerinde basılan bir do notası, önce 8li aralık

yukarıya –ki bize bir üstteki do notasını veriyor-, daha sonra 8li aralığın üstüne 5li bi aralık –

sol- üstüne 4lü bir aralık daha –daha da üstten do- ve yine yukarı 3lü aralık şeklinde gidiyor.

Bu sadece ilk dört sestir ve bu aralıklar gittikçe daralırlar. Bu notalar aynı aralık düzeniyle

aşağı yönde de karşımıza çıkar. Bu aralıkların belli bir oranları vardır.

Eğer bu seslerin kendi arasındaki iliskilere bakarsak, belirli armonik oranların belirli armonik

aralıklara denk geldiğini fark ederiz. Örneğin 2:1 armonik oranı bize Oktav, 3:2 armonik oranı

ise Tam Besli aralığını verir. İlk bakısta göze çarpan diğer önemli armonik oranları ve

aralıkları ise söyledir;

2:1 Oktav

3:2 Tam Besli

4:3 Tam Dörtlü

5:4 Major (Büyük) Üçlü

7:6 Minor (Küçük) Üçlü

9:8 Major (Büyük)İkili

Yaylılar için doğuşkanların iki çeşit

gösterimi vardır;

İlki, doğuşkan çıkması istenen notanın üstüne koyulan bir 0 (sıfır) dır. Bu yöntem size

hangi teknikle elde etmenizi söylemez, sadece o notanın doğuşkan çıkmasını ister. Birazdan

göreceğimiz gibi bir notanın doğuşkanının çıkması için 4 farklı yol vardır. İkinci gösterim ise

doğuşkanı çıkması istenen notayı bir paralel kenar şeklinde yazmaktır. (bkz. Örnek) Bu

bestecinin müzisyene sağladığı bir kolaylıktır. Çünkü direkt olarak dokunulacak notayı

göstermektedir.

16

5. doğuşkanı elde etmenin 4 farklı yöntemi vardır. Bunlar;

- Telin B3lüsüne, yani 7/6 sına dokunmak

17

-Telin B6lısına dokunmak

-Telin 5/2 sine, yani B3lünün oktavına dokunmak

-Telin 5/4 üne, yani B3lünün 2 üst oktavına dokunmak

Müzikle matematik arasındaki bir diğer ilişki ise altın orandır. Pisagor

aralıklarından ve tetrakordtan bahsederken 6, 8, 9 ve 12 birimlik

tellerden bahsedilmişti. Altın oranla bu aralıklar arasında

eşitliği bulunmuştur. Ayrıca çeşitli bestelerde melodik, ritmik ve

dinamik unsurların altın oranı içerdiği bilinmektedir. Ayrıca insan

kulağına en uyumlu aralığın 8/5 frekansı aralığında Majör 6’lı olduğu bilinmektedir. Bu olguyu şaşırtıcı kılan ise bu

oranın altın orana ( 1.618) çok yakın olmasıdır.

Müziğin matematikteki altın oranla ilişkisinden sonra Fibonacci sayılarıyla da ilişkili

olduğu şaşırtıcı değildir. Béla Bartók, altın oranı kullanan bestecilerdendir. "Bartók, Fibonacci

sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır" (Aktarma

Gönen, 1998: 13). "Music for strings, percussion and celeste" parçasının ilk bölümünde en

önemli kısım, 89 ölçünün 55. ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998). Debussy’nin

Reflections in Water adlı eserinde de altın oran ve Fibonacci sayılarının izleri görülmektedir.

18

34, 21, 13 ve 8 sayılarıyla işaretli tuşlar sıralasıyla kullanılmıştır ve eserin geneli de altın

orana uymaktadır.

Fibonacci sayılarını en çok kullanılan müzik aletlerinden piyanoda da görmekteyiz.

Piyanoda bir oktavda 13 tuş vardır. Bunlardan 8’i beyaz, 5’i siyahtır. Siyah tuşlar da 2 tane ve

3 tane olmak üzere ayrılmışlardır. Bu düzen de bize Fibonacci sayılarını hatırlatmaktadır (1,

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …)

Birçok müzik aletinin biçimi de matematiksel kavramlarla ilgilidir. Örneğin, aşağıdaki

şekilde üstel fonksiyonun grafiği çizilmiştir. Telli ve üflemeli çalgıların

biçimleri bu üstel eğrinin biçimine benzer.

Matematikçi J. Fourier, 19. yüzyılda müzikal seslerin

niteliğinin incelemiştir ve müzik aleti ve insandan çıkan bütün

müzikal seslerin matematiksel ifadelerle tanımlanabileceğini ve

1

2

19

bunun da periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini

ispatlamıştır.

Müzik aletleri yapılırken Fourier’in ifadesinden yararlanılmaktadır. Yapılan müzik

aletinin periyodik ses grafiği, bu aletler için ideal olan grafikle karşılaştırılır. Görüldüğü gibi

bir müzik parçasının üretilmesinde matematikçilerle müzikçilerin birlikteliği çok önemlidir.

Şekil 2: fonksiyonunun grafiği

Matematiğin ve müziğin bir diğer ilişkisi de frekanslarda görülebilir. Yüksek frekanslı

sesler yüksek perdeli, düşük frekanslı sesler düşük perdeli seslerdir.

Müzik, genellikle rasgele seslerden değil, belli frekanslardaki seslerin kullanımıyla

yapılır. Bunlar, notalardır. Bir telli çalgının çalışma prensibini anlayarak, notaların nasıl ortaya

çıktığını keşfedebiliriz. Bir çalgının teline, telin herhangi bir yerine parmağımızı bastırmadan

vurduğumuzda çıkan sese armonik denir. Bu, aynı zamanda, tek telli

çalgının çıkarabileceği en kalın sestir. Buna ''çalgının temel frekansı''da denir.

Çalgının temel frekansının 264 Hz olduğunu varsayalım. Bu frekans, bir piyanonun

dördüncü oktavındaki "Do" notasının frekansıdır (Buna kısaca Do4 diyelim). Telin rasgele

seçeceğimiz yerlerine parmağımızla bastırıp, tele vurarak değişik frekansta sesler elde

edebiliriz. Bu seslerin çoğu bize anlamsız gelir. Ancak, parmağımızı telin tam ortasına

20

basarak tele vurursak, kulağımıza daha anlamlı gelen bir ses duyarız. Bu, telin ikinci

armoniğidir.

Bu ses, bir oktav yukarıdaki Do notasıdır (Do5) ve frekansı telin temel frekansının iki

katıdır; yani 528 Hz'dir. Şimdi, telin yarı uzunluğunu tekrar ikiye bölelim; telin 1/4'üne

basalım. Telin kısa tarafına vuralım. Duyacağımız ses yine Do (Do6) notasıdır, ama bu kez

frekans dört katına çıktı. Yani, bir oktav daha inceldi.

Böylece, ''oktav'' kavramı önceden tanımlandığı gibi, kendiliğinden de tanımlanmış

oldu. Bir notanın bir oktav yukarısı, onun frekansının iki katı hızlı titreşen ses anlamına

geliyor. Burada görebileceğimiz gibi, oktavlar arası çok basit matematiksel bir ilişki var.

Beynimiz bir şekilde, bu matematiksel ilişkiyi algılayabiliyor ve aralarında matematiksel bir

ilişki bulunan sesler bize uyumlu geliyor. Aslında, telin tam ortasına göz kararı basmak

zordur Bunu, çıkan sesi dinleyerek yaparsak telin tam ortasını bulabiliriz. Müzik kulağı iyi

olan biri telin tam ortasını çok hassas olarak bulabilir. Kulağımızın, gözümüze göre çok daha

duyarlı bir ölçüm aleti olduğunu söylersek pek de yanılmayız. Oktav, bir telin en basit biçimde

bölünmesiyle elde edildiğine göre, değişik notalar oluştururken kuşkusuz ona da temel

olacak. Bir oktav aralıklı iki Do sesi arasında nasıl bir sayısal ilişki varsa öteki notalar

arasında da benzer bir ilişki var. Eğer bir oktavı rasgele değil de belirli oranlarda bölecek

olursak farklı notalar elde ederiz. Değişik kültürler, tarihte oktavı değişik oranlarda bölerek

notaları elde etmişler. Batı kültüründe, bir oktav 7'ye bölünürken, başka kültürlerde farklı

oranlarda ve miktarda bölünmüş. Çin'de bir oktav 5 ' e, Arabistan ' da 17'ye, Hindistan'daysa

22'ye bölünmüş.

21

Günümüzde batı müziğinde genel olarak kullanılan sistem, oktavın 7'ye bölünmesiyle

elde edilen 7 notalı sistemdir. Notalar arasında da matematiksel bir ilişki vardır. Şimdi, bu

ilişkinin nasıl ortaya çıktığına bakalım. Oktavdan sonraki en önemli aralık ''beşli''dir. Bunun

için tel üçe bölünür ve 2/3 oranındaki uzun bölümü titreştirilir. Beşli denmesinin nedeni,

başlangıç boyundaki telle, boyu onun 2/3'ü oranındaki telin verdiği seslerin arasında beş

notanın bulunmasıdır. Bu aralık, bir tenor ile bas ya da soprano ile alto arasındaki farktır.

Bazı iki sesle söylenen şarkılarda şarkıcılar sesleri arasında bir beşli farkla söylerler.

Bir başka aralıksa, dörtlü olarak adlandırılır ve teli 3/4 oranında bölerek elde edilen

sesle orijinal ses arasındadır. Tüm bu notalarla elde edilen sesler, kulağa çok uyumlu gelir

Bu nedenle, çoğu geleneksel müzikte bu uyum gözlenebilir.

Telimizin temel frekansını 1 kabul edersek, ikinci armoniğin frekansı 2 olur (telin tam

ortasına basa rak elde ettiğimiz ses). Bu durumda yukarıda sözünü ettiğimiz bölünmeleri,

ondalık sayılar biçiminde yazabiliriz. Bu durumda: 1 (1/1), 1,33: (4/3), 1,5 (3/2) ve 2 (2/1)

sayılarını el de ederiz. Do4'ün frekansının 264 olduğunu biliyoruz. Bu frekansı 4/3'le

çarptığımızda, Fa4'ün frekans olan 352'yi; 3/2'yle çarptığımızda Sol4'ün frekansı olan 396'yı

elde ederiz. 2'yle çarptığımızda zaten bir oktav yukarıdaki Do5'in frekansın bulacağımızı

biliyoruz. Bu dört notadan oluşan nota takımının, Orpheus'un çalgısı Lir'in akordu olduğu

söylenir.

Bugün kullanılan 7 notalı sisteme göre sayısal bölünmeyi sürdürürsek, yedi notaya

karşılık gelen frekans oranları şöyle olur: Do (1), Re (1,125), Mi (1,250), Fa (1,333), Sol

(1,500), La (1,667), Si (1,875) Do4'ün frekansını 264 olarak bildiğimize göre, 264'ü bu

sayılarla çarparsak, öteki notaların frekansını elde edebiliriz. Buna göre, Re4 297, Mi4 330,

Fa4 352, Sol4 396, La4 440, Si 496, Do5 528 olmaktadır.

Görüldüğü üzere, ses ve müzik fizik ve matematikle yakından ilişkilidir. Sesin nasıl

oluştuğunu, yayıldığını; notaların nasıl oluşturulduğunu, aralarında nasıl bir ilişki olduğu çok

basit fizik ve matematik bilgisiyle anlaşılabilir.

22

Şekil 3, bazı ses sinyallerini göstermektedir. Spektrum kavramını açıklamak için bu

diyagramı kullanacağız. Sinyal spektrumları, farklı notaları veya karmaşık ses sinyallerini

oluşturan saf sinyalleri gösterir. Eğer bir siren veya ıslık gibi sabit periyodik sinyalleri alırsak,

spektrum zamana bağlı olarak sabittir ve sadece bir değeri gösterir (Şekil 6a'daki tek çizgi).

Bunun sebebi, her sesi aslında sinüs dalgası olan saf sinyallerin bileşimi olarak

düşünebilmemizdir. İleride Fransız matematikçisi Fourier'in 19. yüzyılda ses sinyallerinin

sinüs sinyalleri olarak ifade edilebileceğini gösterdiğini göreceğiz. Bu bize müzik işin içine

girdiğinde, akorddan bahsetme şansı vermektedir.

Şekil 3a: Saf sinüs sinyali (basit ve periyodik)

Şekil 3b: İki sinüs sinyalinin birleşimi

Şekil 3c: Kare dalga (karmaşık ama periyodik)

23

Şekil 3d: Rastgele sinyal (karmaşık ve periyodik değil)

Şekil 3: Ses sinyalleri ve spektrumları

Sesi bilgisayar ile işleme, sesi havadaki basınç değişimlerini bilgisayarın

anlayabileceği sayılara dönüştürmektir. Bunun için bir mikrofon ile basınçtaki değişimleri

elektrik sinyallerine, bir örnekleyici ile elektrik sinyallerini sayılara dönüştürürüz. Örnekleyici

genel bir terimdi ve ADC(Analog to Digital Converter - Analog Dijital Dönüştürücü) elektronik

anlamındaki adıdır. Bu işlemleri bilgisayarlarda ses kartları yapar. Ses kartının

noktaları(numaraları) kaydetme hızına örnekleme frekansı denir. Şekil 4, örnekleme

frekansının ses sinyali ve onun Fourier dönüşümü ile hesaplanmış spektrumunu nasıl

etkilediğini göstermektedir. Matematiksel formülü aşağıdadır:

24

Şekli 4a: İntegral Dönüşümü

Zaman ve frekans alanında sonsuz ve sürekli

Şekil 4b: Fourier Serileri.

Zaman içinde periyodik ve frekans alanında ayrık

Şekil 4c: Örneklenmiş Fonksiyonlar.

25

Zaman içinde ayrık ve frekans alanında periyodik

Şekil 4d: Ayrık Fourier Dönüşümü

Hem zaman hem frekans alanında periyodik ve ayrık

Bu, sürekli dalganın ayrık noktalar serisine dönüşümü spektrumu periyodik yapar.

Eğer sinyalde periyodik ise spektrum da ayrık(noktalar serisi) olur ve sadece sonlu sayıdaki

frekans için hesaplamak yeterlidir.

Şimdi Şekil 4d'deki durumla karşı karşıyayız. Ses sinyali ve spektrumu noktalar serisi

olarak biliniyor ve bu noktalar zaman ve frekans alanında 0 Hz'den örnekleme frekansının

yarısına kadar değişiyor.

Bütün bu şekiller sonunda orijinal ses biraz kayba uğruyor. Bilgisayar sadece önemli

zamanlardaki sesi biliyor. Bu kaydın çalınabilir ve yeterince iyi olduğundan emin olabilmek

için sesi örneklerken dikkatli olmalıyız. Yapılacak ilk iş, kaydedilecek en büyük frekansın

örnekleme frekansının yarısına küçük olmasına dikkat etmektir. Bu şart sağlanmazsa yüksek

frekanslar daha düşük frekans gibi kaydedilir ve berbat bir kayıt olur. Bu durum Şekil 5'de

gösterilmektedir:

26

Şekil 5a: Aliasing

Üstteki: Örnekleme frekansı maksimum frekansa eşittir ve örnekleyici tarafından DC

sinyal olarak görünür.

Aşağıda: fs frekans örneği değerindeki frekans bileşeni DC sinyal gibi yorumlanır.

Şekil 5b: Aliasing.

Üstte: (1/N)fs değerindeki frekans

Aşağıda: [ (N+1)/N ]fs değerindeki frekans bileşeni (1/N)fs olarak yorumlanır.

Örneklenmiş sinyali bu belirli davranışı, en iyi Shannon teoremi olarak bilinir.

Shannon, bu olayı açıklayan matematikçidir. Aynı durum genellikle arabaların tekerlerinde de

görünür.Bu tekerlerin sanki ters tarafa dönüyormuş gibi görünmelerinin sebebi, filmlerdeki

stroboskobik etkidir.Bunun anlamı örnekleme frekansının yarısından büyük frekansları

27

elemeniz gerekir. Bunu yapmazsanız, orijinal ses yanlış seslere bölünür. CD'lerin örnekleme

frekansını(44.1 KHz) ele alalım;22 KHz üzerindeki frekansların yok olması gerekir.

İstenmeye frekanslardan kurtulmak için süzgeçler kullanılır. Süzgeçler, sesin bir

kısmını ileten veya koruyan cihazlardır. Örneğin alçak geçiren süzgeçler, duyulmaya ancak

örneklemeyi bozan yüksek frekansları (yarasaların fısıltıları) geçirmez.

Şekil 6: Pratikte süzgeç ve ideal süzgeç

I: İdeal süzgeç

P: Pratikteki süzgeç

R: Ripple

B: Etkin bad genişliği

Süzgeç, sinyallerin hem zamanını hem de spektrumunu değiştiren cihazdır.200 Hz'de

alçak geçiren filtreden geçen 100 Hz'lik kare dalga, sinüz sinyali olur çünkü spektrumunun

üst kısmı yok olur. Benzer şekilde, 1000 Hz'lik bir piyano notası 1200 ya da 1500 Hz'lik

filtreden geçtiğinde, fısıltı gibi duyulur. Bir sesin en alçak frekansı, temel frekans olarak

adlandırılır. Diğerleri bileşendir ve harmonik frekanslar olarak adlandırılırlar.

28

Zaman alanında, süzgeçler, bozulma(distorsiyon) adı verilen değişikliklere neden olurlar.

Bunun temel nedeni harmonikler arasındaki zaman farklarıdır.

Bir süzgecin bir sinyal üzerindeki etkisini görebilmek için basit bir kare dalgana (şekil

10a), spektrumunun genliğine(şekil 10b), spektrumunun fazına(şekil 10c) bakalım. Bu kare

dalga, bir süzgeç gibi t=0'dan t=T anına kadar sesi geçirir.Bu darbenin spektrumu, süzgeçin

frekans tepkisini gösterir. Gördüğümüz gibi sinyal frekansı ne kadar büyükse frekans

bileşenleri arasındaki zaman farkı o kadar büyük olur ve genlik de o kadar küçük olur

Şekil 7a: Zaman sinyali. t=0 anındaki dikdörtgensel darbe

Şekil 7b: Spektrum (Genlik)

29

Şekil 7c: Spektrum (Faz)

Şekil 8, dikdörtgensel süzgecin sinüs sinyali gibi basit bir sinyal üzerindeki etkilerini

göstermektedir.

Şekil 8a: Dikdörtgensel darbe.

t=0 anındaki darbe.

Şekil 8b: Ses darbesi

30

Sesi T anında aniden kesme, sinüs dalgasının spektrumunda yeni frekansları oluşturur. Eğer

süzülmüş sinyal, fazla karışık(şekil 3c'deki kare dalga gibi) ise frekans bileşenleri, süzgecin

çıkışında bozukmuş sinyaller oluşturur.

Notalar ve saf frekanslar

Bir nota, diğerleri arasında, kendi ses seviyesi olarak tanımların ve bu ses seviyesi

notanın temel frekansı olarak düşünülebilir. Bunu bilerek, notaları frekansları, aşağıdaki

formülle hesaplanabilir:

FREKANS (hertz olarak)= REFERANS × 2( (OKTAV - 4) + ( TON - 10) / 12 )

B>REFARANS olarak 440 Hz'deki 4. oktavdan A notasını kullanırsak, diğerlerini 1'den 12'ye

kadar (C'den B'ye kadar) hesaplayabiliriz:

Nota

Oktav

1 2 3 4 5 6 7 8

C (do) 32,70 65,41 130,8 261,6 523,3 1047 2093 4186

C # (do diyez) 34,65 69,30 138,6 277,2 554,4 1109 2217 4435

D (re) 36,71 73,42 146,8 293,7 587,3 1175 2349 4699

E b (mi bemol) 38,89 77,78 155,6 311,1 622,3 1245 2489 4978

E (mi) 41,20 82,41 164,8 329,6 659,3 1319 2637 5274

F (fa) 43,65 87,31 174,6 349,2 698,5 1397 2794 5588

F # (fa diyez) 46,25 92,50 185,0 370,0 740,0 1480 2960 5920

31

G (sol) 49,00 98,00 196,0 392,0 784,0 1568 3136 6272

A b (la bemol) 51,91 103,8 207,6 415,3 830,6 1661 3322 6645

A (la) 55,00 110,0 220,0 440,0 880,0 1760 3520 7040

B b (si bemol) 58,27 116,5 233,1 466,2 932,3 1865 3729 7459

B (si) 61,74 123,5 246,9 493,9 987,8 1976 3951 7902

Notaların frekans olduğunu düşünmek, bir notanın bir aletten diğerine nasıl değiştiğini

açıklamaktan uzaklaşırız. Aynı zamanda, notanın nasıl çalındığını(pizzicato ya da legato),

hangi alette çalındığını, glissando, vibrato gibi efektleri hesaba katmalıyız. Bunun için,

notalar, zamana karşı spektrum olan sonogram yardımıyla incelenebilirler. Sonogram, zaman

karşı bütün harmonik frekansların görünmesini sağlar.

T: Zaman

A: Genlik

F: Frekans

Şekil 9: Bir sonogram

Bugünlerde, elektronik ses kayıt ve çalma cihazları, ses oluşturmak için sentezleyiciler veya

ses depolayan ve değişik ses seviyelerinde çalan örnekleyiciler gibi tamamen yapay cihazlar

kullanmaktadırlar. Örneklenmiş sandalye gıcırtısından bir çello konseri vermek mümkündür.

Bunu herkes yapabilir ve bir enstrüman çalabiliyor olmanız gerekmemektedir. Tek bir notanın

karakteristiği aşağıdaki şekilde verilmiştir:

32

1: Yükselme A. Pozitif Genlik

2:Durma T: Zaman

3: Kaybolma

Şekil 10: Bir notanın karakteristiği

Eğri, sesin zamana karşı küresel sesliliğinin evrimini gösterir.Bu tip eğrilere zarf denir

çünkü sinyal(şeklin gri parçası) tamamen paketleniyor.Yükselen kısmına yükselme denir ve

enstrümana bağlı olarak birçok değişik şekilde olabilir.İkinci kısım durma denir ve notanın

asıl kısmıdır.Perküsyon enstrümanları dışındakiler için en uzun süren kısımdır.Üçüncü kısım,

enstrümana göre şeklini ve uzunluğunu değiştirebilir.

Enstrümanlar, müzisyenlerin bu üç kısmı istedikleri gibi değiştirme şansı vermektedir.

Piyanonun tuşların farklı hızlarda basmak, notanın yükselme alanını, pedallar ise kaybolma

alanını etkiler. Her üç kısım da ses çeşitliliğini sonsuz yapan kendi spektrumuna(rengine)

sahiptir. Harmonik frekanslar, yanı seviyede değişmezler. Bas frekanslar daha uzun sürmek

isterler ve sesin rengi başlangıcında ve sonunda aynı olmaz.

Aralık

Tanıma göre, bir cihazı frekans aralığı, enstrümanın frekans aralığıyla ilintilidir. Her iki

durumda da terimler, bir enstrümanın çalabileceği frekans veya ses seviyesi aralığını

tanımlar. Bununla birlikte, enstrümanın çalabileceği en yüksek frekans, yukarıdaki dizide

verilmiş olan temel frekansa eşittir. Yani, eğer sesin bütün renklerini kaydedebilmek için

enstrümanın çalabileceği en yüksek frekanstan daha yüksek frekansları kaydedebilen bir

cihaz olmalı. Kısa bir frekans aralığı, bir alçak geçiren süzgeç olarak işlev görür ve yüksek

frekans harmonilerini kaydetmez. Bu da sesin dolgunluğunu yok eder. Pratikte, insan

33

kulağının duyabildiği frekans aralığına(20Hz - 20KHz) sahip cihazlar gerekir. Genellik 20

Khz'in üstüne çıkmalıdır çünkü cihazlar kesme frekansının altında sesi bozarlar.

Harmonikler ve Nota Bütünleri

Yukarıdaki notaların frekans dizisini analiz edersek, müzisyenler harmonik frekanslar

arasında bazı benzerlikler ve nota bütünü oluşturan notaları bulurlar.

Harmonik frekanslar, temel frekansların çeşitlerin içerir. Böylece, 32,7 Hz'deki C notası için

harmonik frekanslar aşağıdaki gibi olur:

Harmonik 1 2 3 4 5 6 7 8

Frekans 32,7 65,4 98,1 130,8 163.5 196,2 228,9 261,6

Nota C C G C E G B b C

Burada bir nota bütünün neden mükemmel (C-E-G-C) ya da yedinci (C-E-G-Bb)

olarak bilindiğini görüyoruz: Nota bütünü içindeki notaların frekansları, temel (C notasının)

frekansının harmonikleri olarak dizilmişlerdir.

34

SONUÇ

Müzik ve matematik birbirinden farklı disiplinler olarak algılansa da birbirleriyle müthiş

bir uyum ve ilişki içerisindedir. Bu ilişki, antik çağlardan günümüze dek çeşitli

matematikçilerin dikkatini çekmiş ve araştırmalarına konu olmuştur.

Projemizde, matematik ve müzik arasındaki ilişkiyi akademik seviyemiz ve birikimimiz

çerçevesinde olabildiğince detaylandırarak inceledik.

Daha geniş bir zaman diliminde, bu derin ve kapsamlı konunun proje bazında

geliştirilebilir olduğuna inanıyoruz.

35

KAYNAKLAR:

http://oc.eab.org.tr/egtconf/pdfkitap/pdf/177.pdf

http://techcenter.davidson.k12.nc.us/group2/music.htm

Aralık 2005; Michael Beer; Mathematics and Music: Relating Science to Arts?

http://www.muzikfakultesi.com/portal/image-vp175184.html

http://matematikvenota.blogcu.com/muzigin-temelindeki-matematik/1899394

http://en.wikipedia.org/wiki/Music_and_mathematics

http://www.genbilim.com/content/view/682/37/

http://www.mustafasakamuzikatolyesi.com/makale3.php

http://tr.wikipedia.org/wiki/Pisagor

http://mathforum.org/library/drmath/view/52312.html

http://library.cu.edu.tr/tezler/7653.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Diatonic_scale

http://www.beethovenlives.net/index.asp?ID=301

http://tr.wikipedia.org/wiki/K%C3%BCrelerin_m%C3%BCzi%C4%9Fi

http://www.pnas.org/content/87/3/938.full.pdf

Taylor, C., Exploring Music, Instıtute of Physics Publishing, 1994

Johnston, I., Measured Tones, Instıtute of Physics Publishing, 1994

Yrd. Doç. Dr. Ece KARŞAL

Kocaeli Üniversitesi Güzel Sanatlar Fakültesi Müzik Bölümü Başkanı

36

Music and Mathematics From Phythagoras to Fractals

Edited by John Fauvel, Raymond Flood and Robin Wilson (OXFORD University)

Music and Mathematics (Thomas M. Fiore)