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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)

_______________________________________________________________________________ Maria Clementina Santos, Helder Valente e Isabel Godinho

1

TEORIA DO CONSUMIDOR EXERCÍCIOS

Exercício 2.1 Restrição orçamental e efeitos da variação dos preços e do rendimento Suponha que um consumidor gasta a totalidade do seu rendimento mensal, no montante de 160 unidades monetárias (u.m.), na aquisição de 2 bens (X e Y) e que o preço do bem X é de 20 u. m. e o do bem Y é de 10 u.m.. O rendimento disponível deste consumidor é fixo, assim como os preços de mercado destes dois bens, no período em análise. a) Deduza a expressão analítica da restrição orçamental para este consumidor,

represente-a graficamente e explique o seu significado económico. b) Suponha que o preço de X diminui em 20%, tudo o mais se mantendo constante.

Qual é a expressão analítica da nova restrição orçamental? Como se posiciona esta restrição orçamental relativamente à inicial?

c) Considere que os preços dos bens são os iniciais e que o rendimento do consumidor aumenta em 50%. Determine a expressão analítica da nova recta orçamental e represente-a graficamente.

d) Suponha que, em relação à situação inicial, o rendimento e os preços de cada bem aumentam em 50%. Determine a expressão analítica da nova recta orçamental e compare-a com a inicial.

Resolução a) Sendo R = 160 u.m., px = 20 u.m. e py = 10 u.m. e dado que o rendimento é totalmente gasto na aquisição do bem X e/ou do bem Y, a expressão analítica da restrição orçamental é: 160 = 20 X + 10 Y, onde X e Y designam, respectivamente, a quantidade adquirida de cada um dos bens, expressa em unidades; 20 X representa a despesa no bem X e 10 Y a despesa no bem Y. Resolvendo em ordem a Y:

A expressão (1) é a equação duma recta que tem: - 16, por ordenada na origem. Exprime o número de unidades do bem Y que o consumidor pode

adquirir se gastar a totalidade do seu rendimento neste bem ou seja, é o rendimento real expresso em termos do bem Y;

- (-2), por declive (px /py = -20/10). É igual, em valor absoluto, à razão entre os preços dos dois bens e significa que, no mercado, 1 unidade do bem X vale 2 unidades do bem Y, dado que o preço do bem X é duplo do do bem Y. Assim, por cada unidade adicional de X que pretenda adquirir, o consumidor terá que desistir de 2 unidades de Y, mantendo constante a despesa total. Em termos económicos, o declive mede o custo de oportunidade1 do bem X em termos do bem Y.

Para representar graficamente a restrição orçamental (R0 no Figura 2.1-a), basta considerar dois pontos: se o consumidor gastar a totalidade do seu rendimento no bem Y, o cabaz de consumo é (X = 0; Y=16), coordenadas da ordenada na origem; se gastar a totalidade do seu rendimento no bem X, o cabaz de consumo é (X=8; Y = 0), coordenadas da abcissa na origem.

1 Trata-se de um custo de oportunidade objectivo, no sentido em que é determinado pelo mercado.

X216Y1X1020

10160YX20160Y10 −=⇔−=⇔−= )(



2

Figura 2.1-a) A restrição orçamental

Significado económico: a restrição orçamental indica todas as combinações de X e Y que o consumidor pode adquirir, sendo dado o seu rendimento e os preços de ambos os bens. Representa as combinações alternativas de ambos os bens que implicam o mesmo nível de despesa total, sendo esta igual ao rendimento disponível do consumidor. Delimita as possibilidades de consumo que estão ao alcance do poder de compra do consumidor. Nota: Em termos genéricos, a expressão analítica da restrição orçamental é: R = px X + py Y onde R designa o rendimento, X e Y as quantidades adquiridas de cada um dos bens e px e py os preços dos bens X e Y, respectivamente. Resolvendo em ordem a Y, obtém-se:

b) Se o preço do bem X diminuiu em 20%, então o seu preço (px1 ) passa a ser de 16 u.m.:

A expressão analítica da restrição orçamental é: 160 = 16 X + 10 Y, ou seja, Y = 16 -1,6 X A nova restrição orçamental (R1, na Figura 2.1-b) tem por ordenada na origem 16 e, por abcissa na origem2, 10, sendo o seu declive de (-1,6). Verifica-se uma rotação da recta orçamental para a direita em torno da ordenada na origem, uma vez que se mantém o montante máximo que o consumidor pode adquirir do bem Y, se afectasse a totalidade do seu rendimento a esse bem. No entanto, o montante máximo de X que pode adquirir, se nada gastar em Y, será agora de 10 unidades. O declive de R1 é, em

2 Este valor foi obtido dividindo R por Px.

declive. o ) (- e origem na ordenada a sendo , y

x

xy

x

y pp

pRX

pp

pRY −=

.. 16 8,0 x 20 )2,01(111

muPPPP xxxx =⇔=⇔−=



3

valor absoluto, inferior ao de R0, em resultado de o bem X se ter tornado relativamente mais barato do que o bemY3.

Figura 2.1-b) Efeito da alteração do preço do bem X na restrição orçamental

c) O rendimento do consumidor sofreu um acréscimo de 80 u.m. (0,5 x 160), passando a ser de 240 u.m.. A expressão analítica da nova restrição orçamental é : 240 = 20 X + 10 Y, ou seja, Y = 24 -2 X Relativamente à alinea a), a ordenada na origem passa para 24 unidades de Y (240/10) e a abcissa na origem para 12 unidades de X (240/20) e mantém-se o declive dado que não houve alteração no preço relativo dos bens. O rendimento real do consumidor aumentou e a recta orçamental desloca-se paralelamente para a direita (comparar R1 com R0 na Figura 2.1-c). O consumidor pode adquirir mais de X, mais de Y ou mais de ambos os bens. Se, pelo contrário, o rendimento diminuir, verificar-se-á um deslocamento paralelo da recta orçamental para a esquerda (Figura 2.1-c).

3 Repare que o bem X passou a ser relativamente mais barato, embora o seu preço se mantenha mais elevado em termos absolutos.



4

Figura 2.1-c) Efeito da alteração do rendimento na restrição orçamental

d) Neste caso, a expressão analítica da restrição orçamental é: 240 = 30 X + 15 Y , isto é: Y = 16 - 2X A equação da recta orçamental é igual à obtida na alínea a), dado que o rendimento e os preços aumentaram na mesma proporção.

Exercício 2.2 Restrição orçamental não linear A Joana pretende praticar natação num determinado clube. Existem duas modalidades de pagamento: ou paga 5 € de cada vez que utilizar a piscina ou se inscreve como sócia do clube, efectuando um pagamento inicial (a jóia) no valor de 30 € e pagando por cada ida à piscina 2 €. Para a prática da natação e para a aquisição de outros bens, a Joana dispõe de um rendimento de 80 € por mês, que gasta integralmente. a) A partir de quantas idas à natação é que vale a pena à Joana tornar-se sócia do

clube? Justifique. b) Qual é a expressão analítica da restrição orçamental? Justifique. Represente-a

graficamente.

Resolução a) Considere-se que a natação representa o bem X e que Y é o bem compósito, pelo que o seu preço é igual à unidade.

- Se a Joana não se inscrever como sócia, a despesa em X (representada por DXns ) será de: DXns = 5 X

- Se ela se inscrever no clube, a despesa em X (notada DXs ) será de: DXs = 30 + 2 X

Não vale a pena a Joana aderir ao clube, se a despesa realizada com a prática da natação for maior no caso de se tornar sócia, isto é, se: DXs > DXns , ou seja 30 + 2 X > 5 X ⇔ X<10



5

Em conclusão, se a Joana for menos do que 10 vezes por mês à natação, não lhe compensa ser sócia e, se for 10 vezes, tanto lhe faz. Logo, só para mais de 10 idas mensais à natação é que vale a pena à Joana aderir ao clube. b) A restrição orçamental será quebrada, sendo constituída por dois ramos definidos em função do intervalo de valores de X correspondentes à não adesão ou de adesão ao clube. Se não valer a pena aderir ao clube, a equação da restrição orçamental é:

80 = 5 X + Y⇔ Y = 80 – 5 X (equação de R1 da Figura 2.2) No outro caso, será:

80 = (30+2 X)+Y ⇔ Y = 50 – 2 X (equação de R2 da Figura 2.2)

Deste modo a restrição orçamental é a linha quebrada ABC da Figura 2.2, cuja expressão analítica é

⎩⎨⎧

>−=≤−=

10 para ,25010 para ,580

XXYXXY

Os dois ramos intersectam-se no ponto (X=10; Y=30).

Figura 2.2 Restrição orçamental da Joana

Exercício 2.3 Restrição orçamental no caso de racionamento

O Joaquim tem um rendimento mensal de 800 euros para gastar em gasolina e outros bens (bem compósito). O preço de cada litro de gasolina é de 0,80 € e o dos outros bens é de 1€. Suponha que o governo institui o racionamento de gasolina. De acordo com o esquema de racionamento, é atribuido a cada consumidor um cupão mensal intransmissível de 50 litros de gasolina. a) Qual o efeito desta medida sobre o conjunto das possibilidades económicas de

consumo? b) Admita agora que, recorrendo ao mercado negro, o Joaquim pode adquirir mais

do que 50 litros de gasolina por mês, embora ao preço de 2 € por litro. Mostre qual o efeito da existência de mercado negro.



6

Resolução a) Se não houver racionamento, a restrição orçamental é dada por :

800 = 0,80 X + Y ⇔ Y = 800 – 0,80 X , equação de R0 da Figura 2.3-a) .

O montante máximo de litros de gasolina que pode adquirir mensalmente, se nada consumir de outros

bens, é de 1000 litros (abcissa na origem); se não consumir gasolina, o Joaquim gasta os 800 € no bem

compósito (ordenada na origem).

Com o racionamente, para montantes inferiores a 50 litros de gasolina, o Joaquim pode consumir

ambos os bens e substituir um pelo outro à taxa de 0,8 € de outros bens por cada litro de gasolina, pelo

que, neste intervalo, a sua restrição orçamental coincide com R0. No entanto, a partir de 50 litros de

gasolina ele não poderá situar-se ao longo da recta orçamental R0, dado que representa consumos de

gasolina que não pode legalmente realizar. O cabaz de bens economicamente acessíveis ao consumidor

é definido pela àrea OABC (Figura 2.3-a), sendo que qualquer ponto situado no segmento AB esgota o

rendimento do consumidor.

Figura 2.3 a) - Conjunto de possibilidades económicas de consumo

se existir racionamento de gasolina

b) Para adquirir mais do que 50 litros de gasolina por mês, o Joaquim vai ter que pagar cada litro a 2 €.

Mas, na aquisição dos 50 litros a que tem direito já gastou 40 €, ficando-lhe 760 € para gastar nos

outros bens e na aquisição de gasolina no mercado negro. Se aplicasse esses 760 € apenas em gasolina

podia adquirir 380 litros no mercado negro. Como já adquiriu legalmente 50 litros de gasolina, o

Joaquim pode, dado o seu rendimento, adquirir no máximo 430 litros (50 + 380), valor da abcissa na

origem da restrição orçamental (R1), no caso de existir mercado negro. Por sua vez o declive desta recta

orçamental é, em valor absoluto, igual a 2 (nova razão de preços). A restrição orçamental tem dois

ramos - até ao ponto B, coincide com R0 e, a partir do ponto B, coincide com R14 - sendo definida pela

linha quebrada ABC da Figura 2.3-b). Em termos analíticos:

4 Este ramo da restrição orçamental é dado pela equação da recta que passa pelos pontos de coordenadas (x=50; y=760) e (x=430; y=0)



7

⎩⎨⎧

≤<−=≤≤−=

43050,2860500,8,0800

XparaXYXparaXY

Figura 2.3-b) Restrição orçamental se existir mercado negro.

Exercício 2.4 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – caso

discreto A Carolina ocupa parte do seu tempo livre a ir ao cinema e ao teatro. As suas preferências em relação a estas duas actividades estão descritas no quadro 2.4, no qual U1, U2 e U3 representam os níveis de satisfação e X e Y designam, respectivamente, o número de idas ao cinema e ao teatro por mês. a) Represente graficamente as três curvas de indiferença, explicando o seu

significado. b) Considere a curva de indiferença U1. b.1) Calcule a Taxa Marginal de Substituição (TMS) entre os pontos A (X=1, Y=12) e

B (X=2, Y=8). Interprete o seu significado económico. b.2) Analise o comportamento da TMS à medida que a Carolina substitui Y por X e

interprete o seu significado. Quadro 2.4 Preferências da Carolina

U1 U2 U3 X Y X Y X Y 1 12 3 14 5 16 2 8 4 10 6 12 3 5 5 7 7 9 4 3 6 5 8 7 5 2 7 4 9 6 6 1,5 8 3 10 5



8

Resolução a) Uma curva de indiferença mostra as várias combinações alternativas de idas ao cinema e ao teatro por mês, que proporcionam à Carolina idêntico nível de satisfação. Deste modo, para a Carolina é indiferente ir 1 vez ao cinema e 12 ao teatro (ponto A da curva de índice U1 da Figura 2.4) ou 2 vezes ao cinema e 8 ao teatro (ponto B da mesma curva), por exemplo. Comparando as combinações alternativas da curva de índice U2 com as da curva de índice U1, constata-se que ou contêm mais de ambos os bens ou, pelo menos, mais de um dos bens (na Figura 2.4, comparar os pontos B e H e os pontos C e J). Deste modo, a curva de indiferença de índice U2 situa-se à direita da de índice U1, pelo que as combinações alternativas de idas ao cinema e ao teatro que nela se situam representam um nível de bem-estar mais elevado do que o proporcionado pelas que se localizam na curva de índice U1. O mesmo se passa com os pontos ao longo da curva de índice U3 relativamente aos que estão nas curvas de índice U2 e U1. Em suma, quanto mais afastadas da origem e mais à direita se situa uma curva de indiferença, maior é o nível de satisfação que lhe está associado5.

Figura 2.4 Curvas de indiferença da Carolina

b.1) A taxa marginal de substituição mede, ao longo de uma curva de indiferença, a relação de troca subjectiva entre os dois bens: indica quanto o consumidor está disposto, segundo as suas preferências, a deixar de consumir de um bem para aumentar o consumo do outro, mantendo constante o seu nível de satisfação. Como as curvas de indiferença têm declive negativo, a taxa marginal de substituição é negativa. Adopta-se, contudo, a convenção usual de a determinar em valor absoluto – calculando-a em módulo ou afectando-a do sinal menos – o que requer que, na interpretação do seu valor, se tenha em conta esta convenção.

5 Tal como resulta da hipótese de não saciedade da Teoria do Consumidor.



9

Pode-se calcular a taxa marginal de substituição para examinar movimentos descendentes ao longo de uma curva de indiferença, caso em que o consumidor substitui o bem Y pelo bem X (taxa marginal de substituição de Y por X6) ou movimentos ascendentes ao longo de uma curva de indiferença, quando substitui X por Y (taxa marginal de substituição de X por Y7). Os valores obtidos para uma são o inverso dos da outra. Neste caso, pretende-se calcular a taxa marginal de substituição de teatro (Y) por cinema (X).

:que se- tem, Como , 4 TMS1-2

12-8TMSxxyy

TMS BAY,X

BAY,X

12

12XY =⇔=

−−

= →→

Ao passar do ponto A para B, a Carolina está disposta a desistir de 4 idas ao teatro para ir mais uma vez ao cinema por mês, mantendo-se o seu nível de satisfação. b.2)

Pode concluir-se que a taxa marginal de substituição de Y por X (TMSY,X) é, em valor absoluto, decrescente. Significa que, à medida que substitui Y por X, a Carolina está cada vez menos disposta a renunciar ao consumo de Y (bem que se vai tornando relativamente mais escasso) para aumentar o consumo de X, mantendo constante o seu nível de satisfação. É este comportamento da TMS que explica a convexidade das curvas de indiferença. Exercício 2.5 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – caso

contínuo - e não unicidade da função índice de utilidade Suponha que as preferências da família Gonçalves relativamente ao consumo de peixe

(bem X) e de carne (bem Y) podem ser descritas pela seguinte função: U=2X0,5 Y0,5, onde

U designa o nível de utilidade e X e Y são, respectivamente, as quantidades de peixe e de

carne consumidas mensalmente, expressas em quilogramas.

1-a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função

de utilidade ordinal.

b) Represente graficamente as curvas de indiferença de índices de utilidade 10 e 20.

2- Considere a curva de indiferença de índice 10.

a) Determine, analítica e geometricamente, a taxa marginal de substituição associada

a uma deslocação do ponto A (X=2; Y=12,5) para o ponto B (X=5; Y=5). Explique

o seu significado económico.

b) Determine, analítica e geometricamente, o valor da taxa marginal de substituição

6 “Marginal rate of substitution of X for Y”, em inglês. 7 “Marginal rate of substitution of Y for X”, em inglês.

5,05625,1 ,1

4532 ,2

3453 ,3

2385

,,,, =−−

==−−

==−−

==−−

= →→→→ FEXY

EDXY

DCXY

CBXY TMSTMSTMSTMS



10

no ponto B.

c) Analise o comportamento da taxa marginal de substituição de Y por X à medida que

X aumenta (TMSY,X). Explique o significado económico desse comportamento e

relacione-o com a curvatura da curva de indiferença.

3- Admita agora que as preferências desta família em relação a estes dois bens são antes

descritas pela função: V= XY, onde V designa o índice de utilidade e X e Y as

quantidades consumidas mensalmente de cada um dos bens, expressas em

quilogramas.

a) Será que houve alteração das preferências desta família em relação a estes bens?

Justifique a sua resposta.

b) Compare as expressões analíticas das utilidades marginais de cada bem (UMgX e

UMgY) fornecidas pelas funções U e V, bem como o seu valor no ponto C

(X=20;Y=5).

c) Determine o quociente entre a UMgX e a UMgY para cada uma das funções e calcule

o seu valor no ponto C. Que conclui?

Resolução 1-a) Uma curva de indiferença é, por definição, o lugar geométrico das combinações alternativas de

bens que proporcionam ao consumidor o mesmo nível de satisfação, pelo que, ao longo de uma curva

de indiferença, o valor do indíce de utilidade se mantém constante. Seja u uma constante positiva

qualquer. A curva de indiferença de índice u tem por expressão analítica:

( ) . índice de aindiferenç de curvas da analítica expressão a é (1) Y

:quadrado ao equação desta membros os ambos Elevando

2

,0,5

,,,

u X4

u Y=X2u

X2u YuYX2

2

50

2

505,05050

⇔⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

=⇔=

1-b) Para proceder à representação gráfica, há que previamente estudar as características da curva de

indiferença:

horizontal assimptota é 0lim e verticalassimptota é 00lim

02

d e 04

0

3

2

2

2

2

2

, X== Y , Y==Y

Xu

dXY

Xu

dXdY

XX∞+

>=<−=

+→+∞→

Conclui-se que as curvas de indiferença associadas a esta função se caracterizam por serem

continuamente decrescentes (1ª derivada negativa) e convexas em relação à origem (2ª derivada

positiva), tendo por assímptotas os próprios eixos coordenadas e, por isso, nunca os interceptando. Em



11

termos geométricos, a curva de indiferença é o ramo de uma hipérbole equilátera definido no 1º

quadrante (X≥0 e Y≥0)

Substituindo em (1) u pelos valores pretendidos e calculando as coordenadas de alguns dos seus pontos,

pode-se efectuar o esboço das curvas de indiferença de índice 10 e 20 - Figura 2.5-a):

100 (3) 420 20

;25 (2) 410 10

2

2

X

Y= X

Y=u =

X

Y= X

Y=u=

⇔⇒

⇔⇒

Fig. 2.5-a) Curvas de indiferença da família Gonçalves

2- a)8

52TMS25

5125TMSXYTMS BA

XYBA

XYBA

XY , , ,,, =⇔−

−−=⇔

∆∆

−= →→→

Geometricamente, a taxa marginal de substituição é dada pelo declive do segmento de recta que une os

pontos A e B - Figura 2.5-b):

2,5TMS BAXY, =⇔=⇔=⇔= →→→→

35,7TMS

BDADTMStgTMS BA

Y,XBA

Y,XBA

X,Y α

Significa que, quan-do a

família Gonçal-ves

consome 12,5 Kg de

carne e 2 Kg de peixe

por mês, para aumentar

o seu com-sumo de

peixe para 5 Kg por

mês, ela está disposta

por cada quilograma

adicional de peixe a

renunciar, em média, ao

com-sumo de 2,5 Kg de

carne por mês, man-

tendo constante o seu

nível de satisfação.

Fig. 2.5-b) Determinação geométrica da TMSY, X (no arco AB e no ponto B)

8 Ver exercício 2.4, resolução da alínea b.1, para a definição e convenção adoptada no cálculo da TMS.

u=10 u=20 X Y X Y 1 25 4 25 2 12,5 5 20 5 5 10 10

10 2,5 20 5 25 1 25 4

0

2 , 5

5

7 , 5

10

12 , 5

15

17 , 5

2 0

2 2 , 5

2 5

2 7 , 5

0 2 , 5 5 7 , 5 10 12 , 5 15 17 , 5 2 0 2 2 ,

5

2 5 2 7 ,

5

Pei xe (Kg/ mês)

u=10

u=20



12

2-b) Pretende-se agora calcular o valor da taxa marginal de substituição num ponto da curva de

indiferença (ponto B), estando-se a considerar variações infinitesimais nas quantidades consumidas na

vizinhança desse ponto.

:menteGeometrica

. lim :enteAnalíticam

βtgTMS

dXdYTMS

∆X∆Y TMS

BY,X

BY,X0∆X

BY,X

=

=⇔= →

Usando a expressão analítica - equação (2) - da curva de indiferença de índice 10 tem-se que:

1TMS525TMS5,Y=5X=BpontoNo

X25TMS

X25TMS

dXdYTMS

BX,Y2

BX,Y

2X,Y2X,YX,Y

=⇔=

=⇔−=⇔=

que pelo ),(

(4)

Geometricamente, a taxa marginal de substituição é igual ao valor absoluto do declive da tangente a

esse ponto da curva de indiferença, medindo, em valor absoluto, o declive da curva de indiferença

nesse ponto - Figura 2.5-b).

1TMSDB

DG

OF

OETMStgTMS BX,Y____

___

____

___B

X,YB

X,Y =⇔==⇔= β

Examinando a expressão (4) da 2X

25XYTMS =, pode-se constatar que, em valor absoluto, a taxa

marginal de substituição de Y por X decresce à medida que X aumenta, dado que o numerador é

constante. Alternativamente, pode-se chegar a esta mesma conclusão, através do sinal da 1ª derivada da

TMSY,X em ordem a X:

( ) 03X50'X,YTMS:XX25TMS 2

X,Y <−−== − a ordem em Derivando

Geometricamente, o

decrescimento da TMSY,X

pode observar-se através

da marcação de sucessivas

tangentes a pontos desta

curva de indiferença -

Figura 2.5-c): os ângulos

formados vão sendo cada

vez mais pequenos, pelo

que o valor absoluto da

sua tangente trignométrica

vai sendo cada vez mais

pequeno:

εδβλ tgtgtgtg >>> .

Figura 2.5-c) Comportamento da TMSY,X ao longo da curva de indiferença(“lei da taxa marginal de substituição decrescente”)



13

É este comportamento da taxa marginal de substituição de Y por X, também conhecido por lei da taxa

marginal de substituição decrescente, que explica que a curva de indiferença seja (estritamente)

convexa em relação à origem dos eixos coordenados. Em termos económicos, evidencia uma relutância

cada vez maior, por parte do consumidor, para continuar a substituir o bem Y pelo bem X e manter o

mesmo nível de substituição.

3-a) Comparando as funções U e V pode verificar-se que:

2UYXYX2U 50505050 =⇔= ,,,,

Elevando ambos os membros ao quadrado:

02U

dUdV

4U2

dUdV UV

4UVXYV

4UXY

2UXY

222

>=⇔=

===⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

: a ordem em Derivando

:que se- temdosubstituin Como ,

Deste modo, V(X,Y) é uma função estritamente crescente de U(X,Y), pelo que a função V é consistente

com a ordenação das preferências do consumidor descritas pela função U, ou seja, descreve as mesmas

preferências desta família em relação a estes dois bens, apenas atribuindo um número de ordem

diferente (índice de utilidade) às combinações alternativas destes bens9.

Exemplificando:

Sejam as combinações de bens A (X=2, Y=12,5), B (X=5, Y=5) e C (X=20, Y=5). Calculando o valor

dos índices de utilidade para cada uma das funções:

Pontos U= 2 X0,5 Y0,5 V=XY

A (X=2, Y=12,5) U= 2 (2 . 12,5)0,5 ⇔ U1=10 V=2 . 12,5 ⇔ V1=25 B (X=5,Y=5) U= 2 (5 . 5)0,5 ⇔ U1=10 V=5 . 5 ⇔ V1=25 C (X=20, Y=5) U= 2 (20 . 5)0,5 ⇔ U2=20 V=20 . 5 ⇔ V2=100

Tem-se assim que, quer usando a função U quer usando a função V, o consumidor é indiferente entre as

combinação A e B (situam-se na mesma curva de indiferença) e considera que C é preferível a B e a A

(situa-se numa curva de indiferença à direita daquela em que se encontram estas duas últimas, pelo que:

U2 > U1 e V2 >V1).

9 Isto acontece porque a função índice de utilidade (abordagem ordinal da teoria do consumidor) não é única, ao contrário do que ocorre com a função de utilidade cardinal. Na abordagem ordinal, a função utilidade descreve a ordenação das preferências do consumidor, enquanto que, na abordagem cardinal, se quantifica a satisfação retirada do consumo de cada cabaz de bens.



14

Em suma, a ordenação das pre-

ferências do consumidor mantém-se,

apenas mudando o número de ordem

atribuído a cada combinação por cada

uma das funções - Figura 2.5-d). As

curvas de indiferença associadas a

cada uma das funções índice de

utilidade são idênticas, embora os

valores dos índices de utilidade

difiram, sendo que v=u2/4. Tomar uma

transformação crescente da função

utilidade, equivale a renumerar, em

conformidade, as curvas de

indiferença.

Figura 2.5-d) Curvas de indiferença da família Gonçalves,

segundo as funções U(X,Y) e V(X,Y)

3-b) Utilizando a função U=2X0,5Y0,5

2UMg520UMg50UMgUMg5, Y20X

YXUMgYXUMg

YUUMg

XYUMgYXUMg

XUUMg

CY

CY

CX

CX

Y5050

YY

X5050

XX

=⇔==⇔===

=⇔=⇔∂∂

=

=⇔=⇔∂∂

=

−

−

e 205 :)( C ponto No

,

,,

,,

Utilizando a função V=XY

5UMg20UMg

XUMgYVUMgYUMg

XVUMg

CY

CX

YYXX

==

=⇔∂∂

==⇔∂∂

=

e :C ponto No

e

3-c) Ao calcular o quociente da utilidade marginal de X e de Y, obtém-se a mesma expressão analítica

e o mesmo valor para este quociente no ponto C.

Função U Função V Expressão Analítica Valor no ponto C Expressão Analítica Valor no ponto C UMgX X -0,5Y 0,5 0,5 Y 5 UMgY X 0,5Y -0,5 2 X 20 UMgX /UMgY Y/X 0,25 Y/X 0,25 Este quociente é, por sua vez, igual à TMSY,X , o que confirma que as funções U(X,Y) e V(X,Y)

descrevem as mesmas preferências. Tem-se, assim, uma forma alternativa de calcular a TMSY,X . Com

efeito, considere-se a função U=U(X,Y) e proceda-se à sua diferenciação total:

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

17,5

20

22,5

25

27,5

0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5

Peixe (Kg/mês)

u=20; v=100

u=10; v=25



15

De notar que a expressão (5) exprime o facto de, para manter constante o seu nível de satisfação, a

diminuição de utilidade associada à redução do consumo de Y ter que ser igual ao aumento de utilidade

resultante do acréscimo do consumo de X.

Em suma, enquanto que a grandeza das utilidades marginais de X e de Y depende da função índice de

utilidade escolhida para descrever as preferências do consumidor – como resulta dos cálculos

realizados na alínea anterior – o mesmo não ocorre com a do quociente das utilidades marginais, o qual

é independente da forma particular de função índice de utilidade que se utiliza, desde que uma se possa

obter da outra através de uma transformação estritamente crescente.

Exercício 2.6 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – preferências (estritamente) convexas Suponha que a ordenação das preferências da Mariana em relação à prática de natação

e de ginástica é descrita pela função utilidade U= xy, sendo que x≥0 e y≥0. Nesta

função, x e y designam, respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica

que pratica por mês e U representa o nível de satisfação.

a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função

utilidade.

b) Represente graficamente as curvas de indiferença associadas aos índices de

utilidade 75, 150 e 225.

c) Considere a curva de indiferença de índice 75.

c.1) Calcule o valor da taxa marginal de substituição associada a uma deslocação

do ponto A (x=5,y=15) para o ponto B (x=10,y=7,5) e explique o seu

significado económico.

c.2) Determine valor da taxa marginal de substituição de ginástica por natação nos

pontos A, B e C (x=15, y=3).

c.3) Analise o comportamento da taxa marginal de substituição de Y por X à

medida que aumenta o consumo de X. Explique o significado económico desse

comportamento e relacione-o com a curvatura da curva de indiferença.

(5)

que pelo altera, se não satisfação de nível o aindiferenç de curva uma de longo ao definição,Por

e que sendo ,

Y

XXY

Y

X

XYYX

YX

UMgUMg

TMSUMgUMg

dXdY

dXUMgdYUMgdYUMgdXUMg0

0dU

UMgYU UMg

XUdY

YUdX

XUdU

=⇔=−⇔

⇔=−⇔+=

=

=∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

=

,

:



16

Resolução

a) As curvas de indiferença são definidas no espaço de bens (X,Y), sendo a sua expressão analítica do

tipo y=f(x) ou x=g(y). Para qualquer nível de utilidade u, onde u é uma constante positiva, a curva de

indiferença que lhe está associada tem por expressão:

(1) 1y=uxxu yuxy −⇔=⇔=

b) Estas curvas de indiferença são continuamente decrescentes e convexas em relação à origem dos

eixos coordenados, uma vez que a 1ª derivada é positiva e a 2ª derivada negativa:

0ux2dx

y

0uxdxdy

32

2

>=

<−=

−

−

2d :derivada 2ª

; :derivada 1ª

Por outro lado, como 1uxy −= ,

horizontal assimptota é lim e verticalassimptota é lim 0 , x== y 0 , y=0=y0xx

∞++→+∞→

pelo que as curvas de indiferença admitem como assímptotas os próprios eixos coordenados e,

consequentemente, nunca os intersectam.

Para u = 75, tem-se, por substituição em (1), que a expressão desta curva de indiferença é igual a

y=75/x, ou seja, é o ramo de uma hipérbole equilátera definido no 1º quadrante (x≥0 e y≥0).

Analogamente, as curvas de indiferença de índices 150 e 225 têm por expressão analítica y=150/x e

y=225/x, respectivamente. Para proceder à representação gráfica destas curvas de indiferença − Figura

2.6-a) − seleccionam-se alguns valores, tais como:

u=75 u=150 u=225 x y x y x y

2,5 30 5 30 7,5 30 5 15 7,5 20 10 22,5

7,5 10 10 15 15 15 10 7,5 15 10 20 11,25 15 5 20 7,5 22,5 10 20 3,75 25 6 25 9 30 2,5 30 5 30 7,5

Figura 2.6-a) Curvas de indiferença da Mariana

c.1) A taxa marginal de substituição mede, ao longo de uma curva de indiferença, a taxa a que o

consumidor está disposto, segundo as suas preferências, a substituir o bem Y pelo bem X; indica a

quantidade que está disposto a desistir de Y para aumentar o consumo de X de uma unidade adicional,

mantendo constante o seu nível de satisfação.



17

5,1TMS5

5,7TMS510155,7 TMS

XYTMS BA

Y,XBA

Y,XBA

Y,XX,Y =⇔−

=⇔−−

=⇔= →→→ ∆∆

Significa que, neste intervalo, para

praticar mais 1 hora de natação por mês

a Mariana está disposta, em média, a

deixar de praticar 1 hora e meia de

ginástica, mantendo constante o seu

nível de satisfação.

Geometricamente, a taxa marginal de

substituição no arco AB é dada pelo

declive do segmento de recta que une os

pontos A e B, como se pode ver na

figura 2.6- b), ou seja:

5,1TMS55,7TMS

BDADTMStgTMS

BAY,X

BAY,X

BAY,X

BAX,Y

=⇔=⇔

⇔=⇔=

→→

→→

α

Figura 2.6- b) Representação geométrica da taxa de

marginal de substituição

c.2) Neste caso, pretende-se calcular o valor da taxa marginal de substituição num ponto da curva de

indiferença, a qual mede o valor do declive da curva de indiferença nesse ponto. Geometricamente é

dada pelo valor absoluto do declive da recta tangente ao ponto considerado. Com efeito:

Analiticamente: dXdYTMS

∆X∆Y limTMS B

Y,X0∆XBY,X =⇔= →

Geometricamente: βtgTMS BY,X =

Sendo y=75/x a expressão analítica desta curva de indiferença, a expressão analítica da TMSy,x que lhe

está associada é:

)3(3,0TMS1575= TMS15x

75,0TMS1075= TMS10x

3TMS575= TMS5x

x75TMS

x75TMS

dxdyTMS

Cx,y2

Cx,y

BY,X2

BY,X

Ax,y2

Ax,y

2x,y2x,yx,y

=⇔=

=⇔=

=⇔=

=⇔−⇔−=

se-obtem (2) em dosubstituin , C, ponto no

se-obtem (2) em dosubstituin , B, ponto no

se-obtem (2) em dosubstituin , A, ponto no Como,

. (2)

c.3) Examinando a expressão (2), pode concluir-se que à medida que aumenta o consumo de X, em

valor absoluto, a TMSy,x decresce10, como aliás decorre dos cálculos realizados na alínea anterior.

É este decrescimento da taxa marginal de substituição que explica que a curva de indiferença seja

estritamente convexa em relação à origem, uma vez que, em valor absoluto, o declive vai sendo cada

10 A idêntica conclusão se chega, derivando a expressão da TMSy,x em ordem a X , uma vez que esta derivada é negativa.



18

vez menor. Este comportamento exprime o facto de a Mariana estar cada vez menos disposta a reduzir

o número de horas que dedica à prática da ginástica para aumentar o tempo que afecta à natação, à

medida que vai aumentando o número de horas de prática de natação por mês, mantendo constante o

seu nível de satisfação.

Exercício 2.7 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – preferências côncavas Admita que as preferências da Marta em relação à prática de natação e de ginástica

são descritas pela função S=2X2+Y2, com X≥0 e Y≥0 , onde X e Y designam,

respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e S

representa o índice de utilidade.

a) Represente graficamente as curvas de indiferença de índices 600, 900 e 1800.

b) Considere a curva de indiferença de índice 600. Calcule a taxa marginal de

substituição de Y por X, para X=5, X=10 e X=15.

c) Examine o comportamento da TMSY,X à medida que X aumenta e relacione-o com

curvatura da curva de indiferença.

d) Compare as preferências da Marta com as da Mariana (ver exercício 2.6) em

relação à prática destas duas modalidades desportivas.

Resolução a) Para proceder à representação gráfica, há que previamente examinar as características das curvas de

indiferença associadas a esta função. Seja s uma constante positiva qualquer :

0)X2(sX4)X2(s2dX

Yd:

0)X2X(s2dXdY :

X2s-) Y=+1 ( X2s Ys YX2

5,1225,022

2

5,02

22222

<−−−−=

<−−=

⇔−=⇔=+

−−

−

derivada2ª

derivada1ª

As curvas de indiferença são continuamente decrescentes e côncavas em relação à origem. Intersectam

o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas, respectivamente, nos pontos de coordenadas:

)sY;0X()0Y;2sX( ==== e



19

Substituindo em (1) os valores do índice de utilidade (600, 900 e 1800) obtêm-se as expressões

analíticas das curvas de indiferença representadas na figura 2.7, usadas para calcular as coordenadas de

alguns dos seus pontos.

Figura 2.7: Curvas de indiferença da Marta

b) Utilizando a função utilidade:

(2)

e

YX2TMS

Y2X4TMS

UMgUMg

TMS

Y2YSUMgX4UMg

XSUMg

Y,XY,XY

XX,Y

YXX

=⇔=⇔=

=∂∂

==⇔∂∂

=

Para calcular o valor da taxa marginal de substituição é preciso conhecer os valores de Y. Considerando

a expressão da curva de indiferença de índice 600 – obtida via substituição de s por 600 em

(1): 2X2600Y −= – tem-se que, para X=5, X=10 e X=15, os valores correspondentes de Y são:

150Y:15X ; 20 Y=10 . 2-600 Y= :10 X=; 45,23 Y5 . 2-600 Y=:5X= 22 ==⇔≅⇔

Substituindo estes valores de X e de Y na expressão (2) da TMSY,X:

45,2TMS:)25,12, Y15(X

1TMS)20, Y=10 (X=

43,0TMS)45,23, Y5(X=

Y,X

Y,X

Y,X

≅≅=

=

≅≅

ponto No

: ponto No

: ponto No

c) Pode concluir-se que, à medida que X aumenta, Y vai diminuindo cada vez mais, pelo que, em valor

absoluto, a TMSY,X é crescente, o que explica a concavidade das curvas de indiferença. Significa que,



20

para aumentar o número de horas de natação, a Marta está disposta a renunciar a um cada vez maior

número de horas de ginástica, mantendo constante o seu nível de satisfação, evidenciando o facto de ela

preferir praticar apenas uma única modalidade em vez de praticar as duas simultaneamente. d) Tanto a Mariana como a Marta consideram a possibilidade de substituição de uma modalidade por

outra. No entanto, a convexidade das curvas de indiferença, representativas das preferências de

Mariana, exprime que este processo de substituição se torna cada vez mais difícil e, no limite,

impossível - em valor absoluto, a TMSY,X é decrescente – o que significa que ela prefere diversificar o

seu consumo, praticando ambas modalidades desportivas. A Marta, pelo contrário, prefere especializar-

se, praticando uma única modalidade desportiva, razão pela qual, em valor absoluto, a TMSY,X é

crescente. Exercício 2.8 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – bens substitutos perfeitos Considere que as preferências da Margarida em relação à prática de natação e de ginástica

são descritas pela função utilidade V=X+Y, com X≥0 e Y≥0, na qual X e Y designam,

respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e V


a) Calcule a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função e

represente graficamente as de índice 10, 20 e 30.

b) Calcule a taxa marginal de substituição de ginástica por natação e explique o seu

significado económico.

Resolução

a) Seja v uma constante

positiva qualquer: v=X+Y, pelo que a

expressão geral das curvas de

indiferença é: Y = v - X.

Graficamente, as curvas de

indiferença, associadas a esta função,

são representadas por linhas rectas

com declive igual a (-1) - Figura 2.8.

Substituindo os valores de v do

enunciado obtem-se a expressão de

cada uma das curvas de indiferença

pedidas :

Y=10-X ; Y=20-X e Y=30-X

Figura 2.8 Curvas de indiferença da Margarida



21

b) 1TMSdXdYTMS X,YX,Y =⇔=

A taxa marginal de substituição é constante, o que significa que, para aumentar o tempo afecto à prática

de natação em 1 hora por mês, a Margarida está disposta a desistir sempre do mesmo tempo dedicado à

prática de ginástica, mantendo constante o seu nível de satisfação. Isto significa que, para a Margarida,

estas duas modalidades desportivas são perfeitamente substituíveis. Como a taxa marginal de

substituição é igual a um, significa ainda que ela atribui exactamente o mesmo valor a uma e a outra

modalidade.

Exercício 2.9 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – bens complementares perfeitos Suponha que, em relação à prática de natação e de ginástica, as preferências da Maria são

descritas pela função : T= min {2X ,Y}. com X≥0 e Y≥0, na qual X e Y designam,

respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e T


a) Que relação existe entre estas duas modalidades desportivas para a Maria?

b) Represente graficamente as curvas de indiferença de índices 5, 10 e 15.

c) Examine o comportamento da taxa marginal de substituição de ginástica por natação.

Resolução a) Para a Maria estas duas modalidades desportivas são perfeitamente complementares. Para obter um

dado nível de satisfação ela tem que praticar simultaneamente as duas modalidades, mas numa

proporção fixa. Concretamente, o tempo dedicado à ginástica é sempre metade do que o que é afecto à

natação. As curvas de indiferença têm a forma de ângulos rectos, cujos vértices se expandem ao longo

da linha que define aquela proporção fixa : Y=0,5 X

b)

Figura 2.9: Curvas de indiferença da Maria



22

c) Considere-se, por exemplo, a curva de indiferença de índice 5, cujo vértice tem como coordenadas

(X=10, Y=5). No seu ramo horizontal, a taxa marginal de substituição de ginástica por natação é zero,

porque se aumentar a prática desta modalidade para além de 10 horas por mês, a Maria não estará

disposta a desistir da prática de nenhuma hora de ginástica, mantendo constante o seu nível de

satisfação. No seu ramo vertical, o valor da TMSY,X é igual a infinito, pois para aumentar a prática da

ginástica para mais de 5 horas por mês, ela não está disposta a reduzir a prática de natação em menos

de 10 horas por mês, mantendo-se constante o seu nível de satisfação. No vértice, a TMSY,X é

indeterminada.

Exercício 2.10 Equilíbrio do Consumidor Considere as preferências da família Gonçalves em relação ao consumo de peixe (bem

X) e de carne (bem Y) do exercício 2.5, descritas pela função: U=2x0,5y0,5

Suponha que o orçamento mensal que esta família dispõe para gastar integralmente na

aquisição destes dois bens é de 40 unidades monetárias (u.m.) e que os preços médios

de cada um deles são: Px = 4 u.m./kg e Py = 1 u.m./kg.

1-a) Determine a quantidade de cada bem que, em equilíbrio, esta família adquirirá

mensalmente.

b) Explique por que razão a combinação (x=8; y=8) não é de equilíbrio, bem como

o processo conducente ao equilíbrio. Ilustre a sua resposta graficamente.

2) Admita agora que as preferências da família Fonseca em relação a estes dois bens

são descritas pela função de utilidade ordinal: T = 2x + y, onde x designa a

quantidade de peixe, em kg/mês, e y a quantidade de carne, em kg/mês, e T é o

índice de utilidade. Esta família gasta, também, mensalmente 40 u.m. na aquisição

destes bens.

a) Calcule a TMS y,x e interprete o seu significado. Que conclui sobre a relação entre

estes dois bens para esta família?

b) Determine a situação de equilíbrio da família Fonseca e ilustre-a graficamente.

3) Examine o efeito da duplicação do preço da carne sobre a situação de equilíbrio de

cada uma destas famílias. Ilustre a sua resposta graficamente. Resolução

1-a) O problema a resolver é: yx440

yx2UMAX 5050yx

+=

=

a sujeito

,,,

O consumidor está em equilíbrio, maximizando o nível de satisfação que está ao alcance do seu poder

de compra, se não for induzido a redistribuir o seu rendimento entre a aquisição dos bens X e Y. Tal



23

ocorre quando, em valor absoluto, o declive da curva de indiferença for igual ao declive da recta de

orçamento. Isto significa que, em valor absoluto, a taxa a que o consumidor está disposto, segundo as

suas preferências, a substituir um bem pelo outro - a razão de troca subjectiva entre os dois bens

(TMSy,x) - é igual à taxa a que se podem substituir estes dois bens no mercado , ou seja, é igual à sua

razão de preços (Px /Py).

Deste modo, para haver equilíbrio é necessário que se verifiquem as seguintes condições:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

yPxPR

PP

TMS

yxU

yx

y

xxy,

5,05,02

(1)

Estas condições são, também, condições suficientes para a maximização do nível de satisfação, quando

a solução de equilíbrio é interior (em equilíbrio o consumidor adquire ambos os bens), o que é o caso

presente dado que as curvas de indiferença são estritamente convexas e não intersectam os eixos

coordenados.

xyTMS

UMgUMg

TMS x,yy

xx,y =⇔=

Substituindo os valores em (1) e resolvendo o sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=⇔=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

5x

20y

20U20.52U

x4x440

x4y

___

yx440

4xy

yx2U 5,05,0

Alternativamente: 2

2

xyxyx4

UTMSdxdy

TMS =⇔−= ,,

A solução de equilíbrio obtém-se através da resolução do sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧ =⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+==

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

20y20U

5x

20y

4yx

yy40

yx4yx2x4U

Yx2x4x16U

yx440

4x4

U

yx2U 50505050

222

2

5050

__/

_________

______

___ ,,,,,,

Em equilíbrio, a família Gonçalves consome mensalmente 5 kg de peixe e 20 kg de carne, situando-se

na curva de indiferença de índice 20.

1-b) Se esta família adquirir mensalmente 8 kg de peixe e 8 kg de carne, esgotará o rendimento que

utiliza para comprar estes dois bens, mas não alcança a máxima satisfação que está ao alcance do seu

poder de compra - ponto A da figura 2.10-a) - pelo que não estará em equilíbrio. Com efeito, nesta

combinação a TMSy,x é igual a 1 (TMSy,x = y/x), sendo inferior à razão de preços que é igual a 4. Deste

modo, para adquirir uma quantidade adicional de peixe (bem X), esta família está disposta a prescindir

de igual montante de carne (bem Y), mantendo constante o seu nível de satisfação, enquanto que no



24

mercado terá de renunciar a uma quantidade de carne que é quádrupla daquela, mantendo constante a

sua despesa total.

Consequentemente, no

mercado, o valor do bem X

em termos do bem Y é

superior ao que esta família

lhe atribui, pelo que ela pode

aumentar o seu nível de

satisfação transferindo

dinheiro da compra do bem X

para a do bem Y. Por esta via,

e mantendo constante a sua

despesa, ela vai adquirindo

combinações de bens que se

situam em curvas de

indiferença de nível mais

elevado, aumentando o seu

nível de satisfação - por ex:

ponto B, da figura 2.10-a).

Figura 2.10 - a) Equilíbrio da família Gonçalves

Este processo de redistribuição do rendimento da compra do bem Y para a compra do bem X cessa

quando ela se situar no ponto C da figura 2.10-a), onde a recta de orçamento tangencia a curva de

indiferença de índice 20. Neste ponto, a taxa a que esta família está disposta a substituir um bem pelo

outro é igual à taxa a que pode substituir um bem pelo outro no mercado, pelo que não poderá aumentar

o seu nível de satisfação através da redistribuição do seu rendimento entre a aquisição dos dois bens,

tendo alcançado a situação de equilíbrio.

2-a) Família Fonseca: T=2x+y

1UMgyTUMg2UMg

xTUMgTMS

UMgUMg

TMS yyxxxyy

xxy =⇔

∂∂

==⇔∂∂

==⇔= e pois 2,,

Significa que para aumentar o consumo de peixe em 1 kg por mês, esta família está disposta a

prescindir do consumo de 2 kg de carne, mantendo constante o seu nível de satisfação. Sendo a TMSy,x

constante, então para a família Fonseca estes dois bens são substitutos perfeitos.

2-b) Neste caso, o valor da TMSy,x é sempre inferior à razão de preços, pelo que o consumidor está em

equilíbrio quando gasta todo o seu rendimento na aquisição do bem Y (solução de canto), adquirindo 40

kg de carne por mês (y=R/Py) e nenhum quilograma de peixe (x=0), situando-se na curva de

indiferença de índice 40 - figura 2.10-b).

De facto, segundo as preferências desta

família, o bem X é duas vezes mais



25

valioso do que o bem Y (TMSy,x=2), mas

custa quatro vezes mais no mercado

(Px/Py =4). Em consequência ela desiste

de comprar o bem X, pois atribui-lhe

relativamente menos valor do que ele

custa no mercado, e gasta todo o seu

rendimento no bem Y, maximizando o

seu nível de satisfação.

Figura 2.10-b) Equilíbrio da Família Fonseca

3) Família Gonçalves:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==≅

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

5x10y

1414U

x840x2y

y2x440

2xy

yx2U 5050,

,,

O aumento do preço da carne conduz à diminuição do nível de satisfação desta família, a qual

consumirá agora 5 kg de peixe e 10 kg de carne por mês, situando-se numa curva de indiferença que se

encontra mais próxima da origem dos eixos- ponto E1 em (i) da figura 2.10-c).

Família Fonseca: Se o preço da carne duplicar, a razão de preços entre os dois bens é igual a 2,

passando o declive da recta de orçamento a ser igual ao das curvas de indiferença. Deste modo, o valor

que esta família atribui ao peixe em termos da carne é igual à taxa a que se troca um pelo outro no

mercado. Em consequência, a solução de equilíbrio não é única e é indeterminada, no sentido em que,

qualquer combinação de bens que se situe na curva de indiferença de índice 20, que coincide com a

recta de orçamento, é de equilíbrio. Esta família poderá consumir só peixe (10 kg por mês), só carne

(20 kg por mês) ou qualquer combinação de carne e peixe que lhe seja economicamente acessível – ver

(ii) da figura 2.10-c) -, alcançando um nível de satisfação inferior ao que usufruía antes do aumento do

preço da carne.



26

Figura 2.10-c) Efeito da duplicação do preço da carne sobre a situação de equilíbrio 2.11 Equilíbrio do consumidor Suponha que o rendimento afecto mensalmente à prática de natação e de ginástica

pela Marta, Mariana, Margarida e Maria, cujas preferências foram examinadas nos

exercícios 2.6 a 2.9, é de 60 unidades monetárias:

a) Determine a situação de equilíbrio para cada uma delas, admitindo que o preço de

cada hora de natação e de ginástica é igual a 2 u.m.

b) Examine o efeito sobre a situação de equilíbrio resultante de o preço de 1 hora de

natação ter aumentado para 3 u.m. Ilustre graficamente a sua resposta.

Resolução a.1) Mariana (exercício 2.6: U=XY)

;XYTMS

UMgUMg

TMSXUMgYUMg Y,XY

XX,YYX =⇔===

Em equilíbrio:

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

==

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

1515

4602260

1 :doSubstituin ,

XY

XXY

YXXY

YPXPRPPTMS

YX

Y

XXY

A Mariana praticará 15 horas de natação e de ginástica por mês, ponto que se situa na curva de

indiferença de índice 225 (U= 15 x 15), onde a recta de orçamento é tangente a essa curva – ver ponto

Eo da figura 2.11-a).

a.2) Marta (exercício 2.7 : S=2X2+Y2 e TMSy,x=2X/Y )

(i) Família Fonseca (ii) Família Gonçalves



27

Neste caso, como se viu, as preferências são côncavas, pelo que a Marta prefere praticar uma das

modalidades desportivas a qualquer combinação das duas, a solução de equilíbrio sendo uma solução

de canto. Ela praticará apenas natação (X>0, Y=0) ou só ginástica (X=0, Y>0), escolhendo aquela que,

tendo em conta os preços, lhe permita obter a máxima satisfação11. Examinemos cada um dos casos:

− Se praticar só natação, com o rendimento que possui, poderá praticar 30 horas desta

modalidade por mês (X= R/PX), alcançando a curva de indiferença de índice 1800

(S=2x302+0) - ver ponto Eo da figura 2.11-b) ;

− Se praticar apenas ginástica, poderá praticar 30 horas por mês (Y=R/PY) e atingirá a curva de

indiferença de índice 900 (S=2x02+302) - ver ponto E1 da figura 2.11-b).

Consequentemente, em equilíbrio, a Marta praticará apenas natação (30 horas por mês), pois é essa a

situação em que maximiza o seu nível de satisfação - ponto Eo da figura 2.11-b).

Note-se que, a solução interior não é de equilíbrio - ver ponto A da figura 2.11-b)-, pois implica um menor nível de satisfação:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=⇔+=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

+=

10X

20Y

600S20102S

X660

X2Y

Y2X260

1YX2

YPXPR

PP

TMS

YX2S 22

YX

Y

XXY

22 . ______

:doSubstituin ,

a.3) Margarida (exercício 2.8: V=X+Y e TMSy,x=1) Para a Margarida a TMSY,X é constante e igual à unidade. Como a razão de preços é igual a 1, então a

recta de orçamento coincide com a curva de indiferença de índice 30 (60=2X+2Y 30=X+Y). Deste

modo, a solução de equilíbrio não é única e é indeterminada: praticar só natação ou só ginástica ou

qualquer combinação das duas modalidades ao alcance do seu poder de compra proporciona-lhe o

mesmo nível de satisfação, sendo qualquer uma dessas alternativas uma solução de equilíbrio - na

figura 2.11-c), qualquer um dos pontos situados no segmento AB.

a.4) Maria (exercício 2.9: T= min {2X ,Y}) Para a Maria as duas modalidades desportivas são estritamente complementares e praticadas na

proporção fixa: Y=0,5 X

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

+=−

⇔⎩⎨⎧

+==

20X10Y

X502X260Y2X260X50Y

),(,

Consequentemente, em equilíbrio, ela praticará 20 horas de natação, gastando nessa modalidade 40

u.m., e 10 horas de ginástica, onde gasta 20 u.m., esgotando assim o seu rendimento (60 u.m.) - ver

ponto Eo da figura 2.11-d). A curva de indiferença mais elevada que alcança é a de índice 10:

T=min {2 x 10, 10} T=10

11 Note-se que poderá existir, também, uma solução de equilíbrio múltiplo, caracterizada pelo facto de qualquer uma das soluções (X=0, Y>0) e (X>0, Y=0) poder ser de equilíbrio. Isso acontecerá se a recta de orçamento intersectar a curva de indiferença de nível mais elevado nos dois pontos em que esta curva intersecta os eixos coordenados.



28

b) Para examinar o efeito do aumento do preço sobre a situação de equilíbrio tem que calcular-se a

nova situação de equilíbrio e compará-la com a calculada na alínea a).

b.1) Mariana (exercício 2.6) Em equilíbrio:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

10X

15Y

150U

X660

X51Y

Y2X36023

XY

YPXPR

PP

TMS

XYU

YX

Y

XXY ,

______

:doSubstituin ,

O aumento do preço da

natação teve por efeito que

a Marta reduzisse a prática

desta modalidade em 5

horas por mês, embora

continue a praticar o

mesmo número de horas

de ginástica, reduzindo o

seu nível de bem-estar. O

ponto de equilíbrio

deslocou-se de Eo para

E1 na figura 2.11-a).

Figura 2.11-a) Equilíbrios da Mariana

b.2) Marta (exercício 2.7) A solução é de canto:

- se só praticar natação: X=20, pois X=R/PX , e o nível de satisfação é: S= 2 x 202+0 S= 800;

- se só praticar ginástica: Y=30, pois Y=R/PY , e o nível de satisfação é: S=2 x 0+302 S=900.

Consequentemente, em equilíbrio, a Marta passará a praticar apenas ginástica (X=0, Y=30), ou seja, a

mudança do preço relativo dos bens provocou que ela alterasse totalmente o seu consumo, deixando de

praticar natação e passando a praticar só ginástica – comparar ponto E1 da Figura 2.11-b) com o ponto

Eo.



29

Figura 2.1-b) Equilíbrios da Marta

b.3) Margarida (exercício 2.8) Como a TMSY,X=1, en-quanto que a

razão de preços é igual a 1,5, em

equilíbrio, a Margarida apenas

praticará ginástica, pois é uma

modalidade relativamente mais

barata que a natação e, para ela, a

ginástica e a natação são substitutos

perfeitos e têm o mesmo valor. Ela

gastará todo o seu ren-dimento nesta

modalidade e fará ginástica 30 horas

por mês, situando-se na curva de

indiferença de índice 30.

Figura 2.11-c) Equilíbrios da Margarida

Neste caso, a alteração dos preços relativos acabou por não afectar o nível de bem-estar, mas provocou

uma alteração radical do consumo de equilíbrio. Antes daquela alteração, qualquer ponto do segmento

AB da figura 2.11-c) era um ponto de equilíbrio e, após, apenas o ponto B é de equilíbrio.

b.4) Maria (exercício 2.9)



30

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

+=−

⇔⎩⎨⎧

+==

15X57Y

X502X360Y2X360X50Y ,

),(,

O aumento do preço da

natação vai fazer com que

a Maria reduza o número

de horas que dedica a cada

modalidade, pois para ela

as duas modalidades são

estritamente complemen-

tares, diminuindo o seu

nível de bem-estar. A

solução de equilíbrio

passará a ser de 15 horas

de natação e de 7,5 horas

de ginástica e situa-se na

curva de indiferença de

índice 5 – ponto E1 da

figura 2.11-d).

Figura 2.11-d) Equilíbrios da Maria

Nota: Da resolução deste exercício pode concluir-se que a solução de equilíbrio nem sempre é única. Exercício 2.12 Curva Consumo Rendimento, Curva de Engel, Curva Consumo

Preço e Curva da Procura Considere que a ordenação das preferências de um consumidor é representada pela função índice de utilidade: U=X1X2, onde X1 e X2 representam, respectivamente, unidades dos bens X1 e X2 consumidas por período de tempo. Os preços dos dois bens são: PX1 = 10 u.m. e PX2 = 4 u.m. e o rendimento gasto integralmente pelo consumidor na sua aquisição é de 80 u.m.

a) Qual é a combinação de bens que este consumidor deverá, racionalmente, adquirir?

b) Defina curva consumo-rendimento e curva de Engel, explicitando os pressupostos subjacentes a estes conceitos? b-1) Determine as expressões analíticas daquelas curvas e comente o seu

significado económico. Represente-as graficamente. b-2) Se, para um rendimento de 60 u.m., este consumidor adquirir 2 unidades do

bem X1, estará a ser racional? c) Defina curva consumo-preço e curva da procura do bem X1, explicitando os

pressupostos subjacentes a estes conceitos? c-1) Determine as expressões analíticas daquelas curvas e represente-as



31

graficamente. c-2) Comente a configuração da curva consumo-preço.

d) Calcule as expressões analíticas das elasticidades preço directa e cruzada da procura do bem X1, bem como a sua a elasticidade rendimento. Que conclui?

Resolução a) Sendo a função utilidade de tipo Cobb-Douglas12, em equilíbrio o consumidor adquire ambos os

bens (solução interior). A combinação óptima de bens é obtida através da resolução do sistema (1), que

satisfaz as duas condições de equilíbrio do consumidor:

e que dado

, pois )(

1X2

X2X1

X

1

2XX

X

XXX

2X1X

X

X

1

2

X2X1

X

XXX

XUMgXUUMgXUMg

XUUMg

XX

TMSUMg

UMgTMS

XPXPR

P

P

XX

1PXPXR

P

PTMS

2211

2

12

12

1

21

2

1

21

2

12

1

=⇔∂∂

==⇔∂∂

=

=⇔=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

Substituindo os valores de R e dos preços em (1):

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

+=−

⇔⎩⎨⎧

+==

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

4X10X

X10X1080X524X1080X5,2X

X4X10804

10XX

1

2

1111

12

21

1

2

, .

(2)

A combinação óptima de bens é constituída por 4 unidades do bem X1 e 10 unidades do bem X2 por

período de tempo.

b)

A curva consumo-rendimento é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor quando

varia o seu rendimento nominal, tudo o mais constante. É definida sob as hipóteses de que as

preferências do consumidor e os preços dos bens permanecem constantes, apenas variando o

rendimento nominal do consumidor. A curva de Engel de um bem é derivada a partir da curva consumo-rendimento, pelo que assenta nos

mesmos pressupostos. Mostra a relação entre a quantidade consumida desse bem, no equilíbrio do

consumidor, e o rendimento nominal do consumidor, ceteris paribus.

b-1) A curva consumo-rendimento é definida no espaço (X1,X2), para R variável. A sua expressão

analítica relaciona X1 com X2 e é do tipo X2=f(X1) ou X1=g(X2). É obtida a partir da condição de

igualdade entre a taxa marginal de substituição e o preço relativo dos bens13:

12 Uma função utilidade do tipo Cobb-Douglas é igual a U=X1

αX2β, α > 0 e β > 0 (neste caso α =1 e β =1) . As curvas de

indiferença que lhe estão associadas são ramos de hipérboles (β

α

β

1

2X

uX1

= , onde u é uma constante positiva), cujas

assímptotas coincidem com os eixos coordenados. Daí que, a solução de equilíbrio seja sempre, neste caso, uma solução interior. 13 Se apenas variar o rendimento nominal do consumidor, a recta orçamental desloca-se paralelamente a si própria no espaço dos bens (X1, X2). Os sucessivos pontos de equilíbrio são dados pelos pontos de tangência entre as curvas de indiferença e a recta orçamental associada a cada nível de rendimento, satisfazendo portanto a condição de igualdade entre a taxa marginal de substituição entre os bens e a sua razão de preços.



32

121

2

X

XXX X52X

410

XX

P

PTMS

2

1

21,, =⇔=⇔=

A curva consumo-rendimento é uma recta que passa pela origem dos eixos coordenados e tem declive

positivo, o que significa que os bens X1 e X2 são bens normais, dado que o rendimento nominal do

consumidor e o consumo de cada um destes bens variam no mesmo sentido, ceteris paribus.

A curva de Engel do bem X1 tem expressão analítica do tipo X1=f(R), enquanto que a da curva de

Engel do bem X2 é do tipo X2=g(R). Para as calcular, considera-se o sistema definido pelas equações

da curva consumo-rendimento e da recta orçamental, considerando-se R variável e PX1 e PX2 constantes

(10 u.m e 4 u.m, respectivamente).

⎪⎩

⎪⎨⎧ =

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

−

=⇔

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

+==

_2X bem do Engel de Curva ,

1X bem do Engel de Curva

_

, . ,

(3)

8R

2X20R522X

20R

1X1X20R1X5241X10R2X41X10RX52X 12

Confirma-se que ambos os bens são normais, uma vez que o declive das suas curvas de Engel é positivo.

Figura 2-12 a) Curvas consumo-rendimento e de Engel b-2) Utilizando a equação da curva de Engel do bem X1, acima claculada, conclui-se que, para R=60

u.m, X1=3. Consequentemente, se o consumidor adquirir 2 unidades deste bem por período de tempo,



33

ele não estará em equilíbrio, pois não maximiza o seu nível de satisfação, não sendo o seu

comportamento racional.

c) A curva consumo-preço do bem X1 é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor

quando varia o preço do bem X1, ceteris paribus. Assume-se, portanto, que se mantêm constantes as

preferências do consumidor, o seu rendimento e o preço do outro bem.

A curva da procura individual do bem X1 é deduzida a partir da curva consumo-preço, pelo que assenta

nos mesmos pressupostos que a esta estão subjacentes. Descreve a relação entre o preço deste bem e a

quantidade procurada desse bem no equilíbrio do consumidor, ceteris paribus.

c-1) A curva consumo-preço é definida no espaço (X1,X2), para PX1 variável e a sua expressão é do tipo

X2=f(X1) ou X1=g(X2). Para a calcular considera-se o sistema (4), no qual PX1 é variável e PX2 e R são

constantes (4 u.m. e 80 u.m., respectivamente), e resolve-se de modo a encontrar a relação entre X1 e X2

que se pretende:

⎩⎨⎧

=−

⇔

⇔⎩⎨⎧

+=−

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

1

,

X bem do preço-consumo Curva

(5) (4)

10X

X4X480X4X

XX4

80

XX4

P

X4XP804

P

XX

XPXPR

P

PTMS

2

2221

1

2

1

2X

21X

X

1

2

2X1X

X

XXX

1

1

1

21

2

1

12

A curva da procura do bem X1 tem por expressão analítica do tipo: X1 = f(PX1) e obtém-se a partir da

resolução do sistema (4)14 , mas de modo a encontrar a relação entre X1 e PX1:

X bem do procura da Curva

1⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⇔=⇔+=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

11

11

1

1

1

X11X

1X1X

1X2

21X

X

1

2

P40XXP280

4XP

4XP80

4XP

X

X4XP804

PXX

A curva da procura é o ramo de uma hipérbole equilátera que tem por assímptotas os eixos

coordenados, pelo que se trata de uma curva da procura de elasticidade preço constante e igual à

unidade.

14 Note-se que a expressão da curva da procura podia ter sido obtido atrás, se se tivesse completado a resolução do sistema (4), substituindo a expressão obtida para a curva consumo preço na equação (5) desse sistema.



34

Figura 2.12b) Curva consumo-preço e curva da procura do bem X1 c-2) A curva consumo preço do bem X1 é uma recta com declive nulo (dX2 /dX1 = 0). Se se

convencionar representar graficamente o bem X1 no eixo dos abcissas (eixo dos XX) e o bem X2 no

eixo das ordenadas (eixo dos YY), obtém-se uma recta paralela ao eixo dos XX, com ordenada na

origem igual a 10. Daí decorre que o consumo do bem X2 permanece constante e igual a 10 unidades

por período de tempo, quando varia o preço do bem X1, ceteris paribus. Significa que os bens X1 e X2

são independentes no consumo.

Mas, se o consumo do bem X2 não se altera, com a variação do preço do bem X1, e uma vez que o preço

do bem X2 é por hipótese constante e igual a 4 u.m., então a despesa que o consumidor realiza com a

aquisição do bem X2 é sempre a mesma (40 u.m.). Em consequência, a despesa realizada pelo

consumidor na aquisição do bem X1 terá, também, de ser sempre a mesma (PX1 X1 = R – PX2 X2), ou

seja, de 40 u.m., qualquer que seja o preço do bem X1. Tal significa que a elasticidade preço-directa da

procura do bem X1 é constante e igual à unidade.

Em suma, quando a curva consumo preço do bem X1 tem declive nulo, a curva da procura do bem X1 é

isoelástica e de elasticidade unitária, sendo a elasticidade cruzada da procura do bem X2 em relação ao

preço do bem X1 nula15.

15 Note que se está perante um caso especial em que a função procura ordinária de cada bem depende apenas do preço do próprio bem e do rendimento do consumidor, o qual resulta de as preferências deste consumidor serem do tipo Cobb-Douglas.



35

d) Em primeiro lugar, tem que se calcular a expressão analítica da procura do bem X1 em função das

suas determinantes: X1 = f (PX1, PX2, R), que relaciona a quantidade procurada óptima de X1 com os

preços de cada bem e o rendimento nominal do consumidor.

X bem do Procura Função

-

1

P2RX

XP2R-

XPXPR

P

XPPXPR

P

XPX

XPXPR

P

P

XX

1

111

2

1

21

2

1

21

2

1

X1

1X1X1X

X

1XX1X

X

1X2

2X1X

X

X

1

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

⇔

⇔⎩⎨⎧

=⇔

⎩⎨⎧

+=⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

Confirma-se que a função procura16 do bem X1 não depende do preço do bem X2. Utilizando esta

expressão da função procura, podem-se calcular as suas elasticidades:

• Elasticidade Preço-directa da Procura (EX1, PX1)

1ER

P2

P2RE

P2R

P

P2RE

X

P

PX

EX1

1

1

1X1

1

1

1

1X1

1

1X1 PX

2X

2X

PX

X

X2X

PX1

X

1X

1PX =⇔=⇔⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−=⇔

∂∂

−= ,,,,

• Elasticidade Preço-cruzada da Procura (EX1, PX2)

0PX

0EX

P

PX

E2

2Y1

2

22Y1

X

1PX

1

X

X

1PX =

∂∂

=⇔∂

= que dado , ,,

• Elasticidade Rendimento da Procura (EX1, R)

1ER

RP2

P21E

P2R

RP21E

XR

RX

E RXX

XRX

XX

RX1

1RX 1

1

11

11

11=⇔=⇔=⇔

∂∂

= ,,,,

Conclui-se que, ceteris paribus, a elasticidade da procura do bem X1 em relação ao seu próprio preço é

constante e igual à unidade, sendo por isso constante a despesa realizada por este consumidor com a

aquisição deste bem; por outro lado, é nula a elasticidade da procura de X1 em relação ao preço do

outro bem, pelo que os bens X1 e X2 são independentes no consumo; por fim, o bem X1 é um bem

normal para o qual a quantidade procurada e o rendimento variam na mesma proporção (elasticidade

rendimento unitária).

16 Se nesta função se considerar R constante e igual a 80 u.m., obtém-se a equação da curva da procura do bem X1. Analogamente, mas para PX1 constante e igual a 4 u.m., obtém-se a equação da curva de Engel deste bem.



36

Exercício 2.13 Função Procura, Curvas Consumo-Preço e de Engel Considere que as preferências de um consumidor em relação aos bens X e Y são descritas pela função utilidade: U= X 3/4Y 1/4, onde U designa o índice de utilidade e X e Y as quantidades consumidas dos bens X e Y, expressas em unidades por período de tempo. a) Deduza, em termos gerais, as funções procura individual de cada bem. b) Apresente a expressão analítica da curva consumo preço correspondente à

possibilidade de variação do preço do bem Y. c) Suponha que os preços dos bens X e Y são iguais a 2 unidades monetárias (u.m.) e

que o consumidor despende 10 u.m. por período de tempo na aquisição destes dois bens. c.1) Represente graficamente a curva consumo preço do bem Y e, a partir dela, a

curva da procura do bem Y. Caracterize-a em termos de elasticidade preço. c.2) Determine as expressões analíticas das curvas de Engel.

Resolução a) As funções procura individual de cada um dos bens mostram a relação entre as quantidades óptimas

procuradas de cada bem e os vários níveis alternativos dos preços dos bens e do rendimento do

consumidor. São funções do tipo: X=f (PX,PY, R) e Y=g (PX,PY,R).

Para obter as suas expressões analíticas resolve-se em ordem a X e a Y o sistema com as condições de

equilíbrio do consumidor, começando por calcular a expressão da TMSY,X:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

=⇔

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

=⇔=⇔=⇔∂∂

=

⇔=⇔==⇔∂∂

=

−

−

−−

X bem do procura Função (3)

Y bem do procura Função (2)

)(

,

,//

//

,//

//

//

,,//

X

Y

Y

XX

XX

Y

XYX

Y

X

YX

Y

X

YX

Y

XXY

XY4143

4341

XY4343

YY

434341

414143

XYY

XXY

4141XX

P4R3X

P4RY

P3P4R3P

Y

P4R3XXP

34R

P3XP

PXPR

P3XP

Y

YPXPRPP

XY3

1YPXPR

PP

TMS

XY3TMS

XXYY3TMSYX

41UMg

YUUMg

YX

YXTMS

UMgUMg

TMSYX43UMg

XUUMg

Repare-se que esta função utilidade é de tipo Cobb-Douglas, pelo que se obtiveram funções procura

ordinárias de cada um dos bens que não dependem do preço do outro bem, o que significa que os bens

X e Y são independentes no consumo, sendo nula a sua elasticidade preço cruzada da procura.

b) Trata-se de determinar a equação da curva consumo preço do bem Y, lugar geométrico dos pontos

de equilíbrio do consumidor quando varia o preço do bem Y e tudo o mais permanece constante. Para

esse efeito, considera-se o sistema (1) com as condições de equilíbrio do consumidor, mas onde PX e R



37

são constantes, que surgem notadas como ____

e RPX . Resolve-se esse sistema para obter a expressão

que relaciona X e Y, eliminando-se PY entre as suas duas equações:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⇔=⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

Y bem do Preço Consumo Curva (4)

____

__

______

______

__

____

__

X

X

XX

XY

YX

Y

X

P4

R3X3

XP4R

Y3XP

YXPR

Y3XP

P

YPXPR

PP

XY3

c.1) Sendo R e PX constantes e iguais, respectivamente, a 10 u.m. e 2 u.m, obtém-se, por substituição

em (2), a equação da curva da procura do bem Y e, por substituição em (4) a equação da curva consumo

preço do bem Y:

Y bem do preço Consumo Curva , .

. que pelo , X (4) De

Y bem do Procura da Curva , que pelo , (2) De

__

__

753X4

15X24

103XP4

R3

P52Y

P410Y

P4RY

X

YYY

=⇔=⇔==

=⇔==

Para a ilustração gráfica, arbitraram-se os seguintes valores para PY : 1 u.m., 2 u.m., 3 u.m. e 4 u.m.

Figura 2.13 Curva Consumo-Preço e Curva da Procura do bem Y

A curva da procura do bem Y é o ramo de uma hipérbole equilátera, cujas assímptotas são os próprios

eixos coordenados. Caracteriza-se por ser uma curva de elasticidade preço constante e igual à unidade.

Deste modo, ceteris paribus, se o preço do bem Y variar a quantidade procurada deste bem varia na

mesma proporção, mas em sentido contrário, pelo que a despesa realizada com este bem (PY Y) é

constante. Com efeito, a partir da equação da curva da procura, pode-se verificar que: PY Y =2,5 u.m.



38

c.2) Para obter as expressões das curvas de Engel, basta substituir nas equações (2) e (3) das funções

procura calculadas na alínea a), os valores assumidos pelos preços de cada bem (2 u.m):

X. bem do Engel de Curva :que se- tem, (3) equação na 2 P dosubstituin

Y; bem do Engel de Curva :se-obtém , (2) equação na 2 P doSubstituin

X

Y

8R3X

P4R3X

8RY

P4RY

X

Y

===

===

Ambos os bens são bens normais, uma vez que as suas curvas de Engel têm declive positivo. Exercício 2.14 Curva Consumo-Rendimento e Curvas de Engel - bem prioritário

e bem de luxo (solução de canto) Suponha que as preferências de um consumidor em relação aos bens X e Y são descritas pela função U=(2X+8)(Y+4), X≥0, Y≥0, na qual U designa o índice utilidade e X e Y as quantidades de cada um dos bens, expressas em unidades por período de tempo. Os preços unitários destes bens são os seguintes: PX=200 u.m. e PY=100 u.m.

a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função utilidade e esboce algumas dessas curvas.

b) Determine a expressão analítica da curva consumo-rendimento e explicite o significado desta curva. Proceda a uma representação gráfica ilustrativa.

c) Determine as expressões analíticas das curvas de Engel dos bens X e Y e explique o significado destas curvas. Proceda a uma representação gráfica ilustrativa.

d) Classifique estes dois bens, tendo em conta a relação entre o seu consumo e o rendimento do consumidor.

e) Determine a quantidade consumida de ambos os bens em equilíbrio, quando o rendimento integralmente despendido, por período de tempo, na aquisição destes dois bens é de 4000 u.m..

Resolução a) Seja u uma constante positiva qualquer. A curva de indiferença de índice u tem por equação:

4)4(X2

u Y4X2

u4Yu4Y8X2 −+

=⇔+

=+⇔=++ (1) )(

))((

A partir do estudo de (1) pode concluir-se que: - as curvas de indiferença são continuamente decrescentes e convexas em relação à origem, uma vez que a 1ª derivada é negativa e a 2ª derivada é positiva:

0)4X(

uY0)4X(2

uY3

''2

' >+

=<+

−= e

- as curvas de indiferença intersectam os dois eixos coordenados:



39

; horizontal eixo o intersecta

índice de curva a que em ponto do scoordenada as sendo

; verticaleixo o intersecta

índice de curva a que em ponto do scoordenada as sendo

u)0Y;832uX(,4

8uX0Y

u)832uY;0X(,4

8uY0X

=−

=−=⇒=

−==−=⇒=

- as curvas de indiferença têm também assímptotas vertical (X=-4) e horizontal (Y=-4), as quais se situam fora do 1º quadrante, onde a função utilidade não tem significado económico (X≥0; Y≥0).

Figura 2.14-a Representação das curvas de indiferença de índices 48, 64,80 e 96

b) A curva consumo rendimento é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor quando varia o seu rendimento e tudo o mais permanece constante (neste caso, as suas preferências e os preços dos bens X e Y). É definida no espaço de bens (X,Y), sendo a sua expressão analítica do tipo Y=f(X) ou X=g(Y). Sendo a TMSY,X igual ao quociente das utilidades marginais de X e de Y, para a calcular haverá que começar por derivar parcialmente em ordem a X e a Y a função utilidade:

4X4YTMS

4X24Y2TMS

UMgUMg

TMS

4X2UMgYUUMg4Y2UMg

XUUMg

Y,XXYY

XXY

YYXX

++

=⇔++

=⇔=

+=⇔∂∂

=+=⇔∂∂

=

(2) )()(

)( e )(

,,

Por sua vez, a restrição orçamental do consumidor é: R=PXX+PYY ,ou seja, (3) R=200X+100Y, sendo o seu declive igual a -2. Como as curvas de indiferença intersectam os eixos coordenados, existe a possibilidade de haver solução de canto, caso em que, em equilíbrio, o consumidor adquirirá apenas um dos bens. Surgem assim três casos possíveis, estando ilustrados nas figuras 2.14-b),c),d),e),f) os casos relativos a solução de canto. Analisemos cada um destes casos.



40

1º caso: solução de canto no ponto A (X=0,Y>0), ou seja, no ponto em que a recta de orçamento intersecta o eixo horizontal. Neste caso, dada a restrição orçamental do consumidor, u1 é a curva de indiferença de nível mais elevado que o consumidor pode alcançar, gastando todo o seu rendimento no bem Y. Esta situação explica-se pelo facto de o preço do bem X ser demasiado elevado em relação ao preço do bem Y para que o consumidor o deseje consumir. No ponto A, o valor da TMSY,X será inferior (ou no máximo igual) ao da razão de preços (Figura 2.14-b) e c).

(b) (c)

Figura 2.14 Solução de canto no ponto A. Na parte (b): Y

XX,Y P

PTMS < ; na parte (c):

Y

XX,Y P

PTMS =

O ponto A é um ponto de equilíbrio se se observarem as duas condições seguintes:

⎩⎨⎧ ≤

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≤⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≤+

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

≤++

______ :0X A, ponto no Como,

400R4100R

100RY

4Y

Y100R

24

4Y

YPXPRPP

4X4Y

YX

Y

X

Em conclusão, o ponto A é um ponto de equilíbrio para níveis de rendimento inferiores ou iguais a 400 u.m. por período de tempo, caso em que o consumidor adquirirá uma quantidade do bem Y que será inferior ou igual a 4 unidades. Deste modo, para níveis de rendimento não superiores a 400 u.m.,a curva consumo rendimento coincide com o eixo horizontal até ao ponto de coordenadas (X=0,Y=4). Em termos analíticos será: (3) 400R04Y0e0X ≤≤≤≤= se 2º caso: Solução de canto no ponto B (X>0, Y=0), onde a recta orçamental intersecta o eixo horizontal. Em equilíbrio o consumidor gastará agora todo o seu rendimento no bem X , pelo que X=R/200. Este ponto é de equilíbrio se nele o valor da TMSY,X for superior (ou no máximo igual) ao da razão de preços (Figura 2.14-d),e).



41

Como, no ponto B, Y=0, então esta condição virá: 24

4≥

+X, o que é uma condição impossível pois

X>0. Em conclusão, para esta razão de preços, não existe solução de canto no ponto B, pois essa solução é impossível.

(d) (e)

Figura 2.14 Solução de canto no ponto B: na parte (d) Y

XX,Y P

PTMS > e na parte (e)

Y

XX,Y P

PTMS =

3º caso: solução interior (X>0,Y>0) Em equilíbrio, o consumidor consumirá ambos os bens. Esta solução só ocorre para níveis de rendimento superiores a 400 u.m. por período de tempo, como resulta do estudo do 1º caso.. Quando existe solução interior, no equilíbrio verifica-se a condição:

4X2Y100200

4X4Y

PP

TMSY

XX,Y +=⇔=

++

⇔=

Deste modo, para R>400, a curva consumo-rendimento tem por equação: (4) Y=2X+4. Reunindo (3) e (4), conclui-se que a expressão analítica da curva consumo-rendimento é:

(5) ⎩⎨⎧

>+=≤≤=≤≤

400R4X2Y400R00X4Y0

se se e

Em conclusão, em equilíbrio, o consumidor só consumirá ambos os bens se o seu rendimento por período de tempo for superior a 400 u.m.; para níveis de rendimento inferiores ou iguais a 400 u.m., todo o rendimento será despendido no consumo do bem Y e, naturalmente, se o seu rendimento for nulo, o consumo do bem Y também o será.



42

Figura2.14-e) Curva Consumo Rendimento

(ilustração para os casos em que R=400, R=1200, R=2000 e R=4000) c) A curva de Engel de um bem mostra a relação entre a quantidade procurada desse bem, em equilíbrio, e o rendimento do consumidor, mantendo-se constantes as suas preferências e o preço dos bens. Obtém-se a partir da curva consumo-rendimento, relacionando a quantidade procurada do bem com os níveis alternativos de rendimento do consumidor. c.1) A curva de Engel do bem Y é uma função do tipo Y=f(R). É deduzida a partir da análise do equilíbrio do consumidor, sob as hipóteses de que se mantêm as suas preferências e os preços dos bens (PX=200 e PY=100). 1º Caso: Solução de canto no ponto A (0 ≤R ≤400) Neste caso, o rendimento é integralmente gasto na aquisição do bem Y, pelo que, neste ramo, a

expressão analítica da curva de Engel do bem Y é: 100RY =

2º Caso: Solução interior (R>400)

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−⇔

⎩⎨⎧

=+−

⇔

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

−=

⇔⎩⎨⎧

+=+=

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=++

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

200400RYY200400R

Y1002

4Y200R

24YX

Y100X200R4X2Y

Y100X200R100200

4X4Y

YPXPRPP

TMS

YX

Y

XXY (6),

Note-se que, uma vez que já se tinha calculado a expressão analítica da curva consumo-rendimento, bastaria ter iniciado a resolução a partir do sistema (6).



43

Curva de Engel do bem Y: (7)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+

=

≤≤=

400R 200

400RY

400R0 100RY

para

para

Figura 2.14-f) Curva de Engel do bem Y

(ilustração para os casos em que R=400, R=1200, R=2000 e R=4000) c.2) A curva de Engel do bem X é uma função do tipo X=g (R), sendo calculada sob as hipóteses de que permanecem constantes as preferências do consumidor e os preços de ambos os bens (PX=200 e PY=100). Como o bem X só é consumido para níveis de rendimento superiores a 400 u.m. por período de tempo, isto é, quando a solução de equilíbrio é uma solução interior, para obter a curva de Engel do bem X basta considerar o sistema (6) e resolvê-lo de modo a obter a expressão pretendida, ou seja:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−⇔

⎩⎨⎧

=−−

⇔⎩⎨⎧

++=−

⇔⎩⎨⎧

+=+=

400400RXX400400R4X2100X200RY100X200R

4X2Y)(

Curva de Engel do bem X: (8) ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

=

≤≤=

400R400

400RX

400R00X

para

para



44

Figura 2.14-g) Curva de Engel do bem X

(ilustração para os casos em que R=400, R=1200, R=2000 e R=4000) d) Para calcular a elasticidade rendimento, pode-se utilizar as curvas de Engel de cada bem. Quanto ao bem X, a elasticidade rendimento só é definida para níveis de rendimento superiores a 400 u.m. por período de tempo. Tendo em conta a expressão analítica definida em (8) para esse intervalo:

400R1400R

R400RR400

4001

400400R

R400

1XR

dRdX

RXRXRXRX >>−

=⇔−

=⇔−

=⇔= se ,,,, εεεε

Quanto ao bem Y, utilizando (7):

⎪⎩

⎪⎨⎧

><+

=

≤≤=⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>+

=

≤≤=

⇔=400R

400RR

400R01

400R

200400R

R200

1

400R0100RR

1001

YR

dRdY

RY

RY

RY

RY

RY se 1

se

se

se /

,

,

,

,

, ε

ε

ε

ε

ε

Pode concluir-se que, ambos os bens são bens normais pois, quando definida, a elasticidade rendimento é positiva. No entanto, enquanto que o bem X é um bem de luxo, pois a elasticidade rendimento é superior à unidade, sendo adquirido apenas para R>400, o bem Y é um bem de primeira necessidade. De facto, o consumidor consagra a totalidade do rendimento à aquisição deste bem, para níveis baixos de rendimento (R≤400), sendo nesse caso a sua elasticidade rendimento unitária, e para níveis de rendimento mais elevados (R>400), a procura deste bem é inelástica em relação ao rendimento (elasticidade rendimento é inferior à unidade). e) Para determinar a combinação óptima destes dois bens, basta substituir nas expressões (7) e (8) atrás calculadas das curvas de Engel, R por 4.000, obtendo-se Y=22 e X=9, respectivamente. Substituindo estes dois valores na expressão da função utilidade: U=(2x9+8)(22+4) U=676



45

Em equilíbrio, este consumidor adquirirá, por período de tempo, 9 unidades do bem X e 22 unidades do bem Y, situando-se na curva de indiferença de índice 676 (Figura 2.14-h)).

Fig 2.14-h) Solução interior

Exercício 2.15 Curvas de Engel -bem normal e bem inferior (solução de canto) Suponha que as preferências da família Pereira em relação à carne de frango são definidas pela função U=(X+6) (X+Y), com X≥0 e Y≥0, onde U designa o índice de utilidade e X e Y representam a quantidade de carne de frango do campo e de aviário, respectivamente, expressas em quilogramas por mês. O preço de um quilograma de carne de frango de aviário é de € 2,50, sendo o outro tipo de carne 80% mais caro.

a) Represente graficamente uma curva de indiferença. b) Determine a quantidade consumida de cada tipo de carne em função do

rendimento que esta família afecta mensalmente ao consumo de carne de frango e represente graficamente essas funções.

c) Caracterize estes dois bens. Resolução a) A curva de indiferença correspondente a um nível de utilidade u>0, tem por equação:

X6X

uY)1(6X

uYXu)YX)(6X( −+

=⇔+

=+⇔=++

As curvas de indiferença são decrescentes e convexas em relação à origem, uma vez que:

06X

u2Y016X

uY32>

+=<−

+−=

)( e

)('''

As curvas de indiferença intersectam: - o eixo vertical no ponto (X=0,Y=u/6) -o eixo horizontal no ponto )0Y,u93X( =++−=



46

Figura 2.15-a) Curva de indiferença de índice u>0

b) Como as curvas de indiferença intersectam os eixos coordenados, três situações de equilíbrio são possíveis17. Examinemo-las. Antes porém calculemos:

6XUMgYUUMg6YX2UMg

XUUMg

6X6YX2TMS

UMgUMg

TMS

YYXX

XYY

XXY

+=⇔∂∂

=++=⇔∂∂

=

+++

=⇔=

e

(2) ,,

Restrição orçamental: (3) R=4,5X+2,5Y pois PX=(1+0,8)PY 1º Caso: Solução de canto no ponto em que a recta orçamental intersecta o eixo horizontal: (X=0, Y>0) Este ponto será a escolha óptima se nele se verificarem as duas condições seguintes:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤⇔≤

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≤⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≤+

−=⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

≤

____

12R8,45,2

R

5,2RY

8,4Y

Y5,2R

8,1 0X

YPXPRPP

TMS

YX

Y

XX,Y 6

6Y:se tem como e (2) Usando

Para níveis de rendimento inferiores ou iguais a 12 €, esta família só consome carne de frango de aviário (bem Y) 2º Caso: Solução de canto no ponto em que a recta orçamental intersecta o eixo horizontal: (X>0, Y=0) Este ponto será o ponto de equilíbrio se:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≥⇔≥

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≥⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≥++

−=⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

≥

____

108R245,4

R

5,4RX

24X

X5,4R

8,1 0Y

YPXPRPPTMS

YX

Y

XX,Y

6X62X

:se tem como e (2) Usando

Para níveis de rendimento superiores ou iguais a 108 €, só consome carne de frango do campo (bem Y).

17 Ver no exercício 2.14, as figuras 2.14-b),c),d),e).



47

3º Caso: Solução interior: (X>0,Y>0)18 Esta solução ocorre para 12<R<108 e é definida pelas seguintes condições:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=⇔−

−=⎩⎨⎧

+−=−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=⇔=⇔

⎩⎨⎧

+−+=+−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=+++

−⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

Y) bem do Engel de (Curva ,, (6)

__

,)(,

:orçamental restrição na dosubstituin e a ordem em (4) de equação 1ª a Resolvendo

X) bem do Engel de (Curva (5) ),,(,,

,,

:orçamental restrição na dosubstituin e a ordem em equação 1ª a Resolvendo

,,

,6X

6Y2X (4) :se tem(3) e (2) Usando,

45R050Y20

108RYY52X52454RY524X

X

34RX

412R-X

__

84X2052X54R84X20Y

Y

Y52X54R

81

YPXPRPPTMS

YX

Y

XXY

Reunindo os 3 casos, as expressões analíticas das curvas de Engel são:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥=

<<−=

≤≤=

108R54

RX

108R1234RX

12R00X

se ,

se

se

:X bem do Engel de Curva

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥=<<+−=

≤≤=

108R0Y108R1245R050Y

12R052

RY

se se ,,

se ,

:Y bem do Engel de Curva

18 Note-se que, quando a solução de equilíbrio é interior, os pontos em que a recta de orçamento intersecta os eixos não são pontos de equilíbrio, uma vez que não satisfazem as condições requeridas para tal. De facto, tem-se, então, que - no ponto de intersecção com o eixo horizontal (X=0,Y>0), a TMSY,X é superior à razão de preços, ou seja, R>12:

⎪⎩

⎪⎨

⎧ >⇔>⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

>⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

>+

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

>

______

,,

,

,

,

, :se-obtém doSubstituin , 12R84

52R

52RY

84Y

Y52R

816

6Y

YPXPRPP

TMS

YX

Y

XXY

- no ponto de intersecção com o eixo vertical (X>0, Y=0), a TMSY,X é inferior á razão de preços, isto é, R<108:

⎪⎩

⎪⎨

⎧ <⇔<⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

<⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

<++

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

<

______

,,

,,

, :se-obtém doSubstituin , 108R84

54R

54RX

24X

X54R

816X6X2

YPXPRPP

TMS

YX

Y

XXY

O que confirma que, quando 12<R<108, a solução é interior.



48

Figura 2.15-b) Curvas de Engel do bem X e do bem Y

NOTA: A curva consumo-rendimento (não se pede) é:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥=≥<<+=≤≤≤≤=

108 R0Y24X108R128,4X2,0-Y12R0 8,4Y00X

se e se se e

c) A carne de frango do campo (bem X) só é consumida para níveis de rendimento superiores a 12 € é um bem normal, pois a sua curva de Engel tem declive positivo, pelo que o consumo aumenta com o aumento do rendimento mensal afecto ao consumo destes dois bens19. Esta família só consome frango de aviário (bem Y), para níveis de rendimento muito baixos (R≤12) e, nesse intervalo, este bem é um bem normal. Mas depois, à medida que o rendimento aumenta, ela vai progressivamente substituindo o frango de aviário pelo frango do campo. Daí que, quando o rendimento gasto mensalmente em carne de frango está compreendido entre 12 e 108 euros, esta família diminua o consumo de frango de aviário e a curva de Engel do bem Y tenha declive negativo, ou seja, o frango de aviário passou a ser considerado um bem inferior. Finalmente, para níveis de rendimento superiores a 108 euros mensais, esta família deixa de consumir frango de aviário e passa a consumir apenas frango do campo.

19 Note-se que, no entanto, a elasticidade-rendimento da procura do bem X não é sempre a mesma. Assim, para R є [12, 108], a procura deste bem é inelástica em relação ao rendimento, enquanto que, para R>108, a elasticidade rendimento é unitária.



49

Exercício 2.16 Curva Consumo-Preço e Curva da Procura As preferências do Tiago em relação aos bens X e Y são descritas pela seguinte

função: 0,,2

≥≥+

= YOXYX

XYU , onde U designa o índice de utilidade e X e Y as

quantidades consumidas de cada um dos bens, expressas em unidades por período de tempo. Admita que este consumidor gasta integralmente na aquisição destes bens 90 unidades monetárias, por período de tempo, e que o preço do bem X é de 2 unidades monetárias, enquanto que o preço do bem Y é de 4 unidades monetárias. 1) Represente graficamente a curva de indiferença associada ao índice de utilidade

u>0. 2- a) Determine a expressão analítica da curva consumo-preço do bem Y, explicitando

o seu significado económico. b) Calcule a expressão analítica da curva da procura do bem Y. c) Utilizando a representação gráfica, ilustre como se deduz a curva da procura do

bem Y, a partir da sua curva consumo-preço. 3- a) Determine a expressão analítica da curva consumo-preço do bem X e represente-

a graficamente. b) Calcule a expressão analítica da curva da procura do bem X. c) Utilizando a representação gráfica, ilustre a dedução da curva da procura do bem

X, a partir da sua curva consumo-preço. 4) Calcule as quantidades óptimas de cada bem que o Tiago deve adquirir, bem como

o nível de satisfação proporcionado por esse consumo. Ilustre graficamente a situação de equilíbrio.

Resolução: 1) Seja u uma constante positiva qualquer. A curva de indiferença de índice u tem por expressão analítica:

uYuXuX

XuYXuuxYXYYuXuYX

XYu 2,,22)(22

>>−

=⇔=−⇔=+⇔+

=

Esta curva é continuamente decrescente e convexa em relação à origem, uma vez que a 1ª derivada é negativa e a 2ª derivada é positiva:

0uX

u4YuX

uX2u20Y

0uX

u2YuX

Xu2uXu2Y

3

2

4

2

2

2

2

>−

=⇔−

−−−=

<−

−=⇔−

−−=

)()()()(

)()()(

''''

''

Admite uma assímptota vertical em X=u e uma assímptota horizontal em Y=2u:

.horizontal assímptota é , lim e verticalassímptota é , lim

u2Yu2YuXYXuX

===+∞=+∞→+

→

Note que, como as curvas de indiferença nunca intersectam os eixos coordenados, sendo definidas apenas para valores de X>u e de Y>2u, a solução de equilíbrio é interior, ou seja, em equilíbrio, o Tiago consome sempre ambos os bens.



50

Figura 2.16-a) Curva de Indiferença de índice u

Nº de unidades do bem X por período de tempo

Nº

de u

nida

des

do b

em Y

por

per

íodo

de

tem

po

u

X=u

Y=2u

2-a) A curva consumo-preço do bem Y (CCPY) é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor quando varia o preço do bem Y e se mantêm constantes o preço do bem X (2 u.m.), o rendimento nominal disponível (R=90 u.m.) e os gostos e preferências do consumidor. É, portanto, definida no plano XY, sendo a sua expressão do tipo: Y=f(X) ou X=g(Y). Como no caso desta função utilidade a solução é interior, em equilíbrio verifica-se a dupla condição:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

YPXPRPP

TMS1

YX

Y

XXY ,)(

2

2

Y2YY

2

2

X2XX

2

2

XY2

2

22

XYY

XXY

YX2X2UMg

YX2XYYX2XUMg

YUUMg

YX2YUMg

YX2XY2YX2YUMg

XUUMg

X2YTMS

YX2X2

YX2Y

TMSUMgUMgTMS

)()()(

)(

)()(

(2)

)(

)( ,,,

+=⇔

+−+

=⇔∂∂

=

+=⇔

+−+

=⇔∂∂

=

=⇔

+

+=⇔=

Como PX=2 e R=90, substituindo estes valores em (1), bem como o valor calculado em (2), obtém-se o sistema (3), que se resolve de modo a achar a relação entre X e Y que define a curva consumo-preço do bem Y:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠−

=

−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

−⇔

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

−⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

45XX45

X2YX2X45Y

X2XYY45X4XY2Y90YX4X290

YYX4X290

YX4P

YPX290P2

X2Y

3

22

222

2

2

2

2

Y

Y

Y2

2

,)(

)(

A curva consumo-preço do bem Y é definida apenas para valores de X inferiores a 45, uma vez que, em equilíbrio, a quantidade consumida do bem X tem que ser inferior a R/PX, o que resulta da restrição orçamental e do facto de a solução ser interior (em equilíbrio, o Tiago consome sempre ambos os bens, dado não haver solução de canto). A expressão analítica desta curva é então:



51

45X0X45

X2Y42

<<−

= , )(

Para representar graficamente a curva consumo-preço do bem Y, tem-se que estudar as características desta função. Zeros: X=0 1ªDerivada:

para

pois

)()()()(

'

''

45X00Y

45X90X0X45X0X2X1800Y

X45X2X180Y

X45X21X45X4

Y

'

2

2

2

2

2

<<>

<=∨=≠∧=−⇔=

−

−=⇔

−

−−−=

2ª Derivada:

[ ]

45X0Y

X458100Y

X45X4X360XX9020254Y

X45X90X4X454X45Y

X45X90X45X4X454

YX45

X2X1801X452X45X4180Y

33

22

4

2

4

3

4

22

<>

−=⇔

−

−++−=⇔

−

−+−−=⇔

⇔−

−−+−=⇔

−

−−−−−−=

para ,

)()()(

)()()()(

)())(()(

)())()(())((

''

''''''

''''

Assímptotas:

)horizontal assímptota tem(não lim e vertical)a(assímptot , lim

+∞→−

→

∞−==∞+=

X45X

Y45XY

Acurva consumo-preço do bem Y é crescente e convexa, parte da origem dos eixos e tem uma assímptota vertical em X=45. 2-c) A curva da procura do bem Y é deduzida sob os mesmos pressupostos que a curva consumo-preço do bem Y. Mostra a relação entre a quantidade procurada do bem Y e o seu preço, no equilíbrio do consumidor, ceteris paribus. A sua expressão é do tipo Y=f(PY). Para obter a sua expressão analítica, resolve-se o sistema (3), mas agora de modo a obter a relação pretendida entre Y e PY :

Y) bem do procura da curva da analítica (expressão 0 , )(

)(___________

>+

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧ =

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

YYY

YYYY

YY2

2Y

22

Y

Y2

2

PPP

90Y5

PPY90YPPY90

2PY

X4PY

XPYX4

YPX290P2

X2Y

A curva da procura do bem Y é decrescente e convexa:

0PP

2P45PPP522

dPYd0

PP

90P45dPdY

3YY

221YYY

23Y

2Y

2

2YY

21Y

Y>

+

+++=<

+

+−=

−−−

)(

)()(, e

)(

)( ///

2-c) Para proceder à ilustração gráfica, arbitraram-se os valores de 1, 2, 4 e 9 unidades monetárias para o preço do bem Y:



52

Figura 2.16-b) Curva Consumo-Preço do bem Y e Curva da Procura do bem Y

3-a) A curva consumo-preço do bem X (CCPX) é definida no plano XY, considerando Px variável e assumindo que se mantêm constantes os gostos e o rendimento nominal (R=90 u.m.) do consumidor, bem como o preço do bem Y (PY=4 u.m.). Aplicando as condições de equilíbrio do consumidor, resolve-se o sistema de modo a obter a relação procurada entre X e Y:

0YX45XXYX45XXY2

X45X2X2Y2

X180X4X2Y

0X45XY2YY4

XY290

XY2P

Y4XP904

PX2

Y6

2222

22

2

2

X

X

X2

2

>+−−=∨++−=⇔+±−

=⇔+±−

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+

−⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

pois ,

)(

Estudo da CCPX: (7) 0XX45XXY 2 >++−= , : 1ª Derivada:

0X45X25506

0X45X

522X1Y

232

2

<+

−=

>>+

++−=

/''

'

)(,Y

:Derivada 2ª

0X para , ,



53

Assímptotas:

∞+→+→

===

X

)horizontal a(assímptot , , 22,5Y lim e vertical)assímptota admite (não lim

0X

522Y0Y

A curva consumo-preço do bem X parte da origem dos eixos coordenados, é crescente e côncava e tem uma assímptota horizontal em Y=22,5, sendo que 22,5=R/PY. 3-b) Para calcular a expressão da curva da procura do bem X, resolve-se o sistema (5) de modo a obter a relação entre X e PX:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=⇔+=

+=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

XXXX

XX

22

X

X2

2

P22P90X8P2X2XP90

2P2X

Y2PX

Y

Y4XP904

PX2

Y

)( ____

A curva da procura é decrescente (1ª derivada negativa) e convexa (2ª derivada positiva) 3-c) Para a ilustração, arbitraram-se os valores de 0,75, 1, 2, 4 e 8 unidades monetárias para o preço do bem X:

Figura 2.16-c) Curva Consumo-Preço do bem X e Curva da Procura do bem X



54

4) Para achar a combinação óptima de X e Y, quando R=90 u.m. e PX=2 u.m. e PY=4 u.m., basta substituir os valores dos preços nas funções procura de cada bem (expressões 5 e 8). Em equilíbrio, o Tiago consome 15 unidades de cada bem por período de tempo e situa-se na curva de indiferença de índice 520.

Figura 2.16-d) Equilíbrio do Consumidor (X=15, Y=15, u=5)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Nº de unidades do bem X por período de tempo

Nº

de u

nida

des

do b

em Y

por

per

íodo

de

tem

po

u=5

Y=22,5-0,5X

Exercício 2.17 Configuração da Curva Consumo-Preço e Elasticidade da

Procura Considere o enunciado do exercício 2.16 1) A partir do comportamento da curva consumo-preço do bem X, conclua sobre o

grau de elasticidade-preço da procura deste bem. 2) Confirme a conclusão que retirou na alínea anterior através do cálculo das

elasticidades preço da procura desse bem. 3) A partir da relação entre elasticidade-preço da procura do bem X e despesa no bem

X, pronuncie-se sobre o valor da elasticidade preço-cruzada entre os bens X e Y. 4) Confirme a conclusão que acabou de retirar, recorrendo ao cálculo da elasticidade

preço-cruzada da procura do bem Y em relação ao preço do bem X. 5) Que conclui acerca da relação económica entre os bens X e Y? Justifique a sua

resposta.

20 Valor obtido através da substituição dos valores de X e de Y na função utilidade.



55

1) Como se viu na resolução de 3-a) do exercício 2.16, a curva consumo-preço do bem X tem declive positivo, pois a sua primeira derivada é positiva. Isto significa que, à medida que o preço do bem X diminui21, se regista um aumento do consumo de ambos os bens. Como, por hipótese, o rendimento nominal do Tiago e o preço do bem Y permanecem constantes, o aumento da despesa no bem Y só é possível devido à diminuição da despesa no bem X. Consequentemente, a curva da procura do bem X é inelástica, uma vez que o preço do bem X e a despesa efectuada na sua aquisição variam no mesmo sentido. 2) Para calcular a elasticidade-preço da procura do bem X, precisa-se da expressão da curva da procura deste bem, a qual foi obtida na resolução da questão 3-a) do exercício 2.16 (expressão 8):

XX P22P90X

+= . Deste modo:

[ ]( ) ( )

1P22P

P2PE

P22P90

P

P22P

P22190E

XP

dPdXE

XX

XXPX

XX

X2

XX

21X

PXX

XPX

X

XX

<+

+=⇔

⇔

++

+=⇔−=

−

,

/

,, x)(

A curva da procura do bem X é inelástica, uma vez que a elasticidade-preço da procura do bem X é, em valor absoluto, inferior à unidade. Comprova-se, assim, a análise realizada na alínea anterior sobre o significado do comportamento ascendente da curva consumo-preço. 3) Sendo a procura do bem X inelástica em relação ao seu próprio preço, se o preço do bem X diminuir (aumentar), a despesa realizada na aquisição deste bem também diminui (aumenta), ceteris paribus, pelo que a despesa no bem Y aumenta (diminui). Consequentemente, a elasticidade cruzada da procura do bem Y em relação ao preço do bem X é negativa, uma vez que a quantidade procurada do bem Y e PX variam em sentido contrário. 4) Para calcular a elasticidade cruzada da procura do bem Y, é necessário determinar a expressão analítica da procura do bem Y em função das suas determinantes (PX, PY e R). Retomando as condições de equilíbrio do consumidor , calculadas na resolução da alínea 2-a) do exercício 2.16:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

) bem do procura (função

) bem do procura (função

)(X

P2PPP

PRX

YP2PPP

P2RY

XP2PPPPR

XP2PXPPPR

P

P2XPXPR

P

P2XY

PPX2

Y

YPXPRPP

X2Y

XYYX

Y

XYYX

X

XYYXY

XYYXY

Y

XYX

Y

X

Y

X2

2

YX

Y

X2

2

A elasticidade cruzada da procura do bem Yé 22: Y

PPYE X

XPY X ∂

∂=,

21 O que, graficamente, equivale a rodar a recta de orçamento para a direita em torno do ponto (X=0, Y=22,5). 22 Alternativamente, e como PY=4 e R=90, podia-se ter calculado a procura do bem Y em função apenas do preço do bem X, através da substituição daqueles valores na função procura do bem Y,



56

( ) [ ]( )( )[ ]

[ ]

0P2PPP2

PP2RPY

P2PPP

P2PP2R

P2PPP

PP2PPP2P2P2R

P2PPP

PP2PP2PPPP2P2R

P2PPP

PP2PP2RP2PPPP2RPY

2XYYX

YX

X

2XYYX

YY

X

2XYYX

Y21

XYY21

XY121

X

2XYYX

Y21

XYXYYX1

X21

X

2XYYX

Y21

XY21

XXYYX21

X

X

<+

−=

∂∂

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⇔+

−−+⇔

⇔+

−−+⇔

⇔+

+−+=

∂∂

−−−

−−

−−

)(

)()(

))()()(

)(

)(()()(

)()()(

///

//

///

( ) ( )

( )( )

0P2PPP2

PPE

P2RP2PPP2

P2PPPPPP2R

P2PPPP2R

P

P2PPP2

PP2RE

XYYX

YXPY

X2

XYYX

XYYXXYX

XYYX

X

X2

XYYX

YXPY

X

X

<+

−=

+

+−⇔

++

−=

)(

,

,

5) Sendo a elasticidade preço-cruzada da procura negativa, isso significa que os bens X e Y são bens complementares. No entanto, e como se pode observar da forma das curvas de indiferença do Tiago em relação aos bens X e Y, existe substituibilidade entre eles, uma vez que aquelas são decrescentes e convexas em relação à origem, sendo a taxa marginal de substituição de Y por X, em valor absoluto, decrescente23. Esta aparente contradição na relação entre os dois bens pode explicar-se do seguinte modo: - como a elasticidade-preço cruzada exprime a variação relativa do consumo de um bem induzida pela variação relativa do preço do outro bem, isso significa que ela contempla o efeito total da variação do preço; - quando se classificam dois bens a partir da forma das curvas de indiferença, a análise é realizada ao longo da mesma curva de indiferença, o que significa que o nível de utilidade permanece constante. Em termos de decomposição do efeito total da variação do preço de um dos bens, significa que se neutralizou o efeito-rendimento, através de uma variação compensatória do rendimento, que permita manter constante o nível de utilidade do consumidor e isolar o efeito substituição. Deste modo, pode haver situações em que a classificação da relação entre dois bens não seja a mesma, consoante seja baseada no cálculo da elasticidade-preço cruzada da procura - que tem em conta o efeito total da variação do preço do outro bem - ou assente apenas no efeito substituição. Daí que, na literatura, a classificação da relação económica entre dois bens, a partir do sinal da elasticidade-preço cruzada, surja com a designação adicional de “bruto”24, para acentuar o facto de se basear no efeito total da variação do preço. O termo “líquido” é usado quando se classificam os dois bens, tendo em conta apenas o efeito substituição, isto é, após a remoção do efeito rendimento25. determinando a partir daí a expressão relativa à elasticidade-preço cruzada do bem Y. Obter-se-ia:

0P24P2

PE

XX

XPY X

<+

−=,

23 De notar que o grau de complementaridade ou de substituibilidade entre os dois bens não é total, pois não se está perante bens complementares perfeitos ou bens substitutos perfeitos. 24 Os bens são classificados como substitutos brutos (“gross substitutes”), quando a elasticidade cruzada é positiva, como complementares brutos (“gross complements”), quando a elasticidade cruzada é negativa, e como independentes, quando a elasticidade cruzada é nula. O cálculo desta elasticidade é realizado com base na função procura ordinária ou Marshalliana, obtida na resolução deste exercício. 25 Os bens são classificados como substitutos líquidos (“net substitutes”) e complementares líquidos (“net complements”) e a sua classificação é realizada a partir do cálculo da função procura compensada ou Hicksiana.



57

De notar, finalmente, que os bens X e Y são bens normais26 e daí que o efeito rendimento seja para ambos positivo, isto é, a variação do consumo desses bens vai no mesmo sentido que a variação do rendimento real do consumidor. Assim, por exemplo, se diminuir o preço do bem X, o aumento do consumo deste bem é explicado, simultaneamente, pelo efeito substituição e pelo efeito rendimento, este último reforçando o primeiro. No entanto o efeito total da variação do preço do bem X sobre o outro bem (bem Y) não é a priori determinado, uma vez que o efeito substituição e o efeito rendimento actuam em sentidos contrários: enquanto que o efeito substituição conduz à diminuição do consumo do bem Y, pois este bem tornou-se relativamente mais caro, o efeito rendimento leva ao aumento do seu consumo, devido ao aumento do rendimento real do consumidor. Neste exercício, o efeito total sobre o bem Y da diminuição do preço do bem X resultou no aumento do consumo do bem Y, o que significa que o efeito rendimento foi mais forte que o efeito substituição. Em suma, para a situação da diminuição do preço do bem X:

Bem X Bem Y Relação entre os bens Efeito Substituição (Medido ao longo da curva de indiferença)

Aumento do consumo Diminuição do consumo Substitutos (“net substitutes”)

Efeito Rendimento Aumento do consumo Aumento do consumo Efeito Total Aumento do consumo Aumento do consumo Complementares

(“gross complements”) Exercício 2.18 Decomposição do Efeito Preço em Efeito Substituição e Efeito

Rendimento Considere que as preferências de um consumidor representativo são descritas pela função U=XY, onde U designa o índice de utilidade, X a quantidade de bem X consumida por período de tempo, expressa em unidades, e Y representa os outros bens (bem compósito). O consumidor dispõe de um rendimento de 40 u.m. por período de tempo que gasta integralmente nestes bens. O preço do bem X é de 1 u.m. e o do bem compósito é de 1 u.m..Suponha que o preço do bem X duplicou. Determine o efeito preço e decomponha-o, analítica e graficamente, nas suas componentes de efeito rendimento e de efeito substituição segundo as abordagens seguintes: 1. Variação compensatória do rendimento

a) Método de Hicks b) Método de Slutsky

2. Variação equivalente do rendimento. Resolução Para determinar o efeito total da variação do preço do bem X sobre o consumo deste bem e dos outros bens, tem-se que calcular a situação de equilíbrio inicial (PX=PY=1u.m.) e a situação de equilíbrio final (PX=2 u.m. e PY=1u.m.): Situação de equilíbrio inicial:

26 Como se pode concluir a partir da análise das suas funções procura, que apresentam derivadas parciais positivas em relação ao rendimento.



58

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

20X

20Y

400U

X240

XY

YX40

1XY

YPXPR

PP

UMgUMg

XYU

Y0X

Y

0x

Y

X

______

Em equilíbrio, o consumidor adquire 20 unidades do bem X por período de tempo e dispõe de 20 u.m. para gastar na aquisição dos outros bens (bem Y), situando-se na curva de indiferença de índice 400. Situação de equilíbrio final:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

10X

20Y

200U

X440

X2Y

YX240

2XY

YPXPR

PP

UMgUMg

XYU

Y1X

Y

1X

Y

X

______

Após a alteração dos preços relativos, o consumidor passa a adquirir apenas 10 unidades do bem X por período de tempo e dispõe de 20 u.m. para gastar na aquisição dos outros bens (bem Y), situando-se na curva de indiferença de índice 200. Pode-se concluir que o efeito total resultante do aumento do preço do bem X (efeito-preço) foi: - sobre o bem X: ∆X= 10-20 ⇔ ∆X= -10 unidades por período de tempo; - sobre o bem Y: ∆Y= 20-20 ⇔ ∆Y= 0 1. Para se decompor o efeito preço em efeito substituição e em efeito rendimento, tem que se determinar uma situação de equilíbrio, que corresponde às escolhas que o consumidor realizaria se, dado o novo sistema de preços, auferisse de uma variação hipotética do rendimento (“variação compensatória do rendimento”) que o compensasse da perda de rendimento real provocada pela duplicação do preço do bem X. Essa variação compensatória do rendimento é definida como sendo aquela que permitiria ao consumidor manter o seu poder de compra, sendo este entendido:

- na abordagem de Hicks, como aquele que permite que o consumidor continue a usufruir do mesmo nível de satisfação inicial (U=400);

- na abordagem de Slutstky, como aquele que permite que o consumidor continue a poder adquirir o cabaz de bens inicial (X=20; Y=20).

Através desta variação hipotética do rendimento neutraliza-se, em termos analíticos, a diminuição do rendimento real do consumidor, que é provocada pelo aumento do preço do bem X. Deste modo, a passagem da situação de equilíbrio inicial para esta situação de equilíbrio hipotética permite isolar o efeito-substituição - variação no consumo de X e de Y que se explica pela alteração dos preços relativos dos bens. A passagem da situação de equilíbrio hipotética para a situação de equilíbrio final (e que corresponde à reposição de facto do rendimento real do consumidor) permite isolar o efeito rendimento, ou seja, a alteração no consumo de X e de Y que se explica pela diminuição do rendimento real do consumidor resultante do aumento do preço do bem X. 1-a) A determinação da situação de equilíbrio hipotética passa pela resolução do seguinte problema: qual é o rendimento mínimo de que o consumidor necessitaria (RH) para que, dados os novos preços, mantivesse constante o seu nível de utilidade? Formalizando: Min RH =2X+Y sujeito a U=400 A solução deste problema é dada pela resolução do sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≅=

≅=

≅+=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

=

⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

57,562004

18,282002

14,14200

42

2400

2

2

400400 2

1

1

,

HHH

YXH

Y

XXY

R

Y

X

XRXY

X

YXRXY

XY

YPXPR

PP

TMS

XY



59

Se o consumidor auferisse de uma variação compensatória do rendimento de cerca de 16,57 u.m. então, aos novos preços relativos dos bens, ele consumiria em equilíbrio cerca de 14,14 unidades do bem X por período de tempo e disporia de cerca de 28,18 u.m. para adquirir os outros bens. Segundo a abordagem de Hicks, a decomposição do efeito-preço é:

Bem X Bem Y Efeito Substituição 14,14 – 20 ≈ - 5,86 28,28 – 20 ≈ + 8,28 Efeito Rendimento 10 – 14,14 ≈ - 4,14 20 – 28,28 ≈ -8,28 Efeito Total (Efeito Preço) ∆ X = - 10 ∆ Y = 0

Figura 2.18-a) Decomposição do efeito-preço segundo Hicks

1-b) O rendimento que o consumidor necessitaria de possuir para, aos novos preços, poder continuar a adquirir o cabaz de bens inicial (X=20; Y=20) é igual a: RS = 2 x 20 + 20 RS= 60 u.m. De notar que, neste caso, a variação compensatória de rendimento (20 u.m.) equivale à diferença de custo de aquisição de 20 unidades do bem X (20=∆PXX, sendo ∆PX=2-1 e X=20) e daí que esta abordagem surja, também, designada por técnica da diferença de custo. No entanto, com este rendimento e para a nova razão de preços, o consumidor não está em equilíbrio, porque a recta orçamental intersepta a curva de indiferença de índice 400 no ponto A ( figura 2.18-b). A situação de equilíbrio correspondente a este nível de rendimento hipotético é obtida através da resolução do sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

+==

−⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

=

⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

1530450

1522602

260

2

1

1

,

XYU

XXXXY

YXXY

XYU

YPXPR

PP

TMS

XYU

YXS

Y

XXY

Neste caso, o consumidor atingiria um maior nível de bem-estar (U=450), consumindo, em equilíbrio, 15 unidades do bem X por período de tempo e dispondo de 30 u.m. para adquirir os outros bens.



60

A decomposição do efeito-preço segundo a abordagem de Slutsky é:

Bem X Bem Y Efeito Substituição 15 – 20 = - 5 30 – 20 = + 10 Efeito Rendimento 10 – 15 = - 5 20 – 30 = - 10 Efeito Total (Efeito Preço) ∆ X = - 10 ∆ Y = 0

Figura 2.18-b) Decomposição do efeito-preço segundo Slutsky

2. Na abordagem da variação equivalente, isola-se, em primeiro lugar, o efeito rendimento e, depois, o efeito substituição. Como se viu, o aumento do preço do bem X provoca uma diminuição do nível de bem estar do consumidor (passou da curva de indiferença de índice 400 para a de índice 200). Mas esta mesma redução do nível de bem-estar podia ter sido, alternativamente, provocada por uma redução hipotética do rendimento nominal do consumidor, mantendo-se constantes os preços relativos iniciais. Esta variação hipotética do rendimento é designada por variação equivalente, no sentido em que tem o mesmo efeito sobre o bem-estar do consumidor que a alteração do preço do bem X. Para se decompor o efeito preço, tem que se calcular a situação de equilíbrio que se observaria se, dados os preços iniciais (P0

X=PY=1), se tivesse observado, por hipótese, uma variação do rendimento (nominal) do consumidor que conduzisse a que o seu nível de bem-estar fosse igual ao que usufrui na

situação de equilíbrio final (U=200). O problema a resolver é:200U

YPXPR Y0XE

=

+=

a Sujeito

Min , sendo a sua

solução obtida através da resolução do sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≅=

≅=

≅+=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

=

⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

28,282002

14,14200

14,14200

2

2001

200 2

0

0

,

EEE

YXE

Y

XXY

R

Y

X

XRXY

X

YXRXY

XY

YPXPR

PP

TMS

XYU



61

A diminuição do rendimento, necessário para que o consumidor atinja o nível de bem-estar equivalente ao alcançado com o aumento do preço do bem X, é de cerca de 11,72 u.m. (∆R ≈ 28,28 – 40). Se o rendimento nominal do consumidor diminuísse nesse montante, em equilíbrio, e dados os preços iniciais dos bens, ele consumiria cerca de 14,14 unidades de bem X por período de tempo, dispondo de cerca de 14,14 u.m. para adquirir os outros bens. A passagem da situação de equilíbrio inicial (ponto A) para esta situação de equilíbrio hipotética (ponto B) permite isolar o efeito rendimento (Figura 2.18-c). Mas, embora a variação equivalente do rendimento tenha o mesmo efeito sobre o bem-estar que o aumento do preço do bem X, o efeito deste aumento sobre o consumo é diferente, pois a alteração dos preços relativos conduz a que substitua o bem X pelo bem Y, até que se iguale a TMSY,X à nova razão de preços. Deste modo, o movimento de B para C, ao longo da curva de indiferença de índice 200, corresponde à variação na quantidade procurada associada, ao efeito substituição (Figura 2.18-c). Segundo a abordagem da variação equivalente, a decomposição do efeito-preço é a seguinte:

Bem X Bem Y Efeito Rendimento 14,14 – 20 ≈- 5,86 14,14 – 20 ≈ -5,86 Efeito Substituição 10 – 14,14 ≈ - 4,14 20 – 14,14 ≈ + 5,86 Efeito Total (Efeito Preço) ∆ X = - 10 ∆ Y = 0

Figura 2.18-c) Decomposição do efeito-preço segundo a abordagem da variação equivalente



62

Exercício 2.19 Aplicação da decomposição do efeito preço 1. Considere o exercício 2.18, mas admita agora que a duplicação do preço do bem X

resultou do lançamento de um imposto específico sobre este bem.

a) Mostre que, para um mesmo nível de receita fiscal, um imposto de montante fixo que incidisse directamente sobre o rendimento do consumidor seria preferível em termos de bem-estar. Ilustre graficamente a sua resposta e explicite as suas principais limitações.

b) Mostre que, para um mesmo nível de redução do bem-estar do consumidor, o governo poderia ter arrecadado uma maior receita fiscal se tivesse optado por um imposto sobre o rendimento, em vez de por um imposto sobre o consumo. Ilustre graficamente a sua resposta.

2. Admita agora que o único objectivo do governo, ao lançar o imposto específico sobre o preço do bem X, é o de reduzir o consumo deste bem.

No entanto, para compensar os efeitos negativos sobre o bem-estar resultantes deste imposto, o governo está a considerar a hipótese de accionar, em simultâneo, um mecanismo administrativo com vista à devolução da receita obtida com aquele imposto aos consumidores deste bem. Argumenta a oposição que essa devolução anulará os efeitos pretendidos com o lançamento do imposto. Examine os argumentos em debate.

Resolução 1- a) Como se viu na resolução do exercício 2.18, quando o preço do bem X é igual a 2 u.m. - sendo que agora 1 u.m. corresponde ao valor imposto específico sobre o bem X (t=1 u.m.) - o consumidor adquire 10 unidades de bem X por período de tempo, pelo que a receita fiscal (RF) arrecadada pelo governo é igual a 10 u.m. (RF= tX). Deste modo o montante do imposto fixo sobre o rendimento do consumidor que permite arrecadar uma receita fiscal equivalente à do imposto indirecto é de 10 u.m. (T=10 u.m.). Neste caso, o rendimento disponível do consumidor para gastar no bem X e nos outros bens seria de 30 u.m. (R1= 40-T) e a situação de equilíbrio seria a que resulta da resolução do seguinte sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

=

⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

1515225

23030

1

0

0

,

XYU

XXY

YXXY

XYU

YPXPR

PP

TMS

XYU

YX

Y

XXY

Pode-se concluir que se o governo tivesse optado antes por lançar um imposto directo no montante de 10 u.m., o consumidor adquiriria, em equilíbrio, 15 unidades do bem X por período de tempo, ficando com 15 u.m. para o consumo dos outros bens. Este tipo de imposto permitiria ao Estado arrecadar a mesma receita fiscal que a obtida com o imposto indirecto e seria preferível, do ponto de vista do consumidor, uma vez que o seu impacto sobre o seu bem-estar é menor. Como se pode observar na Figura 2.19-a), com o lançamento do imposto indirecto o consumidor situa-se na curva de indiferença de índice 200 (ponto C), enquanto que, se fosse usado um imposto directo, ele situar-se-ia na curva de indiferença de índice225 (pontoD), sendo a receita fiscal arrecadada pelo governo a mesma em ambas as situações (CC’=FG). Deste modo, embora tanto o imposto específico sobre o preço do bem (imposto indirecto) como o imposto sobre o rendimento (imposto directo) impliquem uma diminuição do nível de bem-estar do consumidor, essa diminuição é menos acentuada no caso do lançamento do imposto directo, uma vez que a redução do consumo é apenas determinada pela redução do rendimento nominal do consumidor,



63

ou seja, este tipo de imposto só desencadeia o efeito rendimento. Pelo contrário, o lançamento de um imposto específico sobre o preço do bem provoca, também, alteração no preço relativo do bem, aumentando o seu custo de oportunidade em termos dos outros bens e, em consequência, conduz a uma maior redução do consumo, diminuindo mais o nível de bem-estar do consumidor, pois desencadeia, para além do efeito rendimento, o efeito substituição. Esta análise apresenta como principais limitações: - não se pode generalizar e concluir que um imposto directo é necessariamente preferível para todos os consumidores (pense-se no caso de quem não consome o bem X); - o rendimento é exogenamente determinado, não se considerando os efeitos da política fiscal sobre as escolhas do consumidor entre lazer e trabalho. Ora, o lançamento de um imposto directo pode desincentivar alguns consumidores de trabalhar mais para aumentarem o seu rendimento, levando-os a optar por mais tempo de lazer e menos tempo de trabalho; - respeita apenas ao lado da procura, negligenciando os efeitos do lado da oferta.

Figura 2.19-a) Imposto indirecto versus imposto directo equivalente em termos de receita fiscal

1 - b) Para uma mesma redução do nível de bem-estar (isto é, de U0=400 para U1=200), o governo poderia arrecadar uma maior receita fiscal se tivesse optado antes por um imposto sobre o rendimento do consumidor. Com efeito, a variação do rendimento equivalente à perda de bem-estar associada ao aumento do preço do bem X é, como se viu na resolução da alínea 2 do exercício 2.18, de cerca de 11,72 u.m.27, enquanto que a receita fiscal arrecadada com o imposto específico sobre o preço do bem X é de apenas 10 u.m.. Com o imposto indirecto, o ponto de equilíbrio é o ponto C, sendo a receita fiscal igual a CC’, enquanto que com um imposto directo, equivalente ao imposto indirecto em termos de redução de bem-estar, o ponto de equilíbrio é B, sendo a receita fiscal igual a EG (Figura 2.19-b). Em conclusão: - um imposto sobre o rendimento conduz a uma menor perda de bem estar do que um imposto indirecto que proporciona o mesmo nível de receita fiscal (para o consumidor, o ponto D é preferível ao ponto C); - para uma mesma redução de bem-estar, o governo pode arrecadar maior receita através do lançamento de um imposto directo (comparar os pontos B e C)

27 Diferença entre o rendimento inicial – 40 u.m. – e o valor de RE, calculado na alínea 2 do exercício .2.18



64

Figura 2.19-b) Imposto indirecto versus imposto directo equivalente

em termos de redução do bem-estar 2. Com o lançamento de um imposto específico de 1 u.m. sobre o preço do bem X, as escolhas óptimas do consumidor são (X=10, Y=20) e situam-se na curva de indiferença de índice 200 (ponto C), pelo que o consumo do bem X diminuiu em 10 unidades por período de tempo (Figura 2.19-c). Neste caso, o governo pretende devolver o montante arrecadado com o imposto (10 u.m.) ao consumidor, pelo que se tem de calcular qual será o ponto de equilíbrio (ponto D da Figura 2.19-c) para um rendimento de 50 u.m. (rendimento nominal do consumidor mais a devolução da receita fiscal), mantendo-se os preços relativos resultantes do lançamento do imposto:

,

,___

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

512X

25Y

5312U

X450

X2Y

YX250

2XY

XYU

Pode-se concluir que a oposição não tem razão, uma vez que a devolução da receita fiscal, embora reduza o efeito sobre a diminuição do consumo do bem X – que passará a ser de 12,5, em vez de 10, unidades por período de tempo – não anula esse efeito, dado que o lançamento do imposto sobre o preço do bem X, ao aumentar o custo de oportunidade deste bem em termos dos outros bens, conduz a que o consumidor substitua o bem X pelo bem Y28. Por sua vez, a devolução do montante arrecadado com o imposto contribui para melhorar o nível de bem-estar do consumidor, relativamente à situação de inexistência de devolução, embora haja perda de bem-estar relativamente à situação inicial – o consumidor situar-se-á na curva de indiferença de índice 312,5, em vez de na curva de índice 400. Isto resulta do facto de o montante devolvido ao consumidor ser inferior ao que seria necessário para o compensar da diminuição do seu poder de compra provocada pelo aumento do preço do bem X.

28 Note-se que o movimento do ponto A para o ponto D é uma medida aproximada do efeito substituição. O cálculo rigoroso do efeito substituição requereria que se tivesse devolvido dinheiro suficiente para manter constante o poder de compra do consumidor.



65

Como se viu na resolução de 1-a) do exercício 2.18, o montante da variação compensatória do rendimento que permitiria, aos novos preços, manter constante o nível de bem-estar do consumidor é de cerca de 16,57 u.m. (R – RH), enquanto que a devolução do valor do imposto é de 10 u.m., ou seja, inferior ao montante da variação compensatória do rendimento (na figura 2.19-c), comparar ponto B com o ponto D e EG com EF). Em suma, a devolução do imposto, ao induzir o consumidor a comprar uma maior quantidade do bem X, pois é um bem normal (efeito rendimento), contribui para minorar a perda de bem-estar resultante do lançamento do imposto sobre o seu consumo.

Figura 2.19-c)



66

Exercício 2.20 Exercício globalizador O Álvaro e a Rosa residem em Aveiro. Tendo entrado no ensino superior, vieram estudar para o Porto. Daí que os pais lhes subissem a mesada de 1 para 4 unidades monetárias (u.m.). As preferências do Álvaro e da Rosa são descritas pela seguinte função índice de utilidade: U = (x-1) y , x ≥ 1 e y ≥ 0 , onde U designa o índice de utilidade, x a quantidade de bens alimentares que consome mensalmente quando se encontra no Porto, expressa em unidades, e y representa os outros bens (bem compósito). 1) O Álvaro consome 2,5 unidades de bens alimentares por mês, ficando apenas com

1,5 u.m. para despender nos outros bens, pelo que nem sempre pode acompanhar a Rosa a espectáculos culturais. A Rosa acha que ele não está a ser racional; o Álvaro, pelo contrário, considera que a Rosa não anda a alimentar-se em condições e que o seu nível de bem-estar é inferior ao dele. Sabendo que o preço médio dos bens alimentares é de 1 u.m. e que o preço do bem compósito é de 1 u.m., explique quem tem razão. Ilustre graficamente a sua resposta.

2) Calcule a expressão analítica da curva de procura do bem X, interpretando o seu significado económico.

3) Admita agora que o preço médio dos bens alimentares aumentou em 25%, pelo que o Álvaro passou, em equilíbrio, a adquirir mensalmente 2,1 unidades de bens alimentares, ficando com 1,375 u.m. para adquirir os outros bens. a) "Perante a diminuição na quantidade procurada de bens alimentares em 16%,

devido ao aumento verificado no preço médio desses bens em 25%, o Álvaro conclui que a procura deste tipo de bens, neste intervalo de preços, é inelástica.a.1) Explique, sem efectuar cálculos, como é que o Álvaro chegou a essa

conclusão e discuta como se comporta a despesa total em bens alimentares.

a.2) Determine analiticamente a curva consumo-preço do bem X e examine o seu comportamento.

b) Devido ao aumento do preço médio dos bens alimentares, o Álvaro vai pedir aos pais para lhe aumentarem a mesada para 4,625 u.m., argumentando que só assim poderá continuar a consumir o mesmo que antes e que, em particular, não terá de reduzir o consumo de bens alimentares.

A Rosa acha que, para manter o seu nível de bem-estar, o Álvaro não necessita de um aumento tão grande da mesada e que não é verdade que, em equilíbrio, vá continuar a adquirir a quantidade inicialmente consumida de bens alimentares. b.1) A partir do cálculo da situação de equilíbrio para o caso que o Álvaro está

a considerar, fundamente a argumentação da Rosa. Ilustre graficamente a sua resposta

b.2) Decomponha o efeito preço, explicitando o significado dos seus componentes e ilustrando-os graficamente. Explique agora porque é que, mesmo após o aumento da mesada para o valor pretendido, o Álvaro reduziria o consumo mensal de bens alimentares.



67

Resolução 1) O consumidor racional escolhe (x,y) de modo a maximizar o seu nível de satisfação, tendo em conta as suas preferências e o seu poder de compra (R, px e py). Como as curvas de indiferença associadas a esta função índice de utilidade são continuamente decrescentes e convexas em relação à origem e não intersectam os eixos [y = u/(x-1), sendo u uma constante positiva] então, em equilíbrio:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=

−=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=−

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

−=

52x

51y

252U

1xx4

1xy

yx4

11x

y

ypyxpxR

ypxp

xyTMS

1yxU

,

,

,

___

___

,

)(

1xyUMgyU

yUMgyxUMgxU

xUMgU=xy-y

1xy

y,xTMSyUMgxUMg

xyTMS

−=⇔==⇔=

−=⇔=

e :que se- tem sendo pois

,

∂∂

∂∂

A Rosa não tem razão, pois a combinação de bens (x = 2,5; y =1,5) é aquela que, dadas as preferências, o rendimento e os preços dos bens - que são iguais para o Álvaro e para a Rosa - permite alcançar o máximo nível de satisfação (ponto A na figura 2.20-a). Como a Rosa consome uma menor quantidade de bens alimentares (bem X), dispondo por isso de mais rendimento para afectar à aquisição de todos os outros bens (bem Y), ela encontra-se num ponto da restrição orçamental situado entre A e C ( no ponto B, por exemplo), situando-se numa curva de indiferença de índice inferior ao daquela em que se encontra o Álvaro (UÁlvaro= 2,25). Quem não está a ter um comportamento racional é a Rosa, dado que não atinge o máximo nível de nível de bem-estar que, dadas as suas preferências, está ao alcance do seu poder de compra (URosa < 2,25).

Figura 2.20.a) Ilustração das situações



68

NOTA: Alternativamente, bastava verificar que o valor da TMS y,x é igual a um29, para a combinação de bens que o Álvaro adquire, igualando a razão de preços. Adicionalmente, aquela combinação esgota o rendimento de que ele dispõe (4=2,5+1,5), ou seja, é a combinação óptima. A Rosa, pelo contrário, situa-se num ponto em que a TMSy,x> px/py , isto é, UMg

xp

xUMg

yp

y> ,

pelo que não está em equilíbrio, podendo melhorar o seu nível de satisfação se deslocar algum rendimento que está a afectar aos outros bens para o consumo de bens alimentares (diminuindo o consumo de Y e aumentando o consumo de X), encontrando-se em equilíbrio quando consumir a mesma combinação de bens que o Álvaro (ponto A). 2) A curva da procura individual do bem X exprime a relação entre a quantidade procurada do bem X, no equilíbrio do consumidor, e os vários preços alternativos deste bem, tudo o mais permanecendo constante, ou seja, neste caso: o rendimento, o preço do outro bem e as preferências do consumidor. É uma função do tipo: x = f(px). O cálculo da sua expressão analítica, parte das condições de equilíbrio do consumidor, onde px surge como variável e R e py como constantes (R = 4 e py = 1). Deste modo:

salimentare bens de

procura da curva da

analitica expressao

,

)(

)(

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

←+=

−+

=

−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=

−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=−

50p2xp2

p4xpxp24p1xxp4

p1xy

yxp41p

1xy

xx

xxxxx

x

x

x

3-a.1) Para chegar a essa conclusão, recorreu ao conceito de elasticidade preço da procura de bens alimentares (bem X). Esta exprime como varia, em termos relativos ou percentuais, a quantidade procurada de bens alimentares em resposta a uma variação relativa (ou percentual) no seu preço, tudo o mais constante. Como a quantidade procurada de bens alimentares registou uma variação menos que proporcional à alteração do preço médio destes bens (16% é menor do que 25%) então, em valor absoluto, a elasticidade preço da procura do bem X é inferior a um, pelo que a procura deste bem é inelástica, para este intervalo de preços. Em consequência, perante um aumento do preço médio dos bens alimentares, regista-se uma diminuição menos do que proporcional na quantidade procurada, aumentando a despesa total realizada neste tipo de bens30. 3-a.2) para resolver 3-b.1) Cálculo da situação de equilíbrio para R = 4,625 u.m., px =1,25 e py =1 (situação que o Álvaro está a considerar):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=

−=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

=−

−=

352x

68751y

2781252U

8755x52251x251x2516254

251x251y

yx25162541251

1xy

y1xU

,

,

,

,,

__

__

,,,,

,,

___

,,

,

)(

Com a mesada que está a pensar pedir aos pais o Álvaro consumiria, em equílibrio, uma menor quantidade de bens alimentares (x = 2,35 < x = 2,5) e aumentaria o consumo dos outros bens, passando a auferir de um nível de bem-estar superior ao que auferia antes do aumento do preço médio dos bens alimentares (U=2,278125 > U=2,25). A Rosa está correcta quando argumenta: - que o acréscimo de rendimento nominal que o Álvaro está a considerar (0,625 u.m. por mês)

ultrapassa a variação do rendimento necessária para o compensar da perda de bem-estar associada ao aumento de preço do bem X. De facto, a restrição orçamental associada à manutenção do nível

29 Substituindo x = 2,5 e y = 1,5 na expressão da TMS y,x , tem-se que no ponto A: TMS y,x = 1,5 /(2,5 -1) TMS y,x=1 30 Este comportamento permite, também, afirmar que, neste intervalo de preços, a curva consumo preço do bem X tem declive positivo.



69

de satisfação inicial (R2) situa-se à esquerda da que permite a aquisição da combinação de bens inicial (R1) – Figura 2.20-b);

- e que, com uma mesada de 4,625 u.m., em equilíbrio, o Álvaro reduzirá o consumo mensal de bens alimentares. Com efeito, embora o acréscimo de rendimento que o Álvaro está a considerar permita que continue a consumir o mesmo que antes (a restrição orçamental R1 passa pelo ponto A, da figura 2.20-b), tal cabaz de consumo não é agora um cabaz de equilíbrio: no ponto A, a TMSy,x é igual a 1, sendo inferior à razão de preços actual (1,25), pelo que o Álvaro tenderá a deslocar rendimento do bem X para o bem Y, o que lhe permitirá alcançar níveis mais elevados de satisfação, até atingir o ponto B da figura 2.20-b), que é o ponto de equilíbrio para este nível de rendimento.

Figura 2.20-b) Decomposição do efeito-preço

Nota: as coordenadas do ponto D (X=2,1; Y=1,375) - situação de equilíbrio subsequente ao aumento do preço médio dos bens alimentares – são dadas no enunciado da questão 3.

3-b.2) O aumento do preço médio dos bens alimentares (bem X) conduz:

- a uma alteração nos preços relativos dos bens, o que levará o consumidor a substituir o bem que se tornou relativamente mais caro pelo que passou a ser relativamente mais barato, reduzindo o consumo de X e aumentando o consumo de Y: efeito substituição; - a uma diminuição do rendimento real do consumidor, o que vai provocar uma diminuição da quantidade consumida de ambos os bens, na medida em que ambos são bens normais: efeito rendimento.

Bem X Bem Y Efeito Substituição (ES) ∆X = 2,35 - 2,5 = - 0,15 ∆Y= 1,6875 - 1,5 = + 0,1875 Efeito Rendimento (ER) ∆X = 2,1 - 2,35 = - 0,25 ∆Y= 1,375 - 1,6875 = - 0,3125 Efeito Preço (ES + ER) ∆X= 2,1- 2,35 = - 0,4 ∆Y= 1,375 - 1,5 = - 0,125

Nota: como resulta do quadro, cada um dos efeitos exprime a variação na quantidade procurada de cada bem. Se o Álvaro conseguir que a sua mesada passe a ser de 4,625 u.m., o efeito rendimento será anulado, mas o efeito substituição continuará a registar-se. Deste modo, o Álvaro irá reduzir o consumo de bens alimentares, dado que este tipo de bens passou a ser relativamente mais caro, e aumentará o consumo dos outros bens, sendo esta alteração explicada pelo efeito substituição.

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