teori peluang

1

2 Teori Peluang

2

© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.

Percobaan Acak

Figure 2-1 Continuous iteration between model and physical system.

Tujuan: untuk memahami, mengukur dan memodelkan keragaman yang mempengaruhi perilaku fisik suatu sistem.- Model digunakan untuk menganalisis/memprediksi perilaku sistem dan outputnya ketika input dirubah.- Dengan percobaan dilakukan verifikasi terhadap prediksi tsb.

3


Gangguan/Noise yang Menghasilkan Keragaman Output

Figure 2-2 Noise variables affect the transformation of inputs to outputs.

Nilai random/acak dari variabel gangguan tidak dapat dikontrolMenyebabkan keragaman acak pada variabel output.Walaupun input konstan, output akan bervariasi.

4


Percobaan Acak

• Percobaan yang dilakukan untuk memperoleh hasil yang tidak dapat diketahui

• Percobaan tersebut sudah didasari pada hukum tertentu yang bisa dikontrol

• Hasil percobaan akan selalu berbeda jika dilakukan berulang-ulang walaupun dilakukan dengan cara dan situasi yang sama.

5


Sifat acak Mempengaruhi Hukum Alam/Fisika

Figure 2-3 A closer examination of the system identifies deviations from the model.

Menurut hukum Ohm, kekuatan arus adalah fungsi linier dari voltase (I=V/R)- Walaupun voltase dibuat konstan, arus akan tetap bervariasi akibat adanya variabel gangguan/noise

6


Ruang Sampel

• Percobaan acak mempunyai hasil yang unik.• Himpunan seluruh hasil yang mungkin disebut

dengan ruang sampel S.• S bersifat diskrit ketika himpunan tersebut

beranggotakan hasil yang dapat dicacah dengan jumlah terbatas.

• S bersifat kontinyu jika himpunan tersebut berupa interval (terbatas maupun tak hingga) dari bilangan riil.

Sec 2-1.2 Sample Spaces

7


Contoh: Mendefinisikan ruang sampel• Memilih secara acak dan mengukur ketebalan suatu komponen:

– S = R+ = {x|x > 0}, garis bilangan positif. – Ketebaan negatif tidak mungkin– Bersifat kontinyu

• Diketahui bahwa ketebalannya di antara 10 dan 11 mm– S = {x|10 < x < 11} – Bersifat kontinyu

• Diketahui bahwa ketebalan hanya punya tiga kategori:– S = {low, medium, high} – Bersifat diskrit

• Jika yang diamati adalah spesifikasi dari ketebalan memenuhi standar atau tidak– S = {yes, no}– Diskrit

8


Identifikasi Ruang Sampel dengan Diagram PohonContoh: Mobil baru dilengkapi dengan beberapa pilihan sbb:

1. Transmisi manul atau otomatis2. Dengan atau tanpa AC3. Tiga pilihan stereo sound systems4. Empat pilihan warna interior

Figure 2-6 Diagram pohon untuk konfigurasi/pilihan mobil yang berbeda. Maka S beranggotak 2*2*3*4 = 48 kemungkinan.

9


Kejadian adalah Himpunan dari Hasil Percobaan

• Suatu kejadian (E) adalah himpunan bagian dari ruang sampel suatu percobaan: – Satu atau lebih hasil percobaan di dalam ruang sampel.

• Kejadian-kejadian dapat dioperasikan sbb:– Gabungan (union) dari dua kejadian E dan F: E ⋃ F– Himpunan dari seluruh hasil percobaan di E atau di F atau di

kedua-duanya– Irisan (intersection) dari dua kejadian E dan F : E ∩ F– Himpunan dari seluruh hasil percobaan yang berada di E dan

di F– Komplemen suatu kejadian E: seluruh komponen ruang

sampel yang tidak termasuk di E: E’

10


DiagramVenn Menunjukkan Hubungan antar Kejadian

Figure 2-8 Venn diagrams

11


Diagram Venn untuk Kejadian Saling Lepas

•Jika kejadian A dan B tidak mempunyai komponen atau hasil yang sama maka keduanya saling lepas (mutually exclusive).• A B = Ø

Figure 2-9 Mutually exclusive events

12


Counting Techniques (Mencacah ruang sampel)

• Untuk mencacah komponen suatu kejadian dan ruang sampel.

• Tiga metode:1. Kaidah perkalian2. Kaidah permutasi3. Kaidah kombinasi

13


Kaidah Perkalian

• Misal: suatu prosedur operasi dengan k langkah di mana setiap langkah terdiri dari:

• n1 cara menyelesaikan langkah 1,

• n2 cara menyelesaikan langkah 2, … dan

• nk cara menyelesaikan cara k.

• Maka terdapat• n1 * n2*…*nk cara untuk melakukan prosedur operasi

tsb.

Sec 2-1.4 Counting Techniques

14


Contoh:

• Dalam mendesain gear housing, dapat dipilih:– 4 diameter bolt yang berbeda,– 3 panjang bolt,– 2 posisi meletakkan bolt.

• Berapa banyak desain yang mungkin dapat dibuat?

• 4 *3 * 2 = 24


15


Aturan Permutasi

• Urutan yang berbeda dari beberapa komponen yang dapat dibedakan.

• Jika S = {a, b, c}, maka terdapat 6 permutasi– abc, acb, bac, bca, cab, cba (urutan penting)

• # permutasi dari sekumpulan n komponen adalah n!

• Secara definisi: 0! = 1


Sec 2- 16


Sub-set Permutasi

• Cara mengurutkan r komponen dari n komponen:

7

3

!( 1)( 2)...( 1)

( )!

7! 7! 7*6*5*4!7*6*5 210

7 3 ! 4! 4!

In Excel: permut(7,3) = 210

nr

nP n n n n r

n r

P

17


Contoh: Desain Circuit Board

• Cetakan circuit board mempunyai 8 lokasi penempatan komponen.

• Jika 4 komponen berbeda akan diletakkan pada circuit board tersebut, berapa desain yang mungkin terbentuk?

• Urutan penting, permutasi dengan n = 8, r = 4.

8

4

8! 8*7*6*5*4!8*7*6*5 1,680

8 4 ! 4!P

18


Aturan Kombinasi

• Kombinasi adalah pemilihan r komponen dari sekumpulan n komponen di mana urutan tidak penting.

• Jika S = {a, b, c}, n =3, maka akan diperoleh 1 kombinasi saja.– Jika r =3, terdapat 1 kombinasi: abc– Jika r=2, terdapat 3 kombinasi: ab, ac, bc

• # permutasi ≥ # kombinasi

(2-4)

!

! !nr

nC

r n r

19


Contoh:

• Sebuah circuit board dengan 8 lokasi penempatan komponen.

• Akan diletakkan 5 komponen yang tidak dapat dibedakan pada circuit board tersebut.

• Berapa desain yang mungkin dapat dibuat?• Karena tidak dapat dibedakan, maka urutan

tidak penting: aturan kombinasi


85

8! 8*7*6*5!56

5! 8 5 ! 3*2*1*5!C

20


Peluang

• Peluang adalah kemungkinan bahwa suatu hasil atau kejadian dari suatu percobaan acak akan terjadi.

• Berupa angka pada selang [0,1].• Dapat dinyatakan sebagai

– Proporsi (0.15)– Persentase (15%)– Pecahan (3/20)

• Arti dari peluang bernilai– 1: kejadian pasti– 0: kejadian yang tidak mungkin

21


Tipe Peluang• Peluang subyektif adalah tingkat/derajat kepercayaan

– “terdapat 50% kemungkinan bahwa saya akan belajar malam ini”• Frekuensi relatif peluang yang didasarkan pada berapa

sering suatu kejadian terjadi berdasarkan ruang sampel tertentu

Figure 2-10 Relative frequency of corrupted pulses over a communications channel

22


Peluang Berdasarkan Hasil Dengan Kemungkinan yang Sama

• Ketika ruang sampel terdiri dari N hasil dengan kemungkinan yang sama, maka setiap hasil mempunyai peluang 1/N.

• Contoh: Di dalam satu kotak berisi 100 bola lampu, 1 bola lampu diberi warna merah. Bola lampu tersebut dipilih secara acak dari kotak

• Acak setiap bola lampu mempunyai peluang yang sama untuk terpilih.

• Peluang untuk memilih bola lampu dengan warna merah adalah 0.01 (1/100), karena setiap hasil di dalam ruang sampel mempunyai kemungkinan yang sama.

23


Contoh:• Diasumsikan bahwa 30% dari bola lampu di dalam kotak (berisi 100) tadi memenuhi

kualifikasi yang dibutuhkan pelanggan.– 30 bola lampu memenuhi kualifikasi– 70 bola lampu tidak memenuhi kualifikasi

• Satu bola lampu dipilih acak. Setiap bola lampu mempunyai peluang sama untuk terpilih (sebesar 0.01).

• Peluang bahwa yang terpilih adalah bola lampu dengan kualifikasi baik adalah:

Sec 2-2 Interpretations & Axioms of Probability

Figure 2-11 Probability of the event E is the sum of the probabilities of the outcomes in E.

3.001.030

24


Peluang suatu Kejadian

• Untuk ruang sampel diskrit, peluang suatu kejadian E, dinotasikan dengan P(E):– Jumlah peluang seluruh kejadian yang ada di E.

• Ruang sampel diskrit dapat berupa:– Hasil percobaan berupa himpunan berhingga.– Hasil percobaan berupa himpunan tak hingga akan

tetapi dapat dicacah.

• Penjelasan lebih detil dibutuhkan untuk menggambarkan peluang yang sehubungan dengan ruang sampel kontinyu.

25


Contoh: Peluang Suatu Kejadian

• Suatu percobaan acak mempunyai ruang sampel {w,x,y,z}.

• Hasil di dalam ruang sampel ini tidak mempunyai kemungkinan yang sama,

• Peluang masing-masing hasil secara berturut-turut: 0.1, 0.3, 0.5, 0.1.

• Kejadian A ={w,x}, kejadian B = {x,y,z}, kejadian C = {z}• P(A) = 0.1 + 0.3 = 0.4• P(B) = 0.3 + 0.5 + 0.1 = 0.9• P(C) = 0.1

Sec 2- 26


• S={w,x,y,z}. • Peluang masing-masing hasil secara berturut-turut: 0.1, 0.3, 0.5,

0.1.• Kejadian A ={w,x}, kejadian B = {x,y,z}, kejadian C = {z}• Kejadian A’ ={y,z}, kejadian B’ = {w}, kejadian C’ = {w,x,y}• P(A’) = 0.5+0.1 = 0.6 • P(B’) = 0.1 • P(C’) = 0.9• Karena kejadian AB = {x}, maka:

– P(AB) = 0.3• Karena kejadian AB = {w,x,y,z}, maka:

– P(AB) = 1.0• Karena kejadia AC = {null}, maka:

– P(AC ) = 0.0

27


Contoh: Partikel Kontaminasi

• Dilakukan pemeriksaan terhadap keping semikonduktor.

• Sebuah keping semikonduktor diambil secara acak.

Jumlah Partikel kontaminasi

Proporsi keping

0 0.401 0.202 0.153 0.104 0.05

5 atau lebih 0.10Total 1.00

• E adalah kejadian memilih keping tanpa partikel kontaminasi

• P(E) = 0.40•F adalahkejadian memilih keping dengan 3 atau lebih partikel kontaminasi:

• P(F) = 0.10+0.05+0.10 = 0.25

28


Aksioma Peluang

• Peluang adalah angka yang bersesuaian dengan masing-masing anggota suatu kejadian hasil percobaan acak.

• Dengan sifat-sifat berikut1. P(S) = 12. 0 ≤ P(E) ≤ 13. Untuk setiap kejadia E1 dan E2 di mana E1E2 = Ø, P(E1E2)

= P(E1) + P(E2)

• Berimplikasi:– P(Ø) =0 and P(E’) = 1 – P(E)

– Jika E1 himpunan bagian dari E2, maka P(E1) ≤ P(E2).

29


Aturan Lain

• Beberapa kejadian dapat dioperasikan sbb: – Gabungan: A B– Irisan: A B– Komplemen: A’

• Peluang dari hasil operasi di atas dapat ditentukan dari peluang masing-masing kejadian yang menyusunnya.

Sec 2-3 Addition Rules

30


Contoh:• Dari 940 keping konduktor dengan karakteristik yang

disajikan pada tabel 2-1.• Akan diambil 1 secara acak• H adalah kejadian di mana terdapat kontaminasi

dengan konsentrasi tinggi.– Maka P(H) = 358/940.

• Peluang bahwa keping terambil bertipe C: – P(C) = 626/940. Table 2-1

Kontaminasi C E TotalLow 514 68 582High 112 246 358Total 626 314 940

Tipe

31


• Peluang bahwa terambil keping dengan kontaminasi konsentrasi tinggi dan bertipe C:– P(HC) = 112/940

Table 2-1Kontaminasi C E Total

Low 514 68 582High 112 246 358Total 626 314 940

Tipe

Peluang bahwa terambil keping dengan kontaminasi konsentrasi tinggi atau bertipe C:

P(HC) = P(H) + P(C) - P(HC) = (358+626-112)/940

32


• Peluang gabungan dua kejadian

• Jika dua kejadian A dan B saling lepas maka

( ) (2-5)

and, as rearranged:

P A B P A P B P A B

P A B P A P B P A B

therefore:

(2-6)

P A B

P A B P A P B

33


Contoh:• Proporsi keping konduktor dengan jumlah kontaminasi untuk

setiap tipe disajikan pada Tabel 2-2.

JumlahPartikel

Kontaminasi C E Total0 0.30 0.10 0.401 0.15 0.05 0.202 0.10 0.05 0.153 0.06 0.04 0.104 0.04 0.01 0.05

5 atau lebih 0.07 0.03 0.10Totals 0.72 0.28 1.00

TipeTable 2-2

• E1 adalah kejadian bahwa keping mempunyai 4 atau lebih partikel kontaminasi:• P(E1) = 0.05+0.1=0.15

• E2 adalah kejadian bahwa keping terambil bertipe E.• P(E2) = 0.28

34


– Kejadian di mana keping terambil terkontaminasi 4 atau lebih partikel dan bertipe E adalah irisan antara E1 dan E2:

• P(E1E2) = 0.01+ 0.03=0.04

JumlahPartikel

Kontaminasi C E Total0 0.30 0.10 0.401 0.15 0.05 0.202 0.10 0.05 0.153 0.06 0.04 0.104 0.04 0.01 0.05

5 atau lebih 0.07 0.03 0.10Totals 0.72 0.28 1.00

TipeTable 2-2

• Kejadian di mana keping terambil terkontaminasi >=4 partikel atau bertipe E adalah kejadian gabungan:

• P(E1E2) =0.15 + 0.28 – 0.04 = 0.39

35


Diagram Venn Dari Kejadian-kejadian Saling Lepas

- Jika kejadian-kejadian tersebut saling lepas maka setiap hasil hanya terjadi pada satu kejadian- Tidak terdapat irisan dari dua atau lebih kejadian.

36


Contoh

• Jika X adalah variabel yang menyatakan pH dari suatu sampel.

• Peluang suatu kejadian di mana pH bernilai lebih dari 6.5 dan paling tinggi 7.5:

• 6.5< X ≤ 7.5• Dapat dibagi menjadi dua kejadian saling lepas

– 6.5 < X ≤ 7.0 dan 7.0 < X ≤ 7.5• Karena saling lepas maka peluangnya dapat

ditambahkan:– P(6.5 < X ≤ 7.5) =P(6.5 < X ≤ 7.0) + P(7.0 < X ≤ 7.5)

37


Kejadian Saling Bebas

• Dua kejadian saling bebas jika berlaku:P(AB) = P(A)*P(B)Hal ini berarti bahwa terjadinya satu kejadian tidak

mempengaruhi terjadinya kejadian lain.

Sec 2-6 Independence

38


Contoh:• Dari 850 produk hasil suatu proses produksi terdiri dari 50 produk cacat• Dua produk diambil satu per satu secara acak• Pengambilan pertama dikembalikan sebelum pengambilan produk

kedua.• A adalah kejadian di mana pengambilan pertama adalah produk rusak:

– P(A) = 50/850• B adalah kejadian di amna pengambilan kedua adalah produk rusak:

– P(B) = 50/850• Karena dilakukan pengembalian sebelum diambil produk kedua maka

apa yang terjadi di pengambilan pertama tidak mempengaruhi pengambilan kedua.

• Hukum kebebasan berlaku:• Peluang bahwa produk rusak terambil pada pengambilan pertama dan

kedua:– P(A)*P(B) = 50/850 *50/850 = 0.0035.

39


Kebebasan Untuk Lebih dari Dua kejadian

Kejadian E1, E2, … , Ek adalah saling bebas jika dan hanya jika:

P(E1E2 … , Ek) = P(E1)* P(E2)*…* P(Ek) (2-14)

40


Contoh: Sirkuit Seri

•Sirkuit ini hanya dapat bekerja jika masing-masing komponen berfungsi semua dari kiri ke kanan. Peluang berfungsi dengan baik untuk masing-masing komponen dapat dilihat pada gambar.•Jika diasumsikan bahwa kegagalan komponen tidak saling mempengaruhi satu sama lain, berapa peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi?

Jika L & R menyatakan kejadian komponen kiri dan kanan dapat berfungsi. Maka peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi adalah:

P(LR) = P(L) * P(R) = 0.8 * 0.9 = 0.72.

41


Contoh: Sirkuit ParallelSirkuit pararel dapat beroperasi jika salah satu komponen dapat berfungsi. Sirkuit gagal bekerja jika semua komponen gagal berfungsi.Peluang komponen dapat bekerja disajikan pada gambar. Masing-masing beroperasi secara bebas.

T & B adalah kejadian di mana komponen atas dan bawah berfungsi. Peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi adalah komplemen dari semua komponen gagal berfungsi.

42


• Peluang komponen Atas gagal berfungsi:– P(T’)=1-0.95 = 0.05

• Peluang komponen Bawah gagal berfungsi:– P(B’)=1-0.95 = 0.05

• Peluang kedua komponen gagal berfungsi:– P(T’ B’) = P(T’)*P(B’) = 0.052 = 0.0025

43


• Peluang sirkuit dapat berfungsi adalah • P(T B) = 1 - P(T’∩ B’) =1- 0.052 = 0.9975

44


Peubah acak (Random Variables)

• Peubah yang memetakan hasil suatu percobaan acak pada suatu angka tertentu dinamakan peubah acak.

• Peubah acak adalah fungsi yang memetakan bilangan riil pada setiap hasil percobaan acak yang ada di ruang sampel.

• Dinotasikan dengan X. • Setelah percobaan dilakukan, hasil

pengukuran/pengamatan dari variabel tersebut akan diketahui=

• Dinyatakan dengan x = 70. – P(X=x)=P(X=70).

Sec 2-8 Random Variables

teori peluang

Documents