teorema de triangulos

5/12/2018 TEOREMA DE TRIANGULOS - slidepdf.com

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TEOREMA DE TRIANGULOS

TEOREMA I ______________________________________________________________ 2

TEOREMA II _____________________________________________________________ 3

TEOREMA III _____________________________________________________________ 3

TEOREMA IV _____________________________________________________________ 3

TEOREMA V _____________________________________________________________ 4

TEOREMA VI _____________________________________________________________ 4

TEOREMA VII ____________________________________________________________ 5

TEOREMA VIII ____________________________________________________________ 6

TEOREMA IX _____________________________________________________________ 6

TEOREMA X _____________________________________________________________ 7

TEOREMA XI _____________________________________________________________ 7

TEOREMA XII ____________________________________________________________ 8

TEOREMA XIII ____________________________________________________________ 8

TEOREMA XIV ____________________________________________________________ 9

TEOREMA XV ____________________________________________________________ 9

TEOREMA XVI ____________________________________________________________ 9

TEOREMA XVII __________________________________________________________ 10

TEOREMA XVIII __________________________________________________________ 10

Teorema XIX ____________________________________________________________ 11

Teorema XX ____________________________________________________________ 11

TEOREMA XXI ___________________________________________________________ 12

TEOREMA XXII __________________________________________________________ 12

Teorema XXIII ___________________________________________________________ 12

TEOREMA XXIV __________________________________________________________ 13

TEOREMA I

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales

Demostrar : <BOD = < COA

<BOD +<BOC =

<BOC + <COA =

<BOD +<BOC =<BOC + <COA

<BOD = <COA

Partes Homologas

Llamase partes homologas en dos figuras iguales o de una misma forma las que están semejantes

en las dos figuras.

Congruencia.- decimos que dos figuras son congruentes cuando pueden hacerse coincidir en todas

sus partes; esto es, cuando son iguales.

Corolario.- Las partes homologas de dos figuras congruentes son iguales.

TEOREMA II

Si dos lados de un triángulo y el Angulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el

ángulo comprendido de otro triangulo, los dos triángulos son iguales.

A X

C B Z Y

Demostrar: ABC = XYZ

AC =XZ

CB = YZ

<C = <Z

Utilizando congruencia

SuperpongoC en Z

B en Y

A en X lqqd

TEOREMA III

Dos triángulos son iguales si tienen iguales respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a ese

lado.

Demostrar: ABC = XYZ

AB = XY

<A = < X

<B = < Y

Utilizando congruencia:

Punto A en X

B en YC en Z. lqqd

TEOREMA IV

En todo triangulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales

Demostrar: <A = < B

Trazamos la bisectriz

BDC y ADC

AC = BC

DC = DC

< = <

Por teorema II

BDC y ADC

AD = BD

<CAD = <DBC

< A = < B lqqd

TEOREMA V Si dos ángulos de un triángulo son iguales los lados opuestos son iguales, y el triángulo por lo tanto

es isósceles.

Demostrar: AC = BC

ABC = A´BĆ´ por construcción

AB = AB´

Volteamos el A´BĆ´ para:

B´ encaje en A

A´ encaja en B

<A = <B por hipótesis

<A = <A´ por hipótesis

< A = <B´

BĆ´= AC

Punto C encaja C´

AĆ´=BC

BĆ´= BC

AC = BC lqqd

TEOREMA VI

Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro los dos

triángulos son iguales.

Demostrar: ABC = A´BĆ´

AB = A´B´ por hipótesis

Transportamos el A´BĆ´ por postulado 5

Unimos C Y C´

AC = AC´ por hipótesis

BC = BC´ por hipótesis

Por teorema

<ACC´= < ACĆ

<BCC´= <BCĆ<ACC´+ <BCC´= < ACĆ + <BCĆ

<ACB = <AC´B Axioma 8

Por teorema II

ABC = ABC´

ABC ´= A´BĆ´

ABC = A´BĆ´ lqqd Por axioma 7

TEOREMA VII

Si de un punto situado en el interior de un triángulo se trazan rectas a los extremos de uno de loslados la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo.

Demostrar: CA + CB > AP + PB

Prolongar recta Ap hasta CB Postulado 2

ACQ

AC + CQ > AP + PQ Postulado 3

PQBPQ + BQ > PB

AC + CQ + PQ + BQ > AP + PQ + PB Axioma 5

AC + CB + PQ > AP + PQ + PB Axioma 8

AC + CB > AP + PB lqqd Axioma 4

TEOREMA VIII

De un punto exterior a una recta no puede bajarse a esa recta más de una perpendicular.

Demostrar: PZ no es a XY

Prolongar OP Postulado 2

OP = OP´

Trazamos P´ZPOP´ es una recta por construcción

PZP´ no es una recta

< PZP´ no es colineal

PZ no es XY

TEOREMA IX

Si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a la recta dos oblicuas cuyos pies están

a igual distancia del pie de la perpendicular, esas dos oblicuas son iguales y forman ángulos iguales

con la perpendicular.

Demostrar: PA = PB y que <APQ = <BPQ

AOP, BOP

<POA Y < BOP son rectosPO a XY

<POA = <POB corolario 3

OA = OB por hipótesis

PO = PO

En otros términos PO es común a los dos triángulos

AOP = BOP por teorema II

PA = PB

<APO = <BPQ (Corolario, las partes homologas de dos figuras congruentes son

iguales)

TEOREMA X

Si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a esa recta dos oblicuas cuyos pies no

equidisten de la perpendicular, la oblicua cuyo pie dista más es mayor que la otra.

Demostrar: PA > PC

Tómese OB igual a OC, y trácese PB

PB = PC Teorema IX

PO prolongada tómese OP´ = OP y trácese PÁ, P´B

Entonces

PA = PÁ y PB = P´B

PA + PÁ > PB + P´B teorema VII

2PA > 2PB y PA > PB Axioma 8

PA > PC Axioma 8

TEOREMA XI

La perpendicular es la más corta de las rectas que pueden trazarse a una recta de un punto situado

fuera de ella

Demostrar PO < PZ

Prolongamos PO hasta P´ de suerte que OP´ sea igual a PO y trácese P´Z´

PZ + P´Z = 2PZ Axioma 8

PO + PÓ = 2PO Axioma 8

PO + PÓ < PZ + P´Z Axioma 4

2PO < 2PZ Axioma 8

PO < PZ Axioma 5

TEOREMA XII

Dos triángulos rectángulos son iguales si la hipotenusa y un cateto del uno son respectivamenteiguales a la hipotenusa y un cateto del otro.

Demostrar: ABC = A´BĆ´.

Colóquese el ABC al lado del A´BĆ´ de suerte que BC caiga sobre BĆ´ y A´ y A queden en lados

opuestos de BĆ´

Entonces PA caerá sobre la prolongación de A´B´

(Sigue se esto de <CBA +<A´BĆ´= 2rt)AC´= AĆ´

AB´= A´B´

ABC = A´BĆ´ teorema VI

TEOREMA XIII

Dos triángulos rectángulos son iguales si tiene iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los

ángulos adyacentes a ella.

Demostrar ABC = A´BĆ´

Colóquese el ABC sobre A´BĆ´ de manera que < A coincida con A´ y AC tome dirección de

AĆ´

C caerá sobre C

AC = AĆ´

AB tomara la dirección de A´B´

<A = <A´

Puesto que C coincide en C´

Y los <B y B´ son rectos



CB coincidirá con C´B´ Teorema VIII

ABC = A´B´C´

TEOREMA XIV

Dos rectas situadas en un mismo plano y perpendicular a una tercera no pueden encontrarse por

más que se prolongue.

Demostrar que AB y CD no pueden encontrarse en ningún punto si AB y CD prolongadas pudieran

encontrarse en un punto, se tendría dos perpendiculares bajadas de un mismo punto a una recta

lo cual es imposible Teorema VIII

AB y CD prolongadas no pueden encontrarse.

TEOREMA XV

Si dos o más rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras.

Demostrar XY a CD

Por el punto P se traza MN perpendicular a XY

MN debe ser II AB Corolario 1

CD II a AB Hipótesis

CD y MN deben coincidir Corolario 1

XY es MN por hipótesis

XY es a CD.

TEOREMA XVI

Si dos paralelas son cortadas por una transversal los ángulos alternos internos son iguales.

Demostrar <APY = <DQP

Trazamos una recta MN

MN pasa por el punto medio PQ

MN AB

MN CD teorema XV

<PMN = 90

<QNM = 90

<MOP = < NOQ por opuestos por el vértice

OP = OQ

OPM = ONQ por teorema XIII

<APQ = < DQP

TEOREMA XVII

Si dos rectas situados en un mismo plano forman con una transversal ángulos alternos internos

iguales, esas dos rectas son paralelas.

Demostrar AB II CD

Trazamos MN que pasa por el punto P

MN II CD

<MPQ = < DQP teorema XVI

<APQ = < DQP por hipótesis

MN = AB coincidir

AB II CD

TEOREMA XVIII

Si dos paralelas son cortadas por un transversal los ángulos correspondientes son iguales.

Demostrar <BPX = < DQX

<BPX = <APY por opuestos por el vértice

<APY = < DQX por el teorema XVI

<BPX = <DQX lqqd

Teorema XIX

La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectas

Demostrar

<A +< B +<C = 180

Trazamos YB II AC por construcción

Prolongamos AB hasta X por postulado 2

<ABC + <CBY+<XBY = 180

< A = <XBY por correspondientes al teorema XVIII

<C = <CBY por alternos internos por teorema XVI

ABAB BC < AC

AC + BC > AB por axioma 3

AC >AB BC

AB BC < AC lqqd

AC BC < AB

TEOREMA XXI

Si dos lados de un triángulo son desiguales, al mayor lado se opone mayor ángulo.

Demostrar: <BAC > < XAC Axioma 10

Reemplazando

<XAC por su igualdad <CXA:

<BAC > <CXA

<CXA > CA

Si CA fuera mayor que BC el

 CA lqqd

Teorema XXIII

Si dos lados de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados del otro, y el ángulo

comprendido por los dos lados del otro, y el ángulo comprendido por los dos primeros es mayor

que el comprendido por los dos segundos, el tercer lado del primer triangulo es mayor que el

tercer lado del segundo.

Demostrar: AB > XY

AC = XY por hipótesis

BC = YZ por hipótesis

<C = <Z por hipótesis

Superpongo XYZ en ABC por postulado 5

AC coincide con XZ

Trazamos Bisectriz <BCY y trazamos CP y YP

CY = BC por construcciónCP = CP por identidad

<PCY = <BCP por bisectriz

BPC = CPY por teorema II

PY = PB

AP + PY > AY por postulado 3

AP + PB > AY por postulado 3

AB > AY por axioma 8

AY = XY

AB > XY lqqd

TEOREMA XXIV

Si dos lados de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados de otro, y el tercer lado del

primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo, el ángulo opuesto al tercer lado es

mayor en el primer triangulo que en el segundo.

Demostrar: <C > <Z

Caso 1

<C = < Z

ABC = XYZ por teorema II

<C no puede ser igual < Z

Caso 2

<C < <Z

AB < XY

<C no puede ser menor que <Z

<C > < Z lqqd.

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